必修一---函数及其表示

高一数学（必修一）集合与函数第三节函数及其表示（一）【本节相关知识总结】1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．注意：定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.* 相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2)值域: 先考虑其定义域(1)观察法(2)配方法(3)代换法3. 函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .(2) 画法A、描点法：B、图象变换法常用变换方法有三种1) 平移变换2) 伸缩变换3) 对称变换4．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示．5．映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。

记作"f（对应关系）：A（原象）B（象）"对于映射f：A→B来说，则应满足：(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

6.分段函数(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况．(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．补充：复合函数如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f 、g 的复合函数。

【课堂训练】 1. 函数y=x111+的定义域是（ ）。

（A ）{x| x ∈R, x ≠0} （B ）{x| x ∈R, x ≠1} （C ）{x| x ∈R, x ≠0,x ≠1} （D ）{x| x ∈R, x ≠0,x ≠－1}:2. 对于函数f(x)=ax 2+bx+c,(a )0≠ 若它的顶点的横坐标为1，则方程ax 2+bx+c ＝0的两根之和为（ ） A B 1 C 2 D 43. 从集合M={m, n}到集合N={1, 2}可以建立映射的个数共有（ ）。

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44. 下列各对函数中，图象完全相同的是（ ）。

（A ）y=x 与y=2x （B ）y=xx 与y=x 0 （C ）y=(x )2与y=|x| （D ）y=11-⋅+x x 与y=)1)(1(-+x x 5. 已知函数f (x)满足f (a)＋f (b)=f (ab)，且f (2)=p, f (3)=q ，那么f (72)＝（ ）。

（A ）p ＋q （B ）3p ＋2q （C ）2p ＋3q （D ）p 3＋q 26.已知函数x x x f 3)(2+-=，⎩⎨⎧-=212)(x x g )0()0(≤>x x 则=+-)]1([)1(f g g ______.7. 函数111)(++-+-=x x xxx f 的定义域是_____________ . 8. 1)(2++=x x x f ，则)2(f = _________；=)1(af _________；:=-)(b a f _________；=))2((f f _________9. 已知()x x x f 2122-=+，则()=2f。

10. 画出下列函数图象并有图象观察起定义域和值域。

（1）3+=x y （2）32-=x y【能力训练】 `一、选择题1．设函数()23,(2)()f x x g x f x =++=，则()g x 的表达式是（ ） A ．21x + B ．21x - C ．23x - D ．27x +2．函数)23(,32)(-≠+=x x cx x f 满足,)]([x x f f =则常数c 等于（ ） A ．3 B ．3- C ．33-或 D ．35-或3．已知)0(1)]([,21)(22≠-=-=x x x x g f x x g ，那么)21(f 等于（ ）A ．15B ．1C ．3D ．304．已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则y f x =-()21的定义域是（ ） A ．[]052， B. []-14， C. []-55， D. []-37， 5．函数2y = ） ,A ．[2,2]-B ．[1,2]C ．[0,2] D．[6．已知2211()11x x f x x--=++，则()f x 的解析式为（ ）A ．21x x + B ．212x x +- C ．212x x + D ．21xx+- 二、填空题1．若函数234(0)()(0)0(0)x x f x x x π⎧->⎪==⎨⎪<⎩，则((0))f f = ．2．若函数x x x f 2)12(2-=+，则)3(f = . 3．函数()f x =的值域是 。

4．已知⎩⎨⎧<-≥=0,10,1)(x x x f ，则不等式(2)(2)5x x f x ++⋅+≤的解集是 。

5．设函数21y ax a =++，当11x -≤≤时，y 的值有正有负，则实数a 的范围 。

三、解答题1．设,αβ是方程24420,()x mx m x R -++=∈的两实根,当m 为何值时, 22αβ+有最小值求出这个最小值.￥2．求下列函数的定义域（1）y =（2）11122--+-=x x x y （3）xx y ---=11111）3．求下列函数的值域 （1）x x y -+=43 （2）34252+-=x x y （3）x x y --=214．作出函数(]6,3,762∈+-=x x x y 的图象。

、~、|【能力训练】答案： 一、选择题1. B ∵(2)232(2)1,g x x x +=+=+-∴()21g x x =-；2. B()3,(),32()3223cf x x cxx f x c f x c x x ====-+-+得3. A 令[]2211111(),12,,()()152242x g x x x f f g x x-=-===== 4. A 523,114,1214,02x x x x -≤≤-≤+≤-≤-≤≤≤；5. C 224(2)44,02,20x x x -+=--+≤≤≤-≤≤022,02y ≤≤≤≤；6. C 令22211()1121,,()11111()1t x t t t t x f t t x t t t----+====-+++++则。

二、填空题 [1. 234π- (0)f π=; 2. 1- 令2213,1,(3)(21)21x x f f x x x +===+=-=-；3. 22223(1)2x x x -+=-+≥≥0()22f x <≤<≤4.3(,]2-∞ 当320,2,(2)1,25,2,2x x f x x x x +≥≥-+=++≤-≤≤即则 当20,2,(2)1,25,2x x f x x x x +<<-+=---≤<-即则恒成立，即∴32x <； 5. 1(1,)3-- (),(1)31,(1)1,(1)(1)(31)(1)0y f x f a f a f f a a ==+-=+⋅-=++<令则 得113a -<<- 三、解答题1.解：21616(2)0,21,m m m m ∆=-+≥≥≤-或222222min 1()21211,()2m m m αβαβαβαβ+=+-=--=-+=当时2.解：（1）∵8083,30x x x +≥⎧-≤≤⎨-≥⎩得∴定义域为[]8,3-（2）∵222101011,110x x x x x x ⎧-≥⎪-≥=≠=-⎨⎪-≠⎩得且即∴定义域为{}1-（3）∵00111021101011x x x x x x x x x x ⎧⎪⎧⎪⎪-≠⎪<⎪⎪⎪⎪-≠≠-⎨⎨-⎪⎪⎪⎪≠-≠⎪⎪-⎩⎪-⎪-⎩得∴定义域为11,,022⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3.解：（1）∵343,43,,141x y y y xy x x y x y +-=-=+=≠--+得， ∴值域为{}|1y y ≠-（2）∵222432(1)11,x x x -+=-+≥ ∴2101,05243y x x <≤<≤-+∴值域为(]0,5（3）1120,,2x x y x -≥≤且是的减函数， 当min 11,22x y ==-时，∴值域为1[,)2-+∞4.解：（五点法：顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点以及该点关于对称轴对称的点）。