质点在平面内的运动

图4-1-1 图4-1-7x 第二节 质点在平面内的运动一、运动的合成与分解1．合运动与分运动的特征（1）等时性：合运动和分运动是同时发生的，所用时间相等．（2）等效性：合运动跟几个分运动共同叠加的效果相同．（3）独立性：一个物体同时参与几个运动，各个分运动独立进行，互不影响．2．已知的分运动来求合运动，叫做运动的合成，包括位移、速度和加速度的合成．遵循平行四边形定则．（1）两分运动在同一直线上时，先规定正方向，凡与正方向相同的取正值，相反的取负值，合运动为各分运动的代数和．（2）不在同一直线上，按照平行四边形定则合成（如图4-1-1示）．（3）两个分运动垂直时，正交分解后的合成为s =合v =合a =合3．已知合运动求分运动，叫运动的分解，解题时应按实际“效果”分解，或正交分解．二、怎样确定物体的运动轨迹？1．同一直线上的两分运动（不含速率相等，方向相反情形）的合成，其合运动一定是直线运动．2．不在同一直线上的两分运动的合成．（1）若两分运动为匀速运动，其合运动一定是匀速运动．（2）若两分运动为初速度为0的匀变速直线运动，其合运动一定是匀变速直线运动．（3）若两分运动中，一个做匀速运动，另一个做匀变速直线运动，其合运动一定是匀变速曲线运动（如平抛运动）．（4）若两分运动均为初速度不为0的匀加（减）速直线运动，其合运动不一定是匀加（减）速直线运动，如图4-1-2、图4-1-3所示）．图4-1-2情形为匀变速曲线运动；图4-1-3情形为匀变速直线运动（匀减速情形图未画出），此时有2121a a v v =． 三、船过河问题的分析与求解方法1．处理方法：船在有一定流速的河中过河时，实际上参与了两个方向的运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动．2．对船过河的分析与讨论．设河宽为d ，船在静水中速度为v 船，水流速为v 水．（1）船过河的最短时间如图4-1-6所示，设船头斜向上游与河岸成任意夹角θ，这时船速在垂直河岸方向的速度分量为v 1=v 船sin θ，则过河时间为1sin d d t v v θ==船，可以看出，d 、v 船一定时，t 随sin θ增大而减小；当θ=90°时，即船头与河岸垂直时，过河时间最短min d t v =船．到达对岸时船沿水流方向位移x =v 水t min=v d v 水船． （2）船过河的最短位移①v 船>v 水如图4-1-6所示，设船头斜指向上游，与河岸夹角θ．当船的合速度垂直于河岸时，此情形下过河位移最短，且最短位移为河宽d ．此时有v 船cos θ=v 水，即arccos v v θ=水船． ②v 船<v 水如图4-1-7所示，无论船向哪一个方向开，船不可能垂直于河岸过河．设船头与河岸成θ角，合速度v 合与河岸成α角．可以看出：α角越大，船漂下的距离x 越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v 水的矢尖为圆心，v 船为半径画圆，当v 合与圆相切时，α角最大，根据cos v v θ=船水，船头与河岸的夹角应为arccos v v θ=船水，船沿河漂下的最短距离为：min (cos )sin d x v v v θθ=- 水船船．此情形下船过河的最短位移：cos v d s d v θ==水船．2 2v 2 2 图4-1-2 图4-1-3 v v 图4-1-6四、如何分解用绳（或杆）连接物体的速度？1．一个速度矢量按矢量运算法则分解为两个速度，但若与实际情况不符，则所得分速度毫无物理意义，所以速度分解的一个基本原则就是按实际效果进行分解．通常先虚拟合运动（即实际运动）的一个位移，看看这个位移产生了什么效果，从中找到两个分速度的方向；最后利用平行四边形画出合速度和分速度的关系图，由几何关系得出他们的关系．2．由于高中研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长和压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳（或杆）和平行于绳（或杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相同求解． 3分钟训练1.关于两个分运动的合运动，下列说法中正确的是（ AD ）A.两个匀速运动的合运动一定是匀速运动B.两个直线运动的合运动一定是直线运动C.合运动的速度一定大于分运动的速度D.合运动的位移的大小可能小于分运动的位移的大小2.关于曲线运动中速度的方向，下列说法中正确的是（ CD ）A.在曲线运动中速度的方向总是沿着曲线保持不变的B.质点做曲线运动时，速度方向是时刻改变的，它在某一点的瞬时速度的方向与质点运动方向成一定夹角C.曲线运动中速度的方向是时刻改变的，质点在某一点的瞬时速度的方向是曲线上这一点的切线方向D.曲线运动中速度的方向不断改变，但速度的大小不一定改变3.物体运动的加速度大小和方向都不随时间发生变化时物体（ CD ）A.一定做匀变速直线运动B.一定做曲线运动C.可能做曲线运动D.可能做直线运动4.已知分运动求合运动，叫做运动的合成；已知合运动求分运动，叫做运动的分解；运动的合成与分解遵循平行四边形定则.10分钟训练1.关于运动的合成与分解，以下说法中正确的是（ ABD ）A.由两个分运动求合运动，合运动是唯一确定的B.由合运动分解为两个分运动，可以有不同的分解方法C.物体做曲线运动时，才能将这个运动分解为两个分运动D.任何形式的运动，都可以用几个分运动代替2.两个互相垂直的匀变速直线运动，初速度分别为v 1和v 2，加速度分别为a 1和a 2，它们的合运动的轨迹（ AD ）A.如果v 1=v 2=0，那么轨迹一定是直线B.如果v 1≠0，v 2≠0，那么轨迹一定是曲线C.如果a 1=a 2，那么轨迹一定是直线D.如果2121v v a a =，那么轨迹一定是直线3.如图所示，竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个红蜡块能在水中以速度v 匀速上浮.现当红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管水平匀加速向右运动，则红蜡块的轨迹可能是（ B ）A.直线PB.曲线QC.曲线RD.无法确定4.下列说法中正确的是（ AD ）A.两个匀速直线运动合运动的轨迹必是直线B.两个匀变速直线运动合运动的轨迹必是直线C.一个匀变速直线运动和一个匀速直线运动的合运动的轨迹一定是曲线D.几个初速度为零的匀变速直线运动的合运动的轨迹一定是直线5.小船以一定的速率垂直河岸向对岸划去，当水流匀速时，它渡河的时间、发生的位移与水速的关系是（ C ）A.水速小时，位移小，时间亦小B.水速大时，位移大，时间亦大C.水速大时，位移大，但时间不变D.位移、时间大小与水速大小无关6.如图所示，在离水面高为H 的岸边有人以v 0的匀速率收绳使船靠岸，当船与岸上的定滑轮间的水平距离为x 时，船速是多少?解析：可进行运动的分解.关键是先找出合速度，船的运动、船的速度就是合运动、合速度，所以应该分解船的速度v.收绳时船水平向左运动，θ角增大，船的运动可以看作是两个分运动的合运动，如图所示.一个是沿绳方向以v 0“上升”的运动，另一个是垂直于v0、方向“下摆”的运动，对应的分速度v 1使θ角增大.船对地的速度就是v 0与v 1的合速度.如图所示，根据矢量合成的平行四边形定则v=v 0220cos v v x x H +=θ. 25分钟训练1.关于运动的合成，下列说法中正确的是（ BD ）A.合运动的速度一定比分运动的速度大B.两个匀速直线运动的合运动也一定是匀速直线运动C.只要两个分运动是直线运动，那么合运动也是直线运动D.两个分运动的时间一定与合运动的时间相等2.民族运动会上有一个骑射项目，运动员骑在奔驰的马背上，弯弓放箭射击侧向的固定目标.运动员要射中目标，他放箭时应（ C ）A.直接瞄准目标B.瞄准目标应有适当提前量C.瞄准目标应有适当滞后量D.无法确定3.江中某轮渡站两岸的码头A 和B 正对，如图6-2-3所示，水流速度恒定且小于船速.若要使渡船直线往返于两码头之间，则船在航行时应（ B ）A.往返时均使船垂直河岸航行B.往返时均使船头适当偏向上游一侧C.往返时均使船头适当偏向下游一侧D.从A 码头驶往B 码头，应使船头适当偏向上游一侧，返回时应使船头适当偏向下游一侧4.某人横渡一条河流，船划行速度和水流动速度一定，此人过河最短时间为T 1；若此船用最短的位移过河，则需时间为T 2.若船速大于水速，则船速与水速之比为（ A ） A.21222T T T - B.12T T C.22211T T T - D.21T T 解析：船垂直河岸方向划行过河时间为最短；船斜向上游划行，垂直过河的位移为最短.设划船速度为v 1，水流速度为v 2，河宽为l ，则过河最短时间T 1=1v l ①；船以最短位移垂直过河(这是合运动)速度关系如图所示.船的合速度v=2221v v -.所以过河的时间T 2=v l =2221v v l - ②；由①②两式解出v 1=1T l ，v 2=212221T T T T l -∙. 5.下列关于运动分解的说法中正确的是（ ABC ）A.初速度不为零的匀变速直线运动，可以分解成一个匀速直线运动与一个初速度为零的匀加速直线运动B.一个在平面上的曲线运动可以分解成两个直线运动C.沿斜面向下的运动可以分解为一个水平方向的运动和一个竖直向上的运动D.可以将斜向下速度为9 m ／s 的运动分解成两个速度分别为3 m/s 和5 m/s 的匀速运动6.如图所示，物体A 和B 的质量均为m ，且分别用轻绳连接跨过定滑轮(不计绳子与滑轮，滑轮与轴之间的摩擦).当用水平变力F 拉物体B 沿水平方向向右做匀速直线运动的过程中（ BCD ）A.物体A 也做匀速直线运动B.绳子拉力始终大于物体A 所受的重力C.物体A 的速度小于物体B 的速度D.地面对物体B 的支持力逐渐增大解析：设B 物体的速度为v ，A 物体的速度等于沿绳方向的速度，绳子参与了两种运动：沿绳子向右下方的分运动和垂直于绳指向绳摆动方向的分运动，如图所示，v 为合速度，v 1、v 2为分速度，v 1=vcos α.由于v 不变，在B 向右运动时α减小，故v 1增大，物体A 加速上升，有向上的加速度.故A 不正确.对A由牛顿第二定律，可知B 正确.由图可见，C 正确.当α=90°， N=0，α增大，N 增大，D 正确.7.一条河，河宽为d ，河水流速为v 1，小船在静水中的速度为v 2，可使小船在渡河过程中所行路程x 最短，则（ AC ）A.当v 1＜v 2时，则x=dB.当v 1＜v 2时，则x=22221v v v +·dC.当v 1＞v 2时，则x=21v v dD.当v 1＞v 2时，则x=21v v d 解析：当船速v 2大于水速v 1时，船可以垂直渡河，此时渡河的最短路程为河宽，即x=d ，所以A 是正确的，而B 是错的.当v 1＞v 2时，船不能垂直河岸过河，此时速度合成的三角形如图所示.由图可知，当船速v 2跟位移x 方向垂直时，渡河的路程s 为最短.由图中几何关系可知△ABO∽△CDO 则有21v d v x =,所以x=21v v d ；由上述计算结果可知，选项C 是正确的，而选项D 是错误的. 8.一个人站在匀速运动的自动扶梯上，经时间15 s 到楼上.若自动扶梯不动，人沿扶梯匀速上楼需要时间30 s.在自动扶梯匀速运动的同时，人也沿扶梯匀速(速度不变)上楼，则人到达楼上所需的时间为10s.9.设有一条河，其宽度为700 m ，河水均匀流动，流速为2 m ／s ，汽船相对于河水的运动速度为4 m ／s ，则汽船的船头应偏向哪个方向行驶，才能恰好到达河的正对岸?渡河过程经历多少时间？解析：如图所示，汽船实际的运动是垂直于河流方向的运动，它可以看作是汽船斜向上游方向和沿水流方向两个分运动的合运动.由图可见sin α=4212=v v =0.5，α=30° v=22222124-=-v v m/s≈3.5 m/s，渡河时间为t=5.3700=v s s=200 s=3.3 min. 10.如图所示，a 图表示某物体在x 轴方向上分速度v x t 的图象，b 图表示该物体在y 轴上分速度v y t 的图象.求：(1)在t ＝0时物体的速度；(2)t ＝8 s 时物体的速度；(3)t ＝4 s 时物体的位移.解析：由图，物体在x 方向上以 3 m/s 的速度做匀加速直线运动，在y 方向上做初速度为0、加速度为0.5 m/s 2的匀加速直线运动，合运动是曲线运动.（1）v=2020y x v v + =3 m/s.（2）v=222243+=+y x v v m/s=5 m/s.（3）在 4 s 的时间内物体在x 方向发生的位移为x=12 m ，物体在y 方向发生的位移为y=21at 2=4 m ，所以s=10422=+y x m. 11.如图所示，在高为H 的光滑平台上，有一物体用绳子跨过定滑轮C ，由地面上的人以均匀速度v 0向右拉动，不计人的高度，当人从地面上的A 处向右行走距离x 到达B 处时，求：(1)物体的速度；(2)物体移动的距离.解析：人拉绳由A 点到B 点的运动由两个分运动组成：第一个分运动是绕C 点逆时针转动，从A 点运动到A 1点；第二个分运动是沿绳子由A 1移动到B.人向右行走的速度v 0是合速度，如图所示.(1)由图中几何关系可知，沿绳方向的分速度v 2=v 0sin θ，由直角三角形△CAB 可知sin θ=22x H x CB AB +=，所以v 2=v 0sin θ=220x H xv +.(2)物体移动的距离等于人从A 点运动到B 点时，绳被拉动的长度，即x′=CB -CA=22x H +-H.。