方案设计型问题

中考复习——方案设计型问题徐苏湘第一部分 讲解部分一．专题诠释方案设计型问题，是指根据问题所提供的信息，运用学过的技能和方法，进行设计和操作，然后通过分析、计算、证明等，确定出最佳方案的一类数学问题。

随着新课程改革的不断深入，一些新颖、灵活、密切联系实际的方案设计问题正越来越受到中考命题人员的喜爱，这些问题主要考查学生动手操作能力和创新能力，这也是新课程所要求的核心内容之一。

二．解题策略和解法精讲方案设计型问题涉及生产生活的方方面面，如：测量、购物、生产配料、汽车调配、图形拼接等。

所用到的数学知识有方程、不等式、函数、解直角三角形、概率和统计等知识。

这类问题的应用性非常突出，题目一般较长，做题之前要认真读题，理解题意，选择和构造合适的数学模型，通过数学求解，最终解决问题。

解答此类问题必须具有扎实的基础知识和灵活运用知识的能力，另外，解题时还要注重综合运用转化思想、数形结合的思想、方程函数思想及分类讨论等各种数学思想。

关于一次函数和不等式的方案设计是最近几年中考的命题热点，正确理解题意，找出等量关系，列出函数表达式是解题的关键，分类讨论一定要全面，不能有遗漏．三．考点精讲考点1：设计测量方案问题这类问题主要包括物体高度的测量和地面宽度的测量。

所用到的数学知识主要有相似、全等、三角形中位线、投影、解直角三角形等。

例1．（2009年济宁市）坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋（公元1112年），为砖彻八角形十三层楼阁式建筑.数学活动小组开展课外实践活动，在一个阳光明媚的上午，他们去测量太子灵踪塔的高度，携带的测量工具有：测角仪、皮尺、小镜子.（1）小华利用测角仪和皮尺测量塔高. 图1为小华测量塔高的示意图.她先在塔前的平地上选择一点A ，用测角仪测出看塔顶()M 的仰角35α=，在A 点和塔之间选择一点B ，测出看塔顶()M 的仰角45β= ，然后用皮尺量出A 、B 两点的距离为18.6m,自身的高度为1.6m.请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度（tan350.7≈ ，结果保留整数）.（2）如果你是活动小组的一员，正准备测量塔高，而此时塔影NP 的长为a m （如图2）,你能否利用这一数据设计一个测量方案？如果能，请回答下列问题：①在你设计的测量方案中，选用的测量工具是: ；②要计算出塔的高，你还需要测量哪些数据？ .【分析】（1）要求MN 的长，先求ME 的长，因为ME 所在的直角三角形，没有一个边已知，所以不好直接求。

于是设MN 长为xm ， 根据直角三角形的边角关系列方程求解。

（2）答案不唯一，可以考虑相似法，也可以考虑用锐角三角函数法等。

A B C D MN α β 图图P MN E【答案】解:（1）设CD 的延长线交MN 于E 点，MN 长为xm ，则( 1.6)ME x m =-.∵045β=,∴ 1.6DE ME x ==-.∴ 1.618.617CE x x =-+=+.∵0tan tan35ME CE α==,∴ 1.60.717x x -=+,解得45x m =. ∴太子灵踪塔()MN 的高度为45m .(2) ①测角仪、皮尺； ② 站在P 点看塔顶的仰角、自身的高度.（或者①木杆、皮尺； ②木杆自身的高度和当时的影长）【评注】①不好直接求，可以考虑用方程法求解；②不同的方案，所用的数学原理不同，所选用的测量工具、测量数据也不同。

2．设计搭配方案问题这类问题不仅在中考中经常出现，大家在平时的练习中也会经常碰到。

它一般给出两种元素，利用这两种元素搭配出不同的新事物，设计出方案，使获利最大或成本最低。

解题时要根据题中蕴含的不等关系，列出不等式（组），通过不等式组的整数解来确定方案。

例2.（2010莱芜）为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．（1）问符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来；（2）若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明在（1）中哪种方案费用最低？最低费用是多少元？【分析】（1）设组建中型图书角x 个，则组建小型图书角为（30-x ），然后分别把所需要的科技类书籍和人文类书籍表示出来，再根据题中的不等关系列出不等式组，求出其整数解；（2）分别求出每种方案的费用，进行比较，就可以求出最低费用。

【答案】解：（1）设组建中型图书角x 个，则组建小型图书角为（30-x ）个．由题意得⎩⎨⎧≤-+≤-+16203060501900303080）（）（x x x x解这个不等式组得18≤x ≤20．由于x 只能取整数，∴x 的取值是18，19，20．当x =18时，30-x =12；当x =19时，30-x =11；当x =20时，30-x =10．故有三种组建方案：方案一，组建中型图书角18个，小型图书角12个；方案二，组建中型图书角19个，小型图书角11个；方案三，组建中型图书角20个，小型图书角10个．（2）方法一：由于组建一个中型图书角的费用大于组建一个小型图书角的费用，因此组建中型图书角的数量越少，费用就越低，故方案一费用最低，最低费用是860×18+570×12=22320（元）． 方法二：①方案一的费用是：860×18+570×12=22320（元）； ②方案二的费用是：860×19+570×11=22610（元）； ③方案三的费用是：860×20+570×10=22900（元） 故方案一费用最低，最低费用是22320元．【评注】本题主要考查学生运用不等式组解决实际问题的能力，属于中等难度的试题，具有一定的区分度．注意分类讨论在解答此类问题的应用。

另外，本题也可以用一次函数表示出需要总费用，然后根据一次函数的性质求出其最小值。

3．设计销售方案问题在商品买卖中，更多蕴含着数学的学问。

在形形色色的让利、打折、买一赠一、摸奖等促销活动中，大家不能被表象所迷惑，需要理智的分析。

通过计算不同的销售方案盈利情况，可以帮助我们明白更多的道理。

近来还出现运用概率统计知识进行设计的问题。

例3.（2010年南京）某厂为新型号电视机上市举办促销活动，顾客每购买一台该型号电视机，可获得一次抽奖机会，该厂拟按10%设大奖，其余90%为小奖．厂家设计的抽奖方案是：在一个不透明的盒子中，放入10个黄球和90个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到黄球的顾客获得大奖，摸到白球的顾客获得小奖．（1）厂家请教了一位数学老师，他设计的抽奖方案是：在一个不透明的盒子中，放入2个黄球和3个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出2个球，摸到的2个球都是黄球的顾客获得大奖，其余的顾客获得小奖．该抽奖文案符合厂家的设奖要求吗？请说明理由；（2）下图是一个可以自由转动的转盘，请你将转盘分为2个扇形区域，分别涂上黄、白两种颜色，并设计抽奖方案，使其符合厂家的设奖要求．（友情提醒：1．在转盘上用文字注明颜色和扇形圆心角的度数．2．结合转盘简述获奖方式，不需说明理由．）【分析】（1）用树状图或列表法表示所有等可能的结果，也可以用枚举法表示所有等可能的结果；（2）由于按10%设大奖，其余90%为小奖，所以可以把转盘分成两部分，其中大奖部分的圆心角为10%×360°=36°。

【答案】解：（1）该抽奖方案符合厂家的设奖要求。

分别用黄1、黄2、白1、白2、白3表示这5个球。

从中任意摸出2个球，可能出现的结果有：(黄1，黄2)、(黄1，白1)、(黄1，白2)、(黄1，白3)、(黄2，白1)、(黄2，白2)、(黄2，白3)、(白1，白2)、（白1，白3)、（白2，白3)。

共有10种，它们出现的可能性相同。

所有的结果中，满足摸到的2个球都是黄球（记为事件A ）的结果有1种，即(黄1，黄2)，所以P （A ）=110，即顾客获得大奖的概率为10%，获得小奖的概率为90%。

（2）本题答案不惟一，下列解法供参考。

如果，匀转盘圆心角为36°的扇形区域涂上黄色，其余的区域涂上白色。

顾客每购买一台该型号电视机，可获得一次转动转盘的机会，任意转动这个转盘，当转盘停止时，指针指向黄色区域获得大奖，指向白色区域获得小奖。

【评注】本题主要考查概率的计算，以及利用概率设计实验的能力。

题目不难，但文字表达要清楚，符合题意。

4．设计图形剪拼方案问题图形的分割、拼接问题是考查动手操作能力与空间想能力的一类重要问题，在各地的中考试题中经常出现。

这类问题大多具有一定的开放性，要求学生多角度、多层次的探索，以展示思维的灵活性、发散性、创新性。

例4.（2010四川达州）在一块长16m ，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案.(1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由.(2)你还有其他的设计方案吗？请在图9-3中画出你所设计的草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明.【分析】（1）小芳方案中四周小路宽度为1m ,则得花园面积是（16－1）×（12－1）＝165≠116122⨯⨯，因此小芳的方案是不符合的；可设小路宽度均为x m ，计算得x ≠1，从而用方程的方法了说明小芳的方案是不符合的．（2）可以考虑设计图中阴影面积等于原面积的一半，也可以考虑设计图中空白部分面积等于原面积的一半。

【答案】解：（1）不符合设小路宽度均为x m ，根据题意得：1(162)(122)16122x x --=⨯⨯, 解这个方程得：122,12.x x ==但212x =不符合题意，应舍去,∴2x = ∴小芳的方案不符合条件，小路的宽度均为2m.（2）答案不唯一. 例如：【评注】本题考查了学生把数学知识运用于生活实际，论证生活中的设计可行性问题，能很好的培养学生对知识的应用意识和运用能力．设计尽量简便可操作，而且要标上适当的数据，或附上文字说明。

例5 某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择：方案一：从纸箱厂定制购买，每个纸箱价格为4元；方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装等费用16 000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元．(1)若需要这种规格的纸箱x 个,请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用y1(元)和蔬菜加工厂加工制作纸箱的费用y2(元)关于x(个)的函数关系式;(2)假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？并说明理由．【点拨】先分别求出y1和y2关于x 的函数关系式，再根据y1＝y2，y1>y2和y1<y2三种方案求x ，进行比较、决策．【解答】(1)从纸箱厂定制购买纸箱费用为y1＝4x. 由蔬菜加工厂自己加工纸箱费用为y2＝2.4x ＋16 000. (2)y2－y1＝(2.4x ＋16 000)－4x ＝16 000－1.6x ，由y1＝y2，得16 000－1.6x＝0，解得x＝10 000，∴当x<10 000时，y1<y2，选择方案一，从纸箱厂定制购买纸箱所需的费用低；当x>10 000时，y1>y2，选择方案二，由蔬菜加工厂自己加工纸箱所需的费用低；当x＝10 000时，y1＝y2，两种方案都可以，两种方案所需的费用相同．四．真题演练1.（2010安徽）上海世博会门票价格如下表所示：某旅行社准备了1300元，全部用来购买指定日普通票和平日优惠票，且每种至少买一张．（1）有多少种购票方案？列举所有可能结果；（2）如果从上述方案中任意选中一种方案购票，求恰好选到11张门票的概率．2.（2010青海西宁）八（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图）．设计了如下方案：（Ⅰ）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM＝PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．（Ⅱ）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM＝PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由．（2）在方案（Ⅰ）PM＝PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB．此方案是否可行？请说明理由．3.（2010河北）某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y ＝1100-x＋150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内（元）（利润＝销售额－成本－广告费）．若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳1100x2元的附加费，设月利润为w外（元）（利润＝销售额－成本－附加费）．（1）当x ＝ 1000时，y ＝元/件，w内＝元；（2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；（3）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值；（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？参考公式：抛物线2(0)y ax bx c a=++≠的顶点坐标是24(,)24b ac ba a--．真题演练答案1.（1）解：有（211张门票的方案只有1种，因此恰好选到11张门票的概率是61． 2.（1）方案（Ⅰ）不可行，因为当OM 和ON 不相等时，射线OP 不是∠AOB 的平分线．方案（Ⅱ）可行理由：在△OMP 和△ONP 中，⎪⎩⎪⎨⎧===（公共边）（已知）（已知）OP OP PN PM OM OM 所以△OMP ≌△ONP （SSS ）． 所以∠AOP ＝∠BOP ．所以射线OP 是∠AOB 的平分线． （2）此方案可行理由：在Rt △OMP 和Rt △ONP 中，⎩⎨⎧==（已知）（公共边）PN PM OP OP 所以Rt △OMP ≌Rt △ONP （H L ）． 所以∠AOP ＝∠BOP ．所以射线OP 是∠AOB 的平分线． 3.解：（1）140 57500； （2）w 内 ＝ x （y －20）－ 62500 ＝ 1001-x 2＋130 x 62500-， w 外 ＝ 1001-x 2＋（150a -）x ． （3）当x ＝ )1001(2130-⨯-＝ 6500时，w 内最大；由题意得 2214()(62500)1300(150)100114()4()100100a ⨯-⨯----=⨯-⨯-，解得a 1 ＝ 30，a 2 ＝ 270（不合题意，舍去）．所以 a ＝ 30．（4）当x ＝ 5000时，w 内 ＝ 337500， w 外 ＝5000500000a -+．若w 内 ＜ w 外，则a ＜32.5； 若w 内 ＝ w 外，则a ＝ 32.5； 若w 内 ＞ w 外，则a ＞32.5．所以，当10≤ a ＜32.5时，选择在国外销售； 当a ＝ 32.5时，在国外和国内销售都一样； 当32.5＜ a ≤40时，选择在国内销售．第二部分 练习部分1.（2010年鄂尔多斯市）某移动通讯公司提供了A 、B 两种方案的通讯费用y （元）与通话时间x （分）之间的关系，如图所示，则以下说法错误．．的是（ ）． A ．若通话时间少于120分，则A 方案比B 方案便宜20元 B ．若通话时间超过200分，则B 方案比A 方案便宜C ．若通讯费用为60元，则B 方案比A 方案的通话时间多D ．若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分2.（2010年桂林市改编）某蔬菜公司收购到某种蔬菜104吨，准备加工后上市销售. 该公司加工该种蔬菜的能力是：每天可以精加工4吨或粗加工8吨. 现计划用16天正好完成加工任务，则该公司应安排________天精加工，________天粗加工.3.（2010山东泰安改编）某电视机厂要印制产品宣传材料，甲印刷厂提出：每份材料收1元印刷费，另收1000元制版费；乙厂提出：每份材料收2元印制费，不收制版费.（1）分别写出两厂的收费y (元)与印制数量x （份）之间的函数关系式 甲厂：_________________；乙厂：_______________。