高考专题：函数及其表示

函数及其表示1．函数与映射2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 知识拓展简单函数定义域的类型(1)f (x )为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合； (2)f (x )为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合；(3)f (x )为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合； (4)若f (x )＝x 0，则定义域为{x |x ≠0}； (5)指数函数的底数大于0且不等于1；(6)正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z .题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于函数f ：A →B ，其值域就是集合B .( × )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( × ) (3)函数f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点．( √ )(4)若A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |，其对应是从A 到B 的映射．( × ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( × ) 题组二 教材改编 2．[P24T1(4)]函数f (x )＝4－xx －1的定义域是________． 答案 (－∞，1)∪(1,4]3．[P25B 组T1]函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x 值与之对应的y 值的范围是________．答案 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5] 题组三 易错自纠4．已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0的值为______． 答案 2解析 当x ≥0时，f (x )＝x 2，f (x 0)＝4， 即x 20＝4，解得x 0＝2.当x <0时，f (x )＝－x 2，f (x 0)＝4， 即－x 20＝4，无解，所以x 0＝2.5．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x ＜0，则f (f (－2))＝________.答案 12解析 因为－2＜0，所以f (－2)＝2－2＝14＞0，所以f (f (－2))＝f ⎝⎛⎭⎫14＝1－14＝1－12＝12. 6．已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝________. 答案 －2解析 由题意知点(－1,4)在函数f (x )＝ax 3－2x 的图象上，所以4＝－a ＋2，则a ＝－2.题型一 函数的概念1．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 B解析 A 中函数的定义域不是[－2,2]，C 中图象不表示函数，D 中函数值域不是[0,2]，故选B.2．有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0表示同一函数；②f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；③若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________． 答案 ②解析 对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数，故①不正确；对于②，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数，故②正确； 对于③，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1，故③不正确． 综上可知，正确的判断是②.思维升华 函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同．题型二 函数的定义域问题命题点1 求函数的定义域 典例 (1)函数f (x )＝3xx －1＋ln(2x －x 2)的定义域为( ) A ．(2，＋∞) B ．(1,2) C ．(0,2) D ．[1,2]答案 B解析 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，2x －x 2>0， 解得1<x <2. ∴函数f (x )＝3xx －1＋ln(2x －x 2)的定义域为(1,2)． (2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2 018]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是( ) A ．[－1,2 017] B ．[－1,1)∪(1,2 017] C ．[0,2 018] D ．[－1,1)∪(1,2 018]答案 B解析 使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2 018，解得－1≤x ≤2 017，故函数f (x ＋1)的定义域为[－1，2 017]．所以函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2 017，x －1≠0， 解得－1≤x ＜1或1＜x ≤2 017.故函数g (x )的定义域为[－1,1)∪(1,2 017]． 引申探究本例(2)中，若将“函数y ＝f (x )的定义域为[0,2 018]”，改为“函数f (x －1)的定义域为 [0,2 018]，”则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域为________． 答案 [－2,1)∪(1,2 016]解析 由函数f (x －1)的定义域为[0,2 018]． 得函数y ＝f (x )的定义域为[－1,2 017]，令⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋1≤2 017，x ≠1， 则－2≤x ≤2 016且x ≠1. 所以函数g (x )的定义域为[－2,1)∪(1,2 016]． 命题点2 已知函数的定义域求参数范围典例 (1)(优质试题·衡水联考)若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，34 B.⎝⎛⎭⎫0，34 C.⎣⎡⎦⎤0，34 D.⎣⎡⎭⎫0，34 (2)若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________． 答案 (1)D (2)－92解析 (1)要使函数的定义域为R ，则mx 2＋4mx ＋3≠0恒成立，①当m ＝0时，显然满足条件；②当m ≠0时，Δ＝(4m )2－4m ×3＜0，得0＜m ＜34，由①②得0≤m ＜34.(2)函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，1＋2＝－b ，1×2＝b a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92.思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍．(2)求抽象函数的定义域：①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域；②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域．(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解． 跟踪训练 (1)(优质试题·江西九江七校联考)函数y ＝9－x 2log 2(x ＋1)的定义域是( )A ．(－1,3)B ．(－1,3]C ．(－1,0)∪(0,3)D ．(－1,0)∪(0,3]答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧9－x 2≥0，x ＋1＞0，x ＋1≠1，解得－1＜x ≤3且x ≠0，∴函数的定义域为(－1,0)∪(0,3]．(2)已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________． 答案 [－1,2]解析 ∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]， ∴x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．(3)(优质试题·杭州模拟)若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是________．答案 [0,4]解析 当m ＝0时，f (x )的定义域为一切实数；当m ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m ≤0，得0<m ≤4， 综上，m 的取值范围是[0,4]． 题型三 求函数解析式1．若f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x1－x ，则当x ≠0，且x ≠1时，f (x )等于( ) A.1x B.1x －1 C.11－x D.1x－1 答案 B解析 f (x )＝1x1－1x＝1x －1(x ≠0且x ≠1)．2．已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________. 答案 12x 2－32x ＋2解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.3．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，则f (x )＝________. 答案23x ＋13(x ＞0) 解析 在f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1中， 将x 换成1x ，则1x 换成x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )·1x－1，由⎩⎨⎧f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )·1x－1，解得f (x )＝23x ＋13.思维升华 函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)消去法：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．题型四 分段函数命题点1 求分段函数的函数值典例 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，a x ＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f (f (－3))等于( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3 答案 B解析 由题意得f (0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2，解得b ＝1； f (－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3，解得a ＝12.故f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9， 从而f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2.命题点2 分段函数与方程、不等式问题典例 (1)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________． 答案 －34解析 当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1， 由f (1－a )＝f (1＋a )，可得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ， 解得a ＝－32，不合题意．当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1， 由f (1－a )＝f (1＋a )，可得 －(1－a )－2a ＝2(1＋a )＋a ， 解得a ＝－34，符合题意．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－(x －1)2，x ＞0，则不等式f (x )≥－1的解集是________________．答案 {x |－4≤x ≤2}解析 当x ≤0时，由题意得x2＋1≥－1，解之得－4≤x ≤0.当x ＞0时，由题意得－(x －1)2≥－1， 解之得0＜x ≤2，综上f (x )≥－1的解集为{x |－4≤x ≤2}． 思维升华 (1)分段函数的求值问题的解题思路①求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．跟踪训练 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝12的x 的集合为__________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22解析 由题意知，若x ≤0，则2x ＝12，解得x ＝－1；若x >0，则|log 2x |＝12，解得x ＝122或x ＝122-.故x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22.分类讨论思想在函数中的应用典例 (1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤23，1 B ．[0,1] C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D ．[1, ＋∞)(2)(优质试题·全国Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＞1的x 的取值范围是________．思想方法指导 (1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，通过分类讨论求解； (2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．解析 (1)令f (a )＝t ，则f (t )＝2t ， 当t <1时，3t －1＝2t ，令g (t )＝3t －1－2t ，得g ′(t )>0， ∴g (t )<g (1)＝0，∴3t －1＝2t 无解． 当t ≥1时，2t ＝2t 成立，由f (a )≥1可知， 当a ＜1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a ＜1；当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23，故选C.(2)当x ＞12时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝2x ＋122x -＞2x ＞2＞1；当0＜x ≤12时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝2x ＋⎝⎛⎭⎫x －12＋1＝2x ＋x ＋12＞2x ＞1； 当x ≤0时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝x ＋1＋⎝⎛⎭⎫x －12＋1 ＝2x ＋32，∴由f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＞1，得2x ＋32＞1，即x ＞－14，即－14＜x ≤0. 综上，x ∈⎝⎛⎭⎫－14，＋∞.答案 (1)C (2)⎝⎛⎭⎫－14，＋∞1．下列图象可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的是( )答案 C解析 A 选项中的值域不对，B 选项中的定义域错误，D 选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项C 正确．2．(优质试题·郑州调研)函数f (x )＝ln x x －1＋12x 的定义域为( ) A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(0,1)∪(1，＋∞) 答案 B解析 要使函数f (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x x －1＞0，x ≥0，解得x ＞1，故函数f (x )＝ln x x －1＋12x 的定义域为(1，＋∞)．3．(优质试题·全国Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x 答案 D解析 函数y ＝10lg x 的定义域为{x |x >0}，值域为{y |y >0}，所以与其定义域和值域分别相同的函数为y ＝1x，故选D. 4．(优质试题·湖南衡阳八中一模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x ，x ≤0，log 3x ，x ＞0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19等于( ) A ．－2 B ．－3 C ．9 D ．－9答案 C解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫19＝log 319＝－2， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19＝f (－2)＝⎝⎛⎭⎫13－2＝9. 5．已知f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )等于( )A ．(x ＋1)2(x ≠1)B ．(x －1)2(x ≠1)C ．x 2－x ＋1(x ≠1)D ．x 2＋x ＋1(x ≠1)答案 C解析 f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x ＝t (t ≠1)，则f (t )＝t 2－t ＋1，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．6.如图，△AOD 是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD 是四分之一圆的扇形，点P 在线段AB 上，PQ ⊥AB ，且PQ 交AD 或交弧DB 于点Q ，设AP ＝x (0<x <2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ (或APQD )的面积为y ，则函数y ＝f (x )的大致图象是( )答案 A解析 观察可知阴影部分的面积y 的变化情况为：(1)当0<x ≤1时，y 随x 的增大而增大，而且增加的速度越来越快．(2)当1<x <2时，y 随x 的增大而增大，而且增加的速度越来越慢．分析四个答案中的图象，只有选项A 符合条件，故选A.7．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x 2＋t )，x <0，3(t －1)x ，x ≥0，且f ⎝⎛⎭⎫12＝6，则f (f (－2))的值为( ) A ．27B ．243 C.127D.1243答案 B 解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫12＝3×12(1)t －＝6，∴t ＝5， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x 2＋5)，x <0，3×4x ，x ≥0， ∴f (－2)＝log 2[(－2)2＋5]＝log 29>0，f (f (－2))＝f (log 29)＝3×2log 94＝3×2log 922＝3×22log 92＝3×81＝243.故选B.8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1]B.⎝⎛⎭⎫－1，12C.⎣⎡⎭⎫－1，12 D.⎝⎛⎭⎫0，12 答案 C解析 要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，ln 1≤1－2a ＋3a ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a <12，a ≥－1，∴－1≤a ＜12. 即a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－1，12. 9．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.答案 x 2－1(x ≥1)解析 令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2(t ≥1)，代入原式得f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1， 所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．10．已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝()f x 的定义域是__________．答案 (2,8]解析 要使函数有意义，需f (x )>0，由f (x )的图象可知，当x ∈(2,8]时，f (x )>0.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是____________．答案 (－1，2－1)解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2>0，2x <0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>2x ，2x ≥0， 解得－1<x <0或0≤x <2－1，∴所求x 的取值范围为(－1，2－1)．12．(优质试题届全国名校第一次联考)定义新运算“★”：当m ≥n 时，m ★n ＝m ；当m <n 时，m ★n ＝n 2.设函数f (x )＝(2★x )x －(4★x )，x ∈[1,4]，则函数f (x )的值域为____________． 答案 [－2,0]∪(4,60]解析 由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，x ∈[1，2]，x 3－4，x ∈(2，4]， 当x ∈[1,2]时，f (x )∈[－2,0]；当x ∈(2,4]时，f (x )∈(4,60]，故当x ∈[1,4]时，f (x )∈[－2,0]∪(4,60]．13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，－x 2，x ≥0，若f (f (a ))≤3，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3]B ．[－3，＋∞)C ．[－3，3]D ．(－∞，3] 答案 D解析 令f (a )＝t ，则f (t )≤3等价于⎩⎪⎨⎪⎧ t <0，t 2＋2t ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧t ≥0，－t 2≤3， 解得t ≥－3，则f (a )≥－3等价于。