数学建模必做题库

在数列{An}中,a(1)=1 ,a（n+1)=2a(n)+2^n
(1)设b(n)=a(n)/2^n-1,证明数列{b(n)}是等差数列
（2）求数列{a(n)}的前n项和S
(1) a（n+1)=2a(n)+2^n
移项，两边同除以2^n
a(n+1)/2＾n-a(n)/2^(n-1)=1
b(n)=a(n)/2^(n-1)
∴{b(n)}={a(n)/2^(n-1)}是一个等差数列，公差为1，首项为a1/2^0=1
(2)由(1)知，{a(n)/2^(n-1)}是一个公差为1，首项为1的等差数列
∴a(n)/2^(n-1)=1+n-1=n
∴an=n*2^(n-1)
∴Sn=1+2*2+3*2^2+4*2^3+...+n*2^(n-1).. (1)
2Sn=1*2+2*2＾2+3*2^3+4*2^4+...+n*2^n (2)
(1)-(2)
-Sn=1+2+2^2+2^3+2^4+...+2^(n-1)-n*2＾n (3)
将1+2+2^2+2^3+2^4+…+2^(n-1)用等比数列求和公式,得
1+2+2^2+2^3+2^4+…+2^(n-1)＝2^n-1
代入(3)，得
∴Sn=n*2^n-2^n+1
∴Sn=(n-1)*2^n+1
一解答题（要详细的步骤）
1.设A、B分别是不等式3x^2+6<=19x 与不等式-2x^2+3x+5>0 的解集，试求A交B，A并B.
2.已知不等式ax^2-3x+6>4 的解集为{x|x<1 或x>b}
(1) 求a、b
(2)解不等式ax^2-(ac+b)x+bc<0.
3.试比较（x^2+7)(x^2+9) 与（x^4+64）的大小，其中X>1/4。

二.填空题
1.若关于x 的不等式x^2-ax-a<=-3的解集不是看你关机，则实数a的取值范围是（）.
2.. 不等式x^2-(a+1/a)x+1<0 的解集为{x|a<x<1/a}, 则a的取值范围是（）.
我来回答你，一，1.解3x^2+6<=19x ，将右侧的19X移到左侧，解不等式可化为（3x-1)(x-6)<=0,解得1/3<=x<=6.同理解得第二个不等式为-1<x<5/2.所以A交B为{x|1/3<=x<=5/2},A并B为{x|-1<x<=6}.
2.(1)将右侧的移到左侧得ax^2-3x+2>0,因为后面给的解集为{x|x<1 或x>b}，可知a>0,设ax^2-3x+2=0的两根为x1和x2,则
x1+x2=-b/a=3/a=1+b,x1*x2=c/a=2/a=b,联立解得a=1,b=2.
(2)将上部得到的a和b带入不等式，得x^2-(c+2)x+2c<0.可化为（x-2）
(x-c)<0,x1=2,x2=c.所以要讨论c和2的大小关系，当c大于2时{x|2<x<c},当c 小于2时{x|c<x<2}.当x等于2时为空集。

3。

用第一个式子减去第二个式子，得16x^2-1,因为x>1/4,所以第一个式子大于第二个。

二.1.将原式进行移项，得x^2-ax-(a-3)<=0,判别式为a^2+4a-12,若要解集不为空集，只需判别式大于等于零(a-2)(a+6)>=0,解得a>=2或a<=-6.
2.设x^2-(a+1/a)x+1=0两根为x1和x2,x1+x2=-b/a=a+1/a=a+1/a,解得a=1.由此可知所得解集为空集。

希望对你有所帮助
1、log(1/2)y=1/log(1/2)x=log(1/2)(1/2)/log(1/2)x=log(1/2)[(1/2)-x]
即y=(1/2)-x即x+y=1/2
xy≤[(x+y)/2]^2=1/16
填：大1/16
2、
因为a>b>c>d所以差值最大的是a-d
左式≥3√{[1/(a-b)][1/(b-c)][1/(c-d)]}
下面全换最大变最小，此时n=3
3、
1=x^2+y^2-xy≥2xy-xy=xy即xy≤1
则x^2+y^2=1+xy≤2为最大值
设x=acost,y=asint
左式x^2-xy+y^2=a^2-(a^2/2)sin2t=1
右式=a^2
a^2=2/(2-sin2t)，sin2t取-1时最小值为2/3
4、
a√(2+b^2)≤[(a^2+b^2)/2]+1
又2a^+3b^2=2(a^2+b^2)+b^2=1
得a^2+b^2=(1-b^2)/2代入第一式
得[(1-b^2)/4]+1因b^2≥0
所以原式≥5/4
5、
因为x,y都是正数，所以乘除根号都可以，
由4x+y≥mxy两边除xy可得4/y + 1/x ≥ m
再有x+y=4两边除4得x/4 + y/4=1
4/y + 1/x=(4/y + 1/x)(x/4 + y/4)
=x/y + y/4x +5/4≥9/4
m最大为9/4
设a、b、c、d是正实数，且满足abcd=1，
求证：1/（a+1）^2+1/(b+1)^2+1/(c+1)^2+1/（d+1）^2≥1
先证明对x,y>0，有1/(1+x)^2+1/(1+y)^2>=1/(1+xy)
证：上式等价于(1+xy)(1+y)^2+(1+xy)(1+x)^2>=(1+x)^2(1+y)^2 <=>1+xy^3+x^3y>=2xy+x^2y^2
<=>1+xy(x^2+y^2)>=xy(2+xy)
<=>1+xy(x^2+y^2-2-xy)>=0
<=>1+xy[(x-y)^2-2+xy]>=0
<=>xy(x-y)^2+(1-xy)^2>=0
显然成立。

于是我们证明了1/(1+x)^2+1/(1+y)^2>=1/(1+xy)
对于原不等式用上述不等式有：
1/(1+a)^2+1/(1+b)^2+1/(1+c)^2+1/(1+d)^2>=1/(1+ab)+1/(1+cd) 利用abcd=1，有1/(1+ab)=cd/(1+cd)
所以1/(1+ab)+1/(1+cd)=cd/(1+cd)+1/(1+cd)=1
也即1/(1+a)^2+1/(1+b)^2+1/(1+c)^2+1/(1+d)^2>=1
得证。