习题课chap6

6.11 如图，按纯滚动处理 如图， t=0时，D、A点重合于 ´点 点重合于A´ 时 、 点重合于 t时刻大圆柱滚动 角度，故： 时刻大圆柱滚动β角度 时刻大圆柱滚动 角度，
y
A′ A
D E
ϕ
r
m
& ωR = β 小圆柱转过的角度： 小圆柱转过的角度：ψ =θ +ϕ AE = (θ − β)R = D =ϕr E R ∴ ψ =θ +ϕ =θ + (θ − β )
3. 理想约束
(1) 光滑曲面 线，光滑铰链 光滑曲面/线 (2) 不可伸长的绳 杆 不可伸长的绳/杆 (3) 固定点 (4) 固定曲面上作纯滚动时的摩擦力
4. 虚功原理 在理想约束条件下，力学系的平衡条件是： 在理想约束条件下，力学系的平衡条件是：作用于各质 点上的主动力所作的虚功之和为零。 点上的主动力所作的虚功之和为零。
(
)
m
y
(
)
(
)
(
)
由拉格朗日方程组得: 由拉格朗日方程组得
1 && m′lx + m && + && − mg = 0 lx s 2
m && +&& + ks−mg = 0 lx s
&& = 2ks ③ ①−②: lx m′ 2m+ m′ mm′g ③→②: &&+ s k s − k(2m+ m′) = 0 mm′ 2m+ m′ mm′g 2 ω = s= + Acosωt + Bsin ωt mm′ k(2m+ m′) mm′g t = 0时 s = s = 0 → ， & A= − ,B=0 k(2m+ m′) mm′g (1−cosωt) ∴ s= k(2m+ m′)
(Hale Waihona Puke )()①
②
&& + && = g − k s = 2mg + m′g cosωt && = lx s y m 2m+ m′ 2m+ m′
2mg 重物m的运动为在恒定的加速运动 即：重物 的运动为在恒定的加速运动 a = 上附加一 2m+ m′ 2m+ m′ 的振动，振动的加速度振幅为： 个角频率为 ω = 的振动，振动的加速度振幅为：
mm′
m′g aM = = ω2 A 2m+ m′
mm′2g ∴ A= 2 = ω k(2m+ m′)2 aM
6.10 如图，小柱体绕质心C以角速度 转动 如图，小柱体绕质心 以角速度 以角速度ω转动
vA = vC −ωr = 0
& vC =θ(R − r) = ωr
θ
C•
m
ω
V = −mg(R−r) cosθ
O
α
x
l
δW = mgδyA + mgδyB + mgδyC = 0
l
C
β
r
l sin α = 2r sin β l cosαδα = 2r cos βδβ A B y yA = yB = l cosα δyA = δyB = −l sin αδα yC = l cosα − 2r cos β δyC = −l sin αδα + 2r sin βδβ l cosα = −l sin αδα + 2r sin β δα =l(tan β cosα −sin α)δα 2r cos β
O
B
C
r
A
α
mg
x
] ∴ δW = λl g ⋅ δy = λl g[2r(2cos α −1) −(l / 2) cosα]δα = 0 2r(2cos α −1) = (l / 2) cosα
δyC = 2r 2cos2 α −1 − (l0 / 2) cosα δα
2 0 C 0
2
= (2r cosα −l0 / 2)sin α
[ (
)
y
0
0
l 2 2 l2 2r2 −1 = (l0 / 2) r r
4(l 2 − 2r2 ) l0 = l
6.2 如图建立坐标系，球面光滑，球体之间的 如图建立坐标系，球面光滑， 作用力及绳子的张力为理想约束。 作用力及绳子的张力为理想约束。三球的重力 为主动力。由虚功原理： 为主动力。由虚功原理：
6.1 如图，重力作用于质心 ，是主动力，A、B点为理想约束。 如图，重力作用于质心C，是主动力， 、 点为理想约束 点为理想约束。
δW = mg ⋅ δyC = λl0g ⋅ δyC
yC = B sin α = (l −l0 / 2)sin α C
B = AB− AC = l −l0 / 2 C
& & & & & y = lx + s y = lx + s =θr + s
m′
r
2 1 &2 1 2 1 & 2 1 & & & T = Jθ + my = m′lx + m lx + s 2 2 4 2 1 2 1 2 V = ks − mgy = ks − mg(lx + s) 2 2 2 1 &2 1 & 1 2 & L = T −V = m′lx + m lx + s − ks + mg(lx + s) 4 2 2 ∂L 1 & ∂L & & ′lx + m lx + s = mg & = 2m ∂lx ∂lx ∂L ∂L & +s & = m lx = −ks + mg & ∂sx ∂s
代入虚功原理得： 代入虚功原理得：
δW = mgl(cosα tan β −3sin α)δα = 0 tan β = 3tanα
6.2 如图建立坐标系，约束为理想约束。 如图建立坐标系，约束为理想约束。 绳子拉力T可看作约束 可看作约束， 绳子拉力 可看作约束 ， 也可看作主 动力。 以下求解中把拉力T看作主动力处 动力 。 以下求解中把拉力 看作主动力处 最后与T有关的项相互抵消 有关的项相互抵消。 理，最后与 有关的项相互抵消。
& t = 0 ， = 0, y = 0 时 y 1 & J = m′r2 & y =θr y =θr 2 1 &2 1 2 1 & & T = Jθ + my = (m′ + 2m) y2 V = −mgy
m′
r
m
y
2
6.8 如果绳子有弹性，以lx表示 时刻绳 如果绳子有弹性， 表示t时刻绳 子下垂的长度， 表示 的伸长量， 表示l 子下垂的长度，s表示 x的伸长量，则：
r
δW = mgl(cosα tan β −3sin α)δα = 0
tan β = 3tanα
6.4 如图建立坐标系
r = Rsin θ 绳圈长 l = 2πr = 2πRsin θ δl = 2πRcosθδθ
绳中张力 T = k(l −l0 ) = k(2πRsin θ −l0 )
O
Cθ
r
R
6.7 如图建立坐标系
2 4 ∂L ∂L 1 1 2 = mg & & = (m′ + 2m) y L = T −V = (m′ + 2m) y + mgy ∂y & ∂y 2 4 d ∂L ∂L 由拉格朗日方程 = 0 得： 1 (m′ + 2m)&& − mg = 0 &− y dt ∂θ ∂θ 2 t =0 4mg & & 2mg dy 1 dy2 2 & y = y && = & y =y = & y = y =0 m′ + 2m m′ + 2m dy 2 dy & mgl &= y =2 ω =θ 绳子完全释放时， 绳子完全释放时，y=l→ r r m′ + 2m
x
y
m =σl0 yC = R − Rcosθ δyC = Rsin θδθ δW = mgδyC −Tδl =σl0g ⋅ Rsin θδθ − k(2πRsin θ −l0 )2πRcosθδθ = 0 Q =σl0gRsin θ − 2πkRcosθ(2πRsin θ −l0 ) = 0 θ l0 l0σg sin 2θ − cosθ − 2 sin θ = 0 πR 2π kR
保守力学系统的拉格朗日方程组 保守力学系统的拉格朗日方程组： 拉格朗日方程
6. 哈密顿函数和正则方程
& & H(q, p;t) = −L[q, q(q, p;t); t] + ∑pα qα (q, p;t)
α
s
关键！ 关键！
勒让德变换 力学系在稳定约束情形下， 力学系在稳定约束情形下 ， 动能是广义速度的二次齐次 函数，哈密顿函数为力学系的总机械能。 函数，哈密顿函数为力学系的总机械能。 哈密顿正则方程： 哈密顿正则方程：
=0
5. 拉氏函数和拉格朗日方程 达朗贝尔原理：引进逆效应力，作用在质点上的力总是 达朗贝尔原理：引进逆效应力， 逆效应力 平衡的 达朗贝尔—拉格朗日方程 达朗贝尔 拉格朗日方程: 拉格朗日方程 基本形式的拉格朗日方程：达朗贝尔 拉格朗日方程的广 基本形式的拉格朗日方程：达朗贝尔—拉格朗日方程的广 义坐标表示： 义坐标表示：