2016届北京市清大附中高三零模数学试卷(文科)(3月份)(解析版)

2016年北京市清大附中高三零模数学试卷（文科）（3月份）一.选择题（每题5分，共40分）1．已知全集U=R ，集合A={1，2，3，4，5}，B={x ∈R |x ≥2}，如图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{1}B ．{0，1}C ．{1，2}D ．{0，1，2}2．已知a ，b 为非零实数，z=a +bi ，“z 2为纯虚数”是“a=b ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．在极坐标系中，过点且平行于极轴的直线的方程是（ ）A ．ρcos θ=B ．ρcos θ=﹣C ．ρsin θ=1D ．ρsin θ=﹣14．阅读程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．75．若函数的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，则得到的图象所对应的函数解析式为（ ）A ．B ．C ．D ．6．某企业生产甲、乙两种产品．已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是（ ） A ．12万元 B ．20万元 C ．25万元 D ．27万元7．已知||=||=2， •=﹣2，则|﹣t |（t ∈R ）的最小值为（ ）A ．1B ．C ．D ．28．在6枚硬币A ，B ，C ，D ，E ，F 中，有5枚是真币，1枚是假币，5枚真币重量相同，假币与真币的重量不同，现称得A 和B 共重10克，C ，D 共重11克，A ，C ，E 共重16克，则假币为（ ） A ．A B ．B C ．C D ．D二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中，则调查小组的总人数为．10．双曲线﹣y2=1的右焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，该双曲线的渐近线为．11．在△ABC中，a=7，b=8，A=，则边c=．12．一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积是．=1﹣（n≥2），则a16=．13．已知数列{a n}中，a1=，a n+114．对于给定的非空数集，其最大元素最小元素的和称为该集合的“特征值”，A1，A2，A3，A4，A5都含有20个元素，且A1∪A2∪A3∪A4∪A5={x∈N*|x≤100}，则这A1，A2，A3，A4，A5的“特征值”之和的最小值为．三.解答题（共6小题，共80分）15．函数f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出φ及图中x0的值；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+f（x+），求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．16．对甲、乙两名篮球运动员分别在100场比赛中的得分情况进行统计，做出甲的得分频率分布直方图如（Ⅱ）判断甲、乙两名运动员哪个成绩更稳定；（结论不要求证明）（Ⅲ）在甲所进行的100场比赛中，以每场比赛得分所在区间中点的横坐标为这场比赛的得分，试计算甲每场比赛的平均得分．17．在等差数列{a n}中，其前n项和为S n，满足S5﹣S2=21，2a2﹣a4=﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a，求数列{b n}的前n项和的表达式．18．如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF．（1）求证：平面BAF∥平面CDE；（2）求证：平面EAC⊥平面EBD；（3）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，焦距为，P是椭圆上一动点，△PF1F2的面积最大值为2．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点M（1，0）的直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于点N，若，，求证：λ1+λ2为定值．20．已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的零点及单调区间；（Ⅱ）求证：曲线y=存在斜率为6的切线，且切点的纵坐标y0＜﹣1．2016年北京市清大附中高三零模数学试卷（文科）（3月份）参考答案与试题解析一.选择题（每题5分，共40分）1．已知全集U=R，集合A={1，2，3，4，5}，B={x∈R|x≥2}，如图中阴影部分所表示的集合为（）A．{1}B．{0，1}C．{1，2}D．{0，1，2}【考点】V enn图表达集合的关系及运算；交、并、补集的混合运算．【分析】先观察Venn图，得出图中阴影部分表示的集合，再结合已知条件即可求解．【解答】解：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合A中，但不在集合B中．又A={1，2，3，4，5}，B={x∈R|x≥2}，则右图中阴影部分表示的集合是：{1}．故选A．2．已知a，b为非零实数，z=a+bi，“z2为纯虚数”是“a=b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出z2，根据纯虚数的定义，求出a=±b，根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：∵z=a+bi，∴z2=a2﹣b2+2abi，若z2为纯虚数，则a=±b，故是“a=b”的必要不充分条件，故选：B．3．在极坐标系中，过点且平行于极轴的直线的方程是（）A．ρcosθ=B．ρcosθ=﹣C．ρsinθ=1 D．ρsinθ=﹣1【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】利用化为直角坐标，即可得出．【解答】解：点化为直角坐标，即．∴过点且平行于极轴的直线的方程是y=﹣1，化为直角坐标方程为：ρsinθ=﹣1．故选：D．4．阅读程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求S的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：S i 是否继续循环循环前 1 1/第一圈3 2 是第二圈7 3 是第三圈15 4 是第四圈31 5 否故最后当i＜5时退出，故选B．5．若函数的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，则得到的图象所对应的函数解析式为（）A． B． C． D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】只需把原函数解析式中x的系数变为原来的倍，即可得到所得的图象所对应的函数解析式．【解答】解：把函数的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，则得到的图象所对应的函数解析式为，故选B．6．某企业生产甲、乙两种产品．已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是（）A．12万元B．20万元C．25万元D．27万元【考点】简单线性规划的应用．【分析】先设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设z=5x+3y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=5x+3y过可行域内的点时，从而得到z值即可．【解答】解：设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，则该企业可获得利润为z=5x+3y，且联立解得由图可知，最优解为P（3，4），∴z的最大值为z=5×3+3×4=27（万元）．故选D．7．已知||=||=2，•=﹣2，则|﹣t|（t∈R）的最小值为（）A．1 B．C．D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的数量积的运算法则和利用二次函数的性质求得它的最小值．【解答】解：由||=||=2，•=﹣2，则|﹣t|2=||2+t2||2﹣2t•=4+4t2+4t=4（t+）2+3，∴当t=﹣时，|﹣t|2的最小值为3，当t=﹣时，则|﹣t|（t∈R）的最小值为，故选：B8．在6枚硬币A，B，C，D，E，F中，有5枚是真币，1枚是假币，5枚真币重量相同，假币与真币的重量不同，现称得A和B共重10克，C，D共重11克，A，C，E共重16克，则假币为（）A．A B．B C．C D．D【考点】进行简单的合情推理．【分析】由题意可知，C，D中一定有一个为假的，分别假设C为假币，或D为假币，去判断假设是否成立，问题得以解决．【解答】解：5枚真币重量相同，则任意两枚硬币之和一定为偶数，由题意可知，C，D中一定有一个为假的，假设C为假币，则真硬币的重量为5克，则C的重量为6克，满足A，C，E共重16克，故假设成立，若D为假币，则真硬币的重量为5克，不满足A，C，E共重16克，故假设不成立，则D是真硬币，故选：C二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中，则调查小组的总人数为．【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样原理，即可求出答案．【解答】解：根据分层抽样原理，得==，解得x=2，y=3，所以调查小组的总人数为2+3+4=9（人）．故答案为：9．10．双曲线﹣y2=1的右焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，该双曲线的渐近线为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，结合双曲线的方程求出m的值，利用双曲线的渐近线方程进行求解即可．【解答】解：抛物线的焦点坐标为（2，0），即双曲线的焦点坐标为（2，0），则c=2，且双曲线的焦点在x轴，则a2=m，b2=1，a2+b2=c2，即m+1=4，则m=3，即a=，b=1，则双曲线的渐近线方程为y=±x=±x=±x，故答案为：y=±x．11．在△ABC中，a=7，b=8，A=，则边c=．【考点】正弦定理．【分析】根据余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，列出方程即可求出c的值．【解答】解：△ABC中，a=7，b=8，A=，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，64+c2﹣2×8c•cos=49，c2﹣8c+15=0，解得c=3或5．经验证，3或5都满足题意，所以c的值为3或5．故答案为：3或5．12．一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积是．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，我们易判断出三棱柱的底面上的高和棱柱的高，进而求出底面面积，代入棱柱体积公式，即可得到答案．【解答】解：由已知中三视图，可得这是一个正三棱柱底面的高为2，则底面面积S==4棱柱的高H=2则正三棱柱的体积V=SH=8故答案为：813．已知数列{a n}中，a1=，a n=1﹣（n≥2），则a16=．+1【考点】数列递推式．【分析】由，可分别求a2，a3，a4，从而可得数列的周期，可求【解答】解：∵，则=﹣1=2=∴数列{a n}是以3为周期的数列∴a16=a1=故答案为：14．对于给定的非空数集，其最大元素最小元素的和称为该集合的“特征值”，A1，A2，A3，A4，A5都含有20个元素，且A1∪A2∪A3∪A4∪A5={x∈N*|x≤100}，则这A1，A2，A3，A4，A5的“特征值”之和的最小值为．【考点】集合中元素个数的最值；元素与集合关系的判断．【分析】判断集合的元素个数中的最小值与最大值的可能情况，然后按照定义求解即可．【解答】解：A1∪A2∪A3∪A4∪A5={x∈N*|x≤100}，可得所有元素是：1，2，3，4， (100)A1，A2，A3，A4，A5都含有20个元素，可知：最小的5个数分别为：1，2，3，4，5．100必是一个集合的最大元素，含有100集合中的元素，有82，83，84，…，99．和1，2，3，4，5中的一个．这样特征值会比较小，则另一个集合的最大值为：81．类比可知：5个最大值为：24，43，62，81，100．则这A1，A2，A3，A4，A5的“特征值”之和的最小值为：1+2+3+4+5+24+43+62+81+100=325．故答案为：325．三.解答题（共6小题，共80分）15．函数f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出φ及图中x0的值；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+f（x+），求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．【考点】余弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）由题意可得=cos（0+φ），可得φ的值．由=cos（πx0+），可得x0的值．（Ⅱ）先求得g（x）的函数解析式，由，可得，从而可求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】（共13分）解：（Ⅰ）∵=cos（0+φ）∴φ的值是．…∵=cos（πx0+）∴2π﹣=πx0+，可得x0的值是．…（Ⅱ）由题意可得：．…所以=…==．…因为，所以．所以当，即时，g（x）取得最大值；当，即时，g（x）取得最小值．…16．对甲、乙两名篮球运动员分别在100场比赛中的得分情况进行统计，做出甲的得分频率分布直方图如（Ⅱ）判断甲、乙两名运动员哪个成绩更稳定；（结论不要求证明）（Ⅲ）在甲所进行的100场比赛中，以每场比赛得分所在区间中点的横坐标为这场比赛的得分，试计算甲每场比赛的平均得分．【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图，计算甲在一场比赛中得分不低于20分的频率即可；（Ⅱ）根据甲乙运动员得分的分布情况，即可判断甲、乙两名运动员成绩稳定的稳定性，（Ⅲ）根据平均数的计算公式，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图可知甲在一场比赛中得分不低于20分的频率为0.048×10+0.024×10=0.48+0.24=0.72．即甲在一场比赛中得分不低于20分的概率为0.72．（Ⅱ）根据甲的频率分布直方图可知，甲的成绩主要集中[20，30），乙的成绩比较分散，∴甲更稳定．（Ⅲ）∵组距为10，∴甲在区间[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），上得分频率值分别为，，，，设甲的平均得分为S，则=23.80．17．在等差数列{a n}中，其前n项和为S n，满足S5﹣S2=21，2a2﹣a4=﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a，求数列{b n}的前n项和的表达式．【考点】数列的求和．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，由S5﹣S2=21，2a2﹣a4=﹣1，可得5a1+10d﹣（2a1+d）=21，2（a1+d）﹣（a1+3d）=﹣1，解得：a1，d．可得a n．（2）b n==3×2n﹣1，再利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵S5﹣S2=21，2a2﹣a4=﹣1，∴5a1+10d﹣（2a1+d）=21，2（a1+d）﹣（a1+3d）=﹣1，解得：a1=2，d=3．∴a n=2+3（n﹣1）=3n﹣1．（2）b n==3×2n﹣1，∴数列{b n}的前n项和=3×（2+22+…+2n）﹣n=3×﹣n=3×2n+1﹣6﹣n．18．如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF．（1）求证：平面BAF∥平面CDE；（2）求证：平面EAC⊥平面EBD；（3）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．【考点】平面与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定．【分析】（1）先证明AF∥平面CDE，AB∥平面CDE，即可证明平面BAF∥平面CDE；（2）证明AC⊥平面EBD平面EAC⊥平面EBD；（3）BM=BD时，AM∥平面BEF，证明AMNF是平行四边形得出AM∥FN，即可证明AM∥平面BEF．【解答】证明：（1）∵AF∥DE，AF⊄平面CDE，DE⊂平面CDE，∴AF∥平面CDE．同理，AB∥平面CDE，∵AF∩AB=A，∴平面BAF∥平面CDE；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DE，∵BD∩DE=D．∴AC⊥平面EBD，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面EBD；解：（3）BM=BD时，AM∥平面BEF，理由如下：作MN∥ED，则MN平行且等于BD，∵AF∥DE，DE=3AF，∴AF平行且等于MN，∴AMNF是平行四边形，∴AM∥FN，∵AM⊄平面BEF，FN⊂平面BEF，∴AM∥平面BEF19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，焦距为，P是椭圆上一动点，△PF1F2的面积最大值为2．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点M（1，0）的直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于点N，若，，求证：λ1+λ2为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）设椭圆的标准方程，利用焦距为，求得c的值，根据当点P在短轴的顶点时，P到F1F2的距离最大，所以此时△PF1F2的面积最大为2，建立方程，从而可得椭圆方程；（Ⅱ）直线l与椭圆方程联立，利用，，用A，B的横坐标表示λ1，λ2，从而可得结论．【解答】（Ⅰ）解：设椭圆的标准方程为（a＞b＞0）．因为焦距为，所以c=．当点P在短轴的顶点时，P到F1F2的距离最大，所以此时△PF1F2的面积最大，所以，所以．因为a2=b2+c2=4，所以a2=4，所以椭圆方程为．…（Ⅱ）证明：依题意，直线l的斜率存在，可设为k，则直线l：y=k（x﹣1）．设A（x1，y1），B（x2，y2），联立消y得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0．显然△＞0，且，．因为直线l交y轴于点N，所以N（0，﹣k）．所以，，且所以x1=λ1（1﹣x1），所以，同理．所以．即λ1+λ2为定值是．…20．已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的零点及单调区间；（Ⅱ）求证：曲线y=存在斜率为6的切线，且切点的纵坐标y0＜﹣1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理．【分析】（Ⅰ）令f（x）=0，求出函数的零点，求出函数的导数，从而求出函数的单调区间；（Ⅱ）令，求出函数的导数，结合函数的单调性得到得：，从而证出结论．【解答】解：（Ⅰ）令f（x）=0，得x=e．故f（x）的零点为e，（x＞0）．令f′（x）=0，解得．x f x f x递增所以f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为．（Ⅱ）令．则，因为，f（e）=0，且由（Ⅰ）得，f（x）在（0，e）内是减函数，所以存在唯一的，使得g′（x0）=f（x0）=6．当x∈[e，+∞）时，f（x）≤0．所以曲线存在以（x0，g（x0））为切点，斜率为6的切线．由得：．所以．因为，所以，﹣6x0＜﹣3．所以y0=g（x0）＜﹣1．。