2021届天津市南开区高三一模理科数学试卷

2021年天津市南开区高三一模理科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．i 是虚数单位，复数=（ ）．A ．–iB ．iC ．––i D ．–+i 2．已知实数x ，y 满足约束条件，则目标函数z =x–2y 的最小值是（ ）．A ．0B ．–6C ．–8D ．–123．设A ，B 为两个不相等的集合，条件p ：x ∉(A ∩B)， 条件q ：x ∉(A ∪B)，则p 是q 的（ ）．A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线ax 2–by 2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程是x −√3y =0，它的一个焦点在抛物线y 2=–4x 的准线上，则双曲线的方程为（ ）． A ．4x 2–12y 2=1 B ．4x 2–y 2=1C ．12x 2–4y 2=1D ．x 2–4y 2=15．函数()20.4–34y log x x =++的值域是（ ）． A ．(0，–2] B ．[–2，+∞) C ．(–∞，–2]D ．[2，+∞)6．如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的体积为（ ）．A ．B ．C ．D ．7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22b a bc A =+=，6π，则内角C=（ ）．（A ）6π （B ）4π （C ）43π （D ）4π或43π8．已知函数()||–|–|01f x mx x n n m =+（＜＜），若关于x 的不等式()0f x ＜的解集中的整数恰有3个，则实数m 的取值范围为（ ）． （A ）3＜m ＜6 （B ）1＜m ＜3 （C ）0＜m ＜1 （D ）–1＜m ＜0二、填空题9．如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率依次成等差数列，第2小组的频数为15，则抽取的学生人数为 ．10．已知a ＞0，62(?)a x x的二项展开式中，常数项等于60，则(x –)6的展开式中各项系数和为 （用数字作答）．11．如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S= ．12．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为：（为参数），以Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为：30cos sin θθ-=，则圆C 截直线l 所得弦长为 ．13．如图，圆O 的割线PAB 交圆O 于A 、B 两点，割线PCD 经过圆心O ．已知PA=AB=2√6，PO=8．则BD 的长为 ．14．已知正三角形ABC 的边长为2，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且=λ，=λ．若点F 为线段BE 的中点，点O 为△ADE 的重心，则•= ．三、解答题15．（本小题满分13分）设函数f(x)=cos(2x +2π3)+2cos 2x ，x ∈R ．（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和单调减区间； （Ⅱ）将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最小值．16．将编号为1，2，3，4的4个小球随机放到A 、B 、C 三个不同的小盒中，每个小盒至少放一个小球．（Ⅰ）求编号为1， 2的小球同时放到A 盒的概率；（Ⅱ）设随机变量ξ为放入A 盒的小球的个数，求ξ的分布列与数学期望．17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中， 四边形ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，PC ⊥底面ABCD ，AB=2AD=2CD=4，PC=2a ，E 是PB 的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若二面角P-AC-E 的余弦值为36，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值． 18．（本小题满分13分）已知椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）与y 轴的交点为A ，B（点A 位于点B 的上方），F 为左焦点，原点O 到直线FA 的距离为22b ． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）设b=2，直线y=kx+4与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，求证：直线BM 与直线AN 的交点G 在定直线上．19．设数列{a n }满足：a 1=1，a n+1=3a n ，n ∈N *．设S n 为数列{b n }的前n 项和，已知b 1≠0， 2b n –b 1=S 1•S n ，n ∈N *．（Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅱ）设c n =b n ⋅lon 3a n ，求数列{c n }的前n 项和T n ； （Ⅲ）证明：对任意n ∈N *且n≥2，有++…+＜．20．（本小题满分14分）已知函数f(x)=，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x+(e –1)2y –e=0．其中e =2.71828 为自然对数的底数． （Ⅰ）求a ，b 的值； （Ⅱ）如果当x≠0时，f(2x)＜，求实数k 的取值范围．参考答案1．A【解析】试题分析：()()()()5225522925252529i ii iii i i----===-++-,故选A.考点：复数的四则运算.2．D【解析】试题分析：画出可行域及直线x–2y=0，平移直线x–2y=0，当其经过点A(4,8)时，z=x–2y 最小，即z min=4−2×8=−12.故选D.考点：简单线性规划的应用.3．C【解析】试题分析：p：x∉(A∩B)成立，可能x∈A或x∈B，即x∈A∪B，所以q：x∉(A∪B)不成立；反之，q：x∉(A∪B)成立，则x∉A且x∉B，所以p：x∉(A∩B)成立，故选C.考点：1.充要条件；2.集合的基本运算.4．D【解析】试题分析：ax 2–by 2=1（a ＞0，b ＞0）即x 21a–y 21b=1（a ＞0，b ＞0），其渐近线方程为y =±ab x ，所以ab =(√33)2,ab =13①；又y 2=–4x 的准线为x =1，所以1a +1b =1②，由①②解得a =43,b =4，故选D .考点：1.抛物线的几何性质；2.双曲线的几何性质. 5．B 【解析】试题分析：设223253424t x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，则0.4log y t =，其中250,4t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，因为0.4log y t =是减函数，所以2y ≥-，所以函数20.4log (34)y x x =-++的值域是[)2,-+∞，故选B.考点：复合函数的值域． 6．A 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是如图所示的四棱锥P −ABCD .补成如图正方体，由三视图所给数据，S ABCD =2√22+22=4√2，几何体的高即正方体面对角线一半ℎ=12√22+22=√2，所以其体积为V =13×4√2×√2=83,选A .考点：1.三视图2.几何体的结构特征；3.几何体的体积. 7．B 【解析】试题分析：由已知及余弦定理得，222222cos,6a b c bc b c π=+-=+结合22b a bc =+，得，2221)2a ab b ==，所以222422222224()3cos .22242a b a a a b a b c b b b C C a ab ab bπ-+-⋅-+-=====⋅选B .考点：余弦定理的应用. 8．B 【解析】试题分析：不等式()0f x ＜的解集中的整数恰有3个，即||||–01mx x n n m <+（＜＜）的解集中的整数恰有3个. |||–|mx x n <可化为22()0,()mx x n --<即([m )](1)][10,m x n x n +-⋅-+<由于不等式解集中整数恰有三个，所以10,1,m m ->>不等式的解为111n n x m m -<<<-+，从而解集中的三个整数为2,1,0--，32,1nm --≤<--即231nm <≤-，2233m n m -<≤-，结合01n m +＜＜得，221,3m m m -<+<，即13m ＜＜，选B .考点：1.绝对值不等式的解法；2.一元二次不等式的解法. 9．60 【解析】试题分析：设前三小组的频率依次为,,a d a a d -+，则31(0.03750.0125)50.75,0.25a a =-+⨯==，所以由150.25x =得，60x =，即抽取的学生人数是60.考点：1.频率分布直方图；2.等差数列. 10．1 【解析】 试题分析：62(?)a x x 展开式通项为6631662()()r r r r r rr a T C x a C x x--+=-=-，由630,2r r -==得常数项2226()60,()1560,2(0)a C a a a -=-⨯==>，所以，令1x =得622(?)x x 的展开式中各项系数和为1 考点：二项式定理. 11．2500【解析】试题分析：第一次不符合条件99i >，得到1,3;S i ==第二次不符合条件99i >，得到134,5;S i =+==第三次不符合条件99i >，得到1359,7;S i =++== ；第五十次不符合条件，输出135...99,101;S i =++++=第五十一次，符合条件，输出50(199)135...992500.2S ⨯+=++++==考点：算法与程序框图. 12．【解析】试题分析：在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的普通方程为22(2)4x y +-=；直线l 的方程0y -=.所以，圆C 截直线l所得弦长为=考点：1.极坐标与参数方程；2.直线与圆的位置关系. 13．2√6 【解析】试题分析：设圆半径为R ，由割线定理得，PA ⋅PB =PC ⋅PD,即PA ⋅(PA +AB)=(PO −R)⋅(PO +R),R =4.连BO ，在三角形POB 中，由余弦定理得cos∠POB =PO 2+OB 2−PB 22PO⋅OB=82+42−(4√6)22×8×4=−14，所以，cos∠BOD =14，在三角形BOD 中，由余弦定理得，BD =√OB 2+OD 2−2OB ⋅ODcos∠BOD =√42+42−2×4×4×14=2√6. 考点：1.圆的割线定理；2.余弦定理的应用. 14．0 【解析】试题分析：依题意，建立如图所示平面直角坐标系，由已知得，B(−1，0),C(1，0)，A(0，√3)，D(−λ,√3−√3λ),E(λ,√3−√3λ)， 所以，F(λ−12,√3−√3λ2), O(0，3√3−2√3λ3)，OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ−12,√3λ−3√36),CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ−32,√3−√3λ2), OF⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ−12×λ−32+√3λ−3√36×√3−√3λ2=λ2−4λ+34+12λ−9−3λ212=0.考点：1.平面向量的坐标运算；2.平面向量的线性运算；3.平面向量的数量积.15．（Ⅰ）函数的最小正周期为π.函数的单调减区间为[kπ−π6,kπ+π3],k∈z.（Ⅱ）[，2]．【解析】试题分析：（Ⅰ）化简函数f(x)=cos(2x+π3)+1，得到函数的最小正周期为π.由2kπ≤2x+π3≤2kπ+π,k∈z得kπ−π6≤x≤kπ+π3,k∈z，得到函数的单调减区间.（Ⅱ）由（Ⅰ）得g(x)=cos(2x−)+1．确定得到–≤2x–≤，即得f(x)的取值范围．试题解析：（Ⅰ）f(x)=cos(2x+2π3)+2cos2x=-12cos2x−√32sin2x+1+cos2x=12cos2x−√32sin2x+1=cos(2x+π3)+1，所以函数的最小正周期为π.由2kπ≤2x+π3≤2kπ+π,k∈z得kπ−π6≤x≤kπ+π3,k∈z，所以函数的单调减区间为[kπ−π6,kπ+π3],k∈z.（Ⅱ）由（Ⅰ）得g(x)=cos(2(x−)+)+1=cos(2x−)+1．10分因为0≤x≤，所以–≤2x–≤，所以–≤cos(2x–)≤1，12分因此≤cos(2x–)+1≤2，即f(x)的取值范围为[，2]．13分考点：1.和差倍半的三角函数；2.三角函数的图象和性质. 16．（Ⅰ）．（Ⅱ）的分布列为1 2 P数学期望E(ξ)=．【解析】 试题分析：（Ⅰ）=．（Ⅱ）由ξ=1，2，计算P(=1)==，P(=2)==，即得的分布列，的数学期望E(ξ)1=⨯2+×=．试题解析：（Ⅰ）设编号为1，2的小球同时放到A 盒的概率为P ， P==． 4分（Ⅱ）=1，2，5分 P(=1)==，P(=2)==，所以ξ的分布列为1211分数学期望E(ξ)1=⨯2+×=． 13分考点：1.随机变量的分布列及其数学期望;2.简单排列组合问题. 17．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）32． 【解析】试题分析：（Ⅰ）由 PC ⊥平面ABCD ，得到AC ⊥PC ． 由AC 2+BC 2=AB 2，得到AC ⊥BC ．从而AC ⊥平面PBC ． 据AC ⊂平面EAC ，证得平面EAC ⊥平面PBC ．（Ⅱ）以点C 为原点，，CD ，CP 分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(2，2，0)，B(2，–2，0)．求得面PAC 的法向量m=(1，–1，0)．面EAC 的法向量，n=(a ，–a ，–2)， 由|cos<m ，22+a a =36，得 a=2．得n=(2，–2，–2)，=(2，2，–4)． 根据sin θ=|cos<PA ，=32，直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值. 试题解析：（Ⅰ）∵PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥PC ． ∵AB=4，AD=CD=2，∴AC=BC=2． ∴AC 2+BC 2=AB 2，∴AC ⊥BC ． 又BC ∩PC=C ，∴AC ⊥平面PBC ． ∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC ． 5分（Ⅱ）如图，以点C 为原点，DA ，CD ，CP 分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(2，2，0)，B(2，–2，0)．设P(0，0，2a)（a ＞0），则E(1，–1，a)，CA =(2，2，0)，CP ＝(0，0，2a)，CE =(1，–1，a)．取m=(1，–1，0)，则m ·CA =m ·CP =0，m 为面PAC 的法向量． 设n=(x ，y ，z)为面EAC 的法向量，则n ·CA =n ·CE =0，即⎩⎨⎧=+-=+00az y x y x ，，取x=a ，y=–a ，z=–2，则n=(a ，–a ，–2)，依题意，|cos<m ，n>|=||||n m ⋅=22+a a =36，则a=2． 10分 于是n=(2，–2，–2)，PA =(2，2，–4)． 设直线PA 与平面EAC 所成角为， 则sin θ=|cos<PA ，||||n PA ⋅=32， 即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为32． 13分 考点：1.垂直关系；2.空间的角；3.空间向量方法. 18．（Ⅰ）22．（Ⅱ）见解析． 【解析】试题分析：（Ⅰ）设F 的坐标为(–c ，0)，依题意有bc=22ab ，即得．（Ⅱ）b=2时，得a=22，椭圆方程为14822=+y x ．联立方程组⎩⎨⎧+==+48222kx y y x ， 化简得：(2k 2+1)x 2+16kx+24=0， 由△=32(2k 2–3)＞0，解得：k 2＞23 由韦达定理得：x M +x N =12162+-k k ①，x M x N =12242+k ② 设M(x M ，kx M +4)，N(x N ，kx N +4)， MB 方程为：y=MM x kx 6+x –2， ③ NA 方程为：y=NN x kx 2+x+2， ④ 由③④解得：y=MN N M N M x x x x x kx -++3)3(2 即证得.试题解析：（Ⅰ）设F 的坐标为(–c ，0)，依题意有bc=22ab ， ∴椭圆C 的离心率e=a c =22． 3分 （Ⅱ）若b=2，由（Ⅰ）得a=22，∴椭圆方程为14822=+y x ． 5分 联立方程组⎩⎨⎧+==+48222kx y y x ，化简得：(2k 2+1)x 2+16kx+24=0， 由△=32(2k 2–3)＞0，解得：k 2＞23 由韦达定理得：x M +x N =12162+-k k ①，x M x N =12242+k ② 7分 设M(x M ，kx M +4)，N(x N ，kx N +4)， MB 方程为：y=MM x kx 6+x –2， ③ NA 方程为：y=NN x kx 2+x+2， ④ 9分由③④解得：y=MN N M N M x x x x x kx -++3)3(2 11分=12164)212161224(2222+--++-++k k x x k k k k N N =12164)2128(222++++k kx x k kN N =1即y G =1，∴直线BM 与直线AN 的交点G 在定直线上． 13分 考点：1.椭圆的几何性质；2.直线的位置关系；3.直线与椭圆的位置关系. 19．（Ⅰ）a n =3n –1．b n =2n –1．（Ⅱ）T n =(n –2)2n +2．（Ⅲ）见解析. 【解析】试题分析：（1）给出与的关系，求，常用思路：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与的关系，再求；由推时，别漏掉这种情况，大部分学生好遗忘;（2）一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项的和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后做差求解；（3）利用不等式放缩时掌握好规律，怎样从条件证明出结论． 试题解析： （Ⅰ）∵a n+1=3a n ，∴{a n }是公比为3，首项a 1=1的等比数列， ∴通项公式为a n =3n –1． ∵2b n –b 1=S 1•S n ，∴当n=1时，2b 1–b 1=S 1•S 1， ∵S 1=b 1，b 1≠0，∴b 1=1．∴当n ＞1时，b n =S n –S n –1=2b n –2b n –1，∴b n =2b n –1， ∴{b n }是公比为2，首项a 1=1的等比数列， ∴通项公式为b n =2n –1．（Ⅱ）c n =b n •log 3a n =2n –1log 33n –1=（n –1）2n –1， T n =0•20+1•21+2•22+…+（n –2）2n –2+（n –1）2n –1 ……①2T n= 0•21+1•22+2•23+……+（n–2）2n–1+（n–1）2n ……②①–②得：–T n=0•20+21+22+23+……+2n–1–（n–1）2n=2n–2–（n–1）2n =–2–（n–2）2n∴T n=（n–2）2n+2．（Ⅲ）===≤++…+＜++…+==（1–）＜．考点：（1）求数列的通项公式；（2）错位相减求数列的和；（3）证明恒成立的问题．20．（Ⅰ）a=b=1．（Ⅱ）k的取值范围是(−∞,0]【解析】试题分析：（Ⅰ）求导数f¢(x)=，在点(1，f(1))处的导函数值就是切线的斜率，从而有f(1)==，f¢(1)===–．求得a，b.（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=，得到f(2x)＜Û＜Û–＜0Û[xe x–(e2x–1)]＜0．令函数g(x)=xe x–(e2x–1)（x∈R），求g¢(x)=e x+xe x–(1–k)e2x=e x(1+x–(1–k)e x)．讨论k≤0，k≥1，0<k<1三种情况.得到结论.试题解析：（Ⅰ）f¢(x)=，1分由函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为x+(e–1)2y–e=0，知1+(e–1)2f(1)–e=0，即f(1)==，f¢(1)===–．3分解得a=b=1．5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=，所以f(2x)＜Û＜Û–＜0Û[xe x–(e2x–1)]＜0．7分令函数g(x)=xe x–(e2x–1)（x∈R），则g¢(x)=e x+xe x–(1–k)e2x=e x(1+x–(1–k)e x)．8分（ⅰ）设k≤0，当x≠0时，g¢(x)＜0，∴g(x)在R单调递减．而g(0)=0，故当x∈(–∞，0)时，g(x)＞0，可得g(x)＜0；当x∈(0，+∞)时，g(x)＜0，可得g(x)＜0，从而x≠0时，f(2x)＜．（ⅱ）设k≥1，存在x0＜0，当x∈(x0，+∞)时，g¢(x)＞0，g(x)在(x0，+∞)单调递增．g(x)>0，与题设矛盾.而g(0)=0，故当x∈(0,+∞)时，g(x)>0，得1e2x−1（iii）设0<k<1，存在x1<0<x2，当x∈(x1,x2)时，g′(x)>0，g(x)在(x1,x2)单调递g(x)>0，与题设矛盾.增.而g(0)=0，故当x∈(x1,x2)时，g(x)>0，得1e2x−1综上知，k的取值范围是(−∞,0]考点：1.导数的几何意义；2.应用导数研究函数的单调性；3.不等式恒成立问题.。