分子动理论2

vp
f(v)
2kT m
T1
2RT M
8m f (vp ) kT
1/ 2
e 1
m 一定
曲线下的面积应该一样，
T2
∴速率大的分子数比例大。 这就是气体分子热运动 更激烈的真正含义。
0
vp1 vp2
T2 >T1
v
vp
思考
2kT m
2RT M
8m f (vp ) kT
m v x d N C e C e

2

p d v x d v y d v z e kT d x d y d z
p
kT
d xd yd z
d N C e

p
kT
d xd yd z
在该处的分子数密度为
平均值,都可以用速率分布函数求得
g v g (v ) f (v ) d v
0

f(v)
d Nv f (v ) d v N
0
v v+dv
v
2. 平均速率
i
v N v N
i
v
i
f(v)
d Nv f (v ) d v N
vd N v
N
v

vNf (v ) d v
0

（1）作速率分布函数曲线； （2）由 v 0 求常数C； （3）速率处在 v1 v0 附近单位速率间隔内的粒子数；
（4）速率处在 v1 ~ v2 v0 附近单位速率间隔内的粒子数 （5）粒子的平均速率。
二 . 麦克斯韦速率分布函数
1859年，麦克斯韦推导出： 理想气体在无外场、平衡态（T）下， 分子的速率分布函数为
f(v )
3/2
mv 2 2kT
积内的分子数占总分子数的比率;
讨论：由 f(v ) f(v) vz
v
d v x d v y d vz
vz
0
dv v vy
0
vy
vx
vx
dN m e N 2kT
v 3/2 m v x v y v z
2 2
v2
v v1 v 2
vd N dN
v v1
v2 v
v1 v2

d Nv v N v1
v2

vf (v ) d v f (v ) d v
v1
d Nv N v1
v1 v2
有N个粒子，其速率分布函数为
dN f v Ndv C 常数， 0,
v0 v 0 v v0
试说明下列各量的意义
f (v)dv
Nf (v)dv

v2
v1 v2
Nf (v)dv vf (v)dv

v2
v1
f (v)dv Nvf (v)dv

v2
v1
v1
例1．求速率v1 v2区间的分子数公式：
Δ N d Nv
v1
v2
v2
Nf (v ) d v
v2
v1
例2．求速率v1 v2区间分子的平均速率公式：
能求任一速率区间的分子数；
能求任一速率区间的分子平均速率。
三、三种统计速率
1.最可几速率（最概然速率）vp
f(v)
f (v ) d v
d Nv N
d f (v ) 0 d v v vp
则可得
0
vv
+dv
v
vp
2kT m
2 RT RT 1.41 M M
在 vp 附近的小区间内的分子数 占总分子数的百分比最大。
3/2
mv 2 2kT
4v 2
文字说明
若分子速度的大小被限制 在v v + dv 内，方向可以任意， 这些分子的速度矢量端点都在 v x 半径为 v,厚度为dv 的球壳内。 取球壳的体积 4 v2dv作为体积元,有
d Nv m N 2kT 3/ 2
vz
0
dv v vy

kT
e

……“玻耳兹曼因子”
实验证明这个推广是正确的。
例.重力场中分子按高度分布的规律 重力场中某处体积元dx dy dz 中的分子数 （不管分子的速度如何）： 可以将上面的玻耳兹曼分布律对速度积分:
dN Ce


kT
d x d y d z d v x d v y d vz
v y 2 vz 2 2 kT
kT P0 e

M gh RT
P0= n0kT 为地面处的压强， 此式假设了高处与低处的温度T 相同。
所以上式称为恒温气压公式。
可以从气压计上气压的读数P知道离地面的高度 h。
假设地球大气是等温的，温度为t=5 0c,
海平面的气压为750mmhg,今测得某山顶
的气压为600mmhg,求山高。已知空气的 平均分子量为29.0
----讨论分子平均平动动能时用；
v ----讨论分子平均运动快慢时用； v p ----讨论分子的速率分布时用。
微观方法 得到的 压强公式 统计方法 得到的 方均根速率
1 2 P nm v 3
P nkT
3kT v m
2
∴理想气体的状态方程也可以用微观的方法导出。
麦克斯韦速度分布律
速度空间和麦氏速度分布
m dN v N e 2kT Ce
εk kT
3/2
m v x 2 v y 2 vz 2 2kT


4v dv
2
4v dv
2
dN v Ce
εk kT
dv x dv y dvz
推广：
d Nv C e

k
kT
d v x d v y d vz
dN v m e N 2kT 3/2 m v x 2 v y 2 v z 2 2kT


dv x dv y dv z
麦氏速度分布函数为
dN v m e N dv x dv y dv z 2kT 意义：在速度空间中，分布在 v 附近单 位体
一摩尔二氧化碳，压强为1000atm，体积为
0.050 l,则其温度为
vz
v
d v x d v y d vz
0
vy
vx
速度空间中的一点，代表一定的速度， 由矢径 表示
v ( v x ,v y ,v z )
麦克斯韦最早得出的是下面分子速度分布规律 :
（推导可见书，不作要求）
“在平衡态，理想气体分子的速度分量在vx vx+dvx , vy vy+dvy, vz vz+dvz区间内的分子数占总分子数的比率为”
d Nv f v d v N
定义: 速率分布函数
d Nv f v N dv
速率分布函数
N
d Nv f v N dv
因为

d Nv N 1 0
这称为速率分布 函数归一化条件
所以
f v d v 1
0
d Nv 速率分布函数的物理意义是什么? f v N dv
%
1.4
气体的速率从整体上看有统计规律性。
设速率 v v + dv 区间的分子数为dNv
(dv----宏观小,微观大)
v
0
v dv
v
dNv N
dNv dv
d Nv dv dNv N dv N
由于 dNv / N 是速率 v 附近小区间的分子数
与总分子数之比,它与 v 的大小有关,可以写成
（1）将 k = k +
p
p……分子在保守力场中的势能。
（2）系统在保守力场中处于稳定状态时，
速度在vx vx+dvx ,vy vy+dvy , vz vz+dvz ,
还考虑坐标在x x+dx, y y+dy, z z+dz内的分子数


kT
dN Ce
d x d y d z d v x d v y d v z ---玻耳兹曼分布律
1/ 2
e 1
T 一 定，速率分布曲线如图，哪种气体分子质量更大？
f(v)
m1
T 一定 m2 m1 >m2
0
vp1 vp2
v
求一个小区间内的分子数的比例，就不用去积分了。 用麦克斯韦速率分布律求速率在 v p ~ 1.01v p 区间内的气体分子数占总分子数的比率
规律：对任意v 的函数 g(v)，全体分子的 g(v)的
由于在平衡态时分子速度的方向是均匀分布的，
mv 2 2 kT
e
e
4v d v
2
∴有
d Nv m N d v 2kT
3/ 2
mv 2 2 kT
4v 2 f (v )
玻耳兹曼分布律
2.5 玻耳兹曼分布律
玻耳兹曼把麦氏速度分布推广到
理想气体处在保守力场的情形。
mgh dN n C e kT d xd yd z
如果以 no表示地面 h=0处的分子数密度， 则有 C’=no . 所以上式可以写为
n n0 e

mgh kT
n0 e

Mgh RT
这就是分子数密度按高度分布的规律。
高度计的原理：
P nkT n0 e
式中
M gh RT