最新初中沪科版八年级数学上册第15章小结与复习公开课教案
八年级数学上册第15章轴对称图形和等腰三角形15.3等腰三角形第1课时等腰三角形的性质教案新版沪科版
15.3等腰三角形第1课时等腰三角形的性质◇教学目标◇【知识与技能】1.经历操作、发现、猜想、证明的过程,培养学生的逻辑思维能力;2.掌握等腰三角形的性质1,2及其推论;3.运用等腰三角形的性质及其推论进行有关证明和计算.【过程与方法】在探究过程中,增强协作交流,培养学生多角度思考问题的习惯,提高学生分析问题和解决问题的能力.【情感、态度与价值观】经历探索等腰三角形的轴对称及相关性质的过程,进一步体会轴对称的特征,发展学生的空间意识.◇教学重难点◇【教学重点】等腰三角形的性质定理及其证明.【教学难点】等腰三角形性质的验证.◇教学过程◇一、情境导入活动1:请同学们把一张长方形的纸片对折,按如图2所示的方式剪去(或用刀子裁)一个角,再把它展开,得到的是什么样的三角形?结果:剪刀剪过的两条边是相等的;剪出的图形是等腰三角形.知识回顾:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形,相等的两边叫做腰,另一条边叫做底,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角.问题1:等腰三角形是轴对称图形吗?你能发现这个三角形有哪些特点吗?说一说你的猜想.结果:等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线所在的直线是它的对称轴.说明:对称轴是一条直线,而三角形的中线是线段,因此不能说等腰三角形底边上的中线是它的对称轴.二、合作探究活动2:出示刚才剪下的等腰三角形纸片,标上字母如图所示:把边AB叠合到边AC上,这时点B与C重合,并出现折痕AD,观察图形,△ADB与△ADC有什么关系?图中哪些线段或角相等?AD与BD垂直吗?为什么?结果:△ADB与△ADC重合,∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC,BD=CD,AB=AC,AD与BD 垂直,理由略.活动3:由上面的性质我们可以得到等腰三角形有如下性质:定理1:等腰三角形的两底角相等,简称“等边对等角”.问题2:这个命题的题设是什么?结论是什么?结果:已知:在△ABC中,AB=AC.求证:∠B=∠C.要证两个角相等可以转化为前面所学过的三角形全等,而图形中只有一个三角形,如何添加辅助线使它转化为两个三角形?通过折叠等腰三角形的实习,很容易得到辅助线,作高AD或作顶角的平分线AD.等腰三角形的性质定理1的几何符号语言的书写:在△ABC中,∵AB=AC(已知),∴∠B=∠C(等边对等角).问题3:等边三角形各内角有什么关系?各等于多少度?结果:(1)等腰三角形中顶角与底角的关系:顶角+2×底角=180°;(2)推论:等边三角形三个内角相等,每一个内角都等于60°.活动4:从性质1的证明过程可以知道,BD=CD,∠ADB=∠ADC=90°,由此,你能得出等腰三角形还具有什么性质?结果:定理2:等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边.即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高“三线合一”.典例如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,点D,E是底边上两点,且BD=AD,CE=AE,求∠DAE的度数.[解析]∵AB=AC,(已知)∴∠B=∠C.(等边对等角)∴∠B=∠C=×(180°-120°)=30°.又∵BD=AD,(已知)∴∠BAD=∠B=30°.(等边对等角)同理,∠CAE=∠C=30°.∴∠DAE=∠BAC-∠BAD-∠CAE=120°-30°-30°=60°.三、板书设计等腰三角形定理1:等腰三角形的两个底角相等,简称“等边对等角”.推论:等边三角形三个内角相等,每一个内角都等于60°.定理2:等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边.◇教学反思◇本节课通过对等腰三角形叠合操作引出等腰三角形是轴对称图形,进而得到等腰三角形“等边对等角”,这种操作有利于学生发现等腰三角形性质的证明,给出三种不同的辅助线,是用来培养学生的发散思维,有变式教学思想;另一方面是为推论及性质2做准备.在本节教学中,我始终坚持以学生为主体,教师为主导,致力启用学生已掌握的知识,充分调动学生的兴趣和积极性,使他们最大限度地参与到课堂的活动中.在整个教学过程中,注重启发学生,挖掘学生潜力,培养学生应用意识,提高学生学习数学的积极性.。
沪科版八年级上册数学第15章 轴对称图形与等腰三角形 【教学设计】 等边三角形的性质和判定
等边三角形的性质和判定创设问题情境1出示等边三角形图片.2提出问题:房子的顶部是什么图形?同学们想不想更深入的了解等边三角形的知识?从而导入新课板书课题[14.3.2 等边三角形].观察图片,口答问题。
探索新知1、提出问题:根据原来学习图形的经验你认为应从哪些方面研究等边三角形?思考后口答2、让生从试着给等边三角形下定义。
3、归纳小结得出:定义:三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
独立思考后表达交流,得出结论。
实践应用例4:如图,我校课外兴趣小组在一次测量活动中,测得∠APB=60°,AP=BP=200m,他们便知道池塘最长处是多少m。
猜猜他们得出结论是多少m,请验证你的猜想。
独立猜想池塘最长处是多少m,然后通过小组探究对每位同学得出的结论进行验证。
拓展延深1.让生拿出手中的等边三角形纸片,探究怎样利用这张纸片得到一个新的等边三角形。
并对得到的等边三角形进行验证。
2. 如果1中生得到的方法过少,教师利用下面生没得出的情况进行补充,并让生逐一验证。
1)如图1,在等边三角形ABC中,DE平行BC;小组合作探究得出解决问题的办法,并进行验证。
2)如图2,在等边三角形ABC中,DE平行AB,DF平行AC;观察图中有哪些新的等边三角形,并对自己的猜想进行验证。
3)如图3,在等边三角形ABC中,DE平行AB,EF平行BC,DF平行AC;4)如图4,在等边三角形ABC中,①DE平行BC,EF平行AB,DF 平行AC;②AD等于BD,BF等于FC,AE 等于CE;5)如图5,在等边三角形ABC中,AD等于BE等于CF。
最新沪科版八年级数学上册 第15章 轴对称图形与等腰三角形(教案合集)
最新沪科版八年级数学上册第15章轴对称图形与等腰三角形教案15.1.1 轴对称图形一、教学目标1.在生活实例中认识轴对称,能画出简单轴对称图形的对称轴.2.使学生了解轴对称图形和关于直线成轴对称的概念.3.了解轴对称图形和轴对称的联系与区别.二、重点理解并掌握轴对称图形、轴对称的概念、画对称图形的对称轴.三、难点理解并掌握轴对称图形和两个图形成轴对称之间的关系.四、教学过程一、创设情境、导入新知教师多媒体课件出示:师:同学们认识这些图形吗?生:认识.师:你能说出它们的共同点吗?学生观察后,思考并讨论交流.生:它们的左右两边是一样的.师:对,实际上它们的左右两边是对称的.自然界中,许多物体的平面图形都具有对称性.今天我们就来研究轴对称图形.二、共同探究,获取新知学生实验一师:把一张纸对折,然后从折叠处剪出一个图形,想一想:展开后会是什么样的图形?位于折痕两侧的图案有什么关系?学生分组活动,合作交流后选代表回答实验结果.生甲:我们得到了一个美丽的图形:飞鸟,它有对称美.生乙:我们得到的是大树和五角星,它们是对称的.生丙:我们得到的是轴对称图形,位于折痕两部分的图案能够完全重合.师:你们的发现真是了不起啊!那么你们能说说什么样的图形是轴对称图形吗?生甲:能够完全重合的图形是轴对称图形.生乙:不对!应该是沿着一条直线折叠后能完全重合的图形才是轴对称图形.师:很好,如果一个图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.请同学们尽可能多地从你周围的环境中找出轴对称的物体.学生畅所欲言.教师提示:天上飞的、地上跑的、水里游的,还有已经学过的那些简单的图形、数字、字母等都可以.生:我们组将这个平行四边形对折后,发现无论怎么对折,两边都无法重合,所以它不是一个轴对称图形.师:有道理,其他同学有没有不同的想法?生:我们组将这个平等四边形剪拼成一个长方形,而长方形对折后两边完全重合,所以我们认为它是一个轴对称图形.师:听起来好像也有道理.生甲:我们反对.因为在刚才的学习中,我们知道判断一个图形是不是轴对称图形关键是看对折后两边能否完全重合,而这个图形对折后显然无法重合.生乙:(补充)而且你们将这个图形剪拼后,已经改变了这个图形的形状和性质,所以我们认为它原本不是一个轴对称图形.师:(回到赞成“是的”一方)听了对方的阐述,再结合我们一开始探讨轴对称图形时的要求,你现在的观点是什么?生:(沉默一会儿后)现在我也同意这个平行四边形不是轴对称图形了.师:对,平行四边形不是轴对称图形.学生实验二:折纸印墨迹学生分组完成实验教师提出问题1:你发现折痕两边的墨迹形状一样吗?为什么?问题2:两边墨迹的位置与折痕有什么关系?(让学生充分观察、讨论和交流,并指名汇报):生甲:我们组发现两边的墨迹形状一样,因为它们折过去能完全重合.生乙:我们组的发现和他们一样.生丙:两边的墨迹关于折痕对称.生丁:我想补充的是两边的墨迹是关于折痕成轴对称的.师:同学们观察得真仔细啊!那你们能说说究竟什么样的两个图形成轴对称吗?生甲:一个图形和另一个图形能完全重合,这两个图形成轴对称.生乙:我不同意他的观点,应该是一个图形沿着某条直线折叠,如果它能和另一个图形重合,那么称这两个图形关于这条直线对称.师:你真是太聪明了!动画演示,师生共同总结出轴对称、对称轴及对称点的概念.教师用多媒体展示练习,学生独立思考后回答.三、深入探究师:通过刚才的学习,你们能说说轴对称与轴对称图形是否是一回事吗?生齐答:不是.师:那谁能说说它们的关系呢?(见学生面有难色,让学生先思考交流)生甲:轴对称是两个图形,轴对称图形是一个图形.师:说得好,谁还想说?生乙:它们都是沿着一条地线对折的,并且能重合.生丙:如果把成轴对称的两个图形看成一个整体,就是一个轴对称图形;如果把一个轴对称图形看成两个图形就是成轴对称.师:怎样将一个轴对称图形看成两个图形呢?生:哦,是将位于对称轴两旁的部分看成两个图形.师:你可以当小老师了!各位同学的发现合起来就是轴对称与轴对称图形的区别与联系.四、课堂小结师:生活中处处有数学,我们只有学好了数学,才能更好地运用所学的知识去解决生活中的实际问题,谁想说说你今天收获得了什么?生甲:我今天最大的收获是认识了轴对称图形和轴对称.生乙:我通过观察发现了轴对称图形和轴对称的区别和联系.生丙:通过欣赏图片,我感受到了对称图形的美.生丁:通过找生活中的轴对称物体,我体会到数学就在我们身边,生活中处处有数学知识.五、教学反思在学习轴对称与轴对称图形的时候,充分让学生通过实验去感知、思考、探索知识,从更深层次上理解概念.在本节课中轴对称和轴对称图形是两个重要要概念且易混淆.在教学中充分地进行比较,这样不仅能帮助学生建立、理解概念,而且有利于学生在头脑中建立起事物与概念间的内在联系,达到事半功位的效果.15.1.2 轴对称图形一、教学目标1.知道线段垂直平分线的概念.2.知道成轴对称的两个图形全等,对称轴是对称点连线的垂直平分线.二、重点会利用轴对称性质作对称点、轴对称图形等.三、难点根据题目要求画出轴对称图形.四、教学过程一、创设情境,导入新知师:上节课我们探讨了轴对称图形,知道现实生活中由于轴对称图形,而显得异常美丽,那么什么样的图形是轴对称图形呢?学生思考回答:如果一个图形沿着一条直线折叠后,直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.师:大家想一想,我们以前学过的哪些几何图形是轴对称图形呢?生甲:正方形、矩形.生乙:圆、等腰三角形.生丙:角、线段.师:刚才有人提出“线段是轴对称图形”,今天我们就来研究这个简单的轴对称图形(板书课题).二、共同探究,获取新知教师画出一条线段.师:你能找出它的一条对称轴吗?生甲:它的对称轴是与线段垂直的,且垂足是线段中点的直线.教师画出一条线段AB,对折AB使点A、B重合,折痕与AB的交点为O.师:OA=OB吗?折痕与直线所成的两个角是多少度?学生观察.生:OA=OB,折痕与直线所成的两个解都是90°师;折痕(即线段的对称轴)与线段有什么关系?学生讨论交流.教师小结:经过线段的中点并且垂直这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线,又叫做线段的中垂线.线段是轴对称图形,它的对称图形就是线段的垂直平分线.教师让学生任意画一条线段,然后用带有刻度的直角三角板画出线段的垂直平分线.学生讨论做法,教师巡视指导.三、合作交流,深化理解教师多媒体出示:如图,△ABC与△A'B'C'关于直线l对称,点A'B'C'分别是点A、B、C的对称点,连接AA',设AA'与直线l交于点O1.师:直线l与线段AA'有怎样的位置关系?生:垂直.师:OA1与O1A'的长度有什么关系?学生观察后回答:相等.师:如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;反过来,如果两个图形各对对应点的连线被同一条直线平分,那么这两个图形关于这条直线对称.四、练习新知师:请同学们完成课本练习的第3题.教师找三名学生板演,其余同学在下面做,教师巡视指导,然后集体订正.师:请同学们完成练习第4题.教师找两名学生板演,其余同学在下面做,然后集体订证.五、课堂小结师:今天你有什么收获你又学到了什么?五、教学反思对称是一种最基本的图形变换,是学生学习空间与图形的必要基础,了解对称图形,对于帮助学生建立空间观念,培养学生的空间想象力都有着不可忽视的作用,这节课鼓励每个学生动手、动口、动脑,积极参与到数学的学习过程中来,注意发挥学生的主体性,给学生留下充分的时间与空间进行活动.上述的自主活动是整堂课的重点所在,通过活动既可充分发挥学生的理解能力、创造能力,又能在整个活动中对轴对称的概念从感性认识升华到理性认识.15.1.3 轴对称图形一、教学目标1.理解并掌握平面直角坐标系中,与已知点关于x轴或y轴对称的点的坐标的规律.2.能作出与一个图形关于x轴或y轴对称的图形.二、重点用坐标表示点关于坐标轴对称的点的坐标.三、难点找对称点的坐标之间的关系、规律.四、教学过程一、创设情境,导入新知师:什么是轴对称图形?生:如果一个图形沿着某条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合,这个图形就叫做轴对称图形.师:什么是轴对称?生:把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么称这两个图形成轴对称.师:什么是线段的垂直平分线生;经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线.师:很好!这节课我们继续学习轴对称的有关知识.老师板书课题.二、共同探究,获取新知师:已知点A和一条直线,你能画出这个点关于已知直线的对称点吗?教师多媒体出示:学生作图,教师巡视指导,然后集体纠正.教师边操作边讲解:我们过A点作MN的垂线并延长,记垂线与MN的交点为O,然后在上面截取一段使OA'=AO,则A'点就是A点关于MN的对称点.教师强调:不是题中要求作出的,比如我们作的这条垂线,它相当于辅助线,用虚线表示.三、深入探究,层层推进师:在平面直角坐标系里,如何作出图形的轴对称图形呢?下面只介绍以特殊直线(坐标轴)为对称轴的情形.教师多媒体出示:如图所示,在平面直角坐标系中,正方形ABCD四个顶点的坐标分别为A(1,1),B(3,1),C(3,3),D(1,3).师:我请两名同学分别作出点A、B、C、D关于x轴和y轴对称的点,并写出它们的坐标.学生思考.教师找两名学生板演,其余同学在下面做.教师出示表格.师:观察上表,已知点与它关于x轴对称的点的坐标有什么关系?已知点与它关于y轴对称点的坐标呢?学生观察表格,思考后回答.生:关于x轴对称的点横坐标不变,纵坐标互为相反数;关于y轴对称的点纵坐标不变,横坐标互为相反数师:很好!我们得到:一般地,已知点P(x,y),它关于x轴对应的点的坐标为P1(x,-y),它关于y轴对应的点的坐标P2(-x,y).四、练习新知,加深理解教师找一名学生完成课本练习第1题,然后集体订正.教师找一名学生板演练习2,其余同学在下面做,老师巡视指导,然后集体订正.五、课堂小结师:今天我们学习了什么知识?你有哪些收获?生甲:我学习了一点关于x轴或y轴对称的点的坐标的求法.生乙:我知道了一个图形关于x轴或y轴对称的图形的画法.师:你还有哪些疑问?学生提问,教师解答.五、教学反思上节课我们只是根据对称轴是两个图形对应点所连线段的垂直平分线作出一个图形关于一条对称轴对称的图形,在这节课上我们把图形放在坐标系里,来讨论这个图形上点的坐标和与它对应的点的坐标的关系,先让学生作出对应点,然后让他们自己分析关于两条坐标轴对称的两点坐标之间的关系.比较一个点和它的对应点和对称轴之间的关系,发挥了学生的主动性,让他们自己去发现规律,总结规律,提高他们的分析、归纳能力,同时也给他们提供表达自己观点的机会,提高他们表达问题的能力.15.2 线段的垂直平分线一、教学目标1.经历探究、猜想、验证的过程,进一步发展学生的推理论证能力.2.培养学生的逻辑思维能力和数学语言表达能力.3.已知底边及底边上的高,能应用尺规作出线段的垂直平分线.二、重点写出线段垂直平分线的性质定理及其逆命题.三、难点线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的应用上的区别和各自的应用.四、教学过程一、创设情境,导入新知师:上节课我们共同探讨了轴对称图形,知道现实生活中由于有轴对称图形,而使得世界非常美丽.那么大家想一想,什么样的图形是轴对称图形呢?生:如果一个图形沿着一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形就叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.师:什么是线段的垂直平分线呢?学生思考抢答.生:经过线段的中点,并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线,又叫做线段的中垂线.师:很好!这节课我们继续学习线段的垂直平分线的有关内容(板书课题).二、共同探究,获取新知教师引导学生作图:作已知线段AB的垂直平分线.学生讨论作法.教师总结作法.1.分别以点A和B为圆心,以大于AB的长为半径作弧,两弧相交于点C和D.2.作直线CD.直线CD就是线段AB的垂直平分线.学生作图.师:你能说明为什么这样作出的直线CD就是线段AB的垂直平分线吗?学生交流讨论.师:因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中点,所以我们也可以用这种方法作线段的中点.线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等.怎样证明这个结论呢?学生交流讨论,教师参与.师:这个命题的条件是什么?生:一个点是线段垂直平分线上的点.师:结论呢?生:这个点与线段两端距离相等.师:请同学们写出已知、求证,并证明.教师找一名学生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.已知:如图,直线MN经过线段AB的中点O,且MN⊥AB,P是MN上任意一点.求证:PA=PB.证明:∵MN⊥AB.(已知)∴∠AOP=∠BOP=90°.(垂直定义)在△AOP与△BOP中,∵∴△AOP≌△BOP.(SAS)∴PA=PB.(全等三角形的对应边相等)三、合作交流,深化理解师:你能写出上面定理的逆命题吗?生:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 师:它是真命题吗?学生思考.生:是.师:你能证明这个定理吗?学生思考证明,教师找学生板演,集体纠正.四、乘胜追击,学以致用教师出示课本第123页例题.【例】已知:如图所示,△ABC的边AB、AC的垂直平分线相交于点P. 求证:点P在BC的垂直平分线上.学生讨论证明方法,并板演,然后集体证正.证明:连接PA、PB、PC.∵点P在AB、AC的垂直平分线上.∴PA=PB,PA=PC,∴PB=PC,∴点P在BC的垂直平分线上.师:由此你能得出什么结论?生:三角形三边的垂直平分线相交于一点,这点到三角形三个顶点的距离相等.师:很好!这个结论很有用,请大家记一下.学生熟记.五、迁移巩固,解决问题1.教材该节练习的第1题,学生口述作法,独立完成.作AB的垂直平分线,这条线与直线l的交点即为要确定的停靠站C的位置.2.教材该节练习的第2题,学生小组合作,集体纠正.C、D两点的位置可分为两点在线段AB同侧、一点在AB外一点在AB上、两点在AB异侧三种情况.下面就第一种情况进行证明,其余两种情况下的证明与此类似.(1)证明:∵C、D是线段AB的垂直平分线上的两点,∴CA=CB,DA=DB.(线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等)∴△ABC、△ABD是等腰三角形.(2)∵CA=CB,DA=DB,(已证)CD=CD,(公共边)∴△CAD≌△CBD.(SSS)∴∠CAD=∠CBD.(全等三角形的对应角相等).六、课堂小结师:今天你学习了什么知识?你有哪些收获?生:线段垂直平分线的性质定理及其逆定理.师:你能叙述它们的内容吗?生甲:线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等.生乙:与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.师:你还有哪些疑问?五、教学反思本节课先复习线段垂直平分线的概念,然后用尺规作图画出垂直平分线,并让学生思考为什么用这种方法画出的就是垂直平分线,可以激发学生学习数学的兴趣.由垂直平分线的作图过程可得到线段垂直平分线的性质定理,随后我带领学生对这个定理进行了严格的证明,让学生自己思考怎么写已知、求证.然后让学生说出这个命题的逆命题,并证明它是真命题,并把这个命题作为定理熟记,锻炼了学生的逻辑推理能力,培养了学生求真务实的精神.15.3.1等腰三角形一、教学目标1.寻找生活实例中的等腰三角形,给等腰三角形下定义,探求等腰三角形的轴对称性和它的相关性质.2.培养学生自主、合作、探究的学习方式,亲身体验“再发现”过程.二、重点等腰三角形有关性质的探索和应用.三、难点等腰三角形性质的验证.四、教学过程一、创设情境,导入新知教师出示学生熟悉的人字梁屋架:师:图中的人字架屋架的外观结构形式是什么图形?生:等腰三角形.师:它有什么特点呢?学生思考.师:我们从这节课开始学习等腰三角形的有关知识(板书课题).二、共同探究,获取新知教师引导学生操作:画一个等腰三角形ABC,把边AB叠合到边AC上,这时点B与点C重合,并出现折痕AD,如图学生操作,教师巡视指导.师:△ADB与△ADC有什么关系?生:全等.师:哪些线段或角相等?学生思考,教师参与探究.学生口答:AB与AC相等,DB与DC相等,∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC.师:AD与BC垂直吗?生:垂直.师:由此你能得出什么结论?学生小组讨论.生:等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线所在的直线是它的对称轴.师:很好!这样也就是说等腰三角形的两个底角相等,简称“等边对等角”.学生熟记.师:你能证明这个性质定理吗?学生交流讨论.教师提示:你先把这个命题分解为条件和结论两部分,写出已知、求证,然后给出证明.教师找一名学生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.已知:如图,△ABC中,AB=AC.求证:∠B=∠C.证明:取BC的中点D,连接AD.在△ABD和△ACD中,∵∴△ABD≌△ACD.(SSS)∴∠B=∠C.(全等三角形的对应角相等)三、合作交流,深化理解师:通过全等可以看出AD和BC有什么关系呢?生:AD垂直平分BC.师:很好!等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边,∠BAD和∠CAD有什么关系呢?生:相等.师:综合上面的结论,你发现了什么?学生思考.共同总结:等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边,即等腰三角形顶角的平分线是底边上的中线也是底边上的高(简称三线合一).根据性质1,师生共同得到等边三角形的性质:等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°.四、乘胜追击,学以致用教师多媒体出示:【例1】已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,点D、E是底边上两点,且BD=AD,CE=AE.求∠DAE的度数.学生讨论方法.教师巡视指导,然后集体订正.解:∵AB=AC,(已知)∴∠B=∠C.(等边对等角)∴∠B=∠C=×(180°-120°)=30°.又∵BD=AD,(已知)∴∠BAD=∠B=30°.(等边对等角)同理∠CAE=∠C=30°.∴∠DAE=∠BAC-∠BAD-∠CAE=120°-30°-30°=60°【例2】已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求∠A和∠C的度数.师:由AB=AC,你能得到什么结论?生:∠ABC=∠C.师:由BD=BC=AD呢?生:∠C=∠BDC,∠A=∠ABD.师:你能找出∠A与∠C的关系吗?你能找出∠A与∠BDC的关系吗?生:能.∠BDC=∠A+∠ABD,又因为∠ABD=∠A,所以∠BDC=2∠A.师:现在你知道∠A与∠C的关系吗?生:知道.∠C=∠BDC=2∠A.教师找一名学生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.解:∵AB=AC,BD=BC=AD,(已知)∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD.(等边对等角)设∠A=x°,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x°.(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)∵∠ABC=∠C=∠BDC=2x°,∴x+2x+2x=180.(三角形三个内角和等于180°)得x=36.∴∠A=36°,∠C=72°.五、课堂小结师:今天我们学习了什么知识?你有哪些收获?学生回答.师:你还有哪些疑问?五、教学反思等腰三角形是轴对称图形,可以借助轴对称变换来研究等腰三角形的一些特征.为此,我以轴对称图形为切入点,先让学生通过折纸、猜想、验证等腰三角形的性质,然后运用全等三角形的知识加以论证,使学生思维由形象直观过渡到抽象的逻辑演绎,层层展开,步步深入,从而实现教学目的.善于做解题后的反思、方法的归类、规律的小结和技巧的揣摩,再进一步做一题多变、一题多问、一题多解,挖掘例题的深度和广度,扩大例题的辐面,无疑对能力的提高和思维的发展是大有裨益的.15.3.2等腰三角形一、教学目标1.掌握等腰三角形的判定定理及推论,并能够灵活应用它进行有关的论证和计算.2.掌握等边三角形的判定定理,并能够灵活应用它进行有关论证和计算.二、重点等腰三角形的判定定理及其应用.三、难点等腰三角形的性质定理与判定定理的区别.四、教学过程一、创设情境,导入新知师:请同学们回顾一下,等腰三角形的性质有哪些?生:等腰三角形的两底角相等,简写为“等边对等角”.师:这个命题的逆命题是什么?生:等角对等边.师:这是个真命题吗?我们今天就来研究这个问题.二、共同探究,获取新知师:作出图形,根据图形,在△ABC中,∠C=∠B,AB=AC吗?学生讨论交流、思考回答.教师让学生作一个有两个角相等的三角形,量一量它们所对的边.师:你发现了什么结论?生:AB=AC.师:为什么?生:在△ABC中,过点A作∠A的平分线交BC于点D,则顶角被平分,又两底角相等,由三角形内和性质得∠ADB=∠ADC.沿直线AD折叠,点B与点C重合,因此AB=AC.师:很好,这就是等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称等角对等边).学生熟记.师:大家想一下,三个角都相等的三角形是什么三角形?学生思考,教师点拨:分别与邻边相等.生:三个角都相等的三角形是等边三角形.师:有一个角是60°的等腰三角形是什么三角形呢?生:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.师:在证明中,由△ABD≌△ACD我们能得到什么?生:BD=DC,∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC=90°.师:这说明了什么?学生思考后回答:说明AD既是中线,又是角平分线,还是高.师:对,同学们观察得很仔细.所以我们能得到等腰三角形的又一性质:等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边.换句话说,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高三线合一.学生熟记.三、合作交流,深化理解教师多媒体出示:学生小组合作分析.。
HK沪科版 初二八年级数学 上册(教学设计 教案)第15章 轴对称图形与等腰三角形(全章 分课时 含反思)
第15章 轴对称图形与等腰三角形15.1 轴对称图形第1课时 轴对称图形与轴对称1.通过丰富的实例认识轴对称图形,并能找出轴对称图形的对称轴;(重点)2.掌握轴对称的性质,会利用轴对称的性质,作对称点、对称图形、对称轴等;了解轴对称图形、两个图形成轴对称这两个概念之间的联系和区别;(难点)3.经历丰富材料的学习过程,提高对图形的观察、分析、判断、归纳等能力.体验数学与生活的联系、提高审美观.一、情境导入观察下面的图片:面对生活中这些美丽的图片,你是否强烈地感受到美就在我们身边!这是一种怎样的美呢?请谈谈你的感想.二、合作探究探究点一:轴对称图形与轴对称的定义【类型一】轴对称图形下列图形中不是轴对称图形的是( )解析:解决此类问题一定要紧扣轴对称图形的定义去判断,只要能找出这个图形的对称轴,那么这个图形就是轴对称图形.A 、B 、D 能找出对称轴,只有C 不能找到对称轴,故选C.方法总结:判断轴对称图形的方法:根据图形的特征,尝试找到一条直线,沿这条直线对折,如果直线两边的部分能够完全重合,即可确定这个图形是轴对称图形,否则不是轴对称图形.注意尝试多角度来观察图形和对折图形.【类型二】判断对称轴的条数下列轴对称图形中,恰好有两条对称轴的是( )A.正方形 B.等腰三角形C.长方形 D.圆解析:选项A中正方形有四条对称轴;选项B中等腰三角形有一条对称轴;选项C中长方形有两条对称轴;选项D中圆有无数条对称轴.故选C.方法总结:判断对称轴的条数,仍然是根据定义进行判断,判断轴对称图形的关键是寻找对称轴,注意不要遗漏.【类型三】轴对称如图所示,哪一组的右边图形与左边图形成轴对称?解析:根据轴对称的意义,经过翻折,看两个图形能否完全重合,若能重合,则两个图形成轴对称.解:(4)(5)(6).方法总结:动手操作或结合轴对称的概念展开想象,在脑海中尝试完成一个动态的折叠过程,你会得到结论.探究点二:成轴对称图形的性质及画法【类型一】成轴对称图形的性质如图中两个四边形关于某条直线对称,根据图形提供的条件求x,y.解析:由轴对称的性质,得到两个图形全等,从而有对应角相等,对应边相等.解:因为两个四边形关于某条直线对称,∠A=∠E=120°,∠D=∠F=100°,所以∠B =∠H=70°,AB=EH=5,所以y=70°,x=5.方法总结:利用轴对称的性质求线段或角的方法:先根据轴对称的特征确定两个图形的对应边、对应角,然后运用轴对称的性质:对应边相等,对应角相等,把要求的边或角与已知对应边或角建立关系,从而求出待求的线段或角.【类型二】成轴对称图形的画法如图所示,以AB 为对称轴,画出已知图形的对称图形.解析:作出点C 、D 、E 关于直线AB 的对称点C ′、D ′、E ′,然后顺次连接即可.解:如图所示.方法总结:轴对称的基本作图步骤是:(1)先找出已知图形中能够确定形状的关键点,如顶点、端点或中点等;(2)分别过这些关键点向对称轴作垂线,并延长至另一侧,使其两侧的线段相等,得到的点为这些关键点的对称点;(3)顺次连接作出的点,即可得到已知图形的对称图形.三、板书设计本节教学从学生熟知的生活情境出发,让学生初步感知对称的事物,从而引入对称,逐步将实物抽象成平面图形,通过操作实践发现其共同特征,导入教学新授,达到串连教材的效果,让学生在这教学情景中快乐的学习,激发了学生学习数学的兴趣.在列举实际生活中的轴对称的例子时,可以让更多的同学说,更广泛地思考,最后应提醒学生要善于用学到的数学知识认识世界、认识自然.第2课时 平面直角坐标系中的轴对称1.理解和掌握在平面直角坐标系中作出已知图形的轴对称图形;(重点)2.掌握关于坐标轴对称的点的坐标的特征;(难点)3.经历丰富材料的学习过程,提升对图形的观察、分析、判断、归纳等能力.一、情境导入十一黄金周,北京吸引了许多游客.一天,小红在天安门广场玩,一位外国友人向小红问西直门的位置,可小红只知道东直门的位置,不过,小红想了想,就准确地告诉了他.你知道为什么吗?结合老北京的地图向学生介绍:老北京城关于中轴线成轴对称设计,东直门、西直门就关于中轴线对称.如果以天安门为原点,分别以长安街和中轴线为x 轴和y 轴,就可以在这个平面图上建立直角坐标系,各个景点的地理位置就可以用坐标表示出来.提问:这些景点关于坐标轴的对称点你可以找出来吗?这些对称点的坐标与已知点的坐标有什么关系呢?二、合作探究探究点一:关于坐标轴对称的点的坐标特点【类型一】 求已知点关于x 轴(或y 轴)对称的点的坐标如图,点A 关于y 轴的对称点的坐标是( )A .(5,3)B .(3,5)C .(5,-3)D .(3,-5)解析:根据“关于y 轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数”解答即可.由图可知,点A 的坐标是(-5,3),所以,点A 关于y 轴的对称点的坐标是(5,3).故选A.方法总结:本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标,解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律:(1)关于x 轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数;(2)关于y 轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数.【类型二】利用两点成轴对称的性质求整式或字母的值在平面直角坐标系中,点A 关于x 轴对称的点的坐标为(7x +6y -13,y +x -4),点A 关于y 轴对称的点的坐标为(4y -2x -2,-6x -4y +5),求点A 的坐标.解析:设点A 的坐标为(a ,b ),则它关于x 轴的对称点为A ′(a ,-b ),关于y 轴的对称点为A ″(-a ,b ),即A ′与A ″的横、纵坐标分别互为相反数.据此可列方程组求出x ,y 的值.解:由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧y +x -4=-(-6x -4y +5),7x +6y -13=-(4y -2x -2).解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-1,y =2.所以点A 的坐标为(-8,3).方法总结:解答这类题的关键是弄清同一点关于两坐标轴对称的点的横、纵坐标之间的关系,再据此列方程或方程组求解.探究点二:作关于x 轴(或y 轴)对称的图形如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点的坐标分别是A (-4,1)、B (-2,4)、C (-1,2).(1)△ABC 关于y 轴的对称图形是△A ′B ′C ′,请写出点A ′,B ′,C ′的坐标并作出对称图;(2)△A ′B ′C ′关于x 轴的对称图形是△A ″B ″C ″,请写出点A ″,B ″,C″的坐标并作出对称图;解析:点(x ,y )关于x 轴对称的点的坐标为(x ,-y );点(x ,y )关于y 轴对称的点的坐标为(-x ,y ).根据图形在平面直角坐标系中关于x ,y 轴对称的规律,很容易找到对称点.解:(1)点A ′,B ′,C ′的坐标分别是(4,1)、(2,4)、(1,2),对称图如下图△A ′B ′C ′;(2)点A ″,B ″,C ″的坐标分别是(4,-1)、(2,-4)、(1,-2),对称图如下图△A ″B ″C ″;方法总结:在平面直角坐标系中,如果两个图形关于y 轴对称,那么这两个图形对称点的横坐标互为相反数、纵坐标相等;如果两个图形关于x 轴对称,那么这两个图形对称点的横坐标相等、纵坐标互为相反数;“成轴对称的两个图形的对称点的连线段被对称轴垂直平分”是轴对称作图的依据.作轴对称图形,只要先求出已知图形中的一些特殊点的对称点的坐标,描出并连接即可得到对称图;研究规律问题时,要从特殊到一般,要逐步推导;感受图形的对称变化带来的坐标变化.三、板书设计平面直角坐标系中的轴对称⎩⎪⎨⎪⎧关于x 轴对称的两个点横坐标相等,纵坐标互为相反数;关于y 轴对称的两个点纵坐标相等,横坐标互为相反数.本节课采用探究、发现式教学法,通过找具有一定代表性,分别位于四个象限及坐标轴的一些点的对称点及坐标,寻找关于坐标轴对称的点的坐标的一般规律,培养学生观察、归纳、分析问题、解决问题的能力,并通过研究线段之间的关系发现点的坐标之间的关系,使学生体验数形结合思想.然后通过把对称轴是坐标轴变成了直线x =1和y =-1的变式探究,使学生再次体验数形结合的思想,并拓展到直线x =m 和y =n ,使学生学会通过寻找线段之间的关系来求点的坐标并形成方法.15.2 线段的垂直平分线1.理解和掌握线段垂直平分线的两个性质;(重点、难点)2.通过观察、实验、猜测、验证与交流等数学活动,初步形成数学学习的方法;3.在数学学习的活动中,养成良好的思维习惯.一、情境导入如图,平面上的四边形ABCD 是一只“风筝”的骨架,其中AB =AD ,CB =CD .小明观察了这个“风筝”的骨架后,他认为四边形ABCD 的两条对角线AC ⊥BD ,垂足为E ,并且BE =ED ,你同意他的判断吗?二、合作探究探究点一:线段垂直平分线的尺规作图如图,点A 和点B 关于某条直线成轴对称,你能作出这条直线吗?(注:作一对对应点的对称轴就是作线段AB 的垂直平分线)解析:本题其实就是作线段AB 的垂直平分线,根据线段垂直平分线的作法作出即可.解:作法:(1)分别以点A 、B 为圆心,以大于12AB 的长为半径作弧,两弧相交于E 、F 两点;(2)连接直线EF ,EF 即为所求的直线.同样,对于轴对称图形,只要找到任意一组对应点,作出对应点所连线段的垂直平分线,就得到此图形的对称轴.方法总结:要熟练掌握线段垂直平分线的作法,作出的图形中的作图痕迹要保留.探究点二:线段垂直平分线的性质【类型一】 应用垂直平分线的性质求线段的长如图,△ABC中,AC=6,BC=4.5,分别以A、B为圆心,4为半径画弧交于两点,过这两点的直线交AC于点D,连接BD,则△BCD的周长是________.解析:由线段的垂直平分线的性质可知BD=AD,那么△BCD的周长其实是AC和BC的长度和.由题意可知过这两点的直线其实是AB边的垂直平分线,所以BD=AD;所以△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=6+4.5=10.5.故答案为10.5.方法总结:利用线段垂直平分线的性质,可以实现线段之间的相关转化,从而求出未知线段的长.【类型二】应用垂直平分线的性质求角度如图,在△ABC中,∠BAC=100°,DF,EG分别为AB和AC的垂直平分线,求∠DAE 的度数.解析:由题意可知∠DAE=100°-(∠DAF+∠EAG),由DF和EG分别为AB和AC的垂直平分线可证△BDF≌△ADF和△CEG≌△AEG,得∠B=∠DAF,∠C=∠EAG.利用三角形内角和定理可求出∠B+∠C,使问题得到解决.解:∵DF是AB的垂直平分线,∴BF=AF,BD=AD.又∵DF=DF,∴△BDF≌△ADF(SSS).∴∠B=∠DAF.同理可得∠C=∠EAG.∵∠BAC+∠B+∠C=180°,且∠BAC=100°,∴∠B+∠C=80°,∴∠DAF+∠EAG=80°.∴∠DAE=∠BAC-(∠DAF+∠EAG)=100°-80°=20°.方法总结:有线段的垂直平分线时,一般都过垂直平分线上的点连接线段两端点得相等的线段.探究点三:线段垂直平分线的判定如图所示,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,试说明AD与EF的关系.解析:先利用角平分线和全等证△AED ≌△AFD ,易证AD 垂直平分EF .解:AD 垂直平分EF .∵AD 平分∠BAC ,DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,∴∠DAE =∠DAF ,∠AED =∠AFD=90°.在△ADE 和△ADF 中,∵⎩⎪⎨⎪⎧∠DAE =∠DAF ,∠AED =∠AFD ,AD =AD ,∴△ADE ≌△ADF (AAS ),∴DE =DF ,AE =AF ,∴A 、D 均在线段EF 的垂直平分线上,即直线AD 垂直平分线段EF .方法总结:当一条直线上有两点都在同一线段的垂直平分线上时,这条直线就是该线段的垂直平分线,解题时常需利用此性质进行线段相等关系的转化.探究点四:垂直平分线的作法与垂直平分线的性质的综合现有不在一条直线上的A 、B 、C 三座城市.(1)现在A 、B 两城之间建一水果仓库,使其到A 、B 两城市之间距离相等,此仓库位置唯一吗?它们的位置有怎样的关系?(2)在B 、C 两城之间建一水果批发市场,使其到B 、C 两城市距离相等,市场的位置唯一吗?它们的位置有怎样的关系?(3)为减少运费,现将水果批发市场与水果仓库建在同一位置,并分别到三城市距离相等,应如何选址?画图说明.解析:本题可以把城市、水果批发市场、水果仓库看成是几个点,问题(1)就转化为寻找到A 、B 两点距离相等的点;问题(2)就转化为寻找到B 、C 两点之间距离相等的点;问题(3)就转化为寻找到A 、B 、C 三点之间距离相等的点,这样就可以用垂直平分线的知识来解决问题.解:(1)不唯一,它们在一条直线上,此直线为AB 的垂直平分线;(2)不唯一,它们在一条直线上,此直线为BC 的垂直平分线;(3)AB 、BC 两线段的垂直平分线的交点D 即为满足要求的位置.方法总结:利用转化思想,合理地建立模型,是解决实际问题的关键.三、板书设计线段的垂直平分线⎩⎪⎨⎪⎧定义:经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线,又叫线段的中垂线.性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两 端点的距离相等.判定定理:到线段两端点距离相等的点在线 段的垂直平分线上.本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法,从而有效地增强了学生的感性认识,提高了学生对新知识的理解与感悟,因此本节课的教学效果较好,学生对所学的新知识掌握较好,达到了教学的目的.不足之处是少数学生对线段垂直平分线性质定理的逆定理理解不透彻,还需在今后的教学和作业中进一步巩固和提高.15.3 等腰三角形第1课时 等腰三角形的性质定理及推论1.了解等腰三角形的性质,掌握等腰三角形的性质定理及推论,会用定理及推论解决简单问题;(重点)2.进一步培养学生分析问题、解决问题的能力,渗透转化思想;3.培养学生探究思维、逻辑推理能力以及如何规范证明题书写格式等学习方法.(难点)一、情境导入如图,墙上钉了一根木条,小明想检验这根木条是否水平,他拿来一个测平仪,在这个测平仪中,AB =AC ,BC 边的中点D 处挂了一个重锤,小明将BC 边与木条重合,观察此时重锤是否过A 点,如果过A 点,那么这根木条就是水平的,你能说明其中的道理吗?二、合作探究探究点一:等边对等角【类型一】 利用等边对等角求角度等腰三角形的一个内角是50°,则这个三角形的底角的大小是( ) A.65°或50° B.80°或40°C.65°或80° D.50°或80°解析:当50°的角是底角时,三角形的底角就是50°;当50°的角是顶角时,两底角相等,根据三角形的内角和定理易得底角是65°.故选A.方法总结:等腰三角形的两个底角相等,已知一个内角,则这个角可能是底角也可能是顶角,要分两种情况讨论.【类型二】利用方程思想求等腰三角形中角的度数如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD是AC边上的高,则∠DBC的度数是( )A.18°B.24°C.30°D.36°解析:根据等腰三角形“等边对等角”的性质,求出∠C,再在△BCD中可求出∠DBC 的度数.在△ABC中,∵AB=AC,∴∠C=∠ABC.设∠C=∠ABC=x°,∵∠A=36°,∴x+x+36=180,解得x=72,∴∠C=72°.∵BD是AC边上的高,∴∠BDC=90°.在△BDC中,∠DBC=180°-90°-72°=18°.故选A.方法总结:关于三角形内角度数的计算问题,可以把其中的某个角设为未知数,并把另外两个角用这个未知数的代数式(或已知数据)表示,然后根据三角形内角和定理建立方程可以求解.探究点二:等腰三角形“三线合一”如图,在△ABC中,AB=AC=10cm,BC=12cm,S△ABC=48cm2,点D为BC的中点,DE⊥AC于点E,则DE等于( )A.5cmB.4.8cmC.2.4cmD.2cm解析:利用等腰三角形“三线合一”的性质,连接AD,根据D为BC的中点可以得到CD =12BC=6,AD⊥BC.又S△ABC=12·AD·BC=48cm2,BC=12cm,可得AD=8cm.因为DE⊥AC,因此S△ADC=12AD·CD=12AC·DE,即AD·CD=AC·DE,从而可得DE=4.8cm.故选B.方法总结:本题主要考察等腰三角形的有关性质和三角形的面积计算公式;在等腰三角形中,“三线合一”是常作的辅助线,作出辅助线后容易找出解决问题的突破口.探究点三:等边三角形的性质如图,已知△ABC是等边三角形,点B、C、D、E在同一直线上,且CG=CD,DF =DE,则∠E=________度.解析:根据等边三角形的性质得出∠ACB=60°,根据CG=CD可得出∠CDF的度数,再根据DF=DE,最后即可得出∠E=15°.∵△ABC 为等边三角形,∴∠ACB=60°,∵CG=CD,∴∠CDG=30°,∵DE=DF,∴∠E=15°.故答案为15.方法总结:等边三角形的每一个内角都等于60°;等腰三角形的两个底角相等;三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.在本题中,这三个定理得到了很好的诠释.在等边三角形或等腰三角形中欲求角的度数,与等边三角形以及等腰三角形中角的特点是分不开的.三、板书设计等腰三角形⎩⎪⎨⎪⎧等腰三角形的性质⎩⎪⎨⎪⎧等边对等角(等腰三角形的两底角相等)“三线合一”(等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合)等边三角形的性质:等边三角形三个内角相等,每个内角都等于60°.本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法,从而有效地增强了学生的感性认识,提高了学生对新知识的理解与感悟,因而本节课的教学效果较好,学生对所学的新知识掌握较好,达到了教学的目的.不足之处是少数学生对等腰三角形的“三线合一”性质理解不透彻,还需要在今后的教学和作业中进一步巩固和提高.第2课时 等腰三角形的判定定理及推论1.理解等腰三角形的判定方法的证明过程;2.掌握等腰三角形的判定定理及它的两个推论,能运用定理和推论进行简单的推理和计算;(重点、难点)3.通过定理的证明和应用,初步了解转化思想,并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.一、情境导入某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度,选择河流北岸上一棵树(A 点)为目标,然后在这棵树的正南方南岸B 点插一小旗作标志,沿南偏东60度方向走一段距离到C 处时,测得∠ACB 为30度,这时,地质专家测得BC 的长度是50米,就可知河流宽度是50米.同学们,你们想知道这样估测河流宽度的根据是什么吗?他是怎么知道BC 的长度是等于河流宽度的呢?今天我们就要学习等腰三角形的判定.二、合作探究探究点一:等腰三角形的判定【类型一】判定一个三角形是等腰三角形如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,CD 是AB 边上的高,AE 是∠BAC 的角平分线,AE 与CD 交于点F ,求证:△CEF 是等腰三角形.解析:根据直角三角形两锐角互余求得∠ABE =∠ACD ,然后根据三角形外角的性质求得∠CEF =∠CFE ,根据等角对等边可得CE =CF ,从而可得△CEF 是等腰三角形.证明:∵在△ABC 中,∠ACB =90°,∴∠B +∠BAC =90°.∵CD 是AB 边上的高,∴∠ACD +∠BAC =90°,∴∠B =∠ACD .∵AE 是∠BAC 的角平分线,∴∠BAE =∠EAC ,∴∠B +∠BAE =∠ACD +∠EAC ,即∠CEF =∠CFE ,∴CE =CF ,∴△CEF 是等腰三角形.方法总结:“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据,是先有角相等再有边相等,只限于在同一个三角形中,若在两个不同的三角形中,此结论不一定成立.【类型二】等腰三角形性质和判定的综合运用如图,在△ABC 中,AB =AC ,点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 边上,且BE =CF ,BD=CE .(1)求证:△DEF 是等腰三角形;(2)当∠A =50°时,求∠DEF 的度数.解析:(1)根据等边对等角可得∠B =∠C ,利用“SAS ”证明△BDE 和△CEF 全等,根据全等三角形对应边相等可得DE =EF ,再根据等腰三角形的定义证明即可;(2)根据全等三角形对应角相等可得∠BDE =∠CEF ,然后求出∠BED +∠CEF =∠BED +∠BDE ,再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出∠B =∠DEF .(1)证明:∵AB =AC ,∴∠B =∠C .在△BDE 和△CEF 中,∵⎩⎪⎨⎪⎧BD =CE ,∠B =∠C ,BE =CF ,∴△BDE ≌△CEF (SAS ),∴DE =EF ,∴△DEF 是等腰三角形;(2)解:∵△BDE ≌△CEF ,∴∠BDE =∠CEF ,∴∠BED +∠CEF =∠BED +∠BDE .∵∠B +∠BDE =∠DEF +∠CEF ,∴∠B =∠DEF .∵∠A =50°,AB =AC ,∴∠B =12×(180°-50°)=65°,∴∠DEF =65°.方法总结:等腰三角形提供了很多相等的线段和相等的角,判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段.探究点二:等边三角形的判定等边△ABC 中,点P 在△ABC 内,点Q 在△ABC 外,且∠ABP =∠ACQ ,BP =CQ ,问△APQ 是什么形状的三角形?试说明你的结论.解析:先证△ABP ≌△ACQ 得AP =AQ ,再证∠PAQ =60°,从而得出△APQ 是等边三角形. 解:△APQ 为等边三角形.证明如下:∵△ABC 为等边三角形,∴AB =AC .在△ABP 与△ACQ 中,∵⎩⎪⎨⎪⎧AB =AC ,∠ABP =∠ACQ ,BP =CQ ,∴△ABP ≌△ACQ (SAS ),∴AP =AQ ,∠BAP =∠CAQ .∵∠BAC =∠BAP +∠PAC =60°,∴∠PAQ =∠CAQ +∠PAC =60°,∴△APQ 是等边三角形.方法总结:判定一个三角形是等边三角形有两种方法:一是证明三角形三个内角相等;二是先证明三角形是等腰三角形,再证明有一个内角等于60°.三、板书设计这一课的教学重点是等腰三角形的判定定理及应用,教学难点是等腰三角形的性质定理与判定定理的区别.学生刚刚学过等腰三角形的性质,对等腰三角形已经有了一定的了解和认识.因此在课堂教学中先引出等腰三角形的判定定理及推论,并能够灵活应用它进行有关论证和计算,提高学生的动手、归纳、猜想能力,发展学生证明用文字表述的几何命题的能力,使他们进一步掌握归纳思维方法,领会数学中分类讨论思想、转化思想.本节课的不足之处有:等边对等角与等角对等边一定要在同一个三角形中来研究,这点强调得不够.第3课时直角三角形中30°角的性质定理1.理解并掌握含30°角的直角三角形的性质定理;(重点)2.能灵活运用含30°角的直角三角形的性质定理解决有关问题.(难点)一、情境导入问题:1.我们学习过直角三角形,直角三角形的角之间都有什么数量关系?2.用你的30°角的直角三角尺,把斜边和30°角所对的直角边量一量,你有什么发现?今天,我们先来看一个特殊的直角三角形,看它的边角具有什么性质.二、合作探究探究点:含30°角的直角三角形的性质【类型一】 利用含30°角的直角三角形的性质求线段长如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,∠B =30°,CD 是斜边AB 上的高,AD =3cm ,则AB 的长度是( )A .3cmB .6cmC .9cmD .12cm解析:在Rt △ABC 中,∵CD 是斜边AB 上的高,∴∠ADC =90°,∴∠ACD =∠B =30°.在Rt △ACD 中,AC =2AD =6cm ,在Rt △ABC 中,AB =2AC =12cm.∴AB 的长度是12cm.故选D.方法总结:运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时,要分清线段所在的直角三角形.在△ABC 中,AB =AC =10cm ,BD 是高,且∠ABD =30°,则CD =________. 解析:因为三角形的高相对于三角形有三种情况:①在三角形的内部;②在三角形的外部;③在三角形的边上.因为此三角形为等腰三角形,第三种情况可以排除.故应分两种情况讨论:如图甲,当△ABC 为锐角三角形时,由BD 是高,根据直角三角形的性质易得AD =12AB =5cm ,CD =AC -AD =5cm ;如图乙,当△ABC 为钝角三角形时,易得AD =12AB =5cm ,CD=AC +AD =15cm.故答案为5cm 或15cm.方法总结:此题比较简单,解答此题时要注意分类讨论,不要漏解.【类型二】与角平分线或垂直平分线性质的综合运用如图,∠AOP =∠BOP =15°,PC ∥OA 交OB 于C ,PD ⊥OA 于D ,若PC =3,则PD等于( )A .3B .2C .1.5D .1解析:如图,过点P 作PE ⊥OB 于E ,∵PC ∥OA ,∴∠AOP =∠CPO ,∴∠PCE =∠BOP +∠CPO =∠BOP +∠AOP =∠AOB =30°.又∵PC =3,∴PE =12PC =12×3=1.5.∵∠AOP =∠BOP ,PD ⊥OA ,∴PD =PE =1.5.故选C.方法总结:含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时,关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形.【类型三】 利用含30°角的直角三角形的性质探究线段之间的倍、分关系如图,在△ABC 中,∠C =90°,AD 是∠BAC 的平分线,过点D 作DE ⊥AB .DE 恰好是∠ADB 的平分线.CD 与DB 有怎样的数量关系?请说明理由.解析:由条件先证△AED ≌△BED ,得出∠BAD =∠CAD =∠B ,求得∠B =30°,即可得到CD =12DB .解:CD =12DB .理由如下:∵DE ⊥AB ,∴∠AED =∠BED =90°.∵DE 是∠ADB 的平分线,∴∠ADE =∠BDE .又∵DE =DE ,∴△AED ≌△BED (ASA),∴AD =BD ,∠DAE =∠B .∵∠BAD =∠CAD =12∠BAC ,∴∠BAD =∠CAD =∠B .∵∠BAD +∠CAD +∠B =90°,∴∠B =∠BAD =∠CAD=30°.在Rt △ACD 中,∵∠CAD =30°,∴CD =12AD =12BD ,即CD =12DB .方法总结:含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据,如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时,要联想此性质.【类型四】 利用含30°角的直角三角形解决实际问题某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境,已知AC =50m ,AB =40m ,∠BAC =150°,这种草皮每平方米的售价是a 元,求购买这种草皮至少需要多少元?解析:作BD ⊥CA 交CA 的延长线于点D .在Rt △ABD 中,利用30°角所对的直角边是斜边的一半求BD ,即△ABC 的高.运用三角形面积公式计算面积求解.解:如图所示,作BD ⊥CA 于D 点.∵∠BAC =150°,∴∠DAB =30°.∵AB =40m ,∴BD =12AB =20m ,∴S △ABC =12×50×20=500(m 2).已知这种草皮每平方米a 元,所以一共需要500a 元.方法总结:解此题的关键在于作出CA 边上的高,根据相关的性质推出高BD 的长度,正确的计算出△ABC 的面积.三、板书设计。
第15章小结与复习教案2(华东师大版初二上)doc初中数学
第15章小结与复习教案2(华东师大版初二上)doc初中数学教学目标知识与技能目标1.了解本章差不多内容和本章知识结构;2.会运用实验的方法来研究频率与机会。
过程与方法目标关于一些不确定事件,可运用实验的方法查找频率值,当频率值逐步稳固时,可用稳固的频率值估量机会的大小;当我们手边没有相应的实物作为工具进行实验,或用实物进行实验困难专门大时,就必须借助替代物或用运算器产生随机数进行模拟实验,不管用哪种模拟实验替代,都必须不阻碍实验结果。
情感态度与价值观目标通过本章小结与复习,培养学生的综合,归纳和创新能力,鼓舞学生合作交流,在合作交流的过程中体验学习数学的乐趣。
教学过程二、创设情形,导入新课我们差不多学完了这一章,这节课我们来共同回忆和小结这章要紧学了哪些内容。
二、师生互动,课堂研究㈠提出咨询题,引发讨论请同学们依照本章知识的发生、进展过程,共同讨论,将本章知识设计整理,并完成下面的结构图。
㈡导入知识,讲明疑难1.实验中查找规律是本章的基础,为了得到更可靠的估量值,能够依靠集体的力量,把大伙儿的实验数据累加起来,这不失为一种好方法。
在有条件的情形下,能够用现代技术,比如用运算器帮我们模拟实验,用运算机帮我们绘制折线图。
2.用概率估量机会的大小,得到的只是近似值。
实验的次数越大,概率值就越趋近于稳固,概率之间的差距就越容易接近于0,对那个估量值的把握就越大。
3.模拟实验的方法各种各样,但不论你选择了哪种方法,都必须保证实验在相同的条件下进行,否那么会使结果受阻碍。
4.通过本章运用实验的方法来研究频率与机会,培养了学生科学的学习态度,真实地记录实验数据,养成崇尚科学的良好品质。
5.例题讲解一个口袋有6个彩球,其中4个白的,2个黄的,从袋中取球2次,每次取1个,考虑两种情形:A.第一次取一球观看后放回袋中,第二次再取一球,这种情形叫做放回抽样;B.第一次取一球不放回袋中,第二次再取一球,这种情形叫做不放回抽样。
沪科版八年级数学上册15
4.通过对轴对称图形的学习,引导学生关注社会、关注生活,培养学生的社会责任感和公民素养。
总字数:1015字
二、学情分析
八年级学生在前期的数学学习过程中,已经掌握了基本的几何图形知识,具备了一定的空间想象能力和逻辑思维能力。在此基础上,学生对轴对称图形的学习将更为顺利。然而,学生在对轴对称图形的理解和运用上,仍存在一定的困难。一方面,对轴对称图形的定义和性质的理解需要进一步深化;另一方面,学生在解决实际问题时,可能会遇到将理论知识与实际问题相结合的挑战。因此,在教学过程中,教师应关注以下几点:
三、教学重难点和教学设想
(一)教学重难点
1.重点:轴对称图形的定义、性质及其在实际问题中的应用。
2.难点:
(1)理解轴对称图形的对称性质,并能运用性质解决相关问题。
(2)灵活运用轴对称图形的作图方法,绘制给定图形的轴对称图形。
(二)教学设想
1.创设情境,导入新课
通过展示生活中常见的轴对称现象,如剪纸、建筑等,激发学生的学习兴趣,引导学生发现轴对称图形的特点,从而引出本节课的主题。
4.拓展应用,巩固知识
(1)设计具有挑战性的题目,让学生运用轴对称图形的性质和作图方法,解决更复杂的问题。
(2)联系实际生活,让学生举例说明轴对称图形在生活中的应用,培养学生的数学应用意识。
5.课堂小结,反馈评价
组织学生总结本节课所学知识,分享学习心得。教师对学生的学习过程和成果进行评价,给予鼓励和指导。
6.课后作业,拓展延伸
(1)布置具有针对性的课后作业,巩固所学知识。
(2)鼓励学生探索轴对称图形在其他学科领域的应用,提高学生的综合素养。
推荐八年级数学上册第15章轴对称图形与等腰三角形小结与复习学案新版沪科版
第15章小结与复习【学习目标】1.通过巩固复习,对本章知识有整体认识;2.熟练应用与线段垂直平分线、角平分线、等腰三角形、等边三角形相关的性质与判定解决问题.【学习重点】掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质、等腰三角形的性质及应用.【学习难点】轴对称图形以及关于某条直线成轴对称的概念,等腰三角形的性质应用.行为提示:创设情境,引导学生探究新知.情景导入生成问题说明:引导学生回顾本章知识点,展示本章知识结构,使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系,教学时,边回顾边建立知识框图.行为提示:教会学生看书,自学时对于书中的问题一定要认真探究,书写答案.教会学生落实重点.学习笔记:行为提示:找出自己不明白的问题,先对学,再群学.充分在小组内展示自己,对照答案,提出疑惑,小组内讨论解决.小组解决不了的问题,写在各小组展示的黑板上,在小组展示的时候解决.积极发表自己的不同看法和解法,大胆质疑,认真倾听.做每一步运算时都要自觉地注意有理有据.自学互研生成能力知识模块一轴对称与轴对称图形阅读教材P148的内容,回答下列问题:典例1:下列几何图形中,①线段;②角;③直角三角形;④半圆;⑤平行四边形,其中一定是轴对称图形的有( C)A.1个B.2个C.3个D.4个典例2:图中,轴对称图形的个数是( A)A.4个B.3个C.2个D.1个典例3:点P(x,y)关于x轴对称的点的坐标是(x,-y),点P(x,y)关于y轴对称的点的坐标是(-x,y).知识模块二线段垂直平分线与角平分线的性质与判定典例:(黄冈中考)如图所示,AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,求证:DE=DF.证明:连接AD,∵AB=AC,AD=AD,BD=CD,∴△ADC≌△ADB(SSS),∴∠CAD=∠BAD,∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.知识模块三等腰三角形与等边三角形的性质与判定典例:已知:如图,在△ABC中,∠ACB为锐角其平分线交AB于点E,EF∥BC交AC于点F,交∠ACB的外角平分线于点G,试判断△EFC的形状,并说明你的理由.解:△EFC为等腰三角形.∵CE平分∠ACB,∴∠BCE=∠ACE,∵EF∥BC,∴∠FEC=∠BCE,∴∠FEC=∠ACE(等量代换),∴△EFC 为等腰三角形.交流展示生成新知1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上,并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论”展示在黑板上,通过交流“生成新知”.知识模块一轴对称与轴对称图形知识模块二线段垂直平分线与角平分线的性质与判定知识模块三等腰三角形与等边三角形的性质与判定检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书【课后检测】见学生用书课后反思查漏补缺1.收获:__________________________________________________________________2.存在困惑:________________________________________________________________________。
沪科版 初二八年级数学 上册第一学期(教学设计 教案)第15章 15.3 第3课时 直角三角形中30°角的性质定理2
15.3 等腰三角形第3课时直角三角形中30°角的性质定理教学目标(一)教学知识点1.探索──发现──猜想──证明直角三角形中有一个角为30°的性质.2.有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用.(二)能力训练要求1.经历“探索──发现──猜想──证明”的过程,•引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系.2.培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力.(三)情感与价值观要求教学重点1.鼓励学生积极参与数学活动,激发学生的好奇心和求知欲.2.体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性.含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明.教学难点1.含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明.2.引导学生全面、周到地思考问题.教学方法:探索发现法.教具准备两个全等的含30°角的三角尺;教学过程一、提出问题,创设情境我们学习过直角三角形,今天我们先来看一个特殊的直角三角形,看它具有什么性质.大家可能已猜到,我让大家准备好的含30°角的直角三角形,•它有什么不同于一般的直角三角形的性质呢?问题:用两个全等的含30°角的直角三角尺,你能拼出一个怎样的三角形?•能拼出一个等边三角形吗?说说你的理由.由此你能想到,在直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系?你能证明你的结论吗?二、导入新课(让学生经历拼摆三角尺的活动,发现结论,同时引导学生意识到,通过实际操作探索出来的结论,还需要给予证明)用含30°角的直角三角尺能摆出了如下两个三角形,你能说出这两个图形特征吗?同学们从不同的角度说明了自己拼成的图(1)是等边三角形.由此你能得出在直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边的关系吗?我们仅凭实际操作得出的结论还需证明,你能证明它吗?请根据图形写出已知、求证和证明过程。
八年级数学上册第15章轴对称图形与等腰三角形章末复习教案新版沪科版
第15章轴对称图形与等腰三角形【知识与技能】1.理解轴对称与轴对称图形的概念,掌握轴对称的性质.2.掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质及应用.3.理解等腰三角形的性质并能够简单应用.4.理解等边三角形的性质并能够简单应用.【过程与方法】初步体会从对称的角度欣赏设计简单的轴对称图案.【情感与态度】数形结合的思想及方程的思想都应引起广泛的重视和应用.【教学重点】重点是掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质、等腰三角形的性质及应用.【教学难点】难点是轴对称图形以及关于某条直线成轴对称的概念,等腰三角形的性质应用.一、知识框图,整体把握【教学说明】引导学生回顾本章知识点,展示本章知识框图,使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.教学时,边回顾边建立知识框图.二、典例精讲1.关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识例1(1)下列几何图形中,①线段②角③直角三角形④半圆,其中一定是轴对称图形的有(C)A.1个B.2个C.3个D.4个(2)图中,轴对称图形的个数是(A)A.4个B.3个C.2个D.1个2.轴对称变换及用坐标表示轴对称[关于坐标轴对称]点P(x,y)关于x轴对称的点的坐标是(x,-y)点P(x,y)关于y轴对称的点的坐标是(-x,y)例2已知:△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.(1)把△ABC向下平移2个单位长度得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1;(2)请画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2,并写出A2的坐标.【解】答案如图所示.3.作一个图形关于某条直线的轴对称图形(1)作出一些关键点或特殊点的对称点.(2)按原图形的连接方式连接所得到的对称点,即得到原图形的轴对称图形例3 如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BC=8,D为AB中点,P为BC上一动点,连接AP,DP,则AP+DP的最小值是 8 .4.线段垂直平分线的性质例4如图,在△ABC中,∠A=90°,BD为∠ABC的平分线,DE⊥BC,E是BC的中点,求∠C的度数.【解】在△ABC中,BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,∵DE⊥BC,而E是BC的中点,∴BE=CE,∴BD=CD,∴∠DBC=∠C,∴∠ABD=∠CBD=∠C,∵∠ABD+∠CBD+∠C=90°,∴∠ABD=∠CBD=∠C=30°.5.等腰三角形的特征和识别例5 已知:如图,△ABC中,∠ACB为锐角且平分线交AB于点E,EF∥BC交AC于点F,交∠ACB的外角平分线于点G.试判断△EFC的形状,并说明你的理由.【解】△EFC为等腰三角形,证明:∵CE平分∠ACB,∴∠BCE=∠ACE,∵EF∥BC,∴∠FEC=∠BCE,∠FEC=∠ACE(等量代换),∴△EFC为等腰三角形6.等边三角形的特征和识别例6:如图,D,E,F分别是等边△ABC各边上的点,FE⊥BC,DF⊥AC,ED⊥AB,垂足分别为点E,F,D,求证:△DEF为等边三角形.【解】∵△ABC为等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°,∵DF⊥AC,∴∠DFA=90°,∴∠ADF=30°,∵ED⊥AB,∴∠BDE=90°,∴∠FDE=180°-∠ADF-∠EDB=60°.同理可得:∠DFE=60°,∠DEF=60°,∴△DEF为等边三角形.例7:如图,已知:在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB的垂直平分线交AB于点E,交BC 于点F.求证:CF=2BF.【解】如图,连接AF,∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°,∵EF垂直平分AB,∴BF=AF,∴∠B=∠FAB=30°,∴∠FAC=∠BAC-∠FAB=90°,∴CF=2AF,∴CF=2BF.【教学说明】增加例题,巩固所学知识.三、知识巩固,变式训练1.以下图形有两条对称轴的是()A.正六边形B.长方形C.等腰三角形D.圆2.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,则∠A为______.3.等腰三角形的两边长分别为3cm,7cm,则它的周长为______cm.4.如图,在△ABC中,DE是边AC的垂直平分线,若BC=8cm,AB=10cm,则△EBC的周长为______cm(学生可以合作讨论,互帮互学)5.将一张长方形纸按如图所示的方式折叠,BC,BD为折痕,则∠CBD为()A.50°B.90°C.100°D.110°第5题图第6题图6.如图所示,是三个村庄,现要修建一个自来水厂,使得自来水厂到三个村庄的距离相等,请你作出自来水厂的位置7.如图,在直线上求作一点H,使点H到点A和点B的距离相等.8.四边形ABCD是正方形,△PAD是等边三角形,求∠BPC的度数.【参考答案】1.B 2.36° 3.17 4.18 5.B6.提示:连接AB,AC,BC,再分别作线段AB,AC,BC的垂直平分线,它们的交点即为自来水厂的位置.7.略.8.解:①若P点在正方形ABCD外部,如图(1)所示,∵△PAD为等边三角形,∴PA=PD=AD,∠APD=∠PAD=∠PDA=60°,∵四边形ABCD为正方形,∴AB=AD=BC=CD,∴PA=BA,则△PAB为等腰三角形,∴∠PBA=∠APB.又∵∠BAP=∠BAD+∠PAD=150°,∴∠PBA=∠APB=15°,同理可得∠CPD=15°,∵∠BPC=∠APD-∠BPA-∠CPD,∴∠BPC=30°.②若点P在正方形ABCD内部,如图(2)所示,∵△PAD为等边三角形∴PA=PD=AD,∠APD=∠PAD=∠PDA=60°,∵四边形ABCD为正方形,∴AB=AD=BC=CD,∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠CBA=90°,∴∠BAP=30°,PA=BA,∴△ABP为等腰三角形.∴∠ABP=∠APB=75°,∴∠PBC=15°.同理可得:∠PCB=15°,∴∠BPC=150°.四、师生互动,课堂小结1.关于轴对称的点,线段,图形的性质与作法.2.角平分线的性质.3.垂直平分线的性质.4.等腰三角形的性质与应用.5.等边三角形的性质与应用.1.课本第149~150页A组复习题第4、5、6、7、8、9题.2.完成练习册中相关复习课的练习.本节设计了“知识框图,整体把握——典例精讲——知识巩固变式训练——师生互动,课堂小结”四个环节,使学生理解轴对称与轴对称图形的概念,掌握轴对称的性质;掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质及应用;理解等腰三角形的性质并能够简单应用;理解等边三角形的性质并能够简单应用,初步体会从对称的角度欣赏设计简单的轴对称图案,数形结合的思想及方程的思想都应引起广泛的重视和应用.。
沪科版八年级上数学第15章《轴对称图形与等腰三角形》教学设计
沪科版八年级上数学第15章《轴对称图形与等腰三角形》教学设计一. 教材分析《轴对称图形与等腰三角形》是沪科版八年级上数学第15章的内容,本章主要让学生了解轴对称图形的概念,学会判断一个图形是否为轴对称图形,以及掌握等腰三角形的性质。
教材通过生活中的实例引入轴对称图形,让学生感受数学与生活的联系,培养学生的数学素养。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了七年级的数学知识,具备一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
但部分学生对实际生活中的几何图形认识不足,对轴对称图形和等腰三角形的概念理解可能存在困难。
因此,在教学过程中,要注重引导学生观察生活中的几何图形,激发学生的学习兴趣,帮助学生建立清晰的概念。
三. 教学目标1.理解轴对称图形的概念,学会判断一个图形是否为轴对称图形。
2.掌握等腰三角形的性质,能运用等腰三角形的性质解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力,提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.轴对称图形的概念及判断。
2.等腰三角形的性质及运用。
五. 教学方法1.情境教学法:通过生活中的实例,引导学生感受轴对称图形的存在,激发学生的学习兴趣。
2.互动教学法:引导学生观察、讨论、分析,培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.实践操作法:让学生动手操作,加深对轴对称图形和等腰三角形性质的理解。
4.归纳总结法:在教学过程中,引导学生总结轴对称图形和等腰三角形的性质,提高学生的表达能力。
六. 教学准备1.教学课件:制作精美的课件,展示生活中的轴对称图形和等腰三角形。
2.教学素材:准备一些实际的图形,如卡片、模型等,用于引导学生观察和操作。
3.教学设备:多媒体设备、投影仪等。
七. 教学过程1.导入(5分钟)利用课件展示一些生活中的轴对称图形,如剪刀、飞机模型等,引导学生观察并提问:“这些图形有什么特点?”让学生初步感知轴对称图形的存在。
2.呈现(10分钟)讲解轴对称图形的概念,引导学生了解轴对称图形的定义及特点。
最新沪科版八年级数学上册第15章轴对称图形与等腰三角形教案教学设计(10课时含教学反思)
第15章轴对称图形与等腰三角形15.1 轴对称图形 (1)第1课时轴对称图形 (1)第2课时轴对称 (3)第3课时平面直角坐标系中的轴对称 (7)15.2 线段的垂直平分线 (10)15.3 等腰三角形 (14)第1课时等腰三角形的性质 (14)第2课时等腰三角形的判定 (17)15.4 角的平分线 (19)第1课时角平分线的作法 (19)第2课时角平分线的性质 (23)第3课时角平分线的判定 (26)章末复习 (28)15.1 轴对称图形第1课时轴对称图形【知识与技能】了解两个图形轴对称的概念,能够识别简单的图形的轴对称,能理解轴对称图形、图形的轴对称的区别和联系,理解掌握线段的垂直平分线概念、性质.【过程与方法】通过观察、探索生活中图形的轴对称、两个图形轴对称现象,了解线段的垂直平分线的有关性质.【情感与态度】让学生通过观察、探索两个图形轴对称现象,以及线段与线段的垂直平分线的关系,培养学生合作及勇于探索的精神.【教学重点】重点是轴对称图形的性质.【教学难点】难点是轴对称图形与图形的轴对称的区别.一、复习1.什么是轴对称图形,举例说明?2.下面的几个图形是轴对称图形吗?如果是它的对称轴是什么?【教学说明】提出问题,引出新课.二、引入新课,合作交流1.观察下面的两个图形,看它们有什么特点?2.像这样把一个图形沿着某条直线对折后,如果它能与另一个图形重合,那么称这两个图形成轴对称,这条直线是对称轴,折叠后重合的点叫做对称点.3.一个轴对称图形,如果把它沿着对称轴分成两个图形,那么这两个图形关于这条轴对称.4.轴对称图形与两个图形的轴对称有什么区别、联系,举例说明.(1)轴对称图形是一个图形,两个图形关于这条轴对称,把一个轴对称图形,沿着对称轴分成两个图形,那么这两个图形关于这条轴对称.(2)轴对称图形是一种特殊的图形,而任意的一个图形都能找到另一个图形与它成轴对称.5.思考:如图△ABC与△A′B′C′,关于直线MN对称,A,B,C与A′,B′,C′是对称点.连接AA′,交MN于点O(1)直线MN与AA′有什么关系?(2)OA与OA′有什么关系?6.线段的垂直平分线:经过线段的中点并且垂直这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线,也叫线段的中垂线.7.分析得到:一般地,如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对称点所连接线段的垂直平分线,反过来如果两个图形各对对称点的连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线轴对称.三、例题讲解,巩固新知1.课本第122页练习第1、2题.2.如图,直角坐标系中的五角星关于y轴对称的图形在( A )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限四、师生互动,课堂小结1.什么是两个图形关于这条轴对称;2.轴对称现象与线段的垂直平分线的关系;1.课本第122页练习第3、4题.2.完成练习册中的相应作业.本节设计了“复习——引入新课,合作交流——运用新知,深化理解——师生互动,课堂小结”五个环节,使学生了解两个图形轴对称的概念,能够识别简单的两个图形的轴对称,能理解轴对称图形、图形的轴对称的区别和联系,理解掌握线段的垂直平分线概念、性质,培养学生合作及勇于探索的精神.第2课时轴对称【知识与技能】了解轴对称图形的概念,能够识别简单的轴对称图形,正确找出对称轴.【过程与方法】通过观察生活中的轴对称图形、探索轴对称现象,以及亲身经历的数学学习活动,让学生充分感受到理论来源于实践,又在实践中广泛运用这一道理.【情感与态度】通过对生活实物和相应图片的观察、欣赏,感受到数学与现实生活的密切联系,陶冶情操,渗透美感.【教学重点】重点是认识生活中的轴对称图形,了解轴对称的概念.【教学难点】难点是寻找对称轴.一、创设情境,导入课题请同学们先欣赏一组优美的建筑图片,并仔细观察图片中建筑物的左右结构有什么共同点?它们的左边和右边的结构都是一样的,即对称的.对,今天我们就一起来研究图形的对称性.二、观察归纳,探究概念其实,自然界中有很多物体的平面图形都具有对称性.比如千姿百态的蝴蝶、晶莹剔透的雪花、火红火红的枫叶等,都给人以对称的形象,同时带给人们美的享受.事实上,不论是在自然界中还是在建筑中,不论是在艺术中还是在科学中,对称的形式随处可见,对称具有和谐美.下面让我们一起走进生活,去感受一下轴对称图形的美丽吧.放映图片.请同学们在欣赏这些美丽图形时,思考这样一个问题:你能用自己的语言来描述这些图形是怎样对称的吗?下面我们以蝴蝶的图案为例,在它的身体正中间画一条直线L,以直线L为折痕,将图案折叠,图中直线一侧部分与另一侧的部分能够完全重合.像这样,如果一个图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.注意:1.画对称轴一般用虚线.2.轴对称图形的对称轴两旁的部分是全等的,即所有对应元素都是相等的,而且位置也是对应的;三、例题讲解,巩固新知例1下面图案都是轴对称图形吗?你能画出它们的对称轴吗讲解(略)例2下列图形中,哪些是轴对称图形?(1)角;(2)一般三角形;(3)等腰三角形;(4)长方形;(5)正方形;(6)圆.解:图形(1)、(3)、(4)、(5)、(6)都是轴对称图形,对称轴略.【教学说明】理解轴对称的概念,认识轴对称图形.四、运用新知,深化理解1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中,是轴对称图形的是()2.下列四个图形:其中是轴对称图形,且对称轴的条数为2的图形的个数是()A.1B.2C.3D.43.下列图案是我国几家银行的标志,哪几个标志是轴对称图形?请你画出它们的对称轴.4.图中(1)至(10)都是对称图形,请观察并指出哪些是轴对称图形,哪些图形成轴对称.通过前面的讲解和练习,请同学们思考:要判断一个图形是否是轴对称图形,关键是什么?【参考答案】1.A 2.C3.解:图(1)、(3)、(4)是轴对称图形,对称轴(略).4.略五、师生互动,课堂小结谈一谈:通过本节课的学习你有了哪些收获?1.课本第120页练习第1、2题.2.完成练习册中的相应作业.本节设计了“创设情境,导入课题——观察归纳,探究概念——例题讲解,巩固新知——运用新知,深化理解——师生互动,课堂小结”五个环节,使学生了解轴对称图形的概念,能够识别简单的轴对称图形,正确找出对称轴,。
八年级数学上册 第15章 轴对称图形与等腰三角形(等腰三角形性质)说课稿 (新版)沪科版-(新版)沪
《等腰三角形》一、说教材分析:1.教材内容:本课是等腰三角形,本课内容在初中数学教学中起着比较重要的作用。
通过等腰三角形的特征反映在一个三角形中等边对等角关系,并且对轴对称图形特征的直观反映(三线合一),对以后直角三角形和相似三角形学习起到相当重要的作用。
2、教学目标:(1)认知目标:要求学生掌握等腰三角形的特征和三线合一的特征,使学生会用等腰三角形的特征进行证明或计算,逐步渗透几何证题的基本方法:分析法和综合法;(2)能力目标:培养观察能力、分析能力、联想能力、表达能力;使学生初步学会分析几何证明题的思路,从而提高学生的逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力;(3)情感目标:通过亲自动手,发现“等腰三角形两底角相等”和“三线合一”特征,对学生进行数学美育教育。
3、教学重难点:(1)教学重点:等腰三角形两底角相等的特征是本课的重点。
(2)教学难点:等腰三角形“三线合一”特征的运用是本课的难点。
4、教具准备:为了使学生了解这堂课,本节课要求学生自制若干个不同等腰三角形和一般性三角形纸片模型。
二、说教学方法:由于八年级学生的理解能力和思维特征,他们往往需要依赖直观具体形象的图形的年龄特点,以及八年级学生刚刚学习轴对称图形,对轴对称图形的分析相对比较好,再加上八年级学生思维的感官性,所以本课由学生通过翻折等腰三角形纸片去发现等腰三角形的两个特征,也为使课堂生动、有趣、高效,特将整节课以观察、思考、讨论贯穿于整个教学环节之中,我通过实验观察,采用教具直观教学法,启发式教学法和师生互动式教学模式进行教学。
教学过程中注意师生之间的情感交流,培养学生“多观察、动脑想、大胆猜、勤钻研”的研讨式学习模式,培养学生的数形结合的思想。
对于等腰三角形的“两底角相等”和“三线合一”这两个特征,通过让学生动手操作,让学生翻折不同的等腰三角形,如顶角是锐角、钝角或直角的等腰三角形,以及一般三角形的模版,从而让学生逐步通过等腰三角形的轴对称变换探索出相关的特征。
沪科版数学八年级上册15.3等腰三角形判定定理及其应用说课稿
3.培养学生的空间观念和审美观念,提高学生对几何美的鉴赏能力。
(三)教学重难点
根据对学生的了解和教学内容的分析,本节课的教学重点和难点如下:
教学重点:
1.等腰三角形的定义、性质及判定定理。
2.运用等腰三角形的判定定理判断三角形是否为等腰三角形。
3.运用等腰三角形的性质解决实际问题。
3.课堂展示:鼓励学生将自己的发现和证明过程展示给全班同学,提高学生的表达能力和自信心。
4.评价与反思:引导学生进行自我评价和同伴评价,反思学习过程中的优点和不足,促进学生的持续进步。
四、教学过程设计
(一)导入新课
为了快速吸引学生的注意力和兴趣,我将采用以下方式导入新课:
1.创设情境:展示生活中常见的等腰三角形实物图片,如等腰三角形的屋顶、风筝等,引导学生观察并思考这些图形的特点。
(五)作业布置
课后作业布置如下:
1.巩固练习题:设计一定数量的练习题,旨在帮助学生巩固等腰三角形的判定定理及性质。
2.探究性问题:布置一道与等腰三角形相关的探究性问题,引导学生深入思考,培养其几何思维。
3.作业目的:通过课后作业,让学生自主巩固所学知识,提高问题解决能力,培养几何思维和自主学习能力。同时,为下节课的学习做好铺垫。
3.使用不同颜色粉笔区分重点、难点和辅助信息,增强可读性。
(二)教学反思
在教学过程中,我预见到以下问题或挑战:
1.学生在理解判定定理的证明过程中可能遇到困难活运用。
3.课堂时间有限,可能无法充分满足所有学生的个性化需求。
为应对这些问题,我将:
1.提供多个角度的解释和示例,帮助学生理解定理的证明。
本节课的主要知识点包括:
沪科版八年级上数学第15章《轴对称图形与等腰三角形》教学设计
沪科版八年级上数学第15章《轴对称图形与等腰三角形》教学设计一. 教材分析本章主要内容是轴对称图形与等腰三角形。
学生通过学习本章内容,了解了轴对称图形的概念,学会寻找轴对称图形的对称轴,并能够运用轴对称的性质解决一些实际问题。
同时,学生还能够理解等腰三角形的性质,并能应用等腰三角形的性质解决一些几何问题。
二. 学情分析学生在学习本章内容之前,已经学习了平面几何的基本知识,对图形的性质和判定有一定的了解。
但部分学生对于抽象的数学概念和几何图形的理解还有待提高。
因此,在教学过程中,需要教师引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动,加深对概念的理解,提高空间想象能力。
三. 教学目标1.知识与技能:学生能够理解轴对称图形的概念,找出常见图形的对称轴,了解等腰三角形的性质,并能运用这些性质解决一些实际问题。
2.过程与方法:学生通过观察、操作、思考、交流等活动,培养空间想象能力和几何思维能力。
3.情感态度与价值观:学生能够积极参与数学学习,体验成功解决问题的喜悦,提高学习数学的兴趣。
四. 教学重难点1.重点:轴对称图形的概念,等腰三角形的性质。
2.难点:寻找轴对称图形的对称轴,运用轴对称和等腰三角形的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.引导发现法:教师引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动,发现轴对称图形的性质和等腰三角形的性质。
2.案例分析法:教师通过典型例题,引导学生运用轴对称和等腰三角形的性质解决问题。
3.小组合作学习:学生分组讨论,共同完成任务,培养团队协作能力。
六. 教学准备1.教学课件:制作精美的课件,帮助学生直观地理解轴对称图形和等腰三角形的性质。
2.教学素材:准备一些关于轴对称图形和等腰三角形的图片和例题,用于引导学生观察和分析。
3.学具:为学生准备一些几何图形,如三角形、正方形等,方便学生操作和观察。
七. 教学过程1.导入(5分钟)教师通过展示一些生活中的轴对称图形,如剪刀、飞机等,引导学生观察并思考:这些图形有什么共同的特点?学生通过观察,发现这些图形都有一条对称轴,使得图形两部分完全重合。
【沪科版】八年级上册数学第15章 小结与复习PPT课件
一个图形完全重合,那么这两个图关于这条直线成轴对
称. 这条直线叫做对称轴.
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2
3.轴对称图形和轴对称的区别与联系 轴对称图形
A
轴对称
A'
图形
B
A
C
B
C
C'
B'
区别
(1)轴对称图形是指( 一个 ) 具 有特殊形状的图形, 只对( 一个 ) 图形而言; (2)对称轴(不一定) 只有一条 如果把轴对称图形沿对称轴 分成两部分,那么这两个图形 就关于这条直线成轴对称.
=PB;
②若PA=PB,EA=EB,则直线PE垂直平分线段AB; ③若PA=PB,则点P必是线段AB的垂直平分线上的点; ④若EA=EB,则经过点E的直线垂直平分线段AB. 其中正确的有 ①②③ (填序号).
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考点三 等腰(等边)三角形的性质与判定
例3 如图所示,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于D.求证:
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针对训练
1.下面的图形是轴对称图形吗?如果是,你能指出它的对 称轴吗?
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2.如图所示,作出△ABC关于直线x=1的对称图形.
A B
C
y x=1
A′ B′
C′
O
x
解:△A ′ B ′ C ′ 就是所求作的图形.
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考点二 线段的垂直平分线
例2 如图,AD是BC的垂直平分线,点C 在AE 的垂直平分 线上,AB,AC,CE 的长度有什么关系?AB+BD与DE 有什 么关系? 【分析】运用线段的垂直平分线的性质进行线段之间的转化即可.
HK沪科版 初二八年级数学 上册第一学期(教学设计 教案)第15章 15.3 第1课时 等腰三角形的性质定理及推论1
15.3 等腰三角形第1课时 等腰三角形的性质定理及推论1.了解等腰三角形的性质,掌握等腰三角形的性质定理及推论,会用定理及推论解决简单问题;(重点)2.进一步培养学生分析问题、解决问题的能力,渗透转化思想;3.培养学生探究思维、逻辑推理能力以及如何规范证明题书写格式等学习方法.(难点)一、情境导入如图,墙上钉了一根木条,小明想检验这根木条是否水平,他拿来一个测平仪,在这个测平仪中,AB =AC ,BC 边的中点D 处挂了一个重锤,小明将BC 边与木条重合,观察此时重锤是否过A 点,如果过A 点,那么这根木条就是水平的,你能说明其中的道理吗?二、合作探究探究点一:等边对等角【类型一】利用等边对等角求角度等腰三角形的一个内角是50°,则这个三角形的底角的大小是( )A .65°或50° B.80°或40°C .65°或80°D .50°或80°解析:当50°的角是底角时,三角形的底角就是50°;当50°的角是顶角时,两底角相等,根据三角形的内角和定理易得底角是65°.故选A.方法总结:等腰三角形的两个底角相等,已知一个内角,则这个角可能是底角也可能是顶角,要分两种情况讨论.【类型二】利用方程思想求等腰三角形中角的度数如图,△ABC 中,AB =AC ,∠A =36°,BD 是AC 边上的高,则∠DBC的度数是( )A.18°B.24°C.30°D.36°解析:根据等腰三角形“等边对等角”的性质,求出∠C,再在△BCD中可求出∠DBC 的度数.在△ABC中,∵AB=AC,∴∠C=∠ABC.设∠C=∠ABC=x°,∵∠A=36°,∴x+x+36=180,解得x=72,∴∠C=72°.∵BD是AC边上的高,∴∠BDC=90°.在△BDC中,∠DBC=180°-90°-72°=18°.故选A.方法总结:关于三角形内角度数的计算问题,可以把其中的某个角设为未知数,并把另外两个角用这个未知数的代数式(或已知数据)表示,然后根据三角形内角和定理建立方程可以求解.探究点二:等腰三角形“三线合一”如图,在△ABC中,AB=AC=10cm,BC=12cm,S△ABC=48cm2,点D为BC的中点,DE⊥AC于点E,则DE等于()A.5cmB.4.8cmC.2.4cmD.2cm解析:利用等腰三角形“三线合一”的性质,连接AD,根据D为BC的中点可以得到CD =12BC=6,AD⊥BC.又S△ABC=12·AD·BC=48cm2,BC=12cm,可得AD=8cm.因为DE⊥AC,因此S△ADC=12AD·CD=12AC·DE,即AD·CD=AC·DE,从而可得DE=4.8cm.故选B.方法总结:本题主要考察等腰三角形的有关性质和三角形的面积计算公式;在等腰三角形中,“三线合一”是常作的辅助线,作出辅助线后容易找出解决问题的突破口.探究点三:等边三角形的性质如图,已知△ABC是等边三角形,点B、C、D、E在同一直线上,且CG=CD,DF =DE,则∠E=________度.解析:根据等边三角形的性质得出∠ACB=60°,根据CG=CD可得出∠CDF的度数,再根据DF=DE,最后即可得出∠E=15°.∵△ABC 为等边三角形,∴∠ACB=60°,∵CG=CD,∴∠CDG=30°,∵DE=DF,∴∠E=15°.故答案为15.方法总结:等边三角形的每一个内角都等于60°;等腰三角形的两个底角相等;三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.在本题中,这三个定理得到了很好的诠释.在等边三角形或等腰三角形中欲求角的度数,与等边三角形以及等腰三角形中角的特点是分不开的.三、板书设计等腰三角形⎩⎪⎨⎪⎧等腰三角形的性质⎩⎪⎨⎪⎧等边对等角(等腰三角形的两底角相等)“三线合一”(等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合)等边三角形的性质:等边三角形三个内角相等,每个内角都等于60°.本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法,从而有效地增强了学生的感性认识,提高了学生对新知识的理解与感悟,因而本节课的教学效果较好,学生对所学的新知识掌握较好,达到了教学的目的.不足之处是少数学生对等腰三角形的“三线合一”性质理解不透彻,还需要在今后的教学和作业中进一步巩固和提高.。
沪科版八年级数学上学期15.1全等三角形 教学设计
15.1全等三角形肥西县上派初级中学孔德飞教学内容:沪科版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册第十五章《全等三角形》第15.1节《全等三角形》内容分析:本节课是“全等三角形”的开篇,是全等三角形全等条件的基础,也是进一步学习其它图形的基础之一。
本章是在学过了线段、角、相交线、平行线以及三角形的有关知识以及在七年级教材中的一些简单的说理内容之后来学习,为本节课的学习奠定了基础。
本节课主要介绍全等三角形的概念和性质,通过对生活中的全等图形和抽象几何图形的观察,使学生对全等图形有一个感性的认识,为后面学习判定两个全等三角形的全等奠定了基础,起了一个承上启下的作用。
教学目标一、知识与技能1、了解全等形和全等三角形的概念,掌握全等三角形的性质。
2、能正确表示两个全等三角形,能找出全等三角形的对应元素。
二、过程与方法经历探索全等三角形的概念和性质的过程中,逐步培养学生的识图能力。
三、情感态度与价值观认识和熟悉生活中的全等图形,认识生活和数学的关系,激发学生学习数学的兴趣。
教学重点:全等三角形的概念和性质。
教学难点:正确寻找全等三角形的对应元素教学方法:学、议、教、练教具准备:多媒体课件纸片剪子教学手段:多媒体课件课时安排:1课时教学过程设计一、学一学。
情境:有一天,小明在打篮球时,不小心,把教室的窗户玻璃打坏了一角,形状近似一个三角形,那么,打下的玻璃与窗户上留的缺口有什么特点?掉下的三角形玻璃的三条边、三个角与窗户的缺口的三边长、三个角之间分别又有什么关系?你如何帮小明放置掉下的玻璃才能刚好填补缺口?同学们想要帮助小明来解决这个问题,那么我们就一起来学习第15章《全等三角形》(板书课题)学习目标:1.什么是全等形?什么是全等三角形?2.全等三角形如何表示?书写时应注意些什么?3.什么是对边和对应边?两者的区别是什么?4.全等三角形具备什么性质?5.如何寻找全等形的对应边和对应角?二、教一教思考:1.通过观察,你有什么发现?学生分组交流讨论,师生共同归纳:能完全重合,也即形状相同,大小相等。
八年级数学上册第15章轴对称图形和等腰三角形15.2线段的垂直平分线教案新版沪科版word版本
15. 2线段的垂直均分线◇教课目的◇【知识与技术】1.要修业生掌握线段垂直均分线的性质定理及其抗命题, 能够利用这两个定理解决问题;2.能够证明线段垂直均分线的性质定理及其抗命题.【过程与方法】在研究过程中, 加强协作沟通, 进一步发展学生的推理证明意识和能力.【感情、态度与价值观】经过研究、猜想、证明的过程, 进一步拓展学生的推理证明的意识和能力.◇教课重难点◇【教课要点】线段垂直均分线的性质定理及其逆定理.【教课难点】线段垂直均分线的性质定理及其逆定理的内涵和证明.◇教课过程◇一、情境导入什么是线段的垂直均分线?二、合作研究( 一 ) 用尺规作线段的垂直均分线已知 : 线段AB.求作 : 线段AB的垂直均分线.作法 :(1) 分别以点A, B 为圆心,大于 AB长为半径画弧,两弧订交于点E, F.(2)过点 E, F作直线 .则直线 EF就是线段 AB的垂直均分线 .说明 : 由于直线EF与线段 AB的交点就是AB的中点,因此我们也用这类方法作线段的中点 .( 二 ) 线段的垂直均分线的性质把准备好的方方正正的纸取出来, 依据如图进行对折, 并比较对折以后的折痕EB和EB', FB和 FB'的关系 .结果 : EB'=EB, FB'=FB.【概括总结】定理: 线段垂直均分线上的点到线段两头的距离相等.( 三 ) 线段的垂直均分线的判断先找到原命题的条件和结论, 把命题写成“假如那么”的形式它的抗命题 , 最后再对命题的形式进行整理. 得出线段的垂直均分线的判断定理, 而后再写出.【概括总结】定理: 到线段两头距离相等的点在线段的垂直均分线上.( 四 ) 两个定理的应用典例已知 : 如图 , △ABC的边AB, AC的垂直均分线订交于点P.求证 : 点P在BC的垂直均分线上.[ 分析 ]连结PA,PB,PC.∵点 P 在 AB, AC的垂直均分线上,( 已知 )∴PA=PB,PA=PC(. 线段垂直均分线上的点到线段两头的距离相等)∴PB=PC(. 等量代换)∴点 P 在 BC的垂直均分线上. (到线段两头距离相等的点在线段的垂直均分线上)【概括总结】三角形三边的垂直均分线订交于一点, 这点到三角形三个极点的距离相等.三、板书设计线段的垂直均分线1.线段垂直均分线上的点到线段两头的距离相等.2.到线段两头距离相等的点在线段的垂直均分线上.◇教课反省◇由垂直均分线的作图过程可获得线段垂直均分线的性质定理 , 随后率领学生对这个定理进行严格的证明 , 让学生自己思虑怎么写已知、 求证 . 而后让学生说出这个命题的抗命题 , 并证明它是真命题 , 并把这个命题作为定理熟记 , 锻炼了学生的逻辑推理能力 , 培育了学生 求真求实的精神 .教课设计二(备用)◇教课目的◇【知识与技术】1. 理解线段垂直均分线的性质定理及其抗命题 , 能够利用这两个定理解决一些问题;2. 能够证明线段垂直均分线的性质定理及其抗命题.【过程与方法】在研究过程中 , 加强协作沟通 , 进一步发展学生的推理证明的意识和能力.【感情、态度与价值观】经过研究、猜想、证明的过程 , 进一步拓展学生的推理证明的意识和能力.◇教课重难点◇【教课要点】线段垂直均分线的性质定理及其逆定理.【教课难点】线段垂直均分线的性质定理及其逆定理的内涵和证明.◇教课过程◇一、情境导入什么是线段的垂直均分线?二、合作研究( 一 ) 线段垂直均分线的性质定理 问题 1: 如何作出线段的垂直均分线?方法一 : 经过白纸能够作出线段的垂直均分线. 在一张半透明的纸上, 画一条线段AA',折叠使点 A 与点 A' 重合 , 获得的折痕 方法二 : 用尺规作图 , 作出线段 l 所在的直线就是线段AB 的垂直均分线 .AA'的垂直均分线.作法 :(1) 分别以点 A , B 为圆心 , 大于 AB 长为半径画弧 , 交于点 E , F.(2) 过点 E , F 作直线 .则直线 EF 就是线段 AB 的垂直均分线 .问题 2: 为何这样作出的直线 , 就是线段 AB 的垂直均分线呢 ?设所作直线交线EFEF段 AB 于点 O.(1)连结 AE, BE, AF, BF,结构△ AEF和△ BEF.等), 由作法知△ AEF≌△ BEF( SSS),既而可证△ AEO≌△ BEO(SAS),AO=BO(全等三角形的对应边相等因此∠ AEO=∠BEO(全等三角形的对应角相等) .因此∠ AOE=∠BOE=90°(全等三角形的对应角相), 因此EF⊥AB, EF均分AB.(2) 由于直线EF与线段 AB的交点就是AB的中点,因此我们也用这类方法作线段的中点.问题 3: 如图MN是线段AB的垂直均分线, 点P在MN上, 则PA, PB有什么数目关系?a. 规范写出证明过程(略) .b. 用文字语言总结出线段垂直均分线的性质定理.【概括总结】定理 : 线段垂直均分线上的点到线段两头的距离相等.( 二 ) 线段垂直均分线性质定理的逆定理问题 4: 写出上边定理的抗命题.它是真命题吗 ?给出证明.说明 :(1) 抗命题 : 到线段两头距离相等的点在线段的垂直均分线上.(2) 联合命题画出图形 , 写出已知、求证.已知 : 如图 , PA=PB,点P在直线MN上,求证 : MN⊥AB, MN均分AB( OA=OB).证明略 .(3) 总结得线段垂直均分线逆定理.【概括总结】定理: 到线段两头距离相等的点在线段的垂直均分线上.( 三 ) 两个定理的应用典例已知 : 如图 , △ABC的边AB, AC的垂直均分线订交于点P.求证 : 点P在BC的垂直均分线上.[ 分析 ]连结PA,PB,PC,∵点 P 在 AB, AC的垂直均分线上,( 已知 )∴PA=PB,PA=PC(. 线段垂直均分线上的点到线段两头的距离相等)∴PB=PC(. 等量代换)∴点 P 在 BC的垂直均分线上. (到线段两头距离相等的点在线段的垂直均分线上)【概括总结】三角形三边的垂直均分线订交于一点, 这点到三角形三个极点的距离相等.三、板书设计线段的垂直均分线线段垂直均分线上的点到线段两头的距离相等.到线段两头距离相等的点在线段的垂直均分线上.◇教课反省◇本节课先复习线段垂直均分线的观点索为何用这类方法画出的就是垂直均分线倍的成效 . , 而后用尺规作图画出垂直均分线 ,能够激发学生学习数学的兴趣, 并让学生思, 达到事半功。
HK沪科版 初二八年级数学 上册第一学期(教学设计 教案)第15章 15.3 第1课时 等腰三角形的性质定理及推论1
15.3 等腰三角形第1课时 等腰三角形的性质定理及推论1.了解等腰三角形的性质,掌握等腰三角形的性质定理及推论,会用定理及推论解决简单问题;(重点)2.进一步培养学生分析问题、解决问题的能力,渗透转化思想;3.培养学生探究思维、逻辑推理能力以及如何规范证明题书写格式等学习方法.(难点)一、情境导入如图,墙上钉了一根木条,小明想检验这根木条是否水平,他拿来一个测平仪,在这个测平仪中,AB =AC ,BC 边的中点D 处挂了一个重锤,小明将BC 边与木条重合,观察此时重锤是否过A 点,如果过A 点,那么这根木条就是水平的,你能说明其中的道理吗?二、合作探究探究点一:等边对等角【类型一】利用等边对等角求角度等腰三角形的一个内角是50°,则这个三角形的底角的大小是( )A .65°或50° B.80°或40°C .65°或80°D .50°或80°解析:当50°的角是底角时,三角形的底角就是50°;当50°的角是顶角时,两底角相等,根据三角形的内角和定理易得底角是65°.故选A.方法总结:等腰三角形的两个底角相等,已知一个内角,则这个角可能是底角也可能是顶角,要分两种情况讨论.【类型二】利用方程思想求等腰三角形中角的度数如图,△ABC 中,AB =AC ,∠A =36°,BD 是AC 边上的高,则∠DBC的度数是( )A.18°B.24°C.30°D.36°解析:根据等腰三角形“等边对等角”的性质,求出∠C,再在△BCD中可求出∠DBC 的度数.在△ABC中,∵AB=AC,∴∠C=∠ABC.设∠C=∠ABC=x°,∵∠A=36°,∴x+x+36=180,解得x=72,∴∠C=72°.∵BD是AC边上的高,∴∠BDC=90°.在△BDC中,∠DBC=180°-90°-72°=18°.故选A.方法总结:关于三角形内角度数的计算问题,可以把其中的某个角设为未知数,并把另外两个角用这个未知数的代数式(或已知数据)表示,然后根据三角形内角和定理建立方程可以求解.探究点二:等腰三角形“三线合一”如图,在△ABC中,AB=AC=10cm,BC=12cm,S△ABC=48cm2,点D为BC的中点,DE⊥AC于点E,则DE等于()A.5cmB.4.8cmC.2.4cmD.2cm解析:利用等腰三角形“三线合一”的性质,连接AD,根据D为BC的中点可以得到CD =12BC=6,AD⊥BC.又S△ABC=12·AD·BC=48cm2,BC=12cm,可得AD=8cm.因为DE⊥AC,因此S△ADC=12AD·CD=12AC·DE,即AD·CD=AC·DE,从而可得DE=4.8cm.故选B.方法总结:本题主要考察等腰三角形的有关性质和三角形的面积计算公式;在等腰三角形中,“三线合一”是常作的辅助线,作出辅助线后容易找出解决问题的突破口.探究点三:等边三角形的性质如图,已知△ABC是等边三角形,点B、C、D、E在同一直线上,且CG=CD,DF =DE,则∠E=________度.解析:根据等边三角形的性质得出∠ACB=60°,根据CG=CD可得出∠CDF的度数,再根据DF=DE,最后即可得出∠E=15°.∵△ABC 为等边三角形,∴∠ACB=60°,∵CG=CD,∴∠CDG=30°,∵DE=DF,∴∠E=15°.故答案为15.方法总结:等边三角形的每一个内角都等于60°;等腰三角形的两个底角相等;三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.在本题中,这三个定理得到了很好的诠释.在等边三角形或等腰三角形中欲求角的度数,与等边三角形以及等腰三角形中角的特点是分不开的.三、板书设计等腰三角形⎩⎪⎨⎪⎧等腰三角形的性质⎩⎪⎨⎪⎧等边对等角(等腰三角形的两底角相等)“三线合一”(等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合)等边三角形的性质:等边三角形三个内角相等,每个内角都等于60°.本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法,从而有效地增强了学生的感性认识,提高了学生对新知识的理解与感悟,因而本节课的教学效果较好,学生对所学的新知识掌握较好,达到了教学的目的.不足之处是少数学生对等腰三角形的“三线合一”性质理解不透彻,还需要在今后的教学和作业中进一步巩固和提高.。
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第15章小结与复习
【学习目标】
1.通过巩固复习,对本章知识有整体认识;
2.熟练应用与线段垂直平分线、角平分线、等腰三角形、等边三角形相关的性质与判定解决问题.
【学习重点】
掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质、等腰三角形的性质及应用.【学习难点】
轴对称图形以及关于某条直线成轴对称的概念,等腰三角形的性质应用
.
行为提示:
创设情境,引导学生探究新知.
情景导入生成问题
说明:
引导学生回顾本章知识点,展示本章知识结构,使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系,教学时,边回顾边建立知识框图.
行为提示:
教会学生看书,自学时对于书中的问题一定要认真探究,书写答案.
教会学生落实重点.
学习笔记:
行为提示:
找出自己不明白的问题,先对学,再群学.充分在小组内展示自己,对照答案,提出疑惑,小组内讨论解决.小组解决不了的问题,写在各小组展示的黑板上,在小组展示的时候解决.
积极发表自己的不同看法和解法,大胆质疑,认真倾听.做每一步运算时都要自觉地注意有理有据.自学互研生成能力
知识模块一轴对称与轴对称图形
的内容,回答下列问题:
阅读教材P
148
典例1:下列几何图形中,①线段;②角;③直角三角形;④半圆;⑤平行四边形,其中一定是轴对称图形的有( C)
A.1个B.2个C.3个D.4个
典例2:图中,轴对称图形的个数是( A)
A.4个B.3个C.2个D.1个
典例3:点P(x,y)关于x轴对称的点的坐标是(x,-y),点P(x,y)关于y轴对称的点的坐标是(-x,y).
知识模块二线段垂直平分线与角平分线的性质与判定
典例:(黄冈中考)
如图所示,AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,求证:DE=DF.
证明:连接AD,∵AB=AC,AD=AD,BD=CD,
∴△ADC≌△ADB(SSS),∴∠CAD=∠BAD,
∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.
知识模块三等腰三角形与等边三角形的性质与判定
典例:
已知:如图,在△ABC中,∠ACB为锐角其平分线交AB于点E,EF∥BC交AC于点F,交∠ACB的外角平分线于点G,试判断△EFC的形状,并说明你的理由.
解:△EFC为等腰三角形.
∵CE平分∠ACB,∴∠BCE=∠ACE,∵EF∥BC,∴∠FEC=∠BCE,∴∠FEC =∠ACE(等量代换),∴△EFC为等腰三角形.
交流展示生成新知
1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示
在各小组的小黑板上,并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.
2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论”展示在黑板上,通过交流“生成新知”.
知识模块一轴对称与轴对称图形
知识模块二线段垂直平分线与角平分线的性质与判定
知识模块三等腰三角形与等边三角形的性质与判定
检测反馈达成目标
【当堂检测】见所赠光盘和学生用书
【课后检测】见学生用书
课后反思查漏补缺
1.收获:
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2.存在困惑:
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