高中数学均匀随机数的产生习题高一必修
高中数学_3.3.2_均匀随机数的产生素材2_新人教a版高一必修3
高中数学_3.3.2_均匀随机数的产生素材赌棍“考验”数学家对概率的兴趣,是由保险事业的发展而产生的,但刺激数学家思考概率论问题的却来自赌博者的请求. 传说,17世纪中叶,法国贵族公子梅累参加赌博,和赌友掷骰子,各押赌注32个金币.双方约定,梅累如果先掷出三次6点,或者赌友先掷出三次4点,就算赢了对方.赌博进行了一段时间,梅累已经两次掷出6点,赌友已经一次掷出4点.这时候梅累接到通知,要他马上陪国王接见外宾,赌博只好中断了.这就碰到一个问题：两个人应该怎样分这64个金币才算合理呢?赌友说,他要再碰上两次4点,或梅累要再碰上一次6点就算赢,所以梅累分64个金币的32,自己分64个金币的31.梅累急辩说,不是,即使下一次赌友掷出了4点,他还可以得21,即32个金币；再加上下一次还有一半希望得16个金币,所以他应该分64个金币的43,赌友只能分得64个金币的41.两人到底谁说得对呢？梅累为这问题苦恼好久,最后他不得不向法国数学家、物理学家帕斯卡请教,请求他帮助作出公正的裁判,这就成为有趣的“分赌注”问题.帕斯卡是17世纪有名的“神童”数学家.可是,梅累提出的“分赌注”的问题,却把他难住了.他苦苦思考了近三年,到1654年才算有了点眉目,于是写信给他的好友费马,两人讨论结果,并取得了一致的意见：梅累的分法是对的,他应得64个金币的43,赌友应得64个金币的41.这时有位荷兰的数学家惠更斯,在巴黎听到这件新闻,也参加了他们的讨论.惠更斯把讨论的结果写成一本书叫做《论赌博中的计算》（1657年）,这就是概率论的最早一部著作.除保险事业之外,各行各业都经常会碰到“某事件发生的可能性大小”的问题.因此,概率论问世后,在各方面得到了广泛的应用.可是,到了19世纪末,法国数学家贝特朗奇发现了一个非常有趣的怪论.他研究了下面一个问题：“设圆内接等边三角形的边长为a,在圆上任作一弦,问其长度超过a 的概率是多少？”贝特朗奇算出了三种不同的答案,三种解法似乎又都有道理.人们把这种怪论称为概率怪论,或贝特朗奇怪论.贝特朗奇的解法如下：解法一：任取一弦AB,过点A 作圆的内接等边三角形（如右图）.因为三角形内角A 所对的弧占整个圆周的31.显然,只有点B 落在这段弧上时,AB 弦的长度才能超过正三角形的边长a,故所求概率是31.解法二：任取一弦AB,作垂直于AB 的直径PQ.过点P 作等边三角形,交直径于N,并取OP 的中点M （如下图）.容易证明QN=NO=OM=MP.我们知道,弦长与弦心距有关.一切与PQ 垂直的弦,如果通过MN 线段的,其弦心距均小于ON,则该弦长度就大于等边三角形边长,故所求概率是21.解法三：任取一弦AB.作圆内接等边三角形的内切圆（如右图）,这个圆是大圆的同心圆,而且它的半径是大圆的21,它的面积是大圆的41,设M 是弦AB 的中点,显然,只有中点落在小圆内时,AB 弦才能大于正三角形的边长.因此所求的概率是41.细细推敲一下,三种解法的前提条件各不相同：第一种假设了弦的端点在四周上均匀分布；第二种假设弦的中点在直径上均匀分布；第三种假设弦的中点在小圆内均匀分布.由于前提条件不同,就导致三种不同的答案.这是因为在那时候概率论的一些基本概念（如事件、概率及可能性等）还没有明确的定义,作为一个数学分支来说,它还缺乏严格的理论基础,这样,对同一问题可以有不同的看法,以致产生一些奇谈怪论. 概率怪论的出现,迫使数学家们注意概率基础理论的研究.1933年,苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论公理化结构,明确了概率的各种基本概念,使概率论成为严谨的数学分支.。
人教版高中数学必修3课时卷 均匀随机数的产生
课时提升卷(二十二)均匀随机数的产生（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.设x1是[0,1]内的均匀随机数,x2是[-2,1]内的均匀随机数,则x1与x2的关系是( )A.x2=2x1-2B.x2=3x1-2C.x2=3x1+2D.x2= x1-22.欧阳修《卖油翁》中写到:“(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿.”可见“行行出状元”,卖油翁的技艺让人叹为观止,若铜钱是直径为 2.5cm的圆,中间有边长为0.8cm的正方形孔,若你随机向铜钱上滴一滴油,则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为( )A. B. C. D.3.在等腰Rt△ABC中,在斜边AB上任取一点M,则AM的长小于AC 的长的概率为( )A. B. C. D.4.在长为60m,宽为40m的矩形场地上有一个椭圆形草坪,在一次大风后,发现该场地内共落有300片树叶,其中落在椭圆外的树叶数为96片,以此数据为依据可以估计出草坪的面积约为( )A.768m2B.1632m2C.1732m2D.868m25.如图,在△AOB中,已知∠AOB=60°,OA=2,OB=5,在线段OB上任取一点C,则△AOC为钝角三角形的概率为( )A.0.6B.0.4C.0.2D.0.1二、填空题(每小题8分,共24分)6.b1是[0,1]上的均匀随机数,b=3(b1-2),则b是区间上的均匀随机数.7.已知如图所示的矩形,其长为12,宽为5.在矩形内随机地撒1000颗黄豆,数得落在阴影部分的黄豆数为550颗,则可以估计出阴影部分的面积约为.8.利用随机模拟方法计算y=x2与y=4围成的面积时,利用计算器产生两组0～1之间的均匀随机数a1=RAND,b1=RAND,然后进行平移与伸缩变换a=a1·4-2,b=b1·4,试验进行100次,前98次中落在所求面积区域内的样本点数为65,已知最后两次试验的随机数a1=0.3,b1=0.8及a1=0.4,b1=0.3,那么本次模拟得出的面积约为.三、解答题(9～10题各14分,11题18分)9.小明家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30～7:30之间把报纸送到小明家,小明妈妈离开家去工作的时间在早上7:00～8:00之间,若“小明妈妈在离开家前能得到报纸”记为事件A,试用随机模拟方法估计事件A发生的概率,写出操作过程. 10.利用随机模拟方法计算如图中阴影部分(曲线y=2x与x轴、x=±1围成的部分)的面积.11.(能力挑战题)在如图的正方形中随机撒一把芝麻,用随机模拟的方法来估计圆周率π的值.如果撒了1 000粒芝麻,落在圆内的芝麻总数是776粒,求这次模拟中π的估计值.(精确到0.001)答案解析1.【解析】选B.注意到[-2,1]的区间长度是[0,1]的区间长度3倍,因此设x2=3x1+b(b是常数),再用两个区间中点的对应值,得当x1=时,x2=-,所以-=3×+b,得b=-2.因此x1与x2的关系式是x2=3x1-2.2.【解析】选C.由题意知所求概率为P==.【变式备选】在区间[0,10]内任取两个数,则这两个数的平方和也在[0,10]内的概率为( )A. B. C. D.【解析】选B.将取出的两个数分别用(x,y)表示,则0≤x≤10,0≤y≤10,要求这两个数的平方和也在区间[0,10]内,即要求0≤x2+y2≤10,故此题可以转化为求0≤x2+y2≤10在区域0≤x≤10,0≤y≤10内的面积问题,如图所示:即由几何概型知识可得到概率为=.3.【解析】选D.在等腰直角三角形ABC中,设AC长为1,则AB 长为,在AB上取点D,使AD=1,则若M点在线段AD上,满足条件.因为|AD|=1,|AB|=.所以AM的长小于AC的长的概率为=.4.【解析】选B.根据随机模拟的思想,可以认为树叶落在该场地上是随机的,这样椭圆草坪的面积和整个矩形场地的面积之比就近似地等于落在椭圆草坪上的树叶数目和落在整个矩形场地上的树叶数目之比,即可估计出草坪的面积为60×40×=1632(m2).5.【解题指南】试验发生包含的事件对应的是长度为5的一条线段,满足条件的事件是组成钝角三角形,包括两种情况,第一种∠ACO为钝角,第二种∠OAC为钝角,根据等可能事件的概率得到结果.【解析】选B.试验发生包含的事件对应的是长度为5的一条线段,满足条件的事件是组成钝角三角形,包括两种情况:第一种∠ACO为钝角,这种情况的边界是∠ACO=90°的时候,此时OC=1,所以这种情况下,满足要求的是0<OC<1.第二种∠OAC为钝角,这种情况的边界是∠OAC=90°的时候,此时OC=4,所以这种情况下,满足要求的是4<OC<5.综合两种情况,若△AOC为钝角三角形,则0<OC<1或4<OC<5.所以概率P==0.4.【误区警示】本题易出现只考虑一种情况的错误,致使所得结果为0.2.6.【解析】因为b1是[0,1]上的均匀随机数,b=3(b1-2),则b1-2是[-2,-1]上的均匀随机数,所以b=3(b1-2)是[-6,-3]上的均匀随机数.答案:[-6,-3]7.【解题指南】由已知中矩形的长为12,宽为5,易计算出矩形的面积,根据随机模拟试验的概念,易得阴影部分的面积与矩形面积的比约为黄豆落在阴影区域中的频率,由此我们构造关于S阴影的方程,解方程即可求出阴影部分面积.【解析】因为矩形的长为12,宽为5,则S矩形=60,==,S阴影=33.答案:338.【解题指南】由题意知本题是模拟方法估计概率,只需计算出总共100次试验,一共有多少次落在所求面积区域内,结合几何概型的计算公式即可求得.【解析】由a1=0.3,b1=0.8得:a=-0.8,b=3.2,(-0.8,3.2)落在y=x2与y=4围成的区域内,由a1=0.4,b1=0.3得:a=-0.4,b=1.2,(-0.4,1.2)落在y=x2与y=4围成的区域内,所以本次模拟得出的面积约为16×=10.72.答案:10.729.【解析】(1)选定A1格,键入“=rand( )”,按Enter键,则在此格中的数是随机产生的[0,1]之间的均匀随机数.(2)选定A1格,按Ctrl+C快捷键,选定A2至A50,B1至B50,按Ctrl+V快捷键,则在A2至A50,B1至B50的数均为[0,1]之间的均匀随机数.用A列的数加7表示小明妈妈离开家的时间,B列的数加6.5表示报纸到达的时间.这样我们相当于做了50次随机试验.(3)如果A+7>B+6.5,即A-B>-0.5,则表示小明妈妈在离开家前能得到报纸.(4)选定D1格,键入“=A1-B1”;再选定D1,按Ctrl+C,选定D2～D50,按Ctrl+V.(5)选定E1格,键入频数函数“=FREQUENCY(D1∶D50,-0.5)”,按Enter键,此数是统计D列中,比-0.5小的数的个数,即小明妈妈在离开家前不能得到报纸的频数.(6)选定F1格,键入“=1-E1/50”,按Enter键,此数是表示统计50次试验中,小明妈妈在离开家前能得到报纸的频率,也就是所求事件A的概率的近似值.【一题多解】设送报人到达的时间为x,小明妈妈离家的时间为y,记小明妈妈离家前能得到报纸为事件A;则(X,Y)可以看成平面中的点,试验的全部结果所构成的区域为Ω={(X,Y)|6.5≤X≤7.5,7≤Y≤8},这是一个矩形区域,面积为SΩ=1, 事件A所构成的区域为A={(X,Y)|6.5≤X≤7.5,7≤Y≤8,X≤Y},面积为S A=1-0.125=0.875.这是一个几何概型,所以P(A)==0.875.10.【解析】(1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数,a1=RAND,b1=RAND.(2)经过平移和伸缩变换,a=(a1-0.5)×2,b=b1×2,得到一组[-1,1]上的均匀随机数和一组[0,2]上的均匀随机数.(3)统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1.(4)计算频率,即为点落在阴影部分的概率的近似值.(5)用几何概型的概率公式求得点落在阴影部分的概率为P=,=,所以S≈,即为阴影部分的面积值.【拓展提升】利用随机模拟方法求不规则图形面积的方法步骤(1)利用计算器或计算机产生[0,1]的均匀随机数.(2)经过伸缩变换y i=(b-a)x i+a,(i=1,2)得到两组[a,b]上的均匀随机数.(3)利用随机数估计所求事件发生的频率.(4)从几何角度列出所求事件的概率.(5)解方程=,得S A.11.【解析】假设正方形的边长是2,则正方形的面积是4,圆的半径是1,则圆的面积是π,根据几何概型的概率公式得到≈.所以π≈3.104.关闭Word文档返回原板块。
人教A版高中数学必修三均匀随机数的产生选学同步检测新
3.3.2 均匀随机数的产生（选学）双基达标限时20分钟1．将[0,1]内的均匀随机数转化为[－3,4]内的均匀随机数，需要实施的变换为 ( )．A ．a ＝a 1*7 B.a ＝a 1*7+3 C. a =a 1*7-3 D.a ＝a 1*4 解析 根据伸缩、平移变换a ＝a 1] 答案 C2．在线段AB 上任取三个点x 1，x 2，x 3，则x 2位于x 1与x 3之间的概率是 ( )． A.12 B.13 C.14D ．1 解析 因为x 1，x 2，x 3是线段AB 上任意的三个点，任何一个数在中间的概率相等且都是13.答案 B3．与均匀随机数特点不符的是 ( )． A ．它是[0,1]内的任何一个实数 B ．它是一个随机数C ．出现的每一个实数都是等可能的D ．是随机数的平均数解析 A 、B 、C 是均匀随机数的定义，均匀随机数的均匀是“等可能”的意思，并不是“随机数的平均数”． 答案 D4.在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率为________．解析 作∠AOE ＝∠BOD ＝30°，如图所示，随机试验中，射线OC 可能落在扇面AOB 内任意一条射线上，而要使∠AOC 和∠BOC 都不 小于30°，则OC 落在扇面DOE 内，∴P (A )＝13.答案 135．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为________． 解析 由|x |≤1，得－1≤x ≤1. 由几何概型的概率求法知，所求的概率P ＝区间[－1，1]的长度区间[－1，2]的长度＝23.答案 236．利用随机模拟法近似计算图中阴影部分(曲线y ＝log 3x 与x ＝3及x 轴围成的图形)的面积．解 设事件A ：“随机向正方形内投点，所投的点落在阴影部分”．(1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，x 1＝RAND ，y 1＝RAND. (2)经过伸缩变换x ＝x 1]N 1,N )，即为概率P (A )的近似值．设阴影部分的面积为S ，正方形的面积为9，由几何概率公式得P (A )＝S 9，所以N 1N ≈S9.所以S ≈9N 1N即为阴影部分面积的近似值．综合提高 限时25分钟7．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为( )．A.43B.83C.23 D ．无法计算 解析 ∵S 阴影S 正方形＝23，∴S 阴影＝23S 正方形＝83.8．将一个长与宽不等的长方形，沿对角线分成四个区域，如图所示涂上四种颜色，中间装个指针，使其可以自由转动，对指针停留的可能性下列说法正确的是 ( )．A ．一样大B ．蓝白区域大C ．红黄区域大D ．由指针转动圈数决定解析 指针停留在哪个区域的可能性大，即表明该区域的张角大，显然，蓝白区域大． 答案 B9．在边长为2的正三角形ABC 内任取一点P ，则使点P 到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．解析 以A 、B 、C 为圆心，以1为半径作圆，与△ABC 交出三个扇形，当P 落在其内时符合要求．∴P ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π3×1234×22＝3π6.答案3π610.一个靶子如图所示，随机地掷一个飞镖扎在靶子上，假设飞镖既不会落在靶心，也不会落在阴影部分与空白的交线上，现随机向靶掷飞镖30次，则飞镖落在阴影部分的次数约为________． 答案 511．假设小军、小燕和小明所在的班级共有50名学生，并且这50名学生早上到校先后的可能性是相同的．设计模拟方法估计下列事件的概率： (1)小燕比小明先到校；(2)小燕比小明先到校，小明比小军先到校．解 记事件A “小燕比小明先到校”；记事件B “小燕比小明先到校且小明比小军先到① 利用计算器或计算机产生三组0到1区间的均匀随机数，a ＝RAND ，b ＝RAND ，c ＝RAND分别表示小军、小燕和小明三人早上到校的时间；②统计出试验总次数N 及其中满足b ＜c 的次数N 1，满足b ＜c ＜a 的次数N 2； ③计算频率f n (A )＝N 1N ，f n (B )＝N 2N，即分别为事件A ，B 的概率的近似值．12．(创新拓展)如图所示，曲线y ＝x 2与y 轴、直线y ＝1围成一个区域A (图中的阴影部分)，用模拟的方法求图中阴影部分的面积(用两种方法)解 法一 我们可以向正方形区域内随机地撒一把豆子，数出落在区域A 内的豆子数与落在正方形内的豆子数，根据落在区域A 内的豆子数落在正方形内的豆子数≈区域A 的面积正方形的面积，即可求区域A 面积的近似值．例如，假设撒1 000粒豆子，落在区域A 内的豆子数为700，则区域A 的面积S ≈7001 000＝0.7.法二 对于上述问题，我们可以用计算机模拟上述过程，步骤如下：第一步，产生两组0～1内的均匀随机数，它们表示随机点(x ，y )的坐标．如果一个点的坐标满足y ≥x 2，就表示这个点落在区域A 内．第二步，统计出落在区域A 内的随机点的个数M 与落在正方形内的随机点的个数N ，可求得区域A 的面积S ≈M N.。
高一数学-典型例题探究(均匀随机数的产生) 精品
［典型例题探究］【例1】现向图3－3－10中所示正方形内随机地投掷飞标，求飞标落在阴影部分的概率.3-4=0y（1（2解：方法一：S 阴影=3625356521=⨯⨯， S 正=22=4，∴P =1442543625==正阴影S S .规律发现几何概型问题一般有公式法和随机模拟两种方法，当然随机模拟方法比较麻烦，在公式法不好进行的情况下可考虑随机模拟方法.方法二：（1）利用计算器或计算机产生两组0至1区间内的均匀随机数a 1、b 1（共N 组）；（2）经平移和伸缩变换a =（a 1－0.5）*2，b =（b 1－0.5）*2；（3）数出满足不等式b ＜2a －34，即6a －3b ＞4的数组数N 1， 所求概率P ≈NN 1. 可以发现，试验次数越多，概率P 越接近14425. 【例2】 利用随机模拟方法计算图3－3－11中阴影部分（y =x 3和x =2以及x 轴所围成的部分）的面积.，解：（1通过建立坐标系，得到两“长度”曲线的范围，才能对随机变量进行平移、伸缩变换，只有得到两“长度”曲线的方程，才能数出适合条件的数组数.a 1=RAND ，b 1=RAND ；（2）进行伸缩变换，a =a 1*2，b =b 1*8；（3）数出落在阴影内（满足b ＜a 3）的样本点数N 1，用几何概型公式计算阴影部分的面积.例如做1000次试验，即N =1000，模拟得到 N 1=250.由矩阴影S S ≈NN 1， 得S 阴影≈NN 1，S 矩=1000250×16=4.NN S S 1规则图形不规则图形，应当作公式记住，当然应理解其来历，其中N 为总的试验次数，N 1为落在不规则图形内的试验次数.。
高一数学-新题解答(均匀随机数的产生) 精品
新题解答
如图所示，向边长为2的正方形内投飞镖，求飞镖落在中央边长为1的正方形内的概率.
x 解析:用几何概型概率计算公式得P 用计算机随机模拟这个试验，步骤如下:
S1:用计数器n 记录做了多少次投飞镖的试验，用计数器m 记录其中有多少次投在中央的小正方形内，置n =0,m =0.
S2:用函数rand( )*4－2产生一个－2～2的随机数x 、y ，x 表示所投飞镖的横坐标，y 表示所投飞镖的纵坐标.
S3:判断(x ,y )是否落在中央的小正方形内，也就是看是否满足|x |<1,|y |<1,如果是则m 的值加1，即m =m +1；否则m 的值保持不变.
S4:表示随机试验次数的记录器n 加1，即n =n +1.如果还需要继续试验，则返回步骤S2继续执行，否则，程序结束.
程序结束后飞镖投在小正方形发生的频率
n
m 作为概率的近似值.。
【师说】2021年高中数学新课标必修3习题：课时作业21《均匀随机数的产生》 Word版含答案
＝ ＝ ，S阴影＝33.
答案：33
8．利用随机模拟方法计算y＝x2与y＝4围成的面积时，利用计算器产生两组0～1之间的均匀随机数a1＝RAND，b1＝RAND，然后进行平移与伸缩变换a＝a1·4－2，b＝b1·4，试验进行100次，前98次中落在所求面积区域内的样本点数为65，已知最后两次试验的随机数a1＝0.3，b1＝0.8及a1＝0.4，b1＝0.3，那么本次模拟得出的面积约为________．
A. B.
C. D.
答案：C
3．在等腰Rt△ABC中，在斜边AB上任取一点M，则AM的长小于AC的长的概率为()
A. B.
C. D.
答案：D
4.
在长为60 m，宽为40 m的矩形场地上有一个椭圆形草坪，在一次大风后，发现该场地内共落有300片树叶，其中落在椭圆外的树叶数为96片，以此数据为依据可以估计出草坪的面积约为()
解：(1)选定A1格，键入“＝rand()”，按Enter键，则在此格中的数是随机产生的[0,1]之间的均匀随机数．
(2)选定A1格，按Ctrl＋C快捷键，选定A2至A50，B1至B50，按Ctrl＋V快捷键，则在A2至A50，B1至B50的数均为[0,1]之间的均匀随机数．用A列的数加7表示小明妈妈离开家的时间，B列的数加6.5表示报纸到达的时间．这样我们相当于做了50次随机试验．
课时作业(二十一)均匀随机数的产生
A组 基础巩固
1．设x1是[0,1]内的均匀随机数，x2是[－2,1]内的均匀随机数，则x1与x2的关系是()
A．x2＝2x1－2B．x2＝3x1－2
C．x2＝3x1＋2 D．x2＝x1－2
答案：B
2．欧阳修《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，若铜钱是直径为2.5 cm的圆，中间有边长为0.8 cm的正方形孔，若你随机向铜钱滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为()
高中数学必修三课时作业15：3.3.2 均匀随机数的产生
3.3.2 均匀随机数的产生1.与均匀随机数特点不符的是()A.它是[0,1]内的任何一个实数B.它是一个随机数C.出现的每一个实数都是等可能的D.是随机数的平均数[解析]A，B，C是均匀随机数的定义，均匀随机数的均匀是“等可能”的意思，并不是“随机数的平均数”.[答案] D2.质点在数轴上的区间[0,2]上运动，假定质点出现在该区间各点处的概率相等，那么质点落在区间[0,1]上的概率为()A.14 B.13C.12 D.以上都不对[解析]区间[0,2]的长度为2，记“质点落在区间[0,1]上”为事件A.则事件A的区间长度为1，则P(A)＝12.[答案] C3.用Excel中的随机函数RAND()如何产生－8～2内的随机数()A.RAND()*10－8B.RAND()*10－12C.RAND()*2－10D.RAND()*10＋8[解析]0×10－8＝－8,1×10－8＝2，故RAND()*10－8符合.[答案] A4.利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1＜0”的概率为________.[解析]已知0≤a≤1，事件“3a－1＜0”发生时，0＜a＜13，由几何概型得其概率为13.[答案] 135.实数m 是区间[0,6]上的随机数，则方程x 2－mx ＋4＝0有实根的概率是________.[解析] 由⎩⎨⎧0≤m ≤6，Δ＝m 2－16≥0，解得4≤m ≤6，故所求的概率为P ＝6－46－0＝13. [答案] 136.用随机模拟方法求函数y ＝x 与x 轴和直线x ＝1围成的图形的面积.解 如图所示，阴影部分是函数y ＝x 的图象与x 轴和直线x ＝1围成的图形，设阴影部分的面积为S .随机模拟的步骤：(1)利用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数，x 1＝RAND ，y 1＝RAND ；(2)统计试验总数N 和落在阴影内的点数N 1(满足条件y ＜x 的点(x ，y )的个数)；(3)计算频率N 1N ，即为点落在阴影部分的概率的近似值；(4)直线x ＝1，y ＝1和x ，y 轴围成的正方形面积为1，由几何概型概率的计算公式得，点落在阴影部分的概率为S 1＝S .则S ＝N 1N ，即阴影部分面积的近似值为N 1N .7.在长为12 cm 的线段AB 上任意取一点M ，并以线段AM 为边作正方形.用随机模拟的方法估计该正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率.解 由于正方形的面积与边长有关，因此本题可转化为在线段AB 上任取一点M ，求使得AM 的长度介于6 cm 与9 cm 之间的概率.记事件A ＝{正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间}＝{正方形的边长介于6 cm 与9 cm 之间}.(1)利用计算机或计算器产生一组[0,1]上的均匀随机数，a 1＝RAND ；(2)经过伸缩变换a ＝a 1]n,N )，即事件A 的概率近似值.能力提升8.向图中所示正方形内随机地投掷飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为( )A.14B.2536C.25144D.1[解析] 直线6x －3y －4＝0与直线x ＝1交于点(1，23)，与直线y ＝－1交于点(16，－1)，易知阴影部分面积为12×56×53＝2536.∴P＝S阴影S正方形＝25364＝25144.[答案] C9.如图所示，在墙上挂着一块边长为16 cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2 cm,4 cm,6 cm，某人站在3 m之外向此木板投镖，设镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，记事件A＝{投中大圆内}，事件B＝{投中小圆与中圆形成的圆环内}，事件C＝{投中大圆之外}.(1)用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RNAD.(2)经过伸缩和平移变换，a＝16a1－8，b＝16b1－8，得到两组[－8,8]内的均匀随机数.(3)统计投在大圆内的次数N1(即满足a2＋b2<36的点(a，b)的个数)，投中小圆与中圆形成的圆环次数N2(即满足4<a2＋b2<16的点(a，b)的个数)，投中木板的总次数N(即满足上述－8<a<8，－8<b<8的点(a，b)的个数).则概率P(A)，P(B)，P(C)的近似值分别是()A.N1N，N2N，N－N1N B.N2N，N1N，N－N2NC.N1N，N2－N1N，N2N D.N2N，N1N，N1－N2N[解析] P (A )的近似值为N 1N ，P (B )的近似值为N 2N ，P (C )的近似值为N －N 1N .[答案] A10.由于计算器不能直接产生[a ，b ]区间上的均匀随机数，只能通过线性变换得到.如果x 是[0,1]区间上的均匀随机数，则a ＋(b －a )x 就是[a ，b ]区间上的均匀随机数，据此，[0,1]区间上的均匀随机数0.8对应于[3,5]区间上的均匀随机数为________.[解析] 因为x 是[0,1]区间上的均匀随机数，则[a ＋(b －a )x ]就是[a ，b ]区间上的均匀随机数，所以[0,1]区间上的均匀随机数0.8对应于[3,5]区间上的均匀随机数为3＋(5－3)×0.8＝4.6.[答案] 4.611.在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.[解析] 当m ≤2时，2m 6＝56无解.当2＜m ≤4时，由m ＋26＝56得m ＝3，综上m ＝3.[答案] 312.在正方形中随机撒一把豆子，通过考察落在其内切圆内豆子的数目，用随机模拟的方法可计算圆周率π的近似值(如图).(1)用两个均匀随机数x, y 构成的一个点的坐标(x ，y )代替一颗豆子，请写出随机模拟法的方案.(2)以下程序框图可以用来实现该模拟过程，请将它补充完整，(注：rand( )是计算机在Excel 中产生[0,1]区间上的均匀随机数的函数)解 (1)具体方案如下：①利用计算器产生两组[0,1]区间上的均匀随机数，x 1＝RAND ，y 1＝RAND ； ②经过平移和伸缩变换，x ＝2(x 1－0.5)，y ＝2(y 1－0.5)；③统计试验总次数N 和落在内切圆内的点数N 1(满足条件x 2＋y 2≤1的点(x ，y )的个数)；④计算频率N 1N ，即为点落在圆内的概率的近似值；⑤设圆的面积为S ，由几何概型概率公式得点落在圆内部分的概率为P ＝S 4，所以S 4≈N 1N ，所以S ≈4N 1N ，即为圆的面积的近似值.又S ＝πr 2＝π，所以π＝S ≈4N 1N ，即为圆周率的近似值.(2)由题意，第一个判断框中应填x 2＋y 2≤1？，其下的处理框中应填m ＝m ＋1，跳出循环体后的处理框中应填P ＝m n .13.(选做题)甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去.求两人能会面的概率.解以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件为|x－y|≤15，在如图所示的平面直角坐标系下，(x，y)的所有可能结果是边长为60的正方形，而事件A“两人能会面”的可能结果由图中的阴影部分表示.u A＝602－452＝1 575，uΩ＝602＝3 600，P(A)＝u AuΩ＝1 5753 600＝716.。
高一数学-教材习题研讨(均匀随机数的产生) 精品
［教材习题研讨］方法点拨P 131 思考答案：先利用计算器或计算机产生［0，1］上的均匀随机数x ，然后再实施伸缩和平移变换即可，即x *（b －a ）+a .P 134 练习利用函数中的平移、伸缩变换可将［0，1］区间的随机数转化为任意区间［a ，b ］上的随机数. 1.解：由题意知此试验符合几何概型，故其概率P =10111.0=， 即小杯水中含有这个细菌的概率为101. 由取水样的随机性可知符合几何概型.2.解：因为黄豆随机撒在图形上，它落在图形中各点的机会是均等的，符合几何概型的条件. 在图（1）中，阴影为圆内接等腰三角形，底边为圆的直径，设圆半径为R ，则S 阴影=21×2R ×R =R 2，而S 圆=πR 2， ∴这粒黄豆落到阴影部分的概率为P =π1π22==R R S S 圆阴影.因为“随机”，所以“等可能”.因为“点”，所以有“无限性”.由此判定为几何概型问题. 在图（2）中，整个圆被平均分成8份，而阴影部分占3份，由几何概型知P =83，即此粒黄豆落在阴影部分的概率为83.3.解：由于红色区域占整个靶面的21，由几何概型知200标中有100标左右能落在红色区域. P 137 习题3.3求两“长度”的比是求几何概型问题的必经之路.A 组1.解：由于豆子是随机地扔到桌面上，故豆子落到桌面上每一点的可能性都是相等的，它符合几何概型.以下几问均可直接利用几何概型概率公式.（1）P =94；（2）P =3193=；（3）P =92； （4）P =96=32；（5）P =95. 关于两“长度”的比，本题中即为“面积”的比.2.解：由于飞镖是随机地扎在靶上，它也符合几何概型，由几何概型概率公式，得（1）P =261；（2）P =212613=；（3）P =263； （4）P =131262=；（5）P =212613=；（6）P =133266=.找出事件A 的“长度”，利用弧长比、面积比均可求得概率.3.解：由于到达路口的时间是随机的、等可能的，符合几何概型的条件，由几何概型概率公式，得时间是连续的、无限的，据题意又是等可能的，故属于几何概型问题.（1）P 1=5275304053030==++；（2）P 2=151755405305==++；（3）P 3=1－P 1=53， 即当你到达路口时，看见红灯的概率为52，看见黄灯的概率为151，不是红灯的概率为53. B 组解：设甲、乙两船到达泊位的时间分别为x 、y ，由于是随机到达，故是几何概型问题.由题意知0≤x ≤24，0≤y ≤24，而|x －y |≤6，即只要点落在阴影部分就表示至少有一艘船在停靠泊位时必须等待，即事件A 发生，所以P （A ）=167241821224222=⨯⨯-.x167. 在判断为几何概型的前提下，通过寻找两变量的取值范围及关系便可找到两“长度”.。
2017-2018学年高中数学必修三课时达标检测二十二 均匀
课时达标检测(二十二) 均匀随机数的产生一、选择题1．若－4≤x ≤2，则x 是负数的概率是( ) A.14 B ．34 C.13 D ．23答案：D2．已知函数f (x )＝log 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，则在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上任取一点x 0，使f (x 0)≥0的概率为( )A ．1B ．12 C.23 D ．34答案：C3．设一直角三角形两直角边的长均是区间[0,1]上的随机数，则斜边的长小于1的概率为( )A.12 B ．34 C.π4D ．3π16 答案：C4．欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为1.5 cm 的圆，中间有边长为0.5 cm 的正方形孔，随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为( )A.49π B ．94π C.4π9D ．9π4答案：A5.如图，在△AOB 中，已知∠AOB ＝60°，OA ＝2，OB ＝5，在线段OB 上任取一点C ，求△AOC 为钝角三角形的概率．( )A ．0.6B ．0.4C ．0.2D ．0.1答案：B 二、填空题6．如图的矩形，长为5 m ，宽为2 m ，在矩形内随机撒300粒黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138，则我们可以估计出阴影部分的面积为________m 2.解析：由题意得：138300＝S 阴影5×2，S 阴影＝235.答案：2357.一个投针试验的模板如图所示，AB 为半圆O 的直径，点C 在半圆上，且CA ＝CB .现向模板内任投一针，则该针恰好落在△ABC 内(图中的阴影区域)的概率是________．解析：设半圆O 的半径为r ， 则半圆O 的面积S 半圆＝12πr 2，在△ABC 中，AB ＝2r ，CA ＝CB ＝2r ， ∴S △ABC ＝12·2r ·2r ＝r 2.据题意可知该概率模型是几何概型，所以所求的概率为P ＝S △ABC S 半圆＝r 212πr2＝2π.答案：2π8．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．解析：由题意画出示意图，如图所示．表示小波在家看书的区域如图中阴影部分所示，则他在家看书的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫122π－⎝ ⎛⎭⎪⎫142ππ＝316， 因此他不在家看书的概率为 1－316＝1316.答案：1316三、解答题9．利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线y ＝2x与x 轴、x ＝±1围成的部分)的面积．解：(1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a 1＝RAND ，b 1＝RAND.(2)经过平移和伸缩变换，a ＝(a 1－0.5)*2，b ＝b 1]N 1,N )，即为点落在阴影部分的概率的近似值．（3）统计试验总次数N 和落在阴影内的点数N 1. （4）计算频率N 1N，即为点落在阴影部分的概率的近似值.(5)用几何概型的概率公式求得点落在阴影部分的概率为P ＝S 4，N 1N ＝S 4，∴S ≈4N 1N，即为阴影部分的面积值．10．对某人某两项指标进行考核，每项指标满分100分，设此人每项得分在[0,100]上是等可能出现的．若单项80分以上，且总分170分以上才合格，求他合格的概率．解：设某人两项的分数分别为x 分、y 分， 则0≤x ≤100,0≤y ≤100， 某人合格的条件是：80＜x ≤100， 80＜y ≤100，x ＋y ＞170.在同一平面直角坐标系中，作出上述区域(如图中阴影部分所示)．由图可知：0≤x ≤100,0≤y ≤100构成的区域面积为100×100＝10 000， 合格条件构成的区域面积为S 五边形BCDEF ＝S 矩形ABCD －S △AEF ＝400－12×10×10＝350，所以所求概率为P＝35010 000＝7 200.答：该人合格的概率为7200.11．已知甲、乙两人约定到羽毛球馆去打球，两人都在9：30～11：30的任意时刻到达，若两人的到达时刻相差20分钟以内，两人可以一起打球，否则先到者就和别人在一起打球，求甲、乙两人没在一起打球的概率．解：设甲的到达时刻为x，乙的到达时刻为y，由(x，y)构成的区域Ω＝{(x，y)|0≤x≤2,0≤y≤2}，此区域面积S＝2×2＝4，令两人没在一起打球的事件为A，则事件A构成区域A＝(x，y)|x－y|>13，0≤x≤2,0≤y≤2，区域A的面积为S A＝⎝⎛⎭⎪⎫532＝259，∴P(A)＝S AS＝2536.。
高中数学必修3概率统计常考题型均匀随机数的产生
均匀随机数的产生【知识梳理】．均匀随机数的产生()计算器上产生[]的均匀随机数的函数是函数．()软件产生[]区间上均匀随机数的函数为“()”．．用模拟的方法近似计算某事件概率的方法()试验模拟的方法：制作两个转盘模型，进行模拟试验，并统计试验结果．()计算机模拟的方法：用的软件产生[]区间上均匀随机数进行模拟．注意操作步骤．【常考题型】题型一、用随机模拟法估计长度型几何概型【例】取一根长度为的绳子，拉直后在任意位置剪断，用均匀随机模拟方法估计剪得两段的长都不小于的概率有多大？[解]设剪得两段的长都不小于为事件.法一：()利用计算器或计算机产生个～之间的均匀随机数，＝；()作伸缩变换：＝*(－)，转化为[]上的均匀随机数；()统计出[]内均匀随机数的个数；()则概率()的近似值为.法二：()做一个带有指针的转盘，把圆周五等分，标上刻度[](这里和重合)；()固定指针转动转盘或固定转盘旋转指针，记下指针在[]内(表示剪断绳子位置在[]范围内)的次数及试验总次数；()则概率()的近似值为.【类题通法】利用随机模拟计算概率的步骤()确定概率模型；()进行随机模拟试验，即利用计算器等以及伸缩和平移变换得到[，]上的均匀随机数；()统计计算；()得出结论，近似求得概率．【对点训练】已知米粒等可能地落入如图所示的四边形内，如果通过大量的实验发现米粒落入△内的频率稳定在附近，那么点和点到直线的距离之比约为．解析：设米粒落入△内的频率为，米粒落入△内的频率为，点和点到直线的距离分别为，，根据题意：＝－＝－＝，又∵＝＝，＝＝，∴＝＝.答案：题型二、用随机模拟法估计面积型的几何概型【例】如图所示，在墙上挂着一块边长为的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为，，某人站在之外向此板投镖，假设投镖击在线上或没有投中木板不算，可重投，用随机模拟的方法估计：()“投中小圆内”的概率是多少？()“投中小圆与中圆形成的圆环”的概率是多少？[解]记事件＝，事件＝.按如下步骤进行：()用计算机产生两组[]上的均匀随机数，＝，＝；()经过伸缩和平移变换，＝·－，＝·－，得到两组[－]上的均匀随机数；()统计投在小圆内的次数(即满足＋＜的点(，)的个数)，投中小圆与中圆形成的圆环的次数(即满足＜＋＜的点(，)的个数)，投中木板的总次数(即满足－＜＜，－＜＜的点(，)的个数)；()计算频率()＝，()＝，即分别为概率()，()的近似值．【类题通法】用随机模拟方法估计长度型与面积型几何概型的概率的联系与区别()联系：二者模拟试验的方法和步骤基本相同，都需产生随机数；()区别：长度型几何概型只要产生一组均匀随机数即可，所求事件的概率为表示事件的长度之比，对面积型几何概型问题，一般需要确定点的位置，而一组随机数是不能在平面上确定点的位置的，故需要利用两组均匀随机数分别表示点的横纵坐标，从而确定点的位置，所求事件的概率为点的个数比．【对点训练】现向图中所示正方形内随机地投掷飞镖，试用随机模拟的方法求飞镖落在阴影部分的概。
高一数学均匀随机数的产生
人教版高中数学 高一人教A版必修3课时达标检测(二十二) 均匀随机数的产生
课时达标检测(二十二) 均匀随机数的产生一、选择题1．若－4≤x ≤2，则x 是负数的概率是( )A.14B ．34 C.13D ．23 答案：D2．已知函数f (x )＝log 2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，则在区间⎣⎡⎦⎤12，2上任取一点x 0，使f (x 0)≥0的概率为( )A ．1B ．12 C.23D ．34 答案：C3．设一直角三角形两直角边的长均是区间[0,1]上的随机数，则斜边的长小于1的概率为( )A.12B ．34 C.π4D ．3π16 答案：C4．欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为1.5 cm 的圆，中间有边长为0.5 cm 的正方形孔，随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为( )A.49πB ．94π C.4π9D ．9π4 答案：A5.如图，在△AOB 中，已知∠AOB ＝60°，OA ＝2，OB ＝5，在线段OB 上任取一点C ，求△AOC 为钝角三角形的概率．( )A ．0.6B ．0.4C ．0.2D ．0.1 答案：B二、填空题6．如图的矩形，长为5 m ，宽为2 m ，在矩形内随机撒300粒黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138，则我们可以估计出阴影部分的面积为________m 2.解析：由题意得：138300＝S 阴影5×2，S 阴影＝235. 答案：2357.一个投针试验的模板如图所示，AB 为半圆O 的直径，点C 在半圆上，且CA ＝CB .现向模板内任投一针，则该针恰好落在△ABC 内(图中的阴影区域)的概率是________．解析：设半圆O 的半径为r ，则半圆O 的面积S 半圆＝12πr 2， 在△ABC 中，AB ＝2r ，CA ＝CB ＝2r ， ∴S △ABC ＝12·2r ·2r ＝r 2. 据题意可知该概率模型是几何概型，所以所求的概率为P ＝S △ABC S 半圆＝r 212πr 2＝2π. 答案：2π8．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．解析：由题意画出示意图，如图所示．表示小波在家看书的区域如图中阴影部分所示，则他在家看书的概率为⎝⎛⎭⎫122π－⎝⎛⎭⎫142ππ＝316， 因此他不在家看书的概率为1－316＝1316.答案：1316三、解答题9．利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线y ＝2x 与x 轴、x ＝±1围成的部分)的面积． 解：(1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a 1＝RAND ，b 1＝RAND.(2)经过平移和伸缩变换，a ＝(a 1－0.5)*2，b ＝b 1]N 1,N )，即为点落在阴影部分的概率的近似值．(5)用几何概型的概率公式求得点落在阴影部分的概率为P ＝S 4，N 1N ＝S 4，∴S ≈4N 1N ，即为阴影部分的面积值．10．对某人某两项指标进行考核，每项指标满分100分，设此人每项得分在[0,100]上是等可能出现的．若单项80分以上，且总分170分以上才合格，求他合格的概率．解：设某人两项的分数分别为x 分、y 分，则0≤x ≤100,0≤y ≤100，某人合格的条件是：80＜x ≤100，80＜y ≤100，x ＋y ＞170.在同一平面直角坐标系中，作出上述区域(如图中阴影部分所示)．由图可知：0≤x ≤100,0≤y ≤100构成的区域面积为100×100＝10 000，合格条件构成的区域面积为S 五边形BCDEF ＝S 矩形ABCD －S △AEF ＝400－12×10×10＝350， 所以所求概率为P ＝35010 000＝7200.答：该人合格的概率为7200. 11．已知甲、乙两人约定到羽毛球馆去打球，两人都在9：30～11：30的任意时刻到达，若两人的到达时刻相差20分钟以内，两人可以一起打球，否则先到者就和别人在一起打球，求甲、乙两人没在一起打球的概率．解：设甲的到达时刻为x ，乙的到达时刻为y ，由(x ，y )构成的区域Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤2,0≤y ≤2}，此区域面积S ＝2×2＝4，令两人没在一起打球的事件为A ，则事件A 构成区域A ＝(x ，y )|x －y |>13，0≤x ≤2,0≤y ≤2，区域A 的面积为S A ＝⎝⎛⎭⎫532＝259， ∴P (A )＝S A S ＝2536.。
高中数学课时22第三章概率3.3.2均匀随机数的产生作业aa高一数学
12/9/2021
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解：设事件 A：“随机向矩形内投点，所投的点落在半圆 内”．
(1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数 x1， y1.
(2)经过伸缩变换，x＝x1]N1,N)，即为概率 P(A)的近似值． (5)设半圆的面积为 S.由几何概型概率公式得点落在半圆内 的概率为S8，∴S8≈NN1，S≈8NN1即为阴影部分面积的近似值．又 S＝2π，∴2π≈8NN1，∴π≈4NN1.
12/9/2021
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9．b1 是[0,1]上的均匀随机数，b＝(b1－0.5)*6，则 b 是区间
____[_－__3_,_3_] ____上的均匀随机数．
10.
12/9/2021
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小朋友做投毽子游戏，首先在地上画出如右图所示的框图， 其中 AG＝HR＝DR＝12GH，CP＝DP＝AE＝2CQ.其游戏规则是： 将毽子投入阴1 影部分为胜，否则为输，则某小朋友投毽子获胜的 概率是_____2___.
解析：图中阴影部分面积为全面积的一半．
12/9/2021
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11.在区间[－π2,2]上随机任取两个数 x，y，则满足 x2＋y2<1 的概率等于____1_6_____.
解析：μ(Ω)＝42＝16，μ(A)＝π×12＝π， ∴P＝μμΩA＝1π6.
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12/9/2021
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2．随机模拟方法产生的区间上实数( D )
A．非等可能的 B．0 出现的机会少 C．1 出现的机会少D．是均匀分布的
解析：随机模拟方法产生的区间[0,1] 上实数是均匀分布 的．故选 D.
高中数学：均匀随机数的产生 (19)
第三章概率3.3几何概型3.3.1几何概型3.3.2均匀随机数的产生提能达标过关一、选择题1．在长为12 cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形的面积大于20 cm2的概率为()A．16B．13C．23D．45解析：选C设AC＝x cm，则BC＝(12－x)cm，若矩形的面积大于20 cm2，则x(12－x)>20，解得2<x<10，故所求概率P＝10－212＝23.2．(2019·冀州高一检测)在区间[－π，π]内随机取两个实数，分别记为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率为()A．78B．34C．12D．14解析：选B由题意，知点(a，b)在边长为2π的正方形边上及内部．要使函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点，需满足4a2＋4b2－4π≥0，即a2＋b2≥π，a2＋b2≥π表示以原点为圆心，π为半径的圆及其外部，如图中阴影部分所示，所以其面积为4π2－π2＝3π2，所以函数f(x)有零点的概率为P＝3π24π2＝34.3．已知A是圆心为O的圆周上的一定点，若在圆周上另取一点B，则∠AOB≤60°的概率为()A．12B．16C．13D．14解析：选C由题意，知所求概率为2×60°360°＝13，故选C．4．(2019·济南高一检测)已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为12，则ADAB＝()A．12B．14C．32D．74解析：选D如图，由题意知，当点P在靠近点D的CD边的1 4分点时，EB＝AB(当点P超过点E向点D运动时，PB>AB)．设AB＝x，过点E作EF⊥AB于点F，则BF＝34x，在Rt△BFE中，EF2＝BE2－FB2＝AB2－FB2＝716x2，则EF＝74x，所以ADAB＝74.5．如图，的是我国发行的一枚2019猪年生肖邮票——“肥猪旺福”，其规格为42 mm×46 mm.为估算邮票中肥猪图案的面积，现向邮票中随机投掷21粒芝麻，经统计恰有12粒芝麻落在肥猪图案内，则可估计肥猪图案的面积大致为()A ．1 104 cm 2B ．11.04 cm 2C ．8.28 cm 2D ．12 cm 2解析：选B 由题意，可估计肥猪图案面积大约是：S ＝1221×42×46＝11.04(cm 2)，故选B ．二、填空题6.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是________．解析：设正方形边长为a ，则圆的半径为a 2，则正方形的面积为a 2，圆的面积为πa 24.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半．由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是12·πa 24a 2＝π8.★★答案★★：π87．在区间[0，6]上随机取一个数x ，log 2x 的值介于0到2之间的概率为________．解析：由题知0<log 2x <2，解得1<x <4，故log 2x 的值介于0到2之间的概率P ＝4－16－0＝12.★★答案★★：1 28.如图，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，则AM<AC的概率为________．解析：在AB上取AC′＝AC，则∠ACC′＝180°－45°2＝67.5°.设事件A＝{在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，AM<AC}，则所有可能结果的区域角度为90°，事件A的区域角度为67.5°，∴P(A)＝67.590＝34.★★答案★★：3 4三、解答题9．已知|p |≤3，|q |≤3，点(p ，q )均匀分布．(1)点M (x ，y )的横、纵坐标由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，求点M (x ，y )落在上述区域的概率；(2)求方程x 2＋2px －q 2＋1＝0有两个实数根的概率．解：(1)点M (x ，y )的横、纵坐标由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，共有36个不同的坐标，而落在已知区域的点M 有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共9个，所以点M (x ，y )落在已知区域的概率P 1＝936＝14.(2)因为方程x 2＋2px －q 2＋1＝0有两个实数根，所以Δ＝(2p )2－4(－q 2＋1)≥0，解得p 2＋q 2≥1，又|p |≤3，|q |≤3，故由图易知满足条件的点(p ，q )所在阴影区域的面积为36－π，所以方程x 2＋2px －q 2＋1＝0有两个实数根的概率P 2＝36－π36.10．(1)在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过该点作垂直于直径的弦，问弦长超过3的概率是多少？(2)在半径为1的圆内任取一点，以该点为中点作弦，问弦长超过3的概率是多少？(3)在半径为1的圆周上任取两点，连成一条弦，问弦长超过3的概率是多少？解：(1)记“弦长超过3”为事件A ，因为弦长只跟弦心距有关，又弦垂直于直径，所以当弦心距小于12时，满足条件，故由几何概型的概率计算公式知P (A )＝12.(2)记“弦长超过3”为事件B ，弦被其中点唯一确定，当弦的中点在半径为12的同心圆内时，满足条件，故由几何概型的概率计算公式知P (B )＝π4π＝14. (3)记“弦长超过3”为事件M ，如图，固定一点A 于圆周上，以此点为顶点作圆的内接正三角形ABC ，显然只有当弦的另一端点落在劣弧BC 上(不包括点B ，C )时，才满足AD ＞AB ＝3，故由几何概型的概率计算公式知P (M )＝13.。
高中数学第三章概率3.3.2均匀随机数的产生练习(含解析)新人教A版必修3
第24课时均匀随机数的产生知识点一均匀随机数的产生1．用均匀随机数进行随机模拟，则( )A．只能求几何概型的概率，不能解决其他问题B．不仅能求几何概型的概率，还能计算图形的面积C．不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积D．最适合估计古典概型的概率答案 C解析很明显用均匀随机数进行随机模拟，不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积，但得到的是近似值，不是精确值．用均匀随机数进行随机模拟，不适合估计古典概型的概率．2．与均匀随机数特点不符的是( )A．它可以是[0，1]内的任何一个实数B．它是一个随机数C．出现每一个实数都是等可能的D．是随机数的平均数答案 D解析A，B，C是均匀随机数的定义，均匀随机数的“均匀”是“等可能”的意思，并不是“随机数的平均数”．知识点二用随机模拟法近似计算几何概型的概率3．在长为4，宽为2的矩形中有一以矩形长为直径的半圆．(1)随机在矩形内撒一粒豆子，计算豆子落入半圆的概率．(2)在矩形中随机撒一把豆子，怎样利用计算机模拟的方法估计π的值？解(1)根据面积的计算公式和几何概型定义得P ＝半圆的面积矩形的面积＝12π·⎝ ⎛⎭⎪⎫4228＝π4．(2)由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以π≈落在半圆中的豆子数落在矩形中的豆子数×4，这样就得到π的近似值．4．用随机模拟的方法求曲线y ＝x 与x 轴和直线x ＝1所围成的图形的面积．解如图所示，阴影部分是由曲线y ＝x 与x 轴和直线x ＝1所围成的图形，设阴影部分的面积为S ．随机模拟的步骤：(1)利用计算机产生两组[0，1]内的均匀随机数，x 1＝RAND ，y 1＝RAND ；(2)统计试验总次数N 和落在阴影内的点数N 1(满足条件y ＜x 的点(x ，y )的个数)； (3)计算频率N 1N，即为点落在阴影部分的概率的近似值；(4)直线x ＝1，y ＝1和x ，y 轴围成的正方形的面积是1，由几何概型概率公式得点落在阴影部分的概率为S 1＝S ，则S ＝N 1N ，即阴影部分面积的近似值为N 1N．易错点 随机变换公式的应用5．用计算器或计算机产生20个[0，1]之间的随机数x ，但是基本事件都在区间[－1，3]上，则需要经过的线性变换是( )A ．y ＝3x －1B ．y ＝3x ＋1C ．y ＝4x ＋1D ．y ＝4x －1易错分析 易弄错随机数x 或弄错基本事件的取值范围致错．正解 D 因为随机数x ∈[0，1]，而基本事件都在区间[－1，3]上，其区间长度为4，所以把x 变为4x ，因为区间左端值为－1，所以4x 再变为4x －1，故变换公式为y ＝4x －1．一、选择题1．在区间[0，3]上任取一点，则此点大于1的概率是( ) A ．13 B ．23 C ．12 D ．13 答案 B解析 由几何概型的概率公式知，此数大于1的概率是23．2．南北朝时期的数学家祖冲之，利用“割圆术”得出圆周率π的值在3．1415926与3．1415927之间，成为世界上第一个把圆周率的值精确到7位小数的人，他的这项伟大成就比外国数学家得出这样精确数值的时间至少要早一千年，创造了当时世界上的最高水平，我们用随机模拟的方法估算圆周率，向正方形及其内切圆内随机投掷豆子(豆子大小忽略不计)，投掷在正方形内的400颗豆子中，落在内切圆内的有316颗，则估算圆周率的值为( )A ．3．14B ．3．15C ．3．16D ．3．17 答案 C解析 设正方形的边长为2，则其内切圆的半径为1，根据几何概型的概率计算公式可得π4＝316400，解得π≈3．16． 3．欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为1．5 cm 的圆，中间有边长为0．5 cm 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为( )A ．49πB ．94πC ．4π9D ．9π4 答案 A解析 由题意所求的概率为P ＝0.5×0.5π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1.522＝49π．4．将[0，1]内的均匀随机数a 1转化为[－2，6]内的均匀随机数a ，需要实施的变换为( ) A ．a ＝8a 1 B ．a ＝8a 1＋2 C ．a ＝8a 1－2 D ．a ＝6a 1 答案 C解析 利用伸缩和平移变换，a ＝[6－(－2)]a 1－2＝8a 1－2．5．点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到定点A 的距离小于1的概率为( ) A ．14 B ．12 C ．π4 D ．π 答案 C解析 由题意可知，当动点P 位于扇形ABD 内时，动点P 到定点A 的距离|PA |＜1．根据几何概型的概率计算公式可知，动点P 到定点A 的距离|PA |＜1的概率为S 扇形ABD S 正方形ABCD ＝π4，故选C ．二、填空题6．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为______．答案1316解析 由题意画出示意图，如图所示．表示小波在家看书的区域如图中阴影部分所示， 则他在家看书的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫122π－⎝ ⎛⎭⎪⎫142ππ＝316，因此他不在家看书的概率为1－316＝1316． 7．下列程序框图可用来估计π的值(假设函数CONRND(－1，1)是产生随机数的函数，它能随机产生区间(－1，1)内的任何一个实数)．如果输入1000，输出的结果为788，则由此可估计π的近似值为________．(保留四位有效数字)答案 3．152解析 设点P (A ，B )，当A ，B 满足A 2＋B 2≤1时，则点P 在单位圆内，输入1000输出788说明在由直线x ＝±1，y ＝±1围成的正方形内任取1000个点，有788个点落在单位圆内．又单位圆是该正方形的内切圆，则在正方形内任取一点落在其内切圆内的概率估计是7881000＝0．788，设任取一点落在其内切圆内为事件A ，又单位圆的面积是π×12＝π，正方形的面积是22＝4， 则P (A )＝单位圆的面积正方形的面积＝π4，所以π4≈0．788．解得π≈4×0．788＝3．152．8．设函数y ＝f (x )在区间[0，1]上的图象是一条连续不断的曲线，且恒有0≤f (x )≤1，可以用随机模拟的方法近似计算由曲线y ＝f (x )及直线x ＝0，x ＝1，y ＝0所围区域的面积S ．先产生两组(每组N 个)区间[0，1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x N 和y 1，y 2，…，y N ，由此得到N 个点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，N )．再数出其中满足y i ≤f (x i )(i ＝1，2，…，N )的点数N 1，那么由随机模拟方法可得到S 的近似值为________．答案N 1N解析 这种随机模拟的方法是在矩形内生成了N 个点，而满足条件的点有N 1个，所以根据比例关系可得SS 矩形＝N 1N ，又矩形的面积为1，所以由随机模拟方法得到S 的近似值为N 1N．三、解答题9．对某人某两项指标进行考核，每项指标满分100分，设此人每项得分在[0，100]上是等可能出现的．单项80分以上，且总分170分以上才合格，求他合格的概率．解 设某人两项的分数分别为x 分、y 分， 则0≤x ≤100，0≤y ≤100， 某人合格的条件是：⎩⎪⎨⎪⎧80＜x ≤100，80＜y ≤100，x ＋y ＞170，在同一平面直角坐标系中，作出上述区域(如图阴影部分所示)．由图可知：0≤x ≤100，0≤y ≤100构成的区域面积为100×100＝10000， 合格条件构成的区域面积为S 五边形BCDEF ＝S 矩形ABCD －S △AEF ＝400－12×10×10＝350，所以所求概率为P ＝35010000＝7200． 该人合格的概率为7200．10．现向如图所示的正方形区域内随机地投掷飞镖，已知阴影部分由直线6x －3y －4＝0和x ＝1，y ＝－1围成，用随机模拟的方法计算飞镖落在阴影部分的概率．解 记事件A ＝{飞镖落在阴影部分}．(1)用计算机或计算器产生两组[0，1]上的均匀随机数，x 1＝RAND ，y 1＝RAND ； (2)经过平移和伸缩变换，x ＝2(x 1－0．5)，y ＝2(y 1－0．5)，得到两组[－1，1]上的均匀随机数；(3)统计试验总次数N 及落在阴影部分的点数N 1；(4)计算频率f n (A )＝N 1N，即为飞镖落在阴影部分的概率的近似值．。
高中数学3概率统计常考题型：均匀随机数的产生
均匀随机数的产生【知识梳理】1．均匀随机数的产生(1)计算器上产生[0,1]的均匀随机数的函数是RAND 函数．(2）Excel软件产生［0，1]区间上均匀随机数的函数为“rand（_)”．2．用模拟的方法近似计算某事件概率的方法（1）试验模拟的方法：制作两个转盘模型,进行模拟试验，并统计试验结果．(2）计算机模拟的方法：用Excel的软件产生［0，1］区间上均匀随机数进行模拟．注意操作步骤．【常考题型】题型一、用随机模拟法估计长度型几何概型【例1】取一根长度为5 m的绳子,拉直后在任意位置剪断，用均匀随机模拟方法估计剪得两段的长都不小于2 m 的概率有多大？[解］设剪得两段的长都不小于2 m为事件A。
法一：（1）利用计算器或计算机产生n个0～1之间的均匀随机数，x＝RAND；（2）作伸缩变换:y＝x＊(5－0），转化为［0，5]上的均匀随机数；(3)统计出[2，3]内均匀随机数的个数m;（4）则概率P（A)的近似值为错误!.法二：(1）做一个带有指针的转盘，把圆周五等分，标上刻度［0，5](这里5和0重合)；(2)固定指针转动转盘或固定转盘旋转指针，记下指针在[2，3］内（表示剪断绳子位置在[2，3]范围内）的次数m及试验总次数n；(3）则概率P（A)的近似值为错误!.【类题通法】利用随机模拟计算概率的步骤（1)确定概率模型；(2）进行随机模拟试验，即利用计算器等以及伸缩和平移变换得到[a，b]上的均匀随机数；（3)统计计算；（4)得出结论，近似求得概率．【对点训练】已知米粒等可能地落入如图所示的四边形ABCD内，如果通过大量的实验发现米粒落入△BCD内的频率稳定在错误!附近,那么点A和点C到直线BD的距离之比约为________．解析：设米粒落入△BCD内的频率为P1，米粒落入△BAD内的频率为P2，点C和点A到直线BD的距离分别为d1，d2，根据题意：P2＝1－P1＝1－错误!＝错误!，又∵P1＝S△BCDS四边形ABCD＝错误!，P2＝错误!＝错误!，∴错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!题型二、用随机模拟法估计面积型的几何概型【例2】如图所示，在墙上挂着一块边长为32 cm 的正方形木板,上面画了小、中、大三个同心圆，半径。
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3.3.2 均匀随机数的产生
1.设x是[0,1]内的一个均匀随机数,经过变换y=2x+3,则x=对应变换成的均匀随机数是( )
A.0
B.2
C.4
D.5
解析:当x=时,y=2×+3=4.
答案:C
2.用均匀随机数进行随机模拟,可以解决( )
A.只能求几何概型的概率,不能解决其他问题
B.不仅能求几何概型的概率,还能计算图形的面积
C.不但能估计几何概型的概率,还能估计图形的面积
D.最适合估计古典概型的概率
解析:很明显用均匀随机数进行随机模拟,不但能估计几何概型的概率,还能估计图形的面积,但得到的是近似值,不是精确值,用均匀随机数进行随机模拟,不适合估计古典概型的概率.
答案:C
3.把[0,1]内的均匀随机数x分别转化为[0,4]和[-4,1]内的均匀随机数y1,y2,需实施的变换分别为( )
A.y1=-4x,y2=5x-4
B.y1=4x-4,y2=4x+3
C.y1=4x,y2=5x-4
D.y1=4x,y2=4x+3
解析:∵x∈[0,1],
∴4x∈[0,4],5x-4∈[-4,1].故选C.
答案:C
4.一个靶子如图所示,随机地掷一个飞镖扎在靶子上,假设飞镖既不会落在靶心,也不会落在阴影部分与空白的交线上,现随机向靶掷飞镖30次,则飞镖落在阴影部分的次数约为( )
A.5
B.10
C.15
D.20
解析:阴影部分对应的圆心角度数和为60°,所以飞镖落在阴影内的概率为,飞镖落在阴影内的次数约为30×=5.
答案:A
5.在区间[-2,2]上随机任取两个数x,y,则满足x2+y2<1的概率等于( )
A. B. C. D.
解析:∵表示的区域是以原点为中心,边长为4的正方形,x2+y2<1是以原点为圆心,以1为半径的圆面, ∴所求概率为P=.
答案:D
6.将一段长4m的细绳剪为2段,其中一段大于1m,另一段大于2m的概率为.
解析:如图,AC=CD=DE=EB=1m,当在CD或DE段上剪断时,两段绳长满足条件,所以所求概率为.
答案:
7.b1是[0,1]上的均匀随机数,b=2(b1+x),则b是区间[2,4]上的均匀随机数,则x=.
解析:∵0≤b1≤1,∴2x≤2(b1+x)≤2x+2.
∵b是[2,4]上的随机数,∴2x=2,2x+2=4,即x=1.
答案:1
8.已知|x|≤2,|y|≤2,点P的坐标为(x,y).当x,y∈R时,P满足(x-2)2+(y-2)2≤4的概率为. 解析:如图,点P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界),满足(x-2)2+(y-2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心,2为半径的圆面(含边界).
所以所求的概率P1=.
答案:
9.用随机模拟方法求函数y=与x轴和直线x=1围成的图形的面积.
解:如图所示,阴影部分是函数y=的图象与x轴和直线x=1围成的图形.设阴影部分的面积为S.
随机模拟的步骤:
(1)利用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数,x1=RAND,y1=RAND;
(2)统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1(满足条件y<的点(x,y)的个数);
(3)计算频率,即为点落在阴影部分的概率的近似值;
(4)直线x=1,y=1和x,y轴围成的正方形面积是1,由几何概型公式得点落在阴影部分的概率为=S.
则S=,即阴影部分面积的近似值为.
10.设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.
(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率;
(2)若a是从区间[0,3]上任取的一个数,b是从区间[0,2]上任取的一个数,求上述方程有实根的概率.
解:设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”.
当a≥0,b≥0时,方程x2+2ax+b2=0有实根当且仅当a≥b.
(1)基本事件为(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),共12个,
其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值.
因为事件A中包含9个基本事件,所以事件A发生的概率为P(A)=.
(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2},构成事件A的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b},
故所求概率为.。