2017-2018学年江苏省镇江市丹阳高级中学创新班高一(上)期中数学试卷

2017-2018学年江苏省镇江市丹阳高级中学创新班高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.请将答案填写在答题卷相应位置）1．（5分）函数f（x）=cos4x﹣sin4x的最小正周期是．2．（5分）在等差数列{a n}中，若a1+a2+a3+a4=30，则a2+a3=．3．（5分）已知向量=（2，1），=（0，﹣1）．若（+λ）⊥，则实数λ=．4．（5分）在等差数列{a n}中，a6=10，s5=5，求a n=．5．（5分）△ABC中，已知a=5，c=10，∠A=30°，则∠B等于．6．（5分）若sin（α﹣π）=2cos（π+α），则=．7．（5分）一扇形的周长为6，当扇形的弧长为时，它有最大面积？8．（5分）9．（5分），tanα=．10．（5分）函数y=sinπx（x∈R）的部分图象如图所示，设O为坐标原点，P是图象的最高点，B是图象与x轴的交点，则tan∠OPB．11．（5分）5cos2θ=cos2，则tan（θ+1）tan（θ﹣1）的值为．12．（5分）等差数列{a n}中，公差d≠0，a32=a1a13，若a1，a3，…，a kn，…成等比数列，则k n=．13．（5分）“无字证明”，就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现，请利用图1、图2中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：．14．（5分）在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，A=120°，E，F分别是边AB，AC上的点，且=m，=n，其中m，n∈（0，1）．若EF，BC的中点分别为M，N，且m+4n=1，则||的最小值为二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答时应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（1）已知=（3，﹣3），=（cosθ，sinθ）（），求的取值范围；（2）已知和互相垂直，且，求向量与的夹角的余弦值．16．（14分）在直角坐标系xOy中，以原点O为圆心作一个单位圆，角α和角β的终边与单位圆分别交于A、B两点，且||=．若0＜α＜，﹣＜β＜0，sinβ=﹣．（1）求△AOB的面积；（2）求sinα的值．17．（14分）如图，在△ABC中，||=3，||=1，l为BC的垂直平分线且交BC于点D，E为l上异于D的任意一点，F为线段AD上的任意一点．（1）求•（﹣）的值；（2）判断•（﹣）的值是否为一常数，并说明理由；（3）若AC⊥BC，求•（+）的最大值．18．（16分）已知数列{a n}的前n项的和为S n，且a n=S n•S n﹣1（n≥2，S n≠0），a1=．（1）求证：{}为等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式．（3）设b n=，是否存在正整数m，n（m＞n），使得b m•b n=﹣27成立，若存在求出m，n，若不存在，说明理由．19．（16分）已知一列非零向量满足：，（1）证明是等比数列（2）求向量的夹角（2）设向量，将中所有与共线的向量取出来，按原来的顺序排成一列，组成新的数列，，O为坐标原点，求B n的坐标．20．（16分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1）在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设．（1）求a，b的值；（2）不等式f（sinθ+cosθ）﹣2ksinθcosθ≤0在上恒成立，求实数k的取值范围；（3）方程，有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．2017-2018学年江苏省镇江市丹阳高级中学创新班高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.请将答案填写在答题卷相应位置）1．（5分）函数f（x）=cos4x﹣sin4x的最小正周期是π．【分析】要求函数f（x）=cos4x﹣sin4x的最小正周期，先化简表达式，变成一个角的三角函数，再根据公式求出周期．【解答】解：∵f（x）=cos4x﹣sin4x=（cos2x+sin2x）（cos2﹣sin2x）=cos2x﹣sin2x=cos2x，∴f（x）的最小正周期是T==π故答案为：π【点评】本题考查三角恒等式的化简及三角函数周期求法，化简要变成一个角的三角函数才可求周期．2．（5分）在等差数列{a n}中，若a1+a2+a3+a4=30，则a2+a3=15．【分析】根据给出的数列是等差数列，由等差数列的性质可得a1+a4=a2+a3，结合已知条件可求a2+a3．【解答】解：因为数列{a n}是等差数列，根据等差数列的性质有：a1+a4=a2+a3，由a1+a2+a3+a4=30，所以，2（a2+a3）=30，则a2+a3=15．故答案为：15．【点评】本题考查了等差中项概念，在等差数列中，若m，n，p，q，t∈N*，且m+n=p+q=2t，则a m+a n=a p+a q=2a t，此题是基础题．3．（5分）已知向量=（2，1），=（0，﹣1）．若（+λ）⊥，则实数λ=5．【分析】本题先将向量坐标化，利用两向量垂直得到它们的数量积为零，求出λ的值，得到本题答案．【解答】解：∵向量=（2，1），=（0，﹣1），∴．∵（+λ）⊥，∴2×2+1×（1﹣λ）=0，λ=5．故答案为：5．【点评】本题重点考查的是平面向量的数量积，根据两向量垂直得到相关方程，从而求出本题的解．本题难度不大，属于基础题．4．（5分）在等差数列{a n}中，a6=10，s5=5，求a n=3n﹣8．【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式，列方程，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项．【解答】解：等差数列{a n}的公差设为d，a6=10，s5=5，可得a1+5d=10，5a1+×5×4d=5，解得d=3，a1=﹣5，则a n=a1+（n﹣1）d=﹣5+3（n﹣1）=3n﹣8．故答案为：3n﹣8．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5．（5分）△ABC中，已知a=5，c=10，∠A=30°，则∠B等于105°或15°．【分析】根据正弦定理，结合题中数据算出sinC=，从而得到C=45°或135°，最后根据三角形内角和定理，即可算出∠B的大小．【解答】解：∵a=5，c=10，A=30°∴根据正弦定理，得到=，可得sinC===∴结合0°≤C≤180°，可得C=45°或135°∵A+B+C=180°，A=30°，∴B=105°或15°故答案为：105°或15°【点评】本题给出三角形中的两条边和一边所对的角，求另一边的对角大小，着重考查了运用正弦定理解三角形和特殊三角函数值等知识，属于基础题．6．（5分）若sin（α﹣π）=2cos（π+α），则=．【分析】先运用诱导公式化简得出sinα=2cosα，然后再化简所求的式子，最后将sinα=2cosα代入所求即可得出结果．【解答】解：∵sin（α﹣π）=2cos（π+α），∴sinα=2cosα．∴==．故答案为：．【点评】本题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解题的关键，属于中档题．7．（5分）一扇形的周长为6，当扇形的弧长为3时，它有最大面积？【分析】设出扇形的半径R，弧长L，利用周长=2R+L求出R的值，代入扇形面积公式利用二次函数的性质求出L为何值时S取得最大值．【解答】解：设扇形的半径为R，弧长为L，则周长2R+L=6，解得R=3﹣，∴扇形的面积为S=RL=（3﹣）L=﹣L2+L，∴当L=﹣=3时，扇形的面积S有最大值．故答案为：3．【点评】本题考查了扇形的弧长公式、面积公式以及二次函数的最大值问题，是基础题．8．（5分）【分析】由图象可得A，由周期的一半可得ω，代入点（，﹣1）结合φ的范围可得φ值，进而可得解析式．【解答】解：由图象可得A=1，周期T满足==﹣，解得ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ），又图象过点（，﹣1），∴﹣1=sin（+φ），又∵，∴φ=∴所求函数的解析式为：f（x）=sin（2x+）故答案为：f（x）=sin（2x+）【点评】本题考查三角函数解析式的求解，由图象得出函数的周期，振幅和特殊点是解决问题的关键，属中档题．9．（5分），tanα=或．【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，把已知等式化为关于tanα的一元二次方程，从而求得tanα的值．【解答】解：∵，平方可得sin2α+4sinα•cosα+4cos2α=，即==，解得tanα=，或tanα=，故答案为：或．【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）函数y=sinπx（x∈R）的部分图象如图所示，设O为坐标原点，P是图象的最高点，B是图象与x轴的交点，则tan∠OPB8．【分析】过P作PQ垂直于x轴，由正弦函数解析式y=sinπc，根据正弦函数的图象，且P是图象的最高点，B是图象与x轴的交点，找出P和B的坐标，进而得到|PQ|，|OQ|，|BQ|的长，分别在直角三角形OPQ 和PQB中，利用锐角三角函数定义表示出tan∠OPQ和tan∠BPQ，由∠OPB=∠OPQ+∠BPQ，利用两角和与差的正切函数公式化简tan∠OPB，把各自的值代入即可求出tan∠OPB 的值．【解答】解：过P作PQ⊥x轴，如图所示：∵函数y=sinπc，且P是图象的最高点，B是图象与x轴的交点，∴P（，1），B（2，0），即|PQ|=1，|OQ|=，|OB|=2，∴|QB|=|OB|﹣|OQ|=，在Rt△OPQ中，tan∠OPQ==，在Rt△PQB中，tan∠BPQ==，∴tan∠OPB=tan（∠OPQ+∠BPQ）==8．故答案为：8【点评】此题考查了两角和与差的正切函数公式，锐角三角函数定义，正弦函数的图象与性质，其中作出辅助线PQ，找出P和B的坐标是解本题的关键．11．（5分）5cos2θ=cos2，则tan（θ+1）tan（θ﹣1）的值为．【分析】将2θ拆分成（θ+1）+（θ﹣1），2拆分成（θ+1）﹣（θ﹣1），然后利用余弦函数的和角和差角公式展开，化简可得结论．【解答】解：由5cos2θ=cos2，得5cos[（θ+1）+（θ﹣1）]=cos[（θ+1）﹣（θ﹣1）]，即5cos（θ+1）cos（θ﹣1）﹣5sin（θ+1）sin（θ﹣1）=cos（θ+1）cos（θ﹣1）+sin（θ+1）sin（θ﹣1）∴4cos（θ+1）cos（θ﹣1）=6sin（θ+1）sin（θ﹣1）．两边同除以cos（θ+1）cos（θ﹣1），得4=6tan（θ+1）tan（θ﹣1）．∴tan（θ+1）tan（θ﹣1）=．故答案为：．【点评】本题主要考查了两角和与差的正切函数和余弦函数，以及同角三角函数间的基本关系，属于中档题．12．（5分）等差数列{a n}中，公差d≠0，a32=a1a13，若a1，a3，…，a kn，…成等比数列，则k n=．【分析】运用等差数列的通项公式，化简可得d=2a1，求得等比数列的公比为5，再由等比数列和等差数列的通项公式计算即可得到所求．【解答】解：等差数列{a n}中，公差d≠0，a32=a1a13，可得（a1+2d）2=a1（a1+12d），化简可得d=2a1，则a n=a1+（n﹣1）d=2na1﹣a1，a1，a3，…，a kn，…成等比数列，可得公比q为==5，即有a kn=2k n a1﹣a1=a1•5n﹣1，解得k n=，故答案为：．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．13．（5分）“无字证明”，就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现，请利用图1、图2中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．【分析】左右图中大矩形的面积相等，左边的图中阴影部分的面积为S1=sin（α+β），在右边的图中，阴影部分的面积S2等于2个阴影小矩形的面积之和，等于sinαcosβ+cosαsinβ．而面积S2还等于大矩形得面积S 减去2个小空白矩形的面积，再由2个图中空白部分的面积相等，可得S1 =S2 ，从而得出结论．【解答】解：在左边的图中大矩形的面积S=（cosβ+cosα）（sinβ+sinα）=sinβcosβ+cosβsinα+cosαsinα+sinβcosα+sinαcosα=sin（α+β）+sinβcosβ+sinαcosα．用大矩形的面积S减去4个直角三角形的面积就等于阴影部分的面积S1 ．空白部分的面积等于4个直角三角形的面积，即2×（sinβcosβ+sinαcosα）=sinβcosβ+sinαcosα．故阴影部分的面积S1 =S﹣sinβcosβ+sinαcosα=sin（α+β）．而在右边的图中阴影部分的面积S2等于2个阴影小矩形的面积之和，即S2=sinαcosβ+cosαsinβ．在右边的图中大矩形的面积也等于S，S2等于大矩形得面积S 减去2个小空白矩形的面积，而2个空白矩形的面积之和，即sinβcosβ+sinαcosα，故左图中空白部分的面积等于右图中空白部分的面积．故左右图中阴影部分的面积也相等，即S1 =S2 ，故有sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，故答案为：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．【点评】本题主要考查三角函数的恒等式的证明，体现了转化的数学思想，属于中档题．14．（5分）在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，A=120°，E，F分别是边AB，AC上的点，且=m，=n，其中m，n∈（0，1）．若EF，BC的中点分别为M，N，且m+4n=1，则||的最小值为【分析】由等腰△ABC中，AB=AC=1且A=120°，算出=﹣．连接AM、AN，利用三角形中线的性质，得到=（）且=（+），进而得到=﹣=（1﹣m）+（1﹣n）．将此式平方，代入题中数据化简可得=（1﹣m）2﹣（1﹣m）（1﹣n）+（1﹣n）2，结合m+4n=1消去m，得=n2﹣n+，结合二次函数的性质可得当n=时，的最小值为，所以的最小值为．【解答】解：连接AM、AN，∵等腰三角形ABC中，AB=AC=1，A=120°，∴=||•||cos120°=﹣∵AM是△AEF的中线，∴=（）=（+）同理，可得=（+），由此可得=﹣=（1﹣m）+（1﹣n）∴=[（1﹣m）+（1﹣n）]2=（1﹣m）2+（1﹣m）（1﹣n）•+（1﹣n）2=（1﹣m）2﹣（1﹣m）（1﹣n）+（1﹣n）2，∵m+4n=1，可得1﹣m=4n∴代入上式得=×（4n）2﹣×4n（1﹣n）+（1﹣n）2=n2﹣n+∵m，n∈（0，1），∴当n=时，的最小值为，此时的最小值为．故答案为：【点评】本题给出含有120度等腰三角形中的向量，求向量模的最小值，着重考查了平面向量数量积公式及其运算性质和二次函数的最值求法等知识，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答时应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（1）已知=（3，﹣3），=（cosθ，sinθ）（），求的取值范围；（2）已知和互相垂直，且，求向量与的夹角的余弦值．【分析】（1）根据向量的模和三角函数的性质即可求出，（2）根据向量的垂直和向量的夹角公式即可求出．【解答】解：（1）由题意知═（3﹣2cosθ，﹣3﹣2sinθ）则，∵，∴﹣＜θ﹣＜，∴﹣＜sin（θ﹣）＜，∴﹣12＜12sin（θ﹣）＜12，∴10＜22+12sin（θ﹣）＜34，∴．（2）∵，∴，∴又∵，∴∴两个向量的夹角的余弦值为【点评】本题考查了向量数量积公式和向量的夹角公式和向量的模，属于中档题16．（14分）在直角坐标系xOy中，以原点O为圆心作一个单位圆，角α和角β的终边与单位圆分别交于A、B两点，且||=．若0＜α＜，﹣＜β＜0，sinβ=﹣．（1）求△AOB的面积；（2）求sinα的值．【分析】（1）根据题意设出，，利用向量法则根据﹣表示出，利用向量模的定义列出关系式，整理后利用两角和与差的余弦函数公式即可求出cos （α﹣β）的值，由α与β的范围求出α﹣β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α﹣β），由三角形面积公式即可得解．（2）可先求cosβ的值，所求式子变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）根据题意设=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），∴=﹣=（cosβ﹣cosα，sinβ﹣sinα），∴||2=（cosβ﹣cosα）2+（sinβ﹣sinα）2=，即2﹣2（cosβcosα+sinβsinα）=，∴cos（α﹣β）=cosβcosα+sinβsinα=；∵0＜α＜，﹣＜β＜0，∴0＜α﹣β＜π，∴sin∠AOB=sin（α﹣β）==，又∵|OA|=1，|OB|=1，=|OA|•|OB|sin∠AOB==．∴S△AOB（2）∵sinβ=﹣，∴cosβ==，则sinα=sin[（α﹣β）+β]=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ=×﹣×=．【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，考查了平面向量的运算，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．17．（14分）如图，在△ABC中，||=3，||=1，l为BC的垂直平分线且交BC于点D，E为l上异于D的任意一点，F为线段AD上的任意一点．（1）求•（﹣）的值；（2）判断•（﹣）的值是否为一常数，并说明理由；（3）若AC⊥BC，求•（+）的最大值．【分析】（1）根据向量的平行四边形法则，，所以带入即可求解．（2）是否为常数，求出来看一下就可以了．将带入即可，因为DE⊥BC，所以，这样便能求出它的值了．（3）因为，所以，这时候，与共线，且都可以用表示．设，则，所以带入便得到，根据条件求出AD的长度即可．【解答】解：（1）=．（2）=4．∴的值是一常数．（3）∵AC⊥BC，；∴，；∴，设，则；∴==；∴时，取最大值．【点评】本题考查的知识点为：向量加法的平行四边形法则，两垂直向量的数量积为0，共线向量基本定理，并注意中线向量的应用．18．（16分）已知数列{a n}的前n项的和为S n，且a n=S n•S n﹣1（n≥2，S n≠0），a1=．（1）求证：{}为等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式．（3）设b n=，是否存在正整数m，n（m＞n），使得b m•b n=﹣27成立，若存在求出m，n，若不存在，说明理由．【分析】（1）根据题意，对a n=S n﹣S n﹣1变形可得S n﹣S n﹣1=S n•S n﹣1，进而可得，由等差数列的定义分析可得答案；（2）由（1）的结论，结合等差数列的通项公式可得，当n≥2时，由a n=s n﹣s n﹣1计算可得，验证n=1时是否满足，综合即可得答案；（3）由（2）可得b n=11﹣2n，若b m b n=﹣27，则（11﹣2m）（11﹣2n）=﹣27，结合m＞n分析可得答案．【解答】解：（1）证明：当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，S n﹣S n﹣1=S n•S n﹣1，，数列为等差数列；（2）由（1）知，，∴．当n≥2时，，∴；（3）由（2）中，，则b n=11﹣2n，若b m b n=﹣27，则（11﹣2m）（11﹣2n）=﹣27，∵m，n∈N+∴11﹣2m，11﹣2n∈Z∵﹣27=（﹣1）×27=（﹣27）×1=（﹣9）×3=（﹣3）×9∵m＞n，则．【点评】本题考查数列的递推公式的应用，涉及等差数列的性质以及应用，关键是对a n=S n•S n﹣1变形．19．（16分）已知一列非零向量满足：，（1）证明是等比数列（2）求向量的夹角（2）设向量，将中所有与共线的向量取出来，按原来的顺序排成一列，组成新的数列，，O为坐标原点，求B n的坐标．【分析】（1）根据等比数列的定义即可证明，（2）设向量的夹角为θ，根据向量的夹角公式即可求出，（3）由（2）知相邻两向量夹角为，每相隔3个向量的两向量必共线并方向相反，可得设=λ，由（1）知λ=﹣，由此能求出答案【解答】（1）证明：≠，∴||=≠0，∵||=====||，∴=，∴是以||为首项，为公比的等比数列，（2）解：设向量的夹角为θ，∴•=x n x n﹣1+y n y n﹣1=（x n﹣1+y n﹣1）x n﹣1+（x n﹣1﹣y n﹣1）y n﹣1=（x n﹣12+y n﹣2）=||2，1∴cosθ==，∴θ=，即向量的夹角，（3）解：由（2）知相邻两向量夹角为，∴每相隔3个向量的两向量必共线并方向相反，即=，设=λ，由（1）知λ=﹣=﹣（）4=﹣，∴=•（﹣）n﹣1=（﹣）n﹣1•（1，2），∴=（[1﹣（﹣）n，[1﹣（﹣）n]）∴B n的坐标为=（[1﹣（﹣）n，[1﹣（﹣）n]）【点评】本题考查等比数列的证明，考查向量的夹角的求示，等比数列的求和公式，解题时要认真审题，注意向量和数列知识的综合运用．20．（16分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1）在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设．（1）求a，b的值；（2）不等式f（sinθ+cosθ）﹣2ksinθcosθ≤0在上恒成立，求实数k的取值范围；（3）方程，有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．【分析】（1）根据二次函数的性质，结合函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1）在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，可得a，b的值；（2）由（1）可知f（x）=x+﹣2，设sinθ+cosθ=t，不等式f（sinθ+cosθ）﹣2ksinθcosθ≤0在上恒成立，即f（t）﹣k（t2﹣1）≤0在t∈[1，]上恒成立，进而可得实数k的取值范围；（3）设|sinθ﹣cosθ|=m，则2|sin（θ﹣）|=m，方程，有三个不同的实数解，f（m）+k（﹣3）=0在[0，2）上有三个不同的实数解，通过零点判定定理，进而可得实数k的取值范围．【解答】解：（1）g（x）=ax2﹣2ax+1+b，函数的对称轴为直线x=1，由题意得：①得②得（舍去）（2）由（1）可知g（x）=x2﹣2x+1，∴f（x）=x+﹣2，设sinθ+cosθ=t，则sin（θ+）=t，∵，∴θ+∈[，]，∴≤sin（θ+）≤1，xw∴1≤t≤∴2sinθcosθ=t2﹣1，∵不等式f（sinθ+cosθ）﹣2ksinθcosθ≤0在上恒成立，∴f（t）﹣k（t2﹣1）≤0在t∈[1，]上恒成立，当t=1时，f（t）=1+1﹣2=0，此时f（t）﹣k（t2﹣1）≤0在t∈[1，]上恒成立，当1＜t≤时，∴k≥===设h（x）=，则h′（x）=﹣=＞0恒成立，∴h（x）在（1，]上单调递增，∴h（x）max=h（）==∴k≥，（3）设|sinθ﹣cosθ|=m，则2|sin（θ﹣）|=m，∵，∴m∈[0，2）∵方程，有三个不同的实数解∴f（m）+k（﹣3）=0在[0，2）上有三个不同的实数解，∴+k（﹣3）=0，∴m2﹣（2+3k）m+1=0，当m=0时，此时不成立，方程的两个根一个在（0，1），一个在（1，2），可得，解得：k∈（0，）．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的导数的应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，考查转化思想的应用．。