图论作业

图论大作业

《图论及其应用》大作业指导老师郝荣霞知行1503 徐鹏宇 152912002.1.9证明：若G是森林且恰有2k个奇点，则在G中有k条边不重的路P1,P2......P K,使得E(G)=E(P1) E(P2) ...... E(P K)。

证明：对奇点数k使用数学归纳法。

①当k=1时，G是森林，且有且只有2个奇点⇒G只能为一颗树，且G的所有奇度顶点为两个1度顶点⇒G是一条路⇒满足题设②假设当k=t时，结论成立。

接下来考虑k=t + 1时的情况。

在G中一个分支中取两个叶子点u与v，令P是连接该两个顶点的唯一路。

由于P上除u，v以外的点均被P经过两次，即G-P后除u，v以外的点奇偶性不变。

⇒则G–P是有2t个奇度顶点的森林⇒由归纳假设知，G–P可以分解为t条边不重合的路之并，即E(G-P)=E(P1) E(P2) ...... E(P t)。

⇒则G可分解为t+1条边不重合的路之并，即E(G)=E(P1) E(P2) ...... E(P t) E(P)。

⇒即证。

2.4.4证明：若e 是K n 的边，则τ（K n -e ）=（n-2）n n-3证明：由定理2.9：τ（K n ）=n n-2由于τ（K n -e ）=τ（K n ）-τ（含有e 的生成树棵树）现在需要求含有e 的生成树棵树，τ（含有e 的生成树棵树）=)1(21n 1-n 2-n n n ）（=2n n-3τ（K n -e ）=τ（K n ）-τ（含有e 的生成树棵树）=（n-2）n n-33.2.4证明：不是块的连通图至少有两个块，其中每个恰有一个割点。

证明：设G 为不是块的连通图，由于G 连通且不是块⇒G 有割点①当G 只有1个割点v 时，延割点分开，G1，G2内无割点，且连通，由块的定义知⇒G1,G2是块，且分别含一个割点v 。

②当G 含有2个及2个以上割点时，取相距距离最远的两个割点u 和v ，此时分G 为三部分G1,G2,G3。

电子科技大学-图论第一次作业-

.
课本习题一：
4. 证明下面两图同构。
v1
u1
v2
v6
v10 v5
v7
v8 v9
v3
v4 (a)
u6 u5
u2
u8
u10
u3
u7
u9
u4
(b)
证明:作映射 f : vi ↔ ui (i=1,2….10)
容易证明，对vi v j E ((a)),有 f (v i vj,),,ui,uj,,E,((b))
中不
3.设 G 是阶大于 2 的连通图，证明下列命题等价：
（1）
G 是块
（2）
G 无环且任意一个点和任意一条边都位于同一
个圈上；
（3）
G 无环且任意三个不同点都位于同一条路上。
：是块，任取的一点，一边，在边插入一点，使得成为两条边，由此得到新图，显然的是阶数大于的块，由定理 4，中的 u,v 位于同一个圈上，于是中 u 与边都位于同一个圈上。
件下的不同构的情形，则从上面穷举出的情况可以看出四个顶点的非同构简单图
有 11 个。
11.证明：序列（7,6,5,4,3,3,2）和（6,6,5,4,3,3,1）
不是图序列。
证明：由于 7 个顶点的简单图的最大度不会超过 6，因此序列（7,6,5,4,3,3,2）不
是图序列；
（6,6,5,4,3,3,1）是图序列
(G1) 2 最小边割{（6,5），（8,5）} {（6,7），（8,7）}{（6,9），（8,9）}
1j 10 ) 由图的同构定义知，图(a)与(b)是同构的。
5.证明：四个顶点的非同构简单图有 11 个。
证明：设四个顶点中边的个数为 m，则有：

图论练习题

图论练习题考试时间8：00—11：00评测时间11：00文件名不区分大小写。

评测环境为wind ows。

出门旅行【题目描述】在神奇的oi国度，有n个城市m条双向道路，每条道路连接了两个不同的城市。

寒假到了，小S决定出门旅游一趟。

因为以往跟团旅游多了，这次小S决定自驾游。

对于自驾游，小S最关心的自然是燃油的耗费，为了省钱，小S请你帮他找一条最短的路。

【输入格式】第一行两个整数n,m，表示有n个城市和m条双向道路。

城市从1..n编号。

接下来m行，每行三个正整数a,b,c，表示a和b之间有一条长为c的双向道路。

a,b不相同，且c不超过1000注意：两个城市之间可能会有多条双向道路。

接下来一行两个整数，s,t，表示小S本次旅行的出发地和目的地。

s,t不相同。

【输出格式】仅一行一个整数，表示最短的距离。

如果不能到达，请输出-1。

【样例输入】3 31 2 11 3 32 3 11 3【样例输出】2【样例解释】1→2→3即是最优解。

【数据范围】对于30%的数据，n<=100,m<=1000对于100%的数据，n<=2000,m<=100000关闭道路【题目描述】在神奇的oi国度，有n个城市m条双向道路，每条道路连接了两个不同的城市。

由于金融危机，oi国不得不关闭尽量多道路，来减少维护道路的花费。

但是为了尽量小地影响到原来的交通，所以要保证，如果在关闭道路前从第i个城市沿着道路走可以到第j个城市，那么关闭道路后依然也可以。

求最多能关闭多少道路。

【输入格式】第一行两个整数n,m，表示有n个城市和m条双向道路。

城市从1..n编号。

接下来m行，每行两个不同的1..n的整数，表示这两个城市之间有双向道路相连。

注意：两个城市之间可能会有多条双向道路。

【输出格式】仅一行，包含一个整数，表示最多能关闭多少条道路。

【样例输入】3 31 22 33 2【样例输出】1【样例解释】删去任意一条边均可。

【数据范围】对于30%的数据，m<=20,n<=10对于100%的数据，n<=1000,m<=100000重新关闭道路【题目描述】在关闭道路后，刚旅游完的小S听说了官方关闭道路的方法，就研究了有没有更优的方案。

图论习题

第三章平面图
7.若G的顶点数不少于11个，则G c 不是平面图证明：ε (G ) + ε (G c ) = v(v − 1) 2 , 又ε (G ) ≤ 3v(G ) − 6 则ε (G c ) ≥ 1 （v 2 − 7v + 12） 2 当v ≥ 11时，ε (G c ) > 3v(G c ) − 6, 从而G c 不是平面图
第四章匹配理论及其应用
• 2.树上是否可能有两个不同的完备匹配？为什么？ • 解：不可能。
设M1，M 2为两个不同的完备匹配，则M1 ⊕ M 2 ≠ φ 且T[M1 ⊕ M 2 ]中的每个顶点的度为2. 由例1.9可知，T中包含圈。这与T为树矛盾。
第五章着色理论
• 1.求n顶轮的边色数 • hints：n-1
' '
第五章着色理论
第一条边颜色不变，其余边两色互换。直至vl −1处无i h 色，多i l -1色；得出矛盾：v l -1v l 着i h 色; vl 处i h = i l 色出现至少三次；从而G中i h 和i l -1色边的导出子图中含v l的分支不可能是奇圈，从而得出矛盾。
第五章着色理论
• 8. 4名老师4个班级上课问题。 • 计算，一天应分几节课？若每天8节课，需几间教室？ • hints： ∆(G ) = 16, ε (G ) = 48
16 = 4 一天分4节课 5 48 = 2 需2间教室 5*8
若 13. δ是单图G顶的最小次数，证明；若δ > 1则存在δ − 1边着色，使与每顶关联的边种有δ − 1种颜色。 h int s : 反证法：设C = (E1 , E 2 ,..., E δ −1 )为G的(δ − 1) − 最佳边着色构造点列：v1 , v2 ,..., vh , vh +1 ,....., vl ,.... v1处无i 0色，v j v j +1着i j色，且在v j点处i j 色重复出现，仅一个i j-1色；h = i l i 着色调整：v j v j +1着i j-1色( j = 1,2,..., h) 奇圈，颜色互换：E( Eih ∪ Eik )(k = h + 1, h + 2,..., l − 2),

图论大作业

《图论及其应用》大作业指导老师郝荣霞知行1503 徐鹏宇 152912002.1.9证明：若G是森林且恰有2k个奇点，则在G中有k条边不重的路P1,P2......P K,使得E(G)=E(P1) E(P2) ...... E(P K)。

证明：对奇点数k使用数学归纳法。

①当k=1时，G是森林，且有且只有2个奇点⇒G只能为一颗树，且G的所有奇度顶点为两个1度顶点⇒G是一条路⇒满足题设②假设当k=t时，结论成立。

接下来考虑k=t + 1时的情况。

在G中一个分支中取两个叶子点u与v，令P是连接该两个顶点的唯一路。

由于P上除u，v以外的点均被P经过两次，即G-P后除u，v以外的点奇偶性不变。

⇒则G–P是有2t个奇度顶点的森林⇒由归纳假设知，G–P可以分解为t条边不重合的路之并，即E(G-P)=E(P1) E(P2) ...... E(P t)。

⇒则G可分解为t+1条边不重合的路之并，即E(G)=E(P1) E(P2) ...... E(P t) E(P)。

⇒即证。

2.4.4证明：若e 是K n 的边，则τ（K n -e ）=（n-2）n n-3证明：由定理2.9：τ（K n ）=n n-2由于τ（K n -e ）=τ（K n ）-τ（含有e 的生成树棵树）现在需要求含有e 的生成树棵树，τ（含有e 的生成树棵树）=)1(21n 1-n 2-n n n ）（=2n n-3τ（K n -e ）=τ（K n ）-τ（含有e 的生成树棵树）=（n-2）n n-33.2.4证明：不是块的连通图至少有两个块，其中每个恰有一个割点。

证明：设G 为不是块的连通图，由于G 连通且不是块⇒G 有割点①当G 只有1个割点v 时，延割点分开，G1，G2内无割点，且连通，由块的定义知⇒G1,G2是块，且分别含一个割点v 。

②当G 含有2个及2个以上割点时，取相距距离最远的两个割点u 和v ，此时分G 为三部分G1,G2,G3。

图论练习题——精选推荐

图论练习题一、基本题1、设G 是由5个顶点构成的完全图，则从G 中删去（A ）边可以得到树。

A ．6 B ．5 C ．8 D ．4 2、下面哪几种图不一定是树（A ）。

A ．无回路的连通图B ．有n 个结点，n-1条边的连通图C ．对每对结点间都有通路的图D ．连通但删去任意一条边则不连通的图3、5阶无向完全图的边数为（B ）。

A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 4、设图G 有n 个结点，m 条边，且G 中每个结点的度数不是k ，就是k+1，则G 中度数为k 的节点数是（）A ．n/2 B ．n(n+1) C ．nk-2m D ．n(k+1)-2m 5、设G=<V ，E>为有向图，V={a,b,c,d,e,f}，E={<a,b>,<b,c>,<a,d>,<d,e>,<f,e>}是（B ）。

A ．强连通图B ．单向连通图C ．弱连通图D ．不连通图6、在有n 个结点的连通图中，其边数（B ）A ．最多有n-1条B ．至少有n-1条C ．最多有n 条D ．至少有n 条7、设无向简单图的顶点个数为n ，则该图最多有（，则该图最多有（C C ）条边。

A ．n-1 B n-1 B．．n(n-1)/2 C n(n-1)/2 C．． n(n+1)/2 D n(n+1)/2 D．．n28、要连通具有n 个顶点的有向图，至少需要（个顶点的有向图，至少需要（A A ）条边。

A ．n-lB n-l B．．nC n C．．n+lD n+l D．．2n9、n 个结点的完全有向图含有边的数目（个结点的完全有向图含有边的数目（B B ）。

A ．n*n n*n Ｂ．Ｂ．Ｂ．n n （n ＋１）＋１） C C C．．n ／2 D 2 D．．n*n*（（n －l ）1010、在一个无向图中，所有顶点的度数之和等于所有边数（、在一个无向图中，所有顶点的度数之和等于所有边数（、在一个无向图中，所有顶点的度数之和等于所有边数（B B ）倍。

图论作业2

习题四：3.（1）画一个有Euler 闭迹和Hamilton 圈的图；（2）画一个有Euler 闭迹但没有Hamilton 圈的图；（3）画一个有Hamilton 圈但没有Euler 闭迹的图；（4）画一个即没有Hamilton 圈也没有Euler 闭迹的图；解：找到的图如下：(1) 一个有Euler 闭迹和Hamilton 圈的图；(2) 一个有Euler 闭迹但没有Hamilton 圈的图；(3) 一个有Hamilton 圈但没有Euler 闭迹的图;(4)一个即没有Hamilton 圈也没有Euler 闭迹的图.4.设n 阶无向简单图G 有m 条边，证明:若m ≥(n−12)+2,则G 是Hamilton 图。

证明: G 是H 图。

若不然，因为G 是无向简单图，则n ≥3,由定理1：若G 是n ≥3的非单图，则G 度弱于某个C m,n .于是有：2,1()()(2)(1)(1)2111(1)(2)(1)(21)221 1.2m n E G E C m n m n m m m n m m m n m n ⎡⎤≤=+---+-⎣⎦-⎛⎫=+------- ⎪⎝⎭-⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭这与条件矛盾！所以G 是H 图。

8.证明：若G 有2k ≥0个奇点，则存在k 条边不重的迹Q 1,Q 2…Q k ,使得E (G )=E (Q 1)∪E (Q 2)∪E (Q 3)∪⋯∪E(Q k ).证明：不失一般性，只就G 是连通图进行证明。

设G=(n, m)是连通图。

令v l ，v 2，…,v k ,v k+1,…,v 2k 是G 的所有奇度点。

在v i 与v i+k 间连新边e i 得图G*（1≦i ≦k).则G*是欧拉图，因此，由Fleury 算法得欧拉环游C.在C 中删去e i （1≦i ≦k).得k 条边不重的迹Q i （1≦i ≦k):12()()()()k E G E Q E Q E Q =10.证明：若：（1）G 不是二连通图，或者（2）G 是具有二分类(X,Y )的偶图，这里|X |≠|Y |,则G 是非Hamilton 图。

图论试题及答案解析图片

图论试题及答案解析图片一、选择题1. 图论中，图的基本元素是什么？A. 点和线B. 点和面C. 线和面D. 点和边答案：A2. 在无向图中，如果两个顶点之间存在一条边，则称这两个顶点是：A. 相邻的B. 相连的C. 相等的D. 相异的答案：A3. 在有向图中，如果从顶点A到顶点B有一条有向边，则称顶点A是顶点B的：A. 父顶点B. 子顶点C. 邻接顶点D. 非邻接顶点答案：B4. 一个图的度是指：A. 图中顶点的总数B. 图中边的总数C. 一个顶点的边数D. 图的连通性答案：C5. 一个图是连通的，当且仅当：A. 图中任意两个顶点都是相邻的B. 图中任意两个顶点都可以通过边相连C. 图中任意两个顶点都可以通过路径相连D. 图中任意两个顶点都可以通过子顶点相连答案：C二、填空题1. 在图论中，一个顶点的度数是该顶点的________。

答案：边数2. 如果一个图的任意两个顶点都可以通过边相连，则称该图为________。

答案：完全图3. 一个图中，如果存在一个顶点到其他所有顶点都有边相连，则称该顶点为________。

答案：中心顶点4. 图论中，最短路径问题是指在图中找到两个顶点之间的________。

答案：最短路径5. 如果一个图的任意两个顶点都可以通过有向路径相连，则称该图为________。

答案：强连通图三、简答题1. 请简述图论中的欧拉路径和哈密顿路径的定义。

答案：欧拉路径是指在图中经过每条边恰好一次的路径，而哈密顿路径是指在图中经过每个顶点恰好一次的路径。

2. 什么是图的着色问题？答案：图的着色问题是指将图中的顶点用不同的颜色进行标记，使得相邻的两个顶点颜色不同。

四、计算题1. 给定一个无向图G，顶点集为{A, B, C, D, E}，边集为{AB, BC, CD, DE, EA}，请画出该图，并计算其最小生成树的权重。

答案：首先画出图G的示意图，然后使用克鲁斯卡尔算法或普里姆算法计算最小生成树的权重。

图论作业1

4. 证明：任何一个人群中至少有两个人认识的朋友数相同。
5. 证明：若 k 正则二部图具有二分类 V=V 1 UV 2 ，则|V 1 |=|V 2 |。
2/2
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姓名
学号
三、解答题 1. 设无向图 G 有 10 条边，3 度与 4 度顶点各 2 个，其余顶点度数均小于 3，问 G 中至少有几个顶点？在最少顶点数的情况下，写出 G 的度序列，该度序列是一个图序列吗？
2. 设 G 与其补图的边数分别为 m 1 和 m 2 ，求 G 的阶数。
3. 设 G 为 n 阶简单无向图，n>2 且 n 为奇数，G 与其补图中度数为奇数的顶点个数是否相等？并给出理由。
1 2 1 1 1
1 1 3 0 2
2 1 0 2 0
0 1 2 ， 0 2
则图 G 的边数为。 5. 设 G 是 n 阶简单图，且不含完全子图 K 3 ，则其边数一定不会超过。 6. 设 n 阶图 G 是具有 k 个分支的森林，则其边数为。 7. 一棵树有 n i 个度数为 i 的结点，i=2,3,…,k，则它有个度数为 1 的顶点。 8. K 5 的生成树的棵数为。二、选择题 1．关于图的度序列，下列命题错误的是( ) (A) 同构的两个图的度序列相同； (B) 非负整数序列(d 1 , d 2 ,…,d n )是图的度序列当且仅当 d 1 +d 2 +…+d n 是偶数； (C) 如果非负整数序列(d 1 , d 2 ,…,d n )是一棵树的度序列且 n≥2，那么序列中至少有两个 1； (D) 如果非负整数序列(d 1 , d 2 ,…,d n )是简单图的度序列，那么在同构意义下只能确定一个图。 2. 对于序列(7, 5, 4, 3, 3, 2)，下列说法正确的是( ) (A) 是简单图的度序列; (B) 是非简单图的度序列; (C) 不是任意图的度序列; (D) 是图的唯一度序列。 3. 下列说法错误的是( ) (A) 若一个图中存在闭途径，则一定存在圈； (B) 偶图中不存在奇圈； (C) 无向图的顶点之间的连通关系一定是等价关系； (D) 存在非平凡简单图，使得每个顶点的度数互不相同。 4. 关于简单图的邻接矩阵 A，下列说法错误的是( ) (A) 矩阵 A 的行和等于该行对应顶点的度数； (B) 矩阵 A 的所有元素之和等于该图边数的 2 倍； (C) 不同构的两个图，它们的邻接谱一定不同； (D) 非连通图的邻接矩阵一定可以表示为准对角矩阵形式。 5. 图 G=(n, m)一定是树的是( ) (A) 连通图； (B) 无回路但添加一条边后有回路的图； (C) 每对顶点间都有路的图； (D) 连通且 m=n-1。

图论习题+答案

1 设图G有12条边，G中有1度结点2个，2度结点2个，4度结点3个，其余结点度数不超过3．求G中至少有多少个结点？2 设有向简单图G的度数序列为(2,2,3,3）, 入度序列为(0,0,2,3),求G得出度序列 .3 设D是n阶有向简单完全图,则图D的边数为 .4设G是n阶无向简单完全图K n，则图G的边数为 .5 仅有一个孤立结点组成的图称为( )(A)零图(B)平凡图(C)补图(D)子图6设n阶图G中有m条边，每个结点的度数不是k的是k+1，若G中有N k个k度顶点，N k+1个k+1度顶点，则N k = .7设图G如右图.已知路径(1) P1=(v1e5 v5e7 v2e2 v3 )(2) P2=(v5e6 v2e2 v3e3 v4e8 v2e7 v5)(3) P3=(v2e7 v5e6 v2)(4) P4=(v1e1 v2e2 v3e3 v4e8 v2e6 v5)判断路径类型，并求其长度.81）判断下图G1中的路径类型, 并求其长度. P1=(v3e5v4e7v1e4v3e3v2e1v1e4v3)P2=(v3e3v2e2v2e1v1e4v3)P3=(v3e3v2e1v1e4v3).2）判断下图G2中的路径类型, 并求其长度. P1=(v1e1v2e6v5e7v3e2v2e6v5e8v4)P2=(v1e5v5e7v3e2v2e6v5e8v4)P3=(v1e1v2e6v5e7v3e3v4).v1e1e5v2e65e7e4 e2e8v3 4e3v e v1 设图G 有12条边，G 中有1度结点2个，2度结点2个，4度结点3个，其余结点度数不超过3．求G 中至少有多少个结点？至少9个2 设有向简单图G 的度数序列为(2,2,3,3）, 入度序列为(0,0,2,3),求G 得出度序列（2,2,5,6） .3 设D 是n 阶有向简单完全图,则图D 的边数为 )1(−n n .4 设G 是n 阶无向简单完全图K n ，则图G 的边数为 m =n (n -1)/2 .5 仅有一个孤立结点组成的图称为( B ) (A) 零图 (B)平凡图 (C)补图 (D)子图6设n 阶图G 中有m 条边，每个结点的度数不是k 的是k+1，若G 中有N k 个k 度顶点，N k+1个k+1度顶点，则N k = N k =(k+1)n-2m . 7设图G 如右图.已知路径 (1) P 1=(v 1e 5 v 5e 7 v 2e 2 v 3 ) (2) P 2=(v 5e 6 v 2e 2 v 3e 3 v 4e 8 v 2e 7 v 5) (3) P 3=(v 2e 7 v 5e 6 v 2)(4) P 4=(v 1e 1 v 2e 2 v 3e 3 v 4e 8 v 2e 6 v 5)判断路径类型，并求其长度. (1) 初级通路；3 (2) 简单回路；5 (3) 初级回路；2 (4) 简单通路. 5 81）判断下图G1中的路径类型, 并求其长度. P 1=(v 3e 5v 4e 7v 1e 4v 3e 3v 2e 1v 1e 4v 3) P 2=(v 3e 3v 2e 2v 2e 1v 1e 4v 3) P 3=(v 3e 3v 2e 1v 1e 4v 3).2）判断下图G2中的路径类型, 并求其长度. P 1=(v 1e 1v 2e 6v 5e 7v 3e 2v 2e 6v 5e 8v 4) P 2=(v 1e 5v 5e 7v 3e 2v 2e 6v 5e 8v 4) P 3=(v 1e 1v 2e 6v 5e 7v 3e 3v 4).解：在图G 1中，v 3e 5v 4e 7v 1e 4v 3e 3v 2e 1v 1e 4v 3是一条长度为6的回路，但既不是简单回路，也不是初级回路； v 3e 3v 2e 2v 2e 1v 1e 4v 3是一条长度为4的简单回路，但不是初级回路； v 3e 3v 2e 1v 1e 4v 3是一条长度为3的初级回路。

图论习题

4 n
2 2 1 4 A 4 1 1 2 3 9 B 8
）
6
2
．已知在传输中，a、b、c、d、e、f 、g、h 出现的频率分别为 25%、15%、15%、10%、10%、9%、6%、10%，编一个传输它们的最佳前缀码。
3
．有向图 D 如下图所示，用邻接矩阵法求 D 中长度为 3 的通路数和长度为 3 的回路数。
5. D=<V,E>
1 2 3 4 + 1 4 2 4 n n,m n
设图
三．判断题 1. 任一图 G 的△(G)必小于其结点数。（） 2. 在 n 个结点的简单图 G 中，若 n 为奇数，则 G 与 G 的度为奇数的结点数相同。（） 3. K 有 10 个生成子图。（） 4. 图 G 和 G’同构当且仅当 G 和 G’的结点和边分别存在一一对应关系。（） 5. 具有 3 个结点的有向完全图，含 4 条边的不同构的子图有 4 个。（） 6. 3 个(4,2)无向简单图中，至少有 2 个同构。（） 7. 若无向图中恰有 2 个度为奇数的结点，则这两个结点必连通。（） 8. 在有向图中，结点间的可达关系是等价的。（）（） 9. 若图 G 不连通，则 G 必连通。 10. 若图 G 的边 e 不包含在图 G 的某简单回路中，则 e 是 G 的割边。（） 11. 若无向连通图中无回路，则其每条边均为割边。（） 12. 若有向图 D 强连通，则 D 必为欧拉图。（） 13. 若有向图 D 是欧拉图，则 D 必为强连通图。（） 14. K 是哈密尔顿图。（） 15. 任一(n,m)平面图，若 n≥3，则 m≤3n-6。（） 16. 设 G=<V,E>，|V|≥11，则 G 或 G 是非平面图。（） 17. 极大平面图必连通。（） 18. 设 G=<V,E>为连通的简单平面图，若|V|≥3，则所有结点 v，有 deg(v) ≤5。（） 19. 任何树都至少有两片树叶。（） 20. 任何图 G=<V,E>都至少有一颗生成树。（） 21. 图 G 是（m，n）连通图，要求 G 的一颗生成树，则要删去 G 中的 m-n 条边。（） 22. 一个有向图 G 若仅有一个节点入度为 0，其余节点的入度全为 1，则 G 一定是有向树。（ 23.{000,001,01,10,11}是一个前缀码。（）（） 24.T 为完全 m 元树，有 t 片树叶，i 个分支点，则有关系式(m-1)i=t-1。四．综合题 1. 求下面带权图中从 A 到 B 的最短路径，要求用图示给出求解过程，并计算它们的权值。

图论作业
习题：
１、用两种方法求下面两图的最小部分树。

２、图中Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ代表陆地，它们之间有桥相连，问一个人能否经过图中每座桥一次既无重复也无遗漏？
３、邮递员投递区街道分布如图所示，＊为邮局所在地，试为邮递员设计一条最佳投递路线。

１１２
２３
３
４
４
４
５６
６
３７７８
６
６５
２３
１
３
７
４５
３
２
4
5、求图中ｖs 到ｖt 的最大流.
6、如图，某人骑自行车从Ｂ出发去Ｈ，Ｆ，Ｄ三处送紧急文件，然后返回，如果自行
车速度１５ｋｍ／ｈ，送文件每处停留５ｍｉｎ，若按最短路线行走，问半小时内能否返回（图中数字为点与点之间的距离，单位：百米）
7. 编写寻找H 圈以及旅行商问题的程序
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
ＦＧ
Ｈ
Ｋ
6
5 9 5
6
6 7
2
6
5
4 5
3
1 6
7
3
7
9
5
4
3
6
4 4
7
3
I
J
6
L M。

图论及应用完整作业

1.证明在n阶连通图中(1)至少有n-1条边。

(2)如果边数大于n-1,则至少有一条闭通道。

(3)如恰有n-1条边，则至少有一个奇度点。

证明(1)若对V v e V(G),有d(v)N2,则：2m=E d(v)N2n n m N n〉n-1,矛盾！若G中有1度顶点，对顶点数n作数学归纳。

当n=2时，G显然至少有一条边，结论成立。

设当n=k时，结论成立，当n=k+1时，设d(v)=1,则G-v是k阶连通图，因此至少有k-1条边，所以G 至少有k条边。

(2)考虑匕-v2f ...-v n的途径，若该途径是一条路，则长为n-1,但图G的边数大于n-1,因此存在v i,v j,使得v i adgv j,这样，v i f %「...f v j并上v i v j构成一条闭通道；若该途径是一条非路，，易知，图G有闭通道：1" 1 "(3)若不然，对V v e V(G)市d(v)N2,则：2m=E d(v)N2n n m N n〉n-1,与已知矛盾！2.设G是n阶完全图，试问(1)有多少条闭通道？(2)包含G中某边e的闭通道有多少？(3)任意两点间有多少条路？答(1) (n-2)! (2) (n-1)!/2 (3) 1+(n-2)+(n-2)(n-3)+(n-2)(n-3)(n-4)+...+(n-2)...1.3.证明图1-27中的两图不同构：图1-27证明容易观察出两图中的点与边的邻接关系各不相同，因此，两图不同构。

4.证明图1-28中的两图是同构的图1-28证明将图1-28的两图顶点标号为如下的(a)与(b)图作映射 f : f(v i)f u i (1< i < 10)容易证明，对V v i v j G E((a)),有^v i v j)=u i u j E E((b)) (1< i < 10, 1<j< 10 ) 由图的同构定义知，图1-27的两个图是同构的。

哈工大图论习题

1．画出具有4个顶点的所有无向图(同构的只算一个)。

2．画出具有3个顶点的所有有向图(同构的只算一个)。

3．画出具有4个、6个、8个顶点的三次图。

4．某次宴会上，许多人互相握手。

证明：握过奇数次手的人数为偶数(注意，0是偶数)。

5．证明：哥尼斯堡七桥问题无解。

6．设u与v是图G的两个不同顶点。

若u与v间有两条不同的通道(迹)，则G中是否有回路？7．证明：一个连通的(p，q)图中q ≥p-1。

8．设G是一个(p，q)图，δ(G)≥[p/2]，试证G是连通的。

9．证明：在一个连通图中，两条最长的路有一个公共的顶点。

10．在一个有n个人的宴会上，每个人至少有m个朋友(2≤m≤n)。

试证：有不少于m+1个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人的左、右均是他的朋友。

11．一个图G是连通的，当且仅当将V划分成两个非空子集V1和V2时，G总有一条联结V1的一个顶点与V2的一个顶点的边。

12．设G是图。

证明：若δ(G)≥ 2，则G包含长至少是δ(G)+1的回路。

13．设G是一个(p，q)图，证明：(a)q≥p，则G中有回路；(b)若q≥p+4，则G包含两个边不重的回路。

14．证明：若图G不是连通图，则G c 是连通图。

15．设G是个(p，q)图，试证：(a)δ(G)·δ(G C)≤[(p-1)/2]([(p+1)/2]+1)，若p≡0，1，2(mod 4)(b) δ(G)·δ(G C)≤[(p-3)/2]·[(p+1)/2]，若p≡3(mod 4)16．证明：每一个自补图有4n或4n+1个顶点。

17．构造一个有2n个顶点而没有三角形的三次图，其中n≥3。

18.给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子，使得每一对不邻接的顶点u和v，均有degu+degv≥919．试求Kp中不同的哈密顿回路的个数。

20．试证：图四中的图不是哈密顿图。

21．完全偶图Km，n为哈密顿图的充分必要条件是什么？22．菱形12面体的表面上有无哈密顿回路？23．设G是一个p(p≥3)个顶点的图。

图论例题

例1 设有5个居民点（如图1），每条边代表两居民点的道路，数字代表路长。

现要在这5个居民点之间设置通信线路网，以保证5个居民点的联络。

如果已知设置通信线路代价与道路长成正比，问如何建立该通信联络网，使联网代价最小？解：对本例而言是寻找最小生成树。

运用Kruskal 算法求出图1建立网络的方案。

求解如下： >>clear; >>n=5;>>w=inf*ones(5); >>w(1,[2,3,4]=[1,7,3]; >>w(2,[3,5]=[6,4];>>w(3,[4,5])=[8,5];>>w(4,5)=2;>>[a,b]=mintreek(n,w)% 输出顶点与边的标记，最小树的构成一目了然 e1(v1v2) e8(v4v5) e4(v1v4) e7(v3v1)% 最小生成树的权值 a= 11% 其含义见程序mintreek.m 的说明 b=1 2 1 1 4 5 2 8 1 4 3 4 3 5 5 7图1是a 、b 图的重叠，图b 用红颜色标出。

最小生成树图b 是一种建立通信联络网的方案。

v1v2v3v4v5最小生成树的权为11红色连线为最小生成树例2 某公司使用一种设备，这种设备在一定年限内随着时间推移逐渐损坏。

所以，保留这种设备的时间越长，每年的维修费用就越大。

假设该公司在第1年开始时必须购置一台这种设备，并假设计划使用这种设备的时间为5年，估计这台设备的购买费和维修费（单位：万元）如图表1和表2所列。

表1 第1年 ~ 第5年的购买价格这家公司希望确定应在哪一年购买一台新设备，使得维修费和新设备的购置费的总和最小。

解：考虑6个点123456,,,,,v v v v v v ，其中(1,2,...,5)i v i =表示在第i 年初要购买新设备。

6v 是虚设点，表示在第5年底才购买新设备。

再从点(1,2,...,5)i v i =引出指向点126,,...,i i v v v ++的弧，弧(,)i j v v 表示第i 年年初购进的新设备要使用到第j 年(2,3,...,6)j =的年初。

图论期末考试题库及答案

图论期末考试题库及答案一、单项选择题1. 图论的创始人是（）。

A. 欧拉B. 莱布尼茨C. 牛顿D. 高斯答案：A2. 在图论中，一个图的顶点集合为空，但边集合不为空的图称为（）。

A. 空图B. 完全图C. 树D. 多重图答案：A3. 如果一个图的任意两个顶点之间都存在一条路径，则称该图为（）。

A. 连通图B. 强连通图C. 弱连通图D. 无环图答案：A4. 在图论中，一个图的边的集合可以划分为若干个不相交的路径，使得图中的每个顶点恰好属于其中一条路径，这样的图称为（）。

A. 欧拉图B. 哈密顿图C. 树答案：C5. 图论中，一个图的边的集合可以划分为若干个不相交的回路，使得图中的每个顶点恰好属于其中一条回路，这样的图称为（）。

A. 欧拉图B. 哈密顿图C. 树D. 环答案：A二、多项选择题1. 下列哪些是图论中的基本术语（）。

A. 顶点B. 边D. 权重答案：ABCD2. 在图论中，以下哪些图是无向图（）。

A. 完全图B. 树C. 多重图D. 有向图答案：ABC3. 图论中，以下哪些图是连通图（）。

A. 完全图B. 树C. 多重图D. 空图答案：ABC三、填空题1. 图论中，一个图的顶点集合为V，边集合为E，那么图可以表示为G=（）。

答案：(V, E)2. 如果一个图的任意两个顶点之间都存在一条路径，则称该图为（）。

答案：连通图3. 在图论中，一个图的边的集合可以划分为若干个不相交的路径，使得图中的每个顶点恰好属于其中一条路径，这样的图称为（）。

答案：树四、简答题1. 请解释什么是图论中的“完全图”？答案：完全图是指图中每一对不同的顶点之间都恰好有一条边相连的图。

在完全图Kn中，n个顶点两两相连，共有n(n-1)/2条边。

2. 请解释什么是图论中的“欧拉路径”和“欧拉回路”？答案：欧拉路径是指图中存在一条路径，该路径恰好经过每条边一次。

欧拉回路是指图中存在一条回路，该回路恰好经过每条边一次。

五、计算题1. 给定一个图G=(V, E)，其中V={A, B, C, D, E}，E={(A, B), (B, C), (C, D), (D, E), (E, A), (A, C)}，请判断该图是否为连通图，并说明理由。

《图论及其应用》作业习题

图论作业 1⼀、填空题1. ⾮同构的阶和阶树的个数分别为和⽅法：按照树中存在的最⻓路进⾏枚举 (从开始)注意：对于的树来说，路的最短⻓度为234 阶树2345 阶树2. 阶正则图的补图的边数为考点⼀：完全图每个点的度数是✨考点⼆：⼀个图和其补图的并是完全图⼀个点在原图和补图中的度数和为图是正则，那么图的补图为正则。

故补图的度数之和为根据握⼿定理：3. 设图中各顶点度数均为，且，则 n = ，m =考点：握⼿定理根据握⼿定理：4. 设简单图的邻接矩阵为，且则图的边数为考点：邻接矩阵的性质定理 10：令是⼀个有推⼴邻接矩阵的阶标定图，则的⾏列元素等于由到的⻓度为的途径的数⽬推论：设为简单图的邻接矩阵，则：的元素是的度数。

的元素是含的三⻆形的数⽬的两倍（考过填空）5. 设是⼀个完全部图，是第部分的顶点数，则它的边数为考点：完全多部图的概念与结构完全部图的点数：；边数：（考过填空）6. 设是阶简单图，且不含完全⼦图，则其边数⼀定不会超过考点：Turán 定理定理 18 (T urán)：若是阶简单图，并且不包含，则边数。

此外，仅当时，✨计算公式：，则例：阶简单图，，则最多有条边例： 9 阶简单图，，则最多有 27 条边7. 设阶图是具有个分⽀的森林，则其边数为树的边数 = 顶点数 - 1森林的边数 = 顶点数 - 连通分⽀数8. ⼀棵树有个度为的结点，，则它有个度数为的顶点考点：握⼿定理 + 树的性质（边数 = 顶点数 - 1），其中由握⼿定理：故：整理得：9. 完全图的⽣成树的个数为定理 27：⼆、不定项选择题1. 关于图的度序列，下列命题正确的是（ABCD）A. 同构的两个图的度序列相同B. ⾮负整数序列是图的度序列当且仅当是偶数C. 如果正整数序列是⼀棵树的度序列且，那么序列中⾄少有两个D. 正整数序列是⾮平凡树的度序列当且仅当E. 若图的顶点度数之和⼤于等于图的顶点度数之和，则图度优于图❌F. 如果⾮负整数序列是简单图的度序列，那么在同构意义下只能确定⼀个图❌考点：度序列 && 图序列关系：简单图的度序列简称图序列注意：判断⾮负整数序列是否为简单图的度序列暂⽆好的⽅法，只有等价转换的⽅法A 显然正确（已经默认递增或递减排列）B 正确：定理 3：⾮负整数组是图的度序列的充分必要条件是：为偶数C 正确：定理 20：每棵⾮平凡树⾄少有两⽚树叶D 正确：存在⼀棵⾮平凡树，以该序列为度序列的充要条件握⼿定理E 错误：先有度弱或度优，才有度数之和⼩于或⼤于；反过来不成⽴F 错误：不⽌确定⼀个图2. 对于序列，下列说法正确的是（BD）A. 可能是简单图的度序列❌B. ⼀定不是简单图的度序列C. 只能是简单图的度序列❌D. 只能是⾮简单图的度序列E. 不是任意图的度序列❌考点：度序列 && 图序列对于简单图，顶点的最⼤度顶点数 - 1A 错B 对C 错：对于该题，⻓度为 6，说明有 6 个点，同时最⼤度为 7，显然不是简单图！！D 对E 错：定理 3：⾮负整数组是图的度序列的充分必要条件是：为偶数3. 下列说法错误的是（ACE）A. 若⼀个图中存在闭途径，则⼀定存在圈❌B. 偶图中不存在奇圈C. 若图不含三⻆形，则为偶图❌D. 图的顶点之间的连通关系⼀定是等价关系E. 存在每个顶点的度数互不相同的⾮平凡简单图❌A 错误：闭途径（），但不存在圈B 正确：定理 9：⼀个图是偶图当且仅当它不包含奇圈C 错误：可能存在⻓度不为 3 的奇圈，如 5，7 等等D 正确：即便在有向图中，也存在弱连通E 错误：定理 5：⼀个简单图的个点的度不能互不相同4. 关于简单图的邻接矩阵，下列说法错误的是（C）A. 矩阵的⾏和等于该⾏对应顶点的度数B. 矩阵的所有元素之和等于该图边数的倍C. 矩阵的所有特征值之和等于该图边数的倍❌D. 矩阵的所有特征值的平⽅和等于该图边数的倍E. 矩阵的主对⻆线的元素之和等于该图边数的倍F. 若是⾮连通图，则相似于某个准对⻆矩阵考点：简单图邻接矩阵的性质A 正确：矩阵的「⾏和」或「列和」等于该「⾏」或「列」对应顶点的度数B 正确：所有元素之和等于度数之和，根据握⼿定理判断正确C 错误：矩阵的所有特征值之和等于矩阵的迹；矩阵的迹⼜是矩阵主对⻆线上的元素之和；对于简单图，邻接矩阵主对⻆线元素均为D 正确：所有特征值的平⽅和等于的所有特征值之和；的迹就是主对⻆线之和，也就是图的所有度数之和，就等于边数的两倍E 显然正确F 正确：⽆法解释，因为不懂5. 图⼀定是树的是（BDE）A. 连通图❌B. ⽆回路但任意添加⼀条边后有回路的图C. 每对顶点间都有路的图❌D. 连通且E. ⽆圈且考点：树的基本性质A 错误：树是连通的⽆圈图B 正确：回路是边不重圈的并；⽆回路肯定⽆圈，加⼀条边有回路，肯定就有圈C 错误：每对顶点间存在唯⼀的⼀条路DE 显然正确三、解答题1. 设⽆向图有条边，度与度顶点各个，其余顶点度数均⼩于，问中⾄少有⼏个顶点？在顶点数最少的情况下，写出的度序列，该度序列是⼀个图序列吗？考点：握⼿定理 + 图序列解：由于求顶点数量最少，故假设 0 度顶点为 0 个，1 度顶点为 0 个，同时设 2 度顶点有个根据握⼿定理得：；解得：所以中⾄少有 7 个顶点；图的度序列为根据 Havel-Hakimi 定理，可得下⾯推导过程：显然是可图的，所以是可图的2. 证明整数序列是简单图的度序列，并构造⼀个对应的简单图。

数学竞赛图论试题及答案

数学竞赛图论试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 在一个无向图中，如果有5个顶点，每个顶点至少与另外两个顶点相连，那么这个图至少有多少条边？A. 5B. 6C. 7D. 82. 一个图是二分图当且仅当它没有奇环。

这个说法是正确的吗？A. 是B. 否3. 给定一个有n个顶点的完全图，求出该图的边数。

A. n(n-1)/2B. n(n+1)/2C. n^2D. 2n4. 在一个图中，如果存在一条从顶点u到顶点v的简单路径，则称u 可达v。

如果图中任意两个顶点都是相互可达的，那么这个图是：A. 连通图B. 强连通图C. 有向无环图D. 欧拉图二、填空题（每空5分，共30分）5. 一个图的度序列是指图中所有顶点的度按照______排列的序列。

6. 如果一个图的边数等于顶点数的两倍，那么这个图一定是______。

7. 在图论中，一个图的最小生成树是指连接所有顶点的______的树。

8. 一个图的着色数是指对图中的顶点进行着色，使得任何两个相邻的顶点颜色都不同，使用的最小颜色数。

三、简答题（每题25分，共50分）9. 描述什么是图的平面性，并给出判断一个图是否为平面图的方法。

10. 解释什么是图的哈密顿回路，并给出一个例子。

答案一、选择题1. C（根据边数的最小值公式，边数至少为顶点数减一的两倍）2. B（二分图没有奇环，但不是所有没有奇环的图都是二分图）3. A（完全图的边数公式）4. A（连通图的定义）二、填空题5. 非增6. 完全二部图7. 边数最少8. 最小三、简答题9. 图的平面性指的是图可以画在平面上，使得图中的边除了端点外不相交。

判断一个图是否为平面图的方法有库拉托夫斯基定理，即如果一个图包含一个子图同构于K5（完全五顶点图）或K3,3（完全二部图），则该图是非平面的。

10. 哈密顿回路是一条通过图中每个顶点恰好一次的闭合回路。

例如，一个正方形的四个顶点可以形成一个哈密顿回路，因为可以按照顺时针或逆时针方向依次访问每个顶点一次。

图论作业3

图论作业3图论作业3一、填空题1. 完全图K2n共有个不同的完美匹配。

2. 图K60,62的最小覆盖包含的点数为。

3. 完全图K60能分解为个边不重的一因子之并。

4. 完全图K2n+1能分解为个边不重的二因子之并。

5. 图G是由3个连通分支K1, K2, K4组成的平面图，则其共有个面。

6. 设图G与K5同胚，则至少从G中删掉条边才可能使其成为可平面图。

7. 设连通平面图G具有5个顶点，9条边，则其面数为。

8. 若图G是10阶极大平面图，则其面数等于。

9. 若图G是10阶极大外平面图，其内部面共有个。

二、不定项选择题1. 关于非平凡树T，下面说法错误的是( )(A) T至少包含一个完美匹配；(B) T的荫度大于1；(C) T是只有一个面的平面图；(D) T的对偶图是简单图。

2. 下列说法正确的是( )(A) 三正则的偶图存在完美匹配；(B) 无割边的三正则图一定存在完美匹配；(C) 有完美匹配的三正则图一定没有割边；(D) 三正则哈密尔顿图存在完美匹配。

3. 下列说法错误的是( )(A) 在偶图中，最大匹配包含的边数等于最小覆盖包含的点数；(B) 任一非平凡正则偶图可以1-因子分解；(C) 奇数阶的哈密尔顿图可能是偶图；(D) 非平凡偶图的最大匹配是唯一的。

4. 下列说法中正确的是( )(A) 完全图K101包含1-因子；(B) 完全图K102包含2-因子；(C) 图G的一个完美匹配实际上就是它的一个1因子；(D) 图G的一个2-因子实际上就是它的一个哈密尔顿圈。

5. 下列说法正确的是( )(A) n方体可以1-因子分解；(B) 非平凡树可以1-因子分解；(C) 无割边的3正则图可以1-因子分解；(D) 有割边的3正则图一定不可以1-因子分解；(E) 可1-因子分解的3正则图一定是哈密尔顿图。

6. 下列说法正确的是( )(A) 完全图K2n是2n-1个完美匹配的并；(B) 完全图K2n是n个哈密尔顿圈的并；(C) 完全图K2n是1个完美匹配与n-1个哈密尔顿圈的并；(D) 若图G是2k正则连通图，则G可以分解为k个二因子的并；(E) 具有m条边的n阶无环图可以分解为m个生成森林的并。