研究性学习(28)数列中的数阵问题研究
数列中的数阵问题
３ ４
１１
５ ８ １ １ ４ ７ ９ １ １ … ３ ８
…
…
１ １ ０ ２ …
３
９
５
１ １
７
１ ３ １ ５ １ ７ ４３ ４５ ４７
１ ２ ９ １
２ ２ ２ ２ ３ ３ ５ ７ ９ １
３３ ３ ３ ３ ４】 ５ ７ ９
在 这 样 的 排列 下 。 字 ３ 在 第 ２ 第 １ ．３ 在 第３ 第 数 排 行 列 １排 行 ３ ， ：９ ３ 在 第 几 行 第 几 列 ？ 列 问 １９ ￣ 分 析 与解 答 ： 不 难 看 出 ， 表 的 排 列 规 律 如箭 头 所 指 ， 见 下 图 １ 数 （ ）
１
解 ： ０ ４ 正 偶 数 列 中 第 １０ 项 ， 一 行 四项 ， 排 在 由２ ０ 是 ０２ 每 故 第２１ ５ 行第 二 个 ． 第 ２ １ 是 从 左 向 右 且 从 第 二 行 开 始 排 ， 又 ５行 故 ２０在第２１ 第３ ． ０４ ５行 列 例 ３ 自然 数 作 如 下 排 列 ： ． 将
图１
图２
为 了 研 究 方 便 ， 们 不 妨 把 原 图顺 时 针 转 动４ 。 就 成 为 我 ５， 了三角阵（ 图２。 如 ） 在三角阵 中 ， １ １ 数 ， 行２ 数 ， 第ｎ 就有ｎ 第 行 个 第２ 个 … 行 个 数 ， １９ 在 三 角 阵 中的 第ｎ ， 设 ９３ 行
数
列 中 的
数
阵
问
题
屠 海 权
（ 州 市 第 五 十 一 中 学 ， 肃 兰州 ７ ０ ０ ） 兰 甘 ３０ ０ 数 列 是 高 中 数 学 中 的重 要 内容 ．也 是 近 年 高 考 中 的 热 点 内容 ，其 主 要 考 查 内容 是 等 差 数 列 与等 比数 列 的 通 项 公 式 与 数 列 求 和 问 题 。近 年 来 ， 考 中 出 现 了 一 些 “ 阵 ” 的 题 目 高 数 型 （ 谓 “ 阵 问 题 ” 指 将 某 些 数 ， 一 定 的规 律 排 成 若 干 行 和 所 数 是 按 列 ， 成 图表 ） 因其 直 观 、 颖 ， 较 好 地 考 查 学 生 的观 察 、 形 ， 新 能 分 析 、 想 、 纳 能 力 而深 受 命 题 者 的 青 睐 ， 多 次 出现 在 高 考 猜 归 并 试题中 ， 面我们举例说明 。 下 例 １ 所 有 奇 数 排 列 成 下 面 的数 表 ： ． 把
数阵图与数字谜问题教案
数阵图与数字谜问题教案第一章：数阵图的基本概念1.1 数阵图的定义1.2 数阵图的组成1.3 数阵图的分类1.4 数阵图的性质第二章：数阵图的绘制方法2.1 数阵图的绘制步骤2.2 数阵图的绘制技巧2.3 数阵图的绘制实例2.4 数阵图的绘制练习第三章：数阵图的应用3.1 数阵图在数学中的应用3.2 数阵图在物理中的应用3.3 数阵图在化学中的应用3.4 数阵图在生物中的应用第四章：数字谜问题的基本概念4.1 数字谜问题的定义4.2 数字谜问题的类型4.3 数字谜问题的解题方法4.4 数字谜问题的特点第五章：数字谜问题的解答技巧5.1 数字谜问题的解答步骤5.2 数字谜问题的解答方法5.3 数字谜问题的解答实例5.4 数字谜问题的解答练习第六章：数阵图的进阶概念6.1 数阵图的周期性6.2 数阵图的对称性6.3 数阵图的变换6.4 数阵图的组合第七章：数阵图的解决策略7.1 数阵图的逻辑推理7.2 数阵图的数列分析7.3 数阵图的图形识别7.4 数阵图的坐标系应用第八章：数字谜问题的常见类型8.1 数独谜题8.2 数圆谜题8.3 数链谜题8.4 数格谜题第九章：数字谜问题的解题策略9.1 数字谜题的穷举法9.2 数字谜题的排除法9.3 数字谜题的递推法9.4 数字谜题的构造法第十章：数字谜问题的实战演练10.1 数独谜题的实战解析10.2 数圆谜题的实战解析10.3 数链谜题的实战解析10.4 数格谜题的实战解析第十一章：数阵图与数字谜题的数学原理11.1 数阵图与数字谜题的数学基础11.2 数阵图与数字谜题的数理逻辑11.3 数阵图与数字谜题的数学建模11.4 数阵图与数字谜题的数学分析第十二章：数阵图与数字谜题的编程实践12.1 数阵图与数字谜题的算法设计12.2 数阵图与数字谜题的编程实现12.3 数阵图与数字谜题的软件工具应用12.4 数阵图与数字谜题的编程实例第十三章：数阵图与数字谜题的思维训练13.1 数阵图与数字谜题的逻辑思维培养13.2 数阵图与数字谜题的创新思维训练13.3 数阵图与数字谜题的批判性思维培养13.4 数阵图与数字谜题的思维训练实例第十四章：数阵图与数字谜题的竞赛策略14.1 数阵图与数字谜题竞赛的特点14.2 数阵图与数字谜题竞赛的策略制定14.3 数阵图与数字谜题竞赛的心理准备14.4 数阵图与数字谜题竞赛的实战经验第十五章：数阵图与数字谜题的综合应用15.1 数阵图与数字谜题在教育中的应用15.2 数阵图与数字谜题在科研中的应用15.3 数阵图与数字谜题在工业中的应用15.4 数阵图与数字谜题在日常生活中的应用重点和难点解析本文教案主要涵盖了数阵图与数字谜问题的基本概念、绘制方法、应用、解题技巧、进阶概念、解决策略、常见类型、解题策略、实战演练、数学原理、编程实践、思维训练、竞赛策略和综合应用等方面的内容。
数列的教研活动(3篇)
第1篇一、活动背景数列作为数学学科中的基础内容，对于培养学生的逻辑思维能力和数学素养具有重要意义。
为了提高教师对数列教学的理解和掌握，促进教师专业成长，我校数学教研组于2021年10月15日开展了以“数列教学探究与实践”为主题的教研活动。
本次活动旨在通过集体备课、课堂观摩、教学反思等形式，提升教师对数列教学的认识，优化教学方法，提高教学质量。
二、活动目标1. 提高教师对数列教学法的认识，明确数列教学的基本原则和策略。
2. 通过集体备课，共同探讨数列教学中的重点、难点，形成有效的教学设计方案。
3. 通过课堂观摩，学习优秀教师的课堂教学经验，提升自身的教学水平。
4. 通过教学反思，总结教学经验，不断改进教学方法，提高教学质量。
三、活动内容1. 集体备课活动伊始，教研组长组织全体数学教师对数列的教学内容进行了深入探讨。
针对数列的基本概念、性质、应用等方面，教师们各抒己见，共同梳理了数列教学的基本框架。
在集体备课过程中，教师们重点讨论了以下问题：（1）如何引导学生理解数列的概念和性质？（2）如何设计有效的教学活动，激发学生的学习兴趣？（3）如何运用多种教学方法，帮助学生掌握数列的应用？（4）如何针对不同层次的学生，实施分层教学？经过讨论，教师们形成了一套较为完善的教学设计方案，为后续的教学活动奠定了基础。
2. 课堂观摩为了更好地了解数列教学的效果，教研组安排了两位教师进行公开课展示。
在观摩过程中，教师们认真记录了课堂上的教学环节、教学方法以及学生的反应。
公开课后，教研组组织教师进行了评课活动。
大家从以下几个方面对两位教师的课堂教学进行了评价：（1）教学目标是否明确？（2）教学内容是否合理？（3）教学方法是否灵活？（4）课堂氛围是否活跃？（5）学生参与度如何？通过评课活动，教师们对数列教学有了更深入的认识，为今后的教学提供了有益的借鉴。
3. 教学反思在活动最后，教师们结合自身的教学实践，对数列教学进行了反思。
数阵问题整理版
数阵问题整理版-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN数阵趣味导读：有些数按照一定的要求排列成各种各样的图形，就叫做数阵图，数阵填数的游戏是非常有趣的，有时也有一定的难度。
不过它能促使我们积极地思考问题，分析问题，拓展我们的能力。
有的同学说：这样的数阵图填写时只能采取试的方法，没有其他捷径好走。
其实这话不对。
填写数阵图时，我们应抓住数阵中的关键位置（例如两种线的交点，长方形和正方形的顶点），再根据题目的要求，进行必要的计算，先填写这些关键位置的数，再填写出其他位置的数。
一些数按照一定的规则，填在某一特定图形的规定位置上，这种图形，我们称它为“数阵图”，数阵图的种类繁多，绚丽多彩，这里只向大家介绍三种数阵图，即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。
在解答这类问题时，要善于确定所求的和与关键数字间的关系式，用试验的方法，找到相等的和与关键数字：要会对基本解中的数进行适当调整，得到其他的解，从而培养自己的观察能力，思维的灵活性和严密性。
【解法总结】：做数阵题目，我们的一般步骤是：①.先观察在图中有哪些格子重复了，重复了几次。
②.根据题中给出的数字以及图形来发现重复的这几个数有什么特点。
③.看看在给出的数中有哪些数符合我们特点，再通过试算，确定每个格子中的数。
【例题1】将1,2,3,4,5这五个数分别填入下图的各正方形中，组成一个“十字数阵图”使图中横行三个数的和与竖行三个数据的和相等。
解析：根据图形的特点，中间那个数是横行与竖行共用的，要使横行与竖行三个数的和相等，可以先确定中间的数，再让左右两数的和与上、下两数的和相等。
①中间填1，则剩下2,3,4,5，而2+5=4+3，共有8种填法。
②中间填2，则剩下1,3,4,5而这四个数无法组成□+□=□+□的形式所以中间不可填？③中间填3，则剩下1,2,4,5，而1+5=2+4，共有8种填法：④中间填4，则剩下1,2,3,5而这四个数无法组成□+□=□+□的形式所以中间可能填4。
“数列在生活中的应用”研究性学习设计
（4）学生先在小组内讨论得出结论，然后在班内进行展示交流补充完善结论
（5）学生根据形成的结论，结合基础知识编制出符合实际的应用问题
（6）通过解答编制的问题，进一步体会数列模型的应用价值，写出反思总结
预期成果：
（1）数列应用模型汇总
（2）数列应用情况（主要是关于存款方式的应用）研究报告
活动3：各小组进入不同的银行进行实地调研，了解银行中存在的不同数列模型，做好记录，经过汇总、整理、总结、提炼，最后形成关于银行存款问题的个性化结论。
活动4：利用网络收集相关信息、查阅相关应用问题，结合实际调查的情况，从实际与理论两个方面对数列模型的应用进行全面分析和研究，并用发展的思想方法研究一下数列的应用模型可以进行怎样的改进和完善，初步写出总结报告或文字介绍。
3.通过合作探究，不断提高学生的交流能力、数学思维能力、对数学模型的观察分析、归纳总结、抽象概括的能力和语言表达能力，让学生在活动中养成严谨的科学态度和深入钻研的精神
4.进一步理解数学模型的应用价值，以及数学建模的思想方法，培养提出问题、分析问题和解决问题的能力
【情境】
“你不理财，财不理你”这句话突然间成了大街小巷中的流行语。“理财”也成了家喻户晓的名词，说到“财”，就一定离不开银行。而我们知道银行中的存款方式有很多种，去存款的人们大都想得到最大利益，因此，如何选择银行存款方式会实现利益的最大化呢？
《数列在生活中的应用》研究性学习设计
学科
数学
年级
高中二年级
单元标题
数列
研究性学习名称
数列在生活中的应用——银行存款方式问题的解决
小组成员
全班63名学生，7人一组，分成9个小组
数列与数阵中的规律
(1)1张桌子可坐 (1)1张桌子可坐6人，2张桌子拼在一起可坐 张桌子可坐6 多少人？ 张桌子呢？ n张桌子呢 张桌子呢？ 多少人？3张桌子呢？…… n张桌子呢？ (2)一家餐厅有40张这样的桌子，按照上图 (2)一家餐厅有 张这样的桌子 一家餐厅有40张这样的桌子， 方式每5张拼成1张大桌子， 40张桌子可 方式每5张拼成1张大桌子，则40张桌子可 拼成8张大桌子， 拼成8张大桌子，共可坐 人。 (3)在(2)中，若改成每8张桌子拼成1张大桌 (3)在(2)中 若改成每8张桌子拼成1 子，则共可坐 人。
1条
2条
3条
用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按 下图方式铺地板，则第(3)个图形中有黑色瓷 下图方式铺地板，则第(3)个图形中有黑色瓷 砖 块，第n个图形中有黑色瓷砖 块 (用含n的代数式表示)。 用含n的代数式表示)
(1)
(2)
(3)
下列图案由边长相等的黑白两色正方按一定 规律拼接而成，依此规律， (5)个图案中有 规律拼接而成，依此规律，第(5)个图案中有 白色正方形 个，第n个图案中有白色正方 用含n的代数式表示) 形 个(用含n的代数式表示)。
本节课小结 探索规律的一般步骤： 探索规律的一般步骤：
具 观 猜 察 体 问 题 例 律 特 规 律 想 规 律 示 证 规 表 验
得 出 结 论
成立
不成立
索 探 新 重 头 回
再见！ 再见！
思考？ 思考？ 1，-2，3，-4，5，-6,…… 中第n个数是什么， 中第n个数是什么，怎样表示 这个数呢？ 这个数呢？ -5，8，-11，14，-17，…… 11，14， 17， 中第n个数是什么， 中第n个数是什么，怎样表示这个 数呢？ 数呢？
1，4，9，16，25，…… 16，25， 中第n个数是什么？ 中第n个数是什么？ 0，3，8，15，24，…… 15，24， 中第n个数是什么？ 中第n个数是什么？
数学研究性学习之数列
数学研究性学习之数列1、案例背景：在<<普通高中数学课程标准>>中对研究性学习有这样的描述:学会自主学习,独立探究问题;能对知识学习的过程和解决问题的过程进行自我评判和调控,对知识进行系统整理;会对已有的知识经验进行反思、质疑,有发散思维的习惯和求异思维的心向,敢于提出自己独立的见解。
而历年来，各省也相继有研究性问题作为高考题目出现。
数列经常作为高考数学中的中高档题出现，对数列进行研究性学习，将数列的相关问题、性质、考察方式进行探究并推广是实现学生对数列题目作出较大突破的重要学习方式。
在这里，我们就人教版高一教材第一册(上)<<数列>>一章中的一道习题为例，进行数列的研究性学习。
2、原始习题：119页习题3.3第9题:由数列,,,,…前4项的值,推测第项的结果,并给出证明。
3、研究性学习过程：1>解法探究：对于这道数列习题，我们可以从代数和几何两个方面进行求解。
1.1>代数方法：法一：法二：1.2>几何方法：如下图所示，图(1)、(2)、(3)、(4)、(5) 中由数字1组成的菱形中数字1的个数分别代表、、、、的值,且图中每一行(或列)数字1的个数分别代表项中对应的数,因此其值显然就是菱形对角线上数字1的个数的平方,即分别为、、、、,所以有.2>一般化研究：通过仔细观察,我们能注意到在原求解题目，它是关于中间项成左右对称的,并且其前半部分构成了d=1的等差数列,那么我们就可以将原问题推广到一般的等差数列中，即有：推广1：设数列是首项为、公差为的等差数列,则数列,,,,第项的结果为.简证:.这样，我们就得到了该类型中一般化的结果。
接下来，我们思考，既然等差数列可以有这样的性质，那么我们学习过的另一个特殊数列等比数列是否也有相类似的结果呢？则有：推广2：设数列是首项为、公比为的等比数列,则数列,,,,第项的结果为.简证:.其中，该数列的公比q不能为1，若公比q=1,则。
高考数学专题复习-数列中的数阵(数表)问题的研究与拓展
高考数学专题复习-数列中的数阵（数表）问题的研究与拓展【课本溯源】1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆（Sundaram ）发现了“正方形筛子”：（1）这个“正方形筛子”的每一行有什么特点？每一列呢？ （2） “正方形筛子”中位于第100行的第100个数是多少？ 解：(1) 这个“正方形筛子”的每一行与每一列都是等差数列；(2) 因为第100行的第1个数100,1a 是第1列的第100个数，而第1列的数组成以4为首项，3为公差的等差数列，通项公式为,14(1)331n a n n =+-⨯=+，故10,131001301a =⨯+=；第100行的第2个数100,2a 是第2列的第100个数，而第2列的数组成以7为首项，5为公差的等差数列，通项公式为,27(1)552n a n n =+-⨯=+，故10,251002502a =⨯+=. 所以，第100行组成以301为首项，502301201-=为公差的等差数列，通项公式为100,301(1)201201100n a n n =+-⨯=+，从而第100行第100个数为100,10020110010020200a =⨯+=. 【探究拓展】探究1：求数阵所暗示的规律（通项公式） 观察：(1) 第100行是多少个数的和？这些数的和是多少？ (2) 计算第n 行的值.【解答】(1) 第100行是199个数的和，这些数的和是2(12100)10010000+++-=；(2) 第n 行的值是21233212(12)n n n n ++++++++=+++-=.变式：下表给出一个“等差数阵”：11+2+1 1+2+3+2+1 1+2+3+4+3+2+1……4 7 10 13 16 … 7 12 17 22 27 … 10 17 24 31 38 … 13 22 31 40 49 … 16 27 38 49 60 … ………………其中每行、每列都是等差数列，a i j 表示位于第i 行第j 列的数(1) 写出a 45的值； (2) 写出a i j 的计算公式；[文史类：写出ij a 的计算公式以及2008这个数在等差数阵中所在的一个位置.](3) 证明：正整数N 在该等差数列阵中的充要条件是21N +可以分解成两个不是1的正整数之积. 【解答】(1) 4549a =.(2) 该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：143(1)j a j =+-. 第二行是首项为7，公差为5的等差数列：275(1)j a j =+- ……第i 行是首项为43(1)i +-，公差为21i +的等差数列， 因此，43(1)(21)(1)2(21)ij a i i j ij i j i j j =+-++-=++=++.文史类：要找2008在该等差数阵中的位置，也就是要找正整数,i j ，使得 22008ij i j ++=，所以200821ij i -=+. 当1i =时，得669j =,所以2008在等差数阵中的一个位置是第1行第669列] (3) 必要性：若N 在该等差数阵中，则存在正整,i j 使得(21)N i j j =++， 从而212(21)21N i j j +=+++(21)(21)i j =++， 即正整数21N +可以分解成两个不是1的正整数之积.充分性：若21N +可以分解成两个不是1的正整数之积，由于21N +是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数,k l ，使得21(21)(21)N k l +=++， 从而(21)kl N k l l a =++=，可见N 在该等差数阵中.综上所述，正整数N 在该等差数阵中的充要条件是21N +可以分解成两个不是1的正整数之积.探究2：求数阵中指定的某些项将全体正整数排成一个三角形数表：按照以上排列的规律，第n 行（3n ≥）从左向右的第3个数为 .1 2 3 4 5 6 7 8 9 10． ． ． ． ． ． ．。
数阵问题
例4 将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和 都等于10。
分析与解：与例1类似，知道每条边上的三数之和，但不知道重叠数。因为有3条边，所以 中间的重叠数重叠了两次。于是得到 (1+2+…+7)+重叠数×2=10×3。 由此得出重叠数为 [10×3-(1+2+…+7)]÷2=1。 剩下的六个数中，两两之和等于9的有2，7；3，6；4，5。可得右上图的填法。 如果把例4中“每条边上的三个数之和都等于10”改为“每条边上的三个数之和都相等” ，其他不变，那么仿照例3，重叠数可能等于几？怎样填？
5.提示：中心数是重叠数，并且重叠4次。 4. 将3～9这七个数分别填入左下图的○里，使每条直线上的三个数 所以每条直线上的三数之和等于 之和等于 。 ［(1＋220 ＋… ＋11)＋重叠数×4］÷5
＝(66＋重叠数×4)÷5。 为使上式能整除，重叠数只能是1，6或11。 显然，重叠数越大，每条直线上的三数之和越 大。所以重叠数是11，每条直线上的三数之和 是22。填法见右图。 第4题 第5题
5.将1～11这十一个数分别填入右上图的○里，使每条直线上的三 个数之和相等，并且尽可能大。 6.将1～7这七个数分别填入下图的○里，使得每条直线上三个数之 和与每个圆圈上的三个数之和都相等。
6.解：所有的数都是重叠数，中心数重叠两次，其它数重叠一次。所以三条边及两个圆 周上的所有数之和为 (1＋2＋…＋7)×2＋中心数＝56＋中心数。 因为每条边及每个圆周上的三数之和都相等，所以这个和应该是5的倍数，再由中 心数在1至7之间，所以中心数是4。每条边及每个圆周上的三数之和等于(56＋4)÷5＝ 12。 中心数确定后，其余的数一下还不好直接确定。我们可以试着先从辐射型3-3图开始。 中心数是4，每边其余两数之和是12-4=8，两数之和是8的有1，7；2，6；3，5。于是 得到左下图的填法。
数阵问题的解题策略
数阵问题的解题策略
数阵问题的解题策略可以归纳为以下几个步骤：
1. 研究数阵的性质。
数阵问题通常涉及多个数的位置和关系，因此必须清楚数阵的基本性质，如行数、列数、数值范围等。
还需要了解数阵的特殊性质，例如对角线、横向或纵向相加的和相等等。
2. 寻找规律。
大多数数阵问题都有规律可寻，寻找规律是解决数阵问题的关键。
可以通过找出数值的增长方式、对数阵进行分类、观察数阵的对称性等方法来寻找规律。
在寻找规律的过程中，需要注意确定规律的适用范围，以免规律的错误性质导致答案错误。
3. 利用找到的规律求解。
利用找到的规律可以快速得出数阵中未知位置的数值。
需要注意的是，在计算过程中，需要保持精度和适当使用数据结构和编程技巧。
4. 验证答案。
验证答案是非常重要的一步，应该在得到答案后反复检查计算过程是否正确，是否漏算或多算等。
在解决数阵问题时，以上步骤并不一定需要按照严格的顺序进行。
经验丰富的内容创作者可以根据自己的习惯和情况优化解题步骤。
总之，熟练运用数阵问题的解题策略可以在提高解题效率的同时保证问题的正确性。
高中数列教研活动(3篇)
第1篇一、活动背景数列是高中数学中的重要内容，对于培养学生的逻辑思维、抽象思维和数学建模能力具有重要意义。
为了提高高中数列教学的质量，促进教师的专业成长，我们特举办本次数列教研活动。
二、活动目标1. 深入探讨高中数列教学中的重点、难点问题，提高教师的教学水平。
2. 促进教师之间的交流与合作，分享教学经验，共同提高。
3. 培养学生的数学思维和创新能力，提高学生的数学素养。
4. 为学生提供更多的学习资源和展示平台，激发学生的学习兴趣。
三、活动内容1. 主题讲座：邀请知名专家或优秀教师进行数列教学专题讲座，分享他们在数列教学中的成功经验和创新方法。
2. 教学观摩：组织教师进行数列教学观摩活动，通过观看优秀教师的课堂录像，分析教学过程，探讨教学方法。
3. 课题研究：针对高中数列教学中的重点、难点问题，组织教师开展课题研究，共同探讨解决方案。
4. 互动研讨：组织教师进行互动研讨，针对数列教学中的热点问题进行深入剖析，分享自己的教学心得。
5. 教学设计展示：鼓励教师进行教学设计展示，分享自己的教学设计思路和教学成果。
6. 学生竞赛：举办数列知识竞赛，激发学生的学习兴趣，提高学生的数学素养。
四、活动安排1. 活动时间：XX年XX月XX日-XX年XX月XX日2. 活动地点：XX学校3. 活动流程：（1）XX月XX日：开幕式，主题讲座（2）XX月XX日-XX月XX日：教学观摩、课题研究、互动研讨（3）XX月XX日：教学设计展示（4）XX月XX日：学生竞赛（5）XX月XX日：闭幕式，总结表彰五、活动组织1. 成立活动筹备小组，负责活动的策划、组织、实施和总结。
2. 邀请知名专家、优秀教师和教研员担任活动评委。
3. 联系相关学校、教师和学生，确保活动的顺利进行。
4. 制定详细的活动方案，明确活动流程、时间安排和责任分工。
5. 利用网络、宣传栏等渠道，广泛宣传本次活动，提高活动的影响力。
六、预期成果1. 提高高中数列教学的质量，促进教师的专业成长。
数列中的数表数阵问题
2
? 1 [1 n(n ? 1)(2n ? 1) ? 1 n(n +1)]
26
2
3
4.把数列
{1 2n ?
} 1
的所有数按照从大
1 1
到小，左大右小的原则写成如下数 3
，1 5
第七行最后 一个为 1 .
表:第k行有2 k－1个数，第t行的第 s 1 ，1 ，1 ，1 253
个数（从左数起）记为A(t，s)， 则A(8，17)= _____. 1
第14行的第9个数.
4
6.观察下面的数阵, 容易看出, 第n行最右边的数是
n2, 那么第20行最左边的数是几?第20行所有数的和
是多少?
1
234
56789
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24 25
… …………… 解 第20行最左边的数为192+1=362，第20行共有
15 13 11 9
数行是以15为首项，16为公
差的等差数列，所以通项公
17 19 21 23 式可写为an=8n－1，其中n取
31 29 27 25
正偶数，当n=250时，
… 3…3 …35 3…7 …39
47 45 43 41
……………
1999 2001 2003 2005
第251行
07
a250=1999，数下来在第250 行上有：第二个数开始分别 为2001，2003，2005，
图1所示的0～1三角数表．从上往下数，第1次全
行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的
是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第__2_n_－__1
行；第61行中1的个数是 32 .
一类数阵问题索论文
一类数阵问题的探索与思考【摘要】等差数列或是等比数列按照一定的规律把取出来的元素排成一个数阵，每行元素的个数成等差或等比数列，求第n行元素之和s n.【关键词】数阵;数学归纳法最近我们的学生学到数学归纳法这一章节，书后习题中出现了这样的一类题目：一个等差数列或是等比数列按照一定的规律把取出来的元素排成一个数阵，每行元素的个数成等差或等比数列，求第n行元素之和s n，难一点的，还会在某几个s n的和上做文章.下面我们一起来探讨一下这类问题.苏教版高中《数学》选修2-2的第91页第9题：将正整数作如下分组：（1），（2,3），（4,5,6），（7,8,9,10），（11,12,13,14,15），（16,17,18,19,20,21），…，分别计算各组所包含的正整数的和如下，试用不完全归纳法猜测s1+s3+s5++s2n-1.s1=1s2=2+3=5s3=4+5+6=15s4=7+8+9+10=34s5=11+12+13+14+15=65s6=16+17+18+19+20+21=111……解答本题的关键是弄清m k+1=m k+s2k+1关系式，则要有m n=n4(n∈n*)的猜想以及弄清第n行元素的和s n如何求这两个问题.我引导学生思考这样的几个问题：(1）题中所给的每一行的元素有什么特征？(2）题中所给的每一行的元素个数有什么特点？(3）题中所给的每一行的首位元素或末尾元素有何特点？能否将第n行的首位元素或末尾元素写出来？(4）能否将第n行元素的和s n表示出来？观察思考了几分钟之后，学生开始活跃起来，问题的答案也呼之欲出了.不难发现：(1)将所有元素放在一起构成一个以1为首项、公差为1的等差数列；(2)每一行的元素个数就是它的行数；(3)第n行的末尾元素即为前n行的元素总个数n(n+1)[]2，第n行的首位元素即为第n-1行的末尾元素加1即前n-1行的元素总个数加1，即n(n-1)[]2+1.(4)s n=n(n-1)[]2+1+n(n-1)[]2+2+…+n(n-1)[]2+n=n(n-1)[]2+1+n(n+1)[]2·n[]2=n3+n[]2.解记m n=s1+s3+…+s2n-1m1=1,m 2=16,m3=81,m4=256.猜想m n=n4(n∈n*).(1）当n=1,m1=1时，猜想成立.(2）设当n=k(k∈n*)时命题成立，即m n=s1+s3+…+s2n-1=k 4.下面证明n=k+1时猜想也成立.事实上，由题设及上述分析可知：s n=n(n-1)[]2+1+n(n+1)[]2·n[]2=n3+n[]2，则s2k+1=(2k+1)3+(2k+1)[]2=4k3+6k2+4k+1，从而m k+1=m k+s2k+1=k4+(4k3+6k2+4k+1)=(k+1)4，所以n=k+1时猜想也成立.综合(1）(2），猜想对任何n∈n*都成立，忽然想起苏教版高中《数学》必修5《数列》的第44页第12题，观察：11+2+11+2+3+2+11+2+3+4+3+2+1……（1）第100行是多少个数的和？这些数的和是多少？（2）计算第n行的值.观察一下可以发现：(1）第100行是199个数的和，这些数的和是2（1+2+3+…+100）-100=10000.(2）第n行的值是1+2+3+…+n+…+2+1=2（1+2+3+…+n）-n=n 2.倘若加上第三问，比如：假设第n行的值为s n，设m n=s 1+s2+…+s n，求出m1,m2,m3,m4,试用不完全归纳法猜测m n的结果，并用数学归纳法证明.这样不就变成一个完整的数学归纳法证明了吗？猜想的过程可参照苏教版高中“数学”选修2-2的第72~74页案例赏析的第一个案例正整数平方和公式的推导，具体的数学归纳法证明可参照苏教版高中《数学》选修2-2的第87页例3.想起我对我的学生常念叨的两句话：把课本用好，基础不等于简单.试想，我们的高考题不就是基于课本源于课本，某种程度上可以高于课本吗？。
数列中的数表问题
1 2 3 (n 1) 3
9 10 11 12 13 14 15 按照以上排列的规律， 数阵中第n行 （n
n2 n 6 3） , 从左向右的第三个数为 2
n(n 1) n2 n 6 3 2 2
观察思考：
自主建构数阵：
第n行第m个数呢？ 按照以上排列的规律，
（ 1）第n行的第3个数是 （2）数2015 在第 行第 列
观察分析：
数的特征
数表由正奇数数列排列
an 2n 1
每一行的项数等于所在行的行数；
排的规律
类型1 按序分组型
练习：
类型2 等差、等比型
例2下表给出一个“等差数表”：
解：（ 1 ）a45 49
求此数表的最后一个数。 观察分析： （1）该数表共有多少行？ （2）每一行的数有什么特征？ （3）公差有何规律？ （4）目标是什么？
d n 2n1
an an 1 1 n2 n 3 2 2 a 令bn n n 2 2 易得：bn n 1
a100 101 298
（2）a1 j 4 ( j 1)3 3 j 1 a2 j 7 ( j 1)5 5 j 2 第j列的公差d j a2 j a1 j 2 j 1 aij a1 j (i 1)d j 3 j 1 (i 1)(2 j 1) 2ij i j i (2 j 1) j
（1）该数表共有多少行？
（2）每一行的数有什么特征？ （3）公差有何规律？ （4）目标是什么？
观察下列三角形数表 1 2 3 4 5 7 11 14 假设第n行的第二个数为 a n (n 2, n N * ) (1)依次写出第六行的所有 6个数字； （2）归纳出a n 1与a n的关系式并求出的通项 公式; (3)设(a n 1)bn 1，求证 : b2 b3 bn 2 4 7 11 2 3 4 5
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2013届高三理科数学研究性学习（28） 专题：数列的数阵问题研究
题根：（2008年江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：
12
3456
7
8
9
10
按照以上排列的规律，第n 行(3)n ≥从左向右的第3个数为 变式1：将数列
{}n a 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：
1
234
56789
a a a a a a a a
a
已知表中的第一列数125,,,a a a 构成一个等差数列，记为{}n b ，且254,10b b ==.表中
每一行正中间一个数137,,,
a a a 构成数列
{}n c ，其前n 项和为n S .
（1）求数列
{}n b 的通项公式；
（2）若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为
同一个正数，且131a =.①求n S ；②记
{}|(1),n
M n n c n N λ*
=+≥∈，若集合M 的元素个数为3，求实数λ的取值范围.
变式2：已知函数m
x x x f +=2
)(的图像经过点)8,4(.
（1）求该函数的解析式；
（2）数列{}n a 中，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足()(2)n n a f S n =≥，
证明数列1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
成等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （3）另有一新数列{}n b ，若将数列{}n b 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成
如下数表：
1b 2b 3b 4b 5b 6b 7b 8b 9b 10b
…………
记表中的第一列数1247b b b b ，，，，...,构成的数列即为数列{}n a ，上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当
814
91
b =-
时，求上表中第(3)k k ≥行所有项的和．
变式3：如下图，在杨辉三角中，斜线l 的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,3,3,4,6,5,10,…,记其前n 项和为S n ,则S 19等于____________
变式4：
111
1
1
1
………
变式5：我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，
公比为q 的数列{}n a 依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格．
（1）设第2行的数依次为12n ，试用表示12n 的值；
（2） 设第3列的数依次为123,,,,n c c c c ，求证：对于任意非零实数q ，1322c c c +>；
（3）请在以下两个问题中选择一个进行研究 （只能选择一个问题，如果都选，被认为选 择了第一问）．
①能否找到q 的值，使得（2） 中的数列123,,,
,n c c c c 的前m 项12,,,m c c c （3≥m ）
成为等比数列？若能找到，m 的值有多少个？若不能找到，说明理由．
②能否找到q 的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次 成等比数列？并说明理由．。