知识交汇处,综合能力显

知识交汇处,综合能力显
作者：一心
来源：《新高考·高三数学》2012年第06期
高考数学除了考查基本知识、基本技能、基本思想方法外，更注重对知识内在联系、数学综合能力的考查，要求同学们能够综合地运用有关的知识与方法，解决有一定难度或综合性的问题．多数高考题不只是蕴涵单一知识点，而往往是综合几个知识点，甚至一些客观题也涉及三个以上的知识点.因此复习时应十分关注知识的联系与交汇，尤其要注意如下几个重要的知识交汇处.
一、平面向量与三角函数
平面向量中的夹角是引起平面向量与三角函数交汇的主要因素，它把平面向量与三角函数有机地综合在一起，使问题得以充实与加强，能有效地考查同学们解决问题的能力.
例1 设G是△ABC的重心，且有( 56 sin A ) GA +(40 sin
，则角B的大小为 .
B) GB +(35 sin C) GC =0
●解●析
，
，知56 sin A=40 sin B=35 sin C 由重心G满足 GA + GB + GC =0
利用正弦定理转化为边的关系，再利用余弦定理，即可求出角B的大小为60 ° .
二、平面向量与平面解析几何
向量具有“数”与“形”的双重功能，而解析几何的本质是利用“数”去研究“形”，利用“几何”把两者有机地结合在一起，能有效地考查同学们运用知识的能力.
例2 已知直线y=－x+1与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>0,b>0)相交于A，B两点.
（1）若椭圆的离心率为33，焦距为2，求线段AB的长；
（2）若向量 OA 与向量 OB 互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率
e∈12,22时，求椭圆长轴长的最大值.
●解●析
（1） 835（过程从略）.
（2）将直线与椭圆方程联立，写出点A，B坐标的关系，由 OA ⊥ OB ，建立
a 2+
b 2－2a 2b 2=0，再由判别式，建立a 2+b 2>1，根据离心率e∈12,22，求出
426≤a≤62，从而得出答案.
三、数列与函数、导数
数列是一种特殊的函数，数列中的许多问题都可以转化为函数问题解决，而导数是处理函数问题的重要工具，所以数列很容易与导数交汇.
例3 已知函数f(x)=a ln x-ax- 3(a∈ R).
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）求证： ln x＜x-1对一切x∈(1, +∞ )成立；
（3）求证： ln 22× ln 33× ln 44× ln 55×…× ln nn
＜1n(n≥2,n∈N *).
●解●析
（1）当a＞0时，f(x)在（0，1］上单调递增，在［1，+∞）上单调递减；当a＜0时，f(x)在（0，1］上单调递减，在［1，+∞）上单调递增.
（2）令a=-1，则f(x)=- ln x+x-3，利用函数的单调性，证明当x∈(1,+∞)时f(x)＞
f(1)，即 ln x＜x-1对一切x∈(1,+∞)成立.
（3）这是数列问题，由于数列是特殊的函数，所以将其转化为函数的特殊值问题，先寻找或构造函数不等式.因为n≥2,n∈N *，则有0＜ ln n＜n-1，所以0＜ ln nn＜n-1n，
所以
ln 22×
ln 33×
ln 44×…×
ln nn＜
12×
23×
34×…×
n-1n=1n(n≥2,n∈N *).
四、数列与解析几何
数列与圆锥曲线的交汇是近几年高考试题中的热点，引起交汇的主要因素是“点列”，点列具有双重功能，一方面“点”是解析几何的基本元素，另一方面“列”是数列的基本特征，把两者结合起来，能多角度考查同学们驾驭知识的能力.
例4 已知二次函数f(x)满足以下条件：①图象关于直线x=32对称；② f(1)=0；③图象可由 y=x 2－1的平移得到.
（1）求f(x)的解析式；
（2）若数列{a n},{b n}对任意的实数x都满足
f(x)g(x)+a nx+b n=x n+1 (n
∈N *)，其中g(x)是定义在实数集R上的函数，求数列{a n},{b n}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，设圆C n: (x－a n) 2+ (y－
外切，且{r n}
∈ N *），若圆C n 与圆C n +1
b n) 2= r 2 n(n
是各项都为正数的等比数列，求数列{r n}的公比q的值.
●解●析
（1）利用待定系数法，求出f(x)=x 2－3x+2.
（2）解题的关键是抓住函数f(x)的图象特征，即过点（1,0），（2,0），而对一切实数x，等式f(x)g(x)+a nx+b n=x n+1 (n∈N *)恒成立，所以特殊的f(1)=0，f(2)=0当然也
，成立，于是可以建立关于a n与b n的方程组a n+b n=1， 2a n+b n=2 n+1 解得a n=2 n+1 －1，b n=2－2 n+1 .
（3）根据圆C n 与圆C n+1 外切，得
－
－a n) 2+ (b n+1
r n+r n+1 = |C nC n+1 | = (a n+1
b n) 2
=2·2 n+1 ，所以r 1+r 2=42,r 2+r 3= 82 ，所以公比
q=r 2+r 3r 1+r 2=2.
五、导数与函数、解析几何
导数的引入给研究函数和切线带来便利，从而使切线为导数、函数、解析几何的整合提供了方向，通过切线把这三者完美地交汇在一起，出现了大量充满活力与生机的试题，体现出高考稳中求新的特点.
例5 （2011年江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f(x)＝
e x (x>0)的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是．
●解●析
通过切线、直线的位置关系，建立t 关于点P横坐标x的函数：t＝12-
，再利用导数法，求出t的最大值为12 e +1 e .
x e x+2 e x+x e x
六、新信息迁移题
要求同学们通过阅读理解所定义的新概念、新运算，从中获得解题所需知识、信息，并立即将其综合应用于解题的过程中.这类题能较好地考查阅读理解、知识迁移的能力和后续学习的潜能.
例6
对于数列A：a 1，a 2，…，a n，若满足a i∈{0,1}(i=1,2,3,…,n)，则称数列A为“01数列”.定义变换T，T将“01数列”A中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0. 例如A:1,0,1，则T(A):0,1,1,0,0,1.设A 0是“01数列”，令A k=T(A k－1 ),k=1，2，3,….
(1) 若数列A 2：1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1，求数列A 1,A 0；
(2) 若数列A 0共有10项，则数列A 2中连续且相等的数对（两个数）至少有多少对？请说明理由；
(3) 若A 0为0，1，记数列A k中连续且都是0的数对（两个数）的个数为l k，
k=1,2,3,…，求l k关于k的表达式.
●解●析
（1） A 1：0，1，1，0，0，1；A 0：1，0，1.
(2) 数列A 2中连续且相等的数对（两个数）至少有10对.
证明：对于任意一个“01数列”A 0，A 0中每一个1在A 2中对应连续四项1,0,0,1，A 0中每一个0在A 2中对应连续四项0,1,1,0，因此共有10项的“01数列”A 0中的每一个项在A 2中都会对应一个连续且相等的数对，所以A 2中至少有10对连续且相等的数对.
(3) A k+1 中的00数对只能由A k中的01数对得到，设A k中有b k个01数对，所以l k+1 =b k.
A k+1 中的01数对有两个产生途径： ①由 A k中的1得到；②由A k中00得到，由变换T的定义及A 0：0,1，可得A k中0和1的总个数相等，且共有2 k+1 个，所以b k+1 = l k+ 2 k.
所以l k+2 =l k+2 k.
由A 0： 0,1，可得A 1:1,0,0,1，A 2:0,1,1,0,1,0,0,1.所以l 1=1,l 2=1.
对k的奇偶性分类讨论，利用累加法求出l k=13(2 k+1),k为奇数，
13(2 k－1),k为偶数.。