高三数学总复习PPT课件-函数的周期性
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《函数的周期性》课件
公式法
对于一些基本的周期函数，如正弦函数、余弦函数等，可以直接使 用其周期公式来求解。
计算法
通过计算函数在两个不同点上的值，然后比较这两个值是否相等来 确定函数的周期。
函数周期性的进一步研究
特征，如振幅、相位等。
周期函数的性质
02
研究周期函数的性质，如对称性、奇偶性等。
周期性理解
周期性是函数的一种特性，它描述了函数值重复出现的规律。周期函数在一个 周期内的变化规律与整个函数的变化规律相同。
周期性的分类
最小正周期
如果存在一个最小的正数$T$，使得 对于函数$f(x)$的定义域内的每一个 $x$，都有$f(x+T)=f(x)$，则称$T$ 为函数$f(x)$的最小正周期。
函数周期性的扩展知识
最小正周期的概念
最小正周期
对于函数$f(x)$，如果存在一个正数 $T$，使得当$x$取值在$T$的长度 内重复出现时，函数$f(x)$的值也重 复出现，则称$T$为函数$f(x)$的最 小正周期。
周期性
函数在某个固定周期内重复出现的性 质。
函数的最小正周期的求法
观察法
通过观察函数图像或性质，直接判断出函数的周期。
《函数的周期性》 ppt课件
xx年xx月xx日
• 函数的周期性概述 • 三角函数的周期性 • 函数周期性的判定 • 函数周期性的应用 • 函数周期性的扩展知识
目录
01
函数的周期性概述
周期性的定义
周期性定义
如果存在一个非零常数$T$，使得对于函数$f(x)$的定义域内的每一个$x$，都 有$f(x+T)=f(x)$，则称函数$f(x)$为周期函数，非零常数$T$称为这个函数的 周期。
常见周期函数
对于一些基本的周期函数，如正弦函数、余弦函数等，可以直接使 用其周期公式来求解。
计算法
通过计算函数在两个不同点上的值，然后比较这两个值是否相等来 确定函数的周期。
函数周期性的进一步研究
特征，如振幅、相位等。
周期函数的性质
02
研究周期函数的性质，如对称性、奇偶性等。
周期性理解
周期性是函数的一种特性，它描述了函数值重复出现的规律。周期函数在一个 周期内的变化规律与整个函数的变化规律相同。
周期性的分类
最小正周期
如果存在一个最小的正数$T$，使得 对于函数$f(x)$的定义域内的每一个 $x$，都有$f(x+T)=f(x)$，则称$T$ 为函数$f(x)$的最小正周期。
函数周期性的扩展知识
最小正周期的概念
最小正周期
对于函数$f(x)$，如果存在一个正数 $T$，使得当$x$取值在$T$的长度 内重复出现时，函数$f(x)$的值也重 复出现，则称$T$为函数$f(x)$的最 小正周期。
周期性
函数在某个固定周期内重复出现的性 质。
函数的最小正周期的求法
观察法
通过观察函数图像或性质，直接判断出函数的周期。
《函数的周期性》 ppt课件
xx年xx月xx日
• 函数的周期性概述 • 三角函数的周期性 • 函数周期性的判定 • 函数周期性的应用 • 函数周期性的扩展知识
目录
01
函数的周期性概述
周期性的定义
周期性定义
如果存在一个非零常数$T$，使得对于函数$f(x)$的定义域内的每一个$x$，都 有$f(x+T)=f(x)$，则称函数$f(x)$为周期函数，非零常数$T$称为这个函数的 周期。
常见周期函数
高考数学(文通用)一轮复习课件：第二章第4讲函数的奇偶性及周期性
第二章基本初等函数、导数及其应用函数的奇偶性及周期性教材回顾▼夯实基础课本温故追根求源和课梳理1.函数的奇偶性2. 周期性(1)周期函数：对于函数j=/(x),如果存在一个非零常数T,那么就称函数y=/a )为周期函数，称F 为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数/(兀)的所有周期中存在一个正周期.要点整會尸1. 辨明三个易误点 （1）应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内.使得当兀取定义域内的任何值时，都有 f(x+T)=f(x)的正数，那么这个最小 正数就叫做沧)的最小（2）判断函数的奇偶性，易忽视函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. （3）判断函数/（兀）是奇函数，必须对定义域内的每一个x,均有/（一兀）=一/（兀），而不能说存在丸使/（一兀0）=—/（兀0），对于偶函数的判断以此类推.2.活用周期性三个常用结论对/(*)定义域内任一自变量的值(1)®f(x+a)= —f(x)9则T=2a；i⑵若Z(x+a)=y (乂),则T=2a； (1)(3)若f(x-\-a)=—屮(比)“,则T= 2a.3.奇、偶函数的三个性质(1)在奇、偶函数的定义中，f(-x)=-f(x)^ 定义域上的恒等式.(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法.(3)设心)，g(x)的定义域分别是Di，6,那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇＞＜奇=偶，偶+偶=偶，偶X偶 =偶,奇乂偶=奇.（2015•高考福建卷）下列函数为奇函数的是（D B. y=e D. j=e x -e"x 双基自测 C ・ j=cosx1.2.已知/(x)=«x 2+Z»x 是定义在［«-1,加］上的偶函数，那 么"+方的值是(B )解析：因为f(x)=ax 2-\-bx 是定义在［«-1,加］上的偶函数, 所以a~l+2a=0,所以 a =-. 3X/(—x)=/(x),所以方=0,所以a+b=£ 3 A.D. 3 23.（2016•河北省五校联盟质量监测）设/（兀）是定义在R上的周期为3的函数，当xe[ - 2, 1)时，f(x)=4x2— 2, — 2WxW 0,X, 0<x<l,B. 1A. 0D. -1解析:因为心）是周期为3的周期函数，所以龙）=/（一扌+3）4.(必修1 P39习题1.3B组T3改编)若/(x)是偶函数且在(0,+ 8)上为增函数，则函数心)在(一8, °)上捋函数5.(必修1 P39习题X3A组T6改编)已知函数/(x)是定义在R 上的奇函数，当xMO时，gx) = x(1+x),则xVO时，/(x) = x(l—x)解析：当xVO时，则一x>0,所以/(—x) = (—x)(1—x)・又/(X)为奇函数，所以/(-x) = -/(x) = (-x)(1-x),所以/(X)=x(1—X)・國例1 (2014-高考安徽卷)若函ft/(x)(xe R)是周期为4的典例剖析护考点突破」 考点一函数的周期性名师导悟以例说法奇函数，且在［0 , 2］上的解析式为/(x)=\x (1—x) , OWxWl, 、sin Ji x, 1<X W2, 5/?)+眉)=—^因为当 1 <xW2 时，/(x)=sin Tix,所以 XS =sinZ r =_2-所以 3因为当 OWxWl 时，/(x)=x(l-x), 所以简兮X 。
高三数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.3 函数的奇偶性与周期性课件.ppt
2 个性质——奇、偶函数的两个性质 (1)若奇函数 f(x)在 x＝0 处有定义，则 f(0)＝0。 (2)设 f(x)，g(x)的定义域分别是 D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝ 奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇。
8
3 条结论——与周期性和对称性有关的三条结论 (1)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a－x)＝f(x)或 f(－x)＝f(2a＋x)，则 y＝f(x)的图象 关于直线 x＝a 对称。 (2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a－x)＝f(x)，且 f(2b－x)＝f(x)(其中 a＜b)，则 y ＝f(x)是以 2(b－a)为周期的周期函数。 (3)若对于定义域内的任意 x 都有 f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，则函数 f(x)是周期函数， 其中一个周期为 T＝2|a－b|。
那么函数 f(x)就叫做奇函数。
(3)奇函数的图象关于□3 ___原__点_____对称；偶函数的图象关于□4 ___y__轴_______对
称。
5
2．奇函数、偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性□5 相__同__，偶函数在关于原点对称的 区间上的单调性□6 ___相__反___。
答案：13
13
5．设函数 f(x)＝x3cosx＋1。若 f(a)＝11，则 f(－a)＝__________。 解析：令 g(x)＝f(x)－1＝x3cosx， ∵g(－x)＝(－x)3cos(－x)＝－x3cosx＝－g(x)， ∴g(x)为定义在 R 上的奇函数。又∵f(a)＝11， ∴g(a)＝f(a)－1＝10，g(－a)＝－g(a)＝－10。 又 g(－a)＝f(－a)－1， ∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－9。 答案：－9
8
3 条结论——与周期性和对称性有关的三条结论 (1)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a－x)＝f(x)或 f(－x)＝f(2a＋x)，则 y＝f(x)的图象 关于直线 x＝a 对称。 (2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a－x)＝f(x)，且 f(2b－x)＝f(x)(其中 a＜b)，则 y ＝f(x)是以 2(b－a)为周期的周期函数。 (3)若对于定义域内的任意 x 都有 f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，则函数 f(x)是周期函数， 其中一个周期为 T＝2|a－b|。
那么函数 f(x)就叫做奇函数。
(3)奇函数的图象关于□3 ___原__点_____对称；偶函数的图象关于□4 ___y__轴_______对
称。
5
2．奇函数、偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性□5 相__同__，偶函数在关于原点对称的 区间上的单调性□6 ___相__反___。
答案：13
13
5．设函数 f(x)＝x3cosx＋1。若 f(a)＝11，则 f(－a)＝__________。 解析：令 g(x)＝f(x)－1＝x3cosx， ∵g(－x)＝(－x)3cos(－x)＝－x3cosx＝－g(x)， ∴g(x)为定义在 R 上的奇函数。又∵f(a)＝11， ∴g(a)＝f(a)－1＝10，g(－a)＝－g(a)＝－10。 又 g(－a)＝f(－a)－1， ∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－9。 答案：－9
高三数学 一轮复习课件-2.4函数的周期性
方法点拨：周期性的判断方法：①定义法：考虑是否存在 非零常数 T，使得对于任意 x 都有 f(x＋T)＝f(x)；
②公式法：若函数 f(x)的周期为 T，则函数 f(ωx＋φ)的周期 为|ωT |；
③图象法：若函数 f(x)的图象有两条对称轴 x＝a，x＝ b(b≠a)，则函数 f(x)是以 T＝2|a－b|为周期的周期函数．
周期性：
对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义
域内的每一个值时，都有__f_(_x_＋__T_)_＝__f(_x_)___，那么函数 f(x)就叫 做周期函数，___T___叫做这个函数的周期．_k_T__(k_∈___Z_，__k_≠__0_)_也 是函数 f(x)的周期，即有_f_(_x_＋__k_T_)_＝__f_(x_)_．
∵函数f(x)是以4为周期的周期函数，
∴f(x)＝x－－x4＋k，2＋4k， 图略
4k－1≤x≤4k＋1， 4k＋1＜x≤4k＋3
(k∈Z)．
示范2 (2009山东)已知定义在R上的函数f(x)满足
f(x)＝lfoxg－211－－xf，x－x≤20，，x>0， 则f(2 009)的值为(
)
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案 2
【点评】本题的关键是对式子②变形为③，一般可使用换 元法.
展示1 已知函数f(x)是定义域为R的奇函数且它的图象关于 直线x＝1对称，
(1)求证：函数f(x)是周期函数； (2)若f(x)＝x(0＜x≤1)，求当x∈R时，函数f(x)的解析式， 并画出满足条件的函数f(x)至少一个周期的图象．
分析 求周期即求满足 f(x＋T)＝f(x)的 T 值．
解析 ∵f(x)及 f(x＋1)都是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)，① f(－x＋1)＝－f(x＋1)，② 设－x＋1＝－t，则由②得 f(－t)＝－f(t＋2)，即 f(－x)＝－f(x ＋2)，③ 由①③得 f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为 2.
高三数学复习课件【函数的奇偶性及周期性】
f(x)＝－ x，4x02≤＋x2<，1，－1≤x<0， 则 f 32＝________. 解析：∵f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，
且 f(x)＝－x，4x02≤＋x2<，1，－1≤x<0， ∴f 32＝f －12＝－4×－122＋2＝1. 答案：1
返回 2．已知定义在 R 上的函数满足 f(x＋2)＝－f1x，x∈(0,2]时，f(x)
关 于 _原__点_ 对称
f(x)就叫做奇函数
返回 2.函数的周期性 (1)周期函数
对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定 义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x) ，那么就称函数 f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个 最小的正数 ， 那么这个 最小正数 就叫做 f(x)的最小正周期．
关于原点对称，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项
定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数也
不是偶函数． 答案：B
返回
3．已知 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么 a＋b
的值是
()
A．－13
B.13
C.12
D．－12
解ห้องสมุดไป่ตู้：∵f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－
奇函数，所以 f 121＝f －12＝－f 12＝123＝18. 答案：B
返回
5．函数 f(x)在 R 上为奇函数，且 x>0 时，f(x)＝x＋1，则当 x<0 时，f(x)＝________. 解析：∵f(x)为奇函数，x>0 时，f(x)＝x＋1， ∴当 x<0 时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)， 即 x<0 时，f(x)＝－(－x＋1)＝x－1. 答案：x－1
2023届高考人教A版数学一轮复习课件：函数的奇偶性与周期性
(1)函数f(x)=x3(x≥0)是奇函数.( × )
(2)若函数f(x)为奇函数,则必有f(0)=0.( × )
(3)若函数f(x),g(x)均为奇函数,则函数f(g(x))也为奇函数.( √ )
(4)若函数f(x)满足f(x-2)=f(x+3),则函数的周期为1.( × )
(5)若f(4+x)+f(4-x)=0,则函数y=f(4+x)是奇函数.( √ )
(方法2)作出函数f(x)的图象(图略),由f(x)的图象关于原点对称可知,函数为
奇函数.
方法总结判断函数奇偶性的常用方法
(1)定义法:
(2)图象法:
(3)性质法:
在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=
奇.
对点训练1(2021湖南岳阳高三模拟)设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义,下列函
故选B.
(2)解 ①函数定义域为R,且f(-x)=(-x)2-xsin(-x)=x2+xsin x=f(x),所以函数是
偶函数.
2
②函数定义域为 R,且 f(-x)=log2(-x+ (-) + 1)=log2(-x+√ 2 + 1)
=log2
1
+ 2 +1
=-log2(x+√ 2 + 1)=-f(x),所以函数是奇函数.
提示根据偶函数的定义,如果函数f(x+a)是偶函数,那么可得到
f(-x+a)=f(x+a),由此可得到函数f(x)图象的对称轴为直线x=a.也可从图象
变换的角度来理解,函数f(x+a)是偶函数,则其图象关于y轴对称,将该图象
(2)若函数f(x)为奇函数,则必有f(0)=0.( × )
(3)若函数f(x),g(x)均为奇函数,则函数f(g(x))也为奇函数.( √ )
(4)若函数f(x)满足f(x-2)=f(x+3),则函数的周期为1.( × )
(5)若f(4+x)+f(4-x)=0,则函数y=f(4+x)是奇函数.( √ )
(方法2)作出函数f(x)的图象(图略),由f(x)的图象关于原点对称可知,函数为
奇函数.
方法总结判断函数奇偶性的常用方法
(1)定义法:
(2)图象法:
(3)性质法:
在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=
奇.
对点训练1(2021湖南岳阳高三模拟)设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义,下列函
故选B.
(2)解 ①函数定义域为R,且f(-x)=(-x)2-xsin(-x)=x2+xsin x=f(x),所以函数是
偶函数.
2
②函数定义域为 R,且 f(-x)=log2(-x+ (-) + 1)=log2(-x+√ 2 + 1)
=log2
1
+ 2 +1
=-log2(x+√ 2 + 1)=-f(x),所以函数是奇函数.
提示根据偶函数的定义,如果函数f(x+a)是偶函数,那么可得到
f(-x+a)=f(x+a),由此可得到函数f(x)图象的对称轴为直线x=a.也可从图象
变换的角度来理解,函数f(x+a)是偶函数,则其图象关于y轴对称,将该图象
函数的奇偶性、周期性与对称性 课件--2023届高三数学一轮复习
命题点3 利用奇偶性求函数值和最值
例4 （1）已知函数f(x)＝ax3＋bx5＋2.若f(x)在区间[－t，t]上的
最大值为M，最小值为m，则M＋m＝____4____.
(2)已知函数f(x)＝asin x＋btan x＋1，若f(a)＝－2，则f(－a)＝
____4____.
(3)(2022·哈尔滨模拟)函数f(x)＝x(ex＋e－x)＋1在区间[－2,2]上的
则y＝f(x)的图象关于直线x＝ a＋b 轴对称. (3)若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(2a－x)，
则y＝f(x)的图象关于点（a，0）中心对称.
(4)若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，
则(5)y若＝函f(x数)的f(x图)满象足关f于(a＋点x)＋a＋f2(bb－，0x)＝中c心，对称. 则函数f(x)的图象关于点 a＋2 b，2c 中心对称.
(2)(多选)关于函数f(x)＝sin
x＋
1 sin
x
有如下四个命题，其中
正确的是
A.f(x)的图象关于y轴对称
√B.f(x)的图象关于原点对称 √C.f(x)的图象关于直线x＝π 对称 √D.f(x)的图象关于点(π，0)2对称
本节结束
谢谢
1－x 跟踪训练1 (1)(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝ 1＋x ，则下列函数
中为奇函数的是
A.f(x－1)－1
√B.f(x－1)＋1
C.f(x＋1)－1
D.f(x＋1)＋1
2.函数的周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在 一 个 非 零 常 数 T ， 使 得 对 每 一 个 x∈D 都 有 x ＋ T∈D ， 且 __f_(x_＋__T__)＝__f_(_x，) 那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常 数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 最__小__的正数，那么这个_最__小__正__数__就叫做f(x)的最小正周期.
函数周期性ppt课件
即f (2a-x) f (x), f (2b-x) f (x) f (2a-x) f (2b-x) 即f (2a+x) f (2b+x)
f [2a (2a x)] f [2b (2a x)] f (x) f [x (2b 2a)]，即T=（ 2 b-a）
拓 展 2.由 对 称 性 得 出 周 期 性 的 常 用 结 论
练习2：
1 f x是定义在R上的偶函数，且满足 f 2 x f 2 x,求证：f x是周期函数。 （如果f x是奇函数呢？）
2设f x是定义在R上的函数，并且对任意的x, 都有f x f x 2 f x 1. 求证：f x是周期函数，并求出它的一个周期
谢谢！
Love ,not time,heals all wounds. 治愈一切创伤的并非时间,而是爱.
Life is tough,but I'm tougher. 生活是艰苦的,但我应更坚强.
判断周期练习：
1已知函数f x在其定义域上满足f x 1 f x 6,
求此函数的周期。T=5
2已知函数f x在其定义域上满足f x 1 f x,
拓 展 1.有 关 周 期 性 的 结 论
1. 设 a为 非 零 常 数 ， 若 对 于 f (x)定 义 域 内 的 任 意 x, 恒有下列条件之一成立，
(1) f (x a) f (x a)
(2) f (x a) f (x)
(3) f (x a) 1 f (x)
(4) f (x a) 1 f (x)
Being kind is more important than being right. 善良比真理更重要.
You should never say no to a gift from a child. 永远不要拒绝孩子送给你的礼物.
f [2a (2a x)] f [2b (2a x)] f (x) f [x (2b 2a)]，即T=（ 2 b-a）
拓 展 2.由 对 称 性 得 出 周 期 性 的 常 用 结 论
练习2：
1 f x是定义在R上的偶函数，且满足 f 2 x f 2 x,求证：f x是周期函数。 （如果f x是奇函数呢？）
2设f x是定义在R上的函数，并且对任意的x, 都有f x f x 2 f x 1. 求证：f x是周期函数，并求出它的一个周期
谢谢！
Love ,not time,heals all wounds. 治愈一切创伤的并非时间,而是爱.
Life is tough,but I'm tougher. 生活是艰苦的,但我应更坚强.
判断周期练习：
1已知函数f x在其定义域上满足f x 1 f x 6,
求此函数的周期。T=5
2已知函数f x在其定义域上满足f x 1 f x,
拓 展 1.有 关 周 期 性 的 结 论
1. 设 a为 非 零 常 数 ， 若 对 于 f (x)定 义 域 内 的 任 意 x, 恒有下列条件之一成立，
(1) f (x a) f (x a)
(2) f (x a) f (x)
(3) f (x a) 1 f (x)
(4) f (x a) 1 f (x)
Being kind is more important than being right. 善良比真理更重要.
You should never say no to a gift from a child. 永远不要拒绝孩子送给你的礼物.
高考数学一轮复习 2.4 函数的奇偶性与周期性课件
奇函
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有__f_(_－__x_)＝__－__f_(_x_) ____,那么函数f(x)是
关于_原__点__
数
对称
奇函数
2.函数的周期性 (1)周期的定义 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取 定义域内的每一个值时，都有_f_(_x_＋__T_)_＝__f(_x_)__，则称函数f(x) 为周期函数，非零常数T称为函数f(x)的周期． (2)最小正周期 对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小 的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的__最__小__正__周__期___．
f(－1)＝f(5)＝－1，f(0)＝f(6)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，
所以在一个周期内有f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0
＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)＝f(1)＋f(2)＋335×1＝1＋2
【思路分析】 可从定义域入手，在定义域关于原点对称情
况下，考查f(－x)与f(x)的关系．
【解】 (1)函数的定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，
且 f(x)＝lg(x2·x12)＝0(x≠0)． ∴f(x)既是奇函数又是偶函数． (2)此函数的定义域为{x|x>0}，由于定义域关于原点不对称， 故 f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (3)当 x<0 时，－x>0， 则 f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)； 当 x>0 时，－x<0， 则 f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)． 综上，对 x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 都有 f(－x)＝－f(x)． ∴f(x)为奇函数．
高中数学一轮专题复习：函数的奇偶性与周期性课件
A.－1 B.0 C.1 D.2
解析：∵f(x)为定义在R上的奇函数， ∴f(0)＝0 又 f(x＋4)＝f(x)，∴f(8)＝f(4)＝f(0)＝0
题型三、函数性质的综合应用
命题点1：求函数值或函数解析式 例3：函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)
时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝__1_2___
2
由图像可知，
－2 O
x
满足不等式x f(x)<0的解为：
x<－2或x>2
答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)
三、归纳总结
1.函数的奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，定义 域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条 件．因此，判断函数的奇偶性，一要看定义域是否关于 原点对称；二要看f(x)与f(－x)的关系． 2.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性； 偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
一、基础知识梳理
3.奇(偶)函数的性质
(2)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性； 偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性. (3)若函数f(x)是奇函数，且在x=0处有定义，则f(0)=0； (4)在公共定义域内有： ①奇函数±奇函数＝奇函数；
②偶函数±偶函数＝偶函数； ③奇函数×奇函数＝偶函数；
命题点1：求函数值或函数解析式 对点训练3：若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇 函数，当0<x<1时，f(x)＝4x，则
f（－2.5）＋f(2)＝__－__2__
解析：∵f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，
∴f(2)＝f(0)＝0， ∵ 当 0<x<1时，f(x)＝4x ， ∴f(－2.5)＝f(－0.5) ＝－f(0.5) ＝－40.5 ＝－（22）0.5
解析：∵f(x)为定义在R上的奇函数， ∴f(0)＝0 又 f(x＋4)＝f(x)，∴f(8)＝f(4)＝f(0)＝0
题型三、函数性质的综合应用
命题点1：求函数值或函数解析式 例3：函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)
时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝__1_2___
2
由图像可知，
－2 O
x
满足不等式x f(x)<0的解为：
x<－2或x>2
答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)
三、归纳总结
1.函数的奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，定义 域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条 件．因此，判断函数的奇偶性，一要看定义域是否关于 原点对称；二要看f(x)与f(－x)的关系． 2.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性； 偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
一、基础知识梳理
3.奇(偶)函数的性质
(2)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性； 偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性. (3)若函数f(x)是奇函数，且在x=0处有定义，则f(0)=0； (4)在公共定义域内有： ①奇函数±奇函数＝奇函数；
②偶函数±偶函数＝偶函数； ③奇函数×奇函数＝偶函数；
命题点1：求函数值或函数解析式 对点训练3：若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇 函数，当0<x<1时，f(x)＝4x，则
f（－2.5）＋f(2)＝__－__2__
解析：∵f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，
∴f(2)＝f(0)＝0， ∵ 当 0<x<1时，f(x)＝4x ， ∴f(－2.5)＝f(－0.5) ＝－f(0.5) ＝－40.5 ＝－（22）0.5
2025届高中数学一轮复习课件《函数的奇偶性、周期性》PPT
解不等式22xx－＋11＞0. ln－－22xx－＋11＝ln22xx＋－11＝－ln22xx－＋11＝－g(x)，所以 g(x)为奇函数．若 f(x)＝(x＋a)ln22xx－＋11为 偶函数，则 y＝x＋a 也应为奇函数，所以 a＝0.故选 B．
高考一轮总复习•数学
第26页
已知函数奇偶性可以解决的几个问题 (1)求函数值：利用函数奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解． (2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用函数奇偶性求出． (3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据 f(x)±f(－x)＝0 得到关于参数的恒等 式，由系数的对等性得参数的方程(组)，进而得到参数的值． (4)画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区 间上的单调性．
高考一轮总复习•数学
第27页
对点练 2(1)(2024·重庆一中月考)已知函数 f(x)＝ax3＋bsin x＋3，若 f(m)＝2，则 f(－m)
＝( )
A．4
B．5
C．7
D．－2
(2)已知函数 f(x)的图象为[－1,1]上连续不断的曲线，且 2 019f(－x)＝2 0119fx，f(x)在[0,1]
高考一轮总复习•数学
第31页
(3)解：∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1，且 f(x)是周期为 4 的周期函数， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＋f(2 019)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＋f(2 020)＋f(2 021)＝f(2 020)＋f(2 021)＝f(0)＋f(1) ＝1.
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第26页
已知函数奇偶性可以解决的几个问题 (1)求函数值：利用函数奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解． (2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用函数奇偶性求出． (3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据 f(x)±f(－x)＝0 得到关于参数的恒等 式，由系数的对等性得参数的方程(组)，进而得到参数的值． (4)画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区 间上的单调性．
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第27页
对点练 2(1)(2024·重庆一中月考)已知函数 f(x)＝ax3＋bsin x＋3，若 f(m)＝2，则 f(－m)
＝( )
A．4
B．5
C．7
D．－2
(2)已知函数 f(x)的图象为[－1,1]上连续不断的曲线，且 2 019f(－x)＝2 0119fx，f(x)在[0,1]
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第31页
(3)解：∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1，且 f(x)是周期为 4 的周期函数， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＋f(2 019)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＋f(2 020)＋f(2 021)＝f(2 020)＋f(2 021)＝f(0)＋f(1) ＝1.
第三讲+函数的奇偶性与周期性课件-2025届高三数学一轮复习
f(x)＝x－2－x22－x，2xx，≥x0<，0， 画出函数 f(x)的图
象，如图 2-3-1，观察图象可知，函数 f(x)的图象
关于原点对称，故函数 f(x)为奇函数，且在(－1，
1)上单调递减.故选 C.
图 2-3-1
答案：C
(2)(多选题)(2023 年辽宁省月考)已知 f(x)是定义在 R 上不恒为 0 的偶函数，g(x)是定义在 R 上不恒为 0 的奇函数，则( )
答案：C
考向 2 周期性与奇偶性的综合问题 通性通法：此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期 性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定 义域内求解.
[例 4](2023 年未央区模拟)定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x)
＝f(2－x)，当 x∈[0，1]时，f(x)＝ax3＋2x＋a＋1，则 f(2 023)＝
(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函
数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
2.函数的周期性 (1)周期函数：一般地，对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么 函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最 小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期.
即(－x＋a)ln
22xx＋ －11＝(－x＋a)ln
22xx＋－11－1＝(x－a)ln
2x－1 2x＋1
＝(x＋a)ln 22xx－ ＋11，
∴x－a＝x＋a，得－a＝a，得 a＝0.故选 B. 答案：B
(2)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)
2015届高三数学(文)第一轮总复习课件 第6讲 函数的性质(二)——周期性、对称性
2
)
1 A. 2 3 C. 4
1 B. 4 9 D. 4
11
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文数
解析： 因为函数 y＝f(x)(x∈R)的图象关于直线 x＝1 对称， 所 3 1 1 1 1 以 f( )＝f(1＋ )＝f(1－ )＝f( )＝ ，故选 B. 2 2 2 2 4
12
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文数
13
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文数
一
函数周期性及其应用
3
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文数
解析： 由函数 f(x)是奇函数且 f(x)在[0,2]上是增函数可以 推知，f(x)在[－2,2]上递增． 又 f(x－4)＝－f(x)⇒f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)， 故函数 f(x)以 8 为周期， f( － 25)＝ f(－ 1)， f(11)＝ f(3)＝－ f(3 － 4)＝ f(1)， f(80)＝ f(0)， 故 f(－25)＜f(80)＜f(11)．故选 D.
19
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文数
解析：(1)由 f(x－1)的图象关于(1,0)中心对称，则 f(x)的 图象关于(0,0)成中心对称，则 f(x)为奇函数． 所以不等式 f(－a2＋2a)＋f(3)≤0⇔f(－a2＋2a)≤f(－3)， 则－a2＋2a≤－3，解之得 a≥3 或 a≤－1. 1 1 (2)依题意，g(x)＝log x，h(x)＝log (1－|x|)，易知，h(x) 2 2 为偶函数，②正确；因为 0≤|x|＜1，所以 h(x)的最小值为 0， ③正确．①④都不正确，故答案为②③.
4
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文数
2． (改编)设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数， 7 当 x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，则 f( )＝ 2 .
)
1 A. 2 3 C. 4
1 B. 4 9 D. 4
11
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文数
解析： 因为函数 y＝f(x)(x∈R)的图象关于直线 x＝1 对称， 所 3 1 1 1 1 以 f( )＝f(1＋ )＝f(1－ )＝f( )＝ ，故选 B. 2 2 2 2 4
12
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文数
13
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文数
一
函数周期性及其应用
3
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文数
解析： 由函数 f(x)是奇函数且 f(x)在[0,2]上是增函数可以 推知，f(x)在[－2,2]上递增． 又 f(x－4)＝－f(x)⇒f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)， 故函数 f(x)以 8 为周期， f( － 25)＝ f(－ 1)， f(11)＝ f(3)＝－ f(3 － 4)＝ f(1)， f(80)＝ f(0)， 故 f(－25)＜f(80)＜f(11)．故选 D.
19
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文数
解析：(1)由 f(x－1)的图象关于(1,0)中心对称，则 f(x)的 图象关于(0,0)成中心对称，则 f(x)为奇函数． 所以不等式 f(－a2＋2a)＋f(3)≤0⇔f(－a2＋2a)≤f(－3)， 则－a2＋2a≤－3，解之得 a≥3 或 a≤－1. 1 1 (2)依题意，g(x)＝log x，h(x)＝log (1－|x|)，易知，h(x) 2 2 为偶函数，②正确；因为 0≤|x|＜1，所以 h(x)的最小值为 0， ③正确．①④都不正确，故答案为②③.
4
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文数
2． (改编)设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数， 7 当 x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，则 f( )＝ 2 .
高三数学总复习PPT课件-函数的周期性
A. 常函数
B.
C. 周期为2的周期函数 D. 周期为1
【答案】 C
【解析】 ∵f (-x+2)=-f (x)=f (-x), ∴f (x+2)=f (x),∴选C.
考点 1 函数周期性的判断及其应用
【名师示范1】函数 f（x）的定义域为 R ，
且 f (x)与f (x+1）都是奇函数，则 f（x +T）= f (x)的T值.
(∴f由即∴（∴f设即∴定((--f② ff换 ftff=义（（xx((((--x--++得 元法xxx-xxt11)1））+))))法f=)====)1[=f--的的--∵-,）f(则ffff(2(周周((fx((-xxxx∵xxt-(+)=))1++x期期11f))11])及-(为为))=tx由-f)22f及(..②(xxf+-得(11x))+f=(1-t))f=(-xf+(12)-,t),
已知定义在R上的函数满足f(x)f(x3), 2
且f(2)f(1)1, f(0)2, 则f(1)f(2) f(2011)f(2012)______
-2
3.已知定义在R上的函数 f (x)是以2为周期的奇函数，则
方程 f (x)=0在［-2,2］上至少有
个实数根
【答案】 5
第四课时 函数的周期性
对于函数 f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 f (x+T)=f (x) ，那 么 f (x)就叫做周期函数. T 叫做这个函数的周期.
kT(k∈ Z ,k≠0) 也是 f (x)的周期，即 有 f (x+k T)=f (x) .
高中数学 第二章2.3 函数的奇偶性与周期性(共78张PPT)
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋„＋f(2 013) ＝f(0)＋f(1)＝1.
思想方法 练出高分
题型分类·深度剖析
题型二 函数的奇偶性与周期性Biblioteka 思维启迪解析探究提高
【例 2】 设 f(x)是定义在 R 上的奇函 判断函数的周期只需证明 f(x＋T)＝ 数，且对任意实数 x，恒有 f(x＋ f(x) (T≠0) 便 可 证 明 函 数 是 周 期 函 2)＝－f(x)．当 x∈[0,2]时，f(x)＝ 2x－x . (1)求证：f(x)是周期函数；
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋
f(6)＋f(7) (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式； ＝„＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋
(3)计算 f(0)＋f(1)＋f(2)＋„＋ f(2 013)．
基础知识 题型分类
f(2 011)＝0.
＝f(x) ， 那么就称函数 y＝f(x)为周期
函数，称 T 为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数 f(x) 的所有周期中 存在一个最小 的正 数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的 最小正周期．
基础知识 题型分类
思想方法
练出高分
基础知识·自主学习
基础自测
题号
1
答案
1 3
解析
2
3 4 5
2
数，且周期为 T，函数的周期性常与 函数的其他性质综合命题，是高考考
(2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式；查的重点问题． (3)计算 f(0)＋f(1)＋f(2)＋„＋ f(2 013)．
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
题型分类·深度剖析
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第四课时 函数的周期性
对于函数 f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x
取定义域内的每一个值时，都有 f (x+T)=f (x) ，那
么 f (x)就叫做周期函数. T 叫做这个函数的周期.
kT(k∈ Z ,k≠0) 也是 f (x)的周期，即
有 f (x+k T)=f (x) .
根据定义，若f(x)为周期函数，且f 则它的一个周期T=|x1-x2a|
∴f (0)=0.∴f (2012)=0.
a
4
【变式题：】已知定义在 R 上的奇函数 f (x)满足
f (x 2) 1 , 求 f (2012)的值. f (x)
a
5
【学生展示2】 定义在 R 上的函数y=f (x)，满足
f (x+1)+f (x)=0，且在区间[-1，0]上单调递增，
设a=f ( 2 )，b=f (2)，c=f (3)，则 ( )
f (x-1)-f (x-2), x>0
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
由f f(2已()2=0知f0(9得1))=f-ff((-(2100))0==8l-o1)-g, f2f2((=2301)=0, 7ff)(=(02)f)=-(02,0ff0((171)))=-=-ff1((2-00()-0-16f))(=--01,f)=(2-010,7) f =(4-)=f (f2(030)6-)f =(2-)=f0(-2(0-015))=+1f,(f2(050)4=)f (4)-f (3)=1, f =(6-)=f f(2(50)0-4f)+(4f)(=200,03) +f (2004)= f (2003) 所所以以函函数数f f(x()x的)的值周以期6为为周6，期所重以复f性(2出00现9)，= f所(-以1)=f1(,2009)=
A.c＜a＜b B.C. c＜b＜a
B. b＜c＜a D. a＜b＜c
【答案】 A
f (x)是周期为2的周期函数.
∴a=f ( 2 )=f ( 2 -2)，
b=f (2)=f (0),
c=f (3)=f (-1).
又f (x)在区间［-1，0］上单调a 递增, ∴c＜a＜b.
6
注意结论特征：自变量x前的系数同号。 否则不成立。
f (5)=1, 故选C.
a
11
已知定义在R上的函数满足f(x)f(x3), 2
且f(2)f(1)1, f(0)2, 则f(1)f(2) f(2011)f(2012)______
-2
a
12
3.已知定义在R上的函数 f (x)是以2为周期的奇函数，则
方程 f (x)=0在［-2,2］上至少有
个实数根
【名师示范1】函数 f（x）的定义域为 R ，
且 f (x)与f (x+1）都是奇函数，则 f (x)的周期
是2
.
分析 求周期即求满足 f（x +T）= f (x)的T值.
(∴f由即∴（∴f设即∴定((--f② ff换 ftff=义（（xx((((--x--++得 元法xxx-xxt11)1））+))))法f=)====)1[=f--的的--∵-,）f则(ffff(2(周周((fx((-xxxx∵xxt-(+)=))1++x期期11f))11])及-(为为))=tx由-f)22f及(..②(xxf+-得(11x))f+=a(1-t))f=(-xf+(12)-,t),
9
变式：设f (x)是定义在R上的偶函数， 且f (1x) f (1x),当0x1时， f (x) 1x,则f (8.6) __0_.3____
2
a
10
【名师示范2】 （2009山东）定义在 R 上的函数 f (x)满
log2(1-x), x≤0, 足f (x)=
【答案】 C
则 f (2009)的值为（ ）
a
2
【变式练习2】
已 知 函 数 f(x)(x∈R)的图象经过
原点，且f(x ＋ 2)＝f(x ＋ 6)，求
f(2012)的值．
定义法
换元法
【解析】令u＝x＋2，得x＝u－2，
则f(u)＝f(u＋4)，所以函数f(x)的周期为3.
依题意，f(0)＝0，且2012＝503×4，
所以f(2012)＝f(0)＝0.
【答案】 5
a
13
（2010安徽）若 f (x)是 R 上周期为5的奇函数，且满足 f
(1)=1，f (2)=2,则 f (3)-f (4)=
()
A. -1
B. 1
C. -2
D. 2
【答案 A
【解析】f (3)-f (4)=f (-2)-f (-1)=-f (2)+f (1)=-2+1=-1，所以选A.
a
7
1.已知定义在 R 上的奇函数 f（x）满足
f（-x+2）+f (x)=0, 则 f (x)是 ( )
A. 常函数
B.
C. 周期为2的周期函数 D. 周期为1
【答案】 C
【解析】 ∵f (-x+2)=-x),∴选C.
a
8
考点 1 函数周期性的判断及其应用
a
3
【学生展示1】已知定义在 R 上的奇函数 f (x)满 足 f (x+2) = -f (x),求 f (2012)的值.
【解释】 ∵f (x+2)=-f (x),
∴f (x+4)=-f (x+2).
∴f (x+4)=f (x). ∴f (x)是周期函数，周期为4. ∴f (2012)=f (4×503)=f (0).又f (x)是R上的奇函数，
(x1)=f
(x2)，
1
．已知 f(x)在 R 上是奇函数，且满足 f(x＋4)＝f(x)，当
x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则 f(2 011)等于 ( A )
A．－2 B．2 C．－98 D．98
定义法
解析 ∵f(x)的周期 T＝4， ∴f(2 011)＝f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.
a
14
对于函数 f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x
取定义域内的每一个值时，都有 f (x+T)=f (x) ，那
么 f (x)就叫做周期函数. T 叫做这个函数的周期.
kT(k∈ Z ,k≠0) 也是 f (x)的周期，即
有 f (x+k T)=f (x) .
根据定义，若f(x)为周期函数，且f 则它的一个周期T=|x1-x2a|
∴f (0)=0.∴f (2012)=0.
a
4
【变式题：】已知定义在 R 上的奇函数 f (x)满足
f (x 2) 1 , 求 f (2012)的值. f (x)
a
5
【学生展示2】 定义在 R 上的函数y=f (x)，满足
f (x+1)+f (x)=0，且在区间[-1，0]上单调递增，
设a=f ( 2 )，b=f (2)，c=f (3)，则 ( )
f (x-1)-f (x-2), x>0
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
由f f(2已()2=0知f0(9得1))=f-ff((-(2100))0==8l-o1)-g, f2f2((=2301)=0, 7ff)(=(02)f)=-(02,0ff0((171)))=-=-ff1((2-00()-0-16f))(=--01,f)=(2-010,7) f =(4-)=f (f2(030)6-)f =(2-)=f0(-2(0-015))=+1f,(f2(050)4=)f (4)-f (3)=1, f =(6-)=f f(2(50)0-4f)+(4f)(=200,03) +f (2004)= f (2003) 所所以以函函数数f f(x()x的)的值周以期6为为周6，期所重以复f性(2出00现9)，= f所(-以1)=f1(,2009)=
A.c＜a＜b B.C. c＜b＜a
B. b＜c＜a D. a＜b＜c
【答案】 A
f (x)是周期为2的周期函数.
∴a=f ( 2 )=f ( 2 -2)，
b=f (2)=f (0),
c=f (3)=f (-1).
又f (x)在区间［-1，0］上单调a 递增, ∴c＜a＜b.
6
注意结论特征：自变量x前的系数同号。 否则不成立。
f (5)=1, 故选C.
a
11
已知定义在R上的函数满足f(x)f(x3), 2
且f(2)f(1)1, f(0)2, 则f(1)f(2) f(2011)f(2012)______
-2
a
12
3.已知定义在R上的函数 f (x)是以2为周期的奇函数，则
方程 f (x)=0在［-2,2］上至少有
个实数根
【名师示范1】函数 f（x）的定义域为 R ，
且 f (x)与f (x+1）都是奇函数，则 f (x)的周期
是2
.
分析 求周期即求满足 f（x +T）= f (x)的T值.
(∴f由即∴（∴f设即∴定((--f② ff换 ftff=义（（xx((((--x--++得 元法xxx-xxt11)1））+))))法f=)====)1[=f--的的--∵-,）f则(ffff(2(周周((fx((-xxxx∵xxt-(+)=))1++x期期11f))11])及-(为为))=tx由-f)22f及(..②(xxf+-得(11x))f+=a(1-t))f=(-xf+(12)-,t),
9
变式：设f (x)是定义在R上的偶函数， 且f (1x) f (1x),当0x1时， f (x) 1x,则f (8.6) __0_.3____
2
a
10
【名师示范2】 （2009山东）定义在 R 上的函数 f (x)满
log2(1-x), x≤0, 足f (x)=
【答案】 C
则 f (2009)的值为（ ）
a
2
【变式练习2】
已 知 函 数 f(x)(x∈R)的图象经过
原点，且f(x ＋ 2)＝f(x ＋ 6)，求
f(2012)的值．
定义法
换元法
【解析】令u＝x＋2，得x＝u－2，
则f(u)＝f(u＋4)，所以函数f(x)的周期为3.
依题意，f(0)＝0，且2012＝503×4，
所以f(2012)＝f(0)＝0.
【答案】 5
a
13
（2010安徽）若 f (x)是 R 上周期为5的奇函数，且满足 f
(1)=1，f (2)=2,则 f (3)-f (4)=
()
A. -1
B. 1
C. -2
D. 2
【答案 A
【解析】f (3)-f (4)=f (-2)-f (-1)=-f (2)+f (1)=-2+1=-1，所以选A.
a
7
1.已知定义在 R 上的奇函数 f（x）满足
f（-x+2）+f (x)=0, 则 f (x)是 ( )
A. 常函数
B.
C. 周期为2的周期函数 D. 周期为1
【答案】 C
【解析】 ∵f (-x+2)=-x),∴选C.
a
8
考点 1 函数周期性的判断及其应用
a
3
【学生展示1】已知定义在 R 上的奇函数 f (x)满 足 f (x+2) = -f (x),求 f (2012)的值.
【解释】 ∵f (x+2)=-f (x),
∴f (x+4)=-f (x+2).
∴f (x+4)=f (x). ∴f (x)是周期函数，周期为4. ∴f (2012)=f (4×503)=f (0).又f (x)是R上的奇函数，
(x1)=f
(x2)，
1
．已知 f(x)在 R 上是奇函数，且满足 f(x＋4)＝f(x)，当
x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则 f(2 011)等于 ( A )
A．－2 B．2 C．－98 D．98
定义法
解析 ∵f(x)的周期 T＝4， ∴f(2 011)＝f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.
a
14