新课标高中数学必修1同步测试3-第一单元(函数及其表示)
最新人教版高中数学必修第一册第三单元《函数概念与性质》检测卷(答案解析)(2)
一、选择题1．已知函数()y f x =的部分图象如图所示，则函数()y f x =的解析式可能为（ ）A ．()()()sin 222x xf x x -=⋅+ B ．()()()sin 222x xf x x -=⋅- C ．()()()cos 222xxf x x -=⋅+ D ．()()()cos 222xxf x x -=⋅-2．已知定义在0,上的函数()f x ，f x 是()f x 的导函数，满足()()0xf x f x '-<，且()2f ＝2，则()0x x f e e ->的解集是（ ）A ．()20,eB ．()ln2+∞,C ．()ln2-∞,D ．()2e +∞,3．已知函数(1)f x +是偶函数，当121x x <<时，()()()21210f x f x x x ⎡⎤-->⎣⎦恒成立，设1,(2),(3)2a f b f c f ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<4．已知函数()()2265m m m f x x-=--是幂函数，对任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，若a ，b R ∈，且0a b +>，则()()f a f b +的值（ ）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断5．函数1x y -=的值域是（ ） A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．[]0,1C ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[)0,+∞6．已知函数(1)f x +为偶函数，()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，则满足不等式(21)(3)f x f x ->的x 的解集是（ ）A ．31,5⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3(,1),5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．1(,1),5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．11,5⎛⎫- ⎪⎝⎭7．若定义在R 的奇函数()f x 在(],0-∞单调递减，则不等式()()20f x f x +-≥的解集为（ ） A ．(],2-∞B ．(],1-∞C ．[)1,+∞D ．[)2,+∞8．已知函数2()2+1,[0,2]f x x x x =-+∈，函数()1,[1,1]g x ax x =-∈-，对于任意1[0,2]x ∈，总存在2[1,1]x ∈-，使得21()()g x f x =成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,3]-∞-B ．[3,)+∞C ．(,3][3,)-∞-+∞D ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞9．函数()21x f x x-=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知定义在R 上的连续奇函数()f x 的导函数为()f x '，当0x >时，()()0f x f x x'+>，则使得()()()2213310xf x x f x +-->成立的x 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．()11,1,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．1,15⎛⎫⎪⎝⎭D ．(),1-∞11．函数f (x )211x --的值域为( ) A ．[－43,43] B ．[－43,0] C ．[0,1]D ．[0,43]12．若函数()f x 满足()()a f x b a b ≤≤<，定义b a -的最小值为()f x 的值域跨度，则是下列函数中值域跨度不为2的是（ ） A ．2()23f x x x =-++B ．||()2x f x -=C ．24()4x f x x =+D ．()|1|||f x x x =+-13．函数3e ex x x y -=+（其中e 是自然对数的底数）的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．14．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则()()()()2132020f f f f +++=（ ）A ．50B ．0C ．2D ．-201815．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足下列两个条件： ①对任意的1x ，[]24,8x ∈，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-；②x ∀∈R ，都有()()8f x f x +=.若()7a f =-，()11b f =，()2020c f =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c b a <<二、填空题16．已知a R ∈，函数229()f x x a a x =++-在区间[3,1]--上的最大值10，则a 的取值范围是__________．17．已知定义域为()0,∞+的函数()y f x =满足：对任意()0,x ∈+∞，恒有()()2 2 f x f x =成立；当(]1,2x ∈时，()2f x x =-，给出如下结论：①对任意m ∈Z ，都有()20mf =；②函数()y f x =的值域为[)0,+∞； ③存在n ∈Z ，使得()219nf +=；④“函数()y f x =在区间(),a b 上是严格减函数”的充要条件是“存在k ∈Z ，使得()1(,)2,2k k a b +⊆”.其中所有正确结论的序号是__________18．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上单调递减，则不等式()()221f x f x ->+的解集是_______.19．已知函数246,0()log ,0x x f x x x x ⎧++>⎪=⎨⎪<⎩，则()()2f f -=______. 20．已知函数()y f x =是奇函数，当0x <时，2()(R)f x x ax a =+∈，(2)6f =，则a = .21．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，满足()()3f x f x =+，若()21f =-，则()2020f =______.22．如果方程24x +y |y |＝1所对应的曲线与函数y ＝f （x ）的图象完全重合，那么对于函数y ＝f （x ）有如下结论： ①函数f （x ）在R 上单调递减；②y ＝f （x ）的图象上的点到坐标原点距离的最小值为1； ③函数f （x ）的值域为（﹣∞，2]； ④函数F （x ）＝f （x ）+x 有且只有一个零点. 其中正确结论的序号是_____.23．设函数()f x 在定义域(0，+∞)上是单调函数，()()0,,xx f f x e x e ⎡⎤∀∈+∞-+=⎣⎦，若不等式()()f x f x ax '+≥对()0,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是______． 24．已知函数()h x ,()g x (()0g x ≠)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当0x <时,()()()()0h x g x h x g x ''-<,且()10h -=.若()()0h a g a <,则a 的取值范围为__________. 25．已知函数()()()()22sin 1R f x x x x x a a =--++∈在区间[]1,3-上的最大值与最小值的和为18，则实数a 的值为______．26．已知f （x ）是R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣5x ，则f （x ﹣1）＞f （x ）的解集为_____．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据奇偶性排除AD ，根据图象过原点排除C ，从而可得答案. 【详解】由图可知函数图象关于y 轴对称，且图象过原点， 对于A ， ()()()()()()sin 222sin 222xx x x f x x x f x ---=-⋅+=-⋅+=-，()y f x =是奇函数，图象关于原点对称，不合题意，排除A ；对于C ，()()000cos02220f =⋅+=≠，不合题意，排除C ；对于D ，()()()()()()cos 222cos 222xxxxf x x x f x ---=-⋅-=-⋅-=-，()y f x =是奇函数，图象关于原点对称，不合题意，排除D ； 故选：B. 【点睛】方法点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.2．C解析：C 【分析】由导数公式得出2()()()0f x xf x f x x x ''-⎡⎤=<⎢⎥⎣⎦，从而得出函数()f x x 的单调性，将不等式()0xxf e e ->可化为()(2)2x xf e f e >，利用单调性解不等式即可.【详解】因为2()()()0f x xf x f x x x ''-⎡⎤=<⎢⎥⎣⎦，所以函数()f x x 在区间0,上单调递减不等式()0xxf ee->可化为()(2)2x xf e f e >，即2xe <，解得ln 2x <故选：C 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是由导数公式得出函数()f x x的单调性，利用单调性解不等式. 3．A解析：A 【分析】由题知函数()f x 图象关于直线1x =对称，在区间()1,+∞上单调递增，故15(2)(3)22b f a f f c f ⎛⎫⎛⎫=<=-=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以b a c <<.【详解】解：因为当121x x <<时，()()()21210f x f x x x ⎡⎤-->⎣⎦恒成立， 所以函数()f x 在区间()1,+∞上单调递增，由于函数(1)f x +是偶函数，故函数(1)f x +图象关于y 轴对称， 所以函数()f x 图象关于直线1x =对称， 所以1522a f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由于5232<<，函数()f x 在区间()1,+∞上单调递增， 所以15(2)(3)22b f a f f c f ⎛⎫⎛⎫=<=-=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题解题的关键在于根据题意得函数()f x 图象关于直线1x =对称，在区间()1,+∞上单调递增，再结合函数对称性与单调性比较大小即可，考查化归转化思想与数学运算求解能力，是中档题.4．A解析：A 【分析】利用幂函数的定义求出m ，利用函数的单调性和奇偶性即可求解． 【详解】∵函数()()2265m m m f x x-=--是幂函数，∴25=1m m --，解得：m = -2或m =3． ∵对任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，∴函数()f x 为增函数， ∴260m ->， ∴m =3（m = -2舍去） ∴()3=f x x 为增函数．对任意a ，b R ∈，且0a b +>， 则- a b >，∴()()()f a f b f b >-=- ∴()()0f a f b +>． 故选：A 【点睛】(1)由幂函数的定义求参数的值要严格按照解析式，x 前的系数为1； (2)函数的单调性和奇偶性是函数常用性质，通常一起应用．5．C解析：C 【分析】令t =，转化为21ty t =+，0t ≥，根据均值不等式求解即可. 【详解】令t =,则0t ≥，当0t =时，0y =， 当0t ≠时，2110112t y t t t <==≤=++，当且仅当1t =时，即2x =时等号成立， 综上102y ≤≤， 故选：C 【点睛】关键点点睛：注意含根号式子中，经常使用换元法，利用换元法可简化运算，本题注意均值不等式的使用，属于中档题.6．A解析：A 【分析】根据题意，分析可得()f x 的图象关于直线1x =对称，结合函数的单调性可得(21)(3)f x f x ->等价于|22||31|x x ->-，两边平方解得x 的取值范围，即可得答案．【详解】因为函数(1)f x +为偶函数，所以(1)y f x =+的图象关于直线0x =对称，因为(1)y f x =+的图象向右平移1个单位得到()y f x =的图象， 则()y f x =的图象关于直线1x =对称， 又因为()f x 在区间[1，)+∞上单调递增， 所以()f x 在区间(],1-∞上单调递减，所以()f x 的函数值越大，自变量与1的距离越大， ()f x 的函数值越小，自变量与1的距离越小，所以不等式(21)(3)f x f x ->等价于|22||31|x x ->-， 两边平方()()()()2222315310x x x x ->-⇒-+<， 解得315x -<<， 即不等式的解集为31,5⎛⎫- ⎪⎝⎭． 故选：A ． 【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．7．B解析：B 【分析】由奇函数性质结合已知单调性得出函数在R 上的单调性，再由奇函数把不等式化为(2)()f x f x -≥-，然后由单调性可解得不等式．【详解】∵()f x 是奇函数，在(,0]-∞上递减，则()f x 在[0,)+∞上递减， ∴()f x 在R 上是减函数，又由()f x 是奇函数，则不等式()()20f x f x +-≥可化为(2)()f x f x -≥-， ∴2x x -≤-，1x ≤． 故选：B ． 【点睛】方法点睛：本题考查函数的奇偶性与单调性．这类问题常常有两种类型：（1）()f x 为奇函数，确定函数在定义域内单调，不等式为12()()0f x f x +>转化为12()()f x f x >-，然后由单调性去掉函数符号“f ”，再求解；（2）()f x 是偶函数，()f x 在[0,)+∞上单调，不等式为12()()f x f x >，首先转化为12()()f x f x >，然后由单调性化简． 8．C【分析】先求得()f x 的值域，根据题意可得()f x 的值域为[1,2]是()g x 在[1,1]-上值域的子集，分0,0a a ><两种情况讨论，根据()g x 的单调性及集合的包含关系，即可求得答案.【详解】因为2()(2)2,[0,2]f x x x =--+∈，所以min max ()(0)1()(2)2f x f f x f ==⎧⎨==⎩，即()f x 的值域为[1,2]，因为对于任意1[0,2]x ∈，总存在2[1,1]x ∈-，使得21()()g x f x =成立， 所以()f x 的值域为[1,2]是()g x 在[1,1]-上值域的子集，当0a >时，()g x 在[1,1]-上为增函数，所以(1)()(1)g g x g -≤≤，所以()[1,1]g x a a ∈---，所以1112a a --≤⎧⎨-≥⎩，解得3a ≥，当0a <时，()g x 在[1,1]-上为减函数，所以(1)()(1)g g x g ≤≤-，所以()[1,1]g x a a ∈---所以1112a a -≤⎧⎨--≥⎩，解得3a ≤-，综上实数a 的取值范围是(,3][3,)-∞-+∞， 故选：C 【点睛】解题的关键是将题干条件转化为两函数值域的包含关系问题，再求解，考查分析理解的能力，属中档题.9．D解析：D 【分析】分析函数()f x 的奇偶性及其在区间()0,∞+上的单调性，由此可得出合适的选项. 【详解】函数()21x f x x -=的定义域为{}0x x ≠，()()()2211x x f x f x x x----===-， 函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B 、C 选项；当0x >时，()211x f x x x x-==-，因为y x =，1y x =-在区间()0,∞+上都是增函数，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增，排除A 选项，【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左、右位置；从函数的值域，判断图象的上、下位置； （2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）从函数的特征点，排除不合要求的图象． 利用上述方法排除、筛选选项．10．C解析：C 【分析】根据0x >时()()0f x f x x'+>可得：()()0xf x f x '+>；令()()g x xf x =可得函数在()0,∞+上单调递增；利用奇偶性的定义可证得()g x 为偶函数，则()g x 在(),0-∞上单调递减；将已知不等式变为()()231g x g x >-，根据单调性可得自变量的大小关系，解不等式求得结果. 【详解】当0x >时，()()0f x f x x'+> ()()0xf x f x '∴+>令()()g x xf x =，则()g x 在()0,∞+上单调递增()f x 为奇函数 ()()()()g x xf x xf x g x ∴-=--== ()g x ∴为偶函数则()g x 在(),0-∞上单调递减()()()2213310xf x x f x ∴+-->等价于()()231g x g x >-可得：231x x >-，解得：115x << 本题正确选项：C 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用问题，关键是能够构造函数，根据导函数的符号确定所构造函数的单调性，并且根据奇偶性的定义得到所构造函数的奇偶性，从而将函数值的大小关系转变为自变量之间的比较.11．C解析：C 【解析】令cos ,[0,π]x θθ=∈，则sin 1()()cos 2f xg θθθ-==-的几何意义是单位圆(在x 轴及其上方)上的动点(cos ,sin )M θθ与点(2,1)A 连线的斜率k ，由图象，得01k ≤≤，即函数()f x的值域为[0,1]，故选C.点睛：本题考查利用三角代换、直线的斜率公式求函数的值域，解决本题的关键有两个，21x -sin 1cos 2θθ--的形式联想到过两点的直线的斜率公式，充分体现了代数、三角函数、解析几何间的有机结合.12．B解析：B 【分析】根据函数解析式，利用根式非负性、绝对值的区间讨论、分式的性质求值域，即可判断正确选项. 【详解】A 选项：22023(1)44x x x ≤-++=--+≤，所以0()2f x ≤≤，值域跨度为2；B 选项：||0x -≤，所以0()1f x <≤，值域跨度不为2；C 选项：当0x =时()0f x =；当0x >时，244()14442x f x x x x x x==≤=++⋅；当0x <时，244()1444()()2()()x f x x x x x x==-≥=-+-+--⋅-；故1()1f x -≤≤，值域跨度为2；D 选项：1,0()21,101,1x f x x x x ≥⎧⎪=+-≤<⎨⎪-<-⎩，故1()1f x -≤≤，值域跨度为2；故选：B 【点睛】本题考查了根据解析式求值域，注意根式、指数函数、对勾函数、绝对值的性质应用，属于基础题.13．A解析：A 【分析】由函数的奇偶性排除B ；由0x >的函数值，排除C ；由当x →+∞时的函数值，确定答案. 【详解】由题得函数的定义域为R ,因为3()()x xxf x f x e e ---==-+，所以函数是奇函数，所以排除B ；当0x >时，()0f x >，所以排除C ；当x →+∞时，()0f x →，所以选A . 故选：A 【点睛】方法点睛：根据函数的解析式找图象，一般先找图象的差异，再用解析式验证得解.14．B解析：B 【分析】由奇函数和(1)(1)f x f x +=-得出函数为周期函数，周期为4，然后计算出(3),(2),(4)f f f 后可得结论．【详解】由函数()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，所以()()f x f x =--，且(0)0f =， 又由(1)(1)f x f x -=+，即(2)()()f x f x f x +=-=-，进而可得()(4)f x f x =+，所以函数()f x 是以4为周期的周期函数，又由(1)2f =，可得(3)(1)(1)2f f f =-=-=-，(2)(0)0f f ==,(4)(0)0f f ==, 则(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=， 所以(1)(2)(3)(2020)505[(1)(2)(3)(4)]0f f f f f f f f ++++=⨯+++=.故选：B . 【点睛】关键点睛：本题考查利用函数的周期性求函数值，解决本题的关键是由函数是奇函数以及(1)(1)f x f x -=+得出函数是周期为4的周期函数，进而可求出结果.15．D解析：D 【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论. 【详解】解：由①对任意的1x ，[]24,8x ∈，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-可得()f x 在[]4,8上单调递增，根据偶函数的对称性可知，()f x 在[]8,4--上单调递减，且函数周期为8，()7a f =-，()()()1135b f f f ===-，()()()202044c f f f ===-，故a b c >>. 故选：D. 【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性周期性的综合运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.二、填空题16．【分析】求出的范围后根据绝对值的性质根据最大值得不等关系可得的范围【详解】时当且仅当时等号成立又或时所以而的最大值为10所以的最大值为所以解得故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查函数的最值掌握绝对 解析：[8,)-+∞【分析】 求出229x x+的范围后根据绝对值的性质根据最大值得不等关系，可得a 的范围． 【详解】[3,1]x ∈--时，2[1,9]x ∈，2296x x +≥=，当且仅当23x =时等号成立， 又1x =-或3x =-时，22910x x +=，所以229610a x a a x+≤++≤+， 而()f x 的最大值为10，所以229x a x ++的最大值为10a +， 所以100610a a a +≥⎧⎨+≤+⎩，解得8a ≥-．故答案为：[8,)-+∞． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的最值．掌握绝对值的性质是解题关键．当0a b >≥时，a b >，当0a b 时，a b <，当0a b >>时，0a b +>，则a b >，0a b +<时，a b <．17．①②④【分析】根据函数递推关系计算判断①求出时函数的值域然后由递推关系确定函数在上的值域判断②④解方程判断③【详解】①由题意又∴依此类推可得是负整数时设∴时①正确；②又当时时∴时的值域是又时依此类推解析：①②④ 【分析】根据函数递推关系计算(2)mf ，判断①．求出(1,2]x ∈时，函数的值域，然后由递推关系确定函数在(0,)+∞上的值域，判断②④．解方程()219nf +=判断③． 【详解】①由题意(2)220f =-=，又()()2 2 f x f x =，∴2(2)2(2)f f =，322(2)2(2)2(2)f f f ==，依此类推可得1(2)2(2)0m m f f -==，*m N ∈，1(1)(2)02f f ==，m 是负整数时，设,*m k k N =-∈，11111111(2)()()()(1)0222222k k k k kf f f f f ---======，∴m Z ∈时，(2)0m f =，①正确；②(1,2]x ∈，()2[0,1)f x x =-∈，又(2)2()f x f x =，当(2,4]x ∈时，()2()[0,2)2xf x f =∈，1(2,2]n n x +∈时，()2()[0,2)2n n n xf x f =∈，∴1x >时，()f x 的值域是[0,1)[0,2)[0,2)[0,)n =+∞，又1(,1]2x ∈时，11()(2)[0,)22f x f x =∈，依此类推01x <<时，都有()0f x ≥， 综上()f x 在(0,)+∞上的值域是[0,)+∞．②正确；③当0n ≤且n Z ∈时，(21)2(21)121n n n f +=-+=-<，不可能等于9， 当*n N ∈时，()11121212(1)221219222n n n n n n n n f f f ⎡⎤⎛⎫⎡⎤+=+=+=⨯--=-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，210n =，与n Z ∈矛盾．③错误；④根据函数上面的推导知()f x 在1(2,2]n n +上单调递减，1(2)0n f +=，n Z ∈，因此函数()y f x =在区间(),a b 上是严格减函数的充要条件是存在k ∈Z ，使得()1(,)2,2k k a b +⊆，④正确．故答案为：①②④． 【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数的定义，考查函数的单调性与值域，分段函数值的计算．关键在求函数的值域．我们在1x >时，通过函数性质(2)2()f x f x =得出()f x 在1(2,2]n n +的值域是[0,2)n ，然后由这无数的集合求并集得出1x >时函数值的取值范围．18．【分析】利用偶函数关于轴对称又由在上单调递减将不等式转化为即可解得的解集【详解】函数是定义域为的偶函数可转化为又在上单调递减两边平方得：解得故的解集为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数奇解析：133x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣ 【分析】利用偶函数关于y 轴对称，又由()f x 在[0,)+∞上单调递减，将不等式()()221f x f x ->+转化为22+1x x -< ，即可解得()()221f x f x ->+的解集．【详解】函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，∴()()221f x f x ->+可转化为(22)(+1)f x f x ->，又()f x 在[0,)+∞上单调递减，∴ (22)(1)221f x f x x x ->+⇔-<+，两边平方得：231030x x -+< 解得133x << ， 故()()221f x f x ->+的解集为133x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣． 故答案为：133xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣ 【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合运用，根据函数奇偶性和单调之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键，即()()221f x f x ->+可转化为(22)(+1)f x f x ->，属于中档题．19．11【分析】用分段函数的解析式先求出从而可得的值【详解】解：∵且∴∴故答案为：【点睛】本题主要考查分段函数的解析式属于中档题对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一这类问题的特点是综合性强对抽象思维解析：11 【分析】用分段函数的解析式先求出()2f - ，从而可得()()2f f -的值.【详解】解：∵ 246,0()log ,0x x f x x x x ⎧++>⎪=⎨⎪<⎩，且20-<， ∴ ()222log 10f -=->= ∴ ()()()42116111f f f -==++=. 故答案为：11.本题主要考查分段函数的解析式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰．20．5【分析】先根据函数的奇偶性求出的值然后将代入小于0的解析式建立等量关系解之即可【详解】函数是奇函数而则将代入小于0的解析式得解得故答案为5解析：5 【分析】先根据函数的奇偶性求出(2)f -的值,然后将2x =-代入小于0的解析式,建立等量关系,解之即可. 【详解】∴函数()y f x =是奇函数,()()f x f x ∴-=-,而(2)6f =,则(2)(2)6f f -=-=-, 将2x =-代入小于0的解析式得(2)426f a -=-=-,解得5a =, 故答案为5.21．1【分析】首先根据题中所给的条件判断出函数的最小正周期结合奇函数的定义求得结果【详解】因为所以函数是以3为周期的周期函数且是定义域为的奇函数所以故答案为：1【点睛】该题考查的是有关函数的问题涉及到的解析：1 【分析】首先根据题中所给的条件，判断出函数的最小正周期，结合奇函数的定义，求得结果. 【详解】因为()()3f x f x =+，所以函数()f x 是以3为周期的周期函数， 且是定义域为R 的奇函数，所以(2020)(67432)(2)(2)1f f f f =⨯-=-=-=， 故答案为：1. 【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有函数奇偶性与周期性的综合应用，属于简单题目.22．②④【分析】根据题意画出方程对应的函数图象根据图像判断函数单调性值域最值以及函数零点个数的判断数形结合即可选择【详解】当y≥0时方程y|y|＝1化为（y≥0）当y ＜0时方程y|y|＝1化为（y ＜0）解析：②④根据题意，画出方程对应的函数图象，根据图像判断函数单调性、值域、最值以及函数零点个数的判断，数形结合即可选择. 【详解】当y ≥0时，方程24x +y |y |＝1化为2214x y +=（y ≥0），当y ＜0时，方程24x +y |y |＝1化为2214x y -=（y ＜0）.作出函数f （x ）的图象如图：由图可知，函数f （x ）在R 上不是单调函数，故①错误； y ＝f （x ）的图象上的点到坐标原点距离的最小值为1，故②正确； 函数f （x ）的值域为（﹣∞，1]，故③错误；双曲线2214x y -=的渐近线方程为y 12=±，故函数y ＝f （x ）与y ＝﹣x 的图象只有1个交点， 即函数F （x ）＝f （x ）+x 有且只有一个零点，故④正确. 故答案为：②④. 【点睛】本题考查函数单调性、值域以及零点个数的判断，涉及椭圆和双曲线的轨迹绘制，以及数形结合的数学思想，属综合中档题.23．【分析】先利用换元法求出然后再用分离变量法借助函数的单调性解决问题【详解】解：由题意可设则∵∴∴∴∴由得∴对恒成立令则由得∴在上单调递减在单调递增∴∴故答案为：【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的 解析：(],21e -∞-【分析】先利用换元法求出()f x ，然后再用分离变量法，借助函数的单调性解决问题． 【详解】解：由题意可设()xf x e x t -+=，则()xf x e x t =-+，∵()xf f x e x e ⎡⎤-+=⎣⎦，∴()ttf t e t t e e =-+==，∴1t =，∴()1xf x e x =-+，∴()1xf x e '=-，由()()f x f x ax '+≥得11x x e x e ax -++-≥，∴21x e a x≤-对()0,x ∈+∞恒成立，令()21xe g x x =-，()0,x ∈+∞，则()()221'x e x g x x-=， 由()'0g x =得1x =，∴()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞单调递增， ∴()()121g x g e ≥=-， ∴21a e ≤-，故答案为：(],21e -∞-． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查利用函数的单调性解决恒成立问题，属于中档题．24．【分析】令根据当时可得因此函数在时单调递减又为奇函数由于可得即可求得答案【详解】①令当时函数在时单调递减；的解集为②函数()分别是定义在上的奇函数和偶函数是上的奇函数当时的解集为综上所述不等式的解集 解析：()()1,01,-⋃+∞【分析】 令()()()h x F x g x =,根据当0x <时, ()()()()0h x g x h x g x ''-<可得()0F x '<,因此函数()F x 在0x <时单调递减,又()F x 为奇函数,由于()10h -=,可得(1)(1)0F F -==,即可求得答案. 【详解】 ①令()()()h x F x g x =. 当0x <时, ()()()()0h x g x h x g x ''-<,∴()()()()2()()0h x g x h F x g x x g x '=''-<∴函数()F x 在0x <时单调递减；()10h -=,(1)(1)0F F ∴-==∴()0F a <的解集为()1,0-②函数()h x ,()g x (()0g x ≠)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数∴()()()()()()h x h x F x F x g x g x --==-=-- ∴()F x 是R 上的奇函数,∴当0x >时,()0F a <的解集为(1,)+∞综上所述,不等式()()0h a g a <的解集为:()()1,01,-⋃+∞. 故答案为:()()1,01,-⋃+∞. 【点睛】本题主要考查了根据函数单调性和奇偶性解不等式,解题关键是掌握根据题意构造函数的方法和由导数判断函数单调性的解题方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.25．8【分析】利用换元法令则所以原函数变为令则函数为奇函数且推出进而求出的值【详解】令则所以原函数变为令则函数为奇函数且所以所以因为为奇函数所以所以所以故答案为：8【点睛】此题考查函数的奇偶性的应用考查解析：8 【分析】利用换元法令1t x =-，则[]2,2t ∈-，所以原函数变为()21sin 1y t t t a =-+++，令()()21sin g t t t t =-+，[]2,2t ∈-，则函数g t 为奇函数且()1y g t a =++，推出()()max min 0g t g t +=，()()max min 2218g t g t a +=+=，进而求出a 的值【详解】令1t x =-，则[]2,2t ∈-，所以原函数变为()21sin 1y t t t a =-+++，令()()21sin g t t t t =-+，[]2,2t ∈-，则函数g t 为奇函数且()1y g t a =++，所以()()max max 1f x g t a =++，()()min min 1f x g t a =++， 所以()()()()max min max min 22f x f x g t g t a +=+++． 因为g t 为奇函数，所以()()max min 0g t g t +=，所以()()max min 2218g t g t a +=+=，所以8a =．故答案为：8 【点睛】此题考查函数的奇偶性的应用，考查换元法的应用，属于基础题26．【分析】根据函数f （x ）是R 上的奇函数和已知条件得出函数和的解析式在同一坐标系中做出和的图像求出交点的坐标根据不等式的解集可以理解为将的图象向右平移一个单位长度后所得函数的图象在函数的图象上方部分的 解析：{23}x x -<<【分析】根据函数f （x ）是R 上的奇函数和已知条件得出函数()f x 和()1f x -的解析式，在同一坐标系中做出()f x 和()1f x -的图像，求出交点的坐标，根据不等式(1)()f x f x ->的解集可以理解为将()f x 的图象向右平移一个单位长度后所得函数()1f x -的图象在函数()f x 的图象上方部分的点对应的横坐标取值的集合，由图示可得出解集.【详解】当0x <时， 0x ->，所以 ()()22()55f x x x x x -=--⨯-=+， 又f （x ）是R 上的奇函数，所以 2()()5f x f x x x =--=--，所以225,0()5,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，所以()()()()22151,1(1)151,1x x x f x x x x ⎧---≥⎪-=⎨----<⎪⎩，即2276,1(1)34,1x x x f x x x x ⎧-+≥-=⎨--+<⎩， 做出()f x 和()1f x -的图像如下图所示，不等式(1)()f x f x ->的解集可以理解为将()f x 的图象向右平移一个单位长度后所得函数()1f x -的图象在函数()f x 的图象上方部分的点对应的横坐标取值的集合， 由22576,x x x x -=-+得3,x =所以()3,6A -，由22534x x x x --=--+得2x =-，所以()2,6B -， 所以不等式(1)()f x f x ->的解集为{23}x x -<<. 故答案为：{23}x x -<<.【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求得对称区间上的解析式，图像的平移，以及运用数形结合的思想求解不等式，关键在于综合熟练地运用函数的奇偶性，解析式的求法，图像的平移，以及如何在图像上求出不等式的解集等一些基本能力，属于中档题.。
新人教版高中数学必修第一册第三单元《函数概念与性质》检测(含答案解析)(1)
一、选择题1．已知0.31()2a =，12log 0.3b =，0.30.3c =，则a b c ，，的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<2．奇函数()f x 在(0)+∞，内单调递减且(2)0f =，则不等式(1)()0x f x +<的解集为（ ） A ．()()(),21,02,-∞--+∞ B ．()()2,12,--+∞C ．()(),22,-∞-+∞D ．()()(),21,00,2-∞--3．已知函数()()2265m m m f x x-=--是幂函数，对任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，若a ，b R ∈，且0a b +>，则()()f a f b +的值（ ）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断4．函数()32241x xxx y -=+的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知函数()312xx f x x x e e=-+-+，其中e 是自然对数的底数，若()()2120f a f a -+≤则实数a 的取值范围是（ ）A ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]1,2-C ．(]1,1,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭D ．(][),21,-∞-+∞6．定义在R 上的奇函数()f x 满足当0x <时，3(4)f x x =+，则(1),(2),()f f f π的大小关系是（ ） A ．(1)(2)()f f f π<< B ．(1)()(2)f f f π<< C ．()(1)(2)f f f π<<D ．()(2)(1)f f f π<<7．函数()21x f x x-=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数()f x 的定义域为,(4)R f x +是偶函数，(6)3f =，()f x 在(,4]-∞上单调递减，则不等式(24)3f x -<的解集为（ ） A ．(4,6)B ．(,4)(6,)-∞⋃+∞C ．(,3)(5,)-∞⋃+∞D ．(3,5)9．已知定义在R 上的连续奇函数()f x 的导函数为()f x '，当0x >时，()()0f x f x x'+>，则使得()()()2213310xf x x f x +-->成立的x 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．()11,1,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．1,15⎛⎫⎪⎝⎭D ．(),1-∞10．设函数()()1xf x x R x=-∈+，区间[,]M a b =，集合{(),}N y y f x x M ==∈，则使M N 成立的实数对(,)a b 有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个11．已知22()log (1)24f x x x x =--+，若()2120f x x -+-<，则x 的取值范围为（ ）A ．(,0)(1,)-∞⋃+∞B．⎝⎭C．115,01,22⎛⎫⎛+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭D ．(1,0)(1,2)-12．已知函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，若()()()f a f b a b =<，则b a -的取值范围为（ ）A ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．70,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．90,8⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．150,8⎛⎤ ⎥⎝⎦13．设函数()()212131log 1313x xe e xf x x --=++++，则做得()()31f x f x ≤-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．11,,42⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ D ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足下列两个条件： ①对任意的1x ，[]24,8x ∈，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-；②x ∀∈R ，都有()()8f x f x +=.若()7a f =-，()11b f =，()2020c f =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c b a <<15．下列函数中，在[)1,+∞上为增函数的是 A ．()22y x =-B ．1y x =-C ．11y x =+ D ．()21y x =-+二、填空题16．设()xf x a x =+，若()36f =，则不等式()()21f x f x ->的解集为____________.17．已知a R ∈，函数229()f x x a a x=++-在区间[3,1]--上的最大值10，则a 的取值范围是__________．18．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，()()1f x x x =-.(1)在坐标系中画出函数()f x 在R 上的完整图象； (2)求函数()f x 在R 上的解析式.19．研究函数22()(0)||||a x f x abc x b x c -=<<<++-，得到如下命题：①此函数图象关于y 轴对称；②此函数存在反函数；③此函数在()0,a 上为增函数；④此函数有最大值ab c+和最小值0； 你认为其中正确的是_______（写出所有正确的编号）．20．已知函数12()log f x x a =+，g （x ）＝x 2-2x ，若11[,2]4x ∀∈，2[1,2]x ∃∈-，使得f（x 1）＝g （x 2），则实数a 的取值范围是________．21．若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,)+∞上是单调增函数.如果实数t 满足1(ln )ln 2(1)f t f f t ⎛⎫+< ⎪⎝⎭时，那么t 的取值范围是__________． 22．函数()22f x x x =-，[]2,2x ∈-的最大值为________.23．设函数()f x 在定义域(0，+∞)上是单调函数，()()0,,xx f f x e x e ⎡⎤∀∈+∞-+=⎣⎦，若不等式()()f x f x ax '+≥对()0,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是______． 24．设函数()()21ln 11f x x x=+-+，则使得()()12f x f x >-成立的x 的取值范围为_____________.25．已知函数()h x ,()g x (()0g x ≠)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当0x <时,()()()()0h x g x h x g x ''-<,且()10h -=.若()()0h a g a <,则a 的取值范围为__________. 26．函数()93x xf x =+()1t x t ≤≤+，若()f x 的最小值为2，则()f x 的最大值为________．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由指数函数的性质可得112a <<，由对数函数的性质可得1b >，由幂函数的性质可得0.30.310.32⎛⎫< ⎪⎝⎭，从而可得结果. 【详解】∵0.31()2a =，12log 0.3b = 0.30.3c =∴10.3111112222a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<=<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 11221log 0.3log 12b =>=， 0.30.310.32c ⎛⎫=< ⎪⎝⎭,∴c a b << 故选：B 【点睛】方法点睛：解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.2．A解析：A 【分析】由已知可作出函数的大致图象，结合图象可得到答案. 【详解】因为函数()f x 在(0)+∞，上单调递减，(2)0f =， 所以当(02)x ∈，时，()0f x >，当(2)x ∈+∞，，()0f x <， 又因为()f x 是奇函数，图象关于原点对称，所以()f x 在()0-∞，上单调递减，(2)0f -=， 所以当(20)x ∈-，时，()0f x <，当2()x ∈-∞-，时，()0f x >，大致图象如下，由(1)()0x f x +<得10()0x f x +>⎧⎨<⎩或10()0x f x +<⎧⎨>⎩，解得2x >，或10x -<<，或2x <-， 故选：A. 【点睛】本题考查了抽象函数的单调性和奇偶性，解题的关键点是由题意分析出()f x 的大致图象，考查了学生分析问题、解决问题的能力.3．A解析：A 【分析】利用幂函数的定义求出m ，利用函数的单调性和奇偶性即可求解． 【详解】∵函数()()2265m m m f x x-=--是幂函数，∴25=1m m --，解得：m = -2或m =3． ∵对任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，∴函数()f x 为增函数， ∴260m ->， ∴m =3（m = -2舍去） ∴()3=f x x 为增函数．对任意a ，b R ∈，且0a b +>， 则- a b >，∴()()()f a f b f b >-=- ∴()()0f a f b +>． 故选：A 【点睛】(1)由幂函数的定义求参数的值要严格按照解析式，x 前的系数为1； (2)函数的单调性和奇偶性是函数常用性质，通常一起应用．4．A解析：A 【分析】研究函数奇偶性和区间(的函数值的正负，利用排除法即得结果. 【详解】函数()33222()4122x x xxxx x x y f x ---===++，定义域为R ， 对于任意的自变量x ，()333222()()222222x x x x x xx x x x x xf x f x -------===++-=-+++，故函数()y f x =是奇函数，图象关于原点中心对称，故CD 错误；又(32()2222x x x xx x x x x y f x ----===++，故(x ∈时，00,0,202x x x x x ->+>-+>，，即()0y f x =<，故A 正确，B 错误. 故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.5．C解析：C 【分析】求导判断函数()312xxf x x x e e =-+-+的单调性，再利用定义判断函数的奇偶性，根据单调性与奇偶性求解即可. 【详解】根据题意，()2132xx f x x e e'=-+--，因为当且仅当0x =时，()213220x x f x x e e -'=-+-≤-=，所以函数()f x 在R 上单调递减；又()3311()220x xx x f x f x x x e x x e e e---+=-++-+-+=，所以函数()f x 为奇函数，()()2120f a f a -+≤，则()()212f a f a -≤-，因为函数()f x 为奇函数，()()212f a f a -≤-，又因为函数()f x 在R 上单调递减，所以212a a -≥-，可得1a ≤-或12a ≥. 故选：C. 【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用导数得出区间上的单调性，再利用定义判断奇偶性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式组的问题，若()f x 为偶函数，则()()()f x f x f x -==．6．A解析：A 【分析】根据函数奇偶性先将0x >时的解析式求解出来，然后根据0x >时函数的单调性比较出(1),(2),()f f f π的大小关系.【详解】当0x >时，0x -<，所以()43f x x -=-+，又因为()f x 为奇函数，所以()()43f x f x x -=-=-+，所以()43f x x =-， 显然0x >时，()43f x x =-是递增函数，所以()()()12f f f π<<，故选：A. 【点睛】思路点睛：已知函数奇偶性，求解函数在对称区间上的函数解析式的步骤： （1）先设出对称区间上x 的取值范围，然后分析x -的范围； （2）根据条件计算出()f x -的解析式；（3）根据函数奇偶性得到()(),f x f x -的关系，从而()f x 在对称区间上的解析式可求.7．D解析：D 【分析】分析函数()f x 的奇偶性及其在区间()0,∞+上的单调性，由此可得出合适的选项. 【详解】函数()21x f x x -=的定义域为{}0x x ≠，()()()2211x x f x f x x x----===-， 函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B 、C 选项；当0x >时，()211x f x x x x-==-，因为y x =，1y x =-在区间()0,∞+上都是增函数，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增，排除A 选项， 故选：D. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左、右位置；从函数的值域，判断图象的上、下位置； （2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）从函数的特征点，排除不合要求的图象． 利用上述方法排除、筛选选项．8．D解析：D 【分析】由题知函数()f x 的图象关于直线4x =对称，则有()f x 在[4,)+∞上单调递增，且有(6)(2)3f f ==，再利用单调性解不等式即可得结果.【详解】因为(4)f x +是偶函数，所以函数()f x 的图象关于直线4x =对称，则(6)(2)3f f ==. 因为()f x 在(,4]-∞上单调递减，所以()f x 在[4,)+∞上单调递增， 故(24)3f x -<等价于224x <-6<，解得35x <<. 故选：D 【点睛】关键点睛：本题的关键是能得出函数()f x 的图象关于直线4x =对称，进而判断出函数的单调性来，要求学生能够熟悉掌握函数性质的综合应用.9．C解析：C 【分析】根据0x >时()()0f x f x x'+>可得：()()0xf x f x '+>；令()()g x xf x =可得函数在()0,∞+上单调递增；利用奇偶性的定义可证得()g x 为偶函数，则()g x 在(),0-∞上单调递减；将已知不等式变为()()231g x g x >-，根据单调性可得自变量的大小关系，解不等式求得结果. 【详解】当0x >时，()()0f x f x x'+> ()()0xf x f x '∴+>令()()g x xf x =，则()g x 在()0,∞+上单调递增()f x 为奇函数 ()()()()g x xf x xf x g x ∴-=--== ()g x ∴为偶函数则()g x 在(),0-∞上单调递减()()()2213310xf x x f x ∴+-->等价于()()231g x g x >-可得：231x x >-，解得：115x << 本题正确选项：C 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用问题，关键是能够构造函数，根据导函数的符号确定所构造函数的单调性，并且根据奇偶性的定义得到所构造函数的奇偶性，从而将函数值的大小关系转变为自变量之间的比较.10．A解析：A 【分析】 由已知中函数()()1||xf x x R x =-∈+，我们可以判断出函数的奇偶性及单调性，再由区间[M a =，]()b a b <，集合{|()N y y f x ==，}x M ∈，我们可以构造满足条件的关于a ，b 的方程组，解方程组，即可得到答案．【详解】x R ∈，()()1xf x f x x-==-+，()f x ∴为奇函数， 0x 时，1()111x f x x x -==-++，0x <时，1()111x f x x x-==--- ()f x ∴在R 上单调递减函数在区间[a ，]b 上的值域也为[a ，]b ，则()(),f a b f b a ==， 即1a b a -=+，1ba b-=+，解得0a =，0b = a b <，使M N 成立的实数对(,)a b 有0对 故选：A 【点睛】本题考查的知识点是集合相等，函数奇偶性与单调性的综合应用，其中根据函数的性质，构造出满足条件的关于a ，b 的方程组，是解答本题的关键．11．C解析：C 【分析】首先判断函数的单调性和定义域，再解抽象不等式. 【详解】函数()f x 的定义域需满足210240x x x ->⎧⎨-+≥⎩，解得：1x >，并且在区间()1,+∞上，函数单调递增，且()22f =， 所以()()()2212012f x x f x x f -+-<⇔-+<，即221112x x x x ⎧-+>⎨-+<⎩，解得：1x <<102x -<<.故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断函数的单调性和定义域，尤其是容易忽略函数的定义域.12．B解析：B 【分析】根据分段函数的单调性以及()()()f a f b a b =<，可得11,128a b ≤<≤≤且122log 2b a +=，令122log 2b a k +==，则24k <≤，然后用k 表示,a b ，再作差，构造函数，并利用单调性可求得结果. 【详解】因为函数()f x 在1[,1)8上递减，在[1,2]上递增，又()()()f a f b a b =<，所以11,128a b ≤<≤≤，且122log 2b a +=，令122log 2b a k +==，则24k <≤， 所以212k a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log b k =，所以221log 2k b a k -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，设函数221()log 2x g x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(2,4]x ∈，∵()g x 在(]2,4上单调递增， ∴(2)()(4)g g x g <≤，即70()4g x <≤， ∴70,4b a ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦，故选：B ． 【点睛】关键点点睛：根据分段函数的单调性以及()()()f a f b a b =<得到11,128a b ≤<≤≤，且122log 2b a +=是解题关键.属于中档题.13．D解析：D 【分析】先判断()f x 是偶函数且在0,上递减，原不等式转化为31x x ≥-，再解绝对值不等式即可. 【详解】()()()211221133111log 13log 131313x x xxe e e exxf x x x ---⎛⎫=+++=+++ ⎪++⎝⎭，()121311log 1,,313x xe e xy x y y -⎛⎫=+== ⎪+⎝⎭在0,上都递减所以()f x 在0,上递减，又因为()()()()121311log 1313x xe e xf x x f x ----⎛⎫-=+-++= ⎪+⎝⎭，且()f x 的定义域为R ，定义域关于原点对称， 所以()f x 是偶函数， 所以()()()()313131f x f x f x f x x x ≤-⇔≤-⇔≥-，可得113142x x x x -≤-≤⇒≤≤，x 的取值范围是11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故选：D. 【点睛】将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.14．D解析：D 【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论. 【详解】解：由①对任意的1x ，[]24,8x ∈，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-可得()f x 在[]4,8上单调递增，根据偶函数的对称性可知，()f x 在[]8,4--上单调递减，且函数周期为8，()7a f =-，()()()1135b f f f ===-，()()()202044c f f f ===-，故a b c >>.故选：D. 【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性周期性的综合运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.15．B解析：B 【解析】对于A ,函数()22y x =-的图象是抛物线，对称轴是x =2，当x <2时是减函数，x >2时是增函数，∴不满足题意；对于B ,函数1,111,1x x y x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩，∴当1≥x 时，是增函数，x <1时，是减函数，∴满足题意；对于C ,函数11y x =+，当x <−1，x >−1时，函数是减函数，∴不满足题意；对于D ,函数()21y x =-+的图象是抛物线，对称轴是x =−1，当x >−1时是减函数，x <−1时是增函数，∴不满足题意；故选B.二、填空题16．【分析】先由解出a 讨论的单调性利用函数单调性解不等式即可【详解】因为且所以解得在R 上单增可化为：解得：不等式的解集为故答案为：【点睛】利用单调性解不等式通常用于：(1)分段函数型不等式；(2)复合函 解析：()1,+∞【分析】先由()36f =，解出a ，讨论()xf x a x =+的单调性，利用函数单调性解不等式即可.【详解】因为()xf x a x =+，且()36f =，，所以33a =，解得1a =>.()(),ln 1x x f x f a x a x a =+∴=+'ln 0,ln 111,x x a a a a a >∴>∴>+，()x f x a x ∴=+在R 上单增. ()()21f x f x ->可化为：21x x ->解得：1x >.不等式()()21f x f x ->的解集为()1,+∞ 故答案为：()1,+∞ 【点睛】利用单调性解不等式通常用于： (1)分段函数型不等式；(2)复合函数型不等式；(3)抽象函数型不等式；(4)解析式较复杂的不等式；17．【分析】求出的范围后根据绝对值的性质根据最大值得不等关系可得的范围【详解】时当且仅当时等号成立又或时所以而的最大值为10所以的最大值为所以解得故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查函数的最值掌握绝对 解析：[8,)-+∞【分析】 求出229x x+的范围后根据绝对值的性质根据最大值得不等关系，可得a 的范围． 【详解】[3,1]x ∈--时，2[1,9]x ∈，2296x x +≥=，当且仅当23x =时等号成立， 又1x =-或3x =-时，22910x x +=，所以229610a x a a x +≤++≤+， 而()f x 的最大值为10，所以229x a x ++的最大值为10a +， 所以100610a a a +≥⎧⎨+≤+⎩，解得8a ≥-．故答案为：[8,)-+∞． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的最值．掌握绝对值的性质是解题关键．当0a b >≥时，a b >，当0a b 时，a b <，当0a b >>时，0a b +>，则a b >，0a b +<时，a b <．18．（1）图象答案见解析；(2)【分析】(1)利用奇函数图像关于原点对称先作出当时的图像在作出它关于原点的对称图像即可；(2)先用代入法求在的解析式在合并在一起写成分段函数即可【详解】解：(1)图像如图解析：（1）图象答案见解析；(2)(1),0()(1),0x x x f x x x x -≥⎧=⎨+<⎩. 【分析】(1)利用奇函数图像关于原点对称，先作出当0x ≥时，()()1f x x x =-的图像，在作出它关于原点的对称图像即可；(2)先用代入法求()f x 在0x <的解析式，在合并在一起写成分段函数即可． 【详解】解：(1) 图像如图示．(2)设0x <，则0x ->，所以()(1())(1)f x x x x x -=---=-+， 又因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数， 所以()()f x f x -=-.所以当0x <，()()1f x x x =+，综上()f x 的解析式为：(1),0()(1),0x x x f x x x x -≥⎧=⎨+<⎩．【点睛】函数奇偶性的应用：(1) 利用奇偶性求函数值； (2) 利用奇偶性画图像；(3) 利用奇偶性求函数的解析式．19．①④【分析】直接利用函数的定义域和函数的奇偶性判断①②进一步利用函数的单调性和函数的对称轴的应用求出函数的最值和单调区间从而判定③④【详解】解：函数由于整理得则：由于函数为偶函数函数的图象关于y 轴对解析：①④ 【分析】直接利用函数的定义域和函数的奇偶性判断①②，进一步利用函数的单调性和函数的对称轴的应用求出函数的最值和单调区间从而判定③④． 【详解】解：函数22())a x f x a b c -=<<<，由于220a x -≥，整理得a x a -≤≤．则：2222()||||a x a x f x x b x c b c--==++-+． 由于函数为偶函数，函数的图象关于y 轴对称，所以函数不存在反函数，存在反函数的函数的前提该函数具有单调性．故①正确②错误．因为22y a x =-在()0,a 上为减函数，所以()f x 在()0,a 上为减函数，故故③错误； 可知()f x 在[],0a -单调递增，()0,a 单调递减，且为偶函数，则()f x 在0x =出取得最大值ab c+，在x a =±处取得最小值0，故④正确． 故答案为：①④. 【点睛】本题考查函数性质的应用，属于基础题.20．01【分析】当时当时由使得f （x1）＝g （x2）等价于解不等式即可得解【详解】当时当时由使得f （x1）＝g （x2）则可得：解得故答案为：【点睛】本题考查了求函数值域考查了恒成立和存在性问题以及转化思解析：[0，1] 【分析】当11[,2]4x ∈时，[]1()1+,2f x a a ∈-+，当2[1,2]x ∈-时，[]2()1,3g x ∈-，由11[,2]4x ∀∈，2[1,2]x ∃∈-，使得f （x 1）＝g （x 2），等价于[][]1,21,3a a -++⊆-，解不等式即可得解. 【详解】当11[,2]4x ∈时，[]1()1+,2f x a a ∈-+， 当2[1,2]x ∈-时，[]2()1,3g x ∈-，由11[,2]4x ∀∈，2[1,2]x ∃∈-，使得f （x 1）＝g （x 2），则[][]1,21,3a a -++⊆-，可得：1123a a -≤-+⎧⎨+≤⎩，解得01a ≤≤，故答案为：01a ≤≤. 【点睛】本题考查了求函数值域，考查了恒成立和存在性问题以及转化思想，有一定的计算量，属于中档题.21．【解析】试题分析：因为函数是定义在上的偶函数所以由考点：奇偶性与单调性的综合应用解析：1.t e e<<【解析】试题分析：因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以(ln1)(ln )(ln )(ln ),f t f t f t f t =-==由(ln )(ln1)2(1)2(ln )2(1)(ln )(1)ln 11ln 11.f t f tf f t f f t f t t et e +<⇒<⇒<⇒<⇒-<<⇒<<考点：奇偶性与单调性的综合应用22．8【分析】首先画出的图象根据图象即可求出函数的最大值【详解】函数的图象如图所示：由图可知故答案为：【点睛】本题主要考查利用函数的图象求最值熟练画出函数图象为解题的关键属于中档题解析：8 【分析】首先画出()f x 的图象，根据图象即可求出函数的最大值. 【详解】函数()f x 的图象如图所示：由图可知，max ()(2)44=8f x f =-=+. 故答案为：8 【点睛】本题主要考查利用函数的图象求最值，熟练画出函数图象为解题的关键，属于中档题.23．【分析】先利用换元法求出然后再用分离变量法借助函数的单调性解决问题【详解】解：由题意可设则∵∴∴∴∴由得∴对恒成立令则由得∴在上单调递减在单调递增∴∴故答案为：【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的 解析：(],21e -∞-【分析】先利用换元法求出()f x ，然后再用分离变量法，借助函数的单调性解决问题． 【详解】解：由题意可设()xf x e x t -+=，则()xf x e x t =-+，∵()xf f x e x e ⎡⎤-+=⎣⎦，∴()ttf t e t t e e =-+==，∴1t =，∴()1xf x e x =-+，∴()1xf x e '=-，由()()f x f x ax '+≥得11x x e x e ax -++-≥，∴21xe a x≤-对()0,x ∈+∞恒成立，令()21xe g x x =-，()0,x ∈+∞，则()()221'x e x g x x-=， 由()'0g x =得1x =，∴()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞单调递增， ∴()()121g x g e ≥=-， ∴21a e ≤-，故答案为：(],21e -∞-． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查利用函数的单调性解决恒成立问题，属于中档题．24．【分析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性结合函数的奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可【详解】则是偶函数当函数为增函数则等价与所以平方得所以所以即不等式的解集为故答案为：【点睛】本题主要考查解析：113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【分析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性，结合函数的奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可. 【详解】()()()()2211ln 1ln 111f x x x f x x x -=+--=+-=++，则()f x 是偶函数， 当0x ≥函数()f x 为增函数， 则()()12f x f x >-等价与()()12fx f x >-，所以12x x >-，平方得22144x x x -+>， 所以23410x x -+<，所以113x <<，即不等式的解集为113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭， 故答案为：113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题主要考查不等式的求解，结合条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键，难度中等.25．【分析】令根据当时可得因此函数在时单调递减又为奇函数由于可得即可求得答案【详解】①令当时函数在时单调递减；的解集为②函数()分别是定义在上的奇函数和偶函数是上的奇函数当时的解集为综上所述不等式的解集 解析：()()1,01,-⋃+∞【分析】 令()()()h x F x g x =,根据当0x <时, ()()()()0h x g x h x g x ''-<可得()0F x '<,因此函数()F x 在0x <时单调递减,又()F x 为奇函数,由于()10h -=,可得(1)(1)0F F -==,即可求得答案. 【详解】 ①令()()()h x F x g x =. 当0x <时, ()()()()0h x g x h x g x ''-<,∴()()()()2()()0h x g x h F x g x x g x '=''-< ∴函数()F x 在0x <时单调递减；()10h -=,(1)(1)0F F ∴-==∴()0F a <的解集为()1,0-②函数()h x ,()g x (()0g x ≠)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数∴()()()()()()h x h x F x F x g x g x --==-=-- ∴()F x 是R 上的奇函数,∴当0x >时,()0F a <的解集为(1,)+∞综上所述,不等式()()0h a g a <的解集为:()()1,01,-⋃+∞. 故答案为:()()1,01,-⋃+∞. 【点睛】本题主要考查了根据函数单调性和奇偶性解不等式,解题关键是掌握根据题意构造函数的方法和由导数判断函数单调性的解题方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.26．12【分析】首先设将原函数转化为再根据二次函数的单调性即可得到答案【详解】设因为所以则函数转化为因为在为增函数所以解得或（舍去）即所以故答案为：【点睛】本题主要考查根据函数单调性求最值同时考查了换元解析：12 【分析】首先设3x m =，将原函数转化为()2g m m m =+，()133t t m +≤≤，再根据二次函数的单调性即可得到答案. 【详解】设3x m =，因为1t x t ≤≤+，所以133t t m +≤≤.则函数()93x x f x =+()1t x t ≤≤+转化为()2g m m m =+，()133t t m +≤≤.因为()g m 在13,3t t +⎡⎤⎣⎦为增函数，所以()()()2min 3332t t t g m g ==+=，解得31t =或32t =-（舍去）.即0t =.所以()()()1max 3312t f x g g +===.故答案为：12 【点睛】本题主要考查根据函数单调性求最值，同时考查了换元法，属于中档题.。
新人教版高中数学必修第一册第三单元《函数概念与性质》测试题(含答案解析)(3)
一、选择题1．已知定义域为R 的函数()f x 在[)2,+∞单调递减，且(4)()0f x f x -+=，则使得不等式()2(1)0f x x f x +++<成立的实数x 的取值范围是（ ） A ．31x -<< B ．1x <-或3x >C ．3x <-或1x >D ．1x ≠-2．已知0.31()2a =，12log 0.3b =，0.30.3c =，则a b c ，，的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<3．已知函数()x xf x e e -=-，则不等式()()2210f xf x +--<成立的一个充分不必要条件为（ ） A ．()2,1- B ．()0,1 C ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭D ．()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭4．设()f x 为定义在R 上的函数，函数()1f x +是奇函数.对于下列四个结论：①()10f =；②()()11f x f x -=-+； ③函数()f x 的图象关于原点对称；④函数()f x 的图象关于点()1,0对称； 其中，正确结论的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．已知()f x 为奇函数，且当0x >时，()2f x x =-，则1()2f -的值为（ ）A ．52- B ．32- C ．32 D ．526．定义在R 上的奇函数()f x 满足()20210f =且对任意的正数a ，b (ab )，有()()0f a f b a b -<-，则不等式()0f x x<的解集是（ ）A ．()()2021,02021,-+∞B ．()()2021,00,2021-C ．()(),20212021,-∞-+∞D ．()(),20210,2021-∞-7．已知“函数()y f x =的图像关于点(),P a b 成中心对称图形”的充要条件为“函数()y f x a b =+-是奇函数”，现有函数：①1224x y x -=-；②1(2)|2|2y x x x =--+；③()321y x x =+--；④2332x x y x -+=-，则其中有相同对称中心的一组是（ ）A ．①和③B ．①和④C ．②和③D ．②和④8．已知2()log (1)f x x =-，若()2120f x x -+-<，则x 的取值范围为（ ）A ．(,0)(1,)-∞⋃+∞B．11,22⎛ ⎝⎭C．115,01,22⎛⎫⎛+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭D ．(1,0)(1,2)-9．已知()f x 是R 上的奇函数，且对x ∈R ，有()()2f x f x +=-，当()0,1x ∈时，()21x f x =-，则()2log 41f =（ ）A ．40B ．2516C ．2341D ．412310．若函数2()|2|f x x a x =+-在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]4,0- B ．(],0-∞C ．(],4-∞-D ．(,4][0,)-∞-+∞11．已知定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x =-，()()0f x f x +-=，且在[0,1]上有1()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则(2020.5)f =（ ） A ．116-B ．116C ．14D ．1212．设函数()()212131log 1313x xe e xf x x --=++++，则做得()()31f x f x ≤-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．11,,42⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ D．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦13．下列各组函数表示同一函数的是（ ） A ．()f x =2()f x =B ．,0(),0x x f x xx ≥⎧=⎨-<⎩与()||g tt =C ．()f x =()g x =．()1f x x 与2()1x g x x=-14．关于函数1()lg 1xf x x-=+，有下列三个命题： ①对于任意(1,1)x ∈-，都有()()f x f x -=-；②()f x 在(1,1)-上是减函数；③对于任意12,(1,1)x x ∈-，都有121212()()()1x x f x f x f x x ++=+； 其中正确命题的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．315．若()21f x ax x a =+++在()2,-+∞上是单调递增函数，则a 的取值范围是( ) A ．1(,]4-∞B ．1(0,]4C ．1[0,]4D ．1[,)4+∞二、填空题16．已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且对于12,[0,)x x ∀∈+∞，都有()()()221112210x f x x f x x x x x ->≠-，且(3)2f =，则不等式6()f x x>的解集为___________.17．已知函数()()23log 440f x ax x =-+>在x ∈R 上恒成立，则a 的取值范围是_________.18．已知定义在R 上的偶函数()y f x =在[)0,+∞上是严格增函数，如果(1)(2)f ax f +≤对于任意[]1,2x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是________19．已知函数()()()2223f x x x x ax b =--++是偶函数，则()f x 的值域是__________.20．设非零实数a ，b 满足224a b +=，若函数21ax by x +=+存在最大值M 和最小值m ，则M m -=_________.21．已知函数()()()2421log 1a x ax x f x x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩，在区间(),-∞+∞上是减函数，则a 的取值范围为______ ． 22．幂函数()223mm f x x --=在0,上单调递减且为偶函数，则整数m 的值是______.23．函数()22f x x x =-，[]2,2x ∈-的最大值为________.24．已知()f x 是R 上的偶函数，且在[0，)+∞单调递增，若(3)(4)f a f -<，则a 的取值范围为____．25．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足x R ∀∈，都有()()2f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()21xf x =-，则()15f =______.26．已知f （x ）是R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣5x ，则f （x ﹣1）＞f （x ）的解集为_____．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由(4)()0f x f x -+=得到()f x 关于(2,0)对称，再由()f x 在[)2,+∞单调递减得到()f x 在R 上单调递减，利用单调性可得答案. 【详解】(4)()0f x f x -+=，则()f x 关于(2,0)对称，因为()f x 在[)2,+∞单调递减，所以()f x 在R 上单调递减， 所以(1)(3)f x f x +=--，由()2(1)0f x x f x +++<得()2(3)0f x x f x +--<， 所以()2(3)f x x f x +<-，所以23x x x +>-，解得1x >或3x <-. 故选：C ． 【点睛】思路点睛：利用函数的单调性和奇偶性比较函数值大小的思路： （1）先根据奇偶性将自变量转变至同一单调区间； （2）根据单调性比较同一单调区间内的函数值的大小关系；（3）再结合奇偶性即可判断非同一单调区间的函数值大小，由此得到结果.2．B解析：B 【分析】由指数函数的性质可得112a <<，由对数函数的性质可得1b >，由幂函数的性质可得0.30.310.32⎛⎫< ⎪⎝⎭，从而可得结果. 【详解】∵0.31()2a =，12log 0.3b = 0.30.3c =∴10.3111112222a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<=<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 11221log 0.3log 12b =>=， 0.30.310.32c ⎛⎫=< ⎪⎝⎭,∴c a b << 故选：B 【点睛】方法点睛：解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.3．B解析：B 【分析】根据解析式可判断出()f x 是定义在R 的增函数且是奇函数，不等式可化为()()221f x f x <+，即得221x x <+，解出即可判断.【详解】可得()f x 的定义域为R ，x y e =和x y e -=-都是增函数，()f x ∴是定义在R 的增函数，()()x x f x e e f x --=-=-，()f x ∴是奇函数，则不等式()()2210f xf x +--<化为()()()2211f x f x f x <---=+，221x x ∴<+，解得112x -<<，则不等式成立的充分不必要条件应是1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭的真子集， 只有B 选项满足. 故选：B. 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，解题的关键是判断出()f x 是增函数且是奇函数，从而将不等式化为()()221f xf x <+求解.4．C解析：C 【分析】令()()1g x f x =+，①：根据()00g =求解出()1f 的值并判断；②：根据()g x 为奇函数可知()()g x g x -=-，化简此式并进行判断；根据()1y f x =+与()y f x =的图象关系确定出()f x 关于点对称的情况，由此判断出③④是否正确. 【详解】令()()1g x f x =+，①因为()g x 为R 上的奇函数，所以()()0010g f =+=，所以()10f =，故正确； ②因为()g x 为R 上的奇函数，所以()()g x g x -=-，所以()()11f x f x -+=-+，即()()11f x f x -=-+，故正确；因为()1y f x =+的图象由()y f x =的图象向左平移一个单位得到的，又()1y f x =+的图象关于原点对称，所以()y f x =的图象关于点()1,0对称，故③错误④正确，所以正确的有：①②④， 故选：C. 【点睛】结论点睛：通过奇偶性判断函数对称性的常见情况：（1）若()f x a +为偶函数，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称； （2）若()f x a +为奇函数，则函数()y f x =的图象关于点(),0a 成中心对称.5．C解析：C 【分析】根据函数为奇函数可知1122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后根据0x >时()f x 的解析式可求解出12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值，则12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值可求. 【详解】因为()f x 为奇函数，所以1122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又因为1132222f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以113222f f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是利用奇偶性的定义将计算12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值转化为计算12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值，从而根据已知条件完成求解.6．C解析：C 【分析】首先判断函数在()0,∞+的单调性，然后根据函数是奇函数，可知函数在(),0-∞的单调性和零点，最后结合函数的零点和单调性，求解不等式. 【详解】对任意的正数a ，b (ab )，有()()0f a f b a b-<-，()f x ∴在()0,∞+上单调递减，定义在R 上的奇函数()f x 满足()20210f =，()f x ∴在(),0-∞单调递减，且()()202120210f f -=-=， ()0f x x <等价于()00x f x >⎧⎨<⎩ 或()00x f x <⎧⎨>⎩， 解得：2021x >或2021x <-， 所以不等式解集是()(),20212021,-∞-+∞.故选：C 【点睛】方法点睛：一般利用函数奇偶性和单调性，解抽象不等式包含以下几点： 若函数是奇函数，首先确定函数在给定区间的单调性，然后将不等式转化为()()12f x f x <的形式，最后运用函数的单调性去掉“f ”，转化为一般不等式求解；若函数是偶函数，利用偶函数的性质()()()f x f x f x -==，将不等式()()12f x f x <转化为()()12f x f x <，再利用函数在[)0,+∞的单调性，去掉“f ”，转化为一般不等式求解.7．D解析：D 【分析】根据定义依次判断即可求出. 【详解】 对于①，()12312422x y x x -==----，则()()3212y f x x=+--=-是奇函数，故函数关于()2,1-对称； 对于②，()1212y f x x x x =+-=+是奇函数，故函数关于()2,1对称； 对于③，()321y f x x x =--=-是奇函数，故函数关于()2,1-对称；对于④，22334421121222x x x x x y x x x x -+-++-+===-++---，则()121y f x x x=+-=+是奇函数，故函数关于()2,1对称. 故有相同对称中心的一组是②和④. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题考查函数对称性的判断，解题的关键是能根据解析式化简整理，正确利用对称的定义进行判断，能根据解析式整理出奇函数特征.8．C解析：C 【分析】首先判断函数的单调性和定义域，再解抽象不等式. 【详解】函数()f x 的定义域需满足210240x x x ->⎧⎨-+≥⎩，解得：1x >， 并且在区间()1,+∞上，函数单调递增，且()22f =， 所以()()()2212012f x x f x x f -+-<⇔-+<，即221112x x x x ⎧-+>⎨-+<⎩，解得：1x <<102x -<<.故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断函数的单调性和定义域，尤其是容易忽略函数的定义域.9．C解析：C 【分析】由已知得(4)()f x f x +=，由对数函数性质估计出2log 41(5,6)∈，然后利用已知条件把自变量变小为2log 416(1,0)-∈-，再由奇函数定义可求得函数值． 【详解】25log 416<<，()()()()()2222f x f x f x f x f x +=-⇒++=-+=⎡⎤⎣⎦，故()()()()2222log 41log 414log 4166log 41f f f f =-=--=-.∵()26log 410,1-∈，故()26log 41264236log 412114141f --=-=-=. 故选：C ． 【点睛】本题考查求函数值，方法是由已知条件得出函数的周期性，利用周期性和已知等式把函数自变量变小到(1,0)-上，然后由奇函数定义变到(0,1)上，从而由已知解析式求得函数值．10．A解析：A 【分析】将()f x 写成分段函数的形式，根据单调性先分析每一段函数需要满足的条件，同时注意分段点处函数值关系，由此求解出a 的取值范围. 【详解】因为2()|2|f x x a x =+-，所以222,2()2,2x ax a x f x x ax a x ⎧+-≥=⎨-+<⎩，当()212f x x ax a =+-在[)2,+∞上单调递增时，22a-≤，所以4a ≥-， 当()222f x x ax a =-+在()0,2上单调递增时，02a≤，所以0a ≤， 且()()12224f f ==，所以[]4,0a ∈-， 故选：A. 【点睛】思路点睛：根据分段函数单调性求解参数范围的步骤： （1）先分析每一段函数的单调性并确定出参数的初步范围； （2）根据单调性确定出分段点处函数值的大小关系； （3）结合（1）（2）求解出参数的最终范围.11．D解析：D 【分析】由已知条件可知()f x 为奇函数且周期为4，利用函数的周期，结合其区间解析式即可求(2020.5)f 的值.【详解】由()()0f x f x +-=知：()()f x f x -=-，即()f x 为奇函数， ∵()(2)f x f x =-，有(2)()()f x f x f x +=-=-， ∴(4)(2)()f x f x f x +=-+=，故()f x 为周期为4的函数，在[0,1]上有1()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以121111(2020.5)(4505)()()2242f f f =⨯+===， 故选：D 【点睛】本题考查了函数的性质，根据函数的奇偶性、周期性以及区间解析式求函数值，属于基础题.12．D解析：D 【分析】先判断()f x 是偶函数且在0,上递减，原不等式转化为31x x ≥-，再解绝对值不等式即可. 【详解】()()()211221133111log 13log 131313x x xxe e e e xxf x x x ---⎛⎫=+++=+++ ⎪++⎝⎭，()121311log 1,,313x xe e xy x y y -⎛⎫=+== ⎪+⎝⎭在0,上都递减所以()f x 在0,上递减，又因为()()()()121311log 1313x xe e xf x x f x ----⎛⎫-=+-++= ⎪+⎝⎭，且()f x 的定义域为R ，定义域关于原点对称， 所以()f x 是偶函数， 所以()()()()313131f x f x f x f x x x ≤-⇔≤-⇔≥-，可得113142x x x x -≤-≤⇒≤≤，x 的取值范围是11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故选：D. 【点睛】将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.13．B解析：B 【分析】根据同一函数的概念及判定方法，分别求得两函数的定义域与对应法则，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，函数()f x =R，函数2()f x =的定义域为[0,)+∞，两函数的定义域不同，所以不是同一函数； 对于B 中，函数,0(),0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩与,0(),0t t g t t t t ≥⎧==⎨-<⎩定义域与对应法则都相同，所以两函数是同一函数； 对于C 中，函数()f x =210x -≥，解得1x ≤-或1≥x ，即函数()f x 的定义域为(,1][1,)-∞-+∞，函数()g x =1010x x +≥⎧⎨-≤⎩，解得11x -≤≤，即函数()g x 的定义域为[]1,1-，两函数的定义域不同，所以不是同一函数； 对于D 中，函数()1f x x 的定义域为R ，函数2()1x g x x=-的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，两函数的定义域不同，所以不是同一函数. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了同一函数的概念及判定，其中解答中熟记两个函数是同一函数的判定方法是解答得关键，着重考查推理与判定能力，属于基础题.14．D解析：D 【分析】当(1,1)x ∈-时，函数1()1xf x lgx-=+恒有意义，代入计算()()f x f x -+可判断①；利用分析法，结合反比例函数及对数函数的单调性和复合函数“同增异减”的原则，可判断②；代入分别计算12()()f x f x +和1212()1x x f x x ++，比照后可判断③． 【详解】 解：1()1xf x lgx-=+，当(1,1)x ∈-时， 1111()()()101111x x x xf x f x lglg lg lg x x x x+-+--+=+===-+-+，故()()f x f x -=-，即①正确； 12()(1)11x f x lglg x x -==-++，由211y x=-+在(1,1)-上是减函数，故()f x 在(1,1)-上是减函数，即②正确； 12121212121212121211111()()()11111x x x x x x x x f x f x lglg lg lg x x x x x x x x ----+--+=+==+++++++； 12121212121212121212111()1111x x x x x x x x x x f lg lg x x x x x x x x x x +-+++--==+++++++，即③正确 故三个结论中正确的命题有3个 故选：D ． 【点睛】本题以命题的真假判断为载体考查了函数求值，复合函数的单调性，对数的运算性质等知识点，属于中档题．15．C解析：C 【分析】先考虑a 是否为零，然后再分一次函数和二次函数分别考虑. 【详解】当0a =时，则()1f x x =+，显然在()2,-+∞上递增；当0a ≠时，则()21f x ax x a =+++是二次函数，因为()f x 在()2,-+∞上递增，则对称轴122x a =-≤-且0a >，解得：10,4a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；综上：a 的取值范围是1[0,]4， 故选C. 【点睛】本题考查根据单调区间求解参数范围问题，难度一般.对于形如()2f x ax bx c =++的函数，一定要明确：并不一定是二次函数，可能会出现0a =的情况，所以要分类讨论.二、填空题16．【分析】令可得是上的增函数根据为奇函数可得为偶函数且在上是减函数分类讨论的符号将变形后利用的单调性可解得结果【详解】令则对于都有所以是上的增函数因为函数为定义在R 上的奇函数所以所以所以是定义在R 上的 解析：(3,0)(3,)-⋃+∞【分析】令()()g x xf x =，可得()g x 是[0,)+∞上的增函数，根据()f x 为奇函数可得()g x 为偶函数，且在(,0)-∞上是减函数，分类讨论x 的符号，将6()f x x>变形后，利用()g x 的单调性可解得结果. 【详解】令()()g x xf x =，则对于12,[0,)x x ∀∈+∞，都有211221()()0()g x g x x x x x ->≠-，所以()g x 是[0,)+∞上的增函数，因为函数()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()()()g x xf x xf x g x -=--==，所以()g x 是定义在R 上的偶函数，所以()g x 在(,0)-∞上是减函数，当0x >时，6()f x x>化为()63(3)xf x f >=，即()(3)g x g >，因为()g x 是[0,)+∞上的增函数，所以3x >，当0x <时，6()f x x>化为()6xf x <，因为()f x 为奇函数，且(3)2f =，所以(3)(3)2f f -=-=-，所以()6xf x <化为()3(3)(3)g x f g <--=-，因为()g x 在(,0)-∞上是减函数，所以30x -<<，综上所述：6()f x x>的解集为(3,0)(3,)-⋃+∞. 故答案为：(3,0)(3,)-⋃+∞【点睛】关键点点睛：构造函数()()g x xf x =，利用()g x 的奇偶性和单调性求解是解题关键.17．【分析】由题意把函数在上恒成立转化为对上恒成立列不等式解得a 的范围【详解】恒成立即恒成立所以时显然不成立当时得所以故答案为：【点睛】（1）求参数的范围是常见题型之一处理的方法有两种：①不分离参数直接解析：4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】由题意，把函数()()23log 440f x ax x =-+>在x ∈R 上恒成立转化为2430ax x -+>对x ∈R 上恒成立，列不等式解得a 的范围. 【详解】()()23log 440f x x x α=-+>恒成立，即()2233log 44log 1430ax x ax x -+>⇔-+>恒成立，所以0a =时显然不成立.当0a ≠时()0Δ16120a a >⎧⎨=-<⎩得43a <，所以4,3a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭. 故答案为：4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【点睛】（1）求参数的范围是常见题型之一，处理的方法有两种：①不分离参数，直接求最大值或最小值，解不等式；②分离参数法.（2）解指、对数型的不等式，通常化为同底的结构，利用函数的单调性解不等式.18．【分析】根据偶函数在对称区间上单调性相反结合已知可得在R 上是增函数进而可将对于任意恒成立转化为对任意都成立进而可得最后结合函数的单调性可得实数a 的取值范围【详解】因为定义在R 上的偶函数在上是严格增函解析：31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据偶函数在对称区间上单调性相反结合已知可得()y f x =在R 上是增函数，进而可将(1)(2)f ax f +≤对于任意[]1,2x ∈恒成立，转化为12ax +≤对任意[]1,2x ∈都成立，进而可得31a x x-≤≤，最后结合函数的单调性可得实数a 的取值范围 【详解】因为定义在R 上的偶函数()y f x =在[)0,+∞上是严格增函数， 因为(1)(2)f ax f +≤对任意[]1,2x ∈都成立，所以12ax +≤对任意[]1,2x ∈都成立， 即212ax -≤+≤对任意[]1,2x ∈都成立，变形可得31a x x-≤≤， 由函数3y x=-在[]1,2为增函数，1y x =在[]1,2上为减函数，故31max min a x x ⎛⎫⎛⎫-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以31,22a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故答案为：31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键是由函数为偶函数得出12ax +≤，进而结合单调性求出a 的取值范围.19．【分析】利用偶函数性质赋值可求出函数解析式再求值域即可【详解】因为是偶函数所以有代入得：解得：所以故答案为： 解析：[)16,-+∞【分析】利用偶函数性质，赋值可求出函数解析式，再求值域即可. 【详解】因为()()()()()()2222331f x x x x ax b x x x ax b =--++=-+++是偶函数，所以有()()()()330110f f f f ⎧-==⎪⎨=-=⎪⎩，代入得：93010a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：2,3a b ==-.所以()()()()()22222242223233410951616f x x x x x x x x x x =--+-=--=-+=--≥-，故答案为：[)16,-+∞.20．2【分析】化简得到根据和得到解得答案【详解】则则即故即即故答案为：2【点睛】本题考查了函数的最值意在考查学生的计算能力和转化能力利用判别式法是解题关键解析：2 【分析】化简得到20yx ax y b -+-=，根据0∆≥和224a b +=得到2222b b y -+≤≤，解得答案. 【详解】21ax b y x +=+，则20yx ax y b -+-=，则()240a y y b ∆=--≥， 即22440y yb a --≤，224a b +=，故224440y yb b -+-≤，()()22220y b y b -+--≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即2222b b y -+≤≤，即22,22b b m M -+==， 2M m -=. 故答案为：2. 【点睛】本题考查了函数的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力，利用判别式法是解题关键.21．【分析】根据题意讨论时是二次函数在对称轴对称轴左侧单调递减时是对数函数在时单调递减；再利用端点处的函数值即可得出满足条件的的取值范围【详解】解：由函数在区间上是减函数当时二次函数的对称轴为在对称轴左 解析：1324a ≤≤ 【分析】根据题意，讨论1x <时，()f x 是二次函数，在对称轴对称轴左侧单调递减，1x 时，()f x 是对数函数，在01a <<时单调递减；再利用端点处的函数值即可得出满足条件的a 的取值范围． 【详解】解：由函数242(1)()(1)a x ax x f x log x x ⎧-+<=⎨⎩在区间(,)-∞+∞上是减函数，当1x <时，2()42f x x ax =-+，二次函数的对称轴为2x a =， 在对称轴左侧单调递减，21a ∴，解得12a； 当1x 时，()log a f x x =，在01a <<时单调递减； 又2142log 1a a -+， 即34a； 综上，a 的取值范围是1324a ．故答案为：1324a ． 【点睛】本题考查了分段函数的单调性问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，属于中档题．22．1【分析】根据幂函数的定义与性质列不等式求出的取值范围再验证是否满足条件即可【详解】幂函数在上单调递减所以的整数值为0或12；当时不是偶函数；当时是偶函数；当时不是偶函数；所以整数的值是1故答案为：解析：1 【分析】根据幂函数的定义与性质，列不等式求出m 的取值范围，再验证是否满足条件即可． 【详解】 幂函数223()mm f x x --=在(0,)+∞上单调递减，所以2230m m --<，13m -<<，m 的整数值为0或1，2；当0m =时，3()-=f x x 不是偶函数； 当1m =时，4()f x x -=是偶函数； 当2m =时，3()-=f x x 不是偶函数； 所以整数m 的值是1． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了幂函数的定义与性质的应用问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．23．8【分析】首先画出的图象根据图象即可求出函数的最大值【详解】函数的图象如图所示：由图可知故答案为：【点睛】本题主要考查利用函数的图象求最值熟练画出函数图象为解题的关键属于中档题解析：8 【分析】首先画出()f x 的图象，根据图象即可求出函数的最大值. 【详解】函数()f x 的图象如图所示：由图可知，max ()(2)44=8f x f =-=+. 故答案为：8 【点睛】本题主要考查利用函数的图象求最值，熟练画出函数图象为解题的关键，属于中档题.24．【分析】由偶函数的性质将不等式表示为再由函数在区间上的单调性得出与的大小关系解出不等式即可【详解】函数是上的偶函数所以由得函数在区间上单调递增得解得因此实数的取值范围是故答案为【点睛】本题考查函数不 解析：17a -<<【分析】由偶函数的性质()()f x fx =将不等式表示为()()34f a f -<，再由函数()y f x =在区间[)0,+∞上的单调性得出3a -与4的大小关系，解出不等式即可． 【详解】函数()y f x =是R 上的偶函数，所以()()f x f x =，由()()34f a f -<，得()()34fa f -<，函数()y f x =在区间[)0,+∞上单调递增，34a ∴-<，得434a -<-<， 解得17a -<<，因此，实数a 的取值范围是()1,7-，故答案为()1,7-． 【点睛】本题考查函数不等式的求解，对于这类问题，一般要考查函数的奇偶性与单调性，将不等式转化为()()12f x f x <（若函数为偶函数，可化为()()12fx f x <），结合单调性得出1x 与2x 的大小（或1x 与2x 的大小）关系，考查推理能力与分析问题的能力，属于中等题．25．【分析】根据函数为奇函数有结合可得是以4为周期的周期函数将所求函数值转化成已知解析式区间上的函数值即可求解【详解】由函数是定义在上的奇函数则又所以则所以是以4为周期的周期函数所以故答案为：【点睛】考 解析：1-【分析】根据函数为奇函数有()()f x f x =--，结合()()2f x f x +=-，可得()f x 是以4为周期的周期函数，将所求函数值转化成已知解析式区间上的函数值，即可求解. 【详解】由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()f x f x =-- 又()()2f x f x +=-，所以()()2f x f x +=- 则()()()()4222f x f x f x f x +=++=-+=⎡⎤⎣⎦ 所以()f x 是以4为周期的周期函数.所以()()()()()1151611121=1f f f f =-=-=-=---故答案为：1- 【点睛】考查函数奇偶性和周期性的综合应用，具体数值求解，有一定综合性，属于中档题.26．【分析】根据函数f （x ）是R 上的奇函数和已知条件得出函数和的解析式在同一坐标系中做出和的图像求出交点的坐标根据不等式的解集可以理解为将的图象向右平移一个单位长度后所得函数的图象在函数的图象上方部分的 解析：{23}x x -<<【分析】根据函数f （x ）是R 上的奇函数和已知条件得出函数()f x 和()1f x -的解析式，在同一坐标系中做出()f x 和()1f x -的图像，求出交点的坐标，根据不等式(1)()f x f x ->的解集可以理解为将()f x 的图象向右平移一个单位长度后所得函数()1f x -的图象在函数()f x 的图象上方部分的点对应的横坐标取值的集合，由图示可得出解集.【详解】当0x <时， 0x ->，所以 ()()22()55f x x x x x -=--⨯-=+， 又f （x ）是R 上的奇函数，所以 2()()5f x f x x x =--=--，所以225,0()5,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，所以()()()()22151,1(1)151,1x x x f x x x x ⎧---≥⎪-=⎨----<⎪⎩，即2276,1(1)34,1x x x f x x x x ⎧-+≥-=⎨--+<⎩， 做出()f x 和()1f x -的图像如下图所示，不等式(1)()f x f x ->的解集可以理解为将()f x 的图象向右平移一个单位长度后所得函数()1f x -的图象在函数()f x 的图象上方部分的点对应的横坐标取值的集合， 由22576,x x x x -=-+得3,x =所以()3,6A -，由22534x x x x --=--+得2x =-，所以()2,6B -， 所以不等式(1)()f x f x ->的解集为{23}x x -<<. 故答案为：{23}x x -<<.【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求得对称区间上的解析式，图像的平移，以及运用数形结合的思想求解不等式，关键在于综合熟练地运用函数的奇偶性，解析式的求法，图像的平移，以及如何在图像上求出不等式的解集等一些基本能力，属于中档题.。
高一数学必修一第一章(中)函数及其表示练习题及答案
高一数学（必修1）第一章（中）函数及其表示[基础训练]一、选择题1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ；⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(，2)(x x g =；⑷()f x()F x =⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。
A ．⑴、⑵B ．⑵、⑶C ．⑷D ．⑶、⑸2．函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（ ） A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或23．已知集合{}{}421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且*,,a N x A y B ∈∈∈使B 中元素31y x =+和A 中的元素x 对应，则,a k 的值分别为（ ） A ．2,3 B ．3,4 C ．3,5 D ．2,54．已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x 的值是（ ）A ．1B ．1或32 C ．1，32或 D5．为了得到函数(2)y f x =-的图象，可以把函数(12)y f x =-的图象适当平移，这个平移是（ ）A ．沿x 轴向右平移1个单位B ．沿x 轴向右平移12个单位 C ．沿x 轴向左平移1个单位 D ．沿x 轴向左平移12个单位6．设⎩⎨⎧<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13二、填空题1．设函数.)().0(1),0(121)(a a f x xx x x f >⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=若则实数a 的取值范围是 。
2．函数422--=x x y 的定义域 。
3．若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(2,0),(4,0)A B -，且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是 。
新人教版高中数学必修第一册第三单元《函数概念与性质》测试题(包含答案解析)(3)
一、选择题1．已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，()(1)ln f x x -=+，则()1f =（ ） A ．ln 2- B ．ln 2C ．0D ．12．已知函数()1f x +是偶函数，当121x x <<时，()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2b f =，()3c f =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．c b a << C ．b c a <<D ．a b c <<3．若奇函数()f x 在区间[]3,6上是增函数，且在区间[]3,6上的最大值为7，最小值为-1，则()()263f f -+-的值为（ ） A ．5B ．-5C ．13D ．-134．已知函数2()f x x bx c =++，且(2)()f x f x +=-，则下列不等式中成立的是（ ） A ．(4)(0)(4)f f f -<< B ．(0)(4)(4)f f f <-< C ．(0)(4)(4)f f f <<-D ．(4)(0)(4)f f f <<-5．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：当[]0,1x ∈时，()31x f x =-，则()1f -=（ ） A ．2B ．1C ．-2D ．-16．函数()21x f x x-=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．定义在R 上的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，且当(]2,4x ∈时，224,23,()2,34,x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，对(]12,0x ∀∈-，2[2,1]x ∃∈-，使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．11,,88⎛⎫⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭B ．11,00,48⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ C ．(0,8]D ．11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭8．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，如函数()1sin 2f x x x =-的图像大致是（ ） A ． B ．C ．D ．9．已知函数()2121f x ax x ax =+++-（a R ∈）的最小值为0，则a =（ ）A ．12B ．1-C ．±1D ．12±10．已知函数2log (1),1,()1,1,x x f x x +≥⎧=⎨<⎩则满足(21)(31)f x f x +<-的实数x 的取值范围是（ ） A ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．(2,)+∞C ．2,23⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,211．已知()f x 是R 上的奇函数，且对x ∈R ，有()()2f x f x +=-，当()0,1x ∈时，()21x f x =-，则()2log 41f =（ ）A ．40B ．2516C ．2341 D ．412312．已知函数()||f x x x =，当[,2]x t t ∈+时，恒有不等式(2)4()f x t f x +>成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞B ．[2,)+∞C ．(,2)-∞D ．(,2]-∞13．已知()22,02,0x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩，则不等式()()3f f x ≤的解集为（ ）A ．](,3-∞-B ．)3,⎡-+∞⎣C ．(,3⎤-∞⎦D ．)3,⎡+∞⎣14．下列各组函数表示同一函数的是（ ） A ．2()f x x =与2()()f x x =B ．,0(),0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩与()||g t t =C ．()21f x x =-与()11g x x x =+⋅- D ．()1f x x 与2()1x g x x=-15．下列函数中，在[)1,+∞上为增函数的是 A ．()22y x =-B ．1y x =-C ．11y x =+ D ．()21y x =-+二、填空题16．已知定义域为N 的函数()y f x =满足()()()2,105,10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，则()5f =___________.17．设函数()f x 在(,0)(0,)-∞+∞上满足()()0f x f x ，在(0,)+∞上对任意实数12x x ≠都有1212()(()())0x x f x f x -->成立，又(3)0f -=，则(1)()0x f x -<的解是___________. 18．函数24xy x =+的严格增区间是_____________. 19．对于正整数k ,设函数[][]()k f x kx k x =-，其中[]a 表示不超过a 的最大整数，设24()()()g x f x f x =+，则()g x 的值域为_________.20．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，()()1f x x x =-.(1)在坐标系中画出函数()f x 在R 上的完整图象； (2)求函数()f x 在R 上的解析式.21．函数()f x =___________.22．设函数()3,111,1x x f x x x x <⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，，则不等式()()26f x f x ->-的解集为____________.23．以下结论正确的是____________（1）如果函数()y f x =在区间(,)a b 上是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点；（2）命题:0,1xp x e ∀>>都有，则00:0,1x p x e⌝∃≤≤使得；（3）空集是任何集合的真子集； （4）“a b >”是“22a b >的充分不必要条件”（5）已知函数(23)43,1(),1xa x a x f x a x +-+≥⎧=⎨<⎩在定义域上是增函数，则实数a 的取值范围是(1,2]24．已知甲、乙两地相距150 km ，某人开汽车以60 km/h 的速度从甲地到达乙地，在乙地停留一小时后再以50 km/h 的速度返回甲地，把汽车距甲地的距离s 表示为时间t 的函数，则此函数的表达式为__________．25．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()21f =-，对任意的x ∈R 都有()()2f x f x =--，则()2020f =_________.26．已知()()()22112,0x g x x f g x x x -=-=≠⎡⎤⎣⎦，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_________【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】由函数的奇偶性可得()()11f f =--，进而计算即可得解. 【详解】函数()f x 是定义在R 上的奇函数， 当0x ≤时，()(1)ln f x x -=+∴()()11ln[(1)1]ln 2f f =--=---+=-.故选：A. 【点睛】思路点睛：该题考查函数奇偶性的应用，解题思路如下： （1）根据奇函数的定义，可知(1)(1)=--f f ； （2）根据题中所给的函数解析式，求得函数值； （3）最后得出结果.2．A解析：A 【分析】推导出函数()f x 为()1,+∞上的增函数，且有()()11f x f x +=-，可得出52a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，进而可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】当121x x <<时，()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，则()()21f x f x >， 所以，函数()f x 为()1,+∞上的增函数， 由于函数()1f x +是偶函数，可得()()11f x f x +=-，1335112222a f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，53212>>>，因此，b a c <<. 故选：A. 【点睛】 思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个： （1）判断各个数值所在的区间； （2）利用函数的单调性直接解答.3．D解析：D 【分析】先利用条件找到()31f =-，(6)7f =，再利用()f x 是奇函数求出(3)f -，(6)f -代入即可． 【详解】由题意()f x 在区间[]3,6上是增函数， 在区间[]3,6上的最大值为7，最小值为1-， 得()31f =-，(6)7f =，()f x 是奇函数，(3)2(6)(3)2(6)12713f f f f ∴-+-=--=-⨯=-．故答案为：13-． 【点睛】本题主要考查利用函数的单调性求最值，关键点是利用函数的奇偶性先求函数值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．C解析：C 【分析】由(2)()f x f x +=-，即可得到()f x 图象的对称轴为1x =，所以根据图象上的点离对称轴的距离即可比较出(0),(4),(4)f f f -的大小关系. 【详解】由(2)()f x f x +=-得()f x 图象的对称轴为1x =，所以()f x 在(,1]-∞上单调递减，在[1,)+∞上单调递增，且(4)(2)f f =-， 所以(0)(2)(4)(4)f f f f <-=<-， 故选：C. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数值的比较大小的问题，解题方法如下：（1）首先根据题中所给的函数解析式，判断函数类型，根据题中所给的条件，判断出函数图象的对称轴；（2）利用对称性，将自变量所对应的函数值进行转换； （3）根据函数的单调性求得结果.5．C解析：C 【分析】由()f x 为奇函数，结合已知区间的解析式即可求10x -≤≤时()f x 的解析式，进而求()1f -即可.【详解】∵()f x 在R 上是奇函数， ∴令10x -≤≤，则[0,1]x -∈， 由题意，有()31()xf x f x --=-=-，∴1()13x f x =-，故()111123f --=-=-， 故选：C 【点睛】关键点点睛：利用函数奇偶性，求对称区间上的函数解析式，然后代入求值.6．D解析：D【分析】分析函数()f x 的奇偶性及其在区间()0,∞+上的单调性，由此可得出合适的选项. 【详解】函数()21x f x x -=的定义域为{}0x x ≠，()()()2211x x f x f x x x----===-， 函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B 、C 选项；当0x >时，()211x f x x x x-==-，因为y x =，1y x =-在区间()0,∞+上都是增函数，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增，排除A 选项， 故选：D. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左、右位置；从函数的值域，判断图象的上、下位置； （2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）从函数的特征点，排除不合要求的图象． 利用上述方法排除、筛选选项．7．D解析：D 【分析】问题等价于函数()f x 在(]2,0-上的值域是函数()g x 在[2,1]-上的值域的子集，先求出()f x 在(]2,4上的值域，再根据(2)2()f x f x +=求出()f x 在(]2,0-的值域；分类讨论求出()g x 的值域，根据子集关系即可求出a 的范围. 【详解】由题知问题等价于函数()f x 在(]2,0-上的值域是函数()g x 在[2,1]-上的值域的子集．当(]2,4x ∈时，2(2)4,23()2,34x x f x x x x ⎧--+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩， 由二次函数及对勾函数的图象及性质，得此时9()3,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由(2)2()f x f x +=， 可得11()(2)(4)24f x f x f x =+=+ 当(]2,0x ∈-时，(]42,4x +∈．则()f x 在(]2,0-的值域为39,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦．当0a >时，()[21,1]g x a a ∈-++，则有3214918a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得18a ≥，当0a =时，()1g x =，不符合题意；当0a <时，()[1,21]g x a a ∈+-+，则有3149218a a ⎧+≤⎪⎪⎨⎪-+≥⎪⎩，解得14a -．综上所述，可得a 的取值范围为11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭． 故选：D ． 【点睛】本题考查双变元利用值域求参数的问题，属于中档题.结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．8．A解析：A 【分析】由判断函数()f x 的奇偶性以及利用导数得出区间0,3π⎛⎫⎪⎝⎭的单调性即可判断. 【详解】()()()111sin sin sin ()222f x x x x x x x f x ⎛⎫-=---=-+=--=- ⎪⎝⎭则函数()f x 在R 上为奇函数，故排除B 、D.()1cos 2f x x '=-，当0,3xπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1cos 2x >，即0fx所以函数()f x 在区间0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故排除C 故选：A 【点睛】本题主要考查了函数图像的识别，属于中档题.9．C解析：C 【分析】设()()()()2121g x h x ax g x h x x ax ⎧+=+⎪⎨-=+-⎪⎩，计算可得()()()()()()()2,2,g x g x h x f x h x g x h x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，再结合图像即可求出答案. 【详解】设()()()()2121g x h x ax g x h x x ax ⎧+=+⎪⎨-=+-⎪⎩，则()()221g x x axh x x ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩， 则()()()()()()()()()()()2,2,g x g x h x f x g x h x g x h x h x g x h x ⎧≥⎪=++-=⎨<⎪⎩，由于函数()f x 的最小值为0，作出函数()(),g x h x 的大致图像，结合图像，210x -=，得1x =±， 所以1a =±. 故选：C 【点睛】本题主要考查了分段函数的图像与性质，考查转化思想，考查数形结合思想，属于中档题.10．B解析：B 【分析】根据函数的解析式，得出函数的单调性，把不等式(21)(32)f x f x +<-，转化为相应的不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数2log (1),1()1,1x x f x x +≥⎧=⎨<⎩，可得当1x <时，()1f x =，当1≥x 时，函数()f x 在[1,)+∞单调递增，且()21log 21f ==，要使得()()2131f x f x +<-，则2131311x x x +<-⎧⎨->⎩，解得2x >， 即不等式()()2131f x f x +<-的解集为()2,+∞， 故选：B. 【点睛】思路点睛：该题主要考查了函数的单调性的应用，解题思路如下： （1）根据函数的解析式，得出函数单调性； （2）合理利用函数的单调性，得出不等式组； （3）正确求解不等式组，得到结果.11．C解析：C 【分析】由已知得(4)()f x f x +=，由对数函数性质估计出2log 41(5,6)∈，然后利用已知条件把自变量变小为2log 416(1,0)-∈-，再由奇函数定义可求得函数值． 【详解】25log 416<<，()()()()()2222f x f x f x f x f x +=-⇒++=-+=⎡⎤⎣⎦，故()()()()2222log 41log 414log 4166log 41f f f f =-=--=-.∵()26log 410,1-∈，故()26log 41264236log 412114141f --=-=-=. 故选：C ． 【点睛】本题考查求函数值，方法是由已知条件得出函数的周期性，利用周期性和已知等式把函数自变量变小到(1,0)-上，然后由奇函数定义变到(0,1)上，从而由已知解析式求得函数值．12．A解析：A 【分析】根据已知函数的解析式易判断出函数的奇偶性及单调性，结合单调性可将不等式(2)4()f x t f x +>可化为22x t x +>，将恒成立问题转化为最值问题后，易得答案．【详解】 解：||y x =为偶函数，y x =为奇函数 ()||f x x x ∴=奇函数当0x 时，2()f x x =为增函数，由奇函数在对称区间上单调性相同可得函数()f x 在R 上增函数 又不等式(2)4()f x t f x +>可化为(2)|2|4||2|2|(2)x t x t x x x x f x ++>==故当[,2]x t t ∈+时，不等式(2)4()f x t f x +>恒成立，即当[,2]x t t ∈+时，不等式22x t x +>恒成立即2x t <恒成立即22t t +<解得2t >故实数t 的取值范围是(2,)+∞故选：A【点睛】本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合应用，恒成立问题，其中分析出函数的单调性并将不等式(2)4()f x t f x +>可化为22x t x +>是解答的关键．13．C解析：C【分析】先解()3f t ≤，再由t 的范围求x 的范围．【详解】0t ≥时，2()03f t t =-≤<满足题意，0t <时，2()23f t t t =+≤，31t -≤≤，∴30t -≤<综上满足()3f t ≤的t 的范围是3t ≥-，下面解不等式()3f x ≥-，0x ≥时，2()3f x x =-≥-，解得x ≤∴0x ≤≤，0x <时，2()23f x x x =+≥-，2(1)20x ++≥，恒成立，∴0x <，综上x ≤故选：C【点睛】思路点睛：本题考查解函数不等式，由于是分段函数，因此需要分类讨论，而原不等式是复合函数形式，因此解题时可把里层()f x 作为一个未知数t （相当于换元），求得()3f t ≥-的解，再由t 的范围求出()f x t =中t 的范围．分类讨论必须牢记，否则易出错．14．B解析：B【分析】根据同一函数的概念及判定方法，分别求得两函数的定义域与对应法则，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，函数()f x =R ，函数2()f x =的定义域为[0,)+∞，两函数的定义域不同，所以不是同一函数；对于B 中，函数,0(),0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩与,0(),0t t g t t t t ≥⎧==⎨-<⎩定义域与对应法则都相同，所以两函数是同一函数；对于C 中，函数()f x =210x -≥，解得1x ≤-或1≥x ，即函数()f x 的定义域为(,1][1,)-∞-+∞，函数()g x =1010x x +≥⎧⎨-≤⎩，解得11x -≤≤，即函数()g x 的定义域为[]1,1-，两函数的定义域不同，所以不是同一函数；对于D 中，函数()1f x x 的定义域为R ，函数2()1x g x x=-的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，两函数的定义域不同，所以不是同一函数.故选：B.【点睛】本题主要考查了同一函数的概念及判定，其中解答中熟记两个函数是同一函数的判定方法是解答得关键，着重考查推理与判定能力，属于基础题.15．B解析：B【解析】对于A ,函数()22y x =-的图象是抛物线，对称轴是x =2，当x <2时是减函数，x >2时是增函数，∴不满足题意； 对于B ,函数1,111,1x x y x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩，∴当1≥x 时，是增函数，x <1时，是减函数，∴满足题意；对于C ,函数11y x =+，当x <−1，x >−1时，函数是减函数，∴不满足题意； 对于D ,函数()21y x =-+的图象是抛物线，对称轴是x =−1，当x >−1时是减函数，x <−1时是增函数，∴不满足题意；故选B.二、填空题16．9【分析】判断自变量的范围根据分段函数的解析式逐步求解即可解答过程要注意避免出现计算错误【详解】由题知故答案为：9【点睛】方法点睛：对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一这类问题的特点是综合性强对解析：9【分析】判断自变量的范围，根据分段函数的解析式，逐步求解即可，解答过程要注意避免出现计算错误.【详解】由题知，()()()2,105,10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩， ()()()()()()()510,555101028f f f f f f f <∴=+==-=，()()()()()()(85)13811321128190,1f f f f f f f +<∴===-==-=， 故答案为：9.【点睛】方法点睛：对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰. 当出现(())f f a 的形式时，应从内到外依次求值．17．【分析】根据已知条件判断函数的奇偶性与单调性作出函数的草图等价于或根据函数图像解不等式【详解】由函数定义域及可知函数为奇函数在上对任意实数都有成立函数在上为增函数又函数为奇函数函数在为增函数又则作出 解析：()()3,01,3- 【分析】根据已知条件判断函数的奇偶性与单调性作出函数的草图，(1)()0x f x -<等价于1()0x f x >⎧⎨<⎩或1()0x f x <⎧⎨>⎩，根据函数图像解不等式. 【详解】由函数()f x 定义域及()()0f x f x ，可知函数()f x 为奇函数，()f x 在(0,)+∞上对任意实数12x x ≠都有1212()(()())0x x f x f x -->成立，∴函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，又函数()f x 为奇函数，∴函数()f x 在(,0)(0,)-∞+∞为增函数，又(3)0f -=，则(3)0f =， 作出函数草图如图所示：(1)()0x f x -<⇒1()0x f x >⎧⎨<⎩或1()0x f x <⎧⎨>⎩，根据()f x 的图像可知(1)()0x f x -<的解为：(3,0)(1,3)-. 故答案为：(3,0)(1,3)-18．【分析】根据的解析式可得为奇函数当时不妨令x>0设根据对勾函数的性质可求得的单调减区间可得的单调增区间综合分析即可得答案【详解】因为定义域为R 所以即在R 上为奇函数根据奇函数的性质可得在y 轴两侧单调性解析：[]22-,【分析】根据()f x 的解析式，可得()f x 为奇函数，当0x ≠时，21()44x f x x x x==++，不妨令x >0，设4()g x x x=+，根据对勾函数的性质，可求得()g x 的单调减区间，可得()f x 的单调增区间，综合分析，即可得答案.【详解】 因为2()4x y f x x ==+，定义域为R ， 所以22()()()44x x f x f x x x ---===--++，即()f x 在R 上为奇函数， 根据奇函数的性质可得，()f x 在y 轴两侧单调性相同，当x =0时，()0y f x ==，当0x ≠时，21()44x f x x x x==++，不妨令x >0，设4()g x x x =+， 根据对勾函数的性质可得，当02x <≤上单调递减，证明如下：在(0,2]上任取12,x x ，且12x x <， 则12121212124444()()()f x f x x x x x x x x x -=+-+=-+-=1212124()x x x x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 因为1202x x <<≤，所以1212120,40,0x x x x x x -<-<>， 所以121212124()()()0x x f x f x x x x x ⎛⎫--=-> ⎪⎝⎭，即12()()f x f x >， 所以4()g x x x=+在(0,2]上为减函数，所以21()44x f x x x x==++在(0,2]上为增函数，当0x +→时，()0f x →，0x -→，()0f x →， 又(0)0f =，所以2()4x f x x =+在[0,2]为增函数 根据奇函数的性质，可得21()44x f x x x x ==++在[2,0)-也为增函数，所以()f x 在 []22-,上为严格增函数， 故答案为：[]22-,【点睛】解题的关键是熟练掌握函数的奇偶性、单调性，并灵活应用，结合对勾函数的性质求解，考查分析理解，计算证明的能力，属中档题.19．【分析】先由题中条件得到讨论四种情况再判断的周期性即可得出结果【详解】由题意当时此时；当时此时；当时此时；当时此时；又所以是以为周期的函数因此的值域为故答案为：【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于 解析：{}0,1,3,4【分析】先由题中条件，得到[][][]()246g x x x x =+-，讨论10,4x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，11,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，13,24x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，3,14x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭四种情况，再判断()g x 的周期性，即可得出结果. 【详解】由题意，[][][][][][][]()2244246g x x x x x x x x =-+-=+-， 当10,4x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，120,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，[)40,1x ∈，此时()0000g x =+-=； 当11,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，12,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，[)41,2x ∈，此时()0101g x =+-=； 当13,24x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，321,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，[)42,3x ∈，此时()1203g x =+-=； 当3,14x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，32,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，[)43,4x ∈，此时()1304g x =+-=； 又[][][][][][](1)224461224466g x x x x x x x +=+++-+=+++--[][][]246()x x x g x =+-=，所以()g x 是以1为周期的函数，因此()g x 的值域为{}0,1,3,4.故答案为：{}0,1,3,4【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据一个单位区间内，x 的不同取值，确定[]x ，[]2x ，[]4x 的不同取值情况，结合函数的周期性，即可求解. 20．（1）图象答案见解析；(2)【分析】(1)利用奇函数图像关于原点对称先作出当时的图像在作出它关于原点的对称图像即可；(2)先用代入法求在的解析式在合并在一起写成分段函数即可【详解】解：(1)图像如图解析：（1）图象答案见解析；(2)(1),0()(1),0x x x f x x x x -≥⎧=⎨+<⎩. 【分析】(1)利用奇函数图像关于原点对称，先作出当0x ≥时，()()1f x x x =-的图像，在作出它关于原点的对称图像即可；(2)先用代入法求()f x 在0x <的解析式，在合并在一起写成分段函数即可．【详解】解：(1) 图像如图示．(2)设0x <，则0x ->，所以()(1())(1)f x x x x x -=---=-+，又因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()()f x f x -=-.所以当0x <，()()1f x x x =+，综上()f x 的解析式为：(1),0()(1),0x x x f x x x x -≥⎧=⎨+<⎩． 【点睛】函数奇偶性的应用：(1) 利用奇偶性求函数值；(2) 利用奇偶性画图像；(3) 利用奇偶性求函数的解析式．21．【分析】根据函数的解析式有意义列出不等式求解即可【详解】因为所以即解得所以函数的定义域为故答案为：【点睛】本题主要考查了给出函数解析式的函数的定义域问题考查了对数函数的性质属于中档题解析：(0,2)【分析】根据函数的解析式有意义列出不等式求解即可.【详解】因为()f x = 所以21log 00x x ->⎧⎨>⎩， 即2log 10x x <⎧⎨>⎩解得02x <<，所以函数的定义域为(0,2),故答案为：(0,2)【点睛】本题主要考查了给出函数解析式的函数的定义域问题，考查了对数函数的性质，属于中档题.22．【分析】先判断函数是增函数于是可把函数不等式转化为自变量的关系进而可得原不等式的解集【详解】当时单调递增且；当时单调递增且所以函数在上单调递增于是等价于则解得故答案为：【点睛】本题考查函数单调性的判 解析：()2,3-【分析】先判断函数()f x 是增函数，于是可把函数不等式转化为自变量的关系，进而可得原不等式的解集.【详解】当1x <时，()f x x =单调递增，且()1f x <；当1≥x 时，31()1f x x x=-+单调递增，且()1f x ≥. 所以函数()f x 在R 上单调递增. 于是()()26f x f x ->-等价于26x x ->-，则260x x --<，()()320x x -+<，解得23x -<<.故答案为：()2,3-.【点睛】本题考查函数单调性的判断与应用.遇到函数不等式问题，要利用单调性转化为自变量的关系再求解.判断分段函数的单调性，一定要关注对分段间隔点处的情况.23．（1）（5）【分析】利用零点存在定理可判断命题（1）的正误根据全称命题的否定可判断命题（2）的正误根据集合的包含关系可判断命题（3）的正误根据充分必要条件可判断命题（4）的正误根据函数的单调性求出参解析：（1）（5）.【分析】利用零点存在定理可判断命题（1）的正误，根据全称命题的否定可判断命题（2）的正误，根据集合的包含关系可判断命题（3）的正误，根据充分必要条件可判断命题（4）的正误，根据函数()y f x =的单调性求出参数a 的取值范围，可判断出命题（5）的正误.【详解】对于命题（1），由零点存在定理可知，该命题正确；对于命题（2），由全称命题的否定可知，该命题不正确，应该是00:0,1x p x e ⌝∃>≤使得；；对于命题（3），空集是任何非空集合的真子集，但不是空集本身的真子集，该命题错误； 对于命题（4），取2a =，3b =-，则a b >，但22a b <，所以，“a b >”不是“22a b >”的充分不必要条件，该命题错误；对于命题（5），由于函数()y f x =在R 上是增函数，则()1230123143a a a a a ⎧+>⎪>⎨⎪≤+⨯-+⎩，解得12a <≤，该命题正确.故答案为（1）（2）（5）.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查零点存在定理、全称命题的否定、集合的包含关系、充分不必要条件的判断以及分段函数单调性，解题时应充分利用这些基础知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握，属于中等题．24．【分析】算出该人从甲地到乙地所用时间和从乙地返回到甲地所用时间即可得到本题函数的定义域将其分为三段再结合各个时间段上该人的运动状态可得汽车离甲地的距离距离（千米）与时间（小时）的函数表达式【详解】根解析：60,0 2.5,150,2.5 3.5,32550,3.5 6.5t t s t t t ≤≤⎧⎪=<<⎨⎪-≤≤⎩【分析】算出该人从甲地到乙地所用时间和从乙地返回到甲地所用时间，即可得到本题函数的定义域，将其分为三段，再结合各个时间段上该人的运动状态，可得汽车离甲地的距离距离s （千米）与时间t （小时）的函数表达式．【详解】根据题意此人运动的过程分为三个时段，当0 2.5t ≤≤时，60s t =；当2.5 3.5t <<时，150s =；当3.5 6.5t ≤≤时，()15050 3.532550t t t =--=-.综上所述，60,0 2.5,150,2.5 3.5,32550,3.5 6.5.t t s t t t ≤≤⎧⎪=<<⎨⎪-≤≤⎩故答案为60,0 2.5,150,2.5 3.5,32550,3.5 6.5.t t s t t t ≤≤⎧⎪=<<⎨⎪-≤≤⎩【点睛】本题考查分段函数应用题，求函数表达式，着重考查基本初等函数的应用和分段函数的理解等知识，属于基础题．25．1【分析】根据题意由函数的奇偶性分析可得进而可得即函数是周期为4的周期函数据此可得（4）（2）即可得答案【详解】根据题意函数是定义在上的偶函数对任意的都有则即函数是周期为4的周期函数故答案为：1【点 解析：1【分析】根据题意，由函数的奇偶性分析可得()(2)f x f x =--，进而可得()(2)(4)f x f x f x =--=-，即函数()f x 是周期为4的周期函数，据此可得(2020)(44504)f f f =+⨯=（4）f =-（2），即可得答案．【详解】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有()(2)f x f x =--，则()(2)f x f x =--，∴()(2)(4)f x f x f x =--=-，即函数()f x 是周期为4的周期函数，(2020)(44504)(4)(2)1f f f f =+⨯==-=，故答案为：1【点睛】本题考查抽象函数的求值，涉及函数的奇偶性、周期性的性质以及应用，注意分析函数的周期．26．【分析】可令得出的值再代入可得答案【详解】解：令得解得故答案为【点睛】本题主要考查已知函数解析式求函数值的问题解析：15【分析】 可令1()2g x =，得出x 的值，再代入可得答案． 【详解】 解：令1()2g x =，得1122x -=，解得14x =． 221511()11164()[()]151124()416f fg -∴====． 故答案为15．【点睛】本题主要考查已知函数解析式求函数值的问题．。
新人教版高中数学必修第一册第三单元《函数概念与性质》测试卷(答案解析)(3)
一、选择题1．已知()f x 是R 上的奇函数，()g x 是R 上的偶函数，且32()()231f x g x x x x +=+++，则(1)(2)f g +=（ ）A ．5B ．6C ．8D ．102．已知定义在0,上的函数()f x ，fx 是()f x 的导函数，满足()()0xf x f x '-<，且()2f ＝2，则()0x x f e e ->的解集是（ ）A ．()20,eB ．()ln2+∞,C ．()ln2-∞,D ．()2e +∞,3．已知定义域为R 的函数()f x 在[2)+∞，上单调递减，且(2)f x +是奇函数，则(1)f 、52f ⎛⎫⎪⎝⎭、(3)f 的大小关系是（ ） A ．5(1)(3)2f f f ⎛⎫<<⎪⎝⎭B ．5(1)(3)2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C ．5(3)(1)2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭D ．5(3)(1)2f f f ⎛⎫<<⎪⎝⎭4．已知()2xf x x =+，[](),M a b a b =<，(){}4,N yy f x x M ==∈∣，则使得MN 的实数对(),a b 有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．已知函数(1)f x +是偶函数，当121x x <<时，()()()21210f x f x x x ⎡⎤-->⎣⎦恒成立，设1,(2),(3)2a f b f c f ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<6．对于实数a 和b ，定义运算“*”：,,,.b a b a b a a b ≤⎧*=⎨>⎩设()f x x =，()224g x x x =--+，则()()()M x f x g x =*的最小值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．设函数()()1xf x x R x=-∈+，区间[,]M a b =，集合{(),}N y y f x x M ==∈，则使MN 成立的实数对(,)a b 有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个8．已知函数()3()log 91xf x x =++，则使得()2311log 10f x x -+-<成立的x 的取值范围是（ ）A ．20,⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞C ．(0,1)D ．(,1)-∞9．已知()f x 是R 上的奇函数，且对x ∈R ，有()()2f x f x +=-，当()0,1x ∈时，()21x f x =-，则()2log 41f =（ ）A ．40B ．2516C ．2341D ．412310．若函数2()|2|f x x a x =+-在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]4,0- B ．(],0-∞C ．(],4-∞-D ．(,4][0,)-∞-+∞11．函数24()|3|3x f x x -=+-是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数12．函数3e e x xxy -=+（其中e 是自然对数的底数）的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．13．已知定义在R 上的函数()f x 满足：（1）(2)()f x f x -=；（2）(2)(2)f x f x +=-；（3）12,[1,3]x x ∈ 时，1212()[()()]0x x f x f x -->．则(2019),(2020),(2021)f f f 的大小关系是（ ）A ．(2021)(2020)(2019)f f f >>B ．(2019)(2020)(2021)f f f >>C ．(2020)(2021)(2019)f f f >>D ．(2020)(2019)(2021)f f f >>14．下列各组函数表示同一函数的是（ ）A ．()f x =2()f x =B ．,0(),0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩与()||g t t =C ．()f x =()g x =．()1f x x 与2()1x g x x=-15．现有下列四个结论中，其中正确结论的个数是（ ）①幂函数()k yx k Q =∈的图象与函数1y x =的图象至少有两个交点；②函数()30xy k k =⋅>（k 为常数）的图象可由函数3xy =的图象经过平移得到；③函数11(0)312xy x x ⎛⎫=+≠⎪-⎝⎭是偶函数； ④函数21lg ||x y x +=无最大值，也无最小值；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题16．函数24xy x =+的严格增区间是_____________. 17．设2,0()1,0x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，则满足()()1 2f x f x +<的实数x 的取值范围是__________.18．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上单调递减，则不等式()()221f x f x ->+的解集是_______.19．已知函数()y f x =是奇函数，当0x <时，2()(R)f x x ax a =+∈，(2)6f =，则a = .20．已知11()x x f x e e x --=-+，则不等式()(63)2f x f x +-≤的解集是________． 21．幂函数()()2231mm f x a x --=-(),a m N ∈为偶函数，且在()0,∞+上是减函数，则a m +=____．22．设函数2()21k f x x x =-+（120191,,1,2,3,,2019k x k k k +⎡⎤∈-=⎢⎥⎣⎦）的值域依次是1232019,,,,A A A A ，则1232019A A A A ⋂⋂⋂⋂=__________.23．已知函数()31x xx a ef x e -++=+是奇函数，则a =__________. 24．已知函数()h x ,()g x (()0g x ≠)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当0x <时,()()()()0h x g x h x g x ''-<,且()10h -=.若()()0h a g a <,则a 的取值范围为__________. 25．已知()f x 是奇函数，且当0x <时，2()32f x x x =++，若当[1x ∈，3]时，()n f x m 恒成立，则m n -的最小值为___.26．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 的导函数为()f x '，若对于任意0x >都有()()3f x f x x '<，且()44f =，则不等式()31016f x x -<的解集为________.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先由()f x 是R 上的奇函数，()g x 是R 上的偶函数，且32()()231f x g x x x x +=+++，得到32()()231f x g x x x x -+-=-+-+，求出()f x 和()g x ，再求(1)(2)f g +【详解】因为32()()231f x g x x x x +=+++，所以32()()231f x g x x x x -+-=-+-+.又()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，所以32()()231f x g x x x x -+=-+-+，则32()23,()1f x x x g x x =+=+，故(1)(2)5510f g +=+=.故选：D 【点睛】 函数奇偶性的应用:(1)一般用()()f x f x =-或()()f x f x =-;(2)有时为了计算简便,我们可以对x 取特殊值: (1)(1)f f =-或(1)(1)f f =-.2．C解析：C 【分析】由导数公式得出2()()()0f x xf x f x x x ''-⎡⎤=<⎢⎥⎣⎦，从而得出函数()f x x 的单调性，将不等式()0xxf e e ->可化为()(2)2x xf e f e >，利用单调性解不等式即可.【详解】因为2()()()0f x xf x f x x x ''-⎡⎤=<⎢⎥⎣⎦，所以函数()f x x 在区间0,上单调递减不等式()0xxf e e->可化为()(2)2x xf e f e >，即2xe <，解得ln 2x <故选：C 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是由导数公式得出函数()f x x的单调性，利用单调性解不等式. 3．D解析：D 【分析】根据函数(2)f x +是奇函数和在[2)+∞，上单调递减，得到()f x 在R 连续且单调递减可得答案. 【详解】因为(2)f x +是奇函数，所以()f x 的图象关于(2,0)对称，且在[2)+∞，上单调递减，所以()f x 在(,2)-∞单调递减， 又因为()f x 定义域为R ，所以(2)0f =，所以()f x 在R 连续且单调递减，由于5132<<，所以5(3)()(1)2f f f <<.故选：D. 【点睛】本题考查了抽象函数的单调性和奇偶性，解题的关键点是由题意分析出()f x 在R 连续且单调递减，考查了学生分析问题、解决问题的能力.4．D解析：D 【分析】 先判断函数()2xf x x =+是奇函数，且在R 上单调递增；根据题中条件，得到()()44f a a f b b a b ⎧=⎪=⎨⎪<⎩，求解，即可得出结果. 【详解】 因为()2xf x x =+的定义域为R ，显然定义域关于原点对称， 又()()22x xf x f x x x --==-=--++， 所以()f x 是奇函数，当0x ≥时，()21222x x f x x x x ===-+++显然单调递增；所以当0x <时，()2xf x x =-+也单调递增； 又()00f =，所以函数()2xf x x =+是连续函数； 因此()2xf x x =+在R上单调递增； 当[],x M a b ∈=时，()()()44,4y f x f a f b =∈⎡⎤⎣⎦，因为(){}4,N yy f x x M ==∈∣， 所以为使M N ，必有()()44f a af b b a b ⎧=⎪=⎨⎪<⎩，即4242aa ab b b a b⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪<⎪⎩，解得22a b =-⎧⎨=⎩或20a b =-⎧⎨=⎩或2a b =⎧⎨=⎩， 即使得M N 的实数对(),a b 有()2,2-，()2,0-，()0,2，共3对.故选：D. 【点睛】 关键点点睛：求解本题的关键在于先根据函数解析式，判断函数()f x 是奇函数，且在R 上单调递增，得出[],x M a b ∈=时，()4y f x =的值域，列出方程，即可求解.5．A解析：A 【分析】由题知函数()f x 图象关于直线1x =对称，在区间()1,+∞上单调递增，故15(2)(3)22b f a f f c f ⎛⎫⎛⎫=<=-=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以b a c <<.【详解】解：因为当121x x <<时，()()()21210f x f x x x ⎡⎤-->⎣⎦恒成立， 所以函数()f x 在区间()1,+∞上单调递增，由于函数(1)f x +是偶函数，故函数(1)f x +图象关于y 轴对称，所以函数()f x 图象关于直线1x =对称， 所以1522a f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由于5232<<，函数()f x 在区间()1,+∞上单调递增， 所以15(2)(3)22b f a f f c f ⎛⎫⎛⎫=<=-=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A. 【点睛】本题解题的关键在于根据题意得函数()f x 图象关于直线1x =对称，在区间()1,+∞上单调递增，再结合函数对称性与单调性比较大小即可，考查化归转化思想与数学运算求解能力，是中档题.6．B解析：B 【分析】由题意可得()()()()()()()()()g x f x g x M x f x g x f x f x g x ⎧≤⎪=*=⎨>⎪⎩，通过解不等式得出()()2241,x x x M x x x ⎧⎤--+∈⎪⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎪∈-∞⋃+∞ ⎪ ⎝⎭⎩，作出函数()M x 的图象，根据函数图象可得答案. 【详解】由条件有()()()()()()()()()g x f x g x M x f x g x f x f x g x ⎧≤⎪=*=⎨>⎪⎩当0x ≥时，()224g x x x x =--+≥，得到01x ≤≤， 即01x ≤<时，()()f x g x <，当1x >时，()()f x g x > 当0x <时，()224g x x x x =--+≤-，得12x -≤即当12x -≤时，()()f x g x >，当102x -<<时，()()f x g x <所以()()211724,12117,1,2x x x M x x x ⎧⎡⎤----+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎫--⎪∈-∞⋃+∞ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩作出函数()M x 的图象，如图所示，由图可得，当1x =时，()M x 有最小值1 故选：B7．A解析：A 【分析】由已知中函数()()1||xf x x R x =-∈+，我们可以判断出函数的奇偶性及单调性，再由区间[M a =，]()b a b <，集合{|()N y y f x ==，}x M ∈，我们可以构造满足条件的关于a ，b 的方程组，解方程组，即可得到答案．【详解】x R ∈，()()1xf x f x x-==-+，()f x ∴为奇函数， 0x 时，1()111x f x x x -==-++，0x <时，1()111x f x x x-==--- ()f x ∴在R 上单调递减函数在区间[a ，]b 上的值域也为[a ，]b ，则()(),f a b f b a ==， 即1a b a -=+，1ba b-=+，解得0a =，0b = a b <，使M N 成立的实数对(,)a b 有0对 故选：A 【点睛】本题考查的知识点是集合相等，函数奇偶性与单调性的综合应用，其中根据函数的性质，构造出满足条件的关于a ，b 的方程组，是解答本题的关键．8．C解析：C 【分析】令21t x x =-+，则3()1log 10f t -<，从而33log (91)1log 10tt ++-<，即可得到133log (91)log (91)1t t ++<++，然后构造函数3()log (91)t g t t =++，利用导数判断其单调性，进而可得23114x x ≤-+<，解不等式可得答案 【详解】令21t x x =-+，则221331()244t x x x =-+=-+≥， 3()1log 10f t -<，所以33log (91)1log 10tt ++-<， 所以133log (91)log (91)1t t ++<++，令3()log (91)tg t t =++，则9ln 929'()11(91)ln 391t tt t g t ⨯=+=+++，所以90t >，所以'()0g t >， 所以()g t 在3[,)4+∞单调递增， 所以由()(1)g t g <，得314t ≤<， 所以23114x x ≤-+<，解得01x <<， 故选：C 【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查函数单调性的应用，解题的关键是换元后对不等式变形得133log (91)log (91)1t t ++<++，再构造函数3()log (91)tg t t =++，利用函数的单调性解不等式.9．C解析：C 【分析】由已知得(4)()f x f x +=，由对数函数性质估计出2log 41(5,6)∈，然后利用已知条件把自变量变小为2log 416(1,0)-∈-，再由奇函数定义可求得函数值． 【详解】25log 416<<，()()()()()2222f x f x f x f x f x +=-⇒++=-+=⎡⎤⎣⎦，故()()()()2222log 41log 414log 4166log 41f f f f =-=--=-.∵()26log 410,1-∈，故()26log 41264236log 412114141f --=-=-=. 故选：C ． 【点睛】本题考查求函数值，方法是由已知条件得出函数的周期性，利用周期性和已知等式把函数自变量变小到(1,0)-上，然后由奇函数定义变到(0,1)上，从而由已知解析式求得函数值．10．A解析：A 【分析】将()f x 写成分段函数的形式，根据单调性先分析每一段函数需要满足的条件，同时注意分段点处函数值关系，由此求解出a 的取值范围. 【详解】因为2()|2|f x x a x =+-，所以222,2()2,2x ax a x f x x ax a x ⎧+-≥=⎨-+<⎩， 当()212f x x ax a =+-在[)2,+∞上单调递增时，22a-≤，所以4a ≥-， 当()222f x x ax a =-+在()0,2上单调递增时，02a≤，所以0a ≤， 且()()12224f f ==，所以[]4,0a ∈-， 故选：A. 【点睛】思路点睛：根据分段函数单调性求解参数范围的步骤： （1）先分析每一段函数的单调性并确定出参数的初步范围； （2）根据单调性确定出分段点处函数值的大小关系； （3）结合（1）（2）求解出参数的最终范围.11．A解析：A 【分析】首先求出函数的定义域，然后利用奇偶性定义判断即可. 【详解】解：因为()f x =所以240330x x ⎧-≥⎪⎨+-≠⎪⎩解得22x -≤≤且0x ≠，故函数的定义域为[)(]2,00,2-，定义域关于原点对称，所以()f x x=，[)(]2,00,2x ∈-,又()()f x f x x-==-=-所以函数为奇函数； 故选：A 【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断，判断函数的奇偶性按照两步：①求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称；②计算()f x -判断与()f x 之间的关系；12．A解析：A 【分析】由函数的奇偶性排除B ；由0x >的函数值，排除C ；由当x →+∞时的函数值，确定答案. 【详解】由题得函数的定义域为R ,因为3()()x xxf x f x e e---==-+，所以函数是奇函数，所以排除B ； 当0x >时，()0f x >，所以排除C ；当x →+∞时，()0f x →，所以选A . 故选：A 【点睛】方法点睛：根据函数的解析式找图象，一般先找图象的差异，再用解析式验证得解.13．B解析：B 【分析】根据已知可得函数()f x 的图象关于直线1x =对称，周期为4，且在[]1,3上为增函数，得出()()20193f f =，()()()202002f f f ==，()()20211f f =，根据单调性即可比较(2019),(2020),(2021)f f f 的大小． 【详解】解：∵函数()f x 满足：(2)()f x f x -=，故函数的图象关于直线1x =对称；(2)(2)f x f x +=-，则()()4f x f x +=，故函数的周期为4；12,[1,3]x x ∈ 时，1212()[()()]0x x f x f x -->，故函数在[]1,3上为增函数；故()()20193f f =，()()()202002f f f ==，()()20211f f =， 而()()()321f f f >>，所以(2019)(2020)(2021)f f f >>. 故选：B.【点睛】本题考查函数的基本性质的应用，考查函数的对称性、周期性和利用函数的单调性比较大小，考查化简能力和转化思想．14．B解析：B 【分析】根据同一函数的概念及判定方法，分别求得两函数的定义域与对应法则，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A 中，函数()f x =R ，函数2()f x =的定义域为[0,)+∞，两函数的定义域不同，所以不是同一函数； 对于B 中，函数,0(),0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩与,0(),0t t g t t t t ≥⎧==⎨-<⎩定义域与对应法则都相同，所以两函数是同一函数；对于C 中，函数()f x =210x -≥，解得1x ≤-或1≥x ，即函数()f x 的定义域为(,1][1,)-∞-+∞，函数()g x =1010x x +≥⎧⎨-≤⎩，解得11x -≤≤，即函数()g x 的定义域为[]1,1-，两函数的定义域不同，所以不是同一函数； 对于D 中，函数()1f x x 的定义域为R ，函数2()1x g x x=-的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，两函数的定义域不同，所以不是同一函数. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了同一函数的概念及判定，其中解答中熟记两个函数是同一函数的判定方法是解答得关键，着重考查推理与判定能力，属于基础题.15．A解析：A 【分析】①举反例说明命题为假；②应该是伸缩变换，可以判断出命题为假；③由奇偶函数的定义判断处函数为偶函数，可得命题为真； ④将函数变形，由均值不等式的性质可得最小值，可得命题为假． 【详解】解：①取幂函数2y x ，显然与1y x=仅有一个交点，所以①不正确；②函数()30xy k k =⋅>（k 为常数）的图象可由函数3xy =的图象经过伸缩得到，所以②不正确；③设()y f x =，由()()()3111,0312231xxxx f x x x +⎛⎫=+=≠ ⎪--⎝⎭，定义域关于原点对称， 则()()()()()()3131231231x x xxx x f x f x ---++-===--，()f x ∴是偶函数，故③正确；④函数215lg lg ||||||x y x x x ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭，而lg y u =在定义域上单调递增，所以函数21lg ||x y x +=有最小值无最大值，所以④不正确． 故选：A ． 【点睛】本题考查指对幂函数的性质，属于基础题.二、填空题16．【分析】根据的解析式可得为奇函数当时不妨令x>0设根据对勾函数的性质可求得的单调减区间可得的单调增区间综合分析即可得答案【详解】因为定义域为R 所以即在R 上为奇函数根据奇函数的性质可得在y 轴两侧单调性解析：[]22-,【分析】根据()f x 的解析式，可得()f x 为奇函数，当0x ≠时，21()44x f x x x x==++，不妨令x >0，设4()g x x x=+，根据对勾函数的性质，可求得()g x 的单调减区间，可得()f x 的单调增区间，综合分析，即可得答案. 【详解】因为2()4xy f x x ==+，定义域为R ， 所以22()()()44x xf x f x x x ---===--++，即()f x 在R 上为奇函数， 根据奇函数的性质可得，()f x 在y 轴两侧单调性相同， 当x =0时，()0y f x ==，当0x ≠时，21()44x f x x x x==++，不妨令x >0，设4()g x x x=+， 根据对勾函数的性质可得，当02x <≤上单调递减，证明如下： 在(0,2]上任取12,x x ，且12x x <， 则12121212124444()()()f x f x x x x x x x x x -=+-+=-+-=1212124()x x x x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 因为1202x x <<≤，所以1212120,40,0x x x x x x -<-<>，所以121212124()()()0x x f x f x x x x x ⎛⎫--=->⎪⎝⎭，即12()()f x f x >， 所以4()g x x x=+在(0,2]上为减函数， 所以21()44x f x x x x==++在(0,2]上为增函数，当0x +→时，()0f x →，0x -→，()0f x →，又(0)0f =，所以2()4xf x x =+在[0,2]为增函数 根据奇函数的性质，可得21()44x f x x x x==++在[2,0)-也为增函数，所以()f x 在 []22-,上为严格增函数， 故答案为：[]22-,【点睛】解题的关键是熟练掌握函数的奇偶性、单调性，并灵活应用，结合对勾函数的性质求解，考查分析理解，计算证明的能力，属中档题.17．【分析】画出图像结合图像判断题出函数的单调性即可求解【详解】作出函数的图像如图满足解得故答案为：【点睛】方法点睛：该不等式的求解利用的是函数的单调性用数形结合法解决更为直观 解析：(),0-∞【分析】画出2,0()1,0x x f x x -⎧≤=⎨>⎩图像,结合图像判断题出函数的单调性,即可求解(1)(2)f x f x +<.【详解】作出函数2,0()1,0x x f x x -⎧≤=⎨>⎩的图像如图，满足(1)(2)f x f x +<2021x x x <⎧∴⎨<+⎩，解得0x <. 故答案为：(),0-∞. 【点睛】方法点睛：该不等式的求解利用的是函数的单调性，用数形结合法解决更为直观.18．【分析】利用偶函数关于轴对称又由在上单调递减将不等式转化为即可解得的解集【详解】函数是定义域为的偶函数可转化为又在上单调递减两边平方得：解得故的解集为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数奇解析：133x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣ 【分析】利用偶函数关于y 轴对称，又由()f x 在[0,)+∞上单调递减，将不等式()()221f x f x ->+转化为22+1x x -< ，即可解得()()221f x f x ->+的解集．【详解】函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，∴()()221f x f x ->+可转化为(22)(+1)f x f x ->，又()f x 在[0,)+∞上单调递减，∴ (22)(1)221f x f x x x ->+⇔-<+，两边平方得：231030x x -+< 解得133x << ， 故()()221f x f x ->+的解集为133xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣．故答案为：133xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣ 【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合运用，根据函数奇偶性和单调之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键，即()()221f x f x ->+可转化为(22)(+1)f x f x ->，属于中档题．19．5【分析】先根据函数的奇偶性求出的值然后将代入小于0的解析式建立等量关系解之即可【详解】函数是奇函数而则将代入小于0的解析式得解得故答案为5解析：5 【分析】先根据函数的奇偶性求出(2)f -的值,然后将2x =-代入小于0的解析式,建立等量关系,解之即可. 【详解】∴函数()y f x =是奇函数,()()f x f x ∴-=-,而(2)6f =,则(2)(2)6f f -=-=-, 将2x =-代入小于0的解析式得(2)426f a -=-=-,解得5a =, 故答案为5.20．【分析】先构造函数得到关于对称且单调递增再结合对称性与单调性将不等式转化为即可求解【详解】构造函数那么是单调递增函数且向左移动一个单位得到的定义域为且所以为奇函数图象关于原点对称所以图象关于对称不等 解析：[2,)+∞【分析】先构造函数111()()1(1)x x g x f x e x e --=-=-+-，得到()g x 关于(1,0)对称，且单调递增，再结合对称性与单调性将不等式()(63)2f x f x +- 转化为34x x -即可求解． 【详解】构造函数111()()1(1)x x g x f x e x e--=-=-+-，那么()g x 是单调递增函数，且向左移动一个单位得到1()(1)xxh x g x e x e =+=-+， ()h x 的定义域为R ，且1()()xxh x e x h x e -=--=-， 所以()h x 为奇函数，图象关于原点对称，所以()g x 图象关于(1,0)对称．不等式()(63)2f x f x +- 等价于()1(63)10f x f x -+--， 等价于()(63)0()[2(63)](34)g x g x g x g x g x +-∴--=-，结合()g x 单调递增可知342x x x -∴， 所以不等式()(63)2f x f x +- 的解集是[2，)+∞． 故答案为：[2，)+∞． 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，考查函数的对称性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21．3【分析】由幂函数为偶函数且在（0+∞）上是单调递减函数可得m2-2m-3＜0且m2-2m-3为偶数m ∈Z 且解出即可【详解】∵幂函数为偶函数且在上是减函数∴且为偶数且解得12且只有时满足为偶数∴故答解析：3 【分析】由幂函数()()2231mm f x a x --=-(),a m N ∈为偶函数，且在（0，+∞）上是单调递减函数，可得m 2-2m -3＜0，且m 2-2m -3为偶数，m ∈Z ，且1=1a -．解出即可． 【详解】∵幂函数()()2231mm f x a x --=-(),a m N ∈为偶函数，且在()0,∞+上是减函数，∴2230m m --<，且223m m --为偶数，m N ∈，且1=1a -. 解得13m -<<，0m =，1，2， 且=2a ,只有1m =时满足223=4m m ---为偶数. ∴1m =.3a m +=故答案为：3. 【点睛】本题考查幂函数的性质，根据幂函数性质求参数值，可根据幂函数性质列不等式和等式，求解即可，属于基础题.22．【分析】求出二次函数的对称轴判断函数的最小值与最大值然后求解值域的交集即可【详解】函数的对称轴为开口向上所以函数的最小值为函数（）的值域依次是它们的最小值都是函数值域中的最大值为：当即时此时所以值域解析：2220190,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】求出二次函数的对称轴，判断函数的最小值与最大值，然后求解值域的交集即可. 【详解】函数()221k f x x x =-+的对称轴为1x =，开口向上，所以函数的最小值为()10f =，函数2()21k f x x x =-+（120191,,1,2,3,,2019k x k k k +⎡⎤∈-=⎢⎥⎣⎦）的值域依次是1232019,,,,A A A A ，它们的最小值都是0，函数值域中的最大值为：当12019111k k k +⎛⎫--=-⎪⎝⎭，即1010k =时，此时111010x =-， 所以，值域中的最大值中的最小值为22112019111101010101010f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，212320192010220190,1010A A A A A ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦. 故答案为：2220190,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查二次函数的性质，函数的最值，考查分析问题解决问题的能力，涉及集合的交集计算，属于基础题．23．【分析】利用奇函数的定义进行计算即可【详解】由函数是奇函数可知恒成立即解得故答案为：【点睛】本题考查函数奇偶性定义的应用属于基础题 解析：1-【分析】利用奇函数的定义()()0f x f x -+=进行计算即可. 【详解】由函数()31x xx a e f x e -++=+是奇函数可知()()0f x f x -+=恒成立， 即3311x x x x x a x a e e e e---+++++++220x x a e e -+==+，解得1a =-.故答案为：1- 【点睛】本题考查函数奇偶性定义的应用，属于基础题.24．【分析】令根据当时可得因此函数在时单调递减又为奇函数由于可得即可求得答案【详解】①令当时函数在时单调递减；的解集为②函数()分别是定义在上的奇函数和偶函数是上的奇函数当时的解集为综上所述不等式的解集 解析：()()1,01,-⋃+∞【分析】 令()()()h x F x g x =,根据当0x <时, ()()()()0h x g x h x g x ''-<可得()0F x '<,因此函数()F x 在0x <时单调递减,又()F x 为奇函数,由于()10h -=,可得(1)(1)0F F -==,即可求得答案. 【详解】 ①令()()()h x F x g x =. 当0x <时, ()()()()0h x g x h x g x ''-<,∴()()()()2()()0h x g x h F x g x x g x '=''-<∴函数()F x 在0x <时单调递减；()10h -=,(1)(1)0F F ∴-==∴()0F a <的解集为()1,0-②函数()h x ,()g x (()0g x ≠)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数∴()()()()()()h x h x F x F x g x g x --==-=-- ∴()F x 是R 上的奇函数,∴当0x >时,()0F a <的解集为(1,)+∞综上所述,不等式()()0h a g a <的解集为:()()1,01,-⋃+∞. 故答案为:()()1,01,-⋃+∞. 【点睛】本题主要考查了根据函数单调性和奇偶性解不等式,解题关键是掌握根据题意构造函数的方法和由导数判断函数单调性的解题方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.25．【分析】先利用二次函数的性质得到函数在区间上的最值然后根据是奇函数得到时的最值然后根据恒成立求解【详解】当时当时函数在上是减函数在上是增函数所以在上的最小值为最大值为所以当时又是奇函数当时即因为当时解析：94【分析】先利用二次函数2()32f x x x =++的性质，得到函数在区间[3-，1]-上的最值，然后根据()f x 是奇函数，得到[1x ∈，3]时的最值，然后根据()n f x m 恒成立求解. 【详解】当0x <时，2()32f x x x =++，∴当[3x ∈-，1]-时，函数在[3-，3]2-上是减函数，在3[2-，1]-上是增函数，所以()f x 在[3-，1]-上的最小值为23331()()322224f ⎛⎫-=-+⨯-+=- ⎪⎝⎭， 最大值为2(3)(3)3322f -=--⨯+=， 所以当[3x ∈-，1]-时，1()24f x - 又()y f x =是奇函数，∴当13x ，时1()()[,2]4f x f x -=-∈-即12()4f x - 因为当[1x ∈，3]时，()n f x m 恒成立 所以区间[2-，1][4n ⊆，]m ， 所以19(2)44m n ---= 故答案为：94【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、二次函数在闭区间上的最值和函数恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.26．【分析】设函数利用导数结合可得在上单调递减将化为可解得结果【详解】即为设函数则所以在上单调递减又因为所以不等式可化为即所以故解集为故答案为：【点睛】本题考查了构造函数利用导数判断单调性考查了利用函数 解析：()4,+∞【分析】 设函数()()3f xg x x=，利用导数结合()()3f x f x x '<可得()g x 在()0,∞+上单调递减，将()31016f x x -<化为()()4g x g <可解得结果. 【详解】()()3f x f x x '<即为()()30xf x f x '-<，设函数()()3f x g x x=， 则()()()()()3264330f x x f x x xf x f x g x x x''⋅-⋅-'==<，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，又因为()44f =，所以()()3414416f g ==，不等式()31016f x x -<可化为() 31 16f x x <，即()()4g x g<，所以4x>，故解集为()4,+∞.故答案为：()4,+∞.【点睛】本题考查了构造函数，利用导数判断单调性，考查了利用函数的单调性解不等式，属于中档题.。
最新人教版高中数学必修第一册第三单元《函数概念与性质》测试卷(含答案解析)(2)
一、选择题1．已知()f x 是R 上的奇函数，()g x 是R 上的偶函数，且32()()231f x g x x x x +=+++，则(1)(2)f g +=（ ）A ．5B ．6C ．8D ．102．已知m R ∈，若函数()||x m f x e +=对任意x ∈R 满足()()20212120f x f x -=-，则不等式()1ln ln 2f x f e x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集是（ ） A ．[)1,,e e⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦B ．1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[)10,,e e⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦D ．[),e +∞3．已知函数()1f x +是偶函数，当121x x <<时，()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2b f =，()3c f =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．c b a << C ．b c a << D ．a b c <<4．已知0.31()2a =，12log 0.3b =，0.30.3c =，则a b c ，，的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<5．设函数21,2()7,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若互不相等的实数a ，b ，c 满足()()()f a f b f c ==，则222a b c ++的取值范围是（ ） A ．()8,9B ．()65,129C ．()64,128D ．()66,1306．已知函数2()f x x bx c =++，且(2)()f x f x +=-，则下列不等式中成立的是（ ） A ．(4)(0)(4)f f f -<< B ．(0)(4)(4)f f f <-< C ．(0)(4)(4)f f f <<-D ．(4)(0)(4)f f f <<-7．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4等于（ ） A ．－6 B ．6 C ．－8 D ．88．函数()ln x xxf x e e-=-的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．9．给出定义：若1122m x m -<≤+（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}{},x x m =即．在此基础上给出下列关于函数的四个命题：①11()22f -=；②(3.4)0.4f =-；③11()()44f f -<；④()y f x =的定义域是R ，值域是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；则其中真命题的序号是 （ ） A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案10．定义在[]1,1-的函数()f x 满足下列两个条件：①任意的[1,1]x ∈-都有()()f x f x -=-；②任意的,[0,1]m n ∈，当m n ≠，都有()()0f m f n m n-<-，则不等式(12)(1)0f x f x -+-<的解集是（ ）A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．12,23⎛⎤⎥⎝⎦C ．11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭11．已知函数3()201920191x x f x x -=-++，则关于x 的不等式(21)(2)2f x f x -+>的解集为（ ） A ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭12．已知函数()()2lg 1f x x x =-+，若函数()f x 在开区间()(),1t t t +∈R 上恒有最小值，则实数t 的取值范围为（ ）．A ．3111,,2222⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．1113,,2222⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭13．已知函数()22x f x =-，则函数()y f x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．14．设函数1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则下列结论正确的是（ ）A ．()D x 的值域为[0,1]B ．()D x 是偶函数C ．()(3.14)D D π>D ．()D x 是单调函数15．已知定义在R 上的函数()f x 满足：（1）(2)()f x f x -=；（2）(2)(2)f x f x +=-；（3）12,[1,3]x x ∈ 时，1212()[()()]0x x f x f x -->．则(2019),(2020),(2021)f f f 的大小关系是（ ）A ．(2021)(2020)(2019)f f f >>B ．(2019)(2020)(2021)f f f >>C ．(2020)(2021)(2019)f f f >>D ．(2020)(2019)(2021)f f f >>二、填空题16．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足：()()4f x f x +=-，对1x ∀，2[0,2]x ∈，当12x x ≠时，()()12120f x f x x x -<-，且()10f =，则不等式()0f x >在[2019,2023]上的解集为______． 17．已知函数()()1502f x x x x =+->，则()f x 的递减区间是____. 18．设211()2,21xx f x x x=+-∈+R ，则使得(32)(2)f x f x -<成立的x 的取值范围为____________________.19．已知函数12()log f x x a =+，g （x ）＝x 2-2x ，若11[,2]4x ∀∈，2[1,2]x ∃∈-，使得f（x 1）＝g （x 2），则实数a 的取值范围是________． 20．以下结论正确的是____________（1）如果函数()y f x =在区间(,)a b 上是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点；（2）命题:0,1xp x e ∀>>都有，则00:0,1x p x e⌝∃≤≤使得；（3）空集是任何集合的真子集； （4）“a b >”是“22a b >的充分不必要条件”（5）已知函数(23)43,1(),1xa x a x f x a x +-+≥⎧=⎨<⎩在定义域上是增函数，则实数a 的取值范围是(1,2]21．设函数2()21k f x x x =-+（120191,,1,2,3,,2019k x k k k +⎡⎤∈-=⎢⎥⎣⎦）的值域依次是1232019,,,,A A A A ，则1232019A A A A ⋂⋂⋂⋂=__________.22．已知函数()f x =ln 2x x +,则()232f x -<的解集为_____.23．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()21f =-，对任意的x ∈R 都有()()2f x f x =--，则()2020f =_________.24．设函数()()21ln 11f x x x=+-+，则使得()()12f x f x >-成立的x 的取值范围为_____________. 25．已知函数1()22xxf x =-，则满足()()2560f x x f -+>的实数x 的取值范围是________. 26．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 的导函数为()f x '，若对于任意0x >都有()()3f x f x x '<，且()44f =，则不等式()31016f x x -<的解集为________.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先由()f x 是R 上的奇函数，()g x 是R 上的偶函数，且32()()231f x g x x x x +=+++，得到32()()231f x g x x x x -+-=-+-+，求出()f x 和()g x ，再求(1)(2)f g +【详解】因为32()()231f x g x x x x +=+++，所以32()()231f x g x x x x -+-=-+-+.又()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，所以32()()231f x g x x x x -+=-+-+，则32()23,()1f x x x g x x =+=+，故(1)(2)5510f g +=+=.故选：D【点睛】 函数奇偶性的应用:(1)一般用()()f x f x =-或()()f x f x =-;(2)有时为了计算简便,我们可以对x 取特殊值: (1)(1)f f =-或(1)(1)f f =-.2．C解析：C 【分析】先判断函数为偶函数，根据奇偶性求得0m =，将原不等式化为ln x e e ≥，等价于ln 1x ≥，进而可得答案.【详解】设2021x t -=，()()()()20212120f x f x f t f t -=-⇒=-， 所以()||x m f x e+=是偶函数，则||||x m x m e e +-+=恒成立，即()()2240x m x m x m x m mx +=-+⇔+=-+⇔=对任意x ∈R 恒成立， 所以0m =⇒()||x f x e =，因为11lnln ln x x x-==-， 所以()1ln ln 2f x f e x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭即为()()ln ln 2f x f x e +-≥，()()ln 2ln 2ln xf x e f x e ee ≥⇒≥⇒≥，因为xy e =为增函数，所以可得ln 1x ≥，则ln 1x ≥或ln 1x ≤-， 解得x e ≥或10x e <≤， 即不等式()1ln ln 2f x f e x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集是[)10,,e e ⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦，故选：C. 【点睛】方法点睛：已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由()()+0f x f x -= 恒成立求解，（2）偶函数由()()0f x f x --= 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由()00f = 求解，偶函数一般由()()110f f --=求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.3．A解析：A 【分析】推导出函数()f x 为()1,+∞上的增函数，且有()()11f x f x +=-，可得出52a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，进而可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】当121x x <<时，()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，则()()21f x f x >， 所以，函数()f x 为()1,+∞上的增函数， 由于函数()1f x +是偶函数，可得()()11f x f x +=-，1335112222a f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，53212>>>，因此，b a c <<. 故选：A. 【点睛】 思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个： （1）判断各个数值所在的区间； （2）利用函数的单调性直接解答.4．B解析：B 【分析】由指数函数的性质可得112a <<，由对数函数的性质可得1b >，由幂函数的性质可得0.30.310.32⎛⎫< ⎪⎝⎭，从而可得结果.【详解】∵0.31()2a =，12log 0.3b = 0.30.3c =∴10.3111112222a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<=<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 11221log 0.3log 12b =>=， 0.30.310.32c ⎛⎫=< ⎪⎝⎭,∴c a b << 故选：B 【点睛】方法点睛：解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.5．D解析：D 【分析】画出函数()f x 的图象，不妨令a b c <<，则222a b +=．结合图象可得67c <<，从而可得结果． 【详解】画出函数()f x 的图象如图所示．不妨令a b c <<，则1221a b -=-，则222a b +=． 结合图象可得67c <<，故67222c <<． ∴66222130a b c <++<． 故选：D ． 【点睛】数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有： 确定方程根的个数； 求参数的取值范围； 求不等式的解集； 研究函数性质．6．C解析：C 【分析】由(2)()f x f x +=-，即可得到()f x 图象的对称轴为1x =，所以根据图象上的点离对称轴的距离即可比较出(0),(4),(4)f f f -的大小关系. 【详解】由(2)()f x f x +=-得()f x 图象的对称轴为1x =，所以()f x 在(,1]-∞上单调递减，在[1,)+∞上单调递增，且(4)(2)f f =-， 所以(0)(2)(4)(4)f f f f <-=<-， 故选：C. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数值的比较大小的问题，解题方法如下：（1）首先根据题中所给的函数解析式，判断函数类型，根据题中所给的条件，判断出函数图象的对称轴；（2）利用对称性，将自变量所对应的函数值进行转换； （3）根据函数的单调性求得结果.7．C解析：C 【分析】由奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )可推出周期为8，对称轴为2x =，画出函数大致图象，由图象分析f (x )＝m 的根的分布情况即可 【详解】f (x )在R 上是奇函数，所以f (x －4)＝－f (x )＝f (－x )，令4x x =-得()()8f x f x -=，故()f x 周期为8，即()()()4(4)x f f x f f x x =+==--－，即()()4f x f x -=，函数对称轴为2x =，画出大致图象，如图：由图可知，两个根关于6x =-对称，两个根关于2x =对称，设1234x x x x <<<， 则12346212224x x x x +=-⨯=-+=⨯=,，故12348x x x x +++=-， 故选：C 【点睛】结论点睛：本题考查由函数的奇偶性，周期性，对称性求根的分布问题，常用以下结论： （1）()()()()1f x f x a f x f x a =-+=±+,，则()f x 的周期为2T a =；（2）()()2f x f a x =-，则函数的对称轴为x a =.8．C解析：C 【分析】结合选项中函数图象的特征，利用函数的性质，采用排除法求解即可.【详解】由题可知，函数()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，()()ln ln x x x xx xf x f x e e e e----==-=---， 所以函数()f x 为奇函数，所以排除选项BD ；又()10f =，所以排除选项A. 故选:C. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.9．B解析：B 【解析】111()(1)222f -=---= ；111()(0)444f -=--=-，111()(0)444f =-=，所以11()()44f f -<； (3.4) 3.430.4f =-=；()y f x = 的定义域是R ，值域是11(,]22- ，所以选B.点睛：解决新定义问题，关键是明确定义含义，正确运用定义进行运算.对于抽象的概念，可先列举一些具体的数值进行理解与归纳.本题易错点在区间端点是否可取上，难点在于整数的确定.10．D解析：D 【分析】根据题意先判断函数()f x 的奇偶性与单调性，然后将不等式变形得(12)(1)f x f x -<-，再利用单调性和定义域列出关于x 的不等式求解. 【详解】根据题意，由①知函数()f x 为奇函数，由②知函数()f x 在[0,1]上为减函数，所以可得函数()f x 在[]1,1-是奇函数也是减函数，所以不等式(12)(1)0f x f x -+-<，移项得(12)(1)f x f x -<--，变形(12)(1)f x f x -<-，所以11121x x -≤-<-≤，得203x ≤<. 故选：D. 【点睛】 本题考查的是函数单调性与奇偶性的综合问题，需要注意：（1）判断奇偶性：奇函数满足()()f x f x -=-；偶函数满足()()f x f x -=；（2）判断单调性：增函数()[]1212()()0x x f x f x -->；1212()()0f x f x x x ->-； 减函数：()[]1212()()0x x f x f x --<；1212()()0f x f x x x -<-； （3）列不等式求解时需要注意定义域的问题.11．A解析：A 【分析】可知()f x 在R 上是单调递增函数，且()()2f x f x +-=，则不等式等价于(21)(2)f x f x ->-，解出即可.【详解】3()201920191x x f x x -=-++，()f x ∴在R 上是单调递增函数，()3201920191x x f x x ---=+-，()()2f x f x ∴+-=，则()()222f x f x -=-，(21)(2)2f x f x -+>，(21)2(2)(2)f x f x f x ->-=-∴，212x x ∴->-，解得14x >， 故不等式的解集为1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选：A. 【点睛】本题考查抽象函数不等式的求解，解题的关键是判断出函数的单调性，得出()()2f x f x +-=，将不等式化为(21)(2)f x f x ->-求解. 12．A解析：A 【分析】根据函数的奇偶性和单调性，求出最小值取得的条件，结合开区间位置求解参数的取值范围. 【详解】由题210x x -+>恒成立，所以()()2lg 1f x x x =-+定义域为R ，()()()()2lg 1f x x x f x -=---+=，所以()()2lg 1f x xx =-+为定义在R 上的偶函数，当220,11x y x x x x ≥=-+=-+在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭单调递增，所以()()2lg 1f x x x =-+在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭单调递增，在1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦单调递减，在1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，1122f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以函数()()2lg 1f x x x =-+在12x =和12x =-处均取得最小值，若函数()f x 在开区间()(),1t t t +∈R 上恒有最小值， 则112t t <-<+或112t t <<+， 解得：3111,,2222t ⎛⎫⎛⎫∈--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故选：A13．B解析：B 【分析】先将函数化成分段函数的形式，再根据函数在不同范围上的性质可得正确的选项. 【详解】()22,12222,1x xxx f x x ⎧-≥=-=⎨-<⎩易知函数()y f x =的图象的分段点是1x =，且过点()1,0，()0,1，又()0f x ≥，故选：B ． 【点睛】本题考查函数图象的识别，此类问题一般根据函数的奇偶性、单调性、函数在特殊点处的函数的符号等来判别，本题属于基础题.14．B解析：B 【分析】计算函数值域为{}0,1A 错误，根据偶函数定义知B 正确，()0D π=，(3.14)1D =，C 错误，()()011D D ==，故D 错误，得到答案. 【详解】根据题意：()D x 的值域为{}0,1，A 错误； 当x 为有理数时，x -为有理数，()()D x D x =-，当x 为无理数时，x -为无理数，()()D x D x =-，故函数为偶函数，B 正确； ()0D π=，(3.14)1D =，C 错误；()()011D D ==，故D 错误.故选：B. 【点睛】本题考查了分段函数的值域，奇偶性和单调性，意在考查学生对于函数性质的综合应用.15．B解析：B 【分析】根据已知可得函数()f x 的图象关于直线1x =对称，周期为4，且在[]1,3上为增函数，得出()()20193f f =，()()()202002f f f ==，()()20211f f =，根据单调性即可比较(2019),(2020),(2021)f f f 的大小． 【详解】解：∵函数()f x 满足：(2)()f x f x -=，故函数的图象关于直线1x =对称；(2)(2)f x f x +=-，则()()4f x f x +=，故函数的周期为4；12,[1,3]x x ∈ 时，1212()[()()]0x x f x f x -->，故函数在[]1,3上为增函数；故()()20193f f =，()()()202002f f f ==，()()20211f f =， 而()()()321f f f >>，所以(2019)(2020)(2021)f f f >>. 故选：B. 【点睛】本题考查函数的基本性质的应用，考查函数的对称性、周期性和利用函数的单调性比较大小，考查化简能力和转化思想．二、填空题16．【分析】先分析得到函数在上单调递减周期再得到当时即得解【详解】因为对当时所以在上单调递减而由偶函数得当时；又可得周期因为所以当时；于是的解集为故答案为：【点睛】方法点睛：对于函数的问题的研究一般从函 解析：(2019,2021)【分析】先分析得到函数()f x 在[0,2]上单调递减，周期4T=，再得到当(1,1)x ∈-时，()0f x >，即得解.【详解】因为对1x ∀，2[0,2]x ∈，当12x x ≠时，()()12120f x f x x x -<-，所以()f x 在[0,2]上单调递减，而()10f =， 由偶函数得当(1,1)x ∈-时，()0f x >；又()()()4f x f x f x +=-=可得周期4T =，因为[2019,2023]x ∈，所以当(2019,2021)x ∈时，()0f x >； 于是()0f x >的解集为(2019,2021)． 故答案为：(2019,2021) 【点睛】方法点睛：对于函数的问题的研究，一般从函数的单调性、奇偶性和周期性入手，再研究求解.17．【分析】将绝对值函数化为分段函数形式判断单调性【详解】由题意当时函数单调递减；当时函数在上单调递增在上单调递减；当时函数单调递增；综上所述函数的单调递减区间为故答案为：解析：()10,1,22⎛⎫⎪⎝⎭，【分析】将绝对值函数化为分段函数形式，判断单调性. 【详解】由题意()151,02215151,222215,22x x x f x x x x x x x x x ⎧+-<<⎪⎪⎪=+-=--+<≤⎨⎪⎪++≥⎪⎩， 当102x <<时，函数15()2f x x x =+-单调递减；当122x ≤<时，函数15()2f x x x =--+，在1(,1)2上单调递增，在(1,2)上单调递减； 当2x ≥时，函数15()2f x x x =+-单调递增； 综上所述，函数()152f x x x =+-的单调递减区间为()10,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 故答案为：()10,1,22⎛⎫⎪⎝⎭，. 18．【分析】由已知可得为偶函数且在时单调递增结合函数性质可求【详解】解：因为则所以为偶函数当时单调递增由可得所以整理可得解可得故的取值范围故答案为：【点睛】本题解答的关键是判断函数的奇偶性与单调性利用函解析：2(,2)5【分析】由已知可得()f x 为偶函数且在0x >时单调递增，结合函数性质可求． 【详解】解：因为211()2,21xx f x x R x =+-∈+， 则()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数， 当0x >时，()f x 单调递增，由(32)(2)f x f x -<可得|32||2|x x -<， 所以22(32)4x x -<， 整理可得，(52)(2)0x x --<， 解可得，225x <<， 故x 的取值范围2(,2)5． 故答案为：2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题解答的关键是判断函数的奇偶性与单调性，利用函数的奇偶性、单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，再解一元二次不等式即可；19．01【分析】当时当时由使得f （x1）＝g （x2）等价于解不等式即可得解【详解】当时当时由使得f （x1）＝g （x2）则可得：解得故答案为：【点睛】本题考查了求函数值域考查了恒成立和存在性问题以及转化思解析：[0，1] 【分析】当11[,2]4x ∈时，[]1()1+,2f x a a ∈-+，当2[1,2]x ∈-时，[]2()1,3g x ∈-，由11[,2]4x ∀∈，2[1,2]x ∃∈-，使得f （x 1）＝g （x 2），等价于[][]1,21,3a a -++⊆-，解不等式即可得解. 【详解】当11[,2]4x ∈时，[]1()1+,2f x a a ∈-+， 当2[1,2]x ∈-时，[]2()1,3g x ∈-，由11[,2]4x ∀∈，2[1,2]x ∃∈-，使得f （x 1）＝g （x 2），则[][]1,21,3a a -++⊆-，可得：1123a a -≤-+⎧⎨+≤⎩，解得01a ≤≤， 故答案为：01a ≤≤. 【点睛】本题考查了求函数值域，考查了恒成立和存在性问题以及转化思想，有一定的计算量，属于中档题.20．（1）（5）【分析】利用零点存在定理可判断命题（1）的正误根据全称命题的否定可判断命题（2）的正误根据集合的包含关系可判断命题（3）的正误根据充分必要条件可判断命题（4）的正误根据函数的单调性求出参解析：（1）（5）. 【分析】利用零点存在定理可判断命题（1）的正误，根据全称命题的否定可判断命题（2）的正误，根据集合的包含关系可判断命题（3）的正误，根据充分必要条件可判断命题（4）的正误，根据函数()y f x =的单调性求出参数a 的取值范围，可判断出命题（5）的正误. 【详解】对于命题（1），由零点存在定理可知，该命题正确；对于命题（2），由全称命题的否定可知，该命题不正确，应该是00:0,1x p x e ⌝∃>≤使得；；对于命题（3），空集是任何非空集合的真子集，但不是空集本身的真子集，该命题错误； 对于命题（4），取2a =，3b =-，则a b >，但22a b <，所以，“a b >”不是“22a b >”的充分不必要条件，该命题错误；对于命题（5），由于函数()y f x =在R 上是增函数，则()1230123143a a a a a ⎧+>⎪>⎨⎪≤+⨯-+⎩，解得12a <≤，该命题正确. 故答案为（1）（2）（5）. 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查零点存在定理、全称命题的否定、集合的包含关系、充分不必要条件的判断以及分段函数单调性，解题时应充分利用这些基础知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握，属于中等题．21．【分析】求出二次函数的对称轴判断函数的最小值与最大值然后求解值域的交集即可【详解】函数的对称轴为开口向上所以函数的最小值为函数（）的值域依次是它们的最小值都是函数值域中的最大值为：当即时此时所以值域解析：2220190,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】求出二次函数的对称轴，判断函数的最小值与最大值，然后求解值域的交集即可. 【详解】函数()221k f x x x =-+的对称轴为1x =，开口向上，所以函数的最小值为()10f =，函数2()21k f x x x =-+（120191,,1,2,3,,2019k x k k k +⎡⎤∈-=⎢⎥⎣⎦）的值域依次是1232019,,,,A A A A ，它们的最小值都是0，函数值域中的最大值为：当12019111k k k +⎛⎫--=-⎪⎝⎭，即1010k =时，此时111010x =-， 所以，值域中的最大值中的最小值为22112019111101010101010f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，212320192010220190,1010A A A A A ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦. 故答案为：2220190,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查二次函数的性质，函数的最值，考查分析问题解决问题的能力，涉及集合的交集计算，属于基础题．22．【分析】可判断出函数在上单调递增将不等式化为可得出解出即可【详解】因为单增单增所以函数在区间上单增而==等价于所以即解得或即的解集为故答案为：【点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的解析：(()2,3,2-【分析】可判断出函数()f x 在()0,∞+上单调递增， 将不等式化为()()231f x f -<，可得出2031x <-<，解出即可.【详解】因为ln y x =单增,2xy =单增,所以函数()f x 在区间()0,∞+上单增.而()1f =1ln12+=()22,32f x -<等价于()()231f x f -<，所以2031x <-<,即234x <<,解得2x -<<2x <<.即()232f x -<的解集为(()2,3,2-.故答案为：(()2,3,2-.【点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内23．1【分析】根据题意由函数的奇偶性分析可得进而可得即函数是周期为4的周期函数据此可得（4）（2）即可得答案【详解】根据题意函数是定义在上的偶函数对任意的都有则即函数是周期为4的周期函数故答案为：1【点解析：1 【分析】根据题意，由函数的奇偶性分析可得()(2)f x f x =--，进而可得()(2)(4)f x f x f x =--=-，即函数()f x 是周期为4的周期函数，据此可得(2020)(44504)f f f =+⨯=（4）f =-（2），即可得答案．【详解】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有()(2)f x f x =--，则()(2)f x f x =--，∴()(2)(4)f x f x f x =--=-，即函数()f x 是周期为4的周期函数，(2020)(44504)(4)(2)1f f f f =+⨯==-=，故答案为：1 【点睛】本题考查抽象函数的求值，涉及函数的奇偶性、周期性的性质以及应用，注意分析函数的周期．24．【分析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性结合函数的奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可【详解】则是偶函数当函数为增函数则等价与所以平方得所以所以即不等式的解集为故答案为：【点睛】本题主要考查解析：113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【分析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性，结合函数的奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可. 【详解】()()()()2211ln 1ln 111f x x x f x x x-=+--=+-=++，则()f x 是偶函数， 当0x ≥函数()f x 为增函数， 则()()12f x f x >-等价与()()12fx f x >-，所以12x x >-，平方得22144x x x -+>， 所以23410x x -+<，所以113x <<，即不等式的解集为113xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，故答案为：113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题主要考查不等式的求解，结合条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键，难度中等.25．【分析】根据题意由奇函数的定义可得函数为奇函数由函数单调性的性质可得函数在上为减函数；据此可得解可得的取值范围即可得答案【详解】解：根据题意函数即函数为奇函数又由在上为减函数在上增函数与则函数在上为 解析：(2,3)【分析】根据题意，由奇函数的定义可得函数()f x 为奇函数，由函数单调性的性质可得函数()f x 在R 上为减函数；据此可得()()()22560(5)6f x x f f x x f -+>⇒->-22(5)(6)56f x x f x x ⇒->-⇒-<-，解可得x的取值范围，即可得答案． 【详解】解：根据题意，函数1()22x x f x =-，11()2(2)()22x x x x f x f x ---=-=--=-，即函数()f x 为奇函数， 又由12x y =在R 上为减函数，2x y =-在R 上增函数与，则函数()f x 在R 上为减函数， 则()()2560f x x f -+>()2(5)6f x x f ∴->-2(5)(6)f x x f ∴->- 256x x ∴-<-，解可得：23x <<， 即x 的取值范围为(2,3)； 故答案为：(2,3) 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是得到关于x 的不等式，属于基础题．26．【分析】设函数利用导数结合可得在上单调递减将化为可解得结果【详解】即为设函数则所以在上单调递减又因为所以不等式可化为即所以故解集为故答案为：【点睛】本题考查了构造函数利用导数判断单调性考查了利用函数 解析：()4,+∞【分析】 设函数()()3f xg x x=，利用导数结合()()3f x f x x '<可得()g x 在()0,∞+上单调递减，将()31016f x x -<化为()()4g x g <可解得结果. 【详解】()()3f x f x x '<即为()()30xf x f x '-<，设函数()()3f x g x x=， 则()()()()()3264330f x x f x x xf x f x g x x x''⋅-⋅-'==<，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，又因为()44f =，所以()()3414416f g ==，不等式()31016f x x -<可化为()3116f x x <，即()()4g x g <，所以4x >，故解集为()4,+∞. 故答案为：()4,+∞. 【点睛】本题考查了构造函数，利用导数判断单调性，考查了利用函数的单调性解不等式，属于中档题.。
最新人教版高中数学必修第一册第三单元《函数概念与性质》检测卷(有答案解析)
一、选择题1．已知m R ∈，若函数()||x m f x e +=对任意x ∈R 满足()()20212120f x f x -=-，则不等式()1ln ln 2f x f ex ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集是（ ） A ．[)1,,e e⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦B ．1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[)10,,e e⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦D ．[),e +∞2．奇函数()f x 在(0)+∞，内单调递减且(2)0f =，则不等式(1)()0x f x +<的解集为（ ） A ．()()(),21,02,-∞--+∞ B ．()()2,12,--+∞C ．()(),22,-∞-+∞D ．()()(),21,00,2-∞--3．意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条自然下垂时的形状是抛物线．直到1690年，雅各布·伯努利正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学界征求答案．1691年他的弟弟约翰·伯努利和菜布尼兹、惠更斯三人各自都得到了正确答案，给出悬链线的数学表达式——双曲余弦函数：()cosh x f x c a c a =+=2xxa ae e a -++⋅（e 为自然对数的底数）．当0c ，1a =时，记(1)p f =-，12m f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(2)n f =，则p ，m ，n 的大小关系为（ ）．A ．p m n <<B ．n m p <<C ．m p n <<D ．m n p <<4．已知幂函数2242()(1)mm f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2xg x t =-，任意1[1,6)x ∈时，总存在2[1,6)x ∈使得()()12f x g x =，则t 的取值范围是（ ）A ．128t <<B ．128t ≤≤C ．28t >或1t <D ．28t ≥或1t ≤5．若函数()f x 同时满足：①定义域内存在实数x ，使得()()0f x f x ⋅-<；②对于定义域内任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦；则称函数()f x 为“DM 函数”．下列函数中是“DM 函数”的为（ ）A ．()3f x x =B ．()sin f x x =C ．()1x f x e-=D ．()ln f x x =6．设函数()f x 的定义域为R ，()()112f x f x +=，当(]0,1x ∈时，()()1f x x x =-.若存在[),x m ∈+∞，使得()364f x =有解，则实数m 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．11,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦7．函数()21x f x x-=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数()3()log 91xf x x =++，则使得()2311log 10f x x -+-<成立的x 的取值范围是（ ）A ．20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞C ．(0,1)D ．(,1)-∞9．已知()f x 是R 上的奇函数，且对x ∈R ，有()()2f x f x +=-，当()0,1x ∈时，()21x f x =-，则()2log 41f =（ ）A ．40B ．2516C ．2341D ．412310．定义在[]1,1-的函数()f x 满足下列两个条件：①任意的[1,1]x ∈-都有()()f x f x -=-；②任意的,[0,1]m n ∈，当m n ≠，都有()()0f m f n m n-<-，则不等式(12)(1)0f x f x -+-<的解集是（ ）A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．12,23⎛⎤⎥⎝⎦C ．11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭11．已知函数()()2lg 1f x x x =-+，若函数()f x 在开区间()(),1t t t +∈R 上恒有最小值，则实数t 的取值范围为（ ）． A ．3111,,2222⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．1113,,2222⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭12．已知函数()22x f x =-，则函数()y f x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．13．若函数()f x 满足()()a f x b a b ≤≤<，定义b a -的最小值为()f x 的值域跨度，则是下列函数中值域跨度不为2的是（ ） A ．2()23f x x x =-++B ．||()2x f x -= C ．24()4xf x x =+D ．()|1|||f x x x =+-14．函数24()|3|3x f x x -=+-是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数15．已知()22,02,0x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩，则不等式()()3f f x ≤的解集为（ ）A ．](,3-∞-B ．)3,⎡-+∞⎣C ．(3-∞D ．)3,+∞二、填空题16．已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且对于12,[0,)x x ∀∈+∞，都有()()()221112210x f x x f x x x x x ->≠-，且(3)2f =，则不等式6()f x x>的解集为___________.17．设()xf x a x =+，若()36f =，则不等式()()21f x f x ->的解集为____________.18．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足：()()4f x f x +=-，对1x ∀，2[0,2]x ∈，当12x x ≠时，()()12120f x f x x x -<-，且()10f =，则不等式()0f x >在[2019,2023]上的解集为______．19．已知定义域为N 的函数()y f x =满足()()()2,105,10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，则()5f =___________.20．对于正整数k ,设函数[][]()k f x kx k x =-，其中[]a 表示不超过a 的最大整数，设24()()()g x f x f x =+，则()g x 的值域为_________.21．已知定义在R 上的偶函数()y f x =在[)0,+∞上是严格增函数，如果(1)(2)f ax f +≤对于任意[]1,2x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是________22．设12{21 2}33k ∈--，，，，，若(1 0)(0 1)x ∈-，，，且||k x x >，则k 取值的集合是___________.23．已知函数()()()2421log 1a x ax x f x x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩，在区间(),-∞+∞上是减函数，则a 的取值范围为______ ． 24．设函数10()20xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是____________.25．已知11()x x f x e e x --=-+，则不等式()(63)2f x f x +-≤的解集是________． 26．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且在[]2,0-上是减函数，下面是关于()f x 的判断：①()f x 是以2为周期的函数；②()0f 是函数的最大值；③()f x 在[]2,3上是减函数；④()f x 的图像关于直线2x =对称.其中正确的命题的序号是____________(注：把你认为正确的命题的序号都填上)【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】先判断函数为偶函数，根据奇偶性求得0m =，将原不等式化为ln x e e ≥，等价于ln 1x ≥，进而可得答案.【详解】设2021x t -=，()()()()20212120f x f x f t f t -=-⇒=-，所以()||x m f x e+=是偶函数，则||||x m x m e e +-+=恒成立，即()()2240x m x m x m x m mx +=-+⇔+=-+⇔=对任意x ∈R 恒成立， 所以0m =⇒()||x f x e =，因为11lnln ln x x x-==-， 所以()1ln ln2f x f e x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭即为()()ln ln 2f x f x e +-≥， ()()ln 2ln 2ln xf x e f x e ee ≥⇒≥⇒≥，因为xy e =为增函数，所以可得ln 1x ≥，则ln 1x ≥或ln 1x ≤-， 解得x e ≥或10x e<≤， 即不等式()1ln ln 2f x f e x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集是[)10,,e e ⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦，故选：C. 【点睛】方法点睛：已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由()()+0f x f x -= 恒成立求解，（2）偶函数由()()0f x f x --= 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由()00f = 求解，偶函数一般由()()110f f --=求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.2．A解析：A 【分析】由已知可作出函数的大致图象，结合图象可得到答案. 【详解】因为函数()f x 在(0)+∞，上单调递减，(2)0f =， 所以当(02)x ∈，时，()0f x >，当(2)x ∈+∞，，()0f x <， 又因为()f x 是奇函数，图象关于原点对称，所以()f x 在()0-∞，上单调递减，(2)0f -=， 所以当(20)x ∈-，时，()0f x <，当2()x ∈-∞-，时，()0f x >， 大致图象如下，由(1)()0x f x +<得10()0x f x +>⎧⎨<⎩或10()0x f x +<⎧⎨>⎩，解得2x >，或10x -<<，或2x <-， 故选：A. 【点睛】本题考查了抽象函数的单调性和奇偶性，解题的关键点是由题意分析出()f x 的大致图象，考查了学生分析问题、解决问题的能力.3．C解析：C 【分析】先利用导数证明函数()f x 在区间0,上单调递增，再结合单调性比较大小即可.【详解】由题意知，()2x x e e f x -+=，21()22x x x xe e ef x e--+-'== 当0x >时，()0f x '>，即函数()f x 在区间0,上单调递增1(1)(1)2e ef f -+-==10122<<<，1(1)(2)2f f f ⎛⎫∴<< ⎪⎝⎭，即m p n << 故选：C 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用导数证明函数()f x 的单调性，再结合单调性比较大小.4．B解析：B 【分析】先根据幂函数定义解得m ，再根据单调性进行取舍，根据任意存在性将问题转化为对应函数值域包含问题，最后根据函数单调性确定对应函数值域，根据值域包含关系列不等式解得结果. 【详解】由题意22(1)1420m m m ⎧-=⎨-+>⎩，则0m =，即()2f x x =，当[)11,6x ∈时， ()[)11,36f x ∈，又当[)21,6x ∈时， ()[)22,64g x t t ∈--，∴216436t t -≤⎧⎨-≥⎩，解得128t ≤≤，故选：B ． 【点睛】对于方程任意或存在性问题，一般转化为对应函数值域包含关系，即1212,,()()()x x f x g x y f x ∀∃=⇒=的值域包含于()y g x =的值域； 1212,,()()()x x f x g x y f x ∃∃=⇒=的值域与()y g x =的值域交集非空．5．A解析：A 【分析】根据题意函数定义域关于原点对称且函数值有正有负，且为定义域内的单调递增函数，通过此两点判定即可. 【详解】解：由定义域内存在实数x 有()()0f x f x ⋅-<，可得函数定义域关于原点对称且函数值有正有负，排除D 、C.由②得“DM 函数”为单调递增函数，排除B. 故选：A 【考点】确定函数单调性的四种方法： （1）定义法：利用定义判断；（2）导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数；（3）图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接； （4）性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性.6．D解析：D 【分析】 根据()()112f x f x +=，可知()()112f x f x =-，可得函数解析式并画出函数图象，由图象可得m 的取值范围. 【详解】根据()()112f x f x +=，可知()()112f x f x =-， 又当(]0,1x ∈时，()()110,4f x x x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，所以(]1,2x ∈时，(]10,1x -∈，()()111(1)(1)20,228f x f x x x ⎡⎤=-=--∈⎢⎥⎣⎦， (]2,3x ∈时，(]11,2x -∈，()()111(1)(2)30,4416f x f x x x ⎡⎤=-=--∈⎢⎥⎣⎦， (]3,4x ∈时，(]12,3x -∈，()()111(1)(3)40,2832f x f x x x ⎡⎤=-=--∈⎢⎥⎣⎦，即3()64f x <恒成立， 可画出函数图象，当(]2,3x ∈时，13(2)(3)464x x --=，解得94x =或114x =， 故若存在[),x m ∈+∞，使得()364f x =有解，则实数114m ≤，故选：D.7．D解析：D 【分析】分析函数()f x 的奇偶性及其在区间()0,∞+上的单调性，由此可得出合适的选项. 【详解】函数()21x f x x -=的定义域为{}0x x ≠，()()()2211x x f x f x x x----===-， 函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B 、C 选项；当0x >时，()211x f x x x x-==-，因为y x =，1y x =-在区间()0,∞+上都是增函数，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增，排除A 选项， 故选：D. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左、右位置；从函数的值域，判断图象的上、下位置； （2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）从函数的特征点，排除不合要求的图象． 利用上述方法排除、筛选选项．8．C解析：C 【分析】令21t x x =-+，则3()1log 10f t -<，从而33log (91)1log 10tt ++-<，即可得到133log (91)log (91)1t t ++<++，然后构造函数3()log (91)t g t t =++，利用导数判断其单调性，进而可得23114x x ≤-+<，解不等式可得答案 【详解】令21t x x =-+，则221331()244t x x x =-+=-+≥， 3()1log 10f t -<，所以33log (91)1log 10tt ++-<， 所以133log (91)log (91)1t t ++<++，令3()log (91)tg t t =++，则9ln 929'()11(91)ln 391t tt t g t ⨯=+=+++，所以90t >，所以'()0g t >， 所以()g t 在3[,)4+∞单调递增， 所以由()(1)g t g <，得314t ≤<，所以23114x x ≤-+<，解得01x <<， 故选：C 【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查函数单调性的应用，解题的关键是换元后对不等式变形得133log (91)log (91)1t t ++<++，再构造函数3()log (91)tg t t =++，利用函数的单调性解不等式.9．C解析：C 【分析】由已知得(4)()f x f x +=，由对数函数性质估计出2log 41(5,6)∈，然后利用已知条件把自变量变小为2log 416(1,0)-∈-，再由奇函数定义可求得函数值． 【详解】25log 416<<，()()()()()2222f x f x f x f x f x +=-⇒++=-+=⎡⎤⎣⎦，故()()()()2222log 41log 414log 4166log 41f f f f =-=--=-.∵()26log 410,1-∈，故()26log 41264236log 412114141f --=-=-=. 故选：C ． 【点睛】本题考查求函数值，方法是由已知条件得出函数的周期性，利用周期性和已知等式把函数自变量变小到(1,0)-上，然后由奇函数定义变到(0,1)上，从而由已知解析式求得函数值．10．D解析：D 【分析】根据题意先判断函数()f x 的奇偶性与单调性，然后将不等式变形得(12)(1)f x f x -<-，再利用单调性和定义域列出关于x 的不等式求解. 【详解】根据题意，由①知函数()f x 为奇函数，由②知函数()f x 在[0,1]上为减函数，所以可得函数()f x 在[]1,1-是奇函数也是减函数，所以不等式(12)(1)0f x f x -+-<，移项得(12)(1)f x f x -<--，变形(12)(1)f x f x -<-，所以11121x x -≤-<-≤，得203x ≤<. 故选：D. 【点睛】 本题考查的是函数单调性与奇偶性的综合问题，需要注意：（1）判断奇偶性：奇函数满足()()f x f x -=-；偶函数满足()()f x f x -=；（2）判断单调性：增函数()[]1212()()0x x f x f x -->；1212()()0f x f x x x ->-； 减函数：()[]1212()()0x x f x f x --<；1212()()0f x f x x x -<-； （3）列不等式求解时需要注意定义域的问题.11．A解析：A 【分析】根据函数的奇偶性和单调性，求出最小值取得的条件，结合开区间位置求解参数的取值范围. 【详解】由题210x x -+>恒成立，所以()()2lg 1f x x x =-+定义域为R ，()()()()2lg 1f x x x f x -=---+=，所以()()2lg 1f x xx =-+为定义在R 上的偶函数，当220,11x y x x x x ≥=-+=-+在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭单调递增，所以()()2lg 1f x x x =-+在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭单调递增， 在1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦单调递减，在1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，1122f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()()2lg 1f x x x =-+在12x =和12x =-处均取得最小值，若函数()f x 在开区间()(),1t t t +∈R 上恒有最小值， 则112t t <-<+或112t t <<+， 解得：3111,,2222t ⎛⎫⎛⎫∈--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A12．B解析：B 【分析】先将函数化成分段函数的形式，再根据函数在不同范围上的性质可得正确的选项. 【详解】()22,12222,1x xxx f x x ⎧-≥=-=⎨-<⎩易知函数()y f x =的图象的分段点是1x =，且过点()1,0，()0,1，又()0f x ≥，故选：B ． 【点睛】本题考查函数图象的识别，此类问题一般根据函数的奇偶性、单调性、函数在特殊点处的函数的符号等来判别，本题属于基础题.13．B解析：B 【分析】根据函数解析式，利用根式非负性、绝对值的区间讨论、分式的性质求值域，即可判断正确选项. 【详解】A 选项：22023(1)44x x x ≤-++=--+≤，所以0()2f x ≤≤，值域跨度为2；B 选项：||0x -≤，所以0()1f x <≤，值域跨度不为2；C 选项：当0x =时()0f x =；当0x >时，244()144x f x x x x ==≤=++；当0x <时，244()144()()x f x x x x ==-≥=-+-+-；故1()1f x -≤≤，值域跨度为2；D 选项：1,0()21,101,1x f x x x x ≥⎧⎪=+-≤<⎨⎪-<-⎩，故1()1f x -≤≤，值域跨度为2；故选：B 【点睛】本题考查了根据解析式求值域，注意根式、指数函数、对勾函数、绝对值的性质应用，属于基础题.14．A解析：A 【分析】首先求出函数的定义域，然后利用奇偶性定义判断即可. 【详解】解：因为()f x =所以240330x x ⎧-≥⎪⎨+-≠⎪⎩解得22x -≤≤且0x ≠，故函数的定义域为[)(]2,00,2-，定义域关于原点对称，所以()f x =，[)(]2,00,2x ∈-,又()()f x f x -===-所以函数为奇函数； 故选：A 【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断，判断函数的奇偶性按照两步：①求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称；②计算()f x -判断与()f x 之间的关系；15．C解析：C 【分析】先解()3f t ≤，再由t 的范围求x 的范围． 【详解】0t ≥时，2()03f t t =-≤<满足题意，0t <时，2()23f t t t =+≤，31t -≤≤，∴30t -≤<综上满足()3f t ≤的t 的范围是3t ≥-，下面解不等式()3f x ≥-，0x ≥时，2()3f x x =-≥-，解得x ≤∴0x ≤≤，0x <时，2()23f x x x =+≥-，2(1)20x ++≥，恒成立，∴0x <，综上x ≤故选：C 【点睛】思路点睛：本题考查解函数不等式，由于是分段函数，因此需要分类讨论，而原不等式是复合函数形式，因此解题时可把里层()f x 作为一个未知数t （相当于换元），求得()3f t ≥-的解，再由t 的范围求出()f x t =中t 的范围．分类讨论必须牢记，否则易出错．二、填空题16．【分析】令可得是上的增函数根据为奇函数可得为偶函数且在上是减函数分类讨论的符号将变形后利用的单调性可解得结果【详解】令则对于都有所以是上的增函数因为函数为定义在R 上的奇函数所以所以所以是定义在R 上的 解析：(3,0)(3,)-⋃+∞【分析】令()()g x xf x =，可得()g x 是[0,)+∞上的增函数，根据()f x 为奇函数可得()g x 为偶函数，且在(,0)-∞上是减函数，分类讨论x 的符号，将6()f x x>变形后，利用()g x 的单调性可解得结果. 【详解】令()()g x xf x =，则对于12,[0,)x x ∀∈+∞，都有211221()()0()g x g x x x x x ->≠-，所以()g x 是[0,)+∞上的增函数，因为函数()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()()()g x xf x xf x g x -=--==，所以()g x 是定义在R 上的偶函数，所以()g x 在(,0)-∞上是减函数，当0x >时，6()f x x>化为()63(3)xf x f >=，即()(3)g x g >，因为()g x 是[0,)+∞上的增函数，所以3x >， 当0x <时，6()f x x>化为()6xf x <，因为()f x 为奇函数，且(3)2f =，所以(3)(3)2f f -=-=-，所以()6xf x <化为()3(3)(3)g x f g <--=-，因为()g x 在(,0)-∞上是减函数，所以30x -<<，综上所述：6()f x x>的解集为(3,0)(3,)-⋃+∞. 故答案为：(3,0)(3,)-⋃+∞【点睛】关键点点睛：构造函数()()g x xf x =，利用()g x 的奇偶性和单调性求解是解题关键.17．【分析】先由解出a 讨论的单调性利用函数单调性解不等式即可【详解】因为且所以解得在R 上单增可化为：解得：不等式的解集为故答案为：【点睛】利用单调性解不等式通常用于：(1)分段函数型不等式；(2)复合函 解析：()1,+∞【分析】先由()36f =，解出a ，讨论()xf x a x =+的单调性，利用函数单调性解不等式即可.【详解】因为()xf x a x =+，且()36f =，，所以33a =，解得1a =>.()(),ln 1x x f x f a x a x a =+∴=+'ln 0,ln 111,x x a a a a a >∴>∴>+，()x f x a x ∴=+在R 上单增. ()()21f x f x ->可化为：21x x ->解得：1x >.不等式()()21f x f x ->的解集为()1,+∞ 故答案为：()1,+∞ 【点睛】利用单调性解不等式通常用于： (1)分段函数型不等式；(2)复合函数型不等式；(3)抽象函数型不等式；(4)解析式较复杂的不等式；18．【分析】先分析得到函数在上单调递减周期再得到当时即得解【详解】因为对当时所以在上单调递减而由偶函数得当时；又可得周期因为所以当时；于是的解集为故答案为：【点睛】方法点睛：对于函数的问题的研究一般从函 解析：(2019,2021)【分析】先分析得到函数()f x 在[0,2]上单调递减，周期4T=，再得到当(1,1)x ∈-时，()0f x >，即得解.【详解】因为对1x ∀，2[0,2]x ∈，当12x x ≠时，()()12120f x f x x x -<-，所以()f x 在[0,2]上单调递减，而()10f =， 由偶函数得当(1,1)x ∈-时，()0f x >； 又()()()4f x f x f x +=-=可得周期4T =，因为[2019,2023]x ∈，所以当(2019,2021)x ∈时，()0f x >； 于是()0f x >的解集为(2019,2021)． 故答案为：(2019,2021) 【点睛】方法点睛：对于函数的问题的研究，一般从函数的单调性、奇偶性和周期性入手，再研究求解.19．9【分析】判断自变量的范围根据分段函数的解析式逐步求解即可解答过程要注意避免出现计算错误【详解】由题知故答案为：9【点睛】方法点睛：对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一这类问题的特点是综合性强对解析：9 【分析】判断自变量的范围，根据分段函数的解析式，逐步求解即可，解答过程要注意避免出现计算错误. 【详解】由题知，()()()2,105,10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，()()()()()()()510,555101028f f f f f f f <∴=+==-=，()()()()()()(85)13811321128190,1f f f f f f f +<∴===-==-=，故答案为：9. 【点睛】方法点睛：对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰. 当出现(())f f a 的形式时，应从内到外依次求值．20．【分析】先由题中条件得到讨论四种情况再判断的周期性即可得出结果【详解】由题意当时此时；当时此时；当时此时；当时此时；又所以是以为周期的函数因此的值域为故答案为：【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于 解析：{}0,1,3,4【分析】先由题中条件，得到[][][]()246g x x x x =+-，讨论10,4x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，11,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，13,24x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，3,14x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭四种情况，再判断()g x 的周期性，即可得出结果. 【详解】由题意，[][][][][][][]()2244246g x x x x x x x x =-+-=+-， 当10,4x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，120,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，[)40,1x ∈，此时()0000g x =+-=； 当11,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，12,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，[)41,2x ∈，此时()0101g x =+-=； 当13,24x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，321,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，[)42,3x ∈，此时()1203g x =+-=； 当3,14x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，32,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，[)43,4x ∈，此时()1304g x =+-=； 又[][][][][][](1)224461224466g x x x x x x x +=+++-+=+++--[][][]246()x x x g x =+-=，所以()g x 是以1为周期的函数，因此()g x 的值域为{}0,1,3,4. 故答案为：{}0,1,3,4 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据一个单位区间内，x 的不同取值，确定[]x ，[]2x ，[]4x 的不同取值情况，结合函数的周期性，即可求解.21．【分析】根据偶函数在对称区间上单调性相反结合已知可得在R 上是增函数进而可将对于任意恒成立转化为对任意都成立进而可得最后结合函数的单调性可得实数a 的取值范围【详解】因为定义在R 上的偶函数在上是严格增函解析：31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据偶函数在对称区间上单调性相反结合已知可得()y f x =在R 上是增函数，进而可将(1)(2)f ax f +≤对于任意[]1,2x ∈恒成立，转化为12ax +≤对任意[]1,2x ∈都成立，进而可得31a x x-≤≤，最后结合函数的单调性可得实数a 的取值范围 【详解】因为定义在R 上的偶函数()y f x =在[)0,+∞上是严格增函数， 因为(1)(2)f ax f +≤对任意[]1,2x ∈都成立，所以12ax +≤对任意[]1,2x ∈都成立， 即212ax -≤+≤对任意[]1,2x ∈都成立，变形可得31a x x-≤≤， 由函数3y x=-在[]1,2为增函数，1y x =在[]1,2上为减函数，故31max min a x x ⎛⎫⎛⎫-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以31,22a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故答案为：31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】关键点睛：本题的解题关键是由函数为偶函数得出12ax +≤，进而结合单调性求出a 的取值范围.22．【分析】根据不能是奇函数排除和再利用幂函数的性质排除2即可得出【详解】若且则幂函数的图象一定在的上方故不可能为奇函数即不能取和当取时是偶函数故只需满足即可此时即则即则可取故取值的集合是故答案为：【点解析：2{2 }3-， 【分析】根据k y x =不能是奇函数排除1-和13，再利用幂函数的性质排除2即可得出. 【详解】若(10)(0 1)x ∈-，，，且||k x x >，则幂函数ky x =的图象一定在y x =的上方，故ky x =不可能为奇函数，即k 不能取1-和13， 当k 取22,,23-时，ky x =是偶函数，故只需满足(0 1)x ∈，即可， 此时k x x >，即11k x ->，则10k -<，即1k <，则k 可取22,3-，故k 取值的集合是2{2 }3-，. 故答案为：2{2 }3-，. 【点睛】本题考查幂函数的性质，解题的关键是正确理解幂函数的性质的特点，以及不同幂函数的图象特点.23．【分析】根据题意讨论时是二次函数在对称轴对称轴左侧单调递减时是对数函数在时单调递减；再利用端点处的函数值即可得出满足条件的的取值范围【详解】解：由函数在区间上是减函数当时二次函数的对称轴为在对称轴左 解析：1324a ≤≤ 【分析】根据题意，讨论1x <时，()f x 是二次函数，在对称轴对称轴左侧单调递减，1x 时，()f x 是对数函数，在01a <<时单调递减；再利用端点处的函数值即可得出满足条件的a 的取值范围． 【详解】解：由函数242(1)()(1)a x ax x f x log x x ⎧-+<=⎨⎩在区间(,)-∞+∞上是减函数，当1x <时，2()42f x x ax =-+，二次函数的对称轴为2x a =， 在对称轴左侧单调递减，21a ∴，解得12a； 当1x 时，()log a f x x =，在01a <<时单调递减； 又2142log 1a a -+， 即34a；综上，a 的取值范围是1324a ． 故答案为：1324a ． 【点睛】本题考查了分段函数的单调性问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，属于中档题．24．【解析】由题意得：当时恒成立即；当时恒成立即；当时即综上x 的取值范围是【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么然后代入该段的解析式求值解决此类问题时要注解析：1(,)4-+∞【解析】 由题意得： 当12x >时，12221x x -+>恒成立，即12x >；当102x <≤时，12112x x +-+> 恒成立，即102x <≤；当0x ≤时，1111124x x x ++-+>⇒>-，即014x -<≤.综上，x 的取值范围是1(,)4-+∞.【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么，然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处的函数值.25．【分析】先构造函数得到关于对称且单调递增再结合对称性与单调性将不等式转化为即可求解【详解】构造函数那么是单调递增函数且向左移动一个单位得到的定义域为且所以为奇函数图象关于原点对称所以图象关于对称不等 解析：[2,)+∞【分析】先构造函数111()()1(1)x x g x f x e x e --=-=-+-，得到()g x 关于(1,0)对称，且单调递增，再结合对称性与单调性将不等式()(63)2f x f x +- 转化为34x x -即可求解． 【详解】构造函数111()()1(1)x x g x f x e x e --=-=-+-，那么()g x 是单调递增函数，且向左移动一个单位得到1()(1)xx h x g x e x e=+=-+， ()h x 的定义域为R ，且1()()x x h x e x h x e-=--=-， 所以()h x 为奇函数，图象关于原点对称，所以()g x 图象关于(1,0)对称． 不等式()(63)2f x f x +- 等价于()1(63)10f x f x -+--， 等价于()(63)0()[2(63)](34)g x g x g x g x g x +-∴--=-，结合()g x 单调递增可知342x x x -∴， 所以不等式()(63)2f x f x +- 的解集是[2，)+∞． 故答案为：[2，)+∞． 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，考查函数的对称性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.26．③④【分析】根据函数的周期性及对称性判断各个选项即可得解；【详解】解：所以函数是以4为周期的函数故①错误；偶函数在上是减函数在上是增函数在上最小值为是以4为周期的函数是函数的最小值故②错误；在上是减解析：③④ 【分析】根据函数的周期性及对称性判断各个选项即可得解； 【详解】 解：(2)()f x f x +=-，(4)(2)()f x f x f x ∴+=-+=，所以函数()f x 是以4为周期的函数，故①错误；偶函数()f x 在[2-，0]上是减函数，()f x ∴在[0，2]上是增函数，∴在[2-，2]上，最小值为(0)f ，()f x 是以4为周期的函数，(0)f ∴是函数的最小值，故②错误；()f x 在[2-，0]上是减函数，()f x ∴在[2，4]上是减函数，故③正确； (2)()(2)f x f x f x -+=--=+，()f x ∴的图象关于直线2x =对称，即④正确．故答案为：③④． 【点睛】本题考查函数的周期性，偶函数在对称区间上单调性相反这一结论，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
3.1 函数的概念及表示(精讲)-2022版高中数学新同步精讲精炼(必修第一册)(教师版含解析)
3.1 函数的概念考点一 区间的表示【例1】(2019·全国高一)一般区间的表示设,a b ∈R ，且a b <，规定如下:【答案】[],a b (),a b [),a b (],a b 【解析】(1).若{|}x a x b ≤≤,写成区间形式为[],a b(2).若{|}x a x b <<,写成区间形式为(),a b (3).若{|}x a x b ≤<,写成区间形式为[),a b (4).若{|}x a x b <≤,写成区间形式为(],a b故答案为: (1). [],a b (2). (),a b (3). [),a b (4). (],a b【举一反三】1．(2019·全国高一课时练习)已知区间()41,21p p -+，则p 的取值范围为______． 【答案】(),1-∞【解析】由题意，区间()41,21p p -+，则满足4121p p -<+，解得1p <，即p 的取值范围为(),1-∞．故答案为(),1-∞．2．(2019·全国高一课时练习)用区间表示下列集合：(1){}1x x ≥=______；(2)201x x x ⎧⎫-≥=⎨⎬+⎩⎭______；(3){}128x x x =≤≤=或______．【答案】[)1,+∞ ()[),12,-∞-+∞ {}[]12,8【解析】(1)根据集合与区间的改写，可得{}[)11,x x ≥=+∞．(2)由20{11x xx x x ⎧⎫-≥=<-⎨⎬+⎩⎭或()[)2}=,12,x ≥-∞-⋃+∞．(3)由{|1x x =或{}[]28}=128x ≤≤⋃，． 3．(2019·全国高一课时练习)用区间表示下列集合：{}1x x >-=______；{}25x x <≤=______； {}3x x ≤-=______；{}24x x ≤≤=______.【答案】()1,-+∞ (]2,5 (],3-∞- []2,4【解析】集合{}1x x >-表示大于1-的所有实数，可用开区间表示为()1,-+∞；集合{}25x x <≤表示大于2且小于或等于5的所有实数，可用左开右闭区间表示为(]2,5；集合{}3x x ≤-表示小于或等于3-的所有实数，可用左开右闭区间表示为(],3-∞-；集合{}24x x ≤≤表示大于或等于2且小于或等于4的所有实数，可用闭区间表示为[]2,4.考点二 函数的判断【例2-1】(2020·浙江高一开学考试)下列各曲线中，不能表示y 是x 的函数的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与其对应，那么就说y 是x 的函数，x 是自变量．如图，C 选项中，在x 允许的取值范围内取x ＝x 0，此时函数y 与之对应的有2个值，y ＝y 1，y ＝y 2，不符合函数的定义.其它三个选项都符合函数的定义.故选：C ．【例2-2】(2019·浙江湖州.高一期中)下列对应关系是从集合A 到集合B 的函数的是( ) A ．A R =，{}0B x x =>，f ：x y x →=B ．A R =，{}0B x x =>，f ：ln x y x →=C ．A Z =，B N =，f ：x y →=D ．A Z =，B N =，f ：2x y x →= 【答案】D【解析】A.A R =，{}0B x x =>，f ：x y x →=不是函数关系，∵当x ＝0时，|0|＝0，|x |＞0不成立，∴不是函数关系；B. A R =，{}0B x x =>，f ：ln x y x →=的定义域是()0,∞+，不是R ，当0x ≤时，ln y x =无意义，∴不是函数关系；C. A Z =，B N =，f ：x y →=[)0,+∞，不是Z ，当x 是负整数时，y =∴不是函数关系；D. A Z =，B N =，f ：2x y x →=是函数关系.故选：D 【举一反三】1．(2020·上海高一课时练习)如图所示，表示函数图像的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据函数的定义知，一个x 有唯一的y 对应，由图象可看出，只有选项B 的图象满足这一点．故选：B ．2．(2020·上海高一课时练习)下列各图中能作为函数图像的是( )．A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④【答案】A【解析】对①②，对于定义域内的任意一个x ，都有唯一的y 值与x 对应，则①②正确； 对③，在[]0,1x ∈内，此时一个x 有两个y 值与x 对应，则③错误； 对④，在[]1,0x ∈-内，此时一个x 有两个y 值与x 对应，则④错误； 故选：A3．(2020·全国高一课时练习)判断下列对应是否为函数： (1)x →y ＝x ，x ∈{x |0≤x ≤6}，y ∈{y |0≤y ≤3}； (2)x →y ＝16x ，x ∈{x |0≤x ≤6}，y ∈{y |0≤y ≤3}； (3)x →y ＝3x ＋1，x ∈R ，y ∈R . 【答案】(1)不是；(2)是；(3)是【解析】(1)根据函数概念知，当4x =时，在{}|03y y ≤≤没有值与x 对应，所以不是函数；(2)根据函数概念，当{}06|x x x ∈≤≤时，{}1|016x x x ∈≤≤，所以对于每一个x 值，都有唯一的y 值与之对应，所以是函数；(3)根据函数概念，对于每一个x 值，都有唯一的y 值与之对应，所以是函数；考点三 定义域【例3-1】(2020·上海高一开学考试)函数()12f x x =-的定义域为( ) A ．[)0,2B ．()2,+∞C ．()1,22,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．()(),22,-∞+∞【答案】C 【解析】由21020x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得x ≥12且x ≠2．∴函数()12f x x =-的定义域为()1,22,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭．故选：C ． 【例3-2】(2020·全国高一)已知(1)f x +的定义域为(2,4)， (1)求()f x 的定义域； (2)求(2)f x 的定义域 【答案】(1)(3，5)；(2)35,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】(1))1(f x +的定义域为(2,4)，24x ∴<<，则315x <+<，即()f x 的定义域为(3,5)；(2)()f x 的定义域为(3,5)；∴由325x <<得3522x <<，即(2)f x 的定义域为35,22⎛⎫ ⎪⎝⎭．【举一反三】1．(2019·浙江高一期中)函数1()f x x=的定义域是( ) A ．R B ．[1,)-+∞C ．(,0)(0,)-∞+∞ D ．[1,0)(0,)-+∞【答案】D【解析】由题意可得：10x +≥，且0x ≠，得到1x ≥-，且0x ≠，故选：D 2．(2019·内蒙古集宁一中高三月考)函数y =的定义域为( )A ．()3,1-B ．[]1,3C ．[]3,1-D ．[]0,1【答案】A【解析】由2032x x --> ，可得31x -<< ， 所以函数y =的定义域为(3,1)- .故选A .3．(2020·浙江高一课时练习)已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x ＋1)的定义域为________． 【答案】1(1,)2--【解析】由－1<2x ＋1<0，得－1<x<－12，所以函数f(2x ＋1)的定义域为1(1,)2--4．(2020·呼和浩特开来中学高二期末(文))设()f x 的定义域为[]0,2，则函数()2f x 的定义域是___________.【答案】⎡⎣【解析】∵函数()y f x =的定义域为[]0,2， ∴函数()2y f x =满足[]20,2x ∈，解不等式202x ≤≤x ≤≤，即函数()2y f x =的定义域是⎡⎣，故选A5．(2020·全国高一)已知函数()f x 的定义域为[1,2]-，求()()()g x f x f x =+-的定义域 . 【答案】[1,1]-【解析】由题意，函数()f x 的定义域为[1,2]-，则函数()()()g x f x f x =+-满足1212x x -≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，解得1221x x -≤≤⎧⎨-≤≤⎩，即11x -≤≤，即函数()g x 的定义域为[1,1]-.6(2020·全国高一)已知函数()f x 的定义域为[1，4]，求12f x ⎛⎫+⎪⎝⎭的定义域 . 【答案】(,1]-∞-∪1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【解析】由1124x ≤+≤，得112x -≤≤，即110x -≤<或102x<≤， 解得x ≤ 1-，或12x ≥.∴函数的定义域为(-∞，1-]∪[12，+∞). 考点四 解析式【例4】(2020·全国高一课时练习)根据下列条件，求f (x )的解析式. (1)f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9； (2)f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1； (3)12()(0)f f x x x x ⎛⎫+=≠⎪⎝⎭. 【答案】(1)f (x )＝x ＋3；(2)f (x )＝x 2＋2x －2；(3)2()(0)33xf x x x =-≠ 【解析】(1)解由题意，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)∵3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9∴3a (x ＋1)＋3b －ax －b ＝2x ＋9， 即2ax ＋3a ＋2b ＝2x ＋9，由恒等式性质，得22329a ab =⎧⎨+=⎩∴a ＝1，b ＝3∴所求函数解析式为f (x )＝x ＋3.(2)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1f (t )＝(t －1)2＋4(t －1)＋1 即f (t )＝t 2＋2t －2.∴所求函数解析式为f (x )＝x 2＋2x －2. (3)解1()2f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，将原式中的x 与1x 互换，得112()f f x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.于是得关于f (x )的方程组()()12112f x f x x f f x x x ⎧⎛⎫+=⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩解得2()(0)33xf x x x =-≠.【举一反三】1．(2020·全国高一课时练习)根据下列条件，求f (x )的解析式. (1)f (f (x ))＝2x －1，其中f (x )为一次函数； (2)f (2x ＋1)＝6x ＋5； (3)f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x .【答案】(1)()1f x +()1f x =+(2)f (x )＝3x ＋2；(3)21()23f x x x =-.【解析】(1)由题意，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (f (x ))＝af (x )＋b ＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝2x －1由恒等式性质，得221a ab b ⎧=⎨+=-⎩1a b ⎧=⎪∴⎨=-⎪⎩1a b ⎧=⎪⎨=+⎪⎩∴所求函数解析式为()1f x =+()1f x =+(2)设2x ＋1＝t ，则12t x -=1()65322t f t t -∴=⋅+=+ ∴f (x )＝3x ＋2.(3)将x 换成－x ，得f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x ，∴联立以上两式消去f (－x )，得3f (x )＝x 2－6x ，21()23f x x x ∴=- 2．(2020·全国高一)(1)已知函数()f x 是一次函数，若()48f f x x =+⎡⎤⎣⎦，求()f x 的解析式； (2)已知()f x 是二次函数，且满足()01f =，()()12f x f x x +-=，求()f x 的解析式． 【答案】(1)()823f x x =+或()28f x x =--；(2)()21f x x x =-+． 【解析】(1)设()()0f x ax b a =+≠，则()()()()2f f x f ax b a ax b b a x ab b =+=++=++⎡⎤⎣⎦，又()48f f x x =+⎡⎤⎣⎦，所以，248a ab b ⎧=⎨+=⎩，解得283a b =⎧⎪⎨=⎪⎩或28a b =-⎧⎨=-⎩， 因此，()823f x x =+或()28f x x =--； (2)()()20f x ax bx c a =++≠，则()01f c ==，()()12f x f x x +-=，即()()()2211112a x b x ax bx x ++++-++=，即()22ax a b x ++=，所以220a a b =⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩. 因此，()21f x x x =-+.3．(2019·山西高一月考)(1)已知()22112x f x x++=，求()f x 的解析式； (2)已知()132g x g x x ⎛⎫-=+⎪⎝⎭，求()g x 的解析式． 【答案】(1)()()()222511x x f x x x -+=≠-；(2)()3188x g x x=--- 【解析】(1)由题意得：()12f x +定义域为{}0x x ≠设()121t x t =+≠，则12t x -= ()()()2222112521112t t t f t t t t -⎛⎫+ ⎪-+⎝⎭∴==≠--⎛⎫ ⎪⎝⎭()()()222511x x f x x x -+∴=≠-(2)由()132g x g x x ⎛⎫-=+⎪⎝⎭…①得：()1132g g x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭…② ①②联立消去1g x ⎛⎫⎪⎝⎭得：()3188x g x x =--- 考点五 函数值【例5】(2020·浙江高一课时练习)若函数()()221120x f x x x--=≠，那么12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( ) A ．1 B ．3C ．15D ．30【答案】C【解析】由于()()221120x f x x x --=≠，当14x =时，11116151216f -⎛⎫== ⎪⎝⎭，故选C.【举一反三】1．(2020·浙江杭州 高二期末)已知()2231f x x x =-+，则()1f =( )A ．15B ．21C ．3D ．0【答案】D【解析】根据()f x 的解析式，有()21213112310f =⨯-⨯+=-+=.故选：D2．(2020·上海高一课时练习)已知22()1x f x x=+，则111(1)(2)(3)(4)234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭_________． 【答案】72【解析】22()1xf x x =+，222211()()1111x x f x f x x x∴+=+=++，()22111211f =+= 所以111(1)(2)(3)(4)234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111(1)(2)(3)(4)234f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦1711122=+++=故答案为：723．(2020·全国高一课时练习)若函数f (x )＝221x x+，g (x )()()2f g 的值为____________. 【答案】23【解析】()()()()2222231g f g f ====+.故答案为：234．(2018·浙江下城.杭州高级中学高一期中)若函数()2212f x x x +=-，则()3f =______________． 【答案】-1【解析】当213x +=时1x =,故()3f =()2211121f ⨯+=-=-.故答案为：1-考点六 相等函数【例6】(2019·内蒙古集宁一中高三月考)下列四组函数中,表示同一函数的是( ) A．(),()f x x g x ==B．2(),()f x x g x ==C ．21(),()11x f x g x x x -==+-D．()()f x g x ==【答案】A【解析】对于A :()||f x x =，()||g x x == ，两个函数的定义域和对应关系都相同,表示同一函数；对于B :()f x 的定义域为R,()g x 的定义域为[0,)+∞,两个函数的定义域不同,不是同一函数;对于C .()1(1)f x x x =+≠的定义域为{|1}x x ≠,()1g x x =+的定义域为R ,两个函数的定义域不同,不是同一函数;对于D .()f x 的定义域为{|1}x x ≥,()g x 的定义域为{|1x x ≤-或1}x ≥,两个函数的定义域不同,不是同一函数. 故选A .【举一反三】1．(2020·全国高一课时练习)下列各组函数中，表示同一个函数的是__________(填序号).(1)y ＝x －1和y ＝211x x -+；(2)y ＝x 0和y ＝1；(3)f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2；(4)f (x )＝2x和g (x )＝()2x.【答案】(4)【解析】(1)1y x =-的定义域为R ；211x y x -=+的定义域为{|1}x x ≠-，定义域不同，故不是同一个函数；(2)0y x =的定义域为{|0}x x ≠；1y =的定义域为R ，定义域不同，故不是同一个函数；(3)两个函数的对应关系不同，故不是同一个函数；(4)因为两个函数的定义域均为()0,+∞，且()()1f x g x ==，故两函数是同一个函数. 故答案为：(4)2．(2020·全国高一课时练习)下列函数2y =；2x y x=；=y ；y =y x =是同一函数的是________.【答案】=y【解析】2y =定义域是[0,)+∞，所以与函数y x =不是同一函数；2x y x=定义域是(,0][0,)-∞+∞，所以与函数y x =不是同一函数；==y x ，所以与函数y x =是同一函数；y x =，所以与函数y x =不是同一函数.故答案为：=y 3．(2020·全国高一课时练习)下列对应或关系式中是A 到B 的函数的序号为________. ①，∈∈A R B R ，221x y +=；②A ＝{1，2，3，4}，B ＝{0，1}，对应关系如图：③，==A R B R ，1:2→=-f x y x ；④，==A Z B Z ，:→=f x y 【答案】②【解析】①，∈∈A R B R ，221x y +=，存在x 对应两个y 的情况，所以不是A 到B 的函数；②符合函数的定义，是A 到B 的函数； ③，==A R B R ，1:2→=-f x y x ，对于集合A 中的2x =没有对应y ，所以不是A 到B 的函数； ④，==A Z B Z，:→=f x y A 中的{|0,}x x x z ≤∈没有对应y ，所以不是A 到B 的函数.故答案为：②考点七 分段函数【例7-1】(2020·上海高一开学考试)已知函数2,01,()2,12,1,2,2x x f x x x ⎧⎪≤≤⎪=<<⎨⎪⎪≥⎩，则3[()]2f f f ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的值为( )A ．1B ．2C ．3-D ．12【答案】A【解析】由题意得,3()=22f ,1(2)=2f ,1()=2=1122f ⨯,所以3[()]=[(2)]=()=1212f f f f f f ⎧⎫⎨⎬⎩⎭,故选：A.【例7-2】(2020·全国高一课时练习)设函数若f(a)＝4，则实数a ＝( )A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2【答案】B【解析】当0a ≤时，()4f a a =-=，解得4a =-；当0a >时，24()f a a ==，解得2a =±，因为0a >，所以2a =，综上，4a =-或2，故答案选B 【举一反三】1．(2020·全国高一课时练习)设()1,01,01,0x x f x x x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则()()0f f 等于( )A ．1B ．0C ．2D ．-1【答案】C【解析】1,0()1,01,0x x f x x x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩∴ (0)1f =,((0))(1)112f f f ==+=.故选: C .2．(2020·全国高一课时练习)已知函数y ＝21,02,0x x x x ⎧+≤⎨->⎩，则使函数值为5的x 的值是( )A ．2-或2B ．2或52-C ．2-D ．2或2-或52-【答案】C【解析】当0x ≤时，令5y =，得215x +=，解得2x =-； 当0x >时，令5y =，得25x -=，解得52x =-，不合乎题意，舍去.综上所述，2x =-.故选：C.3．(2020·全国高一课时练习)已知2,11()1,11,1x x f x x x ⎧-≤≤⎪=>⎨⎪<-⎩(1)画出f (x )的图象；(2)若1()4f x =，求x 的值； (3)若1()4f x ≥，求x 的取值范围.【答案】(1)作图见解析；(2)12x =±；(3)11,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】(1)函数2yx 的对称轴0x =，当0x =时，0y =；当1x =-时，1y =；当1x =时，1y =，则f (x )的图象如图所示.(2)1()4f x=等价于21114xx-≤≤⎧⎪⎨=⎪⎩①或1114x>⎧⎪⎨=⎪⎩②或1114x<-⎧⎪⎨=⎪⎩③解①得12x=±，②③的解集都为∅∴当1()4f x=时，12x=±.(3)由于1124f⎛⎫±=⎪⎝⎭，结合此函数图象可知,使1()4f x≥的x的取值范围是11,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭。
(新教材)高中数学人教A必修第一册同步练习：3.1.1函数的概念
第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念课后篇巩固提升基础达标练1.函数f(x)=√??+1??-1的定义域是()A.[-1,1)B.[-1,1)∪(1,+∞)C.[-1,+∞)D.(1,+∞) 解析由{??+1≥0,??-1≠0,解得x ≥-1,且x ≠1.答案 B 2.下列四个函数:①y=x+1;②y=x-1;③y=x 2-1;④y=1??,其中定义域与值域相同的是()A.①②③B.①②④C.②③D.②③④解析①y=x+1,定义域为R ,值域为R,②y=x-1,定义域为R,值域为R ,③y=x 2-1,定义域为R,值域为[-1,+∞),④y=1??,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域为(-∞,0)∪(0,+∞),故①②④的定义域与值域相同.答案 B3.若函数y=f (x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=??(2??)??-1的定义域是()A.[0,1)∪(1,2]B.[0,1)∪(1,4]C.[0,1)D.(1,4] 解析由题意,得{0≤2??≤2,??-1≠0,即0≤x<1.答案 C4.函数f(x)=x 2-2x,x ∈{-2,-1,0,1}的值域为.解析因为f(-2)=(-2)2-(-2)=6,f(-1)=(-1)2-2×(-1)=3,f(0)=02-2×0=0,f(1)=12-2×1=-1.所以f(x)的值域为{6,3,0,-1}.答案{6,3,0,-1}5.函数y=1??2+??+1的值域为.解析∵x 2+x+1=(??+12)2+34≥34, ∴0<1??2+??+1≤43.∴值域为(0,43].答案(0,43]6.若函数f(x)=ax 2-1,a 为正常数,且f(f(-1))=-1,则a 的值是.解析∵f(-1)=a ·(-1)2-1=a-1,f(f(-1))=a ·(a-1)2-1=a 3-2a 2+a-1=-1.∴a 3-2a 2+a=0,∴a=1或a=0(舍去).故a=1.答案 17.已知函数f(x)=1+??21-??2.(1)求f(x)的定义域;(2)若f(a)=2,求a 的值;(3)求证:f(1??)=-f (x).(1)解要使函数f(x)=1+??21-??2有意义,只需1-x 2≠0,解得x ≠±1,所以函数的定义域为{x|x ≠±1}.(2)解因为f(x)=1+??21-??2,且f(a)=2,所以f(a)=1+??21-??2=2,即a 2=13,解得a=±√33.(3)证明由已知得f(1??)=1+(1??)21-(1??)2=??2+1??2-1,-f(x)=-1+??21-??2=??2+1??2-1,所以f (1??)=-f (x).能力提升练1.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,例如解析式为y=2x 2+1,值域为{9}的“孪生函数”有三个:①y=2x 2+1,x ∈{-2};②y=2x 2+1,x ∈{2};③y=2x 2+1,x ∈{-2,2}.那么函数解析式为y=2x 2+1,值域为{1,5}的“孪生函数”共有() A.5个B.4个C.3个D.2个解析函数解析式为y=2x 2+1,值域为{1,5}的孪生函数,分别为①y=2x 2+1,x ∈{0,√2};②y=2x 2+1,x ∈{0,-√2};③y=2x 2+1,x ∈{0,√2,-√2},共3个,故选 C.答案 C2.(多选题)下列各组函数表示同一函数的是()A.y=??2-9??-3与y=x+3B.y=√??2-1与y=|x|-1C.y=x 2+1与s=t 2+1D.y=2x+1,x ∈Z 与y=2x-1,x ∈Z解析对于A,函数y=??2-9??-3与y=x+3的定义域不同;对于B,函数y=√??2-1与y=|x|-1的定义域与对应关系相同,是同一个函数;对于C,虽然表示它们的字母不同,但因为它们的对应关系和定义域相同,是同一个函数;对于D,函数y=2x+1,x ∈Z 与y=2x-1,x ∈Z 的对应关系不同.答案BC3.若f(x)=5????2+1,且f(a)=2,则a=.解析由f (a)=5????2+1=2,得2a 2-5a+2=0,解得a=12或a=2.答案12或24.(1)y=2??+1??-3的值域为.(2)y=2x-√??-1的值域为.解析(1)(分离常数法)y=2??+1??-3=2(??-3)+7??-3=2+7??-3,显然7??-3≠0,故y ≠2.故函数的值域为(-∞,2)∪(2,+∞).(2)(换元法)令t=√??-1,则x=t 2+1,且t ≥0,∴y=2(t 2+1)-t=2(??-14)2+158.由t ≥0,再结合函数的图象(如图所示),可得函数的值域为[158,+∞).答案(1)(-∞,2)∪(2,+∞)(2)[158,+∞)5.已知函数f(x)=x 2-2x,x ∈[0,b],且该函数的值域为[-1,3],求b 的值.解作出函数f(x)=x 2-2x(x ≥0)的图象如图所示.由图象结合值域[-1,3]可知,区间右端点b 必为函数最大值3的对应点的横坐标.所以f(b)=3,即b 2-2b=3,解得b=-1或b=3.又-1?[0,b],所以b=3.6.已知函数f(x)=??2??2+1.(1)求f(1),f(2)+f (12)的值; (2)证明:f(x)+f (1??)等于定值.(1)解f(1)=1212+1=12;f(2)=2222+1=45,f(12)=(12)2(12)2+1=15,所以f(2)+f (12)=45+15=1.(2)证明f(1??)=(1??)2(1??)2+1=1??2+1,所以f(x)+f (1??)=??2??2+1+1??2+1=1,为定值.素养培优练(2020江西上饶高一检测)已知函数f(x)=x 2+2√2ax+3a+2.(1)若函数f (x)的值域为[0,+∞),求a 的值;(2)若函数f (x)的函数值均为非负实数,求g(a)=2-a|a+3|的值域.解(1)∵函数值域为[0,+∞),∴Δ=(2√2a)2-4(3a+2)=0,解得a=-12或a=2.(2)∵对一切实数x,f(x)的函数值均为非负实数, ∴Δ=(2√2a)2-4(3a+2)≤0,解得-12≤a ≤2,∴a+3>0,∴g(a)=2-a|a+3|=2-a(a+3)=-a+322+174-12≤a ≤2.∵抛物线g(a)开口向下,对称轴为a=-32, ∴g(2)≤g(a)≤g(-12),即-8≤g(a)≤134.∴g(a)的值域为[-8,134].。
高一数学必修1《第三章 函数的应用》单元测试题(含答案)
高一数学必修1《第三章 函数的应用》单元测试题（满分150分 时间 120分钟）班级：__________ 姓名：__________ 成绩：__________第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题 （每题5分，共50分） 1. 函数223y x x =--的零点是（ ）A ．1,3-B ．3,1-C ．1,2D ．不存在2. 方程1lg x x -=必有一个根的区间是（ ）A ．(0.1,0.2)B ．(0.2,0.3)C ．(0.3,0.4)D ．(0.4,0.5)3．下列函数中增长速度最快的是（ ）Ａ．1100xy e =B ．y=100ln xC ．y=100xD ．y=1002x ⋅4．已知函数2212341,2,21,2,x y y x y x y x==--=-=其中能用二分法求出零点的函数个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45. 若函数()f x 唯一的零点一定在三个区间(2,16)2824、（，）、（，）内，那么下列命题中正确的是（ ）A ．函数()f x 在区间(2,3)内有零点B ．函数()f x 在区间(2,3(3,4)）或内有零点C ．函数()f x 在区间(3,16)内有零点D ．函数()f x 在区间(4,16)内无零点6. 如图表示人的体重与年龄的关系，则（ ）A ．体重随年龄的增长而增加B ．25岁之后体重不变C ．体重增加最快的是15~25岁D ．体重增加最快的是15岁之前7. 世界人口已超过60亿，若按千分之一的年增长率计算，则两年增长的人口约为（ ）A ．120万B ．1100万C ．1200万D ．12000万8. 已知函数()24f x mx =+，若在[]2,1-上存在0x 使0()0f x =，则实数m 的取值范围是（ ）A ．5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.(][),21,-∞-+∞C. []1,2-D. []2,1-9. 若商品进价每件40元，当售价为50元/件时，一个月能卖出500件，通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件。
新教材人教B版高中数学必修第一册练习-函数及其表示方法答案含解析
3.1.1函数及其表示方法第三章函数3.1 函数的概念与性质3.1.1函数及其表示方法课时1 函数的概念考点1函数的概念1.下列说法正确的是()。
A.函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应B.函数的定义域和值域可以是空集C.函数的定义域和值域一定是数集D.函数的定义域和值域确定后,函数的对应法则也就确定了答案：C解析：由函数的定义可知,函数的定义域和值域为非空的数集。
2.下列四个图形中,不是以x为自变量的函数的图像是()。
图3-1-1-1-1答案：C解析：根据函数定义,知对自变量x的任意一个值,都有唯一确定的实数(函数值)与之对应。
显然选项A,B,D 满足函数的定义,而选项C不满足。
故选C。
3.(2018·河北衡水中学高一月考)下列四组函数中,表示同一函数的是()。
3 B.y=1与y=x0A.y=√x2与y=√x3C.y=2x+1与y=2t+1D.y=x与y=(√x)2答案：C3=x,它们的对应关系不同,不是同一函数;对于B,y=1(x∈R),y=x0=1(x≠0),它们的解析：对于A,y=√x2=|x|,y=√x3定义域不同,不是同一函数;对于C,y=2x+1与y=2t+1,它们的定义域相同,对应关系也相同,是同一函数;对于D,y=x(x∈R),y=(√x)2=x(x≥0),它们的定义域不同,不是同一函数。
【易错点拨】考查同一函数的问题,注意把握同一函数的定义,必须保证是三要素完全相同,才是同一函数。
4.(2019·西安高一检测)下列式子中不能表示函数y=f(x)的是()。
A.x=y2B.y=x+1C.x+y=0D.y=x2答案：A5.给出下列两个集合间的对应关系:①A={-1,0,1},B={-1,0,1},f:A中的数的平方;②A={0,1},B={-1,0,1},f:A中的数的开方;③A=Z,B=Q,f:A中的数的倒数;④A=R,B={正实数},f:A中的数取绝对值;⑤A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},f:A中的数的2倍。
【优化方案】高中人教A数学必修1同步测试卷：高中同步测试卷(三)(含答案解析)
高中同步测试卷 (三 )单元检测函数及其表示 (B)(时间： 120 分钟，满分： 150 分)一、选择题 (本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的)1．以下说法：①定义域同样，值域也同样的两个函数相等；②定义域同样，对应关系一致的两个函数相等；③值域同样，对应关系一致的两个函数相等；④只需对应关系一致，两个函数就相等；⑤只需值域不一样，两个函数就不相等．此中正确的个数为 ()A ． 0B ．1C ． 2D ． 3|2－ x| － x － 3 02．函数 f(x) ＝2 的定义域为 ()x ＋ 2A. －2，3B ．( －2，＋ ∞) 233 3C. 2，＋ ∞D ． －2，2 ∪2，＋ ∞3．已知会合 A ＝ {1 ，2，m} 与会合 B ＝ {4 ，7，13} ，若 f ： x →y＝ 3x ＋1 是从 A 到 B 的映照，则 m 的值为 ()A ． 22B ．8C ． 7D ． 44．如下图，能够作为函数图象的是 ( )5．已知函数 f(x) ＝x 2 ＋1（ x<2 ）7＝()，则 ff （ x － 1）（ x ≥2） 229 9A. 4B ．413 53 C. 4D ． 46．已知 f(x 2 －1)的定义域为 [ － 3， 3]，则 f(x) 的定义域为 ( )A ． [－ 2， 2]B ．[0，2]C ． [ －1， 2]D ．[－ 3， 3]1 217．已知 x ≠0，函数 f(x) 知足 f x － x ＝ x ＋ x 2，则 f(x) 的表达式为 ()A ． f(x) ＝x ＋ 1(x ≠ 0) B ．f(x) ＝ x 2＋ 2xC ． f(x) ＝ x 2(x ≠ 0)D ． f(x) ＝ x － 12x (x ≠ 0)8．小明和小华进行自行车竞赛( 比胜过程中，两人平均速行驶 )，刚开始小华当先，但重点时辰自行车掉了链子，小明赶超小华，小华修睦车后，急起直追，但为时已晚，小明还是先到了终点．假如用s 1，s 2 分别表示小明和小华所行走的行程， t 表示时间，则以下图中与该事件切合的是 ()1， x ≥09．已知 f(x) ＝ ，则不等式 x ＋(x ＋2)f(x ＋ 2) ≤5的解集是 ()－ 1， x<033A ． (－ ∞， 2]B ．[ －2， 2]C ． ( －∞，－ 2)D ． (－ ∞，＋ ∞)10．定义在 R 上的函数 f(x) 知足 f(x ＋ y)＝f(x) ＋ f(y) ＋ 2xy(x ，y ∈ R)， f(1) ＝ 2，则 f( － 3)等于()A ． 2B ．3C ． 6D ． 911．设 f(x) ＝x － 2， x ≥ 10，则 f(5)的值为 ()f （ x ＋6）， x<10，A ． 10B ．9C ． 12D ． 131112．若函数 y ＝ f(x) 的值域是 2，3 ，则函数 F(x) ＝ f(x) ＋ f （x ） 的值域是 ()1 10 A. 2，3 B ．2，35， 10 10 C.2 3D ． 3，3题号 123456789101112答案二、填空题 (本大题共 4 小题，每题5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上 )13．已知函数 f(2x ＋1) ＝3x ＋ 2，且 f(a) ＝4，则 a ＝ ________．bx ＋ 1，此中 a ， b 为非零常数，且 ab ≠2，若 f(x) · f 1＝ k ，k 为常数，14．已知 f(x) ＝ 2x ＋ax则 k 的值为 ________．15．某在校大学生提早创业，想开一家服饰专卖店，经过估算，店面装饰费为10 000元，每日需要房租水电等花费100 元，受营销方法、经营信用度等因素的影响，专卖店销售1 2总收入 P 与店面经营天数 x 的关系是 P(x)＝300x － x ， 0≤x<300 ，2则总收益最大时店面经45 000， x ≥300，营天数是 ________．1x ， x ≤ 0，16．设函数 f(x) ＝ 2(x ＋ |x|)， g(x) ＝ x则 f[g(x)] ＝ ________．2， x>0，三、解答题 (本大题共6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 )17．(本小题满分10 分 )长为l 的铁丝弯成下部为矩形、上部为半圆形的框架(如下图)，若矩形底边长为2x ，求此框架围成图形的面积y 对于x 的函数．(写出定义域)1（ 0<x<1 ）18.(本小题满分12 分 )作出函数y＝x的图象，并求其值域．x（ x≥1）119．(本小题满分12 分 )已知函数y＝a x＋1(a<0且a为常数)在区间(－∞，1]上存心义，务实数 a 的取值范围．20． (本小题满分12 分 )已知二次函数知足f(3x ＋ 1)＝ 9x2－ 6x＋5.(1)求 f(x) 的分析式；(2)求 f(x) 的值域．21.(本小题满分 12 分 )跟着优惠形式的多样化，“可选择性优惠”渐渐被愈来愈多的经营者采纳．一次，小马去“物美”商场购物，一块醒目的牌子吸引了他，上边说该商铺销售茶壸和茶杯，茶壸每个订价 20 元，茶杯每个订价 5 元，在所需茶壸和茶杯一次性购置的状况下，该店推出两种优惠方法：①买一送一 (即买一只茶壶送一只茶杯 )；②打九折 (即按购置总价的90%付款 )．此刻小马需购置茶壸 4 个，茶杯若干个 (许多于 4 个)，那么小马用哪一种优惠方法付款更省钱呢？x＋ 1，x≤－ 2，22．(本小题满分12 分 )已知函数f(x) ＝x2＋2x，－2<x<2，2x－ 1，x≥ 2.(1)求 f( － 5)， f( －3)， f f －5的值；2(2)若 f(a) ＝ 3，务实数 a 的值；(3)若 f(m)>m(m ≤－ 2 或 m≥ 2)，务实数m 的取值范围．参照答案与分析1．【分析】选 C.一次函数 y ＝ x 与 y ＝－ x ，定义域同样，值域也同样，但对于同一个x的值1，对应元素分别为1、－ 1，故①不正确；②明显正确；函数y ＝ x 2， x ∈ {2} 与 y ＝ x 2，x ∈ {2 ，－ 2} ，值域都是{4}，对应关系都是自变量 x 对应着它的平方，但两个函数不相等，故③④不正确；定义域、对应关系和值域是函数的组成因素，值域不一样，自然函数就不一样，故⑤正确．x ＋2>0 ，332．[导学号 02100016] 【分析】选 D.由3 － 2，得 x> － 2 且 x ≠ ，表示为会合 2 x －2≠0， 2∪ 3，＋ ∞.23．【分析】选 D.由 f ：x →y＝ 3x ＋ 1，得 3×1＋ 1＝4，3× 2＋ 1＝7，3m ＋ 1＝ 13，即 m ＝4.4．【分析】选 D. 函数是一对一、多对一的关系，应选 D.5．【分析】选 C.f 7＝ f 7－1＝ f 5 ＝ f 5－1222233 2 13＝ f 2 ＝2 ＋1＝4.6． [ 导学号 02100017]【分析】选 C.因为－3≤ x ≤ 2≤ 3.3，因此 0≤x2因此－ 1≤x－ 1≤2.1 21 1 27．【分析】选 B. 因为 f x － x ＝ x ＋ x 2＝ x － x＋ 2.令 t ＝ x －1x (x ≠ 0)，则 t ∈ R ， f(t) ＝ t 2＋ 2，因此 f(x) ＝ x 2＋ 2(x ∈R)．8．【分析】选 B.小明匀速至终点，小华开始骑得快，半途修车行程未变，后又迅速骑至终点，此时小明已到终点，只有 B 切合，应选 B.9．【分析】 选 A. 当 x ＋ 2≥0，即 x ≥－ 2 时， f(x ＋ 2)＝ 1.不等式可化为x ≥－ 23 ? －2≤ x ≤.2x ＋ 2≤52x< －2? x< －2，当 x ＋2<0 ，即 x< － 2 时， f(x ＋2) ＝－ 1，不等式可化为x －（ x ＋ 2）≤53故不等式 x ＋ (x ＋2)f(x ＋ 2) ≤5的解集为 (－ ∞，－ 2)∪ [－ 2，2]＝ (－ ∞，32]．10．【分析】选 C.令 x ＝ y ＝ 0，得 f(0) ＝0；令 x＝y＝ 1，得 f(2) ＝ 2f(1) ＋ 2＝ 6；令 x＝2， y＝1，得 f(3) ＝ f(2) ＋ f(1) ＋ 4＝ 12；令 x＝3， y＝－ 3，得 0＝f(3 －3) ＝f(3) ＋ f(－ 3)－ 18＝12＋f( －3) －18，因此 f( － 3)＝ 6.11．[ 导学号 02100018] 【分析】选 B. 由题意得 f(5) ＝ f(5 ＋6) ＝f(11) ＝ 11－ 2＝9，应选B.11， 3，利用单一性定义知F(x) 在1， 112．【分析】选 B.令 f(x) ＝t ，则 F(x)＝ t＋t，t∈2210上单一递减，在 [1，3]上单一递加，经计算得F(x) 的值域为 2，3，应选 B.t－ 1，13．【分析】设 2x＋ 1＝ t，则 x＝2t－ 131因此 f(t) ＝ 3×＋ 2＝ t＋，222因为 f(a) ＝ 4，因此3a＋17 2＝ 4，因此 a＝ .23【答案】7314． [导学号 02100019]【分析】当 x≠0时，因为 f(x) ＝bx＋1，2x＋ a1b＋ 1x＋ b x因此 f x＝2＝ax＋ 2，＋ ax因此 f(x)1bx ＋ 1x＋ b＝bx2＋（ b2＋1） x＋ b＝ k，f·＝·2ax22x2x ＋ a ax＋ 2＋（ a ＋ 4） x＋2a因此 2akx2＋ k(a2＋ 4)x＋ 2ak＝bx 2＋ (b2＋ 1)x＋ b，即 (2ak－b)x2＋ [k(a 2＋ 4)－ (b2＋ 1)]x ＋ (2ak－ b)＝ 0，2 2 b因此2ak－ b＝ 0，且 k(a ＋ 4)－ (b ＋ 1)＝ 0.由 2ak－ b＝0，得 k＝，2b（ a ＋ 4）222因此－(b ＋ 1)＝0，因此 b(a ＋ 4)－ 2a(b ＋ 1)＝0，即 (ab－ 2) ·(a－ 2b)＝ 0，因为 ab≠2，因此 a－2b＝ 0，得 a＝ 2b，b b1因此 k＝2a＝4b＝4.【答案】1 415．【分析】设总收益为L(x) ，则 L(x) ＝－1x2＋ 200x－ 10 000， 0≤ x<300 ，2－100x＋ 35 000， x≥ 300，则 L(x) ＝－1（x－ 200）2＋ 10 000， 0≤x<300 ，2－100x＋ 35 000， x≥ 300，当0≤x<300时，L(x) max＝10 000，当 x≥300时， L(x) max＝ 5 000，因此总收益最大时店面经营天数是200.【答案】 200x， x>0 ，16．【分析】 f(x) ＝0， x≤ 0.当 x>0 时， g(x) ＝ x2>0.则 f[g(x)] ＝f(x 2)＝ x2.当 x≤0时， g(x) ＝ x≤0，则 f[g(x)] ＝ f(x) ＝ 0.x2， x>0 ，综上可得， f[g(x)] ＝0， x≤0.【答案】x2，x>00， x≤ 017． [导学号 02100020]︵－πx.【解】由题意知AB ＝ 2x，CD ＝πx，于是 AC ＝l－2x2l － 2x－πx12π＋ 4 2因此 y＝ 2x·2＋2πx＝－2 x ＋ lx.2x>0 ，l又l － 2x－πx解得 0<x<.2>0 ，2＋π故所求的函数为π＋ 4x20<x<l. y＝－2＋ lx2＋π18.【解】当 0<x<1 时， y＝1x的图象是反比率函数图象的一部分；当x≥1时，图象为直线y＝x 的一部分．函数的图象如下图．由此可知，值域为 [1，＋∞)．11 19．【解】要使函数 y＝a x＋ 1(a<0且 a 为常数 )在区间 (－∞，1]上存心义，一定有ax＋ 1≥0， a<0，因此 x≤－ a，即函数的定义域为(－∞，－ a]，因为函数在区间(－∞， 1]上存心义，因此 (－∞，1] ? ( －∞，－ a]，因此－ a≥1，即 a≤－ 1，因此 a 的取值范围是(－∞，－ 1]．20． [导学号 02100021]【解】(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则 f(3x ＋ 1)＝ a(3x＋1)2＋b(3x ＋ 1)＋ c＝9ax2＋ (6a＋ 3b)x ＋ a＋ b＋c＝9x2－6x ＋ 5.9a＝ 9，a＝ 1，比较系数，得6a＋ 3b＝－ 6，解得b＝－ 4，a＋ b＋ c＝ 5，c＝ 8.因此 f(x) ＝ x2－ 4x＋ 8.(2)因为函数f(x) 是张口向上，对称轴为x＝ 2 的抛物线，且极点坐标为(2， 4)．因此函数图象如下图，因此函数的值域为[4，＋∞)．21．【解】设买茶杯x 只，付款 y 元 (x>3 ，且 x∈ N) ，则用第一种方法需付款y1＝ 4×20＋ (x－ 4) ×5＝5x＋ 60；用第二种方法需付款y2＝ (20 ×4＋ 5x) ×90%＝4.5x＋ 72.设 d＝y1－ y2＝ 5x＋ 60－ (4.5x ＋ 72)＝0.5x－ 12.当 d>0 时， 0.5x－ 12>0，即 x>24 ；当 d＝0 时， x＝24；当 d<0 时， x<24.综上可知，当所购茶杯多于24 只时，方法②省钱；恰巧购置24 只时，两种方法均可；购置个数在4～ 23 之间时，方法①廉价．22．【解】 (1)由－ 5∈( －∞，－ 2]，－3∈ (－ 2，2)，－ 5∈ (－ ∞，－ 2]，2 知 f( － 5)＝－ 5＋ 1＝－ 4，f(－ 3) ＝( － 3)2＋ 2×(－ 3)＝ 3－ 2 3，因为 f －5 5 3 32＝－ ＋ 1＝－ ，且－ 2<－ <2，222因此 f f － 53 3 23＝ f － ＝ － 2 ＋2× －22 293 ＝ 4－3＝－ 4.(2)①当 a ≤－ 2 时， a ＋ 1＝ 3，即 a ＝ 2>－2，不合题意，舍去．22因此 (a －1)(a ＋ 3)＝0，得 a ＝ 1，或 a ＝－ 3.因为 1∈ (－ 2， 2)，－ 3?(－ 2， 2)，因此 a ＝ 1，切合题意．③当 a ≥2时， 2a － 1＝ 3，因此 a ＝2，切合题意．综合①②③，当 f(a) ＝ 3 时， a ＝ 1，或 a ＝ 2.(3)因为 f(m)>m ，当 m ≤－ 2 时， f(m) ＝ m ＋ 1>m 恒建立，故 m ≤－ 2；当 m ≥2时， f(m) ＝ 2m － 1>m ，解得 m>1. 故 m ≥2.因此， m 的取值范围是 (－ ∞，－ 2]∪ [2，＋ ∞)．。
(word完整版)高中数学必修一3.1函数与方程练习题及答案
高中数学必修一 3.1函数与方程练习题及答案上述函数是幕函数的个数是 ( A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个A. 有且仅有一个根B. 至多有一个根C. 至少有一个根D.以上结论都不对A.14400亩B . 172800亩C .17280 亩D . 20736亩8. 若函数f x 既是幕函数又是反比例函数 ，则这个函数是f X = ________9. 幕函数f(x)的图象过点⑶丿27)，则f (x)的解析式是 ______________________2.已知f(x)唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、 (1,5)内，那么下面命题错误的(A.函数 f(x)在(1,2)或 2,3内有零点 B.函数 f(x)在(3,5)内无零点 C 屈数 f (X )在(2,5)内有零点 D.函数 f(x)在(2,4)内不一定有零点 3.若a0,b 0, ab 1 2 ，则l(log a b log 1 alog a blog 1 a A .2B. 2log a b log 1 alog a b log 1 aC . 2D.24. 求函数 f(x) 2x33x 1零点的个数为 D. 4C. 3( )ab与A. 1B. 2 log 1 a ln 2 log 】a2的关系是5.已知函数yf(x)有反函数，则方程f(x) 0(26.如果二次函数y x mx (m3)有两个不同的零点，则 m 的取值范围是(A. 2,6B. 2,6C.2,6D. , 2 U 6 ,7.某林场计划第一年造林10000亩,以后每年比前一年多造林 20%，则第四年造林(1.若y x2八八心i,y(x 1)2,y x,y a x (a 1)10. 用二分法”求方程X 3 2x 5 °在区间23］内的实根，取区间中点为 X 。
2.5，那么下一个有根的区间是 __________________11. 函数f （x ） lnx X 2的零点个数为 _________________ 12.设函数y f （x ）的图象在a,b 上连续，若满足 ________________ ，方程f （x ） °在a,b 上有实根.1f （x ） x — x 113.用定义证明：函数x在减少1个，为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为多少?上是增函数14.设x1与x 2分别是实系数方程ax 2 bx c ° 禾a 2OX 0，求证：方程畀bx C°有仅有一根介于x1和x2之间.15.函数f(x)x 22ax 1 a在区间°」上有最大值2，求实数a 的值16.某商品进货单价为 4°元，若销售5°元，可卖出5°个，如果销售单价每涨1元，销售量就17.函数y xA.是奇函数，且在R 上是单调增函数B. 是奇函数，且在R 上是单调减函数C.是偶函数，且在R 上是单调增函数D. 是偶函数，且在R 上是单调减函数18.已知a log2 °.3,b2,c 0.2 ，则a,b,c 的大小关系是（22. 一个高中研究性学习小组对本地区2000年至2002年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图（如图） ，根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭 ___________ 万盒.A . a b cB . cC.a c bD.b19.函数f(x) x 5x 3的实数解落在的区间是（20.函数 根的和为C 」2,3]D .【3,4]f（x ）对一切实数x ），并且方程f （x ）有三个实根，则这三个实21.若函数f(x) 4x x 2a的零点个数为3，则a126. 函数y = x +1的单调区间为 _____________ .27. 函数f （x ）= 2X 2— 3 | x |的单调减区间是 ____________x log 2 x23.已知 2x 256且2 ,求函数住） x 仮 log22 g’T 的最大值和最小值.224.函数y = = x - 6x + 10在区间( 2, 4）上是（A.递减函数B .递增函数 C. 先递减再递增D. 选递增再递减.25.函数 f (x )=- x 2 + 2 (a - 1) x + 2在（―汽 4） 上是增函数，则a 的范围是（ A. a >5B . a > 3C. a w 3D. a w- 528. 确定函数y = x + x（x >0）的单调区间，并用定义证明.29. 快艇和轮船分别从A地和C地同时开出，如右图，各沿箭头方向航行，快艇和轮船的速度分别是45千米/时和15千米/时，已知AO 150千米，经过多少时间后，快艇和轮船之间的距离最短？30. 设f (x)是定义在R上的增函数，f (xy)= f (x) + f(y), f (3)= 1,求解不等式f (x) + f(x- 2)> 1.2答案1. C. y x ,y X 是幕函数 2. C •唯一的零点必须在区间（1,3），而不在3,5log 1 a ln 2 0,得0 a 1,b1log a b 0,log 1 a 03. A. 224 C f (x) 2x 33x 1 2x 32x x21 2x(x 1) (x 1)(x 1)(2x 2 2x 1), 2x 2 2x1 0显然有两个实数根，共二个;5. B.可以有一个实数根，例如 y X 1，也可以没有实数根,例如y2X6. D. 2m 4(m 3)0,m 6或 m 237 C 10000(1 0.2)1728018. x 设 f (x) x ,则 139f(x)仮3 f (x) x ,图象过点(3,^27)，3丁27 3,3310. [2,2.5)令 f (x) x 2x 5, f(2) 1 0, f (2.5) 2.5 1011. 2分别作出f(x) ln x , g(x) x 2的图象；12. f （a ）f （b ）0见课本的定理内容1 f(X 2)(捲 X 2)(1 )x-|x 2即 f(x 1) f (X 2)1 x-i13.证明：设X 2, f (xj2f(x) X —• ••函数X在上是增函数xa 14.解：令 f(x) -X2bx c,由题意可知2ax1bx 1 c 2 0, ax 2bx2c 0ax 22, f(x 1) a 2bx 1 ca 2 2a 2bx 1 c ax 12, bx 2 c尹2X1ax 1尹f(X 2)a 2 ,a 223a 2x 2 bxcx 2 ax 2 2~2 X2,因为a0,X 1 0,X 215.解：对称轴x a ，所以a40x 50017. A. 18. C. 19. B.当x 20时,y取得最大值，所以应定价为f( x) ( x)3a log 2 0.3 0,b f (0) 3 0, f(1) 70元X 3 f (x)为奇函数且为增函数2°11,c 1 0, f(2)0.21.3 131 0, f(1)f(2)320. 2对称轴为1x _2，可见 2是个实根，另两个根关于1 2对称21. 4 作出函数x 2 4x与函数y 4的图象，发现它们恰有3个交点.f (X 1)f(X 2)0，即方程 2-x 2 bx有仅有一根介于X 2之间.当a 0, 0,1是f(x)的递减区间,f (x)max f(0) 当a 1, 0,1是f (X )的递增区间,f(x)maxf(1) a 2f (x)max f (a) aa 1 2,a1矛盾;16•解: 设最佳售价为(50 x)元,最大利润为y 元,y (50x)(50 x)(50 x) 4022. 85 2000年 30 1.0 30 (万) ； 2001 年 45 2.0 90 (万)；-30 90 135 x ------------------- 2002年：90 匸5 135 (万) ;31 23.解：由 2x 256 得 x 8 , log 2x 3 即 2f(x) (log 2 x 1)(log 2X 2) (log 2 x 3)222 _____________________24. C 解析：本题可以作出函数 y = x - 6x + 10的图象，根据图象可知函数在(2, 4) 上是先递减再递 增. 25. A 解析：本题作出函数 f ( x )=- x 2 + 2 ( a - 1) x + 2的图象，可知此函数图象的对称轴是x = a—1,由图象可知，当 a -1 >4，即当 a >5时，函数 f (x )=- x 2 + 2 (a - 1) x + 2在(一^, 4)上 是增函数.26. ( — 8, — 1) , (- 1 ,+◎3327. :0,4L (-m ,- 4 )28. 解：本题可利用计算机作出该函数的图象，通过图象求得单调区间，最后用单调性的定义证明. 答案：增区间(1,+8)，减区间(0, 1).29. 解：设经过x 小时后快艇和轮船之间的距离最短，距离设为 y ,y = .. (150-45x)2 + (15x)2 (0<x3 ，可求得当x = 3时，y 有最小值.答案：3小时.30. 解：由条件可得 f (x )+ f (x - 2)= f : x (x - 2)], 1 = f (3).所以 f [ x (x - 2) > f (3), 又f ( x )是定义在R 上的增函数，所以有x ( x - 2) > 3，可解得x > 3或x <- 1. 答案：x > 3或x <- 1.当log2x3f (x ) imil 2min14 当 log 2 x 3, f (X )max285 (万)log 2x 3。
最新人教版高中数学必修第一册第三单元《函数概念与性质》测试题(包含答案解析)(2)
一、选择题1．已知定义域为R 的函数()f x 在[)2,+∞单调递减，且(4)()0f x f x -+=，则使得不等式()2(1)0f x x f x +++<成立的实数x 的取值范围是（ ） A ．31x -<<B ．1x <-或3x >C ．3x <-或1x >D ．1x ≠-2．已知m R ∈，若函数()||x m f x e +=对任意x ∈R 满足()()20212120f x f x -=-，则不等式()1ln ln 2f x f e x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集是（ ） A ．[)1,,e e⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦B ．1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[)10,,e e⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦D ．[),e +∞3．定义在R 偶函数()f x 满足()()22f x f x -=-+，对[]12,0,4x x ∀∈，12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，则有（ ）A ．()()()192120211978f f f =<B ．()()()192119782021f f f <<C ．()()()192120211978f f f <<D ．()()()202119781921f f f <<4．设()f x 为定义在R 上的函数，函数()1f x +是奇函数.对于下列四个结论：①()10f =；②()()11f x f x -=-+； ③函数()f x 的图象关于原点对称； ④函数()f x 的图象关于点()1,0对称； 其中，正确结论的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．45．奇函数()f x 在(0)+∞，内单调递减且(2)0f =，则不等式(1)()0x f x +<的解集为（ ）A ．()()(),21,02,-∞--+∞ B ．()()2,12,--+∞C ．()(),22,-∞-+∞D ．()()(),21,00,2-∞-- 6．已知奇函数()f x 在区间[]2,3上单调递增，则()f x 在区间[]3,2--上（ ）A ．单调递增，且最大值为()2f -B ．单调递增，且最大值为()3f -C ．单调递减，且最大值为()2f -D ．单调递减，且最大值为()3f -7．函数()f x 对于任意x ∈R ，恒有()12f x f x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，那么（ ） A ．可能不存在单调区间 B ．()f x 是R 上的增函数 C ．不可能有单调区间D ．一定有单调区间8．定义在R 上的奇函数()f x 满足()20210f =且对任意的正数a ，b (ab )，有()()0f a f b a b -<-，则不等式()0f x x<的解集是（ ）A ．()()2021,02021,-+∞B ．()()2021,00,2021-C ．()(),20212021,-∞-+∞D ．()(),20210,2021-∞-9．已知函数f (x )＝|x |＋ln|x |，若f （3a -1）＞f （1），则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＜0B ．23a >C ．023a <<D ．a ＜0或23a >10．函数()23f x x =-( )A ．3⎡⎤⎣⎦B ．[]1,5C ．2,3⎡⎣D ．3⎡⎣11．已知2()log (1)f x x =-，若()2120f x x -+-<，则x 的取值范围为（ ）A ．(,0)(1,)-∞⋃+∞B ．⎝⎭C ．115,01,22⎛⎫⎛+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．(1,0)(1,2)-12．已知函数2log (1),1,()1,1,x x f x x +≥⎧=⎨<⎩则满足(21)(31)f x f x +<-的实数x 的取值范围是（ ）A ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．(2,)+∞C ．2,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,213．定义在[]1,1-的函数()f x 满足下列两个条件：①任意的[1,1]x ∈-都有()()f x f x -=-；②任意的,[0,1]m n ∈，当m n ≠，都有()()0f m f n m n-<-，则不等式(12)(1)0f x f x -+-<的解集是（ ）A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．12,23⎛⎤⎥⎝⎦C ．11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭14．已知定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x =-，()()0f x f x +-=，且在[0,1]上有1()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则(2020.5)f =（ ）A ．116-B ．116C ．14D ．1215．若()21f x ax x a =+++在()2,-+∞上是单调递增函数，则a 的取值范围是( ) A ．1(,]4-∞B ．1(0,]4C ．1[0,]4D ．1[,)4+∞二、填空题16．设()xf x a x =+，若()36f =，则不等式()()21f x f x ->的解集为____________.17．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足：()()4f x f x +=-，对1x ∀，2[0,2]x ∈，当12x x ≠时，()()12120f x f x x x -<-，且()10f =，则不等式()0f x >在[2019,2023]上的解集为______．18．已知定义域为N 的函数()y f x =满足()()()2,105,10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，则()5f =___________.19．已知函数()()23log 440f x ax x =-+>在x ∈R 上恒成立，则a 的取值范围是_________.20．设函数()f x 在(,0)(0,)-∞+∞上满足()()0f x f x ，在(0,)+∞上对任意实数12x x ≠都有1212()(()())0x x f x f x -->成立，又(3)0f -=，则(1)()0x f x -<的解是___________.21．已知a R ∈，函数229()f x x a a x=++-在区间[3,1]--上的最大值10，则a 的取值范围是__________．22．已知定义在R 上的奇函数()y f x =满足(1)(1)f x f x -=+，且当(0,1)x ∈时，3()24x f x =-，则12(log 25)f =________．23．已知11()x x f x e e x --=-+，则不等式()(63)2f x f x +-≤的解集是________． 24．幂函数()()2231mm f x a x --=-(),a m N ∈为偶函数，且在()0,∞+上是减函数，则a m +=____．25．如果方程24x +y |y |＝1所对应的曲线与函数y ＝f （x ）的图象完全重合，那么对于函数y ＝f （x ）有如下结论：①函数f （x ）在R 上单调递减；②y ＝f （x ）的图象上的点到坐标原点距离的最小值为1； ③函数f （x ）的值域为（﹣∞，2]；④函数F （x ）＝f （x ）+x 有且只有一个零点.其中正确结论的序号是_____.26．已知函数()()()()22sin 1R f x x x x x a a =--++∈在区间[]1,3-上的最大值与最小值的和为18，则实数a 的值为______．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由(4)()0f x f x -+=得到()f x 关于(2,0)对称，再由()f x 在[)2,+∞单调递减得到()f x 在R 上单调递减，利用单调性可得答案. 【详解】(4)()0f x f x -+=，则()f x 关于(2,0)对称，因为()f x 在[)2,+∞单调递减，所以()f x 在R 上单调递减， 所以(1)(3)f x f x +=--，由()2(1)0f x x f x +++<得()2(3)0f x x f x +--<， 所以()2(3)f x x f x +<-，所以23x x x +>-，解得1x >或3x <-. 故选：C ． 【点睛】思路点睛：利用函数的单调性和奇偶性比较函数值大小的思路： （1）先根据奇偶性将自变量转变至同一单调区间； （2）根据单调性比较同一单调区间内的函数值的大小关系；（3）再结合奇偶性即可判断非同一单调区间的函数值大小，由此得到结果.2．C解析：C 【分析】先判断函数为偶函数，根据奇偶性求得0m =，将原不等式化为ln x e e ≥，等价于ln 1x ≥，进而可得答案.【详解】设2021x t -=，()()()()20212120f x f x f t f t -=-⇒=-， 所以()||x m f x e+=是偶函数，则||||x m x m e e +-+=恒成立，即()()2240x m x m x m x m mx +=-+⇔+=-+⇔=对任意x ∈R 恒成立， 所以0m =⇒()||x f x e =，因为11lnln ln x x x-==-， 所以()1ln ln2f x f e x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭即为()()ln ln 2f x f x e +-≥， ()()ln 2ln 2ln xf x e f x e ee ≥⇒≥⇒≥，因为xy e =为增函数，所以可得ln 1x ≥，则ln 1x ≥或ln 1x ≤-， 解得x e ≥或10x e<≤， 即不等式()1ln ln 2f x f e x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集是[)10,,e e ⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦，故选：C. 【点睛】方法点睛：已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由()()+0f x f x -= 恒成立求解，（2）偶函数由()()0f x f x --= 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由()00f = 求解，偶函数一般由()()110f f --=求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.3．B解析：B 【分析】首先判断函数的周期，并利用周期和偶函数的性质化简选项中的函数值，再比较大小. 【详解】()()22f x f x -=-+，()()4f x f x ∴+=-，即()()8f x f x +=， ()f x ∴的周期8T =，由条件可知函数在区间[]0,4单调递增，()()()1921240811f f f =⨯+=，()()()()()202125285533f f f f f =⨯+==-=，()()()1978247822f f f =⨯+=，函数在区间[]0,4单调递增，()()()123f f f ∴<<， 即()()()192119782021f f f <<. 故选：B【点睛】结论点睛：本题的关键是判断函数是周期函数，一般涉及周期的式子包含()()f x a f x +=，则函数的周期是a ，若函数()()f x a f x +=-，或()()1f x a f x +=，则函数的周期是2a ，或是()()f x a f x b -=+，则函数的周期是b a +. 4．C解析：C 【分析】令()()1g x f x =+，①：根据()00g =求解出()1f 的值并判断；②：根据()g x 为奇函数可知()()g x g x -=-，化简此式并进行判断；根据()1y f x =+与()y f x =的图象关系确定出()f x 关于点对称的情况，由此判断出③④是否正确. 【详解】令()()1g x f x =+，①因为()g x 为R 上的奇函数，所以()()0010g f =+=，所以()10f =，故正确； ②因为()g x 为R 上的奇函数，所以()()g x g x -=-，所以()()11f x f x -+=-+，即()()11f x f x -=-+，故正确；因为()1y f x =+的图象由()y f x =的图象向左平移一个单位得到的，又()1y f x =+的图象关于原点对称，所以()y f x =的图象关于点()1,0对称，故③错误④正确，所以正确的有：①②④， 故选：C. 【点睛】结论点睛：通过奇偶性判断函数对称性的常见情况：（1）若()f x a +为偶函数，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称； （2）若()f x a +为奇函数，则函数()y f x =的图象关于点(),0a 成中心对称.5．A解析：A 【分析】由已知可作出函数的大致图象，结合图象可得到答案. 【详解】因为函数()f x 在(0)+∞，上单调递减，(2)0f =， 所以当(02)x ∈，时，()0f x >，当(2)x ∈+∞，，()0f x <，又因为()f x 是奇函数，图象关于原点对称，所以()f x 在()0-∞，上单调递减，(2)0f -=， 所以当(20)x ∈-，时，()0f x <，当2()x ∈-∞-，时，()0f x >， 大致图象如下，由(1)()0x f x +<得10()0x f x +>⎧⎨<⎩或10()0x f x +<⎧⎨>⎩，解得2x >，或10x -<<，或2x <-， 故选：A. 【点睛】本题考查了抽象函数的单调性和奇偶性，解题的关键点是由题意分析出()f x 的大致图象，考查了学生分析问题、解决问题的能力.6．A解析：A 【分析】利用函数单调性的定义结合奇函数的基本性质可判断函数()f x 在区间[]3,2--上的单调性，进而可得出函数()f x 在区间[]3,2--上的最值. 【详解】任取1x 、[]23,2x ∈--且12x x <，即1232x x -≤<≤-，所以，2123x x ≤-<-≤， 因为函数()f x 在区间[]2,3上单调递增，则()()21f x f x -<-， 因为函数()f x 为奇函数，则()()21f x f x -<-，()()12f x f x ∴<， 因此，函数()f x 在区间[]3,2--上为增函数，最大值为()2f -，最小值为()3f -.故选：A. 【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法：（1）取值：设1x 、2x 是所给区间上的任意两个值，且12x x <；（2）作差变形：即作差()()12f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差()()12f x f x -的符号； （4）下结论：判断，根据定义得出结论. 即取值→作差→变形→定号→下结论.7．A解析：A 【分析】根据题意，举出两个满足()12f x f x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭的例子，据此分析选项可得答案. 【详解】根据题意，函数()f x 对于任意x ∈R ，恒有()12f x f x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭， 则()f x 的解析式可以为：()2,1 1.51,0.510,00.5x f x x x ⎧⎪<≤⎪⎪=<≤⎨⎪<≤⎪⎪⎩，满足()12f x f x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，不是增函数，没有单调区间，也可以为()f x x =，满足()12f x f x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭， 是增函数，其递增区间为R ，则()f x 可能存在单调区间，也可能不存在单调区间， 则A 正确；BCD 错误； 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查函数单调性的定义，构造反例是解决本题的关键.8．C解析：C 【分析】首先判断函数在()0,∞+的单调性，然后根据函数是奇函数，可知函数在(),0-∞的单调性和零点，最后结合函数的零点和单调性，求解不等式. 【详解】对任意的正数a ，b (ab )，有()()0f a f b a b-<-，()f x ∴在()0,∞+上单调递减，定义在R 上的奇函数()f x 满足()20210f =，()f x ∴在(),0-∞单调递减，且()()202120210f f -=-=， ()0f x x <等价于()00x f x >⎧⎨<⎩ 或()00x f x <⎧⎨>⎩， 解得：2021x >或2021x <-， 所以不等式解集是()(),20212021,-∞-+∞.故选：C 【点睛】方法点睛：一般利用函数奇偶性和单调性，解抽象不等式包含以下几点： 若函数是奇函数，首先确定函数在给定区间的单调性，然后将不等式转化为()()12f x f x <的形式，最后运用函数的单调性去掉“f ”，转化为一般不等式求解；若函数是偶函数，利用偶函数的性质()()()f x f x f x -==，将不等式()()12f x f x <转化为()()12f x f x <，再利用函数在[)0,+∞的单调性，去掉“f ”，转化为一般不等式求解.9．D解析：D 【分析】根据函数为偶函数可转化为(|31|)(1)f a f ->，利用单调性求解即可. 【详解】()||ln ||f x x x =+的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，关于原点对称，又()||ln ||()f x x x f x -=-+-=， 所以()||ln ||f x x x =+为偶函数， 当0x >时，()ln f x x x =+为增函数， 又(31)(1)f a f ->可化为(|31|)(1)f a f ->， 所以|31|1a ->，所以311a ->或311a -<-， 解得23a >或0a <， 故选：D 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，函数的单调性，绝对值不等式的解法，属于中档题.10．A解析：A 【详解】由()232x 3f x x =-=-2680x x -+-≥，解得[]2,4.x ∈令()2t 231x 3x =----，则()21x 323x t --=--.，即为()2y 1x 3=--和y 23x t =--两函数图象有交点，作出函数图象，如图所示：由图可知，当直线和半圆相切时t 最小，当直线过点A(4,0)时，t 最大. 3t 114-=+，解得35t =±35t =-当直线过点A(4,0)时，2430t ⨯--=，解得t 5=.所以t 35,5⎡⎤∈⎣⎦，即() 35,5f x ⎡⎤∈⎣⎦.故选A.11．C解析：C 【分析】首先判断函数的单调性和定义域，再解抽象不等式. 【详解】函数()f x 的定义域需满足210240x x x ->⎧⎨-+≥⎩，解得：1x >，并且在区间()1,+∞上，函数单调递增，且()22f =， 所以()()()2212012f x x f x x f -+-<⇔-+<，即221112x x x x ⎧-+>⎨-+<⎩，解得：151x +<<150x -<<.故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断函数的单调性和定义域，尤其是容易忽略函数的定义域.12．B解析：B 【分析】根据函数的解析式，得出函数的单调性，把不等式(21)(32)f x f x +<-，转化为相应的不等式组，即可求解.【详解】由题意，函数2log (1),1()1,1x x f x x +≥⎧=⎨<⎩， 可得当1x <时，()1f x =，当1≥x 时，函数()f x 在[1,)+∞单调递增，且()21log 21f ==，要使得()()2131f x f x +<-，则2131311x x x +<-⎧⎨->⎩ ，解得2x >， 即不等式()()2131f x f x +<-的解集为()2,+∞，故选：B.【点睛】思路点睛：该题主要考查了函数的单调性的应用，解题思路如下：（1）根据函数的解析式，得出函数单调性；（2）合理利用函数的单调性，得出不等式组；（3）正确求解不等式组，得到结果.13．D解析：D【分析】根据题意先判断函数()f x 的奇偶性与单调性，然后将不等式变形得(12)(1)f x f x -<-，再利用单调性和定义域列出关于x 的不等式求解.【详解】根据题意，由①知函数()f x 为奇函数，由②知函数()f x 在[0,1]上为减函数，所以可得函数()f x 在[]1,1-是奇函数也是减函数，所以不等式(12)(1)0f x f x -+-<，移项得(12)(1)f x f x -<--，变形(12)(1)f x f x -<-，所以11121x x -≤-<-≤，得203x ≤<. 故选：D.【点睛】 本题考查的是函数单调性与奇偶性的综合问题，需要注意：（1）判断奇偶性：奇函数满足()()f x f x -=-；偶函数满足()()f x f x -=；（2）判断单调性：增函数()[]1212()()0x x f x f x -->；1212()()0f x f x x x ->-； 减函数：()[]1212()()0x x f x f x --<；1212()()0f x f x x x -<-； （3）列不等式求解时需要注意定义域的问题.14．D解析：D【分析】由已知条件可知()f x 为奇函数且周期为4，利用函数的周期，结合其区间解析式即可求(2020.5)f 的值.【详解】由()()0f x f x +-=知：()()f x f x -=-，即()f x 为奇函数，∵()(2)f x f x =-，有(2)()()f x f x f x +=-=-，∴(4)(2)()f x f x f x +=-+=，故()f x 为周期为4的函数，在[0,1]上有1()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以121111(2020.5)(4505)()()2242f f f =⨯+===， 故选：D【点睛】本题考查了函数的性质，根据函数的奇偶性、周期性以及区间解析式求函数值，属于基础题. 15．C解析：C【分析】先考虑a 是否为零，然后再分一次函数和二次函数分别考虑.【详解】当0a =时，则()1f x x =+，显然在()2,-+∞上递增；当0a ≠时，则()21f x ax x a =+++是二次函数，因为()f x 在()2,-+∞上递增，则对称轴122x a =-≤-且0a >，解得：10,4a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；综上：a 的取值范围是1[0,]4， 故选C.【点睛】 本题考查根据单调区间求解参数范围问题，难度一般.对于形如()2f x ax bx c =++的函数，一定要明确：并不一定是二次函数，可能会出现0a =的情况，所以要分类讨论.二、填空题16．【分析】先由解出a 讨论的单调性利用函数单调性解不等式即可【详解】因为且所以解得在R 上单增可化为：解得：不等式的解集为故答案为：【点睛】利用单调性解不等式通常用于：(1)分段函数型不等式；(2)复合函 解析：()1,+∞【分析】先由()36f =，解出a ，讨论()xf x a x =+的单调性，利用函数单调性解不等式即可. 【详解】因为()x f x a x =+，且()36f =，，所以33a =，解得1a =>.()(),ln 1x x f x f a x a x a =+∴=+'ln 0,ln 111,x x a a a a a >∴>∴>+，()x f x a x ∴=+在R 上单增.()()21f x f x ->可化为：21x x ->解得：1x >.不等式()()21f x f x ->的解集为()1,+∞故答案为：()1,+∞【点睛】利用单调性解不等式通常用于： (1)分段函数型不等式；(2)复合函数型不等式；(3)抽象函数型不等式；(4)解析式较复杂的不等式；17．【分析】先分析得到函数在上单调递减周期再得到当时即得解【详解】因为对当时所以在上单调递减而由偶函数得当时；又可得周期因为所以当时；于是的解集为故答案为：【点睛】方法点睛：对于函数的问题的研究一般从函 解析：(2019,2021)【分析】先分析得到函数()f x 在[0,2]上单调递减，周期4T =，再得到当(1,1)x ∈-时，()0f x >，即得解.【详解】因为对1x ∀，2[0,2]x ∈，当12x x ≠时，()()12120f x f x x x -<-， 所以()f x 在[0,2]上单调递减，而()10f =，由偶函数得当(1,1)x ∈-时，()0f x >；又()()()4f x f x f x +=-=可得周期4T=，因为[2019,2023]x ∈，所以当(2019,2021)x ∈时，()0f x >；于是()0f x >的解集为(2019,2021)．故答案为：(2019,2021)【点睛】方法点睛：对于函数的问题的研究，一般从函数的单调性、奇偶性和周期性入手，再研究求解. 18．9【分析】判断自变量的范围根据分段函数的解析式逐步求解即可解答过程要注意避免出现计算错误【详解】由题知故答案为：9【点睛】方法点睛：对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一这类问题的特点是综合性强对 解析：9【分析】判断自变量的范围，根据分段函数的解析式，逐步求解即可，解答过程要注意避免出现计算错误.【详解】由题知，()()()2,105,10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩， ()()()()()()()510,555101028f f f f f f f <∴=+==-=，()()()()()()(85)13811321128190,1f f f f f f f +<∴===-==-=， 故答案为：9.【点睛】方法点睛：对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰. 当出现(())f f a 的形式时，应从内到外依次求值．19．【分析】由题意把函数在上恒成立转化为对上恒成立列不等式解得a 的范围【详解】恒成立即恒成立所以时显然不成立当时得所以故答案为：【点睛】（1）求参数的范围是常见题型之一处理的方法有两种：①不分离参数直接 解析：4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】由题意，把函数()()23log 440f x ax x =-+>在x ∈R 上恒成立转化为2430ax x -+>对x ∈R 上恒成立，列不等式解得a 的范围.【详解】()()23log 440f x x x α=-+>恒成立，即()2233log 44log 1430ax x ax x -+>⇔-+>恒成立，所以0a =时显然不成立.当0a ≠时()0Δ16120a a >⎧⎨=-<⎩得43a <，所以4,3a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭. 故答案为：4,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭ 【点睛】（1）求参数的范围是常见题型之一，处理的方法有两种：①不分离参数，直接求最大值或最小值，解不等式；②分离参数法.（2）解指、对数型的不等式，通常化为同底的结构，利用函数的单调性解不等式. 20．【分析】根据已知条件判断函数的奇偶性与单调性作出函数的草图等价于或根据函数图像解不等式【详解】由函数定义域及可知函数为奇函数在上对任意实数都有成立函数在上为增函数又函数为奇函数函数在为增函数又则作出 解析：()()3,01,3- 【分析】根据已知条件判断函数的奇偶性与单调性作出函数的草图，(1)()0x f x -<等价于1()0x f x >⎧⎨<⎩或1()0x f x <⎧⎨>⎩，根据函数图像解不等式. 【详解】由函数()f x 定义域及()()0f x f x ，可知函数()f x 为奇函数，()f x 在(0,)+∞上对任意实数12x x ≠都有1212()(()())0x x f x f x -->成立，∴函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，又函数()f x 为奇函数，∴函数()f x 在(,0)(0,)-∞+∞为增函数，又(3)0f -=，则(3)0f =， 作出函数草图如图所示：(1)()0x f x -<⇒1()0x f x >⎧⎨<⎩或1()0x f x <⎧⎨>⎩， 根据()f x 的图像可知(1)()0x f x -<的解为：(3,0)(1,3)-.故答案为：(3,0)(1,3)-21．【分析】求出的范围后根据绝对值的性质根据最大值得不等关系可得的范围【详解】时当且仅当时等号成立又或时所以而的最大值为10所以的最大值为所以解得故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查函数的最值掌握绝对 解析：[8,)-+∞【分析】 求出229x x+的范围后根据绝对值的性质根据最大值得不等关系，可得a 的范围． 【详解】 [3,1]x ∈--时，2[1,9]x ∈，2222996x x x x +≥⨯=，当且仅当23x =时等号成立， 又1x =-或3x =-时，22910x x +=，所以229610a x a a x +≤++≤+， 而()f x 的最大值为10，所以229x a x ++的最大值为10a +，所以100610a a a +≥⎧⎨+≤+⎩，解得8a ≥-． 故答案为：[8,)-+∞．【点睛】关键点点睛：本题考查函数的最值．掌握绝对值的性质是解题关键．当0a b >≥时，a b >，当0a b 时，a b <，当0a b >>时，0a b +>，则a b >，0a b +<时，a b <．22．【分析】由对称性奇偶性得出周期性然后再结合周期性和奇偶性进行计算【详解】因为则又函数为奇函数所以所以是周期函数周期为4又所以故答案为：【点睛】结论点睛：本题考查函数的奇偶性对称性周期性函数具有两个对 解析：1316-【分析】由对称性、奇偶性得出周期性，然后再结合周期性和奇偶性进行计算．【详解】因为(1)(1)f x f x -=+，则()(2)f x f x =-，又函数为奇函数， 所以()()(2)(2)(4)f x f x f x f x f x =--=-+=--=+，所以()f x 是周期函数，周期为4． 又125log 254-<<-， 所以111122222252525(log 25)(4log 25)(log )(log )(log )161616f f f f f =+==--=-225log 163253132416416⎛⎫=--=-+=- ⎪⎝⎭． 故答案为：1316-． 【点睛】 结论点睛：本题考查函数的奇偶性、对称性、周期性．函数()f x 具有两个对称性时，就具有周期性．（1）()f x 的图象关于点(,0)m 对称，又关于直线x n =对称，则()f x 是周期函数，4m n -是它的一个周期；（2）()f x 的图象关于点(,0)m 对称，又关于点(,0)n （m n ≠）对称，则()f x 是周期函数，2m n -是它的一个周期；（3）()f x 的图象关于直线x m =对称，又关于直线xn =（m n ≠）对称，则()f x 是周期函数，2m n -是它的一个周期．23．【分析】先构造函数得到关于对称且单调递增再结合对称性与单调性将不等式转化为即可求解【详解】构造函数那么是单调递增函数且向左移动一个单位得到的定义域为且所以为奇函数图象关于原点对称所以图象关于对称不等 解析：[2,)+∞【分析】 先构造函数111()()1(1)x x g x f x e x e --=-=-+-，得到()g x 关于(1,0)对称，且单调递增，再结合对称性与单调性将不等式()(63)2f x f x +- 转化为34x x -即可求解．【详解】 构造函数111()()1(1)x x g x f x e x e --=-=-+-，那么()g x 是单调递增函数， 且向左移动一个单位得到1()(1)x x h x g x e x e =+=-+， ()h x 的定义域为R ，且1()()x x h x e x h x e-=--=-， 所以()h x 为奇函数，图象关于原点对称，所以()g x 图象关于(1,0)对称．不等式()(63)2f x f x +- 等价于()1(63)10f x f x -+--，等价于()(63)0()[2(63)](34)g x g x g x g x g x +-∴--=-，结合()g x 单调递增可知342x x x -∴，所以不等式()(63)2f x f x +- 的解集是[2，)+∞．故答案为：[2，)+∞．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，考查函数的对称性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.24．3【分析】由幂函数为偶函数且在（0+∞）上是单调递减函数可得m2-2m-3＜0且m2-2m-3为偶数m ∈Z 且解出即可【详解】∵幂函数为偶函数且在上是减函数∴且为偶数且解得12且只有时满足为偶数∴故答解析：3【分析】由幂函数()()2231m m f x a x --=-(),a m N ∈为偶函数，且在（0，+∞）上是单调递减函数，可得m 2-2m -3＜0，且m 2-2m -3为偶数，m ∈Z ，且1=1a -．解出即可．【详解】∵幂函数()()2231m m f x a x --=-(),a m N ∈为偶函数，且在()0,∞+上是减函数， ∴2230m m --<，且223m m --为偶数，m N ∈，且1=1a -.解得13m -<<，0m =，1，2，且=2a ,只有1m =时满足223=4m m ---为偶数.∴1m=.3a m+=故答案为：3.【点睛】本题考查幂函数的性质，根据幂函数性质求参数值，可根据幂函数性质列不等式和等式，求解即可，属于基础题.25．②④【分析】根据题意画出方程对应的函数图象根据图像判断函数单调性值域最值以及函数零点个数的判断数形结合即可选择【详解】当y≥0时方程y|y|＝1化为（y≥0）当y＜0时方程y|y|＝1化为（y＜0）解析：②④【分析】根据题意，画出方程对应的函数图象，根据图像判断函数单调性、值域、最值以及函数零点个数的判断，数形结合即可选择.【详解】当y≥0时，方程24x+y|y|＝1化为2214xy+=（y≥0），当y＜0时，方程24x+y|y|＝1化为2214xy-=（y＜0）.作出函数f（x）的图象如图：由图可知，函数f（x）在R上不是单调函数，故①错误；y＝f（x）的图象上的点到坐标原点距离的最小值为1，故②正确；函数f（x）的值域为（﹣∞，1]，故③错误；双曲线2214xy-=的渐近线方程为y12=±，故函数y＝f（x）与y＝﹣x的图象只有1个交点，即函数F（x）＝f（x）+x有且只有一个零点，故④正确.故答案为：②④.【点睛】本题考查函数单调性、值域以及零点个数的判断，涉及椭圆和双曲线的轨迹绘制，以及数形结合的数学思想，属综合中档题.26．8【分析】利用换元法令则所以原函数变为令则函数为奇函数且推出进而求出的值【详解】令则所以原函数变为令则函数为奇函数且所以所以因为为奇函数所以所以所以故答案为：8【点睛】此题考查函数的奇偶性的应用考查 解析：8【分析】利用换元法令1t x =-，则[]2,2t ∈-，所以原函数变为()21sin 1y t t t a =-+++，令()()21sin g t t t t =-+，[]2,2t ∈-，则函数g t 为奇函数且()1y g t a =++，推出()()max min 0g t g t +=，()()max min 2218g t g t a +=+=，进而求出a 的值【详解】令1t x =-，则[]2,2t ∈-，所以原函数变为()21sin 1y t t t a =-+++， 令()()21sin g t t t t =-+，[]2,2t ∈-，则函数g t 为奇函数且()1y g t a =++， 所以()()max max 1f x g t a =++，()()min min 1f x g t a =++，所以()()()()max min max min 22f x f x g t g t a +=+++．因为g t 为奇函数，所以()()max min 0g t g t +=，所以()()max min 2218g t g t a +=+=，所以8a =．故答案为：8【点睛】此题考查函数的奇偶性的应用，考查换元法的应用，属于基础题。
2021-2022年高一数学人教版A版(2019)必修第一册同步练习题3-1 函数的概念及其表示
2021-2022年高一数学人教版A 版(2019)必修第一册同步练习题3-1 函数的概念及其表示【含答案】1．已知f (x )＝－3x ＋2，则f (2x ＋1)等于( B ) A ．－3x ＋2 B ．－6x －1 C ．2x ＋1 D ．－6x ＋5【答案】B【解析】在f (x )＝－3x ＋2中，用2x ＋1替换x ，可得f (2x ＋1)＝－3(2x ＋1)＋2＝－6x －3＋2＝－6x －1.2．（2020·浙江高一期中）函数1()1f x x x=+的定义域是( )A ．RB ．[1,)-+∞C ．(,0)(0,)-∞+∞ D ．[1,0)(0,)-+∞【答案】D【解析】由题意可得：10x +≥，且0x ≠，得到1x ≥-，且0x ≠，故选：D3．（2020·浙江高一课时练习）已知21,[1,0),()1,[0,1],x x f x x x +∈-⎧=⎨+∈⎩则函数()y f x =-的图象是（ ） A ． B ．C ． D ．【答案】A【解析】当0x =时，依函数表达式知2(0)(0)011f f -==+=，可排除B ；当1x =时，(1)(1)10f -=-+=，可排除C 、D ．故选A4．已知函数y ＝21,02,0x x x x ⎧+≤⎨->⎩，则使函数值为5的x 的值是（ ）A ．2-或2B ．2或52-C ．2-D ．2或2-或52- 【答案】C【解析】当0x ≤时，令5y =，得215x +=，解得2x =-；当0x >时，令5y =，得25x -=，解得52x =-，不合乎题意，舍去.综上所述，2x =-，故选C.5.已知f (x )满足f (ab )＝f (a )＋f (b )，且f (2)＝p ，f (3)＝q .那么f (72)等于( ) A ．p ＋q B ．3p ＋2q C ．2p ＋3q D ．p 3＋q 2【答案】B【解析】因为f (ab )＝f (a )＋f (b )，所以f (9)＝f (3)＋f (3)＝2q ，f (8)＝f (2)＋f (2)＋f (2)＝3p ，所以f (72)＝f (8×9)＝f (8)＋f (9)＝3p ＋2q .6.已知f (x )＝{ 1，x ≥0，0，x ＜0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是( ) A ．{x |x ≤1} B ．{x |x ≤2} C ．{x |0≤x ≤1} D ．{x |x ＜0}【答案】A【解析】当x ≥0时，f (x )＝1，xf (x )＋x ≤2⇔x ≤1，所以0≤x ≤1； 当x ＜0时，f (x )＝0，xf (x )＋x ≤2⇔x ≤2，所以x ＜0，综上，x ≤1. 7．(多选)下列函数中，满足f (2x )＝2f (x )的是( )A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x【答案】ABD【解析】在A中，f(2x)＝|2x|＝2|x|,2f(x)＝2|x|，满足f(2x)＝2f(x)；在B中，f(2x)＝2x－|2x|＝2(x －|x|)＝2f(x)，满足f(2x)＝2f(x)；在C中，f(2x)＝2x＋1,2f(x)＝2(x＋1)＝2x＋2，不满足f(2x)＝2f(x)；在D中，f(2x)＝－2x＝2(－x)＝2f(x)，满足f(2x)＝2f(x)．8．(多选)(多选)已知函数f(x)＝{x＋2，x≤－1，x2，－1<x<2，关于函数f(x)的结论正确的是( )A．f(x)的定义域为RB．f(x)的值域为(－∞，4)C．若f(x)＝3，则x的值是 3D．f(x)<1的解集为(－1,1)【答案】BC【解析】由题意知函数f(x)的定义域为(－∞，2)，故A错误；当x≤－1时，f(x)的取值范围是(－∞，1]，当－1<x<2时，f(x)的取值范围是[0,4)，因此f(x)的值域为(－∞，4)，故B正确；当x≤－1时，x＋2＝3，解得x＝1(舍去)．当－1<x<2时，x2＝3，解得x＝3或x＝－3(舍去)，故C正确；当x≤－1时，x＋2<1，解得x<－1，当－1<x<2时，x2<1，解得－1<x<1，因此f(x)<1的解集为(－∞，－1)∪(－1,1)，故D错误．故选B、C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9.已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为________．【答案】{－1,1,3,5,7}【解析】∵x＝1,2,3,4,5，且f(x)＝2x－3.∴f (x )的值域为{－1,1,3,5,7}．10.已知f (x )是一次函数，满足3f (x ＋1)＝6x ＋4，则f (x )＝________.【答案】322-x 【解析】设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则f (x ＋1)＝a (x ＋1)＋b ＝ax ＋a ＋b ， 依题设，3ax ＋3a ＋3b ＝6x ＋4，∴⎩⎨⎧=+=43363b a a ，∴⎪⎩⎪⎨⎧-==322b a则f (x )＝322-x 11.已知函数f (x )满足f (x )＝2f )1(x＋3x ，则f (x )的解析式为________________．【答案】f (x )＝－x －x2(x ≠0) 【解析】由题意知函数f (x )满足f (x )＝2f )1(x＋3x ，即f (x )－2f )1(x＝3x ，用x1代换上式中的x ，可得f )1(x－2f (x )＝3x，联立方程得解得f (x )＝－x －x2(x ≠0)．12．(一题两空)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间（单位：min ）为()x A xf x x A A<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，其中A ，c 为常数，已知工人组装第4件产品用时30 min ，组装第A 件产品用时15 min ，求c 和A 的值. 【答案】60,16c A ==【解析】由题意()x A xf x x A A<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩组装第4件产品用时30 min ，则()430f =，304=，即60c =，组装第A 件产品用时15 min ，则()15f A =， 15A=，即15c A =16A =，所以c 和A 的值分别为60和16. 三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13.已知函数p ＝f (m )的图象如图所示．求：(1)函数p ＝f (m )的定义域； (2)函数p ＝f (m )的值域；(3)p 取何值时，只有唯一的m 值与之对应．【解析】(1)观察函数p ＝f (m )的图象，可以看出图象上所有点的横坐标的取值范围是－3≤m ≤0或1≤m ≤4，由图知定义域为[－3,0]∪[1,4]． (2)由图知值域为[－2,2]．(3)由图知：p ∈(0,2]时，只有唯一的m 值与之对应．14.如图所示，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A 、B 、C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4).（1）求[](0)f f 的值； （2）求函数()f x 的解析式.【解析】（1）直接由题图观察，可得[(0)](4)2f f f ==.（2）设线段AB 所对应的函数解析式为(0)(02)k b y x k x =+≠将04x y =⎧⎨=⎩与20x y =⎧⎨=⎩，代入y kx b =+.得402bk b =⎧⎨=+⎩，42b k =⎧⎨=-⎩，∴24(02)y x x =-+同理，线段BC 所对应的函数解析式为2(26)x y =-.∴24,02()2,26x x f x x x -+⎧=⎨-<⎩.15.某省两个相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，若该车每次拖4节车厢，一天能来回16次(来、回各算作一次)，若每次拖7节车厢，则每天能来回10次．(1)若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数的解析式；(2)在(1)的条件下，每节车厢能载乘客110人．问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数．【解析】(1)设每天来回y 次，每次拖x 节车厢，则可设y ＝kx ＋b (k ≠0)．由题意，得16＝4k ＋b,10＝7k ＋b ， 解得k ＝－2，b ＝24， 所以y ＝－2x ＋24.(2)设这列火车每天来回总共拖挂的车厢节数为S ，则由(1)知S ＝xy ， 所以S ＝x (－2x ＋24)＝－2x 2＋24x ＝－2(x －6)2＋72， 所以当x ＝6时，S max ＝72，此时y ＝12， 则每日最多运营的人数为110×72＝7 920.所以这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为7 920.16．（2019·全国高一课时练习）甲、乙两车同时沿某公路从A 地出发，驶往距离A 地300 km 的B 地，甲车先以75 km/h 的速度行驶，在到达A 、B 中点C 处停留2 h 后，再以100 km/h 的速度驶往B 地，乙车始终以v （单位：km/h ）的速度行驶．（1）将甲车距离A 地的距离()f t （单位：km ）表示为离开A 地的时间t （单位：h ）的函数，求出该函数的解析式并画出函数的图象；（2）若两车在途中恰好相遇两次（不包括A 、B 两地），试求乙车行驶速度v 的取值范围． 【解析】（1）由题意可知，当02t ≤<时，()75f t t =； 当24t ≤≤时，()()2150f t f ==；当4t >时，()()1501004100250f t t t =+-=-，由()100250300f t t =-=，得112t =.()75,02150,2411100250,42t t f t t t t ⎧⎪≤<⎪∴=≤≤⎨⎪⎪-<≤⎩．函数()y f t =的图象如图所示：（2）由已知，得乙车离开A 地的距离()g t （单位：km ）表示为离开A 地的时间t （单位：h ）的函数为()3000g t vt t v ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，其图象是一条线段，如图所示．由图象知，当点()4,150在直线()g t vt =下方，点11,3002⎛⎫⎪⎝⎭在直线()g t vt =的上方可知两车在途中恰好相遇两次，则有4150113002v v >⎧⎪⎨<⎪⎩，解得75600211v <<. 故当75600211υ<<时，两车在途中恰好相遇两次（不包括A 、B 两地）， 因此，v 的取值范围是75600,211⎛⎫⎪⎝⎭．。
最新人教版高中数学必修第一册第三单元《函数概念与性质》检测题(包含答案解析)(1)
一、选择题1．已知函数()y f x =的部分图象如图所示，则函数()y f x =的解析式可能为（ ）A ．()()()sin 222x xf x x -=⋅+ B ．()()()sin 222x xf x x -=⋅- C ．()()()cos 222xxf x x -=⋅+ D ．()()()cos 222xxf x x -=⋅-2．已知0.31()2a =，12log 0.3b =，0.30.3c =，则a b c ，，的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<3．已知函数()x xf x e e -=-，则不等式()()2210f x f x +--<成立的一个充分不必要条件为（ ） A ．()2,1- B ．()0,1 C ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭D ．()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭4．设函数()f x 的定义域为R ，()()112f x f x +=，当(]0,1x ∈时，()()1f x x x =-.若存在[),x m ∈+∞，使得()364f x =有解，则实数m 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．11,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦5．已知函数2()2+1,[0,2]f x x x x =-+∈，函数()1,[1,1]g x ax x =-∈-，对于任意1[0,2]x ∈，总存在2[1,1]x ∈-，使得21()()g x f x =成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,3]-∞-B ．[3,)+∞C ．(,3][3,)-∞-+∞D ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞6．已知“函数()y f x =的图像关于点(),P a b 成中心对称图形”的充要条件为“函数()y f x a b =+-是奇函数”，现有函数：①1224x y x -=-；②1(2)|2|2y x x x =--+；③()321y x x =+--；④2332x x y x -+=-，则其中有相同对称中心的一组是（ ）A ．①和③B ．①和④C ．②和③D ．②和④7．定义在R 上的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，且当(]2,4x ∈时，224,23,()2,34,x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，对(]12,0x ∀∈-，2[2,1]x ∃∈-，使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．11,,88⎛⎫⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭B ．11,00,48⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ C ．(0,8]D ．11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭8．已知2()log (1)f x x =-，若()2120f x x -+-<，则x 的取值范围为（ ）A ．(,0)(1,)-∞⋃+∞B ．11,22⎛ ⎝⎭C ．151,⎫⎛+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．(1,0)(1,2)-9．定义在[]1,1-的函数()f x 满足下列两个条件：①任意的[1,1]x ∈-都有()()f x f x -=-；②任意的,[0,1]m n ∈，当m n ≠，都有()()0f m f n m n-<-，则不等式(12)(1)0f x f x -+-<的解集是（ ）A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．12,23⎛⎤⎥⎝⎦C ．11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭10．设函数1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则下列结论正确的是（ ）A ．()D x 的值域为[0,1]B ．()D x 是偶函数C ．()(3.14)D D π>D ．()D x 是单调函数11．函数()|3|3f x x =+-是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数12．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则()()()()2132020f f f f +++=（ ）A ．50B ．0C ．2D ．-201813．已知定义在R 上的函数()f x 满足：（1）(2)()f x f x -=；（2）(2)(2)f x f x +=-；（3）12,[1,3]x x ∈ 时，1212()[()()]0x x f x f x -->．则(2019),(2020),(2021)f f f 的大小关系是（ ）A ．(2021)(2020)(2019)f f f >>B ．(2019)(2020)(2021)f f f >>C ．(2020)(2021)(2019)f f f >>D ．(2020)(2019)(2021)f f f >> 14．下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是 （ ）A ．2x y =B ．2yxC ．2log y x =D ．21y x =+15．关于函数1()lg 1xf x x-=+，有下列三个命题： ①对于任意(1,1)x ∈-，都有()()f x f x -=-；②()f x 在(1,1)-上是减函数；③对于任意12,(1,1)x x ∈-，都有121212()()()1x x f x f x f x x ++=+； 其中正确命题的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题16．已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且对于12,[0,)x x ∀∈+∞，都有()()()221112210x f x x f x x x x x ->≠-，且(3)2f =，则不等式6()f x x>的解集为___________.17．若函数()21f x x a x =--是区间[0,)+∞上的严格增函数，则实数a 的取值范围是____．18．已知函数()242f x x a x =-++，[]4,4x ∈-．若()f x 的最大值是0，则实数a的取值范围是______．19．研究函数()(0)||||f x a b c x b x c =<<<++-，得到如下命题：①此函数图象关于y 轴对称；②此函数存在反函数； ③此函数在()0,a 上为增函数；④此函数有最大值ab c+和最小值0；你认为其中正确的是_______（写出所有正确的编号）．20．已知函数y =f （x ）和y =g （x ）在[-2，2]的图像如图所示，给出下列四个命题：①方程f [g （x ）]=0有且仅有6个根 ②方程g [f （x ）]=0有且仅有3个根 ③方程f [f （x ）]=0有且仅有5个根 ④方程g [g （x ）]=0有且仅有4个根 其中正确的命题是___21．已知()f x =2243,023,0x x x x x x ⎧-+≤⎨--+<⎩不等式()(2)f x a f a x +>-在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________.22．如果方程24x +y |y |＝1所对应的曲线与函数y ＝f （x ）的图象完全重合，那么对于函数y ＝f （x ）有如下结论：①函数f （x ）在R 上单调递减；②y ＝f （x ）的图象上的点到坐标原点距离的最小值为1； ③函数f （x ）的值域为（﹣∞，2]；④函数F （x ）＝f （x ）+x 有且只有一个零点. 其中正确结论的序号是_____.23．定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，且当[1,0)x ∈-时1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭则()2log 8f =_________．24．设函数()f x 在定义域(0，+∞)上是单调函数，()()0,,xx f f x e x e ⎡⎤∀∈+∞-+=⎣⎦，若不等式()()f x f x ax '+≥对()0,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是______． 25．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()21f =-，对任意的x ∈R 都有()()2f x f x =--，则()2020f =_________.26．设函数()()21ln 11f x x x =+-+，则使得()()12f x f x >-成立的x 的取值范围为_____________.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据奇偶性排除AD ，根据图象过原点排除C ，从而可得答案. 【详解】由图可知函数图象关于y 轴对称，且图象过原点， 对于A ， ()()()()()()sin 222sin 222xx x x f x x x f x ---=-⋅+=-⋅+=-，()y f x =是奇函数，图象关于原点对称，不合题意，排除A ；对于C ，()()000cos02220f =⋅+=≠，不合题意，排除C ；对于D ，()()()()()()cos 222cos 222xxxxf x x x f x ---=-⋅-=-⋅-=-，()y f x =是奇函数，图象关于原点对称，不合题意，排除D ； 故选：B. 【点睛】方法点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.2．B解析：B 【分析】由指数函数的性质可得112a <<，由对数函数的性质可得1b >，由幂函数的性质可得0.30.310.32⎛⎫< ⎪⎝⎭，从而可得结果. 【详解】∵0.31()2a =，12log 0.3b = 0.30.3c =∴10.3111112222a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<=<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，11221log 0.3log 12b =>=， 0.30.310.32c ⎛⎫=< ⎪⎝⎭,∴c a b << 故选：B 【点睛】方法点睛：解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.3．B解析：B 【分析】根据解析式可判断出()f x 是定义在R 的增函数且是奇函数，不等式可化为()()221f x f x <+，即得221x x <+，解出即可判断.【详解】可得()f x 的定义域为R ，x y e =和x y e -=-都是增函数，()f x ∴是定义在R 的增函数，()()x x f x e e f x --=-=-，()f x ∴是奇函数，则不等式()()2210f xf x +--<化为()()()2211f x f x f x <---=+，221x x ∴<+，解得112x -<<， 则不等式成立的充分不必要条件应是1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭的真子集， 只有B 选项满足. 故选：B. 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，解题的关键是判断出()f x 是增函数且是奇函数，从而将不等式化为()()221f xf x <+求解.4．D解析：D 【分析】 根据()()112f x f x +=，可知()()112f x f x =-，可得函数解析式并画出函数图象，由图象可得m 的取值范围.根据()()112f x f x +=，可知()()112f x f x =-， 又当(]0,1x ∈时，()()110,4f x x x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦， 所以(]1,2x ∈时，(]10,1x -∈，()()111(1)(1)20,228f x f x x x ⎡⎤=-=--∈⎢⎥⎣⎦， (]2,3x ∈时，(]11,2x -∈，()()111(1)(2)30,4416f x f x x x ⎡⎤=-=--∈⎢⎥⎣⎦， (]3,4x ∈时，(]12,3x -∈，()()111(1)(3)40,2832f x f x x x ⎡⎤=-=--∈⎢⎥⎣⎦，即3()64f x <恒成立， 可画出函数图象，当(]2,3x ∈时，13(2)(3)464x x --=，解得94x =或114x =， 故若存在[),x m ∈+∞，使得()364f x =有解，则实数114m ≤，故选：D.5．C解析：C 【分析】先求得()f x 的值域，根据题意可得()f x 的值域为[1,2]是()g x 在[1,1]-上值域的子集，分0,0a a ><两种情况讨论，根据()g x 的单调性及集合的包含关系，即可求得答案.因为2()(2)2,[0,2]f x x x =--+∈，所以min max ()(0)1()(2)2f x f f x f ==⎧⎨==⎩，即()f x 的值域为[1,2]，因为对于任意1[0,2]x ∈，总存在2[1,1]x ∈-，使得21()()g x f x =成立， 所以()f x 的值域为[1,2]是()g x 在[1,1]-上值域的子集，当0a >时，()g x 在[1,1]-上为增函数，所以(1)()(1)g g x g -≤≤，所以()[1,1]g x a a ∈---，所以1112a a --≤⎧⎨-≥⎩，解得3a ≥，当0a <时，()g x 在[1,1]-上为减函数，所以(1)()(1)g g x g ≤≤-，所以()[1,1]g x a a ∈---所以1112a a -≤⎧⎨--≥⎩，解得3a ≤-，综上实数a 的取值范围是(,3][3,)-∞-+∞，故选：C 【点睛】解题的关键是将题干条件转化为两函数值域的包含关系问题，再求解，考查分析理解的能力，属中档题.6．D解析：D 【分析】根据定义依次判断即可求出. 【详解】 对于①，()12312422x y x x -==----，则()()3212y f x x=+--=-是奇函数，故函数关于()2,1-对称； 对于②，()1212y f x x x x =+-=+是奇函数，故函数关于()2,1对称； 对于③，()321y f x x x =--=-是奇函数，故函数关于()2,1-对称；对于④，22334421121222x x x x x y x x x x -+-++-+===-++---，则()121y f x x x=+-=+是奇函数，故函数关于()2,1对称. 故有相同对称中心的一组是②和④. 故选：D.关键点睛：本题考查函数对称性的判断，解题的关键是能根据解析式化简整理，正确利用对称的定义进行判断，能根据解析式整理出奇函数特征.7．D解析：D 【分析】问题等价于函数()f x 在(]2,0-上的值域是函数()g x 在[2,1]-上的值域的子集，先求出()f x 在(]2,4上的值域，再根据(2)2()f x f x +=求出()f x 在(]2,0-的值域；分类讨论求出()g x 的值域，根据子集关系即可求出a 的范围. 【详解】由题知问题等价于函数()f x 在(]2,0-上的值域是函数()g x 在[2,1]-上的值域的子集．当(]2,4x ∈时，2(2)4,23()2,34x x f x x x x ⎧--+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩， 由二次函数及对勾函数的图象及性质，得此时9()3,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由(2)2()f x f x +=，可得11()(2)(4)24f x f x f x =+=+ 当(]2,0x ∈-时，(]42,4x +∈．则()f x 在(]2,0-的值域为39,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦．当0a >时，()[21,1]g x a a ∈-++，则有3214918a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得18a ≥，当0a =时，()1g x =，不符合题意；当0a <时，()[1,21]g x a a ∈+-+，则有3149218a a ⎧+≤⎪⎪⎨⎪-+≥⎪⎩，解得14a -．综上所述，可得a 的取值范围为11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭． 故选：D ． 【点睛】本题考查双变元利用值域求参数的问题，属于中档题.结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．8．C解析：C 【分析】首先判断函数的单调性和定义域，再解抽象不等式. 【详解】函数()f x 的定义域需满足210240x x x ->⎧⎨-+≥⎩，解得：1x >， 并且在区间()1,+∞上，函数单调递增，且()22f =， 所以()()()2212012f x x f x x f -+-<⇔-+<，即221112x x x x ⎧-+>⎨-+<⎩，解得：1x <<0x <<.故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断函数的单调性和定义域，尤其是容易忽略函数的定义域.9．D解析：D 【分析】根据题意先判断函数()f x 的奇偶性与单调性，然后将不等式变形得(12)(1)f x f x -<-，再利用单调性和定义域列出关于x 的不等式求解. 【详解】根据题意，由①知函数()f x 为奇函数，由②知函数()f x 在[0,1]上为减函数，所以可得函数()f x 在[]1,1-是奇函数也是减函数，所以不等式(12)(1)0f x f x -+-<，移项得(12)(1)f x f x -<--，变形(12)(1)f x f x -<-，所以11121x x -≤-<-≤，得203x ≤<. 故选：D. 【点睛】 本题考查的是函数单调性与奇偶性的综合问题，需要注意：（1）判断奇偶性：奇函数满足()()f x f x -=-；偶函数满足()()f x f x -=；（2）判断单调性：增函数()[]1212()()0x x f x f x -->；1212()()0f x f x x x ->-；减函数：()[]1212()()0x x f x f x --<；1212()()0f x f x x x -<-；（3）列不等式求解时需要注意定义域的问题.10．B解析：B 【分析】计算函数值域为{}0,1A 错误，根据偶函数定义知B 正确，()0D π=，(3.14)1D =，C 错误，()()011D D ==，故D 错误，得到答案. 【详解】根据题意：()D x 的值域为{}0,1，A 错误； 当x 为有理数时，x -为有理数，()()D x D x =-，当x 为无理数时，x -为无理数，()()D x D x =-，故函数为偶函数，B 正确； ()0D π=，(3.14)1D =，C 错误；()()011D D ==，故D 错误.故选：B. 【点睛】本题考查了分段函数的值域，奇偶性和单调性，意在考查学生对于函数性质的综合应用.11．A解析：A 【分析】首先求出函数的定义域，然后利用奇偶性定义判断即可. 【详解】解：因为()|3|3f x x =+-所以240330x x ⎧-≥⎪⎨+-≠⎪⎩解得22x -≤≤且0x ≠，故函数的定义域为[)(]2,00,2-，定义域关于原点对称，所以()f x x=，[)(]2,00,2x ∈-,又()()f x f x x-==-=-所以函数为奇函数； 故选：A 【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断，判断函数的奇偶性按照两步：①求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称；②计算()f x -判断与()f x 之间的关系；12．B解析：B 【分析】由奇函数和(1)(1)f x f x +=-得出函数为周期函数，周期为4，然后计算出(3),(2),(4)f f f 后可得结论．【详解】由函数()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，所以()()f x f x =--，且(0)0f =， 又由(1)(1)f x f x -=+，即(2)()()f x f x f x +=-=-，进而可得()(4)f x f x =+，所以函数()f x 是以4为周期的周期函数，又由(1)2f =，可得(3)(1)(1)2f f f =-=-=-，(2)(0)0f f ==,(4)(0)0f f ==, 则(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=， 所以(1)(2)(3)(2020)505[(1)(2)(3)(4)]0f f f f f f f f ++++=⨯+++=.故选：B . 【点睛】关键点睛：本题考查利用函数的周期性求函数值，解决本题的关键是由函数是奇函数以及(1)(1)f x f x -=+得出函数是周期为4的周期函数，进而可求出结果.13．B解析：B 【分析】根据已知可得函数()f x 的图象关于直线1x =对称，周期为4，且在[]1,3上为增函数，得出()()20193f f =，()()()202002f f f ==，()()20211f f =，根据单调性即可比较(2019),(2020),(2021)f f f 的大小． 【详解】解：∵函数()f x 满足：(2)()f x f x -=，故函数的图象关于直线1x =对称；(2)(2)f x f x +=-，则()()4f x f x +=，故函数的周期为4；12,[1,3]x x ∈ 时，1212()[()()]0x x f x f x -->，故函数在[]1,3上为增函数；故()()20193f f =，()()()202002f f f ==，()()20211f f =， 而()()()321f f f >>，所以(2019)(2020)(2021)f f f >>. 故选：B. 【点睛】本题考查函数的基本性质的应用，考查函数的对称性、周期性和利用函数的单调性比较大小，考查化简能力和转化思想．14．D解析：D 【解析】根据基本初等函数的性质知，符合条件的是21y x =+，因为满足2()1()f x x f x -=+=，且在(0,)+∞上是增函数，故选D.15．D解析：D 【分析】当(1,1)x ∈-时，函数1()1xf x lgx-=+恒有意义，代入计算()()f x f x -+可判断①；利用分析法，结合反比例函数及对数函数的单调性和复合函数“同增异减”的原则，可判断②；代入分别计算12()()f x f x +和1212()1x x f x x ++，比照后可判断③． 【详解】 解：1()1xf x lgx-=+，当(1,1)x ∈-时， 1111()()()101111x x x xf x f x lg lg lg lg x x x x+-+--+=+===-+-+，故()()f x f x -=-，即①正确； 12()(1)11x f x lglg x x -==-++，由211y x=-+在(1,1)-上是减函数，故()f x 在(1,1)-上是减函数，即②正确； 12121212121212121211111()()()11111x x x x x x x x f x f x lglg lg lg x x x x x x x x ----+--+=+==+++++++； 12121212121212121212111()1111x x x x x x x x x x f lg lg x x x x x x x x x x +-+++--==+++++++，即③正确 故三个结论中正确的命题有3个 故选：D ． 【点睛】本题以命题的真假判断为载体考查了函数求值，复合函数的单调性，对数的运算性质等知识点，属于中档题．二、填空题16．【分析】令可得是上的增函数根据为奇函数可得为偶函数且在上是减函数分类讨论的符号将变形后利用的单调性可解得结果【详解】令则对于都有所以是上的增函数因为函数为定义在R 上的奇函数所以所以所以是定义在R 上的 解析：(3,0)(3,)-⋃+∞【分析】令()()g x xf x =，可得()g x 是[0,)+∞上的增函数，根据()f x 为奇函数可得()g x 为偶函数，且在(,0)-∞上是减函数，分类讨论x 的符号，将6()f x x>变形后，利用()g x 的单调性可解得结果. 【详解】令()()g x xf x =，则对于12,[0,)x x ∀∈+∞，都有211221()()0()g x g x x x x x ->≠-，所以()g x 是[0,)+∞上的增函数，因为函数()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()()()g x xf x xf x g x -=--==，所以()g x 是定义在R 上的偶函数，所以()g x 在(,0)-∞上是减函数，当0x >时，6()f x x>化为()63(3)xf x f >=，即()(3)g x g >，因为()g x 是[0,)+∞上的增函数，所以3x >， 当0x <时，6()f x x>化为()6xf x <，因为()f x 为奇函数，且(3)2f =，所以(3)(3)2f f -=-=-，所以()6xf x <化为()3(3)(3)g x f g <--=-，因为()g x 在(,0)-∞上是减函数，所以30x -<<，综上所述：6()f x x>的解集为(3,0)(3,)-⋃+∞. 故答案为：(3,0)(3,)-⋃+∞【点睛】关键点点睛：构造函数()()g x xf x =，利用()g x 的奇偶性和单调性求解是解题关键.17．【分析】首先将函数写成分段函数的形式再分解函数的单调性列不等式求解【详解】要使函数在单调递增则在单调递增且在单调递增以及在分界点处即得解得：故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的第一个关键是去绝对值第 解析：[]0,2【分析】首先将函数写成分段函数的形式，再分解函数的单调性，列不等式求解. 【详解】()22,1,1x ax a x f x x ax a x ⎧-+≥=⎨+-<⎩，要使函数()f x 在[)0,+∞单调递增，则2y x ax a =-+在[)1,+∞单调递增，且2y x ax a =+-在[)0,1单调递增，以及在分界点处a a -≤，即得1202a aa a ⎧≤⎪⎪⎪-≤⎨⎪-≤⎪⎪⎩，解得：02a ≤≤. 故答案为：[]0,2 【点睛】关键点点睛：本题的第一个关键是去绝对值，第二个关键是根据分段函数的单调性列不等式，每段都是增函数，以及在分界点处的不等式.18．【分析】等价于再画出函数的图象求出函数的最小值即得解【详解】∵的最大值是0∴函数∴当时恒成立当时∴∴设其函数图象如图：由图象可知当时∴实数的取值范围为故答案为：【点睛】关键点睛：解答本题的关键是找到 解析：6a ≤-【分析】等价于2a x ≤--，再画出函数2y x =--，[]4,4x ∈-的图象求出函数的最小值即得解. 【详解】∵()f x 的最大值是0，∴函数()()242220f x x a x x x a =-++=+-+≤，∴当2x =-时，0f x 恒成立，当2x ≠-时，∴20x a -+≤，∴2a x ≤--，设2y x =--，[]4,4x ∈-，其函数图象如图：由图象可知，当4x =-时，min 426y =---=-， ∴实数a 的取值范围为6a ≤-． 故答案为：6a ≤-． 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是找到原命题的等价命题，由()()220f x x x a =+-+≤得到2a x ≤--在[]4,4x ∈-上恒成立.再画函数的图象求函数的最小值就自然而然了.19．①④【分析】直接利用函数的定义域和函数的奇偶性判断①②进一步利用函数的单调性和函数的对称轴的应用求出函数的最值和单调区间从而判定③④【详解】解：函数由于整理得则：由于函数为偶函数函数的图象关于y 轴对解析：①④ 【分析】直接利用函数的定义域和函数的奇偶性判断①②，进一步利用函数的单调性和函数的对称轴的应用求出函数的最值和单调区间从而判定③④． 【详解】解：函数22()(0)||||a x f x abc x b x c -=<<<++-，由于220a x -≥，整理得a x a -≤≤．则：2222()||||a x a x f x x b x c b c--==++-+． 由于函数为偶函数，函数的图象关于y 轴对称，所以函数不存在反函数，存在反函数的函数的前提该函数具有单调性．故①正确②错误．因为22y a x =-在()0,a 上为减函数，所以()f x 在()0,a 上为减函数，故故③错误； 可知()f x 在[],0a -单调递增，()0,a 单调递减，且为偶函数，则()f x 在0x =出取得最大值ab c+，在x a =±处取得最小值0，故④正确． 故答案为：①④. 【点睛】本题考查函数性质的应用，属于基础题.20．①③④【分析】根据函数图像逐一判断即可【详解】对于①令结合图象可得有三个不同的解从图象上看有两个不同的解有两个不同的解有两个不同的解故有6个不同解故①正确对于②令结合图象可得有两个不同的解从图象上看解析：①③④ 【分析】根据函数图像逐一判断即可. 【详解】对于①，令()t x g =，结合图象可得()0f t =有三个不同的解12321,0,12t t t -<<-=<<， 从图象上看()1g x t =有两个不同的解，()2g x t =有两个不同的解，()3g x t =有两个不同的解，故[()]0f g x =有6个不同解，故①正确.对于②，令()t f x =，结合图象可得()0g t =有两个不同的解1221,01t t -<<-<<， 从图象上看()1f x t =的有一个解，()2f x t =有三个不同的解， 故[()]0g f x =有4个不同解，故②错误. 对于③，令()t f x =，结合图象可得()0f t =有三个不同的解12321,0,12t t t -<<-=<<， 从图象上看()1f x t =有一个解，()2f x t =有三个不同的解，()3f x t =有一个解，故[()]0f f x =有5个不同解，故③正确.对于④，令()t x g =，结合图象可得()0g t =有两个不同的解1221,01t t -<<-<<， 从图象上看()1g x t =有两个不同的解，()2g x t =有两个不同的解， 故[()]0g g x =有4个不同解，故④正确. 故答案为①③④.【点睛】本题考查了函数图像的应用，考查了数学结合思想，属于中档题.21．(－∞－2)【分析】讨论分段函数各区间上单调递减且在处连续可知在R 上单调递减结合在aa ＋1上恒成立根据单调性列不等式求参数范围即可【详解】二次函数的对称轴是x ＝2∴该函数在(－∞0上单调递减即在(－解析：(－∞，－2) 【分析】讨论分段函数()f x 各区间上单调递减，且在3x =处连续可知()f x 在R 上单调递减，结合()(2)f x a f a x +>-在[a ，a ＋1]上恒成立，根据单调性列不等式求参数范围即可【详解】二次函数2143y x x =-+的对称轴是x ＝2∴该函数在(－∞，0]上单调递减，即在(－∞，0]上13y ≥同理，函数2223y x x =--+在(0，＋∞)上单调递减，即在(0，＋∞)上23y <∴分段函数()f x 在3x =处连续，()f x 在R 上单调递减由()(2)f x a f a x +>-有2x a a x +<-，即2x < a 在[a ，a ＋1]上恒成立 ∴2(a ＋1) < a ，解得a <－2 ∴实数a 的取值范围是(－∞，－2) 故答案为：(－∞，－2) 【点睛】本题考查了函数的单调性，确定分段函数在整个定义域内的单调性，再利用单调性和不等式恒成立的条件求参数范围22．②④【分析】根据题意画出方程对应的函数图象根据图像判断函数单调性值域最值以及函数零点个数的判断数形结合即可选择【详解】当y≥0时方程y|y|＝1化为（y≥0）当y ＜0时方程y|y|＝1化为（y ＜0）解析：②④ 【分析】根据题意，画出方程对应的函数图象，根据图像判断函数单调性、值域、最值以及函数零点个数的判断，数形结合即可选择. 【详解】当y ≥0时，方程24x +y |y |＝1化为2214x y +=（y ≥0），当y ＜0时，方程24x +y |y |＝1化为2214x y -=（y ＜0）.作出函数f （x ）的图象如图：由图可知，函数f （x ）在R 上不是单调函数，故①错误； y ＝f （x ）的图象上的点到坐标原点距离的最小值为1，故②正确； 函数f （x ）的值域为（﹣∞，1]，故③错误；双曲线2214x y -=的渐近线方程为y 12=±，故函数y ＝f （x ）与y ＝﹣x 的图象只有1个交点， 即函数F （x ）＝f （x ）+x 有且只有一个零点，故④正确. 故答案为：②④. 【点睛】本题考查函数单调性、值域以及零点个数的判断，涉及椭圆和双曲线的轨迹绘制，以及数形结合的数学思想，属综合中档题.23．2【分析】利用确定函数的周期再结合偶函数性质求值【详解】用x+1代换x 得即f(x+2)=f(x)f(x)为周期函数T=2又是偶函数所以故答案为：2【点睛】本题考查由函数的周期性和奇偶性求函数值属于中解析：2 【分析】 利用()()1f x f x +=-确定函数的周期，再结合偶函数性质求值．【详解】用x +1代换x ，得[]()()(1)+1(+1)f x f x f x f x +=-=--=⎡⎤⎣⎦，即f (x +2)=f (x )，f (x )为周期函数，T =2，又 2log 83=， ()f x 是偶函数，所以()()()()121log 831122f f f f -⎛⎫===-== ⎪⎝⎭，故答案为：2． 【点睛】本题考查由函数的周期性和奇偶性求函数值，属于中档题.函数()f x 若满足()()f x a f x +=-，1()()f x a f x +=等时，则此函数为周期函数，且2a 是它的一个周期．24．【分析】先利用换元法求出然后再用分离变量法借助函数的单调性解决问题【详解】解：由题意可设则∵∴∴∴∴由得∴对恒成立令则由得∴在上单调递减在单调递增∴∴故答案为：【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的 解析：(],21e -∞-【分析】先利用换元法求出()f x ，然后再用分离变量法，借助函数的单调性解决问题． 【详解】解：由题意可设()xf x e x t -+=，则()xf x e x t =-+，∵()xf f x e x e ⎡⎤-+=⎣⎦，∴()ttf t e t t e e =-+==，∴1t =，∴()1xf x e x =-+，∴()1xf x e '=-，由()()f x f x ax '+≥得11x x e x e ax -++-≥，∴21x e a x≤-对()0,x ∈+∞恒成立，令()21xe g x x =-，()0,x ∈+∞，则()()221'x e x g x x-=， 由()'0g x =得1x =，∴()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞单调递增， ∴()()121g x g e ≥=-， ∴21a e ≤-，故答案为：(],21e -∞-． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查利用函数的单调性解决恒成立问题，属于中档题．25．1【分析】根据题意由函数的奇偶性分析可得进而可得即函数是周期为4的周期函数据此可得（4）（2）即可得答案【详解】根据题意函数是定义在上的偶函数对任意的都有则即函数是周期为4的周期函数故答案为：1【点解析：1 【分析】根据题意，由函数的奇偶性分析可得()(2)f x f x =--，进而可得()(2)(4)f x f x f x =--=-，即函数()f x 是周期为4的周期函数，据此可得(2020)(44504)f f f =+⨯=（4）f =-（2），即可得答案．【详解】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有()(2)f x f x =--，则()(2)f x f x =--，∴()(2)(4)f x f x f x =--=-，即函数()f x 是周期为4的周期函数，(2020)(44504)(4)(2)1f f f f =+⨯==-=，故答案为：1【点睛】本题考查抽象函数的求值，涉及函数的奇偶性、周期性的性质以及应用，注意分析函数的周期．26．【分析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性结合函数的奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可【详解】则是偶函数当函数为增函数则等价与所以平方得所以所以即不等式的解集为故答案为：【点睛】本题主要考查 解析：113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【分析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性，结合函数的奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可.【详解】()()()()2211ln 1ln 111f x x x f x x x -=+--=+-=++，则()f x 是偶函数， 当0x ≥函数()f x 为增函数，则()()12f x f x >-等价与()()12f x f x >-， 所以12x x >-，平方得22144x x x -+>， 所以23410x x -+<，所以113x <<，即不等式的解集为113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭， 故答案为：113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题主要考查不等式的求解，结合条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键，难度中等.。
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2010－2011学年度上学期
新课标高一数学同步测试（3）—第一单元（函数及其表示）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）. 1．下列四种说法正确的一个是 （ ）
A ．)(x f 表示的是含有x 的代数式
B ．函数的值域也
就是其定义中的数集B
C ．函数是一种特殊的映射
D ．映射是一种特
殊的函数
2．已知f 满足f (ab )=f (a )+ f (b)，且f (2)=p ，q f =)3(那么)72(f 等于 （ ） A ．q p +
B ．q p 23+
C ．q p 32+
D ．23q p + 3．下列各组函数中，表示同一函数的是
（ ）
A ．x
x y y ==,1 B ．1,112-=+⨯-=x y x x y C ．33,x y x y == D ． 2)(|,|x y x y == 4．已知函数2
3212---=x x x y 的定义域为
（ ） A ．]1,(-∞
B ．]2,(-∞
C ．]1,2
1()2
1
,(-⋂--∞
D ． ]1,2
1()2
1,(-⋃--∞
5．设
⎪⎩
⎪
⎨⎧<=>+=)0(,0)0(,)0(,1)(x x x x x f π，则=-)]}1([{f f f
（ ）
A ．1+π
B ．0
C ．π
D ．1- 6．下列图中，画在同一坐标系中，函数bx ax y +=2与
)0,0(≠≠+=b a b ax y 函数的图象只可能是
（ ）
7．设函数x x
x
f =+-)11(，则)(x f 的表达式为 （ ） A ．
x
x
-+11 B ．
1
1-+x x
C ．
x
x
+-11 D ．
1
2+x x
8．已知二次函数)0()(2>++=a a x x x f ，若0)(<m f ，则)1(+m f 的值为 （ ） A ．正数 B ．负数
C ．0
D ．符
号与a 有关
9．已知在x 克%a 的盐水中，加入y 克%b 的盐水，浓度变为%c ，将y 表示成x 的函数关系式 （ ） A ．x b c a c y --=
B ．x c b a c y --=
C ．x a c b c y --=
D ．x a
c c
b y --= 10．已知)(x f 的定义域为)2,1[-，则|)(|x f 的定义域为
（ ） A ．)2,1[-
B ．]1,1[-
C ．)2,2(-
D ．)2,2[-
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）. 11．已知x x x f 2)12(2-=+，则)3(f = . 12．若记号“*”表示的是2
*b
a b a +=
，则用两边含有“*”和“+”的运算对于任意三个实数“a ，b ，c ”成立一个恒等式 . 13．集合A 中含有2个元素，集合A 到集合A 可构成 个不同的映射.
14．从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水加满，再倒出1升混合溶液，再用水加满. 这样继续下去，建立所倒次数x 和酒精残留量y 之间的函数关系式 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分). 15．（12分）①．求函数|
1||1|1
3
-++-=
x x x y 的定义域；
②求函数x x y 21-+=的值域；
③求函数1
3
2222+-+-=x x x x y 的值域.
16．（12分）在同一坐标系中绘制函数x x y 22+=，||22x x y +=得图象.
17．（12分）已知函数x x f x x f x =+-+-)()1
1
(
)1(，其中1≠x ，求函数解析式.
18．（12分）设)(x f 是抛物线，并且当点),(y x 在抛物线图象上时，点
)1,(2+y x 在函数)]([)(x f f x g =的图象上，求)(x g 的解析式.
19．（14分）动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点出发顺次经过B 、
C、D再回到A；设x表示P点的行程，y表示PA的长，求y关于
x的函数解析式.
20．（14分）
已知函数)
g
y
x
x
g
f
g+
-；
=
(y
x
y
f
(
)
(x
f，)
(x
(
g同时满足：)
(
)
)
)
(
),1(
f，求)2(
),
g
g的值.
)1(=
0(g
1
(-
)1
=
-
)0(=
f，0
f，1
参考答案（3）
一、CBCDA BCABC
二、11．－1；12．c
(
+)
)
(；13．4；
=
*
b
a
c
b
a*
+
14．*,)20
19(20N x y x ∈⨯= ；
三、15． 解：①．因为|1||1|-++x x 的函数值一定大于0，且1-x 无
论取什么数三次方根一定有意义，故其值域为R ；
②．令
t x =-21，0≥t ，)1(2
12t x -=，原式等于1)1(2
1)1(2122+--=+-t t t ，
故1≤y 。
③．把原式化为以x 为未知数的方程03)2()2(2=-+---y x y x y ，
当2≠y 时，0)3)(2(4)
2(2
≥----=∆y y y ，得3
102≤
<y ； 当2=y 时，方程无解；所以函数的值域为]3
10,2(.
16．题示：对于第一个函数可以依据初中学习的知识借助顶点坐标，
开口方向，与坐标轴交点坐标可得；第二个函数的图象，一种方法是将其化归成分段函数处理，另一种方法是该函数图象关于y 轴对称，先画好y 轴右边的图象.
17．题示：分别取t x =和1
1
-+=
x x x ，可得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
-+=-+--=--+-11)11()(1
2)()11()1(x x x x f t f t x x f x x f t ，联立求解可得结果. 18．解：令c bx ax x f ++=2)()0(≠a ，也即c bx ax
y ++=2
.同时
1
)(22+++c bx ax =)]([)(12x f f x g y ==+=
c c bx ax b c bx ax a ++++++)()(222.
通过比较对应系数相等，可得1,0,1===c b a ，也即12+=x y ，
22)(24++=x x x g 。
19．解：显然当P 在AB 上时，PA=x ；当P 在BC 上时，PA=
2
)1(1-+x ；
当P 在CD 上时， PA=
2
)3(1x -+；当P 在DA 上时，PA=x -4，再写成分段函数的形式.
20．解：令y x =得：)0()()(22g y g x f =+. 再令0=x ，即得1,0)0(=g .
若0)0(=g ，令1==y x 时，得0)1(=f 不合题意，故1)0(=g ；
)
1()1()1()1()11()0(f f g g g g +=-=，即1)1(12+=g ，所以0)1(=g ；那么
)1()0()1()0()10()1(=+=-=-f f g g g g ，
1)1()1()1()1()]1(1[)2(-=-+-=--=f f g g g g .。