磁场中的多解问题
带电粒子在磁场中运动的多解问题
带电粒子在磁场中运动的多解问题带电粒子在只受洛仑兹作用下的圆周运动考查的重点都集中在粒子在有边界的磁场中做不完整的圆周运动的情况，由于题设中隐含条件的存在，就会出现多解问题,下面通过实例对此类问题进行分析。
一、粒子的带电性质不明的情况【例1】如图1所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。
现有质量为m，电荷量大小为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，求粒子在磁场中运动的时间.二、磁场方向的不确定带电粒子在磁场方向不同的磁场中，所受洛伦兹力的方向是不同的，在磁场中运动的轨迹就不同，若题目中只告诉磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向,此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的双解。
【例2】（2007年全国卷Ⅱ）如图2所示,一带负电的质点在固定的正的点电荷作用下绕该正电荷做匀速圆周运动，周期为T0，轨道平面位于纸面内，质点速度方向如图2中箭头所示，现加一垂直于轨道平面的匀强磁场，已知轨道半径并不因此而改变，则（）A．若磁场方向指向纸里，质点运动的周期将大于T0B．若磁场方向指向纸里,质点运动的周期将小于T0C．若磁场方向指向纸外，质点运动的周期将大于T0D．若磁场方向指向纸外,质点运动的周期将小于T0三、临界条件不唯一的情况【例3】如图3所示，M、N是两块水平放置的平行金属板，板长为L，板间距离为d，两板间存在磁感应强度为B，方向垂直于纸面向里的匀强磁场。
有一质量为m，电荷量为q 的带正电粒子从磁场左侧靠近N板处水平射入，欲使粒子不能打到金属板上,则粒子的入射速度v应满足什么条件？四、运动的反复性带电粒子在复合场中运动时，或与挡板等边界发生碰撞，将不断地反复在磁场中运动，也会形成一些多解问题。
【例4】如图4所示，半径为r的圆筒中有沿圆筒轴线方向、大小为B的匀强磁场，质量为m、带电荷量为+q的粒子以速度v从筒壁小孔A处沿半径方向垂直磁场射入筒中，若它在筒中仅受洛伦兹力作用，且与筒的碰撞无能量损失，并保持原有电荷量，粒子在筒中与壁相撞并绕壁一周仍从A孔射出，则B的大小必须满足什么条件?五、粒子运动的周期性引起的多解问题【例5】如图5所示,垂直纸面向里的匀强磁场以MN为边界,左侧磁感应强度为B1，右侧磁感应强度为B2，B1=2B2=2T，荷质比为2×106C/kg的带正电粒子从O点以v0=4×104m/s 的速度垂直MN进入右侧的磁场区域,求粒子通过距离O点4cm的磁场边界上的P点所需的时间。
带电粒子在磁场中运动多解问题归类分析
带电粒子在磁场中运动多解问题归类分析作者：刘德华来源：《中学教学参考·理科版》2014年第05期新课程改革要求着力培养学生的创新能力，近年高考中经常出现多解问题。
要解答好多解问题，要求学生具有相应的发散性思维能力。
带电粒子在磁场中运动类问题是高考中常出现的问题，分析研究带电粒子在磁场中运动的多解问题，提高考生对这类题的解题能力，提高考生的高考得分能力，对广大高三师生而言，具有重要的意义。
造成带电粒子在磁场中运动时多解的原因主要有以下几种：1.带电粒子所带电荷电性不确定造成多解；2.带电粒子运动方向不确定造成多解；3.带电粒子速度大小不确定造成多解；4.磁场方向不确定造成多解；5.临界状态不确定造成多解；6.粒子运动的周期性造成多解。
下面结合例题进行分类分析。
一、带电粒子带电性的不确定造成多解图1电荷有正有负，有不少试题，没有明确题中所说的带电粒子是带正电荷，还是带负电荷，这时解题者应当分别讨论粒子带正电荷和带负电荷两种情况，从而保证试题解答的完整性。
分析：由于运动电荷在磁场中所受洛伦兹力的方向与其带电性质有关，所以带电小球第一次经过最低点时，所受洛伦兹力的方向就有可能不同，在分析时通过画出第一次经过最低点时的受力示意图，让学生深刻理解多解的情况，拓宽学生思维的广度和深度。
二、速度方向的不确定造成多解速度具有方向性，有不少试题，没有明确题中所说的研究对象的运动方向，这时解题者应当考虑带电粒子速度方向的不确定所造成的洛伦兹力方向的多样性，以防漏解。
变式：上题中，若小球带正电，则小球通过最低点时，悬线对小球的拉力多大？分析：由于运动电荷在磁场中所受洛伦兹力方向与其运动方向有关，所以小球经过最低点时，所受洛伦兹力的方向就有两种，通过发散性思维，在分析时画出从A点摆到C点时以及从B点回到C点时小球的受力情况（如图2甲、乙所示），从而得出小球在最低点时，拉力的两种情况。
三、速度大小的不确定造成多解运动电荷在磁场中所受洛伦兹力的大小与其速度大小有关，有不少试题，没有明确题中所说的带电粒子在磁场中初速度的大小，这时解题者应当考虑初速度大小的不确定性造成的初始时刻洛伦兹力的大小存在多种情况。
带电粒子在强磁场中运动的多解和临界问题
带电粒子在强磁场中运动的多解和临界问
题
引言
带电粒子在强磁场中的运动问题一直是物理学中的重要研究方
向之一。
在强磁场中，带电粒子在受到洛伦兹力的作用下呈现出多
解和临界现象，这在某些情况下对粒子的运动轨迹和性质产生重要
影响。
多解现象
在强磁场中，由于洛伦兹力的作用，带电粒子的运动方程出现
多解的情况。
这是由于洛伦兹力与粒子运动速度与磁场方向夹角的
正弦函数关系所导致的。
当速度与磁场方向夹角为不同值时，洛伦
兹力的大小和方向也会有所变化，从而使得粒子的运动轨迹不唯一。
临界现象
在某些情况下，带电粒子在强磁场中的运动可能会出现临界现象。
临界现象是指当带电粒子的运动速度与磁场强度达到一定比例
关系时，粒子的运动状态出现急剧变化，其轨迹和动力学性质发生
显著变化。
临界现象在物理学中具有重要的理论和实际意义，在磁共振成像、粒子加速器等领域的研究中得到了广泛应用。
结论
带电粒子在强磁场中运动的多解和临界问题是一个复杂而有趣的研究领域。
多解现象使得粒子的运动轨迹不唯一，而临界现象则带来了粒子运动状态的突变。
对这些问题的深入研究和理解将有助于推动物理学和应用科学的发展，为实际应用提供更多的可能性。
带电粒子在磁场运动的多解问题
答案
若粒子带正电，则运动时间为
2m(π－θ) 2mθ ，若粒子带负电，则运动时间为 qB qB
2．磁场方向不确定形成多解 例2.某电子以固定的正点电荷为圆心在匀强磁场中沿逆时 针方向做匀速圆周运动，磁场方向垂直于它的运动平面， 电子所受正点电荷的电场力是洛伦兹力的3倍．若电子电荷 量为e、质量为m，磁感应强度为B，不计重力，则电子运 动的角速度可能是(AC )
• 2．磁场方向不确定形成多解 • 例2.某电子以固定的正点电荷为圆心在 匀强磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运 动，磁场方向垂直于它的运动平面，电 子所受正点电荷的电场力是洛伦兹力的 3倍．若电子电荷量为e、质量为m，磁 感应强度为B，不计重力，则电子运动 的角速度可能是( ) 4Be 3Be 2Be Be A. m B. m C. m D. m
答案
若粒子带正电，则运动时间为
2m(π－θ) 2mθ ，若粒子带负电，则运动时间为 qB qB
2．磁场方向不确定形成多解 例2.某电子以固定的正点电荷为圆心在匀强磁场中沿逆时 针方向做匀速圆周运动，磁场方向垂直于它的运动平面， 电子所受正点电荷的电场力是洛伦兹力的3倍．若电子电荷 量为e、质量为m，磁感应强度为B，不计重力，则电子运 动的角速度可能是( )
FT1＝3mg－2mgcos α－qB 2gL1－cos α. FT2＝3mg－2mgcos α＋qB 2gL1－cos α.
例1.如图所示，一带正电的质子以速度v0从O点垂直射入， 两个板间存在垂直纸面向里的匀强磁场．已知两板之间距 离为d，板长为d，O点是板的正中间，为使质子能从两板间 射出，试求磁感应强度应满足的条件(已知质子的带电荷量 为e，质量为m)．
例1.如图所示，一带正电的质子以速度v0从O 点垂直射入，两个板间存在垂直纸面向里的匀 强磁场．已知两板之间距离为d，板长为d，O 点是板的正中间，为使质子能从两板间射出， 试求磁感应强度应满足的条件(已知质子的带 电荷量为e，质量为m)．
透析带电粒子在匀强电场中的多解问题及成因
浅谈带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题及成因太和中学物理组 潘正海摘要：带电粒子在匀强磁场中的运动是高中物理电磁学的重点内容之一，它所涉及的内容较多，难度较大，特别是多解问题，尤其复杂，对学生来说是个难点，本文就阐述了带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题及成因，并就例题分析提出了自己的一点感想，以便更好的掌握和解决该问题提供一个参考。
关键词：带电粒子，多解性，周期性，临界状态。
引言：在匀强磁场，带电粒子受到洛伦兹力作用而做匀速圆周运动，由于带电粒子电性的不确定、电荷量多少的不确定、磁场方向的不确定、临界状态的不唯一、以及运动的周期性都会导致多解、下面通过例题加以分析。
一、带电粒子电性不确定形成的多解众所周知，自然界中的带电粒子只有两种，一种带正电，另一种带负电，由于很多题目没有告诉带电粒子的电性，那么在解题时就要考虑带电粒子的正负不同情况，从而带来了问题的多解性。
【例1】如图1所示，第一象限范围内有垂直于xoy 平面的匀强磁场，磁感应强度为B ，质量为m ，电荷量为q 的带电粒子在xoy 平面里经原点O 射入磁场中，初速度为v 0与x 轴夹角为θ=60º，试分析计算：（1）带电粒子从何处离开磁场？穿越磁场时运动方向发生的偏转角多大？ （2）带电粒子在磁场中运动时间多长？× × × × × × × × × × × × × × × ×yx图1图2θ1Oy xO 1AO 2BR Rθ2θ1 v 0解析 若带电粒子带负电，进入磁场后做顺时针方向的匀速圆周运动，圆心为O 1，粒子向x 轴偏转，并从A 点离开磁场。
若带电粒子带正电，进入磁场后做逆时针方向的匀速圆周运动，圆心为O 2，粒子向y 轴偏转，并从B 点离开电场。
不论粒子带何种电荷，其运动轨道半径均为qBmv R 0=。
带电粒子在磁场中的多解问题
应旳圆心角为 或 3
B
22
设圆弧旳半径为R，则有2R2=x2，可得：
R L 2n
v2 qvB m
R
v qBL 2m n
n=1、2、3、……（
n取奇数
⑶当n取奇数时，微粒从P到Q过程中圆心角旳总和为
1
n
2
n 3
2
2n
t1
2n
m qB
2 m
qB
n
其中n=1、3、5、……
当n取偶数时，微粒从P到Q过程中圆心角旳总和为
mv0 a 2mv0 L＜b。试求磁场旳左边界距坐标原点 旳e可B能距离．（eB成果可用反三角函数表达）
解： 设电子在磁场中作圆周运动旳轨道半径为r, 则
解得
eBv0 r
m mv 0
v02 r
①
②
eB
y P v0
x
0
Q
⑴当r>L时，磁场区域及电子运动轨迹如图1所示，
由几何关系有 sin L eBL③
v0
c
（2）当v0最大时：
R1
R1
cos 60
L 2
得R1 = L
则
vmax
qBR1 m
qBL m
当v0最小时： R2 R2 sin 30
L 2
得R2 = L/3
则
vmin
qBR2 m
qBL 3m
a
600
O
qBL
qBL
b B
3m v0 m
300
d
v0
c
带电粒子从ab边射出磁场，当速度为 vmax 时，
运动时间最短,
150 5m
t min
T 360
洛伦兹力作用下的多解问题
洛伦兹力作用下的多解问题
创新微课
【典例2】 如图所示，在坐标系xOy中，第一象限内充满着两个匀强磁
场a和b，OP为分界线，在磁场a中，磁感应强度为2B，方向垂直于纸
面向里，在磁场b中，磁感应强度为B，方向垂直于纸面向外，P点坐标
为(4l,3l).一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从P点沿y轴负方向射入
磁场b，经过一段时间后，粒子恰能经过原点O，不计粒子重力.求：
(1)粒子从P点运动到O点的最短时间是多少？
(2)粒子运动的速度可能是多少？
洛伦兹力作用下的多解问题
创新微课
设粒子的入射速度为v，用Ra、Rb、Ta、Tb分别表示粒子在磁场a中和磁
场b中运动的轨道半径和周期，则有 Ra＝2mqvB，Rb＝mqBv，Ta＝22πqmB＝πqmB， Tb＝2qπBm 当粒子先在磁场b中运动，后进入磁场a中运动，然后从O点
创新微课 现在开始
洛伦兹力作用下的多解问题
洛伦兹力作用下的多解问题
创新微课
带电粒子在磁场中运动的多解问题
1.带电粒子电性不确定形成多解：受洛伦兹力作用的带电粒子，由于
电性不同，当速度相同时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成
多解.
如图甲所示，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹 为a，如带负电，其轨迹为b.
的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是
√A.若该带电粒子在磁场中经历的时间是
5 3
t0，则它一定从cd边射出磁场
B.若该带电粒子在磁场中经历的时间是
2 3
t0，则它一定从ad边射出磁场
√C.若该带电粒子在磁场中经历的时间是 5 t0，则它一定从bc边射出磁场 4
D.若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从ab边射出磁场
带电粒子在匀强磁场中的运动-临界、极值及多解问题
•
例题
有些题目只告诉了磁感应的大小，而未具体 指出磁感应强度的方向，此时必须要考虑磁
感应强度方向不确定而形成多解
电场力方向一定指向圆心，而洛伦兹力方向可能指向圆心，也可能背离圆心， 从而形成两种情况.
• 2.方法界定将一半径为 的圆绕着入射点旋转， 从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转法”.
•
旋转法”模型示例
带电粒子在磁场中运动的多解问题
• 带电粒子电性不确定形成多解 • 受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可
能带负电荷，在相同的初速度的条件下，正、负粒 子在磁场中运动轨迹不同，导致形成多解.
•
“放缩圆”模型示例
“旋转法”解决有界磁场中的临界问题
• 1.适用条件（1）速度大小一定，方向不同带电粒子 进入匀强磁场时，他们在磁场中做匀速圆周运动的 半径相同，若射入初速度为v0，则圆周半径为 . 如图所示.（2）轨迹圆圆心——共圆带电粒子在磁 场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、 半径 的圆上.
临界状态不唯一形成多解
• 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场 时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此， 他可能直接穿过去了，也可能转过180°从 入射界面反向飞出，于是形成了多解.如图 所示.
•
Байду номын сангаас
带电粒子在匀强磁场中的运动临界、极值及多解问题
• 1.有界磁场中临界问题的处 理方法
• 2.带电粒子在磁场中运动的 多解问题
1.有界磁场中临界问题的处理方法
• “放缩法”解决有界磁场中的临界问题 • 1.适用条件 • （1）速度方向一定，大小不同粒子源发射速度方向一定、大小
18、电场和磁场：磁场中的临界和多解问题(解析版)
18、电场和磁场：磁场中的临界和多解问题1、放缩圆在垂直于纸面的无限大的磁感应强度为B 的匀强磁场中，在O 点有一粒子源在纸面内，沿同一方向发射速度为v ，质量为m ，电荷量为＋q 的带电粒子(重力不计)，这些带电粒子在匀强磁场中做同方向旋转匀速圆周运动．其特点是：(1)各动态圆的圆心(取七个圆)分布在与速度方向垂直的同一条直线上，如图所示． (2)各动态圆的半径R 各不相同． (3)各动态圆相交于O 点． 2、旋转圆.在垂直于纸面的无限大的磁感应强度为B 的匀强磁场中，在O 点有一粒子源在纸面内，朝各个方向发射速度大小为v ，质量为m ，电荷量为＋q 的带电粒子(重力不计)，这些带电粒子在匀强磁场中做同方向旋转匀速圆周运动．其特点是：(1)各动态圆圆心O 1、O 2、O 3 、O 4 、O 5(取五个圆)的轨迹分布在以粒子源O 为圆心，R ＝mvqB为半径的一个圆周上(如图虚线所示)．(2)带电粒子在磁场中能经过的区域是以粒子源O 为圆心，2R 为半径的大圆(如图实线所示)． (3)各动态圆相交于O 点． 3、解决临界极值问题方法技巧(1)数学方法和物理方法的结合：如利用“矢量图”“边界条件”等求临界值，利用“三角函数”“不等式的性质”“二次方程的判别式”等求极值。
(2)一个“解题流程”，突破临界问题(3)从关键词找突破口：许多临界问题，题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”等词语对临界状态给以暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件。
1、放缩圆法例1.如图所示，直角坐标系中y 轴右侧存在一垂直纸面向里、宽为a 的有界匀强磁场，磁感应强度为B ，右边界PQ 平行于y 轴，一粒子(重力不计)从原点O 以与x 轴正方向成θ角的速率v 垂直射入磁场，当斜向上射入时，粒子恰好垂直PQ 射出磁场，当斜向下射入时，粒子恰好不从右边界射出，则粒子的比荷及粒子恰好不从右边界射出时在磁场中运动的时间分别为( )A.v Ba 2πa 3v B ．v 2Ba 2πa 3v C.v 2Ba 4πa 3vD ．v Ba 4πa 3v【解析】：选C.粒子在磁场中运动轨迹如图所示，则由图知斜向上射入时有r sin θ＝a ，斜向下射入时有r sin θ＋a ＝r ，联立求得θ＝30°，且r ＝2a ，由洛伦兹力提供向心力得Bqv ＝m v 2r ，解得r ＝mvBq ，即粒子的比荷为q m ＝v2Ba，所以粒子恰好不从右边界射出时在磁场中运动的圆心角为α＝2×(90°－30°)＝120°，运动时间为t ＝T 3＝4πa3v，选项C 正确．【答案】C例2．(2020·湖北武汉市高三调考)如图所示，等腰直角三角形abc 区域存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B .三个相同的带电粒子从b 点沿bc 方向分别以速度v 1、v 2、v 3射入磁场，在磁场中运动的时间分别为t 1、t 2、t 3，且t 1∶t 2∶t 3＝3∶3∶1.直角边bc 的长度为L ，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是 ( )A ．三个速度的大小关系一定是v 1＝v 2＜v 3B ．三个速度的大小关系可能是v 2＜v 1＜v 3C ．粒子的比荷q m ＝πBt 1 D ．粒子的比荷q m ＝v 3BL【解析】由于t 1∶t 2∶t 3＝3∶3∶1，作出粒子运动轨迹图如图所示，它们对应的圆心角分别为90°、90°、30°，由几何关系可知轨道半径大小分别为R 2<R 3，R 1<R 3＝2L ，由于v 1、v 2大小关系未知，R 1、R 2大小无法确定，由qvB ＝m v 2R 得v ＝qBRm，可知三个速度的大小关系可能是v 2＜v 1＜v 3，故A 错误，B 正确；粒子运动周期T ＝2πR v ＝2πm qB ，则t 1＝14T ＝πm2qB，解得q m ＝π2Bt 1，故C 错误；由qv 3B ＝m v 32R 3及R 3＝2L ，解得粒子的比荷q m ＝v 32BL，故D 错误．【答案】B例3、(2020·全国卷Ⅰ)一匀强磁场的磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab 为半圆，ac 、bd 与直径ab 共线，ac 间的距离等于半圆的半径。
带电粒子在有界磁场中运动的临界问题极值问题和多解问题
R1sin30°＋2l ＝R1
解得 R1＝l，由公式 qvB＝mv2/R，得该轨道上粒子 速度为 v01＝qmBl.
④对于从 ab 射出的、速度最小的粒子，其轨道应与 ab 相切，设切点为 N，圆心为 O2，半径为 R2，则 R2＋ R2cos60°＝12l，解得 R2＝13l，由 qvB＝mv2/R 可得 v02＝q3Bml.
由几何关系知
OA＝ AS2－OS2 AS＝2r′ OS＝r′ OC＝r′ 解得 OA＝ 3L，OC＝L 故被电子打中的区域长度为
AC＝OA＋OC＝(1＋ 3)L.
【答案】
BeL (1) 2m
(2)(1＋ 3)L
题后反思 (1)审题应首先抓住“速率相等”⇒即轨迹圆半径相 等，其次“各个方向发射”⇒轨迹不同．然后作出一系 列轨迹圆． (2)注意粒子在磁场中总沿顺时针方向做圆周运动， 所以粒子打在左边和右边最远点的情形不同．
(1)轨迹圆的缩放：当粒子的入射方向不变而速度大 小可变时，粒子做圆周运动的轨迹圆心一定在入射点所 受洛伦兹力所表示的射线上，但位置(半径 R)不确定，用 圆规作出一系列大小不同的轨迹圆，从圆的动态变化中 即可发现“临界点”．
(2)轨迹圆的旋转：当粒子的入射速度大小确定而方 向不确定时，所有不同方向入射的粒子的轨迹圆是一样 大的，只是位置绕入射点发生了旋转，从定圆的动态旋 转(作图)中，也容易发现“临界点”．
量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态（轨迹与边界相切）
例 1 如图所示，S 为一个电子源，它可以在纸面内 360°范围内发射速率相同的质量为 m、电量为 e 的电子， MN 是一块足够大的挡板，与 S 的距离 OS＝L，挡板在 靠近电子源一侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强 度为 B，问：
带电粒子在有界匀强磁场中的运动-高考物理复习
√A.3
B.2
C.32
D.23
电子1、2在磁场中都做匀速圆周运动，根据题意 画出两电子的运动轨迹，如图所示，电子1垂直边 界射入磁场，从b点离开，则运动了半个圆周，ab 即为直径，c点为圆心； 电子2以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中 点c离开磁场， 根据半径 r＝mBqv可知，电子 1 和 2 的半径相等， 根据几何关系可知，△aOc为等边三角形，
粒子运动轨迹与 y 轴交点的纵坐标为 y＝－2rcos 30° ＝－233d，故 D 错误.
考向4 带电粒子在多边形边界或角形区域磁场中运动
例4 (多选)(2023·河北石家庄市模拟)如图所示，△AOC为直角三角形，∠O
＝90°，∠A＝60°，AO＝L，D为AC的中点.△AOC中存在垂直于纸面向里的匀
√C.若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量 大小为5q2BL
√D.带电粒子在磁场中运动时间可能为3πqmB
若粒子带正电，粒子与挡板MN碰撞后恰好从 Q点射出，粒子运动轨迹如图甲所示， 设轨迹半径为 r2，由几何知识得 L2＋(r2－0.5L)2 ＝r22，解得 r2＝54L，根据牛顿第二定律得 qv2B＝mvr222，解得 v2＝54qmBL， 根据动量定理得 I＝2mv2＝5q2BL，故 A 错误，C 正确； 若粒子带负电，则粒子的运动轨迹如图乙所示， 粒子做圆周运动的半径为 r1＝12L，由牛顿第二定律得 qv1B＝mvr112，解得 v1＝q2BmL，此时半径最小，速度也最小，故 B 错误；
2.平行边界(往往存在临界条件，如图所示)
3.圆形边界(进出磁场具有对称性) (1)沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示. (2)不沿径向射入时，如图乙所示. 射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的 夹角也为θ.
超全带电粒子在有界磁场中运动的临界问题极值问题和多解问题
二．带电粒子在平行直线边界磁场中的运动
QP
P
QPQ
B
S 圆心在磁场
原边界上
S
圆心在过入射点跟 边界垂直的直线上
S
圆心在过入射点跟跟速 度方向垂直的直线上
①速度较小时，作半圆 运动后从原边界飞出； ②速度增加为某临界值 时，粒子作部分圆周运 动其轨迹与另一边界相 切；③速度较大时粒子 作部分圆周运动后从另 一边界飞出
பைடு நூலகம்
后从原边界飞出；②速度在某一范
围内从上侧面边界飞；③速度较大
时粒子做部分圆周运动从右侧面边
界飞出；④速度更大时粒子做部分
圆周运动从下侧面边界飞出。
量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态（轨迹与边界相切）
(1)若使电子源发射的电子能到达挡 板，则发射速度最小为多大？
(2)如果电子源S发射电子的速度为 第(1)问中的2倍，则挡扳上被电子击中 的区域范围有多大？
(2)要使正离子从O′孔垂直于N 板射出磁场，正离子射入磁场时的速 度v0的可能值．
量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态
三．带电粒子在矩形边界磁场中的运动
B
o
圆心在磁场原边界上
①速度较小时粒子作半圆 运动后从原边界飞出；② 速度在某一范围内时从侧 面边界飞出；③速度较大 时粒子作部分圆周运动从 对面边界飞出。
圆心在
过入射
点跟速
d
c 度方向
垂直的
直线上 B
θ
a
b
①速度较小时粒子做部分圆周运动
①速度较小时，作圆 周运动通过射入点； ②速度增加为某临界 值时，粒子作圆周运 动其轨迹与另一边界 相切；③速度较大时 粒子作部分圆周运动 后从另一边界飞出
带电粒子在磁场中的运动(单边界、双边界、三角形、四边形、圆边界、临界问题、多解问题)(解析版)
带电粒子在磁场中的运动（单边界、双边界、三角形、四边形、圆边界、临界问题、多解问题）建议用时：60分钟带电粒子在磁场中的运动A．M带正电，N带负电B．M的速率小于N的速率A．1kBL，0°B3【答案】B【详解】若离子通过下部分磁场直接到达根据几何关系则有：R由：2v qvB mR=可得：qBLv kBLm==根据对称性可知出射速度与当离子在两个磁场均运动一次时，如图乙所示，因为两个磁场的磁感应强度大小均为根据洛伦兹力提供向心力，有：可得：122qBLv kBLm==此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为：通过以上分析可知当离子从下部分磁场射出时，需满足：此时出射方向与入射方向的夹角为：A．从ab边射出的粒子的运动时间均相同B．从bc边射出的粒子在磁场中的运动时间最长为C．粒子有可能从c点离开磁场D．若要使粒子离开长方形区域，速率至少为可见从ab射出的粒子做匀速圆周运动的半径不同，对应的圆心角不相同，所以时间也不同，故B．从bc边射出的粒子，其最大圆心角即与A ．粒子的速度大小为2qBdmB ．从O 点射出的粒子在磁场中的运动时间为C ．从x 轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为D ．沿平行x 轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到得：R d=由洛仑兹力提供向心力可得：Bqv m=得：qBd v m=A 错误；A ．如果0v v >，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长B ．如果0v v >，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短C ．如果0v v <，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长D ．如果0v v <，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短【答案】B该轨迹恰好与y 轴相切，若上移，可知，对应轨迹圆心角可知，粒子在磁场中运动的时间越短，故CD ．若0v v <，结合上述可知，飞出的速度方向与x 轴正方向夹角仍然等于A ．粒子能通过cd 边的最短时间B ．若粒子恰好从c 点射出磁场，粒子速度C ．若粒子恰好从d 点射出磁场，粒子速度7．（2024·广西钦州·模拟预测）如图所示，有界匀强磁场的宽度为粒子以速度0v垂直边界射入磁场，离开磁场时的速度偏角为（ ）A．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨道半径为B．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的角速度为C．带电粒子在匀强磁场中运动的时间为D．匀强磁场的磁感应强度大小为【答案】B【详解】A．由几何关系可知，带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨道半径为：A．该匀强磁场的磁感应强度B．带电粒子在磁场中运动的速率C．带电粒子在磁场中运动的轨道半径D．带电粒子在磁场中运动的时间C．根据几何关系可得：cos30aR = o所以：233R a =故C正确；AB．在磁场中由洛伦兹力提供向心力，即：A．从c点射出的粒子速度偏转角度最大C．粒子在磁场运动的最大位移为10．（2024·四川乐山·三模）如图所示，在一个半径为面向里的匀强磁场，O 为区域磁场圆心。
磁场实验中的常见问题及解决方法
磁场实验中的常见问题及解决方法磁场实验是物理学中重要的实验之一，通过研究磁场现象，可以更深入地了解磁性及其相关理论。
然而，在进行磁场实验时，常常会遇到一些问题，影响实验结果的准确性和可靠性。
本文将介绍一些常见的磁场实验问题，并提供相应的解决方法。
问题一：磁场实验装置的不稳定性在进行磁场实验时，实验装置的不稳定性是一个常见的问题。
装置稳定性差会导致实验结果产生误差，在理论探索和实验验证中都是不可接受的。
为了解决这个问题，可以采取以下措施：1. 确保装置平稳：将实验装置放置在平稳的台面上，避免外力的干扰，特别是地震或者强光照射等。
2. 牢固固定装置：使用夹具或支架等装置，将实验器材固定在适当的位置，确保其稳定性，减少不必要的晃动。
3. 选择合适的计量工具：使用高精度计量工具来测量磁场强度，避免因仪器精度不足而产生误差。
问题二：外界磁场干扰在磁场实验中，外界磁场的干扰是一项重要问题。
外界磁场的存在会对实验结果造成干扰，使得实验数据不准确。
为了避免这种情况，可以采取以下解决方法：1. 使用磁屏蔽器：在进行磁场实验时，可以使用磁屏蔽器将外界磁场隔离，减少其对实验装置的干扰。
2. 放置实验装置在低磁场的区域：选择一个地理位置远离电磁设备和强磁场的地方进行实验，以减少外界磁场对实验的影响。
3. 仔细测量环境磁场：在进行磁场实验之前，通过使用磁场计等装置准确测量环境磁场的大小和方向，为实验结果的修正提供参考依据。
问题三：实验装置校准问题在进行磁场实验时，实验装置如磁场计或磁场感应线圈等的校准问题可能影响实验结果的准确性。
为了解决这个问题，可以采取以下方法：1. 定期校准装置：根据实验要求，定期对磁场计或磁场感应线圈等装置进行校准，确保其测量结果的准确性。
2. 使用标准器件：在校准实验装置时，使用已经经过校准的标准器件作为参照，以提高测量结果的准确性。
3. 调整装置位置：在进行校准时，调整实验装置的位置，使得它与标准磁场在同一水平面上，以减小误差。
专题 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
量为m，电量为q的带正电粒子（不计重力），
从左边极板间中点处垂直磁场以速度v平行极板
Lv
射入磁场，欲使粒子不打在极板上，则入射速
+q , m
B
度v应满足什么条件？
L 原因3.临界状态不唯一形成多解
任务二 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
思考：造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 的原因？
原因1.磁场方向不确定形成多解
任务二 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
思考：造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 的原因？
例2. 如图，在第I象限范围内有垂直xOy平面的匀强磁场B。质量为
m、电量大小为q的带电粒子(不计重力)，在xOy平面里经原点O射
入磁场中，初速度为v0，且与x轴成60º角，
y
试分析计算：
B
带电粒子在磁场中运动时间多长？
60º v
原因2.带电粒子电性不确定形成多解
60º
O 120º
x
任务二 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
思考：造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
的原因？
O
例3.如图，长为L的水平不带电极板间有垂直纸
面向内的匀强磁场B，板间距离也为L，现有质
例4.如图所示，边长为l的等边三角形ACD内、外分布着方向相反
的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。顶点A处有一粒子源，能沿
∠CAD的平分线方向发射不同速度的粒子，粒子质量均为m，电
荷量均为＋q，不计粒子重力。则粒子以下列
哪一速度发射时不能通过D点
qBl A. 4m
qBl B. 2m
√3qBl Cபைடு நூலகம் 4m
例1.如图所示，A点的粒子源在纸面内沿垂直OQ方向向上射出一束带负 电荷的粒子，粒子重力忽略不计.为把这束粒子约束在OP之下的区域， 可在∠POQ之间加垂直纸面的匀强磁场.已知OA间的距离为s，粒子比荷 为 q/m ，粒子运动的速率为v，OP与OQ间夹角为30°.则所加磁场的磁感 应强度B满足条件？
磁场多解问题(含答案)
磁场多解问题磁场多解问题一．解答题（共9小题）1．如图所示，第一象限范围内有垂直于xoy平面的匀强磁场，磁感应强度为B，质量为m，电量为+q的带正电粒子在xoy平面里经原点O射入磁场中，初速度v0与x轴夹角θ=60°，试分析计算：（1）带电粒子离开磁场时的位置坐标？（2）带电粒子在磁场中运动时间？2．（2006•南通一模）如图所示，现有一质量为m、电荷量为e的电子从y轴上的P（0，a）点以初速度v0平行于x 轴射出，为了使电子能够经过x轴上的Q（b，0）点，可在y轴右侧加一垂直于x0y平面向里、宽度为L的匀强磁场，磁感应强度大小为B，该磁场左、右边界与y轴平行，上、下足够宽（图中未画出）．已知＜a＜，L＜b．试求磁场的左边界距y轴的可能距离．（结果可用反三角函数表示）3．（2004•常州二模）如图（甲）所示，MN为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔OO′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图（乙）所示．有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场，已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0．不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力．求：（1 ）磁感应强度B0的大小；（2）要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值．4．如图所示，直线MN下方无磁场，上方空间存在两个匀强磁场，其分界线是半径为R的半圆，两侧的磁场方向相反且垂直于纸面，磁感应强度大小都为B．现有一质量为m、电荷量为q的带负电微粒从P点沿半径方向向左侧射出，最终打到Q点，不计微粒的重力．求：（1）微粒在磁场中运动的周期；（2）从P点到Q点，微粒的运动速度大小及运动时间；（3）若向里磁场是有界的，分布在以O点为圆心、半径为R和2R的两半圆之间的区域，上述微粒仍从P点沿半径方向向左侧射出，且微粒仍能到达Q点，求其速度的最大值．5．（2008•淮安模拟）如图所示，空间某平面内有一条折线是磁场的分界线，在折线的两侧分布着方向相反、与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小都为B．折线的顶角∠A=90°，P、Q是折线上的两点，AP=AQ=L．现有一质量为m、电荷量为q的带负电微粒从P点沿PQ方向射出，不计微粒的重力．（1）若P、Q间外加一与磁场方向垂直的匀强电场，能使速度为v0射出的微粒沿PQ直线运动到Q点，则场强为多大？（2）撤去电场，为使微粒从P点射出后，途经折线的顶点A而到达Q点，求初速度v应满足什么条件？（3）求第（2）中微粒从P点到达Q点所用的时间．6．（2007•清远一模）如图所示，一个质量为m，带电量为+q的粒子以速度V0从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从点b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向的夹角为30°．粒子的重力不计，试求：（1）圆形匀强磁场区域的最小面积？（2）粒子在磁场中运动的时间？（3）b点到O点的距离？7．（2007•东台市模拟）如图所示，在纸平面内建立的直角坐标系xoy，在第一象限的区域存在沿y轴正方向的匀强电场．现有一质量为m，电量为e的电子从第一象限的某点P（L，L）以初速度v0沿x轴的负方向开始运动，经过x轴上的点Q（，0）进入第四象限，先做匀速直线运动然后进入垂直纸面的矩形匀强磁场区域，磁场左边界和上边界分别与y轴、x轴重合，电子偏转后恰好经过坐标原点O，并沿y轴的正方向运动，不计电子的重力．求（1）电子经过Q点的速度v；（2）该匀强磁场的磁感应强度B和磁场的最小面积S．8．如图所示，一个质量为m，带+q电量的粒子在BC边上的M点以速度v垂直于BC边飞入正三角形ABC．为了使该粒子能在AC边上的N点垂直于AC边飞出该三角形，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力，试求：（1）画出正三角形区域磁场的边长最小时的磁场区域及粒子运动的轨迹．（2）该粒子在磁场里运动的时间t．（3）该正三角形区域磁场的最小边长．9．（2009•武昌区模拟）在xOy平面内，有许多电子从坐标原点O不断以大小为v0的速度沿不同的方向射入第一象限，如图所示．现加上一个垂直于xOy平面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，要求进入该磁场的电子穿过该磁场后都能平行于y轴向y轴负方向运动．已知电子的质量为m、电荷量为e．（不考虑电子间的相互作用力和重力，且电子离开O点即进入磁场．）（1）求电子做作圆周运动的轨道半径R；（2）在图中画出符合条件的磁场最小面积范围（用阴影线表示）；（3）求该磁场的最小面积．磁场多解问题磁场多解问题参考答案与试题解析一．解答题（共9小题）1．如图所示，第一象限范围内有垂直于xoy平面的匀强磁场，磁感应强度为B，质量为m，电量为+q的带正电粒子在xoy平面里经原点O射入磁场中，初速度v0与x轴夹角θ=60°，试分析计算：（1）带电粒子离开磁场时的位置坐标？（2）带电粒子在磁场中运动时间？解答：解：（1）根据qvB=得，粒子在磁场中运动的半径r=．根据几何关系知，粒子在磁场中运动的圆心角θ=60°0A=r=．所以粒子离开磁场时位置坐标为（0，）（2）粒子在磁场中运动的周期T=则粒子在磁场中运动的时间t=．答：（1）带电粒子离开磁场时的位置坐标为（0，）（2）带电粒子在磁场中运动时间为．2．（2006•南通一模）如图所示，现有一质量为m、电荷量为e的电子从y轴上的P（0，a）点以初速度v0平行于x 轴射出，为了使电子能够经过x轴上的Q（b，0）点，可在y轴右侧加一垂直于x0y平面向里、宽度为L的匀强磁场，磁感应强度大小为B，该磁场左、右边界与y轴平行，上、下足够宽（图中未画出）．已知＜a＜，L ＜b．试求磁场的左边界距y轴的可能距离．（结果可用反三角函数表示）解答：解：设电子在磁场中做圆周运动的轨道半径为r，则eBv0=m…①解得r=…②（1）当r＞L时，磁场区域及电子运动轨迹如下图所示，由几何关系有sinθ=…③则磁场左边界距坐标原点的距离为x1=b﹣L﹣a﹣r（1﹣cosθ）]cotθ…④x1=b﹣L﹣a﹣（1﹣cosθ）]cotθ（其中θ=arcsin）…⑤（2）当r≤L时，磁场区域及电子运动轨迹如下图所示，由几何关系得磁场左边界距坐标原点的距离为x2=b﹣…⑥解得x2=b﹣．答：磁场的左边界距y轴的可能距离为b﹣L﹣a﹣（1﹣cosθ）]cotθ（其中θ=arcsin）；也可能为b﹣．3．（2004•常州二模）如图（甲）所示，MN为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔OO′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图（乙）所示．有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场，已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0．不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力．求：（1 ）磁感应强度B0的大小；（2）要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值．解答：解：（1）正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动的周期，联立两式得磁感应强度，（2）要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，v0的方向应如图所示，两板之间正离子只运动一个周期，即T0，则两板之间正离子运动n个周期，即nT0，则R=，联立上式可得，正离子的速度=答：（1 ）磁感应强度B0的大小；（2）要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值为（n=1，2，3…）．4．如图所示，直线MN下方无磁场，上方空间存在两个匀强磁场，其分界线是半径为R的半圆，两侧的磁场方向相反且垂直于纸面，磁感应强度大小都为B．现有一质量为m、电荷量为q的带负电微粒从P点沿半径方向向左侧射出，最终打到Q点，不计微粒的重力．求：（1）微粒在磁场中运动的周期；（2）从P点到Q点，微粒的运动速度大小及运动时间；（3）若向里磁场是有界的，分布在以O点为圆心、半径为R和2R的两半圆之间的区域，上述微粒仍从P点沿半径方向向左侧射出，且微粒仍能到达Q点，求其速度的最大值．解答：解：（1）由qvB=m及T=得：微粒在磁场中运动的周期T=．（2）令n表示带电粒子在磁场中运动时的圆心个数，则由几何关系可知，微粒运动的轨道半径r应满足：r=Rtan，（n=2，3，4，5，…），结合（1）可知，v==，（n=2，3，4，5，…）；相应的运动轨迹所对应的圆心角φ满足：①当n为偶数时，φ=（2π﹣）+=nπ；（n=2，4，6，8，…）②当n为奇数时，φ=（2π﹣）+=；（n=3，5，7，9，…）对应的运动时间t满足：①当n为偶数时，t==，（n=2，4，6，8，…）；②当n为奇数时，t==；（n=3，5，7，9，…）（3）由几何关系可知，r n+≤2R，（n=2，3，4，5，…）；得：当n=3时，r可取满足条件的最大值，r max=，相应的粒子速度v max=．相应的运动轨迹如图所示．答：（1）微粒在磁场中运动的周期为；（2）从P点到Q点，微粒的运动速度大小为，（n=2，3，4，5，…）；对应的运动时间；①当n为偶数时，t==，（n=2，4，6，8，…）；②当n为奇数时，t==；（n=3，5，7，9，…）（3）速度的最大值是．5．（2008•淮安模拟）如图所示，空间某平面内有一条折线是磁场的分界线，在折线的两侧分布着方向相反、与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小都为B．折线的顶角∠A=90°，P、Q是折线上的两点，AP=AQ=L．现有一质量为m、电荷量为q的带负电微粒从P点沿PQ方向射出，不计微粒的重力．（1）若P、Q间外加一与磁场方向垂直的匀强电场，能使速度为v0射出的微粒沿PQ直线运动到Q点，则场强为多大？（2）撤去电场，为使微粒从P点射出后，途经折线的顶点A而到达Q点，求初速度v应满足什么条件？（3）求第（2）中微粒从P点到达Q点所用的时间．解答：解：（1）由电场力与洛伦兹力平衡得：qE=qv0B得：E=v0B（2）根据运动的对称性，微粒能从P点到达Q点，应满足L=nx其中x为每次偏转圆弧对应的弦长，偏转圆弧对应的圆心角为或．设圆弧的半径为R，则有2R2=x2，可得：又牛顿第二定律，由洛伦兹力提供向心力，则有：由①②③式得：，n=1、2、3、…（3）当n取奇数时，微粒从P到Q过程中圆心角的总和为，，其中n=1、3、5、…当n取偶数时，微粒从P到Q过程中圆心角的总和为，其中n=2、4、6、…答：（1）若P、Q间外加一与磁场方向垂直的匀强电场，能使速度为v0射出的微粒沿PQ直线运动到Q 点，则场强为E=v0B；（2）撤去电场，为使微粒从P点射出后，途经折线的顶点A而到达Q点，求初速度v应满足：，n=1、2、3、…（3）则第（2）中微粒从P点到达Q点所用的时间当n取奇数时，，其中n=1、3、5、…当n取偶数时，，其中n=2、4、6、…．6．（2007•清远一模）如图所示，一个质量为m，带电量为+q的粒子以速度V0从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从点b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向的夹角为30°．粒子的重力不计，试求：（1）圆形匀强磁场区域的最小面积？（2）粒子在磁场中运动的时间？（3）b点到O点的距离？解答：解：（1）带电粒子在磁场中运动时，洛仑兹力提供向心力，则其转动半径为带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，连接粒子在磁场区入射点和出射点得弦长为：要使圆形匀强磁场区域面积最小，其半径刚好为L的一半，即：其面积为（2）带电粒子在磁场中轨迹圆弧对应的圆心角为120°，带电粒子在磁场中运动的时间为转动周期的，即有t===（3）带电粒子从O处进入磁场，转过120°后离开磁场，再做直线运动从b点射出时Ob距离：答：（1）圆形匀强磁场区域的最小面积是（2）粒子在磁场中运动的时间为．（3）b点到O点的距离是．7．（2007•东台市模拟）如图所示，在纸平面内建立的直角坐标系xoy ，在第一象限的区域存在沿y轴正方向的匀强电场．现有一质量为m，电量为e的电子从第一象限的某点P（L，L）以初速度v0沿x轴的负方向开始运动，经过x轴上的点Q（，0）进入第四象限，先做匀速直线运动然后进入垂直纸面的矩形匀强磁场区域，磁场左边界和上边界分别与y轴、x轴重合，电子偏转后恰好经过坐标原点O，并沿y轴的正方向运动，不计电子的重力．求（1）电子经过Q点的速度v；（2）该匀强磁场的磁感应强度B和磁场的最小面积S．解答：解：（1）电子做类似平抛运动，有：解得：经过Q 点的速度大小为：与水平方向夹角为：（2）电子进入第四象限先做匀速直线运动，进入磁场后做匀速圆周运动，利用磁场速度偏转角为120°．由几何关系得解得由向心力公式解得方向垂直于纸面向里,矩形磁场右边界距y轴的距离下边界距x轴的距离最小面积为答：（1）电子经过Q点的速度v为，与水平方向夹角为30°；（2）该匀强磁场的磁感应强度B为，磁场的最小面积S为．118．如图所示，一个质量为m，带+q电量的粒子在BC 边上的M点以速度v 垂直于BC边飞入正三角形ABC ．为了使该粒子能在AC边上的N点垂直于AC边飞出该三角形，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力，试求：（1）画出正三角形区域磁场的边长最小时的磁场区域及粒子运动的轨迹．（2）该粒子在磁场里运动的时间t．（3）该正三角形区域磁场的最小边长．解答：解：（1）由洛伦兹力提供向心力得：qvB=，且周期，得轨道半径，周期：由题意知，粒子刚进入磁场时应该先向左偏转，不可能直接在磁场中由M 点作圆周运动到N点，当粒子刚进入磁场和刚离开磁场时，其速度方向应该沿着轨迹的切线方向并垂直于半径，如图作出（2）粒子的运动轨迹为圆弧GDEF，圆弧在G点与初速度方向相切，在F点与射出的速度方向相切，画出三角形abc，其与圆弧在D、E点相切，并与圆O交与F、G两点，即为所求最小磁场区域，由数学知识可知，∠FOG=60°该粒子在此磁场里运动的时间：；（3）aH为底边cb上的高，aH=aO+OH=2r+rcos30°则正三角形区域磁场的最小边长为：，解得答：（1）磁场区域及粒子运动的轨迹如上图．（2）该粒子在磁场里运动的时间；（3）该正三角形区域磁场的最小边长；129．（2009•武昌区模拟）在xOy 平面内，有许多电子从坐标原点O不断以大小为v0的速度沿不同的方向射入第一象限，如图所示．现加上一个垂直于xOy平面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，要求进入该磁场的电子穿过该磁场后都能平行于y轴向y轴负方向运动．已知电子的质量为m、电荷量为e．（不考虑电子间的相互作用力和重力，且电子离开O点即进入磁场．）（1）求电子做作圆周运动的轨道半径R；（2）在图中画出符合条件的磁场最小面积范围（用阴影线表示）；（3）求该磁场的最小面积．解答：解：（1）设电子在磁场中运动的半径为R，由牛顿第二定律得：：（2）如图所示，初速度沿y轴正方向的电子运动的轨迹构成磁场的“最小面积”对应的上边界a，其表达式为：（x﹣R）2+y2=R2①，（其中0≤x≤2R，0≤y≤R）当电子与x轴成α角入射时，电子从坐标为（x ，y）的P点射出磁场，则所有出射点的方程有：（x﹣R）2+y2=R2②，上式即为磁场的右下边界b．当电子与x轴成α=0角入射时，电子的运动轨迹构成磁场的左下边界c，其表达式为：x2+（R﹣y）2=R2③由①②③所包围的面积就是磁场的最小范围，如图所示：（3）最小面积：=答：（1）电子做作圆周运动的轨道半径；（2）在图中画出符合条件的磁场最小面积范围如图；（3）该磁场的最小面积为．13。
专题57 带电粒子在磁场中的运动-2025版高三物理一轮复习多维度导学与分层专练
2025届高三物理一轮复习多维度导学与分层专练专题57带电粒子在磁场中的运动导练目标导练内容目标1洛伦兹力的大小方向目标2带电粒子在有界磁场中的运动目标3带电粒子在磁场中运动的多解问题【知识导学与典例导练】一、洛伦兹力的大小方向1.洛伦兹力的大小和周期（1）大小：qvB F =（v B ⊥）；（2）向心力公式：rmv qvB 2=；（3）周期：22r m T v qB ππ==2.洛伦兹力的特点(1)利用左手定则判断洛伦兹力的方向，注意区分正、负电荷。
(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。
(3)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用。
(4)洛伦兹力永不做功。
3.洛伦兹力的方向(1)判断方法：左手定则(2)方向特点：洛伦兹力的方向一定与粒子速度方向和磁感应强度方向所决定的平面垂直(B 与v 可以有任意夹角)。
注意：由左手定则判断洛伦兹力方向时，四指指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向。
【例1】如图所示，光滑的水平桌面处于匀强磁场中，磁场方向竖直向下，磁感应强度大小为B ；在桌面上放有内壁光滑、长为L 的试管，底部有质量为m 、带电量为q 的小球，试管在水平向右的拉力作用下以速度v 向右做匀速直线运动（拉力与试管壁始终垂直），带电小球能从试管口处飞出，关于带电小球及其在离开试管前的运动，下列说法中正确的是（）A ．小球带负电，且轨迹为抛物线B ．小球运动到试管中点时，水平拉力的大小应增大至C ．洛伦兹力对小球做正功D ．对小球在管中运动全过程，拉力对试管做正功，大小为qvBL 【答案】BD【详解】A ．小球能从试管口处飞出，说明小球受到指向试管口的洛伦兹力，根据左手定则判断，小球带正电；小球沿试管方向受到洛伦兹力的分力y F qvB =恒定，小球运动的轨迹是一条抛物线，故A 错误；B ．由于小球相对试管做匀加速直线运动，会受到与试管垂直且向左的洛，则拉力应增大伦兹力的分力x y F qv B =小球运动到中点时沿管速度为y v =F =持匀速运动，故B 正确；C ．沿管与垂直于管洛伦兹力的分力合成得到的实际洛伦兹力总是与速度方向垂直，不做功，故C 错误；D ．对试管、小球组成的系统，拉力做功的效果就是增加小球的动能，由功能关系F k W E qvBL=∆=故D 正确；故选BD 。
高中物理重要考点教你解决磁场难题
高中物理重要考点教你解决磁场难题
在整个高中物理中，磁场板块占高考总分的30%，也就是33分，那么如果你想拿高分，这个板块你必须得攻克。
今天物理哥就从核心考点和考试题型两个方面，帮助大家攻克这一难关！
一、核心考点：
1、磁感线与磁感应强度的理解
2、安培定则、左手定则的理解与应用
3、安培力作用下物体的运动与平衡问题
4、洛伦兹力的特点与应用
5、带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹分析
6、带电粒子在交变磁场中的运动轨迹分析
7、带电粒子在磁场中的临界问题
8、带电粒子在磁场中的多解问题
9、带电粒子在复合场中的运动轨迹分析
10、带电粒子实际中的应用模型（速度选择器、质谱仪与回旋加速器）
二、考试的题型：
1、选择题
例题：关于带电粒子在匀强磁场中运动，不考虑其他场力(重力)作用，下列说法正确的是( )
A.可能做匀速直线运动
B.可能做匀变速直线运动
C.可能做匀变速曲线运动
D.只能做匀速圆周运动
答案：A
解析：带电粒子在匀强磁场中运动时所受的洛伦兹力跟速度方向与磁场方向的夹角有关，当速度方向与磁场方向平行时，它不受洛伦兹力作用，又不受其他力作用，这时它将做匀速直线运动，故A项正确。
因洛伦兹力的方向始终与速度方向垂直，改变速度方向，因而同时也改变洛伦兹力的方向，故洛伦兹力是变力，粒子不可能做匀变速运动，故B、C两项错误。
只有当速度方向与磁场方向垂直时，带电粒子才做匀速圆周运动，故D项中“只能”是不对的。
2、计算题
例题：
解析：。
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带电粒子在磁场中的多解问题
年级：
46级科目：物理时间：2014.11.28 班级：姓名：
带电粒子在磁场中的运动问题是高考的难点和热点，特别是新的物理考试大纲将动量要求大幅度降低后，这类问题在高考中地位必将更为突出。
由于带电粒子在电磁场中的运动受到多种因素的影响，往往会会形成多解的情况，而学生在解题的过程中由于思维不缜密常常不能解答完整。
在教学过程中，对形成此类问题多解的原因进行总结和归类，要求学生在解答过程中参照这些原因一一分析。
考点解读：
1、带电粒子电性的不确定性形成多解：受洛仑兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度的条件下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。
如图甲，带电粒子以速率v垂直进入磁场，
如带正电，其轨迹为_________ ，如带负电，其轨迹为 _________ 。
例1:如图1所示，匀强磁场的磁感应强度为B,方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。
现
有质量为m，电荷量大小为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，求粒子在磁场中运动
的时间。
例题2 :如图1所示，L1和L2是距离为D的两平行虚线，L1上方和L2下方都是垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，A、B两点都在L2上•质量为m,电量为q的带电粒子从A点以初速v斜向上与L2成30°角射出，经过偏转后第一次又经过L2上的某点B，不计重力影响，
求AB之间的距离........”
例题3.如图所示，第一象限范围内有垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度为B。
质量为m，电量大小为q的带电粒子在xOy平面里经原点O射入磁场中，初速度v°与x轴夹角0 = 60° , 试分析计算：
(1)带电粒子从何处离开磁场？穿越磁场时运动方向发生的偏转角多大？
(2)带电粒子在磁场中运动时间多长？
X X X X
2、磁场方向的不确定性形成多解：
有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感 应强度B 的方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定 而形成的多解。
如图乙，带正电粒子以速率 v 垂直进入匀
强磁场，如B 垂直纸面向里，其轨迹为 ，如B 垂直纸面向外，其轨迹为 .
例题1: [07年全国H 卷19题]如图3所示，一带负电的质点在固定的正的点电荷作用下绕该 正电荷做匀速圆周运动，周期为 T0 ,轨道平面位于纸面内，质点速度
方向如图中箭头所示。
现加一垂直于轨道平面的匀强磁场，
已知轨道半
比v
*
g
径并不因此而改变，则（
)
/ \
A 、 右磁场方向指向纸里， 质点运动的周期将大于 T 0
' + B 、 右磁场方向指向纸里， 质点运动的周期将小于 T 0 \ 1 習
*
C 、 右磁场方向指向纸外， 质点运动的周期将大于 T 0 %
f
D 、 右磁场方向指向纸外，
质点运动的周期将小于
T 0
图3
例2. 一质量为m ,电量为q 的负电荷在磁感应强度为
B 的匀强磁场中
绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作 用在负电荷的电场力恰好是磁场力的
3倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是
（
）
例题3:如图4所示，磁感应强度为 B 垂直纸面向里的匀强磁场
中有一个粒子源S,能在图示纸面上360 °范围内向各个方向发射 速率相等的质量为
m ＞带电-e 的电子；若电子的发射速率为
V 二旦虫，从点S 射出后要击中相距L 的O 点，则点S 处电子的
m
射出方向与OS 的夹角为多少？从 S 到点O 的时间多少？
3、临界状态不唯一形成多解：
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹 是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过
180°从入射界面这边
反向飞出，如图甲所示，于是形成了多解。
因此穿越磁场的轨迹可能有多种情况。
X X
一
X X
X /
X X
&
X
X X *
\ 1 / X
、1 Z * 1 J-
4qB
D 、蹩 m
例1、如图3所示，M、N是两块水平放置的平行金属板，板长为L,板间距离Array为d,两板间存在磁感应强度为B, 方向垂直于纸面向里的匀强磁场。
有一质量为m,
电荷量
为q的带正电粒子从磁场左侧靠近N板处水平射入，欲使粒子不能打到金属板上，则粒子的入射速度v应满足什么
条件?
例题2:一质量为m、带正电q的粒子（不计重力）从0点处沿+Y方向以初速u射入一个边界为矩形的匀强磁场中，磁场方向垂直于xy平面向里，它的边界分别为y=0、y = a、
x= -1.5a,x=1.5a如图5所示，改变磁感应强度B的大小，粒子可从磁场的不同边界面射出、并且射出磁场后偏离原来速度方向的角度B会随之改变。
试讨论粒子可以从哪几个边界面射出，
从这几个边界面射出时磁感应强度B的大小及偏转角度0各在什么范围内？
图5
a
X」‘X*
£vo
X
x
乂X
—1.5a （) 1.5a
例题3:如图一质量为m的带正电q的小球穿在一足够长的固定粗糙水平杆上，整个装置处
于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁感应强度方向如图，现给小球以向右的初速度V,则当小
球达到稳定状态时小球克服摩擦所做的功为多少？
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
例6.如图，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向
垂直于纸面向里。
许多质量为m带电量为+q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方
向由小孔0射入磁场区域。
不计重力，不计粒子间的相互影响。
下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中图是正确的？
X X X X X K X
mv。
哪个
Bq
EI.
M'
4、运动的周期性形成多解：
带电粒子在部分是磁场，部分是电场的空间运动时， 运动往往具有重复性，因而形成多解 。
例1:如图所示，在x 轴上方有一匀强电场，场强为 E ,方向竖直向下。
在 x 轴下方有一匀强 磁场，磁感应强度为 B ,方向垂直纸面向里。
在 x 轴上有一点P ,离原点的距离为 a 。
现有- 带电量+q 的粒子，质量为
m ，从y 轴上某点由静止开始释放，要使粒子 能经过P 点，其初始坐标应满足什么条件？（重
力作用忽略不计）
例题2: [06年全国卷11.25]如图7所示，在xv 0与x > 0的区域中, 例题3、如图6-3-2所示，在空间中有一坐标系 Oxy ，其第一象限内充满着两个匀强磁场区域 I 和n,直线 OP 是它们
的边界，区域I 中的磁感应强度为 B ，方向垂直纸面向外；区域n 中 的磁感应强度为 2B ,方向垂直纸面向内，
边界上的P 点坐标为（4L,3L ）
・一质量为 m 电荷量为 q 的带正粒子从 P 点平仃于y 轴负方向射入区域I,
经过一 -段时间后，
粒子恰好经过原点 0（忽
略粒子重力），已知 sin37° =0.6, cos37° =0.8.求：
（1）粒子从P 点运动到O 点的时间至少为多少？
（2）粒子运动的周期？
” X II
X
X X X
（3）粒子的速度大小可能是多少？
X2HX
X
X X
初铉九）
2c
> T
•
V"
• •
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为B 1与B 2的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，且 B 1 > B 2。
一个带负电的粒子从坐标原点 O 以速度v 沿x 轴负方向射出，要 使该粒子经过一段时间后又经过 O 点，B i 与B 2的比值应满足什 么条件？
y
X X X X X
B i X X K
八
X X x x
X X X X X
X X X
X
X B 2
X
―A ’ x
X
存在磁感应强度大小分别。