2013高考数学(文)人教版二轮复习课件：5-2

考 点 自 主 整 合 热 点 考 向 聚 集 高 效 课 时 作 业
热点考向一
等差数列的基本运算
考 点 自 主 整 合 热 点 考 向 聚 集 高 效 课 时 作 业
(2012 年湖北卷)已知等差数列{an}前三项的和为－3， 前三项的积为 8. (Ⅰ)求等差数列{an}的通项公式； (Ⅱ)若 a2，a3，a1 成等比数列，求数列{|an|}的前 n 项和． 【解析】 a1＋2d，
热点考向二
等差数列的判定
考 点 自 主 整 合 热 点 考 向 聚 集 高 效 课 时 作 业
已知数列{an}的前 n 项和为 Sn 且满足 an ＋2Sn·n － 1 ＝ S 1 0(n≥2)，a1＝ . 2 1 (1)求证：{S }是等差数列； n (2)求 an 的表达式． 【解析】 (1)证明：∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)， 又 an＝－2Sn·n－1， S ∴Sn－1－Sn＝2Sn·n－1，(Sn≠0)， S 1 1 ∴S － ＝2(n≥2)． Sn－1 n 1 1 1 由等差数列的定义知{S }是以 ＝ ＝2 为首项，以 2 为公差的 S1 a 1 n 等差数列．
考 点 自 主 整 合 热 点 考 向 聚 集 高 效 课 和
主讲：贾玉华
考 点 自 主 整 合 热 点 考 向 聚 集 高 效 课 时 作 业
1．等差数列的定义 如果一个数列从 第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于 同一个常数 ，那么这个数列就叫做等差数列． 2．等差数列的通项公式 (1)若等差数列{an}的首项为 a1 ，公差是 d，则其通项公式为 an＝a1＋(n－1)d . (2)通项公式 an＝a1＋(n－1)d 可以写成 an＝dn＋(a1－d)， 它是关 于 n 的一次函数(d≠0 时)或常函数(d＝0 时)， 它的图象是一条直线上 的横坐标为正整数的一群孤立的点，公差 d 是这条直线的斜率．
所以由等差数列通项公式可得 an＝2－3(n－1)＝－3n＋5，或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7. 故an＝－3n＋5，或an＝3n－7. (Ⅱ)当an＝－3n＋5时，a2，a3，a1分别为－1，－4,2，不成等比 数列； 当an＝3n－7时，a2，a3，a1分别为－1,2，－4，成等比数列， 满足条件．
3．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则 a5 的值为( A．5 C．8 B．6 D．10
)
考 点 自 主 整 合 热 点 考 向 聚 集 高 效 课 时 作 业
解析：在等差数列{an}中，由性质可直接得 a1＋a9＝2a5，所以 a5＝5，故选 A. 答案：A
4．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝ __________. 解析：由等差数列的性质有a2＋a6＝a3＋a5，则a6＝a3＋a5 －a2＝7＋6＝13. 答案：13
考 点 自 主 整 合 热 点 考 向 聚 集 高 效 课 时 作 业
1．(2012年北京卷)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1 1 ＝ ，S2＝a3，则a2＝________；Sn＝________. 2 答案：1 1 2 1 n＋ n 4 4
考 点 自 主 整 合 热 点 考 向 聚 集 高 效 课 时 作 业
① ②
考 点 自 主 整 合 热 点 考 向 聚 集 高 效 课 时 作 业
1 1 2 又 ＋ ＝ 等式两端同乘以 a1a2a3 得 a1a2 a2a3 a1a3 2a2＝a3＋a1， ∴2an＋1＝an＋2＋an(n≥1)恒成立， ∴数列{an}为等差数列.
考 点 自 主 整 合 热 点 考 向 聚 集 高 效 课 时 作 业
考 点 自 主 整 合 热 点 考 向 聚 集 高 效 课 时 作 业
1． (2011 年重庆)在等差数列{an}中， 2＝2， 3＝4， a10＝( a a 则 A．12 C．16 解析：公差 d＝a3－a2＝2 a10＝a2＋8d＝18. 答案：D B．14 D．18
)
考 点 自 主 整 合 热 点 考 向 聚 集 高 效 课 时 作 业
考 点 自 主 整 合 热 点 考 向 聚 集 高 效 课 时 作 业
(4)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (5)S2n－1＝(2n－1)an. n (6)若 n 为偶数，则 S 偶－S 奇＝ d. 2 若 n 为奇数，则 S 奇－S 偶＝a 中(中间项)． Sn (7)数列{c·n}，{c＋an}，{pan＋qbn}，{ n }也是等差数列，其中 c、 a p、q 均为常数，{bn}是等差数列．
考 点 自 主 整 合 热 点 考 向 聚 集 高 效 课 时 作 业
1 1 1 ＋ ＋…＋ a1a2 a2a3 anan＋1 an＋1－an 1a2－a1 a3－a2 ＝ a a ＋ a a ＋…＋ d 1 2 anan＋1 2 3
1 1 1 1 1 1 1 ＝ a －a ＋a －a ＋…＋a －a d 1 2 n＋1 2 3 n
3a1＋3d＝－3， 由题意得 a1a1＋da1＋2d＝8. a1＝2 d＝－3， a1＝－4， 或 d＝3.
考 点 自 主 整 合 热 点 考 向 聚 集 高 效 课 时 作 业
(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d，则 a2＝a1＋d，a3＝
解得
依题意有 a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝34，① an＋an－1＋an－2＋an－3＋an－4＝146.② 根据等差数列性质，得 a5＋an－4＝a4＋an－3＝a3＋an－2＝a2＋an－1＝a1＋an. 将①②两式相加，得 (a1＋an)＋(a2 ＋an－1)＋(a3 ＋an－2)＋(a4 ＋an－3)＋(a5 ＋an－4)＝5(a1 ＋an)＝180， ∴a1＋an＝36.
an 2．(2012 年 4 月沈阳—大连第二次联考模拟考试)设等差数列 的前 n 项和为 Sn，若 a2、a4 是方程 x2－x－2＝0 的两个实数根，则 S5 的值是( 5 A. 2 5 C．－ 2 答案：A ) B．5 D．－5

考 点 自 主 整 合 热 点 考 向 聚 集 高 效 课 时 作 业
考 点 自 主 整 合 热 点 考 向 聚 集 高 效 课 时 作 业
5．等差数列的单调性 当 d＞0 时，{an}是 递增 数列． 当 d＝0 时，{an}是 常 数列． 当 d＜0 时，{an}是 递减 数列(d 为等差数列{an}的公差)． 6．等差数列的简单性质 已知数列{an}是等差数列，Sn 是其前 n 项和． (1)an＝am＋(n－m)d,2an＝an－1＋an＋1(n∈N*且 n≥2)． (2)若 m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq. 特别：若 m＋n＝2p，则 am＋an＝2ap. (3)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为 kd.
1 2 1 又∵a1＝ ，∴an＝ 2 1 － 2nn－1
n＝1， n≥2.
【点评】 证明{an}为等差数列除了可以利用定义法及中项法外 还可以利用： (1)通项法：an 为 n 的一次函数⇔{an}为等差数列． na1＋an (2)前 n 项和法： n＝An ＋Bn 或 Sn＝ S ⇔{an}为等差数列． 2
考 点 自 主 整 合 热 点 考 向 聚 集 高 效 课 时 作 业
1 1an＋1－a1 1 1 n － ＝ ＝ a a ＝ . d 1 d a1an＋1 a1an＋1 n＋1 再证充分性： 依题意有
1 1 1 n ＋ ＋…＋ ＝ ， a1a2 a2a3 anan＋1 a1an＋1 n＋1 1 1 1 1 ＋ ＋…＋ ＋ ＝ ， a1a2 a2a3 anan＋1 an＋1an＋2 a1an＋2 ②－①得 n＋1 1 n ＝ － ， an＋1an＋2 a1an＋2 a1an＋1 在上式两端同乘 a1an＋1an＋2，得 a1＝(n＋1)an＋1－nan＋2.③ 同理 a1＝nan－(n－1)an＋1，④ ③－④得 2an＋1＝an＋2＋an(n≥2)，
考 点 自 主 整 合 热 点 考 向 聚 集 高 效 课 时 作 业
3．等差中项 如果三个数 a，A，b 成 等差数列 ，则 A 叫 a 和 b 的等差中项， a＋b 且有 A＝ . 2 4．等差数列的前 n 项和公式 na1＋an nn－1 (1)Sn＝ ＝ na1＋ d. 2 2 nn－1 d d 2 (2)将公式 Sn＝na1＋ d 变形可得 Sn＝ n ＋a1－2n.故当 2 2 d≠0 时，等差数列前 n 项和公式是关于 n 的二次函数，它的图象是 d d 2 抛物线 y＝ x ＋a1－2x 上横坐标为正整数的一群孤立点． 2
考 点 自 主 整 合 热 点 考 向 聚 集 高 效 课 时 作 业
5．设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若 S3＝3，S6＝24，则 a9 ＝________. 解析：a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝S6－S3＝21， 即 a1＋a2＋a3＋9d＝21， ∴9d＝18，即 d＝2， 又 S3＝3，∴a1＝－1，则 a9＝－1＋(9－1)×2＝15. 答案：15
－3n＋7，n＝1，2， 故|an|＝|3n－7|＝ 3n－7，n≥3.
考 点 自 主 整 合 热 点 考 向 聚 集 高 效 课 时 作 业
记数列{|an|}的前n项和为Sn. 当n＝1时，S1＝|a1|＝4；
考 点 自 主 整 合 热 点 考 向 聚 集 高 效 课 时 作 业
当n＝2时，S2＝|a1|＋|a2|＝5； 当n≥3时， Sn＝S2＋|a3|＋|a4|＋…＋|an|＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7) n－2[2＋3n－7] 3 2 11 ＝5＋ ＝ n － n＋10. 2 2 2 当n＝2时，满足此式．
考 点 自 主 整 合
n＝1， 4， 综上，Sn＝3 2 11 2n － 2 n＋10，n>1.