八年级下数学基础练习题(18)
(必考题)初中八年级数学下册第十八章《平行四边形》经典练习(答案解析)
一、选择题1．如图，菱形ABCD 中，50A ∠=︒，则ADB ∠的度数为（ ）A ．65︒B ．55︒C ．45︒D ．25︒A解析：A【分析】 由菱形得到AB=AD ，进而得到∠ADB=∠ABD ，再由三角形内角和定理即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 为菱形，∴AD=AB ，∴∠ADB=∠ABD=(180°-∠A)÷2=(180°-50°)÷2=65°，故选：A ．【点睛】本题考查了菱形的性质，菱形的邻边相等，属于基础题，熟练掌握菱形的性质是解决本题的关键．2．如图，在平行四边形ABCD 中，DE 平分,6,2ADC AD BE ∠==，则平行四边形ABCD 的周长是（ ）A ．16B ．18C ．20D ．24C解析：C【分析】 根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE=∠CED ，再根据等角对等边的性质可得CE=CD ，然后利用平行四边形对边相等求出CD 、BC 的长度，再求出▱ABCD 的周长．【详解】解：∵DE 平分∠ADC ，∴∠ADE=∠CDE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，BC=AD=6，AB=CD ，∴∠ADE=∠CED ，∴∠CDE=∠CED ，∴CE=CD ，∵AD=6，BE=2，∴CE=BC-BE=6-2=4，∴CD=AB=4，∴▱ABCD 的周长=6+6+4+4=20．故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形对边平行，对边相等的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明CE=CD 是解题的关键．3．如图，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，已知6AD =（正方形的四条边都相等，四个内角都是直角），2DF =．则AEF 的面积AEF S =（ ）A ．6B ．12C ．15D ．30C解析：C【分析】 延长CD 到G ，使DG=BE ，连接AG ，易证ADG ABE △≌△所以AE=AG ，BAE=DAG ∠∠ ， 证AFG AEG △≌△，所以 GF=EF ，设BE=DG=x ，则EF=FG=x+2，在ECF Rt △中，利用勾股定理得222462x x 解得求出x ，最后求AGF S △问题即可求解．【详解】解：延长CD 到G ，使DG=BE ，连接AG ，在正方形ABCD 中，AB=AD ，90ADB B C ADC ∠=∠=∠=∠=︒ 90ADG B ∴∠=∠=︒，ADG ABE(SAS)∴△≌△，,AG AE BAE DAG ∴=∠=∠，45EAF ∠=︒ ，45DAF BAE ∴∠+∠=︒ ，GAF=45DAG DAF ∴∠∠+∠=︒，GAF=EAF ∴∠∠，又AF=AF ，AFG AEG ∴△≌△(SAS)，EF=FG ∴，设BE=DG=x ，则EC=6-x ，FC=4，EF=FG=x+2，在ECF Rt △中，222=FC CE EF +，()()22246=2x x ∴+-+，解得，x=3， GF=DG DF=2+3=5∴+，AEF AGF 11S =S =GF AD=56=1522∴⨯⨯△△， 故选：C ．【点睛】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确构造辅助线，证三角形全等是解决本题的关键.4．如图，在平行四边形ABCD 中，100B D ︒∠+∠=，则B 等于（ ）A ．50°B ．65°C ．100°D ．130°A解析：A【分析】 根据平行四边形的对角相等求出∠B 即可得解．【详解】 解：□ABCD 中，∠B ＝∠D ，∵∠B +∠D ＝100°，∴∠B ＝12×100°＝50°， 故选：A ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，主要利用了平行四边形的对角相等是基础题．5．如图，已知正方形1234A A A A 的边长为1，延长12A A 到1B ，使得1212B A A A =，延长23A A 到2B ，使得2323B A A A =，以同样的方式得到34,B B ，连接1234,,,B B B B ，得到第2个正方形1234B B B B ，再以同样方式得到第3个正方形1234C C C C ，……，则第2020个正方形的边长为（ ）A ．2020B ．2019(5)C ．2020(5)D ．20205B解析：B【分析】 结合题意分析每个正方形的边长，从而发现数字的规律求解【详解】解：由题意可得：第1个正方形1234A A A A 的边长为012=1=(5)A A∵1212B A A A =∴112A B =∴第2个正方形1234B B B B 221+2=5由题意，以此类推，215C B =2225C B =∴第3个正方形1234C C C C 222(5)(25)5(5)+==…∴第n 个正方形的边长为15)n -∴第2020个正方形的边长为2019(5)故选：B ．【点睛】本题考查勾股定理及图形类规律探索，题目难度不大，正确理解题意求解每个正方形边长的规律是解题关键．6．在菱形ABCD 中，∠ABC=60゜，AC=4，则BD=( )A ．3B ．23C ．33D ．43D解析：D【分析】 根据菱形的性质可得到直角三角形，利用勾股定理计算即可；【详解】如图，AC 与BD 相较于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，4AC =，∴AC BD ⊥，2AO =，又∵∠ABC=60゜，∴30ABO ∠=︒，∴24AB AO ==，∴224223BO =-=，∴243BD BO ==；故选D ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，结合勾股定理计算是解题的关键．7．如图，在平行四边形ABCD 中，点F 是AB 的中点，连接DF 并延长，交CB 的延长线于点E ，连接AE ．添加一个条件，使四边形AEBD 是菱形，这个条件是（ ）A ．BAD BDA ∠=∠B ．AB DE =C ．DF EF =D ．DE 平分ADB ∠D解析：D【分析】先证明△ADF ≌△BEF ，得到AD=BE ，推出四边形AEBD 是平行四边形，再逐项依次分析即可．【详解】解：在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠DAB=∠EBA ，∵点F 是AB 的中点，∴AF=BF ，∵∠AFD=∠BFE ，∴△ADF ≌△BEF ，∴AD=BE ，∵AD ∥BE ，∴四边形AEBD 是平行四边形，A 、当BAD BDA ∠=∠时，得到AB=BD ，无法判定四边形AEBD 是菱形，故该选项不符合题意；B 、AB=BE 时，无法判定四边形AEBD 是菱形，故该选项不符合题意；C 、DF=EF 时，无法判定四边形AEBD 是菱形，故该选项不符合题意；D 、当DE 平分ADB ∠时，四边形AEBD 是菱形，故该选项符合题意；故选：D ．【点睛】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，菱形的判定，熟记平行四边形的性质是解题的关键．8．如图，已知在正方形ABCD 中，E 是BC 上一点，将正方形的边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于点G ，连接DG ．现有如下4个结论：①AG ＝GF ；②AG 与EC 一定不相等；③45GDE ∠=︒；④BGE △的周长是一个定值．其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4C解析：C【分析】 根据HL 证明△ADG ≌△FDG ，根据角的平分线的意义求∠GDE ，根据GE=GF+EF=EC+AG ，确定△BGE 的周长为AB+AC.【详解】根据折叠的意义，得△DEC ≌△DEF ，∴EF=EC ，DF=DC ，∠CDE=∠FDE ，∵DA=DF ，DG=DG ，∴Rt △ADG ≌Rt △FDG ，∴AG=FG ，∠ADG=∠FDG ，∴∠GDE=∠FDG+∠FDE =12（∠ADF+∠CDF ） =45°， ∵△BGE 的周长=BG+BE+GE ，GE=GF+EF=EC+AG ，∴△BGE 的周长=BG+BE+ EC+AG=AB+AC ，是定值，∴正确的结论有①③④，故选C.【点睛】本题考查了正方形中的折叠变化，直角三角形的全等及其性质，角的平分线，三角形的周长，熟练掌握折叠的全等性是解题的关键.9．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，正方形OMNQ 与ABCD 的边长均为a ，OM 与CD 相交于点E ，OQ 与BC 相交于点F ，且满足DE CF ，则两个正方形重合部分的面积为（ ）A ．212aB ．214aC ．218a D ．2116a B 解析：B【分析】由正方形OMNQ 与ABCD 得∠DOC=∠MOQ=90°可推出∠DOE=∠COF 由AC ，BD 是正方形ABCD 的对角线求得∠ODE=∠OCF=45°，可证△DOE ≌△COF （AAS ），利用面积和差S 四边形FOEC = S △EOC +S △DOE =S △DOC =214a 即可． 【详解】∵正方形OMNQ 与ABCD ，∴∠DOC=∠MOQ=90°，∴∠DOE+∠EOC =90º，∠EOC+∠COF=90º，∴∠DOE=∠COF ，又AC ，BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠ODE=∠OCF=45°，∵DE CF =，∴△DOE ≌△COF （AAS ），∴S 四边形FOEC =S △EOC +S △COF = S △EOC +S △DOE =S △DOC ，∵S △DOC =2ABCD 11=44S a 正方形， ∴S 四边形FOEC =214a ． 故选择：B ．【点睛】 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解题关键．10．如图，Rt Rt ABC BAD △≌△，BC 、AD 交于点E ，M 为斜边的中点，若CMD α∠=，AEB β∠=．则α和β之间的数量关系为（ ）A ．2180βα-=︒B ．60βα-=︒C ．180αβ+=︒D ．2βα=A 解析：A【分析】根据题意可得,CAB DBA ABC BAD ∠=∠∠=∠，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可证CM DM AM BM ===，继而证明()AMC BMD SSS △≌△，解得1802AMC BMD CAM ∠=∠=︒-∠，最后根据三角形内角和180°定理，分别解得αβ、与CAM ∠的关系，整理即可解题．【详解】Rt Rt ABC BAD △≌△,CAB DBA ABC BAD ∴∠=∠∠=∠M 是AB 的中点，11,22CM AB DM AB ∴== CM DM AM BM ∴===∴∠CAM=∠MCA ，Rt Rt ABC BAD △≌△AC BD ∴=()AMC BMD SSS △≌△1802AMC BMD CAM ∴∠=∠=︒-∠CMD α∴=∠180AMC BMD =︒-∠-∠1802(1802)CAM =︒-⨯︒-∠4180CAM =∠-︒90ABC BAD CAM ∠=∠=︒-∠，AEB β=∠=180BAD ABC ︒-∠-∠180(90)(90)CAM CAM =︒-︒-∠-︒-∠2CAM =∠2180βα∴-=︒故选：A ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和180°等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．二、填空题11．如图，在ABC 中，10AB AC ==，D 为CA 延长线上一点，DE BC ⊥交AB 于点F ．若F 为AB 中点，且12BC =，则DF =__________．8【分析】过点A 作AM ⊥BC 过点A 作AN ⊥BC 交DE 于N 证明△AFN ≌△BFE 得出AN=BE=3再利用勾股定理解答即可【详解】解：∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵∴∠C+∠BFE=90∠B+∠BFE=90解析：8【分析】过点A 作AM ⊥BC ，过点A 作AN ⊥BC 交DE 于N ，证明△AFN ≌△BFE ，得出AN=BE=3，再利用勾股定理解答即可．【详解】解：∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∵DE BC ⊥，∴∠C+∠BFE=90，∠B+∠BFE=90°，∵∠BFE=∠AFD ，∠B=∠C ，∴∠BFE=∠AED=∠CDE ，∴AD=AF ，过点A 作AM ⊥BC ，在△ABC 中，∵AB=AC ，∴M 为BC 的中点，∴BM=12BC =6， 在Rt △ABM 中，AM=2222106AB BM -=-=8∵F 为AB 中点，FE ⊥BC ， ∴FE 为△ABM 的中位线，BF=AF=12AB =5， ∴AD=AF=5，BE=132BM =， 过点A 作AN ⊥BC 交DE 于N ，∵AF=BF ，∠AFN=∠BFE ，∠ANF=∠BEF=90°，∴△AFN ≌△BFE ，∴AN=BE=3，在Rt △AND 中，DN=2222534AD AN -=-=，∵AD=AF ，AN ⊥DF ，∴DF=2DN=8．故答案为：8．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质的运用，平行线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，正确作出辅助线是解题的关键．12．如图，在菱形ABCD 中，6AC =，5AB =，点E 是直线AB ，CD 之间任意一点，连接AE ，BE ，DE ，CE ，则EAB 和ECD 的面积之和是______．12【分析】连接BD根据菱形对角线的性质利用勾股定理计算BD的长根据两平行线的距离相等所以△EAB和△ECD的面积和等于菱形ABCD面积的一半再利用菱形面积等于对角线积的一半计算可得结论【详解】如图解析：12【分析】连接BD，根据菱形对角线的性质，利用勾股定理计算BD的长，根据两平行线的距离相等，所以△EAB和△ECD的面积和等于菱形ABCD面积的一半，再利用菱形面积等于对角线积的一半计算可得结论．【详解】如图，连接BD交AC于O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=12AC=12×6=3，∵AB＝5，由勾股定理得：224AB OA-=，∴BD=2OB=8，∵AB∥CD，∴△EAB和△ECD的高的和等于点C到直线AB的距离，∴△EAB 和△ECD 的面积和=12×ABCD S 菱形＝12×12×AC×BD=168=124⨯⨯． 故答案为：12． 【点睛】 本题考查菱形的性质，三角形的面积，平行线的性质，熟知平行线的距离相等，得△EAB 和△ECD 的高的和等于点C 到直线AB 的距离是解题的关键．13．如图，在长方形纸片ABCD 中，12AB =，5BC =，点E 在AB 上，将DAE △沿DE 折叠，使点A 落在对角线BD 上的点A '处，则AE 的长为______．【分析】首先利用勾股定理计算出BD 的长再根据折叠可得AD=A′D=5进而得到A′B 的长再设AE=x 则A′E=xBE=12-x 再在Rt △A′EB 中利用勾股定理得出关于x 的方程解出x 的值可得答案【详解】解析：103【分析】首先利用勾股定理计算出BD 的长，再根据折叠可得AD=A′D=5，进而得到A′B 的长，再设AE=x ，则A′E=x ，BE=12-x ，再在Rt △A′EB 中利用勾股定理得出关于x 的方程，解出x 的值，可得答案．【详解】解：∵AB=12，BC=5，∴AD=5，∴22125+=13，根据折叠可得：AD=A′D=5，∴A′B=13-5=8，设AE=x ，则A′E=x ，BE=12-x ，在Rt △A′EB 中：（12-x ）2=x 2+82，解得：x=103． 故答案为：103． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、折叠的性质等知识点，能根据题意得出关于x 的方程是解此题的关键．14．如图，EF 过ABCD 对角线的交点O ，交AD 于E ，交BC 于F ，若ABCD 的周长为19， 2.5OE =，则四边形EFCD 的周长为_____．145【分析】根据平行四边形的性质易证三角形全等进而易得AE=CF故四边形的周长=AD+CD+EF根据已知求解即可【详解】解：在平行四边形ABCD中AD∥BCAC与BD互相平分∴AO=OC∠DAC=解析：14.5【分析】根据平行四边形的性质易证三角形全等，进而易得AE=CF，故四边形EFCD的周长=AD+CD+EF，根据已知求解即可．【详解】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD互相平分∴AO=OC，∠DAC=∠ACB，∠AOE=∠COF∴△AOE≌△COF∴AE=CF，OF=OE=2.5∴四边形EFCD的周长=CF+DE+CD+EF=AE+DE+CD+EF=AD+CD+EF=192.5 2×2=14.5．故答案为：14.5．【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及三角形全等的证明，将所求线段转化为已知线段是解题的关键．15．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一点，且P 不与写B、C重合．过P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，连结EF，则EF的最小值等于__________．48【分析】连接由菱形的性质解得再根据勾股定理解得继而证明四边形为矩形得到根据垂线段最短解得当时有最小值最后根据三角形面积公式解题即可【详解】连接四边形是菱形四边形为矩形当时有最小值此时的最小值为故解析：4.8【分析】连接OP ，由菱形的性质解得118,622BO BD OC AC ====，再根据勾股定理解得10BC =，继而证明四边形OEPF 为矩形，得到FE OP =，根据垂线段最短解得当OP BC ⊥时，OP 有最小值，最后根据三角形面积公式解题即可．【详解】连接OP ，四边形ABCD 是菱形，12,16AC BD ==,AC BD ∴⊥118,622BO BD OC AC ==== 22643610BC OB OC ∴=+=+=,,PE AC PF BD AC BD ⊥⊥⊥∴四边形OEPF 为矩形，FE OP ∴=当OP BC ⊥时，OP 有最小值，此时1122OBC S OB OC BC OP =⋅=⋅ 68 4.810OP ⨯∴== EF ∴的最小值为4.8，故答案为：4.8．【点睛】本题考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．16．如图，平面直角坐标系中，已知点()9,9A ，点B 、C 分别在y 轴、x 轴上，AB AC ⊥且AB AC =，若B 点坐标为()0,a ，则OC =______（用含a 的代数式表示）．18-【分析】过A作AE⊥y轴于EAD⊥x轴于D构造正方形AEOD再证△AEB≌△ADC（SAS）得BE=CD由EB=EO-BO=9-可求CD=9-求出OC=OD+CD=9+9-=18-即可【详解】解析：18-a．【分析】过A作AE⊥y轴于E，AD⊥x轴于D，构造正方形AEOD，再证△AEB≌△ADC（SAS），得BE=CD，由EB=EO-BO=9-a，可求CD=9-a，求出OC=OD+CD=9+9-a=18-a即可．【详解】过A作AE⊥y轴于E，AD⊥x轴于D，A，∵点()9,9AE=AD=OE=OD=9，∠ADO=90º，四边形AEOD为正方形，⊥，∠EAD=90°，∵AB AC∴∠EAB+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，∴∠BAE=∠CAD，=，AE=AD，∵AB AC∴△AEB≌△ADC（SAS），∴BE=CD，∵EB=EO-BO=9-a，∴CD=9-a，OC=OD+CD=9+9-a=18-a，故答案为：18-a．【点睛】本题考查正方形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握正方形的判定方法与性质，三角形全等判定的方法与性质是解题关键．17．把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF．若38CDF∠=︒，则EFD∠的度数是_________．64°【分析】先根据矩形的性质求出∠CFD的度数继而求出∠BFD的度数根据图形折叠的性质得出∠EFD=∠BFE=∠BFD即可得出结论【详解】解：∵ABCD是矩形∴∠DCF=90°∵∠CDF=38°∴解析：64°【分析】先根据矩形的性质求出∠CFD的度数，继而求出∠BFD的度数，根据图形折叠的性质得出∠EFD=∠BFE=12∠BFD，即可得出结论．【详解】解：∵ABCD是矩形，∴∠DCF=90°，∵∠CDF=38°，∴∠CFD=52°，∴∠BFD=180°-52°=128°，∵四边形EFDA1由四边形EFBA翻折而成，∴∠EFD=∠BFE=12∠BFD=12×128°=64°．故答案为：64°．【点睛】本题考查的是矩形折叠问题，掌握轴对称的性质是关键．18．如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF．若1DE=，则BF的长为__________．【分析】连接FE根据题意得CD=2AE=设BF=x则FG=xCF=2-x 在Rt△GEF中利用勾股定理可得EF2=（-2）2+x2在Rt△FCE中利用勾股定理可得EF2=（2-x ）2+12从而得到关于 解析：51-【分析】连接FE ，根据题意得CD=2，AE=5，设BF=x ，则FG=x ，CF=2-x ，在Rt △GEF 中，利用勾股定理可得EF 2=（5-2）2+x 2，在Rt △FCE 中，利用勾股定理可得EF 2=（2-x ）2+12，从而得到关于x 方程，求解x 即可．【详解】解：连接EF ，如图，∵E 是CD 的中点，且CE=1∴CD=2，DE=1∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=DA=2∴2222215AD DE +=+设BF=x ，由折叠得，AG=AB=2，FG=BF=x ，∴52，在Rt △GFE 中，2222252)EF FG GE x =+=+在Rt △CFE 中，CF=BC-BF=2-x ，CE=1∴22222(2)1EF FC CE x =+=-+∴222252)(2)1x x +=-+解得：=51x ，即51,51【点睛】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理．折叠问题主要是抓住折叠的不变量，在直角三角形中利用勾股定理求解是解题的关键．19．如图，点E 是平行四边形ABCD 的边BC 上一点，连结AE ，并延长AE 与DC 的延长线交于点F ，若AB AE =，50F ∠=︒，则D ∠=______︒．65【分析】利用平行四边形的性质以及平行线的性质得出∠F=∠BAE=50°进而由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠B=∠AEB=65°利用平行四边形对角相等得出即可【详解】解：如图所示∵四边形解析：65【分析】利用平行四边形的性质以及平行线的性质得出∠F=∠BAE=50°，进而由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠B=∠AEB=65°，利用平行四边形对角相等得出即可．【详解】解：如图所示，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠F=∠BAE=50°，．∵AB=AE，∴∠B=∠AEB=65°，∴∠D=∠B=65°．故答案是：65．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练应用平行四边形的性质得出是解题关键．20．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝135°，AD＝42，AB＝8，作对角线AC的垂直平分线EF，分别交对边AB、CD于点E和点F，则AE的长为_____．【分析】连接CE过点C作交AB的延长线于点H设AE=x则BE=8-xCE=AE=x在根据勾股定理即可得到x的值【详解】如图：连接CE过点C作交AB的延长线于点H平行四边形ABCD中设AE=x则BE=解析：20 3【分析】连接CE，过点C作CH AB，交AB的延长线于点H，设AE=x，则BE=8-x，CE=AE=x，在根据勾股定理，即可得到x的值．【详解】如图：连接CE ，过点C 作CH AB ⊥，交AB 的延长线于点H ，平行四边形ABCD 中，135,2ABC AD ∠=︒=45,2CBH BC ∴∠=︒=90,H ∠=︒45,BCH ∴∠=︒4CH BH ∴==设AE=x ，则BE=8-x ，EF 垂直平分AC ，CE AE x ∴==， 在Rt CEH 中，222CH EH EC +=，()222484x x ∴+-+=， 解得：203x =， AE ∴的长为203， 故答案为：203． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，勾股定理以及线段垂直平分线的性质，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求解．三、解答题21．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F 分别在BD 和DB 的延长线上，且DE BF =，连接AE ，CF ．（1）求证：E F ∠=∠；（2）连接AF ，CE ，当BD 平分ABC ∠时，四边形AFCE 是什么特殊四边形？请说明理由．解析：（1）见解析；（2）四边形AFCE 是菱形，理由见解析【分析】（1）根据四边形ABCD 是平行四边形，可以得到AD=CB ，AD ∥BC ，从而可以得到∠ADE=∠CBF ，然后根据SAS 证明△ADE ≌△CBF ，从而得出结论；（2）根据BD 平分∠ABC 和平行四边形的性质，可以证明▱ABCD 是菱形，从而可以得到AC ⊥BD ，然后即可得到AC ⊥EF ，再根据题目中的条件，可以证明四边形AFCE 是平行四边形，然后根据AC ⊥EF ，即可得到四边形AFCE 是菱形．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=CB ，AD ∥BC ，∴∠ADB=∠CBD ，∴∠ADE=∠CBF ，在△ADE 和△CBF 中，AD CB ADE CBF DE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△CBF （SAS ），∴∠E=∠F ；（2）当BD 平分∠ABC 时，四边形AFCE 是菱形，理由：∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠CBD ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC ，OB=OD ，AD ∥BC ，∴∠ADB=∠CBD ，∴∠ABD=∠ADB ，∴AB=AD ，∴平行四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴AC ⊥EF ，∵DE=BF ，∴OE=OF ，又∵OA=OC ，∴四边形AFCE 是平行四边形，∵AC ⊥EF ，∴四边形AFCE 是菱形．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定、全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，90A ∠=︒，16cm AB =，13cm BC =，21cm CD =，动点N 从点D 出发，以每秒2cm 的速度在射线DC 上运动到C 点返回，动点M 从点A 出发，在线段AB 上，以每秒1cm 的速度向点B 运动，点M ，N 分别从点A ，D 同时出发．当点M 运动到点B 时，点N 随之停止运动，设运动时间为t （秒）． （1）当t 为何值时，四边形MNCB 是平行四边形．（2）是否存在点N ，使NMB △是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t 的值，若不存在，请说明理由．解析：（1）5秒或373秒；（2）存在，163秒或72秒或685秒 【分析】 （1）由题意已知，AB ∥CD ，要使四边形MNBC 是平行四边形，则只需要让BM=CN 即可，因为M 、N 点的速度已知，AB 、CD 的长度已知，要求时间，用时间=路程÷速度，即可求出时间；（2）使△BMN 是等腰三角形，可分三种情况，即BM=BN 、NM=NB 、MN=MB ；可利用等腰三角形及直角梯形的性质，分别用t 表达等腰三角形的两腰长，再利用两腰相等即可求得时间t ．【详解】解：（1）设运动时间为t秒．∵四边形MNCB是平行四边形，∴MB=NC，当N从D运动到C时，∵BC=13cm，CD=21cm，∴BM=AB-AM=16-t，CN=21-2t，∴16-t=21-2t，解得t=5，当N从C运动到D时，∵BM=AB-AM=16-t，CN=2t-21∴16-t=2t-21，解得t=373，∴当t=5秒或373秒时，四边形MNCB是平行四边形；（2）△NMB是等腰三角形有三种情况，Ⅰ．当NM=NB时，作NH⊥AB于H，则HM=HB，当N从D运动到C时，∵MH=HB=12BM=12（16-t），由AH=DN得2t＝12(16−t)+t，解得t＝163秒；当点N从C向D运动时，观察图象可知，只有由题意：42-2t=12（16-t）+t，解得t=685秒．Ⅱ．当MN=MB，当N从D运动到C时，MH=AH-AM=DN-AM=2t-t=t，BM=16-t，∵MN2=t2+122，∴（16-t）2=122+t2，解得t ＝72（秒）；Ⅲ．当BM=BN ，当N 从C 运动到D 时，则BH=AB-AH=AB-DN=16-2t ，∵BM 2=BN 2=NH 2+BH 2=122+（16-2t ）2，∴（16-t ）2=122+（16-2t ）2，即3t 2-32t+144=0，∵△＜0，∴方程无实根，综上可知，当t=163秒或72秒或685秒时，△BMN 是等腰三角形． 【点睛】 本题主要考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质、梯形的面积、等腰三角形的性质，特别应该注意要全面考虑各种情况，不要遗漏．23．如图，平行四边形ABCD 中，,AP BP 分别平分DAB ∠和CBA ∠，交于DC 边上点P ， 2.5AD =．（1）求线段AB 的长．（2）若3BP =，求ABP △的面积．解析：（1）5；（2）6【分析】（1）证出AD=DP=2.5，BC=PC=2.5，得出DC=5=AB ，即可求出答案；（2）根据平行四边形性质得出AD ∥CB ，AB ∥CD ，推出∠DAB+∠CBA=180°，求出∠PAB+∠PBA=90°，在△APB 中求出∠APB=90°，由勾股定理求出AP ，从而求得△ABP 的面积．【详解】解：（1）∵AP 平分∠DAB ，∴∠DAP=∠PAB ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∵AB ∥CD ，∴∠PAB=∠DPA∴∠DAP=∠DPA∴△ADP 是等腰三角形，∴AD=DP=2.5，同理：PC=CB=2.5，即AB=DC=DP+PC=5；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥CB ，AB ∥CD ，∴∠DAB+∠CBA=180°，又∵AP 和BP 分别平分∠DAB 和∠CBA ，∴∠PAB+∠PBA=12（∠DAB+∠CBA ）=90°， 在△APB 中，∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA ）=90°；在Rt △APB 中，AB=5，BP=3，∴AP=2253-=4，∴△APB 的面积=4×3÷2=6．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理等知识点的综合运用．24．如图，菱形ABCD 中，60B ∠=︒，点E ，F 分别在BC 和CD 上，BE CF =，求证：AE AF =．解析：证明见解析．【分析】连接AC ，证ABE ACF ≌即可【详解】证明：连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB BC CD AD ===，AC 平分BCD ∠．∵60B ∠=︒，∴ABC 是等边三角形，∴AB AC =，60∠=∠=∠︒=B BCA ACF ． ∴在ABE △与ACF 中，AB AC B ACF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．∴ABE ACF ≌．∴AE AF =．【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解此题的关键． 25．已知：平行四边形ABCD 中，点M 为边CD 的中点，点N 为边AB 的中点，联结AM 、CN ．（1）求证：AM ∥CN ；（2）过点B 作BH AM ⊥，垂足为H ，联结CH ．求证：△BCH 是等腰三角形．解析：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由四边形ABCD 是平行四边形，根据平行四边形的性质，可得AB ∥CD ，AB=CD ，又由点M 为边CD 的中点，点N 为边AB 的中点，即可得CM=AN ，继而可判定四边形ANCM 是平行四边形，则可证得AM ∥CN ．（2）由AM ∥CN ，BH ⊥AM ，点N 为边AB 的中点，可证得BH ⊥CN ，ME 是△BAH 的中位线，则可得CN 是BH 的垂直平分线，继而证得△BCH 是等腰三角形．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD 且AB CD =．∵点M 、N 分别是边CD 、AB 的中点，∴12CM CD =，1AN AB 2=． ∴CM AN =．又∵AB ∥CD ， ∴四边形ANCM 是平行四边形∴AM ∥CN ．（2）设BH 与CN 交于点E ，∵AM ∥CN ，BH ⊥AM ，∴BH ⊥CN ，∵N 是AB 的中点，∴EN 是△BAH 的中位线，∴BE=EH ，∴CN 是BH 的垂直平分线，∴CH=CB ，∴△BCH 是等腰三角形．【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 26．综合与实践——探究正方形旋转中的数学问题问程情境：已知正方形ABCD 中，点O 是线段BC 的中点，将将正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转得到正方形A B C D ''''（点A '，B '，C '，D 分别是点A ，B ，C ，D 的对应点）．同学们通过小组合作，提出下列数学问题，请你解答．特例分析：（1）“乐思”小组提出问题：如图1，在正方形绕点O 旋转过程中，顺次连接点B ，B '，C ，C '得到四边形''BB CC ，求证：四边形''BB CC 是矩形；（2）“善学”小组提出问题：如图2.在旋转过程中，当点B '落在对角线BD 上时，设A B ''与CD 交于点M .求证：四边形OB MC '是正方形．深入探究：（3）“好问”小组提出问题：如图3.若点O 是线段BC 的三等分点且2OB OC =，在正方形ABCD 旋转的过程中当线段A D ''经过点D 时，请直接写出''DD OC 的值． 解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2'='DD OC． 【分析】(1)由旋转性质可得 OB=OB′ ，OC=OC′ ，得到四边形BB′CC′是平行四边形，又 BC=B′ C′ ，得到平行四边形BB′CC′是矩形．（2）先由∠C=∠OB′M=∠B′OC=90°，证明四边形 OB′MC 是矩形 ，再由OC=OB′ 得到四边形 OB′MC 是正方形．（3）过D 作DN ⊥B′C′，证Rt △DNO ≌Rt △DCO(HL)，设OC=a ，得到OC′=a ，DD′=2a ，即可求解.【详解】解：（1）由旋转性质可得OB OB '=，OC OC '=．点O 是线段BC 的中点 OB OC ∴=，''∴=OB OC ，OB OC =．∴四边形''BB CC 是平行四边形．又BC B C ''=，∴平行四边形''BB CC 是矩形． （2）证明：四边形ABCD 是正方形，BC CD ∴=，90C ∠=︒．180180904522-∠︒-∴︒∠=∠===︒︒C CBD CDB 由旋转可知，OB OB '=，45''∴∠=∠=︒OB B OBB454590'''∴∠=∠+∠=︒+︒=︒B OC OB B OBB ．四边形A B C D ''''是正方形，90'∴∠=︒OB M∴四边形OB MC '是矩形OB OC =，OC=OC′ ，OB′=OB ，∴OC=OB′∴矩形OB MC '是正方形，（3）2'='DD OC ．如图，过D 作DN ⊥B′C′可知，∠A′=∠B′=∠B′ND=90°，∠D′=∠C′=∠C′ND=90°，∴四边形DNC′D′为矩形，四边形DNB′A′为矩形，在Rt △DNO 与Rt △DCO 中，∵OD=OD ，DN=DC ，∴Rt △DNO ≌Rt △DCO(HL)设OC=a ，则OB=2OC=2a ，∴ON=OC=OC′=a∴BC=OB+OC=3a ，DD′=NC′=ON+OC′=2a ， ∴2DD a OC a'='=2． 【点睛】 本题考查了特殊的四边形，平行四边形，矩形，正方形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握特殊的四边形的性质和判定．27．如图，将长方形ABCD 沿着对角线BD 折叠，使点C 落在C '处，BC '交AD 于点E ．（1）试判断BDE 的形状，并说明理由．（2）若4AB =，8AD =，求AE 的长．参考答案解析：（1）BDE 是等腰三角形，证明见解析；（2）3AE =．【分析】（1）根据折叠的性质可知EBD DBC ∠=∠，又因为//AD BC ，可知ADB DBC ∠=∠，即推出ADB EBD ∠=∠，所以BE DE =，BDE 为等腰三角形．（2）设AE x =，则8BE DE x ==-，在Rt ABE △中根据勾股定理列出等式，解出x 即可．【详解】（1）BDE 是等腰三角形，理由是：由折叠得：EBD DBC ∠=∠，∵四边形ABCD 是矩形，∴//AD BC ，∴ADB DBC ∠=∠，∴ADB EBD ∠=∠，∴BE DE =，∴BDE 是等腰三角形．（2）设AE x =，则8BE DE x ==-， ∵四边形ABCD 是矩形，∴90A ∠=︒，∴在Rt ABE △中，222AB AE BE +=，即2224(8)x x +=-，解得：3x =，∴3AE =．【点睛】本题考查翻折的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定以及勾股定理．根据翻折的性质间接证明出BE DE =是解答本题的关键．28．如图1，正方形ABCD ，E 为平面内一点，且90BEC ∠=︒，把BCE 绕点B 逆时针旋转90︒得BAG ，直线AG 和直线CE 交于点F ．（1）证明：四边形BEFG 是正方形；（2）若135AGD ∠=︒，猜测CE 和CF 的数量关系，并说明理由；（3）如图2，连接DF ，若13AB =，17CF =，求DF 的长．解析：（1）见解析；（2）CE=CF ，理由见解析；（3）522【分析】（1）根据正方形的判定定理进行证明即可；（2）证明Rt ADH ≌Rt BAG 得DH AG =，AH=BG ，再证明△DHG 是等腰直角三角形，可得DH=BH=AG ，最后由BEFG 是正方形可得结论；（3）分点F 在AB 右侧和左侧两种情况求解即可．【详解】解：（1）证明：90BEC =︒∠，把BCE 绕点B 逆时针旋转90︒得BAG ， BE BG ∴=，90EBG ∠=︒，90BGA ∠=︒，则90BGF ∠=︒，90BEC EBG BGF ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形BEFG 是正方形；（2）CE CF =，理由如下：过D 点作DH AF ⊥，垂足为H ，如图，四边形ABCD 是正方形，90BAD ∴∠=︒，AB AD =，90BGA ∠=︒，90DAH BAG ∴∠+∠=︒，90BAG ABG ∠+∠=︒，DAH ABG ∴∠=∠，在Rt ADH 和Rt BAG 中，90,DAH ABG BGA AHD AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩Rt ADH ∴≌()Rt BAG AAS ，DH AG ∴=，∵∠DGH =180°-∠AGD =45°∴在Rt △DHG 中，∠GDH =45°∴DH =GH =AG∴1122AG GH AH BG === 又AG CE =，EF BG =，2EF CE ∴=，CE CF ∴=；（3）①点F 在AB 右侧时，如图，过D 作DK ⊥AG ，交其延长线于K ．设正方形BEFG 的边长为x ，则BE x =，17CE x =-，在Rt BEC △中，13BC =，根据勾股定理可得，222BE CE BC +=，即222(17)13x x +-=，解得112x =，25(x =不符合条件，舍去)，即12BG BE ==，17125AG CE ==-=，∵四边形BEFG 是正方形，∴∠BAD =90°．∵DK ⊥AG ，∴∠K =90°．∵∠BAG +∠KAD =180°—∠BAD =90°∠ADK +∠KAD =90°∴∠BAG =∠ADK在Rt △ABG 和Rt △DAK 中，90G K AB ADBAG ADK ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩所以Rt△ADK≌Rt BAG，则AK=BG=12，DK=AG=5，∵AF+FK=AK=BG=GF=AG+AF∴FK=AG=5在R t△DFK中，根据勾股定理可得，DF=2252+=DK FK②点F在AB左侧时，如图，过D作DK⊥AG，交其延长线于K．方法同①，可得FK=AG=12，在R t△DFK中，根据勾股定理可得，DF22122+=DK FK综上所述，DF的长为522【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握相关性质和定理是解本题的关键．。
人教版 八年级数学下册 18.1 ---18.2复习题(含答案)
人教版八年级数学18.1 平行四边形一、选择题1. 已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是()A. OE＝12DC B. OA＝OCC. ∠BOE＝∠OBAD. ∠OBE＝∠OCE2. 如图，在平行四边形ABCD中，5AD=，3AB=，AE平分BAD∠交BC边于点E，则线段BE，EC的长度分别为（）A．2和3B．3和2C．4和1D．1和4如图DCEBA3. 如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B为()A. 66°B. 104°C. 114°4. 如图，在ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B=60°，AB=3，则△ADE的周长为A．12 B．15 C．18 D．215. 如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＋BD＝16，CD＝6，则△ABO的周长是()A . 10B . 14C . 20D . 226. 点A 、B 、C 、D 在同一平面内，从①AB CD ∥，②AB CD =，③BC AD ∥，④BC AD =．这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有（ ）种A ．3B ．4C ．5D ．67. 在平行四边形ABCD 中，点1A 、2A 、3A 、4A 和1C 、2C 、3C 、4C 分别为AB 和CD 的五等分点，点1B 、2B 和1D 、2D 分别是BC 和DA 的三等分点，已知四边形4242A B C D 的面积为1，则平行四边形ABCD 面积为（ ）A ．2B ．35C ．53D ．158. 如图，D 是△ABC内一点，BD ⊥CD ，AD=7，BD=4，CD=3，E 、F 、G 、H分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点，则四边形EFGH 的周长为A ．12B ．14C ．24D ．219.已知四边形的四条边长分别a b c d ，，，其a b ，对边，并且满足222222a b c d ab cd +++=+）A ．任意四边形B ．平行四边形C ．对角线相等的四边形D ．对角线垂直的四边形10.（2020·P 是面积为S 的ABCD 内任意一点，PAD ∆的面积为1S，PBC∆的面积为2S，则（）A.122SS S+> B.122SS S+<C.212SS S+= D.21S S+的大小与P点位置有关二、填空题11. 如图，在平行四边ABCD中，120A∠=︒，则D∠=︒．EAB C图图1DCBA如图，在平行四边形ABCD中，DB DC=，65A∠=︒，CE BD⊥于E，则BCE∠=︒．EEAB C图AB CD图2D13. 如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB∥CD，请添加一个条件________(写一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形．14. （2020·凉山州）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E．若OA＝1，△AOE的周长等于5，则平行四边形ABCD的周长等于．OE DCBA15. 如图，已知等边三角形的边长为10，P是ABC∆内一点，PD AC∥，PE AB PF BC∥，∥，点D E F，，分别在AB BC AC，，上，则PD PE PF++=P FEDCBA16. 如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为________．三、解答题17. 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF.(1)求证:四边形ACDF是平行四边形;(2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由.18. （2020·淮安）如图，在□ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，AC与EF 相交于点O，且AO=CO．（1）求证∶△AOF≌△COE；（2）连接AE、CF，则四边形AECF_______________（填"是"或"不是"）平行四边形．19. 如图，在等腰ABC∆中，延长边AB 到点D ，延长边CA 到点E ，连接DE ，恰有AD BC CE DE ===．求证：100BAC ∠=︒．EDCB A20. 如图，在ABC ∆中，AB AC AD BC =⊥，于D ，点P 在BC 上， PE BC ⊥交BA 的延长线于E ，交AC KHF FABCD EPPE D C BA21. 如图所示，在平行四边形ABCD 中，求证222222AC BD AB BC CD DA +=+++．DCBA人教版 八年级数学 18.1 平行四边形 培优训练-答案一、选择题1. 【答案】D 【解析】A 、B 、C 均正确，因为OB 不一定等于OC ，所以∠OBE 不一定等于∠OCE .2. 【答案】B3. 【答案】C 【解析】设∠ACD ＝x ，∠B ＝y ，则根据题意可列方程组⎩⎨⎧x ＋y ＋44°＝180°180°－y －（44°－x ）＝44°，解得y ＝114°.4. 【答案】C【解析】由折叠可得，∠ACD=∠ACE=90°，∴∠BAC=90°， 又∵∠B=60°，∴∠ACB=30°，∴BC=2AB=6，∴AD=6， 由折叠可得，∠E=∠D=∠B=60°， ∴∠DAE=60°，∴△ADE 是等边三角形， ∴△ADE 的周长为6×3=18， 故选C ．5. 【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD .由AC ＋BD ＝16可得OA ＋OB ＝8，又∵AB ＝CD ＝6，∴△ABO 的周长为OA ＋OB ＋AB ＝8＋6＝14.6. 【答案】B7. 【答案】C8. 【答案】A【解析】∵BD ⊥CD ，BD=4，CD=3， ∴BC=2222=43BD CD ++=5，∵E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点， ∴EH=FG=12BC ，EF=GH=12AD ， ∴四边形EFGH 的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC ， 又∵AD=7，∴四边形EFGH 的周长=7+5=12．故选A ．9. 【答案】B10. 【答案】C然后使分割后的图形与PAD∆的面积1S ，PBC ∆的面积2S 发生关联，然后求出其数量关系，如下图，过点P 作AD 的平行线，分别交ABCD 的边于点M 、N ：2111(21222)AMND MbCN AMND MbCN SS S S S S S =+++==.11. 【答案】60︒12. 【答案】25︒【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴65A DCB ∠=∠=︒ 又∵DB DC =∴65DBC DCB ∠=∠=︒，∴50CDB ∠=︒ 又∵CE BD ⊥，∴40ECD ∠=︒ ∴654025BCE ∠=︒-︒=︒．13. 【答案】AD ∥BC (答案不唯一) 【解析】根据平行四边形的判定，在已有AB ∥DC 的条件下，可再加另一组对边平行即可证得它是平行四边形，即加“AD ∥BC”．14. 【答案】16【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，AB ＝CD ，AD ＝BC ．∵OE ∥AB ，∴OE 是△ACD 的中位线．∴AE，OE．∵OA ＝1，△AOE 的周长等于5，∴AE ＋OE ＝4．∴AD ＋8ABCD 的周长＝16．故答案为16．15.16. 【答案】36° 【解析】∵在▱ABCD 中，∠D ＝∠B ＝52°，∴∠AEF ＝∠DAE ＋∠D ＝20°＋52°＝72°，∴∠AED ＝180°－∠AEF ＝108°，由折叠的性质得，∠AED ′＝∠AED ＝108°，∴∠FED ′＝∠AED′－∠AEF ＝108°－72°＝36°.三、解答题17. 【答案】解:(1)证明:∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD ，∴∠F AE=∠CDE ， ∵E 是AD 的中点，∴AE=DE ，又∵∠FEA=∠CED ，∴△F AE ≌△CDE ，∴CD=F A ， 又∵CD ∥AF ，∴四边形ACDF 是平行四边形. (2)BC=2CD.理由:∵CF 平分∠BCD ，∴∠DCE=45°， ∵∠CDE=90°，∴△CDE 是等腰直角三角形， ∴CD=DE ，∵E 是AD 的中点，∴AD=2CD ， ∵AD=BC ，∴BC=2CD.18. 【答案】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠FAO=∠ECO ， 中∴△AOF和△COE（ASA）．（2）由（1）△AOF和△COE，∴OF=OE，又∵OA=OC，∴四边形AEOF为平行四边形．19.20. 【答案】分析：加倍中线构造平行四边形，然后再通过等量线段证明原式成立。
人教版八年级数学下册单元测试《第18章平行四边形》(a卷)(解析版)
初中数学试卷新人教版八年级下册《第18章平行四边形》单元测试（A卷）一、填空题（共14小题，每题2分，共28分）1．四边形的内角和等于度，外角和等于度．2．正方形的面积为4，则它的边长为，一条对角线长为．3．一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是边形．4．如果四边形ABCD满足条件，那么这个四边形的对角线AC和BD互相垂直（只需填写一组你认为适当的条件）．5．如果边长分别为4cm和5cm的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为cm．6．已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是cm2．7．平行四边形ABCD，加一个条件，它就是菱形．8．等腰梯形的上底是10cm，下底是14cm，高是2cm，则等腰梯形的周长为cm．9．已知菱形的一条对角线长为12cm，面积为30cm2，则这个菱形的另一条对角线长为cm．10．如图，▱ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC于F，BC=5，AB=4，AE=3，则AF的长为．11．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD=4，BC=8，E、F分别为AB、DC的中点，则EF=，EF分梯形所得的两个梯形的面积比S1：S2为．12．下列矩形中，按虚线剪开后，既能拼出平行四边形和梯形，又能拼出三角形的是图形（请填图形下面的代号，答案格式如：“①，②，③，④，⑤”）．13．如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了米．14．如图，依次连接第一个正方形各边的中点得到第二个正方形，再依次连接第二个正方形各边的中点得到第三个正方形，按此方法继续下去．若第一个正方形边长为1，则第n个正方形的面积是．二、填空题（共4小题，每题3分，共12分）15．如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，∠B=100°，则∠DEA等于（）A．100°B．80°C．60°D．40°16．某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有等腰三角形，正三角形，等腰梯形，菱形等四种方案，你认为符合条件的是（）A．等腰三角形B．正三角形C．等腰梯形D．菱形17．一个多边形的每一个内角都等于140°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（）A．6条 B．7条 C．8条 D．9条18．如图，图中的△BDC′是将矩形ABCD沿对角线BD折叠得到的，图中（包括实线，虚线在内）共有全等三角形（）对．A．1 B．2 C．3 D．4三、解答题（共60分）19．如图，平行四边形ABCD中，DB=CD，∠C=70°，AE⊥BD于E．试求∠DAE的度数．20．已知：如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点．求证：四边形DFGE是平行四边形．21．在一个平行四边形中，若一个角的平分线把一条边分成长是2cm和3cm的两条线段，求该平行四边形的周长是多少？22．已知：如图，▱ABCD中，延长AB到E，延长CD到F，使BE=DF．求证：AC与EF互相平分．23．如图，一块正方形地板由全等的正方形瓷砖铺成，这地板的两条对角线上的瓷砖全是黑色，其余的瓷砖是白色的，如果有101块黑色瓷砖，那么瓷砖的总数是多少．24．顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形是什么特殊的四边形？画出图形，写出已知，求证并证明．25．如图所示，在△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN 交∠BCA的平分线于E，交∠BCA的外角平分线于F．（1）请猜测OE与OF的大小关系，并说明你的理由；（2）点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？写出推理过程；（3）在什么条件下，四边形AECF是正方形？26．如图，若已知△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，则可得DE∥BC，且DE=BC．根据上面的结论：（1）你能否说出顺次连接任意四边形各边中点，可得到一个什么特殊四边形并说明理由；（2）如果将（1）中的“任意四边形”改为条件是“平行四边形”或“菱形”或“矩形”或“等腰梯形”，那么它们的结论又分别怎样呢？请说明理由．27．如图，△ABD、△BCE、△ACF均为等边三角形，请回答下列问题（不要求证明）（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？新人教版八年级下册《第18章平行四边形》单元测试（A卷）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每题2分，共28分）1．四边形的内角和等于360度，外角和等于360度．【考点】多边形内角与外角．【专题】计算题．【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180度，因而代入公式就可以求出四边形的内角和；任何凸多边形的外角和都是360度．【解答】解：四边形的内角和=（4﹣2）•180=360度，四边形的外角和等于360度．【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，是需要熟记的内容．2．正方形的面积为4，则它的边长为2，一条对角线长为2．【考点】正方形的性质．【分析】根据正方形的面积公式可得到正方形的边长，根据正方形的对角线的求法可得对角线的长．【解答】解：设正方形的边长为x，则对角线长为=x；由正方形的面积为4，即x2=4；解可得x=2，故对角线长为2；故正方形的边长为2，对角线长为2．故答案为2，2．【点评】本题考查正方形的面积公式以及正方形的性质，此题是基础题，比较简单．3．一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是八边形．【考点】多边形内角与外角．【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．【解答】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：180°•（n﹣2）=3×360°解得n=8．故答案为：8．【点评】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．4．如果四边形ABCD满足四边形ABCD是菱形或正方形条件，那么这个四边形的对角线AC和BD互相垂直（只需填写一组你认为适当的条件）．【考点】正方形的性质；菱形的性质．【专题】开放型．【分析】符合对角线互相垂直的四边形有：菱形、正方形，选择一个即可．【解答】解：根据四边形的性质可得到对角线互相垂直的有菱形和正方形，从而答案为：四边形ABCD是菱形或正方形．【点评】此题主要考查菱形和正方形的对角线的性质．5．如果边长分别为4cm和5cm的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为2cm．【考点】正方形的性质．【专题】计算题．【分析】先求出长方形的面积，因为长方形的面积和正方形的面积相等，再根据正方形的面积公式即可求得其边长．【解答】解：边长分别为4cm和5cm的矩形的面积是20cm2，所以正方形的面积是20cm2，则这个正方形的边长为=2（cm）．故答案为2．【点评】本题主要考查了正方形的面积计算公式，即边长乘边长．6．已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是20cm2．【考点】菱形的性质．【专题】计算题．【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可求得其面积．【解答】解：由已知得，菱形面积=×5×8=20cm2．故答案为20．【点评】本题主要考查了菱形的面积的计算公式．7．平行四边形ABCD，加一个条件一组邻边相等或对角线互相垂直，它就是菱形．【考点】菱形的判定．【专题】开放型．【分析】菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．所以，可添加：一组邻边相等或对角线互相垂直．【解答】解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形．可补充条件：一组邻边相等或对角线互相垂直．【点评】本题考查菱形的判定．8．等腰梯形的上底是10cm，下底是14cm，高是2cm，则等腰梯形的周长为24+4 cm．【考点】等腰梯形的性质；勾股定理．【分析】过A，D作下底BC的垂线，从而可求得BE的长，根据勾股定理求得AB的长，这样就可以求得等腰梯形的周长了．【解答】解：过A，D作下底BC的垂线，则BE=CF=（14﹣10）=2cm，在直角△ABE中根据勾股定理得到：AB=CD==2，所以等腰梯形的周长=10+14+2×2=24+4cm．故答案为：24+4cm．【点评】等腰梯形的问题可以通过作高线转化为直角三角形的问题来解决．9．已知菱形的一条对角线长为12cm，面积为30cm2，则这个菱形的另一条对角线长为5cm．【考点】菱形的性质．【专题】计算题．【分析】设另一条对角线长为x，然后根据菱形的面积计算公式列方程求解即可．【解答】解：设另一条对角线长为xcm，则×12x=30，解之得x=5．故答案为5．【点评】主要考查菱形的面积公式：两条对角线的积的一半．10．如图，▱ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC于F，BC=5，AB=4，AE=3，则AF的长为．【考点】平行四边形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】平行四边形的面积=底×高，根据已知，代入数据计算即可．【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（SSS），=S△CDA，∴S△ABC即BC•AE=CD•AF，∵CD=AB=4，∴AF=．故答案为：．【点评】“等面积法”是数学中的重要解题方法．在三角形和四边形中，以不同的边为底其高也不相同，但面积是定值，从而可以得到不同底的高的关系．11．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD=4，BC=8，E、F分别为AB、DC的中点，则EF=6，EF分梯形所得的两个梯形的面积比S1：S2为5：7．【考点】梯形中位线定理；梯形．【分析】要求EF的长，只需根据梯形的中位线定理求解；根据平行线等分线段定理，知两个梯形的高相等，只需根据梯形的面积公式，即可求得两个梯形的面积比．【解答】解：∵AD=4，BC=8，E、F分别为AB、DC的中点，∴EF=（4+8）=6，则S1=（4+6）=h，S2=（6+8）=．则S1：S2=5：7．【点评】此题主要考查梯形的中位线定理和梯形的面积公式．12．下列矩形中，按虚线剪开后，既能拼出平行四边形和梯形，又能拼出三角形的是图形②（请填图形下面的代号，答案格式如：“①，②，③，④，⑤”）．【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】压轴题；操作型．【分析】通过动手操作易得出答案．【解答】解：对于①剪开后能拼出平行四边形和梯形两种，对于②剪开后能拼出三种图形，对于③剪开后能拼出三角形和平行四边形两种，对于④剪开后能拼出平行四边形，对于⑤剪开后能拼出平行四边形和梯形两种，故符合条件的图形为②．【点评】本题考查图形的折叠与拼接，同时考查了三角形、四边形等几何基本知识，解题时应分别对每一个图形进行仔细分析，难度不大．13．如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了120米．【考点】多边形内角与外角．【专题】应用题．【分析】由题意可知小亮所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和即可求出答案．【解答】解：∵360÷30=12，∴他需要走12次才会回到原来的起点，即一共走了12×10=120米．故答案为：120．【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°．14．如图，依次连接第一个正方形各边的中点得到第二个正方形，再依次连接第二个正方形各边的中点得到第三个正方形，按此方法继续下去．若第一个正方形边长为1，则第n个正方形的面积是）n﹣1．【考点】正方形的性质；三角形中位线定理．【专题】压轴题；规律型．【分析】根据正方形的性质及三角形中位线的定理可分别求得第二个，第三个正方形的面积从而不难发现规律，根据规律即可求得第n个正方形的面积．【解答】解：根据三角形中位线定理得，第二个正方形的边长为=，面积为，第三个正方形的面积为=（）2，以此类推，第n个正方形的面积为．【点评】根据中位线定理和正方形的性质计算出正方形的面积，找出规律，即可解答．二、填空题（共4小题，每题3分，共12分）15．如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，∠B=100°，则∠DEA等于（）A．100°B．80°C．60°D．40°【考点】平行四边形的性质．【专题】常规题型．【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质求解．【解答】解：在▱ABCD中，∵AD∥BC，∴∠DAB=180°﹣∠B=180°﹣100°=80°．∵AE平分∠DAB，∴∠AED=∠DAB=40°．故选D．【点评】本题考查了平行四边形的性质，并利用了两直线平行，同旁内角互补和角的平分线的性质．16．某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有等腰三角形，正三角形，等腰梯形，菱形等四种方案，你认为符合条件的是（）A．等腰三角形B．正三角形C．等腰梯形D．菱形【考点】中心对称图形；轴对称图形．【专题】方案型．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念和等腰三角形、正三角形、等腰梯形、菱形的性质求解．【解答】解：等腰三角形、正三角形、等腰梯形都只是轴对称图形；菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形．故选：D．【点评】解题时要注意中心对称图形与轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．17．一个多边形的每一个内角都等于140°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（）A．6条 B．7条 C．8条 D．9条【考点】多边形内角与外角；多边形的对角线．【分析】先求出多边形的边数，再求从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数即可．【解答】解：∵多边形的每一个内角都等于140°，∴每个外角是180°﹣140°=40°，∴这个多边形的边数是360°÷40°=9，∴从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是6条．故选：A．【点评】本题考查多边形的外角和及对角线的知识点，找出它们之间的关系是本题解题关键．18．如图，图中的△BDC′是将矩形ABCD沿对角线BD折叠得到的，图中（包括实线，虚线在内）共有全等三角形（）对．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】矩形的性质；全等三角形的判定．【分析】共有四对，分别为△ABO≌△C′DO，△ABD≌△CDB，△ABD≌△C′DB，△CDB ≌△C′DB．【解答】解：∵△BDC′是将矩形ABCD沿对角线BD折叠得到的∴C′D=CD，∠C=∠C′，BD=BD∴△CDB≌△C′DB同理可证其它三对三角形全等．故选D．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．三、解答题（共60分）19．如图，平行四边形ABCD中，DB=CD，∠C=70°，AE⊥BD于E．试求∠DAE的度数．【考点】平行四边形的性质．【分析】因为BD=CD，所以∠DBC=∠C=70°，又因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，所以∠ADB=∠DBC=70°，因为AE⊥BD，所以在直角△AED中，∠DAE即可求出．【解答】解：在△DBC中，∵DB=CD，∠C=70°，∴∠DBC=∠C=70°，又∵在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=70°，又∵AE⊥BD，∴∠DAE=90°﹣∠ADB=90°﹣70°=20°．【点评】此题主要考查了平行四边形的基本性质，以及等腰三角形的性质，难易程度适中．20．已知：如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点．求证：四边形DFGE是平行四边形．【考点】平行四边形的判定；三角形中位线定理．【专题】证明题．【分析】平行四边形的判定方法有多种，选择哪一种解答应先分析题目中给的哪一方面的条件多些，本题中给了两条中位线，利用中位线的性质，可利用一组对边平行且相等来证明．【解答】解：在△ABC中，∵BE、CD为中线∴AD=BD，AE=CE，∴DE∥BC且DE=BC．在△OBC中，∵OF=FB，OG=GC，∴FG∥BC且FG=BC．∴DE∥FG，DE=FG．∴四边形DFGE为平行四边形．【点评】平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．21．在一个平行四边形中，若一个角的平分线把一条边分成长是2cm和3cm的两条线段，求该平行四边形的周长是多少？【考点】平行四边形的性质．【专题】分类讨论．【分析】此题注意要分情况讨论：根据角平分线的定义以及平行线的性质，可以发现一个等腰三角形，即较短的边是2cm或3cm，又较长的边是2+3=5cm，所以平行四边形的周长是2（2+5）=14或2（3+5）=16cm．【解答】解：如图所示：∵在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE．又∠ABE=∠CBE∴∠ABE=∠AEB∴AB=AE．（1）当AE=2时，则平行四边形的周长=2（2+5）=14．（2）当AE=3时，则平行四边形的周长=2（3+5）=16．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．22．已知：如图，▱ABCD中，延长AB到E，延长CD到F，使BE=DF．求证：AC与EF互相平分．【考点】平行四边形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】此题要证明AC与EF互相平分，只需证明以AC，EF为对角线的四边形是平行四边形就可．根据已知的平行四边形，只需证明AE=CF．根据已知平行四边形的对边相等，即AB=CD，再加上已知BE=DF，就可证明AE=CF．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形就可．【解答】解：连接AF，CE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．又∵BE=DF∴AB+BE=CD+DF即AE=CF∴四边形AECF是平行四边形．∴AC与EF互相平分．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．23．如图，一块正方形地板由全等的正方形瓷砖铺成，这地板的两条对角线上的瓷砖全是黑色，其余的瓷砖是白色的，如果有101块黑色瓷砖，那么瓷砖的总数是多少．【考点】正方形的性质．【分析】一块正方形地板由全等的正方形瓷砖铺成，这地板的两条对角线上的瓷砖全是黑色，有101块黑色瓷砖，由正方形的特殊性质知正方形知每边有（101+1）÷2=51块瓷砖，那么可求出瓷砖的总数．【解答】解：根据题意得正方形每边有（101+1）÷2=51块瓷砖，所以总数为：51×51=2601（块）．【点评】解答本题要充分利用正方形的特殊性质．对角线上的瓷砖数等于每边的瓷砖数．24．顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形是什么特殊的四边形？画出图形，写出已知，求证并证明．【考点】等腰梯形的性质；三角形中位线定理；菱形的判定．【专题】综合题．【分析】由题意写出已知，画出图形，写出求证．由等腰梯形可得AC=BD，再由三角形中位线定理可得出小四边形四边的关系，即可知它是什么四边形．【解答】解：是菱形理由是：连接AC、BD∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点∴EF=AC，GH=AC，EH=BD，GF=BD∵等腰梯形ABCD中AD∥BC，AB=CD，∴AC=BD∴EF=GH=EH=GF∴四边形EFGH菱形．【点评】本题考查了等腰梯形的性质和三角形中位线的性质．25．如图所示，在△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN 交∠BCA的平分线于E，交∠BCA的外角平分线于F．（1）请猜测OE与OF的大小关系，并说明你的理由；（2）点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？写出推理过程；（3）在什么条件下，四边形AECF是正方形？【考点】正方形的判定；等腰三角形的判定与性质；矩形的判定．【专题】探究型．【分析】（1）猜想：OE=OF，由已知MN∥BC，CE、CF分别平分∠BCO和∠GCO，可推出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，所以得EO=CO=FO．（2）由（1）得出的EO=CO=FO，点O运动到AC的中点时，则由EO=CO=FO=AO，所以这时四边形AECF是矩形．（3）由已知和（2）得到的结论，点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，则推出四边形AECF是矩形且对角线垂直，所以四边形AECF是正方形．【解答】解：（1）猜想：OE=OF，理由如下：∵MN∥BC，∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠GCF，又∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠GCF，∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，∴EO=CO，FO=CO，∴EO=FO．（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO，又∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵FO=CO，∴AO=CO=EO=FO，∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，∴四边形AECF是矩形．（3）当点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．∵由（2）知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，已知MN∥BC，当∠ACB=90°，则∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，∴AC⊥EF，∴四边形AECF是正方形．【点评】此题考查的知识点是正方形和矩形的判定及角平分线的定义，解题的关键是由已知得出EO=FO，然后根据（1）的结论确定（2）（3）的条件．26．如图，若已知△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，则可得DE∥BC，且DE=BC．根据上面的结论：（1）你能否说出顺次连接任意四边形各边中点，可得到一个什么特殊四边形并说明理由；（2）如果将（1）中的“任意四边形”改为条件是“平行四边形”或“菱形”或“矩形”或“等腰梯形”，那么它们的结论又分别怎样呢？请说明理由．【考点】等腰梯形的性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；等腰梯形的判定．【专题】开放型．【分析】设四边形DBCE的中点分别为OPMN，根据已知条件及平行四边形的性质可得到是一个平行四边形；根据各四边的性质进行分析即可．【解答】解：（1）设四边形DBCE的中点分别为OPMN，则PM=ON，且PM∥ON⇒顺次连接任意四边形各边中点得到平行四边形；（2）平行四边形，矩形，菱形，根据各个四边形的性质：当四边形为菱形时，连接菱形各边中点所得出的为矩形；当四边形为矩形时，连接各边中点所得出的为菱形；当四边形为等腰梯形时，连接各边中点所得为菱形．【点评】本题考查的是各个四边形的性质以及等腰梯形的性质的运用．27．如图，△ABD、△BCE、△ACF均为等边三角形，请回答下列问题（不要求证明）（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的判定．【分析】（1）四边形ADEF是平行四边形，可先证明△ABC≌△DBE，可得DE=AC，又有AC=AF，可得DE=AF，同理可得AD=EF，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证四边形ADEF是平行四边形；（2）如四边形ADEF是矩形，则∠DAF=90°，又有∠BAD=∠FAC=60°，可得∠BAC=150°，故∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形；（3）当∠BAC=60°时，∠DAF=180°，此时D、A、F三点在同一条直线上，以A，D，E，F为顶点的四边形就不存在．【解答】解：（1）四边形ADEF是平行四边形，理由如下：∵△ABD，△BCE都是等边三角形，∴∠DBE=∠ABC=60°﹣∠ABE，AB=BD，BC=BE．在△ABC与△DBE中，，∴△ABC≌△DBE（SAS）．∴DE=AC．又∵AC=AF，∴DE=AF．同理可得EF=AD．∴四边形ADEF是平行四边形．（2）∵四边形ADEF是平行四边形，∴当∠DAF=90°时，四边形ADEF是矩形，∴∠FAD=90°．∴∠BAC=360°﹣∠DAF﹣∠DAB﹣∠FAC=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°．则当∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形；（3）当△ABC满足角A=60°时，四边形ADEF不存在．【点评】此题主要考查了用等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定来解决平行四边形的判定问题，也探讨了矩形，平行四边形之间的关系．。
第十八章平行四边形正方形证明专项习题2021-2022学年人教版八年级数学下册
正方形的证明练习题1.在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE=CA,连接AE交CD于F，求AFD的度数。
2.已知如下图，正方形ABCD中，E是CD边上的一点，F为BC延长线上一点，CE=CF.(1)求证：△BEC≌△DFC；(2)若∠BEC=60°，求∠EFD的度数.3.如图，E为正方形ABCD的BC边上的一点，CG平分∠DCF，连结AE，并在CG上取一点G，使EG=AE.求证：AE⊥EG.4.P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度数.5.如图，在正方形ABCD中，P为BC上一点，Q为CD上一点，(1)若PQ=BP+DQ，求PAQ∠。
（2）若45∠=︒,求证：PQ=BP+DQ.PAQ6.如图，已知正方形ABCD的对角线相交于O，点E.F分别在AB与BC边上的点，且BE=CF.求证：OE⊥OF.7．如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为多少？8．如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD 上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数为何？9．如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB=∠CFD=90°，AE=CF=5，BE=DF=12，求EF的长。
10．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，求线段CH的长。
11．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连接DF，AE，AE的延长线交DF于点M.求证：AM⊥DF.12．如图，P，Q，R，S四个小球分别从正方形的四个顶点A，B，C，D同时出发，以同样的速度分别沿AB，BC，CD，DA的方向滚动，其终点分别是B，C，D，A.不管滚动多长时间，求证：连接四个小球所得的四边形PQRS总是正方形．13．如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于点F，探究线段AF，BF，EF三者之间的数量关系，并说明理由．14．如图1，在正方形ABCD中，E.F分别是边AD.DC上的点，且AF⊥BE．（1）求证：AF=BE；（2）如图2，在正方形ABCD 中，M.N.P.Q 分别是边AB.BC.CD.DA 上的点，且MP ⊥NQ ．MP 与NQ 是否相等？并说明理由．15.如图，正方形ABCD 与正方形OMNP的边长均为10，点O 是正方形ABCD 的中心，正方形OMNP 绕O 点旋转，证明：无论正方形OMNP 旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值．16.如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点（P 与A .C 不重合），点E 在射线BC 上，且PE=PB .（1）求证：① PE=PD ； ② PE ⊥PD ；17.如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点(点G 与C.D 不重合)，以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连结BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG .线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG .线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系；ABCPDE②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度 ，得到如图2.如图3情形．请你通过观察.测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．18.如图，点E是正方形ABCD内一点，△CDE是等边三角形，连接EB，EA，延长BE交边AD于点F．（1）求证：△ADE≌△BCE；（2）求∠AFB的度数．19.数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =． 在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．ADFC GE B图1ADF C GE B 图2 ADFC GE B图3。
2022—2023年学年度(沪科版)八年级数学下册章节练习18章勾股定理单元检测一(基础卷)
2022—2023年学年度（沪科版）八年级数学下册章节练习18章勾股定理单元检测一（基础卷）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，总计40分）1．如图，AOC BOC ∠=∠，点P 在OC 上，PD OA ⊥于点D ，PE OB ⊥于点E ，若8OD =，10OP =，则PE 的长为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．82．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长．其中能构成直角三角形的是（ ）AB ．2，3，4C ．6，7，8D ．13．将一根24cm 的筷子置于底面直径为15cm ，高为8cm 的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为cm h ，则h 的取值范围是（ ）A ．17hB ．716hC ．1516hD ．8h4．若直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，且满足()2340a b -+-=，则该直角三角形的第三边长的平方为（ ） A ．25B ．7C ．25或7D ．25或165．如图，在直线m 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是3，6，9，正放置的四个正方形的面积依次是1S ，2S ，3S ，4S ，则14S S +＝（ ）A ．6B ．6.5C ．7D ．86．如图，两个较大正方形的面积分别为 576、625，则字母 A 所代表的正方形的边长为（ ）A ．1B ．49C ．16D ．77．如图，ABC ∆中，=6AC ，=8BC ，10AB =．AD 为ABC ∆的角平分线，CD 的长度为( )A ．2B ．52C ．3D ．1038．在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，13AC =，12AB =，则图中五个小直角三角形的周长之和为（ ）A ．25B ．18C ．17D ．309．如图，在长方形ABCD 中，10cm AD =，6cm AB =．将C ∠沿BE 折叠，使点C 的对应点C '落在AD 上，则DE 的长度为（ ）A ．2cmB ．2.5cmC ．4cm 3D ．8cm 310．欧几里得的《原本》记载，形如22x ax b +=的方程的图解法是：画Rt ABC ∆，使90ACB ∠=︒，2a BC =，AC b =，再在斜边AB 上截取2aBD =．则该方程的一个正根是（ ）A ．AC 的长B ．AD 的长C ．BC 的长D ．CD 的长二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，总计20分）11．在直角三角形中，两直角边长分别为2___________． 12．如图，△ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ∠AB 于点E ，且AC ＝6cm ，则DE +BD 等于 ___．13．如图，菱形ABCD 的边长为4，60BAD ∠=︒，点E 是AD 边上一动点（不与A ，D 重合），点F 是CD 边上一动点，4DE DF +=，BEF △面积的最小值为______14．如图，等腰ABC 的底边BC 的长为6cm ，面积是224cm ，腰AB 的垂直平分线EF 分别交AB ，AC 于点E ，F ，若D 为边BC 的中点，M 为线段EF 上一动点，则BDM 周长的最小值为______cm ．三、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）15．如图，AD BC ∥，90D ，点P 为CD 中点，BP 平分ABC ∠．(1)求证：AP 平分DAB ∠；(2)若30BPC ∠=︒，2BC =，则AD =______．16．已知一个三角形的两边长分别是3和4，第三边是方程2650x x -+=的根． (1)求这个三角形的周长． (2)求这个三角形的面积．四、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）17．为响应政府的“公园城市建设”号召，某小区进行小范围绿化，要在一块如图四边形空地上种植草皮，测得90B ，4m AB =，7m BC =，15m CD =，20m AD =，如果种植草皮费用是200元/2m ，那么共需投入多少钱？18．如图，正方形网络中的每个小正方形的边长都是1，任意连接这些小正方形的顶点，可得一些线段．请在所给网格中按下列要求画出图形．(1)如图，格点上有一点A ，画一条线段10AB，并说明理由．(2)以（1）中AB 为一边，画一个边长均为无理数的直角三角形，并说明理由． 五、（本大题共2小题，每小题10分，总计20分）19．如图，沿AC 方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC 上的一点B 取∠ABD ＝120°，BD ＝400米，∠D ＝30°．那么另一边开挖点E 离D 多远正好使A 、C 、E．732，结果精确到1米）？20．已知将边长分别为a和2b（a＞b）的长方形分割成四个全等的直角三角形，如图1，再用这四个三角形拼成如图2所示的正方形，中间形成一个正方形的空洞．经测量得长方形的面积为24，正方形的边长为5．试通过你获取的信息，求a2+b2和a2﹣b2的值．六、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）21．请阅读《三角板中的学问》，并完成以下问题：三角板中的学问直角三角板是我们学习中常用的作图工具，我们知道一副直角三角板中，一个三角板是等腰直角三角形，另一个直角三角板有一个锐角为30︒，且30︒角所对的直角边是斜边的一半．数学小组的同学们在活动中进行了量一量、拼一拼的活动．(1)填空：如图∠，希望小组的同学们量出30︒的直角三角板最短直角边为6cm，则较长直角边约为．(2)探究一：智慧小组把一副直角三角形按如图∠所示方式叠放在一起，DE BC ∥，CE 与AB 交于点F ，求AFC ∠的度数并说明理由．(3)探究二：创新小组把一副直角三角形按如图∠所示方式叠放在一起，20CDE ∠=︒，求EFC ∠的度数并说明理由．七、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）22．如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC 的长为13米，此人以0.5米/秒的速度收绳，10秒后船移动到点D 的位置，问船向岸边移动了多少米？(假设绳子是直的，结果保留根号)八、（本大题共1小题，每小题14分，总计14分）23．如图，ABC 中，90ABC ∠=，6AB =，8BC =，10AC =，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ．动点Q 从点B 发，按BC CA -的折线路径，以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为t 秒．(1)当点Q 在AC 边上运动时，线段AQ ()0AQ >的长为______（用含t 的代数式表示）： (2)当点Q 在AC 边上运动时，线段BQ 长度不可能是______（其序号即可）． ∠7.2； ∠5.3； ∠4.8； ∠4.5．(3)设ADQ △的面积为S ，请用含t 的代数式表示S ． (4)当ABQ 为轴对称图形时，请写出满足条件的t 的值．参考答案：1112．6cm13．14．1115．（1）证明：过点P 作PE AB ⊥于E ，AD BC ∥，90D ，18090C D ∴∠=︒-∠=︒，即PC BC ⊥，BP 平分ABC ∠，PE AB ⊥，PC BC ⊥，PC PE ∴=， ∠点P 是CD 的中点，PD PC ∴=，PE PD ∴=，又PE AB ⊥，PD AD ⊥，AP ∴平分DAB ∠；（2）解：90D ∠=︒，30BPC ∠=︒， 24PB BC ∴==，903060PBC ∠=︒-︒=︒PC ∴，∠点P 是CD 的中点，PD PC ∴== BP 平分ABC ∠，2120ABC PBC ∠∠∴==︒AD BC ∥，180********DAB ABC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，由（1）知AP 平分DAB ∠， 1302DAP DAB ∴∠=∠=︒，∴在Rt ADP △中，2AP PD ==6AD ∴=故答案为：6．16．（1）解：()()510x x --=，50x -=或10x -=，15x ∴=，21x =，而134+=，∴三角形的第三边为5， ∴三角形的周长为34512++=；（2）222345+=， ∴这个三角形为直角三角形，∴ 三角形的面积为13462⨯⨯=．17．解：如图所示，连接AC ．90B ∠=︒，24m AB =，7m BC =，22222247625AC AB BC ∴=+=+=，25m AC ∴=又15m CD =，20m AD =，222152025+=，即222AD DC AC +=，ACD ∴是直角三角形，1122ABCADCABCD S SSAB BC AD DC ∴=+=⋅⋅+⋅⋅四边形 2112472015234m 22=⨯⨯+⨯⨯= 所需费用为23420046800⨯=元． 答：共需投入46800元．18．（1）解：如图，则线段AB 即为所求作．根据勾股定理得：AB（2）解：如图，ABC 即为所求作（答案不唯一）．AC BC =AB∠222+=，∠222AC BC AB +=，∠ABC 是直角三角形，且90BCA ∠=︒． 19．解：∠∠ABD ＝120°，∠D ＝30°，60EBD ∴∠=︒∠∠AED ＝120°﹣30°＝90°，在Rt △BDE 中，BD ＝400m ，∠D ＝30°， ∠BE ＝12BD ＝200m ，∠DE（m ），答：另一边开挖点E 离D 346m ，正好使A ，C ，E 三点在一直线上． 20．解：根据题意得 a 2+b 2＝52＝25， a •2b ＝24，∠a 2+b 2+2ab=49， ∠a +b ＝7，由图2得（a -b ）2=52-24=1， ∠a ＞b ， ∠a -b=1，∠a 2﹣b 2=（a+b ）（a -b ）=7×1=7， ∠a 2+b 2＝25，a 2﹣b 2＝7．21．（1）解：经过测量知较长直角边约为10.4cm ， 故答案为：10.4； （2）解：∠DE BC ∥， ∠30BCF E ∠=∠=︒，∠304575AFC BCF B ∠=∠+∠=︒+︒=︒； （3）解：∠20CDE ∠=︒，60FDE ∠=︒， ∠40FDC ∠=︒， ∠90C EFD ∠=∠=︒，∠90EFC DFC FDC DFC ∠+∠=∠+∠=︒， ∠40EFC FDC ∠=∠=︒．22．解：∠在Rt∠ABC 中，∠CAB ＝90°，BC ＝13米，AC ＝5米，∠AB 12(米)，由题意，得CD ＝13－0.5×10＝8(米)，∠AD (米)，∠BD ＝AB －AD ＝(12米，答：船向岸边移动了(12米．23．（1）解：∠90ABC ∠=，6AB =，8BC =，10AC = ∠18BC AC +=， ∠18AQ t =-， 故答案为：18t -；（2）解：过B 作BH AC ⊥于H ，如图1，∠1122ABC S AB BC BH AC ∆=⋅=⋅， ∠68 4.810AB BC BH AC ⋅⨯===， ∠ 4.8BQ BH ≥=∠当点Q 在BC 边上运动时，线段BQ 长度不可能是∠，故答案为：∠；（3）解：过D 作DE AC ⊥于E ，如图1，∠90ABC ∠=︒，AD 平分BAC ∠，∠BD DE =，∠8CD BD =-， ∠1122ADC S CD AB AC DE ∆=⋅=⋅， ∠()6810BD BD -=，∠3BD =，当03t ≤<时，1(3)6392S t t =⨯-⨯=-+． 当38t <≤时，1(3)6392S t t =⨯-⨯=-． 当818t <<时，13(18)32722S t t =⨯-⨯=-+． 综上所述()()()390339383278182t t S t t t t ⎧⎪-+≤<⎪=-<≤⎨⎪⎪+<<⎩；（4）解：当ABQ 为轴对称图形时，ABQ 是等腰三角形， ∠当点Q 在BC 边上运动时，∠90ABC ∠=︒，∠ABQ 是等腰直角三角形，∠6AB BQ ==，∠6t =；∠当点Q 在AC 边上运动时，ABQ 为轴对称图形，∠、如图2，当18AQ BQ t ==-时，ABQ 为轴对称图形，过Q 作QM AB ⊥于M ，∠AM BM =，∠90AMQ ABC ∠=∠=︒，∠QM BC ∥， ∠11852AQ CQ t AC ==-==， ∠13t =；∠、当186AQ AB t ==-=时，ABQ 为轴对称图形，∠12t =；∠、当6BQ AB ==时，ABQ 为轴对称图形，过B 作BN AC ⊥于N ， ∠11922AN QN AQ t ===-， 由（2）知 4.8BN =，∠222AB BN AN -=， 即22216 4.892t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得545t ，综上所述，当ABQ为轴对称图形时，t的值为6或13或12或545．。
2022年沪科版八年级数学下册第18章 勾股定理章节测评试题(含解析)
八年级数学下册第18章勾股定理章节测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列各组数中，能构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1，1C．6，8，13 D．5，12，152、如图，数轴上点A所表示的数是（）A B C D 13、小亮想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2m，当他把绳子的下端拉开8m 后，下端刚好接触到地面，则学校旗杆的高度为（）A．10m B．12m C．15m D．18m4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，AB=13，AB边的垂直平分线分别交AB、AC于N、M两点，则△BCM的周长为（）A．18 B．16 C．17 D．无法确定5、如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则PA＋PB的最小值是（）A．6 B．8 C．10 D．126、下列条件中，能判断△ABC是直角三角形的是（）A．a：b：c＝3：4：4 B．a＝1，b，cC．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a2：b2：c2＝3：4：57、下列命题中，逆命题不正确的是（）A．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）没有实数根，那么b2﹣4ac＜0B．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等C．全等三角形对应角相等D．直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方8、下列命题属于假命题的是（）A．3，4，5是一组勾股数B．内错角相等，两直线平行C．三角形的内角和为180°D．9的平方根是39、下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（）A．1，2B．8，9，10 C D10、如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD，则BC的长为（）A B C．D．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、圆锥体的高为4cm，圆锥的底面半径为3cm，则该圆锥的表面积为___________．2、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，射线CD与边AB交于点D，点E、F分别为AD、BD中点，设点E、F到射线CD的距离分别为m、n，则m＋n的最大值为________．3、禅城区某一中学现有一块空地ABCD如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量90∠，B= ====，若每种植1平方米草皮需要300元，总共需投入______元AB BC m CD AD3m,4,13m,12m4、如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当AC＝6，BC＝8时，则阴影部分的面积为_____．5、如图，点A为等边三角形BCD外一点，连接AB、AD且AB＝AD，过点A作AE∥CD分别交BC、BD 于点E、F，若3BD＝5AE，EF＝6，则线段AE的长 _____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在△ABC中，∠C 90°．（1）用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法：在边BC 上求作一点D ，使得点D 到AB 的距离等于DC 的长；（2）在（1）的条件下，若AC ＝6，AB ＝10，求CD 的长．2、已知一次函数26y x =--．（1）画出函数图象．（2）不等式26x -->0的解集是_______；不等式26x --<0的解集是_______．（3）求出函数图象与坐标轴的两个交点之间的距离．3、在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，6CA CB ==，点P 是线段CB 上的一个动点（不与点B ，C 重合），过点P 作直线l CB ⊥交AB 于点Q ．给出如下定义：若在AC 边上存在一点M ，使得点M 关于直线l 的对称点N 恰好在．ACB △的边上．．．，则称点M 是ACB △的关于直线l 的“反称点”．例如，图1中的点M 是ACB △的关于直线l 的“反称点”．（1）如图2，若1CP =，点1M ，2M ，3M ，4M 在AC 边上且11AM =，22AM =，34AM =，46AM =．在点1M ，2M ，3M ，4M 中，是ACB △的关于直线l 的“反称点”为______；（2）若点M 是ACB △的关于直线l 的“反称点”，恰好使得ACN △是等腰三角形，求AM 的长；（3）存在直线l 及点M ，使得点M 是ACB △的关于直线l 的“反称点”，直接写出线段CP 的取值范围．4、如图，在△ABC 和△DEB 中，AC ∥BE ，∠C ＝90°，AB ＝DE ，点D 为BC 的中点，12AC BC =． （1）求证：△ABC ≌△DEB ．（2）连结AE ，若BC ＝4，直接写出AE 的长．5、如图，ABC 是边长为6cm 的等边三角形，点P ，Q 分别从顶点A ，B 同时出发，点P 沿射线AB 运动，点Q 沿折线BC CA -运动，且它们的速度都为1cm/s ．当点Q 到达点A 时，点P 随之停止运动连接PQ ，PC ，设点P 的运动时间为(s)t ．（1）当点Q在线段BC上运动时，BQ的长为_______（cm），BP的长为_______（cm）（用含t的式子表示）；（2）当PQ与ABC的一条边垂直时，求t的值；（3）在运动过程中，当CPQ是等腰三角形时，直接写出t的值．-参考答案-一、单选题1、B【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】解：A、52＋42≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意；B、12＋122，能构成直角三角形，故符合题意；C、62＋82≠132，不能构成直角三角形，故不符合题意；D、122＋52≠152，不能构成直角三角形，故不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用，正确应用勾股定理的逆定理是解题的关键．2、D【分析】先根据勾股定理计算出BC BA＝BC AD的长，接着计算出OA的长，即可得到点A所表示的数．【详解】解：如图，BD＝1﹣（﹣1）＝2，CD＝1，∴BC∴BA＝BC∴AD2，∴OA＝21，∴点A1．故选：D【点睛】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴的关系，熟练掌握勾股定理，实数与数轴的关系是解题的关键．3、C【分析】根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+2）m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗【详解】解：根据题意画出图形如下所示：则BC＝8m，设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+2）m，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即x2+82＝（x+2）2，解得x＝15，故AB＝15m，即旗杆的高为15m．故选：C．【点睛】此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．4、C【分析】根据勾股定理求出BC的长，根据线段垂直平分线的性质得到MB=MA，根据三角形的周长的计算方法代入计算即可．解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，AB=13，∴由勾股定理得，5BC=，∵MN是AB的垂直平分线，∴MB=MA，∴△BCM的周长=BC+CM+MB=BC+CM+MA=BC+CA=17，故选C．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键．5、B【分析】如图，由线段垂直平分线的性质可知PB=PC，则有PA+PB=PA+PC，然后可知当点A、P、C三点共线时，PA+PB取得最小值，即为AC的长．【详解】解：如图，连接PC，∵EF是BC的垂直平分线，∴PB=PC，∴PA +PB =PA +PC ，∴PA ＋PB 的最小值即为PA ＋PC 的最小值，当点A 、P 、C 三点共线时，PA +PB 取得最小值，即为AC 的长，∴在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝6，BC ＝10，由勾股定理可得：8AC ，∴PA ＋PB 的最小值为8；故选B ．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质及勾股定理，熟练掌握垂直平分线的性质及勾股定理是解题的关键．6、B【分析】根据勾股定理的逆定理，以及三角形的内角等于180︒逐项判断即可．【详解】A ，设3a x =，4b x ，4=c x ，此时()()()222344x x x +≠，故ABC 不能构成直角三角形，故不符合题意；B ，2221+=，故ABC 能构成直角三角形，故符合题意 C ，::3:4:5A B C ∠∠∠=且180A B C ∠+∠+∠=︒，设3A x ∠=，4B x ∠=，5C x ∠=，则有12180x =︒，所以15x =︒，则75C ∠=︒，故ABC 不能构成直角三角形，故不符合题意；D ，设23a x =，24b x =，25c x =，则345x x x +≠，即222a b c +≠，故ABC 不能构成直角三角形，故不符合题意；故选：B【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，和三角形的内角和等知识，能熟记勾股定理的逆定理内容和三角形内角和等于180 是解题关键．7、C【分析】分别写出各个命题的逆命题，然后判断正误即可．【详解】解：A.逆命题为：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中b2﹣4ac＜0，那么它没有实数根，正确，不符合题意；B.逆命题为：到线段距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，不符合题意；C.逆命题为：对应角相等的两三角形全等，错误，符合题意；D.逆命题为：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，正确，不符合题意．故选：C【点睛】本题考查了原命题、逆命题，命题的真假，一元二次方程根的判别式，线段垂直平分线，全等三角形的判定与性质，勾股定理极其逆定理等知识，综合性较强，准确写出各选项的逆命题并准确判断是解题关键．8、D【分析】利用勾股数的定义、平行线的判定、三角形的内角和及平方根的定义分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、3，4，5是一组勾股数，正确，是真命题，不符合题意；B、内错角相等，两直线平行，正确，是真命题，不符合题意；C、三角形的内角和为180°，正确，是真命题，不符合题意；D、9的平方根是±3，故原命题是假命题，符合题意．故选：D．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解勾股数的定义、平行线的判定、三角形的内角和及平方根的定义，难度不大．9、A【分析】比较较小的两边的平方和是否等于较长边的平方来判定即可．【详解】解：A、222+=，能构造直角三角形，故符合题意；12B、222081，不能构造直角三角形，故不符合题意；9C、222+≠，不能构造直角三角形，故不符合题意；D、222+≠，不能构造直角三角形，故不符合题意；故选：A．【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则此三角形为直角三角形，熟练运用这个定理是解题关键．10、B【分析】根据∠ADC＝2∠B，∠ADC＝∠B+∠BAD判断出DB＝DA，根据勾股定理求出DC的长，从而求出BC的长．【详解】解：∵∠ADC ＝2∠B ，∠ADC ＝∠B +∠BAD ，∴∠B ＝∠DAB ，∴BD ＝AD ，在Rt△ADC 中，∠C ＝90°，∴DC，∴BC ＝BD +DC 故选：B ．【点睛】本题考查了等角对等边，勾股定理，求得BD AD =是解题的关键．二、填空题1、224cm π【分析】先利用勾股定理求出SA 的长，再根据表面积公式进行求解即可．【详解】解：∵圆锥体的高为4cm ，圆锥的底面半径为3cm ，∴5cm SA =，∴该圆锥的表面积22=15924cm rl r πππππ+=+=，故答案为：224cm π．【点睛】本题主要考查了圆锥的表面积，勾股定理，求出母线长是解题的关键．2、2.5【分析】连接CE ，CF ，作,EM CD FN CD ⊥⊥，分别交CD 于点M 和点N ，首先根据中线的性质和三角形面积公式得出132FCE ABC S S ∆∆==，然后证明出当CD 的长度最小时，m ＋n 的值最大，然后根据垂线段最短和等面积法求出CD 的最小值，即可求出m ＋n 的最大值．【详解】解：连接CE ，CF ，作,EM CD FN CD ⊥⊥，分别交CD 于点M 和点N ，∵点E 是AD 的中点，点F 是BD 的中点，∴CE 是ACD ∆中AD 边上的中线，CF 是BCD ∆中BD 边上的中线， ∴12ACE DCE ACD S S S ∆∆∆==，12BCF DCF BCD S S S ∆∆∆==， ∴11111322222FCE DCE DCF ACD BCD ABC S S S S S S AC BC ∆∆∆∆∆∆=+=+==⨯⨯⨯=， ∴11322CD EM CD FN ++=，∴()132CD EM FN +=，即()132CD m n +=， ∴()6CD m n +=，∴当CD 的长度最小时，m ＋n 的值最大，∴当CD AB ⊥时，CD 的长度最小，此时m ＋n 的值最大，∵△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，∴AB 5， ∴162CD AB ⨯⨯=，解得：125CD =， ∴将125CD =代入()6CD m n +=得： 2.5m n +=． 故答案为：2.5．【点睛】此题考查了勾股定理，中线的性质，三角形面积的应用，垂线段最短等知识，解题的关键是根据题意作出辅助线，正确分析出当CD AB ⊥时m ＋n 的值最大．3、10800【分析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果，在直角三角形ABC 中可求得AC 的长，由AC 、AD 、DC 的长度关系可得ACD △为直角三角形，CD 为斜边；由此可知，四边形ABCD 由t R ABC 和Rt ACD △构成，即可求解．【详解】解：在t R ABC 中，∵222222=345AC AB BC +=+=，∴AC =5．在ACD △中，2213CD =，2212AD =，而22212513+=，即222AC AD CD +=，∴90DAC ∠=︒， 即：11=22BAC DAC ABCD S SS BC AB CD AC +=+四边形 =11431253622⨯⨯+⨯⨯=．所以需费用：3630010800⨯=（元）．故答案为10800．【点睛】本题考查了勾股定理，逆定理的相关知识，以及割补法求图形的面积，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键．4、24【分析】根据勾股定理求出AB ，分别求出三个半圆的面积和△ABC 的面积，两小半圆与直角三角形的和减去大半圆即可得出答案．【详解】解：在Rt △ACB 中∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，由勾股定理得：AB ＝10，阴影部分的面积2221618111068242222222S πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故答案为：24．【点睛】本题主要考查勾股定理和圆有关的不规则图形的阴影面积．利用规则图形面积的和差关系求阴影面积是这类题型的关键．勾股定理是解决三角形中线段问题最有效的方法之一．5、9【分析】连接AC交BD于点O，可得AC是BD的垂直平分线，设BD=5x，则AE=3x，求出OF=OB-BF=52x-6，AF=AE-EF=3x-6，证明△BOE是等边三角形，得30AFE∠=︒，利用AF=2OF列出方程求出x的值，进而可得AE的长．【详解】解：如图，连接AC交BD于点O，∵3BD=5AE，∴53 BDAE=，设BD=5x，则AE=3x，∵△BCD是等边三角形，∴BC=CD=BD=5x，∠DCB=∠DBC=60°，∵AB=AD，BC=CD，∴AC是BD的垂直平分线，∴OB=OD=52x，OC平分∠BCD，∴∠DCO=12∠DCB=30°，∵AE ∥CD ，∴∠DCO =30°，∴OC ==， ∵AE ∥CD ，∴∠AEB =∠BCD =60°，∴∠AEB =∠FBE =∠BFE =60°，∴△BEF 是等边三角形，∴BE =BF =EF =6，∴OF =OB -BF =52x -6，AF =AE -EF =3x -6，∵60BFE ∠=︒∴30AFE ∠=︒∴2AF OF = ∴5362(6)2x x -=-解得x =3，∴AE =AF +EF =3x -6+6=3x =9．故答案为：9．【点睛】本题考查了垂直平分线的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解决本题的关键是得到AF =2OF 列出方程求解．三、解答题1、（1）图见详解；（2）3.【分析】（1）根据题意作∠BAC 的平分线交BC 于D ，根据角平分线的性质得到点D 满足条件；（2）根据题意作DE ⊥AB 于E ，先根据勾股定理计算出BC =8，再根据角平分线性质得到DC =DE ，通过证明Rt △ACD ≌Rt △AED 得到AE =AC =6，则EB =4，设CD =x ，则BD =8-x ，在Rt △BED 中，利用勾股定理得到x 2+42=（8-x ）2，解方程求出即可．【详解】解：（1）如图，点D 即为所作；（2）作DE ⊥AB 于E ，如上图，在Rt △ABC 中，BC ，∵AD 为角平分线，∴DC =DE ，在Rt △ACD 和Rt △AED 中AD AD DC DE =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ACD ≌Rt △AED （HL ），∴AE =AC =6，∴EB =AB -AE =10-6=4设CD =x ，则DE =x ，则BD =8-x ，在Rt△BED中，x2+42=（8-x）2，解得x=3，∴CD=3．【点睛】本题考查作图-复杂作图以及全等三角形判定和角平分线定理、勾股定理，注意掌握复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．2、（1）见解析；（2）x<-3；x>-3；（3）BC=【分析】（1）分别将x=0、y=0代入一次函数y=-2x-6，求出与之相对应的y、x值，由此即可得出点A、B的坐标，连点成线即可画出函数图象；（2）根据一次函数图象与x轴的上下位置关系，即可得出不等式的解集；（3）由点A、B的坐标即可得出OA、OB的长度，再根据勾股定理即可得出结论．（或者直接用两点间的距离公式也可求出结论）【详解】（1）当x=0时，y=-2x-6=-6，∴一次函数y=-2x-6与y轴交点C的坐标为(0，-6)；当y=-2x-6=0时，解得：x=-3，∴一次函数y=-2x-6与x轴交点B的坐标为(-3，0)．描点连线画出函数图象，如图所示．(2)观察图象可知：当x <-3时，一次函数y =-2x -6的图象在x 轴上方；当x >-3时，一次函数y =-2x -6的图象在x 轴下方．∴不等式-2x -6>0的解集是x <-3；不等式-2x -6<0的解集是x >-3．故答案是：x ＜-3，x ＞-3；(3)∵B (-3，0)，C (0，-6)，∴OB =3，OC =6，∴BC =【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数图象以及勾股定理，解题的关键是：（1）找出一次函数与坐标轴的交点坐标；（2）根据一次函数图象与x 轴的上下位置关系找出不等式的解集；（3）利用勾股定理求出直角三角形斜边长度．3、（1）2M 和4M ；（2）3或6；（3）03CP <≤【分析】（1）根据反称点的定义进行判断即可；（2）ACN △是等腰三角形分三种情况讨论求解即可；（3）根据“反称点的定义”判断出CP 的取值范围即可．【详解】解：（1）∵CP =1∴M 点到PQ 的距离为1∵M 、N 关于PQ 对称，∴N 点到PQ 的距离为1∴MN =2如图，1N 在ABC ∆外部，3N 在ABC ∆内部，均不符合题意，∵90ACB ∠=︒，6CA CB ==，∴ABC ∆是等腰直角三角形，∴45A B ∠=∠=︒∵222222,2,AM M N M N AC ==⊥∴2N 在AB 边上，∵46AM =，∴4M 与点C 重合，4M 与4N 关于PQ 对称，4N 在BC 上，∴点1M ，2M ，3M ，4M 中，是ACB △的关于直线l 的“反称点”为2M 和4M故答案为：2M 和4M（2）ACN △是等腰三角形分三种情况：如图，①当11AN CN =时，∵ABC ∆是等腰直角三角形∴1N 是AB 边的中点，1116322AM AC ==⨯= ②当2AC AN =时，此时2=6AN∵22M N //BC∴2290AM N ∠=︒∵45A ∠=︒∴22AM N ∆是等腰直角三角形，且222AM M N =∴2222222AM M N AN +=∴22226AM =∴2AM =③当3AC CN =时，此时，3N 与点B 重合，3M 与点C 重合，∴3AM =AC =6综上，AM 的长为3或6；（3）如图，∵M 是AC 边上的点，CB =6∴当03CP <≤时，在AC 边上至少有一个点M 关于PQ 的对称点在AB 边上，当3CP '>时，如图所示，此时AC 上的所有点到P Q ''的距离都大于3，即6MN >，M 关于P Q ''的对称点都在ABC ∆的外部，∴03CP <≤【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，对称的性质等知识，正确理解反对称点的定义是解答本题的关键4、（1）见解析；（2）【分析】（1）根据平行可得∠DBE ＝90°，再由HL 定理证明直角三角形全等即可；（2）构造Rt AHE ，利用矩形性质和勾股定理即可求出AE 长．【详解】（1）∵AC ∥BE ，∴∠C ＋∠DBE ＝180°．∴∠DBE ＝180°－∠C ＝180°－90°＝90°．∴△ABC 和△DEB 都是直角三角形．∵点D 为BC 的中点，12AC BC =，∴AC ＝DB ． ∵AB ＝DE ，∴Rt △ABC ≌Rt △DEB （HL ）．（2）AE =过程如下：连接AE 、过A 点作AH ⊥BE ，∵∠C ＝90°，∠DBE ＝90°．∴AC BH ∥，AH BC ∥，∴AH =BC =4， 122BH AC BC ===，∴2EH EB EH =-=，在Rt AHE 中，AE =【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定和勾股定理解三角形，解题关键是构造直角三角形，利用用平行线间的距离处处相等得线段AH =BC ，从而利用勾股定理求AE ．5、（1）t ；()6t -；（2）当2t =或4t =或8t =时，PQ 与ABC 的一条边垂直；（3）当3t =或9t =时，ΔΔΔΔ为等腰三角形．【分析】（1）根据点的位置及运动速度可直接得出；（2）根据题意分三种情况讨论：①当PQ CB ⊥时，90PQB ∠=︒；②当PQ AB ⊥时，90QPB ∠=︒；③当PQ AC ⊥时，90AQP ∠=︒；作出图形，分别应用直角三角形中30︒角的特殊性质求解即可得；（3）根据题意，分四种情况进行讨论：①当点Q 在BC 边上时，CQ PQ =时；②当点Q 在BC 边上时，CP CQ =时；③当点Q 在BC 边上时，CP PQ =时；④当点Q 在AC 边上时，只讨论CP PQ =情况；分别作出四种情况的图形，然后综合运用勾股定理及解一元二次方程求解即可．【详解】解：（1）点Q 从点B 出发，速度为1/cm s ，点P 从点A 出发，速度为1/cm s ，∴BQ tcm =，AP tcm =，∴()6BP t cm =-，故答案为：t ；()6t -；（2）根据题意分三种情况讨论：①如图所示：当PQ CB ⊥时，90PQB ∠=︒，∵三角形ABC 为等边三角形，∴60A ACB ABC ∠=∠=∠=︒，∴30QPB ∠=︒， ∴12QB PB =，由（1）可得：()162t t =-， 解得：2t =；②如图所示：当PQ AB ⊥时，90QPB ∠=︒，∵60ABC ∠=︒，∴30BQP ∠=︒，∴2QB PB =，由（1）可得：()26t t =-，解得：4t =；③如图所示：当PQ AC ⊥时，90AQP ∠=︒，∵60A ∠=︒，∴30APQ ∠=︒，∴2AP QA =，由（1）可得：()212t t =-，解得：8t =；综上可得：当2t =或4t =或8t =时，PQ 与ABC 的一条边垂直；（3）根据题意，分情况讨论：①当点Q 在BC 边上时，CQ PQ =时，如图所示：过点Q 作QE AB ⊥，∵60ABC ∠=︒，∴30BQE ∠=︒， ∴1122BE BQ t ==，∴QE =， 6CQ t =-，136622PE t t t =--=-，∴PQ ==∵CQ PQ =，∴()2223662t t ⎫⎛⎫-=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得：3t =或0t =（舍去）；②当点Q 在BC 边上时，CP CQ =时，如图所示：过点P 作PF AC ⊥，∵60CAB ∠=︒，∴30APF ∠=︒， ∴1122AF AP t ==，∴PF =， 6CQ t =-，162CF t =-，∴CP ==∵CP CQ =，∴()2221662t t ⎫⎛⎫-=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 解得： 0t =（舍去）；③当点Q 在BC 边上时，CP PQ =时，如图所示：由图可得：60CQP ∠>︒，60QCP ∠<︒，CQP QCP ∠≠∠，∴这种情况不成立；④当点Q 在AC 边上时，只讨论CP PQ =情况，如图所示：过点Q 作QE AB ⊥，过点C 作CF AB ⊥，∵60CAB ∠=︒，ABC ∆为等边三角形，∴30AQE ∠=︒，3AF BF ==，∴CF =12AQ t =-， ∴162AE t =-，∴)12QE t =-， ∴136622EP t t t ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，∴PQ ==∵CF =3PF t =-，∴PC =∵PC PQ =，∴()(()222233126342t t t ⎛⎫-+-=+- ⎪⎝⎭， 解得：19t =或26t =（舍去），综上可得：当3t =或9t =时，ΔΔΔΔ为等腰三角形．【点睛】题目主要考查三角形与动点问题，包括勾股定理的应用，含30︒角的直角三角形的特殊性质，等腰三角形的判定和性质，求解一元二次方程等，根据题意，作出相应图形，然后利用勾股定理求解是解题关键．。
人教版数学八年级下册：第十八章 平行四边形 专题练习(附答案)
第十八章平行四边形专题练习专题1平行四边形的证明思路类型1若已知(已证)四边形中边的关系(1)已知一组对边平行，可以证这一组对边相等或另一组对边平行；(2)已知一组对边相等，可以证这一组对边平行或另一组对边相等1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，过点D作BC的平行线，与AC相交于点E，点F在BC上，EF＝EC.求证：四边形DBFE是平行四边形．2．如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF＝12BC，求证：四边形OCFE是平行四边形．3．如图，点B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，连接AD.求证：四边形ABED是平行四边形．4．如图，在▱ABCD中，分别以AD，BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE，DF.求证：四边形BEDF是平行四边形．5．如图，已知点D，E，F分别在△ABC的边BC，AB，AC上，且DE∥AF，DE＝AF，将FD延长到点G，使FG＝2DF，连接AG，则ED与AG互相平分吗？请说明理由．6．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，AF与BE交于点G，CE与DF交于点H，求证：四边形EGFH是平行四边形．类型2若已知条件(已证结论)与对角线有关，则可以通过证明对角线互相平分得到平行四边形7．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F.求证：四边形AECF是平行四边形．8．如图，在▱ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，EF 过点O，与AD，BC 分别相交于点E，F，GH 过点O，与AB，CD 分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.求证：四边形EGFH 是平行四边形．专题2与正方形有关的四个常考模型模型1正方形中相交垂线段问题——教材P68复习题T8的变式与应用1．如图，ABCD是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且DE＝CF.要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？【探究】若去掉“DE＝CF”这一条件，将两个结论中的一个作为条件能推出另一个结论成立吗？(1)若已知BE＝AF，则BE⊥AF成立吗？正方形内，分别连接两组对边上任意两点，得到的两条线段(如：图1中的线段AF与BE，图2中的线段AF与EG，图3中的线段HF与EG)满足：若垂直，则相等．模型2正方形中过对角线交点的直角问题2．如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F.(1)求证：△AOE≌△BOF；(2)如果两个正方形的边长都为a，那么这两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？【变式1】如图，正方形ABCD的边长为4，点O在对角线DB上运动(不与点B，D重合)，连接OA，作OP⊥OA，交直线BC于点P.判断线段OA，OP的数量关系，并说明理由．【变式2】如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…，A n分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是( )A．n B．n－1 C．4(n－1) D．4n正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，点E，F分别在AB，BC上．若∠EOF为直角，OE，OF分别与DA，AB的延长线交于点G，H，则△AOE≌△BOF，△AOG≌△BOH，△OGH是等腰直角三角形，且S四边形OEBF＝14S正方形ABCD.模型3正方形中三垂直全等模型——教材P69复习题T14的变式与应用3．正方形ABCD的边长为6，点P在对角线BD上，点E是线段AD上或AD的延长线上的一点，且PE⊥PC.(1)如图1，点E在线段AD上，求证：PE＝PC；(2)如图2，点E在线段AD的延长线上，请补全图形，并判断(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由．模型4正方形中的半角模型4．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE.(1)求证：CE＝CF；(2)若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？(1)如图，正方形ABCD中，若∠EAF＝45°，则：①EF＝BE＋DF；②△CEF的周长为正方形ABCD边长的2倍；③FA平分∠DFE，EA平分∠BEF.(2)如图，正方形ABCD中，若∠EAF＝45°，FA平分∠DFE，则EF＝DF－BE.专题3特殊平行四边形的性质与判定1．如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF.求证：(1)△ABF≌△DAE；(2)DE＝BF＋EF.2．如图，四边形ABCD，BEFG均为正方形，连接AG，CE.求证：(1)AG＝CE；(2)AG⊥CE.3．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB 边上一点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN.(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；(2)请求出AM的长为何值时，四边形AMDN是矩形，并说明理由．4.已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E，F，G，H，顺次连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH(即四边形ABCD的中点四边形)．(1)四边形EFGH的形状是，证明你的结论；(2)当四边形ABCD的对角线满足条件时，四边形EFGH是矩形；(3)你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？．5．如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG.(1)求证：四边形CEFG是菱形；(2)若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．6．如图所示，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，AF与DE相交于点G，CE与BF相交于点H.(1)你能说明四边形EHFG是平行四边形吗？(2)当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EHFG是一个菱形？(3)四边形EHFG会成为一个正方形吗？专题4四边形中的动点问题——教材P68复习题T13的变式与应用【例】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝12 cm，BC ＝18 cm，点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2 cm/s 的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t s.(1)CD边的长度为cm，t的取值范围为；(2)从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD?(3)从运动开始，当t取何值时，PQ＝CD?【拓展变式1】在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．【拓展变式2】从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形？【拓展变式3】在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQBA是正方形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．【拓展变式4】是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．专题5特殊平行四边形中的折叠问题——教材P64“数学活动”的变式与应用【例】如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN.请你观察图1，猜想∠MBN的度数是多少，并证明你的结论．图1【拓展延伸】再沿MN所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕MG，同时得到线段B′G，展开如图2.探究四边形MBGB′的形状，并证明你的结论．图2在折叠问题中，原图形与折叠后图形中所隐含的相等线段与相等角常常是解决问题的关键，注意翻折变换的性质的灵活运用，折叠前后，重叠部分是全等形，另外注意勾股定理等知识在求折叠图形的线段中的适当运用．1．如图，将矩形ABCD 折叠，使点C 和点A 重合，折痕为EF ，EF 与AC 交于点O.若AE ＝5，BF ＝3，则AO 的长为( )A . 5B .32 5 C ．2 5 D ．452．如图，将边长为6 cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在AB 边中点E 处，点C 落在点Q 处，折痕为FH ，则线段AF 的长是 cm .3．如图，将一张菱形纸片ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH.若EF ＝4，EH ＝3，则AB ＝ ．4．如图，在矩形ABCD 中，AB>AD ，把矩形沿对角线AC 所在直线折叠，使点B 落在点E 处，AE 交CD 于点F ，连接DE.求证： (1)△ADE ≌△CED ； (2)△DEF 是等腰三角形．专题6特殊平行四边形中的最值问题【例】如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE＝1，F为AB的中点，P 为AC上一个动点，求PF＋PE的最小值．【思路点拨】(1)先确定点P的位置：作点E关于AC的对称点E′，连接FE′，交AC于点P，则点P即为所求；(2)求E′F的长度：将E′F放到一个直角三角形中，利用勾股定理求出E′F的长，即求出了PF＋PE的最小值．求线段和最小时，若已知的两点在动点所在直线的同侧，将动点所在直线当作对称轴，作出其中一点的对称点，再将另一点与这个对称点连接，则其与直线的交点即为所求动点所在位置，再求出所连接的线段长即为所求．1．如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，点E为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，则PB＋PE的最小值为．2．如图，在矩形ABCD 的边AD 上找一点P ，使得点P 到B ，C 两点的距离之和最短，则点P 的位置应该在 ．3．如图，四边形ABCD 是菱形，AB ＝8，且∠ABC ＝60°，M 为对角线BD(不含B 点)上任意一点，则AM ＋12BM 的最小值为 ．4．如图，以边长为2的正方形的对角线的交点O 为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A ，B 两点，求线段AB 的最小值．参考答案：专题1 平行四边形的证明思路1．证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C. ∵EF ＝EC ，∴∠EFC ＝∠C. ∴∠B ＝∠EFC. ∴AB ∥EF. 又∵DE ∥BC ，∴四边形DBFE 是平行四边形．2．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴点O 是BD 的中点． 又∵点E 是边CD 的中点， ∴OE 是△BCD 的中位线． ∴OE ∥BC ，且OE ＝12BC.又∵CF ＝12BC ，∴OE ＝CF.又∵点F 在BC 的延长线上， ∴OE ∥CF.∴四边形OCFE 是平行四边形． 3．证明：∵AB ∥DE ，∴∠B ＝∠DEF. ∵AC ∥DF ，∴∠ACB ＝∠F.∵BE ＝CF ，∴BE ＋CE ＝CF ＋CE ，即BC ＝EF. 在△ABC 和△DEF 中，⎩⎨⎧∠B ＝∠DEF ，BC ＝EF ，∠ACB ＝∠F ，∴△ABC ≌△DEF(ASA )．∴AB ＝DE. ∵AB ∥DE ，∴四边形ABED 是平行四边形．4．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴CD ＝AB ，AD ＝CB ，∠DAB ＝∠BCD. 又∵△ADE 和△BCF 都是等边三角形，∴DE ＝AD ＝AE ，CF ＝BF ＝BC ，∠DAE ＝∠BCF ＝60°. ∴BF ＝DE ，CF ＝AE.∵∠DCF ＝∠BCD －∠BCF ，∠BAE ＝∠DAB －∠DAE ， ∴∠DCF ＝∠BAE. 在△DCF 和△BAE 中，⎩⎨⎧CD ＝AB ，∠DCF ＝∠BAE ，CF ＝AE ，∴△DCF ≌△BAE(SAS )． ∴DF ＝BE. 又∵BF ＝DE ，∴四边形BEDF 是平行四边形． 5．解：ED 与AG 互相平分． 理由：连接EG ，AD. ∵DE ∥AF ，DE ＝AF ， ∴四边形AEDF 是平行四边形． ∴AE ∥DF ，AE ＝DF. 又∵FG ＝2DF ， ∴DG ＝DF. ∴AE ＝DG. 又∵AE ∥DG ，∴四边形AEGD 是平行四边形． ∴ED 与AG 互相平分．6．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC.∵E ，F 分别是AD ，BC 的中点， ∴AE ＝12AD ，FC ＝12BC.∴AE ∥FC ，AE ＝FC.∴四边形AECF 是平行四边形． ∴GF ∥EH.同理可证：ED ∥BF 且ED ＝BF. ∴四边形BFDE 是平行四边形． ∴GE ∥FH.∴四边形EGFH 是平行四边形．7．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OD ＝OB ，OA ＝OC ，AB ∥CD. ∴∠DFO ＝∠BEO ，∠FDO ＝∠EBO. 在△FDO 和△EBO 中，⎩⎨⎧∠DFO ＝∠BEO ，∠FDO ＝∠EBO ，OD ＝OB ，∴△FDO ≌△EBO(AAS)． ∴OF ＝OE . 又∵OA ＝OC ，∴四边形AECF 是平行四边形．8．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC. ∴∠EAO ＝∠FCO. ∵O 为AC 的中点， ∴OA ＝OC.在△OAE 和△OCF 中，⎩⎨⎧∠EAO ＝∠FCO ，OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ，∴△OAE ≌△OCF(ASA )． ∴OE ＝OF.同理可证：OG ＝OH.∴四边形EGFH 是平行四边形．专题2 与正方形有关的四个常考模型1．解：BE ＝AF 且BE ⊥AF ，理由： ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ＝CD ，∠BAD ＝∠D ＝90°. 又∵DE ＝CF ，∴AE ＝DF. ∴△ABE ≌△DAF(SAS )． ∴BE ＝AF ，∠ABE ＝∠DAF.∵∠DAF ＋∠BAF ＝90°，∴∠ABE ＋∠BAF ＝90°. ∴∠AGB ＝90°，即BE ⊥AF.【探究】解：成立．理由：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BAD ＝∠D ＝90°，AB ＝AD. 在Rt △ABE 和Rt △DAF 中，⎩⎨⎧AB ＝DA ，BE ＝AF ，∴Rt △ABE ≌Rt △DAF(HL )． ∴∠ABE ＝∠DAF.∵∠DAF ＋∠BAF ＝90°，∴∠ABE ＋∠BAF ＝90°.∴∠AGB ＝90°，即BE ⊥AF. (2)若已知BE ⊥AF ，则BE ＝AF 成立吗？ 解：成立．理由：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝AD ，∠BAD ＝∠D ＝90°. 又∵BE ⊥AF ，∴∠AGB ＝90°. ∴∠ABE ＋∠BAF ＝90°.∵∠DAF ＋∠BAF ＝90°，∴∠ABE ＝∠DAF. ∴△ABE ≌△DAF(ASA )． ∴BE ＝AF.2．解：(1)证明：在正方形ABCD 中，AO ＝BO ，∠AOB ＝∠A 1OC 1＝90°，∠OAB ＝∠OBC ＝45°. ∴∠AOE ＋∠EOB ＝90°，∠BOF ＋∠EOB ＝90°. ∴∠AOE ＝∠BOF. 在△AOE 和△BOF 中，⎩⎨⎧∠OAE ＝∠OBF ，OA ＝OB ，∠AOE ＝∠BOF ，∴△AOE ≌△BOF(ASA )．(2)两个正方形重叠部分的面积等于14a 2.理由如下：∵△AOE ≌△BOF ，∴S 四边形OEBF ＝S △EOB ＋S △BOF ＝S △EOB ＋S △AOE ＝S △AOB ＝14S 正方形ABCD ＝14a 2.【变式1】 解：OA ＝OP ，理由：过点O 作OG ⊥AB 于点G ，过点O 作OH ⊥BC 于点H ，∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABO ＝∠CBO ，AB ＝BC. ∴OG ＝OH.∵∠OGB ＝∠GBH ＝∠BHO ＝90°， ∴四边形OGBH 是正方形． ∴∠GOH ＝90°.∵∠AOP ＝∠GOH ＝90°，∴∠AOG ＝∠POH. ∴△AGO ≌△PHO(ASA )． ∴OA ＝OP. 【变式2】 B3．解：(1)证明：过点P 作FG ∥DC 分别交AD ，BC 于点F ，G. 易得∠PFD ＝∠CGP ＝90°. ∵BD 为正方形ABCD 的对角线， ∴∠BDF ＝∠FPD ＝45°. ∴PF ＝FD.又∵FG ∥DC ，FD ∥GC ，∠ADC ＝90°， ∴四边形FGCD 为矩形． ∴DF ＝CG. ∴PF ＝CG. ∵PE ⊥PC ，∴∠FPE ＋∠GPC ＝90°. ∵∠FEP ＋∠FPE ＝90°， ∴∠FEP ＝∠GPC. ∴在△PFE 和△CGP 中，⎩⎨⎧∠PFE ＝∠CGP ，∠FEP ＝∠GPC ，PF ＝CG ，∴△PFE ≌△CGP(AAS )． ∴PE ＝CP.(2)成立．理由：过点P 作FG ∥DC 分别交AD ，BC 于点F ，G. 同理可证△PFE ≌△CGP(AAS )． ∴PE ＝PC.4．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴BC ＝CD ，∠B ＝∠CDF.又∵BE ＝DF ，∴△CBE ≌△CDF(SAS )．∴CE ＝CF.(2)GE ＝BE ＋GD 成立．理由：由(1)得，△CBE ≌△CDF ，∴∠BCE ＝∠DCF.∴∠BCE ＋∠ECD ＝∠DCF ＋∠ECD ，即∠BCD ＝∠ECF ＝90°.又∵∠GCE ＝45°，∴∠GCF ＝∠GCE ＝45°.∵CE ＝CF ，∠GCE ＝∠GCF ，GC ＝GC ，∴△ECG ≌△FCG(SAS )．∴GE ＝GF.∴GE ＝DF ＋GD ＝BE ＋GD.专题3 特殊平行四边形的性质与判定1．证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，AD ∥BC.∴∠BPF ＝∠DAE.∵∠ABC ＝∠AED ，∴∠BAF ＝∠ADE.∵∠ABF ＝∠BPF ，∴∠ABF ＝∠DAE.∵AB ＝DA ，∴△ABF ≌△DAE(ASA )．(2)∵△ABF ≌△DAE ，∴AE ＝BF ，DE ＝AF.∵AF ＝AE ＋EF ＝BF ＋EF ，∴DE ＝BF ＋EF.2．证明：(1)∵四边形ABCD ，BEFG 均为正方形，∴AB ＝CB ，∠ABC ＝∠GBE ＝90°，BG ＝BE.∴∠ABG ＝∠CBE.在△ABG 和△CBE 中，⎩⎨⎧AB ＝CB ，∠ABG ＝∠CBE ，BG ＝BE ，∴△ABG ≌△CBE(SAS )．∴AG ＝CE.(2)设AG 交BC 于点M ，交CE 于点N.∵△ABG ≌△CBE ，∴∠BAG ＝∠BCE.∵∠ABC ＝90°，∴∠BAG ＋∠AMB ＝90°.∵∠AMB ＝∠CMN ，∴∠BCE ＋∠CMN ＝90°.∴∠CNM ＝90°.∴AG ⊥CE.3．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴ND ∥AM.∴∠NDE ＝∠MAE ，∠DNE ＝∠AME.又∵点E 是AD 边的中点，∴DE ＝AE.∴△NDE ≌△MAE(AAS )．∴ND ＝MA.∴四边形AMDN 是平行四边形．(2)当AM 的长为1时，四边形AMDN 是矩形．理由如下：∵AM ＝1＝12AD ＝AE ，∠DAB ＝60°， ∴△AEM 是等边三角形．∴∠AME ＝∠AEM ＝60°，EM ＝AE ＝ED.∴∠EMD ＝∠EDM ＝30°.∴∠AMD ＝∠AME ＋∠EMD ＝90°.∴四边形AMDN 是矩形．4.(1)四边形EFGH 的形状是平行四边形，证明你的结论；(2)当四边形ABCD 的对角线满足互相垂直条件时，四边形EFGH 是矩形；(3)你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？菱形．证明：连接BD.∵E ，H 分别是AB ，AD 中点，∴EH ∥BD ，EH ＝12BD. 同理FG ∥BD ，FG ＝12BD ， ∴EH ∥FG ，EH ＝FG.∴四边形EFGH 是平行四边形．5．解：(1)证明：由题意得△BCE ≌△BFE ，∴∠BEC ＝∠BEF ，FE ＝CE.∵FG ∥CE ，∴∠FGE ＝∠BEC.∴∠FGE ＝∠BEF.∴FG ＝FE.∴FG ＝EC.∴四边形CEFG 是平行四边形．又∵CE ＝FE ，∴四边形CEFG 是菱形．(2)∵矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝10，BC ＝BF ，∴∠BAF ＝90°，AD ＝BC ＝BF ＝10.∴AF ＝BF 2－AB 2＝8.∴DF ＝2.设EF ＝x ，则CE ＝x ，DE ＝6－x.∵∠FDE ＝90°，∴22＋(6－x)2＝x 2.解得x ＝103.∴CE ＝103. ∴S 四边形CEFG ＝CE·DF ＝103×2＝203. 6．解：(1)能说明四边形EHFG 是平行四边形．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB 綊CD.而AE ＝12AB ，CF ＝12CD ， ∴AE 綊CF.∴四边形AECF 是平行四边形．∴GF ∥EH.同理可得GE ∥HF.∴四边形EHFG 是平行四边形．(2)当四边形ABCD 是矩形时，四边形EHFG 是菱形．由(1)知，四边形EHFG 是平行四边形．连接EF.当四边形ABCD 是矩形时，四边形EBCF 也是矩形，∴EH ＝FH ，∴四边形EHFG 是菱形．(3)当四边形ABCD 是矩形且AB ＝2AD 时，四边形EHFG 是正方形．由(2)知，当四边形ABCD 是矩形时，四边形EHFG 是菱形．又由AB ＝2AD 可知，四边形EBCF 是正方形．根据正方形的性质知，EC⊥BF，即∠EHF＝90°，∴四边形EHFG是正方形．专题4四边形中的动点问题【例】(1)CD边的长度为10cm，t的取值范围为0≤t≤9；解：(2)设经过t s时，PQ∥CD，此时四边形PQCD为平行四边形，则PD＝CQ.∵PD＝(12－t)cm，CQ＝2t cm，∴12－t＝2t.∴t＝4.∴当t＝4时，PQ∥CD.(3)设经过t s时，PQ＝CD，分别过点P，D作BC边的垂线PE，DF，垂足分别为E，F.当CF＝EQ时，四边形PQCD为梯形(腰相等)或者平行四边形．∵∠B＝∠A＝∠DFB＝90°，∴四边形ABFD是矩形．∴AD＝BF.∵AD＝12 cm，BC＝18 cm，∴CF＝BC－BF＝6 cm.①当四边形PQCD为梯形(腰相等)时，PD＋2(BC－AD)＝CQ，∴(12－t)＋12＝2t.∴t＝8.∴当t＝8时，PQ＝CD；②当四边形PQCD为平行四边形时，由(2)知当t＝4 s时，PQ＝CD.综上，当t＝4或t＝8时，PQ＝CD.【拓展变式1】解：不存在．理由：要使四边形PQCD是菱形，则四边形PQCD一定是平行四边形．由例知当t＝4 s时，四边形PQCD是平行四边形．此时DP＝12－t＝8≠10，即DP≠DC，所以按已知速度运动，四边形PQCD只能是平行四边形，不可能是菱形．【拓展变式2】解：如图，由题意，得AP ＝t ，DP ＝12－t ，CQ ＝2t ，BQ ＝18－2t.要使四边形PQBA 是矩形，已有∠B ＝90°，AD ∥BC ，即AP ∥BQ ，只需满足AP ＝BQ ，即t ＝18－2t ，解得t ＝6.所以当t ＝6时，四边形PQBA 是矩形．【拓展变式3】 解：不存在．理由：要使四边形PQBA 是正方形，则四边形PQBA 一定是矩形．由变式2知，当t ＝6时，四边形PQBA 是矩形．此时AP ＝t ＝6≠8，即AP ≠AB ，所以按已知速度运动，四边形PQBA 只能是矩形，不可能是正方形．【拓展变式4】 解：△DQC 是等腰三角形时，分三种情况讨论：图1 图2 图3①如图1，当QC ＝DC 时，即2t ＝10，∴t ＝5.②如图2，当DQ ＝DC 时，过点D 作DH ⊥CQ ，则QH ＝CH ＝12CQ ＝t. 在矩形ABHD 中，BH ＝AD ＝12，∴CH ＝BC －BH ＝6，∴t ＝6.③如图3，当QD ＝QC 时，过点D 作DH ⊥CQ ，DH ＝8，CH ＝6，DC ＝10，CQ ＝QD ＝2t ，QH ＝|2t －6|.在Rt △DQH 中，DH 2＋QH 2＝DQ 2.∴82＋|2t －6|2＝(2t)2.解得t ＝256. 综上，当t ＝5或6或256时，△DQC 是等腰三角形专题5 特殊平行四边形中的折叠问题【例】 解：∠MBN ＝30°.证明：连接AN .∵直线EF 是AB 的垂直平分线，点N 在EF 上，∴AN ＝BN .由折叠可知，BN ＝AB ，∴△ABN 是等边三角形．∴∠ABN ＝60°.∴∠MBN ＝∠ABM ＝12∠ABN ＝30°. 【拓展延伸】 解：四边形MBGB′是菱形．证明：∵∠ABM ＝30°，∠A ＝∠ABC ＝90°，∴∠MBG ＝∠AMB ＝60°.根据折叠的性质，得BM ＝MB′，BG ＝B′G ，∠BMN ＝∠AMB.∴∠BMN ＝∠MBG ＝60°.∴△MBG 是等边三角形．∴BM ＝BG.∴BM ＝MB′＝BG ＝B′G.∴四边形MBGB′是菱形．1．C2． 94cm . 3．5．4．证明：(1)由折叠相关性质可知，AE ＝AB ，CE ＝CB.∵四边形ABCD 是矩形，∴AE ＝AB ＝DC ，CE ＝CB ＝AD.在△ADE 和△CED 中，⎩⎨⎧AD ＝CE ，AE ＝CD ，DE ＝ED ，∴△ADE ≌△CED(SSS )．(2)由(1)知，△ADE ≌△CED ，∴∠AED ＝∠CDE.∴△DEF 是等腰三角形．小专题(十) 特殊平行四边形中的最值问题【例】 解：作点E 关于直线AC 的对称点E′(易知点E′在CD 上)，连接E′F ，交AC 于点P.则PE ＝PE′，CE ′＝CE.∴PE ＋PF ＝PE′＋PF ＝E′F.∴P 即为所求的使PF ＋PE 最短的点．∵正方形ABCD 的边长为4，BE ＝1，F 为AB 的中点， ∴BF ＝2，CE ＝CB －BE ＝3.∴CE ′＝CE ＝3.过点F 作FG ⊥CD 于点G ，则∠FGE′＝∠FGC ＝90°. ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B ＝∠BCD ＝∠FGC ＝90°.∴四边形FBCG 是矩形．∴CG ＝BF ＝2，FG ＝BC ＝4.∴E ′G ＝E′C －CG ＝1.∴在Rt △E ′FG 中，E ′F ＝FG 2＋E′G 2＝42＋12＝17. ∴PF ＋PE 的最小值为17.12．AD 的中点．34．解：∵四边形CDEF 是正方形，∴∠OCA ＝∠ODB ＝45°，∠COD ＝90°，OC ＝OD. ∵AO ⊥OB ，∴∠AOB ＝90°.∴∠COA ＋∠AOD ＝90°，∠AOD ＋∠DOB ＝90°. ∴∠COA ＝∠DOB.在△COA 和△DOB 中，⎩⎨⎧∠OCA ＝∠ODB ，OC ＝OD ，∠COA ＝∠DOB ，∴△COA ≌△DOB(ASA )．∴OA ＝OB.∵∠AOB ＝90°，∴△AOB 是等腰直角三角形． 由勾股定理，得AB ＝OA 2＋OB 2＝2OA ，要使AB 最小，只要OA 取最小值即可，根据垂线段最短，得OA ⊥CD 时，OA 最小，∵四边形CDEF 是正方形，∴OD ＝OC.又∵OA ⊥CD ，∴CA ＝DA.∴OA ＝12CF ＝1.∴AB ＝ 2.∴AB的最小值为 2.。
八年级数学人教版下册第十八章练习平行四边形
20．我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．
(1)这个中点四边形EFGH的形状是___________；
求证：四边形AECF是平行四边形.
③平行四边形四边中点的连线所形成的四边形是平行四边形.
连接三角形两边的________的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线________于三角形的第三边，并且等于第三边的________
又∵AF=CE，
∵AB∥DC，DE、CF ∴Rt△DAE≌Rt△CBF 求证AD=BC；
6．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A＝50°，∠ADE＝60°，则∠C的度数为( ) （2）已知AD=BC，
分别与AB、CD垂直， ∴∠A=∠B. 17 如图所示，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点．
1 题 平行四边形
2题
解：连接 AC，由三角形中位线性质得，EF∥AC 且 EF＝12AC，
GH∥AC 且 GH＝12AC，
∴EF 綊 GH，
∴四边形 EFGH 是平行四边形
21.如图，在梯形ABCD中，AB∥DC.
（1）已知∠A=∠B， 求证AD=BC；
（2）已知AD=BC， 求证∠A=∠B.
20．我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边 形叫做中点四边形．
如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC ， CD ， DA 的 中 点 ， 依 次 连 接 各 边 中 点 得 到 中 点 四 边 形 EFGH.
(1)这个中点四边形EFGH的形状是___________； (2)请证明你的结论．
人教版八年级数学下册18.1.1平行四边形的性质(第二课时)对角线同步练习题
平行四边形的性质（第二课时）同步练习题一、单选题1．平行四边形的一边长为10，那么它的两条对角线的长可以是（ ）A ．4和6B ．6和8C ．8和12D ．20和302．平行四边形的一组对角的平分线（ ）A ．一定相互平行B ．一定相交C ．可能平行也可能相交D ．平行或共线 3．有下列说法：①平行四边形具有四边形的所有性质： ②平行四边形是中心对称图形：③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形． 其中正确说法的序号是（ ）．A ．①②④B ．①③④C ．①②③D ．①②③④4．如图，在▱ABCD 中，已知90ODA =∠°，10cm AC =，6cm BD =，则AD 的长为（ ）第4题 第5题 第7题 第9题 A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．8cm5．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 的顶点A ，B ，D 的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点C 的坐标是（ ）A ．(3，7)B ．(5，3)C ．(7，3)D ．(8，2)6．平行四边形一边的长是10cm ，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（ ）A ．4cm ，6cmB ．6cm ，8cmC ．8cm ，12cmD ．20cm ，30cm7．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥BC 于E ，AB 3AC ＝2，BD ＝4，则AE 的长为（ ）A 3B ．32C ．217D ．2178．已知四边形ABCD 是平行四边形，则下列各图中1∠与2∠一定不相等的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，已知平行四边形ABCD 中，4B A ∠=∠，则C ∠=（ ）A．18°B．36°C．72°D．144°10．如图，设M是ABCD边AB上任意一点，设AMD∆的面积为1S，BMC∆的面积为2S，CDM∆的面积为S，则（）第10题第12题第13题第14题A．12S S S=+B．12S S S>+C．12S S S<+D．不能确定二、填空题11．在平行四边形ABCD中，BC边上的高为AE＝4，AB＝5，EC＝7，则平行四边形ABCD的周长等于_____．12．如图，在中，．以点为圆心，以小于长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接并延长交于点，则____．13．如图，直线EF经过平行四边形ABCD的对角线的交点O，若四边形AEFB的面积为20cm2，则平行四边形ABCD的面积为___cm2．14．如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠DBC＝45°，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE、BF 相交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，下列结论：①CE＝BE；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；④∠BHD＝∠BDG．其中正确的结论是 ___．15．如图，在一个平行四边形中，两对平行于边的直线将这个平行四边形分为九个小平行四边形，如果原来这个平行四边形的面积为，而中间那个小平行四边形（阴影部分）的面积为20平方厘米，则四边形的面积是________．三、解答题16、如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝25，且AO∶BO＝2∶3.(1)求AC的长；(2)求▱ABCD的面积．17．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F，连接EC.ABCD50D∠=︒B AB BA BC PQ P Q12PQ ABC∠M BM AD E AEB∠=122100cmABDC(1)求证：OE＝OF；(2)若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求▱ABCD的周长．。
2021-2022学年华师大版八年级数学下册《第18章平行四边形》单元综合练习题(附答案)
2021-2022学年华师大版八年级数学下册《第18章平行四边形》单元综合练习题（附答案）一．选择题1．下列说法不正确的是（）A．平行四边形对边平行B．两组对边平行的四边形是平行四边形C．平行四边形对角相等D．一组对角相等的四边形是平行四边形2．在▱ABCD中，∠B+∠D＝260°，那么∠A的度数是（）A．130°B．100°C．50°D．80°3．直线a、b、c是三条平行直线．已知a与b的距离为7cm，b与c的距离为3cm，则a 与c的距离为（）A．4cm B．10cm C．3cm D．4cm或10cm 4．如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点且AE＝CF，在①BE＝DF；②BE∥DF；③AB＝DE；④四边形EBFD为平行四边形；⑤S△ADE＝S△ABE；⑥AF＝CE这些结论中正确的个数是（）A．3B．4C．5D．65．如图，已知AB＝DC，AD＝BC，E，F是DB上两点且AE∥CF，若∠AEB＝115°，∠ADB＝35°，则∠BCF＝（）A．150°B．40°C．80°D．90°6．小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（）A．①，②B．①，④C．③，④D．②，③7．如图，在平面直角坐标系中，以A（﹣1，0），B（2，0），C（0，1）为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（）A．（3，1）B．（﹣4，1）C．（1，﹣1）D．（﹣3，1）8．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE．下列结论：①∠CAD＝30°；②S▱ABCD＝AB•AC；③OB＝AB；④OE＝BC，成立的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题9．如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1＝20°，则∠2的度数为．10．如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC⊥BC．则BD＝．11．如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，以点B的圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为．12．如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD＝16cm2，S△BQC＝25cm2，则图中阴影部分的面积为cm2．13．如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是．（把所有正确结论的序号都填在横线上）①∠DCF＝∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＝2S△CEF；④∠DFE＝3∠AEF．14．已知：如图，在▱ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分线AE，DF分别与线段BC相交于点E，F，AE与DF相交于点G．若AD＝10，AB＝6，AE＝4，则DF的长为．15．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，有下列条件：①BF＝DE；②AE＝CF；③∠EAB＝∠FCD；④AF∥CE．其中一定能判定四边形AECF是平行四边形的是．16．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s 的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截原四边形为两个新四边形．则当P，Q同时出发秒后其中一个新四边形为平行四边形．三．解答题17．如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，BE＝AF．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）若∠ABC＝60°，BD＝4，求平行四边形ADEF的面积．18．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE＝CF，DF∥BE．求证：四边形ABCD为平行四边形．19．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形．20．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．21．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC边上，AB边上有一点F，且BF ＝DC，连接EF、EB．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）求证：四边形EFCD是平行四边形．22．如图，▱ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E、F分别是AB，CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于O．（1）求证：BO＝DO；（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG＝1时，求AD的长．参考答案一．选择题1．解：A、正确；B、正确；C、正确；D、一组对角相等而另一组对角不相等的四边形不是平行四边形，故命题错误．故选：D．2．解：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∠A+∠B＝180°，∵∠B+∠D＝260°，∴∠B＝∠D＝130°，∴∠A的度数是：50°．故选：C．3．解：当直线c在a、b之间时，∵a、b、c是三条平行直线，而a与b的距离为7cm，b与c的距离为3cm，∴a与c的距离＝7cm﹣3cm＝4cm；当直线c不在a、b之间时，∵a、b、c是三条平行直线，而a与b的距离为7cm，b与c的距离为3cm，∴a与c的距离＝7cm+3cm＝10cm，综上所述，a与c的距离为4cm或10cm．故选：D．4．解：∵四边形ABCD是平行四边形∴∠BAE＝∠DCF，AB＝CD（故③不正确），∵AE＝CF，∴△ABE≌△CDF，∴BE＝DF（故①正确），同理：DE＝BF，∴四边形EBFD为平行四边形，∴BE∥DF（故②正确），∵AB＝CD，AD＝BC，AC＝AC，∴△ABC≌△CDA，∴两三角形AC边上的高的相等，∵△ABE，△ADE分别是△ABC与△CDA中的小三角形，且AE＝AE，∴S△ADE＝S△ABE（故⑤正确），∵AE＝CF，∴AF＝CE（故⑥正确），∴正确的有：①②④⑤⑥共5项．故选：C．5．解：∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠CBF＝∠ADE，∵AE∥CF，∴∠CFB＝∠AED，∴△BCF≌△DAE，∴∠BCF＝∠DAE，∵∠AEB＝115°，∠ADB＝35°，∴∠AEB＝∠DAE+∠ADB，∴∠DAE＝∠AEB﹣∠ADB＝115°﹣35°＝80°，故选：C．6．解：∵只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．7．解：如图所示：①以AC为对角线，可以画出▱AFCB，F（﹣3，1）；②以AB为对角线，可以画出▱ACBE，E（1，﹣1）；③以BC为对角线，可以画出▱ACDB，D（3，1）；故选：B．8．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠EAD＝60°∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝BE，∵AB＝BC，∴AE＝BC，∴∠BAC＝90°，∴∠CAD＝30°，故①正确；∵AC⊥AB，∴S▱ABCD＝AB•AC，故②正确，∵AB＝BC，OB＝BD，∴AB≠OB，故③错误；∵CE＝BE，CO＝OA，∴OE＝AB，∴OE＝BC，故④正确．故选：C．二．填空题9．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAE＝∠1＝20°，∵BE⊥AB，∴∠ABE＝90°，∴∠2＝∠BAE+∠ABE＝110°．故答案为：110°．10．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝6，OB＝OD，OA＝OC，∵AC⊥BC，∴AC＝＝8，∴OC＝4，∴OB＝＝2，∴BD＝2OB＝4故答案为：4．11．解：根据作图的方法得：BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝5，∴∠AEB＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴DE＝AD﹣AE＝5﹣3＝2；故答案为：2．12．解：连接E、F两点，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等，∴S△EFC＝S△BCF，∴S△EFQ＝S△BCQ，同理：S△EFD＝S△ADF，∴S△EFP＝S△ADP，∵S△APD＝16cm2，S△BQC＝25cm2，∴S四边形EPFQ＝41cm2，故答案为：41．13．解：①∵F是AD的中点，∴AF＝FD，∵在▱ABCD中，AD＝2AB，∴AF＝FD＝CD，∴∠DFC＝∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC＝∠FCB，∴∠DCF＝∠BCF，∴∠DCF＝∠BCD，故①正确；延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A＝∠MDF，∵F为AD中点，∴AF＝FD，在△AEF和△DMF中，，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ECD＝90°，∵FM＝EF，∴FC＝FM，故②正确；③∵EF＝FM，∴S△EFC＝S△CFM，∵MC＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC故S△BEC＝2S△CEF错误，即③错误；④设∠FEC＝x，则∠FCE＝x，∴∠DCF＝∠DFC＝90°﹣x，∴∠EFC＝180°﹣2x，∴∠EFD＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，∵∠AEF＝90°﹣x，∴∠DFE＝3∠AEF，故④正确．故答案为：①②④．14．解：如图，过点C作CK∥AE交AD于K．在平行四边形ABCD中，AB∥DC，∴∠BAD+∠ADC＝180°．AB＝CD＝6，∵AE，DF分别是∠BAD，∠ADC的平分线，∴∠DAE＝∠BAE＝∠BAD，∠ADF＝∠CDF＝∠ADC．∴∠DAE+∠ADF＝∠BAD+∠ADC＝90°．∴∠AGD＝90°．∵AK∥EC，AE∥CK，∴四边形AECK是平行四边形，∠AGD＝∠KID＝90°，∴AE＝CK＝4，∵∠KDI+∠DKI＝90°，∠CDI+∠DCI＝90°，∠IDK＝∠IDC，∴∠DKI＝∠DCI，∴DK＝DC，∴KI＝CI＝2，∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC＝∠CDF，∴CF＝CD，∵CI⊥DF，∴FI＝DI，∵DI＝＝＝4，∴DF＝2DI＝8，∴故答案为8．15．解：①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，OB＝OD，OA＝OC，∵BF＝DE，∴BF﹣OB＝DE﹣OD，即OF＝OE，∴四边形AECF是平行四边形；③∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，∵∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴BE＝DF，∵AO＝CO，BO＝DO，∴OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形；④∵AF∥CE，∴∠AFB＝∠CED，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（AAS），∴BF＝DE，∴BF﹣OB＝DE﹣OD，即OF＝OE，又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形；②∵AE＝CF，不能判定△ABE≌△CDF，∴不能判定四边形AECF是平行四边形；∴一定能判定四边形AECF是平行四边形的是①③④，故答案为：①③④．16．解：根据题意有AP＝tcm，CQ＝2tcm，PD＝（12﹣t）cm，BQ＝（15﹣2t）cm．①∵AD∥BC，∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形．∴t＝15﹣2t，解得t＝5．∴t＝5s时四边形APQB是平行四边形；②AP＝tcm，CQ＝2tcm，∵AD＝12cm，BC＝15cm，∴PD＝AD﹣AP＝（12﹣t）cm，∵AD∥BC，∴当PD＝QC时，四边形PDCQ是平行四边形．即：12﹣t＝2t，解得t＝4s，∴当t＝4s时，四边形PDCQ是平行四边形．综上所述，当P，Q同时出发4或5秒后其中一个新四边形为平行四边形．故答案是：4或5．三．解答题17．（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBE，∵DE∥AB，∴∠ABD＝∠BDE，∴∠DBE＝∠BDE，∴BE＝DE；∵BE＝AF，∴AF＝DE；∴四边形ADEF是平行四边形；（2）解：过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，∵∠ABC＝60°，BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠EBD＝30°，∴DG＝BD＝×4＝2，∵BE＝DE，∴BH＝DH＝2，设HE＝x，则BE＝2x，（2x）2﹣x2＝22，解得x＝，∴BE＝2x＝，∴DE＝，∴四边形ADEF的面积为：DE•DG＝．18．证明：∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠BAC，∵DF∥BE，∴∠DF A＝∠BEC，∴∠AEB＝∠DFC，在△AEB和△CFD中，∴△AEB≌△CFD（ASA），∴AB＝CD，∵AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形．19．（1）证明：∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）；（2）证明：由（1）得：△ABC≌△DEF，∴∠B＝∠DEF，∴AB∥DE，又∵AB＝DE，∴四边形ABED是平行四边形．20．（1）证明：∵∠A＝∠ABC＝90°，∴BC∥AD，∴∠CBE＝∠DFE，在△BEC与△FED中，，∴△BEC≌△FED，∴BE＝FE，又∵E是边CD的中点，∴CE＝DE，∴四边形BDFC是平行四边形；（2）①BC＝BD＝3时，由勾股定理得，AB＝＝＝2，所以，四边形BDFC的面积＝3×2＝6；②BC＝CD＝3时，过点C作CG⊥AF于G，则四边形AGCB是矩形，所以，AG＝BC＝3，所以，DG＝AG﹣AD＝3﹣1＝2，由勾股定理得，CG＝＝＝，所以，四边形BDFC的面积＝3×＝3；③BD＝CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC＝2AD＝2，矛盾，此时不成立；综上所述，四边形BDFC的面积是6或3．21．证明：（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AE＝AD，AB＝AC，∠EAD＝∠BAC＝60°，∴∠EAD﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD，即：∠EAB＝∠DAC，∴△ABE≌△ACD（SAS）；（2）证明：∵△ABE≌△ACD，∴BE＝DC，∠EBA＝∠DCA，又∵BF＝DC，∴BE＝BF．∵△ABC是等边三角形，∴∠DCA＝60°，∴△BEF为等边三角形．∴∠EFB＝60°，EF＝BF∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠ABC＝∠EFB，∴EF∥BC，即EF∥DC，∵EF＝BF，BF＝DC，∴EF＝DC，∴四边形EFCD是平行四边形．22．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB，DC∥AB，∴∠ODF＝∠OBE，在△ODF与△OBE中∴△ODF≌△OBE（AAS）∴BO＝DO；（2）解：∵BD⊥AD，∴∠ADB＝90°，∵∠A＝45°，∴∠DBA＝∠A＝45°，∵EF⊥AB，∴∠G＝∠A＝45°，∴△ODG是等腰直角三角形，∵AB∥CD，EF⊥AB，∴DF⊥OG，∴OF＝FG，△DFG是等腰直角三角形，∵△ODF≌△OBE（AAS）∴OE＝OF，∴GF＝OF＝OE，即2FG＝EF，∵△DFG是等腰直角三角形，∴DF＝FG＝1，∴DG＝＝DO，∴在等腰Rt△ADB中，DB＝2DO＝2＝AD ∴AD＝2，。
人教版八年级数学下册单元测试《第18章平行四边形》(b卷)(解析版)
初中数学试卷新人教版八年级下册《第18章平行四边形》单元测试卷（B卷）一、填空题（共14小题，每题2分，共28分）1．如图，平行四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的一点．若再增加一个条件，就可得BE=DF．2．将一矩形纸条，按如图所示折叠，则∠1=度．3．如图，矩形ABCD中，MN∥AD，PQ∥AB，则S1与S2的大小关系是．4．已知平行四边形ABCD的面积为4，O为两条对角线的交点，那么△AOB的面积是．5．菱形的一条对角线长为6cm，面积是6cm2，则菱形的另一条对角线长为cm．6．如果梯形的面积为216cm2，且两底长的比为4：5，高为16cm，那么两底长分别为．7．如图，在菱形ABCD中，已知AB=10，AC=16，那么菱形ABCD的面积为．8．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置．若∠EFB=65°，则∠AED′等于°．9．如图，若将四根木条钉成的矩形木框变成平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的最小内角等于度．10．有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为（2a+b），宽为（a+b）的长方形，则需要A类卡片张，B类卡片张，C类卡片张．11．如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若∠CFE=60°，且DE=1，则边BC的长为．12．如图所示，正方形ABCD的周长为16cm，顺次连接正方形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，则四边形EFGH的周长等于cm，四边形EFGH的面积等于cm2．13．如图，将一块边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E，使DE=5，折痕为PQ，连接AE交PQ于点M，求PM：MQ的值．14．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．观察图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数，请你猜测由里向外第10个正方形（实线）四条边上的整点个数共有个．二、选择题（共4小题，每题3分，共12分）15．已知平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线α的取值范围为（）A．4＜α＜16 B．14＜α＜26C．12＜α＜20 D．以上答案都不正确16．在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列说法不正确的是（）A．AO⊥BO B．∠ABD=∠CBD C．AO=BO D．AD=CD17．已知等腰梯形的两底之差等于腰长，则腰与下底的夹角为（）A．15°B．30°C．45°D．60°18．如图，已知四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减少C．线段EF的长不变D．线段EF的长与点P的位置有关三、解答题（共60分）19．我们学习了四边形和一些特殊的四边形，如图表示了在某种条件下它们之间的关系．如果①，②两个条件分别是：①两组对边分别平行；②有且只有一组对边平行．那么请你对标上的其他6个数字序号写出相对应的条件．20．已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）EB∥DF．21．如图，在梯形纸片ABCD中，AD∥BC，AD＞CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C′处，折痕DE交BC于点E，连接C′E．求证：四边形CDC′E是菱形．22．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F、E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．（1）求证：△BDE≌△CDF；（2）请连接BF，CE，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由．23．如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AED=2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．24．如图，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE=AB，过C作CF⊥DE，垂足为F．（1）猜想：AD与CF的大小关系；（2）请证明上面的结论．25．如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点．（1）证明：四边形EGFH是平行四边形；（2）在（1）的条件下，若EF⊥BC，且EF=BC，证明：平行四边形EGFH是正方形．26．将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF．（1）求证：△ABE≌△AD′F；（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．27．如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE，CG．（1）求证：AE=CG；（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想．28．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．新人教版八年级下册《第18章平行四边形》单元测试卷（B卷）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每题2分，共28分）1．如图，平行四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的一点．若再增加一个条件AE=CF 或BE∥DF，就可得BE=DF．【考点】平行四边形的判定与性质．【专题】开放型．【分析】要使BE=DF，需使四边形EBFD为平行四边形，已有ED∥BF，再加AE=CF，或BE∥DF都可使其为平行四边形．【解答】解：∵BE=DF，DE∥BF∴四边形EBFD为平行四边形故答案为：AE=CF，BE∥DF（即为要增加的条件，任选一个）．【点评】主要考查平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形、两组对边分别平行的四边形是平行四边形．2．将一矩形纸条，按如图所示折叠，则∠1=52度．【考点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】计算题．【分析】根据平行线的性质，折叠变换的性质及邻补角的定义可直接解答．【解答】解：∵该纸条是折叠的，∴∠1的同位角的补角=2×64°=128°；∵矩形的上下对边是平行的，∴∠1=∠1的同位角=180°﹣128°=52°．【点评】本题主要考查平行线的性质：两直线平行，同位角相等；邻补角的定义；折叠变换的性质．3．如图，矩形ABCD中，MN∥AD，PQ∥AB，则S1与S2的大小关系是S1=S2．【考点】矩形的性质．【分析】设AM=y，MK=x，故S1=xy，KN=a，KQ=b，故S2=ab，由勾股定理推得：S2=ab=xy，从而得到S1=S2．【解答】解：设AM=y，MK=x，故S1=xyKN=a，KQ=b，故S2=ab．BD2=AD2+AB2=（x+a）2+（y+b）2DK=，BK=∴（+）2=（x+a）2+（y+b）2化简可得（ab﹣xy）2=0，ab﹣xy=0，故ab=xy．∴S1=S2．【点评】本题考查的是矩形的性质，但需要需注意的是要把等量关系转化求解．本题难度中上．4．已知平行四边形ABCD的面积为4，O为两条对角线的交点，那么△AOB的面积是1．【考点】平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形的对角线互相平分，可推出三角形的中线；三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形．【解答】解：根据平行四边形的对角线性质可知，AO为△ABD的中线，=S△AOB，所以，S△AOD=S△BOC=S△COD，同理可得，S△AOB=S平行四边形ABCD=1．所以，S△AOB【点评】平行四边形的两条对角线交于一点，这个点是平行四边形的中心，也是两条对角线的中点，经过中心的任意一条直线可将平行四边形分成完全重合的两个图形，并且平行四边形被对角线分成的四个小三角形的面积相等．5．菱形的一条对角线长为6cm，面积是6cm2，则菱形的另一条对角线长为2cm．【考点】菱形的性质．【专题】计算题．【分析】根据菱形的面积等于两条对角线的积的一半，即可求得．【解答】解：设菱形的另一条对角线长为xcm，则×6×x=6cm2，∴x=2cm．故答案为：2．【点评】此题主要考查菱形的性质，属于基础题，注意掌握菱形的面积等于两条对角线的积的一半．6．如果梯形的面积为216cm2，且两底长的比为4：5，高为16cm，那么两底长分别为12cm，15cm．【考点】梯形．【分析】设梯形两底分别为4x，5x，利用梯形面积公式求出x的值，即可得两底的长．【解答】解：设梯形的两底分别是4x，5x∴梯形的面积=（4x+5x）×16=216，得x=3∴梯形的两底分别是12，15．【点评】当知道两条线段的比的时候，注意用设未知数方法，根据梯形的面积公式列方程求解．7．如图，在菱形ABCD中，已知AB=10，AC=16，那么菱形ABCD的面积为96．【考点】菱形的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据菱形的性质利用勾股定理求得OB的长，从而得到BD的长，再根据菱形的面积公式即可求得其面积．【解答】解：连接DB，于AC交与O点∵在菱形ABCD中，AB=10，AC=16∴OB===6∴BD=2×6=12∴菱形ABCD的面积=×两条对角线的乘积=×16×12=96．故答案为96．【点评】此题考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用．8．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置．若∠EFB=65°，则∠AED′等于50°．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】首先根据AD∥BC，求出∠FED的度数，然后根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，则可知∠DEF=∠FED′，最后求得∠AED′的大小．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠EFB=∠FED=65°，由折叠的性质知，∠DEF=∠FED′=65°，∴∠AED′=180°﹣2∠FED=50°．故∠AED′等于50°．【点评】此题考查了翻折变换的知识，本题利用了：1、折叠的性质；2、矩形的性质，平行线的性质，平角的概念求解．9．如图，若将四根木条钉成的矩形木框变成平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的最小内角等于30度．【考点】平行四边形的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】要使其面积为矩形面积的一半，平行四边形ABCD的高必须是矩形宽的一半，根据直角三角形中30°的角对的直角边等于斜边的一半可知，这个平行四边形的最小内角等于30度．【解答】解：∵平行四边形的面积为矩形的一半且同底BC，∴平行四边形ABCD的高AE是矩形宽AB的一半．在直角三角形ABE中，AE=AB，∴∠ADC=30°．故答案为：30．【点评】主要考查了平行四边形的面积公式和基本性质．平行四边形的面积等于底乘高．10．有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为（2a+b），宽为（a+b）的长方形，则需要A类卡片2张，B类卡片1张，C类卡片3张．【考点】多项式乘多项式．【专题】计算题．【分析】首先分别计算大矩形和三类卡片的面积，再进一步根据大矩形的面积应等于三类卡片的面积和进行分析所需三类卡片的数量．【解答】解：长为2a+b，宽为a+b的矩形面积为（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，A图形面积为a2，B图形面积为b2，C图形面积为ab，则可知需要A类卡片2张，B类卡片1张，C类卡片3张．故答案为：2；1；3．【点评】此题考查的内容是整式的运算与几何的综合题，方法较新颖．注意对此类问题的深入理解．11．如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若∠CFE=60°，且DE=1，则边BC的长为3．【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】几何图形问题．【分析】根据翻折变换的特点可知．【解答】解：根据翻折变换的特点可知：DE=GE∵∠CFE=60°，∴∠GAE=30°，∴AE=2GE=2DE=2，∴AD=3，∴BC=3．故答案为：3．【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．12．如图所示，正方形ABCD的周长为16cm，顺次连接正方形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，则四边形EFGH的周长等于8cm，四边形EFGH的面积等于8cm2．【考点】正方形的性质；三角形中位线定理．【分析】根据已知可求得ABCD的边长及对角线的长，根据中位线的性质可得到EFGH 的边长，从而可求得其周长及面积．【解答】解：正方形ABCD的周长为16cm，则它的边长为4，对角线是4，顺次连接正方形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，所以利用中线性质可得四边形EFGH的边长为2，所以四边形EFGH的周长等于8．由正方形的定义可知四边形EFGH是正方形，所以面积等于8．故答案为8，8．【点评】此题主要利用正方形的周长公式和面积公式进行计算，中位线性质是本题的关键．13．如图，将一块边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E，使DE=5，折痕为PQ，连接AE交PQ于点M，求PM：MQ的值．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】由于四边形ABCD是正方形，那么∠D=90°，利用勾股定理可求AE，而线段AE 关于PQ对称，于是AE⊥PQ，可证△AMP∽△ADE，利用比例线段可求PM，再利用三角形全等的判定得到△PQM≌△ADE，从而求出PQ=AE=13，继而得到比值．【解答】解：作PN⊥BC交BC于N点，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=90°，又∵AD=12，DE=5，∴AE==13，∵线段AE关于PQ对称，∴AE⊥PQ，∴∠AMP=∠ADE=90°，AM=AE=，又∵∠PAM=∠EAD，∴△AMP∽△ADE，∴PM：DE=AM：AD，∴PM==．∵PQ⊥AE，∴∠DAE+∠APQ=90°，又∠DAE+∠AED=90°，∴∠AED=∠APQ，∵AD∥BC，∴∠APQ=∠PQN，则∠PQN=∠APQ=∠AED，∠D=∠PNQ，PN=AD∴△PQN≌△ADE，∴PQ=AE=13，∴PM：MQ=【点评】所求线段应进行平移，构造相应的全等三角形求解．14．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．观察图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数，请你猜测由里向外第10个正方形（实线）四条边上的整点个数共有40个．【考点】坐标与图形性质；正方形的性质．【专题】规律型．【分析】可以发现第n个正方形的整数点有4n个点，故第10个有40个整数点．【解答】解：第一个正方形有4×1=4个整数点；第2个正方形有4×2=8个整数点；第3个正方形有4×3=12个整数点；…∴第10个正方形有4×10=40个整数点．故答案为：40．【点评】此题考查点的坐标规律、正方形各边相等的性质，解决本题的关键是观察分析，得到规律，这是中考的常见题型．二、选择题（共4小题，每题3分，共12分）15．已知平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线α的取值范围为（）A．4＜α＜16 B．14＜α＜26C．12＜α＜20 D．以上答案都不正确【考点】平行四边形的性质；三角形三边关系．【分析】因为平行四边形的对角线互相平分，根据三角形三边之间的关系，可先求得另一对角线的一半的取值为大于7而小于13，则它的另一条对角线α的取值范围为14＜α＜26．【解答】解：如图，已知平行四边形中，AB=10，AC=6，求BD的取值范围，即a的取值范围．∵平行四边形ABCD∴a=2OB，AC=2OA=6∴OB=α，OA=3∴在△AOB中：AB﹣OA＜OB＜AB+OA即：14＜α＜26故选B．【点评】此题主要考查平行四边形的性质和三角形三边之间的关系．16．在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列说法不正确的是（）A．AO⊥BO B．∠ABD=∠CBD C．AO=BO D．AD=CD【考点】菱形的性质．【分析】根据菱形的对角线垂直、平分且平分每一组对角的性质对各个选项进行验证．【解答】解：A、正确，菱形的对角线互相垂直平分；B、正确，一条对角线平分一组对角；C、不正确，菱形的对角线不相等；D、正确，菱形的四边均相等；故选C．【点评】此题主要考查菱形的基本性质：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角．17．已知等腰梯形的两底之差等于腰长，则腰与下底的夹角为（）A．15°B．30°C．45°D．60°【考点】等腰梯形的性质．【分析】过点D作DE∥BC，可知△ADE是等边三角形，从而得到∠C=60°．【解答】解：如图，过点D作DE∥BC，交AB于点E．∴DE=CB=AD，∵AD=AE，∴△ADE是等边三角形，所以∠A=60°．故选：D．【点评】此题考查等腰梯形的性质及梯形中常见的辅助线的作法．18．如图，已知四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减少C．线段EF的长不变D．线段EF的长与点P的位置有关【考点】三角形中位线定理．【专题】压轴题．【分析】因为AR的长度不变，根据中位线定理可知，线段EF的长不变．【解答】解：因为AR的长度不变，根据中位线定理可知，EF平行与AR，且等于AR的一半．所以当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，线段EF的长不变．故选C．【点评】主要考查中位线定理．在解决与中位线定理有关的动点问题时，只要中位线所对应的底边不变，则中位线的长度也不变．三、解答题（共60分）19．我们学习了四边形和一些特殊的四边形，如图表示了在某种条件下它们之间的关系．如果①，②两个条件分别是：①两组对边分别平行；②有且只有一组对边平行．那么请你对标上的其他6个数字序号写出相对应的条件．【考点】矩形的判定；菱形的判定；正方形的判定；梯形．【专题】阅读型．【分析】根据图中图形各四边形的不同的定义和性质进行解答即可．【解答】解：③﹣﹣相邻两边垂直；④﹣﹣相邻两边相等；⑤﹣﹣相邻两边相等；⑥﹣﹣相邻两边垂直；⑦﹣﹣两腰相等；⑧﹣﹣一条腰垂直于底边．【点评】本题考查菱形、矩形、正方形和梯形等的判定区别．20．已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）EB∥DF．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题；压轴题．【分析】要证△ADF≌△CBE，因为AE=CF，则两边同时加上EF，得到AF=CE，又因为ABCD是平行四边形，得出AD=CB，∠DAF=∠BCE，从而根据SAS推出两三角形全等，由全等可得到∠DFA=∠BEC，所以得到DF∥EB．【解答】证明：（1）∵AE=CF，∴AE+EF=CF+FE，即AF=CE．又ABCD是平行四边形，∴AD=CB，AD∥BC．∴∠DAF=∠BCE．在△ADF与△CBE中，∴△ADF≌△CBE（SAS）．（2）∵△ADF≌△CBE，∴∠DFA=∠BEC．∴DF∥EB．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．21．如图，在梯形纸片ABCD中，AD∥BC，AD＞CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C′处，折痕DE交BC于点E，连接C′E．求证：四边形CDC′E是菱形．【考点】菱形的判定．【专题】证明题．【分析】根据题意可知△CDE≌△C′DE，则CD=C′D，CE=C′E，要证四边形CDC′E为菱形，证明CD=CE即可．【解答】证明：根据题意可知△CDE≌△C′DE，则CD=C′D，∠C′DE=∠CDE，CE=C′E，∵AD∥BC，∴∠C′DE=∠CED，∴∠CDE=∠CED，∴CD=CE，∴CD=C′D=C′E=CE，∴四边形CDC′E为菱形．【点评】本题利用了：1、全等三角形的性质；2、两直线平行，内错角相等；3、等边对等角；4、菱形的判定．22．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F、E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．（1）求证：△BDE≌△CDF；（2）请连接BF，CE，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由．【考点】平行四边形的判定；全等三角形的判定．【专题】证明题；压轴题；探究型．【分析】（1）利用CF∥BE和D是BC边的中点可以得到全等条件证明△BDE≌△CDF；（2）根据（1）的结论和平行四边形的判定容易证明四边形BECF是平行四边形．【解答】（1）证明：∵CF∥BE，∴∠FCD=∠EBD．∵D是BC的中点，∴CD=BD．∵∠FDC=∠EDB，∴△CDF≌△BDE（ASA）．（2）解：四边形BECF是平行四边形．理由：∵△CDF≌△BDE，∴DF=DE，DC=DB．∴四边形BECF是平行四边形．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，要求对这些知识很熟练．23．如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AED=2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．【考点】菱形的判定；平行四边形的性质；正方形的判定．【专题】证明题．【分析】（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形．由题意易得△AOE≌△COE，∴∠AOE=∠COE=90°，∴BE⊥AC，∴四边形ABCD是菱形；（2）根据有一个角是90°的菱形是正方形．由题意易得∠ADO=∠DAE+∠DEA=15°+30°=45°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADC=2∠ADO=90°，∴四边形ABCD是正方形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO．又∵△ACE是等边三角形，∴EO⊥AC（三线合一），即AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO．又∵△ACE是等边三角形，∴EO平分∠AEC（三线合一），∴∠AED=∠AEC=×60°=30°，又∵∠AED=2∠EAD∴∠EAD=15°，∴∠ADO=∠DAE+∠DEA=15°+30°=45°（三角形的一一个外角等于和它外角不相邻的两内角之和），∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADC=2∠ADO=90°，∴平行四边形ABCD是正方形．【点评】此题主要考查菱形和正方形的判定，要灵活应用判定定理及等腰三角形的性质、外角的性质定理．24．如图，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE=AB，过C作CF⊥DE，垂足为F．（1）猜想：AD与CF的大小关系；（2）请证明上面的结论．【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】探究型．【分析】由全等三角形的判定定理直接可证△ADE≌△FCD，即证AD=CF．【解答】解：（1）AD=CF．（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AE，AB=CD，∴∠AED=∠FDC，∵DE=AB，∴DE=AB=CD．（3分）又∵CF⊥DE，∴∠CFD=∠A=90°．（4分）∴△ADE≌△FCD（AAS）．∴AD=CF．（6分）【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．25．如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点．（1）证明：四边形EGFH是平行四边形；（2）在（1）的条件下，若EF⊥BC，且EF=BC，证明：平行四边形EGFH是正方形．【考点】正方形的判定；三角形中位线定理；平行四边形的判定．【专题】证明题．【分析】通过中位线定理得出GF∥EH且GF=EH，所以四边形EGFH是平行四边形；当添加了条件EF⊥BC，且EF=BC后，通过对角线相等且互相垂直平分（EF⊥GH，且EF=GH）就可证明是正方形．【解答】证明：（1）∵G，F分别是BE，BC的中点，∴GF∥EC且GF=EC．又∵H是EC的中点，EH=EC，∴GF∥EH且GF=EH．∴四边形EGFH是平行四边形．（2）连接GH，EF．∵G，H分别是BE，EC的中点，∴GH∥BC且GH=BC．又∵EF⊥BC且EF=BC，又∵EF⊥BC，GH是三角形EBC的中位线，∴GH∥BC，∴EF⊥GH，又∵EF=GH．∴平行四边形EGFH是正方形．【点评】主要考查了平行四边形的判定和正方形的性质．正方形对角线的特点是：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角．26．将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF．（1）求证：△ABE≌△AD′F；（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．【考点】全等三角形的判定；菱形的判定．【专题】几何综合题．【分析】（1）根据平行四边形的性质及折叠的性质我们可以得到∠B=∠D′，AB=AD′，∠1=∠3，从而利用ASA判定△ABE≌△AD′F；（2）四边形AECF是菱形，我们可以运用菱形的判定，有一组邻边相等的平行四边形是菱形来进行验证．【解答】（1）证明：由折叠可知：∠D=∠D′，CD=AD′，∠C=∠D′AE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，AB=CD，∠C=∠BAD．∴∠B=∠D′，AB=AD′，∠D′AE=∠BAD，即∠1+∠2=∠2+∠3．∴∠1=∠3．在△ABE和△AD′F中∵∴△ABE≌△AD′F（ASA）．（2）解：四边形AECF是菱形．证明：由折叠可知：AE=EC，∠4=∠5．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠5=∠6．∴∠4=∠6．∴AF=AE．∵AE=EC，∴AF=EC．又∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形．又∵AF=AE，∴平行四边形AECF是菱形．【点评】此题考查了全等三角形的判定及菱形的判定方法，做题时要求学生对常用的知识点牢固掌握．27．如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE，CG．（1）求证：AE=CG；（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想．【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】几何综合题．【分析】可以把结论涉及的线段放到△ADE和△CDG中，考虑证明全等的条件，又有两个正方形，∴AD=CD，DE=DG，它们的夹角都是∠ADG加上直角，故夹角相等，可以证明全等；再利用互余关系可以证明AE⊥CG．【解答】（1）证明：如图，∵AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90°，又∵∠CDG=90°+∠ADG=∠ADE，∴△ADE≌△CDG（SAS）．∴AE=CG．（2）猜想：AE⊥CG．证明：如图，设AE与CG交点为M，AD与CG交点为N．∵△ADE≌△CDG，∴∠DAE=∠DCG．又∵∠ANM=∠CND，∴△AMN∽△CDN．∴∠AMN=∠ADC=90°．∴AE⊥CG．【点评】本题可围绕结论寻找全等三角形，根据正方形的性质找全等的条件，运用全等三角形的性质判定线段相等，垂直关系．28．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．【考点】矩形的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质；正方形的判定．【专题】证明题；开放型．【分析】（1）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知CE⊥AN，AD⊥BC，所以求证∠DAE=90°，可以证明四边形ADCE为矩形．（2）根据正方形的判定，我们可以假设当AD=BC，由已知可得，DC=BC，由（1）的结论可知四边形ADCE为矩形，所以证得，四边形ADCE为正方形．【解答】（1）证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠DAC，∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=∠CAE，∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=180°=90°，又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC=∠CEA=90°，∴四边形ADCE为矩形．（2）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．理由：∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=45°，∵AD⊥BC，∴∠CAD=∠ACD=45°，∴DC=AD，∵四边形ADCE为矩形，∴矩形ADCE是正方形．∴当∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．【点评】本题是以开放型试题，主要考查了对矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的性质等知识点的综合运用．——————————唐玲制作仅供学习交流——————————唐玲。
2021年人教版数学八年级下册18.2.3 《正方形》同步练习(含答案)
人教版数学八年级下册18.2.3 《正方形》同步练习一、选择题1.菱形、矩形、正方形都具有的性质是（）A.对角线相等B.对角线互相垂直C.对角线互相平分D.对角线平分一组对角2.如图是一张矩形纸片ABCD，AD=10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE=6cm，则CD=( )A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm3.如图,将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形.若拿掉边长为2b的小正方形后,再将剩下的三块拼成一块矩形,则这块矩形较长的边长为 ( )A.3a+2bB.3a+4bC.6a+2bD.6a+4b4.下列说法中，错误的是（）A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B．两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形C．四个角都相等的四边形是矩形D．邻边相等的菱形是正方形5.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC；②∠ABC=90°；③AC=BD；④AC⊥BD.四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）A.选①②B.选②③C.选①③D.选②④6.如图，四边形ABCD，AEFG都是正方形，点E，G分别在AB，AD上，连接FC，过点E作EH∥FC交BC于点H.若AB=4，AE=1，则BH的长为( )A.1；B.2；C.3；D.；7.正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕C点顺时针方向旋转90°后，A点的坐标为（）A.（，0）B.（0，7）C.（，1）D.（7，0）8.如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边△CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD度数是（）A.75°B.60°C.54°D.67.5°9.顶点为A（6，6），B（－4，3），C（－1，－7），D（9，－4）的正方形在第一象限的面积是（）A.25B.36C.49D.3010.如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一点P，使PC＋PE的和最小，则这个最小值为（）A.4B.2C.2D.2二、填空题11.若正方形的面积是9，则它的对角线长是 .12.已知正方形ABCD在直角坐标系内，点A（0，1），点B（0，0），则点C，D坐标分别为和 .（只写一组）13.如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠AED等于度．14.如图所示，正方形ABCD的周长为8cm，顺次连结正方形ABCD各边的中点，得到正方形EFGH，则EFGH的周长等于_____cm，面积等于______cm2．15.如图，已知正方形ABCD，点E在边DC上，DE=4，EC=2，则AE的长为．三、解答题16.如图，已知在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD的延长线上，且BE=DF．（1）求∠AEF的度数；（2）如果∠AEB=75°，AB=2，求△FEC的面积．17.如图，已知点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF.求证：DE=BF.18.如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，EM⊥BC，EN⊥CD垂足分别是求M、N（1）求证：AE=MN；（2）若AE=2，∠DAE=30°，求正方形的边长．19.如图,在正方形ABCD中,BC=2,E是对角线BD上的一点,且BE=AB.求△EBC的面积．20.如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）证明：∠BAE=∠FEC；（2）证明：△AGE≌△ECF；（3）求△AEF的面积．参考答案1.C2.A3.A4.D5.B6.C；7.D8.B9.B10.A11.答案为：312.答案为：（1，0）和（1，1）；13.答案为：6514.答案为：；215.答案为．16.17.证明：∵∠FAB＋∠BAE=90°，∠DAE＋∠BAE=90°，∴∠FAB=∠DAE，∵∠AB=AD，∠ABF=∠ADE，∴△AFB≌△ADE，∴DE=BF.18.（1）证明：连接EC．∵四边形ABCD是正方形，EM⊥BC，EN⊥CD，∴∠NCM=∠CME=∠CNE=90°，∴四边形EMCN为矩形．∴MN=CE．又∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ABE=∠CBE．在△ABE和△CBE中∵，∴△ABE≌△CBE（SAS）．∴AE=EC．∴AE=MN．（2）解：过点E作EF⊥AD于点F，∵AE=2，∠DAE=30°，∴EF=AE=1，AF=AE•cos30°=2×=．∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠EDF=45°，∴DF=EF=1，∴AD=AF+DF=+1，即正方形的边长为+1．19.解：作EF⊥BC于F，如图所示：则∠EFB=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=2，∠DAB=∠ABC=90°，∴∠ABD=∠DBC=0.5∠ABC=45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF=BF，∵BE=AB，∴BE=BC=2，∴EF=BF=BE=，∴△EBC的面积=0.5BC•EF=0.5×2×=．20.解：。
2022-2023学年度冀教版八年级数学下册18
18.2抽样调查课后练习一、单选题1、为了了解某县初二28000名学生的数学学习情况，全县组织了一次数学检测，从中抽取500名考生的成绩进行统计分析，以下说法正确的是（）A．这500名考生是总体的一个样本B．28000名考生的全体是总体C．每位考生的数学成绩是个体D．500名学生是样本容量2、某市有3000名初一学生参加期末考试，为了了解这些学生的数学成绩，从中抽取200名学生的数学成绩进行统计分析．在这个问题中，下列说法：①这3000名初一学生的数学成绩的全体是总体；②每个初一学生的数学成绩是个体；③200名初一学生的数学成绩是总体的一个样本；其中说法正确的是（）A．3个B．2个C．1个D．0个3、下面调查方式中，合适的是（）A．了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择全面调查方式B．神舟十四号飞船发射前的零件检查，选择抽样调查方式C．调查某新型防火材料的防火性能，采用全面调查的方式D．为有效控制“新冠疫情”的传播，对国外入境人员的健康状况，采用全面调查方式4、下列调查中，调查方式选择合理的是（）A．为了了解某一品牌家具的甲醛含量，选择全面调查B．为了了解某公园的游客流量，选择抽样调查C．为了了解神舟飞船的设备零件的质量情况，选择抽样调查D．为了了解一批袋装食品是否有防腐剂，选择全面调查5、为了解某市老人的身体健康状况，需要抽取部分老人进行调查，下列抽取老人的方法最合适的是（）A．随机抽取100位女性老人B．随机抽取100位男性老人C．随机抽取公园内100位老人D．在城市和乡镇各选10个点，每个点任选5位老人6、某市今年共有7万名考生参加中考，为了了解这7万名考生的数学成绩，从中抽取了1000名考生的数学成绩进行统计分析．以下说法正确的有（）个．①这种调查方式是抽样调查；②7万名学生是总体；③每名学生的数学成绩是个体；④1000名学生的数学成绩是总体的一个样本；⑤1000名学生是样本容量．A．1 B．2 C．3 D．47、下列调查中，适合采用全面调查方式的是（）A．市场上某食品防腐剂是否符合国家标准 B．某城市初中每周“诵读经典”时间C．疫情期间对国外入境人员的核酸检测D．对某品牌手机的防水性能的调查8、某校有3000名学生在线观看了“天宫课堂”第二课，并参加了关于“你最喜爱的太空实验”的问卷调查，从中抽取500名学生的调查情况进行统计分析，以下说法错误的是（）A．3000名学生的问卷调查情况是总体B．500名学生的问卷调查情况是样本C．500名学生是样本容量D．每一名学生的问卷调查情况是个体二、填空题1、为了更好地落实双减政策要求，某中学从全校共1300名学生中随机抽取100名学生的每天课外作业负担情况进行调查，此次调查的样本容量是 _____．2、为了调查我市现在中学生的身体状况，从我校抽取100名初二学生测量了他们的体重，其中样本容量是___________3、下列调查中必须用抽样调查方式来收集数据的有________．①检查一大批灯泡的使用寿命；②调查某大城市居民家庭的收入情况；③了解全班同学的身高情况；④了解NBA各球队在2015-2016赛季的比赛结果．4、为了解“双减”后某地区七年级学生每天做家庭作业所用的时间，从该地区七年级学生中抽取1000名学生进行调查．在这个抽样调查中，样本的容量是______．5、对“神舟十三”的零部件检查的调查适合用______（填“普查”或“抽样调查”）．6、想了解班上同学家里在一年内丢弃废塑料袋的个数，你认为可采用________调查合适．7、为了估计某舞蹈队100名学员的体重，从中抽取了10名学员，体重如下（单位:kg）:50，49，49，51，51，48，51，50，48，51.在这次调查中，采用了____________的方式.总体是_____________，个体是______________，样本是________________，估计这100名学员的总体重是______kg.8、每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础，为了解某校800名初一学生的睡眠时间，从中随机抽取50名学生进行调查，这次调查中样本容量为_______．三、解答题1、如果你们学校需要建造新的自行车停车棚，至少需要多大面积？解决这个问题你需要哪些数据？你准备如何收集这些数据？2、为了解全校九年级学生的身高状况，七（1）班的小明、小华、小刚三个同学分别设计了以下三个方案:小明先测量出九（1）班每个同学的身高，再计算全班同学身高的平均值，这个平均值即为全校九年级学生的平均身高;小华:到学校医务室取来全校同学2017年的体检表，从中摘录现在的九年级全体同学的身高情况并计算平均值;小刚:在全校九年级的各班中，从学号为5的倍数的同学中抽取了10名同学，测量他们的身高并计算平均值，这个平均值即为全校九年级学生的平均身高.请问:这三种调查方案中，哪种方案较好？为什么？3、学校广播站于新学期开始播音，为了了解同学们是否喜欢已播出的节目，站长对全校1600名同学进行了抽样调查．他采取的方法是利用上学和放学时间，连续一周到校门口随机对本校同学进行询问，共搜集了100份调查问卷．这是简单随机抽样吗？所得结果适用于全校同学吗？适用于全校师生吗？如果不适用，你有什么改进意见？4、调查作业：了解你所在学校学生家庭的教育消费情况．小华、小娜和小阳三位同学在同一所学校上学，该学校共有3个年级，每个年级有4个班，每个班的人数在20~30之间．为了了解该校学生家庭的教育消费情况，他们各自设计了如下的调查方案：小华：我准备给全校每个班都发一份问卷，由班长填写完成．小娜：我准备把问卷发送到随机抽取的某个班的家长微信群里，通过网络提交完成．小阳：我准备给每个班学号分别为1，5，10，15，20的同学各发一份问卷，填写完成．根据以上材料回答问题：小华、小娜和小阳三人中，哪一位同学的调查方案能较好的获得该校学生家庭的教育消费情况，并简要说明其他两位同学调查方案的不足之处．5、学校需要了解有多少学生已经患上近视，下面哪些抽样方式是合适的？说明你的理由．（1）在学校门口通过观察统计有多少学生佩戴眼镜；（2）在低年级学生中随机抽取一个班进行调查；（3）从每个年级的每个班级都随机抽取几个学生进行调查．。
人教版八年级下册数学 18.2.1 矩形 同步测试题(含答案)
18.2.1 矩形同步测试题1.如图,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它变为矩形,需要添加的条件是( )A.AB=CDB.AD=BCC.∠AOB=45°D.∠ABC=90°2.如图,小贤为了体验四边形的不稳定性,将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD,B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定,然后向右扭动框架,观察所得四边形的变化,下列判断错误的是( )A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形B.BD的长度增大C.四边形ABCD的面积不变D.四边形ABCD的周长不变3.如图,在矩形ABCD中(AD>AB),点E是BC上一点,且DE=DA,AF⊥DE,垂足为点F,在下列结论中,不一定正确的是( )A.△AFD≌△DCEB.AF=ADC.AB=AFD.BE=AD-DF4.如图,点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点,且AD=DE,连接BE交CD于点O,连接AO,下列结论中不正确的是( )A.△AOB≌△BOCB.△BOC≌△EODC.△AOD≌△EODD.△AOD≌△BOC5.如图,在矩形ABCD中,AB=3,将△ABD沿对角线BD折叠,得到△EBD,DE与BC 交于点F,∠ADB=30°,则EF=( )A. B.2 C.3 D.36.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,以下说法错误的是( )A.∠ABC=90°B.AC=BDC.OA=OBD.OA=AD7.(2016·菏泽)在▱ABCD中,AB=3,BC=4,连接AC,BD,当▱ABCD的面积最大时,下列结论正确的有( )①AC=5;②∠BAD+∠BCD=180°;③AC⊥BD;④AC=BD.A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④8.如图,P是矩形ABCD的对角线AC的中点,E是AD的中点.若AB=6,AD=8,则四边形ABPE的周长为( )A.14B.16C.17D.189.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D,E分别为AC,AB边的中点,连接DE,CE.则下列结论中不一定正确的是( )A.ED∥BCB.ED⊥ACC.∠ACE=∠BCED.AE=CE10.如图,在矩形ABCD中,O为AC的中点,EF过O点且EF⊥AC分别交DC,AB于点F,E,点G是AE的中点,且∠AOG=30°,则下列结论正确的有( )①DC=3OG;②OG=BC;③△OGE是等边三角形;④S△AOE=S矩形ABCD.A.1个B.2个C.3个D.4个11.图,AB=6,O是AB的中点,直线l经过点O,∠1=120°,P是直线l上一点,当△APB 为直角三角时,AP= .12.如图,在矩形ABCD中,AC与BD交于点O,BE⊥AC,CF⊥BD,垂足分别为E,F.求证:BE=CF.13.如图,AC为矩形ABCD的对角线,将边AB沿AE折叠,使点B落在AC上的点M处,将边CD沿CF折叠,使点D落在AC上的点N处.(1)求证:四边形AECF是平行四边形;(2)若AB=6,AC=10,求四边形AECF的面积.14.如图所示,以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形,即△ABD,△BCE,△ACF,连接DE,EF.请回答下列问题:(1)四边形ADEF是什么四边形?并说明理由.(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是矩形?15.如图,在矩形ABCD中,AB=12 cm,BC=6 cm,点P沿AB边从点A开始向点B 以2 cm/s的速度移动,点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动,如果P,Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6).(1)当t为何值时,△QAP为等腰三角形?(2)求四边形QAPC的面积,并探索一个与计算结果有关的结论.参考答案1.【答案】D解：因为四边形ABCD的对角线互相平分,所以四边形ABCD为平行四边形,A,B 两选项为平行四边形具有的性质,C选项添加后也不一定是矩形,根据矩形的定义知D可以.故选D.2.【答案】C3.【答案】B4.【答案】A解：∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,∠ADO=∠EDO=∠C=90°.∵AD=DE,∴BC=DE.在△BOC与△EOD中,∠BOC=∠DOE,∠C=∠EDO=90°,BC=DE,∴△BOC≌△EOD.故B选项正确.在△AOD和△EOD中,AD=DE,∠ADO=∠EDO=90°,OD=OD,∴△AOD≌△EOD.故C选项正确.由B,C知△AOD≌△BOC,故D选项正确.而A选项中两三角形明显不全等.5.【答案】A6.【答案】D7.【答案】B解：当▱ABCD的面积最大时,四边形ABCD为矩形,得出∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°,AC=BD,根据勾股定理求出AC,即可得出结论.8.【答案】D 9.【答案】C10.【答案】C解：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OG=AG=GE=AE,再根据等边对等角可得∠OAG=30°,根据直角三角形两锐角互余求出∠GEO=60°,从而判断出△OGE是等边三角形,判断出③正确;设AE=2a,则OE=a,利用勾股定理求出AO的长,从而得到AC的长,再求出BC的长,然后利用勾股定理求出AB=3a,从而判断出①正确,②错误;再根据三角形的面积公式和矩形的面积公式列式判断出④正确.11.【答案】3或3或3解：当∠APB=90°时,分两种情况讨论.情况一:如图①,∵O为AB中点,∴PO=AB,AO=BO.∴PO=BO.∵∠1=120°,∴∠PBA=30°.∴AP=AB=3;情况二:如图②,∵AO=BO,∠APB=90°,∴PO=BO.∵∠1=120°,∴∠BOP=60°.∴△BOP为等边三角形.∴BP=AB=3.∴AP===3.当∠BAP=90°时,如图③,∵∠1=120°,∴∠AOP=60°,∴∠APO=30°,∴PO=2AO=6.∴AP===3.当∠ABP=90°时,如图④,∵∠1=120°,∴∠BOP=60°,∴∠BPO=30°,∴PO=2BO=6.∴BP===3.∴AP===3.12.证明:∵四边形ABCD为矩形,∴AC=BD.∴BO=CO.∵BE⊥AC于E,CF⊥BD于F,∴∠BEO=∠CFO=90°.又∵∠BOE=∠COF,∴△BOE≌△COF.∴BE=CF.13.(1)证明:由折叠知AM=AB,CN=CD,∠FNC=∠D=90°,∠AME=∠B=90°,∴∠ANF=90°,∠CME=90°.∵四边形ABCD为矩形,∴AB=CD,AD∥BC.∴∠FAN=∠ECM,AM=CN.∴AM-MN=CN-MN,即AN=CM.在△ANF和△CME中,∴△ANF≌△CME(ASA).∴AF=CE.又∵AF∥CE,∴四边形AECF是平行四边形.(2)解:∵AB=6,AC=10,∴BC=8.设CE=x,则EM=BE=8-x,CM=10-6=4. 在Rt△CEM中,(8-x)2+42=x2,解得x=5. ∴四边形AECF的面积为CE·AB=5×6=30.14.解:(1)四边形ADEF是平行四边形.理由:∵△ABD,△BEC都是等边三角形,∴BD=AB,BE=BC,∠DBA=∠EBC=60°.∴∠DBE=60°-∠EBA,∠ABC=60°-∠EBA, ∴∠DBE=∠ABC.∴△DBE≌△ABC.∴DE=AC,又∵△ACF是等边三角形,∴AC=AF.∴DE=AF.同理可得△ABC≌△FEC,∴EF=BA=DA.∵DE=AF,DA=EF,∴四边形ADEF为平行四边形.(2)若四边形ADEF为矩形,则∠DAF=90°,∵∠DAB=∠FAC=60°,∴∠BAC=360°-∠DAB-∠FAC-∠DAF=360°-60°-60°-90°=150°.∴当△ABC满足∠BAC=150°时,四边形ADEF是矩形.15.解:(1)由题意得DQ=t cm,AP=2t cm,∴AQ=(6-t)cm.若△QAP为等腰三角形,则只能是AQ=AP,于是6-t=2t,∴t=2.故当t=2时,△QAP为等腰三角形.(2)S四边形QAPC=S矩形ABCD-S△CDQ-S△BPC=12×6-×12t-×(12-2t)×6=72-6t-36+6t=36(cm2).结论:在点P,Q的移动过程中,四边形QAPC的面积始终不变,为36 cm2.。
2020届人教版八年级数学下册-18.2.1矩形(2)同步练习试题(含解析)
18.2.1矩形（2）同步练习姓名：__________班级：__________学号：__________本节应掌握和应用的知识点１.有一个角是直角的平行四边形是矩形．２.对角线相等的平行四边形是矩形．３.有三个角是直角的四边形是矩形．基础知识和能力拓展训练一、选择题1．下列叙述错误的是（）A. 平行四边形的对角线互相平分B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形C. 矩形的对角线相等D. 对角线相等的四边形是矩形2．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是（）A. AB=CDB. OA=OC，OB=ODC. AC⊥BDD. AB∥CD，AD=BC3．如已知：线段AB，BC，∠ABC = 90°. 求作：矩形ABCD. 以下是甲、乙两同学的作业：对于两人的作业，下列说法正确的是（）A. 两人都对B. 两人都不对C. 甲对，乙不对D. 甲不对，乙对4．矩形ABCD中，E，F，M为AB，BC，CD边上的点，且AB=6，BC=7，AE=3，DM=2，EF⊥FM，则EM的长为（）A. 5B. 52C. 6D. 625．如图，E，F分别是矩形ABCD边AD、BC上的点，且△ABG，△DCH的面积分别为15和20，则图中阴影部分的面积为（）A. 15B. 20C. 35D. 406．如图，矩形ABCD中，BC=2AB，对角线相交于O，过C点作CE⊥BD交BD于E点，H为BC 中点，连接AH交BD于G点，交EC的延长线于F点，下列5个结论：①EH=AB；②∠ABG=∠HEC；③△ABG≌△HEC；④S△GAD=S四边形GHCE；⑤CF=BD．正确的有（）个A. 2B. 3C. 4D. 57．如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,E为AB上一点,分别以ED,EC为折痕将两个角(∠A,∠B)向内折起,点A,B恰好落在CD边的点F处.若AD=3,BC=5,则EF的值是 ()A. 15B. 215C. 17D. 2178．如图，E是矩形ABCD中BC边的中点，将△ABE沿AE折叠到△AFE，F在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点，若∠AEB＝55°，则∠DAF＝（）A. 40°B. 35°C. 20°D. 15°9．如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，AB=2，∠ABE=45°，则DE的长为( )A. 2-2B.-1 C.-1 D. 2-10．有一块矩形的牧场如图1，它的周长为700米．将它分隔为六块完全相同的小矩形牧场，如图2，每一块小矩形牧场的周长是（）A. 150米B. 200米C. 300米D. 400米二、填空题11．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，∠ABC＝90°，则四边形ABCD是________；若AC＝5cm，则BD＝________．12．平行四边形ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①∠ABC=90°；②AC⊥BD；③AB=BC；④AC平分∠BAD；⑤AO=DO．使得四边形ABCD是矩形的条件有________13．如图，矩形ABCD中，AB=8cm，BC=3cm，E是DC的中点，BF=12FC，则四边形DBFE的面积为_______ cm2．14．如图，在△ABC，AB=AC，点D为BC的中点，AE是∠BAC外角的平分线，DE//AB交AE 于E，则四边形ADCE的形状是___________.15．已知：如图，矩形ABCD中，E，F是CD的两个点，EG⊥AC，FH⊥AC，垂足分别为G，H，若AD=2，DE=1，CF=2，且AG=CH，则EG+FH=_____．16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则△AEF的周长为________cm．三、解答题17．如图，Rt△ABE与Rt△DCF关于直线m对称，已知∠B=90°，∠C=90°，连接EF，AD，点B，E，F，C在同一条直线上．求证：四边形ABCD是矩形．18．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD为BC边上的高，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AC，AE与DE交于点E，AB与DE交于点F，连结BE．求四边形AEBD的面积19．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF. （1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF＝6，BF＝8，DF＝10，求证：AF是∠DAB的平分线．20．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F．⑴求证：ΔABF≌ΔEDF；⑵将折叠的图形恢复原状，点F与BC边上的点G正好重合，连接DG，若AB=6，BC=8，求DG的长.21．如图，在▱ABCD中，各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．（1）求证：△ABG≌△CDE；（2）猜一猜：四边形EFGH是什么样的特殊四边形？证明你的猜想；（3）若AB=6，BC=4，∠DAB=60°，求四边形EFGH的面积．22．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）若CE=8，CF=6，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．参考答案1．D【解析】A. 平行四边形的对角线互相平分，正确，不符合题意；B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，不符合题意；C. 矩形的对角线相等，正确，不符合题意；D. 对角线相等的四边形是矩形，也可能是等腰梯形，也可能是一般四边形，故错误，符合题意，故选D.2．B【解析】解：A．由AB=DC，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；B．∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．故正确；C．由AC⊥BD，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形，故错误．D．由AB∥CD，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形，故错误．故选B．点睛：本题考查矩形的判定方法、熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键，记住对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是90度的平行四边形是矩形，有三个角是90度的四边形是矩形，属于中考常考题型．3．A【解析】由甲同学的作业可知，CD=AB，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC=90°，∴▱ABCD是矩形．所以甲的作业正确；由乙同学的作业可知，CM=AM，MD=MB，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC=90°，∴▱ABCD是矩形．所以乙的作业正确；故选A．4．B【解析】过E作EG⊥CD于G，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°，又∵EG ⊥CD ，∴∠EGD=90°，∴四边形AEGD 是矩形，∴AE=DG ，EG=AD ，∴EG=AD=BC=7，MG=DG −DM=3−2=1，∵EF ⊥FM ，∴△EFM 为直角三角形，∴在Rt △EGM 中,故选B.点睛：本题考查了矩形的判定、勾股定理等知识，过E 作EG ⊥CD 于G ，利用矩形的判定可得，四边形AEGD 是矩形，则AE=DG ，EG=AD ，于是可求MG=DG-DM=1，在Rt △EMG 中，利用勾股定理可求EM ．5．C【解析】试题解析：连接EF ，由图可知AFE EBA S S =V V ，那么AFE AGE EBA AGE S S S S -=-V V V V ， 所以ABG EFG S S =V V ，同理， CDH EFH S S =V V ，则=152035EFG EFH S S S +=+=V V 阴影, 故本题应选C.6．B【解析】试题解析：由图可知， 12EH BC =，因为12AB BC = ,所以EH AB = ,故①正确；因为EH HC = ,所以HEC HCE ∠=∠ ,由于90HCE EBC ∠+∠=︒ ， 90EBC ABG ∠+∠=︒ ，所以ABG HCE ∠=∠ ,则ABG HEC ∠=∠ ,故②正确； 在△ABG 与△HEC 中， 45BAG DHC EHC ∠=∠=︒<∠ ，从而两三角形不全等，故③错误；过点A 作AM ⊥BG 于点M ，由图可知2ABG BGH S S =V V ，而12AMG ABG S S ≠V V ，即 AMG BGH S S ≠V V ，则GAD GHCE S S ≠V 四边形 ，故④错误；因为90F EGH ∠+∠=︒ ， 45EGH GBH ∠=∠+︒ ， GBH DAC ∠=∠，所以 45F DAC ∠+∠=︒ ，又因为45DAC CAF ∠+∠=︒ ，所以F CAF ∠=∠ ，则 CF BD =，故⑤正确.综上所述，正确的结论有3个，故选B.点睛：矩形的对角线相等且相互平分.7．A【解析】先根据折叠的性质得EA =EF ,BE =EF ,DF =AD =3,CF =CB =5,则AB =2EF ,DC =8,再作DH ⊥BC 于H ,因为AD ∥BC , ∠B =90°,则可判定四边形ABHD 为矩形,所以DH =AB =2EF ,HC =BC －AD =2,然后在Rt △DHC 中,利用勾股定理计算出DH =所以EF 8．C【解析】∵△ABE沿AE折叠到△AEF，∴∠BAE=∠FAE，∵∠AEB=55°，∠ABE=90°，∴∠BAE=90°−55°=35°，∴∠DAF=∠BAD−∠BAE−∠FAE=90°−35°−35°=20°，故答案为：20°，故选C.9．A【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠DEC=∠BCE.∵EC平分∠DEB，∴∠DEC=∠BEC.∴∠BEC=∠ECB.∴BE=BC.∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°.∵∠ABE=45°，∴∠ABE=AEB=45°.∴AB=AE=2.∵由勾股定理得：BE==，∴BC=BE=.∴DE=AD-AE=BC-AB=-2故选：A.点睛：本题考查了矩形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理的应用等知识；要学会添加常用的辅助线，构造特殊三角形来解决问题.熟练掌握矩形的性质、等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键.10．C【解析】试题分析：根据题意设小长方形的长为x，宽为y，则可知2（2x+3y）=700，且2y+x=2x，解得y=50，x=100，所以小长方形的周长为300米.故选：C.11．矩形 5cm【解析】试题解析：∵AO＝OC，BO＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形.∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形。
北师大二附中汇才国际学校八年级数学下册第十八章《平行四边形》基础练习(含解析)
一、选择题1．下列命题中，其逆命题是真命题的有（ ）个①全等三角形的对应角相等，② 两直线平行，同位角相等，③等腰三角形的两个底角相等，④正方形的四个角相等．A ．1B ．2C ．3D ．4 2．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在对角线BD 上，且∠BAE ＝22.5°，EF ⊥AB ，垂足为F ，则EF 的长为（ ）A ．4﹣22B ．32﹣4C ．1D ．23．如图，在等腰直角ABC 中，AB BC =，点D 是ABC 内部一点， DE BC ⊥，DF AB ⊥，垂足分别为E ，F ，若3CE DE =， 53DF AF =， 2.5DE =，则AF =（ ）A ．8B ．10C ．12.5D ．154．如图，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，已知6AD =（正方形的四条边都相等，四个内角都是直角），2DF =．则AEF 的面积AEF S =（ ）A ．6B ．12C ．15D ．305．在ABCD 中AB BC ≠．F 是BC 上一点，AE 平分FAD ∠，且E 是CD 的中点，则下列结论：①AB BF =；②AF CF CD =+；③AF CF AD =+；④AE EF ⊥，其中正确的是（ ）A ．①②B ．②④C ．③④D ．①②④ 6．下列说法正确的是（ ）A ．有一个角是直角的平行四边形是正方形B ．对角线互相垂直的矩形是正方形C ．有一组邻边相等的菱形是正方形D ．各边都相等的四边形是正方形 7．如果平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，那么在下列条件中，能判断平行四边形ABCD 为菱形的是（ ）A ．OAB OBA ∠=∠；B ．OAB OBC ∠=∠； C ．OAB OCD ∠=∠； D ．OAB OAD ∠=∠．8．如图，在ABC 中，90A ∠=，D 是AB 的中点，过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E ，作BC 的垂线交BC 于点F ，若AB CE =，且DFE △的面积为1，则BC 的长为（ ）A ．25B ．5C ．45D ．109．如图，已知ABC ∆的面积为24,点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4,BC CF =四边形DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．6B ．8C ．3D ．410．在菱形ABCD 中，∠ABC=60゜，AC=4，则BD=( )A ．3B ．23C ．33D ．43 11．下列命题中，正确的命题是（ ）A ．菱形的对角线互相平分且相等B ．顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是矩形C ．矩形的对角线互相垂直平分D ．顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是正方形12．如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若△EDF 是等腰三角形，则∠BDC （ ）A ．45ºB ．60ºC ．67.5ºD ．75º13．如图，Rt Rt ABC BAD △≌△，BC 、AD 交于点E ，M 为斜边的中点，若CMD α∠=，AEB β∠=．则α和β之间的数量关系为（ ）A ．2180βα-=︒B ．60βα-=︒C ．180αβ+=︒D ．2βα=14．如图，已知平行四边形ABCD 中，4B A ∠=∠，则C ∠=（ ）A ．18°B ．36°C ．72°D ．144° 15．矩形不一定具有的性质是（ ） A ．对角线互相平分 B ．是轴对称图形 C ．对角线相等 D ．对角线互相垂直参考答案二、填空题16．如图，在矩形ABCD 中，连接AC ，按以下步骤作图：分别以点A ，C 为圆心，以大于12AC 的长为半径作弧，两弧分别相交于点M ，N ，作直线MN 交BC 于点E ，连接AE ．若AB ＝1，BC ＝2，则BE ＝_____．17．在正方形ABCD 中，点E 在对角线BD 上，点P 在正方形的边上，若∠AEB=105°，AE=EP ，则∠AEP 的度数为_________．18．在Rt ABC 中，∠C ＝90°，点D 是AB 边的中点，若AB ＝8，则CD ＝______． 19．如图，在长方形纸片ABCD 中，12AB =，5BC =，点E 在AB 上，将DAE △沿DE 折叠，使点A 落在对角线BD 上的点A '处，则AE 的长为______．20．生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状，折叠过程如图所示（阴影部分表示纸条的反面）：已知由信纸折成的长方形纸条（图①）长为25cm ，宽为cm x .如果能折成图④的形状，且为了美观，纸条两端超出点P 的长度相等，即最终图形是轴对称图形，则在开始折叠时起点M 与点A 的距离（用x 表示）为______cm ．21．在平面直角坐标系xOy 中，OABC 的三个顶点的坐标分别为()()()0,0,3,0,4,3O A B ，则其第四个顶点C 的坐标为______．22．如图，矩形纸片ABCD 的长AD ＝6cm ，宽AB ＝2cm ，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长______cm ．23．如图，在平行四边形ABCD 中，过点C 的直线CE ⊥AB ，垂足为E ，若∠BAD =127°，则∠BCE =____．24．在△ABC 中， AD 是BC 边上的高线，CE 是AB 边上的中线，CD =AE ，且CE <AC ．若AD =6，AB =10，则CE =___________25．如图，将两个边长为1的小正方形，沿对角线剪开，重新拼成一个大正方形，则大正方形的边长是______．26．如图（1）所示为长方形纸带，将纸带沿EF 折叠成图（2），再沿BF 折叠成图（3），继续沿EF 折叠成图（4），按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住EFG ；整个过程共折叠了8次，问图（1）中DEF ∠的度数是_________．三、解答题27．如图，BD 为ABC 的角平分线，E 为AB 上一点，BE BC =，连结DE ． （1）求证：BDC BDE ≅△△；（2）若7AB =，2CD =，90︒∠=C ，求ABD △的面积．28．如图，矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，E ，F 分别是AD 和AB 上的点，2AE =，F 是AB 的中点，请使用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．（1）在图1中，作一个以EF 为直角边的直角三角形；（2）在图2中，作一个以EF 为边的平行四边形．29．如图，在四边形ABCD 中，BD 为一条对角线，//AD BC ，2AD BC =，90ABD ∠=︒，E 为AD 的中点，连接BE ．（1）求证：四边形BCDE 为菱形；（2）连接AC ，若AC 平分BAD ∠，1BC =，求AC 的长．30．如图，将矩形ABCD 沿DE 折叠，连接CE 使得点A 的对应点F 落在CE 上．（1）求证：CEB DCF ≅；（2）若2AB BC =，求CDE ∠的度数．。
2020—2021人教版数学八年级数学下册 18.1.1 ---18.1.2同步基础练习题 答案不全
18.1.1平行四边形1.如图，在□ABCD中，已知AD＝5cm，AB＝3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（）A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm2.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=150°，则∠A的大小为（）A．150°B．130°C．120°D．100°3.如图，在□ABCD中，∠ODA＝90°，AC＝10cm，BD＝6cm，则AD的长为（）A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm4.如图，□ABCD的周长为20cm，AC、BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm5.如图，在□ABCD的面积是12，点E，F在AC上，且AE＝EF＝FC，则△BEF的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．66.如图，在□ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若AE＝4，AF＝6，且□ABCD的周长为40，则□ABCD的面积为（）A．24 B．36 C．40 D．487.如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．如果AC＝8，BD＝14，AB＝x，那么x的取值范围是．8.平行四边形ABCD中，∠ABC的角平分线BE将边AD分成长度为5cm和6cm的两部分，则平行四边形ABCD的周长为cm．9.如图，平行四边形ABCD的周长为20cm，对角线相交于点O，且EO⊥BD于点O交AD于E，则△ABE的周长为cm．10.E为□ABCD边AD上一点，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，点F在BD上，且EF＝DF．若∠C＝52°，那么∠ABE＝．11.如图，在□ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD＝16cm2，S△BQC＝25cm2，则图中阴影部分的面积为cm2．12.如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t= s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．考点二：三角形的中位线13.若三角形的三条中位线长分别为2cm，3cm，4cm，则原三角形的周长为（）A．4.5cm B．18cm C．9cm D．36cm14.如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为（）A．8 B．10 C．12 D．1615.如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（）A．3 B．4 C．4.5 D．516.如图，△ABC中，AB＝7，AC＝11，AD平分∠BAC，BD⊥AD，E是BC的中点，那么DE＝17.在△ABC中，D为AB的中点，E为AC上一点，CE＝AC，BE、CD交于点O，BE＝5cm，则OE＝cm．【能力拓展】18.如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，若△CEF的面积为12cm2，则S△DGF的值为.【课后巩固】1.如图，已知□ABCD中，AB=4，BC=6，BC边上的高AE=2，求AF的长.2.如图，□ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=3，求AB的长3.在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD且AC＝4，BD＝8，E、F分别是边AB、CD的中点，求EF的长.4.如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，求PQ的长.18.1.2 《平行四边形的判定》一、选择题1.已知四边形ABCD中有四个条件：AB∥CD，AB=CD，BC∥AD，BC=AD.从中任选两个，不能使四边形ABCD成为平行四边形的选法是（）A.AB∥CD，AB=CDB.AB∥CD，BC∥ADC.AB∥CD，BC=ADD.AB=CD，BC=AD2.在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，还不能判定四边形ABCD为平行四边形，若想使四边形ABCD为平行四边形，要添加一个条件：①BC=AD；②∠BAD=∠BCD；③OA=OC；④∠ABD=∠CAB.这个条件可以是( )A.①或②B.②或③C.①或③或④D.②或③或④3.已知四边形ABCD中，AC与BD交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么可以判定四边形ABCD是平行四边形的是（）①再加上条件“BC=AD”，则四边形ABCD一定是平行四边形.②再加上条件“∠BAD=∠BCD”，则四边形ABCD一定是平行四边形.③再加上条件“AO=CO”，则四边形ABCD一定是平行四边形.④再加上条件“∠DBA=∠CAB”，则四边形ABCD一定是平行四边形.A.①②B.①③④C.②③D.②③④4.在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠A=∠C，添加下列一个条件后，能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )A.∠A=∠BB.∠C=∠DC.∠B=∠DD.AB=CD5.下列说法正确的是( )A.对角线相等的四边形是平行四边形B.对角线互相平分的四边形是平行四边形C.对角线互相垂直的四边形是平行四边形D.对角线互相垂直且相等的四边形是平行四边形6.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )A.AB∥CD，AD∥BCB.OA=OC,OB=ODC.AD=BC，AB∥CDD.AB=CD,AD=BC7.如图，在四边形ABCD中，点E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F点，AB=BF.添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形.你认为下面四个条件中可选择的是( )A.AD=BCB.CD=BFC.∠A=∠CD.∠F=∠CDE8.点A、B、C、D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③BC∥AD；④BC=AD这四个条件中任意选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的有( )A.3种B.4种C.5种D.6种9.已知四边形ABCD是平行四边形，再从：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）A.选①②B.选②③C.选①③D.选②④10.在如图所示的网格中，以格点A，B，C，D，E，F中的4个点为顶点，你能画出平行四边形的个数为( )A.2B.3C.4D.5二、填空题11.如图，已知AB∥DC，要使四边形ABCD是平行四边形，还需增加条件.（只填写一个条件即可，不再在图形中添加其它线段）.12.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC.其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有_____（添序列号即可）.13.如图，E，F是▱ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件：，使四边形AECF是平行四边形.14.在四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABD=∠CDB，要使四边形ABCD是平行四边形只须添加一个条件，这个条件可以是（只需写出一种情况）.15.如图，AC是□ABCD的对角线，点E、F在AC上，要使四边形BFDE是平行四边形，还需要增加的一个条件是 (只要填写一种情况).三、解答题16.如图，点E，F在□ABCD的边BC，AD上，BC=3BE，AD=3DF，连接BF，DE.求证：四边形BEDF是平行四边形.17.在△ABC中，D是AB边上任意一点，E是BC边的中点，过点C作AB的平行线，交DE的延长线于点F，连接BF，CD.（1）求证：四边形CDBF是平行四边形；（2）若DF=8，BC=6，DB=5，求▱CDBF的面积.参考答案1.答案为：C2.答案为：B3.答案为：C4.答案为：C5.答案为：B6.答案为：C7.答案为：D8.答案为：B9.答案为：B10.答案为：B.11.答案为：AB=DC或AD∥BC12.答案为:①②③.13.答案为：BE=DF或BF=DE或∠BAE=∠DCF14.答案为：AB=CD或AD∥BC15.答案为：AE=CF16.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵BC=3BE，AD=3DF，∴BE=FD，∴四边形BEDF是平行四边形.17.（1）证明：∵CF∥AB，∴∠ECF=∠EBD.∵E是BC中点，∴CE=BE.∵∠CEF=∠BED，∴△CEF≌△BED（ASA）.∴CF=BD.∴四边形CDBF是平行四边形；（2）解：∵四边形CDBF是平行四边形，∴BE=0.5BC=3，DE=0.5DF=4，∴∠BED=90°，∴BC⊥DE，∴四边形CDBF是菱形，∴S=0.5BC•DF=0.5×6×8=24.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
八年级下数学基础练习题 2018.4
一、选择题（6×5＝30分）
1．若式子x 3-在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）
A ． 3≥x
B ． 0≥x
C ． 3≤x
D ． 0≤x
2．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A ． 31
B ． 2
C ． 12
D ． 27
3．下列计算正确的是（ ）
A ． 228=÷
B ． 853=+
C ． 3333=+
D ． 33
2255=- 4．下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是( ).
A 、A
B ＝CD 且AB ∥CD B 、∠A ＝∠
C 且AB ∥CD
C 、AB ＝A
D ，CB ＝CD D 、AB ＝CD ，AD ＝BC
5．如图，在 ABCD 中，DB=DC,∠C=70°,AE ⊥BD 于点E
则∠DAE 等于（ ）
A. 20°
B. 25°
C. 30°
D. 35° 6．在平面直角坐标系中，以A （0,0），B （0，-5），C （-2，-2）为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点不可能在（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
二、填空题（6×5＝30分）
7．化简 81
＝ .
8．四边形ABCD 是平行四边形，∠A ＝50°，则∠C ＝ . 9．()()=+-2323 .
10．直角三角形两条边分别为6和8，则第三条边为 .
11．如图，ABCD 是平行四边形，BC ＝6，AC ＝4，BD ＝8，则△AOD 的周长为 .
12．如图，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，AC ＝5，AB ＝13，则CD ＝ .
第12题
三、解答题（8×5＝40分） 13．1）计算 863224-++
2) 计算 ()7512231-⨯
E C D A B 第5题图 第11题图
14．如图，四边形ABCD 是平行四边形，AE ＝CF.求证：BE ＝DF
15．计算 ()()
6282232---
16.如图，已知□ABCD 中，BE 平分∠ABC ，AB=3，BC=5，
求 ED 的长。
17．如图，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，AC ＝8cm 。
求BC 的的长。