2017-2018学年江西省南昌市第二中学高二上学期第一次月考数学(理)试题-解析版

江西省南昌市第二中学2017-2018学年高二上学期第一次月考数学（理）试题一、选择题 1．直线tan 706x y π+-=的倾斜角是（ ）A. π6-B. π6C. 2π3D. 5π6【答案】D【解析】∵直线tan706x y π+-=的斜率为﹣tan6π=3-3，由tanα=3-3，且0≤α＜π，得5=6πα．故选：D ．点睛：由直线方程求出直线的斜率，再由倾斜角的正切值等于斜率得答案。

2．焦点在x 轴上的椭圆221(0)3x y m m+=>的焦距为82，则长轴长是（ ） A. 11 B. 33 C. 233 D. 33【答案】C【解析】由条件知2223,1,31a m b c m ===- ，焦距为282,42,c c == 所以33a = ，长轴长是2233a = . 故选C ；3．直线()110k x ky +-+=（k R ∈）与圆()()22213x y ++-=的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 与k 的值有关 【答案】D【解析】∵直线l ：（k+1）x ﹣ky+1=0可化为：x+1+k （﹣y+1）=0， ∴对于任意实数k ，直线l 过定点（-1，1）． ∵12+（1﹣1）2=1，∴点（-1，1）在圆C 内， ∴直线l 与圆相交. 故选：A ．4．已知直线1:30l mx y -+=与2l 关于直线y x =对称， 2l 与311:22l y x =-+垂直，则m =（ ） A. 12-B. 12C. -2D. 2 【答案】B【解析】2l 与311:22l y x =-+垂直，故2l 的斜率是2，设2l ：20x y n -+= ， 1:30l mx y -+=过定点()0,3 ，2l 和x 轴的交点为,02n ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 1:30l mx y -+=与2l 关于直线y x =对称，故316,2n n =-⇒=- 2l 260.x y --=和y x =的交点()6,6 也是和1:30l m x y -+=的交点，代入解得1.2m = 5．点()0,2k 为圆22:8280C x y x y +-+-=上一点，过点K 作圆切线为,l l 与l '：420x ay -+=平行，则l '与l 之间的距离是（ ）A.85 B. 45 C. 285 D. 125【答案】B【解析】由题意，k CM =34-， ∴过M 的圆的切线的斜率为k l =43，∴直线l 的方程为4x ﹣3y+6=0 ∵l 与l′：4x ﹣ay+2=0平行，∴a=3， ∴l 与l′之间的距离是22624534-==+ ， 故答案为：45． 点睛：由切线与过切点的半径所在直线垂直求出切线的斜率，即可求出两直线方程，再用距离公式即可．6．曲线214(||2)y x x =+-≤与直线(2)4y k x =-+有两个交点时，实数k 的取值范围是（ ）A.53(,]124 B.53(,)124 C.13(,)34 D.5(0,)12 【答案】A. 【解析】试题分析：由题意得，22214(1)4(1)y x x y y =+-⇒+-=≥，其表示以(0,1)为圆心，2为半径的圆的上半部分，而(2)4y k x =-+表示经过点(2,4)的一条直线，如下图所示，当直线与圆相切时，2|32|52121k k k -=⇒=+，∴5413122(2)4k -<≤=--，故选A.考点：1.函数与方程；2.数形结合的数学思想.【方法点睛】运用函数图象结合数形结合思想求解问题的类型：1.对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想；2.一些函数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．7．若圆()()22:1225C x y -++=上有四个不同的点到直线4:33al y x =--的距离为2，则a 的取值范围是( )A. (－12，8)B. (－8，12)C. (－13，17)D. (－17，13) 【答案】C【解析】圆C ：x 2+y 2﹣2x+4y ﹣20=0化为（x ﹣1）2+（y+2）2=25，则圆心C 为（1，﹣2），半径r=5． 若圆C ：（x ﹣1）2+（y+2）2=25有四个不同的点到直线l ：4x +3y+c=0的距离为2， 则圆心C （1，﹣2）到直线l 的距离d ＜3，462355c c -+-=<即解得：﹣13＜c ＜17，∴c 的取值范围是（﹣13，17）． 故选：C ．点睛: 由题意画出图形，若圆C ：（x ﹣1）2+（y+2）2=25有四个不同的点到直线l ：4x +3y+c=0的距离为2，则圆心C （1，﹣2）到直线l 的距离d ＜3，由此列关于c 的不等式得答案．8．两圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若a R ∈，b R ∈，且0ab ≠，则2211a b+的最小值为( ) A.49 B. 109C. 1D. 3 【答案】C【解析】因为两圆的圆心和半径分别为()()1122,0,2,0,2,1C a r C b r -==，所以由题设可知两圆相外切，则1212C C r r =+，故2249a b +=，即224199a b +=，所以2211a b + = 2222222241114454199999999a b b a a b a b ⎛⎫⎛⎫++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，应选答案C 。

点睛：解答本题的关键是准确理解题设中恰有三条切线这一信息，并进一步等价转化为“在2249a b +=，即224199a b +=的前提下，求2211a b +的最小值问题”。

求解时充分借助题设条件，巧妙地将2249a b +=化为224199a b +=，再运用基本不等式从而使得问题的求解过程简捷、巧妙。

9．已知圆22:230C x y x +--=，过原点且互相垂直的两直线分别交圆C 于点A ，B ，D ，E ，则四边形ABDE 面积的最大值为( ) A. 4 B. 7 C. 4D. 4【答案】B【解析】圆心()1,0C ，设圆心到l 1，l 2的距离分别为d 1，d 2，则222121,d d OC +== 又22222212,,44EF GH d R d R +=+= 两式相加，得：EF 2+GH 2=14≥2EF•GH ， 1*7,2S EF GH =≤ 即（S 四边形EFGH ）max =7．点睛：设圆心到l 1，l 2的距离分别为d 1，d 2，根据垂径定理求出距离的平方和及勾股定理得到EF 2+GH 2=74≥2EF•GH，而因为四边形的对角线互相垂直得四边形的面积S=12EF•GH，代入即可求出面积的最大值． 10．一束光线从点()1,1P -出发，经x 轴反射到圆22:46120C x y x y +--+=上的最短路程是( )A. 4B. 5C. 321-D. 26 【答案】A【解析】先作出已知圆C 关于x 轴对称的圆C′，则圆C′的方程为：（x ﹣2）2+（y+3）2=1，所以圆C′的圆心坐标为（2，﹣3），半径为1，则最短距离d=|PC′|﹣r=22-1-2+1+3-1=4（）（）.故选C ． 点睛：先作出圆C 关于x 轴的对称的圆C′，问题转化为求点P 到圆C′上的点的最短路径，方法是连接PC′与圆交于B 点，则PB 为最短的路线，利用两点间的距离公式求出PC′，然后减去半径即可求出．11．椭圆221259x y +=的左、右焦点分别为12,F F ,弦AB 过1F ，若2ABF ∆的内切圆面积为4，A 、B 两点的坐标分别为()11,x y 和()22,x y ，则21y y -的值为（ ）A.53B. 103C. 203D. 52【答案】D【解析】∵椭圆221259x y +=的左右焦点分别为F 1，F 2， 过焦点F 1的直线交椭圆于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点， △ABF 2的内切圆的面积为π， ∴△ABF 2内切圆半径r=1．△ABF 2面积S=12 ×1×（AB+AF 2+BF 2）=2a=10， ∴ABF 2面积=12|y 1﹣y 2|×2c=12|y 1﹣y 2|×2×3=10，∴|y 1﹣y 2|=103． 故选：D ．点睛：由已知△ABF 2内切圆半径r=1．，从而求出△ABF 2，再由ABF 2面积=12|y 1﹣y 2|×2c ，能求出|y 1﹣y 2|．12．设直线系()():cos 2sin 102M x y θθθπ+-=≤≤,则下列命题中是真命题的个数是①存在一个圆与所有直线不相交 ②存在一个圆与所有直线相切③M 中所有直线均经过一个定点 ④存在定点P 不在M 中的任一条直线上 ⑤M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C【解析】根据直线系M ：xcosθ+（y ﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）得到所有直线都为圆心为（0，2），半径为1的圆的切线； 可取圆心为（0，2），半径分别为2，12，1得到①②正确；所有的直线与一个圆相切，没有过定点，③错；存在（0，2）不在M 中的任一条直线上，所以④正确；⑤可取圆的外接正三角形其所有边均在M 中的直线上且面积相等； 故选：C.二、填空题13．椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，12F PF ∠ 的大小为 . 【答案】120 【解析】试题分析： 14PF =,224642PFa ∴=-=-=，12227F F c == ，所以利用余弦定理可得222121212121cos 22PF PF F F F PF PF PF +-∠==-,所以12F PF ∠的大小为 120.考点：本小题主要考查椭圆定义的应用和余弦定理的应用，考查学生的运算求解能力. 点评：解决此小题的关键在于利用椭圆的定义求出了2PF .14．直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b += . 【答案】2 【解析】试题分析：依题意，设1l 与单位圆相交于B A ,两点，则∠90=AOB °.如图，当1,1-==b a 时满足题意，所以222=+b a .考点：直线与圆相交，相等弧的概念，容易题.15．已知椭圆C 的方程为＋＝1，A 、B 为椭圆C 的左、右顶点，P 为椭圆C 上不同于A 、B 的动点，直线x ＝4与直线PA 、PB 分别交于M 、N 两点；若D(7，0)，则过D 、M 、N 三点的圆必过x 轴上不同于点D 的定点，其坐标为________． 【答案】2【解析】设A （﹣2，0），B （2，0），P （x 0，y 0），则204x +203y =1，即有y 02=3（1﹣204x ），设PA ，PB 的斜率为k 1，k 2，则k 1•k 2=002y x - •002y x +=224y x -=﹣34 ，设PA ：y=k 1（x+2），则M （4，6k 1）， PB ：y=k 2（x ﹣2），则N （4，2k 2），又k DM =﹣163k =﹣2k 1，k DN =﹣23k 2，k DM •k DN =﹣1，设圆过定点F （m ，0）则1262*144k k m m=---， 解得m=1或m=7（舍去），故过点D ，M ，N 三点的圆是以MN 为直径的圆过F （1，0）． 故答案为：（1，0）． 点睛：设A （﹣2，0），B （2，0），P （x 0，y 0），由椭圆方程和直线的斜率公式，以及两直线垂直的条件，计算即可得到定点坐标．三、解答题16．已知MNQ ∆的三个顶点分别为()2,3M , ()1,2N --， ()3,4Q -，求 （1）NQ 边上的中线MD 所在的直线方程的一般式； （2）求MNQ ∆的面积【答案】（1.0） 【解析】试题分析：（Ⅰ）求出中点D 的坐标，用两点式求出中线MD 所在直线的方程，并化为一般式．（Ⅱ） 求出线段NQ 的长度，求出直线NQ 的方程和点M 到直线NQ 的距离，即可求得，∴△MNQ 的面积．（1）由已知得BC 中点D 的坐标为()2,1D -， ∴中线AD 所在直线的方程是()()213122x y ---=---， 即240x y -+= （2）∵()()()221324210BC =---+--=，直线BC 的方程是350x y ++=， 点A 到直线BC 的距离是223235141031d ⋅++==+ ∴△ABC 的面积是1142S BC d =⋅=． 点睛：本题考查用两点式求直线方程的方法，点到直线的距离公式的应用，求点A 到直线BC 的距离是解题的难点．17．已知直线l 过点()21，且与圆O ： 224x y +=相交于,A B 两点， 0120AOB ∠=.求直线AB 方程的一般式. 【答案】（1）240.x y -+= ；（2）14.【解析】试题分析：由0120AOB ∠=可以设直线斜率为k ，则y ﹣1=k （x ﹣2）即kx ﹣y ﹣2k+1=0，求出k 值，从而得到直线方程.由题意，因为圆的半径为2，∠AOB=120°，所以圆心到直线的距离为1，设直线斜率为k ，则y ﹣1=k （x ﹣2）即kx ﹣y ﹣2k+1=0，所以2211,1k k -=+ 解得k=0或k=43 ，所以直线AB 的方程为y=1或4x ﹣3y ﹣5=0．18．求与圆M ：x 2 +y 2 = 2x 外切,并且与直线x+3y=0相切于点Q(3,－3)的圆的方程的标准式.【答案】1y =或4350x y --=【解析】试题分析：根据两圆外切得到两个圆心之间的距离等于半径的和，圆C 与直线x+3)y=0相切于点Q （3，﹣3 ），可得圆心与点Q （3，﹣3）的连线与直线x+3)y=0垂直，其斜率为3,列出式子求解即可； ∵圆C 与圆x 2+y 2﹣2x=0相外切，故两个圆心之间的距离等于半径的和，又∵圆C 与直线x+3y=0相切于点Q （3，﹣3 ），可得圆心与点Q （3，﹣3)）的连线与直线x+3)y=0垂直，其斜率为3, 设圆C 的圆心为（a ，b ），则()22333{,3112b a a b a b +=-+-+=+解得a=4，b=0，r=2或a=0，b=﹣43，r=6， ∴圆C 的方程为（x ﹣4）2+y 2=4或x 2+（y+4）2=36．19．已知直线l ： ()()12530k x y k k R --+-=∈恒过定点P ，圆C 经过点()4,0A 和点P ，且圆心在直线210x y -+=上. （1）求定点P 的坐标； （2）求圆C 的方程；（3）已知点P 为圆C 直径的一个端点，若另一个端点为点Q ，问：在y 轴上是否存在一点()0,M m ，使得PMQ 为直角三角形，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）()3,1；（2）22148400x y x y +--+=；（3）191191m -≤≤+. 【解析】试题分析：（1）直线过定点问题，应将直线l ：()()12530k x y k k R --+-=∈的方程中含k 的项合并，变为()()3250k x x y --+-=，解方程组30{250x x y -=+-=即可求定点坐标；（2）方法一：设圆C 的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，其圆心为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ，由条件可得关于F D E 、、 三元方程组，解方程组可求解；方法二：设圆的方程为标准方程。