高三第一学期数学测试题7
上海市青浦高级中学2024-2025学年高三上学期9月考试数学试卷(含答案)
上海市青浦高级中学2024学年第一学期9月质量检测高三 数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．直线的倾斜角大小为__________．2．在的展开式中，含项的系数为__________．3．已知集合，集合，则__________．4．若关于x ，y 的方程组有唯一解，则实数a 满足的条件是__________．5．已知x ，，则“”是“”的____________________条件．6．已知，的最小值为__________．7．从1，2，3，4，5这五个数字中任意选取两个不同的数字组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为__________．8．已知函数，且，则方程的解是__________．9．已知集合，，若，则m 的取值范围是__________．10．甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判，则前4局中乙恰好当一次裁判的概率是__________．11．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线上任意一点，M 是线段PF 上的点且，则直线OM 斜率的取值范围是__________．12．对于定义在D 上的函数，若同时满足：（1）对任意的，均有；（2）对任意的，存在，且，使得成立，则称函数10x +=51x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x 211x A x x ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭{1,0,1,2,3}B =-A B = 2436x y x ay +=⎧⎨+=⎩y ∈R ||||||x y x y -=+0xy <1ab =2249a b +()21xf x -=+2log (1),0()(),0x x g x f x x +≥⎧=⎨-<⎩()2g x =5322A x x ⎧⎫=-≤⎨⎬⎩⎭{13,}B x m x m m =+≤≤∈R ∣A B A = 1222(0)y px p =>4PM MF = ()y f x =x D ∈()()0f x f x -+=1x D ∈2x D ∈21x x ≠-()()1122f x x x f x -=-()y f x =为“等均”函数．下列函数中：①；②；③；④，“等均”函数的序号是__________．二、选择题（本大题共有4题，满分18分．第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13．若实数a ，b 满足，则下列不等式中恒成立的是（）A ．B．C ．D ．14．在2022北京冬奥会单板滑雪U 型场地技巧比赛中，6名评委给A 选手打出了6个各不相同的原始分，经过“去掉其中一个最高分和一个最低分”处理后，得到4个有效分，则经处理后的4个有效分与6个原始分相比，一定会变小的数字特征是（）A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差15．如图所示，在正方体中，M 是棱上一点，若平面与棱交于点N ，则下列说法中正确的是（ ）A ．存在平面与直线垂直B ．四边形可能是正方形C ．不存在平面与直线平行D ．任意平面与平面垂直16．已知无穷数列的各项均为实数，为其前n 项和，若对任意正整数都有，则下列各项中可能成立的是（ ）A ．，，，…，为等差数列，，，，…，为等比数列B ．，，，…，为等比数列，，，，…，为等差数列C ．，，，…，为等差数列，，，…，，…为等比数列D ．，，，…，为等比数列，，，…，，…为等差数列三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在四棱锥中，平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，，，()f x x =1()1x f x x -=+2()f x x =()sin f x x =0a b >>22a b +>22a b +<a b +>a b +<1111ABCD A B C D -1AA 1MBD 1CC 1MBND 1BB 1MBND 1MBND 11A C 1MBND 1ACB {}n a n S 2024k >1k k S S +>1a 3a 5a 21n a -2a 4a 6a 2n a 1a 3a 5a 21n a -2a 4a 6a 2n a 1a 2a 3a 2024a 2024a 2025a n a 1a 2a 3a 2024a 2024a 2025a n a P ABCD -PD ⊥//AB CD 60BAD ∠=︒，．（1）在侧面PBC 中能否作出一条线段，使其与AD 平行？如果能，请写出作图过程并给出证明；如果不能，请说明理由；（2）若四棱锥的体积是，求直线BP 与平面PCD 所成角的大小．18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分）记为数列的前n 项和，已知，是公差为的等差数列．（1）求的通项公式；（2）证明：．19．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分）汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．某种算法（如下图所示）将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为、、、．当车速为v （米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k 随地面湿滑程度等路面情况而变化，）阶段0、准备1、人的反应2、系统反应3、制动时间秒秒2AD AB ==4CD =P ABCD -n S {}n a 11a =n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭13{}n a 121112na a a +++< 0t 1t 2t 3t 0d 1d 2d 3d [0,33.3]v ∈[0.5,0.9]k ∈0t 10.8t =20.2t =3t距离米米（1）请写出报警距离d （米）与车速v （米/秒）之间的函数关系式，并求时，若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间．（精确到0.1秒）（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时〈精确到1千米/小时〉？20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知椭圆的左、右焦点分别为、、点在椭圆上，且．（1）求椭圆的方程；（2）过点作斜率为k 的直线l 交椭圆于M 、N 两点，若，O 为坐标原点，求直线l 的方程；（3）点P 、Q 为椭圆上的两个动点，O 为坐标原点，若直线OP 、OQ 的斜率之积为，求证：为定值．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设函数，直线l 是曲线在点处的切线．（1）当，求单调区间；（2）求证：l 不经过；（3）当时，设点，，，B 为l 与y 轴的交点，与分别表示和的面积．是否存在点A 使得成立？若存在，这样的点A 有几个？020d =1d 2d 23120d v k=()d v 0.9k =2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>1F 2F T ⎛- ⎝124TF TF +=Γ(1,0)Γ35OM ON ⋅=- Γ14-22||||OP OQ +()ln(1)(0)f x x k x k =++≠()y f x =(,())(0)t f t t >1k =-()f x (0,0)1k =(,())(0)A t f t t >(0,())C f t (0,0)O ACO S △ABO S △ACO △ABO △215ACO ABO S S =△△上海市青浦高级中学2024学年第一学期9月质量检测高三 数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．2．53．4．5．必要不充分6．127．8．39．10．1112．①③二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13．C 14．D 15．D 16．C三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）不能．因为梯形ABCD 中，，，，所以AD 不平行于BC ，则AD 与BC 必相交于一点，设为M ，面，在侧面PBC 中不能作AD 的平行线．（2）过点B 作于H ，连接PH ，因为平面ABCD ，平面ABCD ，所以，所以平面PCD ，所以PH 是BE 在平面PCD 内的射影，所以是直线BP 与平面PCD 所成角，因为中，，，所以是等边三角形，所以，，又因为，所以，所以，所以中，，又因为四棱锥的体积是所以，解得，所以中，，，直线BP 与平面PCD 所成角大小是18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分）π6{1,0}-6a ≠2543m ≤58//AB CD 2AB =4CD =AD ∴ PBC M =∴BH CD ⊥PD ⊥BH ⊂PD PH ⊥BH ⊥BPH ∠ABD △2AB AD ==60BAD ∠=︒ABD △60ADB ∠=︒2BD =//AB CD 120ADC ∠=︒60BDC ∠=︒Rt BDH △BH =1DH =P ABCD -111(2332V Sh h ==⋅+=2h =Rt BPH △PH ==BH =tan BH BPH PH ∠===arctan解：（1），当时，，作差，累加得，满足，．（2），．19．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分）解：（1）由题意得，，当时，，（秒）．（2）根据题意，要求对于任意，恒成立，即对于任意，，即恒成立，由得，，即，解得，（米/秒），（千米/小时），汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，合72千米/小时．20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解：（1）椭圆的左右焦点分别为、，点在椭圆上，且．，椭圆的方程．（2）设，，2233n n n n S n n S a a ++=⇒=2n ≥1113n n n S a --+=111n n a n a n -+=-1(1)2n a n n a +=1a n a (1)2n n n a +∴=11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭1211112121na a a n ⎛⎫∴+++=-< ⎪+⎝⎭ 0123()d v d d d d =+++21()2020d v v v k ∴=++0.9k =2()2018v d v v =++20()1112 3.118v t v v =++≥+=+=[0.5,0.9]k ∈()80d v <[0.5,0.9]k ∈21208020v v k ++<2160120k v v <-[0.5,0.9]k ∈111,201810k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2160110v v ∴<-2106000v v +-<3020v -<<020v ∴≤<360020721000⨯=∴ 2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>1F 2F T ⎛- ⎝Γ124TF TF +=21a b =⎧⎨=⎩∴2214x y +=()11,M x y ()22,N x y根据题意得，，与联立，整理可得，根据韦达定理可得①②将①代入②，解得，即直线l 的方程为或．（3）证明：设直线，联立方程组，得，，又直线，同理可得，为定值．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解：（1）当时，，得的单调增区间是，单调减区间是．（2），，，整理得，假设l 过原点，，设，，(1)y k x =-2214x y +=22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩()2222148440k x k x k +-+-=212221228144414k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩()()()()22212121212121231115OM ON x x y y x x k x k x k x x k x x k ⋅=+=+--=+-++=- 1k =±1y x =-1y x =-+:OP y kx =2244y kx x y =⎧⎨+=⎩22414x k =+()()222222241||114k OP x y k x k +∴=+=+=+1:4OQ y x k=-222161||41k OQ k +=+2222222244161205||||5414141k k k OP OQ k k k +++∴+=+==+++1k =-()(1)1x f x x x'=>-+()f x (0,)+∞(1,0)-()ln(1)(0)f x x k x k =++≠()11k f x x∴'=++:[ln(1)]1()1k l y t k t x t t ⎛⎫∴-++=+- ⎪+⎝⎭1ln(1)(0)11k kt y x k t k t t⎛⎫=+-++≠ ⎪++⎝⎭ln(1)0*1t t t -⇒++=+()ln(1)1t F t t t=+-+2211()01(1)(1)t F t t t t '=-=>+++所以在上严格增，，与*式矛盾．所以l 不经过原点．（3），，由（2）知时，，，，，设，，，极大值，极小值，又，所以在上有两个零点．存在点A 使得且点A 有两个．()F t (0,)+∞()0F t ∴>ln(1)1t t t∴+>+(,ln(1))A t t t ++(0,ln(1))C t t ++1k =0,ln(1)1t B t t ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭215ACO ABO S S = △△112||||15||||22OC AC OB AC ∴⨯⋅=⨯2||15||OC OB ∴=15()213ln(1)1t g t t t t =-+++(0)t >222294(21)(4)()(1)(1)t t t t g t t t -+--'==++13613ln 022g ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭(4)2013ln 50g =-<40(8)1613ln 903g =-+>()g t (0,)+∞∴215ACO ABO S S =△△。
数学名校-安徽省合肥市第一中学2024-2025学年高三上学期教学质量检测(11月)数学试题
C. 的最小值为 D. 的最小值为
10.如图是函数 的部分图象，A是图象的一个最高点，D是图象与y轴的交点，B，C是图象与x轴的交点，且 的面积等于 ，则下列说法正确的是（）
A.函数 的最小正周期为
B.函数 图象关于直线 对称
C.函数 图象可由 的图象向右平移 个单位长度得到
D.函数 与 在 上有2个交点
11.已知函数 及其导函数 的定义域均为R，若 ，且 是奇函数，令 ，则下列说法正确的是（）
A.函数 是奇函数B.
C D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知幂函数 在 上单调递减，则 ______.
13.已知 ，且 ，则 ________．
14.设函数 ，下列说法正确的有________．
7.已知函数 ， ，若 ，使得 ，则实数a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
8.已知正数x，y满足 ，则 的最小值为（）
A.1B.2C.3D.4
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知关于x的不等式 的解集为 ，则下列结论正确的是（）
18.记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求A取值的范围；
（2）若 ，求 周长的最ຫໍສະໝຸດ 值；（3）若 ，求 的面积．
19.已知函数 ，其中 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）判断函数 是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；
（3）讨论函数 在 上零点的个数.
第一学期高三年级教学质量检测
上海新高考高三数学试卷(含答案)
2022学年第一学期期中质量检测高三数学答案及评分细则一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．注：填写等价即可得分 1.已知复数iiz +-=324，则._____=z 2 2.如果两个球的体积之比为8:27，则这两个球的表面积之比为______.4:9 3.集合{}222,(1),33A a a a =+++,且1A ∈,则实数a 的值 .01-或 4. 若321324,24==-y x，则._____32=-y x 3-5.海上有,A B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60︒的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75︒的视角，那么B 岛和C 岛间的距离是___6. 已知向量b a m b m m a ⊥-+=-=且，),2,2()3,3(，则实数._____=m 16或- 7. 曲线x y =在点()2,4处的切线方程是__________.044=+-y x 8.将两颗质地均匀的骰子同时抛掷一次，则向上的点数之和为5的概率是___91___.9.若012233444)12(a x a x a x a x a x ++++=-，则420a a a ++=____41__.10. 已知a 是常数且10<<α，若R 53log 在xay ⎪⎭⎫⎝⎛=上是严格增函数，则实数a 的取值范围是_______.153<<a11. 函数()R 1cos 4cos 2∈+-=x x x y 的最大值是___6___. 12.某位学生在研究函数)R (1)(∈+=x xxx f 时得出下列一些结论： ① 0)()(=+-x f x f 对任意R ∈x 恒成立； ② 函数)(x f 的值域为)1,1(-； ③ 若21x x ≠，则一定有)()(21x f x f ≠； ④ 函数x x f x g -=)()(有3个零点. 其中正确的序号是__①②③____.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13. 设c b a 、、是实数，则下列命题成立的是（ D ）A. 如果b a >，那么22bc ac >；B. 如果ac ab >，那么c b >；C. 如果c ab >，那么bca >; D. 如果22bc ac >，那么b a >. 14.已知βα、是两个不同的平面，“βα//”的一个充分非必要条件是（ D ）A.α内有无数条直线平行于βB. 存在平面γ，γβγα⊥⊥，C. 存在平面γ，n m n m //,且，==γβγαD.对任意直线l ，l l ⊥⊥βα，15. 函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=4sin 212πx y 是（ C ）A. )(x f 是偶函数B. 函数)(x f 的最小正周期是π2C. 曲线)(x f y =关于4π-=x 对称 D. )2()1(f f >16. 整数集Z 中，被5除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ,即[]{}Z 5∈+=n k n k ，其中{}4,3,2,1,0∈k .以下判断错误的是（ B ）A. []22022∈;B. []22∈-;C. [][][][][]43210Z =D. 若[]0∈-b a ，则整数b a 、属于同一“类”.三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．注：此处仅给了一种解法，其他解法相应得分17．（本题满分14分）已知R ∈b a 、,集合{}24A <-=x x ，{}0B 2<++=b ax x x ，φ≠B A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧--==27lg B A x x y x ，求b a +的取值范围.【解答】）（6,2=A ， …………………………………………4分)7,2(=B A …………………………………………8分由φ≠B A ，得)7,(B m =，其中26m ≤<.……10分 于是m b m a 7,7=--=.……………………………12分[)675,29a b m +=-∈………………………………14分18.（本题满分14分，第1小题满7分，第2小题满7分）某企业因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为60，整治后前四个月的污染度如下表；污染度 60 31 13 0 ……当污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式： ()204(1)f x x x =-≥， 220()(4)(1)3g x x x =-≥， 2()30log 2(1)h x x x =-≥， 其中x 表示月数，()f x 、)()(x h x g 和分别表示污染度． （1）问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；（2）若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60． 【解答】（1）计算各函数对应各月份污染度得下表：月数（x ） 1 2 3 4 …… 污染度60 31 13 0 …… )(x f 60 40 20 0 )(x g60 26.7 6.7 0 )(x h603012.45从上表可知，函数)(x h 模拟比较合理，故选择)(x h 作为模拟函数. ………7分（2）602log 302≤-x ……………………………………………………………10分解得161≤≤x ， …………………………………………………………13分所以，整治后16个月的污染度不超过60. ………………………………14分 19.（本题满分14分,第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在圆柱中，底面直径AB 等于母线AD ，点E 在底面的圆周上，且AF ⊥DE,F 是垂足. （1）求证：AF ⊥BD ；（2）若圆柱与三棱锥D-ABE 的体积之比等于3π，求直线DE 与平面ABD 所成的角的大小.【解答】（1）∵点E 在底面的圆周上∴AE ┴BE ……1分 又∵AD ┴平面ABE ，∴AD ┴BE …………………………2分 ∴BE ┴平面ADE ，………………………………………4分 ∴AF ⊥BD.……………………………………………6分 （2）设圆柱底面圆的圆心为点O ，半径为r ，则它的高为2r ，∴圆柱的体积r r V 22⋅=π圆柱，r S V ABE ABE D 231⋅=∆-由π3=-ABED V V 圆柱,得2r S ABE =∆， …………………8分 ∴ABE ∆边AB 上的高为r, ……………………9分 ∴点E 在圆弧AB 的中点，∴AB OE ⊥. ………10分 ∴∠EDO 就是直线DE 与平面ABD 所成的角.……11分 又OE=r,r OD 5=,………………………………12分 ∴555tan ==∠rr EDO …………………………13分 ∴∠EDO=55arctan.………………………………14分 20．（本题满分16分，第1小题满分6分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）已知函数236sin 3sin cos 3)(2-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ππx x x x f .（1）求)(x f 的最大值及相应的x 的取值； （2）求)(x f 的单调递增区间及零点；（3）若61)(=αf ，且⎪⎭⎫⎝⎛∈3,12ππα，求α2cos 的值.【解答】 (1))(x f ＝⎪⎭⎫⎝⎛+32sin 21πx .……………………………………………4分所以当22,Z 32x k k πππ+=+∈,即,Z 12x k k ππ=+∈时，…………………………………………………………5分)(x f 取最大值为12，……………………………………………………………6分 （2）由Z ,223222∈+≤+≤-k k x k πππππ. ………………………………………7分解得Z ,12125∈+≤≤-k k x k ππππ， 即)(x f 的单调递增区间是()Z 12125∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-k k k ππππ，……………………8分由Z ,32∈=+k k x ππ得Z ,62∈-=k k x ππ，…………………………………9分 所以)(x f 的零点为.Z ,62∈-=k k x ππ………………………………………10分 （3）由61)(=αf 得3132sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα，……………………………………………11分因为⎪⎭⎫ ⎝⎛∈3,12ππα，所以⎪⎭⎫⎝⎛∈+πππα，232，………………………………12分所以⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+32sin 132cos 2παπα……………………………………13分＝3223112-=⎪⎭⎫⎝⎛--. ……………………………………………………14分所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=332cos 2cos ππαα ＝3sin 32sin 3cos 32cos ππαππα⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+ …………………………………15分＝6223233121322-=⋅+⋅-. …………………………………………16分 21．（本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知44()ln (0)f x ax x bx c x =+->在1x =处取得极值3c --，其中a ，b ，c 为常数．(1) 试确定实数a ，b 的值； (2) 求函数()f x 的单调区间；(3) 若对任意0x >，不等式2()2f x c ≥-恒成立，求实数c 的取值范围． 【解答】 (1) 由题意，得b －c ＝－3－c ，则b ＝－3. ………………………2分)4ln 4(4ln 4)(3333b a x a x bx ax x ax x f ++=++='， ………………………4分则04)1(=+='b a f ，解得a ＝12. …………………………………………6分 故实数a ，b 的值分别为12，－3. ………………………………………（6分） (2) 由(1)，得44()12ln 3(0)f x x x x c x =-->，所以)0(ln 48)(3>='x x x x f ．………………………………………………7分 令0)(='x f ，解得1=x . …………………………………………………8分 当10<<x 时，0)(<'x f ，此时)(x f 为单调减函数；……………………10分 当1>x 时，0)(>'x f ，此时)(x f 为单调增函数；………………………11分故函数)(x f 的单调增区间为)1(∞+，，单调减区间为)1,0(．……………12分 (3) 根据(2)的结论，所以c f x f --==3)1()(min .…………………………14分 因为22)(c x f -≥恒成立，所以－3－c ≥－2c 2，…………………………16分 解得c ≥32或c ≤－1，故实数c 的取值范围为(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-∞-,231, . …………18分。
2025届河南省信阳市第四高级中学数学高三第一学期期末检测试题含解析
2025届河南省信阳市第四高级中学数学高三第一学期期末检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合{}(2)0A x x x =->，{}10B x x =->，则A B =A ．{}10x x x ><或B ．{}12x x <<C ．{|2}x x >D ．{}1x x >2．已知正项等比数列{}n a 满足76523a a a =+，若存在两项m a ，n a ，使得219m n a a a ⋅=，则19m n+的最小值为（ ）. A ．16 B ．283C ．5D ．43．已知点(A 在双曲线()2221010x y b b-=>上，则该双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．2C D ．4．已知命题p ：任意4x ≥，都有2log 2x ≥；命题q ：a b >，则有22a b >．则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ⌝∨5．若()*3nx n N⎛+∈ ⎝的展开式中含有常数项，且n 的最小值为a ，则aa-=（ ） A ．36πB ．812πC ．252πD ．25π6．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(2)()f x e f x +=-（其中 2.71828e =），且在区间[,2]e e 上是减函数，令ln 22a =，ln33b =，ln 55c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系（用不等号连接）为（ ） A ．()()()f b f a f c >> B ．()()()f b f c f a >> C ．()()()f a f b f c >>D ．()()()f a f c f b >>7．数列{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ∈[1，2]，且a 4+λa 10+a 16＝15，则实数λ的最大值为（ ） A ．72B ．5319C ．2319-D ．12-8．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60︒角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ） A ．4πB ．16πC ．163πD ．323π9．已知实数x ，y 满足约束条件2202202x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则22x y +的取值范围是（ ）A ．25,225⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,85⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,85⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]1,810．函数3()cos ln ||f x x x x x =+在[,0)(0,]ππ-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知复数z 满足：((1)11)i z i +-=-，则z 的共轭复数为（ ） A ．12i -B ．1i +C ．1i -+D ．12i +12．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步． 其中正确的个数为（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年北京市第四中学高三上学期开学测试数学试卷含详解
北京四中2023-2024学年度第一学期开学测试高三数学考试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.集合{}{}12,1A x x B x x =-≤≤=<，则R ()A B = ð（）A.{}1x x >B.{}1x x ≥C.{}12x x <≤ D.{}12x x ≤≤2.在6(x 的展开式中，3x 的系数为（）A.-B.C.40- D.403.已知0.10.644,2,log 0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A.c<a<bB.c b a <<C.a b c<< D.b a c<<4.有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名学生，其中恰好有1名男生的概率是（）A.815B.625C.215D.4455.已知函数()f x 在R 上可导，其部分图象如图所示，设(2)(1)21f f a -=-，则下列不等式正确的是（）A.(1)(2)f f a ''<<B.(1)(2)f a f ''<<C.(2)(1)f f a ''<<D.(1)(2)a f f ''<<6.给出下面四个命题：①“直线a ，b 不相交”是“直线a ，b 为异面直线”的充分而不必要条件；②“l⊥平面α”是“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件；③“a 平行于b 所在的平面”是“直线//a 直线b ”的充要条件；④“直线a 平行于α内的一条直线”是“直线//a 平面α”的必要而不充分条件.其中正确命题的序号是（）A.①③B.②③C.②④D.③④7.“苏州码子”发源于苏州，在明清至民国时期，作为一种民间的数字符号曾经流行一时，广泛应用于各种商业场合.110多年前，詹天佑主持修建京张铁路，首次将“苏州码子”刻于里程碑上.“苏州码子”计数方式如下：〡1.､〢2.､〣3.､〤4.､〥5.､〦6.､〧7.､〨8.､〩9.､〇0．为了防止混淆，有时要将“〡”“〢”“〣”横过来写.已知某铁路的里程碑所刻数字代表距离始发车站的里程，每隔2公里摆放一个里程碑，若在A 点处里程碑上刻着“〣〤”，在B 点处里程碑刻着“〩〢”，则从A 点到B 点里程碑的个数应为（）A.29B.30C.58D.598.ABC ∆中，22:tan :tan a b A B =，则ABC ∆一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形9.已知函数()22,,x ax x af x x a x a⎧-+≥⎪=⎨+<⎪⎩，若对于任意正数k ，关于x 的方程()f x k =都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a 的个数为（）A.0B.1C.2D.无数10.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y mx =（0m >）与曲线3y x =从左至右依次交于A ，B ，C 三点．若直线l ：30kx y -+=（R k ∈）上存在点P 满足2PA PC +=，则实数k 的取值范围是（）A.(2,2)- B.[-C.(,2)(2,)-∞-+∞ D.(,)-∞-⋃+∞二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.若复数z 满足2i1iz =+，则z 的虚部为______.12.已知向量,a b ,满足：()1,6,2a b a b a ==⋅-= ，则a 与b 的夹角为________．13.角α的终边与单位圆的交点A 位于第一象限，其横坐标为35，那么sin α=__________，点A 沿单位圆逆时针运动到点B ，所经过的弧长为4π，则点B 的横坐标为__________．14.抛物线x 2=2py （p ＞0）的焦点为F ，其准线与双曲线-=1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p=___________.15.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB AA AD ===，动点,E F 分别在线段AB 和1CC 上.给出下列四个结论：①113D DEF V -=；②1D EF V 不可能是等边三角形；③当1D E DF ⊥时，1D F EF =；④至少存在两组,E F ，使得三棱锥1D DEF -的四个面均为直角三角形.其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题（共6小题，共85分）16.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，60ABC ∠=，对角面11AAC C 是矩形，且平面11AA C C ⊥平面ABCD .（1）证明：侧棱1AA ⊥平面ABCD ：（2）设AC BD O = ，若1AB AA =，求二面角11D OB C --的余弦值.17.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，cos 3sin b a C c A =+.（1）求角A 的大小；（2）从以下三个条件中选择一个作为已知，使得三角形存在且唯一确定，求ABC 的面积.条作①：7a =，8b =条件②：1sin 7B =，7a =条什③：2a b =，8c =注：如果选择的条件不符合要求.第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.18.2022年第24届冬季奥林匹克运动会期间，为保障冬奥会顺利运行，组委会共招募约2.7万人参与赛会志愿服务.赛会共设对外联络服务、竞赛运行服务、文化展示服务等共12类志愿服务.（1）甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，每人只参加一类志愿服务.求甲被分配到对外联络服务且乙被分配到竞赛运行服务的概率；（2）已知来自某高校的每名志愿者被分配到文化展示服务的概率是110，设来自该高校的2名志愿者被分配到文化展示服务的人数为X ，求X 的分布列与数学期望()E X ；（3）已知在2.7万名志愿者中，18~35岁人群占比达到95%，为了解志愿者们对某一活动方案是否支持，通过分层随机抽样获得如下数据：18~35岁人群其他人群支持不支持支持不支持方案90人5人1人4人假设志愿者对活动方案是否支持相互独立.将志愿者支持方案的概率估计值记为0p ，去掉其他人群后志愿者支持方案的概率估计值记为1p ，试比较0p 与1p 的大小.（结论不要求证明）19.设函数()2ln 2x f x k x =-，0k >．（1）求()f x 的单调区间和极值；（2）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(上仅有一个零点．20.已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点.21.正实数构成的集合{}()12,,,2n A a a a n =⋅⋅⋅≥，定义{},,i j i j A A a a a a A i j ⊗=⋅∈≠且.当集合A A ⊗中恰有()12n n -个元素时，称集合A 具有性质Ω.（1）判断集合{}11,2,4A =，{}21,2,4,8A =是否具有性质Ω；（2）若集合A 具有性质Ω，且A 中所有元素能构成等比数列，A A ⊗中所有元素也能构成等比数列，求集合A 中的元素个数的最大值：（3）若集合A 具有性质Ω，且A A ⊗中的所有元素能构成等比数列.问：集合A 中的元素个数是否存在最大值?若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.北京四中2023-2024学年度第一学期开学测试高三数学考试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.集合{}{}12,1A x x B x x =-≤≤=<，则R ()A B = ð（）A.{}1x x >B.{}1x x ≥C.{}12x x <≤ D.{}12x x ≤≤【答案】D【分析】先求出集合B 的补集，再求出()A B R ð【详解】因为{}1B x x =<，所以{}R 1B x x =≥ð，因为{}12A x x =-≤≤，所以R ()A B = ð{}12x x ≤≤，故选：D2.在6(x 的展开式中，3x 的系数为（）A.-B.C.40- D.40【答案】A【分析】利用二项展开式的通项直接求得.【详解】6(x -的展开式的通项公式为(()666216612r rrrrr r r T C x C x ---+==-，要求3x 项，只需令r=3,所以3x 的系数为()636332612=C ----.故选：A【点睛】二项式定理类问题的处理思路：利用二项展开式的通项进行分析．3.已知0.10.644,2,log 0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A.c<a<bB.c b a <<C.a b c <<D.b a c<<【答案】A【分析】化简a ，通过讨论函数()2xf x =和()4log g x x =的单调性和取值范围即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】解：由题意，0.10.242a ==，在()2xf x =中，函数单调递增，且()0f x >，∴0.20.6022b a <<==，在()4log g x x =中，函数单调递增，且当01x <<时，()0g x <，∴4log 0.60c =<，∴c<a<b ，故选：A.4.有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名学生，其中恰好有1名男生的概率是（）A.815B.625C.215D.445【答案】A【分析】利用古典概型结合组合数计算概率即可.【详解】由题意可得恰有一名男生的概率为：1146210C C 8C 15P ==.故选：A5.已知函数()f x 在R 上可导，其部分图象如图所示，设(2)(1)21f f a -=-，则下列不等式正确的是（）A.(1)(2)f f a ''<<B.(1)(2)f a f ''<<C.(2)(1)f f a ''<<D.(1)(2)a f f ''<<【答案】B【分析】利用直线的斜率公式和导数的几何意义结合图象即可判断.【详解】由图象可知，函数在[0,)+∞上的增长越来越快，故函数图象在点00(,())x f x （0(0,)x ∈+∞）的切线的斜率越来越大，因为(2)(1)21f f a -=-，所以(1)(2)f a f ''<<.故选：B.6.给出下面四个命题：①“直线a ，b 不相交”是“直线a ，b 为异面直线”的充分而不必要条件；②“l⊥平面α”是“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件；③“a 平行于b 所在的平面”是“直线//a 直线b ”的充要条件；④“直线a 平行于α内的一条直线”是“直线//a 平面α”的必要而不充分条件.其中正确命题的序号是（）A.①③ B.②③C.②④D.③④【答案】C【分析】根据空间中直线的位置关系可判断①；根据线面垂直的判定及性质可判断②；根据线面平行的判定及性质可判断③④.【详解】①若直线a ，b 不相交，则//a b 或a ，b 为异面直线；若直线a ，b 为异面直线，则a ，b 不相交，所以“直线a ，b 不相交”是“直线a ，b 为异面直线”的必要而不充分条件，故①错误.②根据线面垂直的判定及性质可知，若l ⊥平面α，则直线l ⊥平面α内所有直线；反之，亦成立，所以“l⊥平面α”是“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件，故②正确.③若a 平行于b 所在的平面，则//a b 或a ，b 为异面直线；若直线//a 直线b ，a 平行于b 所在的平面或a 在b 所在的平面内，所以“a 平行于b 所在的平面”是“直线//a 直线b ”的既不充分也不必要条件，故③错误.④若直线a 平行于α内的一条直线，则//a α或a α⊂；若直线//a 平面α，则能得到直线a 平行于α内的一条直线，所以“直线a 平行于α内的一条直线”是“直线//a 平面α”的必要而不充分条件，故④正确.故选：C.7.“苏州码子”发源于苏州，在明清至民国时期，作为一种民间的数字符号曾经流行一时，广泛应用于各种商业场合.110多年前，詹天佑主持修建京张铁路，首次将“苏州码子”刻于里程碑上.“苏州码子”计数方式如下：〡1.､〢2.､〣3.､〤4.､〥5.､〦6.､〧7.､〨8.､〩9.､〇0．为了防止混淆，有时要将“〡”“〢”“〣”横过来写.已知某铁路的里程碑所刻数字代表距离始发车站的里程，每隔2公里摆放一个里程碑，若在A 点处里程碑上刻着“〣〤”，在B 点处里程碑刻着“〩〢”，则从A 点到B 点里程碑的个数应为（）A.29B.30C.58D.59【答案】B【分析】里程碑上刻着数字依次成等差数列，求出,A B 两处刻的数字，按等差数列的公式求得项数即可．【详解】根据题意A 点处里程碑上刻着数字34，B 点处里程碑刻着数字92，里程碑刻着数字厉等差数列，公差为2，因此里程碑个数为92341302-+=．故选：B ．8.ABC ∆中，22:tan :tan a b A B =，则ABC ∆一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【答案】D【分析】由已知22:tan :tan a b A B =，利用正弦定理及同角的三角函数的基本关系对式子进行化简，然后结合三角函数的性质再进行化简即可判断．【详解】∵22:tan :tan a b A B =，由正弦定理可得，22sin sin tan sin cos sin sin sin tan sin cos cos AA A A BB B B B B A B===，∵sin sin B 0A ≠，∴sin cos sin cos A BB A=，∴sin cos sin cos A A B B =即sin 2sin 2A B =，∵()(),0,,0,A B A B ππ∈+∈，∴22A B =或22A B π+=，∴A B =或2A B π+=，即三角形为等腰或直角三角形，故选D ．【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系及正弦定理的应用，利用正弦定理进行代数式变形是解题的关键和难点．9.已知函数()22,,x ax x af x x a x a ⎧-+≥⎪=⎨+<⎪⎩，若对于任意正数k ，关于x 的方程()f x k =都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a 的个数为（）A.0B.1C.2D.无数【答案】B【分析】分0a =、0a >、a<0三种情况讨论，作出函数()f x 的图象，根据已知条件可得出关于实数a 的等式与不等式，进而可求得实数a 的取值.【详解】当0a =时，()22,0,0x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，作出函数()f x的图象如下图所示：由图可知，当02k <<时，关于x 的方程()f x k =有且只有一个实根，不合乎题意；当0a >时，()22,,,x ax x af x x a a x a x a x a ⎧-+≥⎪=+-<<⎨⎪--≤-⎩，如下图所示：函数()f x 在(),a -∞-上单调递减，在(),a a -上单调递增，在(),a +∞上单调递增，由题意可得22222a a a a -+==，解得1a =；若a<0，则()22,,x ax x af x x a x a ⎧-+≥=⎨--<⎩，如下图所示：函数()f x 在(),a -∞单调递减，在,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，由题意可得2222280a a aa ⎧-+=-⎨∆=-≥⎩，此时a 无解.综上所述，1a =.故选：B.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.10.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y mx =（0m >）与曲线3y x =从左至右依次交于A ，B ，C 三点．若直线l ：30kx y -+=（R k ∈）上存在点P 满足2PA PC +=，则实数k 的取值范围是（）A.(2,2)- B.[22,22]-C.(,2)(2,)-∞-+∞ D.(,2][22,)-∞-⋃+∞【答案】D【分析】根据直线y mx =与曲线3y x =都关于原点对称，得到A ，C 关于点B 对称，则2PA PC += ，即为1PB =，然后将问题转化为点B 到直线30kx y -+=的距离不大于1求解.【详解】因为直线y mx =与曲线3y x =都关于原点对称，且都过原点，所以B 为原点，A ，C 关于点B 对称，因为直线l ：30kx y -+=（R k ∈）上存在点P 满足2PA PC +=，所以1PB =，则点B 到直线30kx y -+=的距离不大于1，1≤，解得k ≤-或k ≥所以实数k 的取值范围是(,)-∞-⋃+∞.故选：D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.若复数z 满足2i1iz =+，则z 的虚部为______.【答案】1【分析】利用复数除法的法则，结合复数的虚部定义进行求解即可.【详解】因为()()()i 1i i i i i i 221111z -===+++-，所以z 的虚部为1，故答案为：112.已知向量,a b ,满足：()1,6,2a b a b a ==⋅-= ，则a 与b的夹角为________．【答案】π3【分析】先根据()2a b a ⋅-= 求出a b ⋅ ，利用夹角公式可得答案.【详解】因为()2a b a ⋅-= ，1a = ，所以3a b ⋅=；所以31cos ,62a b a b a b ⋅===，因为[],0,πa b ∈ ，所以π,3a b = .故答案为：π3.13.角α的终边与单位圆的交点A 位于第一象限，其横坐标为35，那么sin α=__________，点A 沿单位圆逆时针运动到点B ，所经过的弧长为4π，则点B 的横坐标为__________．【答案】①.45②.10-【分析】利用三角函数的定义求出cos α的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得sin α，由三角函数的定义可知点B 的横坐标为cos 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭，利用两角和的余弦公式可求得结果.【详解】由三角函数的定义可得3cos 5α=，由已知可知α为第一象限角，则4sin 5α=，将点A 沿单位圆逆时针运动到点B ，所经过的弧长为4π，则点B 的横坐标为2cos cos cos sin sin 44410πππααα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭.故答案为：45；10-.14.抛物线x 2=2py （p ＞0）的焦点为F ，其准线与双曲线-=1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p=___________.【答案】6【详解】因为抛物线x 2=2py 的准线2py =-和双曲线-=1相交交点横坐标为, 6.2x p p =∴=由等边三角形得解得考点：本题主要考查抛物线的概念、标准方程、几何性质，考查分析问题解决问题的能力.15.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB AA AD ===，动点,E F 分别在线段AB 和1CC 上.给出下列四个结论：①113D DEF V -=；②1D EF V 不可能是等边三角形；③当1D E DF ⊥时，1D F EF =；④至少存在两组,E F ，使得三棱锥1D DEF -的四个面均为直角三角形.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】①②④【分析】根据长方体的特征，利用等体积法确定①，根据特殊情况分析三角形边长可判断②，利用向量法可判断③，根据长方体中的特殊位置找出满足条件三棱锥判断④.【详解】由题意，在长方体中，E 到平面CC 1D 1D 的距离为1，F 到边1DD 的距离为2，所以11111112323D DEFE DDF V V --==⨯⨯⨯⨯=，故①正确；由图可知，1D F 的最小值为2，若12D E =，则DE ===,则AE ==，若此时2EF =，则EC ===，可得BE ==，则2AE BE AB +=>=，即1D F 取最小值为2时，1,D E EF 不能同时取得2，当1D F 变大时，1,D E EF 不可能同时大于2，故1D EF V 不可能是等边三角形，故②正确；建立空间直角坐标系，如图，则1(0,0,0),(0,0,1)D D ,设(1,,0)(02)E m m ≤≤，(0,2,)(01)F n n ≤≤，1(1,,1),(0,2,)D E m DF n =-= ，由1D E DF ⊥可得1(1,,1)(0,2,)20D E DF m n m n ⋅=-⋅=-=，即2n m =，1D F ===，EF ===，显然1D F 与EF 不恒相等，只有0m n ==时才成立，故③错误；当E 为AB 中点，F 与C 重合时，如图，此时，1D D DE ⊥，1D D DC ⊥，又2DE EC ==2DC =，故222DE EC DC +=，所以DE EC ⊥，因为113,2,5D E EC D C ===22211D E EC D C +=,所以1D E EC ⊥，即三棱锥1D DEF -的四个面均为直角三角形，当E 与B 重合，F 与C 重合时，如图，显然1D D DB ⊥，1D D DC ⊥，CB DC ⊥，1CB D C ⊥，故三棱锥1D DEF -的四个面均为直角三角形，综上可知，至少存在两组,E F ，使得三棱锥1D DEF -的四个面均为直角三角形，故④正确.故答案为：①②④【点睛】关键点点睛：本题四个选项比较独立，①的关键在于转化顶点，得出高及底面积为定值；②分析三边中1D F 的最小值为2，此时其余两边不能同时等于2;③利用向量得出两点的关系，在此关系下不一定能推出两边长相等；④考虑特殊位置寻求满足条件的位置是解题关键.三、解答题（共6小题，共85分）16.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，60ABC ∠=，对角面11AAC C 是矩形，且平面11AA C C ⊥平面ABCD .（1）证明：侧棱1AA ⊥平面ABCD ：（2）设AC BD O = ，若1AB AA =，求二面角11D OB C --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）25719【分析】（1）利用面面垂直的性质来进行证明即可；（2）以O 为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.【小问1详解】四边形11AA C C 是矩形，1AA AC ∴⊥，又平面11AA C C ⊥平面ABCD ，平面11AA C C 平面ABCD AC =，1AA ⊂平面11AA C C ，1AA ∴⊥平面ABCD .【小问2详解】四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥，以O 为坐标原点，,OB OC正方向为,x y 轴，平行于1AA 的直线为z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，设12AB AA ==，则()0,0,0O，)13,0,2B ，()10,1,2C ，)13,0,2OB ∴=，()10,1,2OC =，设平面11OB C 的法向量(),,n x y z =，则1132020OB n x z OC n y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令2x =，解得：23y =3z =，(2,3,3n ∴= ；平面1OB D y ⊥轴，∴平面1OB D 的一个法向量()0,1,0m =，257cos ,19m n m n m n⋅∴==⋅ ，二面角11D OB C --为锐二面角，∴二面角11D OB C --的余弦值为25719.17.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，cos sin b a C A =+.（1）求角A 的大小；（2）从以下三个条件中选择一个作为已知，使得三角形存在且唯一确定，求ABC 的面积.条作①：7a =，8b =条件②：1sin 7B =，7a =条什③：a =，8c =注：如果选择的条件不符合要求.第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）π6A =（2）答案见解析【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换知识可求得tan A ，由此可得A ；（2）若选①，利用余弦定理构造方程求得c ，知三角形不唯一，不合题意；若选②，利用正弦定理可求得b ，再利用余弦定理求得c ，代入三角形面积公式即可；若选③，利用余弦定理可构造方程求得b ，代入三角形面积公式即可.【小问1详解】由正弦定理得：sin sin cos sin B A C C A =+，又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，cos sin sin A C C A ∴=，()0,πC ∈ ，sin 0C ∴>，cos A A =，即tan 3A =，()0,πA ∈ ，π6A ∴=.【小问2详解】若选条件①，由余弦定理得：22222cos 6449a b c bc A c =+-=+-=，即2150c -+=，解得：2c =或2c +=，∴三角形不唯一，不合题意；若选条件②，由正弦定理得：sin 121sin 2a Bb A===，由余弦定理得：22222cos 449a b c bc A c =+-=+-=，即2450c --=，解得：c =-（舍）或c =，∴满足题意的三角形唯一，满足题意；此时11153sin 22222ABC S bc A ==⨯⨯= ；若选条件③，由余弦定理得：222222cos 642a b c bc A b b =+-=+-=，即2640b +-=，解得：b =--b =-，∴满足题意的三角形唯一，满足题意；此时(111sin 8222ABC S bc A ==⨯-⨯⨯=- .18.2022年第24届冬季奥林匹克运动会期间，为保障冬奥会顺利运行，组委会共招募约2.7万人参与赛会志愿服务.赛会共设对外联络服务、竞赛运行服务、文化展示服务等共12类志愿服务.（1）甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，每人只参加一类志愿服务.求甲被分配到对外联络服务且乙被分配到竞赛运行服务的概率；（2）已知来自某高校的每名志愿者被分配到文化展示服务的概率是110，设来自该高校的2名志愿者被分配到文化展示服务的人数为X ，求X 的分布列与数学期望()E X ；（3）已知在2.7万名志愿者中，18~35岁人群占比达到95%，为了解志愿者们对某一活动方案是否支持，通过分层随机抽样获得如下数据：18~35岁人群其他人群支持不支持支持不支持方案90人5人1人4人假设志愿者对活动方案是否支持相互独立.将志愿者支持方案的概率估计值记为0p ，去掉其他人群后志愿者支持方案的概率估计值记为1p ，试比较0p 与1p 的大小.（结论不要求证明）【答案】（1）1132（2）分布列见解析，15（3）01p p <【分析】（1）利用古典概型计算即可；（2）根据离散型随机变量的分布列和期望公式计算即可；（3）由表格可计算得01,p p 判定大小即可.【小问1详解】甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，每人只参加一类志愿服务的基本事件空间Ω有212A 1211132=⨯=个基本事件，记事件A ：“甲被分配到对外联络服务且乙被分配到竞赛运行服务”，即包含1个基本事件，则1()132P A =；【小问2详解】由题知，0,1,2X =，1~(2,)10X B 22181(0)C 110100P X ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，12119(1)C 1101050P X ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭，22211(2)C 10100P X ⎛⎫===⎪⎝⎭，则X 的分布列：X012P811009501100X 的数学期望()81911012100501005E X =⨯+⨯+⨯=；【小问3详解】易知019019190189051410090519p p +==<==++++.19.设函数()2ln 2x f x k x =-，0k >．（1）求()f x 的单调区间和极值；（2）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(上仅有一个零点．【答案】（1）单调递减区间是(，单调递增区间是)+∞；极小值()1ln 2k k f-=；（2）证明详见解析.【详解】试卷分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数零点问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（Ⅰ）先对()f x 求导，令()0f x '=解出x ，将函数的定义域断开，列表，分析函数的单调性，所以由表格知当x =时，函数取得极小值，同时也是最小值；（Ⅱ）利用第一问的表，知f 为函数的最小值，如果函数有零点，只需最小值(1ln )02k k -≤，从而解出k e ≥，下面再分情况分析函数有几个零点.试卷解析：（Ⅰ）由()2ln 2x f x k x =-，（0k >）得2()k x kf x x x x-=-='.由()0f x '=解得x =()f x 与()f x '在区间(0,)+∞上的情况如下：所以，()f x 的单调递减区间是，单调递增区间是)+∞；()f x 在x=(1ln )2k k f -=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为(1ln )2k k f -=.因为()f x 存在零点，所以(1ln )02k k -≤，从而k e ≥.当k e =时，()f x 在区间上单调递减，且0f =，所以x =()f x 在区间上的唯一零点.当e k >时，()f x 在区间上单调递减，且1(1)02f =>，02e kf -=<，所以()f x 在区间上仅有一个零点.综上可知，若()f x 存在零点，则()f x 在区间上仅有一个零点.考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值、函数零点问题.20.已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点.【答案】（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）见解析.【分析】(Ⅰ)由题意确定a ,b 的值即可确定椭圆方程；(Ⅱ)设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM ,ON 的表达式，结合韦达定理确定t 的值即可证明直线恒过定点.【详解】（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为(1,0)，所以1225；因为椭圆经过点(0,1)A ,所以1b =，所以2222a b c =+=，故椭圆的方程为2212xy +=.（Ⅱ）设1122(,),(,)P x y Q x y 联立2212(1)x y y kx t t ⎧+=⎪⎨⎪=+≠⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=，21212224220,,1212kt t x x x x k k -∆>+=-=++，121222()212t y y k x x t k +=++=+，222212121222()12t k y y k x x kt x x t k -=+++=+.直线111:1y AP y x x --=，令0y =得111x x y -=-，即111x OM y -=-；同理可得221x ON y -=-.因为2OM ON =,所以1212121212211()1x x x x y y y y y y --==---++；221121t t t -=-+，解之得0=t ，所以直线方程为y kx =，所以直线l 恒过定点(0,0).【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21.正实数构成的集合{}()12,,,2n A a a a n =⋅⋅⋅≥，定义{},,i j i j A A a a a a A i j ⊗=⋅∈≠且.当集合A A ⊗中恰有()12n n -个元素时，称集合A 具有性质Ω.（1）判断集合{}11,2,4A =，{}21,2,4,8A =是否具有性质Ω；（2）若集合A 具有性质Ω，且A 中所有元素能构成等比数列，A A ⊗中所有元素也能构成等比数列，求集合A 中的元素个数的最大值：（3）若集合A 具有性质Ω，且A A ⊗中的所有元素能构成等比数列.问：集合A 中的元素个数是否存在最大值?若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）1A 具有性质Ω；2A 不具有性质Ω.（2）3（3）存在，4【分析】（1）将集合1A ，2A 进行计算，得出集合中的元素个数即可知1A 具有性质Ω；2A 不具有性质Ω.（2）利用等比数列性质和集合性质Ω的定义，即可得集合A 中的元素个数最大值为3；（3）根据集合具有的性质Ω的定义，对集合中的元素个数进行分类讨论，再由集合元素的互异性得出矛盾即可求出A 中的元素个数最大值是4.【小问1详解】1A 具有性质Ω；2A 不具有性质Ω.若{}11,2,4A =，则{}112,4,8A A ⊗=，恰有()33132-=个元素，所以1A 具有性质Ω；若{}21,2,4,8A =，{}222,4,8,16,32A A ⊗=，有5个元素，()44152-≠，2A 不具有性质Ω.【小问2详解】当A 中的元素个数4n ≥时，因为A 中所有元素能构成等比数列，不妨设元素依次为12,,,n a a a 构成等比数列，则121n n a a a a -=，其中121,,,n n a a a a -互不相同.于是这与A 具有性质Ω，A A ⊗中恰有()21C 2n n n -=个元素，即任取A 中两个不同元素组成组合的两个数其积的结果互不相同相矛盾.当A 中的元素个数恰有3个时，取{1,2,4}A =时满足条件，所以集合A 中的元素个数最大值为3.【小问3详解】因为0(1,2,,)i a i n >= ，不妨设1231n n a a a a a -<<<<< ，所以121321n n n n a a a a a a a a --<<<< .（1）当5n >时，121321,,,,n n n n a a a a a a a a -- 构成等比数列，所以131122n n n na a a a a a a a --== ，即2132n n a a a a --=，其中2132,,,n n a a a a --互不相同.这与A A ⊗中恰有()21C 2n n n -=个元素，即任取A 中两个不同元素组成组合的两个数其积的结果互不相同相矛盾.（2）当5n =时，12133545,,,,a a a a a a a a 构成等比数列，第3项是23a a 或14a a .①若第3项是23a a ，则132345121335a a a a a a a a a a a a === ，即324213a a a a a a === ，所以2314a a a a =，与题意矛盾.②若第3项是14a a ，则134514121335a a a a a a a a a a a a === ，即344233a a a a a a === ，所以234,,a a a 成等比数列，设公比为q ，则A A ⊗中等比数列的前三项为：121314,,a a a a a a ，其公比为q ，第四项为312a a q ，第十项为912a a q .(ⅰ)若第四项为23a a ，则12332a a a a q =，得221a a q =，又94512a a a a q =，得751a a q =，此时A 中依次为234711111,,,,a a q a q a q a q 显然1534a a a a =，不合题意.(ⅱ)若第四项为15a a ，则31512a a a a q =，得352a a q =，又94512a a a a q =，得421a a q =，此时A 中依次为456711111,,,,a a q a q a q a q ，显然2534a a a a =，不合题意.因此，4n ≤.取{1,2,4,16}A =满足条件.所以A 中的元素个数最大值是4.【点睛】方法点睛：对于“新定义”的题目关键在于充分理解定义的本质，把新定义与高中已学内容建立联系，灵活运用类比、归纳、分类讨论等数学思想才能将问题解决.。
江苏省镇江市第一中学2022届高三上学期期初考试数学试卷(解析版)
镇江一中高三数学期初测试卷一、单项选择题：本题包括8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意． 1．已知集合A ＝{x ||x |≤2，x ∈N }，集合B ＝{x |x 2＋x －6＝0}，则A ∩B ＝( )A ．{2}B ．{－3，2}C ．{－3，1}D ．{－3，0，1，2} 【答案】A【考点】集合的运算【解析】由题意可知，A ＝{－2，－1，0，1，2}，B ＝{－3，2}，所以A ∩B ＝{2}，故答案选A ．2．已知α∈R ，则“sin α＝33”是“cos2α＝13”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【考点】三角恒等变换、条件的判断【解析】由题意可知，cos2α＝2－2sin 2α＝13，解得sin α＝±33，所以“sin α＝33”是“cos2α＝13”的充分不必要条件，故答案选A ．3．已知直线y ＝x ＋b 是曲线y ＝f (x )＝ln x 的切线，则b 的值等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 【答案】A【考点】函数的切线方程、导数的几何意义【解析】由题意可设切点为(m ，n )，且f′(x )＝1x ，则直线的斜率k ＝1m ＝1，解得m ＝1，所以切点为(1，0)，所以b ＝－1，故答案选A ．4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”你的计算结果是A ．80里B ．86里C ．90里D ．96里 【答案】D【考点】新情景下的文化题：数列的求和【解析】由题意可知，此人每天走的步数构成了以12为公比的等比数列，则378＝a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1261－12，解得a 1＝192，所以此人第二天走了192×12＝96里，故答案选D ．5．《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢×矢)．弧田是由圆弧(弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到弧田弧的距离之差，现有一弧田，其弧田弦AB 等于6米，其弧田弧所在圆为圆O ，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为72平方米，则cos ∠AOB ＝A ．125B ．325C ．15D ．725【答案】D【考点】新情景问题下的文化题：三角函数公式计算【解析】如图所示，设矢为x ，代入弧田面积公式得72＝12(6x ＋x 2)，解得x ＝1或x ＝－7(舍去)，设圆的半径为R ，那么根据弦心距、半径和半个弦长得到关系式为R 2＝(R －1)2＋32，解得R ＝5，所以cos ∠AOB ＝52＋52－622×5×5＝725 (或cos ∠AOD ＝OD R ＝5－15＝45，cos ∠AOB ＝2cos 2∠AOD －1＝3225－1＝725，故答案选D ．6．如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AA 1，CC 1的中点，过BE 的平面α与直线A 1F 平行，则平面α截该正方体所得截面的面积为( )A ． 5B ．2 5C ．4D ．5 【答案】B【考点】立体几何的截面面积求解【解析】在棱长为2的正方体1，ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AA 1，CC 1的中点，因为过BE 的平面α与直线A 1F 平行，且CE ∥A 1F ，所以平面α为平面BEC ，取DD 1的中点F ，连结CF ，EF ，则CF ∥BE ，所以平面α截该正方体所得截面为矩形BCFE ，因为BC ＝2，CF ＝22＋12＝5，BC ⊥CF ，所以平面α截该正方体所得截面的面积为S 矩形BCFE ＝2×5＝25．故答案选B ．7．设随机变量X ~B (n ，p )，若二项式(x ＋p )n ＝a 0＋12x ＋32x 2＋…＋a n x n ，则( )A ．E (X )＝3，D (X )＝2B ．E (X )＝4，D (X )＝2C ．E (X )＝3，D (X )＝1 D ．E (X )＝2，D (X )＝1 【答案】D【考点】二项分布、二项式定理展开式综合应用 【解析】由题意可知，(x ＋p )n ＝p n ＋C 1n pn －1x ＋C 2n p n －2x 2＋C 3n p n －3x 3＋…＋C n n x n ，又(x ＋p )n＝a 0＋12x ＋32x 2＋…＋a n x n，所以⎩⎨⎧np n －1＝12 n (n －1)2pn －2＝32①，若选项A 成立，则⎩⎨⎧np ＝3np (1－p )＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝9p ＝13，代入①验证不成立，故选项A 错误；若选项B 成立，则⎩⎨⎧np ＝4np (1－p )＝2解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝8p ＝12，代入①验证不成立，故选项B 错误；若选项C 成立，则⎩⎨⎧np ＝3np (1－p )＝1，解得⎩⎨⎧n ＝92p ＝23，代入①验证不成立，故选项C 错误；若选项D 成立，则⎩⎨⎧np ＝2np (1－p )＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝4p ＝12，代入①验证成立，故选项D 正确；综上，答案选D ．8．算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具．“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、……，上面一粒珠(简称上珠)代表5，下面一粒珠(简称下珠)是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动2粒珠(上珠只能往下拨且每位至多拨1粒上珠，下珠只能往上拨)，则算盘表示的整数能够被3整除的概率是( )A ．38B ．58C ．29D ．12【答案】D【考点】新情景问题下的概率计算问题【解析】由题意，从个位、十位、百位和干位这四组中随机拨动2粒珠，得到的整数有24个，分别为：11，15，51，55，101，105，501，505，110，150，510，550，1001，1005，5001，5005，1010，1050，5010，5050，1100，1500，5100，5500，其中算盘表示的整数能够被3整除包含的整数有12个，分别为：15，51，105，501，150，510，1005，5001，1050，5010，1500，5100则算盘表示的整数能够被3整除的概率为P ＝1224＝12，故答案选D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的部分图像如图所示，其图像最高 点和最低点的横坐标分别为π12和7π12，图像在y 轴上的截距为3．给出下列命题正确的是 A ．f (x )的最小正周期为2π B ．f (x )的最大值为2 C ．f (π4)＝1 D ．f (x －π6)为偶函数【答案】BC【考点】三角函数的图象与性质综合应用【解析】由题图，得函数f (x )的最小正周期T ＝2×(7π12－π12)＝π，所以选项A 错误；因为ω＝2πT ＝2，即f (x )＝A sin(2x ＋φ)，又f (π12)＝A sin(2×π12＋φ)＝A sin(π6＋φ)＝A ，所以sin(π6＋φ)＝1，由0＜φ＜π，得φ＝π3，即f (x )＝A sin(2x ＋π3)，f (0)＝A sin π3＝3，所以A ＝2，即f (x )＝2sin(2x ＋π3)，所以函数f (x )的最大值为2，所以选项B 正确；又f (π4)＝2sin(2×π4×π3)＝2cos π3＝1，所以选项C 正确；又f (x －π6)＝2sin[2(x －π6＋π3]＝2sin2x 为奇函数，所以选项D 错误；综上，答案选BC ．10．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ，截面BDE 与直线PC 平行，与P A 交于点E ，则下列判断正确的是( )A ．E 为P A 的中点B ．PB 与CD 所成的角为π3C ．平面BDE ⊥平面P ACD ．点P 与点A 到平面BDE 的距离相等【答案】ACD【考点】立体几何的位置关系判断、线线角的求解、线到面的距离问题等【解析】由题意，对于选项A ，连接AC 交BD 于点M ，连接EM ，如图所示，∵PC ∥平面BDE ，PC ⊂平面APC ，且平面APC ∩平面BDE ＝EM ，∴PC ∥EM ，又∵四边形ABCD 是正方形，∴M 为AC 的中点．∴E 为P A 的中点，故选项A 正确；对于选项B ，∵AB ∥CD ，∴∠PBA 为PB 与CD 所成的平面角，∵P A ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥AB ，在Rt △P AB 中，P A ＝AB ，∴∠PBA ＝π4，故选项B 错误；对于选项C ，∵P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥BD ，又AC ⊥BD ，AC ∩P A ＝A ，AC ，P A ⊂平面P AC ，∴BD ⊥平面P AC ，又BD ⊂平面BDE ，故选项C 正确；对于选项D ，因为P A ∩C 平面BDE ＝E ，且E 为线段P A 的中点，所以点P 与点A 到平面BDE 的距离相等，所以选项D 正确；综上，答案选ACD ．11．已知由样本数据(x i ，y i )(i ＝1，2，3，…，8)组成的一个样本，得到回归直线方程为ŷ＝2x －0.4，且―x ＝2，去除两个歧义点(－2，7)和(2，－7)后，得到新的回归直线的斜率为3．则下列说法正确的是( )A ．相关变量x ，y 具有正相关关系B ．去除歧义点后的回归直线方程为ŷ＝3x －3.2C ．去除歧义点后，随x 值增加相关变量y 值增加速度变小D ．去除歧义点后，样本(4，8.9)的残差为0.1(附：残差︿e i ＝y i －︿y i ) 【答案】ABD【考点】线性回归分析的应用【解析】由回归方程的斜率知变量x ，y 具有正相关关系，故选项A 正确；由―x ＝2代入ŷ＝2x －0.4，得―y ＝3.6，所以去除两个歧义点(－2，7)和(2，－7)后，得到新的x ＝2×86＝83，―y ＝3.6×86＝4.8，因为得到新的回归直线的斜率为3，所以由―y －3―x ＝4.8－3×83＝－3.2，所以去除歧义点后的回归直线方程为ŷ＝3x －3.2，故选项B 正确；由于斜率为3＞1，故相关变量x ，y 具有正相关关系且去除歧义点后，由样本估计总体的y 值增加的速度变大，故选项C 错误；由︿y i ＝3x i －3.2＝3×4－3.2＝8.8得︿e i ＝y i －︿y i ＝8.9－8.8＝0.1，故选项D 正确； 综上，答案选ABD ． 12．已知函数f (x )＝3|sin x |＋4|cos x |，则( )A ．－π是函数f (x )的一个周期B ．直线x ＝k π2(k ∈Z )为函数f (x )的对称轴方程C ．函数f (x )的最大值5D ．f (x )＝4在[0，π]有三个解 【答案】ABC【考点】函数的性质综合应用【解析】由题意，因为x ∈R ，f (－π＋x )＝3|sin(－π＋x )|＋4|cos(－π＋x )|＝3|sin x |＋4|cos x |＝f (x )，所以－π是f (x )的一个周期，故选项A 正确；因为f (－x )＝3|sin(－x )|＋4|cos(－x )|＝3|sin x |＋4|cos x |＝f (x )，所以f (x )是偶函数，因为f (x )的周期为－π，所以π也是f (x )的一个周期，因为f (k π－x )＝3|sin x |＋4|cos x |＝f (x )，k ∈Z ，所以直线x ＝k π2(k ∈Z )为函数f (x )的对称轴方程，故选项B 正确；因为π是f (x )的一个周期，不妨取[0，π]，因为当0≤x ≤π2时，f (x )＝3|sin x |＋4|cos x |＝3sin x ＋4cos x ＝5sin(x ＋φ)≤5，其中⎩⎨⎧sin φ＝45cos φ＝35(φ为锐角)，当π2＜x ≤π时，f (x )＝3|sin x |＋4|cos x |＝3sin x －4cos x ＝5sin(x －φ)≤5，其中⎩⎨⎧sin φ＝45cos φ＝35(φ为锐角)，所以f (x )的最大值5，故选项C正确：因为f (0)＝3|sin0|＋4|cos0|＝4，f (π2)＝3|sin π2|＋4|cos π2|＝3，f (π)＝3|sinπ|＋4|cosπ|＝4，由图知，f (x )＝4在[0，π]上有四个解，故选项D 错误；综上，答案选ABC ． 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为 ． 【答案】(0，6]【考点】函数的定义域求解、对数不等式的求解【解析】由题意可知，1－2log 6x ≥0，即log 6x ≤12＝log 66，则有对数函数的单调性可得，0＜x ≤6，所以函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为(0，6]．14．函数f (x )＝x ＋2cos x 在(0，2π)上的单调递减区间为 ．【答案】(π6，5π6)【考点】函数的单调性、单调区间应用【解析】由题意，f′(x )＝1－2sin x ，令f′(x )＜0，可解得sin x ＞12，又因为x ∈(0，2π)，所以解得x ∈(π6，5π6)，所以函数f (x )的单调递减区间为(π6，5π6)．15．在△ABC 中，∠B ＝60°，AB ＝2，M 是BC 的中点，AM ＝23，则AC ＝ ， cos ∠MAC ＝ ．【答案】213；23913【考点】双空题：解三角形中正余弦定理的应用【解析】由题意，因为∠B ＝60°，所以cos ∠B ＝12，因为AB ＝2，AM ＝23，在△ABM 中，由余弦定理可得：AB 2＋BM 2－AM 22AB ·BM ＝12，解得BM ＝4，因为M 是BC 的中点，所以BC ＝2BM＝8，在△ABC 中，由余弦定理可得：AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝12，解得AC ＝213，所以cos ∠MAC＝AM 2＋AC 2－CM 22AM ·AC ＝(23)2＋(213)2－422×23×213＝239．16．下列四个命题：①若a ＞b ＞0，a ＞m ＞0，则b －m a －m ＜b a ＜b ＋m a ＋m ；②函数f (x )＝x ＋4x ＋1的最小值是3；③己知正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋y ＝4，则x ＋y 的最小值为26－3． 其中所有正确命题的序号是 ． 【答案】①③【考点】不等关系的判断、基本不等式的应用【解析】由题意，对于①，a ＞b ＞0，a ＞m ＞0，∴a －b ＞0，a ＋m ＞0，a －m ＞0，∴(a －b )m ＞0，∴(a －b )m ＝a (b ＋m )－b (a ＋m )＞0，(a －b )m ＝b (a －m )－a (b －m )＞0，∴a (b ＋m )＞b (a ＋m )同除a (a ＋m )得，∴b ＋m a ＋m ＞b a．所以b (a －m )＞a (b －m )同除a (a －m )得，b a ＞b －ma －m ，综上得b －m a －m ＜b a ＜b ＋m a ＋m ，故①正确；对于②，f (x )＝x ＋4x ＋1，则f (－2)＝－2＋4－2＋1＝－6，故②错误；对于③，正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋y ＝x ＋4－2x x ＋1＝x ＋6x ＋1－2＝x ＋1＋6x ＋1－3≥2(x ＋1)×6x ＋1－3＝26－3，当且仅当x ＋1＝6x ＋1即x ＝6－1取等号，故③正确；故答案为①③．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)在复平面内，A ，B ，C 三点对应的复数分别为1，2＋i ，－1＋2i ． (1)求向量→AB ，→AC ，→BC 对应的复数；(2)若ABCD 为平行四边形，求D 点对应的复数． 【答案】(1)1＋i ，－2＋2i ，－3＋i ；(2)－2＋i 【考点】复数的几何意义 【解析】(1)设O 为坐标原点，由复数的几何意义知：→OA ＝(1，0)，→OB ＝(2，1)，→OC ＝(－1，2)， 所以→AB ＝→OB －→OA ＝(1，1)，→AC ＝→OC －→OA ＝(－2，2)， →BC ＝→OC －→OB ＝(－3，1)，所以→AB ，→AC ，→BC 对应的复数分别为1＋i ，－2＋2i ，－3＋i ； (2)因为ABCD 为平行四边形，所以→AD ＝→BC ＝(－3，1)，→OD ＝→OA －→AD ＝(1，0)＋(－3，1)＝(－2，1)， 所以D 对应的复数为－2＋i ． 18．(12分)已知函数f (x )＝4sin(π－x )cos(x －π3)－3．(1)求f (x )的对称中心坐标；(2)若f (x )－3m ＋2≤0有解，求m 的最小值． 【答案】(1)(k π2＋π6，0)，k ∈Z ；(2)0【考点】三角函数的图象与性质、函数的有解问题 【解析】f (x )＝4sin(π－x )cos(x －π3)－3＝4sin x (12cos x ＋32sin x )－3＝2sin x cos x ＋23sin 2x －3＝sin2x －3cos2x ＝2sin(2x －π3)，(1)由2x －π3＝k π，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π6，k ∈Z ，故f (x )的对称中心坐标为(k π2＋π6，0)，k ∈Z ；(2)若f (x )－3m ＋2＝2sin(2x －π3)－3m ＋2≤0有解，即3m －2≥f (x )有解．故须3m －2≥f (x )min ， ∵f (x )max ＝－2，∴3m －2≥－2， 故m ≥0，∴m 的最小值为0． 19．(12分)学校趣味运动会上增加了一-项射击比赛，比赛规则如下：向A 、B 两个靶子进行射击，先向A 靶射击一次，命中得1分，没有命中得0分；再向B 靶连续射击两次，如果只命中一次得2分，一次也没有命中得0分，如果连续命中两次则得5分．甲同学准备参赛，经过一定的训练，甲同学的射击水平显著提高，目前的水平是：向A 靶射击，命中的概率是23；向B 靶射击，命中的概率为34．假设甲同学每次射击结果相互独立．(1)求甲同学恰好命中一次的概率；(2)求甲同学获得的总分X 的分布列及数学期望． 【答案】(1)16；(2)20348．【考点】古典概型及其概率的计算、离散型随机变量的分布列与期望 【解析】(1)记“甲同学恰好命中一次”为事件C ．“甲射击命中A 靶”为事件D ，“甲第一次射击B 靶命中”为事件E ，“甲第二次射击B 靶命中”为事件F ， 由题意可知P (D )＝23，P (E )＝P (F )＝34，由于C ＝D ―E ―F ＋―DE ―F ＋―D ―EF ，所以P (C )＝P (D ―E ―F ＋―DE ―F ＋―D ―EF )＝23×14×14＋13×14×34＋13×34×14＝16(2)随机变量X 的可能取值为：0，1，2，3，5，6． P (X ＝0)＝13×14×14＝148，P (X ＝1)＝23×14×14＝124，P (X ＝2)＝13×C 12×14×34＝18，P (X ＝3)＝23×C 12×34×14＝14，P (X ＝5)＝13×34×34＝316，P (X ＝6)＝23×34×34＝38所以X 的分布列为所以E (X )＝0×148＋1×124＋2×18＋3×14＋5×316＋6×38＝20348．20．(12分)在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，四边形ADPQ 是梯形，PD ∥QA ，∠PDA ＝π2，平面ADPQ ⊥平面ABCD ，且AD ＝PD ＝2QA ＝2． (1)求证：QB ∥平面PDC ； (2)求二面角C －PB －Q 的大小．【答案】(1)见解析；(2)5π6．【考点】立体几何的位置关系证明、二面角的求解 【解析】∵平面ADPQ ⊥平面ABCD ，平面ADPQ ∩平面ABCD ＝AD ， PD 平面ADPQ ，PD ⊥AD ，∴直线PD ⊥平面ABCD ，由题意，以点D 为原点，分别→DA ，→DC ，→DP 的方向为轴，y 轴，z 轴的正向建立如图空间直角坐标系，则可得：D (0，0，0)，B (2，2，0)，C (0，2，0)， A (2，0，0)，Q (2，0，1)，P (0，0，2)．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴CD ⊥AD ，B DCAPQ又∵∠PDA ＝π2，∴PD ⊥AD ， 而PD ∩DC ＝D ，PD ，DC ⊂平面PDC ，∴AD ⊥平面PDC ，因此→AD ＝(－2，0，0)是平面PDC 的一个法向量，又因为→QB ＝(0，2，－1)，所以→QB ·→AD ＝0，即→QB ⊥→AD ，又∵直线QB ⊄平面PDC ，∴QB ∥平面PDC ．(2)设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为平面PBC 的法向量，∵→PB ＝(2，2，－2)，→PC ＝(0，2，－2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·→PB ＝0n 1·→PC ＝0，即⎩⎨⎧2x 1＋2y 1－2z 1＝02y 1－2z 1＝0， 不妨设z 1＝1，可得n 1＝(0，1，1)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面PBQ 的法向量，又∵→PB ＝(2，2，－2)，→PQ ＝(2，0，－1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·→PQ ＝0n 2·→PB ＝0，即⎩⎨⎧2x 2－z 2＝02x 2＋2y 2－2z 2＝0， 不妨设z 2＝2，可得n 2＝(1，1，2)，所以cos< n 1，n 2>＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝0×1＋1×1＋1×202＋12＋12 ×12＋12＋22＝32， 又二面角C －PB －Q 为钝二面角，∴二面角C －PB －Q 的大小为5π6． 21．(12分)已知(x 2＋2x)m 的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为12． (1)求m 的值；(2)求展开式中所有项的系数和与二项式系数和；(3)将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率．【答案】(3)7；(3)128；(3)114． 【考点】二项式定理展开式的应用、概率的求解【解析】(1)展开式的通项T r ＋1＝C r m ⋅2r ⋅x 2m －5r2，所以展开式中第4项的系数为C 3m ⋅23，倒数第4项的系数C m －3m 2m －3，所以C 3m ·23C m －3m ·2m －3＝12，即12m －6＝12，所以m ＝7；(2)令x ＝1可得展开式中所有项的系数和37＝2187，展开式中二项式系数和为27＝128；(3)展开式共有8项，由(1)可得，当2m －5r 2为整数，即r ＝0，2，4，6时，为有理项，共4项，所以可得有理项不相邻的概率为A 44A 45A 88＝114． 22．(12分)已知函数f (x )＝x ＋a 2x，g (x )＝－x －ln(－x )其中a ≠0． (1)若x ＝1是函数f (x )的极值点，求实数a 的值及g (x )的单调区间；(2)若对任意的x 1∈[1，2]，∃x 2∈[－3，－2]使得f (x 1)≥g (x 2)恒成立，且－2＜a ＜0，求实数a 的取值范围．【答案】(1) a ＝1或a ＝－1，递减区间为(－∞，－1)，递增区间为(－1，0)；(2)(－2，－1－12ln2]． 【考点】函数与导数：利用函数的极值点求参数、函数的单调区间求解、恒成立问题【解析】(1)因为f (x )＝x ＋a 2x，其定义域为(0，＋∞)， 所以f ′(x )＝1－a 2x 2；又x ＝1是函数h (x )的极值点， 所以f ′(1)＝0，即1－a 2＝0，所以a ＝1或a ＝－1；经检验，a ＝1或a ＝－1时，x ＝1是函数f (x )的极值点，∴a ＝1或a ＝－1；因为g (x )＝－x －ln(－x )，其定义域为(－∞，0)，所以g ′(x )＝－1－1x，令g ′(x )＝0，解得x ＝－1， 则当x ∈(－∞，－1)时，g ′(x )＜0，即函数g (x )单调递减；当x ∈(－1，0)时，g ′(x )＞0，即函数g (x )单调递增；所以函数g (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，递增区间为(－1，0)；(2)假设存在实数a ，对任意的x 1∈[1，2]，∃x 2∈[－3，－2]都有f (x 1)≥g (x 2)成立， 等价于对任意的x 1∈[1，2]，∃x 2∈[－3，－2]，都有[f (x )]min ≥[g (x )]min ，当x ∈[－3，－2]时，g ′(x )＝－1－1x＞0，所以函数g (x )在[－3，－2]上是减函数． ∴[g (x )]min ＝g (2)＝2＋ln2，因为f ′(x )＝1－a 2x 2＝(x －a )(x ＋a )x 2，且x ∈[1，2]，－2＜a ＜0，①当－1＜a ＜0，且x ∈[1，2]时，f ′(x )＝(x －a )(x ＋a )x 2＞0， 所以f (x )＝x ＋a 2a 2在[1，2]上是增函数， ∴[f (x )]min ＝f (1)＝1＋a ，由1＋a 2≥2＋ln2，得a ≤－1＋ln2，又∵－1＜a ＜0，所以a ≤－1＋ln2不合题意．②当－2＜a ≤－1，则若1≤x ≤－a ，则f ′(x )＝(x －a )(x ＋a )x 2＜0， 若－a ≤x ≤2，则f ′(x )＝(x －a )(x ＋a )x 2＞0， 所以函数f (x )＝x ＋a 2x在[1，－a )上是减函数，在(－a ，2]上是增函数， ∴[f (x )]min ＝f (－a )＝－2a －2a ≥2＋ln2，得a ≤－1－12ln2， 所以2＜a ≤－1－12ln2． 综上，存在实数a 的取值范围为(－2，－1－12ln2]．。
四川省成都市树德中学2024-2025学年高三上学期11月期中测试数学试题
四川省成都市树德中学2024-2025学年高三上学期11月期中测试数学试题一、单选题1．已知集合{}{}21,2,,1,3A a B a =+=，若对,x A ∀∈都有x B ∈，则a 为（）A ．1B ．1-C ．2D ．1或22．直线220x y -+=被圆()()22124x y -+-=截得的弦长为（）AB C D ．8553．下图为2024年中国大学生使用APP 偏好及目的统计图，根据统计图，下列关于2024年中国大学生使用APP 的结论正确的是（）A ．超过13的大学生更爱使用购物类APPB ．超过半数的大学生使用APP 是为了学习与生活需要C ．使用APP 偏好情况中7个占比数字的极差是23%D ．APP 使用目的中6个占比数字的40%分位数是34.3%4．数列{}n a 为等比数列，若154215,6a a a a -=-=，则3a 为（）A ．4B ．-4C ．4±D ．不确定5．已知实数,x y 满足0x y >>，则下列不等式恒成立的是（）A ．222xy xy+>B ．2x yy +>>C ．4x y y x+≥D ．2≥+xyx y6．已知四面体A BCD -的外接球半径为2，若π3BC BDC =∠=，则四面体A BCD -的体积最大值为（）A ．94B ．92C D 7．设F 为抛物线2:4y x Γ=的焦点，过F 且倾斜角为60︒的直线交曲线Γ于,A B 两点（B 在第一象限，A 在第四象限），O 为坐标原点，过A 作Γ的准线的垂线，垂足为M ，则||||OB OM 的值为（）A ．13B ．12C ．2D ．38．已知函数1()93xf x =-的图象关于点P 对称，则点P 的坐标是（）A ．12,18⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,9⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．12,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()0,0二、多选题9．甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．1A 表示事件“从甲罐取出的球是红球”，2A 表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B 表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（）A ．1A 、2A 为对立事件B ．()1411P B A =C ．()310P B =D ．()()121P B A P B A +=10．对于函数()sin f x x =与()πsin 36g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，下列说法正确的是（）A ．()f x 与()g x 有相同零点B ．当[0,2π]x ∈时，()f x 与()g x 的交点个数为6C ．将()f x 的图像向右平移π6个单位，并把横坐标变为原来的13可以得到()g x 的图像D ．将()f x 的图像横坐标变为原来的13，并向右平移π6个单位可以得到()g x 的图像11．已知函数()1ln f x x a x x=--，下列说法正确的是（）A ．若1,a =则曲线()f x 在()1,0的切线方程为10x y --=B ．若()0f x <当且仅当()0,1x ∈，则a 的取值范围(),2-∞C ．()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．若函数()1ln f x x a x x=--有三个零点为123,,x x x ，则123ax x x 的取值范围()2,+∞三、填空题12．已知1sin()2αβ+=，tan 5tan αβ=，则sin()αβ-=．13．已知数列{}n a 满足：11,2,N7,231,21,Nn n n n n a a k k a a a a k k *+*⎧=∈⎪==⎨⎪+=+∈⎩，则4a 为.14．设1234,,,a a a a 是数字1,2,3,4的排列，若存在14i j k ≤<<≤成立i j k a a a <<，则称这样的排列为“树德好排列”，则从所有的排列中任取一个，则它是“树德好排列”的概率是.四、解答题15．已知在ABC V 中，221cos 2ac B bc a b -=-，(1)求A ；(2)若2a =，则三角形ABC,.b c 16．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，AB AD ⊥，PA PD =，2AB =，8AD =，5AC CD ==.(1)求证：平面PCD ⊥平面PAB ；(2)求点B 到平面PCD 的距离.17．已知函数()()e 1xf x a x=-+(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()()e 1xf x a x b =-+≥对于R x ∈恒成立，求b a -的最大值.18．已知椭圆C ：22221x y a b+=过3(1,2A ，3317(1,),(,2510B E ---，(2,0)F -中的三点.(1)求椭圆方程及其离心率；(2)过(4,0)P 作直线QR 交C 于,Q R 两点（Q R ≠），连接,BP BR ，过Q 作x 轴垂线分别交,BP BR 于,M N .求证:M 为QN 中点.19．若数列{}()**1,,N n a n k n k ≤≤∈∈N 满足{}0,1n a ∈，则称数列{}n a 为k 项01-数列，由所有k 项01-数列组成集合k M .(1)若{}n a 是12项01-数列，当且仅当()*3,4n p p p =∈≤N 时，0n a =，求数列{}(1)nn a -的所有项的和；(2)从集合k M 中任意取出两个不同数列{}{},n n a b ，记1ki i i X a b ==-∑.①若3k =，求随机变量X 的分布列与数学期望；②证明：()2k E X >.。
四川省成都市高2024学年高三数学第一学期期末学业水平测试试题含解析
四川省成都市高2024学年高三数学第一学期期末学业水平测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线2222:10,0()x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为12A A 、，点P 是双曲线C 上与12A A 、不重合的动点，若123PA PA k k =， 则双曲线的离心率为( ) A ．2B ．3C ．4D ．22．如图，圆锥底面半径为2，体积为223π，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于（ ）A ．12B ．1C ．104D 5 3．已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ） A ．1,0a b <-< B ．1,0a b <-> C ．1,0a b >-<D ．1,0a b >->4．马林●梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p ﹣1作了大量的计算、验证工作，人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2P ﹣1（其中p 是素数）的素数，称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．函数的图象可能是下列哪一个？（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，且134,,a a a 成等比数列.若{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 的最小值为（ ） A ．–10B ．14-C ．–18D ．–207．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为2c ，过左焦点1F 作斜率为1的直线交双曲线C 的右支于点P ，若线段1PF 的中点在圆222:O x y c +=上，则该双曲线的离心率为（ ） A 2B ．22C 21D ．2218．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，函数()f x 满足()()4f x f x =+，且(]0,1x ∈时，()2()log 1f x x =+，则()()20182019f f +=（ ） A ．2B ．2-C ．1D ．1-9．已知数列{}n a 中，121,2a a ==，且当n 为奇数时，22n n a a +-=；当n 为偶数时，()2131n n a a ++=+．则此数列的前20项的和为（ ）A ．1133902-+B ．11331002-+C ．1233902-+D ．12331002-+10．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ） A ．若//m α,//m β,则//αβ B ．若m α⊥，m n ⊥,则n α⊥ C ．若m α⊥,//m n ,则n α⊥D ．若αβ⊥,m α⊥,则//m β11．下列几何体的三视图中，恰好有两个视图相同的几何体是（ ） A ．正方体 B ．球体C ．圆锥D ．长宽高互不相等的长方体12．设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=，222AF F B =，则椭圆E 的离心率为( )A ．23B ．34C ．53D ．74二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023届广东省肇庆市高三上学期第一次教学质量检测数学试题及答案
肇庆市2023届高中毕业班第一次教学质量检测数学本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处。
2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。
3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀。
考试结束后，请将本试题及答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，已知全集{}4,U x x x =<∈Z ，集合{}3,1,0,1A =--，{}2,1,0,1B =--，{}1,1,2,3C =-，图中阴影部分表示集合M ，则M =A.{}1,0,1-B.{}3,2,0,2,3--C.{}3,2,2,3,4-- D.{}1,1-2.同时满足以下三个条件的一个复数是.①复数在复平面内对应的点位于第三象限；②复数的模为5；③复数的实部大于虚部.A.43i - B.2i-- C.34i-- D.43i--3.设sin 22a =，2log sin 2b =，sin 22c =，则下列关系正确的是A.a c b >> B.c a b >> C.b a c>> D.a b c>>4.已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，且6710220a a a ++=，则78a a ⋅的最大值为A.10B.20C.25D.505.下列选项正确的是A.A B A ⋂=是A B ⊆的必要不充分条件B.在ABC △中，sin sin A B =是A B =的充要条件C.ln ln a b >是22ab>的充要条件D.命题“x ∀∈R ，210x x ++>”的否定是：“x ∀∈R ，210x x ++≤”6.已知函数()()y f x x =∈R ，满足导函数()()f x f x '<恒成立，则下列选项正确的是A.()()e 20212022f f = B.()()e 20212022f f <C.()()e 20212022f f > D.()()2e 20212022f f >7.22sin 1252cos15cos5512sin 50︒︒-︒-︒的值为.A.12-B.12C.1D.28.《周髀算经》是我国最早的数学典籍，书中记载：我国早在商代时期，数学家商高就发现了勾股定理，亦称商高定理三国时期数学家赵爽创制了如图2（1）的“勾股圆方图”（以弦为边长得到的正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成），用数形结合法给出了勾股定理的详细证明.现将“勾股圆方图”中的四条股延长相同的长度得到图2（2）.在图2（2）中，若6AF =，BF =，G ，F 两点间的距离为，则“勾股圆方图”中小正方形的面积为A.9B.4C.3D.8二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
(三管齐下)贵州省高三数学 复习试题7 指数与指数函数 理(含解析)新人教A版
7 指数与指数函数导学目标： 1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3．理解指数函数的概念，并掌握指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点.4.知道指数函数是一类重要的函数模型．自主梳理1．指数幂的概念(1)根式如果一个数的n次方等于a(n>1且n∈N*)，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若x n＝a，则x叫做________，其中n>1且n∈N*.式子na叫做________，这里n叫做________，a叫做____________．(2)根式的性质①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号________表示．②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n次方根用符号________表示，负的n次方根用符号________表示．正负两个n次方根可以合写成________(a>0)．③(na)n＝____.④当n为偶数时，na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a，a≥0，－a，a<0.⑤当n为奇数时，na n＝____.⑥负数没有偶次方根．⑦零的任何次方根都是零．2．有理指数幂(1)分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂是mna＝________(a>0，m，n∈N*，n>1)．②正数的负分数指数幂是mna-＝____________＝______________(a>0，m，n∈N*，n>1)．③0的正分数指数幂是______，0的负分数指数幂无意义．(2)有理指数幂的运算性质①a r a s＝________(a>0，r，s∈Q)．②(a r)s＝________(a>0，r，s∈Q)．③(ab)r＝________(a>0，b>0，r∈Q)．3．指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域(1)________值域(2)________性质(3)过定点________(4)当x>0时，______；当(5)当x>0时，________；当x<0时，______ x<0时，______(6)在(－∞，＋∞) 上是______(7)在(－∞，＋∞) 上是______自我检测1．下列结论正确的个数是 ( )①当a<0时，232)(a＝a3；②na n＝|a|；③函数y＝21)2(-x－(3x－7)0的定义域是(2，＋∞)；④若100a＝5,10b＝2，则2a＋b＝1.A．0 B．1 C．2 D．32．函数y＝(a2－3a＋3)a x是指数函数，则有 ( )A．a＝1或a＝2 B．a＝1C．a＝2 D．a>0且a≠13．如图所示的曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y＝a x，y＝b x，y＝c x，y＝d x的图象，则a，b，c，d的大小关系是 ( )A．a<b<1<c<dB．a<b<1<d<cC．b<a<1<c<dD．b<a<1<d<c4．若a>1，b>0，且a b＋a－b＝22，则a b－a－b的值等于 ( )A. 6 B．2或－2C．－2 D．25．(·六安模拟)函数f(x)＝a x－b的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是( )A．a>1，b<0B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<0探究点一 有理指数幂的化简与求值例1 已知a ，b 是方程9x 2－82x ＋9＝0的两根，且a <b ，求：(1)a －1＋b －1ab－1；3327a a ÷3a －8·3a 15.变式迁移1 化简3421413223)(ab b a ab b a (a 、b >0)的结果是 ( )A.b aB ．ab C.a bD ．a 2b探究点二 指数函数的图象及其应用例2 已知函数y ＝(13)|x ＋1|.(1)作出函数的图象(简图)； (2)由图象指出其单调区间；(3)由图象指出当x 取什么值时有最值，并求出最值．变式迁移2 (·山东)函数y ＝e x ＋e－x e x －e－x 的图象大致为 ( )探究点三 指数函数的性质及应用例3 如果函数y ＝a 2x ＋2a x－1(a >0且a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．变式迁移3 (·龙岩月考)已知函数f (x )＝(12x －1＋12)x 3.(1)求f (x )的定义域； (2)证明：f (－x )＝f (x )； (3)证明：f (x )>0.分类讨论思想的应用 例 (12分)已知f (x )＝aa 2－1(a x －a －x)(a >0且a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[－1,1]时f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围． 【答题模板】解 (1)函数定义域为R ，关于原点对称．又因为f (－x )＝aa 2－1(a －x －a x)＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．[3分](2)当a >1时，a 2－1>0，y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数，从而y ＝a x －a －x 为增函数， 所以f (x )为增函数．[5分]当0<a <1时，a 2－1<0，y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数，从而y ＝a x －a －x 为减函数， 所以f (x )为增函数．故当a >0，且a ≠1时，f (x )在定义域内单调递增．[7分] (3)由(2)知f (x )在R 上是增函数， ∴在区间[－1,1]上为增函数， ∴f (－1)≤f (x )≤f (1)，∴f (x )min ＝f (－1)＝a a 2－1(a －1－a )＝a a 2－1·1－a 2a＝－1.[10分]∴要使f (x )≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需b ≤－1， 故b 的取值范围是(－∞，－1]．[12分] 【突破思维障碍】本例第(2)(3)问是难点，讨论f (x )的单调性对参数a 如何分类，分类的标准和依据是思维障碍之一． 【易错点剖析】在(2)中，函数的单调性既与a x －a －x有关，还与a a 2－1的符号有关，若没考虑aa 2－1的符号就会出错，另外分类讨论完，在表达单调性的结论时，要综合讨论分类的情况，如果没有一个总结性的表达也要扣分，在表达时如果不呈现a 的题设条件中的范围也是错误的．1．一般地，进行指数幂的运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于用运算性质进行乘、除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．2．比较两个指数幂大小时，尽量化同底数或同指数，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．3．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0<c <d <1<a <b .在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小；即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．函数y ＝x2的值域是 ( ) A ．[0，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(－∞，＋∞) D ．[2，＋∞)2．(·金华月考)函数y ＝xa x|x |(0<a <1)的图象的大致形状是 ( )3．(·重庆)函数f (x )＝4x＋12x 的图象 ( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称4．定义运算a b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≤b ，b a >b ，则函数f (x )＝12x的图象是( )5．若关于x 的方程|a x－1|＝2a (a >0，a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1)∪(1，＋∞) B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．(0，1)题号 1 2 3 4 5 答案6．(·嘉兴月考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x <0，a x ， x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是________．7．(·江苏)设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x)，x ∈R 是偶函数，则实数a ＝________.8．若函数f (x )＝a x－1(a >0且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a 的值为________．三、解答题(共38分)9．(12分)(·衡阳模拟)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．10．(12分)(·北京丰台区期末)已知函数f (x )＝3x，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax －4x 的定义域为[0,1]． (1)求a 的值．(2)若函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．11．(14分)(·东莞模拟)函数y ＝1＋2x ＋4xa 在x ∈(－∞，1]上y >0恒成立，求a 的取值范围．答案 自主梳理1．(1)a 的n 次方根 根式 根指数 被开方数 (2)①n a ②n a －n a ±na ③a ⑤a 2.(1)①na m ②nma11na m③0 (2)①ar ＋s②a rs ③a r b r3.(1)R (2)(0，＋∞) (3)(0,1) (4)y >1 0<y <1(5)0<y <1 y >1 (6)增函数 (7)减函数自我检测1．B [只有④正确．①中a <0时，232)(a >0，a 3<0，所以232)(a ≠a 3；②中，n 为奇数时且a <0时，nan＝a ；③中定义域为[2，73)∪(73，＋∞)．]2．C [∵y ＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，∴a 2－3a ＋3＝1，解得a ＝2或a ＝1(舍去)．] 3．D [y 轴左、右的图象对应函数的底数按逆时针方向增大．所以c >d >1,1>a >b >0.]4．D [(a b －a －b )2＝(a b ＋a －b )2－4＝4，∵a >1，b >0，∴a b >1,0<a －b <1，∴a b －a －b＝2.]5．D [由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出，函数f (x )＝a x －b在定义域上单调递减，所以0<a <1；函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x的基础上向左平移得到的，所以b <0.] 课堂活动区例1 解题导引 1.指数幂的化简原则 (1)化负数指数为正指数； (2)化根式为分数指数幂； (3)化小数为分数．2．指数幂的化简结果要求为有关有理指数幂的化简结果不要同时含有根号和分数指数幂，也不要既有分母又含有负指幂，即尽量化成与题目表示形式一致且统一的最简结果．解 ∵a ，b 是方程的两根，而由9x 2－82x ＋9＝0解得x 1＝19，x 2＝9，且a <b ，故a ＝19，b ＝9，(1)化去负指数后求解．a －1＋b －1ab －1＝1a ＋1b 1ab ＝a ＋b ab 1ab＝a ＋b . ∵a ＝19，b ＝9，∴a ＋b ＝829，即原式＝829.(2)原式＝3127⨯a ·3123⨯-a÷ (21)38(⨯-a·21315⨯a)＝)2534(2167+---a＝21-a.∵a ＝19，∴原式＝3.变式迁移1 C [原式＝31312316123ba ab ba b a -••＝3123113116123--++-+•b a＝ab －1＝a b.]例2 解题导引 在作函数图象时，首先要研究函数与某一基本函数的关系，然后通过平移、对称或伸缩来完成．解 (1)方法一 由函数解析式可得y ＝(13)|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧13x ＋1， x ≥－1，3x ＋1， x <－1.其图象由两部分组成：一部分是：y ＝(13)x (x ≥0)――→向左平移1个单位y ＝(13)x ＋1(x ≥－1)；另一部分是：y ＝3x(x <0)――→向左平移1个单位y ＝3x ＋1(x <－1)． 如图所示．方法二 ①由y ＝(13)|x |可知函数是偶函数，其图象关于y 轴对称，故先作出y ＝(13)x的图象，保留x ≥0的部分，当x <0时，其图象是将y ＝(13)x (x ≥0)图象关于y 轴对折，从而得出y ＝(13)|x |的图象．②将y ＝(13)|x |向左移动1个单位，即可得y ＝(13)|x ＋1|的图象，如图所示．(2)由图象知函数在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞)上是减函数． (3)由图象知当x ＝－1时，有最大值1，无最小值．变式迁移2 A [y ＝e x ＋e －x e x －e －x ＝1＋2e 2x －1，当x >0时，e 2x－1>0，且随着x 的增大而增大，故y ＝1＋2e 2x －1>1且随着x 的增大而减小，即函数y 在(0，＋∞)上恒大于1且单调递减．又函数y 是奇函数，故只有A 正确．]例3 解题导引 1.指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)的图象与性质与a 的取值有关，要特别注意区分a >1与0<a <1来研究．2．指数函数与二次函数复合而成的初等函数的性质可通过换元的方法转化为指数函数或二次函数的性质．解 设t ＝a x ，则y ＝f (t )＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2.(1)当a >1时，t ∈[a －1，a ]，∴y max ＝a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3，满足 a >1；(2)当0<a <1时，t ∈[a ，a －1]，∴y max ＝(a －1)2＋2a －1－1＝14，解得a ＝13，满足0<a <1.故所求a 的值为3或13.变式迁移3 (1)解 由2x－1≠0⇒x ≠0， 所以定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)证明 f (x )＝(12x －1＋12)x 3可化为f (x )＝2x＋122x－1·x 3， 则f (－x )＝2－x＋122－x－1(－x )3＝2x＋122x－1x 3＝f (x )， 所以f (－x )＝f (x )．(3)证明 当x >0时，2x >1，x 3>0，所以(12x －1＋12)x 3>0.因为f (－x )＝f (x )，所以当x <0时，f (x )＝f (－x )>0. 综上所述，f (x )>0. 课后练习区1．B [由y ＝x2中x ≥0，所以y ＝x2≥20＝1，即函数的值域为[1，＋∞)．]2．D [函数的定义域为{x |x ∈R ，x ≠0}，且y ＝xa x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧a x， x >0－a x，x <0.当x >0时，函数是一个指数函数，其底数a 满足0<a <1，所以函数递减；当x <0时，函数图象与指数函数y ＝a x的图象关于x 轴对称，函数递增．]3．D [函数定义域为R ，关于原点对称，∵f (－x )＝4－x ＋12－x ＝1＋4x 2x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称．]4．A [当x <0时，0<2x <1，此时f (x )＝2x；当x ≥0时，2x≥1，此时f (x )＝1.所以f (x )＝1⊕2x＝⎩⎪⎨⎪⎧2xx <0，1 x ≥0.]5．D [方程|a x－1|＝2a 有两个不等实根可转化为函数y ＝|a x－1|与函数y ＝2a 有两个不同交点，作出函数y ＝|a x－1|的图象，从图象观察可知只有0<2a <1时，符合题意，即0<a <12.]6．[13，1)解析 据单调性定义，f (x )为减函数应满足：⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，3a ≥a 0，即13≤a <1. 7．－1解析 设g (x )＝e x ＋a e －x，则f (x )＝xg (x )是偶函数．∴g (x )＝e x ＋a e －x是奇函数．∴g (0)＝e 0＋a e －0＝1＋a ＝0， ∴a ＝－1. 8. 3解析 当a >1时，f (2)＝2，∴a 2－1＝2，a ＝3，经验证符合题意； 当0<a <1时，f (0)＝2，即1－1＝2，无解． ∴a ＝ 3.9．解 (1)∵f (x )是定义域为R 的奇函数，∴f (0)＝0，即－1＋b2＋a ＝0，解得b ＝1，…………………………………………………(2分)从而有f (x )＝－2x＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a， 解得a ＝2.经检验a ＝2适合题意，∴所求a 、b 的值分别为2、1.……………………………………………………………(4分)(2)由(1)知f (x )＝－2x＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．…………………………………………(6分) 又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．……………………………………………………………………………(8分)因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k .即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0.从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.………………………………………………(12分)10．解 方法一 (1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a＝2⇒a ＝log 32.…………………………(4分)(2)此时g (x )＝λ·2x －4x，设0≤x 1<x 2≤1，因为g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数， 所以g (x 1)－g (x 2)＝)22)(22(1221x x x x ---λ>0恒成立，……………………………(8分)即λ<1222xx+恒成立．由于0222212+>+xx＝2，所以，实数λ的取值范围是λ≤2. ……………………………………………………………………………………………(12分)方法二 (1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a＝2⇒a ＝log 32.……………………………………………………………………………………………(4分)(2)此时g (x )＝λ·2x －4x，因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，所以有g ′(x )＝λln 2·2x －ln 4·4x ＝2x ln 2(－2·2x＋λ)≤0成立，…………………………(8分)所以只需要λ≤2·2x恒成立．所以实数λ的取值范围是λ≤2.…………………………(12分)11．解 由题意得1＋2x ＋4xa >0在x ∈(－∞，1]上恒成立，即a >－1＋2x4x 在x ∈(－∞，1]上恒成立．………………………………………………(6分)又因为－1＋2x4x ＝－(12)2x －(12)x，设t ＝(12)x，∵x ≤1，∴t ≥12且函数f (t )＝－t 2－t ＝－(t ＋12)2＋14(t ≥12)在t ＝12时，取到最大值．∴(12)x ＝12即x ＝1时，－1＋2x4x 的最大值为－34，………………………………………(12分) ∴a >－34.…………………………………………………………………………………(14分)。
江苏省扬州市高邮市2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题(含答案)
2024-2025学年第一学期高三年级10月学情调研测试数学试题一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，若，则实数的值为（ ）A. B. C.12D.62.已知，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.关于实数的不等式的解集是或，则关于的不等式的解集是（A. B.C. D.4.若，则点位于（ ）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.6.将函数的图象向左平移个单位，所得的函数图象关于对称，则（）A. B. C. D.7.如图，在四边形中，的面积为3，{}{}21,2,3,4,70U Mx x x p ==-+=∣{}U 1,2M =ðp 6-12-,a b ∈R 1122log log a b >22a b <x 20x bx c ++>{2xx <-∣5}x >x 210cx bx ++>)11,,25∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,,52∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,25⎛⎫- ⎪⎝⎭11,52⎛⎫- ⎪⎝⎭ππ24α-<<-()sin cos ,tan sin P αααα+-()11,2,2x a x x f x xa x -⎧+-≥⎪=⎨⎪<⎩R a ()0,1(]1,2(]1,4[]2,4()()sin 2(0π)f x x ϕϕ=+<<π6π6x =ϕ=π6π32π35π6ABCD ,cos AB AD B ACB BC ACD ∠⊥===V则长为（ ）8.已知函数的定义域均是满足，，则下列结论中正确的是（ ）A.为奇函数B.为偶函数C.D.二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列各结论正确的是（）A.“”是“”的充要条件B.命题“，有”的否定是“，使”的最小值为2D.若，则10.某物理量的测量结果服从正态分布，下列选项中正确的是（ ）A.越大，该物理量在一次测量中在的概率越大B.该物理量在一次测量中小于10的概率等于0.5C.该物理量在一次测量中小于9.98与大于10.02的概率相等D.该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等11.已知函数，有下列四个结论，其中正确的结论为（）A.的图像关于轴对称CD ()(),f x g x (),f x R ()()()()40,021f x f x g g ++-===()()()()g x y g x y g x f y ++-=()f x ()g x ()()11g x g x --=-+()()11g x g x -=+0x y≥0xy ≥0x ∀>20x x +>0x ∃>20x x +≤+0,0a b m <<<a a m b b m+>+()210,N σσ()9.8,10.2()9.8,10.2()9.9,10.3()cos2cos f x x x =+()f x yB.不是的一个周期C.在区间上单调递减D.当时，的值域为三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.若命题“”是假命题，则实数的取值范围是__________.13.已知__________.14.若对一切恒成立，则的最大值为__________.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知（1）化简；（2）若，求的值.16.（15分）已知三棱锥底面，点是的中点，点为线段上一动点，点在线段上.（1）若平面，求证：为的中点；（2）若为的中点，求直线与平面所成角的余弦值.17.（15分）在每年的1月份到7月份，某品牌空调销售商发现：“每月销售量（单位：台）”与“当年π()f x ()f x π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 2⎤⎥⎦2,20x x x a ∀∈-+>R a πsin sin 3αα⎛⎫++= ⎪⎝⎭πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭ln 2ax x b ≥+()0,x ∞∈+b a()()()23ππsin cos tan π22πsin πcos 2f αααααα⎛⎫⎛⎫-+⋅-⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭()fα()2f α=3cos2sin2αα-,A BCD AD -⊥,,4,2BCD BC CD AD BC CD ⊥===P AD Q BC M DQ PM ∥ABC M DQ Q BC DQ ABC的月份”线性相关.根据统计得下表：月份123456销量101931455568（1）根据往年的统计得，当年的月份与销量满足回归方程.请预测当年7月份该品牌的空调可以销售多少台？（2）该销售商从当年的前6个月中随机选取2个月，记为销量不低于前6个月的月平均销量的月份数，求的分布列和数学期望18.（17分）已知锐角的内角，所对的边分别为，满足.（1）求角的大小；（2）若，求面积的取值范围.19.（17分）已知函数.（1）讨论在区间上的单调性；（2）若在上有两个极值点.①求实数的取值范围：②求证：.xy x y ˆ10yx t =+X X ABC V A B C ､､a b c ､､1cos c A b A=B 2b =ABC V ()()2e 23x f x x a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦()f x R ()f x ()0,312,x x a ()()2124e f x f x <2024—2025学年第一学期高三年级10月学情调研测试参考答案1.C2.A3.C4.C5.B6.D7.B8.D9.BD 10.BC 11.ABD12. 13.14.13.（1）.（2）由（1）得，所以14.（1）连结因为平面平面，平面平面，所以，又因为是的中点，所以是中点.（2）方法一：因为底面，如图建立坐标系，则，可得，，设平面的法向量为，则，令，则，可得，(],1∞-19-12()()()()2cos sin tan tan sin sin f ααααααα-⋅⋅==--⋅-tan 2α=-()22223cos sin 2sin cos 3cos2sin2sin cos αααααααα--⋅-=+2233tan 2tan 31241tan 141ααα---+===-++AQPM∥,ABC PM ⊂ADQ ADQ ⋂ABC AQ =PM ∥AQ P AD M DQ AD ⊥,BCD BC CD ⊥()()()()2,0,0,0,2,0,2,0,4,0,1,0D B A Q ()2,1,0DQ =- ()()2,0,4,0,2,0CA CB == ABC (),,n x y z = 24020n CA x z n CB y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 0,20y x z ∴=+=1z =0,2y x ==-()2,0,1n =-，设直线与平面所成角为，又则.因此直线与平面所成角的余弦值为.方法二：过点作交于，连接，因为底面底面，则，且平面，则平面，由平面，可得，且，平面，所以平面，可知即为直线与平面所成角.在中，，则，所以，又则.所以直线与平面所成角的余弦值为.17.解：（1），，又回归直线过样本中心点，所以，得，4cos ,5DQ n DQ n DQ n⋅<>=== DQ ABC 4,sin cos ,5DQ n θθ∴=<>= π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦3cos 5θ=DQ ABC 35D DN AC ⊥AC N QN AD ⊥,BCD BC ⊂BCD AD BC ⊥,,,BC CD AD CD D AD CD ⊥⋂=⊂ACD BC ⊥ACD DN ⊂ACD BC DN ⊥AC BC C ⋂=,AC BC ⊂ABC DN ⊥ABC DQN ∠DQ ABC Rt ACD V 2,4CD AD ==AC =DN =DQ QN ==3cos 5QN DQN QD ∠==DQ ABC 35123456 3.56x +++++==101931455568386y +++++==()x y 3810 3.5t =⨯+3t =所以，当时，，所以预测当年7月份该品牌的空调可以销售73台；（2）因为，所以销量不低于前6个月的月平均销量的月份数为，所以所以所以的分布列为：012故数学期望18.（1）由，得，即根据正弦定理，得.因为，所以，即因为，所以，所以，又则.（2）在中由正弦定理得：所以，ˆ103yx =+7x =ˆ73y =38y =4,5,60,1,2X =()()()21123333222666C C C C 1310,1,2C 5C 5C 5P X P X P X ⋅=========X XP 153515()1310121555E X =⨯+⨯+⨯=1cos c A b A =1cos c b A =sin cos c A b A =+sin sin sin cos C B A B A =+()()sin sin πsin C A B A B ⎡⎤=-+=+⎣⎦sin cos cos sin sin sin cos A B A B B A B A +=+sin cos sin A B B A=()0,πA ∈sin 0A ≠tan B =()0,πB ∈π6B =ABC V sin sin sin a b c A B C ==4sin ,4sin a A c C ==215πsin 4sin sin 4sin sin 2sin cos 26ABC S ac B A C A A A A A ⎛⎫===-=+ ⎪⎝⎭V πsin22sin 23A A A ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭因为为锐角三角形，所以，即.所以，所以所以即面积的取值范围为19.（1）当，即时，恒成立，则在上单调递增；当，即或时，令，得或令综上所述：当时，单调递增区间是，无单调递减区间；当或时，的单调递增区间是和单调减区间是（2）①因为在有两个极值点，所以在有两个不等零点，所以解得，所以实数的取值范围为②由①知.所以同理.ABC V π025ππ062A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩ππ32A <<ππ2π2,333A ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭πsin 23A ⎤⎛⎫-∈⎥ ⎪⎝⎭⎦(2ABC S ∈+V ABC V (2+()()2e 1,x f x x ax x '-=+∈R 2Δ40a =-≤22a -≤≤()0f x '≥()f x R 2Δ40a =->2a <-2a >()0f x '>x <x >()0f x '<x <<22a -≤≤()f x (),∞∞-+2a <-2a >()f x ∞⎛- ⎝∞⎫+⎪⎪⎭()f x ()0,312,x x ()21g x x ax =-+()0,312,x x ()()2Δ4003201031030a a g g a ⎧=->⎪⎪<<⎪⎨⎪=>⎪=->⎪⎩1023a <<a 102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭1212,1x x a x x +==()()()()1112111111e 23e 123e 22x x x f x x a x a ax a x a x a ⎡⎤⎡⎤=-+++=--+++=-++⎣⎦⎣⎦()()222e 22x f x x a =-++所以.设所以，所以函数在区间上单调递减，所以，所以()()()()()()1212121212221e 2222e 422(2)x x x x f x f x x a x a x x a x x a ++⎡⎤⎣⎦=-++-++=-++++()()22e 422(2)e 8a a a a a a ⎡⎤=-+++=-⎣⎦()()210e 8,2,3x h x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭()()()e 420x h x x x =-+-<'()h x 102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭()()224e h x h <=()()2124e f x f x <。
新高考高三数学测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且f(1) = 3，f(-1) = 1，则a的取值范围是（）A. a > 0B. a ≥ 0C. a < 0D. a ≤ 02. 在等差数列{an}中，若a1 = 3，公差d = 2，则第10项an =（）A. 19B. 20C. 21D. 223. 已知复数z = 2 + 3i，求|z|的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 84. 若向量a = (1, 2)，向量b = (3, 4)，则向量a·b的值为（）A. 5B. 7C. 9D. 115. 函数y = log2(x - 1)的图象与直线y = x相交于点P，则点P的坐标为（）A. (2, 1)B. (3, 1)C. (2, 2)D. (3, 2)6. 若不等式2x - 3 < 0，则x的取值范围是（）A. x < 1.5B. x ≤ 1.5C. x > 1.5D. x ≥ 1.57. 已知等比数列{bn}的公比q = 2，首项b1 = 1，则第n项bn =（）A. 2^n - 1B. 2^nC. 2^n + 1D. 2^n - 28. 在直角坐标系中，点A(1, 2)，点B(3, 4)，则线段AB的中点坐标为（）A. (2, 3)B. (2, 2)C. (3, 2)D. (2, 1)9. 函数y = e^x在区间(0, +∞)上的单调性是（）A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增10. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d = 3，首项a1 = 1，则Sn的值为（）A. 3n^2B. 3n^2 - 3nC. 3n^2 + 3nD. 3n^2 - 6n二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，求f'(x)的值。
2024年黑龙江省哈尔滨市122中学高三数学第一学期期末检测试题含解析
2024年黑龙江省哈尔滨市122中学高三数学第一学期期末检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数()231f x x x =-+在[]2,1-上的最大值和最小值分别为（ ）A ．23，-2 B ．23-，-9C ．-2，-9D ．2，-2 2．对于定义在R 上的函数()y f x =，若下列说法中有且仅有一个是错误的，则错误．．的一个是（ ） A ．()f x 在(],0-∞上是减函数 B ．()f x 在()0,∞+上是增函数C ．()f x 不是函数的最小值D ．对于x ∈R ，都有()()11f x f x +=-3．已知数列{}n a 的首项1(0)a a a =≠，且+1n n a ka t =+，其中k ，t R ∈，*n N ∈，下列叙述正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则一定有1k =B ．若{}n a 是等比数列，则一定有0t =C ．若{}n a 不是等差数列，则一定有 1k ≠D ．若{}n a 不是等比数列，则一定有0t ≠4．下图是民航部门统计的某年春运期间，六个城市售出的往返机票的平均价格（单位元），以及相比于上一年同期价格变化幅度的数据统计图，以下叙述不．正确的是（ ）A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B ．天津的往返机票平均价格变化最大C ．上海和广州的往返机票平均价格基本相当D ．相比于上一年同期，其中四个城市的往返机票平均价格在增加 5．已知实数0a b <<，则下列说法正确的是（ ） A ．c ca b> B ．22ac bc ＜C ．lna lnb ＜D ．11()()22ab<6．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若290ABF ∠=︒，且2ABF 的三边长2BF ，AB ，2AF 成等差数列，则C 的离心率为（ ）A ．12BC．2D7．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，某同学通过下面的随机模拟方法来估计π的值：先用计算机产生2000个数对(),x y ，其中x ，y 都是区间()0,1上的均匀随机数，再统计x ，y 能与1构成锐角三角形三边长的数对(),x y 的个数m ﹔最后根据统计数m 来估计π的值.若435m =，则π的估计值为（ ） A ．3.12B ．3.13C ．3.14D ．3.158．已知向量a 与b 的夹角为θ，定义a b ⨯为a 与b 的“向量积”，且a b ⨯是一个向量，它的长度sin a b a b θ⨯=，若()2,0u =，(1,3u v -=-，则()u u v ⨯+=（）A．BC ．6D ．9．35(1)(2)x y --的展开式中，满足2m n +=的m nx y 的系数之和为（ ）A ．640B ．416C ．406D ．236-10．已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点(3,4)P --，则tan 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．247-B ．1731-C ．247D ．173111．复数1z 在复平面内对应的点为()22,3,2,z i =-+则12z z =（ ） A ．1855i -+ B ．1855i -- C ．815i -+D ．815i --12．复数2(1)41i z i -+=+的虚部为（ ）A ．—1B ．—3C ．1D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市闵行中学2024届高三上学期开学考试数学试题
）
0, x 0
A．0
B．1
C．2
D．3
16．已知 R, 0, 2π ，若对任意实数 x 均有 sin x cos x ，则满足条件的有
序实数对 , 的个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．无数个
三、解答题
17．已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn ， a3 a4 2 ， S8 8 ． (1)求数列 an 的通项公式； (2)若 Sk 5ak 0 ，求 k 的值．
将这 100 名技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员 x 名 x N* ，
调整后研发人员的年人均投入增加
4x%
，技术人员的年人均投入调整为
60
m
2x 25
万
元.
(1)要使这100 x 名研发人员的年总投入不低于调整前的 100 名技术人员的年总投入，
求调整后的技术人员的人数 x 最多为多少人？
(2)若技术人员在已知范围内调整后，必须研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年
总投入，求出正整数 m 的最大值.
20．已知 P 0,1 为椭圆 C： x2 y2 1 内一定点，Q 为直线 l： y 3 上一动点，直线 PQ
43 与椭圆 C 交于 A､B 两点（点 B 位于 P､Q 两点之间），O 为坐标原点.
(1)求函数 f x 在 x 0 处切线方程；
(2)若对任意的 x 0, ， f x f x 4lnx 8恒成立，求 a 的取值范围；
(3)当 a 3 时，设函数 g x f x kx ，对于任意的 k 1，试确定函数的零点个数，并
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甘肃省张掖市某重点校2022-2023学年高三上学期第七次检测数学(文)试题
2022-2023学年度秋学期高三第七次检测试卷文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则()U A B ⋂=ð（）．A ．{}3,5B ．{}2,4C ．{}3,7D ．{}2,52．已知复数()212i z =-，则在复平面内z 的共轭复数对应的点位于（）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．为了弘扬“扶贫济困，人心向善”的传统美德，某校发动师生开展了为山区贫困学生捐款献爱心的活动．已知第一天募捐到1000元，第二天募捐到1500元，第三天募捐到2000元，……，照此规律下去，该学校要完成募捐20000元的目标至少需要的天数为（）．A ．6B ．7C ．8D ．94．已知向量(a = ，2b = ，a b -= ，则a 与b的夹角为（）．A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π65．甲、乙、丙、丁4人在某次考核中的成绩只有一个人是优秀，他们的对话如下，甲：我不优秀；乙：我认为丁优秀；丙：乙平时成绩较好，乙肯定优秀；丁：乙的说法是错误的．若四人的说法中只有一个是真的，则考核成绩优秀者为（）．A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．卡西尼卵形线是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的在数学史上，同一平面内到两个定点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．已知卡西尼卵形线是中心对称图形且有唯一的对称中心．若某卡西尼卵形线C 两焦点间的距离为2，且C 上的点到两焦点的距离之积为1，则C 上的点到其对称中心距离的最大值为（）．A ．1B ．CD ．27．MOD 函数是一个求余函数，格式为()MOD ,M N ，其结果为两个数M ，N 作除法运算MN后的余数，例：()MOD 36,106=．如图，该程序框图给出了一个求余的实例．若输入的6n =，1v =，则输出的u 的值为（）．A ．1B ．2C ．3D ．48．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若过点2F 作渐近线的垂线，垂足为P ，且12F PF △的面积为2b ，则该双曲线的离心率为（）．A ．1B ．1CD 9．已知函数()()()sin 0,πg x x ωϕωϕ=+><的部分图象如图所示，函数()πsin π2f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则（）．A ．()122g x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()122x g x f ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()122x g x f ⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()()21g x f x =-10．中医药在抗击新冠肺炎疫情中发挥了重要作用，但由于中药材长期的过度开采，本来蕴藏丰富的中药材量在不断减少．研究发现，t 期中药材资源的再生量()1t t t x f x rx N⎛⎫=-⎪⎝⎭，其中t x 为t 期中药材资源的存量，r ，N 为正常数，而t 期中药资源的利用量与存量的比为采挖强度．当t 期的再生量达到最大，且利用量等于最大再生量时，中药材资源的采挖强度为（）．A ．2rB ．3r C ．4r D ．5r11．已知圆22:1C x y +=，直线:2l x =，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 过定点（）．A ．1,02⎛⎫⎪⎝⎭B ．()0,2C ．()2,1D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭12．已知函数())ln 3sin 2f x x x x =-+-+，则不等式()2141f f x ⎛⎫+-< ⎪+⎝⎭的解集是（）．A ．{}11x x x <->或B ．{}1x x >C ．{}1x x <-D ．{}11x x -<<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知角α的终边上有一点()2,3P ，则cos 2α的值为______．14．若x ，y 满足约束条件13624x y x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥-⎩，则4z x y =+的最小值为______．15．已知直线:l y x b =+为曲线()xf x e =的切线，若直线l 与曲线()21722g x x mx =-+-也相切，则实数m 的值为______．16．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若sin sin B C =c =，则ABC △外接圆半径的最小值为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知在公比为2的等比数列{}n a 中，2a ，3a ，44a -成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()1225log 1,,n n n a n b a n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ．18．（12分）某数学兴趣小组为了探究参与某项老年运动是否与性别有关的问题，对城区60岁以上老人进行了随机走访调查．得到的数据如下：男性女性总计参与该项老年运动16p x 不参与该项老年运动44qy总计6040100从统计数据中分析得参与该项老年运动的被调查者中，女性的概率是13．（1）求2×2列联表中p ，q ，x ，y 的值；（2）是否有90％的把握认为参与该项老年运动与性别有关？（3）若将参与该项老年运动的老人称为“健康达人”，现从参与调查的“健康达人”中按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行健康状况跟踪调查，那么被跟踪调查的2人中都是男性的概率是多少？参考公式及数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()20P K k >0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，2PA AB ==，PB =60ABC ∠=︒，且平面PAC ⊥平面ABCD ．（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）若M 是PC 上一点，且BM PC ⊥，求三棱锥M BCD -的体积．20．（12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，M 是椭圆E 上一点，M 关于x轴的对称点为N ，且14MA NB k k ⋅=．（1）求椭圆E 的离心率；（2）若椭圆E 的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，斜率为1的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，在y轴上存在点R ，使得以线段PQ 为直径的圆经过点R ，且()0RQ RP PQ +⋅=，求直线l 的方程．21．（12分）已知函数()()0x a xf x a xe-=>．（1）求函数()y f x =的单调区间；（2）在区间,2a⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上，()f x 是否存在最大值与最小值？若存在，求出最大值与最小值；若不存在，请说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为2x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为π4⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求圆C 的普通方程及极坐标方程；（2）过点A 的直线l 与圆C 交于M ，N 两点，当MCN △面积最大时，求直线l 的直角坐标方程．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数()121f x x x =---．（1）求不等式()1f x ≥-的解集；（2）若不等式()1f x ax <-恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案及解析一、选择题1．B 【解析】由题意得{} U 2,4,6,8A =ð，所以(){} U 2,4A B ⋂=ð．2．D【解析】复数()21134i 34i 25252i z ===+--，则34i 2525z =-，所以在复平面内z 对应的点位于第四象限．3．C【解析】设第n 天募捐到n a 元，则数列{}n a 是以1000为首项，500为公差的等差数列，所以其前n 项和()2503n S n n =+．因为717500S =，822000S =，所以至少需要8天可完成募捐目标．4．D【解析】因为a b -=，所以()213a b-= ，即22213a a b b -⋅+= ．设a 与b的夹角为θ，则32cos 413θ-⨯+=，解得3cos 2θ=-，所以a 与b的夹角为5π6．5．A【解析】假设甲优秀，则甲、乙、丙说法错误，丁说法正确，满足题设要求；假设乙优秀，则乙说法错误，甲、丙、丁说法正确，不满足题设要求；假设丙优秀，则乙、丙说法错误，甲、丁说法正确，不满足题设要求；假设丁优秀，则丙、丁说法错误，甲、乙说法正确，不满足题设要求．综上，优秀者为甲．6．B【解析】设左、右焦点分别为1F ，2F ，以线段12F F 的中点为坐标原点，1F ，2F 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则()11,0F -，()21,0F ．设曲线上任意一点(),P x y 1=，化简得该卡西尼卵形线的方程为()()222222x y x y +=-，显然其对称中心为()0,0．由()()222222x y x y +=-得()()222222240x y x y y +-+=-≤，所以()()222222x yx y +≤+，所以2202x y ≤+≤，所以≤．当且仅当0y =，x =时等号成立，．7．A【解析】当1i =时，1v =；当2i =时，2v =；当3i =时，4v =……当7i =时，64v =，所以()MOD 64,71u ==．8．D【解析】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，在2OPF △中，2PF b =，2OF c =，OP a =，12222F PF OPF S S ab b ===△△，所以a b =，离心率c e a ===．9．C【解析】由题图可得()πsin2g x x =，所以由()πsin π2f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象得()g x 的图象，只需将()f x 图象上的所有点向左平移12个单位长度得到12y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得()1πsin 222x g x f x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．10．A【解析】由题意得()22124t t t t t t x rx r N rN f x rx rx x N N N ⎛⎫⎛⎫=-=-+=--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当2t N x =时，()t f x 有最大值4rN．所以当利用量与最大再生量相同时，采挖强度为422rNrN =．11．A【解析】因为P 为直线l 上的动点，所以可设()2,P t ，由题意可得圆心C 的坐标为()0,0，以线段PC 为直径的圆N 的方程为2220x y x ty +--=．两圆方程作差，即得两圆公共弦AB 的方程为210x ty +-=，所以直线AB 过定点1,02⎛⎫⎪⎝⎭．12．D【解析】构造函数()())2ln3sin g x f x x x x =-=-+-．因为()()0g x g x -+=，所以()g x 是奇函数．因为)ln3lnx =()sin cos 10x x x '-=-≤，所以()g x 在区间()0,+∞上是减函数．因为()g x 是奇函数且()00g =，所以()g x 在R 上是减函数．不等式()2141f f x ⎛⎫+-<⎪+⎝⎭等价于()221201f f x ⎛⎫-+--< ⎪+⎝⎭，即()()2111g g g x ⎛⎫<--=⎪+⎝⎭，所以211x >+，解得11x -<<．二、填空题13．513-【解析】由题意得313sin 13α==，则223135cos 212sin 121313αα⎛=-=-⨯=- ⎝⎭．14．325【解析】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，所以当目标函数过直线36x y +=，24x y -=-的交点224,55⎛⎫⎪⎝⎭时，z 取最小值，所以min 224324555z =⨯+=．15．4或2-【解析】设直线:l y x b =+与曲线()xf x e =相切于点()00,x x e，由()001x f x e'==，得00x =，所以切点坐标为()0,1，所以直线l 的方程为1y x =+．又由直线l 与曲线()g x 相切，得217122x mx x -+-=+，化简得()22190x m x --+=，()241360m ∆=--=，解得4m =或2m =-．161【解析】由sin sin B C =sin cos 2sin sin cos B B C C C B +=-，即sin 2sin A B C =，所以由正弦定理得2a c +=．所以2222232cos 284a b c a b C ab ab+-+-==≥，所以62sin 4C +≤，设ABC △外接圆半径为R，因此)221sin cR C=≥-，所以1R ≥-1．三、解答题17．解：（1）因为数列{}n a 的公比q 为2，所以212a a =，314a a =，41484a a -=-．因为2a ，3a ，44a -成等差数列，所以1118284a a a =+-，解得12a =，所以2n n a =．（6分）（2）由（1）可得51,,nn n n b n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，（8分）所以奇数项是以6为首项，10为公差的等差数列，偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列，所以()()21321242n n nS b b b b b b -=+++++++L L ()()616104242n n =+++-++++L L ()()2126104212nn n -+-=+-2112522252n n n n n n ++=++-=++-．18．解：（1）由题意得1163p p =+，解得8p =，所以40832q =-=，（2分）所以16824x =+=，443276y =+=．（4分）（2）由列联表中的数据可得2K 的观测值()210016328440.585 2.70660402476k ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯．（5分）所以没有90％的把握认为参与该项老年运动与性别有关．（7分）（3）由（1）得“健康达人”共有24人，其中男性16人，女性8人，所以抽样比61244k ==．（7分）因此按性别分层抽样抽取的6人中有男性11644⨯=人，记为1A ，2A ，3A ，4A ，女性1824⨯=，记为1B ，2B ．（9分）从这6人中抽取2人的所有方式为()12,A A ，()13,A A ，()14,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()23,A A ，()24,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()34,A A ，()31,A B ，()32,A B ，()41,A B ，()42,A B ，()12,B B ，共15种情况，其中符合题目要求的是6种情况，所以抽取的全是男性的概率为62155P ==．（12分）19．（1）证明：因为四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥．因为平面PAC ⊥平面ABCD ，平面PAC ⋂平面ABCD AC =，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面PAC ．（2分）因为PA ⊂平面PAC ，所以PA BD ⊥．（3分）又因为2PA AB ==，PB =，所以222PA AB PB +=，所以PA AB ⊥．（5分）又因为AB ，BD ⊂平面ABCD ，AB BD B ⋂=，所以PA ⊥平面ABCD ．（6分）（2）解：由（1）得PA ⊥平面ABCD ，因为AC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥，（8分）所以PC ==PBC △为等腰三角形．在PBC △中，由余弦定理得2223cos 24PB PC BC BPC PB PC +-∠==⋅．因为BM PC ⊥，所以34PM PB =，所以34PMPC =．易得14CM PC =，（10分）又1sin1202BCD S BC CD =⋅︒=△，所以1111132443436BCD M BCD P BCD V V S PA --==⨯⨯=⨯=三棱锥三棱锥△．（12分）20．解：（1）由椭圆E 的方程可得(),0A a -，(),0B a ．设()00,M x y ，则()00,N x y -，所以200022000MA NB yy yk k x a x a x a -⋅=⋅=-+--．又点()00,M x y 在椭圆E 上，所以2200221xy a b +=，即22220002221y x a x b a a -=-=，所以220222014MA NB y b k k x a a ⋅=-==-，所以椭圆E的离心率2e ====．（4分）（2）由题意知椭圆E的一个焦点为)，所以椭圆E 的标准方程为2214x y +=．（5分）设直线l 的方程为y x m =+，()0,R t ，()11,P x y ，()22,Q x y ，线段PQ 的中点为(),S S S x y ，联立2214x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得2258440x mx m ++-=，则()()2226420441650m m m ∆=--=->，解得25m <，所以1285m x x +=-，212445m x x -=，（7分）所以12425S x x m x +==-，5S S m y x m =+=，所以4,55m m S ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（8分）由()0RQ RP PQ +⋅= ，得RS PQ ⊥，（9分）所以511405m t m -⨯=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，解得35m t =-．（10分）又因为以线段PQ 为直径的圆过点R ，所以PR QR ⊥，所以12121y t y t x x --⋅=-．又11y x m =+，22y x m =+，代入上式整理得()()()2121220x x m t x x m t +-++-=，即()222244880555m m m -⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1m =±．所以直线l 的方程为1y x =±．（12分）21．解：（1）由题意得函数()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，（1分）则()22x x ax a f x x e --'=．（3分）令()0f x '=，得142a x =，242a x =．因为0a >，所以10x <，20x >．当x 在定义域上变化时，()f x '的变化情况如下表：x ()1,x -∞1x ()1,0x ()20,x 2x ()2,x +∞()f x '＋0－－0＋()f x 极大值 极小值所以函数()y f x =的单调递增区间为,2a ⎛-∞ ⎪⎝⎭，2a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为,02a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，0,2a ⎛ ⎪⎝⎭．（6分（2）令()0x a x f x xe-==，得x a =，则a 是函数()f x 的唯一零点．（7分）因为2022a a a x a +--=-=<，所以20a x <<，所以202a a x <<<．当0x a <<时，()0f x >；当x a >时，()0f x <．（9分）由（1）可知函数()f x 在区间2,2ax ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间()2,x +∞上单调递增，（10分）所以()f x 在区间,2a⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的最大值为22a a f e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，最小值为()2222x a x f x x e-=，其中242a x +=．（12分）22．解：（1）圆C 的直角坐标方程为()2228x y -+=，（2分）极坐标方程为244cps ρρθ-=．（4分）（2）π4A ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直角坐标为()4,4A ．（5分）111sin 84222MCN S CM CN MCN CM CN =∠≤=⨯=△，当90MCN ∠=︒时，面积最大，此时，圆心C 到直线l的距离22d =⨯=．（6分）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为4x =，满足题意；（7分）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()44y k x -=-，即440kx y k -+-=，圆心C 到直线l的距离2d ==，解得34k =，即3440x y -+=．（9分）综上，直线l 的方程为4x =或3440x y -+=．（10分）23．解：（1）由题意得()1,2132,2x x f x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，（2分）当12x ≥时，令1x -≥-，解得112x ≤≤；当12x <时，令321x -≥-，解得1132x ≤<．（4分）综上所述，()1f x ≥-的解集为1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（5分）（2）由（1）得()1,2132,2x x f x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，当12x ≥时，1x ax -<-，即()110a x +->，（6分）此时，应有()1011102a a +>⎧⎪⎨+->⎪⎩，解得1a >；（7分）当12x <时，321x ax -<-，即()310a x -+>，（8分）此时，应有()3013102a a -≤⎧⎪⎨-+≥⎪⎩，解得13a ≤≤．（9分）综上所述，实数a 的取值范围是(]1,3．（10分）。
上海市宜川中学2024-2025学年高三上学期数学阶段测试数学试卷(无答案)
宜川中学2024学年第一学期阶段测试高三数学试卷考生注意：1．本考试设试卷和答题纸，答案写在答题纸上，写在试卷上无效。
2．答题前，考生务必在答题纸上清楚填涂班级、姓名和准考证号。
3．本试卷共4页，考试时间120分钟，试卷满分150分。
一、填空题：（第1—6题每小题4分，第7—12题每小题5分，满分54分）1写成指数幂形式为_________．2．已知集合，，则_________．3．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则_________．4．若关于的不等式组的解集为空集，则实数的取值范围为_________．5．已知圆：与圆：外切，则实数_________．6．若函数的一个零点是，则函数的最大值为_________．7．为等差数列的前项和，，，则与的等比中项为_________．8．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为左焦点、长轴长为40万公里、短轴长为4万公里的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为左焦点、长轴长为20万公里的椭圆轨道绕月飞行，则椭圆轨道的短轴长为_________万公里（近似到0.01）．9．菱形的对角线把平面折起与平面成的二面角后，点到平面的距离为_________．10．已知_________．11．已知是定义在上的奇函数，且对于任意的，都有成立，当)0x >{}0,1,2,3A =(){}40B x x x =-<A B = ()y f x =R 0x ≤()()2lg f x x a =+()3f =x ()()130x x x a⎧--<⎨>⎩a 1C ()()22341x y ++-=2C ()2216x y k +-=k =()sin f x a x x =π3()y f x =n S {}n a n 936S =-13104S =-5a 7a P F 1T P F 2T 2T ABCD AC =BD ABD BCD 120︒A BCD sin sin 3παα⎛⎫++= ⎪⎝⎭sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭()y f x =R x ()()2f x f x =-时，，则函数在区间内所有零点之和为_________．12．已知函数，，且，，若，则的最小值为_________．二、选择题（第13—14题每小题4分，第15—16题每小题5分，共18分）13．下图是某地区2010年至2019年污染天数（单位：天）与年份的折线图．根据2010年至2014年数据，2015年至2019年的数据，2010年至2019年的数据分别建立线性回归模型，，，则（ ）A ．，；B ．，；C ．，；D ．，．14．已知、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）A ．若，，则；B ．若，，则；C ．若、是异面直线，，，，，则；D ．平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则．15．已知的三边长分别为4、5、7，记的三个内角的正切值所组成的集合为，则集合中的最大元素为（ ）A ．BC ．D ．16．已知函数的表达式为，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．10x -≤<()()2log f x x =-()2y f x =+()1,8-()y f x =()y g x =()3e x f x -=()1ln g x x =+()()f m g n =n m -y x 11ˆˆy a x b =+22ˆˆy a x b =+33ˆˆy a x b =+123ˆˆˆa a a <<123ˆˆˆb b b <<132ˆˆˆa a a <<132ˆˆˆb b b <<231ˆˆˆa a a <<132ˆˆˆb b b <<231ˆˆˆa a a <<321ˆˆˆb b b <<m n αβγαβ⊥βγ⊥αγ∥m n ∥n α⊂m α∥m n m α⊂m β∥n β⊂n α∥αβ∥αβαβ∥ABC △ABC △M M -()y f x =()e x f x x=()()()222e e g x f x af x a ⎡⎤=+--⎣⎦a (),2e -∞-(),e -∞-2,e ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭三、解答题（共78分，在答题纸上写出必要的步骤．）17．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数的表达式为，（1）设，求函数，的单调增区间；（2）设实数，的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围．18．（本大题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，、、为圆锥三条母线，．（1）证明：；（2，为底面直径，且，求二面角的大小．19．（本大题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某市YC 中学体育节开展趣味运动比赛，其中、两个班级进入趣味运动比赛的关键阶段，该比赛采取累计得分制，规则如下：每局比赛不存在平局，获胜者得1分，失败者不得分，其中累计得分领先对方2分即可赢得最终胜利，或者5局比赛结束积分领先赢得最终胜利．假设每局比赛中班获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立．（1）求趣味比赛班以3比1赢得最终胜利的概率；（2）此次趣味比赛中记比赛停止时已比赛的局数为，求的分布及数学期望．20．（本大题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第，3小题满分8分）已知双曲线：，点、分别为双曲线的左、右焦点，、为双曲线上的点．（1）求右焦点到双曲线的渐近线的距离；（2）若，求直线的方程；（3）若，其中、两点均在轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形的面积的取值范围．21．（本大题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第，3小题满分8分）()y f x =()πsin 3f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭0ω>1ω=()y f x =[]0,πx ∈πa >()f x π[]π,x a ∈a PA PB PC AB AC =PA BC ⊥BC 2BC =B PA C --A B A 23A X X C 2213y x -=1F 2F ()11,A x y ()22,B x y 2F 223AF F B =AB 12AF BF ∥A B x 12AF F B如图，在区间上，曲线与直线，，轴围成的阴影部分面积记为面积，若（为函数的导函数），则．设函数，（1）若，，求的值；（2）已知，点，，，过点的直线分别交，于，两点（，在第一象限），设四边形的面积为，写出的表达式（用，表示）并证明：；（3）若函数有两个不同的零点，，比较与的大小，并说明理由．[],a b ()y f x =x a =x b =x S ()()F x f x '=()F x '()y F x =()()S F b F a =-()()10f x x x=>1a =2b =S 0b a >>(),0A a (),0D b ,22a ba b M f ⎛⎫++⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭M x a =x b =B C B C ABCD 1S 1S a b 1S S >()()ln g x f x x m =-1x 2x 12x x 2e。
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高三第一学期数学测试题7本卷分选择题与非选择题两部分，共21小题，共150分，考试时间120分钟。
一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分) . 1. 若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P 的轨迹为A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线2. 已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于 A.165- B.33- C.30- D.21-3. 在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是A.30︒B.45︒C.60︒D.90︒4. 若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为A. －2B. 2C. －4D. 45. 正方体1111ABCD A BC D -中，E F 、分别为11AB C D 、的中点，则11A B 与平面1A EF所成角的正切值为A. 2B.2C. 1D.36. 已知一个几何体的三视图如所示，则该几何体的体积为A. 6B. 5.5C. 5D. 4.57. 正方体1111ABCD A BC D -中，AB 的中点为1,M DD 的中点为N ，则异面直线1B M 与CN 所成角的大小为A. 0︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒8. 已知点)3,1(-A ，)1,3(B ，点C 在坐标轴上，若︒=∠90ACB ，这样的点C 的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 9. 已知数列{}n a 中，n S a ,211=为数列的前n 项和，且n S 与na 1的一个等比中项为n ,则3S 的值为A.43 B.61 C.121D.2310. 已知椭圆)0,0(1)0(122222222>>=->>=+n m ny m x b a b y a x 与双曲线有相同的焦点()0c -，和()0c ，，若c 是a m 、的等比中项，2n 是22m 与2c 的等差中项，则椭圆的离心率是A.33 B.22C.41D.21二、填空题(本大题共5小题, 每小题5分,共25分).11. 若圆224x y +=与圆22260x y ay ++-=()0a >的公共弦的长为a =__________.12. 如下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为__________.13. 在数列{}n a 中，1254,2n n a n a a a =-+++=2,,an bn n N ++∈则=ab __________.14. 如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，1=AB ．若二面角1C AB C --的大小为 60，则点C 到平面1ABC 的距离为__________.15. 过直线2x =上一点M 向圆()()22511x y ++-=作切线，则M 到切点的最小距离为__________.三、解答题(本大题6小题, 共75分.解答写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤).16. （本小题满分12分）(2011福建卷) 已知直线l y x m m R =+∈：，。
（Ⅰ） 若以点()2,0M 为圆心的圆与直线l 相切与点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程；（Ⅱ） 若直线l 关于x 轴对称的直线为l '，问直线l '与抛物线24C x y =：是否相切？说明理由。
17. （本小题满分12分）(2011全国卷) ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、.己知90A C -=︒，a c +=，求C 。
18. （本小题满分12分）在直三棱柱111C B A ABC -中，,3=AC ,4=BC 5=AB .41=AA ,点D 是AB 中点.（Ⅰ） 求证：//1AC 平面1CDB ;（Ⅱ） 求异面直线1AC 与C B 1所成角的余弦值。
19. （本小题满分12分）设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且123334a a a ++， ，构成等差数列。
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令31ln 12n n b a n +==，，，，求数列{}n b 的前n 项和n T 。
20. （本小题满分13分）ABCD1A 1B 1C设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，点(,)P a b 满足212||||PF F F =。
（Ⅰ） 求椭圆的离心率e ；（Ⅱ） 设直线2PF 与椭圆相交于A B 、两点，若直线2PF 与圆22(1)(16x y ++=相交于M N 、两点，且5||||8MN AB =，求椭圆的方程。
21. （本小题满分14分）已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点。
（Ⅰ） 求实数a 的值；（Ⅱ） 求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ） 若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围。
参考答案一、选择题：D C C D B C D C A D3.【解析】取BC 的中点E ，则AE ⊥面11BB C C ，AE DE ∴⊥，因此AD 与平面11BB C C所成角即为ADE ∠，设A Ba =，则A E a=，2aDE =，即有t a n 3,60A D A D E ∠∴∠=.二、填空题 11. 1=a解答：解析：由知22260x y ay ++-=的半径为26a +，由图可知222)3()1(6=---+a a 解之得1=a 12.73π 13. －１14. 34过C 作CD ⊥AB ，D 为垂足，连接C 1D ，则C 1D ⊥AB ，∠C 1DC ＝60°，CD ＝23，则C 1D ＝3，CC 1＝23，在△CC 1D 中，过C 作CE ⊥C 1D ，则CE 为点C 到平面ABC 1的距离，334=，所以点C 到平面ABC 1的距离为4315.三、解答题：16. 解析：本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。
满分13分。
解法一：（I ）依题意，点P 的坐标为（0，m ） 因为MP l ⊥，所以01120m-⨯=--， 解得m=2，即点P 的坐标为（0，2） 从而圆的半径||r MP ===故所求圆的方程为22(2)8.x y -+= （II ）因为直线l 的方程为,y x m =+（I ）设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为22(2).x y r 2-+= 依题意，所求圆与直线:0l x y m -+=相切于点P （0，m ），则224,,m r r ⎧+=⎪=解得2,m r =⎧⎪⎨=⎪⎩所以所求圆的方程为22(2)8.x y -+= （II ）同解法一。
17. 【解析】：由正弦定理得2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===，由2sin 2sin 2sin a c R A R C R B ++=得，即sin sin A C B + A+B+C=1800 ，0[180()]B A C ∴=-+，0sin sin ()]A C A C ∴+-+y即sin sin )A C A C ∴+=+，由A-C=900 得A=900+C00sin(90)sin 2)c c c ∴++=+ 即00cos sin)cos(45)c c cc +=++00045))cos(45)c c c +=++ 01cos(45)2c ∴+=00456015c c ∴+=∴=18. 解答：解：(1)连1BC 交C B 1于E ,连DE , D 是AB 的中点,E 是1BC 的中点,∴1//AC DE ⊂DE 平面1C D B , ⊄1AC 平面,1C D B ∴//1AC 平面1C D B …6分(2) 1//AC DE ,∴CED ∠为1AC 与C B 1所成的角，在∆CED 中，25211==AC ED ,22211==CB CE , 522252228cos =⋅⋅=∠∴CED . ∴异面直线1AC 与C B 1所成角的余弦值为522 …………… …...12分 解法2. 直三棱柱111C B A ABC -底面三边长,3=AC ,4=BC 5=AB .∴,,BC AC C C 1 两两垂直.如图，以C 为坐标原点，直线1,,CC CB CA 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则)0,0,0(C ,)0,0,3(A ,)4,0,0(1C ,)0,4,0(B ,)4,4,0(1B ,)0,2,23(D(1) 设1BC 交C B 1于E ，则)2,2,0(E , )2,0,23(-= ,)4,0,3(1-=AC , 121AC DE =∴, ∴1//AC DE ⊂DE 平面1CDB , ⊄1AC 平面,1CDB ∴//1AC 平面1CDB(2) )4,0,3(1-=AC , )4,4,0(1=CB , ><∴11,cos CBAC =522=.19. 解答：由已知得1231327:(3)(4)3.2a a a a a a ++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得22a =．设数列{}n a 的公比为q ，由22a =，可得1322a a q q==，． 又37S =，可知2227q q++=，即22520q q -+=，解得12122q q ==，由题意得12q q >∴=，11a ∴=．故数列{}n a 的通项为12n n a -=． （2）由于31ln 12n n b a n +==，，，， 由（1）得3312n n a += 3ln 23ln 2n n b n ∴== 又13ln 2n n n b b +-={}n b ∴是等差数列．12n n T b b b ∴=+++1()2(3ln 23ln 2)23(1)ln 2.2n n b b n n n +=+=+= 故3(1)ln 22n n n T +=．20. 解答：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力，满分13分。
（Ⅰ）解：设12(,0),(,0)(0)F c F c c ->，因为212||||PF F F =，2c =，整理得2210,1c cc a aa ⎛⎫+-==- ⎪⎝⎭得（舍）或11,.22c e a ==所以（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知2,a c b ==，可得椭圆方程为2223412x y c +=，直线FF 2的方程为).y x c =-A ，B两点的坐标满足方程组2223412,).x y c y x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩消去y 并整理，得2580x cx -=。