指数函数第一课时课件.ppt
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高一数学指数函数ppt课件
图像法
运算性质法
利用指数函数的运算性质，如乘法公 式和指数法则，推导出奇偶性的判断 方法。例如，若f(x)和g(x)都是奇函数， 则f(x)*g(x)也是奇函数。
通过观察指数函数的图像，判断其是 否关于原点对称或关于y轴对称，从而 确定函数的奇偶性。
06 典型例题解析与 课堂互动环节
典型例题选讲及思路点拨
指数函数的图像关于y轴对称。
当a>1时，函数在定义域内单调递增，图 像上升；当0<a<1时，函数在定义域内单 调递减，图像下降。
指数函数图像特点 函数图像过定点（0,1）。
指数函数性质探讨
指数函数的单调性
01
当a>1时，函数在R上单调递增；当0<a<1时，函数在R上单调
递减。
指数函数的周期性
02
指数函数不是周期函数。
应用举例
$3^4 = (frac{3}{2})^4 times 2^4$
对数转换
当底数不同且难以直接 计算时，可通过对数转 换为相同底数进行计算。
应用举例
比较 $7^{10}$ 和 $10^7$ 的大小，可转 换为比较 $10 times
log7$ 和 $7 times log10$。
复杂表达式化简技巧
利用指数函数构建可持续增长模型，可以预测未来经济发展的趋势和可能遇到的问 题，帮助学生了解经济增长的复杂性和不确定性。
05 指数函数图像变 换与性质变化规 律
平移、伸缩变换对图像影响
平移变换
指数函数图像沿x轴或y轴平移，不改 变函数的形状和周期性，只改变函数 的位置。
伸缩变换
通过改变函数的参数，实现对指数函 数图像的横向或纵向伸缩，从而改变 函数的周期和振幅。
指数函数ppt课件
04
指数函数的应用
在金融领域的应用
复利计算
股票和期货价格预测
在金融领域，复利计算是评估投资回 报的重要方式。指数函数用于计算复 利，通过复利公式，可以计算出投资 的未来价值。
在股票和期货市场中，指数函数常用 于价格预测模型。通过分析历史数据 ，利用指数函数可以预测未来的价格 走势。
保险精算
在保险行业中，指数函数用于精算模 型，例如生命表和风险评估。通过指 数函数，保险公司可以预测未来的风 险和损失。
指数函数和三角函数在某些方面具有 相似性，例如在周期性和对称性方面 。
三角函数的图像具有对称性，例如正 弦函数和余弦函数的图像关于y轴对称 ，而指数函数的图像则关于y=1对称 。
三角函数具有周期性，而指数函数在 形式上也可以表示为具有周期性的形 式。
06
练习题与答案解析
基础练习题
定义域和值域
指数函数的定Leabharlann 域和值域分别是什么？指数函数的起源与历史
起源
指数概念最早可以追溯到古代数学家和天文学家的著作中，但现代意义上的指 数函数则是在17世纪由数学家约翰·纳皮斯和费马等人提出。
历史发展
随着数学和科学技术的不断发展，指数函数的概念和应用范围也在不断扩展和 深化。在复数、微积分、线性代数等领域中，指数函数都扮演着重要的角色。
02
指数函数与幂函数的关系
指数函数和幂函数具有相似的 形式，即y=a^x和y=x^a。
当a>0时，指数函数和幂函数 的图像都是单调递增的；当 a<0时，指数函数和幂函数的 图像都是单调递减的。
指数函数和幂函数的定义域都 是全体实数集R，值域都是正 实数集(0,+infty)。
指数函数与三角函数的关系
指数函数的概念PPT课件.ppt
4.截距:在 x 轴上没有,在y 轴上为1.
二.图象与性质
1.图象的画法:性质指导下的列表描点法. 2.草图:
观察指数函数 f (x) ax (a 1)
性质
(1) 无论a为何值,指数函数 f (x) a x 都有定义域为R
值域为 0, ,都过点(0,1).
(2) a 1 时, f (x) a x 在定义域内为增函数； 0 a 1 时, f (x) a x 在定义域内为减函数．
(3)关于是否是指数函数的判断
请看下面函数是否是指数函数：
(1) y x
(2) y 0.3x2
(3) y ( 3)3x
(5) y 1 x 1 44
(4) y 2 ( 3 )2x 4
归纳性质
函数 y 2 x
1.定义域: R
2.值 域: 0,
3.奇偶性:既不是奇函数也不是偶函数
例2.比较下列各组数的大小.
(1) ( 1 )0.8与( 1 )1.8
4
2
(2)
(
8
)
3 7
与(
7
5
)12
7
8
(3) 1.080.3与0.983.1
小结比较大小的方法：
1.构造函数的方法: 数的特征是同底不同指 (包括可转化为同底的)
2. 搭桥比较法: 用特殊的数1或 0.
课堂小结
1.指数函数的概念 2.指数函数的图象和性质 3.简单应用
一、指数函数的概念
1.定义:形如 f (x) a x (a 0, a 1)的函数称为指数函数.
2.几点说明:
(1)关于对 a 的规定:
若 a 0 对于 x 0, a x 都无意义
二.图象与性质
1.图象的画法:性质指导下的列表描点法. 2.草图:
观察指数函数 f (x) ax (a 1)
性质
(1) 无论a为何值,指数函数 f (x) a x 都有定义域为R
值域为 0, ,都过点(0,1).
(2) a 1 时, f (x) a x 在定义域内为增函数； 0 a 1 时, f (x) a x 在定义域内为减函数．
(3)关于是否是指数函数的判断
请看下面函数是否是指数函数：
(1) y x
(2) y 0.3x2
(3) y ( 3)3x
(5) y 1 x 1 44
(4) y 2 ( 3 )2x 4
归纳性质
函数 y 2 x
1.定义域: R
2.值 域: 0,
3.奇偶性:既不是奇函数也不是偶函数
例2.比较下列各组数的大小.
(1) ( 1 )0.8与( 1 )1.8
4
2
(2)
(
8
)
3 7
与(
7
5
)12
7
8
(3) 1.080.3与0.983.1
小结比较大小的方法：
1.构造函数的方法: 数的特征是同底不同指 (包括可转化为同底的)
2. 搭桥比较法: 用特殊的数1或 0.
课堂小结
1.指数函数的概念 2.指数函数的图象和性质 3.简单应用
一、指数函数的概念
1.定义:形如 f (x) a x (a 0, a 1)的函数称为指数函数.
2.几点说明:
(1)关于对 a 的规定:
若 a 0 对于 x 0, a x 都无意义
指数函数的概念 课件(1) (共26张PPT)
1 1
(2)如果 a<0，如 y＝(－2) ，对于 x＝2，4，…时在实数范围内函数值不存在．
x
(3)如果 a＝1，y＝1x 是一个常量，对它无研究价值．为了避免上述各种情况，
所以规定 a>0 且 a≠1.
1．思考辨析
(1)y＝x2 是指数函数．(
)
－x
(2)函数 y＝2 不是指数函数．(
)
(3)指数函数的图象一定在 x 轴的上方．(
于是f(x)＝π
3
所以f(0)=π0 =1，f(1)=π
1
3
=
3
1
−1
π，f(-3)=π =
π
跟踪训练
跟踪训练1：已知函数f(x)为指数函数，且
3
−
2
=
3
，
9
则f(－2)＝________.
解析：设 f(x)＝ax(a>0 且 a≠1)，由 f
所以 a＝3，又 f(－2)＝
1
a ，所以 f(－2)＝3 ＝9.
1
1
1
1
1
（1-p)5730＝ ,从而1-p=( ሻ5730 ,所以p=1-( ሻ5730 ．
2
2
2
根据已知条件，
设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳１４含量为y，那么y=（1-p)x ，
即 =
1 1
(( ሻ5730 ) ,
2
（x∈[０，＋∞））．
这也是一个函数，指数x是自变量．死亡生物体内碳１４含量每年都以11 1
越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律．
问题探究
我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的．能否通过
对Ｂ地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？请你
(2)如果 a<0，如 y＝(－2) ，对于 x＝2，4，…时在实数范围内函数值不存在．
x
(3)如果 a＝1，y＝1x 是一个常量，对它无研究价值．为了避免上述各种情况，
所以规定 a>0 且 a≠1.
1．思考辨析
(1)y＝x2 是指数函数．(
)
－x
(2)函数 y＝2 不是指数函数．(
)
(3)指数函数的图象一定在 x 轴的上方．(
于是f(x)＝π
3
所以f(0)=π0 =1，f(1)=π
1
3
=
3
1
−1
π，f(-3)=π =
π
跟踪训练
跟踪训练1：已知函数f(x)为指数函数，且
3
−
2
=
3
，
9
则f(－2)＝________.
解析：设 f(x)＝ax(a>0 且 a≠1)，由 f
所以 a＝3，又 f(－2)＝
1
a ，所以 f(－2)＝3 ＝9.
1
1
1
1
1
（1-p)5730＝ ,从而1-p=( ሻ5730 ,所以p=1-( ሻ5730 ．
2
2
2
根据已知条件，
设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳１４含量为y，那么y=（1-p)x ，
即 =
1 1
(( ሻ5730 ) ,
2
（x∈[０，＋∞））．
这也是一个函数，指数x是自变量．死亡生物体内碳１４含量每年都以11 1
越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律．
问题探究
我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的．能否通过
对Ｂ地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？请你
高一数学指数函数00ppt课件
化学反应速率
在化学中，某些化学反应的速率与反应物的浓度成正比。当反应物浓度较高时，反应速率也较快；反之则较慢。 这种关系可以用指数函数来描述，其中反应速率常数与反应温度、压力等因素有关。
05
指数函数与对数函数关系 探讨
对数函数定义及图像特征回顾
对数函数定义
对于任意正实数a（a≠1），函数y=logax（x>0）叫做对数 函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）。
利用对数运算性质化 简得 $x = 3$。
两边取对数得 $x = log_2 8$。
一元二次指数方程求解
• 定义与性质：一元二次指数方程是指形如 $a^x + b^x = c$ 的方程，其中 $a > 0$，$b > 0$，$c > 0$。
一元二次指数方程求解
求解步骤 观察方程形式，尝试通过换元法将其转化为一元一次或一元二次方程。
高一数学指数函数00ppt课件
contents
目录
• 指数函数基本概念与性质 • 指数运算规则与技巧 • 指数方程求解方法 • 指数函数在生活中的应用举例 • 指数函数与对数函数关系探讨 • 课堂小结与拓展延伸
01
指数函数基本概念与性质
指数函数定义及图像特征
指数函数定义
形如 y = a^x (a > 0, a ≠ 1) 的函 数称为指数函数。
深入探讨了指数函数的四则运算，包 括加法、减法、乘法和除法。
学生自我评价报告分享
01
知识掌握情况
大部分学生表示能够理解和掌握指数函数的基本概念和性质，以及相关
的运算方法。
02
学习困难与挑战
部分学生反映在解决复杂问题和应用指数函数时仍存在一定困难，需要
在化学中，某些化学反应的速率与反应物的浓度成正比。当反应物浓度较高时，反应速率也较快；反之则较慢。 这种关系可以用指数函数来描述，其中反应速率常数与反应温度、压力等因素有关。
05
指数函数与对数函数关系 探讨
对数函数定义及图像特征回顾
对数函数定义
对于任意正实数a（a≠1），函数y=logax（x>0）叫做对数 函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）。
利用对数运算性质化 简得 $x = 3$。
两边取对数得 $x = log_2 8$。
一元二次指数方程求解
• 定义与性质：一元二次指数方程是指形如 $a^x + b^x = c$ 的方程，其中 $a > 0$，$b > 0$，$c > 0$。
一元二次指数方程求解
求解步骤 观察方程形式，尝试通过换元法将其转化为一元一次或一元二次方程。
高一数学指数函数00ppt课件
contents
目录
• 指数函数基本概念与性质 • 指数运算规则与技巧 • 指数方程求解方法 • 指数函数在生活中的应用举例 • 指数函数与对数函数关系探讨 • 课堂小结与拓展延伸
01
指数函数基本概念与性质
指数函数定义及图像特征
指数函数定义
形如 y = a^x (a > 0, a ≠ 1) 的函 数称为指数函数。
深入探讨了指数函数的四则运算，包 括加法、减法、乘法和除法。
学生自我评价报告分享
01
知识掌握情况
大部分学生表示能够理解和掌握指数函数的基本概念和性质，以及相关
的运算方法。
02
学习困难与挑战
部分学生反映在解决复杂问题和应用指数函数时仍存在一定困难，需要
指数函数及图像.ppt
[规律方法] 1.求含有指数型的函数定义域时，要注意考 虑偶次根式的被开方数大于等于0，分母不为0等限制条件．
2．求含有指数式的复合函数的值域时，要结合指数函数的 单调性和定义域来考虑，不要遗漏了指数函数的值域大于0.
【活学活用 3】 求下列函数的定义域与值域：
(1)y＝
；(2)y＝ 1－3x.
解 (1)由 x－2≥0，得 x≥2.
R.因为5－x>0，所以5－x－1>－1，
所以函数的值域为(－1，＋∞)
课堂小结
1．指数函数的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)，
且f(0)＝1.
2． 当a>1时，a的 值 越 大，图 象 越 靠 近y轴 ，递增速度越 快．当0<a<1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速
度越快．
历史ⅱ岳麓版第13课交通与通讯 的变化资料
”；此后十年间，航空事业获得较快发展。
筹办航空事宜
处
三、从驿传到邮政 1．邮政 (1)初办邮政： 1896年成立“大清邮政局”，此后又设 ， 邮传邮正传式部脱离海关。 (2)进一步发展：1913年，北洋政府宣布裁撤全部驿站； 1920年，中国首次参加 万国。邮联大会
2．电讯 (1)开端：1877年，福建巡抚在 架台设湾第一条电报线，成为中国自 办电报的开端。
二、水运与航空
1．水运 (1)1872年,
轮船正招式成商立局，标志着中国新式航运业的诞生。
(2)1900年前后，民间兴办的各种轮船航运公司近百家，几乎都是
在列强排挤中艰难求生。
2．航空
(1)起步：1918年，附设在福建马尾造船厂的海军飞机工程处开始
研制 。
(2)发展水：上1飞918机年，北洋政府在交通部下设“
《指数函数》PPT课件
商的乘方
商的乘方等于乘方的商。 如：$(a/b)^n = a^n div b^n$。
指数函数的极限与连续
极限性质
当底数大于1时，指数函数随着指 数的增大而趋于无穷大；当底数 在0到1之间时，指数函数随着指 数的增大而趋于0。
连续性
指数函数在其定义域内是连续的， 即对于任意两个相邻的点，函数值 之间的差可以无限小。
。
工程学
在工程学中，指数函数可用于 描述材料疲劳、信号处理等问
题。
计算机科学
在计算机科学中，指数函数可 用于算法分析、图像处理等领
域。
THANKS
感谢观看
02 指数函数的运算 性质
指数函数的四则运算
加法运算
同底数指数相加，指数 不变，底数相乘。如：
$a^m + a^m = 2a^m$。
减法运算
同底数指数相减，指数 不变，底数相除。如： $a^m - a^m = 0$。
乘法运算
同底数指数相乘，指数 相加，底数不变。如：
$a^m times a^n = a^{m+n}$。
级数展开的定义
将指数函数表示为无穷级数的形式，便于分析和 计算。
泰勒级数展开
通过泰勒公式将指数函数展开为幂级数，适用于 函数在某点的局部逼近。
麦克劳林级数展开
特殊形式的泰勒级数，用于在原点处展开指数函 数。
指数函数的傅里叶变换
傅里叶变换的概念
01
将时间域的函数转换为频域的函数，便于分析信号的频率特性
指数函数在生物学中的应用
细菌增长模型
指数函数可以描述细菌在适宜环 境下的增长情况，用于预测细菌
数量。
药物代谢动力学
指数函数可以模拟药物在体内的 代谢过程，用于计算药物浓度随
指数函数-人教版ppt课件
？：你能总结出细胞
个数 y 与细胞分裂次数 x 的关系式吗？
6
一:实例1
• 有一种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂 成4个，···1个这样的细胞分裂x次会得到多少个细 胞？
解：细胞个数y与细胞 分裂次数x的函数关系
式是 y=2x
分裂次数
1
2
3
4
…x
细胞个数
2
8
16
… y=?
7
一:实例2:
x<0,0<y<1 x>0,0<y<1
x<0,y>1
19
指数函数图象与性质的应用：
例1、指数函数 y ax , y bx , y cx , y d x 的图象如下图所示，则底数 aa,,bb,,c,d 与正整数 1
共五个数，从大到小的顺序是 ： 0 b a 1 d c.
b yy bxx
3,2, 1 , 1 23
1 , 1 ,2,3 32 2,3, 1 , 1
32
C4 C3 Y C2 C1
1
O
X
21
:例3:比较下列各组数的大小：
（1）1.72.5 和1.7 3
-0.1
(2)0.8
和0.8 -0.2
(3) 3.25-4.3和1
分析:(1)1.7 2.5
和1.7 3 可以看作函数y=1.7
的图像函数用列表描点的方法作出1052025301314321241201的图像描点的方法作出函数用列表143211201105函数的性质得出指数图像与函数比较函数1432101两函数图象有什么共同点又有什么不同特征
1
一:实例1
• 有一种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分 裂成4个，···1个这样的细胞分裂x次会得到多少个 细胞？ 一个细胞未分裂时
个数 y 与细胞分裂次数 x 的关系式吗？
6
一:实例1
• 有一种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂 成4个，···1个这样的细胞分裂x次会得到多少个细 胞？
解：细胞个数y与细胞 分裂次数x的函数关系
式是 y=2x
分裂次数
1
2
3
4
…x
细胞个数
2
8
16
… y=?
7
一:实例2:
x<0,0<y<1 x>0,0<y<1
x<0,y>1
19
指数函数图象与性质的应用：
例1、指数函数 y ax , y bx , y cx , y d x 的图象如下图所示，则底数 aa,,bb,,c,d 与正整数 1
共五个数，从大到小的顺序是 ： 0 b a 1 d c.
b yy bxx
3,2, 1 , 1 23
1 , 1 ,2,3 32 2,3, 1 , 1
32
C4 C3 Y C2 C1
1
O
X
21
:例3:比较下列各组数的大小：
（1）1.72.5 和1.7 3
-0.1
(2)0.8
和0.8 -0.2
(3) 3.25-4.3和1
分析:(1)1.7 2.5
和1.7 3 可以看作函数y=1.7
的图像函数用列表描点的方法作出1052025301314321241201的图像描点的方法作出函数用列表143211201105函数的性质得出指数图像与函数比较函数1432101两函数图象有什么共同点又有什么不同特征
1
一:实例1
• 有一种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分 裂成4个，···1个这样的细胞分裂x次会得到多少个 细胞？ 一个细胞未分裂时
新课标人教版必修一指数函数及其性质课件(共17张PPT)
x 1 2
2 x 1 5的最大值为_______
a 2x a 2 例4：设函数f(x)= 为奇函数. x 2 1
求： （1）实数a的值； （2）用定义法判断f（x）在其定义域上的单调性.
课堂总结：
1:根式的概念与相关的结论
2：指数幂运算的推广：
整数
有理数
实数
3：指数的运算性质： 求值与化简（整体思想）
高中数学必修1同步辅导课程——指数函数及其性质
牢记底的限制；
a＞0且 a 1
熟悉单调分类； a 1单增；0 a 1单减； 弄清值域变化； 掌握草图画法。 一撇一捺
高中数学必修1同步辅导课程——指数函数及其性质
典型题例：
例1：比较下列各题中两个值的大小： （1） 0.8 －0 . 1 < 0.8 －0 . 2
1 x 2 8 2 x (1) ( ) 3 3 解：原不等式可化为
3
x 2 8
3
2 x
∵ 函数 y=3x 在R上是增函数 ∴ - x2 + 8 > - 2x
解之得：- 4 < x < 2
∴ 原不等式的解集是（- 4, 2）
高中数学必修1同步辅导课程——指数函数及其性质
(2) a
x 2 2 x
解：原不等式可化为
1 x2 ( ) (a 0且a 1) a
a
x2 2x
a
x2
(1)若a>1,则原不等式等价于 x2 - 2x >－ x2 ∵原不等式ห้องสมุดไป่ตู้解集为（－∞ ，0）∪（1，＋∞ ） (2)若0<a<1,则原不等式等价于 x2 - 2x < －x2 ∴原不等式的解集为（0,1 ）
2 x 1 5的最大值为_______
a 2x a 2 例4：设函数f(x)= 为奇函数. x 2 1
求： （1）实数a的值； （2）用定义法判断f（x）在其定义域上的单调性.
课堂总结：
1:根式的概念与相关的结论
2：指数幂运算的推广：
整数
有理数
实数
3：指数的运算性质： 求值与化简（整体思想）
高中数学必修1同步辅导课程——指数函数及其性质
牢记底的限制；
a＞0且 a 1
熟悉单调分类； a 1单增；0 a 1单减； 弄清值域变化； 掌握草图画法。 一撇一捺
高中数学必修1同步辅导课程——指数函数及其性质
典型题例：
例1：比较下列各题中两个值的大小： （1） 0.8 －0 . 1 < 0.8 －0 . 2
1 x 2 8 2 x (1) ( ) 3 3 解：原不等式可化为
3
x 2 8
3
2 x
∵ 函数 y=3x 在R上是增函数 ∴ - x2 + 8 > - 2x
解之得：- 4 < x < 2
∴ 原不等式的解集是（- 4, 2）
高中数学必修1同步辅导课程——指数函数及其性质
(2) a
x 2 2 x
解：原不等式可化为
1 x2 ( ) (a 0且a 1) a
a
x2 2x
a
x2
(1)若a>1,则原不等式等价于 x2 - 2x >－ x2 ∵原不等式ห้องสมุดไป่ตู้解集为（－∞ ，0）∪（1，＋∞ ） (2)若0<a<1,则原不等式等价于 x2 - 2x < －x2 ∴原不等式的解集为（0,1 ）
高中数学《指数函数》ppt课件
课件•指数函数基本概念与性质•指数函数运算规则与技巧•指数函数在生活中的应用举例•指数函数与对数函数关系探讨目录•指数方程和不等式求解技巧•总结回顾与拓展延伸01指数函数基本概念与性质指数函数定义及图像特点指数函数定义形如y=a^x（a>0且a≠1）的函数称为指数函数。
指数函数图像特点当a>1时，图像上升；当0<a<1时，图像下降。
图像均经过点(0,1)，且y轴为渐近线。
指数函数性质分析指数函数的值域为(0,+∞)。
当a>1时，指数函数在R上单调递增；当0<a<1时，指数函数在R上单调递减。
指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
指数函数没有周期性。
值域单调性奇偶性周期性常见指数函数类型及其特点自然指数函数底数为e（约等于2.71828）的指数函数，记为y=e^x。
其图像上升速度最快，常用于描述自然增长或衰减现象。
幂指数函数形如y=x^n（n为实数）的函数，当n>0时图像上升，当n<0时图像下降。
特别地，当n=1时，幂指数函数退化为线性函数y=x。
对数指数函数底数为a（a>0且a≠1）的对数函数和指数函数的复合函数，记为y=log_a(a^x)=x。
其图像为一条直线，斜率为1，表示输入与输出之间呈线性关系。
复合指数函数由多个基本指数函数通过四则运算组合而成的复杂函数。
其性质取决于各基本函数的性质及组合方式。
02指数函数运算规则与技巧$a^m times a^n =a^{m+n}$，同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
乘法法则除法法则幂的乘方法则$a^m div a^n =a^{m-n}$，同底数幂相除，底数不变，指数相减。
$(a^m)^n =a^{m times n}$，幂的乘方，底数不变，指数相乘。
030201同底数指数运算法则$a^m times b^m =(a times b)^m$，不同底数幂相乘，指数不变，底数相乘。
乘法法则$a^m div b^m =(a div b)^m$，不同底数幂相除，指数不变，底数相除。
指数函数的图像及性质第一课时课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版必修第一册
27 幂函数 f(x) = xα 的图象上，则 f(3) = _____.
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[解析] 当 x − 2 = 0 时， x = 2, y = a0 + 7 = 8 ， ∴ 函数 y = ax−2 + 7 的图象恒过定点 A(2,8) . 又点 A 在幂函数 f(x) = xα 的图象上， ∴ 2α = 8, 解得 α = 3, ∴ f(x) = x3, ∴ f(3) = 33 = 27 .
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变式训练：
1. 指数函数① y = ax, ②y = bx, ③y = cx, ④y = dx 的图象如图所示，则 a ， b
， c ， d 与1的大小关系为( B )
A. a＜b＜1＜c＜d C. 1＜a＜b＜c＜d
B. b＜a＜1＜d＜c D. a＜b＜1＜d＜c
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探究点二 指数函数的定义域和值域
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变式训练：
1. 已知函数 f(x) = 4 + ax−1(a＞0, 且 a ≠ 1) 的图象恒过定点 P ，则定点 P
的坐标是_（_1_，_5_）___.
[解析] 令 x = 1, y = 4 + a0 = 4 + 1 = 5 ，故函数 f(x) 的图象恒过定点 P(1,5) .即点 P 的坐标为(1,5).
2
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[答案] 要使函数有意义，则 1 − 3x ≥ 0, 即 3x ≤ 1 = 30, 因为函数 y = 3x 在 R 上是增函数，所以 x ≤ 0 .故函数 y = 1 − 3x 的定义域为 (−∞, 0] . 因为 x ≤ 0, 所以 0＜3x ≤ 1, 所以 0 ≤ 1 − 3x＜1 ， 即函数 y = 1 − 3x 的值域为 [0,1) .
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[解析] 当 x − 2 = 0 时， x = 2, y = a0 + 7 = 8 ， ∴ 函数 y = ax−2 + 7 的图象恒过定点 A(2,8) . 又点 A 在幂函数 f(x) = xα 的图象上， ∴ 2α = 8, 解得 α = 3, ∴ f(x) = x3, ∴ f(3) = 33 = 27 .
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变式训练：
1. 指数函数① y = ax, ②y = bx, ③y = cx, ④y = dx 的图象如图所示，则 a ， b
， c ， d 与1的大小关系为( B )
A. a＜b＜1＜c＜d C. 1＜a＜b＜c＜d
B. b＜a＜1＜d＜c D. a＜b＜1＜d＜c
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探究点二 指数函数的定义域和值域
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变式训练：
1. 已知函数 f(x) = 4 + ax−1(a＞0, 且 a ≠ 1) 的图象恒过定点 P ，则定点 P
的坐标是_（_1_，_5_）___.
[解析] 令 x = 1, y = 4 + a0 = 4 + 1 = 5 ，故函数 f(x) 的图象恒过定点 P(1,5) .即点 P 的坐标为(1,5).
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[答案] 要使函数有意义，则 1 − 3x ≥ 0, 即 3x ≤ 1 = 30, 因为函数 y = 3x 在 R 上是增函数，所以 x ≤ 0 .故函数 y = 1 − 3x 的定义域为 (−∞, 0] . 因为 x ≤ 0, 所以 0＜3x ≤ 1, 所以 0 ≤ 1 − 3x＜1 ， 即函数 y = 1 − 3x 的值域为 [0,1) .
指数函数(第一课)
8 7
X Y=2x x. Y=2
x
y
… … 0.5 1.4
－３ 0.13 1 2
－２ 0.25 1.5 2.8
－1． ５ 0.35 2 4
－１ 0.5 3 8
－０.5 0.71 … …
0 1
6 5 4
3
2 1
-4 -3
-2
-1 ０
1
2
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4
x
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8 7
X Y=2x x. Y=2
x
y
… … 0.5 1.4
－３ 0.13 1 2
－２ 0.25 1.5 2.8
－1． ５ 0.35 2 4
－１ 0.5 3 8
－０.5 0.71 … …
0 1
6 5 4
3
2 1
-4 -3
-2
-1 ０
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x
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解得
a＞0 a≠1
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指数函数y=ax (a>0,a≠1) 的图象和性质 当a>1时 例如，我们来画y=2x的图象。 列表
0.13
0.25
0.35
0.5
0.71
1
1.4
2
2.8
4
8
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8 7
X Y=2x x. Y=2
x
y
… … 0.5 1.4
－３ 0.13 1 2
－２ 0.25 1.5 2.8
－1． ５ 0.35 2 4
－１ 0.5 3 8
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⑸ y＝(－10) x；
⑹ y＝(10＋a)x (a＞－10，且a≠－9)；
⑺ y＝x10；
⑻ y＝xx．
集合A：⑴ y＝10x； ⑹ y＝(10＋a)x(a＞－10，且a≠－9)
四.（探索、发现、证明）指数函数的图象和性质： 列表
列表
列表
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列表
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D. y＝3-x．
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根据指数函数的概念，判断一个函数 是否为指数函数．
例2 函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数 函数，求a的值，并写出这个指数函 数． 【思路点拨】 令a2－3a＋3＝1且 a>0，a≠1，才符合指数函数的定 义．
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【解】 由 y＝(a2－3a＋3)ax 是指数函数， 可得a2－3a＋3＝1 ，
2.1.2指数函数 及其性质
一复习
二引入：
引例1： 如果让1号同学准备2粒米，2号同学 准备4粒米，3号同学准备6粒米，4号同学准备 8粒米，5号同学准备10粒米……按这样的规律 51 号同学该准备多少粒米？ 引例2： 如果让1号同学准备2粒米，2号同学 准备4粒米，3号同学准备8粒米，4号同学准备 16粒米，5号同学准备32 粒米……按这样的规 律，51号同学该准备多少粒米？ 在以上两个问题中，每位同学的座位号用x表 示，，他应该准备的米粒数用y表示，则数y与x 的关系式是什么？
⑴ y＝10x；
⑵ y＝10x＋1；
⑶ y＝10x＋1； ⑷ y＝2·10x；
⑸ y＝(－10) x；
⑹ y＝(10＋a)x (a＞－10，且a≠－9)；
⑺ y＝x10；
⑻ y＝xx．
集合A：
练习：下列函数中，哪些是指数函数?
放入集合A中．
⑴ y＝10x；
⑵ y＝10x＋1；
⑶ y＝10x＋1； ⑷ y＝2·10x；
在R上是__增_函__数___ 在R上是_减__函__数___
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. 例3： 如图为指数函数：
(1)y ax
y
(2)y bx (3)y cx
(3) (4)
(1) (2)
(4)y dx的图象
比较a, b, c, d与1的大小关系. O
x
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六（归纳）底数a对指数函数y＝ax图象影响 (1) a＞1时，图象向右不断上升，并且 无限靠近x轴的负半轴； 0＜a＜1时，图象向右不断下降，并且 无限靠近x轴的正半轴．
(2) 对于多个指数函数来说，底数越大 的图象在y轴右侧的部分越高(简称：右 侧底大图高)．
六（归纳）底数a对指数函数y＝ax图象影响 (1) a＞1时，图象向右不断上升，并且 无限靠近x轴的负半轴； 0＜a＜1时，图象向右不断下降，并且 无限靠近x轴的正半轴．
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六（归纳）底数a对指数函数y＝ax的图象影响
六（归纳）底数a对指数函数y＝ax图象的影响 (1) a＞1时，图象向右不断上升，并且 无限靠近x轴的负半轴；
六（归纳）底数a对指数函数y＝ax图象影响 (1) a＞1时，图象向右不断上升，并且 无限靠近x轴的负半轴； 0＜a＜1时，图象向右不断下降，并且 无限靠近x轴的正半轴．
a>0且a≠1 解得aa＝>01且或aa≠＝12 ， ∴a＝2.∴指数函数为 y＝2x.
【名师点拨】 判断一个函数是否为指数函 数只需判定其解析式是否符合y＝ax(a>0，且 a≠1)这一形式，否则就不是指数函数．
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练习：下列函数中，哪些是指数函数?
放入集合A中．
指数函数，其中x是自变量，函数定义域 是R.
2、对常数a的考虑： (1)若a＝0，则当x＞0时，ax＝0；
当x≤0时，ax无意义. (2)若a＜0，ax没有意义． (3)若a＝1，则y＝ax＝1是一个常数函数．
例1：下列函数中一定是指数函数的是 ( )．
A. y＝2x＋1； B. y＝3·2x；
C. y＝x3；
指数函数，其中x是自变量，函数定义域 是R.
2、对常数a的考虑： (1)若a＝0，则当x＞0时，ax＝0；
讲授新课
三. 指数函数的定义 一般地，函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做
指数函数，其中x是自变量，函数定义域 是R.
2、对常数a的考虑： (1)若a＝0，则当x＞0时，ax＝0；
当x≤0时，ax无意义.
系数为1
y＝1 ·ax
自变量
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1. 指数函数的定义
系数为1
y＝1 ·ax
自变量
常数
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三. 指数函数的定义 一般地，函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做
指数函数，其中x是自变量，函数定义域 是R.
2、对常数a的考虑：
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三. 指数函数的定义 一般地，函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做
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三. 指数函数的定义 一般地，函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做
指数函数，其中x是自变量，函数定义域 是R.
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1. 指数函数的定义
y＝1 ·ax
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1. 指数函数的定义
系数为1 y＝1 ·ax
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1. 指数函数的定义
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三. 指数函数的定义 一般地，函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做
指数函数，其中x是自变量，函数定义域 是R.
2、对常数a的考虑： (1)若a＝0，则当x＞0时，ax＝0；
当x≤0时，ax无意义. (2)若a＜0，ax没有意义．
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三. 指数函数的定义 一般地，函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做
列表 列表
列表
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五、总结归纳证明
a>1
0<a<1
图 象
定义域为__R；值域为__(0_，__＋__∞__) __
性 质
过定点__(0_,_1)_，即_x_＝__0_时，_y_＝__1_
若x>0，则_y_＞__1__； 若x>0，则_0_＜__y_＜__1_； 若x<0，则__0＜__y_＜__1_ 若x<0，则_y_＞__1__
(2) 对于多个指数函数来说，底数越大 的图象在y轴右侧的部分越高(简称：右 侧底大图高)．
(3) 指数函数 关于y轴对称.