2013年高考真题——数学理(辽宁卷)解析版 Word版含答案

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2013年高考数学辽宁文(word版含答案)

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绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数 学(供文科考生使用)第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合{}{}1,2,3,4,|2,A B x x AB ==<=则(A ){}0 (B ){}0,1 (C ){}0,2 (D ){}0,1,2 (2)复数的11Z i =-模为(A )12 (B (C (D )2 (3)已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为(A )3455⎛⎫ ⎪⎝⎭,-(B )4355⎛⎫ ⎪⎝⎭,- (C )3455⎛⎫- ⎪⎝⎭, (D )4355⎛⎫- ⎪⎝⎭, (4)下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题:{}1:n p a 数列是递增数列;{}2:n p na 数列是递增数列; 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列;{}4:3n p a nd +数列是递增数列; 其中的真命题为(A )12,p p (B )34,p p (C )23,p p (D )14,p p(5)某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图, 数据的分组一次为[)[)[)[)20,40,40,60,60,80,820,100.若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是(A )45 (B )50(C )55 (D )60(6)在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=,a b B >∠=且则A .6πB .3π C .23π D .56π(7)已知函数())()1ln 31,.lg 2lg 2f x x f f ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭则A .1-B .0C .1D .2 (8)执行如图所示的程序框图,若输入8,n S ==则输出的A .49B .67C .89D .1011(9)已知点()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有A .3b a =B .31b a a=+C .()3310b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D .3310b a b a a -+--=(10)已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若,, ,AB AC ⊥112AA O =,则球的半径为A B . C .132 D .(11)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点,4,.10,8,cos ABF ,5AF BF AB B F C ==∠=连接若则的离心率为 (A )35 (B )57 (C )45 (D )67(12)已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值,{}min ,p q 表示,p q 中的较小值,记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=(A )2216a a -- (B )2216a a +- (C )16- (D )16第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2013年辽宁高考理科数学卷(含答案解析)

2013年辽宁高考理科数学卷(含答案解析)

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供理科考生使用)注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数1=i 1z -的模为( )A .12BCD .22.已知集合4=0log {1|}A x x <<,{|=}2B x x ≤,则=A B I( )A .(0,1)B .(0,2]C .(1,2)D .(1,2] 3.已知点(1,3)A ,1(4,)B -,则与向量AB u u u r同方向的单位向量为( )A .34(,)55-B .43(,)55-C .34(,)55-D .43(,)55-4.下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题: 1p :数列{}n a 是递增数列; 2p :数列{}n na 是递增数列; 3p :数列{}n an是递增数列; 4p :数列{3}n a nd +是递增数列. 其中的真命题为( )A .12p p ,B .34p p ,C .23p p ,D .14p p ,5.某班的全体学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为:[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若低于60分的人数是15,则该班的学生人数是 ( )A .45B .50C .55D .606.在ABC △中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若sin cos sin cos =12a cb B C B A +,且a b >,则B ∠=( )A .π6B .π3C .2π3D .5π67.使(3()n n x ∈+N 的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A .4B .5C .6D .78.执行如图所示的程序框图,若输入10n =,则输出S = ( )A .511 B .1011 C .3655 D .72559.已知点(0,0)O ,()0,A b ,3(),B a a .若OAB △为直角三角形,则必有 ( )A .3=b aB .31b a a=+C .331()()0b a b a a---=D .331||||0b a b a a-+--=10.已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上.若=3AB ,=4AC ,AB AC ⊥,112=AA ,则球O 的半径为( )AB.C .132D.11.已知函数22(()22)f x x a x a +-=+,22((2))28g x x a x a =---++.设1()H x =max ()(){}f x g x ,,2mi (){)(n (,)}H x f x g x =({},max p q 表示p ,q 中的较大值,min{},p q 表示p ,q 中的较小值).记1()H x 的最小值为A ,2()H x 的最大值为B ,则A B -=( )A .16B .16-C .2216a a --D .2216a a +-12.设函数()f x 满足2()2()e xx f x xf x x'+=,2(2)e 8f =,则0x >时,()f x( )A .有极大值,无极小值B .有极小值,无极大值C .既有极大值又有极小值D .既无极大值也无极小值第Ⅱ卷--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 . 14.已知等比数列{}n a 是递增数列,n S 是{}n a 的前n 项和.若1a ,3a 是方程2540x x +=-的两个根,则6S = . 15.已知椭圆22221=()0x ya Cb a b :>>+的左焦点为F ,C 与过原点的直线相交于A ,B 两点,连接AF ,BF .若||=10AB ,||=6AF ,4os 5c ABF ∠=,则C的离心率=e .16.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,从全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值为 . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)设向量a (3sin )=,sin x x ,b (,=cos s )in x x ,2[]π0,x ∈. (Ⅰ)若|a |=|b |,求x 的值;(Ⅱ)设函数()f x =a ·b ,求()f x 的最大值.18.(本小题满分12分)如图,AB 是圆的直径,P A 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点. (Ⅰ)求证:平面PAC ⊥平面PBC ;(Ⅱ)若=2AB ,=1AC ,=1PA ,求二面角C PB A ——的余弦值.19.(本小题满分12分)现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.(Ⅰ)求张同学至少取到1道乙类题的概率;(Ⅱ)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都是35,答对每道乙类题的概率都是45,且各题答对与否相互独立.用X 表示张同学答对题的个数,求X 的分布列和数学期望.20.(本小题满分12分)如图,抛物线214C x y :=,222()0C x py p :-=>.点00(,)M x y 在抛物线2C 上,过M 作1C 的切线,切点为A ,B (M 为原点O 时,A ,B 重合于O ).当0=12x -时,切线MA 的斜率为12-.(Ⅰ)求p 的值;(Ⅱ)当M 在2C 上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ,B 重合于O 时,中点为O ).21.(本小题满分12分)已知函数2()1e ()xf x x -=+,312cos 2()x g x ax x x +++=.当[0,1]x ∈时,(Ⅰ)求证:)1(11x f x x≤≤-+;(Ⅱ)若()()f x g x ≥恒成立,求实数a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,AB 为O e 直径,直线CD 与O e 相切于E ,AD 垂直CD 于D ,BC 垂直CD 于C ,EF 垂直AB 于F ,连接AE ,BE .证明:(Ⅰ)=FEB CEB ∠∠; (Ⅱ)2=EF AD BC g .23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆1C ,直线2C 的极坐标方程分别为=4sin ρθ,πcos()=224ρθ-. (Ⅰ)求1C 与2C 交点的极坐标;(Ⅱ)设P 为1C 的圆心,Q 为1C 与2C 交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为33,12x t a b y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(t R ∈为参数),求a ,b 的值.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数|(|)f x x a =-,其中1a >.(Ⅰ)当2a =时,求不等式()4||4f x x ≥--的解集; (Ⅱ)已知关于x 的不等式|()22()|2f x a f x ≤-+的解集为2|}1{x x ≤≤,求a 的值.2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)454422cos 2xx ⎫++⎪⎭x ⎫⎪⎭(2)设()(2)2()h x f x a f x =+-,则20()4202a x h x x a x a a x a -≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩,,,由|()|2h x ≤解得,它与12x ≤≤等价,然后求出a 的值【考点】绝对值不等式的解法,含参不等式的解法。

da2013年高考数学试卷答案 辽宁理

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【参考答案】 【选择题】 【1】.B 【2】.D 【3】.A 【4】.D 【5】.B 【6】.A 【7】.B 【8】.A 【9】.C 【10】.C 【11】.B 【12】.D 【填空题】【13】.1616-π【14】.63 【15】.57【16】.10 【解答题】【17】.解:(I )由2222)(sin )4sin x x x =+=a , 222(cos )(sin )1x x =+=b ,及,=a b 得24sin 1x =. 又[0,],2x ∈π从而1sin 2x =,所以6x π=.(II )2()cos sin f x x x x =⋅=⋅+a b=1112cos 2sin(2)22262x x x π-+=-+.当[0,]32x =∈ππ时,sin 2-6x π()取最大值1.所以()f x 的最大值为3.2【18】.(I )证明:由AB 是圆的直径,得AC ⊥BC . 由PA ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,得PA ⊥BC . 又PA ⋂AC =A ,PA ⊂平面PAC ,AC ⊂平面PAC , 所以BC ⊥平面PAC . 因为BC ⊂平面PBC . 所以平面PBC ⊥平面PAC . (II )(解法一)过C 作CM //AP ,则CM ⊥平面ABC .如图,以点C 为坐标原点,分别以直线CB ,CA ,CM 为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角标系.因为AB =2,AC =1,所以A (0,1,0),B0,0),P (0,1,1).故(3,0,0),(0,1,1)CB CP ==.设平面BCP 的法向量为1111(,,)x y z =n ,则110,0,CB CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以1110,0.y z =+=⎪⎩ 不妨令1y =1.则1(0,1,1)=-n . 因为(0,0,1),(3,1,0)AP AB ==-, 设平面ABP 的法向量为2222(,,)x y z =n ,则220,0,AP AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以2220,0.z y =⎧⎪-=不妨令2x =1,则2(1=n .于是12cos ==<n ,n >. 所以由题意可知二面角C-PB-A (解法二)过C 作CM ⊥AB 于M , 因为PA ⊥平面ABC ,CM ⊂平面ABC .所以PA ⊥CM . 故CM ⊥平面PAB .过M 作MN ⊥PB 于N ,连接NC , 由三垂线定理得CN ⊥PB .所以∠CNM 为二面角C-PB-A 的平面角.在Rt ΔABC 中,由AB =2,AC =1,得32BC CM BM ===. 在Rt ΔPAB 中,由AB =2,PA =1,得PB因为Rt ΔBNM ∽Rt ΔBAP ,所以31MN =所以MN =又在Rt ΔCNM 中,CNcos ∠CNM所以二面角C-PB-A的余弦值为4【19】.解:(I)设事件A =“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”,则有A =“张同学所取的3道题都是甲类题”. 因为363101()6C P A C ==,所以5()1()6P A P A =-=.(II)X 所有的可能取值为0,1,2,3. 0223214(0)()()555125P X C ==⋅⋅⋅=; 1110022232132428(1)()()()()555555125P X C C ==⋅⋅⋅+⋅⋅=;22011122321321457(2)()()()()555555125P X C C ==⋅⋅⋅+⋅⋅=; 22232436(3)()()555125P X C ==⋅⋅⋅= . 所以X 的分布列为:所以()E X =0×4125+1×28125+2×5713632125125+⨯=.【20】.解:(I)因为抛物线214C x y =:上任意一点(,)x y 的切线斜率为2xy '=,且切线MA 的斜率为-12,所以A 点坐标为(-1,14)。

2013年高考真题解析分类汇编(理科数学)含解析

2013年高考真题解析分类汇编(理科数学)含解析

2013高考试题解析分类汇编(理数)5:平面向量一、选择题1 .(2013年高考上海卷(理))在边长为1的正六边形ABCDEF中,记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为;以D为起点,其余顶点为终点的向量分别为.若分别为的最小值、最大值,其中,,则满足()A. B. C. D.D.【解答】作图知,只有,其余均有,故选D.2 .(2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD版))已知点()A. B. C. D.A,所以,所以同方向的单位向量是,选A.3 .(2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯WORD版))设是边上一定点,满足,且对于边上任一点,恒有.则()A. B. C. D.D以AB所在的直线为x轴,以AB的中垂线为y轴建立直角坐标系,设AB=4,C(a,b),P(x,0)则BP0=1,A(﹣2,0),B(2,0),P0(1,0)所以=(1,0),=(2﹣x,0),=(a﹣x,b),=(a﹣1,b)因为恒有所以(2﹣x)(a﹣x)≥a﹣1恒成立整理可得x2﹣(a+2)x+a+1≥0恒成立所以△=(a+2)2﹣4(a+1)≤0即△=a2≤0所以a=0,即C在AB的垂直平分线上所以AC=BC故△ABC为等腰三角形故选D4 .(2013年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯WORD版))在四边形ABCD中,,,则四边形的面积为()A. B. C.5 D.10C由题意,容易得到.设对角线交于O点,则四边形面积等于四个三角形面积之和即S= .容易算出,则算出S=5.故答案C5 .(2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯WORD版))在平面直角坐标系中,是坐标原点,两定点满足则点集所表示的区域的面积是()A. B. C. D.D.在本题中,.建立直角坐标系,设A(2,0),所以选D6 .(2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案))在平面上,,,.若,则的取值范围是()A. B. C. D.D【命题立意】本题考查平面向量的应用以及平面向量的基本定理。

2013年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含答案及解析)

2013年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含答案及解析)

2013年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A={x|x2﹣2x>0},B={x|﹣<x<},则()A.A∩B=∅B.A∪B=R C.B⊆A D.A⊆B2.(5分)若复数z满足(3﹣4i)z=|4+3i|,则z的虚部为()A.﹣4B.C.4D.3.(5分)为了解某地区中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是()A.简单的随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样4.(5分)已知双曲线C:(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为()A.y=B.y=C.y=±x D.y=5.(5分)执行程序框图,如果输入的t∈[﹣1,3],则输出的s属于()A.[﹣3,4]B.[﹣5,2]C.[﹣4,3]D.[﹣2,5] 6.(5分)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如不计容器的厚度,则球的体积为()A.B.C.D.7.(5分)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m﹣1=﹣2,S m=0,S m+1=3,则m=()A.3B.4C.5D.68.(5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π9.(5分)设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b,若13a=7b,则m=()A.5B.6C.7D.810.(5分)已知椭圆E:的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A、B两点.若AB的中点坐标为(1,﹣1),则E的方程为()A.B.C.D.11.(5分)已知函数f(x)=,若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是()A.(﹣∞,0]B.(﹣∞,1]C.[﹣2,1]D.[﹣2,0] 12.(5分)设△A n B n C n的三边长分别为a n,b n,c n,△A n B n C n的面积为S n,n=1,2,3…若b1>c1,b1+c1=2a1,a n+1=a n,,,则()A.{S n}为递减数列B.{S n}为递增数列C.{S2n﹣1}为递增数列,{S2n}为递减数列D.{S2n﹣1}为递减数列,{S2n}为递增数列二.填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(5分)已知两个单位向量,的夹角为60°,=t+(1﹣t).若•=0,则t=.14.(5分)若数列{a n}的前n项和为S n=a n+,则数列{a n}的通项公式是a n=.15.(5分)设当x=θ时,函数f(x)=sinx﹣2cosx取得最大值,则cosθ=.16.(5分)若函数f(x)=(1﹣x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=﹣2对称,则f(x)的最大值为.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(12分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.(1)若PB=,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.18.(12分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(Ⅰ)证明AB⊥A1C;(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.19.(12分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立.(Ⅰ)求这批产品通过检验的概率;(Ⅱ)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.20.(12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x﹣1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P 的半径最长时,求|AB|.21.(12分)已知函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=e x(cx+d),若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.(Ⅰ)求a,b,c,d的值;(Ⅱ)若x≥﹣2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答,并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑,按所涂题号进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分,不涂,按本选考题的首题进行评分.22.(10分)(选修4﹣1:几何证明选讲)如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于D.(Ⅰ)证明:DB=DC;(Ⅱ)设圆的半径为1,BC=,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.23.已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).24.已知函数f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(Ⅱ)设a>﹣1,且当x∈[﹣,]时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.2013年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A={x|x2﹣2x>0},B={x|﹣<x<},则()A.A∩B=∅B.A∪B=R C.B⊆A D.A⊆B【考点】1D:并集及其运算;73:一元二次不等式及其应用.【专题】59:不等式的解法及应用;5J:集合.【分析】根据一元二次不等式的解法,求出集合A,再根据的定义求出A∩B和A∪B.【解答】解:∵集合A={x|x2﹣2x>0}={x|x>2或x<0},∴A∩B={x|2<x<或﹣<x<0},A∪B=R,故选:B.【点评】本题考查一元二次不等式的解法,以及并集的定义,属于基础题.2.(5分)若复数z满足(3﹣4i)z=|4+3i|,则z的虚部为()A.﹣4B.C.4D.【考点】A5:复数的运算.【专题】5N:数系的扩充和复数.【分析】由题意可得z==,再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i,由此可得z的虚部.【解答】解:∵复数z满足(3﹣4i)z=|4+3i|,∴z====+i,故z的虚部等于,故选:D.【点评】本题主要考查复数的基本概念,两个复数代数形式的乘除法法则的应用,属于基础题.3.(5分)为了解某地区中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是()A.简单的随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样【考点】B3:分层抽样方法.【专题】21:阅读型.【分析】若总体由差异明显的几部分组成时,经常采用分层抽样的方法进行抽样.【解答】解:我们常用的抽样方法有:简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.了解某地区中小学生的视力情况,按学段分层抽样,这种方式具有代表性,比较合理.故选:C.【点评】本小题考查抽样方法,主要考查抽样方法,属基本题.4.(5分)已知双曲线C:(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为()A.y=B.y=C.y=±x D.y=【考点】KC:双曲线的性质.【专题】5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2,而渐近线方程为y=±x,代入可得答案.【解答】解:由双曲线C:(a>0,b>0),则离心率e===,即4b2=a2,故渐近线方程为y=±x=x,故选:D.【点评】本题考查双曲线的简单性质,涉及的渐近线方程,属基础题.5.(5分)执行程序框图,如果输入的t∈[﹣1,3],则输出的s属于()A.[﹣3,4]B.[﹣5,2]C.[﹣4,3]D.[﹣2,5]【考点】3B:分段函数的解析式求法及其图象的作法;EF:程序框图.【专题】27:图表型;5K:算法和程序框图.【分析】本题考查的知识点是程序框图,分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是计算一个分段函数的函数值,由条件为t<1我们可得,分段函数的分类标准,由分支结构中是否两条分支上对应的语句行,我们易得函数的解析式.【解答】解:由判断框中的条件为t<1,可得:函数分为两段,即t<1与t≥1,又由满足条件时函数的解析式为:s=3t;不满足条件时,即t≥1时,函数的解析式为:s=4t﹣t2故分段函数的解析式为:s=,如果输入的t∈[﹣1,3],画出此分段函数在t∈[﹣1,3]时的图象,则输出的s属于[﹣3,4].故选:A.【点评】要求条件结构对应的函数解析式,要分如下几个步骤:①分析流程图的结构,分析条件结构是如何嵌套的,以确定函数所分的段数;②根据判断框中的条件,设置分类标准;③根据判断框的“是”与“否”分支对应的操作,分析函数各段的解析式;④对前面的分类进行总结,写出分段函数的解析式.6.(5分)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如不计容器的厚度,则球的体积为()A.B.C.D.【考点】LG:球的体积和表面积.【专题】11:计算题;5F:空间位置关系与距离.【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M,可得圆心M为正方体上底面正方形的中心.设球的半径为R,根据题意得球心到上底面的距离等于(R﹣2)cm,而圆M的半径为4,由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5,用球的体积公式即可算出该球的体积.【解答】解:设正方体上底面所在平面截球得小圆M,则圆心M为正方体上底面正方形的中心.如图.设球的半径为R,根据题意得球心到上底面的距离等于(R﹣2)cm,而圆M的半径为4,由球的截面圆性质,得R2=(R﹣2)2+42,解出R=5,∴根据球的体积公式,该球的体积V===.故选:A.【点评】本题给出球与正方体相切的问题,求球的体积,着重考查了正方体的性质、球的截面圆性质和球的体积公式等知识,属于中档题.7.(5分)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m﹣1=﹣2,S m=0,S m+1=3,则m=()A.3B.4C.5D.6【考点】83:等差数列的性质;85:等差数列的前n项和.【专题】11:计算题;54:等差数列与等比数列.【分析】由a n与S n的关系可求得a m+1与a m,进而得到公差d,由前n项和公式及S m=0可求得a1,再由通项公式及a m=2可得m值.【解答】解:a m=S m﹣S m﹣1=2,a m+1=S m+1﹣S m=3,所以公差d=a m﹣a m=1,+1S m==0,m﹣1>0,m>1,因此m不能为0,得a1=﹣2,所以a m=﹣2+(m﹣1)•1=2,解得m=5,另解:等差数列{a n}的前n项和为S n,即有数列{}成等差数列,则,,成等差数列,可得2•=+,即有0=+,解得m=5.又一解:由等差数列的求和公式可得(m﹣1)(a1+a m﹣1)=﹣2,m(a1+a m)=0,(m+1)(a1+a m+1)=3,可得a1=﹣a m,﹣2a m+a m+1+a m+1=+=0,解得m=5.故选:C.【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式及通项a n与S n的关系,考查学生的计算能力.8.(5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π【考点】L!:由三视图求面积、体积.【专题】16:压轴题;27:图表型.【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体,依据三视图的数据,得出组合体长、宽、高,即可求出几何体的体积.【解答】解:三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体,如图,其中长方体长、宽、高分别是:4,2,2,半个圆柱的底面半径为2,母线长为4.∴长方体的体积=4×2×2=16,半个圆柱的体积=×22×π×4=8π所以这个几何体的体积是16+8π;故选:A.【点评】本题考查了几何体的三视图及直观图的画法,三视图与直观图的关系,柱体体积计算公式,空间想象能力9.(5分)设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b,若13a=7b,则m=()A.5B.6C.7D.8【考点】DA:二项式定理.【专题】5P:二项式定理.【分析】根据二项式系数的性质求得a和b,再利用组合数的计算公式,解方程13a=7b求得m的值.【解答】解:∵m为正整数,由(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,以及二项式系数的性质可得a=,同理,由(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b,可得b==.再由13a=7b,可得13=7,即13×=7×,即13=7×,即13(m+1)=7(2m+1),解得m=6,故选:B.【点评】本题主要考查二项式系数的性质的应用,组合数的计算公式,属于中档题.10.(5分)已知椭圆E:的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A、B两点.若AB的中点坐标为(1,﹣1),则E的方程为()A.B.C.D.【考点】K3:椭圆的标准方程.【专题】5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程得,利用“点差法”可得.利用中点坐标公式可得x1+x2=2,y1+y2=﹣2,利用斜率计算公式可得==.于是得到,化为a2=2b2,再利用c=3=,即可解得a2,b2.进而得到椭圆的方程.【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程得,相减得,∴.∵x1+x2=2,y1+y2=﹣2,==.∴,化为a2=2b2,又c=3=,解得a2=18,b2=9.∴椭圆E的方程为.故选:D.【点评】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键.11.(5分)已知函数f(x)=,若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是()A.(﹣∞,0]B.(﹣∞,1]C.[﹣2,1]D.[﹣2,0]【考点】7E:其他不等式的解法.【专题】16:压轴题;59:不等式的解法及应用.【分析】由函数图象的变换,结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f(x)|的图象,和函数y=ax的图象,由导数求切线斜率可得l的斜率,进而数形结合可得a的范围.【解答】解:由题意可作出函数y=|f(x)|的图象,和函数y=ax的图象,由图象可知:函数y=ax的图象为过原点的直线,当直线介于l和x轴之间符合题意,直线l为曲线的切线,且此时函数y=|f(x)|在第二象限的部分解析式为y=x2﹣2x,求其导数可得y′=2x﹣2,因为x≤0,故y′≤﹣2,故直线l的斜率为﹣2,故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可,即a∈[﹣2,0]故选:D.【点评】本题考查其它不等式的解法,数形结合是解决问题的关键,属中档题.12.(5分)设△A n B n C n的三边长分别为a n,b n,c n,△A n B n C n的面积为S n,n=1,2,3…若b1>c1,b1+c1=2a1,a n+1=a n,,,则()A.{S n}为递减数列B.{S n}为递增数列C.{S2n﹣1}为递增数列,{S2n}为递减数列D.{S2n﹣1}为递减数列,{S2n}为递增数列【考点】82:数列的函数特性;8H:数列递推式.【专题】16:压轴题;54:等差数列与等比数列;55:点列、递归数列与数学归纳法.=a n可知△A n B n C n的边B n C n为定值a1,由b n+1+c n+1﹣【分析】由a n+12a1=及b1+c1=2a1得b n+c n=2a1,则在△A n B n C n中边长B n C n=a1为定值,另两边A n C n、A n B n的长度之和b n+c n=2a1为定值,由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上,根据b n+1﹣c n+1=,得b n﹣c n=,可知n→+∞时b n→c n,据此可判断△A n B n C n的边B nC n的高h n随着n的增大而增大,再由三角形面积公式可得到答案.【解答】解:b1=2a1﹣c1且b1>c1,∴2a1﹣c1>c1,∴a1>c1,∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1>0,∴b1>a1>c1,又b1﹣c1<a1,∴2a1﹣c1﹣c1<a1,∴2c1>a1,∴,由题意,+a n,∴b n+1+c n+1﹣2a n=(b n+c n﹣2a n),∴b n+c n﹣2a n=0,∴b n+c n=2a n=2a1,∴b n+c n=2a1,由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上,﹣c n+1=,∴=a1﹣b n,又由题意,b n+1﹣a1=,∴b n﹣a1=,∴b n+1∴,c n=2a1﹣b n=,∴[][]=[﹣]单调递增(可证当n=1时>0)故选:B.【点评】本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式,综合考查学生分析解决问题的能力,有较高的思维抽象度,是本年度全国高考试题中的“亮点”之一.二.填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(5分)已知两个单位向量,的夹角为60°,=t+(1﹣t).若•=0,则t=2.【考点】9H:平面向量的基本定理;9O:平面向量数量积的性质及其运算.【专题】5A:平面向量及应用.【分析】由于•=0,对式子=t+(1﹣t)两边与作数量积可得=0,经过化简即可得出.【解答】解:∵,,∴=0,∴tcos60°+1﹣t=0,∴1=0,解得t=2.故答案为2.【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键.14.(5分)若数列{a n}的前n项和为S n=a n+,则数列{a n}的通项公式是a n=(﹣2)n﹣1.【考点】88:等比数列的通项公式.【专题】54:等差数列与等比数列.【分析】把n=1代入已知式子可得数列的首项,由n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1,可得数列为等比数列,且公比为﹣2,代入等比数列的通项公式分段可得答案.【解答】解:当n=1时,a1=S1=,解得a1=1当n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1=()﹣()=,整理可得,即=﹣2,故数列{a n}从第二项开始是以﹣2为首项,﹣2为公比的等比数列,故当n≥2时,a n=(﹣2)n﹣1,经验证当n=1时,上式也适合,故答案为:(﹣2)n﹣1【点评】本题考查等比数列的通项公式,涉及等比数列的判定,属基础题.15.(5分)设当x=θ时,函数f(x)=sinx﹣2cosx取得最大值,则cosθ=﹣.【考点】GP:两角和与差的三角函数;H4:正弦函数的定义域和值域.【专题】16:压轴题;56:三角函数的求值.【分析】f(x)解析式提取,利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,由x=θ时,函数f(x)取得最大值,得到sinθ﹣2cosθ=,与sin2θ+cos2θ=1联立即可求出cosθ的值.【解答】解:f(x)=sinx﹣2cosx=(sinx﹣cosx)=sin(x﹣α)(其中cosα=,sinα=),∵x=θ时,函数f(x)取得最大值,∴sin(θ﹣α)=1,即sinθ﹣2cosθ=,又sin2θ+cos2θ=1,联立得(2cosθ+)2+cos2θ=1,解得cosθ=﹣.故答案为:﹣【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式,同角三角函数间的基本关系,以及正弦函数的定义域与值域,熟练掌握公式是解本题的关键.16.(5分)若函数f(x)=(1﹣x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=﹣2对称,则f(x)的最大值为16.【考点】57:函数与方程的综合运用;6E:利用导数研究函数的最值.【专题】11:计算题;16:压轴题;51:函数的性质及应用;53:导数的综合应用.【分析】由题意得f(﹣1)=f(﹣3)=0且f(1)=f(﹣5)=0,由此求出a=8且b=15,由此可得f(x)=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15.利用导数研究f(x)的单调性,可得f(x)在区间(﹣∞,﹣2﹣)、(﹣2,﹣2+)上是增函数,在区间(﹣2﹣,﹣2)、(﹣2+,+∞)上是减函数,结合f(﹣2﹣)=f(﹣2+)=16,即可得到f(x)的最大值.【解答】解:∵函数f(x)=(1﹣x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=﹣2对称,∴f(﹣1)=f(﹣3)=0且f(1)=f(﹣5)=0,即[1﹣(﹣3)2][(﹣3)2+a•(﹣3)+b]=0且[1﹣(﹣5)2][(﹣5)2+a•(﹣5)+b]=0,解之得,因此,f(x)=(1﹣x2)(x2+8x+15)=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15,求导数,得f′(x)=﹣4x3﹣24x2﹣28x+8,令f′(x)=0,得x1=﹣2﹣,x2=﹣2,x3=﹣2+,当x∈(﹣∞,﹣2﹣)时,f′(x)>0;当x∈(﹣2﹣,﹣2)时,f′(x)<0;当x∈(﹣2,﹣2+)时,f′(x)>0;当x∈(﹣2+,+∞)时,f′(x)<0∴f(x)在区间(﹣∞,﹣2﹣)、(﹣2,﹣2+)上是增函数,在区间(﹣2﹣,﹣2)、(﹣2+,+∞)上是减函数.又∵f(﹣2﹣)=f(﹣2+)=16,∴f(x)的最大值为16.故答案为:16.【点评】本题给出多项式函数的图象关于x=﹣2对称,求函数的最大值.着重考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识,属于中档题.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(12分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.(1)若PB=,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.【考点】HP:正弦定理;HR:余弦定理.【专题】58:解三角形.【分析】(I)在Rt△PBC,利用边角关系即可得到∠PBC=60°,得到∠PBA=30°.在△PBA中,利用余弦定理即可求得PA.(II)设∠PBA=α,在Rt△PBC中,可得PB=sinα.在△PBA中,由正弦定理得,即,化简即可求出.【解答】解:(I)在Rt△PBC中,=,∴∠PBC=60°,∴∠PBA=30°.在△PBA中,由余弦定理得PA2=PB2+AB2﹣2PB•ABcos30°==.∴PA=.(II)设∠PBA=α,在Rt△PBC中,PB=BCcos(90°﹣α)=sinα.在△PBA中,由正弦定理得,即,化为.∴.【点评】熟练掌握直角三角形的边角关系、正弦定理和余弦定理是解题的关键.18.(12分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(Ⅰ)证明AB⊥A1C;(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.【考点】LW:直线与平面垂直;LY:平面与平面垂直;MI:直线与平面所成的角.【专题】5F:空间位置关系与距离;5G:空间角.【分析】(Ⅰ)取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B,由已知可证OA1⊥AB,AB ⊥平面OA1C,进而可得AB⊥A1C;(Ⅱ)易证OA,OA1,OC两两垂直.以O为坐标原点,的方向为x轴的正向,||为单位长,建立坐标系,可得,,的坐标,设=(x,y,z)为平面BB1C1C的法向量,则,可解得=(,1,﹣1),可求|cos <,>|,即为所求正弦值.【解答】解:(Ⅰ)取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B,因为CA=CB,所以OC⊥AB,由于AB=AA1,∠BAA1=60°,所以△AA1B为等边三角形,所以OA1⊥AB,又因为OC∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C,又A1C⊂平面OA1C,故AB⊥A1C;(Ⅱ)由(Ⅰ)知OC⊥AB,OA1⊥AB,又平面ABC⊥平面AA1B1B,交线为AB,所以OC⊥平面AA1B1B,故OA,OA1,OC两两垂直.以O为坐标原点,的方向为x轴的正向,||为单位长,建立如图所示的坐标系,可得A(1,0,0),A1(0,,0),C(0,0,),B(﹣1,0,0),则=(1,0,),=(﹣1,,0),=(0,﹣,),设=(x,y,z)为平面BB1C1C的法向量,则,即,可取y=1,可得=(,1,﹣1),故cos<,>==,又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值,故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为:.【点评】本题考查直线与平面所成的角,涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定,属难题.19.(12分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立.(Ⅰ)求这批产品通过检验的概率;(Ⅱ)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.【考点】CG:离散型随机变量及其分布列;CH:离散型随机变量的期望与方差.【专题】5I:概率与统计.【分析】(Ⅰ)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)∪(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,由概率得加法公式和条件概率,代入数据计算可得;(Ⅱ)X可能的取值为400,500,800,分别求其概率,可得分布列,进而可得期望值.【解答】解:(Ⅰ)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)∪(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,所以P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)==(Ⅱ)X可能的取值为400,500,800,并且P(X=800)=,P(X=500)=,P(X=400)=1﹣﹣=,故X的分布列如下:X 400 500 800P故EX=400×+500×+800×=506.25【点评】本题考查离散型随机变量及其分布列涉及数学期望的求解,属中档题.20.(12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x﹣1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P 的半径最长时,求|AB|.【考点】J3:轨迹方程;J9:直线与圆的位置关系.【专题】5B:直线与圆.【分析】(I)设动圆的半径为R,由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切,可得|PM|+|PN|=R+1+(3﹣R)=4,而|NM|=2,由椭圆的定义可知:动点P的轨迹是以M,N为焦点,4为长轴长的椭圆,求出即可;(II)设曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2,所以R ≤2,当且仅当⊙P的圆心为(2,0)R=2时,其半径最大,其方程为(x﹣2)2+y2=4.分①l的倾斜角为90°,此时l与y轴重合,可得|AB|.②若l的倾斜角不为90°,由于⊙M的半径1≠R,可知l与x轴不平行,设l与x轴的交点为Q,根据,可得Q(﹣4,0),所以可设l:y=k(x+4),与椭圆的方程联立,得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出.【解答】解:(I)由圆M:(x+1)2+y2=1,可知圆心M(﹣1,0);圆N:(x﹣1)2+y2=9,圆心N(1,0),半径3.设动圆的半径为R,∵动圆P与圆M外切并与圆N内切,∴|PM|+|PN|=R+1+(3﹣R)=4,而|NM|=2,由椭圆的定义可知:动点P的轨迹是以M,N为焦点,4为长轴长的椭圆,∴a=2,c=1,b2=a2﹣c2=3.∴曲线C的方程为(x≠﹣2).(II)设曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2,所以R≤2,当且仅当⊙P的圆心为(2,0)R=2时,其半径最大,其方程为(x﹣2)2+y2=4.①l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=.②若l的倾斜角不为90°,由于⊙M的半径1≠R,可知l与x轴不平行,设l与x轴的交点为Q,则,可得Q(﹣4,0),所以可设l:y=k(x+4),由l于M相切可得:,解得.当时,联立,得到7x2+8x﹣8=0.∴,.∴|AB|===由于对称性可知:当时,也有|AB|=.综上可知:|AB|=或.【点评】本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切问题、椭圆的定义及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等基础知识,需要较强的推理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法.21.(12分)已知函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=e x(cx+d),若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.(Ⅰ)求a,b,c,d的值;(Ⅱ)若x≥﹣2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.【考点】3R:函数恒成立问题;6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.【专题】16:压轴题;53:导数的综合应用.【分析】(Ⅰ)对f(x),g(x)进行求导,已知在交点处有相同的切线及曲线y=f (x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),从而解出a,b,c,d的值;(Ⅱ)由(I)得出f(x),g(x)的解析式,再求出F(x)及它的导函数,通过对k的讨论,判断出F(x)的最值,从而判断出f(x)≤kg(x)恒成立,从而求出k的范围.【解答】解:(Ⅰ)由题意知f(0)=2,g(0)=2,f′(0)=4,g′(0)=4,而f′(x)=2x+a,g′(x)=e x(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c=4,从而a=4,b=2,c=2,d=2;(Ⅱ)由(I)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2e x(x+1)设F(x)=kg(x)﹣f(x)=2ke x(x+1)﹣x2﹣4x﹣2,则F′(x)=2ke x(x+2)﹣2x﹣4=2(x+2)(ke x﹣1),由题设得F(0)≥0,即k≥1,令F′(x)=0,得x1=﹣lnk,x2=﹣2,①若1≤k<e2,则﹣2<x1≤0,从而当x∈(﹣2,x1)时,F′(x)<0,当x∈(x1,+∞)时,F′(x)>0,即F(x)在(﹣2,x1)上减,在(x1,+∞)上是增,故F(x)在[﹣2,+∞)上的最小值为F(x1),而F(x1)=﹣x1(x1+2)≥0,x≥﹣2时F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.②若k=e2,则F′(x)=2e2(x+2)(e x﹣e﹣2),从而当x∈(﹣2,+∞)时,F′(x)>0,即F(x)在(﹣2,+∞)上是增,而F(﹣2)=0,故当x≥﹣2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.③若k>e2时,F′(x)>2e2(x+2)(e x﹣e﹣2),而F(﹣2)=﹣2ke﹣2+2<0,所以当x>﹣2时,f(x)≤kg(x)不恒成立,综上,k的取值范围是[1,e2].【点评】此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程,函数恒成立问题,考查分类讨论思想,解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质,此题是一道中档题.四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答,并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑,按所涂题号进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分,不涂,按本选考题的首题进行评分.22.(10分)(选修4﹣1:几何证明选讲)如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于D.(Ⅰ)证明:DB=DC;(Ⅱ)设圆的半径为1,BC=,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.【考点】NC:与圆有关的比例线段.【专题】5B:直线与圆.【分析】(I)连接DE交BC于点G,由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE,由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE,于是得到∠CBE=∠BCE,BE=CE.由已知DB⊥BE,可知DE为⊙O的直径,Rt△DBE≌Rt△DCE,利用三角形全等的性质即可得到DC=DB.(II)由(I)可知:DG是BC的垂直平分线,即可得到BG=.设DE的中点为O,连接BO,可得∠BOG=60°.从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°.得到CF⊥BF.进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=.【解答】(I)证明:连接DE交BC于点G.由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE,而∠ABE=∠CBE,∴∠CBE=∠BCE,BE=CE.又∵DB⊥BE,∴DE为⊙O的直径,∠DCE=90°.∴△DBE≌△DCE,∴DC=DB.(II)由(I)可知:∠CDE=∠BDE,DB=DC.故DG是BC的垂直平分线,∴BG=.设DE的中点为O,连接BO,则∠BOG=60°.从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°.∴CF⊥BF.∴Rt△BCF的外接圆的半径=.【点评】本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等边三角形的性质、三角形全等、三角形的外接圆的半径等知识,需要较强的推理能力、分析问题和解决问题的能力.23.已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程;QH:参数方程化成普通方程.【专题】11:计算题;35:转化思想;4R:转化法;5S:坐标系和参数方程.【分析】(1)曲线C1的参数方程消去参数t,得到普通方程,再由,能求出C1的极坐标方程.(2)曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程,与C1的普通方程联立,求出C1与C2交点的直角坐标,由此能求出C1与C2交点的极坐标.【解答】解:(1)将,消去参数t,化为普通方程(x﹣4)2+(y﹣5)2=25,即C1:x2+y2﹣8x﹣10y+16=0,将代入x2+y2﹣8x﹣10y+16=0,得ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0.∴C1的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0.(2)∵曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.∴曲线C2的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0,。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学试题 (理科) word解析版

2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学试题 (理科) word解析版

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数 学(供理科考生使用)第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)复数的11Z i =-模为(A )12(B (C (D )21. 【答案】B【解析】由已知111,(1)(1)22i Z i i i -+==-----+所以||Z =(2)已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=I ,则A .()01,B .(]02,C .()1,2D .(]12, 2. 【答案】D【解析】由集合A ,14x <<;所以(1,2]A B ⋂=(3)已知点()()1,3,4,1,A B AB -u u u r则与向量同方向的单位向量为(A )3455⎛⎫ ⎪⎝⎭,-(B )4355⎛⎫ ⎪⎝⎭,- (C )3455⎛⎫- ⎪⎝⎭, (D )4355⎛⎫- ⎪⎝⎭, 3. 【答案】A【解析】(3,4)AB =-u u u r ,所以||5AB =u u u r ,这样同方向的单位向量是134(,)555AB =-u u u r(4)下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题:{}1:n p a 数列是递增数列; {}2:n p na 数列是递增数列;3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列;{}4:3n p a nd +数列是递增数列; 其中的真命题为(A )12,p p (B )34,p p (C )23,p p (D )14,p p 4.【答案】D【解析】设1(1)n a a n d dn m =+-=+,所以1P 正确;如果312n a n =-则满足已知,但2312n na n n =-并非递增所以2P 错;如果若1n a n =+,则满足已知,但11n a n n=+,是递减数列,所以3P 错;34n a nd dn m +=+,所以是递增数列,4P 正确(5)某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图, 数据的分组一次为[)[)[)[)20,40,40,60,60,80,820,100. 若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是(A )45 (B )50 (C )55 (D )60 5.【答案】B【解析】第一、第二小组的频率分别是0.1、0.2,所以低于60分的频率是0.3,设班级人数为m ,则150.3m=,50m =。

2013年辽宁高考数学理科试卷(带详解)

2013年辽宁高考数学理科试卷(带详解)

2013年普通高等学校招生全国统一测试(辽宁卷)数 学(理)第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.复数的1i 1z =-模为 ( ) A.12B.2C.2D.2【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】直接给出复数,利用2i 1=-对复数进行化简,然后再求模.【难易程度】容易 【参考答案】B【试题分析】111112i,i i 122222z z ==--∴=--=-. 2.已知集合{}4|0log 1A x x =<<,{}|2B x x =,则 A B = ( )A .()01,B .(]02,C .()1,2D .(]12, 【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】考查了对数不等式及交集运算. 【难易程度】容易 【参考答案】D 【试题分析】{}{}4|0log 1|14A x x x x =<<=<<,{}|2B x x =,{}{}{}14212A B x x x x x x ∴=<<=<.3.已知点()1,3A ,()4,1B -,则和向量AB 同方向的单位向量为 ( )A.3455⎛⎫ ⎪⎝⎭,-B.4355⎛⎫ ⎪⎝⎭,-C.3455⎛⎫- ⎪⎝⎭,D.4355⎛⎫- ⎪⎝⎭,【测量目标】向量的基本概念.【考查方式】给出两点坐标及方向,求同方向的单位向量. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题分析】()3,4AB =-,则和其同方向的单位向量34(,)55ABAB==-e . 4.下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题:1p :数列{}n a 是递增数列; 2p :数列{}n na 是递增数列;3p :数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列; 4p :数列{}3n a nd +是递增数列;其中的真命题为 ( )A.12,p pB.34,p pC.23,p pD.14,p p【测量目标】等差数列的性质.【考查方式】给出d >0的等差数列,求数列的增减性. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题分析】根据等差数列的性质判定.0d >,∴1n n a a +>,∴1p 是真命题, (步骤1)1n n +>,但是n a 的符号不知道,∴2p 是假命题. (步骤2)同理3p 是假命题.13(1)340n n a n d a nd d +++--=>,∴4p 是真命题. (步骤3)5.某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为[)[)20,40,40,60, [)[)60,80,80,100,若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是 ( ) A.45 B.50 C.55 D.60第5题图【测量目标】频率分布直方图.【考查方式】给出频率分布直方图及某一频数,求总体频数. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题分析】根据频率分布直方图的特点可知,低于60分的频率是00050012003...+⨯=(),所以该班的学生人数是15500.3=. 6.在ABC △上,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且,a b >则B ∠= ( ) A .π6 B .π3 C .2π3 D .5π6【测量目标】正弦定理,两角和的正弦,诱导公式.【考查方式】给出三角形各边长及内角和边长的公式,求角. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题分析】根据正弦定理和和角公式求解.由正弦定理可得sin sin cos A B C +1sin sin cos sin 2C B A B =, (步骤1)又sin 0B ≠,∴ sin cos A C +1sin cos 2C A =,∴1sin sin 2(A C )B +==.(步骤2)a b >,∴π6B ∠=. (步骤3)7.使得()3nx n x x +⎛+∈ ⎪⎝⎭N 的展开式中含有常数项的最小的n 为 ( )A .4B .5C .6D .7【测量目标】二项式定理.【考查方式】考查了二项展开式的通项公式. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题分析】根据二项展开式的通项公式求解.()521=C 3C 3rn r n rr r n r r nn T x x x x ---+= ⎪⎝⎭,当1r T +是 常数项时,502n r -=,当2r =,5n =时成立. 8.执行如图所示的程序框图,若输入10n =,则输出的S = ( )A .511B .1011C .3655D .7255第8题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出输入值10n =,求输出值S . 【难易程度】中等 【参考答案】A 【试题分析】13S =,410i =<, 21123415S ∴=+=-,610i =<,(步骤1)22135617S ∴=+=-, 8<10i =,23147819S ∴=+=-,1010i ==,2415910111S ∴=+=-,1210i =>,输出S . (步骤2)9.已知点()()()30,0,0,,,.O A b B a a 若OAB △为直角三角形,则必有 ( )A .3b a =B .31b a a=+ C .()3310b ab a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D .3310b a b a a-+--= 【测量目标】直线的倾斜角和斜率.【考查方式】给出三点坐标,由三角形l 的边的性质,求出,a b 之间的关系.【难易程度】中等 【参考答案】C【试题分析】根据直角三角形的直角的位置求解.若以O 为直角顶点,则B 在x 轴上,则a 必为0,此 时O ,B 重合,不符合题意;(步骤1)若π2A ∠=,则30b a =≠,若π2B ∠=,根据斜率关系可知 321a b a a -=-,3()1a a b ∴-=-,即310b a a--=.以上两种情况皆有可能,故只有C 满足条件.(步骤2)10.已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,若34AB AC ==,,AB AC ⊥,112AA =,则球O 的半径为 ( )A 317B .10C .132D .310 【测量目标】立体几何的综合问题.【考查方式】给出三条棱长及两棱垂直关系,求三棱柱外接球的半径. 【难易程度】较难 【参考答案】C【试题分析】根据球的内接三棱柱的性质求解.直三棱柱中13412AB ,AC ,AA ,===AB AC ⊥,∴5BC =,且BC 为过底面ABC 是截面圆的直径,取BC 中点D ,则OD ⊥底面ABC ,则O 在侧面11BCC B 内,矩形11BCC B 的对角线长即为球直径,∴22212513R +=,即132R =.11.已知函数()()2222f x x a x a =-++,()()22228g x x a x a =-+--+.设1()H x ()(){}max ,f x g x =,()()(){}2min ,H x f x g x =,{}max ,p q 表示,p q 中的较大值,{}min ,p q 表示,p q 中的较小值,记()1H x 的最小值为A ,()2H x 的最小值为B ,则A B -=( ) A.2216a a -- B.2216a a +- C.16- D.16 【测量目标】二次函数的图象和性质.【考查方式】给出两函数分析式,设出较大值、较小值、最大值、最小值,求最值. 【难易程度】较难【参考答案】C【试题分析】根据二次函数图象的特征解决.由()()f x g x =,得2()4x a -= , (步骤1)∴当2x a =-和2x a =+时,两函数值相等.()f x 图象为开口向上的抛物线,()g x 图象为开口向下的抛物线,两图象在2x a =-和2x a =+处相交,则1()H x =()(2),()(22),()(2),f x x a g x a x a f x x a -⎧⎪-<<+⎨⎪+⎩2()(2),()()(22),()(2),g x x a H x f x a x a g x x a -⎧⎪=-<<+⎨⎪+⎩ (步骤2)∴1min ()(2)44A H x f a a ==+=--,2max ()(2)412B H x g a a ==-=-+, ∴16.A B -=-(步骤3)12.设函数()f x 满足()()2e 2x xf x xf x x '+=,()2e 28f =,则0x >时,()f x ( )A.有极大值,无极小值B.有极小值,无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值【测量目标】利用导数求函数的极值.【考查方式】通过构造函数,将问题转化,考查转化能力.通过导数判断函数单调性,考查知识的 灵活使用能力. 【难易程度】较难 【参考答案】D【试题分析】由题意知2'33e 2()e 2()()x x f x x f x f x x x x-=-=.(步骤1) 令2()e 2()x g x x f x =-,则()222e 2()e 2()4()e 2()2()e e 1x xxxx g x x f x xf x x f x xf x x x ⎛⎫'''=--=-+=-=- ⎪⎝⎭.(步骤2)由()0g x '=得2x =,当2x =时,222mine ()e 2208g x =-⨯⨯=,即()0g x ,则当0x >时,3()()0g x f x x'=,(步骤3) 故()f x 在()0,+∞上单调递增,既无极大值也无极小值.(步骤4) 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 .第13题图【测量目标】由三视图求几何体的体积.【考查方式】给出三视图,求体积. 【难易程度】容易 【参考答案】16π16-【试题分析】由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱,圆柱底面圆半径为2,高为 4,故体积为16π;正四棱柱底面边长为2,高为4,故体积为16,故题中几何体的体积为16π16.- 14.已知等比数列{}n a 是递增数列,n S 是{}n a 的前n 项和,若13a a ,是方程2540x x -+=的两个根,则6S = .【测量目标】等比数列及其性质,等比数列的前n 项和.【考查方式】给出方程,已知等比数列为递增数列,先求等比数列中两项值,即方程的两根,再由数列为递增数列求出数列的前n 项和. 【难易程度】中等 【参考答案】63 【试题分析】13,a a 是方程2540x x -+=的两个根,且数列{}n a 是递增的等比数列,∴131,4,2,a a q ===661263.12S -==-15.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F 椭圆C 和过原点的直线相交于,A B 两点,连接,AF BF ,若410,6,cos 5AB AF ABF ==∠=,则C 的离心率e = . 【测量目标】余弦定理,椭圆的简单几何性质.【考查方式】画图表示椭圆及直线位置,通过数量关系确定三角形形状以及椭圆系数,考查数形结合的能力.【难易程度】中等 【参考答案】57【试题分析】根据椭圆的定义及性质和余弦定理求解.设椭圆的右焦点为1F ,直线过原点,16AF BF ∴==,BO AO =.(步骤1)在ABF △中,设BF x =,由余弦定理得24361002105x x =+-⨯⨯,(步骤2) 解得8x =,即8BF =.90BFA ∴∠=,ABF ∴△是直角三角形,(步骤3)26814a ∴=+=,即7a =.(步骤4)又在Rt ABF △中,BO AO =,152OF AB ∴==,即5c =,(步骤5) 57e ∴=.(步骤6) 16.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,在全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组 的人数作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互相不相同,则样本数据中的 最大值为 .【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征.【考查方式】给出样本平均数、样本方差样本组数,求样本数据中的最大值. 【难易程度】较难 【参考答案】10【试题分析】设5个班级中参加的人数分别为12345,,,,,x x x x x 则由题意知2222212345123457,(7)(7)(7)(7)(7)20,5x x x x x x x x x x ++++=-+-+-+-+-=五个整数的平方和为20,则必为0119920++++=,由73x -=可得10x =或4x =,由71x -=可得8x =或6x =,由上可知参加的人数分别为4,6,7,8,10,故样本数据中的最大值为10.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分12分)设向量)()π3,sin ,cos ,sin ,0,.2x x x x x ⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦a b(I )若=a b 求x 的值; (Ⅱ)设函数()f x =a b ,求()f x 的最大值.【测量目标】平面向量的基本概念、向量的数量积运算、两角和和差的正弦和三角函数的最值. 【考查方式】给出两向量坐标,两向量模的关系,函数和向量的关系,求x 的值,函数的最大值. 【难易程度】容易 【试题分析】(Ⅰ)2222222(3sin )sin 4sin ,cos sin 1,xx x x x =+==+=a b ,=a b∴24sin 1.x = (步骤1)又x ∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦,∴1sin ,2x =∴π6x =. (步骤2)(Ⅱ)()3sin f x x ==a b 2311π1cos sin sin 2cos 2sin(2),2262x x x x x +=-+=-+ ∴当π3x =∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦时,πsin(2)6x -取最大值1. (步骤3) ∴()f x 的最大值为32. (步骤4)18.(本小题满分12分)如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点. (I )求证:平面PAC ⊥平面PBC ;(II )若2AB AC PA ===,1,1,求证:二面角C PB A --的余弦值.第18题图【测量目标】面面垂直的判定,二面角,空间直角坐标系和空间向量及其运算.【考查方式】面面垂直的判定及二面角的平面角的确定考查定理的灵活使用能力,空间直角坐标系的建立考查空间想象能力及运算求解能力. 【难易程度】中等【试题分析】(Ⅰ)由AB 是圆的直径,得AC BC ⊥,(步骤1) 由PA ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,得PA BC ⊥,又PA AC A =,PA ⊂平面PAC ,AC ⊂平面PAC ,BC ∴⊥平面PAC BC ⊂平面PBC ∴平面PBC ⊥平面PAC .(步骤2)(Ⅱ)解法一:如图(1),以点C 为坐标原点,分别以直线CB ,CA ,CM 为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系. 在Rt ABC △中,2AB =,1AC =,3BC ∴=又1PA =,()0,1,0A ∴,)3,0,0B,()0,1,1P .(步骤3)故()3,0,0CB =,()0,1,1CP =.设平面BCP 的法向量为()1111,,x y z =n ,则110,0,CB CP ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩n n 11130,0,x y z ⎧=⎪∴⎨+=⎪⎩不妨令11y =,则()10,1,1=-n .(步骤4)()0,0,1AP =,()3,1,0AB =-,设平面ABP 的法向量为()2222,,x y z =n ,则220,0,AP AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 2220,30,z x y =⎧⎪∴⎨-=⎪⎩(步骤5)不妨令21x =,则()21,3,0=n .于是1236cos ,422==n n . 由图(1)知二面角C —PB —A 为锐角,故二面角C —PB —A 的余弦值为64.(步骤6)第18题图(1)解法二:如图(2),过C 作CM AB ⊥于M ,PA ⊥平面ABC ,CM ⊂平面ABC ,PA CM ∴⊥.又PA AB A =,且PA ⊂平面PAB ,AB ⊂平面PAB ,CM ∴⊥平面PAB . 过M 作MN PB ⊥于N ,连接NC ,由三垂线定理得CN PB ⊥ CNM ∴∠为二面角C —PB —A 的平面角.(步骤3) 在Rt ABC △中,由2AB =,1AC =,得3BC =,32CM =,32BM =. 在Rt PAB △中,由2AB =,1PA =,得5PB =.Rt BNM △∽Rt BAP △,3215MN∴=,35MN ∴=.(步骤4) ∴在Rt CNM △中,30CN =,6cos CNM ∴∠=,∴二面角C —PB —A 的余弦值为6.(步骤5)第18题图(2)19.(本小题满分12分)现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.(I )求张同学至少取到1道乙类题的概率;(II )已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都是35,答对每道乙类题的概率都是45,且各题答对和否相互独立.用X 表示张同学答对题的个数,求X 的分布列和数学期望.【测量目标】古典概型,互斥事件和对立事件的概率,离散型随机变量的分布列及期望.【考查方式】至少类问题反面求解考查转化化归能力,分布列及数学期望的求解考查运算求解能力. 【难易程度】中等【试题分析】 (1)设事件A =“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”,则有A = “张同学所取的3道题都是甲类题”.()36310C 1C 6P A ==,()()516P A P A ∴=-=.(步骤1)(2)X 所有的可能取值为0,1,2,3.(步骤2)()020232140=C 555125P X ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;(步骤3) ()11021022321324281C +C 555555125P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭;(步骤4) ()2112122321324572C +C 555555125P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭;(步骤5) ()222324363C 555125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(步骤6) X ∴的分布列为:X 0 1 2 3P4125 28125 5712536125(步骤7)()428573601232125125125125E X ∴⨯⨯⨯⨯==+++.(步骤8) 20.(本小题满分12分)如图,抛物线()2212:4,:20C x y C x py p ==->,点()00,M x y 在抛物线2C 上,过M 作1C 的切线,切点为,A B (M 为原点O 时,,A B 重合于O ),012x =-,切线MA的斜率为12-.(I )求p 的值;(II )当M 在2C 上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程.(),,.A B O O 重合于时中点为第20题图【测量目标】导数的几何意义,圆锥曲线的轨迹方程.【考查方式】给出两抛物线方程,利用导数的几何意义及坐标中点和直线的关系求解;利用椭圆和直 线的位置关系及待定系数法求解. 【难易程度】中等 【试题分析】(Ⅰ)抛物线21:4C x y =上任意一点(,)x y 的切线斜率为'2xy =,且切线MA 的斜率为12-,∴A 点坐标为(1-,14), (步骤1) ∴切线MA 的方程为11(1)24y x =-++. (步骤2).点M (012,)y 在切线MA 及抛物线2C 上,∴011322(22)244y -=--+=-①20(12)322y --==② (步骤3)由①②得2p =. (步骤4)(Ⅱ)设22121212(,),(,),(,),,44x x N x y A x B x x x ≠N 为线段AB 中点∴122x x x +=,③22128x x y +=.④ (步骤5) ∴切线MA,MB 的方程为2111()24x x y x x =-+,⑤2222()24x x y x x =-+.⑥ (步骤6)由⑤⑥得MA,MB 的交点M (00,)x y 的坐标为121200,.24x x x xx y +== (步骤7)点M (00,)x y 在2C 上,即200,4x y =-∴221212.6x x x x +=-⑦ (步骤8) 由③④⑦得24,0.3x y x =≠ (步骤9)当12x x =时,A,B 重合于原点O,AB 中点N 为O ,坐标满足24.3x y =∴AB 中点N 的轨迹方程为24.3x y = (步骤10)21.(本小题满分12分)已知函数()()21e xf x x -=+,()312cos 2x g x ax x x =+++.当[]0,1x ∈时, (I )求证:()111x f x x-+ ;(II )若()()f x g x 恒成立,求实数a 取值范围.【测量目标】利用导数求函数的单调区间,不等式恒成立问题.【考查方式】第一问不等式的证明利用构造函数法,通过导数证明,考查简单的转化化归能力;第二问的两种解法都对转化化归能力进一步升级考查,解法一利用第一问的结论进行转化,解法二通过构造函数,两次利用导数转化. 【难易程度】较难【试题分析】(Ⅰ)证明:要证[]0,1x ∈时,()21e 1xx x -+-,只需证明()()1e 1e x x x x -+-.(步骤1) 记()()(1)e 1e xx h x x x -=--+,则()()e e x x h x x -'=-,(步骤2) 当()0,1x ∈时,()0h x '>,因此()h x 在[]0,1上是增函数,(步骤3) 故()()00h x h =.所以()[]10,1f x x x ∈-,.(步骤4) 要证[]0,1x ∈时,21(1)e 1xx x-++,只需证明e1x x +.(步骤5) 记()e 1x K x x =--,则()e 1xK x '=-,(步骤6) 当()0,1x ∈时,()0K x '>,因此()K x 在[]0,1上是增函数,(步骤7) 故()()00K x K =.所以()11f x x+,[]0,1x ∈.(步骤8)综上,()111x f x x-+,[]0,1x ∈.(步骤9) (Ⅱ)解法一:()()32(1)e 12cos 2x x f x g x x ax x x -⎛⎫-=-+++ ⎪⎝⎭+ 3112cos 2x x ax x x ----- 2(12cos )2x x a x =-+++.(步骤10) 设()22cos 2x G x x =+,则()2sin G x x x '=-.(步骤11) 记()2sin H x x x =-,则()12cos H x x '=-,(步骤12)当()0,1x ∈时,()0H x '<,于是()G x '在[]0,1上是减函数,(步骤13)从而当()0,1x ∈时,()()00G x G ''<=,故()G x 在[]0,1上是减函数.(步骤14)于是()()02G x G =,从而()13a G x a +++.(步骤15) 所以,当3a -时,()()f x g x 在[]0,1上恒成立.(步骤16) 下面证明当3a >-时,()()f x g x 在[]0,1上不恒成立.()()3112cos 12x f x g x ax x x x -----+ 32cos 12x x ax x x x -=---+ 212cos 12x x a x x ⎛⎫=-+++ ⎪+⎝⎭,(步骤17) 记()2112cos ()121x I x a x a G x x x=+++=++++, 则()21()(1)I x G x x -''=++,(步骤18) 当()0,1x ∈时,()0I x '<,故()I x 在[]0,1上是减函数,(步骤19)于是()I x 在[]0,1上的值域为[12cos 13]a a ++,+.(步骤20) 因为当3a >-时,3>0a +,()00,1x ∴∃∈,使得()00I x >,(步骤21)此时()()00f x g x <,即()()f x g x 在[]0,1上不恒成立.(步骤22) 综上,实数a 的取值范围是(],3-∞-.(步骤23)解法二:先证当[]0,1x ∈时,22111cos 124x x x --.(步骤10) 记()21cos 12F x x x =-+,则()sin F x x x '=-+.(步骤11) 记()sinG x x x =-+,则()cos 1G x x '=-+,(步骤12) 当()0,1x ∈时,()0G x '>,于是()G x 在[]0,1上是增函数,(步骤13)因此当()0,1x ∈时,()()00G x G >=,从而()F x 在[]0,1上是增函数.(步骤14)因此()()00F x F =,所以当[]0,1x ∈时,211cos 2x x -.(步骤15) 同理可证,当[]0,1x ∈时,21cos 14x x -.(步骤16) 综上,当[]0,1x ∈时,22111cos 124x x x --.(步骤17) 当[]0,1x ∈时, ()()()321e 12cos 2xx f x g x x ax x x -⎛⎫-=+-+++ ⎪⎝⎭321(1)12124x x ax x x ⎛⎫------ ⎪⎝⎭ ()3a x =-+.(步骤18)所以当3a -时,()()f x g x 在[]0,1上恒成立.(步骤19) 下面证明当3a >-时,()()f x g x 在[]0,1上不恒成立. ()()()321e 12cos 2x x f x g x x ax x x -⎛⎫-=+-+++ ⎪⎝⎭3211121122x ax x x x ⎛⎫----- ⎪+⎝⎭23(3)12x x a x x =+-++ 32(3)23x x a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,(步骤20) ()00,1x ∴∃∈ (例如0x 取33a +和12中的较小值)满足()()00f x g x <.(步骤21) 即()()f x g x 在[]0,1上不恒成立.(步骤22)综上,实数a 的取值范围是(],3-∞-.(步骤23)请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,AB 为半圆O 的直径,直线CD 和半圆O 相切于E ,AD 垂直CD 于D ,BC 垂直CD 于C , EF 垂直AB 和F ,连接,AE BE .证明:(I )FEB CEB ∠=∠; (II )2.EF AD BC =⋅第22题图【测量目标】几何证明选讲.【考查方式】给出点、线、面之间的各种关系,根据圆中直线的垂直等角关系证明;根据圆中三角形 的全等和线段间的关系求解.【难易程度】容易【试题分析】(Ⅰ)直线CD 和⊙O 相切,∴.CEB EAB ∠=∠ (步骤1)AB 为⊙O 的直径,∴AE EB ⊥,∴π2EAB EBF ∠+∠=; (步骤2) 又EF AB ⊥,∴π2FEB EBF ∠+∠=. (步骤3) ∴FEB EAB ∠=∠.∴.FEB CEB ∠=∠ (步骤4) (Ⅱ)BC CE ⊥,EF AB ⊥,,FEB CEB BE ∠=∠是公共边,∴Rt BCE △≌Rt BFE △,∴BC BF =. (步骤5)类似可证Rt ADE △≌Rt AFE △,得AD AF =. (步骤6) 又在Rt AEB △中,EF AB ⊥,∴2EF AF BF =,∴2EF AD BC =. (步骤7) 23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系和参数方程在直角坐标系xOy 中以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ,直线2C 的极坐标方程分别为 π4sin ,cos 2 2.4ρθρθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭(I )求1C 和2C 交点的极坐标; (II )设P 为1C 的圆心,Q 为1C 和2C 交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为3312x t a b y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩ (t ∈R 为参数),求,a b 的值.【测量目标】极坐标和参数方程.【考查方式】给出各直线的极坐标方程或参数方程,联立1C 和2C 方程求交点;由参数方程的性质求 解.【难易程度】容易【试题分析】(Ⅰ)圆1C 的直角坐标方程为2224x y +-=(),直线2C 的直角坐标方程为40x y -+=. 解222440x y x y ⎧+-=⎨+-=⎩(),,得1104x y =⎧⎨=⎩,,2222x y =⎧⎨=⎩, (步骤1) ∴1C 和2C 交点的极坐标为ππ42224⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,,. (步骤2) 注:极坐标系下点的表示不是唯一的.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,P 点和Q 点的直角坐标分别为()()0213,,,.∴直线PQ 的直角坐标方程为20x y -+=, (步骤3) 由参数方程可得b ab y x 22=-+1. (步骤4) ∴12122b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩,,解得12a b =-⎧⎨=⎩,.(步骤5) 24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数()f x x a =-,其中1a >.(I )当=2a 时,求不等式()fx 4x a --的解集;(II )已知关于x 的不等式(2)2()f x a f x +-2的解集为{1xx }2,求a 的值.【测量目标】绝对值不等式的解法,含参不等式的解法.【考查方式】给出函数方程,求不等式的解集.再给出不等式的解集,求未知数a 的值.【难易程度】中等【试题分析】(1)当2a =时,2624224264x x fx x x x x .-+⎧⎪+-=<<⎨⎪-⎩,,(),,, (步骤1) 当2x 时,由4f x x -()4-得264x -+,解得1x ; (步骤2) 当24x <<时,44f x x --()无解; (步骤3) 当4x 时,由44f x x --()得264x -,解得5x . (步骤4) ∴44f x x --() 的解集为{1x x 或}5x . (步骤5)(2)记22h x f x a f x =+-()()(),则204202a x h x x a x a a x a.-⎧⎪=-<<⎨⎪⎩,,(),,, (步骤6)由2h x (),解得1122a a x -+. (步骤7) 又2h x ()的解集为{}12x x ,∴112122a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩,, ∴3a =. (步骤8)。

2013高考真题理数辽宁卷

2013高考真题理数辽宁卷

2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数 学(供理科考生使用)注意事项:1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 回答第I 卷时,选出每小题答案后,用铅笔吧答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,在选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3. 回答第II 卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。

4. 考试结束,将本试题和答题卡一并交回。

第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)复数的11Z i =-的模为(A )12(B )2 (C (D )2(2)已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x AB =<<=≤=,则A .()01,B .(]02,C .()1,2D .(]12, (3)已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为(A )3455⎛⎫ ⎪⎝⎭,-(B )4355⎛⎫ ⎪⎝⎭,-(C )3455⎛⎫- ⎪⎝⎭, (D )4355⎛⎫- ⎪⎝⎭, (4)下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题:{}1:n p a 数列是递增数列;{}2:n p na 数列是递增数列; 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列; {}4:3n p a nd +数列是递增数列;其中的真命题为(A )12,p p (B )34,p p (C )23,p p (D )14,p p (5)某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图, 数据的分组一次为[)[)[)[)20,40,40,60,60,80,80,100. 若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是(A )45 (B )50 (C )55 (D )60(6)在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=,a b B >∠=且则A .6π B .3πC .23πD .56π(7)使得()3nx n N n x x +⎛+∈ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项的最小的为A .4B .5C .6D .7(8)执行如图所示的程序框图,若输入10,n S ==则输出的A .511 B .1011 C .3655 D .7255(9)已知点()()()30,0,0,,,.,O A b B a a OAB ∆若为直角三角形则必有A .3b a =B .31b a a=+C .()3310b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D .3310b a b a a -+--=(10)已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若,,,AB AC ⊥112AA O =,则球的半径为A .3172 B .210 C .132D .310 (11)已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值,{}min ,p q 表示,p q 中的较小值,记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=(A ) 16 (B ) 16- (C ) 2216a a -- (D )2216a a +-(12)设函数()()()()()222,2,0,8x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时, (A )有极大值,无极小值 (B )有极小值,无极大值 (C )既有极大值又有极小值 (D )既无极大值也无极小值第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2013全国高考1卷理科数学试题与答案解析

2013全国高考1卷理科数学试题与答案解析

WORD 格式整理2012 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 第 I 卷一、选择题: 本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

( 1)已知集合 A {1,2,3,4,5} , B {( x, y) |x A, yA, x y A} ,则 B 中所含元素的个数为 ( A ) 3 ( B )6 (C ) 8 (D ) 10( 2)将 2 名教师, 4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组有1 名教师和2 名学生组成,不同的安排方案共有 ( A ) 12 种 ( B ) 10 种 ( C ) 9种 (D ) 8 种( 3)下面是关于复数 z 2 的四个命题 1ip 1 : | z | 2 p 2 : z 22i p 3 : z 的共轭复数为 1 i p 4 : z 的虚部为1其中真命题为(A ) p 2 , p 3( B ) p 1 ,p 2( C ) p 2 ,p 4 ( D ) p 3 , p 4( 4)设 F 1, F 2 是椭圆 E : x2 y 21(a b 0) 的左、右焦点, P 为a 2b 23aF PF 是底角为 30 的等腰三角形,则直线 x 上的一点,2 2 1E 的离心率为(A) 1 2 3 4 (B) 3 (C) (D) 2 4 5( 5)已知 { a n } 为等比数列, a 4a 7 2 , a 5 a 6 8 ,则 a 1 a10(A) 7 (B) 5 (C) 5 (D) 7( 6)如果执行右边的程序图,输入正整数N ( N 2) 和实数 a 1 , a 2 ,..., a N 输入A, B , 则(A) A B 为 a 1 , a 2 ,..., a N 的和( B )AB为 a ,a ,..., a 的算式平均数 2 1 2 N( C ) A 和 B 分别是 a 1 , a 2 ,..., a N 中最大的数和最小的数专业技术参考资料WORD 格式整理( D ) A 和 B 分别是 a 1 , a 2 ,..., a N 中最小的数和最大的数( 7)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( A ) 6 (B)9 ( C ) 12 ( D ) 18( 8)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线 y 216x 的准线交于 A, B 两点,| AB | 4 3 ,则 C 的实轴长为( A ) 2 ( B ) 2 2 ( C ) 4 ( D ) 8( 9)已知 0 ,函数 f (x) sin( x ) 在 , 单调递减,则 的取值范围4 2(A) [ 1 ,5 ](B) [ 1 , 3] (C) (0, 1 ](D) (0, 2]2 4 2 4 2( 10)已知函数 f ( x) 1 ,则 y f ( x) 的图像大致为1) ln(x x( 11)已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,ABC 是边长为 1 SC 为 O的正三角形, 的直径,且 SC 2 ,则此棱锥的体积为(A)2(B)3 (C)2(D)2 6 63 2( 12)设点 P 在曲线 y 1 e x上,点 Q 在曲线 yln(2 x) 上,则 | PQ |的最小值为2(A) 1 ln 2 (B)2(1 ln2) (C) 1 ln 2 (D)2(1 ln 2) 专业技术参考资料WORD 格式整理第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2013年高考真题——理科数学(新课标Ⅱ卷) Word版含答案

2013年高考真题——理科数学(新课标Ⅱ卷) Word版含答案

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数 学(理科)注意事项:1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。

2. 回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3. 答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。

4. 考试结束,将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题。

每小题5分,共50分。

在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

(1)已知集合M={x|(x-1)2< 4,x ∈R },N={-1,0,1,2,3},则M ∩N =( ) (A ){0,1,2} (B ){-1,0,1,2} (C ){-1,0,2,3} (D ){0,1,2,3} (2)设复数z 满足(1-i )z=2 i ,则z =( ) (A )-1+i(B )-1-i(C )1+i(D )1-i(3)等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 3 = a 2 +10a 1 ,a 5 = 9,则a 1=( ) (A )13 (B )13- (C )19 (D )19- (4)已知m ,n 为异面直线,m ⊥平面α,n ⊥平面β。

直线l 满足l ⊥m ,l ⊥n ,,l l αβ⊄⊄,则( )(A )α∥β且l ∥α(B )α⊥β且l ⊥β(C )α与β相交,且交线垂直于l(D )α与β相交,且交线平行于l(5)已知(1+ɑx )(1+x )5的展开式中x 2的系数为5,则ɑ=( ) (A )-4 (B )-3(C )-2(D )-1(6)执行右面的程序框图,如果输入的N=10,那么输出的S=(A )11112310++++ (B )11112!3!10!++++ (C )11112311++++ (D )11112!3!11!++++(7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为(A) (B)(C)(D)(8)设a=log 36,b=log 510,c=log 714,则(A )c >b >a (B )b >c >a (C )a >c >b (D)a >b >c(9)已知a >0,x ,y 满足约束条件()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若z=2x+y 的最小值为1,则a=(A) 14 (B) 12(C)1 (D)2(10)已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c ,下列结论中错误的是 (A )∃x α∈R,f(x α)=0(B )函数y=f(x)的图像是中心对称图形(C )若x α是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x α)单调递减(D )若x 0是f (x )的极值点,则()0'0f x =(11)设抛物线y 2=3px(p>0)的焦点为F ,点M 在C 上,|MF |=5,若以MF 为直径的圆过点(0,2),则C 的方程为(A )y 2=4x 或y 2=8x (B )y 2=2x 或y 2=8x(C )y 2=4x 或y 2=16x (D )y 2=2x 或y 2=16x(12)已知点A (-1,0);B (1,0);C (0,1),直线y=ax+b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分,则b 的取值范围是(A )(0,1)(B)112⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭( C) 113⎛⎤ ⎥ ⎦⎝(D) 11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题,每个试题考生都必修作答。

2013年高考真题——文科数学(辽宁卷)解析版Word含答案

2013年高考真题——文科数学(辽宁卷)解析版Word含答案

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数 学(供文科考生使用)第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合{}{}1,2,3,4,|2,A B x x A B ==<=I 则(A ){}0 (B ){}0,1 (C ){}0,2 (D ){}0,1,2 (2)复数的11Z i =-模为(A )12(B )2 (C (D )2(3)已知点()()1,3,4,1,A B AB -u u u r则与向量同方向的单位向量为(A )3455⎛⎫ ⎪⎝⎭,-(B )4355⎛⎫ ⎪⎝⎭,-(C )3455⎛⎫- ⎪⎝⎭, (D )4355⎛⎫- ⎪⎝⎭, (4)下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题:{}1:n p a 数列是递增数列;{}2:n p na 数列是递增数列; 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列; {}4:3n p a nd +数列是递增数列;其中的真命题为(A )12,p p (B )34,p p (C )23,p p (D )14,p p(5)某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图, 数据的分组一次为[)[)[)[)20,40,40,60,60,80,820,100. 若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是(A )45 (B )50 (C )55 (D )60(6)在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=,a b B >∠=且则A .6π B .3πC .23πD .56π(7)已知函数()()()21ln1931,.lg 2lg 2f x x x f f ⎛⎫=+-++= ⎪⎝⎭则A .1-B .0C .1D .2(8)执行如图所示的程序框图,若输入8,n S ==则输出的A .49 B .67 C .89 D .1011(9)已知点()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有A .3b a =B .31b a a=+C .()3310b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D .3310b a b a a -+--=(10)已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若,,,AB AC ⊥112AA O =,则球的半径为A .317 B .210 C .132D .310 (11)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点,4,.10,8,cos ABF ,5AF BF AB B F C ==∠=连接若则的离心率为(A )35 (B )57 (C )45 (D )67(12)已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值,{}min ,p q 表示,p q 中的较小值,记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=(A )2216a a -- (B )2216a a +- (C )16- (D )16第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2013年辽宁高考数学理科试卷(带详解)

2013年辽宁高考数学理科试卷(带详解)

2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数 学(理)第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.复数的1i 1z =-模为 ( )A.12B.2 D.2【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】直接给出复数,利用2i 1=-对复数进行化简,然后再求模.【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】11111i,i i 12222z z ==--∴=--=-2.已知集合{}4|0log 1A x x =<<,{}|2B x x =…,则 A B = ( )A .()01,B .(]02,C .()1,2D .(]12, 【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】考查了对数不等式及交集运算. 【难易程度】容易 【参考答案】D 【试题解析】{}{}4|0log 1|14A x x x x =<<=<<,{}|2B x x =…,{}{}{}14212A B x x x x x x ∴=<<=<剟.3.已知点()1,3A ,()4,1B -,则与向量AB 同方向的单位向量为 ( )A.3455⎛⎫ ⎪⎝⎭,-B.4355⎛⎫ ⎪⎝⎭,-C.3455⎛⎫- ⎪⎝⎭,D.4355⎛⎫- ⎪⎝⎭,【测量目标】向量的基本概念.【考查方式】给出两点坐标及方向,求同方向的单位向量. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】()3,4AB =-,则与其同方向的单位向量34(,)55ABAB==-e . 4.下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题:1p :数列{}n a 是递增数列; 2p :数列{}n na 是递增数列;3p :数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列; 4p :数列{}3n a nd +是递增数列;其中的真命题为 ( )A.12,p pB.34,p pC.23,p pD.14,p p【测量目标】等差数列的性质.【考查方式】给出d >0的等差数列,求数列的增减性. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】根据等差数列的性质判定.0d >,∴1n n a a +>,∴1p 是真命题, (步骤1)1n n +>,但是n a 的符号不知道,∴2p 是假命题. (步骤2)同理3p 是假命题.13(1)340n n a n d a nd d +++--=>,∴4p 是真命题. (步骤3)5.某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为[)[)20,40,40,60, [)[)60,80,80,100,若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是 ( ) A.45 B.50 C.55 D.60第5题图【测量目标】频率分布直方图.【考查方式】给出频率分布直方图及某一频数,求总体频数. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】根据频率分布直方图的特点可知,低于60分的频率是00050012003...+⨯=(),所以该班的学生人数是15500.3=. 6.在ABC △上,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且,a b >则B ∠= ( ) A .π6 B .π3C .2π3D .5π6【测量目标】正弦定理,两角和的正弦,诱导公式.【考查方式】给出三角形各边长及内角和边长的公式,求角. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】根据正弦定理与和角公式求解.由正弦定理可得sin sin cos A B C +1sin sin cos sin 2C B A B =, (步骤1)又sin 0B ≠,∴ sin cos A C +1sin cos 2C A =,∴1sin sin 2(A C )B +==.(步骤2)a b >,∴π6B ∠=. (步骤3)7.使得()3nx n x x +⎛+∈ ⎪⎝⎭N 的展开式中含有常数项的最小的n 为 ( )A .4B .5C .6D .7【测量目标】二项式定理.【考查方式】考查了二项展开式的通项公式. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】根据二项展开式的通项公式求解.()521=C 3C 3rn r n rr r n r r nn T x x x x ---+= ⎪⎝⎭,当1r T +是 常数项时,502n r -=,当2r =,5n =时成立. 8.执行如图所示的程序框图,若输入10n =,则输出的S = ( )A .511B .1011C .3655D .7255第8题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出输入值10n =,求输出值S . 【难易程度】中等 【参考答案】A 【试题解析】13S =,410i =<, 21123415S ∴=+=-,610i =<,(步骤1)22135617S ∴=+=-, 8<10i =,23147819S ∴=+=-,1010i ==,2415910111S ∴=+=-,1210i =>,输出S . (步骤2)9.已知点()()()30,0,0,,,.O A b B a a 若OAB △为直角三角形,则必有 ( )A .3b a =B .31b a a=+ C .()3310b ab a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D .3310b a b a a-+--= 【测量目标】直线的倾斜角与斜率.【考查方式】给出三点坐标,由三角形l 的边的性质,求出,a b 之间的关系.【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】根据直角三角形的直角的位置求解.若以O 为直角顶点,则B 在x 轴上,则a 必为0,此时O ,B 重合,不符合题意;(步骤1)若π2A ∠=,则30b a =≠,若π2B ∠=,根据斜率关系可知 321a b a a -=-,3()1a a b ∴-=-,即310b a a--=.以上两种情况皆有可能,故只有C 满足条件.(步骤2)10.已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,若34AB AC ==,,AB AC ⊥,112AA =,则球O 的半径为( )A.2 B ..132D .【测量目标】立体几何的综合问题.【考查方式】给出三条棱长及两棱垂直关系,求三棱柱外接球的半径. 【难易程度】较难 【参考答案】C【试题解析】根据球的内接三棱柱的性质求解.直三棱柱中13412AB ,AC ,AA ,===AB AC ⊥,∴5BC =,且BC 为过底面ABC 是截面圆的直径,取BC 中点D ,则OD ⊥底面ABC ,则O 在侧面11BCC B 内,矩形11BCC B 的对角线长即为球直径,∴213R ==,即132R =.11.已知函数()()2222f x x a x a =-++,()()22228g x x a x a =-+--+.设1()H x ()(){}max ,f x g x =,()()(){}2min ,H x f x g x =,{}max ,p q 表示,p q 中的较大值,{}min ,p q 表示,p q 中的较小值,记()1H x 的最小值为A ,()2H x 的最小值为B ,则A B -=( )A.2216a a --B.2216a a +- C.16- D.16【测量目标】二次函数的图象与性质.【考查方式】给出两函数解析式,设出较大值、较小值、最大值、最小值,求最值. 【难易程度】较难 【参考答案】C【试题解析】根据二次函数图象的特征解决.由()()f x g x =,得2()4x a -= , (步骤1)∴当2x a =-和2x a =+时,两函数值相等.()f x 图象为开口向上的抛物线,()g x 图象为开口向下的抛物线,两图象在2x a =-和2x a =+处相交,则1()H x =()(2),()(22),()(2),f x x a g x a x a f x x a -⎧⎪-<<+⎨⎪+⎩……2()(2),()()(22),()(2),g x x a H x f x a x a g x x a -⎧⎪=-<<+⎨⎪+⎩…… (步骤2)∴1min ()(2)44A H x f a a ==+=--,2max ()(2)412B H x g a a ==-=-+,∴16.A B -=-(步骤3)12.设函数()f x 满足()()2e 2x xf x xf x x '+=,()2e 28f =,则0x >时,()f x ( )A.有极大值,无极小值B.有极小值,无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值【测量目标】利用导数求函数的极值.【考查方式】通过构造函数,将问题转化,考查转化能力.通过导数判断函数单调性,考查知识的 灵活应用能力. 【难易程度】较难 【参考答案】D【试题解析】由题意知2'33e 2()e 2()()x x f x x f x f x x x x-=-=.(步骤1) 令2()e 2()x g x x f x =-,则()222e 2()e 2()4()e 2()2()e e 1x xxxx g x x f x xf x x f x xf x x x ⎛⎫'''=--=-+=-=- ⎪⎝⎭.(步骤2)由()0g x '=得2x =,当2x =时,222mine ()e 2208g x =-⨯⨯=,即()0g x …,则当0x >时,3()()0g x f x x'=…,(步骤3) 故()f x 在()0,+∞上单调递增,既无极大值也无极小值.(步骤4) 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 .第13题图【测量目标】由三视图求几何体的体积.【考查方式】给出三视图,求体积. 【难易程度】容易 【参考答案】16π16-【试题分析】由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱,圆柱底面圆半径为2,高为 4,故体积为16π;正四棱柱底面边长为2,高为4,故体积为16,故题中几何体的体积为16π16.- 14.已知等比数列{}n a 是递增数列,n S 是{}n a 的前n 项和,若13a a ,是方程2540x x -+=的两个根,则6S = .【测量目标】等比数列及其性质,等比数列的前n 项和.【考查方式】给出方程,已知等比数列为递增数列,先求等比数列中两项值,即方程的两根,再由数 列为递增数列求出数列的前n 项和. 【难易程度】中等 【参考答案】63 【试题分析】13,a a 是方程2540x x -+=的两个根,且数列{}n a 是递增的等比数列,∴131,4,2,a a q ===661263.12S -==-15.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F 椭圆C 与过原点的直线相交于,A B 两点,连接,AF BF ,若410,6,cos 5AB AF ABF ==∠=,则C 的离心率e = . 【测量目标】余弦定理,椭圆的简单几何性质.【考查方式】画图表示椭圆及直线位置,通过数量关系确定三角形形状以及椭圆系数,考查数形结合的能力.【难易程度】中等 【参考答案】57【试题解析】根据椭圆的定义及性质和余弦定理求解.设椭圆的右焦点为1F ,直线过原点,16AF BF ∴==,BO AO =.(步骤1)在ABF △中,设BF x =,由余弦定理得24361002105x x =+-⨯⨯,(步骤2) 解得8x =,即8BF =.90BFA ∴∠=,ABF ∴△是直角三角形,(步骤3)26814a ∴=+=,即7a =.(步骤4)又在Rt ABF △中,BO AO =,152OF AB ∴==,即5c =,(步骤5) 57e ∴=.(步骤6) 16.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,在全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组 的人数作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互相不相同,则样本数据中的 最大值为 .【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征.【考查方式】给出样本平均数、样本方差样本组数,求样本数据中的最大值. 【难易程度】较难 【参考答案】10【试题解析】设5个班级中参加的人数分别为12345,,,,,x x x x x 则由题意知2222212345123457,(7)(7)(7)(7)(7)20,5x x x x x x x x x x ++++=-+-+-+-+-=五个整数的平方和为20,则必为0119920++++=,由73x -=可得10x =或4x =,由71x -=可得8x =或6x =,由上可知参加的人数分别为4,6,7,8,10,故样本数据中的最大值为10.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分12分)设向量)()π,sin ,cos ,sin ,0,.2x x x x x ⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦a b(I )若=a b 求x 的值; (Ⅱ)设函数()f x =a b ,求()f x 的最大值.【测量目标】平面向量的基本概念、向量的数量积运算、两角和与差的正弦和三角函数的最值. 【考查方式】给出两向量坐标,两向量模的关系,函数与向量的关系,求x 的值,函数的最大值. 【难易程度】容易 【试题解析】(Ⅰ)2222222)sin 4sin ,cos sin 1,x x x x x =+==+=a b ,=a b∴24sin 1.x = (步骤1)又x ∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦,∴1sin ,2x =∴π6x =. (步骤2)(Ⅱ)()3sin f xx ==a b 211π1cos sin 2cos 2sin(2),2262x x x x x +=-+=-+ ∴当π3x =∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦时,πsin(2)6x -取最大值1. (步骤3) ∴()f x 的最大值为32. (步骤4)18.(本小题满分12分)如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点. (I )求证:平面PAC ⊥平面PBC ;(II )若2AB AC PA ===,1,1,求证:二面角C PB A --的余弦值.第18题图【测量目标】面面垂直的判定,二面角,空间直角坐标系和空间向量及其运算.【考查方式】面面垂直的判定及二面角的平面角的确定考查定理的灵活应用能力,空间直角坐标系的建立考查空间想象能力及运算求解能力. 【难易程度】中等【试题解析】(Ⅰ)由AB 是圆的直径,得AC BC ⊥,(步骤1) 由PA ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,得PA BC ⊥,又PA AC A =,PA ⊂平面PAC ,AC ⊂平面PAC ,BC ∴⊥平面PAC BC ⊂平面PBC ∴平面PBC ⊥平面PAC .(步骤2)(Ⅱ)解法一:如图(1),以点C 为坐标原点,分别以直线CB ,CA ,CM 为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系. 在Rt ABC △中,2AB =,1AC =,BC ∴=又1PA =,()0,1,0A ∴,)B,()0,1,1P .(步骤3)故()3,0,0CB =,()0,1,1CP =.设平面BCP 的法向量为()1111,,x y z =n ,则110,0,CB CP ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩n n 1110,0,y z =∴+=⎪⎩不妨令11y =,则()10,1,1=-n .(步骤4)()0,0,1AP =,()3,1,0AB =-,设平面ABP 的法向量为()2222,,x y z =n ,则220,0,AP AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩nn 2220,0,z y =⎧⎪∴-=(步骤5) 不妨令21x =,则()2=n .于是12cos ,==n n . 由图(1)知二面角C —PB —A 为锐角,故二面角C —PB —A的余弦值为4(步骤6)第18题图(1)解法二:如图(2),过C 作CM AB ⊥于M ,PA ⊥平面ABC ,CM ⊂平面ABC ,PA CM ∴⊥.又PA AB A =,且PA ⊂平面PAB ,AB ⊂平面PAB ,CM ∴⊥平面PAB . 过M 作MN PB ⊥于N ,连接NC ,由三垂线定理得CN PB ⊥ CNM ∴∠为二面角C —PB —A 的平面角.(步骤3) 在Rt ABC △中,由2AB =,1AC =,得BC =2CM =,32BM =. 在Rt PAB △中,由2AB =,1PA =,得PB =.Rt BNM △∽Rt BAP △,31MN∴=,MN ∴=(步骤4) ∴在Rt CNM △中,CN =cos CNM ∴∠=,∴二面角C —PB —A(步骤5)第18题图(2)19.(本小题满分12分)现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.(I )求张同学至少取到1道乙类题的概率;(II )已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都是35,答对每道乙类题的概率都是45,且各题答对与否相互独立.用X 表示张同学答对题的个数,求X 的分布列和数学期望.【测量目标】古典概型,互斥事件与对立事件的概率,离散型随机变量的分布列及期望.【考查方式】至少类问题反面求解考查转化化归能力,分布列及数学期望的求解考查运算求解能力. 【难易程度】中等【试题解析】 (1)设事件A =“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”,则有A = “张同学所取的3道题都是甲类题”.()36310C 1C 6P A ==,()()516P A P A ∴=-=.(步骤1)(2)X 所有的可能取值为0,1,2,3.(步骤2)()020232140=C 555125P X ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;(步骤3) ()11021022321324281C +C 555555125P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭;(步骤4) ()2112122321324572C +C 555555125P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭;(步骤5) ()222324363C 555125P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(步骤6) X ∴的分布列为:(步骤7)()428573601232125125125125E X ∴⨯⨯⨯⨯==+++.(步骤8)20.(本小题满分12分)如图,抛物线()2212:4,:20C x y C x py p ==->,点()00,M x y在抛物线2C 上,过M 作1C 的切线,切点为,A B (M 为原点O 时,,A B 重合于O ),01x =,切线MA的斜率为12-.(I )求p 的值;(II )当M 在2C 上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程.(),,.A B O O 重合于时中点为第20题图【测量目标】导数的几何意义,圆锥曲线的轨迹方程.【考查方式】给出两抛物线方程,利用导数的几何意义及坐标中点与直线的关系求解;利用椭圆与直 线的位置关系及待定系数法求解. 【难易程度】中等【试题解析】(Ⅰ)抛物线21:4C x y =上任意一点(,)x y 的切线斜率为'2xy =,且切线MA 的斜率为12-,∴A 点坐标为(1-,14), (步骤1) ∴切线MA 的方程为11(1)24y x =-++. (步骤2).点M (01)y 在切线MA 及抛物线2C 上,∴0113(2244y -=--+=-①0y ==② (步骤3)由①②得2p =. (步骤4)(Ⅱ)设22121212(,),(,),(,),,44x x N x y A x B x x x ≠N 为线段AB 中点∴122x x x +=,③22128x x y +=.④ (步骤5) ∴切线MA,MB 的方程为2111()24x x y x x =-+,⑤2222()24x x y x x =-+.⑥ (步骤6)由⑤⑥得MA,MB 的交点M (00,)x y 的坐标为121200,.24x x x xx y +== (步骤7)点M (00,)x y 在2C 上,即200,4x y =-∴221212.6x x x x +=-⑦ (步骤8) 由③④⑦得24,0.3x y x =≠ (步骤9)当12x x =时,A,B 重合于原点O,AB 中点N 为O ,坐标满足24.3x y =∴AB 中点N 的轨迹方程为24.3x y = (步骤10)21.(本小题满分12分)已知函数()()21e xf x x -=+,()312cos 2x g x ax x x =+++.当[]0,1x ∈时, (I )求证:()111x f x x-+剟 ;(II )若()()f x g x …恒成立,求实数a 取值范围.【测量目标】利用导数求函数的单调区间,不等式恒成立问题.【考查方式】第一问不等式的证明利用构造函数法,通过导数证明,考查简单的转化化归能力;第二问的两种解法都对转化化归能力进一步升级考查,解法一利用第一问的结论进行转化,解法二通过构造函数,两次利用导数转化. 【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)证明:要证[]0,1x ∈时,()21e 1xx x -+-…,只需证明()()1e 1e x x x x -+-….(步骤1) 记()()(1)e1e xx h x x x -=--+,则()()e e x x h x x -'=-,(步骤2) 当()0,1x ∈时,()0h x '>,因此()h x 在[]0,1上是增函数,(步骤3)故()()00h x h =….所以()[]10,1f x x x ∈…-,.(步骤4) 要证[]0,1x ∈时,21(1)e1xx x-+…+,只需证明e 1xx …+.(步骤5) 记()e 1x K x x =--,则()e 1x K x '=-,(步骤6)当()0,1x ∈时,()0K x '>,因此()K x 在[]0,1上是增函数,(步骤7) 故()()00K x K =….所以()11f x x+…,[]0,1x ∈.(步骤8) 综上,()111x f x x-+剟,[]0,1x ∈.(步骤9) (Ⅱ)解法一:()()32(1)e 12cos 2xx f x g x x ax x x -⎛⎫-=-+++ ⎪⎝⎭+3112cos 2x x ax x x -----…2(12cos )2x x a x =-+++.(步骤10)设()22cos 2x G x x =+,则()2sin G x x x '=-.(步骤11) 记()2sin H x x x =-,则()12cos H x x '=-,(步骤12)当()0,1x ∈时,()0H x '<,于是()G x '在[]0,1上是减函数,(步骤13)从而当()0,1x ∈时,()()00G x G ''<=,故()G x 在[]0,1上是减函数.(步骤14) 于是()()02G x G =…,从而()13a G x a …+++.(步骤15) 所以,当3a -…时,()()f x g x …在[]0,1上恒成立.(步骤16) 下面证明当3a >-时,()()f x g x …在[]0,1上不恒成立.()()3112cos 12x f x g x ax x x x -----+…32cos 12x x ax x x x -=---+ 212cos 12x x a x x ⎛⎫=-+++ ⎪+⎝⎭,(步骤17)记()2112cos ()121x I x a x a G x x x =+++=++++, 则()21()(1)I x G x x -''=++,(步骤18) 当()0,1x ∈时,()0I x '<,故()I x 在[]0,1上是减函数,(步骤19)于是()I x 在[]0,1上的值域为[12cos 13]a a ++,+.(步骤20)因为当3a >-时,3>0a +,()00,1x ∴∃∈,使得()00I x >,(步骤21) 此时()()00f x g x <,即()()f x g x …在[]0,1上不恒成立.(步骤22) 综上,实数a 的取值范围是(],3-∞-.(步骤23)解法二:先证当[]0,1x ∈时,22111cos 124x x x --剟.(步骤10)记()21cos 12F x x x =-+,则()sin F x x x '=-+.(步骤11)记()sin G x x x =-+,则()cos 1G x x '=-+,(步骤12) 当()0,1x ∈时,()0G x '>,于是()G x 在[]0,1上是增函数,(步骤13)因此当()0,1x ∈时,()()00G x G >=,从而()F x 在[]0,1上是增函数.(步骤14) 因此()()00F x F =…,所以当[]0,1x ∈时,211cos 2x x -….(步骤15) 同理可证,当[]0,1x ∈时,21cos 14x x -….(步骤16) 综上,当[]0,1x ∈时,22111cos 124x x x --剟.(步骤17)当[]0,1x ∈时,()()()321e 12cos 2xx f x g x x ax x x -⎛⎫-=+-+++ ⎪⎝⎭321(1)12124x x ax x x ⎛⎫------ ⎪⎝⎭…()3a x =-+.(步骤18)所以当3a -…时,()()f x g x …在[]0,1上恒成立.(步骤19) 下面证明当3a >-时,()()f x g x …在[]0,1上不恒成立.()()()321e 12cos 2xx f x g x x ax x x -⎛⎫-=+-+++ ⎪⎝⎭3211121122x ax x x x ⎛⎫----- ⎪+⎝⎭… 23(3)12x x a x x =+-++ 32(3)23x x a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦…,(步骤20) ()00,1x ∴∃∈ (例如0x 取33a +和12中的较小值)满足()()00f x g x <.(步骤21) 即()()f x g x …在[]0,1上不恒成立.(步骤22)综上,实数a 的取值范围是(],3-∞-.(步骤23)请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,AB 为半圆O 的直径,直线CD 与半圆O 相切于E ,AD 垂直CD 于D ,BC 垂直CD 于C ,EF 垂直AB 与F ,连接,AE BE .证明:(I )FEB CEB ∠=∠; (II )2.EF AD BC =⋅第22题图【测量目标】几何证明选讲.【考查方式】给出点、线、面之间的各种关系,根据圆中直线的垂直等角关系证明;根据圆中三角形 的全等和线段间的关系求解. 【难易程度】容易【试题解析】(Ⅰ)直线CD 与⊙O 相切,∴.CEB EAB ∠=∠ (步骤1)AB 为⊙O 的直径,∴AE EB ⊥,∴π2EAB EBF ∠+∠=; (步骤2) 又EF AB ⊥,∴π2FEB EBF ∠+∠=. (步骤3) ∴FEB EAB ∠=∠.∴.FEB CEB ∠=∠ (步骤4)(Ⅱ)BC CE ⊥,EF AB ⊥,,FEB CEB BE ∠=∠是公共边, ∴Rt BCE △≌Rt BFE △,∴BC BF =. (步骤5)类似可证Rt ADE △≌Rt AFE △,得AD AF =. (步骤6)又在Rt AEB △中,EF AB ⊥,∴2EF AF BF =,∴2EF AD BC =. (步骤7)23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ,直线2C 的极坐标方程分别为π4sin ,cos 4ρθρθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭(I )求1C 与2C 交点的极坐标;(II )设P 为1C 的圆心,Q 为1C 与2C 交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为3312x t a b y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(t ∈R 为参数),求,a b 的值.【测量目标】极坐标与参数方程.【考查方式】给出各直线的极坐标方程或参数方程,联立1C 与2C 方程求交点;由参数方程的性质求 解.【难易程度】容易【试题解析】(Ⅰ)圆1C 的直角坐标方程为2224x y +-=(),直线2C 的直角坐标方程为40x y -+=. 解222440x y x y ⎧+-=⎨+-=⎩(),,得1104x y =⎧⎨=⎩,,2222x y =⎧⎨=⎩, (步骤1) ∴1C 与2C 交点的极坐标为ππ424⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,,. (步骤2)注:极坐标系下点的表示不是唯一的.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,P 点与Q 点的直角坐标分别为()()0213,,,.∴直线PQ 的直角坐标方程为20x y -+=, (步骤3)由参数方程可得b aby x 22=-+1. (步骤4)∴12122b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩,,解得12a b =-⎧⎨=⎩,. (步骤5)24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数()f x x a =-,其中1a >.(I )当=2a 时,求不等式()f x …4x a --的解集;(II )已知关于x 的不等式(2)2()f x a f x +-…2的解集为{1x …x …}2,求a 的值. 【测量目标】绝对值不等式的解法,含参不等式的解法.【考查方式】给出函数方程,求不等式的解集.再给出不等式的解集,求未知数a 的值. 【难易程度】中等【试题解析】(1)当2a =时,2624224264x x fx x x x x .-+⎧⎪+-=<<⎨⎪-⎩,,(),,,…… (步骤1) 当2x …时,由4f x x -()4-…得264x -+…,解得1x …; (步骤2) 当24x <<时,44f x x --()…无解; (步骤3)当4x …时,由44f x x --()…得264x -…,解得5x …. (步骤4)∴44f x x --()… 的解集为{1x x …或}5x …. (步骤5)(2)记22h x f x a f x =+-()()(),则204202a x h x x a x a a x a.-⎧⎪=-<<⎨⎪⎩,,(),,,…… (步骤6)由2h x ()…,解得1122a a x-+剟. (步骤7) 又2h x ()…的解集为{}12x x 剟,∴112122a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩,, ∴3a =. (步骤8)。

2013年辽宁高考理科数学卷-答案

2013年辽宁高考理科数学卷-答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)【解析】1i 1z ==-【提示】直接给出复数,利用【考点】复数代数形式的四则运算【解析】{|0A x ={|14}{|2}{|1A B x x x x x =<<≤=【提示】求出集合A 中其他不等式的解集,确定出【考点】集合的基本运算 【答案】A【解析】(3,AB =-35||AB AB ⎛= ⎝【提示】由条件求得(3,AB =-,再根据与向量同方向的单位向量为AB 求得结果【解析】根据等差数列的性质判定.0d >,∴是真命题,1n n +>是假命题.13(0n a n ++,4p ∴是真命题的等差数列,求数列的增减性又sin a b >,∴∠【提示】利用正弦定理化简已知的等式,根据公式化简求出【解析】根据二项展开式的通项公式求解.T 52rn r rn C x,令x 】13S =,2819=-,框图首先给累加变量32a ba-=-a 【提示】利用已知可得(,AB a a =,(0,OA b =,(,OB a a =①若OA OB ⊥,则3OA OB ba ==②OA OB ⊥,则3(OA OB b a =-0b ≠∵,30b a =≠③OA OB ⊥,则2OA OB a a =+综上可知:OAB △为直角三角形,则必有【考点】直线的倾斜角与斜率根据球的内接三棱柱的性质求解.直三棱柱中【解析】a612 1S-=-【提示】给出方程,已知等比数列为递增数列,先求等比数列中两项值,即方程的两根,再由数列为递增数列求出数列的前,直线过原点,90,∴△.又在1||2AB(Ⅰ)|又x (Ⅱ)()f x a b =31sin 2cos222x =-(Ⅰ)由条件求得2a ,2b 的值,再根据||||a b =以及x 范围,利用正弦函数的定义域和值域求得的最大值PAAC A =,⊥平面PAC BC ⊂平面∴平面PBC (Ⅱ)解法一:如图(Ⅰ),以点角坐标系.中,2AB =,又1PA =,(0,1,0)A ,故(3,0,0)CB =,(0,1,1)CP =设平面BCP 1100CB n CP n ⎧=⎪⎨=⎪⎩, 1). (0,0,1AP =,(3,AB =2200A P n A B n ⎧=⎪⎨=⎪⎩⎧⎪∴⎨⎪⎩不妨令2x =,则2(1,n =,PA⊥平面又PA AB A=,且M作MN PB⊥,由三垂线定理得CNCNM∴∠为二面角Rt ABC△中,由Rt BNM△∴在Rt CNM△544C()CP A=02023214555125⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;1102102232132428+C 555555125⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭;211212232132457+C 555555125⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭;22232436555125⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 的分布列为:(Ⅰ)抛物线点N 点)直线AB⊥又EF AB(Ⅱ)BC CE ⊥又在Rt AEB △AF BF ,EF AD BC ∴【提示】(Ⅰ)直线,利用互余角的关系可得FEB EAB ∠,从而得证.AF FB .等量代换即h x≤又|()|2【提示】(1)当解集即可.。

2013年高考真题——理科综合(辽宁卷)解析版Word含答案

2013年高考真题——理科综合(辽宁卷)解析版Word含答案

1 课标卷Ⅰ理科综合生物试题解析(适用地区:河南、河北、山西、陕西、湖南、湖北、江西)必修部分分值分配统计分数分配比较合理,都接近平均分25分,与教学时数相统一。

知识点分布:选择题1.关蛋白质合成的基础知识;2. 有丝分裂和减数分裂;3. 植物细胞主动运输方式吸收所需矿质元素离子;4.免疫调节等;5. 生态学部分种群、群落和生态系统;6. 验证孟德尔分离定律。

非选择题29.物质鉴定及植物代谢(11分)30.血糖的调节(10分)31.基因分离定律的验证(12分)32.生态学群落演替和生态系统的稳定性(6分)选做题(15分)39.泡菜的制作40.基因工程、蛋白质工程、胚胎工程一、选择题(共6题,每题6分)1.关于蛋白质生物合成的叙述,正确的是()A.一种tRNA可以携带多种氨基酸B.DNA聚合酶是在细胞核中合成的C.反密码子是位于mRNA上相邻的三个碱基D.线粒体中的DNA能控制某些蛋白质的合成【答案】D【解析】tRNA的一端有三个碱基外露为反密码子,与mRNA上的密码子进行碱基互补配对,另一端携带一种氨基酸到达核糖体上,通过发生脱水缩合形成肽健,合成多肽链。

所以A、C错误。

DNA聚合酶是蛋白质,在核糖体上合成,而细胞核内无核糖体,不能合成蛋白质,因而DNA聚合酶是在细胞质中合成的蛋白质类酶,通过核孔进入细胞核发挥作用。

B 错。

线粒体中不仅具有自己的DNA,而且还有核糖体,能够通过转录和翻译控制一部分蛋白质的合成,所以核糖体具有一定的独立性。

D正确。

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------【试题点评】本题不偏不难,正面考查了有关蛋白质合成的基础知识,DNA聚合酶是在细胞核内起催化作用的,部分考生可能会误选B。

本题主要涉及的知识点是化合物的本质及合成,基因控制蛋白质合成过程中有关概念及特点。

2013年辽宁省高考数学试卷(理科)教师版

2013年辽宁省高考数学试卷(理科)教师版

2013年辽宁省高考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)(2013•辽宁)复数的模长为()A.B.C.D.2【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果.【解答】解:复数,所以===.故选:B.2.(5分)(2013•辽宁)已知集合A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则A∩B=()A.(0,1)B.(0,2]C.(1,2)D.(1,2]【分析】求出集合A中其他不等式的解集,确定出A,找出A与B的公共部分即可求出交集.【解答】解:由A中的不等式变形得:log41<log4x<log44,解得:1<x<4,即A=(1,4),∵B=(﹣∞,2],∴A∩B=(1,2].故选:D.3.(5分)(2013•辽宁)已知点A(1,3),B(4,﹣1),则与向量同方向的单位向量为()A.,B.,C.,D.,【分析】由条件求得=(3,﹣4),||=5,再根据与向量同方向的单位向量为求得结果.【解答】解:∵已知点A(1,3),B(4,﹣1),∴=(4,﹣1)﹣(1,3)=(3,﹣4),||==5,则与向量同方向的单位向量为=,,故选:A.4.(5分)(2013•辽宁)下列关于公差d>0的等差数列{a n}的四个命题:p1:数列{a n}是递增数列;p2:数列{na n}是递增数列;p3:数列是递增数列;p4:数列{a n+3nd}是递增数列;其中真命题是()A.p1,p2B.p3,p4C.p2,p3D.p1,p4【分析】对于各个选项中的数列,计算第n+1项与第n项的差,看此差的符,再根据递增数列的定义得出结论.﹣a n=d>0,∴命题p1:数【解答】解:∵对于公差d>0的等差数列{a n},a n+1列{a n}是递增数列成立,是真命题.﹣na n=(n+1)d+a n,不对于数列{na n},第n+1项与第n项的差等于(n+1)a n+1一定是正实数,故p2不正确,是假命题.对于数列,第n+1项与第n项的差等于﹣==,不一定是正实数,故p3不正确,是假命题.+3(n+1)d﹣a n﹣3nd=4d>对于数列{a n+3nd},第n+1项与第n项的差等于a n+10,故命题p4:数列{a n+3nd}是递增数列成立,是真命题.故选:D.5.(5分)(2013•辽宁)某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100).若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是()A.45B.50C.55D.60【分析】由已知中的频率分布直方图,我们可以求出成绩低于60分的频率,结合已知中的低于60分的人数是15人,结合频数=频率×总体容量,即可得到总体容量.【解答】解:∵成绩低于60分有第一、二组数据,在频率分布直方图中,对应矩形的高分别为0.005,0.01,每组数据的组距为20,则成绩低于60分的频率P=(0.005+0.010)×20=0.3,又∵低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是=50.故选:B.6.(5分)(2013•辽宁)在△ABC,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.asinBcosC+csinBcosA=b,且a>b,则∠B=()A.B.C.D.【分析】利用正弦定理化简已知的等式,根据sinB不为0,两边除以sinB,再利用两角和与差的正弦函数公式化简求出sinB的值,即可确定出B的度数.【解答】解:利用正弦定理化简已知等式得:sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB,∵sinB≠0,∴sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB=,∵a>b,∴∠A>∠B,即∠B为锐角,则∠B=.故选:A.7.(5分)(2013•辽宁)使得(3x+)n(n∈N+)的展开式中含有常数项的最小的n为()A.4B.5C.6D.7【分析】利用二项展开式的通项公式T r+1=3n﹣r••,令x的幂指数n﹣r=0即可求得展开式中含有常数项的最小的n.【解答】解:设(n∈N+)的展开式的通项为T r+1,则:T r+1=3n﹣r••x n﹣r•=3n﹣r••,令n﹣r=0得:n=r,又n∈N+,∴当r=2时,n最小,即n min=5.故选:B.8.(5分)(2013•辽宁)执行如图所示的程序框图,若输入n=10,则输出的S=()A.B.C.D.【分析】框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2,在输入n的值为10后,对i的值域n的值大小加以判断,满足i≤n,执行,i=i+2,不满足则跳出循环,输出S.【解答】解:输入n的值为10,框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2,判断2≤10成立,执行,i=2+2=4;判断4≤10成立,执行=,i=4+2=6;判断6≤10成立,执行,i=6+2=8;判断8≤10成立,执行,i=8+2=10;判断10≤10成立,执行,i=10+2=12;判断12≤10不成立,跳出循环,算法结束,输出S的值为.故选:A.9.(5分)(2013•辽宁)已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3),若△OAB为直角三角形,则必有()A.b=a3B.C.D.【分析】利用已知可得=(a,a3﹣b),,,=(a,a3),且ab≠0.分以下三种情况:①,②,③,利用垂直与数量积的关系即可得出.【解答】解:∵=(a,a3﹣b),,,=(a,a3),且ab≠0.①若,则=ba3=0,∴a=0或b=0,但是ab≠0,应舍去;②若,则=b(a3﹣b)=0,∵b≠0,∴b=a3≠0;③若,则=a2+a3(a3﹣b)=0,得1+a4﹣ab=0,即.综上可知:△OAB为直角三角形,则必有.故选:C.10.(5分)(2013•辽宁)已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为()A.B.C.D.【分析】通过球的内接体,说明几何体的侧面对角线是球的直径,求出球的半径.【解答】解:因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,所以三棱柱的底面是直角三角形,侧棱与底面垂直,侧面B1BCC1,经过球的球心,球的直径是其对角线的长,因为AB=3,AC=4,BC=5,BC1=,所以球的半径为:.故选:C.11.(5分)(2013•辽宁)已知函数f(x)=x2﹣2(a+2)x+a2,g(x)=﹣x2+2(a ﹣2)x﹣a2+8.设H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)},(max{p,q})表示p,q中的较大值,min{p,q}表示p,q中的较小值),记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A﹣B=()A.16B.﹣16C.﹣16a2﹣2a﹣16D.16a2+2a﹣16【分析】先作差得到h(x)=f(x)﹣g(x)=2(x﹣a)2﹣8.分别解出h(x)=0,h(x)>0,h(x)<0.画出图形,利用新定义即可得出H1(x),H2(x).进而得出A,B即可.【解答】解:令h(x)=f(x)﹣g(x)=x2﹣2(a+2)x+a2﹣[﹣x2+2(a﹣2)x ﹣a2+8]=2x2﹣4ax+2a2﹣8=2(x﹣a)2﹣8.①由2(x﹣a)2﹣8=0,解得x=a±2,此时f(x)=g(x);②由h(x)>0,解得x>a+2,或x<a﹣2,此时f(x)>g(x);③由h(x)<0,解得a﹣2<x<a+2,此时f(x)<g(x).综上可知:(1)当x≤a﹣2时,则H1(x)=max{f(x),g(x)}=f(x)=[x﹣(a+2)]2﹣4a﹣4,H2(x)=min{f(x),g(x)}=g(x)=﹣[x﹣(a﹣2)]2﹣4a+12,(2)当a﹣2≤x≤a+2时,H1(x)=max{f(x),g(x)}=g(x),H2(x)=min{f (x),g(x)}=f(x);(3)当x≥a+2时,则H1(x)=max{f(x),g(x)}=f(x),H2(x)=min{f(x),g(x)}=g(x),故A=g(a+2)=﹣[(a+2)﹣(a﹣2)]2﹣4a+12=﹣4a﹣4,B=g(a﹣2)=﹣4a+12,∴A﹣B=﹣4a﹣4﹣(﹣4a+12)=﹣16.故选:B.12.(5分)(2013•辽宁)设函数f(x)满足x2f′(x)+2xf(x)=,f(2)=,则x>0时,f(x)()A.有极大值,无极小值B.有极小值,无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值【分析】令F(x)=x2f(x),利用导数的运算法则,确定f′(x)=,再构造新函数,确定函数的单调性,即可求得结论.【解答】解:∵函数f(x)满足,∴令F(x)=x2f(x),则F′(x)=,F(2)=4•f(2)=.由,得f′(x)=,令φ(x)=e x﹣2F(x),则φ′(x)=e x﹣2F′(x)=.∴φ(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,∴φ(x)的最小值为φ(2)=e2﹣2F(2)=0.∴φ(x)≥0.又x>0,∴f′(x)≥0.∴f(x)在(0,+∞)单调递增.∴f(x)既无极大值也无极小值.故选:D.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(5分)(2013•辽宁)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是16π﹣16.【分析】首先判断该几何体的形状,然后计算其体积即可.【解答】解:根据三视图可知,该几何体为圆柱中挖去一个四棱柱,圆柱是底面外径为2,高为4的圆筒,四棱柱的底面是边长为2的正方形,高也为4.故其体积为:22π×4﹣22×4=16π﹣16,故答案为:16π﹣16.14.(5分)(2013•辽宁)已知等比数列{a n}是递增数列,S n是{a n}的前n项和.若a1,a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根,则S6=63.【分析】通过解方程求出等比数列{a n}的首项和第三项,然后求出公比,直接利用等比数列前n项和公式求前6项和.【解答】解:解方程x2﹣5x+4=0,得x1=1,x2=4.因为数列{a n}是递增数列,且a1,a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根,所以a1=1,a3=4.设等比数列{a n}的公比为q,则,所以q=2.则.故答案为63.15.(5分)(2013•辽宁)已知椭圆:>>的左焦点为F,C 与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF、BF,若|AB|=10,|AF|=6,cos ∠ABF=,则C的离心率e=.【分析】设椭圆右焦点为F',连接AF'、BF',可得四边形AFBF'为平行四边形,得|AF|=|BF'|=6.△ABF中利用余弦定理算出|BF|=8,从而得到|AF|2+|BF|2=|AB|2,得∠AFB=90°,所以c=|OF|=|AB|=5.根据椭圆的定义得到2a=|BF|+|BF'|=14,得a=7,最后结合椭圆的离心率公式即可算出椭圆C 的离心率.【解答】解:设椭圆的右焦点为F',连接AF'、BF'∵AB与FF'互相平分,∴四边形AFBF'为平行四边形,可得|AF|=|BF'|=6∵△ABF中,|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=,∴由余弦定理|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB|×|BF|cos∠ABF,可得62=102+|BF|2﹣2×10×|BF|×,解之得|BF|=8由此可得,2a=|BF|+|BF'|=14,得a=7∵△ABF中,|AF|2+|BF|2=100=|AB|2∴∠AFB=90°,可得|OF|=|AB|=5,即c=5因此,椭圆C的离心率e==故答案为:16.(5分)(2013•辽宁)为了考察某校各班参加课外小组的人数,从全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据,已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值为10.【分析】本题可运用平均数公式求出平均数,再运用方差的公式列出方差表达式,再讨论样本数据中的最大值的情况,即可解决问题.【解答】解:设样本数据为:x1,x2,x3,x4,x5,平均数=(x1+x2+x3+x4+x5)÷5=7;方差s2=[(x1﹣7)2+(x2﹣7)2+(x3﹣7)2+(x4﹣7)2+(x5﹣7)2]÷5=4.从而有x1+x2+x3+x4+x5=35,①(x1﹣7)2+(x2﹣7)2+(x3﹣7)2+(x4﹣7)2+(x5﹣7)2=20.②若样本数据中的最大值为11,不妨设x5=11,则②式变为:(x1﹣7)2+(x2﹣7)2+(x3﹣7)2+(x4﹣7)2=4,由于样本数据互不相同,这是不可能成立的;若样本数据为4,6,7,8,10,代入验证知①②式均成立,此时样本数据中的最大值为10.故答案为:10.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12分)(2013•辽宁)设向量,,,,,.(1)若,求x的值;(2)设函数,求f(x)的最大值.【分析】(1)由条件求得,的值,再根据以及x的范围,可的sinx 的值,从而求得x的值.(2)利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换化简函数f(x)的解析式为sin(2x﹣)+.结合x的范围,利用正弦函数的定义域和值域求得f(x)的最大值.【解答】解:(1)由题意可得=+sin2x=4sin2x,=cos2x+sin2x=1,由,可得4sin2x=1,即sin2x=.∵x∈[0,],∴sinx=,即x=.(2)∵函数=(sinx,sinx)•(cosx,sinx)=sinxcosx+sin2x=sin2x+=sin(2x﹣)+.x∈[0,],∴2x﹣∈[﹣,],∴当2x﹣=,sin(2x﹣)+取得最大值为1+=.18.(12分)(2013•辽宁)如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.(Ⅰ)求证:平面PAC⊥平面PBC;(Ⅱ)若AB=2,AC=1,PA=1,求证:二面角C﹣PB﹣A的余弦值.【分析】(Ⅰ)要证平面PAC⊥平面PBC,只要证明平面PBC经过平面PAC的一条垂线BC即可,利用题目给出的条件借助于线面垂直的判定定理能够证明BC⊥平面PAC;(Ⅱ)因为平面PAB和平面ABC垂直,只要在平面ABC内过C作两面的交线AB 的垂线,然后过垂足再作PB的垂线,连结C和后一个垂足即可得到二面角C ﹣PB﹣A的平面角,然后在作出的直角三角形中通过解直角三角形即可求得二面角C﹣PB﹣A的余弦值.【解答】(Ⅰ)证明:如图,由AB是圆的直径,得AC⊥BC.由PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,得PA⊥BC.又PA∩AC=A,PA⊂平面APC,AC⊂平面PAC,所以BC⊥平面PAC.因为BC⊂平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC;(Ⅱ)解:过C作CM⊥AB于M,因为PA⊥平面ABC,CM⊂平面ABC,所以PA⊥CM,故CM⊥平面PAB.过M作MN⊥PB于N,连接NC.由三垂线定理得CN⊥PB.所以∠CNM为二面角C﹣PB﹣A的平面角.在Rt△ABC中,由AB=2,AC=1,得,,.在Rt△ABP中,由AB=2,AP=1,得.因为Rt△BNM∽Rt△BAP,所以.故MN=.又在Rt△CNM中,.故cos.所以二面角C﹣PB﹣A的余弦值为.19.(12分)(2013•辽宁)现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.(Ⅰ)求张同学至少取到1道乙类题的概率;(Ⅱ)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是,答对每道乙类题的概率都是,且各题答对与否相互独立.用X 表示张同学答对题的个数,求X的分布列和数学期望.【分析】(I)从10道试题中取出3个的所有可能结果数有,张同学至少取到1道乙类题的对立事件是:张同学取到的全为甲类题,代入古典概率的求解公式即可求解(II)先判断随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,根据题意求出随机变量的各个取值的概率,即可求解分布列及期望值【解答】解:(I)设事件A=“张同学至少取到1道乙类题”则=张同学至少取到的全为甲类题∴P(A)=1﹣P()=1﹣=(II)X的所有可能取值为0,1,2,3P (X=0)==P(X=1)==P(X=2)=+=P(X=3)==X的分布列为EX=20.(12分)(2013•辽宁)如图,抛物线C1:x2=4y,C2:x2=﹣2py(p>0),点M(x0,y0)在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O 时,A,B重合于O),当x0=1﹣时,切线MA的斜率为﹣.(Ⅰ)求p的值;(Ⅱ)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O).【分析】(Ⅰ)利用导数的几何意义,先表示出切线方程,再由M在抛物线上及在直线上两个前提下,得到相应的方程,解出p值.(Ⅱ)由题意,可先设出A,B两个端点的坐标及中点的坐标,再由中点坐标公式建立方程,直接求解出中点N的轨迹方程【解答】解:(Ⅰ)因为抛物线C1:x2=4y上任意一点(x,y)的切线斜率为y′=,且切线MA的斜率为﹣,所以设A点坐标为(x,y),得,解得x=﹣1,y==,点A的坐标为(﹣1,),故切线MA的方程为y=﹣(x+1)+因为点M(1﹣,y0)在切线MA及抛物线C2上,于是y0=﹣(2﹣)+=﹣①∴y0=﹣=﹣②解得p=2(Ⅱ)设N(x,y),A(x1,),B(x2,),x1≠x2,由N为线段AB中点知x=③,y==④切线MA,MB的方程为y=(x﹣x1)+,⑤;y=(x﹣x2)+⑥,由⑤⑥得MA,MB的交点M(x0,y0)的坐标满足x0=,y0=因为点M(x0,y0)在C2上,即x02=﹣4y0,所以x1x2=﹣⑦由③④⑦得x2=y,x≠0当x1=x2时,A,B丙点重合于原点O,A,B中点N为O,坐标满足x2=y因此中点N的轨迹方程为x2=y21.(12分)(2013•辽宁)已知函数f(x)=(1+x)e﹣2x,g(x)=ax++1+2xcosx,当x∈[0,1]时,(I)求证:;(II)若f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围.【分析】(I)①当x∈[0,1)时,(1+x)e﹣2x≥1﹣x⇔(1+x)e﹣x≥(1﹣x)e x,令h(x)=(1+x)e﹣x﹣(1﹣x)e x,利用导数得到h(x)的单调性即可证明;②当x∈[0,1)时,⇔e x≥1+x,令u(x)=e x﹣1﹣x,利用导数得出h(x)的单调性即可证明.(II)利用(I)的结论得到f(x)≥1﹣x,于是G(x)=f(x)﹣g(x)≥=.再令H(x)=,通过多次求导得出其单调性即可求出a的取值范围.【解答】(I)证明:①当x∈[0,1)时,(1+x)e﹣2x≥1﹣x⇔(1+x)e﹣x≥(1﹣x)e x,令h(x)=(1+x)e﹣x﹣(1﹣x)e x,则h′(x)=x(e x﹣e﹣x).当x∈[0,1)时,h′(x)≥0,∴h(x)在[0,1)上是增函数,∴h(x)≥h(0)=0,即f(x)≥1﹣x.②当x∈[0,1)时,⇔e x≥1+x,令u(x)=e x﹣1﹣x,则u′(x)=e x﹣1.当x∈[0,1)时,u′(x)≥0,∴u(x)在[0,1)单调递增,∴u(x)≥u(0)=0,∴f(x).综上可知:.(II)解:设G(x)=f(x)﹣g(x)=≥=.令H(x)=,则H′(x)=x﹣2sinx,令K(x)=x﹣2sinx,则K′(x)=1﹣2cosx.当x∈[0,1)时,K′(x)<0,可得H′(x)是[0,1)上的减函数,∴H′(x)≤H′(0)=0,故H(x)在[0,1)单调递减,∴H(x)≤H(0)=2.∴a+1+H(x)≤a+3.∴当a≤﹣3时,f(x)≥g(x)在[0,1)上恒成立.下面证明当a>﹣3时,f(x)≥g(x)在[0,1)上不恒成立.f(x)﹣g(x)≤==﹣x.令v(x)==,则v′(x)=.当x∈[0,1)时,v′(x)≤0,故v(x)在[0,1)上是减函数,∴v(x)∈(a+1+2cos1,a+3].当a>﹣3时,a+3>0.∴存在x0∈(0,1),使得v(x0)>0,此时,f(x0)<g(x0).即f(x)≥g(x)在[0,1)不恒成立.综上实数a的取值范围是(﹣∞,﹣3].请考生在21、22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学试题 (理科) word解析版

2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学试题 (理科) word解析版

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数 学(供理科考生使用)第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)复数的11Z i =-模为(A )12(B (C (D )21. 【答案】B【解析】由已知111,(1)(1)22i Z i i i -+==-----+所以||Z =(2)已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x AB =<<=≤=,则A .()01,B .(]02,C .()1,2D .(]12, 2. 【答案】D【解析】由集合A ,14x <<;所以(1,2]A B ⋂=(3)已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为(A )3455⎛⎫ ⎪⎝⎭,-(B )4355⎛⎫ ⎪⎝⎭,- (C )3455⎛⎫- ⎪⎝⎭, (D )4355⎛⎫- ⎪⎝⎭, 3. 【答案】A【解析】(3,4)AB =-,所以||5AB =,这样同方向的单位向量是134(,)555AB =-(4)下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题:{}1:n p a 数列是递增数列; {}2:n p na 数列是递增数列;3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列;{}4:3n p a nd +数列是递增数列; 其中的真命题为(A )12,p p (B )34,p p (C )23,p p (D )14,p p 4.【答案】D【解析】设1(1)n a a n d dn m =+-=+,所以1P 正确;如果312n a n =-则满足已知,但2312n na n n =-并非递增所以2P 错;如果若1n a n =+,则满足已知,但11n a n n=+,是递减数列,所以3P 错;34n a nd dn m +=+,所以是递增数列,4P 正确(5)某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图, 数据的分组一次为[)[)[)[)20,40,40,60,60,80,820,100. 若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是(A )45 (B )50 (C )55 (D )60 5.【答案】B【解析】第一、第二小组的频率分别是0.1、0.2,所以低于60分的频率是0.3,设班级人数为m ,则150.3m=,50m =。

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绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数 学(供理科考生使用)第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)复数的11Z i =-模为(A )12 (B (C (D )2 (2)已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤= ,则A .()01,B .(]02,C .()1,2D .(]12, (3)已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为(A )3455⎛⎫ ⎪⎝⎭,-(B )4355⎛⎫ ⎪⎝⎭,- (C )3455⎛⎫- ⎪⎝⎭, (D )4355⎛⎫- ⎪⎝⎭, (4)下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题:{}1:n p a 数列是递增数列;{}2:n p na 数列是递增数列; 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列;{}4:3n p a nd +数列是递增数列; 其中的真命题为(A )12,p p (B )34,p p (C )23,p p (D )14,p p (5)某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图, 数据的分组一次为[)[)[)[)20,40,40,60,60,80,820,100. 若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是(A )45 (B )50 (C )55 (D )60(6)在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=,a b B >∠=且则 A .6π B .3π C .23π D .56π(7)使得()3nx n N n+⎛+∈ ⎝的展开式中含有常数项的最小的为A .4B .5C .6D .7(8)执行如图所示的程序框图,若输入10,n S ==则输出的A .511 B .1011 C .3655 D .7255(9)已知点()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有A .3b a =B .31b a a=+C .()3310b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D .3310b a b a a -+--=(10)已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若,, ,AB AC ⊥112AA O =,则球的半径为A B . C .132 D .(11)已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值,{}min ,p q 表示,p q 中的较小值,记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=(A )2216a a -- (B )2216a a +- (C )16- (D )16(11)设函数()()()()()222,2,0,8x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时, (A )有极大值,无极小值 (B )有极小值,无极大值 (C )既有极大值又有极小值 (D )既无极大值也无极小值第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题-第22题为必考题,每个试题考生都必须作答。

第22题-第24题为选考题,考生根据要求作答。

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.(13)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 .(14)已知等比数列{}{}13n n n a S a n a a 是递增数列,是的前项和.若,是方程26540x x S -+==的两个根,则 .(15)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点,4,.10,6,cos ABF ,5AF BF AB AF C e ==∠=连接若则的离心率= . (16)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,在全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互相不相同,则样本数据中的最大值为 .三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦(I )若.a b x =求的值;(II )设函数()(),.f x a b f x = 求的最大值 18.(本小题满分12分)如图,.AB PA C 是圆的直径,垂直圆所在的平面,是圆上的点(I )求证:PAC PBC ⊥平面平面;(II )2.AB AC PA C PB A ===--若,1,1,求证:二面角的余弦值19.(本小题满分12分)现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答. (I )求张同学至少取到1道乙类题的概率;(II )已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是35,答对每道乙类题的概率都是45,且各题答对与否相互独立.用X 表示张同学答对题的个数,求X 的分布列和数学期望.20.(本小题满分12分)如图,抛物线()()2212002:4,:20.,C x y C x py p M x y C ==->点在抛物线上,1M C 过作()0,,.1A B M O A B O x =的切线,切点为为原点时,重合于当1-.2MA 切线的斜率为(I )P 求的值;(II )2M C AB N 当在上运动时,求线段中点的轨迹方程(),,.A B O O 重合于时中点为21.(本小题满分12分)已知函数()()()[]321,12cos .0,12e xx f x x g x ax x x x -=+=+++∈当时,(I )求证:()11-;1x f x x≤≤+ (II )若()()f x g x ≥恒成立,a 求实数的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。

作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。

22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,.AB O CD O E AD CD D 为直径,直线与相切于垂直于于,BC 垂直于 ,.CD C EF F AE BE 于,垂直于,连接证明:(I );FEB CEB ∠=∠(II )2.EF AD BC =23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ,直线2C 的极坐标方程分别为4sin ,cos 4πρθρθ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭. (I )12C C 求与交点的极坐标;(II )112.P C Q C C PQ 设为的圆心,为与交点连线的中点已知直线的参数方程为()33,,.12x t a t R a b b y t ⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩为参数求的值 24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数(), 1.f x x a a =->其中(I )()=244;a f x x ≥=-当时,求不等式的解集(II )()(){}{}222|12,x f x a f x x x +-≤≤≤已知关于的不等式的解集为.a 求的值2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数 学(供理科考生使用)解析一选择题:1. 【答案】B【解析】由已知111,(1)(1)22i Z i i i -+==-----+所以||2Z =2. 【答案】D【解析】由集合A ,14x <<;所以(1,2]A B ⋂= 3. 【答案】A【解析】(3,4)AB =- ,所以||5AB = ,这样同方向的单位向量是134(,)555AB =-4.【答案】D【解析】设1(1)n a a n d dn m =+-=+,所以1P 正确;如果312n a n =-则但2312n na n n =-并非递增所以2P 错;如果若1n a n =+,则满足已知,但11n a n n=+,是递减数列,所以3P 错;34n a nd dn m +=+,所以是递增数列,4P 正确5.【答案】B【解析】第一、第二小组的频率分别是0.1、0.2,所以低于60分的频率是0.3,设班级人数为m ,则150.3m=,50m =。

6.【答案】A【解析】边换角后约去sin B ,得1sin()2A C +=,所以1sin 2B =,但B 非最大角,所以6B π=。

7.【答案】B【解析】通项52(3)3n r rn rrr n rnnC x C x---=,常数项满足条件52n r =,所以2r =时5n =最小8.【答案】A【解析】211s s i =+-的意义在于是对211i -求和。

因为21111()2111i i i =--+-,同时注意2i i =+,所以所求和为1111111[()()()]21335911-+-++- =5119.【答案】C【解析】显然角O 不能为直角(否则得0a =不能组成三角形)若A 为直角,则根据A 、B纵坐标相等,所以30b a -=;若B 为直角,则利用1OB AB K K =-得310b a a--=,所以选C10.【答案】C【解析】由球心作面ABC 的垂线,则垂足为斜边BC 中点M 。

计算AM=52,由垂径定理,OM=1162AA =,所以半径132= 11.【答案】B【解析】 ()f x 顶点坐标为(2,44)a a +--,()g x 顶点坐标(2,412)a a --+,并且每个函数顶点都在另一个函数的图象上,图象如图, A 、B 分别为两个二次函数顶点的纵坐标,所以A-B=(44)(412)16a a ----+=-【点评】(1)本题能找到顶点的特征就为解题找到了突破口。

(2)并非A ,B 在同一个自变量取得。

12.【答案】D【解析】由已知,2[()]x e x f x x '=(1) 。

在已知2()2()x e x f x xf x x'+=中令2x =,并将2(2)8e f =代入,得(2)0f '=;因为2()2()x e x f x xf x x'=-,两边乘以x 后令32()()2[()](2)x g x x f x e x f x '==- 。

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