4.5函数图形的描绘
《应用微积分》4.5函数图形描绘
, 渐近线
y 1
y
.
y 2 e
x2
(1 2 x 2 )
1
( 1 ,1 e ) 2
1 2
(
1 2 , 1 e 2
1
)
o
x
开尔文
利用函数一阶导数和二阶导数的符号，可以确定函数图 形的增减区间，凹凸区间，极值点和拐点。有时函数曲线会
无限接近于一条直线，这样的直线称为曲线的渐近线。为了
能更好地画出函数图形，我们先研究渐近线的有关内容。
定义4.6
若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点
时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为 曲线C 的渐近线 .
主讲教师：
第 4 章 中值定理与导数的应用
中值定理 洛必达法则 函数的单调性与凹凸性 函数的极值与最值 *函数图形的描绘
1 2
曲线的渐近线
函数作图的步骤
4
一种奇特的美统治着数学王国，这种美不像艺术之美 与自然之美那么相类似，但她深深地感染着人们的心灵， 激起人们对她的欣赏，与艺术之美是十分相象的。 库默 用一条单独的曲线，像表示棉花价格而画的曲线那样， 来描述在最复杂的音乐演出的效果……在我看来是数学能 力的极好证明。
1. 曲线渐近线的求法 水平渐近线 ; 铅直渐近线; 斜渐近线 2. 函数图形的描绘 按作图步骤进行
思 考 题
1. 曲线 y
1 e
x2
2
1 e x
(D )
(B) 仅有水平渐近线；
(A) 没有渐近线； (C) 仅有铅直渐近线；
(D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线. 提示: lim
1 e
y
C M
或为“纵坐标差”
高等数学——函数图形的描绘
函数图形的描绘在中学时我们用描点法来作函数的图像，这种方法常遗漏曲线的一些关键点，如极值点、拐点等，使得函数的一些重要性态难以准确地显示出来。
在本章前两节我们借助于导数的符号讨论了函数图形的升降和凹凸，以及在什么地方有极值点，什么地方有拐点，这样也就基本掌握了函数的性态，并把函数的图形画得比较准确。
此外，为了描绘函数图形在无穷远处的走势，还有必要讨论函数图形在无穷远处的变化趋势，即渐近线。
一、渐近线1、定义定义 若曲线)(x f y =上一动点沿着曲线无限远去时，该点与某条定直线L 的距离趋于零，则称直线L 为曲线)(x f y =的渐近线（如图153--）。
2、分类渐近线可分为水平渐近线、铅直渐近线和斜渐近线。
（1）水平渐近线 若函数)(x f y =的定义域为无穷区间，且C x f x =∞→)(lim （或C x f x x =-∞→+∞→)(lim )(） 图153--则称直线C y =为曲线)(x f y =的水平渐近线。
例如，因为01lim=∞→x x ，故直线0=y 为曲线xy 1=的水平渐近线；又如，因为2arctan lim π=+∞→x x ，2arctan lim π-=-∞→x x ，故直线2π=y 及直线2π-=y 均为曲线x y arctan =的水平渐近线。
（2）铅直渐近线 若函数)(x f y =在点0x 处间断，且∞=→)(lim 0x f x x则称直线0x x =为曲线)(x f y =的铅直渐近线。
注：铅直渐近线定义式∞=→)(lim 0x f x x 中，0x x →可换作-→0x x 或+→0x x ，∞→)(x f 亦可换作-∞→)(x f 或+∞→)(x f 。
例如，因为∞=→x x 1lim0，故直线0=x 为曲线xy 1=的铅直渐近线；又如，因为-∞=+→x x ln lim 0，故直线0=x 为曲线x y ln =的铅直渐近线。
*（3）斜渐近线 设有函数)(x f y =，若0)]()([lim =+-∞→b ax x f x则称直线b ax y +=为曲线)(x f y =的斜渐近线，其中xx f a x )(lim∞→=，])([lim ax x f b x -=∞→注：若x x f x )(lim ∞→不存在，或虽然xx f x )(lim ∞→存在但])([lim ax x f x -∞→不存在，则可以断定)(x f y =不存在斜渐近线。
【中学课件】函数图形的描绘
如果limf(x)或limf(x)
xx0
xx0
那么 xx0就是 yf(x)的一条铅直 . 渐近
精选课件ppt
2
例如 y
1
,
(x2)(x3)
有铅直渐近线两条: x 2 , x 3 .
精选课件ppt
3
水平渐近线 (平行于 x轴的渐近) 线
如果limf(x)b或limf(x)b (b为常) 数
f(x) 0
不存在
f(x) f (x)
0
拐点
(3, 26) 9
极值点
3 精选课件ppt
间 断 点
8
补充点: (1 3 ,0 ),(1 3 ,0 );
A(1,2), 作图
B(1,6), C(2,1). y
6B
1
C
3 2 1 o 1 2
2
A
3
精选课件ppt
x
9
例2
作函(数 x)
1
x2
e2
第八节 函数图形的描绘
函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导 数应用的综合考察.
y
凸的
单增
y f (x)
极
凹的
拐 点
大 值
最
小
值
a
o
单减
最 大 值 极 小 值
bx
精选课件ppt
1
1、渐近线
定义: 当曲线 y f ( x) 上的一动点 P 沿着曲线 移向无穷点时, 如果点 P 到某定直线 L 的距离 趋向于零, 那么直线 L 就称为曲线 y f ( x) 的 一条渐近线.
f(x ) ( 3 x 1 )x ( 1 ),f(x ) 2 (3 x 1 ).
函数图像的画法
04 利用计算器或软件绘制函 数图像
使用计算器绘制函数图像
确定函数表达式
首先需要确定要绘制的函数表达式， 例如 y = x^2。
选择计算器功能
在计算器上找到绘制函数图像的功能， 通常在科学计算器上会有专门的图形 功能键。
输入函数表达式
将函数表达式输入到计算器的相应位 置。
开始绘图
按下绘图功能键，计算器会自动绘制 出该函数的图像。
函数图像的画法
contents
目录
• 函数图像的基本概念 • 常见函数的图像画法 • 函数图像的变换 • 利用计算器或软件绘制函数图像 • 函数图像的应用
01 函数图像的基本概念
函数图像的定义
函数图像
函数图像是将函数的每一个自变 量x值与对应的因变量y值，用点 表示出来，并将这些点用线连接 起来形成的图形。
二次函数的图像
总结词
抛物线形状
详细描述
二次函数图像是抛物线。根据抛物线的开口方向和顶点位置，二次函数可以分为开口向上、向下、向左和向右四 种类型。在直角坐标系中，二次函数的标准形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，a 不等于 0。
三角函数的图像
总结词
周期性波形
详细描述
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
缺点
需要一定的编程基础，对于初学者来说可能需要一定的学习 成本。另外，软件绘图可能需要较长时间才能掌握其各种功 能和操作技巧。
05 函数图像的应用
在数学中的应用
解析几何
函数图像可以用来表示解析几何中的曲线、曲面等，帮助理解几 何概念和性质。
微积分
函数图像在微积分中用于描述函数的单调性、极值、拐点等，有助 于理解函数的性质和变化规律。
第五节--函数图形的描绘
第五节 函数图形的描绘分布图示★ 引言 ★ 渐近线 ★ 函数图形描绘的步骤 ★ 例1★ 例2 ★ 例3 ★ 例4★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-5内容要点一、渐近线的概念 水平渐近线 铅直渐近线 斜渐近线；二、函数图形的描绘：对于一个函数，若能作出其图形，就能从直观上了解该函数的性态特征，并可从其图形清楚地看出因变量与自变量之间的相互依赖关系. 在中学阶段，我们利用描点法来作函数的图形. 这种方法常会遗漏曲线的一些关键点，如极值点、拐点等. 使得曲线的单调性、凹凸性等一些函数的重要性态难以准确显示出来. 本节我们要利用导数描绘函数)(x f y =的图形，其一般步骤如下:第一步 确定函数)(x f 的定义域, 研究函数特性如: 奇偶性、周期性、有界性等, 求出函数的一阶导数)(x f '和二阶导数)(x f '';第二步 求出一阶导数)(x f '和二阶导数)(x f ''在函数定义域内的全部零点，并求出函数)(x f 的间断点和导数)(x f '和)(x f ''不存在的点, 用这些点把函数定义域划分成若干个部分区间;第三步 确定在这些部分区间内)(x f '和)(x f ''的符号, 并由此确定函数的增减性和凹凸性，极值点和拐点;第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其它变化趋势;第五步 算出)(x f '和)(x f ''的零点以及不存在的点所对应的函数值，并在坐标平面上定出图形上相应的点；有时还需适当补充一些辅助作图点(如与坐标轴的交点和曲线的端点等)； 然后根据第三、四步中得到的结果，用平滑曲线联接而画出函数的图形.例题选讲求曲线渐近线例1 作函数1)(23+--=x x x x f 的图形. 解 定义域为),,(+∞-∞无奇偶性及周期性. ),1)(13()(-+='x x x f ).13(2)(-=''x x f令,0)(='x f 得,3/1-=x .1=x 令,0)(=''x f 得.3/1=x 列表综合如下:补充点: ),0,1(A ),1,0(B .85,23⎪⎭⎫⎝⎛C 综合作出图形.例2(E01) 按照以下步骤作出函数()10434+-=x x x f 的图形.(1) 求()x f '和()x f '';(2) 分别求()x f '和()x f ''的零点;(3) 确定函数的增减性、凹凸性、极值点和拐点; (4) 作出函数()10434+-=x x x f 的图形.解 (1) ()23124x x x f -='，()x x x f 24122-=''.(2) 由()012423=-='x x x f ，得到0=x 和3=x .由()024122=-=''x x x f ，得到0=x 和2=x .(4) 算出0=x ，2=x ，3=x 处的函数值()100=f ，()62-=f ，()173-=f .根据以上结论，用平滑曲线连接这些点， 就可以描绘函数的图形.函数作图例3 (E02) 作函数2)1(4)(2-+=x x x f 的图形.解 ,0:≠x D 非奇非偶函数，且无对称性.51015---51015-11234O xy,)2(4)(3x x x f +-='.)3(8)(4xx x f +='' 令,0)(='x f 得;2-=x 令,0)(=''x f 得.3-=x)(lim x f x ∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=∞→2)1(4lim 2x x x ,2-= 得水平渐近线;2-=y )(lim 0x f x →⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=→2)1(4lim 20x x x ,+∞= 得铅直渐近线.0=x 列表综合如下:补充点: ),0,31(-);0,31(+ ),2,1(--A ),6,1(B ).1,2(C作出图形例4 (E03) 作函数 2221)(x ex -=πϕ的图形.解 函数定义域),,(+∞-∞且.4.021)(0≈≤<πϕx偶函数,图形关于y 轴对称.,2)(22x e x x --='πϕ.2)1)(1()(22x e x x x --+=''πϕ令,0)(='x ϕ得驻点,0=x 令,0)(=''x ϕ得特殊点,1-=x .1=x)(lim x x ϕ∞→ 2221limx x e-∞→=π,0=得水平渐近线.0=y综合作出图形课堂练习1.两坐标轴0,0==y x 是否都是函数xxx f sin )(=的渐近线? 2.若函数)(x f 有,1)(lim,0)(lim ==-∞→+∞→xx f x f x x ,)(lim ,0)(lim ,2])([lim 2∞===-→+∞→-∞→x f x x f x x f x x x 并且当)1,0(∈x 时, 0)(<'x f , 否则),2(0)(≠>'x x f 当)2,2/1(∈x 时, 0)(>''x f , 否则),0(0)(≠<''x x f 则(1) 函数)(x f 的单调区间(注明增减)是._______ (2) 函数曲线的凹向和拐点是._______(3) 当_______=x 时, 函数取得极大值._______ (4) 函数的渐近线有._______。
函数图像ppt课件
03
描点法
根据函数表达式，在坐标 系中逐个描出对应的点(x, y)，然后用平滑的曲线将 这些点连接起来。
计算法
利用数学软件或计算器， 输入函数表达式，自动生 成函数图像。
表格法
根据函数表达式和已知数 据，制作表格，然后在坐 标系中根据表格数据绘制 出函数图像。
函数图像的观察与分析
观察图像形状
通过观察函数的图像，可以初 步判断函数的类型（如一次函 数、二次函数、三角函数等）
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
06
复合函数的图像
复合函数的定义与性质
总结词
理解复合函数的定义与性质是绘制和分 析其图像的基础。
VS
详细描述
复合函数是由两个或多个函数的组合而成 的函数。它具有一些特殊的性质，如复合 函数的导数、极限等。了解这些性质有助 于更好地绘制和分析复合函数的图像。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
二次函数的图像
二次函数的定义与性质
总结词
二次函数的定义、性质和 表达式
二次函数的定义
二次函数是指形式为 y=ax^2+bx+c（其中a、 b、c为常数，且a≠0）的 函数。
二次函数的性质
二次函数具有开口方向、 顶点、对称轴等性质，这 些性质决定了函数图像的 形状和位置。
复合函数图像的绘制
总结词
掌握绘制复合函数图像的方法是理解其性质 和应用的必要手段。
详细描述
绘制复合函数图像需要使用数学软件或绘图 工具，如Matlab、GeoGebra等。在绘制 过程中，需要注意函数的定义域、值域以及 函数的单调性、奇偶性等性质。
高等数学入门——描绘函数图像的一般步骤及例子
高等数学入门——描绘函数图像的一般步骤及例子高等数学是大学数学的基础课程之一，其重要内容之一是描绘函数的图像。
描绘函数图像的一般步骤如下：1.确定定义域和函数的类型：首先需要确定函数的定义域，即函数可以取值的范围。
同时，需要确定函数是一元函数还是多元函数，是线性函数还是非线性函数等。
2.求导或求导数的一般规律：对于一元函数，可以通过求导的方法来描绘函数的变化趋势。
求导可以确定函数的关键点，如极值点、拐点等。
对于多元函数，则需要利用偏导数来确定函数的变化趋势。
3.确定增减、凹凸和拐点：通过求导或偏导数，可以确定函数的单调性和凹凸性。
当导数为正时，函数单调递增；当导数为负时，函数单调递减。
当二阶导数大于零时，函数凹，小于零时函数凸。
4.确定函数的特殊点：特殊点包括与坐标轴的交点、零点、无穷大点等。
这些点是函数图像的关键部分，需要特别关注。
5.确定函数的渐近线：渐近线是函数图像在无穷远点的变化趋势。
有水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线等。
下面举例说明：例子1：绘制函数y=x^2-2x+1首先，确定定义域和函数的类型：该函数为一元二次函数，定义域为实数集。
然后，求导：y'=2x-2接着，确定增减、凹凸和拐点：当x<1时，y'<0，函数递减；当x>1时，y'>0，函数递增；令y'=0，则x=1，该点为拐点。
继续求二阶导数：y''=2可以确定函数为凹函数。
然后，确定函数的特殊点：与x轴的交点为y=0，即x=1；与y轴的交点为x=0。
最后，确定函数的渐近线：无垂直渐近线；当x趋于无穷大时，y趋于无穷大，可以确定y轴为水平渐近线。
综上所述，根据以上步骤，我们可以描绘出函数y=x^2-2x+1的图像。
例子2：绘制函数 y = sin(x) / x首先，确定定义域和函数的类型：该函数为一元函数，定义域为实数集，但要注意x≠0。
然后，求导：y' = (x*cos(x) - sin(x)) / x^2接着，确定增减、凹凸和拐点：当x<0时，y'>0，函数递增；当x>0时，y'<0，函数递减；令 y' = 0，则 x = tan(x)，求解该方程需要使用数值逼近法得到近似解。
初二数学函数图像的描绘方法
初二数学函数图像的描绘方法函数图像的描绘是初中数学课程中的重要内容之一，通过图像的描绘可以更直观地理解函数的性质和变化规律。
本文将介绍初二数学中常用的两种函数图像描绘方法：手工描绘和利用计算机软件描绘。
一、手工描绘函数图像手工描绘函数图像是一种基础的方法，只需用简单的工具如纸和铅笔即可完成。
以下是描绘函数图像的步骤：1. 根据函数表达式确定图像的定义域和值域。
比如对于函数y = f(x)，我们需要确定x的取值范围，并通过函数表达式计算出对应的y值。
2. 利用坐标轴绘制准备工作。
准备一张纸，并在纸上绘制x轴和y轴。
根据定义域和值域的范围，在坐标轴上标出合适的刻度。
3. 确定函数的关键点。
根据函数的特点，找到一些关键点，如函数的零点、最大值、最小值等。
将这些关键点标在坐标轴上。
4. 连接关键点，描绘函数图像。
根据标出的关键点，用平滑的曲线将这些点连接起来，描绘出函数的图像。
5. 检查和修改。
检查已描绘的图像是否满足函数的性质，如单调性、奇偶性等。
如果需要，可以对图像进行修改和调整。
手工描绘函数图像的方法虽然简单，但对于初学者来说需要一定的练习和观察力。
它有助于加深对函数性质和变化规律的理解。
二、利用计算机软件描绘函数图像随着计算机技术的发展，利用计算机软件描绘函数图像已成为一种高效准确的方法。
以下是利用计算机软件描绘函数图像的步骤：1. 选择适当的函数图像绘制软件。
市面上有多种绘制函数图像的软件，如GeoGebra、Desmos等。
根据个人的需求和操作习惯选择合适的软件。
2. 打开软件并创建坐标系。
在软件中创建一个坐标系，设置x轴和y轴的范围和刻度。
3. 输入函数表达式。
输入函数的表达式，确保函数表达式无误。
4. 绘制函数图像。
软件会自动绘制函数的图像，显示在坐标系中。
可以通过调整函数的参数、颜色、线型等进行个性化设置。
5. 导出和保存。
可以将绘制好的函数图像导出为图片或保存为文件，方便在其他文档中使用或分享给他人。
函数图形的描绘
2. 斜渐近线 若
(或 x )
( k x b) ( k x b)
斜渐近线 y k x b .
f ( x) b lim x[ k ]0 x x x f ( x) b lim [ k ]0 x x x
f ( x) b 即 k lim [ ] x x x
1 令 f ( x ) ＝ 0， 得可疑点： x 2
lim f ( x ) lim e
x x x2
0
得水平渐近线 y 0 ，
曲线 y f ( x ) 不存在其它渐近线.
列表确定函数单调区间,凹凸区间，极值点和拐点:
x
f ( x ) f ( x )
1 1 1 (, ) ( ,0) 2 2 2
第六节 函数图形的描绘
第六节 函数图形的描绘
一、曲线的渐近线 二、函数图形的描绘
三、内容小结
返回
一、 曲线的渐近线 定义 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点
时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为 曲线C 的渐近线 . 或为“纵坐标差”
y
C M
y f ( x)
解:
定义域： (,0) (0,)
f ( x ) 4( x 2) , 3 x f ( x ) 8( x 3) . 4 x
令 f ( x ) 0, 得驻点 x 2, 令 f ( x ) 0, 得点 x 3.
4( x 1) lim f ( x ) lim [ 2] 2 得水平渐近线 y 2 ， 2 x x x
y kxb
L
PN
例如, 双曲线 有渐近线
o
x y 0 a b
高等数学-函数图形的描绘
= ∞，
所以直线 = −1是曲线 =
1
的垂直渐近线.
+1
9
本节内容
01 渐近线
02 描绘函数图形
10
02 描绘函数图形
描绘函数图形的步骤：
（1）确定函数 = ()的定义域；
（2）讨论函数的奇偶性、周期性，确定函数图形的对称特征；
（3）讨论函数图形的单调性和凹凸性，并求出函数的极值和拐点；
为曲线 = ()的水平渐近线.
注 水平渐近线最多有两条.
3
01 渐近线
例1 求曲线 = 的水平渐近线.
解 因为 = 0,
→−∞
所以直线 = 0是曲线 = 的水平渐近线.
4
例2 求曲线 =
解
1
因为
→∞ +1
1
的水平渐近线.
+1
= 0，
2. 垂直渐近线
垂直渐近线
若函数 = ()在0 的某去心邻域（或左侧邻域，或右
侧邻域）内有定义，当 () = ∞（或 − = ∞
→0
→0
或 + () = ∞）时，则称直线 = 0 为曲线 =
→0
的垂直渐近线.
注 1.垂直渐近线可以有无数条.
所以直线 = 0是曲线 =
1
的水平渐近线.
+1
5
01 渐近线
例3 求曲线 = 的水平渐近线.
解 因为 =
→+∞
=
→−∞
所以直线 =
和
2
=
，
2
− ，
2
− 是曲线
2
《函数图形的描绘》课件
手工绘制法
适用范围
适用于初步学习函数图形的描绘，以 及没有计算机辅助的情况下进行绘制 。
缺点
精度和效率较低，容易出错，不适合 绘制复杂的函数图形。
01
02
工具
直尺、圆规、铅笔、橡皮等绘图工具 。
03
步骤
首先确定函数表达式，然后选择适当 的坐标系，接着使用绘图工具在坐标 纸上绘制出函数的图形。
步骤
首先确定函数表达式，然后选择适当的坐 标系和绘图参数，接着使用计算机软件或 编程语言编写代码来绘制函数图形。
函数图形的绘制工具
手绘工具
直尺、圆规、铅笔、橡皮等。
计算机软件
如GeoGebra、Desmos、Graphviz等数学软件，以及Python、Matlab等编程 语言的绘图库。
03
函数图形的性质分析
选择坐标系
根据函数关系式的特点选择合 适的坐标系，如直角坐标系、 极坐标系等。
描点
根据函数关系式在坐标轴上描 出对应的点。
确定函数关系式
首先需要确定要描绘的函数关 系式。
绘制坐标轴
在选定的坐标系中绘制坐标轴 ，标明刻度和单位。
连线
将描出的点用平滑的曲线连接 起来，形成函数图形。
02
函数图形的绘制方法
分析图像的单调性、过定点、定义域和值域等性质。
详细描述
使用图形软件或数学软件绘制出这些函数的图像。
结合函数表达式，深入理解指数和对数函数的性质和特 点。
THANKS
感谢观看
函数图形描绘的重要性
01
02
03
直观理解数学概念
通过函数图形的描绘，可 以直观地理解数学概念， 加深对数学知识的理解。
高等数学 函数图形的描绘
将 a 代入 lim [ f (x) − (ax + b)] = 0 ，得
x→+∞
b = lim [ f (x) − ax].
x→ +∞
2009年7月3日星期五
5
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例 1 求曲线 f (x) = 2(x − 2)(x + 3) 的渐近线． x −1
提示：（1）水平渐近线公式
（补充题）
∵lim sin x = 1 ≠ ∞ x→0 x
∴ x = 0不是函数曲线的渐近线.
2009年7月3日星期五
18
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曲线和坐标轴的交点；
由 f (x) =
1
− x2
e2
算出曲线上一些点的坐标；
2π
M 1 (0,
1 ), 2π
1 −1
M 2 (1,
e 2 ), 2π
M3 (2,
1 e−2 ) 2π
（6）根据上述讨论，描绘函数 f (x) 的图形．
综合上述讨论结果，可描绘函数 f (x) =
1
− x2
e2
2π
在[0, +∞) 上的图形， 最后，利用图形的对称性，
f ′′(x)
负 0正
递减 正正
递增 正
f (x) 的图形 凸 拐点 凹 间断 凹 极小值点 凹
2009年7月3日星期五
14
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（4）讨论曲线的渐近线；
曲线有铅直渐近线 x = 1 ；斜渐近线 y = 1 x + 1 2
（5）由曲线方程计算曲线上一些点的坐标，特别是 曲线和坐标轴的交点；
2023年大学_高等应用数学试题及答案
2023年高等应用数学试题及答案高等应用数学试题第一章函数1.1函数的概念习题1.11.2初等函数习题1.21.3分段函数习题1.31.4常用的经济函数习题1.4复习题一第二章极限与连续2.1数列极限习题2.12.2函数极限习题2.22.3无穷小与无穷大习题2.32.4极限的四则运算习题2.42.5两个重要极限习题2.52.6函数的连续性习题2.6复习题二第三章导数与微分3.1导数的概念习题3.13.2导数的基本公式和基本运算法则习题3.23.3复合函数的导数习题3.33.4反函数的.层数和隐函数的层数习题3.43.5高阶层数习题3.53.6微分习题3.6复习题三第四章导数的应用4.1中值定理习题4.14.2罗必塔法则习题4.24.3函数单调性习题4.34.4函数的极值与最值习题4.44.5函数图形的描绘习题4.54.6导数在经济工作中的应用习题4.6复习题四第五章不定积分第六章定积分第七章多元函数微积分第八章矩阵附录一习题参考答案附录二简易积分表高等应用数学内容简介《高等应用数学》是教育部高职高专规划教材，是以教育部高职高专应用数学课程的基本要求为依据，吸收国外先进职业教育思想编写的，分上、下两册。
本书为下册本书，本书共分为八章。
主要内容包括：函数;极限与连续;导数与微分;导数的应用;不定积分;定积分;多元函数微积分;矩阵。
每节后附有相关习题，每章后附有复习题。
本书最大的特点是应用性较强，适用面较广，财经类、工程技术类、管理类人员都可用。
高等应用数学目录。
【中学课件】函数图形的描绘-PPT文档资料
x( 2 ,0 ) 3 , 2 ) 2 ( , 3 ) 3 (
f (x)
0
不存在
(0 , )
f (x)
0 0
拐点
( 3, 26 ) 9
f ( x)
极值点
docin/sundae_meng
3
间 断 点
补充点 : ( 1 3 , 0 ), ( 1 3 , 0 );
y . 2
2、图形描绘的步骤
利用函数特性描绘函数图形.
第一步
y f ( x ) 确 定 函 数 的 定 义 域 , 利 用 函 数 奇 偶 性 、 周 期 性 缩 小 范 围 ;
确 定 特 殊 点 : 曲 线 与 x 轴 的 交 点 , 即 : f ( x ) = 0 ; ' " f ( x ) 0 f( x ) 0 使 和 及 导 数 不 存 在 的 点 .
第二步
docin/sundae_meng
用 特 殊 点 将 函 数 的 定 义 域 划 分 成 几 个 部 f'( x )和 分 区 间 , 列 成 表 格 .确 定 在 这 些 部 分 区 间 内 f" ( x ) 的 符 号 ， 并 由 此 确 定 函 数 的 增 减 性 、 极 值 和 函 数 的 凹 凸 性 和 拐 点 。
4 ( x 2 ) f ( x ) 3 , 4 ( x 1 ) x , lim f ( x ) lim [ 2 2 ] x 0 x 0 x 8 (x 3 ) f (x ) . 得铅直渐近线 x0 . 4 x
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:
docin/sundae_meng
3、作图举例
【中学课件】函数图形的描绘
f ( x)
0 不存在
f (x)
0
f (x)
拐点
极值点
3 (3, 2h6tt)p:///sundae_meng 9
间 断 点
补充点: (1 3,0), (1 3,0);
A (1,2), 作图
B (1,6), C (2,1). y
得特殊点 x 1 . 3
补充点: A (1,0),
B (0,1), C (3 , 5). 28
列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点与拐点:
/sundae_meng
x (, 1) 1 ( 1 , 1) 1
3
3 33
3
f (x)
0
第五步 描出与方程 f '( x) 0 和 f "( x) 0 的根对 应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综 合前四步讨论的结果画出函数的图形.
/sundae_meng
3、作图举例
例1
作函数
f
(
x)
4(
x x2
1)
2
的图形.
解 D : x 0, 非奇非偶函数,且无对称性.
有铅直渐近线两条: x 2, x 3.
/sundae_meng
水平渐近线 (平行于 x 轴的渐近线)
如果 lim f ( x) b 或 lim f ( x) b (b 为常数)
x
x
那么 y b 就是 y f ( x) 的一条水平渐近线.
1
x
例3 作函数 f ( x) x3 x2 x 1 的图形.
解 D : (,), 无奇偶性及周期性.
f ( x) (3x 1)(x 1), f ( x) 2(3x 1).
05-函数图形的描绘课件
(2）
f
( x)
1 ln x2
x
，
f
( x)
3
2 ln x3
x
y ln x x
3
f (x)=0 的点为 x e ； f (x)=0 的点为 x e2
x
0, e
f (x)
+
f (x)
-
y f (x)
3
e
e, e2
0
-
-
-
极大值
一般步骤： (3) 确定水平、铅直渐近线以及其他变化趋势； (4) 算出 f (x)=0 的点、 f (x)=0 的点及 f (x) 、 f (x) 不存在的点所对应的函数值，定出图形上相应的点； 有时还需补充一些点，然后结合前面得到的结果， 联结这些点画出 y f (x) 的图形.
例 画出函数 y
3
e2
3
e2 ,
-
-
0
+
拐点
拐
(3）由
lim
x0
ln x x
，得
x
0
是铅直渐近线；
y
ln x x
由 lim ln x 0 ，得 y 0 是水平渐近线； x x
(4）由
f (e)
1， e
3
f (e2 )
3
3
2e 2
，得
e,
1 e
，
e
3 2
,
3 2e
函数图形的描绘
一般步骤： （1）确定 y f (x) 的定义域以及讨论函数的特性； （2）求出 f (x) 和 f (x) ； 然后求出 f (x)=0 的点和 f (x)=0 的点； 由这些点、 f (x) 的间断点及 f (x) 、 f (x)
——函数图形的描绘PPT课件
lim f (x) ；
xa
(iii)
lim f (x) ；
xa
(iv)
. lim f (x)
xa
第11页/共27页
以上四种情形可参考下列各图
a
a (图 (i))
(图 (ii)) a
a (图 (iii))
(图 (iv)) 第12页/共27页
如果下列条件之一成立，则称直线 y a 为 f 之 水平渐近线：
(i) lim f (x) a ； a
(ii) lim f (x) a . x
以上二种情形可参考下列各图：
a
(图 2.3.2(i))
a
(图 2.3.2(ii))
第13页/共27页
如果下列条件之一成立，则称直线
y ax b ，( a 0 )为 f 之斜渐近线：
(i)
lim f (x) (ax b) 0 ；
曲线 在(,0]为凸的； 当x 0时， y 0, 曲线 在[0,)为凹的； 注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点.
第4页/共27页
➢曲 线 的 拐 点 及 其 求 法
1、定义 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点. 注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 2、拐点的求法
定理 2 如果 f ( x)在( x0 , x0 )内存在二阶导
点(0 ， 0)为拐点．
其相关结论见表:
x (, 1) -1 (-1，0) 0 (0， 1) 1 (1, )
f (x) +
0
-
-
-0Βιβλιοθήκη +f (x) -
-
-
0
+
+
+
f (x)
函数图形的描绘课件
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2021/5/29
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例：含参方程的根的讨论
就实数k的不同情形确定方程
x sin x k在区间(0, )内根
2
2
的个数。
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解：f(考 x)x虑 sixn ,
导数为零的点, 求出一阶、二阶导数不存在的点 (3)列表分析, 确定曲线的单调性和凹凸性 (4)确定曲线的渐近性 (5)确定并描出曲线上极值对应的点、拐点、
与坐标轴的交点、其它点 (6)联结这些点画出函数的图形.
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例1 画出函数yx 3x 2x1的图形.
解 (1)函数的定义域为(, ).
a4lnx3x1, x
令 f(x)4lnx3x1, x
f'(x)(3x1 x)2x (1),x0, 可得驻 x点 1， x： 1.
3
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x (0,1/3) f (x) ↘
1/3 (1/3,1)
2-4ln3
极小 ↗
1 (1, )
-2 极大
↘
lim f(x), lim f(x),
x 0
(x 3)3
(x 3)4
令f (x)0得x3, 令f (x)0得x6.
(3)曲线性态分析表:
x
(, 3) (3, 3) 3 (3, 6) 6 (6, )
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一、曲线的凸性与拐点 二、 曲线的渐近线 三、 函数图形的描绘
第四章
二、 曲线的渐近线
定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点 时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为 曲线C 的渐近线 . 或为“纵坐标差” 例如, 双曲线
y
y f (x) C M y kx b L PN
(极大) (拐点)
x y y y
0 0
1 2π
(0 , 1)
1
0
1 2πe
(1, )
(极大)
(拐点)
4) 求渐近线 lim y 0
x
y
1 2π
y
1 e 2π
x2 2
y 0 为水平渐近线
5) 作图
A
B
1
y0 O
x
作业：
P116习题7 (1)（3）
目录
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2 3
x
2
(极大)
(拐点)
(极小)
4)
例8. 描绘方程
的图形.
( x 3) 2 , 定义域为 解: 1) y 4( x 1) 2) 求关键点. 原方程两边对 x 求导得 ① 2( x 3) 4 y 4 y 4 x y 0
x 3 2y y 2( x 1)
无对称性及周期性. y
2) y x 2 2 x , y 2 x 2 ,
令 y 0 , 令 y 0 ,
3)
1 O 1
2 3
x ( , 0) y y y x 1 3 y 2 2 3
0 0
(0 ,1)
1
0
4 3
(1, 2)
2 ( 2 , ) 0
(1, 3) 3
0 0
(极小)
(3 , )
4) 求渐近线
lim y , x 1 为竖直渐近线
x1
( x 3)( x 1) 2 ( x 3) , y y , y 2 4( x 1) 4( x 1) ( x 1)3
2
y 1 1 又因 lim , 即 a 4 x x 4 ( x 3) 2 1 1 x] b lim ( y x) lim [ x 4( x 1) 4 x 4 5x 9 5 lim ( x 3) 2 x 4( x 1) 4 y 4( x 1) 1 5 y x 为斜渐近线 ( x 3)( x 1) 4 4 y 4( x 1) 2 0 2 5) 求特殊点 x 2 1 y y 9 ( x 1)3 4 4
①两边对 x 求导得
2 4 y 8 y 4 x y 0
1 4 y y 2( x 1)
令 y 0 得 x 1, 3 ;
3) 判别曲线形态
x ( , 1) 1 (1,1) y 0 y y 2
(极大)
1
无 定 义
(或 x 1)
x
所以有竖直渐近线 x 3 及 x 1 f ( x) x2 又因 a lim lim 2 x x x x 2 x 3
b lim [ f ( x) x] 3
x x 2
y x 2 为曲线的斜渐近线 .
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O
1
y 2 为水平渐近线; 1 lim ( 2) , x 1为竖直渐近线. x1 x 1
2. 斜渐近线 若
(或 x )
(ax b)
斜渐近线 y ax b .
(ax b)
f ( x) b a lim [ ] x x x f ( x) a lim x x
(或 x )
f ( x) b lim x [ a ]0 x x x f ( x) b lim [ a ]0 x x x
b lim [ f ( x) ax]
(或 x )
x
例6. 求曲线
3
的渐近线.
y
3 O 1
y x2
x , lim y , 解: y ( x 3)(x 1) x 3
6）绘图
x ( , 1) 1 (1,1)
y
铅直渐近线 斜渐近线 特殊点
1
无 定 义
(1, 3) 3
(3 , )
2
(极大)
0
(极小)
x 1 1 5 y x 4 4
y
2 1
( x 3) 2 y 4( x 1)
O1 2 3 5 y 1x5 4 4
x
x
y
三、函数图形的描绘
步骤 : 1. 确定函数 期性 ; 2. 求 的点 ; 3. 列表判别增减及上凸、上凸区间 , 求出极值和拐点 ; 4. 求渐近线 ; 5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 . 并求出 及 为 0 和不存在 的定义域 , 并考察其对称性及周
例7. 描绘
解: 1) 定义域为
的图形.
0 9 4
2 1 4
x 1
例9. 描绘函数
解: 1) 定义域为 2) 求关键点 x2 1 2 y xe , 2π
的图形. 图形对称于 y 轴.
1 x22 y e (1 x 2 ) 2π 令 y 0 得 x 0 ; 令 y 0 得 x 1 x 1 (1, ) 0 (0 , 1) 3) 判别曲线形态 y 0 y 0 1 1 y 2πe 2π
O
有渐近线
但抛物线
x y 0 a b
无渐近线 .
y O
x
x
1. 水平与竖直渐近线 若
(或 x )
则曲线
有水平渐近线 y b .
若
(或 x x0 )
则曲线
有竖直渐近线 x x0 .
y
例5. 求曲线
的渐近线 .
2
x
1 解: lim ( 2) 2 x x 1