历年中考数学压轴题及答案

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(完整)中考数学压轴题精选含答案

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一、解答题1.综合与探究.如图,抛物线y=ax2+bx+1与x轴交于A,C两点,点A(﹣1,0),C (3,0),与y轴交于点B,抛物线的顶点为D,直线l经过B,C两点.(1)求抛物线的函数解析式;(2)若P为抛物线上一点,横坐标为m,过点P作PM⊥y轴于点M,交线段BC于点N,当N是线段BC的黄金分割点时,求点P到x轴的距离;(3)若将抛物线向上平移个单位长度,点D的对应点为D′,坐标轴上是否存在点Q,使∠BD′Q=30°?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.2.矩形OABC中,OA=8,OC=10,将矩形OABC放在平面直角坐标系中,顶点O为原点,顶点C、A分别在x轴和y轴上.在OA边上选取适当的点E,连接CE,将△EOC沿CE折叠.(1)i:如图①,当点O落在AB边上的点D处时,点E的坐标为;ii:如图②,将矩形OABC变为正方形,OC=10,当点E为AO中点时,点O落在正方形OABC内部的点D处,延长CD交AB于点T,求此时AT的长度.(2)如图③,当点O落在矩形OABC内部的点D处时,过点E作EG∥x轴交CD于点H,交BC于点G,设H(t,s),用含s的代数式表示t.3.【基础巩固】(1)如图1,点A ,F ,B 在同一直线上,若∠A =∠B =∠EFC ,求证:△AFE ∼△BCF ;【尝试应用】(2)如图2,AB 是半圆⊙O 的直径,弦长AC =BC =42,E ,F 分别是AC ,AB 上的一点,∠CFE =45°,若设AE =y ,BF =x ,求出y 与x 的函数关系及y 的最大值. 【拓展提高】(3)已知D 是等边△ABC 边AB 上的一点,现将△ABC 折叠,使点C 与D 重合,折痕为EF ,点E ,F 分别在AC 和BC 上.如图3,如果AD :BD =1:2,求CE :CF 的值.4.给出定义:有两个内角分别是它们对角的两倍的四边形叫做倍对角四边形.(1)如图1,在倍对角四边形ABCD 中,∠D =2∠B ,∠A =2∠C ,求∠B 与∠C 的度数之和;(2)如图2,锐角△ABC 内接于⊙O ,若边AB 上存在一点D ,使得BD =BO ,∠OBA 的平分线交OA 于点E ,连结DE 并延长交AC 于点F ,∠AFE =2∠EAF .求证:四边形DBCF 是倍对角四边形;(3)如图3,在(2)的条件下,过点D 作DG ⊥OB 于点H ,交BC 于点G .当4DH =3BG 时,求△BGH 与△ABC 的面积之比.5.抛物线212y x mx n =-++与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C ,抛物线的对称轴交x 轴于点D ,已知(1,0)A -,(0,2)C .(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P ,使PCD 是以CD 为腰的等腰三角形?如果存在,求出P 点的坐标;如果不存在,请说明理由;(3)点E 是线段BC 上的一个动点,过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ,当四边形CDBF 的面积最大时,求点E 的坐标.6.如图,抛物线2:C y ax bx c =++的对称轴为直线1x =-,且抛物线经过(1,0),(0,3)M D 两点,与x 轴交于点N .(1)点N 的坐标为_______.(2)已知抛物线1C 与抛物线C 关于y 轴对称,且抛物线1C 与x 轴交于点1,A B (点A 在点1B 的左边).①抛物线1C 的解析式为_________;②当抛物线1C 和抛物线C 上y 都随x 的增大而增大时,请直接写出此时x 的取值范围. (3)若抛物线n C 的解析式为(1)(2)(1,2,3)y x x n n =-+--=,抛物线n C 的顶点为n P ,与x 轴的交点为,n A B (点A 在点n B 的左边).①求123100AB AB AB AB ++++的值;②判断抛物线的顶点123,,,,n P P P P 是否在一条直线上,若在,请直接写出该直线的解析式;若不在,请说明理由.7.在平面直角坐标系xOy 中,规定:抛物线y =a (x ﹣h )2+k 的“伴随直线”为y =a (x ﹣h )+k .例如:抛物线y =2(x +1)2﹣3的“伴随直线”为y =2(x +1)﹣3,即y =2x ﹣1.(1)在上面规定下,抛物线y =(x +1)2﹣5的顶点坐标为_____,“伴随直线”为_____. (2)如图,顶点在第一象限的抛物线y =a (x ﹣1)2﹣4a (a ≠0)与其“伴随直线”相交于点A ,B (点A 在点B 的左侧),与x 轴交于点C ,D . ①若△ABC 为等腰三角形时,求a 的值;②如果点P (x ,y )是直线BC 上方抛物线上的一个动点,△PBC 的面积记为S ,当S 取得最大值274时,求a 的值.8.如图1,四边形ABCD 和四边形CEFG 都是菱形,其中点E 在BC 的延长线上,点G 在DC的延长线上,点H在BC边上,连结AC,AH,HF.已知AB=2,∠ABC=60°,CE=BH.(1)求证:△ABH≌△HEF;(2)如图2,当H为BC中点时,连结DF,求DF的长;(3)如图3,将菱形CEFG绕点C逆时针旋转120°,使点E在AC上,点F在CD上,点G在BC的延长线上,连结EH,BF.若EH⊥BC,请求出BF的长.9.如图,对称轴x=1的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(﹣2,0),B两点,与y轴交于点C(0,2),(1)求抛物线和直线BC的函数表达式;(2)若点Q是直线BC上方的抛物线上的动点,求△BQC的面积的最大值;(3)点P为抛物线上的一个动点,过点P作过点P作PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E.若点P在第四象限内,当OD=4PE时,△PBE的面积;(4)在(3)的条件下,若点M为直线BC上一点,点N为平面直角坐标系内一点,是否存在这样的点M和点N,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形是菱形?若存在,直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.10.将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG,其中点E与点B,点G与点D分别是对应点,连接BG.(1)如图,若点A ,E ,D 第一次在同一直线上,BG 与CE 交于点H ,连接BE . ①求证:BE 平分∠AEC .②取BC 的中点P ,连接PH ,求证:PH ∥CG . ③若BC =2AB =2,求BG 的长.(2)若点A ,E ,D 第二次在同一直线上,BC =2AB =4,直接写出点D 到BG 的距离. 11.在平面直角坐标系中,三角形ABC 为等腰直角三角形,AC BC =,BC 交x 轴于点D .(1)若()4,0A -,()0,2C ,直接写出点B 的坐标 ;(2)如图,三角形OAB 与ACD △均为等腰直角三角形,连OD ,求AOD ∠的度数;(3)如图,若AD 平分BAC ∠,()4,0A -,(),0D m ,B 的纵坐标为n ,求2n m +的值.12.已知抛物线y=x2﹣3x﹣4与x轴交于A、B(A在B的左侧),与y轴交于点C,点D 是直线BC下方抛物线上的动点.(1)求直线BC的解析式;(2)如图1,过D作DE∥y轴交BC于E,点P是BC下方抛物线上的动点(P在D的右侧),过点P作PQ∥y轴交BC于Q,若四边形EDPQ为平行四边形.且周长最大.求点P的坐标;(3)如图2,当D点横坐标为1时,过A且平行于BD的直线交抛物线于另一点E,若M在x轴上,是否存在这样点的M,使得以M、B、D为顶点的三角形与△AEB相似?若存在,求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,说明理由.13.如图,在平面直角坐标系中,四边形AOBC是矩形,OB=4,OA=3,F是BC边上一个动点(不与B、C重合),过点F的反比例函数y=kx(k>0)的图象与边AC交于点E.(1)当BF=13BC时,求点E的坐标;(2)连接EF,求∠EFC的正切值;(3)将△EFC沿EF折叠,得到△EFG,当点G恰好落在矩形AOBC的对角线上时,求k的值.14.在平面直角坐标系中,抛物线:与x轴交于点A,B(点B 在点A的右侧).抛物线顶点为C点,△ABC为等腰直角三角形.(1)求此抛物线解析式.(2)若直线与抛物线有两个交点,且这两个交点与抛物线的顶点所围成的三角形面积等于6,求k的值.(3)若点,且点E,D关于点C对称,过点D作直线2l交抛物线于点M,N,过点E作直线轴,过点N作于点F,求证:点M,C,F三点共线.15.如图,矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,∠AOB=60°,AB=2,将一张和△ABC一样大的纸片和△ABC重叠放置,点E是边BC上一点(不含点B、C),将△OCE 沿着OE翻折,点C落在点P处.(1)直接写出∠OBC、∠OCB的数量关系是.(2)连接DE,设△OPE的面积为S1,△ODE的面积为S2,在点E取边BC上每一点(除点B、C)的过程中,S1+S2的值是否变化?如果变化,请求出它的取值范围;如果不变,请求出S1+S2的值;(3)分别连接PD、PC,当点P与点B重合时,易知PO•PC=PE•PD,当点P不与点B重合时,PO•PC=PE•PD是否成立?请在图3、图4中选一种情况进行证明.16.如图,ABD△内接于O中,弦BC交AD于点E,连接CD,BG CD⊥交CD的延长线于点G,BG交O于点H,2∠=∠.ABC GBD(1)如图1,求证:DB平分GDE∠;(2)如图2,CN AB⊥于点N,CN=CG,求证:AN=HG;(3)如图3.在(2)的条件下,点F在AE上,连接BF、CF,且BF CF⊥,∠=∠,BC=5.求AE的长.BCN CBF217.【问题提出】如图①,在△ABC中,若AB=8,AC=4,求BC边上的中线AD的取值范围.【问题解决】解决此问题可以用如下方法:延长AD到点E,使DE=AD,再连结BE(或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD),把AB、AC,2AD集中在△ABE中,利用三角形三边的关系即可判断.由此得出中线AD的取值范围是__________【应用】如图②,如图,在△ABC中,D为边BC的中点、已知AB=10,AC=6,AD=4,求BC的长.【拓展】如图③,在△ABC中,∠A=90°,点D是边BC的中点,点E在边AB上,过点D作D F⊥DE交边AC于点F,连结EF.已知BE=5,CF=6,则EF的长为__________.18.如图,点P是矩形ABCD的边AB的其中一个四等分点(点P靠近点A),8AB ,将直角三角尺的顶点放在P处,直角尺的两边分别交AD、DC于点E,F,(如图1).(1)当点E与点D重合时,点F恰好与点C重合(如图2),求AD的长;(2)探究:将直尺从图2中的位置开始,绕点P逆时针旋转,当点E和点A重合时停止,在这个过程中,请你观察、猜想,并解答:①∠PEF的大小是否发生变化?请说明理由;②求出从点E与D重合开始,到点E与点A重合结束,线段EF的中点经过的路线的长度.19.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AE平分∠BAC,交BC于点E,点D在AC上,以AD为直径的⊙O经过点E,点F在⊙O上,且EF平分∠AED,交AC于点G,连接DF.(1)求证:△DEF ∽△GDF : (2)求证: BC 是⊙O 的切线: (3)若cos∠CAE =32,DF =102,求线段GF 的长. 20.如图,抛物线y =-212x +32x +2与x 轴负半轴交于点A ,与y 轴交于点B .(1)求A ,B 两点的坐标;(2)如图1,点C 在y 轴右侧的抛物线上,且AC =BC ,求点C 的坐标;(3)如图2,将△ABO 绕平面内点P 顺时针旋转90°后,得到△DEF (点A ,B ,O 的对应点分别是点D ,E ,F ),D ,E 两点刚好在抛物线上. ①求点F 的坐标; ②直接写出点P 的坐标.【参考答案】参考答案**科目模拟测试一、解答题 1.(1) 51或(3)存在,点Q的坐标为(﹣2﹣3,0)或(0,)或(1,0)【解析】【分析】(1)用待定系数法即可求解;(2)MP∥CO,则,进而求解;(3)当点Q在BD′的右侧时,连接BD′,过点D′分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为F (1,0)、E,tan∠EBD′=,故∠EBD′=30°=∠BD′F,故点Q与点F重合时,∠BD′F=∠BD′Q=30°;当点Q在BD′的左侧时,设点Q′D′交x轴和y轴分别为点Q′、Q″,求出直线D′Q′的表达式,即可求解.(1)解:将点A、C的坐标代入抛物线表达式得:,解得,故抛物线的表达式为:;(2)∵MP∥CO,则,∵N是线段BC的黄金分割点,∴或,即或,而OB=1,故MO=512-或,即点P到x轴的距离为:512-或;(3)存在,理由:由抛物线的表达式知,点D(1,43),则将抛物线向上平移个单位长度,点D的对应点为D′的坐标为(1,3+1),①当点Q在BD′的右侧时,连接BD′,过点D′分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为F(1,0)、E,则BE3﹣13ED′=1,∴tan∠EBD′=,故∠EBD′=30°=∠BD′F,故点Q与点F重合时,∠BD′F=∠BD′Q=30°,即点Q的坐标为(1,0);②当点Q在BD′的左侧时,设点Q′D′交x轴和y轴分别为点Q′、Q″,则∠BD′Q′=30°,故∠Q′Q″O=30°+30°=60°,则∠D′Q′O=90°﹣60°=30°,故设直线Q′D′的表达式为y 3+t,将点D′的坐标代入上式得:3t,解得t=,故直线D′Q′的表达式为y=33x+,对于y=33x+,令y=33x+=0,解得x=﹣2﹣3,令x=0,则y=,故点Q′、Q″的坐标分别为(﹣2﹣3,0)、(0,),综上,点Q的坐标为(﹣2﹣3,0)或(0,)或(1,0).【点睛】本题是二次函数综合题,主要考查了一次函数的性质、三角形相似、解直角三角形等,其中(3),要注意分类求解,避免遗漏.2.(1)i:(0,5);ii:AT=52;(2)t=120s2+5.【解析】【分析】(1)i:如图①中,根据翻折变换的性质以及勾股定理得出BD的长,进而得出AE,EO的长即可得出答案.ii:如图②中,连接ET.证明△CET是直角三角形,由勾股定理得2222ED TD TC EC+=-,代入数据计算即可求出AT.(2)根据H点坐标得出各边长度,进而利用勾股定理求出t与s的关系即可.【详解】解:(1)i:如图①中,∵OA=8,OC=10,根据折叠的性质,∴OC=DC=10,∵BC=OA=8,∴BD2222108CD BC--,∴AD=10-6=4,设AE =x ,则EO =8-x ,∴x 2+42=(8-x )2,解得:x =3,∴AE =3,则EO =8-3=5,∴点E 的坐标为:(0,5);故答案为:(0,5); ii :如图②中,连接ET .∵点E 是AO 的中点,∴EA =EO ,∵OE =ED ,EC =EC ,∠EOC =∠EDC =90°,∴Rt △ECD ≌Rt △ECO (HL ),∴∠CEO =∠CED ,同法可证,Rt △ETA ≌Rt △ETD (HL ),∴∠AET =∠DET ,∴∠DET +∠CED =90°,即∠CET =90°,由折叠的性质得:ED =EO =12OA =5,OC =CD =10,AT =TD , 222125EC EO OC =+=, 设AT =x ,则TD =x ,∵2222ED TD TC EC +=-,即()222510125x x +=+-, 解得:52x =∴AT =52; (2)如图③中,过点H 作HW ⊥OC 于点W ,根据折叠的性质得:∠1=∠2,∵EG∥OC,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴EH=HC,设H(t,s),∴EH=HC=t,WC=10-t,HW=s,∴HW2+WC2=HC2,∴s2+(10-t)2=t2,∴t与s之间的关系式为:t=120s2+5.【点睛】本题属于四边形综合题,主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理和全等三角形的判定与性质等知识,熟练构建直角三角形利用勾股定理得出相关线段长度是解题关键.3.(1)见解析;(2)y2x22(0≤x≤8),23)4:5【解析】【分析】(1)利用已知得出∠E=∠CFB,进而利用相似三角形的判定方法得出即可;(2)利用(1)得出△AFE∽△BCF,由相似三角形的性质:对应边的比值相等即可得到y 和x的数量关系,进而求出y与x的函数关系式;(3)首先证明△ADE∽△BFD,表示出ED,DF,EA,DB,AD,BF,再利用相似三角形的性质解决问题即可.【详解】(1)证明:∵∠A=∠EFC,∴∠E+∠EFA=∠EFA+∠CFB,∴∠E=∠CFB,∵∠A=∠B,∴△AFE∽△BCF;(2)解:∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴AB=22AC BC+=8,∵AC=BC,∴∠A=∠B=45°,∴∠A=∠B=∠CFE=45°,由(1)可得△AFE∽△BCF,∴AE AFBF BC=,即842y xx-=,∴y=﹣28x2+2x(0≤x≤8),∴当x=4时,y最大=22;(3)解:连接DE,DF,∵△EFC与△EFD关于EF对称,∴∠EDF=∠ECF=60°,EC=ED,FC=FD,∵∠BDF+∠EDF=∠BDE=∠A+∠DEA,∵∠EDF=∠A=60°,∴∠BDF=∠DEA,∴△ADE∽△BFD,设AD=x,CE=DE=a,CF=DF=b,∵AD:BD=1:2,∴DB=2x,∴AB=3x=AC=BC,∴AE=3x﹣a,BF=3x﹣b,∵△ADE∽△BFD,∴DE EA AD DF DB BF==,∴323a x a xb x x b-==-,由前两项得,2ax=b(3x﹣a),由后两项得,(3x﹣a)(3x﹣b)=2x2,即:3x(3x﹣a)﹣b(3x﹣a)=2x2,∴3x(3x﹣a)﹣2ax=2x2,∴a =75x , ∴3425a x ab x -==, ∴CE :CF =4:5.【点睛】本题是圆的综合题,考查了相似三角形的判定与性质,圆的有关知识,勾股定理以及二次函数最值等知识,解题的关键是学会利用参数解决问题.4.(1)120°;(2)见解析;(3)215 【解析】【分析】(1)根据四边形内角和为360°,即可得出答案;(2)利用SAS 证明△BED ≌△BEO ,得∠BDE =∠BEO ,连接OC ,设∠EAF =α,则∠AFE =2α,则∠EFC =180°−∠AFE =180°−2α,可证∠EFC =∠AOC =2∠ABC 即可;(3)过点O 作OM ⊥BC 于M ,由(1)知∠BAC =60°,再证明△DBG ∽△CBA ,得2ΔΔ()DBG ABC S BD S BC =,再根据4DH =3BG ,BG =2HG ,得DG =52GH ,则ΔΔBHG BDG S S =HG DG =25,从而解决问题.【详解】(1)解:在倍对角四边形ABCD 中,∠D =2∠B ,∠A =2∠C ,∵∠A +∠B +∠C +∠D =360°,∴3∠B +∠3∠C =360°,∴∠B +∠C =120°,∴∠B 与∠C 的度数之和为120°;(2)证明:在△BED 与△BEO 中,BD BO EBD EBO BE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△BED ≌△BEO (SAS ),∴∠BDE =∠BEO ,∵∠BOE =2∠BCF ,∴∠BDE =2∠BCF连接OC ,设∠EAF =α,则∠AFE =2α,∴∠EFC =180°﹣∠AFE =180°﹣2α,∵OA =OC ,∴∠OAC =∠OCA =α,∴∠AOC =180°﹣∠OAC ﹣∠OCA =180°﹣2α,∴∠EFC =∠AOC =2∠ABC ,∴四边形DBCF 是倍对角四边形;(3)解:过点O 作OM ⊥BC 于M ,∵四边形DBCF 是倍对角四边形,∴∠ABC +∠ACB =120°,∴∠BAC =60°,∴∠BOC =2∠BAC =120°,∵OB =OC ,∴∠OBC =∠OCB =30°,∴BC =2BM 33,∵DG ⊥OB ,∴∠HGB =∠BAC =60°,∵∠DBG =∠CBA ,∴△DBG ∽△CBA , ∴2ΔΔ()DBG ABC S BD S BC =13, ∵4DH =3BG ,BG =2HG , ∴DG =52GH ,∴ΔΔBHG BDG S S =25HG DG =, ∵ΔΔ15315DBG ABC S S == ∴ΔΔBHG ABC S S =215. 【点睛】本题是新定义题,主要考查了圆的性质,相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,含30°角的直角三角形的性质等知识,读懂题意,利用前面探索的结论解决新的问题是解题的关键.5.(1)213222y x x =-++;(2)存在,13(,4)2P ,235(,)22P ,335(,)22P -;(3)点()2,1E【解析】【分析】(1)把()1,0A -,()0,2C 代入抛物线的解析式,利用待定系数法求解即可;(2)先求解抛物线的对称轴3,2x = 再求解CD 的长,由CDP 是以CD 为腰的等腰三角形,可得123CP DP DP CD ===.再作CH ⊥对称轴于点H ,从而可得答案;(3)先求解()4,0B .再求解直线BC 的解析式为122y x =-+.过点C 作CM EF ⊥于M ,设1,22E a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,213,222F a a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,根据BCD CEF BEF CDBF S S S S =++四边形111222BD OC EF CM EF BN =⋅+⋅+⋅列函数关系式,从而可得答案.【详解】解:(1)∵抛物线212y x mx n =-++经过()1,0A -,()0,2C , ∴10,22,m n n ⎧--+=⎪⎨⎪=⎩解得3,22.m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线的解析式为213222y x x =-++. (2)∵22131325222228y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭, ∴抛物线的对称轴是直线32x =.∴32OD =. ∵()0,2C ,∴2OC =.在Rt OCD △中,由勾股定理,得2235222CD ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭. ∵CDP 是以CD 为腰的等腰三角形,∴123CP DP DP CD ===.作CH ⊥对称轴于点H ,∴12HP HD ==.∴14DP =.∴13(,4)2P ,235(,)22P ,335(,)22P -. (3)当0y =时,由2132022x x -++=,解得11x =-,24x =, ∴()4,0B .设直线BC 的解析式为y kx b =+,得2,40,b k b =⎧⎨+=⎩解得1,22.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线BC 的解析式为122y x =-+. 过点C 作CM EF ⊥于M ,设1,22E a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,213,222F a a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,∴2213112222222EF a a a a a ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭. ∵BCD CEF BEF CDBF S S S S =++四边形111222BD OC EF CM EF BN =⋅+⋅+⋅ 2215111122(4)2222222a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+-++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭225134(2)22a a a =-++=--+. ∴根据题意04a ≤≤,∴当2a =时,CDBF S 四边形的最大值为132,此时点()2,1E . 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式,二次函数与等腰三角形,图形面积的最值问题,灵活运用二次函数的图象与性质解决问题是解题的关键.6.(1)(3,0)-;(2)①2(1)4y x =--+;②1x <-;(3)①5350;②不在,理由见解析【解析】【分析】(1)由题意可得,点N 和点M 关于1x =-轴对称,求解即可;(2)①先求得抛物线C 的解析式,再根据关于y 轴对称,求得抛物线1C 即可;②根据二次函数的性质,求解即可;(3)①由抛物线解析式可得抛物线n C 与x 轴交点的坐标为(1,0)A -,(2,0)n B n +,求得线段1AB 、2AB 、……、100AB 的值,即可求解;②求得顶点1P 、2P 、3P ,求得13P P 的解析式,然后验证2P 是否在直线上.【详解】解:(1)由题意可得,点N 和点M 关于1x =-轴对称∵(1,0)M∴点(3,0)N -故答案为(3,0)-(2)①由(1)得,抛物线C 过点(1,0)M 、(3,0)N -、(0,3)D抛物线C 的解析式为31y a x x =+-()(),将点(0,3)D 代入解析式得:(03)(01)3a +-=解得1a =-∴22(3)(1)(23)(1)4y x x x x x =-+-=-+-=-++,顶点坐标为(1,4)-∵抛物线C 与抛物线1C 关于y 轴对称∴抛物线1C 的顶点为(1,4),开口与抛物线C 相同∴抛物线1C 解析式为2(1)4y x =--+②抛物线C 的解析式为2(1)4y x =-++,由二次函数的性质可得,当1x <-时,y 随x 的增大而增大,抛物线1C 解析式为2(1)4y x =--+,由二次函数的性质可得,当1x <时,y 随x 的增大而增大, ∴当1x <-时,抛物线C 和抛物线1C 上y 都随x 的增大而增大, (3)①抛物线n C 的解析式为(1)(2)(1,2,3)y x x n n =-+--=可得抛物线n C 与x 轴交点的坐标为(1,0)A -,(2,0)n B n +,即1(3,0)B ,2(4,0)B ,……,100(102,0)B∴14AB =,25AB =,……,100103AB = ∴123100103455350AB AB AB AB =+++++=++②当1n =时,抛物线1C 的解析式为2(1)(3)(1)4y x x x =-+-=--+,1(1,4)P 当2n =时,抛物线2C 的解析式为2325(1)(4)()24y x x x =-+-=--+,2325(,)24P当3n =时,抛物线3C 的解析式为2(1)(5)(2)9y x x x =-+-=--+,3(2,9)P 设直线13P P 的解析式为y kx b =+,将点1(1,4)P ,3(2,9)P 代入得429k b k b +=⎧⎨+=⎩,解得51k b =⎧⎨=-⎩,即51y x =- 当32x =时,3132551224y =⨯-=≠ ∴点2325(,)24P 不在直线13P P 上∴抛物线的顶点123,,,,n P P P P 不在一条直线上【点睛】此题考查了二次函数的图像与性质,涉及了待定系数法求解二次函数和一次函数解析式,解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质.7.(1)(﹣1,﹣5),y =x ﹣4;(2)①a 的值为a =﹣2. 【解析】 【分析】(1)由“伴随直线”的定义即可求解;(2)①先求y =a (x −1)2−4a 的伴随直线为y =ax −5a ,再联立方程组2(1)45y a x ay ax a ⎧=--⎨=-⎩,求出A (1,−4a ),B (2,−3a ),C (−1,0),D (3,0),由于当△ABC 为等腰三角形时,只存在一种可能为AC =BC ,即可求a 的值;②先求直线BC 解析式为y =−ax −a ,过P 作x 轴的垂线交BC 于点Q ,设点P 的横坐标为x ,则P [x ,a (x −1)2−4a ],Q (x ,−ax −a ),23127()228PBC S a x a ∆=--,即可求面积的最大值,进而求a 的值. 【详解】(1)∵抛物线y =(x +1)2﹣5,∴顶点坐标为(﹣1,﹣5),“伴随直线”为y =x ﹣4, 故答案为:(﹣1,﹣5),y =x ﹣4;(2)①由“伴随直线”定义可得:y =a (x ﹣1)2﹣4a 的伴随直线为y =ax ﹣5a ,联立2(1)45y a x a y ax a ⎧=--⎨=-⎩,解得14x y a =⎧⎨=-⎩或23x y a=⎧⎨=-⎩,∴A (1,﹣4a ),B (2,﹣3a ),在y =a (x ﹣1)2﹣4a 中,令y =0可解得x =﹣1或x =3, ∴C (﹣1,0),D (3,0), ∴AC 2=4+16a 2,BC 2=9+9a 2,∵当△ABC 为等腰三角形时,只存在一种可能为AC =BC ,∴AC 2=BC 2,即4+16a 2=9+9a 2,解得=a ∵抛物线开口向下,∴a =∴若△ABC 为等腰三角形时,a 的值为 ②设直线BC 的解析式为y =kx +b , ∵B (2,﹣3a ),C (﹣1,0),∴200k b k b +=⎧⎨-+=⎩,解得k a b a =-⎧⎨=-⎩, ∴直线BC 解析式为y =﹣ax ﹣a ,如图,过P 作x 轴的垂线交BC 于点Q ,设点P 的横坐标为x , ∴P [x ,a (x ﹣1)2﹣4a ],Q (x ,﹣ax ﹣a ), ∵P 是直线BC 上方抛物线上的一个动点,∴22219(1)4(2)()24PQ a x a ax a a x x a x ⎡⎤=--++=--=--⎢⎥⎣⎦,∴23127()228PBC S a x a ∆=--, ∴当12x =时,△PBC 的面积有最大值278-a , ∴S 取得最大值274时,即272784-=a ,解得a =﹣2.【点睛】本题考查二次函数的综合应用,熟练掌握二次函数的图象及性质,理解新定义,将所求问题转化为直线与抛物线的知识是解题的关键.8.(1)见解析;(2)7;(3)2193.【解析】【分析】(1)根据两个菱形中,点E在BC的延长线上,点G在DC的延长线上这一特殊的位置关系和CE=BH可证明相应的边和角分别相等,从而证明结论;(2)由AB=BC,∠ABC=60 ,可证明△ABC是等边三角形,从而证明∠AHB=90°,再由△ABH≌△HEF,得∠HFE=∠AHB=90°,再得∠DPF=180°﹣∠HFE=90°,在Rt△DPF 中用勾股定理求出DF的长;(3)作FM⊥BG于点M,当EH⊥BC时,可证明CH=CM=12CG=12BH,从而求出BM、FM的长,再由勾股定理求出BF的长.【详解】解:(1)证明:如图1,∵四边形ABCD和四边形CEFG都是菱形,∴AB=BC,CE=EF,∵CE=BH,∴BH=EF,∵BH+CH=CE+CH,∴BC=HE,∴AB=HE;∵点E 在BC 的延长线上,点G 在DC 的延长线上, ∴AB ∥DG ∥EF , ∴∠B =∠E , 在△ABH 和△HEF 中, BH EF B E AB HE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△ABH ≌△HEF (SAS ).(2)如图2,设FH 交CG 于点P ,连结CF ,∵AB =BC ,∠ABC =60°, ∴△ABC 是等边三角形, ∵BH =CH , ∴AH ⊥BC , ∴∠AHB =90°,由(1)得,△ABH ≌△HEF , ∴∠HFE =∠AHB =90°, ∵DG ∥EF ,∴∠DPF =180°﹣∠HFE =90°, ∴PF ⊥CG ,∵CG =FG ,∠G =∠E =∠B =60°, ∴△GFC 是等边三角形, ∴PC =PG =12CG ;∵BC =AB =2, ∴CG =EF =BH =12BC =1,∴PC =12;∵CD =AB =2, ∴PD =12+2=52, ∵CF =CG =1,∴PF 2=CF 2﹣PC 2=12﹣(12)2=34, ∴22253()724DF PD PF =+=+=.(3)如图3,作FM ⊥BG 于点M ,则∠BMF =90°,∵EH ⊥BC ,即EH ⊥BG , ∴EH ∥FM ,∵∠CEF =∠ACB =60°, ∴EF ∥MH ,∴四边形EHMF 是平行四边形, ∵∠EHM =90°, ∴四边形EHMF 是矩形, ∴EH =FM ;∵EF =EC ,∠CEF =60°, ∴△CEF 是等边三角形, ∴CE =CF ,∵∠EHC =∠FMC =90°, ∴Rt △EHC ≌Rt △FMC (HL ), ∴CH =CM =12CG ;∵CG =CE =BH , ∴CH =12BH ,∴CM =CH =13BC =13×2=23,∴CF =CG =2CM =2×23=43, ∴2FM =(43)2﹣(23)2=43,∵BM =2+23=83,∴2224876219()339BF FM BM =++==. 【点睛】本题主要考查了几何综合,其中涉及到了菱形的性质,全等三角形的判定及性质,等边三角形的判定及性质,勾股定理,矩形的判定及性质等,熟悉掌握几何图形的性质和合理做出辅助线是解题的关键.9.(1)抛物线表达式为211242y x x =-++;直线表达式为122y x =-+;(2)△BQC的面积的最大值为2(3)△PBE 的面积为58(4)点N的坐标为(5(5235,45-)或(92,14). 【解析】 【分析】(1)首先根据二次函数的对称性求出点B 的坐标,然后利用待定系数法把点的坐标代入表达式求解即可;(2)过Q 点作QH 垂直x 轴交BC 于点H ,连接CQ ,BQ ,由二次函数表达式设点Q 的坐标为(x ,211242x x -++),表示出△BQC 的面积,根据二次函数的性质即可求出△BQC的面积的最大值;(3)根据题意设出点P 坐标为(m ,211m m 242-++),E 点坐标为(m ,122m -+),D 点坐标为(m ,0),表示出OD 和PE 的长度,根据OD =4PE 列出方程求出m 的值,即可求出PE 和BD 的长度,然后根据三角形面积公式求解即可;(4)当BD 是菱形的边和对角线时两种情况分别讨论,设出点M 和点N 的坐标,根据菱形的性质列出方程求解即可. 【详解】解:(1)∵抛物线的对称轴为x =1,A (﹣2,0), ∴B 点坐标为(4,0),∴将A (﹣2,0),B (4,0),C (0,2),代入y =ax 2+bx +c 得,42016402a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩解得:14122a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩,∴抛物线的表达式为211242y x x =-++;设直线BC 的函数表达式为y kx b =+,∴将B (4,0),C (0,2),代入y kx b =+得,4002k b b +=⎧⎨+=⎩,解得:122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,∴直线BC 的函数表达式为122y x =-+. (2)如图所示,过Q 点作QH 垂直x 轴交BC 于点H ,交x 轴于点M ,连接CQ ,BQ ,设点Q 的坐标为(x ,211242x x -++),点H 的坐标为(x ,122x -+),∴HQ =221111224224x x x x x ⎛⎫-++--+=-+ ⎪⎝⎭,∴()221111111422222242QBC QHC QHB S S S QH OM QH BM QH OM BM QH OB x x x x ⎛⎫=+=+=+==⨯-+⨯=-+ ⎪⎝⎭△△△, ∴当221222bx a=-=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时,2122222S =-⨯+⨯=, ∴△BQC 的面积的最大值为2;(3)设点P 坐标为(m ,211m m 242-++),E 点坐标为(m ,122m -+),D 点坐标为(m ,0),∴221111222424PE m m m m m ⎛⎫=-+--++=- ⎪⎝⎭,OD m =,∵OD =4PE ,∴21=44m m m ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭,整理得:250m m -=,解得:10m =(舍去),25m =,∴2211555444PE m m =-=⨯-=,D 点坐标为(5,0), ∴BD =1,∴115512248PBE S PE BD ==⨯⨯=△; (4)如图所示,当BD 是菱形的边时,BM 是菱形的边时,∵四边形BDNM 是菱形, ∴BD =BM =MN ,∴设M 点坐标为(a ,122a -+),N 点坐标为(a +1,122a -+),又∵B 点坐标为(4,0),D 点坐标为(5,0), ∴BD =1,()221422BM a a ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭, ∵BD =BM , ∴BD 2=BM 2, ∴()2214212a a ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭, 整理得:2540760a a -+=, 解得:1225254455a a =+=-,, ∴N 点坐标为(2555+,55-)或(2555-,55), 当BD 是菱形的边时,DM 是菱形的边时,∵四边形BDMN 是菱形,B 点坐标为(4,0),D 点坐标为(5,0), ∴BD =MN =DM =1,∴设M 点坐标为(b ,122b -+),N 点坐标为(b -1,122b -+), ∴DM2=()221522b b ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭, ∵BD =DM , ∴BD 2=DM 2,∴()2215212b b ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭, 整理得:25481120b b -+=, 解得:122845b b ==,(舍去), ∴N 点坐标为(235,45-);当BD 是菱形的对角线时,∵四边形BMDN 是菱形,B 点坐标为(4,0),D 点坐标为(5,0), ∴M 点横坐标为45922+=, 将92x =代入122y x =-+得:y =14-, ∴M 点的坐标为(92,14-),又∵点M 和点N 关于x 轴对称, ∴点N 的坐标为(92,14).综上所述,点N 的坐标为(25552555235,45-)或(92,14). 【点睛】此题考查了一次函数和二次函数表达式的求法,二次函数的性质,二次函数中三角形最大面积问题,菱形存在性问题等知识,解题的关键是根据题意设出点的坐标,表示出三角形面积,根据菱形的性质列出方程求解.10.(1)①见解析;②见解析;③7 (2)57221+77【解析】 【分析】(1)①根据旋转的性质得到CB CE =,求得EBC BEC ∠=∠,根据平行线的性质得到EBC BEA ∠=∠,于是得到结论;②如图1,过点B 作CE 的垂线BQ ,根据角平分线的性质得到AB BQ =,求得=CG BQ ,根据全等三角形的性质得到BH GH =,根据三角形的中位线定理即可得到结论; ③如图2,过点G 作BC 的垂线GM ,解直角三角形即可得到结论.(2)如图3,连接DB ,DG ,过G 作GP BC ⊥交BC 的延长线于P ,GN DC ⊥交DC 的延长线于N ,根据旋转的性质得到4==CE BC ,2CD AB ==,解直角三角形得到1NG =,3PG =,根据三角形的面积公式即可得到结论.(1)解:①证明:矩形ABCD 绕着点C 按顺时针方向旋转得到矩形FECG ,CB CE ∴=,EBC BEC ∴∠=∠,又//AD BC ,EBC BEA ∴∠=∠, BEA BEC ∴∠=∠,BE ∴平分AEC ∠;②证明:如图1,过点B 作CE 的垂线BQ ,BE 平分AEC ∠,BA AE ⊥,BQ CE ⊥,AB BQ ∴=,CG BQ ∴=,90BQH GCH ∠=∠=︒,BQ AB CG ==,BHQ GHC ∠=∠, ()BHQ GHC AAS ∴∆≅∆,即点H 是BG 中点, 又点P 是BC 中点,//PH CG ∴;③解:如图2,过点G 作BC 的垂线GM ,22BC AB ==,1BQ ∴=,30BCQ ∴∠=︒,90ECG ∠=︒, 60GCM ∴∠=︒, 1CG AB CD ===,32GM ∴=,12CM =, 222253()()722BG BM MG ∴=+=+=;(2)解:如图3,连接DB ,DG ,过G 作GP BC ⊥交BC 的延长线于P ,GN DC ⊥交DC 的延长线于N ,24BC AB ==,2AB ∴=,将矩形ABCD 绕着点C 按顺时针方向旋转得到矩形FECG ,4CE BC ∴==,2CD AB ==,点A ,E ,D 第二次在同一直线上,90CDE,12CD CE ∴=,60DCE ∴∠=︒,30NCG ∴∠=︒,2CG =, 1NG ∴=,3PG =,523DBG DBC DCG BCG S S S S ∆∆∆∆∴=++=+,2227BG BP PG =+=,25722177DBG S DM BG ∆∴==+. 【点睛】本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定和性质,矩形的性质,三角形的中位线定理,勾股定理,解直角三角形,解题的关键是正确地作出辅助线.11.(1)(2,2)-;(2)90°;(3)4- 【解析】 【分析】(1)如图1中,作BH y ⊥轴于H .只要证明()ACO CBH AAS △≌△即可解决问题; (2)过C 作CK x ⊥轴交OA 的延长线于K ,求证ACK DCO △≌△即可求出AOD ∠的度数可求;(3)作BE x ⊥轴于点E ,并延长交AC 的延长线于点F ,证明()ABE AFE ASA △≌△,由全等三角形的性质得出BE FE =,证明()ACD CBF ASA △≌△,得出BF AD =,则可得出答案. 【详解】解:(1)如图1中,作BH y ⊥轴于H .(4,0)-A ,(0,2)C ,4∴=OA ,2OC =,90AOC ACB BHC ∠=∠=∠=︒,90ACO BCH ∴∠+∠=︒,90CAO ACO ∠+∠=︒,CAO BCH ∴∠=∠,在ACO △与CBH 中,AOC BHCCAO BCH AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ACO CBH AAS ∴△≌△,4CH OA ∴==,2BH OC ==, 2OH CH OC ∴=-=,(2,2)C ∴-,故答案为:(2,2)-;(2)如图所示,过C 作CK x ⊥轴交OA 的延长线于K ,则90OCK ∠=︒,∵AOB 为等腰直角三角形, ∴45AOB ∠=︒, 又∵90OCK ∠=︒,∴9045K AOB AOB ∠=︒-∠=︒=∠, ∴OC CK =,ACD 为等腰直角三角形, 90ACD ∴∠=︒,AC DC =,90ACO OCD ∴∠+∠=︒,又∵90OCK ∠=︒,90ACO ACK ∴∠+∠=︒, ACK OCD ∴∠=∠,在ACK 与DCO 中,CK OC ACK OCD AC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ACK DCO SAS ∴△≌△,45DOC K ∴∠=∠=︒, 90AOD AOB DOC ∴∠=∠+∠=︒;(3)如图2中,作BE x ⊥轴于点E ,并延长交AC 的延长线于点F ,(4,0)-A ,(,0)D m ,4AD m ∴=+,AD 平分BAC ∠, BAE FAE ∴∠=∠,∵BE x ⊥轴于点E ,90AEB AEF ∴∠=∠=︒,在ABE △和AFE △中, AEB AEF AE AEBAE FAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ()ABE AFE ASA ∴△≌△,BE FE ∴=,∵B 的纵坐标为n ,且点B 在第四象限,BE FE n ∴==-, 2BF BE FE n ∴=+=-, 90ACB AEB ∠=∠=︒,90CAD CDA CBF BDE ∴∠+∠=∠+∠=︒,又∵CDA BDE ∠=∠,CAD CBF ∴∠=∠,在ACD △和BCF △中,ACD BCF AC BCCAD CBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ()ACD CBF ASA ∴△≌△,AD BF ∴=,42m n ∴+=-,即:24m n +=-, ∴2n m +的值为4-. 【点睛】本题是三角形综合题,考查了等腰直角三角形的性质,全等三角形的性质和判定,角平分线的定义,坐标与图形性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.12.(1)y=x﹣4(2)P(4)(3)存在,M(,0)或(﹣17,0)【解析】【分析】(1)先分别求出A、B、C三点的坐标,即可利用待定系数法求出直线BC的解析式;(2)设E(x1,x1﹣4),Q(x2,x2﹣4),则D(x1,x12﹣3x1﹣4),P(x2,x22﹣3x2﹣4),由平行四边形的性质得到ED=QP,即(x1﹣4)﹣(x12﹣3x1﹣4)=(x2﹣4)﹣(x22﹣3x2﹣4),从而推出x1+x2=4,再由四边形EDPQ的周长(0<x<4),即可利用二次函数的性质得到答案;(3)分△AEB∽△BDM和△AEB∽△BM′D,利用相似三角形的性质求解即可.(1)解:∵抛物线y=x2﹣3x﹣4与x轴交于A、B(A在B的左侧),与y轴交于点C,∴令x=0,则y=4,令y=0,则x2﹣3x﹣4=0,解得:x1=﹣1,x2=4,∴C(0,﹣4),A(﹣1,0),B(4,0),设直线BC的解析式为:y=kx+b(k≠0),∴把B、C坐标代入上式得:,解得:,∴直线BC的解析式为:y=x﹣4;(2)解:如图1,过D作轴交BC于E,点P是BC下方抛物线上动点(P在D的右∥轴交BC于Q,侧),过点P作PQ y又∵抛物线的解析式为:y=x2﹣3x﹣4,直线BC的解析式为:y=x﹣4,∴设E(x1,x1﹣4),Q(x2,x2﹣4),则D(x1,x12﹣3x1﹣4),P(x2,x22﹣3x2﹣4),若四边形EDPQ为平行四边形,则ED=QP,即(x1﹣4)﹣(x12﹣3x1﹣4)=(x2﹣4)﹣(x22﹣3x2﹣4),∴,∴解得:x1=x2(不合题意,应舍去),x1+x2=4,∵,ED=4x1﹣x12,又∵四边形EDPQ的周长把x2=4﹣x1代入上式得:四边形EDPQ的周长(0<x<4),∵﹣2<0,∴当时,四边形EDPQ的周长有最大值12,此时,∴P(,);(3)解:如图2,若DM∥EB,则∠DMB=∠EBM,∵AE∥DB,∴∠EAB=∠DBM,∴△AEB∽△BDM,∴,∵xD=1,∴yD=1﹣3﹣4=﹣6,∴D(1,﹣6),∵B(4,0),D(1,﹣6),∴yBD=2x﹣8,∵AE∥BD,∴设yAE=2x+n并把A(﹣1,0)代入得:yAE=2x+2,联立,解得:(与A重合,应舍去)或,∴,,∴,∴,∴,∴M(,0),②如图3,若∠DM′B=∠BEA且∠EAB=∠DBM′,∴△AEB∽△BM′D,∴,∴,∴BM′=21,∴OM′=BM′﹣BO=21﹣4=17,∴M′(﹣17,0),综上所述,M(,0)或(﹣17,0).【点睛】本题主要考查了二次函数的综合,二次函数与平行四边形,二次函数与相似三角形,一次函数与二次函数综合等等,解题的关键在于能够熟练掌握相关知识.13.(1)E(43,3)(2)4 3(3)k=6【解析】【分析】(1)由OB=4、OA=3,求出点A、B、C的坐标分别为:(0,3)、(4,0)、(4,3),由BF=13BC得到点F(4,1),进而求解;(2)F点的横坐标为4,则F(4,),E的纵坐标为3,则E(,3),进而求解;(3)当点G落在对角线AB上时,得到EF∥AB,则MF是△CGB的中位线,则点F是BC 的中点,即可求解;当点G落在OC上时,由①知,CG⊥AB,如果G落在OC上,则OC⊥AB,由题意得AB和OC不垂直,故该情况不存在.(1)解:∵OB=4,OA=3,∴点A、B的坐标分别为:(0,3)、(4,0)∵四边形OACB为矩形,则点C(4,3),当BF=13BC时,点F(4,1),将点F的坐标代入y=kx并解得:k=4,故反比例函数的表达式为:y=4x,当y=3时,x=43,故E(43,3);(2)解:∵F点的横坐标为4,点F在反比例函数上,∴F(4,),∴CF=BC-BF=3-=,∵E的纵坐标为3,∴E(,3),∴CE=AC-AE=4-13k=,在Rt△CEF中,tan∠EFC==43;(3)①当点G落在对角线AB上时,在Rt△ABC中,tan∠ABC=ACBC=43=tan∠EFC,故EF∥AB,连接CG交EF于点M,则MG=MC,即点M是CG的中点,而EF∥AB,故MF是CGB的中位线,则点F是BC的中点,故点F的坐标为(4,32),将点F的坐标代入反比例函数表达式得:k=4×32=6;②当点G落在OC上时,由①知,CG⊥AB,如果G落在OC上,则OC⊥AB,由题意得AB和OC不垂直,故点G不会落在OC上;综上,k=6.【点睛】。

中考数学压轴题十大题型(含详细答案)

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一、中考数学压轴题1.如图,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,直线y =-x + m 交 y 轴的正半轴于点A ,交x 轴的正半轴于点B ,过点A 的直线AF 交x 轴的负半轴于点F ,∠AFO=45°. (1)求∠FAB 的度数;(2)点 P 是线段OB 上一点,过点P 作 PQ ⊥OB 交直线 FA 于点Q ,连接 BQ ,取 BQ 的中点C ,连接AP 、AC 、CP ,过点C 作 CR ⊥AP 于点R ,设 BQ 的长为d ,CR 的长为h ,求d 与 h 的函数关系式(不要求写出自变量h 的取值范围);(3)在(2)的条件下,过点 C 作 CE ⊥OB 于点E ,CE 交 AB 于点D ,连接 AE ,∠AEC=2∠DAP ,EP=2,作线段 CD 关于直线AB 的对称线段DS ,求直线PS 与直线 AF 的交点K 的坐标.2.已知:如图,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,()2,0C .直线26y x =+与x 轴交于点A ,交y 轴于点B .过C 点作直线AB 的垂线,垂足为E ,交y 轴于点D . (1)求直线CD 的解析式;(2)点G 为y 轴负半轴上一点,连接EG ,过点E 作EH EG ⊥交x 轴于点H .设点G 的坐标为()0,t ,线段AH 的长为d .求d 与t 之间的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)(3)过点C 作x 轴的垂线,过点G 作y 轴的垂线,两线交于点M ,过点H 作HN GM ⊥于点N ,交直线CD 于点K ,连接MK ,若MK 平分NMB ∠,求t 的值.3.如图1,抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为C (1,4),交x 轴于A 、B 两点,交y 轴于点D ,其中点B 的坐标为(3,0).(1)求抛物线的解析式;(2)如图2,点E 是BD 上方抛物线上的一点,连接AE 交DB 于点F ,若AF=2EF ,求出点E 的坐标.(3)如图3,点M 的坐标为(32,0),点P 是对称轴左侧抛物线上的一点,连接MP ,将MP 沿MD 折叠,若点P 恰好落在抛物线的对称轴CE 上,请求出点P 的横坐标.4.如图,在梯形ABCD 中,AD//BC ,AB=CD=AD=5,cos 45B =,点O 是边BC 上的动点,以OB 为半径的O 与射线BA 和边BC 分别交于点E 和点M ,联结AM ,作∠CMN=∠BAM ,射线MN 与边AD 、射线CD 分别交于点F 、N .(1)当点E 为边AB 的中点时,求DF 的长;(2)分别联结AN 、MD ,当AN//MD 时,求MN 的长;(3)将O 绕着点M 旋转180°得到'O ,如果以点N 为圆心的N 与'O 都内切,求O 的半径长.5.如图,在平面直角坐标系中,直线6y x =+与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ,点C 在x 轴正半轴上,2ABC ACB ∠=∠.(1)求直线BC 的解析式;(2)点D 是射线BC 上一点,连接AD ,设点D 的横坐标为t ,ACD ∆的面积为S ()0S ≠,求S 与t 的函数解析式,并直接写出自变量t 的取值范围;(3)在(2)的条件下,AD 与y 轴交于点E ,连接CE ,过点B 作AD 的垂线,垂足为点H ,直线BH 交x 轴于点F ,交线段CE 于点M ,直线DM 交x 轴于点N ,当:7:12NF FC =时,求直线DM 的解析式.6.在梯形ABCD 中,//AD BC ,90B ∠=︒,45C ∠=︒,8AB =,14BC =,点E 、F 分别在边AB 、CD 上,//EF AD ,点P 与AD 在直线EF 的两侧,90EPF ∠=︒,PE PF =,射线EP 、FP 与边BC 分别相交于点M 、N ,设AE x =,MN y =.(1)求边AD 的长;(2)如图,当点P 在梯形ABCD 内部时,求关于x 的函数解析式,并写出定义域; (3)如果MN 的长为2,求梯形AEFD 的面积.7.如图,已知正方形ABCD 中,4,BC AC BD =、相交于点O ,过点A 作射线AM AC ⊥,点E 是射线AM 上一动点,连接OE 交AB 于点F ,以OE 为一边,作正方形OEGH ,且点A 在正方形OEGH 的内部,连接DH .(1)求证:EDO EAO ∆≅∆;(2)设BF x =,正方形OEGH 的边长为y ,求y 关于x 的函数关系式,并写出定义域;(3)连接AG ,当AEG ∆是等腰三角形时,求BF 的长.8.问题提出(1)如图①,在ABC 中,42,6,135AB AC BAC ==∠=,求ABC 的面积.问题探究(2)如图②,半圆O 的直径10AB =,C 是半圆AB 的中点,点D 在BC 上,且2CD BD =,点P 是AB 上的动点,试求PC PD +的最小值.问题解决(3)如图③,扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ,在边OA 上选点E ,在边OB 上选点F ,求PE EF FP ++的长度的最小值.9.如图,在ABC ∆中,14AB =,45B ∠=︒,4tan 3A =,点D 为AB 中点.动点P 从点D 出发,沿DA 方向以每秒1个单位长度的速度向终点A 运动,点P 关于点D 对称点为点Q ,以PQ 为边向上作正方形PQMN .设点P 的运动时间为t 秒.(1)当t =_______秒时,点N 落在AC 边上.(2)设正方形PQMN 与ABC ∆重叠部分面积为S ,当点N 在ABC ∆内部时,求S 关于t 的函数关系式.(3)当正方形PQMN 的对角线所在直线将ABC ∆的分为面积相等的两部分时,直接写出t 的值.10.对于平面直角坐标系xOy 中的任意点()P x y ,,如果满足x y a += (x ≥0,a 为常数),那么我们称这样的点叫做“特征点”.(1)当2≤a ≤3时,①在点(1,2),(1,3),(2.5,0)A B C 中,满足此条件的特征点为__________________;②⊙W 的圆心为(,0)W m ,半径为1,如果⊙W 上始终存在满足条件的特征点,请画出示意图,并直接写出m 的取值范围;(2)已知函数()10Z x x x=+>,请利用特征点求出该函数的最小值.11.如图,在平面直角坐标系中,点(1,2)A ,(5,0)B ,抛物线22(0)y ax ax a =->交x 轴正半轴于点C ,连结AO ,AB .(1)求点C 的坐标;(2)求直线AB 的表达式; (3)设抛物线22(0)y ax ax a =->分别交边BA ,BA 延长线于点D ,E .①若2AE AO =,求抛物线表达式;②若CDB △与BOA △相似,则a 的值为 .(直接写出答案)12.如图1,在平面直角坐标系中,抛物线239334y x x =--x 轴交于A B 、两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C . (1)过点C 的直线5334y x =-x 轴于点H ,若点P 是第四象限内抛物线上的一个动点,且在对称轴的右侧,过点P 作//PQ y 轴交直线CH 于点Q ,作//PN x 轴交对称轴于点N ,以PQ PN 、为邻边作矩形PQMN ,当矩形PQMN 的周长最大时,在y 轴上有一动点K ,x 轴上有一动点T ,一动点G 从线段CP 的中点R 出发以每秒1个单位的速度沿R K T →→的路径运动到点T ,再沿线段TB 以每秒2个单位的速度运动到B 点处停止运动,求动点G 运动时间的最小值:(2)如图2, 将ABC ∆绕点B 顺时针旋转至A BC ''∆的位置, 点A C 、的对应点分别为A C ''、,且点C '恰好落在抛物线的对称轴上,连接AC '.点E 是y 轴上的一个动点,连接AE C E '、, 将AC E ∆'沿直线C E '翻折为A C E ∆'', 是否存在点E , 使得BAA ∆'为等腰三角形?若存在,请求出点E 的坐标;若不存在,请说明理由.13.(1)如图1,A 是⊙O 上一动点,P 是⊙O 外一点,在图中作出PA 最小时的点A . (2)如图2,Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =8,BC =6,以点C 为圆心的⊙C 的半径是3.6,Q 是⊙C 上一动点,在线段AB 上确定点P 的位置,使PQ 的长最小,并求出其最小值. (3)如图3,矩形ABCD 中,AB =6,BC =9,以D 为圆心,3为半径作⊙D ,E 为⊙D 上一动点,连接AE ,以AE 为直角边作Rt △AEF ,∠EAF =90°,tan ∠AEF =13,试探究四边形ADCF 的面积是否有最大或最小值,如果有,请求出最大或最小值,否则,请说明理由.14.(问题探究)课堂上老师提出了这样的问题:“如图①,在ABC 中,108BAC ∠=︒,点D 是BC 边上的一点,7224BAD BD CD AD ∠=︒==,,,求AC 的长”.某同学做了如下的思考:如图②,过点C 作CE AB ∥,交AD 的延长线于点E ,进而求解,请回答下列问题:(1)ACE ∠=___________度;(2)求AC 的长.(拓展应用)如图③,在四边形ABCD 中,12075BAD ADC ∠=︒∠=︒,,对角线AC BD 、相交于点E ,且AC AB ⊥,22EB ED AE ==,,则BC 的长为_____________.15. 在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,直线y =﹣x+4与x 轴交于点A ,过点A 的抛物线y =ax 2+bx 与直线y =﹣x+4交于另一点B ,且点B 的横坐标为1.(1)该抛物线的解析式为;(2)如图1,Q 为抛物线上位于直线AB 上方的一动点(不与B 、A 重合),过Q 作QP ⊥x 轴,交x 轴于P ,连接AQ ,M 为AQ 中点,连接PM ,过M 作MN ⊥PM 交直线AB 于N ,若点P 的横坐标为t ,点N 的横坐标为n ,求n 与t 的函数关系式;在此条件下,如图2,连接QN 并延长,交y 轴于E ,连接AE ,求t 为何值时,MN ∥AE .(3)如图3,将直线AB 绕点A 顺时针旋转15度交抛物线对称轴于点C ,点T 为线段OA 上的一动点(不与O 、A 重合),以点O 为圆心、以OT 为半径的圆弧与线段OC 交于点D ,以点A 为圆心、以AT 为半径的圆弧与线段AC 交于点F ,连接DF .在点T 运动的过程中,四边形ODFA 的面积有最大值还是有最小值?请求出该值.16.如图,抛物线25y ax bx =+-交x 轴于点A 、B (A 在B 的左侧),交y 轴于点C ,且OB OC =,()2,0A -.(1)求抛物线的解析式;(2)点P 为第四象限抛物线上一点,过点P 作y 轴的平行线交BC 于点D ,设P 点横坐标为t ,线段PD 的长度为d ,求d 与t 的函数关系式.(不要求写出t 的取值范围) (3)在(2)的条件下,F 为BP 延长线上一点,且45PFC ∠=︒,连接OF 、CP 、PB ,FOB ∆的面积为3600169,求PBC ∆的面积.17.如图①,△ABC是等腰直角三角形,在两腰AB、AC外侧作两个等边三角形ABD和ACE,AM和AN分别是等边三角形ABD和ACE的角平分线,连接CM、BN,CM与AB交于点P.(1)求证:CM=BN;(2)如图②,点F为角平分线AN上一点,且∠CPF=30°,求证:△APF∽△AMC;(3)在(2)的条件下,求PFBN的值.18.如图,在⊙O中,直径AB=10,tanA=3.(1)求弦AC的长;(2)D是AB延长线上一点,且AB=kBD,连接CD,若CD与⊙O相切,求k的值;(3)若动点P以3cm/s的速度从A点出发,沿AB方向运动,同时动点Q以32cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动,设运动时间为t (0<t<103),连结PQ.当t为何值时,△BPQ为Rt△?19.如图,在矩形ABCD中,点E为BC的中点,连接AE,过点D作DF AE⊥于点F,过点C作CN DF⊥于点N,延长CN交AD于点M.(1)求证:AM MD=(2)连接CF,并延长CF交AB于G①若2AB=,求CF的长度;②探究当ABAD为何值时,点G恰好为AB的中点.20.在一次数学课上,李老师让同学们独立完成课本第23页第七题选择题(2)如图 1,如果 AB∥CD∥EF,那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=()A.180° B.270° C.360° D.540°(1)请写出这道题的正确选项;(2)在同学们都正确解答这道题后,李老师对这道题进行了改编:如图2,AB∥EF,请直接写出∠BAD,∠ADE,∠DEF之间的数量关系.(3)善于思考的龙洋同学想:将图1平移至与图2重合(如图3所示),当AD,ED分别平分∠BAC,∠CEF时,∠ACE与∠ADE之间有怎样的数量关系?请你直接写出结果,不需要证明.(4)彭敏同学又提出来了,如果像图4这样,AB∥EF,当∠ACD=90°时,∠BAC、∠CDE 和∠DEF之间又有怎样的数量关系?请你直接写出结果,不需要证明.21.如图1,以AB为直径作⊙O,点C是直径AB上方半圆上的一点,连结AC,BC,过点C作∠ACB的平分线交⊙O于点D,过点D作AB的平行线交CB的延长线于点E.(1)如图1,连结AD,求证:∠ADC=∠DEC.(2)若⊙O的半径为5,求CA•CE的最大值.(3)如图2,连结AE,设tan∠ABC=x,tan∠AEC=y,①求y关于x的函数解析式;②若CBBE=45,求y的值.22.发现来源于探究.小亮进行数学探究活动,作边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形AEFG(a>b),开始时,点E在AB上,如图1.将正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转.(1)如图2,小亮将正方形AEFG 绕点A 逆时针方向旋转,连接BE 、DG ,当点G 恰好落在线段BE 上时,小亮发现DG ⊥BE ,请你帮他说明理由.当a=3,b=2时,请你帮他求此时DG 的长.(2)如图3,小亮旋转正方形AEFG ,点E 在DA 的延长线上,连接BF 、DF .当FG 平分∠BFD 时,请你帮他求a :b 及∠FBG 的度数.(3)如图4,BE 的延长线与直线DG 相交于点P ,a=2b .当正方形AEFG 绕点A 从图1开始,逆时针方向旋转一周时,请你帮小亮求点P 运动的路线长(用含b 的代数式表示).23.问题探究(1)如图1.在ABC 中,8BC =,D 为BC 上一点,6AD =.则ABC 面积的最大值是_______.(2)如图2,在ABC 中,60BAC ∠=︒,AG 为BC 边上的高,O 为ABC 的外接圆,若3AG =,试判断BC 是否存在最小值?若存在,请求出最小值:若不存在,请说明理由.问题解决:如图3,王老先生有一块矩形地ABCD ,6212AB =,626BC =+,现在他想利用这块地建一个四边形鱼塘AMFN ,且满足点E 在CD 上,AD DE =,点F 在BC 上,且6CF =,点M 在AE 上,点N 在AB 上,90MFN ∠=︒,这个四边形AMFN 的面积是否存在最大值?若存在,求出面积的最大值;若不存在,请说明理由.24.问题一:如图①,已知AC =160km ,甲,乙两人分别从相距30km 的A ,B 两地同时出发到C 地.若甲的速度为80km /h ,乙的速度为60km /h ,设乙行驶时间为x (h ),两车之间距离为y (km ).(1)当甲追上乙时,x = .(2)请用x 的代数式表示y .问题二:如图②,若将上述线段AC 弯曲后视作钟表外围的一部分,线段AB 正好对应钟表上的弧AB (1小时的间隔),易知∠AOB =30°.(3)分针OD 指向圆周上的点的速度为每分钟转动 km ,时针OE 指向圆周上的点的速度为每分钟转动 °;(4)若从2:00起计时,求几分钟后分针与时针第一次重合?25.在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,抛物线(2)()y a x x m =++与x 轴交于点A C 、(点A 在点C 的左侧),与y 轴正半轴交于点B ,24OC OB ==.(1)如图1,求a m 、的值;(2)如图2,抛物线的顶点坐标是M ,点D 是第一象限抛物线上的一点,连接AD 交抛物线的对称轴于点N ,设点D 的横坐标是t ,线段MN 的长为d ,求d 与t 的函数关系式;(3)如图3,在(2)的条件下,当154d =时,过点D 作DE x 轴交抛物线于点E ,点P 是x 轴下方抛物线上的一个动点,连接PE 交x 轴于点F ,直线211y x b =+经过点D 交EF 于点G ,连接CG ,过点E 作EH CG 交DG 于点H ,若3CFG EGH S S =△△,求点P 的坐标.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、中考数学压轴题1.F解析:(1)∠FAB=90°;(2)22d h =;(3)直线PS 与直线AF 的交点K(-2,6).【解析】【分析】(1)通过直线AB 的解析式可求出点A 、B 的坐标,可知AOB 是等腰直角三角形,再结合已知条件即可确定90FAB ∠=︒;(2)根据已知条件证明CP=AC=QC=BC 从而得出△ACP 是等腰直角三角形,在Rt △CRP 中,利用sin ∠CPR 22CR CP ==,推出2CP CR =,继而得出22BQ CR =,得出答案; (3)过点 A 作AH ⊥CE 交 EC 的延长线于点 H ,延长 CH 到点 G ,使 HG=CH ,连接AG ,证明△AHC ≌△CEP ,设AH CE n ==,得出EG=CE+CH+GH=n+2+2=n+4,再通过角的等量代换,得出∠EAG=∠G ,从而有EG=EA=n+4,在Rt △AHE 中,通过勾股定理AE²=HE²+AH²可求出n 的值为6,从而得出直线AF 的解析式y = x + 8 ,再求出直线PS 的解析式为 y=-x+4,求交点即可.【详解】解:(1)如下图,y = -x + m ,当x=0时,y=m∴A (0,m ),OA=m当y=0时,0=-x+m ,x=m ,∴B (m ,0),OB=m∴OA=OB∴∠OAB=∠OBA=45°∵∠AFO=45°,∠FAB+∠FBA+∠AFB=180°∴∠FAB=90°(2)如下图 ,∵CP 、AC 分别是 Rt △QPB 和 Rt △QAB 的斜边上的中线∴CP= 12QB ,12AC QB =, ∴CP=AC=QC=BC∴∠CAB=∠CBA设∠CAB=∠CBA=α,∴∠CBP=45°+α∴∠CPB=∠CBP=45°+α∴∠PCB=180°-(∠CPB+∠CBP )=90°-2α∵∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=180°-2α∴∠ACP=∠ACB-∠PCB=180°-2α-(90°-2α)=90°∵AC=CP∴△ACP 是等腰直角三角形∴∠CPA=∠CAP=45°∵CR ⊥AP ,∴∠CRP=90°,在Rt △CRP 中sin ∠CPR 22CR CP == ∴2CP CR =∵12CP BQ =, ∴22BQ CR =即22d h =(3)过点 A 作AH ⊥CE 交 EC 的延长线于点 H ,延长 CH 到点 G ,使 HG=CH ,连接AG ∴∠AHC=∠CEP=90°∴∠HAC+∠HCA=∠PCE+∠HCA∴∠HAC=∠PCE ,∵AC=CP∴△AHC ≌△CEP∴CH=PE=2,AH=CE ,∴GH=CH=2,AH CE n ==∴EG=CE+CH+GH=n+2+2=n+4设∠DAP=β,则∠AEG=2β∴α+β=45°∵∠EBD=∠EDB=∠HDA=∠HAD=45°∴∠CAH=∠HAD-α=45°-α=β∵AH 垂直平分 GC∴AG=AC∴∠GAH=∠CAH=β∴∠G=90°-β 在△EAG 中∠EAG=180°-∠G-∠AEG=180°-(90°-β)-2β =90°-β∴∠EAG=∠G∴EG=EA=n+4在 Rt △AHE 中,AE²=HE²+AH²222(4)(2)n n n +=++126,2n n ==-(舍)∴AH=OE=6,EP=EB=2∴OB=OE+BE=8∴m=8,∴A (0,8)∴OA=OF=8 , ∴F (-8,0)∴直线 AF 的解析式为 y = x + 8∵CD=CE-DE=CE-BE=6-2=4∵线段 CD 关于直线 AB 的对称线段 DS∴SD=CD=4,∠CDA=∠SDA=45°∴∠CDS=90°,∴SD ∥x 轴过点 S 分别作 SM ⊥x 轴于点 M ,SN ⊥y 轴于点 N∴四边形 OMSN 、SMED 都是矩形∴OM=SN=OE-ME=2,ON=SM=DE=BE=2∴S(2,2)∵OP=OE-EP=6-2=4,∴P(4,0)设直线 PS 的解析式为 y=ax+b∴4022a b a b +=⎧⎨+=⎩,解得:14a b =-⎧⎨=⎩∴直线 PS 的解析式为 y=-x+4设直线PS 与直线AF 的交点K(x ,y)∴48y x y x =-+⎧⎨=+⎩解得26x y =-⎧⎨=⎩∴直线PS 与直线AF 的交点K(-2,6).【点睛】本题考查的知识点是一次函数与几何图形,将一次函数的图象与几何图形综合在一起的问题,是考查学生综合素质和能力的热点题型,它充分体现了数学解题中的数形结合思想和整体转化思想.本题考查的知识点有一次函数图象与坐标轴的交点问题、等腰直角三角形的判定及性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定及性质、矩形的性质、待定系数法求一次函数解析式、线段垂直平分线等.2.C解析:(1)112y x =-+;(2)1d t =-+;(3)6215t -= 【解析】【分析】(1)根据互相垂直两直线斜率积为-1,设出直线CE 的解析式,再将点C 坐标代入即可求解;(2)过点E 作EM ⊥y 轴于点M ,过点E 作EN x ⊥轴于点N ,通过解直角三角形可证EDM ≌EAN ,ENH ≌EMG ,得到AN =DM ,HN =GM ,进而得到AH DG =,再根据CE 解析式求出D 点坐标,即可找出d 与t 之间的函数关系式;(3)过点B 作BT CM ⊥于点T ,在直线BT 上截取TL NK =,证四边形BGMT 与四边形HNMC 均为矩形,得MN MT =,再进一步证明ENH ≌EMG ,利用全等三角形的性质通过角度计算,得出△BML 为等腰三角形且BM BL =,再用含有t 的代数式表示BM ,最后在Rt △BMG 中利用勾股定理建立等式,求出t 的值.【详解】解:(1)∵CE ⊥AB ,∴设直线CE 的解析式为:12y x c =-+, 把点C (2,0)代入上述解析式,得1c =,∴直线CD 的解析式为:112y x =-+; (2)过点E 作EM ⊥y 轴于点M ,过点E 作EN x ⊥轴于点N ,令26 112y xy x=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩,解得22xy=-⎧⎨=⎩,∴()2,2E-,易证EDM≌EAN,ENH≌EMG,∴AN=DM ,HN=GM,∴AH DG=,由直线CE的解析式112y x=-+,可求点D(0,1)∴DG=1—t,∴1d t=-+;(3)过点B作BT CM⊥于点T,在直线BT上截取TL NK=,易证四边形BGMT与四边形HNMC均为矩形,由(2)问可知1tAH GD==-,则6tHC=-∴6tBG MT==-,∴MN MT=,∵90KNM LTM∠=∠=︒,∴ENH≌EMG,∴LNKM∠=∠,设KMNα∠=,则KMB KMNα∠=∠=,∴90NKM α∠=︒-,∴90NKM L α∠=∠=︒-,∵//BL MN ,∴2MBL BMN α∠=∠=,∴18090BML MBL L α∠=︒-∠-∠=︒-,∴BM BL =, ∵1tan 2KCH ∠=, ∴11322KH CH t ==-, ∴133322KN KH HN t t t TL =+=--=-=, ∴352BL BT TL t BM =+=-=, 在Rt BMG △中, 222BM BG GM =+,解得t =(不合题意舍去)或t =故,65t -=. 【点睛】本题一次函数综合题,考查了待定系数法求解析式,一次函数的性质,全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,勾股定理等,利用已知条件求相等交,相等线段是解决本题的关键.3.E解析:(1)2y x 2x 3=-++;(2)E (2,3)或(1,4);(3)P 点横坐标为118【解析】【分析】(1) 抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为C (1,4),设抛物线的解析式为2(1)4y a x =-+,由抛物线过点B,(3,0),即可求出a 的值,即可求得解析式; (2)过点E 、F 分别作x 轴的垂线,交x 轴于点M 、N ,设点E 的坐标为()2,23x xx -++,求出A 、D 点的坐标,得到OM=x ,则AM=x+1,由AF=2EF 得到22(1)33x AN AM +==,从而推出点F 的坐标21210(,)3333x x --+,由23FN EM =,列出关于x 的方程求解即可;(3)先根据待定系数法求出直线DM 的解析式为y=-2x+3,过点P 作PT ∥y 轴交直线DM 于点T ,过点F 作直线GH ⊥y 轴交PT 于点G ,交直线CE 于点H.证明△FGP ≌△FHQ ,得到FG=FH ,PT=45GH.设点P (m ,-m²+2m+3),则T (m ,-2m+3),则PT=m²-4m ,GH=1-m , 可得m²-4m=45(1-m ),解方程即可. 【详解】(1)∵抛物线的顶点为C (1,4),∴设抛物线的解析式为2(1)4y a x =-+,∵抛物线过点B,(3,0),∴20(31)4a =-+,解得a=-1,∴设抛物线的解析式为2(1)4y x =--+,即2y x 2x 3=-++;(2)如图,过点E 、F 分别作x 轴的垂线,交x 轴于点M 、N ,设点E 的坐标为()2,23x x x -++,∵抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++,当y=0时,2023x x =-++,解得x=-1或x=3,∴A (-1.0),∴点D (0,3),∴过点BD 的直线解析式为3y x =-+,点F 在直线BD 上,则OM=x ,AM=x+1,∴22(1)33x AN AM +==, ∴2(1)2111333x x ON AN +=-=-=-, ∴21210(,)3333x x F --+,∴2210332233FN EM x x x +--++==, 解得x=1或x=2, ∴点E 的坐标为(2,3)或(1,4);(3)设直线DM 的解析式为y=kx+b ,过点D (0,3),M (32,0), 可得,3023k b b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩,解得k=-2,b=3,∴直线DM 的解析式为y=-2x+3,∴32OM =,3OD =, ∴tan ∠DMO=2, 如图,过点P 作PT ∥y 轴交直线DM 于点T ,过点F 作直线GH ⊥y 轴交PT 于点G ,交直线CE 于点H.∵PQ ⊥MT ,∴∠TFG=∠TPF ,∴TG=2GF ,GF=2PG ,∴PT=25GF , ∵PF=QF ,∴△FGP ≌△FHQ ,∴FG=FH ,∴PT=45GH. 设点P (m ,-m²+2m+3),则T (m ,-2m+3),∴PT=m²-4m ,GH=1-m ,∴m²-4m=45(1-m ), 解得:1112018m -=,或2112018m +=(不合题意,舍去), ∴点P 的横坐标为11201-. 【点睛】 本题考查二次函数综合题、平行线分线段成比例定理、轴对称性质等知识,解题的关键是学会用转化的思想思考问题,学会用数形结合的思想解决问题,有一定难度.4.D解析:(1)DF 的长为158;(2)MN 的长为5;(3)O 的半径长为258. 【解析】【分析】(1)作EH BM ⊥于H ,根据中位线定理得出四边形BMFA 是平行四边形,从而利用cos 45B =解直角三角形即可求算半径,再根据平行四边形的性质求FD 即可; (2)先证AMB CNM ∠=∠,再证MAD CNM ∠=∠,从而证明AFM NFD ∆~∆,得到AF MF AF DF NF MF NF DF=⇒=,再通过平行证明AFN DFM ∆~∆,从而得到AF NF AF MF NF DF DF MF=⇒=,通过两式相乘得出AF NF =再根据平行得出NF DF =, 从而得出答案.(3)通过图形得出MN 垂直平分'OO ,从而得出90BAM CMN ∠=∠=︒,再利用cos 45B =解三角函数即可得出答案. 【详解】(1)如图,作EH BM ⊥于H :∵E 为AB 中点,45,cos 5AB AD DC B ====∴52AE BE ==∴cos 45BH B BE == ∴2BH = ∴2253222EH ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭设半径为r ,在Rt OEH ∆中:()222322r r ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 解得:2516r =∵,E O 分别为,BA BM 中点 ∴BAM BEO OBE ∠=∠=∠又∵CMN BAM ∠=∠∴CMN OBE ∠=∠∴//MF AB∴四边形BMFA 是平行四边形∴2528AF BM r ===∴2515588FD AD AF =-=-= (2)如图:连接MD AN ,∵,B C BAM CMN ∠=∠∠=∠∴AMB CNM ∠=∠又∵AMB MAD ∠=∠∴MAD CNM ∠=∠又∵AFM NFD ∠=∠∴AFM NFD ∆~∆∴AF MF AF DF NF MF NF DF=⇒=① 又∵//MD AN ∴AFN DFM ∆~∆∴AF NF AF MF NF DF DF MF=⇒=② 由①⨯②得; 22AF NF AF NF =⇒=∴NF DF =∴5MN AD ==故MN 的长为5;(3)作如图:∵圆O 与圆'O 外切且均与圆N 内切设圆N 半径为R ,圆O 半径为r∴'=NO R r NO -=∴N 在'OO 的中垂线上 ∴MN 垂直平分'OO∴90NMC ∠=︒∵90BAM CMN ∠=∠=︒∴A 点在圆上∴54cos 5AB B BM BM === 解得:254BM = O 的半径长为258【点睛】 本题是一道圆的综合题目,难度较大,掌握相似之间的关系转化以及相关线段角度的关系转化是解题关键.5.A解析:(1)6y x =-+;(2)636S t =-,()6t >;(3)5599y x =+ 【解析】【分析】(1)求出点A 、B 的坐标,从而得出△ABO 是等腰直角三角形,再根据2ABC ACB ∠=∠可得△OCB 也是等腰直角三角形,从而可求得点C 的坐标,将点B 、C 代入可求得解析式;(2)存在2种情况,一种是点D 在线段BC 上,另一种是点D 在线段BC 的延长线上,分别利用三角形的面积公式可求得;(3)如下图,先证ACR CAD ∆≅∆,从而推导出//RD AC ,进而得到CF RG =,同理还可得NF DG =,RD CN =,然后利用:7:12NF FC =可得到N 、D 的坐标,代入即可求得.【详解】解:(1)直线6y x =+与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ,(6,0)A ∴-,(0,6)B .6OA OB ∴==.45BAO ∴∠=︒,180BAO ABC BCO ∠+∠+∠=︒,2ABC ACB ∠=∠,45BCO ∴∠=︒6OC OB ∴==,()6,0C ∴.设直线BC 的解析式为y kx b =+,将B 、C 两点坐标代得606k b b +=⎧⎨=⎩ 解得16k b =-⎧⎨=⎩∴直线BC 的解析式为6y x =-+.(2)点D 是射线BC 上一点,点D 的横坐标为t ,(,6)D t t ∴-+,6(6)12AC =--=.如下图,过点D 作DK AC ⊥于点K ,当点D 在线段BC 上时,6DK t =-+,16362S AC DK t ∴=⋅=-+()06t ≤<; 如下图,当点D 在线段BC 的延长线上时,6DK t =-,636S t ∴=-()6t >.(3)如图,延长CE 交AB 于点R ,连接DR 交BF 于点G ,交y 轴于点P .45BAO BCO ∠=∠=︒,BA BC ∴=.AO CO =,BO AC ⊥EA EC ∴=,EAC ECA ∴∠=∠.ACR CAD ∴∆≅∆.BAD BCR ∴∠=∠.AR CD ∴=.BR BD ∴=.//RD AC ∴.BH AD ⊥,HBD BAD BCR ∴∠=∠=∠.MB MC ∴=,∠MRB MRB MBR ∠=∠MR MB ∴=.CM MR ∴=.//RD AC ,::1:1CF RG CM RM ∴==.CF RG ∴=.同理NF DG =.RD CN =.∵:7:12NF FC =.:7:12DG RG ∴=.RP PD BP ==,5tan 19PG OF OBF BP OB∴==∠= 6OB ∴=,3019OF ∴=,6OC =,8419CF ∴=. 7RD GN ∴==.1ON ∴=,72PD =.52OP OB BP ∴=-=. (1,0)N ∴-,75,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 设直线 DN 的解析式为y ax c =+,将N 、D 两点代入,07522a c a c -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得5959 ac⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线DM的解析式为5599y x=+.【点睛】本题考查了一次函数与图形的综合,需要用到全等、三角函数和平面直角坐标系的知识,解题关键是想办法确定函数图像上点的坐标.6.D解析:(1)6;(2)y=-3x+10(1≤x<103);(2)1769或32【解析】【分析】(1)如下图,利用等腰直角三角形DHC可得到HC的长度,从而得出HB的长,进而得出AD的长;(2)如下图,利用等腰直角三角形的性质,可得PQ、PR的长,然后利用EB=PQ+PR得去x、y的函数关系,最后根据图形特点得出取值范围;(3)存在2种情况,一种是点P在梯形内,一种是在梯形外,分别根y的值求出x的值,然后根据梯形面积求解即可.【详解】(1)如下图,过点D作BC的垂线,交BC于点H∵∠C=45°,DH⊥BC∴△DHC是等腰直角三角形∵四边形ABCD是梯形,∠B=90°∴四边形ABHD是矩形,∴DH=AB=8∴HC=8∴BH=BC-HC=6∴AD=6(2)如下图,过点P作EF的垂线,交EF于点Q,反向延长交BC于点R,DH与EF交于点G∵EF ∥AD,∴EF ∥BC∴∠EFP=∠C=45°∵EP ⊥PF∴△EPF 是等腰直角三角形同理,还可得△NPM 和△DGF 也是等腰直角三角形∵AE=x∴DG=x=GF,∴EF=AD+GF=6+x∵PQ ⊥EF,∴PQ=QE=QF∴PQ=()162x + 同理,PR=12y ∵AB=8,∴EB=8-x∵EB=QR∴8-x=()11622x y ++ 化简得:y=-3x+10 ∵y >0,∴x <103 当点N 与点B 重合时,x 可取得最小值则BC=NM+MC=NM+EF=-3x+10+614x +=,解得x=1∴1≤x <103(3)情况一:点P 在梯形ABCD 内,即(2)中的图形 ∵MN=2,即y=2,代入(2)中的关系式可得:x=83=AE ∴188176662339ABCD S ⎛⎫=⨯++⨯= ⎪⎝⎭梯形 情况二:点P 在梯形ABCD 外,图形如下:与(2)相同,可得y=3x -10则当y=2时,x=4,即AE=4 ∴()16644322ABCD S =⨯++⨯=梯形 【点睛】本题考查了等腰直角三角形、矩形的性质,难点在于第(2)问中确定x 的取值范围,需要一定的空间想象能力. 7.A解析:(1)详见解析;(2)2448x x y -+=(04x <<);(3)当AEG ∆是等腰三角形时,2BF =或43【解析】【分析】 (1)根据正方形的性质得到∠AOD=90°,AO=OD ,∠EOH=90°,OE=OH ,由全等三角形的性质即可得到结论;(2)如图1,过O 作ON ⊥AB 于N ,根据等腰直角三角形的性质得到122AN BN ON AB ====, 根据勾股定理得到()222222248OF FN ON x x x =+=-+=-+线段成比例定理即可得到结论;(3)①当AE=EG 时,△AEG 是等腰三角形,②当AE=AG 时,△AEG 是等腰三角形,如图2,过A 作AP ⊥EG 于P ③当GE=AG 时,△AEG 是等腰三角形,如图3,过G 作GQ ⊥AE 于Q ,根据相似三角形的性质或全等三角形的性质健即可得到结论.【详解】(1)∵四边形ABCD 是正方形,,OA OD AC BD ∴=⊥,90AOD ∴∠=︒,∵四边形OEGH 是正方形,,90OE OH EOH ∴=∠=︒,AOD EOH ∴∠=∠,AOD AOH EOH AOH ∴∠-∠=∠-∠,即HOD EOA ∠=∠,HDO EAO ∴∆≅∆.(2)如图1,过O 作ON⊥AB 于N ,则122AN BN ON AB ====, ∵BF=x,∴AF=4-x ,∴FN=2-x , ∴()222222248OF FN ON x x x =+=-+=-+∴248EF y x x =-+ ∵AM⊥AC,∴AE∥OB,∴BF OF AF EF=, ∴2248448x x x x y x x -+=---+, ∴)24804x x y x x-+≤=<; (3)①当AE=EG 时,△AEG 是等腰三角形,则AE=OE ,∵∠EAO=90°,∴这种情况不存在;②当AE=AG 时,△AEG 是等腰三角形,如图2,过A 作AP⊥EG 于P ,则AP∥OE,∴∠PAE=∠AEO,∴△APE∽△EAO,∴PE AE OA OE=,∵AE=AG,∴2421482x xxPE y-+==,()22248xAE yx-=-=,∴()22222224448448xx xxx xx---+=+,解得:x=2,②当GE=AG时,△AEG是等腰三角形,如图3,过G作GQ⊥AE于Q,∴∠GQE=∠EAO=90°,∴∠GEQ+∠EGQ=∠GEQ+∠AEO=90°,∴∠EGQ=∠AEO,∵GE=OE,∴△EGQ≌△OEA(AAS),∴22EQ AO==∴224242()xAE E Q-===∴43x =, ∴BF=2或43. 【点睛】本题考查了四边形的综合题,正方形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,勾股定理,正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.8.B解析:(1)12;(2)3)【解析】【分析】(1)如图1中,过点B 作BD CA ⊥,交CA 延长线于点D ,通过构造直角三角形,求出BD 利用三角形面积公式求解即可.(2)如图示,作点D 关于AB 的对称点Q ,交AB 于点H ,连接CQ ,交AB 于点P ,连接PD 、OD 、OC ,过点Q 作QM CO ⊥,交CO 延长线于点M ,确定点P 的位置,利用勾股定理与矩形的性质求出CQ 的长度即为答案.(3)解图3所示,在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ,作点P 关于OB 的对称点N ,连接SN ,交OA 于点E ,交OB 于点F ,连接OS ON OP EP FP 、、、、,通过轴对称性质的转化,最终确定最小值转化为SN 的长.【详解】(1)如解图1所示,过点B 作BD CA ⊥,交CA 延长线于点D ,135BAC ∠=,180********BAD BAC ∴∠=-∠=-=,BD CA ⊥,交CA 延长线于点D ,BAD ∴为等腰直角三角形,且90BDA ∠=,BD AD ∴=,在BAD 中,,90BD AD BDA =∠=,222BD AD AB ∴+=,即222BD AB =,4AB =222232BD AB ∴===,解得:4BD =,6AC =,11641222ABC S AC BD ∴=⋅=⨯⨯=.(2)如解图2所示,作点D 关于AB 的对称点Q ,交AB 于点H ,连接CQ ,交AB 于点P ,连接PD 、OD 、OC ,过点Q 作QM CO ⊥,交CO 延长线于点M , D 关于AB 的对称点Q ,CQ 交AB 于点P ,PD PQ ∴=,PC PD PC PQ CQ ∴+=+=,点P 为AB 上的动点,PC PD CQ ∴+≥,∴当点P 处于解图2中的位置,PC PD +取最小值,且最小值为CQ 的长度, 点C 为半圆AB 的中点,90COB ∴∠=,90BOD COD COB ∠+∠=∠=,11903033BOD COB ∴∠=∠=⨯=, 10AB =,1110522OD AB ∴==⨯=, 在Rt ODH △中,由作图知,90OHD ∠=,且30HOD BOD ∠=∠=, 155,222DH OD QH DH ∴==∴==, 222255352OH OD DH ⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭, 由作图知,四边形OMQH 为矩形,553,2OM QH MQ OH ∴==== 515522CM OM OC ∴=+=+=, 222215535322CQ CM MQ ⎛⎫⎛⎫∴=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,PC PD ∴+的最小值为53.(3)如解图3所示,在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ,作点P 关于OB 的对称点N ,连接SN ,交OA 于点E ,交OB 于点F ,连接OS ON OP EP FP 、、、、, 点P 关于OA 的对称点S ,点P 关于OB 的对称点N ,连接SN ,交OA 于点E ,交OB 于点F ,PE SE ∴=,FP FN =,SOA POA ∠=∠,,NOB POB OS OP ON ∠=∠==,.PE EF FP SE EF FN SN ∴++=++=,SOA NOB POA POB ∠+∠=∠+∠,E 为OA 上的点,F 为OB 上的点PE EF FP SN ∴++≥,∴当点E F 、处于解图3的位置时,PE EF FP ++的长度取最小值,最小值为SN 的长度,45POA POB AOB ∠+∠=∠=,45SOA NOB ∴∠+∠=,454590SON SOA AOB NOB ∴∠=∠+∠+∠=+=.扇形AOB 的半径为20,20OS ON OP ∴===,在Rt SON 中,90SON ∠=,20,90OS ON SON ==∠=PE EF FP ∴++的长度的最小值为202【点睛】本题主要考察了轴对称、勾股定理、圆、四边形等相关内容,理解题意,作出辅助线是做题的关键.9.A解析:(1)145;(2)2274,0314971421,2235t tSt t t⎧⎛⎫<≤⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+-<<⎪⎪⎝⎭⎩;(3)t的值为477或727.【解析】【分析】(1)如下图,根据4tan3A=,可得出PN与AP的关系,从而求出t的值;(2)如下图,存在2种情况,一种是点M在△ABC内,另一种是点M在△ABC外部,分别根据正方形和三角形求面积的公式可求解;(3)如下图,存在2种情况,一种是PM所在的直线将△ABC的面积平分,另一种是QN 所在的直线将△ABC的面积平分.【详解】(1)如图1,点N在AC上图1由题意可知:PD=DQ=t ,AP=7-t∴PN=PQ=2t ∵4tan 3A = ∴43NP AP =,即2473t t =- 解得:t=145 (2)①如图2,图2四边形PQMN 是正方形,90BQM ∴∠=︒,45B ∠=︒,BQ MQ ∴=,即72t t -=解得73t =, 故当0t <≤73时,22(2)4S t t ==; ②如图3, 图390BQF ∠=︒,45B ∠=︒,7BQ FQ t ∴==-,45BFQ MFE ∠=∠=︒,则37MF MQ QF t =-=-,90M ∠=︒,37ME MF t ∴==-, 则2221149(2)(37)21222S t t t t =--=-+-71435t ⎛⎫<< ⎪⎝⎭; 综上,2274,0314971421,2235t t S t t t ⎧⎛⎫<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+-<< ⎪⎪⎝⎭⎩. (3)如下图,过点C 作AB 的垂线,交AB 于点G图4∵4tan 3A = ∴设CG=4x ,则AG=3x∵∠B=45°∴△CBG 是等腰直角三角形∴GB=GC=4x∵AB=14∴3x+4x=14,解得:x=2∴1148562ABC S== ∴1282ABCS = 情况一:PM 所在的直线平分△ABC 的面积,如下图,PM 与BC 交于点E图5则28PBES=∵四边形PQMN是正方形,∴∠EPB=45°∵∠B=45°∴△PBE是等腰直角三角形∵1282PBES PE PB==∴PE=PB=214∴PB=47∵PB=AB-PA=14-(7-t)=7+t∴7+t=47t=477-情况二:如下图,QN所在线段平分△ABC的面积,QF交AC于点F,过点F作AB的垂线,交AB于点H图6同理,28AFQS=∵四边形PQMN是正方形,∴∠EQH=45°∴△FHQ是等腰直角三角形∵4 tan3A=∴设FH=4y,则AH=3y,HQ=FH=4y,∴AQ=7y∴174282AFQS y y==,解得:2∵AQ=AB-QB=14-(7-t)=7+t∴2解得:27∴综上得:t的值为477或727.【点睛】本题考查动点问题,解题关键是根据动点的变化情况,适当划分为几种不同的形式分别分析求解.10.A。

初三中考数学整合压轴题100题(附答案)

初三中考数学整合压轴题100题(附答案)

初三中考数学整合压轴题100题(附答案)一、中考压轴题1.如图,已知△BEC是等边三角形,∠AEB=∠DEC=90°,AE=DE,AC,BD的交点为O.(1)求证:△AEC≌△DEB;(2)若∠ABC=∠DCB=90°,AB=2 cm,求图中阴影部分的面积.【分析】(1)在△AEC和△DEB中,已知AE=DE,BE=CE,且夹角相等,根据边角边可证全等.(2)由图可知,在连接EO并延长EO交BC于点F,连接AD之后,整个图形是一个以EF所在直线对称的图形.即△AEO和△DEO面积相等,只要求出其中一个即可,而三角形AEO面积=•OE•FB,所以解题中心即为求出OE和FB,有(1)中结论和已知条件即可求解.【解答】(1)证明:∵∠AEB=∠DEC=90°,∴∠AEB+∠BEC=∠DEC+∠BEC,即∠AEC=∠DEB,∵△BEC是等边三角形,∴CE=BE,又AE=DE,∴△AEC≌△DEB.(2)解:连接EO并延长EO交BC于点F,连接AD.由(1)知AC=BD.∵∠ABC=∠DCB=90°,∴∠ABC+∠DCB=180°,∴AB∥DC,AB==CD,∴四边形ABCD为平行四边形且是矩形,∴OA=OB=OC=OD,又∵BE=CE,∴OE所在直线垂直平分线段BC,∴BF=FC,∠EFB=90°.∴OF=AB=×2=1,∵△BEC是等边三角形,∴∠EBC=60°.在Rt△AEB中,∠AEB=90°,∠ABE=∠ABC﹣∠EBC=90°﹣60°=30°,∴BE=AB•cos30°=,在Rt△BFE中,∠BFE=90°,∠EBF=60°,∴BF=BE•cos60°=,EF=BE•sin60°=,∴OE=EF﹣OF==,∵AE=ED,OE=OE,AO=DO,∴△AOE≌△DOE.∴S△AOE=S△DOE∴S阴影=2S△AOE=2וEO•BF=2×××=(cm2).【点评】考查综合应用等边三角形、等腰三角形、解直角三角形、直角三角形性质,进行逻辑推理能力和运算能力.2.汽车产业的发展,有效促进我国现代化建设.某汽车销售公司2005年盈利1500万元,到2007年盈利2160万元,且从2005年到2007年,每年盈利的年增长率相同.(1)该公司2006年盈利多少万元?(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变,预计2008年盈利多少万元?【分析】(1)需先算出从2005年到2007年,每年盈利的年增长率,然后根据2005年的盈利,算出2006年的利润;(2)相等关系是:2008年盈利=2007年盈利×每年盈利的年增长率.【解答】解:(1)设每年盈利的年增长率为x,根据题意得1500(1+x)2=2160解得x1=0.2,x2=﹣2.2(不合题意,舍去)∴1500(1+x)=1500(1+0.2)=1800答:2006年该公司盈利1800万元.(2)2160(1+0.2)=2592答:预计2008年该公司盈利2592万元.【点评】本题的关键是需求出从2005年到2007年,每年盈利的年增长率.等量关系为:2005年盈利×(1+年增长率)2=2160.3.如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,点P、Q分别是AB边和CD边上的动点,点P从点A向点B运动,点Q从点C向点D运动,且保持AP=CQ.设AP=x.(1)当PQ∥AD时,求x的值;(2)当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时,求x的取值范围;(3)当线段PQ的垂直平分线与BC相交时,设交点为E,连接EP、EQ,设△EPQ的面积为S,求S关于x的函数关系式,并写出S的取值范围.【分析】(1)根据已知条件,证明四边形APQD是矩形,再根据矩形的性质和AP=CQ 求x即可;(2)连接EP、EQ,则EP=EQ,设BE=y,列出等式(8﹣x)2+y2=(6﹣y)2+x2然后根据函数的性质来求x的取值范围;(3)由图形的等量关系列出方程,再根据函数的性质来求最值.【解答】解:(1)当PQ∥AD时,则∠A=∠APQ=90°,∠D=∠DQP=90°,又∵AB∥CD,∴四边形APQD是矩形,∴AP=QD,∵AP=CQ,AP=CD=,∴x=4.(2)如图,连接EP、EQ,则EP=EQ,设BE=y.∴(8﹣x)2+y2=(6﹣y)2+x2,∴y=.∵0≤y≤6,∴0≤≤6,∴≤x≤.(3)S△BPE=•BE•BP=••(8﹣x)=,S△ECQ==•(6﹣)•x=,∵AP=CQ,∴S BPQC=,∴S=S BPQC﹣S△BPE﹣S△ECQ=24﹣﹣,整理得:S==(x﹣4)2+12(),∴当x=4时,S有最小值12,当x=或x=时,S有最大值.∴12≤S≤.【点评】解答本题时,涉及到了矩形的判定、矩形的性质、勾股定理以及二次函数的最值等知识点,这是一道综合性比较强的题目,所以在解答题目时,一定要把各个知识点融会贯通,这样解题时才会少走弯路.4.(1)已知一元二次方程x2+px+q=0(p2﹣4q≥0)的两根为x1、x2;求证:x1+x2=﹣p,x1•x2=q.(2)已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B两点,且过点(﹣1,﹣1),设线段AB的长为d,当p为何值时,d2取得最小值,并求出最小值.【分析】(1)先根据求根公式得出x1、x2的值,再求出两根的和与积即可;(2)把点(﹣1,﹣1)代入抛物线的解析式,再由d=|x1﹣x2|可知d2=(x1﹣x2)2=(x1+x2)2﹣4 x1•x2=p2,再由(1)中x1+x2=﹣p,x1•x2=q即可得出结论.【解答】证明:(1)∵a=1,b=p,c=q∴△=p2﹣4q∴x=即x1=,x2=∴x1+x2=+=﹣p,x1•x2=•=q;(2)把(﹣1,﹣1)代入y=x2+px+q得1﹣p+q=﹣1,所以,q=p﹣2,设抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为(x1,0)、(x2,0)∵d=|x1﹣x2|,∴d2=(x1﹣x2)2=(x1+x2)2﹣4x1•x2=p2﹣4q=p2﹣4p+8=(p﹣2)2+4当p=2时,d2的最小值是4.【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点及根与系数的关系,熟知x1,x2是方程x2+px+q =0的两根时,x1+x2=﹣p,x1x2=q是解答此题的关键.5.如图,反比例函数的图象经过点A(4,b),过点A作AB⊥x轴于点B,△AOB的面积为2.(1)求k和b的值;(2)若一次函数y=ax﹣3的图象经过点A,求这个一次函数的解析式.【分析】(1)由△AOB的面积为2,根据反比例函数的比例系数k的几何意义,可知k的值,得出反比例函数的解析式,然后把x=4代入,即可求出b的值;(2)把点A的坐标代入y=ax﹣3,即可求出这个一次函数的解析式.【解答】解:(1)∵反比例函数的图象经过点A,AB⊥x轴于点B,△AOB的面积为2,A(4,b),∴OB×AB=2,×4×b=2,∴AB=b=1,∴A(4,1),∴k=xy=4,∴反比例函数的解析式为y=,即k=4,b=1.(2)∵A(4,1)在一次函数y=ax﹣3的图象上,∴1=4a﹣3,∴a=1.∴这个一次函数的解析式为y=x﹣3.【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式和反比例函数中k的几何意义.这里体现了数形结合的思想,做此类题一定要正确理解k的几何意义.6.广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,房地产开发商为了加快资金周转,对价格经过两次下调后,决定以每平方米4860元的均价开盘销售.(1)求平均每次下调的百分率.(2)某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房,开发商给予以下两种优惠方案以供选择:①打9.8折销售;②不打折,一次性送装修费每平方米80元,试问哪种方案更优惠?【分析】(1)根据题意设平均每次下调的百分率为x,列出一元二次方程,解方程即可得出答案;(2)分别计算两种方案的优惠价格,比较后发现方案①更优惠.【解答】解:(1)设平均每次下调的百分率为x,则6000(1﹣x)2=4860,解得:x1=0.1=10%,x2=1.9(舍去),故平均每次下调的百分率为10%;(2)方案①购房优惠:4860×100×(1﹣0.98)=9720(元);方案②可优惠:80×100=8000(元).故选择方案①更优惠.【点评】本题主要考查一元二次方程的实际应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解,属于中档题.7.用两种方法解答:已知m、n是关于x的方程x2+(p﹣2)x+1=0两个实数根,求代数式(m2+mp+1)(n2+np+1)的值.【分析】本题主要是利用韦达定理来计算.已知m、n是关于x的方程x2+(p﹣2)x+1=0两个实数根,有四个等式可供使用:m+n=2﹣p①,mn=1②,m2+(p﹣2)m+1=0③,n2+(p﹣2)n+1=0④.通过变形方法,合理地选择解题方法.【解答】解:∵m、n是x2+(p﹣2)x+1=0的根,∴m+n=2﹣p,mn=1.方法一:m2+(p﹣2)m+1=0,n2+(p﹣2)n+1=0.即m2+pm+1=2m,n2+pn+1=2n.原式=2m×2n=4mn=4.方法二:(m2+mp+1)(n2+np+1)=(m2+mp)(n2+np)+m2+mp+n2+np+1=m2n2+m2np+mpn2+mnp2+m2+mp+n2+np+1=1+mp+np+p2+m2+n2+mp+np+1=2+p2+m2+n2+2(m+n)p=2+p2+m2+n2+2(2﹣p)p=2+p2+m2+n2+4p﹣2p2=2+(m+n)2﹣2mn+4p﹣2p2+p2=2+(2﹣p)2﹣2+4p﹣2p2+p2=4﹣4p+p2+4p﹣p2=4.【点评】本题主要是通过根与系数的关系来求值.注意把所求的代数式转化成m+n=2﹣p,mn=1的形式,正确对所求式子进行变形是解题的关键.8.如图,一次函数y=﹣x﹣2的图象分别交x轴、y轴于A、B两点,P为AB的中点,PC⊥x轴于点C,延长PC交反比例函数y=(x<0)的图象于点Q,且tan∠AOQ=.(1)求k的值;(2)连接OP、AQ,求证:四边形APOQ是菱形.【分析】(1)由一次函数解析式确定A点坐标,进而确定C,Q的坐标,将Q的坐标代入反比例函数关系式可求出k的值.(2)由(1)可分别确定QC=CP,AC=OC,且QP垂直平分AO,故可证明四边形APOQ是菱形.【解答】(1)解:∵y=﹣x﹣2令y=0,得x=﹣4,即A(﹣4,0)由P为AB的中点,PC⊥x轴可知C点坐标为(﹣2,0)又∵tan∠AOQ=可知QC=1∴Q点坐标为(﹣2,1)将Q点坐标代入反比例函数得:1=,∴可得k=﹣2;(2)证明:由(1)可知QC=PC=1,AC=CO=2,且A0⊥PQ∴四边形APOQ是菱形.【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式,又结合了几何图形进行考查,属于综合性比较强的题目,有一定难度.9.我国年人均用纸量约为28公斤,每个初中毕业生离校时大约有10公斤废纸;用1吨废纸造出的再生好纸,所能节约的造纸木材相当于18棵大树,而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树.(1)若我市2005年4万名初中毕业生能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸,那么最少可使多少亩森林免遭砍伐?(2)我市从2000年初开始实施天然林保护工程,大力倡导废纸回收再生,如今成效显著,森林面积大约由2003年初的50万亩增加到2005年初的60.5万亩.假设我市年用纸量的20%可以作为废纸回收、森林面积年均增长率保持不变,请你按全市总人口约为1000万计算:在从2005年初到2006年初这一年度内,我市因回收废纸所能保护的最大森林面积相当于新增加的森林面积的百分之几?(精确到1%)【分析】(1)因为每个初中毕业生离校时大约有10公斤废纸,用1吨废纸造出的再生好纸,所能节约的造纸木材相当于18棵大树,而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树,所以有40000×10÷1000×18÷80,计算出即可求出答案;(2)森林面积大约由2003年初的50万亩增加到2005年初的60.5万亩,可先求出森林面积年均增长率,进而求出2005到2006年新增加的森林面积,而因回收废纸所能保护的最大森林面积=1000×10000×28×20%÷1000×18÷50,然后进行简单的计算即可求出答案.【解答】解:(1)4×104×10÷1000×18÷80=90(亩).答:若我市2005年4万名初中毕业生能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸,那么最少可使90亩森林免遭砍伐.(2)设我市森林面积年平均增长率为x,依题意列方程得50(1+x)2=60.5,解得x1=10%,x2=﹣2.1(不合题意,舍去),1000×104×28×20%÷1000×18÷50=20160,20160÷(605000×10%)≈33%.答:在从2005年初到2006年初这一年度内,我市因回收废纸所能保护的最大森林面积相当于新增加的森林面积的33%.【点评】本题以保护环境为主题,考查了增长率问题,阅读理解题意,并从题目中提炼出平均增长率的数学模型并解答的能力;解答时需仔细分析题意,利用方程即可解决问题.10.某公司经营杨梅业务,以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后,分拣成A、B两类,A 类杨梅包装后直接销售;B类杨梅深加工后再销售.A类杨梅的包装成本为1万元/吨,根据市场调查,它的平均销售价格y(单位:万元/吨)与销售数量x(x≥2)之间的函数关系如图;B类杨梅深加工总费用s(单位:万元)与加工数量t(单位:吨)之间的函数关系是s=12+3t,平均销售价格为9万元/吨.(1)直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式;(2)第一次,该公司收购了20吨杨梅,其中A类杨梅有x吨,经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元(毛利润=销售总收入﹣经营总成本).①求w关于x的函数关系式;②若该公司获得了30万元毛利润,问:用于直销的A类杨梅有多少吨?(3)第二次,该公司准备投入132万元资金,请设计一种经营方案,使公司获得最大毛利润,并求出最大毛利润.【分析】(1)这是一个分段函数,分别求出其函数关系式;(2)①当2≤x<8时及当x≥8时,分别求出w关于x的表达式.注意w=销售总收入﹣经营总成本=w A+w B﹣3×20;②若该公司获得了30万元毛利润,将30万元代入①中求得的表达式,求出A类杨梅的数量;(3)本问是方案设计问题,总投入为132万元,这笔132万元包括购买杨梅的费用+A类杨梅加工成本+B类杨梅加工成本.共购买了m吨杨梅,其中A类杨梅为x吨,B类杨梅为(m﹣x)吨,分别求出当2≤x<8时及当x≥8时w关于x的表达式,并分别求出其最大值.【解答】解:(1)①当2≤x<8时,如图,设直线AB解析式为:y=kx+b,将A(2,12)、B(8,6)代入得:,解得,∴y=﹣x+14;②当x≥8时,y=6.所以A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式为:y=;(2)设销售A类杨梅x吨,则销售B类杨梅(20﹣x)吨.①当2≤x<8时,w A=x(﹣x+14)﹣x=﹣x2+13x;w B=9(20﹣x)﹣[12+3(20﹣x)]=108﹣6x∴w=w A+w B﹣3×20=(﹣x2+13x)+(108﹣6x)﹣60=﹣x2+7x+48;当x≥8时,w A=6x﹣x=5x;w B=9(20﹣x)﹣[12+3(20﹣x)]=108﹣6x∴w=w A+w B﹣3×20=(5x)+(108﹣6x)﹣60=﹣x+48.∴w关于x的函数关系式为:w=.②当2≤x<8时,﹣x2+7x+48=30,解得x1=9,x2=﹣2,均不合题意;当x≥8时,﹣x+48=30,解得x=18.∴当毛利润达到30万元时,直接销售的A类杨梅有18吨.(3)设该公司用132万元共购买了m吨杨梅,其中A类杨梅为x吨,B类杨梅为(m﹣x)吨,则购买费用为3m万元,A类杨梅加工成本为x万元,B类杨梅加工成本为[12+3(m﹣x)]万元,∴3m+x+[12+3(m﹣x)]=132,化简得:x=3m﹣60.①当2≤x<8时,w A=x(﹣x+14)﹣x=﹣x2+13x;w B=9(m﹣x)﹣[12+3(m﹣x)]=6m﹣6x﹣12∴w=w A+w B﹣3×m=(﹣x2+13x)+(6m﹣6x﹣12)﹣3m=﹣x2+7x+3m﹣12.将3m=x+60代入得:w=﹣x2+8x+48=﹣(x﹣4)2+64∴当x=4时,有最大毛利润64万元,此时m=,m﹣x=;②当x≥8时,w A=6x﹣x=5x;w B=9(m﹣x)﹣[12+3(m﹣x)]=6m﹣6x﹣12∴w=w A+w B﹣3×m=(5x)+(6m﹣6x﹣12)﹣3m=﹣x+3m﹣12.将3m=x+60代入得:w=48∴当x>8时,有最大毛利润48万元.综上所述,购买杨梅共吨,其中A类杨梅4吨,B类吨,公司能够获得最大毛利润,最大毛利润为64万元.【点评】本题是二次函数、一次函数的综合应用题,难度较大.解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系.涉及到分段函数时,注意要分类讨论.11.在△ABC中,AB=BC,将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得△A1B1C1,使点C1落在直线BC上(点C1与点C不重合),(1)如图,当∠C>60°时,写出边AB1与边CB的位置关系,并加以证明;(2)当∠C=60°时,写出边AB1与边CB的位置关系(不要求证明);(3)当∠C<60°时,请你在如图中用尺规作图法作出△AB1C1(保留作图痕迹,不写作法),再猜想你在(1)、(2)中得出的结论是否还成立并说明理由.【分析】(1)AB1∥BC.因为等腰三角形,两底角相等,再根据平行线的判定,内错角相等两直线平行,可证明两直线平行.(2)当∠C=60°时,写出边AB1与边CB的位置关系也是平行,证明方法同(1)题.(3)成立,根据旋转变换的性质画出图形.利用三角形全等即可证明.【解答】解:(1)AB1∥BC.证明:由已知得△ABC≌△AB1C1,∴∠BAC=∠B1AC1,∠B1AB=∠C1AC,∵AC1=AC,∴∠AC1C=∠ACC1,∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1=180°,∴∠C1AC=180°﹣2∠ACC1,同理,在△ABC中,∵BA=BC,∴∠ABC=180°﹣2∠ACC1,∴∠ABC=∠C1AC=∠B1AB,∴AB1∥BC.(5分)(2)如图1,∠C=60°时,AB1∥BC.(7分)(3)如图,当∠C<60°时,(1)、(2)中的结论还成立.证明:显然△ABC≌△AB1C1,∴∠BAC=∠B1AC1,∴∠B1AB=∠C1AC,∵AC1=AC,∴∠AC1C=∠ACC1,∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1=180°,∴∠C1AC=180°﹣2∠ACC1,同理,在△ABC中,∵BA=BC,∴∠ABC=180°﹣2∠ACC1,∴∠ABC=∠C1AC=∠B1AB,∴AB1∥BC.(13分)【点评】考查图形的旋转,等腰三角形的性质,平行线的判定.本题实质是考查对图形旋转特征的理解,旋转前后的图形是全等的.12.如图,△ABC内接于⊙O,AB=6,AC=4,D是AB边上一点,P是优弧BAC的中点,连接P A、PB、PC、PD.(1)当BD的长度为多少时,△P AD是以AD为底边的等腰三角形?并证明;(2)在(1)的条件下,若cos∠PCB=,求P A的长.【分析】(1)根据等弧对等弦以及全等三角形的判定和性质进行求解;(2)过点P作PE⊥AD于E.根据锐角三角函数的知识和垂径定理进行求解.【解答】解:(1)当BD=AC=4时,△P AD是以AD为底边的等腰三角形.∵P是优弧BAC的中点,∴=.∴PB=PC.又∵∠PBD=∠PCA(圆周角定理),∴当BD=AC=4,△PBD≌△PCA.∴P A=PD,即△P AD是以AD为底边的等腰三角形.(2)过点P作PE⊥AD于E,由(1)可知,当BD=4时,PD=P A,AD=AB﹣BD=6﹣4=2,则AE=AD=1.∵∠PCB=∠P AD(在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等),∴cos∠P AD=cos∠PCB=,∴P A=.【点评】综合运用了等弧对等弦的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的知识以及垂径定理.13.如图,⊙O是等边△ABC的外接圆,AB=2,M、N分别是边AB、AC的中点,直线MN交⊙O于E、F两点,BD∥AC交直线MN于点D.求出图中线段DM上已有的一条线段的长.【分析】连接OA交MN于点G,则OA⊥BC,由三角形的中位线的性质可得MN的长,易证得△BMD≌△AMN,有DM=MN,由相交弦定理得ME•MF=MA•MB,就可求得EM,DE的值.【解答】解:∵M,N分别是边AB,AC的中点∴MN∥BC,MN=BC=1又∵BD∥AC∴∠DBA=∠A=60°∵BM=AM,∠BMD=∠AMN∴△BMD≌△AMN∴DM=MN=1连接OA交MN于点G,则OA⊥BC∴OA⊥EF∴EG=FG,MG=FN由相交弦定理得:ME•MF=MA•MB∴EM(EM+1)=1解得EM=(EM=不合题意,舍去)∴DE=DM﹣EM=∴DE(3﹣DE)=1解得DE=(DE=不合题意,舍去).【点评】本题利用了三角形的中位线的性质,等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,一元二次方程的解法求解.14.如图,有一直径MN=4的半圆形纸片,其圆心为点P,从初始位置Ⅰ开始,在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ,其中,位置Ⅰ中的MN平行于数轴,且半⊙P与数轴相切于原点O;位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于数轴;位置Ⅲ中的MN在数轴上;位置Ⅴ中的点N到数轴的距离为3,且半⊙P与数轴相切于点A.解答下列问题:(1)位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2;位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切;(2)求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数;(3)纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时,求点N所经过路径长及该纸片所扫过图形的面积;(4)求OA的长.[(2),(3),(4)中的结果保留π].【分析】(1)先求出圆的半径,再根据切线的性质进行解答;(2)根据位置Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等求出的长,再根据弧长公式求出的长,进而可得出结论;(3)作NC垂直数轴于点C,作PH⊥NC于点H,连接P A,则四边形PHCA为矩形,在Rt△NPH中,根据sin∠NPH==即可∠NPH、∠MP A的度数,进而可得出的长,【解答】解:(1)∵⊙P的直径=4,∴⊙P的半径=2,∵⊙P与直线有一个交点,∴位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2;位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切;故答案为:2,相切;(2)位置Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等,∵的长为=π,NP=2,∴位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数为π+2.(3)点N所经过路径长为=2π,S半圆==2π,S扇形==4π,半⊙P所扫过图形的面积为2π+4π=6π.(4)如图,作NC垂直数轴于点C,作PH⊥NC于点H,连接P A,则四边形PHCA为矩形.在Rt△NPH中,PN=2,NH=NC﹣HC=NC﹣P A=1,于是sin∠NPH==,∴∠NPH=30°.∴∠MP A=60°.从而的长为=,于是OA的长为π+4+π=π+4.【点评】本题考查的是直线与圆的关系、弧长的计算、扇形的面积公式,在解答此题时要注意Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等的数量关系.15.已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,点O1在⊙O2上,C为⊙O2上一点(不与A,B,O1重合),直线CB与⊙O1交于另一点D.(1)如图(1),若AD是⊙O1的直径,AC是⊙O2的直径,求证:AC=CD;(2)如图(2),若C是⊙O1外一点,求证:O1C丄AD;(3)如图(3),若C是⊙O1内的一点,判断(2)中的结论是否成立?【分析】(1)连接C01,利用直径所对圆周角等于90度,以及垂直平分线的性质得出即可;(2)根据已知得出四边形AEDB内接于⊙O1,得出∠ABC=∠E,再利用=,得出∠E=∠AO1C,进而得出CO1∥ED即可求出;(3)根据已知得出∠B=∠EO1C,又∠E=∠B,即可得出∠EO1C=∠E,得出CO1∥ED,即可求出.【解答】(1)证明:连接C01∵AC为⊙O2直径∴∠AO1C=90°即CO1⊥AD,∵AO1=DO1∴DC=AC(垂直平分线的性质);(2)证明:连接AO1,连接AB,延长AO1交⊙O1于点E,连接ED,∵四边形AEDB内接于⊙O1,∴∠E+∠ABD=180°,∵∠ABC+∠ABD=180°,∴∠ABC=∠E,又∵=,∴∠ABC=∠AO1C,∴∠E=∠AO1C,∴CO1∥ED,又AE为⊙O1的直径,∴ED⊥AD,∴O1C⊥AD,(3)(2)中的结论仍然成立.证明:连接AO1,连接AB,延长AO1交⊙O1于点E,连接ED,∵∠B+∠AO1C=180°,∠EO1C+∠AO1C═180°,∴∠B=∠EO1C,又∵∠E=∠B,∴∠EO1C=∠E,∴CO1∥ED,又ED⊥AD,∴CO1⊥AD.【点评】此题主要考查了圆周角定理以及相交两圆的性质和圆内接四边形的性质,根据圆内接四边形的性质得出对应角之间的关系是解决问题的关键.16.⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,如图(1),连接O2O1并延长交⊙O1于P点,连接P A、PB并分别延长交⊙O2于C、D两点,连接CO2并延长交⊙O2于E点.已知⊙O2的半径为R,设∠CAD=α.(1)求CD的长(用含R、α的式子表示);(2)试判断CD与PO1的位置关系,并说明理由;(3)设点P’为⊙O1上(⊙O2外)的动点,连接P’A、P’B并分别延长交⊙O2于C’、D’,请你探究∠C’AD’是否等于α?C’D’与P’O1的位置关系如何?并说明理由.(注:图(2)与图(3)中⊙O1和⊙O2的大小及位置关系与图(1)完全相同,若你感到继续在图(1)中探究问题(3),图形太复杂,不便于观察,可以选择图(2)或图(3)中的一图说明理由).【分析】(1)作⊙O2的直径CE,连接DE.根据圆周角定理的推论,得∠E=∠CAD=α,再利用解直角三角形的知识求解;(2)连接AB,延长PO1与⊙O1相交于点E,连接AE.根据圆内接四边形的性质,得∠ABP′=∠C′,根据圆周角定理的推论,得∠ABP′=∠E,∠EAP′=90°,从而证明∠AP′E+∠C′=90°,则CD与PO1的位置关系是互相垂直;(3)根据同弧所对的圆周角相等,则说明∠C’AD’等于α;根据(2)中的证明过程,则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直.【解答】解:(1)连接DE.根据圆周角定理的推论,得∠E=∠CAD=α.∵CE是直径,∴∠CDE=90°.∴CD=CE•sin E=2R sinα;(2)CD与PO1的位置关系是互相垂直.理由如下:连接AB,延长PO1与⊙O1相交于点E,连接AE.∵四边形BAC′D′是圆内接四边形,∴∠ABP′=∠C′.∵P′E是直径,∴∠EAP′=90°,∴∠AP′E+∠E=90°.又∠ABP′=∠E,∴∠AP′E+∠C′=90°,即CD与PO1的位置关系是互相垂直;(3)根据同弧所对的圆周角相等,则说明∠C’AD’等于α;根据(2)中的证明过程,则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直.【点评】此题综合运用了圆周角定理及其推论、直角三角形的性质、圆内接四边形的性质.注意:连接两圆的公共弦、构造直径所对的圆周角都是圆中常见的辅助线.17.如图①,有四张编号为1、2、3、4的卡片,卡片的背面完全相同.现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上.(1)从中随机抽取一张,抽到的卡片是眼睛的概率是多少?(2)从四张卡片中随机抽取一张贴在如图②所示的大头娃娃的左眼处,然后再随机抽取一张贴在大头娃娃的右眼处,用树状图或列表法求贴法正确的概率.【分析】根据概率的求法,找准两点:①全部情况的总数;②符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率.【解答】解:(1)所求概率为;(2)方法①(树状图法)共有12种可能的结果:(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)∵其中有两种结果(1,2),(2,1)是符合条件的,∴贴法正确的概率为,方法②(列表法)第一次抽取 1 2 3 4第二次抽取1(2,1)(3,1)(4,1)2(1,2)(3,2)(4,2)3(1,3)(2,3)(4,3)4(1,4)(2,4)(3,4)共有12种可能的结果:(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),∵其中有两种结果(1,2),(2,1)是符合条件的,∴贴法正确的概率为.【点评】此题考查概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=.18.如图,菱形、矩形与正方形的形状有差异,我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”.在研究“接近度”时,应保证相似图形的“接近度”相等.(1)设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°,将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|,于是|m﹣n|越小,菱形越接近于正方形.①若菱形的一个内角为70°,则该菱形的“接近度”等于40;②当菱形的“接近度”等于0时,菱形是正方形.(2)设矩形相邻两条边长分别是a和b(a≤b),将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|,于是|a﹣b|越小,矩形越接近于正方形.你认为这种说法是否合理?若不合理,给出矩形的“接近度”一个合理定义.【分析】(1)根据相似图形的定义知,相似图形的形状相同,但大小不一定相同,相似图形的“接近度”相等.所以若菱形的一个内角为70°,则该菱形的“接近度”等于|m﹣n|;当菱形的“接近度”等于0时,菱形是正方形;(2)不合理,举例进行说明.【解答】解:(1)①∵内角为70°,∴与它相邻内角的度数为110°.∴菱形的“接近度”=|m﹣n|=|110﹣70|=40.②当菱形的“接近度”等于0时,菱形是正方形.(2)不合理.例如,对两个相似而不全等的矩形来说,它们接近正方形的程度是相同的,但|a﹣b|却不相等.合理定义方法不唯一.如定义为,越接近1,矩形越接近于正方形;越大,矩形与正方形的形状差异越大;当时,矩形就变成了正方形,即只有矩形的越接近1,矩形才越接近正方形.【点评】正确理解“接近度”的意思,矩形的“接近度”|a﹣b|越小,矩形越接近于正方形.这是解决问题的关键.19.如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形,在建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上,点B的坐标为(1,0)①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1;②画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2;③△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称图形吗?若成轴对称图形,画出所有的对称轴;④△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗?若成中心对称图形,写出所有的对称中心的坐标.【分析】(1)将三角形的各顶点,向x轴作垂线并延长相同长度得到三点的对应点,顺次连接;(2)将三角形的各顶点,绕原点O按逆时针旋转90°得到三点的对应点.顺次连接各对应点得△A2B2C2;(3)从图中可发现成轴对称图形,根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段,做它的垂直平分线;(4)成中心对称图形,画出两条对应点的连线,交点就是对称中心.【解答】解:如下图所示:(3)成轴对称图形,根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段,作它的垂直平分线,或连接A1C1,A2C2的中点的连线为对称轴.(4)成中心对称,对称中心为线段BB2的中点P,坐标是(,).【点评】本题综合考查了图形的变换,在图形的变换中,关键是找到图形的对应点.20.如图所示,AB=AC,AB为⊙O的直径,AC、BC分别交⊙O于E、D,连接ED、BE.(1)试判断DE与BD是否相等,并说明理由;(2)如果BC=6,AB=5,求BE的长.【分析】(1)可通过连接AD,AD就是等腰三角形ABC底边上的高,根据等腰三角形三线合一的特点,可得出∠CAD=∠BAD,根据圆周角定理即可得出∠DEB=∠DBE,便可证得DE=DB.(2)本题中由于BE⊥AC,那么BE就是三角形ABC中AC边上的高,可用面积的不同表示方法得出AC•BE=CB•AD.进而求出BE的长.【解答】解:(1)DE=BD证明:连接AD,则AD⊥BC,在等腰三角形ABC中,AD⊥BC,∴∠CAD=∠BAD(等腰三角形三线合一),∴=,∴DE=BD;(2)∵AB=5,BD=BC=3,∴AD=4,∵AB=AC=5,∴S△ABC=•AC•BE=•CB•AD,∴BE=4.8.【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质,圆周角定理等知识点的运用,用等腰三角形三线合一的特点得出圆周角相等是解题的关键.21.如图,AD是⊙O的直径.(1)如图①,垂直于AD的两条弦B1C1,B2C2把圆周4等分,则∠B1的度数是22.5°,∠B2的度数是67.5°;(2)如图②,垂直于AD的三条弦B1C1,B2C2,B3C3把圆周6等分,分别求∠B1,∠B2,∠B3的度数;(3)如图③,垂直于AD的n条弦B1C1,B2C2,B3C3,…,B n∁n把圆周2n等分,请你用含n的代数式表示∠B n的度数(只需直接写出答案).【分析】根据条件可以先求出圆的各段弧的度数,根据圆周角等于所对弧的度数的一半,就可以求出圆周角的度数.【解答】解:(1)垂直于AD的两条弦B1C1,B2C2把圆周4等分,则是圆的,因而度数是45°,因而∠B1的度数是22.5°,同理的度数是135度,因而,∠B2的度数是67.5°;(2)∵圆周被6等分∴===360°÷6=60°∵直径AD⊥B1C1∴==30°,∴∠B1==15°∠B2==×(30°+60°)=45°∠B3==×(30°+60°+60°)=75°;(3)B n∁n把圆周2n等分,则弧BnD的度数是:,则∠B n AD=,在直角△AB n D中,.【点评】本题是把求圆周角的度数的问题转化为求弧的度数的问题,依据是圆周角等于所对弧的度数的一半.22.二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分如图所示,则a的取值范围是﹣1<a<0.【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号,由抛物线与y轴的交点得出c的值,然后根据图象经过的点的情况进行推理,进而推出所得结论.【解答】解:抛物线开口向下,a<0,图象过点(0,1),c=1,图象过点(1,0),a+b+c=0,∴b=﹣(a+c)=﹣(a+1).由题意知,当x=﹣1时,应有y>0,∴a﹣b+c>0,∴a+(a+1)+1>0,∴a>﹣1,。

(完整)中考数学压轴题精选含答案

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一、解答题1.如图,ABC 为O 的内接三角形,AB 为O 的直径,过点A 作O 的切线交BC 的延长线干点D .(1)求证:ABC ∽;(2)若E 为AD 上一点,使得,连接OE ,求证:OE 平分;(3)若点F 为直径AB 下方半圆的中点,连接CF 交AB 于点G ,且,2AB =,求CG的长.2.如图,在Rt △AOD 中,∠AOD =90°,以点O 为圆心、OA 为半径作⊙O .延长AD 、OD ,分别交⊙O 于点C 、E ,点B 是OD 延长线上一点,且有BC =BD .(1)求证:BC 是⊙O 的切线;(2)若∠OAD =30°,CD =3,求弧CE 长. (3)若OD =3,DE =1,求BE .3.如图①,直线:24l y x =-+分别交x 轴和y 轴于点A 和点B ,将AOB 绕点O 逆时针旋转90︒得到COD △.抛物线2:4h y ax bx =++经过A 、B 、D 三点.(1)求抛物线h的表达式;(2)若与y轴平行的直线m以1秒钟一个单位长的速度从y轴向左平移,交线段CD于点M、交抛物线h于点N,求线段MN的最大值;(3)如图②,点E为抛物线h的顶点,点P是抛物线h在第二象限的上一动点(不与点D、B重合),连接PE,以PE为边作图示一侧的正方形PEFG.随着点P的运动,正方形的大小、位置也随之改变,当顶点G恰好落在y轴的负半轴时,试求出此时点P的坐标.4.已知有理数a,b,c在数轴上对应的点分别为A,B,C,其中b是最小的正整数,a,c满足()2a c++-=.250a______,b=______,c=______;(1)填空:=(2)点A,B,C分别以每秒4个单位长度,1个单位长度,1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动,设运动时间为t秒.①当AC长为6时,求t的值;②当点A在点C左侧时(不考虑点A与B,C重合的情况),是否存在一个常数m使得+⋅的值在某段运动过程中不随t的改变而改变?若存在,求出m的值;若不存2AC m AB在,请说明理由.5.如图,抛物线2=-++与x轴相交于A B、两点,与y轴交于点C,顶点为D,抛y x2x3物线的对称轴与BC相交于点E,与x轴相交于点F.(1)求线段DE的长.(2)联结OE,若点G在抛物线的对称轴上,且BEG与COE相似,请直接写出点G的坐标.(3)设点P为x轴上的一点,且tan4,时,求点P的坐∠+∠=∠=DAO DPOαα标.6.已知抛物线经过()30A -,,()1,0B ,52,2C ⎛⎫⎪⎝⎭三点,其对称轴交x 轴于点H ,一次函数()0y kx b k =+≠的图象经过点C ,与抛物线交于另一点D (点D 在点C 的左边),与抛物线的对称轴交于点E . (1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线上是否存在点F ,使得点A 、B 、E 、F 构成的四边形是平行四边形,如果存在,求出点F 的坐标,若不存在请说明理由(3)设∠CEH=α,∠EAH =β,当αβ>时,直接写出k 的取值范围7.已知二次函数y =﹣x 2+2x +m +1. (1)当m =2时. ①求函数顶点坐标;②当n ≤x ≤n +1时,该函数的最大值为3,求n 的值.(2)当x ≤2时,函数图象上有且只有2个点到x 轴的距离为2,求m 的取值范围. (3)已知点P 为二次函数上一点,点P 的横坐标为﹣3m +2,点M 的坐标为(2m ,m ),以PM 为对角线构造矩形PQMN ,矩形的各边与坐标轴垂直,当抛物线在矩形PQMN 内部的函数部分y 随着x 的增大而增大时,直接写出m 的取值范围.8.如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,AC =3,BC =4.点P 从点A 出发,在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动,连接CP .设点P 运动的时间为t 秒. (1)填空:AB = ;(2)当t 为何值时,CP 平分∠ACB ; (3)当t 为何值时,△BCP 为等腰三角形.9.在平面直角坐标系中,二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于()()3,0,1,0A B -两点,与y 轴交于点C .(1)求二次函数的解析式;(2)点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点,当ACP △面积最大时,求出点P 的坐标; (3)点M 为抛物线上一动点,在x 轴上是否存在点Q ,使以A C M Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点Q 的坐标;若不存在,说明理由.10.在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线y =x 2﹣2x ﹣3与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,D 为抛物线顶点.(1)连接AD ,交y 轴于点E ,P 是抛物线上的一个动点.①如图一,点P 是第一象限的抛物线上的一点,连接PD 交x 轴于F ,连接,若,求点P 的坐标.②如图二,点P 在第四象限的抛物线上,连接AP 、BE 交于点G ,若,则w 有最大值还是最小值?w 的最值是多少?(2)如图三,点P 是第四象限抛物线上的一点,过A 、B 、P 三点作圆N ,过点P 作PM x ⊥轴,垂足为I ,交圆N 于点M ,点P 在运动过程中,线段是否变化?若有变化,求出MI 的取值范围;若不变,求出其定值.(3)点Q 是抛物线对称轴上一动点,连接OQ 、AQ ,设AOQ 外接圆圆心为H ,当的值最大时,请直接写出点H 的坐标.11.已知,E 为正方形ABCD 中CD 边上一点,连接BE ,过点C 作CF ⊥BE 交AD 于F ,垂足为G .(1)如图1,求证:CE =DF ;(2)如图2,连接AG 、BF ,交于点H ,求证:∠ABF =∠AGF ; (3)如图3,在(2)的条件下,若AG =AB =11,求线段GH 的长.12.如图1,在平面直角坐标系中,直线4y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点,抛物线2y x bx c =-++经过A 、B 两点,并且与x 轴交于另一点C (点C 在点A 的右侧),点P 是抛物线上一动点.(1)求抛物线的解析式;(2)若点P 是第二象限内抛物线上的一个动点,过点P 作PD ∥y 轴交AB 于点D ,点E 为线段DB 上一点,且DE =,过点E 作EF ∥PD 交抛物线于点F ,当点P 运动到什么位置时,四边形PDEF 的面积最大?并求出此时点P 的坐标;(3)如图2,点F 为AO 的中点,连接BF ,点G 为y 轴负半轴上一点,且GO =2,沿x 轴向右平移直线AG ,记平移过程的直线为,直线交x 轴于点M ,交直线AB 于点N .是否存在点M ,使得△FMN 为等腰三角形,若存在,直接写出....平移后点M 的坐标;若不存在,请说明理由.13.如图,在正方形OABC 中,AB =4,点E 是线段OA (不含端点)边上一动点,作△ABE 的外接圆交AC 于点D .抛物线y =ax 2﹣x +c 过点O ,E .(1)求证:∠BDE =90°;(2)如图1,若抛物线恰好经过点B ,求此时点D 的坐标; (3)如图2,AC 与BE 交于点F .①请问点E 在运动的过程中,CF ⋅AD 是定值吗?如果是,请求出这个值,如果不是,请说明理由; ②若,求点E 坐标及a 的值.14.(1)[感知]如图1,在正△ABC 的外角∠CAH 内引射线AM ,作点C 关于AM 的对称点E (点E 在∠CAH 内),连接BE ,BE 、CE 分别交AM 于点F 、G .求∠FEG 的度数.(2)[探究]把(1)中的“正△ABC ”改为“正方形ABDC ,其余条件不变,如图2,类比探究,可得: ①∠FEG = °;②猜想线段BF 、AF 、FG 之间的数量关系,并说明理由.(3)[拓展]如图3,点A 在射线BH 上,AB =AC ,∠BAC =α(0°<α<180°),在∠CAH 内引射线AM ,作点C 关于AM 的对称点E (点E 在∠CAH 内),连接BE ,BE 、CE 分别交AM 于点F .G .则线段BF 、AF 、GF 之间的数量关系为 .15.定义:在平面直角坐标系中,对于任意两点()11,A x y ,()22,B x y ,如果点(),M x y 满足122x x x -=,122y y y -=,那么称点M 是点A 、B 的“双减点”. 例如:()4,5A -,()6,1B -、当点(),T x y 满足4652x --==-,()5132y --==,则称点()5,3M -是点A 、B 的“双减点”.(1)写出点()1,3A -,()1,4B -的“双减点”C 的坐标;(2)点()6,4E -,点4,43F m m --⎛⎫⎪⎝⎭,点(),M x y 是点E 、F 的“双减点”.求y 与x 之间的函数关系式;(3)在(2)的条件下,y 与x 之间的函数图象与y 轴、x 轴分别交于点A 、C 两点,B 点坐标为3,0,若点E 在平面直角坐标系内,在直线AC 上是否存在点F ,使以A 、B 、E 、F 为顶点的四边形为菱形?若存在,请求出F 点的坐标;若不存在,请说明理由. 16.如图,在平面直角坐标系中,已知AOB CDA △△≌,且1OA =,()0,2B ,抛物线24y ax ax a =+-经过点C .(1)求抛物线的解析式.(2)在抛物线(对称轴的右侧)上是否存在一点P ,使△ABP 是以AB 为直角边的等腰直角三角形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.(3)若x 轴上有一点E 的横坐标为2a ,过点E 作y 轴的平行线交抛物线于点F ,抛物线对称轴与x 轴交于点G ,Q 为抛物线(对称轴的左侧)上一动点,是否存在点Q 使GF 为EFQ ∠的平分线?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.17.已知抛物线y =﹣x 2+bx +c 与x 轴交于点A (m ﹣2,0)和B (2m +1,0)(点A 在点B 的左侧),与y 轴相交于点C ,顶点为P ,对称轴为l :x =1.(1)求抛物线解析式;(2)直线y =kx +2(k ≠0)与抛物线相交于两点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)(x 1<x 2),当|x 1﹣x 2|最小时,求抛物线与直线的交点M 和N 的坐标;(3)首尾顺次连接点O 、B 、P 、C 构成多边形的周长为L ,若线段OB 在x 轴上移动,求L 最小值时点O 、B 移动后的坐标及L 的最小值.18.已知AB 、CD 为O 的两条弦,//AB CD .(1)如图1,求证弧AC =弧BD ;(2)如图2,连接AC 、BC 、OA 、BD ,弦BC 与半径OA 相交于点G ,延长AO 交CD 于点E ,连接BE ,使BE BD =,若OA BC ⊥,求证:四边形ABEC 为菱形;(3)在(2)的条件下,CH 与O 相切于点C ,连接CO 并延长交BE 于点F ,延长BE 交CH 于点H ,11OF =,24sin 25BDC ∠=,求CH 长. 19.如图,圆心M (3,0),半径为5的⊙M 交x 轴于A 、B 两点,交y 轴于C 点,抛物线2y ax bx c =++经过A 、B 、C 三点.(1)求抛物线的解析式.(2)求圆M 上一动点P 到该抛物线的顶点Q 的距离的最小值?并求出此时P 点的坐标. (3)若OC 的中点为F ,请问抛物线上是否存在一点G ,使得∠FBG =45°,若存在,求出点G 的坐标,若不存在,请说明理由.20.如图1,在平面直角坐标系中,已知抛物线y =ax 2+bx -4(a ≠0)经过点A (-2,0)和点B (4,0).(1)求这条抛物线所对应的函数表达式;(2)点P为抛物线上第一象限内一点,若S△ABC=2S△PBC,求点P的坐标;(3)如图2,点D是第二象限内抛物线上一点,过点D作DF⊥x轴,垂足为F,△ABD的外接圆与DF相交于点E.试问:线段EF的长是否为定值?如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由.【参考答案】**科目模拟测试一、解答题1.(1)见解析(2)见解析(3)【解析】【分析】(1)由圆周角定理和切线的性质可知,又因为,即可证明;(2)连接OE交圆于点H,连接OC,由,利用等腰三角形的性质和判定可证,从而得出OE是AC的垂直平分线,从而解决问题;(3)过点G作于K,由点F在半圆的中点,得,得,,得,可求出,从而解决问题.(1)解:证明:为O的直径,,过点A作O的切线交BC的延长线于点D,,,又,;(2)证明:如图,连接OE交圆于点H,连接OC,,,,,,,OC是O的半径,,垂直平分AC,∴,平分;(3)如图,在中,,2AB=,,过点G作于K,,,点F为直径AB下方半圆的中点,,,,,在Rt ABC∆中,,,由勾股定理得,,,,,,,在中,,.【点睛】本题是圆的综合题,主要考查了圆的切线的性质,圆周角定理,相似三角形的判定与性质,勾股定理,三角函数等知识,根据得出线段之间的数量关系是解题的关键.2.(1)见详解;(2)12π;(3)16【解析】【分析】(1)连接CO,先证∠BCD=∠ADO,由∠A+∠ADO=90°,可得∠OCA+∠BCD=90°,进而即可得到结论;(2)先证BCD△是等边三角形,∠BOC=30°,求出OC=3,利用弧长公式即可求解;(3)过点O作ON⊥AD,过点B作BM⊥CD,利用勾股定理和面积法求出ON=125,AN=165,结合垂径定理和等腰三角形的性质得DM=710,最后利用锐角三家函数即可求解.【详解】解:(1)连接CO,∵BC=BD,∴∠BDC=∠BCD,∵∠BDC=∠ADO,∴∠BCD=∠ADO,∵OA=OC,∴∠A=∠OCA,∵∠AOD=90°,∴∠A+∠ADO=90°,∴∠OCA+∠BCD=90°,即OC⊥BC,∴BC是⊙O的切线;(2)∵∠OAD=30°,∴∠OCA=∠OAD=30°,∠AOC=180°-30°-30°=120°,∠ADO=∠BDC=90°-30°=60°,∴∠BOC=120°-90°=30°,又∵BC=BD,∴BCD△是等边三角形,∴CB=CD=3,∵OC⊥BC,∴OC=3×3=3,∴30311802CEππ⨯==;(3)过点O作ON⊥AD,过点B作BM⊥CD,∵OD=3,DE=1,∴AO=EO=3+1=4,∴AD22345+=,∴ON=125 OD OAAD⨯=,∴AN221216455⎛⎫-=⎪⎝⎭,∴AC=2AN=325,∴CD=325-5=75,∵BD=BC,∴DM=75÷2=710,∵∠BDM=∠ADO,∴cos∠BDM=cos∠ADO,即:35 DM ODBD AB==,∴BD =53DM =710×53=76,∴BE =76-1=16. 【点睛】本题主要考查圆和三角形的综合,掌握勾股定理,切线的判定定理,垂径定理,锐角三角函数的定义是解题的关键.3.(1)2142y x x =--+;(2)258;(3)P 点的坐标为552222⎛-- ⎝ 【解析】 【分析】(1)先由直线l 的解析式得出A 、B 的坐标,再根据旋转的性质得出D 点坐标,然后用待定系数法求出抛物线解析式;(2)设出N 点横坐标,纵坐标用横坐示表示,同时表示出M 点坐标,而MN 的长度为N 点与M 点的纵坐标之差,得出MN 的长度是N 点横坐标的二次函数,利用配方法求出最值;(3)作PH y ⊥轴于H ,交抛物线对称轴于K ,可得到PKE GHP △≌△,从而得到PK GH =,EK PH =,利用配方法可得到顶点91,2E ⎛⎫- ⎪⎝⎭,然后设21,42P m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭,则有21122EK m m =++,PH m =-,可得到关于m 的方程,解出即可.【详解】解:(1)直线:24l y x =-+交x 轴于点A 、交y 轴于点B , (2,0)A ∴,(0,4)B ,将AOB 绕点O 逆时针旋转90︒得到COD △, (4,0)D ∴-,(0,2)C ,设过点A ,B ,D 的抛物线h 的解析式为:(4)(2)y a x x =+-,将B 点坐标代入可得:4(04)(02)a =+-,解得12a =-∴抛物线h 的解析式为2142y x x =--+;(2)由(4,0)D -,(0,2)C , 则直线CD 的解析式为122y x =+, 设N 点坐标为21,42n n n ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭,则M 点坐标为1,22n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,222111313254222222228MN n n n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=--+-+=--+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴当32n =-时,MN 最大,最大值为258; (3)若G 点在y 轴上,如图,作PH y ⊥轴于H ,交抛物线对称轴于K ,正方形,PEFG90,EPK GPH GPH PGH,EPKPGH同理:,PEK GPH在PKE △和GHP △中,EPKPGHPE GP PEK GPH,PKE GHP ∴△≌△, PK GH ∴=,EK PH =对2142y x x =--+,配方得219(1)22y x =-++,则顶点91,2E ⎛⎫- ⎪⎝⎭,设21,42P m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭,则有22911142222EK m m m m =++-=++,PH m =-, 21122m m m ∴-=++,解得23m =-P ∴点的坐标为5523,323,322⎛-- ⎝. 【点睛】本题是二次函数综合题,主要考查了一次函数图象上坐标点的特征,待定系数法求二次函数解析式,利用纵坐标之差表示竖直方向线段的长度,利用配方法求二次函数最值,正方形的性质、全等三角形的判定与性质、解一元二次方程等众多知识点,综合性强,难度较大.对于(3)问,根据正方形的性质巧妙构造出全等三角形,从而得出线段相等而列出方程是解答的关键和要点.4.(1)2,1,5-;(2)①13或133;②存在,m 的值为2-或2.【解析】 【分析】(1)根据正整数的定义、绝对值的非负性、偶次方的非负性分别可求出,,b a c 的值; (2)①先求出运动t 秒后,点,A C 所表示的数,再分点A 在点C 左侧和点A 在点C 右侧两种情况,然后根据数轴的定义建立方程,解方程即可得;②先求出运动t 秒后,点,,A B C 所表示的数,从而可得AC 的长,再分点A 在点B 左侧和点A 在点B 右侧两种情况,分别求出AB 的值,代入化简,然后根据整式的无关型问题求解即可得. 【详解】解:(1)b 是最小的正整数,1b ∴=,()2250a c ++-=, 20,50a c ∴+=-=,解得2,5a c =-=, 故答案为:2,1,5-;(2)①由题意,运动t 后,点A 所表示的数是42t -,点C 所表示的数是5t +, 当点A 在点C 左侧时,5(42)6AC t t =+--=,解得13t =, 当点A 在点C 右侧时,42(5)6AC t t =--+=,解得133t =, 综上,t 的值为13或133;②由题意,运动t 后,点A 所表示的数是42t -,点B 所表示的数是1t +,点C 所表示的数是5t +,当421t t -=+时,13t =, 当425t t -=+时,73t =, 因为点A 在点C 左侧, 所以5(42)73AC t t t =+--=-,当点A 在点B 左侧,即01t <<时,1(42)33AB t t t =+--=-, 则22(73)(33)314(36)AC m AB t m t m m t +⋅=-+-=+-+, 由360m +=得:2m =-,即在01t <<运动时间内,当2m =-时,2AC m AB +⋅的值不随t 的改变而改变; 当点A 在点B 右侧,即713t <<时,42(1)33AB t t t =--+=-,则22(73)(33)143(36)AC m AB t m t m m t +⋅=-+-=-+-, 由360m -=得:2m =, 即在713t <<运动时间内,当2m =时,2AC m AB +⋅的值不随t 的改变而改变; 综上,存在一个常数m 使得2AC m AB +⋅的值在某段运动过程中不随t 的改变而改变,m 的值为2-或2. 【点睛】本题考查了数轴、一元一次方程的应用、绝对值和偶次方的非负性、整式等知识点,较难的是题(2)②,正确分两种情况讨论是解题关键.5.(1)2;(2)(1,4)-或21,3⎛⎫⎪⎝⎭;(3)(19,0)或(17,0)-【解析】 【分析】(1)根据抛物线的解析式可求得与坐标轴的坐标及顶点坐标,从而易得OB =OC ,由EF ⊥OB 即可求得EF 的长,从而求得DE 的长;(2)设点G 的坐标为(1,x ),分两种情况考虑:△COE ∽△EGB 和△COE ∽△EBG ,根据相似三角形的性质即可求得x 的值,从而可求得点G 的坐标;(3)分两种情况考虑:点P 在点A 的右侧和点P 在点A 的左侧;当点P 在点A 的右侧时,由D (1,4),则tan 4DOF ∠=,得出∠α =∠DOF ,然后根据三角形外角的性质可求得∠DPO =∠ADO ,进而可得△ADP ∽△AOD ,由相似三角形的性质可求得OP 的长,从而求得P 点的坐标;当点P 在点A 的左侧时, 作点P 关于抛物线对称轴的对称点P ',则点P '也满足题意. 【详解】(1)当2y x x =-++23=0时,解方程得:1213x x =-=, ∴抛物线2y x x =-++23与x 轴的交点坐标分别为A (-1,0)、B (3,0) ∴OB =3∵在2y x x =-++23中,当x =0时,3y = ∴抛物线与y 轴的交点C 的坐标为(0,3) ∴OC =3∵2223(1)4y x x x =-++=--+ ∴抛物线的顶点坐标为D (1,4) ∴DF =4,OF =1 ∵OB =OC =3,OC ⊥OB ∴∠OCB =∠OBC =45° ∵EF ⊥OB∴∠FEB =∠OBC =45° ∴EF =BF =OB -OF =3-1=2∴DE =DF -EF =4-2=2 (2)设点G 的坐标为(1,x )在Rt △OBC 及Rt △FBE 中,由勾股定理得:BC =BE ===∴CE BE BE =-==①若△COE ∽△EGB 则有OC EGCE BE=,∠GEB =∠OCE =45° 即OC ∙BE =CE ∙EG ∴点G 只能在点E 下方∵由(1)可得点E 的坐标为(1,2) ∴EG =2-x∴3)x ⨯=- 解得:x =-4即点G 的坐标为(1,-4) ②若△COE ∽△EBG 则有OC BECE EG=,∠BEG =∠OCE =45° 即OC ∙EG =CE ∙BE ∴点G 只能在点E 下方 ∴EG =2-x∴3(2)x ⨯-=解得:23x =即点G 的坐标为21,3⎛⎫⎪⎝⎭综上所述,满足条件的点G 的坐标为(1,4)-或21,3⎛⎫⎪⎝⎭(3)①如图,当点P 在点A 的左侧时,连接DP 、DA 、DO ∵tan 4DFDOF OF∠==,tan 4α= ∴∠DOF =∠α=∠DAO +∠DPO ,∠DOF =∠PDO +∠DPO ∴∠DAO =∠PDO ∴△OAD ∽△ODP ∴OA ODOD OP=,即2OD OA OP = ∵22211617OD OF DF =+=+= ∵OA =1 ∴OP =17∴点P 的坐标为(-17,0)②当点P 在点A 的右侧时,作点P (-17,0)关于抛物线的对称轴的对称点P ',则DP O DPO '∠=∠∴DAO DP O α'∠+∠=∠此时点P '满足题意,且其坐标为(19,0)综上所述,满足条件的点P 的坐标为(19,0)或(17,0)- 【点睛】本题考查了求二次函数与x 轴的交点、顶点坐标,相似三角形的判定与性质,勾股定理等知识,求得三角形相似是关键.注意分类讨论.6.(1)y =12x 2+x −32;(2)(3,6)或(-5,6)或(−1,-2);(3)−12<k <56且k ≠0或56<k <43【解析】 【分析】(1)把A (−3,0),B (1,0),52,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入y =ax 2+bx +c ,解方程组即可;(2)把C 点坐标代入直线CD ,得2k +b =52,分两种情况:①若AB 为平行四边形的边时,②若AB 为平行四边形的对角线时,得关于k 、b 的方程组,解方程组即可求解; (3)分两种情况:①当E 点在x 轴上方时,②E 点在x 轴下方时,根据当α=β时,列方程,可求出k 的值,进而求出k 的取值范围. 【详解】解:(1)设抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c , ∵抛物线经过A (−3,0),B (1,0),C (2,52)三点, ∴93005422a b c a b c a b c ⎧⎪-+=⎪++=⎨⎪⎪++=⎩,∴12132a b c ⎧⎪⎪⎨⎪⎪-⎩===, ∴抛物线的解析式为y =12x 2+x −32; (2)如图1所示,将C 点坐标代入直线CD ,得2k +b =52, 当x =−1时,y =−k +b ,即E (−1,−k +b ).①若AB 为平行四边形的边时,则F (-1+4,−k +b )或F (-1-4,−k +b ),即:F (3,−k +b )或F (-5,−k +b ), 把F (3,−k +b )代入y =12x 2+x −32,得−k +b =6, 把F (-5,−k +b ),代入y =12x 2+x −32,得−k +b =6, 又∵2k +b =52, ∴k =76-,b =296∴F (3,6)或(-5,6);②若AB 为平行四边形的对角线时,则F 和E 关于x 轴对称, ∴F (−1,k -b ), ∴k -b =-2, 又∵2k +b =52, ∴k =16,b =136,∴F (−1,-2),综上所述:F 的坐标为(3,6)或(-5,6)或(−1,-2); (3)如图2所示,①当E点在x轴上方时,如图2所示,当α=β时,∵∠EHA=90°,∴∠AEC=90°,∴∠AEH=∠EGH,∵∠AHF=∠FHG=90°,∴AHF FHG∽,∴AE AH EG EH=,∵A (−3,0),E(−1,−k+b),G(bk-,0),∴()()2222221k bk bbk bk+-+=-+⎛⎫-++-+⎪⎝⎭,∴k2−bk−2=0,联立方程220522k bkk b⎧--=⎪⎨+=⎪⎩,解得k=−12(k=43舍去),随着E点向下移动,∠CEH的度数越来越大,∠EAH的度数越来越小,当E点和H点重合时(如图3所示),α和β均等于0,此时联立方程522k bk b⎧+⎪⎨⎪-+⎩==,解得5656kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,因此当−12<k <56且k ≠0时,α>β;②E 点在x 轴下方时,如图4所示,当α=β时, ∵∠EHA =90°, ∴∠AEC =90°, 根据①可得此时k =43(k =−12舍去),随着E 点向下移动,∠CEH 的度数越来越小,∠EAH 的度数越来越大,因此当56<k <43时,α>β.综上所述可得,当α>β时,k 取值范围为−12<k <56且k ≠0或56<k <43.【点睛】本题考查的是一次函数、二次函数和相似三角形的判定和性质的综合应用,掌握待定系数法求函数解析式和数形结合思想方法是解题的关键.7.(1)①()1,4;②2n =或1n =-;(2)1m 或0m =或43m -<≤-;(3)12m ≤ 【解析】 【分析】(1)①根据顶点坐标的计算公式计算即可;②分两种情况讨论,根据二次函数的图象性质计算即可;(2)分三种情况讨论,再根据当x ≤2时,函数图象上有且只有2个点到x 轴的距离为2,列不等式组即可;(3)根据点P 和点M 横坐标的位置及二次函数的图象性质列不等式组即可; 【详解】(1)当m =2时,函数解析式为2y x 2x 3=-++, ①2122b xa ,24124444ac b y a ---===-,∴顶点坐标是()1,4;②∵2y x 2x 3=-++,10a =-<, ∴开口方向向下,对称轴为:1,x =当1n >时,则x n =时,2233y n n =-++=,此时函数值最大,220,n n ∴-=解得:2n =(0n =舍去), 当11n +<,即0n <时, ∴1x n =+时,3y =最大, ∴()()212133n n -++++=, 解得:1n =-(1n =舍去) 综上:2n =或1n =-; (2)221,y x x m =-+++()()2241148,m m ∴=-⨯-⨯+=+ 当480m +>即2m >-时, 如图,当2x =时,1,y m =+根据当x ≤2时,函数图象上有且只有2个点到x 轴的距离为2可知,12,m +> 1,m ∴>m ∴的范围是 1.m >当1x =时,22,y m =+= 此时符合题意, 则0,m =当当480m +<即2m <-时,如图,根据当x ≤2时,函数图象上有且只有2个点到x 轴的距离为2可知,同理可得:2212m m +>-⎧⎨+≤-⎩解得:43,m -<≤-所以m 的范围是:4 3.m -<≤- 综上:1m 或0m =或4 3.m -<≤- (3)2221(1)2y x x m x m =-+++=--++∴抛物线的顶点坐标为(1,2m +),对称轴为直线1x = ∵点P 的横坐标为﹣3m +2,∴点P 的坐标为(﹣3m +2,2971m m -++)∵以PM 为对角线构造矩形PQMN ,矩形的各边与坐标轴垂直,抛物线在矩形PQMN 内部的函数部分y 随着x 的增大而增大, ∴矩形中抛物线为对称轴左侧的部分,即1x ≤ 又点M 的坐标为(2m ,m ),∴2971121m m m m ⎧-++≥+⎨≤⎩ ∴102m ≤< ∵点P 在二次函数的图象上, 当点M 点在点P 的左侧时 ∴232m m <-+ ∴25m <∴232m m <-+∴25 m<∴25 m<当点M点在点P的右侧时∴232m m-+>∴25 m>∴21 52m≤<故当抛物线在矩形PQMN内部的函数部分y随着x的增大而增大时,12 m≤【点睛】本题主要考查了二次函数综合应用,二次函数的图象与性质,不等式组的解法,清晰的分类讨论是解题的关键.8.(1)5;(2)157t=;(3)1t=或52t=【解析】【分析】(1)直接运用勾股定理求解即可;(2)当CP平分∠ACB时,作PM⊥BC于M点,PN⊥AC于N点,作CQ⊥AB于Q点,利用等面积法分别表示△APC和△BPC,进而得出AP ACBP BC=,从而建立分式方程求解并检验即可;(3)根据等腰三角形的性质进行分类讨论,结合勾股定理求解即可.【详解】解:(1)由勾股定理:2222AB AC BC345++=,故答案为:4;(2)当CP平分∠ACB时,如图所示,作PM⊥BC于M点,PN⊥AC于N点,作CQ⊥AB于Q点,则由角平分线的性质得:PM=PN,∵1122APCS AP CQ AC PN==,1122BPCS BP CQ BC PM==,∴11221122APCBPCAP CQ AC PNSS BP CQ BC PM==,即:AP AC BP BC=,由题意,AP t=,则5BP AB AP t=-=-,∴3 54tt=-,解得:157t=,经检验,157t=是上述分式方程的解,∴当157t=时,CP平分∠ACB;(3)①若BC=BP,如图所示,此时,BP=BC=4,AP=AB-BP=1,∴t=1;②若CP=BP,如图所示,此时,作CT⊥AB于T点,∵1122ABCS AC BC AB CT==,∴125 CT=,在Rt△CBT中,2216 5BT BC CT-,∵AP t=,∴5BP t=-,5CP t=-,∴()169555PT BT BP t t =-=--=-, 在Rt △CPT 中,222CP CT PT =+, 即:()222129555t t ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 解得:52t =;③若CP =CB ,由于P 在线段AB 上运动,则CP =CB 的情况不成立,故舍去; 综上,当1t =或52t =时,满足△BCP 为等腰三角形. 【点睛】本题考查了勾股定理和等腰三角形的性质,解决本题的关键是正确理解题意,熟练掌握勾股定理,能够根据等腰三角形的性质进行分类讨论解决.9.(1)224233y x x =--+;(2)35(,)22P -(3)存在,12(1,0),(5,0)Q Q --,34(27,0),(27,0)Q Q .【解析】 【分析】(1)根据待定系数法求抛物线解析式;(2)设224(,)33P t t --根据(1)的结论求得C 的坐标,进而求得AC 的解析式,过P 作PD ⊥x 轴交AC 于点D ,进而求得PD 的长,根据12APC C A S PD x x =⋅⋅-△求得APCS的表达式,进而根据二次函数的性质求得取得最大值时,t 的值,进而求得P 点的坐标; (3)分情况讨论,①//CM AQ ,②//AC MQ ,根据抛物线的性质以及平行四边形的性质先求得M 的坐标进而求得Q 点的坐标. 【详解】(1)二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于()()3,0,1,0A B -两点,则093202a b a b =-+⎧⎨=++⎩解得2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴抛物线解析式为224233y x x =--+(2)抛物线224233y x x =--+与y 轴交于点C ,令0x =,则2y =(0,2)C ∴设直线AC 的解析式为y kx b =+,由(3,0)A -,(0,2)C ,则302k b b -+=⎧⎨=⎩解得232k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线AC 的解析式为223y x =+, 如图,过P 作PD ⊥x 轴交AC 于点D ,设224(,)33P t t --,则2(,2)3D t t +,2224222223333PD t t t t t ⎛⎫∴=--+-+=-- ⎪⎝⎭∴12APCC A S PD x x =⋅⋅-△212(2)323t t =⨯--⨯2239324t t t ⎛⎫=--=-++ ⎪⎝⎭ ∴当32t =-时,APCS取得最大值,此时222423435223332322t t ⎛⎫⎛⎫--+=-⨯--⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴35(,)22P -(3)存在,理由如下抛物线解析式为224233y x x =--+()228133x =-++∴抛物线的对称轴为直线1x =①如图,当//CM AQ 时,Q 点在x 轴上,//CM x 轴∴,M C 关于抛物线的对称轴直线1x =对称,(0,2)C(2,2)M ∴-2CM ∴=122AQ AQ ∴==(3,0)A -12(1,0),(5,0)Q Q ∴--②当//AC MQ 时,如图,设M 的纵坐标为n ,四边形ACQM 是平行四边形,点A ,Q 在x 轴上,则,AQ MC 的交点也在x 轴上, 202n +∴=解得2n =- 设(,2)M m -, 2242233x x ∴-=--+解得1x =-(12)M ∴--A 点到C 点是横坐标加3,纵坐标加2∴M 点到Q 点也是横坐标加3,纵坐标加2即(13,0)Q -±34(2(2Q Q ∴综上所述,存在点Q ,使得以A C M Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形,Q 点的坐标为12(1,0),(5,0)Q Q --,34(2(2Q Q .【点睛】本题考查了二次函数综合,待定系数法,二次函数最值,二次函数的图象与性质,平行四边形的性质,综合运用以上知识是解题的关键.10.(1)①,②w 有最小值,w 的最值是(2)不变,(3)或【解析】 【分析】(1)①根据题意先求得各点的坐标,求得AD 的解析式,进而求得点E 的坐标,通过计算可得,进而可得,由可得出,依题意,设,解方程求解即可;②根据已知条件设,求得直线AP 的解析式,直线BE 的解析式,联立即可求得点G 的坐标,根据,令,根据二次函数的性质求得的最大值,即可求得的最小值;(2)根据题意过点N 作,依题意,点N 为ABP △的外心,N 为AB 垂直平分线上的点则点N 在抛物线的对称轴1x =上,设,,()1,0A -,()3,0B ,根据建立方程,解得,进而求得,即可求得;(3)作的外心H ,作轴,则,进而可得H 在AO 的垂直平分线上运动,根据题意当最大转为求当取得最小值时,最大,进而根据点到直线的距离,垂线段最短,即可求得,求得,勾股定理求得,即可求得点H 的坐标,根据对称性求得另一个坐标. (1)抛物线y =x 2﹣2x ﹣3与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,D 为抛物线顶点. 令0x =,解得3y =-,则()0,3C - 令0y =,则,解得121,3x x =-=则,则①设直线AD 的解析式为y kx b =+ 则 解得令0x =,则,,依题意,设解得(舍)②点P 在第四象限的抛物线上,AP 、BE 交于点G ,如图,设,()1,0A -设直线AP 的解析式为则解得∴设直线AP 的解析式为设直线BE 的解析式为11y k x b =+∴直线BE 的解析式为联立解得∴=令存在最大值,则存在最小值当时,存在最大值,最大值为则的最小值为∴ w 有最小值,w 的最值是(2) 不变,,理由如下,如图,过点N 作,依题意,点N 为ABP △的外心N 为AB 垂直平分线上的点,即点N 在抛物线的对称轴1x =上, PM x ⊥,,轴,∴设,,()1,0A -,()3,0B ,N 为ABP △的外心,,则即解得即(3) 如图,作的外心H ,作轴,则H在AO的垂直平分线上运动依题意,当最大时,即最大时,是的外心,,即当最大,最大则当取得最小值时,最大,即当HQ⊥直线x=1时,取得最小值时,此时∴在中,.根据对称性,则存在.综上所述,或.【点睛】本题考查了三角形的外心,垂径定理,抛物线与三角形面积计算,二次函数的性质求最值问题,抛物线与圆综合,运用转化思想是解题的关键.11.(1)证明见解析,(2)证明见解析,(3)6 【解析】 【分析】(1)证明△BCE ≌△CDF 即可;(2)取BF 中点O ,连接OA 、OG ,证明A 、B 、G 、F 四点共圆即可;(3)作AK ⊥BG 于K ,HN ⊥AB 于N ,GM ⊥AB 于M ,根据等腰三角形的性质得出12BK AK ,进而得出∠BAG 的正切值,求出AH 长即可. 【详解】(1)证明∵四边形ABCD 是正方形, ∴CB =CD ,∠BCD =90°, ∵CF ⊥BE , ∴∠BGC =90°,∴∠CBE +∠GCB =90°,∠GCB +∠DCF =90°, ∴∠CBE =∠DCF , ∴△CBE ≌△DCF (AAS ), ∴CE =DF ;(2)取BF 中点O ,连接OA 、OG , ∵∠BAF =90°, ∴OA =OF =OB , 同理,OG =OF =OB ,∴A 、B 、G 、F 四点在以O 为圆心,OA 为半径的圆上,如图所示, ∴∠ABF =∠AGF ;(3)作AK ⊥BG 于K ,HN ⊥AB 于N ,GM ⊥AB 于M , ∵四边形ABCD 是正方形, ∴AB =CB ,∠ABC =90°, ∵AK ⊥BG , ∴∠AKB =90°,∴∠BAK +∠ABK =90°,∠ABK +∠CBG =90°, ∴∠BAK =∠CBG , ∴△BAK ≌△CBG (AAS ), ∴AK =BG ; ∵AG =AB =11, ∴1122BK BG AK ==, ∴1tan tan 2BAK CBG ∠=∠=, ∴BC =2EC ,由(1)得,DC =2DF , ∴1tan 2ABF ∠=, ∴12NH BN = ∵MG ∥CB , ∴∠MGB =∠CBG , ∴MG =2MB ,AM =11-MB , 222(11)(2)11MB MB -+=,解得,1225MB =,20MB =(舍去), 335AM =,445MG =, ∴4tan 3MAG ∠=,∴43NH AN =, ∵12NH BN =, ∴32114BN AN NH NH +=+=, 解得,4NH =,则3AN =,225AH AN NH =+=,GH =11-5=6.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,解直角三角形,圆周角定理等知识,解题关键是恰当的作辅助线,熟练运用相关性质进行推理证明.12.(1)(2)点P 的坐标为(−3,4) (3)存在,点M 的坐标为:,,【解析】 【分析】(1)由直线方程可求得A 、B 两点的坐标,代入抛物线解析式可求得b 、c 的值,可求得抛物线解析式,再令y =0可求得C 点坐标;(2)过E 作EH ⊥PD 于H ,可求得EH ,设出P 点坐标,则可表示出D 、E 、F 的坐标,从而可表示出PD 和EF ,利用梯形面积公式可表示出四边形PDEF 的面积,根据二次函数的最值,可求得P 点坐标;(3)可求得直线AG 和A ′G ′的方程,从而可表示出M 、N 点的坐标,从而可表示出MN 、FM 、FN 的长,分MN =FM 、MN =FN 和FM =FN 三种情况分别求解即可.(1)∵直线4y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点,∴A (−4,0),B (0,4). ∵抛物线2y x bx c =-++经过A 、B 两点,∴.解得.∴抛物线的解析式为.(2)如图,过点E作EH⊥PD于点H,则EH∥OA.∵OA=OB=4,∴∠OAB=45°.∴∠HDE=45°,且DE=.∴HE=HD=2.设点P的坐标为(a,--3a+4),则点D为(a,a+4),点E为(a+2,a+6),点F为(a+2,--7a-6).∴|PD|=-−3a+4-(a+4)=--4a,|EF|=--7a-6-(a+6)=--8a-12.∴S四边形PDEF=HE×(PD+EF)= ×2(--4a--8a-12)=-2-12a-12=-2(a+3)2+6.∴当a=-3时,S四边形PDEF有最大值6.此时点P的坐标为(−3,4).(3)满足条件的点M的坐标为:,,.理由如下:∵OG=2,∴点G的坐标为(0,-2),且A(-4,0).=+,把A、G坐标代入可得,解得.设直线AG的方程为y kx n。

中考数学试卷压轴及答案

中考数学试卷压轴及答案

一、选择题(每题4分,共16分)1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x = 1时取得最小值,则a,b,c之间的关系是()A. a > 0,b = 0,c > 0B. a < 0,b = 0,c < 0C. a > 0,b ≠ 0,c ≠ 0D. a < 0,b ≠ 0,c ≠ 0答案:B解析:二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a)),当a < 0时,函数开口向下,顶点为最大值点,因此a < 0。

又因为顶点坐标的y值为最小值,所以c < 0。

由于函数在x = 1时取得最小值,所以b = 0。

2. 在直角坐标系中,点A(2,3),B(-1,2),C(1,-2)构成的三角形ABC的外心坐标是()A. (1,0)B. (0,1)C. (0,-1)D. (-1,0)答案:A解析:三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点。

首先,计算AB、AC、BC三边的斜率,然后分别求出垂直平分线的方程。

最后,解方程组得到交点坐标。

3. 若等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3 = 9,S5 = 25,则数列的公差d为()A. 2B. 3C. 4D. 5答案:B解析:等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 (a1 + an)。

由题意,S3 = 3/2(a1 + a3) = 9,S5 = 5/2 (a1 + a5) = 25。

将S3和S5的表达式代入,得到两个方程,解得a1和a5,再求公差d。

4. 在平面直角坐标系中,抛物线y = x^2 - 2x + 3的焦点坐标是()A. (1,1)B. (1,-1)C. (0,1)D. (0,-1)答案:B解析:抛物线的一般方程为y = ax^2 + bx + c,焦点坐标为(-b/2a,1-1/(4a))。

将抛物线方程y = x^2 - 2x + 3代入,得到焦点坐标。

5. 若复数z满足|z-1| = |z+1|,则z的实部为()A. 0B. 1C. -1D. 不确定答案:A解析:复数z的模长|z|表示复数z到原点的距离。

历年中考数学压轴题及答案

历年中考数学压轴题及答案

历年中考数学压轴题及答案(精选)1.(2011年四川省宜宾市)已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A (-1,0)、B (0,3)两点,其顶点为D.(1)求该抛物线的解析式;(2)若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积;(3)△AOB 与△BDE 是否相似?如果相似,请予以证明;如果不相似,请说明理由.2. (11浙江衢州)已知直角梯形纸片OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示,四个顶点的坐标分别为O(0,0),A(10,0),B(8,32),C(0,32),点T 在线段OA 上(不与线段端点重合),将纸片折叠,使点A 落在射线AB 上(记为点A ′),折痕经过点T ,折痕TP 与射线AB 交于点P ,设点T 的横坐标为t ,折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S ;(1)求∠OAB 的度数,并求当点A ′在线段AB 上时,S 关于t 的函数关系式;(2)当纸片重叠部分的图形是四边形时,求t 的取值范围;(3)S 存在最大值吗?若存在,求出这个最大值,并求此时t 的值;若不存在,请说明理由.3. (11浙江温州)如图,在Rt ABC △中,90A ∠=o ,6AB =,8AC =,D E ,分别是边AB AC ,的中点,点P 从点D 出发沿DE 方向运动,过点P 作PQ BC ⊥于Q ,过点Q 作QR BA ∥交AC 于R ,当点Q 与点C 重合时,点P 停止运动.设BQ x =,QR y =.(1)求点D 到BC 的距离DH 的长;(2)求y 关于x 的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);(3)是否存在点P ,使PQR △为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的x 的值;若不存在,请说明理由.4.(11山东省日照市)在△ABC 中,∠A =90°,AB =4,AC =3,M 是AB 上的动点(不与A ,B 重合),过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N .以MN 为直径作⊙O ,并在⊙O 内作内接矩形AMPN .令AM =x .(1)用含x 的代数式表示△MNP 的面积S ;(2)当x 为何值时,⊙O 与直线BC 相切?(3)在动点M 的运动过程中,记△MNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ,试求y 关于x 的函数表达式,并求x 为何值时,y 的值最大,最大值是多少?5、(2007浙江金华)如图1,已知双曲线y=xk (k>0)与直线y=k ′x 交于A ,B 两点,点A 在第一象限.试解答下列问题:(1)若点A 的坐标为(4,2).则点B 的坐标为 ;若点A 的横坐标为m ,则点B 的坐标可表示为 ;(2)如图2,过原点O 作另一条直线l ,交双曲线y=xk (k>0)于P ,Q 两点,点P 在第一象限.①说明四边形APBQ 一定是平行四边形;②设点A.P 的横坐标分别为m ,n ,四边形APBQ 可能是矩形吗?可能是正方形吗?若可能,直接写出mn 应满足的条件;若不可能,请说明理由.6. (2011浙江金华)如图1,在平面直角坐标系中,己知ΔAOB 是等边三角形,点A 的坐标是(0,4),点B 在第一象限,点P 是x 轴上的一个动点,连结AP ,并把ΔAOP 绕着点A 按逆时针方向旋转.使边AO 与AB 重合.得到ΔABD.(1)求直线AB 的解析式;(2)当点P 运动到点(3,0)时,求此时DP 的长及点D 的坐标;(3)是否存在点P ,使ΔOPD 的面积等于43,若存在,请求出符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.7.(2011浙江义乌)如图1,四边形ABCD 是正方形,G 是CD 边上的一个动点(点G 与C 、D 不重合),以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ,连结BG ,DE .我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系:(1)①猜想如图1中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系;②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α,得到如图2、如图3情形.请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断.(2)将原题中正方形改为矩形(如图4—6),且AB=a ,BC=b ,CE=ka , CG=kb (a ≠b ,k >0),第(1)题①中得到的结论哪些成立,哪些不成立?若成立,以图5为例简要说明理由.(3)在第(2)题图5中,连结DG 、BE ,且a =3,b =2,k =12,求22BE DG +的值.8. (2011浙江义乌)如图1所示,直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上.过点B 、C 作直线l .将直线l 平移,平移后的直线l 与x 轴交于点D ,与y 轴交于点E .(1)将直线l 向右平移,设平移距离CD 为t (t ≥0),直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积(图中阴影部份)为s ,s 关于t 的函数图象如图2所示, OM 为线段,MN 为抛物线的一部分,NQ 为射线,N 点横坐标为4.①求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积;②当42<<t 时,求S 关于t 的函数解析式;(2)在第(1)题的条件下,当直线l 向左或向右平移时(包括l 与直线BC 重合),在直线..AB ..上是否存在点P ,使PDE ∆为等腰直角三角形?若存在,请直接写出所有满足条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.9.(2011山东烟台)如图,菱形ABCD 的边长为2,BD=2,E 、F 分别是边AD ,CD 上的两个动点,且满足AE+CF=2.(1)求证:△BDE ≌△BCF ;(2)判断△BEF 的形状,并说明理由;(3)设△BEF 的面积为S ,求S 的取值范围.10.(2011山东烟台)如图,抛物线21:23L y x x =--+交x 轴于A 、B 两点,交y 轴于M 点.抛物线1L 向右平移2个单位后得到抛物线2L ,2L 交x 轴于C 、D 两点.(1)求抛物线2L 对应的函数表达式;(2)抛物线1L 或2L 在x 轴上方的部分是否存在点N ,使以A ,C ,M ,N 为顶点的四边形是平行四边形.若存在,求出点N 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)若点P 是抛物线1L 上的一个动点(P 不与点A 、B 重合),那么点P 关于原点的对称点Q 是否在抛物线2L 上,请说明理由.11.2011淅江宁波)2011年5月1日,目前世界上最长的跨海大桥——杭州湾跨海大桥通车了.通车后,苏南A 地到宁波港的路程比原来缩短了120千米.已知运输车速度不变时,行驶时间将从原来的3时20分缩短到2时.(1)求A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程.(2)若货物运输费用包括运输成本和时间成本,已知某车货物从A 地到宁波港的运输成本是每千米1.8元,时间成本是每时28元,那么该车货物从A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元?(3)A 地准备开辟宁波方向的外运路线,即货物从A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港,再从宁波港运到B 地.若有一批货物(不超过10车)从A 地按外运路线运到B 地的运费需8320元,其中从A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与(2)中相同,从宁波港到B 地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是:一车800元,当货物每增加1车时,每车的海上运费就减少20元,问这批货物有几车?12.(2011淅江宁波)如图1,把一张标准纸一次又一次对开,得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸….已知标准纸...的短边长为a . (1)如图2,把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠:第一步 将矩形的短边AB 与长边AD 对齐折叠,点B 落在AD 上的点B 处,铺平后得折痕AE ;第二步 将长边AD 与折痕AE 对齐折叠,点D 正好与点E 重合,铺平后得折痕AF . 则:AD AB 的值是 ,AD AB ,的长分别是 , .(2)“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等?若相等,直接写出这个比值;若不相等,请分别计算它们的比值.(3)如图3,由8个大小相等的小正方形构成“L ”型图案,它的四个顶点E F G H ,,,分别在“16开”纸的边AB BC CD DA ,,,上,求DG 的长.①标准纸“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸……都是矩形. ②本题中所求边长或面积都用含a 的代数式表示.(4)已知梯形MNPQ 中,MN PQ ∥,90M =o ∠,2MN MQ PQ ==,且四个顶点M N P Q ,,,都在“4开”纸的边上,请直接写出2个符合条件且大小不同的直角梯形的面积.13.(2011山东威海)如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB =7,CD =1,AD =BC =5.点M ,N 分别在边AD ,BC 上运动,并保持MN ∥AB ,ME ⊥AB ,NF ⊥AB ,垂足分别为E ,F .(1)求梯形ABCD 的面积;(2)求四边形MEFN 面积的最大值.(3)试判断四边形MEFN 能否为正方形,若能,求出正方形MEFN 的面积;若不能,请说明理由.14.(2011山东威海)如图,点A (m ,m +1),B (m +3,m -1)都在反比例函数xk y =的图象上. (1)求m ,k 的值;(2)如果M 为x 轴上一点,N 为y 轴上一点,以点A ,B ,M ,N 为顶点的四边形是平行四边形,试求直线MN 的函数表达式.(3)选做题:在平面直角坐标系中,点P的坐标为(5,0),点Q的坐标为(0,3),把线段PQ向右平移4个单位,然后再向上平移2个单位,得到线段P1Q1,则点P1的坐标为,点Q1的坐标为.15.(2011湖南益阳)我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”,如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点,那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图12,点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点,已知点D的坐标为(0,-3),AB为半圆的直径,半圆圆心M的坐标为(1,0),半圆半径为2.(1)请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式,并写出自变量的取值范围;(2)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗?试试看;(3)开动脑筋想一想,相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式.16.(2011年浙江省绍兴市)将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中,(00)O ,,(60)A ,,(03)C ,.动点Q 从点O 出发以每秒1个单位长的速度沿OC 向终点C 运动,运动23秒时,动点P 从点A 出发以相等的速度沿AO 向终点O 运动.当其中一点到达终点时,另一点也停止运动.设点P 的运动时间为t (秒). (1)用含t 的代数式表示OP OQ ,;(2)当1t 时,如图1,将OPQ △沿PQ 翻折,点O 恰好落在CB 边上的点D 处,求点D 的坐标;(4)连结AC ,将OPQ △沿PQ 翻折,得到EPQ △,如图2.问:PQ 与AC 能否平行?PE 与AC能否垂直?若能,求出相应的t 值;若不能,说明理由.17.(2011年辽宁省十二市)如图16,在平面直角坐标系中,直线33y x =--与x 轴交于点A ,与y 轴交于点C ,抛物线223(0)3y ax x c a =-+≠经过A B C ,,三点. (1)求过A B C ,,三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标;(2)在抛物线上是否存在点P ,使ABP △为直角三角形,若存在,直接写出P 点坐标;若不存在,请说明理由;(3)试探究在直线AC 上是否存在一点M ,使得MBF △的周长最小,若存在,求出M 点的坐标;若不存在,请说明理由.18.(2011年沈阳市)如图所示,在平面直角坐标系中,矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上,边OC 在y 轴的正半轴上,且1AB =,3OB =,矩形ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60o 后得到矩形EFOD .点A 的对应点为点E ,点B 的对应点为点F ,点C 的对应点为点D ,抛物线2y ax bx c =++过点A E D ,,.(1)判断点E 是否在y 轴上,并说明理由;(2)求抛物线的函数表达式;(3)在x 轴的上方是否存在点P ,点Q ,使以点O B P Q ,,,为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍,且点P 在抛物线上,若存在,请求出点P ,点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.19.(2011年四川省巴中市) 已知:如图14,抛物线2334y x =-+与x 轴交于点A ,点B ,与直线34y x b =-+相交于点B ,点C ,直线34y x b =-+与y 轴交于点E . (1)写出直线BC 的解析式.(2)求ABC △的面积.(3)若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动(不与A B ,重合),同时,点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动.设运动时间为t 秒,请写出MNB △的面积S 与t 的函数关系式,并求出点M 运动多少时间时,MNB △的面积最大,最大面积是多少?20.(2011年成都市)如图,在平面直角坐标系xOy 中,△OAB 的顶点A的坐标为(10,0),顶点B 在第一象限内,且AB =35,sin ∠OAB=55. (1)若点C 是点B 关于x 轴的对称点,求经过O 、C 、A 三点的抛物线的函数表达式;(2)在(1)中,抛物线上是否存在一点P ,使以P 、O 、C 、A 为顶点的四边形为梯形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)若将点O 、点A 分别变换为点Q ( -2k ,0)、点R (5k ,0)(k>1的常数),设过Q 、R 两点,且以QR 的垂直平分线为对称轴的抛物线与y 轴的交点为N ,其顶点为M ,记△QNM 的面积为QMN S ∆,△QNR 的面积QNR S ∆,求QMN S ∆∶QNR S ∆的值.21.(2011年乐山市)在平面直角坐标系中△ABC 的边AB 在x 轴上,且OA>OB,以AB 为直径的圆过点C 若C 的坐标为(0,2),AB=5, A,B 两点的横坐标X A ,X B 是关于X 的方程2(2)10x m x n -++-=的两根:(1) 求m ,n 的值(2) 若∠ACB 的平分线所在的直线l 交x 轴于点D ,试求直线l 对应的一次函数的解析式(3) 过点D 任作一直线`l 分别交射线CA ,CB (点C 除外)于点M ,N ,则11CM CN+的值是否为定值,若是,求出定值,若不是,请说明理由22.(2011年四川省宜宾市)已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A (-1,0)、B(0,3)两点,其顶点为D.(1)求该抛物线的解析式;(2)若该抛物线与x轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE的面积;(3)△AOB与△BDE是否相似?如果相似,请予以证明;如果不相似,请说明理由.(注:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--abacab44,22)23.(天津市2011年)已知抛物线cbxaxy++=232,(Ⅰ)若1==ba,1-=c,求该抛物线与x轴公共点的坐标;(Ⅱ)若1==ba,且当11<<-x时,抛物线与x轴有且只有一个公共点,求c的取值范围;(Ⅲ)若0=++c b a ,且01=x 时,对应的01>y ;12=x 时,对应的02>y ,试判断当10<<x 时,抛物线与x 轴是否有公共点?若有,请证明你的结论;若没有,阐述理由.24.(2011年大庆市)如图①,四边形AEFG 和ABCD 都是正方形,它们的边长分别为a b ,(2b a ≥),且点F 在AD 上(以下问题的结果均可用a b ,的代数式表示).(1)求DBF S △;(2)把正方形AEFG 绕点A 按逆时针方向旋转45°得图②,求图②中的DBF S △;(3)把正方形AEFG 绕点A 旋转一周,在旋转的过程中,DBF S △是否存在最大值、最小值?如果存在,直接写出最大值、最小值;如果不存在,请说明理由.25. (2011年上海市)已知24AB AD ==,,90DAB ∠=o ,AD BC ∥(如图13).E 是射线BC 上的动点(点E 与点B 不重合),M 是线段DE 的中点.(1)设BE x =,ABM △的面积为y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域;(2)如果以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切,求线段BE 的长;(3)联结BD ,交线段AM 于点N ,如果以A N D ,,为顶点的三角形与BME △相似,求线段BE 的长.26.(2011年陕西省)某县社会主义新农村建设办公室,为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题,想在这三个地方的其中一处建一所供水站.由供水站直接铺设管道到另外两处.如图,甲,乙两村坐落在夹角为30o的两条公路的AB段和CD段(村子和公路的宽均不计),点M表示这所中学.点B在点M的北偏西30o的3km处,点A在点M的正西方向,点D在点M的南偏西60o的23km处.为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短,现有如下三种方案:方案一:供水站建在点M处,请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值;方案二:供水站建在乙村(线段CD某处),甲村要求管道建设到A处,请你在图①中,画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图,并求其最小值;方案三:供水站建在甲村(线段AB某处),请你在图②中,画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图,并求其最小值.综上,你认为把供水站建在何处,所需铺设的管道最短?27.(2011年山东省青岛市)已知:如图①,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=4cm,BC =3cm,点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动,速度为1cm/s;点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,速度为2cm/s;连接PQ.若设运动的时间为t(s)(0<t<2),解答下列问题:(1)当t为何值时,PQ∥BC?(2)设△AQP的面积为y(2cm),求y与t之间的函数关系式;(3)是否存在某一时刻t,使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分?若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由;(4)如图②,连接PC,并把△PQC沿QC翻折,得到四边形PQP′C,那么是否存在某一时刻t,使四边形PQP′C为菱形?若存在,求出此时菱形的边长;若不存在,说明理由.28.(2011年江苏省南通市)已知双曲线kyx=与直线14y x=相交于A、B两点.第一象限上的点M(m,n)(在A点左侧)是双曲线kyx=上的动点.过点B作BD∥y轴于点D.过N(0,-n)作NC∥x轴交双曲线kyx=于点E,交BD于点C.(1)若点D坐标是(-8,0),求A、B两点坐标及k的值.(2)若B是CD的中点,四边形OBCE的面积为4,求直线CM的解析式.(3)设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点,且MA=pMP,MB=qMQ,求p-q的值.29.(2011年江苏省无锡市)一种电讯信号转发装置的发射直径为31km.现要求:在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点,每个点安装一个这种转发装置,使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市.问:(1)能否找到这样的4个安装点,使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求?(2)至少需要选择多少个安装点,才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求?答题要求:请你在解答时,画出必要的示意图,并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由.(下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图,供解题时选用)压轴题答案1.解:( 1)由已知得:310c b c =⎧⎨--+=⎩解得c=3,b =2∴抛物线的线的解析式为223y x x =-++(2)由顶点坐标公式得顶点坐标为(1,4)所以对称轴为x=1,A,E 关于x=1对称,所以E(3,0)设对称轴与x 轴的交点为F所以四边形ABDE 的面积=ABO DFE BOFD S S S ∆∆++梯形 =111()222AO BO BO DF OF EF DF ⋅++⋅+⋅ =11113(34)124222⨯⨯++⨯+⨯⨯ =9 (3)相似如图,BD=2222112BG DG +=+= BE=22223332BO OE +=+= DE=22222425DF EF +=+=所以2220BD BE +=, 220DE =即: 222BD BE DE +=,所以BDE ∆是直角三角形 所以90AOB DBE ∠=∠=︒,且22AO BO BD BE ==, 所以AOB DBE ∆∆:.2. (1) ∵A ,B 两点的坐标分别是A(10,0)和B(8,32),∴381032OAB tan =-=∠, ∴︒=∠60OAB 当点A ´在线段AB 上时,∵︒=∠60OAB ,TA=TA ´,∴△A ´TA 是等边三角形,且A T TP '⊥,∴)t 10(2360sin )t 10(TP -=︒-=,)t 10(21AT 21AP P A -===',○2当6t 2<≤时,由图○1,重叠部分的面积EB A TP A S S S '∆'∆-=∵△A ´EB 的高是︒'60sin B A ,∴23)4t 10(21)t 10(83S 22⨯----= 34)2t (83)28t 4t (8322+--=++-= 当t=2时,S 的值最大是34;○3当2t 0<<,即当点A ´和点P 都在线段AB 的延长线是(如图○2,其中E 是TA ´与CB 的交点,F 是TP 与CB 的交点),∵ETF FTP EFT ∠=∠=∠,四边形ETAB 是等腰形,∴EF=ET=AB=4, ∴3432421OC EF 21S =⨯⨯=⋅= 综上所述,S 的最大值是34,此时t 的值是2t 0≤<.3. 解:(1)Q Rt A ∠=∠,6AB =,8AC =,10BC ∴=.Q 点D 为AB 中点,132BD AB ∴==. 90DHB A ∠=∠=o Q ,B B ∠=∠.BHD BAC ∴△∽△,DH BD AC BC ∴=,3128105BD DH AC BC ∴==⨯=g . (2)QR AB Q ∥,90QRC A ∴∠=∠=o .C C ∠=∠Q ,RQC ABC ∴△∽△, RQ QC AB BC ∴=,10610y x -∴=, 即y 关于x 的函数关系式为:365y x =-+.(3)存在,分三种情况:①当PQ PR =时,过点P 作PM QR ⊥于M ,则QM RM =.1290∠+∠=o Q ,290C ∠+∠=o ,1C ∴∠=∠. 84cos 1cos 105C ∴∠===,45QM QP ∴=, 1364251255x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴=,185x ∴=. ②当PQ RQ =时,312655x -+=, 6x ∴=.③当PR QR =时,则R 为PQ 中垂线上的点, 于是点R 为EC 的中点,11224CR CE AC ∴===.tanQR BA CCR CA ==Q,366528x-+∴=,152x∴=.综上所述,当x为185或6或152时,PQR△为等腰三角形.4.解:(1)∵MN∥BC,∴∠AMN=∠B,∠ANM=∠C.∴△AMN ∽△ABC.∴AM ANAB AC=,即43x AN=.∴AN=43x.……………2分∴S=2133248MNP AMNS S x x x∆∆==⋅⋅=.(0<x<4)……………3分(2)如图2,设直线BC与⊙O相切于点D,连结AO,OD,则AO=OD =21MN.在Rt△ABC中,BC =22AB AC+=5.由(1)知△AMN ∽△ABC.∴AM MNAB BC=,即45x MN=.∴ 54MN x =, ∴ 58OD x =. …………………5分 过M 点作MQ ⊥BC 于Q ,则58MQ OD x ==. 在Rt △BMQ 与Rt △BCA 中,∠B 是公共角, ∴ △BMQ ∽△BCA . ∴ BM QM BCAC=.∴ 55258324xBM x ⨯==,25424AB BM MA x x =+=+=. ∴ x =4996. ∴ 当x =4996时,⊙O 与直线B C 相切.…………………………………7分故以下分两种情况讨论:① 当0<x ≤2时,2Δ83x S y PMN ==.∴ 当x =2时,2332.82y =⨯=最大 ……………………………………8分② 当2<x <4时,设PM ,PN 分别交BC 于E ,F . ∵ 四边形AMPN 是矩形, ∴ PN ∥AM ,PN =AM =x . 又∵ MN ∥BC ,∴ 四边形MBFN 是平行四边形. ∴ FN =BM =4-x . ∴ ()424PF x x x =--=-. 又△PEF ∽ △ACB .∴ 2PEF ABC S PF AB S ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭. ∴ ()2322PEF S x ∆=-. ……………………………………………… 9分 MNP PEF y S S ∆∆=-=()222339266828x x x x --=-+-.……………………10分 当2<x <4时,29668y x x =-+-298283x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭.∴ 当83x =时,满足2<x <4,2y =最大. ……………………11分 综上所述,当83x =时,y 值最大,最大值是2. …………………………12分 5. 解:(1)(-4,-2);(-m,-k m)(2) ①由于双曲线是关于原点成中心对称的,所以OP=OQ,OA=OB,所以四边形APBQ一定是平行四边形 ②可能是矩形,mn=k 即可不可能是正方形,因为Op 不能与OA 垂直.解:(1)作BE ⊥OA ,∴ΔAOB 是等边三角形∴BE=OB ·sin60o =23,∴B(23,2)∵A(0,4),设AB 的解析式为4y kx =+,所以2342k +=,解得33k =-,的以直线AB 的解析式为343y x =-+ (2)由旋转知,AP=AD, ∠PAD=60o,∴ΔAPD 是等边三角形,PD=PA=2219AO OP +=6. 解:(1)作BE ⊥OA ,∴ΔAOB 是等边三角形∴BE=OB ·sin60o =23,∴B(23,2)∵A(0,4),设AB 的解析式为4y kx =+,所以2342k +=,解得33k =-, 以直线AB 的解析式为343y x =-+ (2)由旋转知,AP=AD, ∠PAD=60o,∴ΔAPD 是等边三角形,PD=PA=2219AO OP +=6. 解:(1)作BE ⊥OA ,∴ΔAOB 是等边三角形∴BE=OB ·sin60o =23,∴B(23,2)∵A(0,4),设AB 的解析式为4y kx =+,所以2342k +=,解得33k =-, 以直线AB 的解析式为343y x =-+ (2)由旋转知,AP=AD, ∠PAD=60o ,∴ΔAPD 是等边三角形,PD=PA=2219AO OP += 如图,作B E ⊥AO,DH ⊥OA,GB ⊥DH,显然ΔGBD 中∠GBD=30°∴GD=12BD=32,DH=GH+GD=32+23=532, ∴GB=32BD=32,OH=OE+HE=OE+BG=37222+= ∴D(532,72) (3)设OP=x,则由(2)可得D(323,22x x ++)若ΔOPD 的面积为:133(2)224x x +=g解得:23213x -±=所以P(23213-±,0)(1)①,BG DE BG DE =⊥ ………………………………………………………………2分②,BG DE BG DE =⊥仍然成立 ……………………………………………………1分在图(2)中证明如下∵四边形ABCD 、四边形ABCD 都是正方形 ∴ BC CD =,CG CE =, 090BCD ECG ∠=∠= ∴BCG DCE ∠=∠…………………………………………………………………1分∴BCG DCE ∆≅∆(SAS )………………………………………………………1分∴BG DE = CBG CDE ∠=∠又∵BHC DHO ∠=∠ 090CBG BHC ∠+∠= ∴090CDE DHO ∠+∠= ∴090DOH ∠=∴BG DE ⊥ …………………………………………………………………………1分(2)BG DE ⊥成立,BG DE =不成立 …………………………………………………2分简要说明如下∵四边形ABCD 、四边形CEFG 都是矩形,且AB a =,BC b =,CG kb =,CE ka =(a b ≠,0k >)∴BC CG bDC CE a==,090BCD ECG ∠=∠= ∴BCG DCE ∠=∠∴BCG DCE ∆∆:………………………………………………………………………1分∴CBG CDE ∠=∠又∵BHC DHO ∠=∠ 090CBG BHC ∠+∠= ∴090CDE DHO ∠+∠= ∴090DOH ∠= ∴BG DE ⊥ ……………………………………………………………………………1分(3)∵BG DE ⊥ ∴22222222BE DG OB OE OG OD BD GE +=+++=+ 又∵3a =,2b =,k =12∴222222365231()24BD GE +=+++=………………………………………………1分 ∴22654BE DG +=………………………………………………………………………1分(1)①2AB = ……………………………………………………………………………2分842OA ==,4OC =,S 梯形OABC =12 ……………………………………………2分 ②当42<<t 时,直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积=直角梯形OABC 面积-直角三角开DOE 面积2112(4)2(4)842S t t t t =--⨯-=-+-…………………………………………4分(2) 存在 ……………………………………………………………………………………1分123458(12,4),(4,4),(,4),(4,4),(8,4)3P P P P P --- …(每个点对各得1分)……5分 对于第(2)题我们提供如下详细解答(评分无此要求).下面提供参考解法二: ① 以点D 为直角顶点,作1PP x ⊥轴同理在③二图中分别可得P点的生标为P(-4,4)(与①情形二重合舍去)、P(4,4),E点在A点下方不可能.综上可得P点的生标共5个解,分别为P(-12,4)、P(-4,4)、P(-83,4)、P(8,4)、P(4,4).下面提供参考解法二:以直角进行分类进行讨论(分三类):第一类如上解法⑴中所示图22P DE y x b ∠=+为直角:设直线:,D 此时(-b,o),E(O,2b)的中点坐标为b (-,b)2,直线DE 的中垂线方程:1()22by b x -=-+,令4y =得3(8,4)2bP -.由已知可得2PE DE =即222232(8)(42)42b b b b ⨯-+-=+化简得2332640b b -+=解得 121883b b P P ==∴=3b,将之代入(-8,4)(4,4)、22(4,4)P -;第二类如上解法②中所示图22E DE y x b ∠=+为直角:设直线:,D 此时(-b,o),E(O,2b),直线PE 的方程:122y x b =-+,令4y =得(48,4)P b -.由已知可得PE DE =即2222(48)(42)4b b b b -+-=+化简得22(28)b b =-解之得 ,123443b b P P ==∴=,将之代入(4b-8,4)(8,4)、48(,4)3P - 第三类如上解法③中所示图22D DE y x b ∠=+为直角:设直线:,D 此时(-b,o),E(O,2b),直线PD 的方程:1()2y x b =-+,令4y =得(8,4)P b --.由已知可得PD DE =即2222844b b +=+解得12544b b P P ==-∴=,将之代入(-b-8,4)(-12,4)、 6(4,4)P -(6(4,4)P -与2P 重合舍去).综上可得P 点的生标共5个解,分别为P (-12,4)、P (-4,4)、P (-83,4)、 P (8,4)、P (4,4).事实上,我们可以得到更一般的结论:如果得出AB a OC b ==、、OA h =、设b ak h-=,则P 点的情形如下11. 解:(1)设A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为x 千米, 由题意得1201023x x+=, ··························································································· 2分 解得180x =.A ∴地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为180千米. ··········································· 4分 (2)1.8180282380⨯+⨯=(元),∴该车货物从A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用为380元. ····················· 6分(3)设这批货物有y 车,由题意得[80020(1)]3808320y y y -⨯-+=,························································· 8分整理得2604160y y -+=,解得18y =,252y =(不合题意,舍去), ··························································· 9分∴这批货物有8车. ······························································································ 10分12. 解:(1)21244a a ,,. ················································································ 3分 (2)相等,比值为2. ·········· 5分(无“相等”不扣分有“相等”,比值错给1分) (3)设DG x =,在矩形ABCD 中,90B C D ∠=∠=∠=o ,90HGF ∠=o Q ,90DHG CGF DGH ∴∠=∠=-∠o ,HDG GCF ∴△∽△,12DG HG CF GF ∴==, 22CF DG x ∴==. ······························································································· 6分 同理BEF CFG ∠=∠.EF FG =Q , FBE GCF ∴△≌△,14BF CG a x ∴==-. ··························································································· 7分 CF BF BC +=Q ,12244x a x a ∴+-=, ················································································· 8分解得214x a -=. 即214DG a -=. ································································································· 9分 (4)2316a , ········································································································ 10分 2271828a -. 12分∴ 6494738)2(7342+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=⋅=x x x EF ME S MEFN矩形. ……………………8分 当x =47时,ME =37<4,∴四边形MEFN 面积的最大值为649.……………9分(3)能. ……………………………………………………………………10分 由(2)可知,设AE =x ,则EF =7-2x ,ME =x 34. 若四边形MEFN 为正方形,则ME =EF . 即=34x 7-2x .解,得 1021=x . ……………………………………………11分 ∴ EF =21147272105x -=-⨯=<4.∴ 四边形MEFN 能为正方形,其面积为251965142=⎪⎭⎫⎝⎛=MEFNS 正方形.∴ 6494738)2(7342+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=⋅=x x x EF ME S MEFN矩形. ……………………8分 当x =47时,ME =37<4,∴四边形MEFN 面积的最大值为649.……………9分(3)能. ……………………………………………………………………10分 由(2)可知,设AE =x ,则EF =7-2x ,ME =x 34. 若四边形MEFN 为正方形,则ME =EF . 即=34x 7-2x .解,得 1021=x . ……………………………………………11分 ∴ EF =21147272105x -=-⨯=<4. ∴ 四边形MEFN 能为正方形,其面积为251965142=⎪⎭⎫⎝⎛=MEFNS 正方形.14.解:(1)由题意可知,()()()131-+=+m m m m . 解,得 m =3. ………………………………3分∴ A (3,4),B (6,2);∴ k =4×3=12. ……………………………4分 (2)存在两种情况,如图:①当M 点在x 轴的正半轴上,N 点在y 轴的正半轴 上时,设M 1点坐标为(x 1,0),N 1点坐标为(0,y 1).∵ 四边形AN 1M 1B 为平行四边形,∴ 线段N 1M 1可看作由线段AB 向左平移3个单位,再向下平移2个单位得到的(也可看作向下平移2个单位,再向左平移3个单位得到的).由(1)知A 点坐标为(3,4),B 点坐标为(6,2),∴ N 1点坐标为(0,4-2),即N 1(0,2); ………………………………5分 M 1点坐标为(6-3,0),即M 1(3,0). ………………………………6分设直线M 1N 1的函数表达式为21+=x k y ,把x =3,y =0代入,解得321-=k .∴ 直线M 1N 1的函数表达式为232+-=x y . ……………………………………8分②当M 点在x 轴的负半轴上,N 点在y 轴的负半轴上时,设M 2点坐标为(x 2,0),N 2点坐标为(0,y 2).∵ AB ∥N 1M 1,AB ∥M 2N 2,AB =N 1M 1,AB =M 2N 2, ∴ N 1M 1∥M 2N 2,N 1M 1=M 2N 2.∴ 线段M 2N 2与线段N 1M 1关于原点O 成中心对称.∴ M 2点坐标为(-3,0),N 2点坐标为(0,-2). ………………………9分设直线M 2N 2的函数表达式为22-=x k y ,把x =-3,y =0代入,解得322-=k ,∴ 直线M 2N 2的函数表达式为232--=x y .所以,直线MN 的函数表达式为232+-=x y 或232--=x y . ………………11分 (3)选做题:(9,2),(4,5). ………………………………………………2分 15. 解:(1)解法1:根据题意可得:A (-1,0),B (3,0);则设抛物线的解析式为)3)(1(-+=x x a y (a ≠0)又点D (0,-3)在抛物线上,∴a (0+1)(0-3)=-3,解之得:a =1∴y =x 2-2x -3 ····························································································· 3分 自变量范围:-1≤x ≤3 ············································································· 4分解法2:设抛物线的解析式为c bx ax y ++=2(a ≠0)根据题意可知,A (-1,0),B (3,0),D (0,-3)三点都在抛物线上∴⎪⎩⎪⎨⎧-==++=+-30390c c b a c b a ,解之得:⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a∴y =x 2-2x -3 ········································································ 3分 自变量范围:-1≤x ≤3······················································· 4分(2)设经过点C “蛋圆”的切线CE 交x 轴于点E ,连结CM , 在Rt △MOC 中,∵OM =1,CM =2,∴∠CMO =60°,OC =3 在Rt △MCE 中,∵OC =2,∠CMO =60°,∴ME =4∴点C 、E 的坐标分别为(0,3),(-3,0) ············································ 6分∴切线CE 的解析式为3x 33y +=····················································· 8分(3)设过点D (0,-3),“蛋圆”切线的解析式为:y =kx -3(k ≠0) ················· 9分由题意可知方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=-=3232x x y kx y 只有一组解 即3232--=-x x kx 有两个相等实根,∴k =-2 ······································· 11分 ∴过点D “蛋圆”切线的解析式y =-2x -3 ·············································· 12分(2)当1t =时,过D 点作1DD OA ⊥,交OA 于1D ,如图1, 则53DQ QO ==,43QC =, 1CD ∴=,(13)D ∴,. (3)①PQ 能与AC 平行.若PQ AC ∥,如图2,则OP OAOQ OC=, 即66233t t -=+,149t ∴=,而703t ≤≤,149t ∴=. ②PE 不能与AC 垂直.若PE AC ⊥,延长QE 交OA 于F ,如图3, 则23335t QF OQ QF AC OC +==g .253QF t ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭. EF QF QE QF OQ ∴=-=-22533t t ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2(51)(51)3t =-+-. 又Rt Rt EPF OCA Q △∽△,PE OC EF OA∴=, 6326(51)3t t -∴=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭, 3.45t ∴≈,而703t ≤≤, t ∴不存在.17. 解:(1)Q 直线33y x =--与x 轴交于点A ,与y 轴交于点C .(10)A ∴-,,(03)C -, ··························································································· 1分Q 点A C ,都在抛物线上,。

中考数学压轴题专项训练十套(含答案)

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中考数学压轴题专项训练十套(含答案)中考数学压轴题专项训练(一)做题时间:_______至_______ 家长签字:_____________ 共__________分钟日期:_____月_____日三、解答题23.(11分)如图,在直角梯形 $OABC$ 中,$AB\parallel OC$,$BC\perp x$ 轴于点 $C$,$A(1,1)$,$B(3,1)$.动点$P$ 从点 $O$ 出发,沿 $x$ 轴正方向以每秒 $1$ 个单位长度的速度移动.过点 $P$ 作 $PQ\perp OA$,垂足为 $Q$.设点$P$ 移动的时间为 $t$ 秒($0<t<4$),$\triangle OPQ$ 与直角梯形 $OABC$ 重叠部分的面积为 $S$.1)求经过 $O$,$A$,$B$ 三点的抛物线解析式.2)求 $S$ 与 $t$ 的函数关系式.3)将 $\triangle OPQ$ 绕着点 $P$ 顺时针旋转$90^{\circ}$,是否存在 $t$,使得 $\triangle OPQ$ 的顶点$O$ 或 $Q$ 在抛物线上?若存在,直接写出 $t$ 的值;若不存在,请说明理由.解析:1)由题意可知,经过 $O$,$A$,$B$ 三点的抛物线为$y=ax^{2}+bx+c$,代入三点的坐标可得:begin{cases}a+b+c=1\\4a+2b+c=1\\9a+3b+c=1end{cases}$解得 $a=-\dfrac{1}{4}$,$b=\dfrac{5}{4}$,$c=\dfrac{1}{2}$,即经过 $O$,$A$,$B$ 三点的抛物线解析式为 $y=-\dfrac{1}{4}x^{2}+\dfrac{5}{4}x+\dfrac{1}{2}$.2)设 $\triangle OPQ$ 的高为 $h$,则 $\triangle OPQ$ 的面积为 $\dfrac{1}{2}xh$,其中 $x=OP=t$.由于 $\triangle OPQ$ 与直角梯形 $OABC$ 重叠部分的面积为 $S$,所以$S=\dfrac{1}{2}(AB+BC)h=\dfrac{1}{2}(3+2t)h$.又因为 $P$ 沿 $x$ 轴正方向以每秒 $1$ 个单位长度的速度移动,所以 $h$ 的变化率为$\dfrac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}=-1$,即 $h=-t+4$.综上所述,$S=\dfrac{1}{2}(3+2t)(-t+4)=-t^{2}+5t-6$,即$S$ 与 $t$ 的函数关系式为 $S=-t^{2}+5t-6$.3)将 $\triangle OPQ$ 绕着点 $P$ 顺时针旋转$90^{\circ}$,则 $\triangle OPQ$ 变为 $\triangle OP'Q'$,其中$P'$,$Q'$ 分别为 $P$,$Q$ 绕着点 $P$ 顺时针旋转$90^{\circ}$ 后的点.易知 $\triangle OP'Q'$ 的顶点为 $O'$,坐标为 $(1+t,1)$.将 $O'$ 的坐标代入抛物线的解析式中,得到 $y=-\dfrac{1}{4}(1+t)^{2}+\dfrac{5}{4}(1+t)+\dfrac{1}{2}$.令 $y=0$,解得 $t=2\pm\sqrt{3}$.由于 $0<t<4$,所以 $t=2+\sqrt{3}$,即存在 $t$,使得$\triangle OPQ$ 的顶点 $O$ 在抛物线上.答案:(1)$y=-\dfrac{1}{4}x^{2}+\dfrac{5}{4}x+\dfrac{1}{2}$;(2)$S=-t^{2}+5t-6$;(3)$t=2+\sqrt{3}$.2)正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线AB下滑,直至顶点D落在x轴上时停止。

初中数学试卷中考压轴题精选(含详细答案)

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精品基础教育教学资料,仅供参考,需要可下载使用!一.解答题(共30小题)1.(顺义区)如图,直线l1:y=kx+b平行于直线y=x﹣1,且与直线l2:相交于点P(﹣1,0).(1)求直线l1、l2的解析式;(2)直线l1与y轴交于点A.一动点C从点A出发,先沿平行于x轴的方向运动,到达直线l2上的点B1处后,改为垂直于x轴的方向运动,到达直线l1上的点A1处后,再沿平行于x轴的方向运动,到达直线l2上的点B2处后,又改为垂直于x轴的方向运动,到达直线l1上的点A2处后,仍沿平行于x轴的方向运动,…照此规律运动,动点C依次经过点B1,A1,B2,A2,B3,A3,…,B n,A n,…①求点B1,B2,A1,A2的坐标;②请你通过归纳得出点A n、B n的坐标;并求当动点C到达A n处时,运动的总路径的长?2.(莆田)如图1,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=1,OC=2,点D在边OC上且OD=.(1)求直线AC的解析式;(2)在y轴上是否存在点P,直线PD与矩形对角线AC交于点M,使得△DMC为等腰三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.(3)抛物线y=﹣x2经过怎样平移,才能使得平移后的抛物线过点D和点E(点E在y轴的正半轴上),且△ODE沿DE折叠后点O落在边AB上O′处.3.(资阳)已知Z市某种生活必需品的年需求量y1(万件)、供应量y2(万件)与价格x (元/件)在一定范围内分别近似满足下列函数关系式:y1=﹣4x+190,y2=5x﹣170.当y1=y2时,称该商品的价格为稳定价格,需求量为稳定需求量;当y1<y2时,称该商品的供求关系为供过于求;当y1>y2时,称该商品的供求关系为供不应求.(1)求该商品的稳定价格和稳定需求量;(2)当价格为45(元/件)时,该商品的供求关系如何?为什么?4.(哈尔滨)如图1,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,四边形ABCO是菱形,点A的坐标为(﹣3,4),点C在x轴的正半轴上,直线AC交y轴于点M,AB边交y轴于点H.(1)求直线AC的解析式;(2)连接BM,如图2,动点P从点A出发,沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动,设△PMB的面积为S(S≠0),点P的运动时间为t秒,求S与t之间的函数关系式(要求写出自变量t的取值范围);(3)在(2)的条件下,当t为何值时,∠MPB与∠BCO互为余角,并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值.5.(桂林)如图已知直线L:y=x+3,它与x轴、y轴的交点分别为A、B两点.(1)求点A、点B的坐标.(2)设F为x轴上一动点,用尺规作图作出⊙P,使⊙P经过点B且与x轴相切于点F(不写作法,保留作图痕迹).(3)设(2)中所作的⊙P的圆心坐标为P(x,y),求y关于x的函数关系式.(4)是否存在这样的⊙P,既与x轴相切又与直线L相切于点B?若存在,求出圆心P的坐标;若不存在,请说明理由.6.(防城港)如图,在平面直角坐标系,直线y=﹣(x﹣6)与x轴、y轴分别相交于A、D两点,点B在y轴上,现将△AOB沿AB翻折180°,使点O刚好落在直线AD的点C处.(1)求BD的长;(2)设点N是线段AD上的一个动点(与点A、D不重合),S△NBD=S1,S△NOA=S2,当点N运动到什么位置时,S1•S2的值最大,并求出此时点N的坐标;(3)在y轴上是否存在点M,使△MAC为直角三角形?若存在,请写出所有符合条件的点M的坐标,并选择一个写出其求解过程;若不存在,简述理由.7.(大兴安岭)直线y=kx+b(k≠0)与坐标轴分别交于A、B两点,OA、OB的长分别是方程x2﹣14x+48=0的两根(OA>OB),动点P从O点出发,沿路线O⇒B⇒A以每秒1个单位长度的速度运动,到达A点时运动停止.(1)直接写出A、B两点的坐标;(2)设点P的运动时间为t(秒),△OPA的面积为S,求S与t之间的函数关系式(不必写出自变量的取值范围);(3)当S=12时,直接写出点P的坐标,此时,在坐标轴上是否存在点M,使以O、A、P、M为顶点的四边形是梯形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.8.(云南)如图,在直角坐标系中,半圆直径为OC,半圆圆心D的坐标为(0,2),四边形OABC是矩形,点A的坐标为(6,0).(1)若过点P(2,0)且与半圆D相切于点F的切线分别与y轴和BC边交于点H与点E,求切线PF所在直线的解析式;(2)若过点A和点B的切线分别与半圆相切于点P1和P2(点P1、P2与点O、C不重合),请求P1、P2点的坐标并说明理由.(注:第(2)问可利用备用图作答).9.(厦门)如图,在直角梯形OABD中,DB∥OA,∠OAB=90°,点O为坐标原点,点A 在x轴的正半轴上,对角线OB,AD相交于点M.OA=2,AB=2,BM:MO=1:2.(1)求OB和OM的值;(2)求直线OD所对应的函数关系式;(3)已知点P在线段OB上(P不与点O,B重合),经过点A和点P的直线交梯形OABD 的边于点E(E异于点A),设OP=t,梯形OABD被夹在∠OAE内的部分的面积为S,求S关于t的函数关系式.10.(天门)如图①,在平面直角坐标系中,A点坐标为(3,0),B点坐标为(0,4).动点M从点O出发,沿OA方向以每秒1个单位长度的速度向终点A运动;同时,动点N从点A出发沿AB方向以每秒个单位长度的速度向终点B运动.设运动了x秒.(1)点N的坐标为(_________,_________);(用含x的代数式表示)(2)当x为何值时,△AMN为等腰三角形;(3)如图②,连接ON得△OMN,△OMN可能为正三角形吗?若不能,点M的运动速度不变,试改变点N的运动速度,使△OMN为正三角形,并求出点N的运动速度.11.(乐山)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的边AB在x轴上,且OA>OB,以AB 为直径的圆过点C.若点C的坐标为(0,2),AB=5,A,B两点的横坐标x A,x B是关于x的方程x2﹣(m+2)x+n﹣1=0的两根.(1)求m,n的值;(2)若∠ACB平分线所在的直线l交x轴于点D,试求直线l对应的一次函数解析式;(3)过点D任作一直线l′分别交射线CA,CB(点C除外)于点M,N.则的是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.12.(黄冈)已知:如图,在直角梯形COAB中,OC∥AB,以O为原点建立平面直角坐标系,A,B,C三点的坐标分别为A(8,0),B(8,10),C(0,4),点D为线段BC 的中点,动点P从点O出发,以每秒1个单位的速度,沿折线OABD的路线移动,移动的时间为t秒.(1)求直线BC的解析式;(2)若动点P在线段OA上移动,当t为何值时,四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的;(3)动点P从点O出发,沿折线OABD的路线移动过程中,设△OPD的面积为S,请直接写出S与t的函数关系式,并指出自变量t的取值范围;(4)试探究:当动点P在线段AB上移动时,能否在线段OA上找到一点Q,使四边形CQPD 为矩形?并求出此时动点P的坐标.13.(遵义)如图,已知一次函数的图象与x轴,y轴分别相交于A,B两点,点C在AB上以每秒1个单位的速度从点B向点A运动,同时点D在线段AO上以同样的速度从点A向点O运动,运动时间用t(单位:秒)表示.(1)求AB的长;(2)当t为何值时,△ACD与△AOB相似并直接写出此时点C的坐标;(3)△ACD的面积是否有最大值?若有,此时t为何值;若没有,请说明理由.14.(株洲)已知Rt△ABC,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,CD⊥AB于点D,以D为坐标原点,CD所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系.(1)求A,B,C三点的坐标;(2)若⊙O1,⊙O2分别为△ACD,△BCD的内切圆,求直线O1O2的解析式;(3)若直线O1O2分别交AC,BC于点M,N,判断CM与CN的大小关系,并证明你的结论.15.(镇江)探索、研究:下图是按照一定的规律画出的一列“树型”图,下表的n表示“树型”图的序号,a n表示第n个“树型”图中“树枝”的个数.图:表:n 1 2 3 4 …a n 1 3 7 15 …(1)根据“图”、“表”可以归纳出a n关于n的关系式为_________.若直线l1经过点(a1,a2)、(a2,a3),求直线l1对应的函数关系式,并说明对任意的正整数n,点(a n,a n+1)都在直线l1上.(2)设直线l2:y=﹣x+4与x轴相交于点A,与直线l1相交于点M,双曲线y=(x>0)经过点M,且与直线l2相交于另一点N.①求点N的坐标,并在如图所示的直角坐标系中画出双曲线及直线l1、l2.②设H为双曲线在点M、N之间的部分(不包括点M、N),P为H上一个动点,点P的横坐标为t,直线MP与x轴相交于点Q,当t为何值时,△MQA的面积等于△PMA的面积的2倍又是否存在t的值,使得△PMA的面积等于1?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.③在y轴上是否存在点G,使得△GMN的周长最小?若存在,求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.16.(咸宁)如图,在平面直角坐标系xoy中,已知矩形ABCD的边AB、AD分别在x轴、y轴上,点A与坐标原点重合,且AB=2,AD=1.操作:将矩形ABCD折叠,使点A落在边DC上.探究:(1)我们发现折痕所在的直线与矩形的两边一定相交,那么相交的情形有几种请你画出每种情形的图形;(只要用矩形草稿纸动手折一折你会有发现的!)(2)当折痕所在的直线与矩形的边OD相交于点E,与边OB相交于点F时,设直线的解析式为y=kx+b.①求b与k的函数关系式;②求折痕EF的长(用含k的代数式表示),并写出k的取值范围.17.(厦门)已知点P(m,n)(m>0)在直线y=x+b(0<b<3)上,点A、B在x轴上(点A在点B的左边),线段AB的长度为b,设△PAB的面积为S,且S=b2+b.(1)若b=,求S的值;(2)若S=4,求n的值;(3)若直线y=x+b(0<b<3)与y轴交于点C,△PAB是等腰三角形,当CA∥PB时,求b的值.18.(乌鲁木齐)如图1,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(0,6),点B坐标为,BC∥y轴且与x轴交于点C,直线OB与直线AC相交于点P.(1)求点P的坐标;(2)若以点O为圆心,OP的长为半径作⊙O(如图2),求证:直线AC与⊙O相切于点P;(3)过点B作BD∥x轴与y轴相交于点D,以点O为圆心,r为半径作⊙O,使点D在⊙O 内,点C在⊙O外;以点B为圆心,R为半径作⊙B,若⊙O与⊙B相切,试分别求出r,R 的取值范围.19.(随州)如图,直角梯形ABCD的腰BC所在直线的解析式为y=﹣x﹣6,点A 与坐标原点O重合,点D的坐标为(0,﹣4),将直角梯形ABCD绕点O顺时针旋转180°,得到直角梯形OEFG(如图1).(1)直接写出E,F两点的坐标及直角梯形OEFG的腰EF所在直线的解析式;(2)将图1中的直角梯形ABCD先沿x轴向右平移到点A与点E重合的位置,再让直角顶点A紧贴着EF,向上平移直角梯形ABCD(即梯形ABCD向上移动时,总保持着AB∥FG),当点A与点F重合时,梯形ABCD停止移动.观察得知:在梯形ABCD移动过程中,其腰BC始终经过坐标原点O.(如图2)①设点A的坐标为(a,b),梯形ABCD与梯形OEFG重合部分的面积为S,试求a与何值时,S的值恰好等于梯形OEFG面积的;②当点A在EF上滑动时,设AD与x轴的交点为M,试问:在y轴上是否存在点P,使得△PAM是底角为30°的等腰三角形?如果存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;如果不存在,请说明理由.(利用图3进行探索)20.(邵阳)如图,直线y=﹣x+2与x轴,y轴分别相交于点A,B.将△AOB绕点O 按顺时针方向旋转α角(0°<α≤360°),可得△COD.(1)求点A,B的坐标;(2)当点D落在直线AB上时,直线CD与OA相交于点E,△COD和△AOB的重叠部分为△ODE(图①).求证:△ODE∽△ABO;(3)除了(2)中的情况外,是否还存在△COD和△AOB的重叠部分与△AOB相似,若存在,请指出旋转角α的度数;若不存在,请说明理由;(4)当α=30°时(图②),CD与OA,AB分别相交于点P,M,OD与AB相交于点N,试求△COD与△AOB的重叠部分(即四边形OPMN)的面积.21.(韶关)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,OA=4,AB=2,直线与坐标轴交于D、E.设M是AB的中点,P是线段DE上的动点.(1)求M、D两点的坐标;(2)当P在什么位置时,PA=PB求出此时P点的坐标;(3)过P作PH⊥BC,垂足为H,当以PM为直径的⊙F与BC相切于点N时,求梯形PMBH 的面积.22.(衢州)如图,点B1(1,y1),B2(2,y2),B3(3,y3)…,B n(n,y n)(n是正整数)依次为一次函数y=x+的图象上的点,点A1(x1,0),A2(x2,0),A3(x3,0),…,A n(x n,0)(n是正整数)依次是x轴正半轴上的点,已知x1=a(0<a<1),△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4…△A n B n A n+1分别是以B1,B2,B3,…,B n为顶点的等腰三角形.(1)写出B2,B n两点的坐标;(2)求x2,x3(用含a的代数式表示);分析图形中各等腰三角形底边长度之间的关系,写出你认为成立的两个结论;(3)当a(0<a<1)变化时,在上述所有的等腰三角形中,是否存在直角三角形?若存在,求出相应的a的值;若不存在,请说明理由.23.(黔东南州)某商厦试销一种成本为50元/件的商品,规定试销时的销售单价不低于成本,又不高于80元/件,试销中销售量y(件)与销售单价x(元/件)的关系可近似的看作一次函数(如图).(1)求y与x的关系式;(2)设商厦获得的毛利润(毛利润=销售额﹣成本)为s(元),则销售单价定为多少时,该商厦获利最大,最大利润是多少?此时的销售量是多少件?24.(牡丹江)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(﹣3,6),点B,点C分别在x轴的负半轴和正半轴上,OB,OC的长分别是方程x2﹣4x+3=0的两根(OB<OC).(1)求B,C两点的坐标;(2)在坐标平面内是否存在点Q和点P(点P在直线AC上),使以O、P、C、Q为顶点的四边形是正方形?若存在,请直接写出Q点的坐标;若不存在,请说明理由;(3)若平面内有M(1,﹣2),D为线段OC上一点,且满足∠DMC=∠BAC,∠MCD=45°,求直线AD的解析式.25.(梅州)如图,直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=90°,AB=6,AD=4,DC=3,动点P从点A出发,沿A→D→C→B方向移动,动点Q从点A出发,在AB边上移动.设点P移动的路程为x,点Q移动的路程为y,线段PQ平分梯形ABCD的周长.(1)求y与x的函数关系式,并求出x,y的取值范围;(2)当PQ∥AC时,求x,y的值;(3)当P不在BC边上时,线段PQ能否平分梯形ABCD的面积?若能,求出此时x的值;若不能,说明理由.26.(聊城)某市为了进一步改善居民的生活环境,园林处决定增加公园A和公园B的绿化面积.已知公园A,B分别有如图1,图2所示的阴影部分需铺设草坪,在甲、乙两地分别有同种草皮1608m2和1200m2出售,且售价一样.若园林处向甲、乙两地购买草皮,其路程和运费单价见下表:公园A 公园B路程(千米)运费单价(元)路程(千米)运费单价(元)甲地30 0.25 32 0.25乙地22 0.3 30 0.3(注:运费单价指将每平方米草皮运送1千米所需的人民币)(1)分别求出公园A,B需铺设草坪的面积;(结果精确到1m2)(2)请设计出总运费最省的草皮运送方案,并说明理由.27.(佳木斯)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(﹣3,6),点B,点C分别在x轴的负半轴和正半轴上,OB,OC的长分别是方程x2﹣4x+3=0的两根(OB<OC).(1)求点B,点C的坐标;(2)若平面内有M(1,﹣2),D为线段OC上一点,且满足∠DMC=∠BAC,求直线MD 的解析式;(3)在坐标平面内是否存在点Q和点P(点P在直线AC上),使以O,P,C,Q为顶点的四边形是正方形?若存在,请直接写出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.28.(济南)已知:如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,点A,C的坐标分别为A(﹣3,0),C(1,0),tan∠BAC=.(1)求过点A,B的直线的函数表达式;(2)在x轴上找一点D,连接DB,使得△ADB与△ABC相似(不包括全等),并求点D 的坐标;(3)在(2)的条件下,如P,Q分别是AB和AD上的动点,连接PQ,设AP=DQ=m,问是否存在这样的m,使得△APQ与△ADB相似?如存在,请求出m的值;如不存在,请说明理由.29.(黑龙江)如图,点A为x轴负半轴上一点,点B为x轴正半轴上一点,OA,OB(OA <OB)的长分别是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2+2=0的两根,C(0,3),且S△ABC=6 (1)求∠ABC的度数;(2)过点C作CD⊥AC交x轴于点D,求点D的坐标;(3)在第(2)问的条件下,y轴上是否存在点P,使∠PBA=∠ACB?若存在,请直接写出直线PD的解析式;若不存在,请说明理由.30.(哈尔滨)如图,梯形ABCD在平面直角坐标系中,上底AD平行于x轴,下底BC 交y轴于点E,点C(4,﹣2),点D(1,2),BC=9,sin∠ABC=.(1)求直线AB的解析式;(2)若点H的坐标为(﹣1,﹣1),动点G从B出发,以1个单位/秒的速度沿着BC边向C点运动(点G可以与点B或点C重合),求△HGE的面积S(S≠0)随动点G的运动时间t′秒变化的函数关系式(写出自变量t′的取值范围);(3)在(2)的条件下,当秒时,点G停止运动,此时直线GH与y轴交于点N.另一动点P开始从B出发,以1个单位/秒的速度沿着梯形的各边运动一周,即由B到A,然后由A到D,再由D到C,最后由C回到B(点P可以与梯形的各顶点重合).设动点P 的运动时间为t秒,点M为直线HE上任意一点(点M不与点H重合),在点P的整个运动过程中,求出所有能使∠PHM与∠HNE相等的t的值.答案与评分标准一.解答题(共30小题)1.(顺义区)如图,直线l1:y=kx+b平行于直线y=x﹣1,且与直线l2:相交于点P(﹣1,0).(1)求直线l1、l2的解析式;(2)直线l1与y轴交于点A.一动点C从点A出发,先沿平行于x轴的方向运动,到达直线l2上的点B1处后,改为垂直于x轴的方向运动,到达直线l1上的点A1处后,再沿平行于x轴的方向运动,到达直线l2上的点B2处后,又改为垂直于x轴的方向运动,到达直线l1上的点A2处后,仍沿平行于x轴的方向运动,…照此规律运动,动点C依次经过点B1,A1,B2,A2,B3,A3,…,B n,A n,…①求点B1,B2,A1,A2的坐标;②请你通过归纳得出点A n、B n的坐标;并求当动点C到达A n处时,运动的总路径的长?考点:一次函数综合题。

(完整)中考数学压轴题精选含答案

(完整)中考数学压轴题精选含答案

一、解答题1.平面直角坐标系中,点在y轴正半轴,点在x轴正半轴,以线段AB为边在第一象限内作等边ABC,点C关于y轴的对称点为点D,连接AD,BD,且BD交y 轴于点E.(1)补全图形,并填空;①若点,则点D的坐标是__________;②若,则________.(2)若,求证:AD垂直平分BC;(3)若时,探究的数量关系,并证明.2.如图,在平面直角坐标系中,已知一次函数y=kx+b(k>0,b>0)的图象与x轴交于A,与y轴交于C.双曲线y=ax(x>0)的图象交一次函数的图像于第一象限内的点B,BD⊥x轴于D.E是AB中点,直线DE交y轴于F,连接AF.(1)若k=1,点B(2,6)时.①求一次函数和反比例函数的解析式;②求AFD的面积.(2)当k=2,a=12时,求AFD的面积.(3)求证:当k,b,a为任意常数时,AFD的面积恒等于1 2 a3.已知四边形ABCD中,AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC,∠ABC=120°,∠MBN=60°,∠MBN绕B点旋转,它的两边分别交AD,DC(或它们的延长线)于E,F.(1)如图1,当∠MBN 绕B 点旋转到AE =CF 时,求证:AE +CF =EF .(2)如图2,当∠MBN 绕B 点旋转到AE ≠CF 时,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,线段AE ,CF ,EF 又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并证明. (3)当∠MBN 绕B 点继续旋转到图3位置时,AE =10,CF =2.求EF 的长度.4.抛物线212y x mx n =-++与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C ,抛物线的对称轴交x 轴于点D ,已知(1,0)A -,(0,2)C .(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P ,使PCD 是以CD 为腰的等腰三角形?如果存在,求出P 点的坐标;如果不存在,请说明理由;(3)点E 是线段BC 上的一个动点,过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ,当四边形CDBF 的面积最大时,求点E 的坐标.5.如果抛物线1C 的顶点在抛物线2C 上,同时,抛物线2C 的顶点在抛物线1C 上,那么我们称抛物线1C 与2C 关联.(1)已知抛物线①221y x x =+-,判断下列抛物线②221y x x =-++;③221y x x =++与已知抛物线①是否关联,并说明理由.(2)抛物线211:(1)28C y x =+-,动点P 的坐标为(,2)t ,将抛物线绕点(,2)P t 旋转180︒得到抛物线2C ,若抛物线1C 与2C 关联,求抛物线2C 的解析式.(3)点A 为抛物线211:(1)28C y x =+-的顶点,点B 为与抛物线1C 关联的抛物线顶点,是否存在以AB 为斜边的等腰直角ABC ,使其直角顶点C 在y 轴上,若存在,求出C 点的坐标;若不存在,请说明理由.6.已知二次函数2y x bx c =+-图象通过两点(1,),(2,10)P a Q a . (1)如果a ,b ,c 是整数,且8c b a <<,求a ,b ,c 值.(2)设二次函数2y x bx c =+-图象和x 轴交点为A 、B ,和y 轴交点为C .如果有关x 方程20x bx c +-=两个根都是整数,求ABC 面积.7.如图1,直线AB 与x 轴,y 轴分别交于A ,B 两点,点C 在x 轴负半轴上,这三个点的坐标分别为A (4,0),B (0,4),C (−1,0) . (1)请求出直线AB 的解析式;(2)连接BC,若点E是线段AC上的一个动点(不与A,C重合),过点E作EF//BC交AB于点F,当△BEF的面积是52时,求点E的坐标;(3)如图2,将点B向右平移1个单位长度得到点D,在x轴上存在动点P,若∠DCO+∠DPO=∠α,当tan∠α=4时,请直接写出点P的坐标.8.如图①,在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别为A(4,0)、B(0,3),连结AB.抛物线经过点B,且对称轴是直线.(1)求抛物线的函数关系式.(2)将图①中的△ABO沿x轴向左平移得到△DCE(如图②),当四边形ABCD是菱形时,说明点C和点D都在该抛物线上.(3)在(2)中,若点M是抛物线上的一个动点(点M不与点C、D重合),过点M作MN∥y轴交直线CD于点N.设点M的横坐标为m,线段MN的长为l.求l与m之间的函数关系式.(4)在(3)的条件下,直接写出m为何值时,以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形.9.如图1,ABC内接于O,弦AE交BC于点D,连接BO,且ABO DAC∠∠.(1)求证:AE BC⊥;(2)如图2,点F在弧AC上,连接CF、BF,BF交AE于点M,若ACF OBC∠=∠,求证:MD ED=;(3)如图3,在(2)的条件下,3AM=时,求弦CF∠=∠,若10BFC EACBM=,3的长.10.如图,在△ABC中,AB=6,AC=BC=5,CD⊥AB于点D,点P从点A出发,以每秒5个单位长度的速度沿折线AC—CB向终点B运动,当点P不与A,B,C重合时,过点P作PQ⊥AB交AB于点Q,过点P作PM⊥PQ,使得PM=2PQ,点M、点D在PQ的同侧,连结MQ,设点P的运动时间为t(s)(1)线段CD=.(2)当点P在线段BC上时,PC=.(用含t的代数式表示)(3)当点M落在△BCD的内部时,求t的取值范围;(4)连结CM,当△CPM为锐角三角形时,直接写出t的取值范围.11.在四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,AB=AD,过点A作AE⊥BC于点E.(1)如图1,求证:AE=CE;(2)如图2,点F是线段CE.上一点,CF=BE,FG⊥BC交BD于点G,连接AG,求证:AG=BE+FG;(3)如图3,在(2)的条件下,若EF=10,FG=7,求AG的长.12.在ABC中,AB AC=,D是边AC上一点,F是边AB上一点,连接BD、CF交于点E,连接AE,且.(1)如图1,若90BAC∠=︒,,,求点B到AE的距离;(2)如图2,若E为BD中点,连接FD,FD平分,G为CF上一点,且,求证:;(3)如图3,若,12△沿着AB翻折得,点H为的BC=,将ABD中点,连接HA、HC,当周长最小时,请直接写出的值.13.如图1,抛物线y=ax2+bx+3过点A(﹣1,0),点B(3,0),与y轴交于点C.M是抛物线任意一点,过点M作直线l⊥x轴,交x轴于点E,设M的横坐标为m(0<m<3).(1)求抛物线的解析式及tan∠OBC的值;(2)当m=1时,P是直线l上的点且在第一象限内,若△ACP是直角三角形时,求点P的坐标;(3)如图2,连接BC,连接AM交y轴于点N,交BC于点D,连接BM,设△BDM的面积为S1,△CDN的面积为S2,求S1﹣S2的最大值.14.如图,抛物线y=ax2+bx+2与直线AB相交于A(﹣1,0),B(3,2),与x轴交于另一点C.(1)求抛物线的解析式;(2)在y上是否存在一点E,使四边形ABCE为矩形,若存在,请求出点E的坐标;若不存在,请说明理由;DB的最小值.(3)以C为圆心,1为半径作⊙C,D为⊙O上一动点,求DA+5515.如图,已知抛物线y=ax2+bx+5(a≠0)与x轴交于点A(﹣5,0),点B(1,0)(点A在点B的左边),与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点,连接BD.直线y=经过点A,且与y轴交于点E.(1)求抛物线的解析式;(2)点N是抛物线上的一点,当△BDN是以DN为腰的等腰三角形时,求点N的坐标;(3)点F为线段AE上的一点,点G为线段OA上的一点,连接FG,并延长FG与线段BD 交于点H(点H在第一象限),当∠EFG=3∠BAE且HG=2FG时,求出点F的坐标.16.如图1,点A,点B的坐标分别(a,0),(0,b),且b=+4,将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到线段BC.(1)直接写出a = ,b = ,点C 的坐标为 ;(2)如图2,作CD ⊥x 轴于点D ,点M 是BD 的中点,点N 在△OBD 内部,ON ⊥DN ,求证:2MN +ON =DN .(3)如图3,点P 是第二象限内的一个动点,若∠OPB =90°,求线段CP 的最大值. 17.如图,在长方形ABCD 中,10AB =,9BC =,点E 在AB 上,点G 在AD 上,AEFG 为正方形.点M ,N 分别为BC ,CD 上的动点,MO BC ⊥,NO CD ⊥,且点O 始终在正方形AEFG 的内部,MO 交EF 于点P ,NO 交FG 于点Q .(1)设CM AE a ==,①用含a 的代数式表示四边形EBMP 的周长;②若四边形OPFQ ,GQND 的周长之和恰好为四边形EBMP 周长的两倍,求a 的值. (2)设3CM x =,2CN x =,AE n CN =,是否存在正整数x ,n ,使得EBMP GQND S S =四边形四边形若存在,求出x ,n 的值;若不存在,请说明理由.18.如图,抛物线24y ax bx =++的对称轴是直线x =3,与x 轴交于()2,0A -,B 两点,与y 轴交于点C .(1)求抛物线的函数表达式;(2)若M 是抛物线上任意一点,过点M 作y 轴的平行线,交直线BC 于点N ,若3MN =,求点M 的坐标;(3)设点D ,E 是直线3x =上两动点,且1DE =,点D 在点E 上方,求四边形ACDE 周长的最小值.19.已知二次函数()20y x bx c a =++≠的图象与x 轴的交于A 、B (1,0)两点,与y 轴交于点()03C -,.(1)求二次函数的表达式及A 点坐标;(2)D 是二次函数图象上位于第三象限内的点,若点D 的横坐标为m ,ACD △的面积为S ,求S 与m 之间的函数关系式,并写出ACD △的面积取得最大值时点D 的坐标; (3)M 是二次函数图象对称轴上的点,在二次函数图象上是否存在点N .使以M 、N 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形?若有,请写出点N 的坐标(不写求解过程).20.如图1,已知二次函数y =ax 232+x +c 的图象与y 轴交于点C (0,4),与x 轴交于点A 、点B ,点B 坐标为(8,0).(1)请直接写出二次函数的解析式;(2)在直线BC 上方的抛物线上是否存在点P ,使△PBC 的面积为16?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)在(2)的结论下,过点P作PF⊥x轴于点F,交直线BC于点E,连接AE,点N是抛物线对称轴上的动点,在抛物线上是否存在点M,使得以M、N、A、E为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,请直接写出点M的坐标;如果不存在,请说明理由.【参考答案】**科目模拟测试一、解答题1.(1)①D(-2,3) ②∠BEO=60°;(2)答案见解析;(3)DE= AE+2EO,证明见解析.【解析】【分析】(1)①根据关于y轴的对称的性质可得答案,关于y轴的对称的两点,横坐标互为相反数,纵坐标不变;②根据C、D两点关于y轴的对称,可知y轴是线段CD的垂直平分线,得AD=AC、∠CAF=∠DAF,然后由等边△ABC得AC=AB,最后得AD=AB,∠ADB=∠ABD,即可得答案;(2)由|a−3|+b2−6b+9=0,得a=b,得∠BAO=45°,然后根据平角得∠CAF的度数、∠CAG的度数,即可得答案;(3)先证∠EBO=30°,得BE=2EO,然后作HE=AE,证△ADE≌△ABH,得DE=BH,最后证BH= AE+2EO,即可得答案.(1)解:补全图形如下图①∵C、D两点关于y轴的对称的两点,∴横坐标互为相反数,纵坐标不变,∵C(2,3),∴D(-2,3);②∵C、D两点关于y轴的对称,∠CAD=140°,=70°∴∠CAF=∠DAF=140°×12∵△ABC是等边三角形,∴∠CAB=60°,AC=AB,∴∠BAE=180°-70°-60°=50°,∵C、D两点关于y轴的对称,∴AD=AC,∴AD=AB,∴∠ADB=∠ABD=[180°-(360°-140°-60°)] ×1=10°2∴∠BEO=∠BAE+∠ABD=50°+10°=60°;(2)如下图:延长DA交BC于点G,∵|a−3|+b2−6b+9=0,∴|a−3|+(b−3)2=0,∴a=b=3,∴AO=BO,∴∠BAO=45°,∴∠CAF=180°-45°-60°=75°,∴∠CAG=180°-75°-75°=30°,∴∠BAG=60°-30°=30°,∴∠CAG=∠BAG,∴AD垂直平分BC;(3)如下图:作HE=AE,连接AH,∵C、D两点关于y轴的对称,∴∠CAF=∠DAF,∴∠CAE=∠DAE,∵∠CAE=60°+∠BAO,∴∠DAE=60°+∠BAO,∴∠DAB=60°+2∠BAO,=60°-∠BAO,∴∠DBA=[ 180°-(60°+2∠BAO)] ×12∴∠BEO=∠BAO+∠DBA=∠BAO+60°-∠BAO=60°,∴∠EBO=30°,∵∠AOB=90°,∴BE=2EO,∵HE=AE,∠BEA=∠AEH=60°,∴△AEH是等边三角形,∴AH=AE,∠HAE=60°,∴∠DAH=∠BAO,∵∠DAE=∠DAH+60°,∠BAH=∠BAO+60°,∴∠DAE=∠BAH,在△ADE和△ABH中,,∴△ADE≌△ABH,∴DE =BH , ∵HE =AE ,BE =2EO , ∴BH =BE +HE = AE +2EO , ∴DE = AE +2EO . 【点睛】本题考查了关于y 轴的对称的性质、等边三角形的性质、三角形的内角与外角的性质,垂直平分线的判定、在直角三角形中,30°的所对的边是斜边的一半、全等三角形的判定和性质,做题的关键是作辅助线,构造△ADE ≌△ABH .2.(1)①y =x +4,12y x=; ②6;(2)6;(3)见解析 【解析】 【分析】(1)①把点B (2,6)分别代入y =x +b 和y =kx (x >0),根据待定系数法即可求得; ②求出D ,E 的坐标,求出直线DE 的解析式,得到F 点坐标,故可求出△ADF 的面积; (2)联立两函数求出B 点坐标,再得到E 点坐标,求出直线DE 的解析式,从而得到F 点坐标,根据三角形的面积公式即可求出AFD 的面积 (3)与(2)同理即可求解. 【详解】解:(1)①∵一次函数y =x +b 的图象与反比例函数y =ax(x >0)的图象交于B ,B (2,6), ∴6=2+b ,6=2a , ∴b =4,a =12,∴一次函数解析式为y =x +4,反比例函数解析式为12y x=; ②令一次函数y =x +4=0 解得x =-4 ∴A (-4,0)∵E 是AB 中点,B (2,6) ∴E (-1,3) ∵BD ⊥x 轴于D ∴D (2,0)设直线DE 的解析式为y =mx +n ,代入E (-1,3)、D (2,0)得302m nm n =-+⎧⎨=+⎩解得12m n =-⎧⎨=⎩∴直线DE 的解析式为y =-x +2,令x =0,得y =2 ∴F (0,2) ∴OF =2 ∴AFD 的面积为1162622AD OF ⨯=⨯⨯=; (2)∵一次函数y =2x +b ,反比例函数12y x= 联立得2x +b =12x∴2x 2+bx -12=0解得xx舍去)∴B由A (12b -,0)得到E∵D0)设直线DE 的解析式为y =mx +n ,代入ED)得0m n m n ⎧=⎪=+⎪⎩解得2m n =-⎧⎪⎨=⎪⎩∴直线DE 的解析式为y =-2x令x =0,y∴F (0∴OF∵A (12b -,0),D0) ∴AD =12b∴AFD的面积为11622AD OF ⨯==;(3)∵一次函数y =kx +b ,反比例函数ay x= 联立得kx 2+bx -a =0解得xx舍去)∴B由A (bk -,0)得到E∵D0)设直线DE 的解析式为y =mx +n ,代入ED)得0m n m n ⎧=+⎪=+⎪⎩解得m kn =-⎧⎪⎨=⎪⎩∴直线DE 的解析式为y =-kx令x =0,y∴F (0∴OF∵A (bk -,0),D0)∴AD =b k∴AFD的面积为11212282ak AD OF a k ⨯===.【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题,解题的关键是熟知待定系数法求函数的解析式,三角形的面积及一元二次方程的解法.3.(1)见解析;(2)成立,理由见解析;(3)EF =8. 【解析】 【分析】(1)根据SAS 证明Rt △ABE ≌Rt △CBF ,求得BF =BE ,易求得△BEF 是等边三角形,可得BF =2CF ,即可解题;(2)将Rt △ABE 顺时针旋转120°,可得FG =CG +CF =AE +CF ,易证∠GBF =∠EBF =60°,即可求证△GBF ≌△EBF ,可得FG =EF ,即可解题;(3)将Rt △ABE 顺时针旋转120°,可得FG =CG -CF =AE -CF ,易证∠GBF =∠EBF =60°,即可求证△GBF ≌△EBF ,可得FG =EF ,即可解题. 【详解】证明:(1)∵Rt △ABE 和Rt △CBF 中,AB =BC ,CF =AE ,∠C =∠A =90°, ∴Rt △ABE ≌Rt △CBF (SAS ), ∴∠CBF =∠ABE ,BF =BE , ∵∠ABC =120°,∠MBN =60°,∴∠CBF =∠ABE =30°,△BEF 是等边三角形, ∴BF =2CF ,BE =2AE ,BF =EF , ∴EF =BF =2CF =AE +CF ; (2)成立,理由如下:如图2,将Rt △ABE 顺时针旋转120°,∵AB =BC ,∠ABC =120°,∴A 点与C 点重合,AE =CG ,BG =BE , ∵∠BCG =∠BCF =90°, ∴点G 、C 、F 共线, ∴FG =CG +CF =AE +CF ,∵∠ABC =120°,∠MBN =60°,∠ABE =∠CBG , ∴∠GBF =60°, 在△GBF 和△EBF 中, 60BG BE GBF EBF BF BF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩,∴△GBF ≌△EBF (SAS ), ∴FG =EF , ∴EF =AE +CF ;(3)如图3,将Rt △ABE 顺时针旋转120°,∵AB =BC ,∠ABC =120°,∴A 点与C 点重合,AE =CG ,BG =BE , ∵∠BCG =∠BCD =90°, ∴点G 、C 、D 共线, ∴FG =CG +CF =AE +CF , ∵∠ABC =∠ABE +∠CBE =120°, ∴∠CBG +∠CBE =∠GBE =120°, ∵∠MBN =60°, ∴∠GBF =60°, 在△BFG 和△BFE 中, 60BG BE GBF EBF BF BF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩, ∴△BFG ≌△BFE ,(SAS ) ∴GF =EF ,∴EF =AE -CF =10-2=8. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,30°角所对直角边是斜边一半的性质,旋转的性质等知识点,本题中求证△BFG ≌△BFE 是解题的关键.4.(1)213222y x x =-++;(2)存在,13(,4)2P ,235(,)22P ,335(,)22P -;(3)点()2,1E【解析】 【分析】(1)把()1,0A -,()0,2C 代入抛物线的解析式,利用待定系数法求解即可;(2)先求解抛物线的对称轴3,2x = 再求解CD 的长,由CDP 是以CD 为腰的等腰三角形,可得123CP DP DP CD ===.再作CH ⊥对称轴于点H ,从而可得答案; (3)先求解()4,0B .再求解直线BC 的解析式为122y x =-+.过点C 作CM EF ⊥于M ,设1,22E a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,213,222F a a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,根据BCDCEFBEFCDBF S SSS=++四边形111222BD OC EF CM EF BN =⋅+⋅+⋅列函数关系式,从而可得答案. 【详解】解:(1)∵抛物线212y x mx n =-++经过()1,0A -,()0,2C ,∴10,22,m n n ⎧--+=⎪⎨⎪=⎩解得3,22.m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线的解析式为213222y x x =-++.(2)∵22131325222228y x x x ⎛⎫=-++=--+⎪⎝⎭, ∴抛物线的对称轴是直线32x =. ∴32OD =. ∵()0,2C ,∴2OC =.在Rt OCD △中,由勾股定理,得2235222CD ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. ∵CDP 是以CD 为腰的等腰三角形, ∴123CP DP DP CD ===. 作CH ⊥对称轴于点H , ∴12HP HD ==.∴14DP =.∴13(,4)2P ,235(,)22P ,335(,)22P -. (3)当0y =时,由2132022x x -++=,解得11x =-,24x =,∴()4,0B .设直线BC 的解析式为y kx b =+,得2,40,b k b =⎧⎨+=⎩解得1,22.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线BC 的解析式为122y x =-+. 过点C 作CM EF ⊥于M ,设1,22E a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,213,222F a a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,∴2213112222222EF a a a a a ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭.∵BCDCEFBEFCDBF S SSS=++四边形111222BD OC EF CM EF BN =⋅+⋅+⋅ 2215111122(4)2222222a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+-++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭225134(2)22a a a =-++=--+. ∴根据题意04a ≤≤,∴当2a =时,CDBF S 四边形的最大值为132,此时点()2,1E . 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式,二次函数与等腰三角形,图形面积的最值问题,灵活运用二次函数的图象与性质解决问题是解题的关键.5.(1)①、②关联,理由见解析;(2)21(7)68y x =--+或21(9)68y x =-++;(3)存在,(0,1)或(0,3+420,3-42 【解析】 【分析】(1)首先求得抛物线①的顶点坐标,然后检验是否此点在抛物线②与③上,再求得抛物线②的顶点坐标,检验是否在抛物线①上即可求得答案;(2)首先求得抛物线C 1的顶点坐标,则可得:点P 在直线y =2上,则可作辅助线:作M 关于P 的对称点N ,分别过点M 、N 作直线y =2的垂线,垂足为E ,F ,则可求得:点N 的坐标,利用顶点式即可求得结果;(3)分别从当A ,B ,C 逆时针分布时与当A ,B ,C 顺时针分布时分析,根据全等三角形的知识,即可求得点C 的坐标,注意别漏解. 【详解】解:(1)∵①抛物线y =x 2+2x -1=(x +1)2-2的顶点坐标为M (-1,-2), ∴②当x =-1时,y =-x 2+2x +1=-1-2+1=-2, ∴点M 在抛物线②上;∵③当x =-1时,y =x 2+2x +1=1-2+1=0, ∴点M 不在抛物线③上; ∴抛物线①与抛物线②有关联;∵抛物线②y =-x 2+2x +1=-(x -1)2+2,其顶点坐标为(1,2), 经验算:(1,2)在抛物线①上, ∴抛物线①、②是关联的;(2)抛物线C 1:211:(1)28C y x =+-的顶点M 的坐标为(-1,-2),∵动点P 的坐标为(t ,2), ∴点P 在直线y =2上,作M 关于P 的对称点N ,分别过点M 、N 作直线y =2的垂线,垂足为E ,F ,则ME =NF =4,∴点N 的纵坐标为6,当y =6时,21(1)268x +-=,解得:x 1=7,x 2=-9,①设抛物C 2的解析式为:y =a (x -7)2+6, ∵点M (-1,-2)在抛物线C 2上, ∴-2=a (-1-7)2+6,∴a =18-,∴抛物线C 2的解析式为:21(7)68y x =--+,②设抛物C 2的解析式为:y =a (x +9)2+6, ∵点M (-1,-2)在抛物线C 2上, ∴-2=a (-1+9)2+6,∴a =18-,∴抛物线C 2的解析式为:21(9)68y x =-++;(3)点C 在y 轴上的一动点,以AC 为腰作等腰直角△ABC ,令C 的坐标为(0,c ),则点B 的坐标分两类:①当A ,B ,C 逆时针分布时,如图中B 点,过点A ,B 作y 轴的垂线,垂足分别为H ,F , 在等腰直角△ABC 中,AC =BC ,∠ACB =90°,即∠ACH +∠BCH =90°, ∵∠ACH +∠CAH =90°,∴∠CAH =∠BCH ,又∠AHC =∠BFC =90°, 则△BCF ≌△CAH (AAS ),∴CF =AH =1,BF =CH =c +2,点B 的坐标为(c +2,c -1),当点B 在抛物线C 1:y =221(1)8x +-上时,c -1=18(c +2+1)2-2,解得:c =1.②当A ,B ,C 顺时针分布时,如图中B ′点,过点B ′作y 轴的垂线,垂足为D , 同理可得:点B ′的坐标为(-c -2,c +1),当点B ′在抛物线C 1:y =18(x +1)2-2上时,c +1=18(-c -2+1)2-2,解得:c =3+42c =3-42综上所述,存在三个符合条件的等腰直角三角形,其中C 点的坐标分别为:C 1(0,1),C 2(0,3+42C 3(0,3-42【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的顶点坐标的求解方法,全等三角形的性质等知识.此题综合性很强,难度较大,注意数形结合思想与分类讨论思想的应用.6.(1)a=2,b=15,c=14;(2)1【解析】【分析】(1)代入两点坐标,求得b、c(用a表示),再由已知c<b<8a,联立不等式组求得a、b、c的值;(2)设出程x2+bx-c=0的两个根,根据根与系数的关系与因式分解求得两根,得出函数解析式,进一步求得图象与x、y轴的交点A、B、C三点解答问题.【详解】解:点P(1,a)、Q(2,10a)在二次函数y=x2+bx-c的图象上,故1+b-c=a,4+2b-c=10a,解得b=9a-3,c=8a-2;(1)由c<b<8a知8293 938a aa a-<-⎧⎨-<⎩,解得1<a<3,又a为整数,所以a=2,b=9a-3=15,c=8a-2=14;(2)设m,n是方程的两个整数根,且m≤n.由根与系数的关系可得m+n=-b=3-9a,mn=-c=2-8a,消去a,得9mn-8(m+n)=-6,两边同时乘以9,得81mn-72(m+n)=-54,分解因式,得(9m-8)(9n-8)=10.∴9819810mn-=⎧⎨-=⎩或9810981mn-=-⎧⎨-=-⎩或985982mn-=-⎧⎨-=-⎩或982985mn-=⎧⎨-=⎩,解得:12mn=⎧⎨=⎩或2979mn⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1323mn⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或109139mn⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩;又∵m,n是整数,所以后面三组解舍去,故m=1,n=2.因此,b=-(m+n)=-3,c=-mn=-2,二次函数的解析式为y=x2-3x+2.令y=0,则x=1或x=2,令x=0,则y=2,∴点A、B的坐标为(1,0)和(2,0),点C的坐标为(0,2),∴△ABC的面积为12×(2−1)×2=1.【点睛】此题主要考查二次函数图象上点的坐标特点、根与系数的关系、不等式组、以及三角形的面积计算公式.7.(1)4y x =-+;(2)点E 坐标为3,02⎛⎫⎪⎝⎭;(3)点P 的坐标为(19,0)或(-17,0).【解析】 【分析】(1)利用待定系数法即可求解;(2)同理利用待定系数法求得直线BC 的解析式为y =4x +4,再求得直线EF 的解析式,联立求得点F 的坐标,利用BEF OAB OBE AEF S S S S ∆∆∆∆=--列式求解即可; (3)计算得到tan 4DGDOG OG∠==,推出∠α=∠DOG ,∠DPO =∠CDO ,设点P 的坐标为(p ,0),分p <0和p >0两种情况讨论,利用相似三角形的判定和性质求解即可. 【详解】解:(1)∵直线AB 经过点A (4,0),B (0,4), ∴设直线AB 的解析式为y =kx +4, 把A (4,0)代入得:4k +4=0, 解得:k =-1,∴直线AB 的解析式为y =-x +4; (2)设点E (m ,0),同理求得直线BC 的解析式为y =4x +4, ∵EF //BC ,∴设直线EF 的解析式为:4y x n =+,将点E 坐标代入上式并解得:04m n =+, ∴4n m =-,∴直线EF 的解析式为:44y x m =-, ∴444x x m -+=-, 解得:()415x m =+, 把x 的值代入4y x =-+,得1645my -=.∴点F 坐标为4416455m m +-⎛⎫⎪⎝⎭,, ()1111645444422252BEF OAB OBE AEF m S S S S m m -=--=⨯⨯-⨯--⨯=△△△△,解得:32m =, ∴点E 坐标为302⎛⎫⎪⎝⎭,; (3)将点B (0,4)向右平移1个单位长度得到点D ,则D (1,4), 过点D 作DG ⊥x 轴于点G ,则∠OGD =90°,OG =1,GD =4,CG =2, ∴tan 4DGDOG OG∠==,OD =22224117DG OG +=+=, 在Rt △CDG 中,CD =22222425CG DG +=+=, ∵tan ∠α=4, ∴∠α=∠DOG ,∵∠DCO +∠DPO =∠α,∠DCO +∠CDO =∠DOG , ∴∠DPO =∠CDO , ∵点P 在x 轴上∴设点P 的坐标为(p ,0),当p <0时,PO =-p ,∵∠POD =∠DOC ,∠DPO =∠CDO , ∴△POD ~△DOC , ∴PO DODO CO=, ∴PO =2171DO CO ==17,此时,点P 的坐标为(-17,0);当p>0时,PO=p,PC=p+1,∵∠PCD=∠DCO,∠DPC=∠ODC,∴△PCD~△DCO,∴PC DC DC CO=,∴PC=(22201DCCO==,∴p=PC-1=19,此时,点P的坐标为(19,0);综上,点P的坐标为(19,0)或(-17,0).【点睛】本题是一次函数综合题,主要考查了待定系数法,角平分线的性质,相似三角形的性质和判定,三角形函数等,分类讨论是解第(3)问的关键.8.(1) y=;(2)见解析;(3)l=或l=;(4)m=或或−3时,以点M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形.【解析】【分析】(1)把点B的坐标代入抛物线解析式、联合对称轴x=列出关于系数b、c的方程组,通过解方程组来求它们的值;(2)由平移的性质易求点C、D的坐标,将它们的坐标分别代入抛物线解析式进行验证即可;(3)根据点C、D的坐标易求直线CD的解析式为y=.根据已知条件知点M、N 的横坐标都是m,则l的值就是点M、N的纵坐标之差.(4)由平行四边形的对边相等的性质推知MN=CE=3,利用所求的l与m间的函数式可以求得相应的m的值.【详解】解:(1)由已知,得,解得,∴二次函数的解析式为y=;(2)在Rt△ABO中,∵OA=4,OB=3,∴AB=5.又∵四边形ABCD是菱形,∴BC=AD=AB=5.∵△ABO沿x轴向左平移得到△DCE,∴CE=OB=3.∴C(−5,3)、D(−1,0).当x=−5时,y==3,当x=−1时,y==0,∴C、D在该抛物线上;(3)设直线CD的解析式为y=kx+b,则,解得,∴y=,∵MN//y轴,∴M、N的横坐标均为m,当M在直线CD的上方时,有l=MN=()−()=;当M在直线CD的下方时,有l=MN=()− ()=.∴l与m之间的函数解析式为l=或l=.(4)由于MN//CE,要使以点M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形,只需MN=CE=3,当=3时,解得;当=3时,解得.即当m=或或−3时,以点M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形.【点睛】本题综合考查了待定系数法求一次函数、二次函数解析式,平行四边形的性质.在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果.9.(1)见解析;(2)见解析;(3)53.【解析】【分析】(1)作⊙O的直径AF,连接BF,证明∠ACD+∠CAE=90°即可;(2)连接BE,利用角的转换证明∠BMD=∠BEM,从而可得BM=BE,进而根据等腰三角形三线合一即可得出结论;(3)如图3,证明BEM AEB得2=即可求出DE长,进而由勾股定理求出BE EM AEBD,再由相交线弦定理求出CD,即可得出CE长,EC FC=.=可得EC FC【详解】解:(1)如图1,作⊙O的直径AF,连接BF,∴∠AFB+∠OAB=90°,∵OA=OB,∴∠ABO=∠OAB,又∵∠DAC=∠ABO,∴∠DAC=∠ABO=∠OAB.∵AB AB=∵∠AFB=∠ACD,∵AF是直径∴∠AFB+∠OAB=90°,∴∠ACD+∠CAE=90°,∴∠ADC=90°,即AE⊥BC;(2)连接BE,∵AF AF=∴∠ACF=∠ABF,又∵∠ACF=∠OBC,∴∠ABF=∠OBC,∴∠ABO+∠OBF=∠FBC+∠OBF,∴∠ABO=∠FBC,∵∠DAC=∠ABO,∴∠DAC=∠MBC,∵∠BMD+∠MBC=∠ACD+∠DAC=90°,∴∠BMD=∠ACD,∵AB AB=∴∠BEM=∠ACD,∴∠BMD=∠BEM,∴BM=BE,∵AE⊥BC,∴MD=ED;(3)如图2,连接EC,∵BC BC=∴BFC BAC∠=∠,∵3BFC EAC∠=∠,∴3BAC EAC∠=∠,∴2BAE BAC EAC EAC∠=∠-∠=∠,∵EBC FBC DAC∠=∠=∠,∴=2MBE EBC FBC EAC∠=∠+∠∠,∴MBE BAE∠=∠,又∵E E∠=∠,∴BEM AEB,∴BE AE EM BE=,∵10BM BE=3AM= 1010=1010=∴=2EM,由(2)可知MD =ED ,BM =BE ,∴1DM DE ==,314AD AM DM =+=+=在Rt BDM 中,BD =,在Rt BDA 中,AB =, ∵=BE BE , ∴BAD DCE ∠=∠, 又∵BDA CDE ∠=∠, ∴BDA EDC ,∴=EC DE AB BD,即1=53EC ∴5=3EC ,∵CAE FBC ∠=∠, ∴EC FC =,∴5=3EC FC =【点睛】本题是圆的综合题,主要考查了圆周角定理,涉及了相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识点,解题关键是利用同弧或等弧所对圆周角相等、直角三角形的两锐角相等找出图中角之间的关系,从而利用相似或勾股定理解题.10.(1)4;(2);(3)或;(4)或.【解析】 【分析】(1)首先根据等腰三角形三线合一的性质得到,然后根据勾股定理即可求出线段CD 的长度;(2)根据点P 运动的速度求出点P 运动的路程,然后减去AC 的长度即可求出PC 的长度;(3)分两种情况,当点P 在线段AC 上时和点P 在线段BC 上时,分别利用相似三角形的性质计算出点M 在线段CD 上时和点M 在线段BC 上时的时间,即可求出t 的取值范围; (4)分两种情况,当点P 在线段AC 上时和点P 在线段BC 上时,分别得出点M 在线段CD 上时和点M 在线段BC 上时是直角三角形,然后利用相似三角形的性质求出t 的值,即可得出△CPM 为锐角三角形时t 的取值范围. 【详解】解:(1)∵在△ABC 中,AC =BC =5 ∴ABC ∆是等腰三角形 ∵CD ⊥AB 于点D∴(三线合一)∴在中,由勾股定理得,故答案为:4;(2)∵点P从点A出发,以每秒5个单位长度的速度沿折线AC—CB向终点B运动∴点P运动的路程为5t∴当点P在线段BC上时,故答案为:;(3)当点P在线段AC上时,由题意得,,AC=5,如图所示,当点M在线段CD上时,∵PQ⊥AB,CD⊥AB,∴∴∴∴,即,解得:,,∴,∵PM=2PQ,∴,∵CD⊥AB,PQ⊥AB,PM⊥PQ,∴四边形PQDM是矩形,∴,∴,解得:,如图所示,当点M在线段BC上时,同理可得,,,,,,∵PQ⊥AB,PM⊥PQ,∴∴∴∴,即,解得:,∴当时,点M落在△BCD的内部;如图所示,当点P在线段BC上时,当点M在线段CD上时,设,则,同理可得,四边形MDQP是矩形,,∴,,∴,即,解得:,∴,∴,∴,当点P运动到B点时,,∴当时,点M落在△BCD的内部,综上所述,当点M落在△BCD的内部时,t的取值范围是或;(4)当点M在线段CD上时,,即是直角三角形,由(3)可得,此时,当时,如图所示,∵,,,则,,∵,,又∵,∴∴,即,解得:,∴当时,是锐角三角形;当点M在线段BC上时,当时,即是直角三角形,如图所示,设,则,,,,同理可得,,∴,即,解得:,∴,∴,∵当点M在CD上时,此时,即是直角三角形,由(3)可得,此时,∴当时,是锐角三角形,∴综上所述,当△CPM为锐角三角形时,t的取值范围是或.【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定,等腰三角形的性质,勾股定理,三角形动点问题等知识,解题的关键是根据题意画出相应的图形,分情况讨论利用相似三角形的性质求解.11.(1)见详解;(2)见详解;(3)29 2【解析】【分析】(1)过点D作DM⊥AE于点M,证明ABE△≌DAM△,即可得到结论;(2)延长GF到点M,使FM=BE,则BE+FG=MG,先证明ABE△≌BMF,再证明ABG≌MBG△,进而即可得到结论;(3)过点G作GN⊥AE,设BE=x,则AG=BE+FG=x+7,AN= 3+x,结合勾股定理,列出方程,进而即可求解.【详解】解:(1)过点D作DM⊥AE于点M,∵∠DME=∠MEC=∠C=90°,∴四边形CDME是矩形,∴DM=CE,又∵∠BAD=∠AMD=90°,∴∠1+∠EAD=∠2+∠EAD=90°,∴∠1=∠2,在ABE△和DAM△中,∵1290AMD AEB AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩, ∴ABE △≌DAM △, ∴AE=DM , ∴AE =CE ;(2)延长GF 到点M ,使FM =BE ,则BE +FG =MG ,∵BE =CF , ∴BF =CE =AE , 在ABE △和BMF 中,∵90AE BF AEB BFM BE MF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩, ∴ABE △≌BMF , ∴∠BAE =∠MBF ,AB =BM , ∵∠BAE +∠ABE =90°, ∴∠MBF +∠ABE =90°, ∴∠ABM =90°, ∵∠BAD =90°,AB =AD , ∴∠A BD=45°, ∴∠DBM =45°, ∴∠ABD =∠DBM , ∴ABG ≌MBG △, ∴AG=MG=BE +FG ;(3)过点G 作GN ⊥AE ,设BE =x ,则AG =BE +FG =x +7,∵∠GNE =∠NEF=EFG =90°, ∴四边形EFGN 是矩形, ∴NG =EF =10,EN=FG =7, 又∵AE =BF =10+x , ∴AN =AE -EN =10+x -7=3+x ,在直角ANG 中,()()2223107x x ++=+,解得:x =152, ∴AG =x +7=152+7=292.【点睛】本题主要考查矩形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,等腰自交三角形的性质,添加辅助线构造全等三角形,掌握“截长补短法”是解题的关键.12.3(2)证明见解析 (3)【解析】 【分析】(1)如图所示,过点B作BG⊥AE交AE延长线于G,先证明∠ACF=∠GAB,即可证明△ABG≌△CAE得到BG=AE,由勾股定理得,再由,得到,则点B到AE的距离为(2)如图所示,延长AE到H使得,AE=HE,连接DH,CH,先证明△AEB≌△HED得到AB=HD=AC,∠ABE=∠HDE,则∠HCD=∠HDC,AB∥DH,从而推出∠BAC=∠HDC=∠HCD,再证明CE是AH的垂直平分线,得到AC=HC,则∠ACE=∠HCE,即∠HCA=2∠ACE,然后推出∠FGD=∠HCD=∠HDC=∠FAC=2∠GCD,GD=GC,即可证明△AFD≌△GFD(AAS),得到AF=GF,则CF=GF+CG=AF+DG;(3)如图所示,连接,延长交BC于F,作直线BE⊥BC,由翻折的性质可知,,,,然后证明,得到,则点D在线段BC的垂直平分线上,即AF⊥BC,求出,由H 是的中点,得到直线A关于点H的对称点A'在直线BE上,则要使△AHC的周长最小,则要最小,即最小,即当A'、C、H、三点共线时有最小值,如图所示,连接交于,交AF于P,连接BP,先证明,得到,由平行线之间的间距相等,得到,然后求出,再证明,求出,由此求解即可.(1)解:如图所示,过点B作BG⊥AE交AE延长线于G,∵AE⊥CF,AG⊥BG,∴∠BAC=∠AGB=∠AEF=∠AEC=90°,∠AFC+∠ACF=90°,∴∠FAE+∠AFE=90°,∴∠ACF=∠GAB,又∵AB=CA,∴△ABG≌△CAE(AAS),∴BG=AE,在直角△AFC中,由勾股定理得,∵,∴,∴点B到AE(2)解:如图所示,延长AE到H使得,AE=HE,连接DH,CH,∵FD平分∠AFC,∴∠AFD=∠CFD,∵E是BD的中点,∴BE=DE,又∵AE=HE,∠AEB=∠HED,∴△AEB≌△HED(SAS),∴AB=HD=AC,∠ABE=∠HDE,∴∠HCD=∠HDC,∴∠BAC=∠HDC=∠HCD,∴∠ACE=∠HCE,即∠HCA=2∠ACE,∵∠GDC=∠GCD,∠FGD=∠GDC+∠GCD,∴∠FGD=∠HCD=∠HDC=∠FAC=2∠GCD,GD=GC,又∵FD=FD,∠AFD=∠GFD,∴△AFD≌△GFD(AAS),∴AF=GF,∴CF=GF+CG=AF+DG;(3)解:如图所示,连接,延长交BC于F,作直线BE⊥BC,由翻折的性质可知,,,,∴,又∵AB=AC,,∴,∴,∴点D在线段BC的垂直平分线上,即AF⊥BC,∴,∵H是的中点,∴直线A关于点H的对称点A'在直线BE上,∴,∴要使△AHC的周长最小,则要最小,即最小,∴当A'、C、H、三点共线时有最小值,如图所示,连接交于,交AF于P,连接BP,∵BE⊥BC,AF⊥BC,∴,∴,,又∵,∴,∴,∵,BC⊥BE,∴,∵平行线之间的间距相等,∴∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠ABC=∠ACB=30°,∴AB=2AF,∴,∴,∴,∵P在线段BC的垂直平分线上,∴PB=PC,∴∠PBC=∠PCB,∵,∴,∴,∴,∴,∴,∴,∴【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定,线段垂直平分线的性质,等腰三角形的性质与判定,含30度角的直角三角形的性质,勾股定理,平行线的性质与判定等等,熟练掌握相关知识是解题的关键.13.(1)y=﹣x2+2x+3,1(2)(1,1)或(1,2)或(1,83)(3)【解析】【分析】(1)用待定系数法即可求解;(2)①当为直角时,证明,则,即,即可求解;②当为直角时,同理可解;③当为直角时,同理可解;(3);,即可求解.(1)解:设抛物线的表达式为,则,则,解得1a=-,故抛物线的表达式为2y x2x3=-++,则;(2)解:当1m=时,则直线l为抛物线的对称轴,如图1,连接AC,设点(1,)P m,①当为直角时,则,,,,过点C作于点N,,,,,即,∴,解得1m=或2,故点P的坐标为(1,1)或(1,2);②当为直角时,同理可得:点P'的坐标为8 (1,)3;③当为直角时,。

中考数学压轴题20题(含答案_)

中考数学压轴题20题(含答案_)

中考数学压轴题复习20题1.在平面直角坐标系xO y 中,抛物线y =-41 m x2+45mx +m2-3m +2与x 轴的交点分别为原点O 和点A ,点B (2,n )在这条抛物线上.(1)求点B 的坐标;(2)点P 在线段OA 上,从O 点出发向A 点运动,过P 点作x 轴的垂线,与直线OB 交于点E ,延长PE 到点D ,使得ED =PE ,以PD 为斜边,在PD 右侧作等腰直角三角形PCD (当P 点运动时,C 点、D 点也随之运动).①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时,求OP 的长;②若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动,速度为每秒1个单位,同时线段OA 上另一个点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动,速度为每秒2个单位(当Q 点到达O 点时停止运动,P 点也同时停止运动).过Q 点作x 轴的垂线,与直线AB 交于点F ,延长QF 到点M ,使得FM =QF ,以QM 为斜边,在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN (当Q 点运动时,M 点、N 点也随之运动).若P 点运动到t 秒时,两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,求此刻t 的值.2.在平面直角坐标系中,矩形OACB 的顶点O 在坐标原点,顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上,OA =3,OB =4,D 为边OB 的中点.(Ⅰ)若E 为边OA 上的一个动点,当△CDE 的周长最小时,求点E 的坐标;(Ⅱ)若E 、F 为边OA 上的两个动点,且EF =2,当四边形CDEF 的周长最小时,求点E 、F 的坐标.3.在平面直角坐标系中,已知抛物线y =-x2+bx +c 与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 的左侧),与y 轴的正半轴交于点C ,顶点为E .(Ⅰ)若b =2,c =3,求此时抛物线顶点E 的坐标;(Ⅱ)将(Ⅰ)中的抛物线向下平移,若平移后,在四边形ABEC 中满足S △BCE=S △ABC,求此时直线BC的解析式;(Ⅲ)将(Ⅰ)中的抛物线作适当的平移,若平移后,在四边形ABEC 中满足S △BCE=2S △AOC,且顶点E 恰好落在直线y =-4x +3上,求此时抛物线的解析式.4.如图1,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,半径为1的圆A 与边AB 相交于点D ,与边AC 相交于点E ,连结DE 并延长,与线段BC 的延长线交于点P . (1)当∠B =30°时,连结AP ,若△AEP 与△BDP 相似,求CE 的长; (2)若CE =2,BD =BC ,求∠BPD 的正切值;(3)若tan ∠BPD =31,设CE =x ,△ABC 的周长为y ,求y 关于x 的函数关系式.5.已知:如图①,在平面直角坐标系xO y 中,边长为2的等边△OAB 的顶点B 在第一象限,顶点A 在x 轴的正半轴上.另一等腰△OCA 的顶点C 在第四象限,OC =AC ,∠C =120°.现有两动点P ,Q 分别从A ,O 两点同时出发,点Q 以每秒1个单位的速度沿OC 向点C 运动,点P 以每秒3个单位的速度沿A →O →B 运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随即停止. (1)求在运动过程中形成的△OPQ 的面积S 与运动的时间t 之间的函数关系,并写出自变量t 的取值范围; (2)在等边△OAB 的边上(点A 除外)存在点D ,使得△OCD 为等腰三角形,请直接写出所有符合条件的点D 的坐标;(3)如图②,现有∠MCN =60°,其两边分别与OB ,AB 交于点M ,N ,连接MN .将∠MCN 绕着C 点旋转(0°<旋转角<60°),使得M ,N 始终在边OB 和边AB 上.试判断在这一过程中,△BMN 的周长是否发生变化?若没变化,请求出其周长;若发生变化,请说明理由.6.已知抛物线y =ax2+bx +c (a >0)的图象经过点B (12,0)和C (0,-6),对称轴为x =2. (1)求该抛物线的解析式:(2)点D 在线段AB 上且AD =AC ,若动点P 从A 出发沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度匀速运动,同时另一动点Q 以某一速度从C 出发沿线段CB 匀速运动,问是否存在某一时刻,使线段PQ 被直线CD 垂直平分?若存在,请求出此时的时间t (秒)和点Q 的运动速度;若不存在,请说明理由;AE C B P D 图2(备用) B PE C D A 图3(备用) A B C P E D 图1图②图①(3)在(2)的结论下,直线x =1上是否存在点M ,使△MPQ 为等腰三角形?若存在,请求出所有点M 的坐标;若不存在,请说明理由.7.如图,抛物线y =ax2+bx +1与x 轴交于两点A (-1,0),B (1,0),与y 轴交于点C . (1)求抛物线的解析式;(2)过点B 作BD ∥CA 与抛物线交于点D ,求四边形ACBD 的面积;(3)在x 轴下方的抛物线上是否存在点M ,过M 作MN ⊥x 轴于点N ,使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似?若存在,则求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.8.如图,已知抛物线y =21x2+bx +c 与y 轴相交于C ,与x 轴相交于A 、B ,点A 的坐标为(2,0),点C 的坐标为(0,-1).(1)求抛物线的解析式;(2)点E 是线段AC 上一动点,过点E 作DE ⊥x 轴于点D ,连结DC ,当△DCE 的面积最大时,求点D 的坐标;(3)在直线BC 上是否存在一点P ,使△ACP 为等腰三角形,若存在,求点P 的坐标,若不存在,说明理由.9.如图,已知△ABC ∽△A 1B 1C 1,相似比为k (k >1),且△ABC 的三边长分别为a 、b 、c (a >b >c ),△A 1B 1C 1的三边长分别为a 1、b 1、c 1. (1)若c =a 1,求证:a =kc ;(2)若c =a 1,试给出符合条件的一对△ABC 和△A 1B 1C 1,使得a 、b 、c 和a 1、b 1、c 1都是正整数,并加以说明;(3)若b =a 1,c =b 1,是否存在△ABC 和△A 1B 1C 1,使得k =2?请说明理由.10.如图,Rt △ABC 内接于⊙O ,AC =BC ,∠BAC 的平分线AD 与⊙O 交于点D ,与BC 交于点E ,延长BD ,与AC 的延长线交于点F ,连结CD ,G 是CD 的中点,连结OG . (1)判断OG 与CD 的位置关系,写出你的结论并证明; (2)求证:AE =BF ; (3)若OG ·DE =3(2-2),求⊙O 的面积.11.已知:抛物线y =ax2+bx +c (a ≠0)的对称轴为x =-1,与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,其中A (-3,0)、C (0,-2). (1)求这条抛物线的函数表达式.(2)已知在对称轴上存在一点P ,使得△PBC 的周长最小.请求出点P 的坐标.(3)若点D 是线段OC 上的一个动点(不与点O 、点C 重合).过点D 作DE ∥PC 交x 轴于点E ,连接PD 、PE .设CD 的长为m ,△PDE 的面积为S .求S 与m 之间的函数关系式.试说明S 是否存在最大值,若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由.12.(本小题满分12分)如图,BD 是⊙O 的直径,OA ⊥OB ,M 是劣弧上一点,过M 点作⊙O 的切线MP 交OA 的延长线于P 点,MD 与OA 交于N 点. (1)求证:PM =PN ; (2)若BD =4,P A =23AO ,过B 点作BC ∥MP 交⊙O 于C 点,求BC 的长. B C AA 1 a b cB 1C 1 a 1b 1c 1 A C B F D EO G13.如图,在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO ,其顶点为A (0,1)、B (-33,1)、C (-33,0)、O (0,0).将此矩形沿着过E (-3,1)、F (-334,0)的直线EF 向右下方翻折,B 、C 的对应点分别为B ′、C ′.(1)求折痕所在直线EF 的解析式;(2)一抛物线经过B 、E 、B ′三点,求此二次函数解析式;(3)能否在直线EF 上求一点P ,使得△PBC 周长最小?如能,求出点P 的坐标;若不能,说明理由.14.已知:甲、乙两车分别从相距300(km )的M 、N回,图1、图2分别是它们离各自出发地的距离y (km )与行驶时间x (h )之间的函数图象. (1)试求线段AB所对应的函数关系式,并写出自变量的取值范围;(2)当它们行驶到与各自出发地的距离相等时,用了29h ,求乙车的速度; (3)在(2)的条件下,求它们在行驶的过程中相遇的时间.y h图1y h图215.如图1,在△ABC 中,AB =BC ,且BC ≠AC ,在△ABC 上画一条直线,若这条直线..既平分△ABC 的面积,又平分△ABC 的周长,我们称这条线为△ABC 的“等分积周线”. (1)请你在图1中用尺规作图作出一条△ABC 的“等分积周线”;(2)在图1中过点C 能否画出一条“等分积周线”?若能,说出确定的方法;若不能,请说明理由; (3)如图2,若AB =BC =5cm ,AC =6cm ,请你找出△ABC 的所有“等分积周线”,并简要说明确定的方法.16.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =3cm ,BC =4cm ,点P 以一定的速度沿AC 边由A 向C 运动,点Q 以1cm/s 的速度沿CB 边由C 向B 运动,设P 、Q 同时运动,且当一点运动到终点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t (s ). (1)若点P 以43cm/s 的速度运动 ①当PQ ∥AB 时,求t 的值;②在①的条件下,试判断以PQ 为直径的圆与直线AB 的位置关系,并说明理由.(2)若点P 以1cm/s 的速度运动,在整个运动过程中,以PQ 为直径的圆能否与直线AB 相切?若能,请求出运动时间t ;若不能,请说明理由.17.青海玉树发生7.1级强震后,为使人民的生命财产损失降到最低,部队官兵发扬了连续作战的作风。

中考数学综合压轴题100题精选(含答案解析)

中考数学综合压轴题100题精选(含答案解析)

中考数学综合压轴题100题精选(含答案解析)一、中考压轴题1.⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,如图(1),连接O2O1并延长交⊙O1于P点,连接P A、PB并分别延长交⊙O2于C、D两点,连接CO2并延长交⊙O2于E点.已知⊙O2的半径为R,设∠CAD=α.(1)求CD的长(用含R、α的式子表示);(2)试判断CD与PO1的位置关系,并说明理由;(3)设点P’为⊙O1上(⊙O2外)的动点,连接P’A、P’B并分别延长交⊙O2于C’、D’,请你探究∠C’AD’是否等于α?C’D’与P’O1的位置关系如何?并说明理由.(注:图(2)与图(3)中⊙O1和⊙O2的大小及位置关系与图(1)完全相同,若你感到继续在图(1)中探究问题(3),图形太复杂,不便于观察,可以选择图(2)或图(3)中的一图说明理由).【分析】(1)作⊙O2的直径CE,连接DE.根据圆周角定理的推论,得∠E=∠CAD=α,再利用解直角三角形的知识求解;(2)连接AB,延长PO1与⊙O1相交于点E,连接AE.根据圆内接四边形的性质,得∠ABP′=∠C′,根据圆周角定理的推论,得∠ABP′=∠E,∠EAP′=90°,从而证明∠AP′E+∠C′=90°,则CD与PO1的位置关系是互相垂直;(3)根据同弧所对的圆周角相等,则说明∠C’AD’等于α;根据(2)中的证明过程,则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直.【解答】解:(1)连接DE.根据圆周角定理的推论,得∠E=∠CAD=α.∵CE是直径,∴∠CDE=90°.∴CD=CE•sin E=2R sinα;(2)CD与PO1的位置关系是互相垂直.理由如下:连接AB,延长PO1与⊙O1相交于点E,连接AE.∵四边形BAC′D′是圆内接四边形,∴∠ABP′=∠C′.∵P′E是直径,∴∠EAP′=90°,∴∠AP′E+∠E=90°.又∠ABP′=∠E,∴∠AP′E+∠C′=90°,即CD与PO1的位置关系是互相垂直;(3)根据同弧所对的圆周角相等,则说明∠C’AD’等于α;根据(2)中的证明过程,则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直.【点评】此题综合运用了圆周角定理及其推论、直角三角形的性质、圆内接四边形的性质.注意:连接两圆的公共弦、构造直径所对的圆周角都是圆中常见的辅助线.2.汽车产业的发展,有效促进我国现代化建设.某汽车销售公司2005年盈利1500万元,到2007年盈利2160万元,且从2005年到2007年,每年盈利的年增长率相同.(1)该公司2006年盈利多少万元?(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变,预计2008年盈利多少万元?【分析】(1)需先算出从2005年到2007年,每年盈利的年增长率,然后根据2005年的盈利,算出2006年的利润;(2)相等关系是:2008年盈利=2007年盈利×每年盈利的年增长率.【解答】解:(1)设每年盈利的年增长率为x,根据题意得1500(1+x)2=2160解得x1=0.2,x2=﹣2.2(不合题意,舍去)∴1500(1+x)=1500(1+0.2)=1800答:2006年该公司盈利1800万元.(2)2160(1+0.2)=2592答:预计2008年该公司盈利2592万元.【点评】本题的关键是需求出从2005年到2007年,每年盈利的年增长率.等量关系为:2005年盈利×(1+年增长率)2=2160.3.如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,点P、Q分别是AB边和CD边上的动点,点P从点A向点B运动,点Q从点C向点D运动,且保持AP=CQ.设AP=x.(1)当PQ∥AD时,求x的值;(2)当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时,求x的取值范围;(3)当线段PQ的垂直平分线与BC相交时,设交点为E,连接EP、EQ,设△EPQ的面积为S,求S关于x的函数关系式,并写出S的取值范围.【分析】(1)根据已知条件,证明四边形APQD是矩形,再根据矩形的性质和AP=CQ 求x即可;(2)连接EP、EQ,则EP=EQ,设BE=y,列出等式(8﹣x)2+y2=(6﹣y)2+x2然后根据函数的性质来求x的取值范围;(3)由图形的等量关系列出方程,再根据函数的性质来求最值.【解答】解:(1)当PQ∥AD时,则∠A=∠APQ=90°,∠D=∠DQP=90°,又∵AB∥CD,∴四边形APQD是矩形,∴AP=QD,∵AP=CQ,AP=CD=,∴x=4.(2)如图,连接EP、EQ,则EP=EQ,设BE=y.∴(8﹣x)2+y2=(6﹣y)2+x2,∴y=.∵0≤y≤6,∴0≤≤6,∴≤x≤.(3)S△BPE=•BE•BP=••(8﹣x)=,S△ECQ==•(6﹣)•x=,∵AP=CQ,∴S BPQC=,∴S=S BPQC﹣S△BPE﹣S△ECQ=24﹣﹣,整理得:S==(x﹣4)2+12(),∴当x=4时,S有最小值12,当x=或x=时,S有最大值.∴12≤S≤.【点评】解答本题时,涉及到了矩形的判定、矩形的性质、勾股定理以及二次函数的最值等知识点,这是一道综合性比较强的题目,所以在解答题目时,一定要把各个知识点融会贯通,这样解题时才会少走弯路.4.如图①,有四张编号为1、2、3、4的卡片,卡片的背面完全相同.现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上.(1)从中随机抽取一张,抽到的卡片是眼睛的概率是多少?(2)从四张卡片中随机抽取一张贴在如图②所示的大头娃娃的左眼处,然后再随机抽取一张贴在大头娃娃的右眼处,用树状图或列表法求贴法正确的概率.【分析】根据概率的求法,找准两点:①全部情况的总数;②符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率.【解答】解:(1)所求概率为;(2)方法①(树状图法)共有12种可能的结果:(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)∵其中有两种结果(1,2),(2,1)是符合条件的,∴贴法正确的概率为,方法②(列表法)1 2 3 4第一次抽取第二次抽取1(2,1)(3,1)(4,1)2(1,2)(3,2)(4,2)3(1,3)(2,3)(4,3)4(1,4)(2,4)(3,4)共有12种可能的结果:(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),∵其中有两种结果(1,2),(2,1)是符合条件的,∴贴法正确的概率为.【点评】此题考查概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=.5.一个不透明的口袋里有红、黄、绿三种颜色的球(除颜色外其余都相同),其中红球有2个,黄球有1个,任意摸出一个黄球的概率为.(1)试求口袋里绿球的个数;(2)若第一次从口袋中任意摸出一球(不放回),第二次任意摸出一球,请你用树状图或列表法,求出两次都摸到红球的概率.【分析】(1)根据概率的求解方法,利用方程求得绿球个数;(2)此题需要两步完成,所以采用树状图法或者列表法都比较简单,解题时要注意是放回实验还是不放回实验,此题为不放回实验.【解答】解:(1)设口袋里绿球有x个,则,解得x=1.故口袋里绿球有1个.(2)红一红二黄绿红一红二,红一黄,红一绿,红一红二红一,红二黄,红一绿,红二黄红一,黄红二,黄绿,黄绿红一,绿红二,绿黄,绿故,P(两次都摸到红球)=.【点评】(1)解题时要注意应用方程思想;(2)列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.6.已知:y关于x的函数y=(k﹣1)x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点.(1)求k的取值范围;(2)若x1,x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标,且满足(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2.①求k的值;②当k≤x≤k+2时,请结合函数图象确定y的最大值和最小值.【分析】(1)分两种情况讨论,当k=1时,可求出函数为一次函数,必与x轴有一交点;当k≠1时,函数为二次函数,若与x轴有交点,则△≥0.(2)①根据(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2及根与系数的关系,建立关于k的方程,求出k 的值;②充分利用图象,直接得出y的最大值和最小值.【解答】解:(1)当k=1时,函数为一次函数y=﹣2x+3,其图象与x轴有一个交点.当k≠1时,函数为二次函数,其图象与x轴有一个或两个交点,令y=0得(k﹣1)x2﹣2kx+k+2=0.△=(﹣2k)2﹣4(k﹣1)(k+2)≥0,解得k≤2.即k≤2且k≠1.综上所述,k的取值范围是k≤2.(2)①∵x1≠x2,由(1)知k<2且k≠1,函数图象与x轴两个交点,∴k<2,且k≠1.由题意得(k﹣1)x12+(k+2)=2kx1①,将①代入(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2中得:2k(x1+x2)=4x1x2.又∵x1+x2=,x1x2=,∴2k•=4•.解得:k1=﹣1,k2=2(不合题意,舍去).∴所求k值为﹣1.②如图,∵k1=﹣1,y=﹣2x2+2x+1=﹣2(x﹣)2+.且﹣1≤x≤1.由图象知:当x=﹣1时,y最小=﹣3;当x=时,y最大=.∴y的最大值为,最小值为﹣3.【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、一次函数的定义、二次函数的最值,充分利用图象是解题的关键.7.广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,房地产开发商为了加快资金周转,对价格经过两次下调后,决定以每平方米4860元的均价开盘销售.(1)求平均每次下调的百分率.(2)某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房,开发商给予以下两种优惠方案以供选择:①打9.8折销售;②不打折,一次性送装修费每平方米80元,试问哪种方案更优惠?【分析】(1)根据题意设平均每次下调的百分率为x,列出一元二次方程,解方程即可得出答案;(2)分别计算两种方案的优惠价格,比较后发现方案①更优惠.【解答】解:(1)设平均每次下调的百分率为x,则6000(1﹣x)2=4860,解得:x1=0.1=10%,x2=1.9(舍去),故平均每次下调的百分率为10%;(2)方案①购房优惠:4860×100×(1﹣0.98)=9720(元);方案②可优惠:80×100=8000(元).故选择方案①更优惠.【点评】本题主要考查一元二次方程的实际应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解,属于中档题.8.用两种方法解答:已知m、n是关于x的方程x2+(p﹣2)x+1=0两个实数根,求代数式(m2+mp+1)(n2+np+1)的值.【分析】本题主要是利用韦达定理来计算.已知m、n是关于x的方程x2+(p﹣2)x+1=0两个实数根,有四个等式可供使用:m+n=2﹣p①,mn=1②,m2+(p﹣2)m+1=0③,n2+(p﹣2)n+1=0④.通过变形方法,合理地选择解题方法.【解答】解:∵m、n是x2+(p﹣2)x+1=0的根,∴m+n=2﹣p,mn=1.方法一:m2+(p﹣2)m+1=0,n2+(p﹣2)n+1=0.即m2+pm+1=2m,n2+pn+1=2n.原式=2m×2n=4mn=4.方法二:(m2+mp+1)(n2+np+1)=(m2+mp)(n2+np)+m2+mp+n2+np+1=m2n2+m2np+mpn2+mnp2+m2+mp+n2+np+1=1+mp+np+p2+m2+n2+mp+np+1=2+p2+m2+n2+2(m+n)p=2+p2+m2+n2+2(2﹣p)p=2+p2+m2+n2+4p﹣2p2=2+(m+n)2﹣2mn+4p﹣2p2+p2=2+(2﹣p)2﹣2+4p﹣2p2+p2=4﹣4p+p2+4p﹣p2=4.【点评】本题主要是通过根与系数的关系来求值.注意把所求的代数式转化成m+n=2﹣p,mn=1的形式,正确对所求式子进行变形是解题的关键.9.我国年人均用纸量约为28公斤,每个初中毕业生离校时大约有10公斤废纸;用1吨废纸造出的再生好纸,所能节约的造纸木材相当于18棵大树,而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树.(1)若我市2005年4万名初中毕业生能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸,那么最少可使多少亩森林免遭砍伐?(2)我市从2000年初开始实施天然林保护工程,大力倡导废纸回收再生,如今成效显著,森林面积大约由2003年初的50万亩增加到2005年初的60.5万亩.假设我市年用纸量的20%可以作为废纸回收、森林面积年均增长率保持不变,请你按全市总人口约为1000万计算:在从2005年初到2006年初这一年度内,我市因回收废纸所能保护的最大森林面积相当于新增加的森林面积的百分之几?(精确到1%)【分析】(1)因为每个初中毕业生离校时大约有10公斤废纸,用1吨废纸造出的再生好纸,所能节约的造纸木材相当于18棵大树,而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树,所以有40000×10÷1000×18÷80,计算出即可求出答案;(2)森林面积大约由2003年初的50万亩增加到2005年初的60.5万亩,可先求出森林面积年均增长率,进而求出2005到2006年新增加的森林面积,而因回收废纸所能保护的最大森林面积=1000×10000×28×20%÷1000×18÷50,然后进行简单的计算即可求出答案.【解答】解:(1)4×104×10÷1000×18÷80=90(亩).答:若我市2005年4万名初中毕业生能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸,那么最少可使90亩森林免遭砍伐.(2)设我市森林面积年平均增长率为x,依题意列方程得50(1+x)2=60.5,解得x1=10%,x2=﹣2.1(不合题意,舍去),1000×104×28×20%÷1000×18÷50=20160,20160÷(605000×10%)≈33%.答:在从2005年初到2006年初这一年度内,我市因回收废纸所能保护的最大森林面积相当于新增加的森林面积的33%.【点评】本题以保护环境为主题,考查了增长率问题,阅读理解题意,并从题目中提炼出平均增长率的数学模型并解答的能力;解答时需仔细分析题意,利用方程即可解决问题.10.经统计分析,某市跨河大桥上的车流速度v(千米/小时)是车流密度x(辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到220辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0千米/小时;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为80千米/小时,研究表明:当20≤x≤220时,车流速度v是车流密度x的一次函数.(1)求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度;(2)在交通高峰时段,为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时,应控制大桥上的车流密度在什么范围内?(3)车流量(辆/小时)是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,即:车流量=车流速度×车流密度.求大桥上车流量y的最大值.【分析】(1)当20≤x≤220时,设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b,根据题意的数量关系建立方程组求出其解即可;(2)由(1)的解析式建立不等式组求出其解即可;(3)设车流量y与x之间的关系式为y=vx,当x<20和20≤x≤220时分别表示出函数关系由函数的性质就可以求出结论.【解答】解:(1)设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b,由题意,得,解得:,∴当20≤x≤220时,v=﹣x+88,当x=100时,v=﹣×100+88=48(千米/小时);(2)由题意,得,解得:70<x<120.∴应控制大桥上的车流密度在70<x<120范围内;(3)设车流量y与x之间的关系式为y=vx,当0≤x≤20时y=80x,∴k=80>0,∴y随x的增大而增大,∴x=20时,y最大=1600;当20≤x≤220时y=(﹣x+88)x=﹣(x﹣110)2+4840,∴当x=110时,y最大=4840.∵4840>1600,∴当车流密度是110辆/千米,车流量y取得最大值是每小时4840辆.【点评】本题考查了车流量=车流速度×车流密度的运用,一次函数的解析式的运用,一元一次不等式组的运用,二次函数的性质的运用,解答时求出函数的解析式是关键.11.如图,反比例函数的图象经过点A(4,b),过点A作AB⊥x轴于点B,△AOB 的面积为2.(1)求k和b的值;(2)若一次函数y=ax﹣3的图象经过点A,求这个一次函数的解析式.【分析】(1)由△AOB的面积为2,根据反比例函数的比例系数k的几何意义,可知k的值,得出反比例函数的解析式,然后把x=4代入,即可求出b的值;(2)把点A的坐标代入y=ax﹣3,即可求出这个一次函数的解析式.【解答】解:(1)∵反比例函数的图象经过点A,AB⊥x轴于点B,△AOB的面积为2,A(4,b),∴OB×AB=2,×4×b=2,∴AB=b=1,∴A(4,1),∴k=xy=4,∴反比例函数的解析式为y=,即k=4,b=1.(2)∵A(4,1)在一次函数y=ax﹣3的图象上,∴1=4a﹣3,∴a=1.∴这个一次函数的解析式为y=x﹣3.【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式和反比例函数中k的几何意义.这里体现了数形结合的思想,做此类题一定要正确理解k的几何意义.12.九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度,已知标杆高度CD=3m,标杆与旗杆的水平距离BD=15m,人的眼睛与地面的高度EF=1.6m,人与标杆CD的水平距离DF=2m,求旗杆AB的高度.【分析】利用三角形相似中的比例关系,首先由题目和图形可看出,求AB的长度分成了2个部分,AH和HB部分,其中HB=EF=1.6m,剩下的问题就是求AH的长度,利用△CGE∽△AHE,得出,把相关条件代入即可求得AH=11.9,所以AB=AH+HB=AH+EF=13.5m.【解答】解:∵CD⊥FB,AB⊥FB,∴CD∥AB∴△CGE∽△AHE∴即:∴∴AH=11.9∴AB=AH+HB=AH+EF=11.9+1.6=13.5(m).【点评】主要用到的解题思想是把梯形问题转化成三角形问题,利用三角形相似比列方程来求未知线段的长度.13.如图,△ABC内接于⊙O,AB=6,AC=4,D是AB边上一点,P是优弧BAC的中点,连接P A、PB、PC、PD.(1)当BD的长度为多少时,△P AD是以AD为底边的等腰三角形?并证明;(2)在(1)的条件下,若cos∠PCB=,求P A的长.【分析】(1)根据等弧对等弦以及全等三角形的判定和性质进行求解;(2)过点P作PE⊥AD于E.根据锐角三角函数的知识和垂径定理进行求解.【解答】解:(1)当BD=AC=4时,△P AD是以AD为底边的等腰三角形.∵P是优弧BAC的中点,∴=.∴PB=PC.又∵∠PBD=∠PCA(圆周角定理),∴当BD=AC=4,△PBD≌△PCA.∴P A=PD,即△P AD是以AD为底边的等腰三角形.(2)过点P作PE⊥AD于E,由(1)可知,当BD=4时,PD=P A,AD=AB﹣BD=6﹣4=2,则AE=AD=1.∵∠PCB=∠P AD(在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等),∴cos∠P AD=cos∠PCB=,∴P A=.【点评】综合运用了等弧对等弦的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的知识以及垂径定理.14.如图,已知直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点,点B、C把三等分,连接PC 并延长PC交y轴于点D(0,3).(1)求证:△POD≌△ABO;(2)若直线l:y=kx+b经过圆心P和D,求直线l的解析式.【分析】(1)首先连接PB,由直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点,点B、C把三等分,可求得∠APB=∠DPO=60°,∠ABO=∠POD=90°,即可得△P AB是等边三角形,可得AB=OP,然后由ASA,即可判定:△POD≌△ABO;(2)易求得∠PDO=30°,由OP=OD•tan30°,即可求得点P的坐标,然后利用待定系数法,即可求得直线l的解析式.【解答】(1)证明:连接PB,∵直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点,点B、C把三等分,∴∠APB=∠DPO=×180°=60°,∠ABO=∠POD=90°,∵P A=PB,∴△P AB是等边三角形,∴AB=P A,∠BAO=60°,∴AB=OP,∠BAO=∠OPD,在△POD和△ABO中,∴△POD≌△ABO(ASA);(2)解:由(1)得△POD≌△ABO,∴∠PDO=∠AOB,∵∠AOB=∠APB=×60°=30°,∴∠PDO=30°,∴OP=OD•tan30°=3×=,∴点P的坐标为:(﹣,0)∴,解得:,∴直线l的解析式为:y=x+3.【点评】此题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数的解析式.此题综合性较强,难度适中,注意准确作出辅助线,注意数形结合思想的应用.15.在△ABC中,AB=BC,将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得△A1B1C1,使点C1落在直线BC上(点C1与点C不重合),(1)如图,当∠C>60°时,写出边AB1与边CB的位置关系,并加以证明;(2)当∠C=60°时,写出边AB1与边CB的位置关系(不要求证明);(3)当∠C<60°时,请你在如图中用尺规作图法作出△AB1C1(保留作图痕迹,不写作法),再猜想你在(1)、(2)中得出的结论是否还成立并说明理由.【分析】(1)AB1∥BC.因为等腰三角形,两底角相等,再根据平行线的判定,内错角相等两直线平行,可证明两直线平行.(2)当∠C=60°时,写出边AB1与边CB的位置关系也是平行,证明方法同(1)题.(3)成立,根据旋转变换的性质画出图形.利用三角形全等即可证明.【解答】解:(1)AB1∥BC.证明:由已知得△ABC≌△AB1C1,∴∠BAC=∠B1AC1,∠B1AB=∠C1AC,∵AC1=AC,∴∠AC1C=∠ACC1,∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1=180°,∴∠C1AC=180°﹣2∠ACC1,同理,在△ABC中,∵BA=BC,∴∠ABC=180°﹣2∠ACC1,∴∠ABC=∠C1AC=∠B1AB,∴AB1∥BC.(5分)(2)如图1,∠C=60°时,AB1∥BC.(7分)(3)如图,当∠C<60°时,(1)、(2)中的结论还成立.证明:显然△ABC≌△AB1C1,∴∠BAC=∠B1AC1,∴∠B1AB=∠C1AC,∵AC1=AC,∴∠AC1C=∠ACC1,∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1=180°,∴∠C1AC=180°﹣2∠ACC1,同理,在△ABC中,∵BA=BC,∴∠ABC=180°﹣2∠ACC1,∴∠ABC=∠C1AC=∠B1AB,∴AB1∥BC.(13分)【点评】考查图形的旋转,等腰三角形的性质,平行线的判定.本题实质是考查对图形旋转特征的理解,旋转前后的图形是全等的.16.如图1,在直角坐标系中,点A的坐标为(1,0),以OA为边在第四象限内作等边△AOB,点C为x轴的正半轴上一动点(OC>1),连接BC,以BC为边在第四象限内作等边△CBD,直线DA交y轴于点E.(1)试问△OBC与△ABD全等吗?并证明你的结论;(2)随着点C位置的变化,点E的位置是否会发生变化?若没有变化,求出点E的坐标;若有变化,请说明理由;(3)如图2,以OC为直径作圆,与直线DE分别交于点F、G,设AC=m,AF=n,用含n的代数式表示m.【分析】(1)由等边三角形的性质知,OBA=∠CBD=60°,易得∠OBC=∠ABD,又有OB=AB,BC=BD故有△OBC≌△ABD;(2)由1知,△OBC≌△ABD⇒∠BAD=∠BOC=60°,可得∠OAE=60°,在Rt△EOA 中,有EO=OA•tan60°=,即可求得点E的坐标;(3)由相交弦定理知1•m=n•AG,即AG=,由切割线定理知,OE2=EG•EF,在Rt△EOA中,由勾股定理知,AE==2,故建立方程:()2=(2﹣)(2+n),就可求得m与n关系.【解答】解:(1)两个三角形全等.∵△AOB、△CBD都是等边三角形,∴OBA=∠CBD=60°,∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC,∵OB=AB,BC=BD,△OBC≌△ABD;(2)点E位置不变.∵△OBC≌△ABD,∴∠BAD=∠BOC=60°,∠OAE=180°﹣60°﹣60°=60°;在Rt△EOA中,EO=OA•tan60°=,或∠AEO=30°,得AE=2,∴OE=∴点E的坐标为(0,);(3)∵AC=m,AF=n,由相交弦定理知1•m=n•AG,即AG=;又∵OC是直径,∴OE是圆的切线,OE2=EG•EF,在Rt△EOA中,AE==2,()2=(2﹣)(2+n)即2n2+n﹣2m﹣mn=0解得m=.【点评】命题立意:考查圆的相交弦定理、切线定理、三角形全等等知识,并且将这些知识与坐标系联系在一起,考查综合分析、解决问题的能力.17.如图,⊙O是等边△ABC的外接圆,AB=2,M、N分别是边AB、AC的中点,直线MN交⊙O于E、F两点,BD∥AC交直线MN于点D.求出图中线段DM上已有的一条线段的长.【分析】连接OA交MN于点G,则OA⊥BC,由三角形的中位线的性质可得MN的长,易证得△BMD≌△AMN,有DM=MN,由相交弦定理得ME•MF=MA•MB,就可求得EM,DE的值.【解答】解:∵M,N分别是边AB,AC的中点∴MN∥BC,MN=BC=1又∵BD∥AC∵BM=AM,∠BMD=∠AMN∴△BMD≌△AMN∴DM=MN=1连接OA交MN于点G,则OA⊥BC∴OA⊥EF∴EG=FG,MG=FN由相交弦定理得:ME•MF=MA•MB∴EM(EM+1)=1解得EM=(EM=不合题意,舍去)∴DE=DM﹣EM=∴DE(3﹣DE)=1解得DE=(DE=不合题意,舍去).【点评】本题利用了三角形的中位线的性质,等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,一元二次方程的解法求解.18.如图,有一直径MN=4的半圆形纸片,其圆心为点P,从初始位置Ⅰ开始,在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ,其中,位置Ⅰ中的MN平行于数轴,且半⊙P与数轴相切于原点O;位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于数轴;位置Ⅲ中的MN在数轴上;位置Ⅴ中的点N到数轴的距离为3,且半⊙P与数轴相切于点A.解答下列问题:(1)位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2;位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切;(2)求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数;(3)纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时,求点N所经过路径长及该纸片所扫过图形的面积;(4)求OA的长.[(2),(3),(4)中的结果保留π].【分析】(1)先求出圆的半径,再根据切线的性质进行解答;(2)根据位置Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等求出的长,再根据弧长公式求出的长,进而可得出结论;(3)作NC垂直数轴于点C,作PH⊥NC于点H,连接P A,则四边形PHCA为矩形,在Rt△NPH中,根据sin∠NPH==即可∠NPH、∠MP A的度数,进而可得出的长,【解答】解:(1)∵⊙P的直径=4,∴⊙P的半径=2,∵⊙P与直线有一个交点,∴位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2;位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切;故答案为:2,相切;(2)位置Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等,∵的长为=π,NP=2,∴位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数为π+2.(3)点N所经过路径长为=2π,S半圆==2π,S扇形==4π,半⊙P所扫过图形的面积为2π+4π=6π.(4)如图,作NC垂直数轴于点C,作PH⊥NC于点H,连接P A,则四边形PHCA为矩形.在Rt△NPH中,PN=2,NH=NC﹣HC=NC﹣P A=1,于是sin∠NPH==,∴∠NPH=30°.∴∠MP A=60°.从而的长为=,于是OA的长为π+4+π=π+4.【点评】本题考查的是直线与圆的关系、弧长的计算、扇形的面积公式,在解答此题时要注意Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等的数量关系.19.如图,在△ABC中,∠BAC=30°,以AB为直径的⊙O经过点C.过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P.点D为圆上一点,且=,弦AD的延长线交切线PC于点E,连接BC.(1)判断OB和BP的数量关系,并说明理由;(2)若⊙O的半径为2,求AE的长.【分析】(1)首先连接OC,由PC切⊙O于点C,可得∠OCP=90°,又由∠BAC=30°,即可求得∠COP=60°,∠P=30°,然后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半,证得OB=BP;(2)由(1)可得OB=OP,即可求得AP的长,又由=,即可得∠CAD=∠BAC=30°,继而求得∠E=90°,继而在Rt△AEP中求得答案.【解答】解:(1)OB=BP.理由:连接OC,∵PC切⊙O于点C,∴∠OCP=90°,∵OA=OC,∠OAC=30°,∴∠OAC=∠OCA=30°,∴∠COP=60°,∴∠P=30°,在Rt△OCP中,OC=OP=OB=BP;(2)由(1)得OB=OP,∵⊙O的半径是2,∴AP=3OB=3×2=6,∵=,∴∠CAD=∠BAC=30°,∴∠BAD=60°,∵∠P=30°,∴∠E=90°,在Rt△AEP中,AE=AP=×6=3.【点评】此题考查了切线的性质、直角三角形的性质以及圆周角定理.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用,注意掌握辅助线的作法.20.已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,点O1在⊙O2上,C为⊙O2上一点(不与A,B,O1重合),直线CB与⊙O1交于另一点D.(1)如图(1),若AD是⊙O1的直径,AC是⊙O2的直径,求证:AC=CD;(2)如图(2),若C是⊙O1外一点,求证:O1C丄AD;(3)如图(3),若C是⊙O1内的一点,判断(2)中的结论是否成立?【分析】(1)连接C01,利用直径所对圆周角等于90度,以及垂直平分线的性质得出即可;(2)根据已知得出四边形AEDB内接于⊙O1,得出∠ABC=∠E,再利用=,得出∠E=∠AO1C,进而得出CO1∥ED即可求出;(3)根据已知得出∠B=∠EO1C,又∠E=∠B,即可得出∠EO1C=∠E,得出CO1∥ED,即可求出.【解答】(1)证明:连接C01∵AC为⊙O2直径∴∠AO1C=90°即CO1⊥AD,∵AO1=DO1∴DC=AC(垂直平分线的性质);(2)证明:连接AO1,连接AB,延长AO1交⊙O1于点E,连接ED,∵四边形AEDB内接于⊙O1,∴∠E+∠ABD=180°,∵∠ABC+∠ABD=180°,∴∠ABC=∠E,又∵=,∴∠ABC=∠AO1C,∴∠E=∠AO1C,∴CO1∥ED,又AE为⊙O1的直径,∴ED⊥AD,∴O1C⊥AD,(3)(2)中的结论仍然成立.证明:连接AO1,连接AB,延长AO1交⊙O1于点E,连接ED,∵∠B+∠AO1C=180°,∠EO1C+∠AO1C═180°,∴∠B=∠EO1C,又∵∠E=∠B,∴∠EO1C=∠E,∴CO1∥ED,又ED⊥AD,∴CO1⊥AD.【点评】此题主要考查了圆周角定理以及相交两圆的性质和圆内接四边形的性质,根据圆内接四边形的性质得出对应角之间的关系是解决问题的关键.21.如图,一次函数y=﹣x﹣2的图象分别交x轴、y轴于A、B两点,P为AB的中点,PC⊥x轴于点C,延长PC交反比例函数y=(x<0)的图象于点Q,且tan∠AOQ=.(1)求k的值;(2)连接OP、AQ,求证:四边形APOQ是菱形.【分析】(1)由一次函数解析式确定A点坐标,进而确定C,Q的坐标,将Q的坐标代入反比例函数关系式可求出k的值.(2)由(1)可分别确定QC=CP,AC=OC,且QP垂直平分AO,故可证明四边形APOQ是菱形.【解答】(1)解:∵y=﹣x﹣2令y=0,得x=﹣4,即A(﹣4,0)由P为AB的中点,PC⊥x轴可知C点坐标为(﹣2,0)又∵tan∠AOQ=可知QC=1∴Q点坐标为(﹣2,1)将Q点坐标代入反比例函数得:1=,∴可得k=﹣2;(2)证明:由(1)可知QC=PC=1,AC=CO=2,且A0⊥PQ∴四边形APOQ是菱形.【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式,又结合了几何图形进行考查,属于综合性比较强的题目,有一定难度.22.如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形,在建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上,点B的坐标为(1,0)①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1;②画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2;③△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称图形吗?若成轴对称图形,画出所有的对称轴;④△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗?若成中心对称图形,写出所有的对称中心的坐标.【分析】(1)将三角形的各顶点,向x轴作垂线并延长相同长度得到三点的对应点,顺次连接;(2)将三角形的各顶点,绕原点O按逆时针旋转90°得到三点的对应点.顺次连接各对应点得△A2B2C2;(3)从图中可发现成轴对称图形,根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段,做它的垂直平分线;(4)成中心对称图形,画出两条对应点的连线,交点就是对称中心.【解答】解:如下图所示:(3)成轴对称图形,根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段,作它的垂直平分线,或连接A1C1,A2C2的中点的连线为对称轴.(4)成中心对称,对称中心为线段BB2的中点P,坐标是(,).【点评】本题综合考查了图形的变换,在图形的变换中,关键是找到图形的对应点.。

中考数学压轴题100题(附答案)

中考数学压轴题100题(附答案)

中考数学压轴题100题(附答案)一、中考压轴题1.如图,△ABC内接于⊙O,AB=6,AC=4,D是AB边上一点,P是优弧BAC的中点,连接P A、PB、PC、PD.(1)当BD的长度为多少时,△P AD是以AD为底边的等腰三角形?并证明;(2)在(1)的条件下,若cos∠PCB=,求P A的长.【分析】(1)根据等弧对等弦以及全等三角形的判定和性质进行求解;(2)过点P作PE⊥AD于E.根据锐角三角函数的知识和垂径定理进行求解.【解答】解:(1)当BD=AC=4时,△P AD是以AD为底边的等腰三角形.∵P是优弧BAC的中点,∴=.∴PB=PC.又∵∠PBD=∠PCA(圆周角定理),∴当BD=AC=4,△PBD≌△PCA.∴P A=PD,即△P AD是以AD为底边的等腰三角形.(2)过点P作PE⊥AD于E,由(1)可知,当BD=4时,PD=P A,AD=AB﹣BD=6﹣4=2,则AE=AD=1.∵∠PCB=∠P AD(在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等),∴cos∠P AD=cos∠PCB=,∴P A=.【点评】综合运用了等弧对等弦的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的知识以及垂径定理.2.如图,一次函数y=﹣x﹣2的图象分别交x轴、y轴于A、B两点,P为AB的中点,PC⊥x轴于点C,延长PC交反比例函数y=(x<0)的图象于点Q,且tan∠AOQ=.(1)求k的值;(2)连接OP、AQ,求证:四边形APOQ是菱形.【分析】(1)由一次函数解析式确定A点坐标,进而确定C,Q的坐标,将Q的坐标代入反比例函数关系式可求出k的值.(2)由(1)可分别确定QC=CP,AC=OC,且QP垂直平分AO,故可证明四边形APOQ是菱形.【解答】(1)解:∵y=﹣x﹣2令y=0,得x=﹣4,即A(﹣4,0)由P为AB的中点,PC⊥x轴可知C点坐标为(﹣2,0)又∵tan∠AOQ=可知QC=1∴Q点坐标为(﹣2,1)将Q点坐标代入反比例函数得:1=,∴可得k=﹣2;(2)证明:由(1)可知QC=PC=1,AC=CO=2,且A0⊥PQ∴四边形APOQ是菱形.【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式,又结合了几何图形进行考查,属于综合性比较强的题目,有一定难度.3.某公司经营杨梅业务,以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后,分拣成A、B两类,A类杨梅包装后直接销售;B类杨梅深加工后再销售.A类杨梅的包装成本为1万元/吨,根据市场调查,它的平均销售价格y(单位:万元/吨)与销售数量x(x≥2)之间的函数关系如图;B类杨梅深加工总费用s(单位:万元)与加工数量t(单位:吨)之间的函数关系是s=12+3t,平均销售价格为9万元/吨.(1)直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式;(2)第一次,该公司收购了20吨杨梅,其中A类杨梅有x吨,经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元(毛利润=销售总收入﹣经营总成本).①求w关于x的函数关系式;②若该公司获得了30万元毛利润,问:用于直销的A类杨梅有多少吨?(3)第二次,该公司准备投入132万元资金,请设计一种经营方案,使公司获得最大毛利润,并求出最大毛利润.【分析】(1)这是一个分段函数,分别求出其函数关系式;(2)①当2≤x<8时及当x≥8时,分别求出w关于x的表达式.注意w=销售总收入﹣经营总成本=w A+w B﹣3×20;②若该公司获得了30万元毛利润,将30万元代入①中求得的表达式,求出A类杨梅的数量;(3)本问是方案设计问题,总投入为132万元,这笔132万元包括购买杨梅的费用+A类杨梅加工成本+B类杨梅加工成本.共购买了m吨杨梅,其中A类杨梅为x吨,B类杨梅为(m﹣x)吨,分别求出当2≤x<8时及当x≥8时w关于x的表达式,并分别求出其最大值.【解答】解:(1)①当2≤x<8时,如图,设直线AB解析式为:y=kx+b,将A(2,12)、B(8,6)代入得:,解得,∴y=﹣x+14;②当x≥8时,y=6.所以A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式为:y=;(2)设销售A类杨梅x吨,则销售B类杨梅(20﹣x)吨.①当2≤x<8时,w A=x(﹣x+14)﹣x=﹣x2+13x;w B=9(20﹣x)﹣[12+3(20﹣x)]=108﹣6x∴w=w A+w B﹣3×20=(﹣x2+13x)+(108﹣6x)﹣60=﹣x2+7x+48;当x≥8时,w A=6x﹣x=5x;w B=9(20﹣x)﹣[12+3(20﹣x)]=108﹣6x∴w=w A+w B﹣3×20=(5x)+(108﹣6x)﹣60=﹣x+48.∴w关于x的函数关系式为:w=.②当2≤x<8时,﹣x2+7x+48=30,解得x1=9,x2=﹣2,均不合题意;当x≥8时,﹣x+48=30,解得x=18.∴当毛利润达到30万元时,直接销售的A类杨梅有18吨.(3)设该公司用132万元共购买了m吨杨梅,其中A类杨梅为x吨,B类杨梅为(m﹣x)吨,则购买费用为3m万元,A类杨梅加工成本为x万元,B类杨梅加工成本为[12+3(m﹣x)]万元,∴3m+x+[12+3(m﹣x)]=132,化简得:x=3m﹣60.①当2≤x<8时,w A=x(﹣x+14)﹣x=﹣x2+13x;w B=9(m﹣x)﹣[12+3(m﹣x)]=6m﹣6x﹣12∴w=w A+w B﹣3×m=(﹣x2+13x)+(6m﹣6x﹣12)﹣3m=﹣x2+7x+3m﹣12.将3m=x+60代入得:w=﹣x2+8x+48=﹣(x﹣4)2+64∴当x=4时,有最大毛利润64万元,此时m=,m﹣x=;②当x≥8时,w A=6x﹣x=5x;w B=9(m﹣x)﹣[12+3(m﹣x)]=6m﹣6x﹣12∴w=w A+w B﹣3×m=(5x)+(6m﹣6x﹣12)﹣3m=﹣x+3m﹣12.将3m=x+60代入得:w=48∴当x>8时,有最大毛利润48万元.综上所述,购买杨梅共吨,其中A类杨梅4吨,B类吨,公司能够获得最大毛利润,最大毛利润为64万元.【点评】本题是二次函数、一次函数的综合应用题,难度较大.解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系.涉及到分段函数时,注意要分类讨论.4.已知:y关于x的函数y=(k﹣1)x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点.(1)求k的取值范围;(2)若x1,x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标,且满足(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2.①求k的值;②当k≤x≤k+2时,请结合函数图象确定y的最大值和最小值.【分析】(1)分两种情况讨论,当k=1时,可求出函数为一次函数,必与x轴有一交点;当k≠1时,函数为二次函数,若与x轴有交点,则△≥0.(2)①根据(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2及根与系数的关系,建立关于k的方程,求出k 的值;②充分利用图象,直接得出y的最大值和最小值.【解答】解:(1)当k=1时,函数为一次函数y=﹣2x+3,其图象与x轴有一个交点.当k≠1时,函数为二次函数,其图象与x轴有一个或两个交点,令y=0得(k﹣1)x2﹣2kx+k+2=0.△=(﹣2k)2﹣4(k﹣1)(k+2)≥0,解得k≤2.即k≤2且k≠1.综上所述,k的取值范围是k≤2.(2)①∵x1≠x2,由(1)知k<2且k≠1,函数图象与x轴两个交点,∴k<2,且k≠1.由题意得(k﹣1)x12+(k+2)=2kx1①,将①代入(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2中得:2k(x1+x2)=4x1x2.又∵x1+x2=,x1x2=,∴2k•=4•.解得:k1=﹣1,k2=2(不合题意,舍去).∴所求k值为﹣1.②如图,∵k1=﹣1,y=﹣2x2+2x+1=﹣2(x﹣)2+.且﹣1≤x≤1.由图象知:当x=﹣1时,y最小=﹣3;当x=时,y最大=.∴y的最大值为,最小值为﹣3.【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、一次函数的定义、二次函数的最值,充分利用图象是解题的关键.5.广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,房地产开发商为了加快资金周转,对价格经过两次下调后,决定以每平方米4860元的均价开盘销售.(1)求平均每次下调的百分率.(2)某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房,开发商给予以下两种优惠方案以供选择:①打9.8折销售;②不打折,一次性送装修费每平方米80元,试问哪种方案更优惠?【分析】(1)根据题意设平均每次下调的百分率为x,列出一元二次方程,解方程即可得出答案;(2)分别计算两种方案的优惠价格,比较后发现方案①更优惠.【解答】解:(1)设平均每次下调的百分率为x,则6000(1﹣x)2=4860,解得:x1=0.1=10%,x2=1.9(舍去),故平均每次下调的百分率为10%;(2)方案①购房优惠:4860×100×(1﹣0.98)=9720(元);方案②可优惠:80×100=8000(元).故选择方案①更优惠.【点评】本题主要考查一元二次方程的实际应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解,属于中档题.6.我们学习了利用函数图象求方程的近似解,例如:把方程2x﹣1=3﹣x的解看成函数y =2x﹣1的图象与函数y=3﹣x的图象交点的横坐标.如图,已画出反比例函数y=在第一象限内的图象,请你按照上述方法,利用此图象求方程x2﹣x﹣1=0的正数解.(要求画出相应函数的图象;求出的解精确到0.1)【分析】根据题意可知,方程x2﹣x﹣1=0的解可看做是函数y=和y=x﹣1的交点坐标,所以根据图象可知方程x2﹣x﹣1=0的正数解约为1.1.【解答】解:∵x≠0,∴将x2﹣x﹣1=0两边同时除以x,得x﹣1﹣=0,即=x﹣1,把x2﹣x﹣1=0的正根视为由函数y=与函数y=x﹣1的图象在第一象限交点的横坐标.如图:∴正数解约为1.1.【点评】主要考查了反比例函数和一元二次方程之间的关系.一元二次方程的解都可化为一个反比例函数和一次函数的交点问题求解.7.用两种方法解答:已知m、n是关于x的方程x2+(p﹣2)x+1=0两个实数根,求代数式(m2+mp+1)(n2+np+1)的值.【分析】本题主要是利用韦达定理来计算.已知m、n是关于x的方程x2+(p﹣2)x+1=0两个实数根,有四个等式可供使用:m+n=2﹣p①,mn=1②,m2+(p﹣2)m+1=0③,n2+(p﹣2)n+1=0④.通过变形方法,合理地选择解题方法.【解答】解:∵m、n是x2+(p﹣2)x+1=0的根,∴m+n=2﹣p,mn=1.方法一:m2+(p﹣2)m+1=0,n2+(p﹣2)n+1=0.即m2+pm+1=2m,n2+pn+1=2n.原式=2m×2n=4mn=4.方法二:(m2+mp+1)(n2+np+1)=(m2+mp)(n2+np)+m2+mp+n2+np+1=m2n2+m2np+mpn2+mnp2+m2+mp+n2+np+1=1+mp+np+p2+m2+n2+mp+np+1=2+p2+m2+n2+2(m+n)p=2+p2+m2+n2+2(2﹣p)p=2+p2+m2+n2+4p﹣2p2=2+(m+n)2﹣2mn+4p﹣2p2+p2=2+(2﹣p)2﹣2+4p﹣2p2+p2=4﹣4p+p2+4p﹣p2=4.【点评】本题主要是通过根与系数的关系来求值.注意把所求的代数式转化成m+n=2﹣p,mn=1的形式,正确对所求式子进行变形是解题的关键.8.九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度,已知标杆高度CD=3m,标杆与旗杆的水平距离BD=15m,人的眼睛与地面的高度EF=1.6m,人与标杆CD的水平距离DF=2m,求旗杆AB的高度.【分析】利用三角形相似中的比例关系,首先由题目和图形可看出,求AB的长度分成了2个部分,AH和HB部分,其中HB=EF=1.6m,剩下的问题就是求AH的长度,利用△CGE∽△AHE,得出,把相关条件代入即可求得AH=11.9,所以AB=AH+HB=AH+EF=13.5m.【解答】解:∵CD⊥FB,AB⊥FB,∴CD∥AB∴△CGE∽△AHE∴即:∴∴AH=11.9∴AB=AH+HB=AH+EF=11.9+1.6=13.5(m).【点评】主要用到的解题思想是把梯形问题转化成三角形问题,利用三角形相似比列方程来求未知线段的长度.9.在△ABC中,AB=BC,将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得△A1B1C1,使点C1落在直线BC上(点C1与点C不重合),(1)如图,当∠C>60°时,写出边AB1与边CB的位置关系,并加以证明;(2)当∠C=60°时,写出边AB1与边CB的位置关系(不要求证明);(3)当∠C<60°时,请你在如图中用尺规作图法作出△AB1C1(保留作图痕迹,不写作法),再猜想你在(1)、(2)中得出的结论是否还成立并说明理由.【分析】(1)AB1∥BC.因为等腰三角形,两底角相等,再根据平行线的判定,内错角相等两直线平行,可证明两直线平行.(2)当∠C=60°时,写出边AB1与边CB的位置关系也是平行,证明方法同(1)题.(3)成立,根据旋转变换的性质画出图形.利用三角形全等即可证明.【解答】解:(1)AB1∥BC.证明:由已知得△ABC≌△AB1C1,∴∠BAC=∠B1AC1,∠B1AB=∠C1AC,∵AC1=AC,∴∠AC1C=∠ACC1,∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1=180°,∴∠C1AC=180°﹣2∠ACC1,同理,在△ABC中,∵BA=BC,∴∠ABC=180°﹣2∠ACC1,∴∠ABC=∠C1AC=∠B1AB,∴AB1∥BC.(5分)(2)如图1,∠C=60°时,AB1∥BC.(7分)(3)如图,当∠C<60°时,(1)、(2)中的结论还成立.证明:显然△ABC≌△AB1C1,∴∠BAC=∠B1AC1,∴∠B1AB=∠C1AC,∵AC1=AC,∴∠AC1C=∠ACC1,∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1=180°,∴∠C1AC=180°﹣2∠ACC1,同理,在△ABC中,∵BA=BC,∴∠ABC=180°﹣2∠ACC1,∴∠ABC=∠C1AC=∠B1AB,∴AB1∥BC.(13分)【点评】考查图形的旋转,等腰三角形的性质,平行线的判定.本题实质是考查对图形旋转特征的理解,旋转前后的图形是全等的.10.汽车产业的发展,有效促进我国现代化建设.某汽车销售公司2005年盈利1500万元,到2007年盈利2160万元,且从2005年到2007年,每年盈利的年增长率相同.(1)该公司2006年盈利多少万元?(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变,预计2008年盈利多少万元?【分析】(1)需先算出从2005年到2007年,每年盈利的年增长率,然后根据2005年的盈利,算出2006年的利润;(2)相等关系是:2008年盈利=2007年盈利×每年盈利的年增长率.【解答】解:(1)设每年盈利的年增长率为x,根据题意得1500(1+x)2=2160解得x1=0.2,x2=﹣2.2(不合题意,舍去)∴1500(1+x)=1500(1+0.2)=1800答:2006年该公司盈利1800万元.(2)2160(1+0.2)=2592答:预计2008年该公司盈利2592万元.【点评】本题的关键是需求出从2005年到2007年,每年盈利的年增长率.等量关系为:2005年盈利×(1+年增长率)2=2160.11.如图,在△ABC中,∠BAC=30°,以AB为直径的⊙O经过点C.过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P.点D为圆上一点,且=,弦AD的延长线交切线PC于点E,连接BC.(1)判断OB和BP的数量关系,并说明理由;(2)若⊙O的半径为2,求AE的长.【分析】(1)首先连接OC,由PC切⊙O于点C,可得∠OCP=90°,又由∠BAC=30°,即可求得∠COP=60°,∠P=30°,然后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半,证得OB=BP;(2)由(1)可得OB=OP,即可求得AP的长,又由=,即可得∠CAD=∠BAC=30°,继而求得∠E=90°,继而在Rt△AEP中求得答案.【解答】解:(1)OB=BP.理由:连接OC,∵PC切⊙O于点C,∴∠OCP=90°,∵OA=OC,∠OAC=30°,∴∠OAC=∠OCA=30°,∴∠COP=60°,∴∠P=30°,在Rt△OCP中,OC=OP=OB=BP;(2)由(1)得OB=OP,∵⊙O的半径是2,∴AP=3OB=3×2=6,∵=,∴∠CAD=∠BAC=30°,∴∠BAD=60°,∵∠P=30°,∴∠E=90°,在Rt△AEP中,AE=AP=×6=3.【点评】此题考查了切线的性质、直角三角形的性质以及圆周角定理.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用,注意掌握辅助线的作法.12.已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,点O1在⊙O2上,C为⊙O2上一点(不与A,B,O1重合),直线CB与⊙O1交于另一点D.(1)如图(1),若AD是⊙O1的直径,AC是⊙O2的直径,求证:AC=CD;(2)如图(2),若C是⊙O1外一点,求证:O1C丄AD;(3)如图(3),若C是⊙O1内的一点,判断(2)中的结论是否成立?【分析】(1)连接C01,利用直径所对圆周角等于90度,以及垂直平分线的性质得出即可;(2)根据已知得出四边形AEDB内接于⊙O1,得出∠ABC=∠E,再利用=,得出∠E=∠AO1C,进而得出CO1∥ED即可求出;(3)根据已知得出∠B=∠EO1C,又∠E=∠B,即可得出∠EO1C=∠E,得出CO1∥ED,即可求出.【解答】(1)证明:连接C01∵AC为⊙O2直径∴∠AO1C=90°即CO1⊥AD,∵AO1=DO1∴DC=AC(垂直平分线的性质);(2)证明:连接AO1,连接AB,延长AO1交⊙O1于点E,连接ED,∵四边形AEDB内接于⊙O1,∴∠E+∠ABD=180°,∵∠ABC+∠ABD=180°,∴∠ABC=∠E,又∵=,∴∠ABC=∠AO1C,∴∠E=∠AO1C,∴CO1∥ED,又AE为⊙O1的直径,∴ED⊥AD,∴O1C⊥AD,(3)(2)中的结论仍然成立.证明:连接AO1,连接AB,延长AO1交⊙O1于点E,连接ED,∵∠B+∠AO1C=180°,∠EO1C+∠AO1C═180°,∴∠B=∠EO1C,又∵∠E=∠B,∴∠EO1C=∠E,∴CO1∥ED,又ED⊥AD,∴CO1⊥AD.【点评】此题主要考查了圆周角定理以及相交两圆的性质和圆内接四边形的性质,根据圆内接四边形的性质得出对应角之间的关系是解决问题的关键.13.⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,如图(1),连接O2O1并延长交⊙O1于P点,连接P A、PB并分别延长交⊙O2于C、D两点,连接CO2并延长交⊙O2于E点.已知⊙O2的半径为R,设∠CAD=α.(1)求CD的长(用含R、α的式子表示);(2)试判断CD与PO1的位置关系,并说明理由;(3)设点P’为⊙O1上(⊙O2外)的动点,连接P’A、P’B并分别延长交⊙O2于C’、D’,请你探究∠C’AD’是否等于α?C’D’与P’O1的位置关系如何?并说明理由.(注:图(2)与图(3)中⊙O1和⊙O2的大小及位置关系与图(1)完全相同,若你感到继续在图(1)中探究问题(3),图形太复杂,不便于观察,可以选择图(2)或图(3)中的一图说明理由).【分析】(1)作⊙O2的直径CE,连接DE.根据圆周角定理的推论,得∠E=∠CAD=α,再利用解直角三角形的知识求解;(2)连接AB,延长PO1与⊙O1相交于点E,连接AE.根据圆内接四边形的性质,得∠ABP′=∠C′,根据圆周角定理的推论,得∠ABP′=∠E,∠EAP′=90°,从而证明∠AP′E+∠C′=90°,则CD与PO1的位置关系是互相垂直;(3)根据同弧所对的圆周角相等,则说明∠C’AD’等于α;根据(2)中的证明过程,则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直.【解答】解:(1)连接DE.根据圆周角定理的推论,得∠E=∠CAD=α.∵CE是直径,∴∠CDE=90°.∴CD=CE•sin E=2R sinα;(2)CD与PO1的位置关系是互相垂直.理由如下:连接AB,延长PO1与⊙O1相交于点E,连接AE.∵四边形BAC′D′是圆内接四边形,∴∠ABP′=∠C′.∵P′E是直径,∴∠EAP′=90°,∴∠AP′E+∠E=90°.又∠ABP′=∠E,∴∠AP′E+∠C′=90°,即CD与PO1的位置关系是互相垂直;(3)根据同弧所对的圆周角相等,则说明∠C’AD’等于α;根据(2)中的证明过程,则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直.【点评】此题综合运用了圆周角定理及其推论、直角三角形的性质、圆内接四边形的性质.注意:连接两圆的公共弦、构造直径所对的圆周角都是圆中常见的辅助线.14.一个不透明的口袋里有红、黄、绿三种颜色的球(除颜色外其余都相同),其中红球有2个,黄球有1个,任意摸出一个黄球的概率为.(1)试求口袋里绿球的个数;(2)若第一次从口袋中任意摸出一球(不放回),第二次任意摸出一球,请你用树状图或列表法,求出两次都摸到红球的概率.【分析】(1)根据概率的求解方法,利用方程求得绿球个数;(2)此题需要两步完成,所以采用树状图法或者列表法都比较简单,解题时要注意是放回实验还是不放回实验,此题为不放回实验.【解答】解:(1)设口袋里绿球有x个,则,解得x=1.故口袋里绿球有1个.(2)红一红二黄绿红一红二,红一黄,红一绿,红一红二红一,红二黄,红一绿,红二黄红一,黄红二,黄绿,黄绿红一,绿红二,绿黄,绿故,P(两次都摸到红球)=.【点评】(1)解题时要注意应用方程思想;(2)列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.15.经统计分析,某市跨河大桥上的车流速度v(千米/小时)是车流密度x(辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到220辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0千米/小时;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为80千米/小时,研究表明:当20≤x≤220时,车流速度v是车流密度x的一次函数.(1)求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度;(2)在交通高峰时段,为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时,应控制大桥上的车流密度在什么范围内?(3)车流量(辆/小时)是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,即:车流量=车流速度×车流密度.求大桥上车流量y的最大值.【分析】(1)当20≤x≤220时,设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b,根据题意的数量关系建立方程组求出其解即可;(2)由(1)的解析式建立不等式组求出其解即可;(3)设车流量y与x之间的关系式为y=vx,当x<20和20≤x≤220时分别表示出函数关系由函数的性质就可以求出结论.【解答】解:(1)设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b,由题意,得,解得:,∴当20≤x≤220时,v=﹣x+88,当x=100时,v=﹣×100+88=48(千米/小时);(2)由题意,得,解得:70<x<120.∴应控制大桥上的车流密度在70<x<120范围内;(3)设车流量y与x之间的关系式为y=vx,当0≤x≤20时y=80x,∴k=80>0,∴y随x的增大而增大,∴x=20时,y最大=1600;当20≤x≤220时y=(﹣x+88)x=﹣(x﹣110)2+4840,∴当x=110时,y最大=4840.∵4840>1600,∴当车流密度是110辆/千米,车流量y取得最大值是每小时4840辆.【点评】本题考查了车流量=车流速度×车流密度的运用,一次函数的解析式的运用,一元一次不等式组的运用,二次函数的性质的运用,解答时求出函数的解析式是关键.16.(1)已知一元二次方程x2+px+q=0(p2﹣4q≥0)的两根为x1、x2;求证:x1+x2=﹣p,x1•x2=q.(2)已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B两点,且过点(﹣1,﹣1),设线段AB的长为d,当p为何值时,d2取得最小值,并求出最小值.【分析】(1)先根据求根公式得出x1、x2的值,再求出两根的和与积即可;(2)把点(﹣1,﹣1)代入抛物线的解析式,再由d=|x1﹣x2|可知d2=(x1﹣x2)2=(x1+x2)2﹣4 x1•x2=p2,再由(1)中x1+x2=﹣p,x1•x2=q即可得出结论.【解答】证明:(1)∵a=1,b=p,c=q∴△=p2﹣4q∴x=即x1=,x2=∴x1+x2=+=﹣p,x1•x2=•=q;(2)把(﹣1,﹣1)代入y=x2+px+q得1﹣p+q=﹣1,所以,q=p﹣2,设抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为(x1,0)、(x2,0)∵d=|x1﹣x2|,∴d2=(x1﹣x2)2=(x1+x2)2﹣4x1•x2=p2﹣4q=p2﹣4p+8=(p﹣2)2+4当p=2时,d2的最小值是4.【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点及根与系数的关系,熟知x1,x2是方程x2+px+q =0的两根时,x1+x2=﹣p,x1x2=q是解答此题的关键.17.如图,菱形、矩形与正方形的形状有差异,我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”.在研究“接近度”时,应保证相似图形的“接近度”相等.(1)设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°,将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|,于是|m﹣n|越小,菱形越接近于正方形.①若菱形的一个内角为70°,则该菱形的“接近度”等于40;②当菱形的“接近度”等于0时,菱形是正方形.(2)设矩形相邻两条边长分别是a和b(a≤b),将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|,于是|a﹣b|越小,矩形越接近于正方形.你认为这种说法是否合理?若不合理,给出矩形的“接近度”一个合理定义.【分析】(1)根据相似图形的定义知,相似图形的形状相同,但大小不一定相同,相似图形的“接近度”相等.所以若菱形的一个内角为70°,则该菱形的“接近度”等于|m﹣n|;当菱形的“接近度”等于0时,菱形是正方形;(2)不合理,举例进行说明.【解答】解:(1)①∵内角为70°,∴与它相邻内角的度数为110°.∴菱形的“接近度”=|m﹣n|=|110﹣70|=40.②当菱形的“接近度”等于0时,菱形是正方形.(2)不合理.例如,对两个相似而不全等的矩形来说,它们接近正方形的程度是相同的,但|a﹣b|却不相等.合理定义方法不唯一.如定义为,越接近1,矩形越接近于正方形;越大,矩形与正方形的形状差异越大;当时,矩形就变成了正方形,即只有矩形的越接近1,矩形才越接近正方形.【点评】正确理解“接近度”的意思,矩形的“接近度”|a﹣b|越小,矩形越接近于正方形.这是解决问题的关键.18.如图所示,AB=AC,AB为⊙O的直径,AC、BC分别交⊙O于E、D,连接ED、BE.(1)试判断DE与BD是否相等,并说明理由;(2)如果BC=6,AB=5,求BE的长.【分析】(1)可通过连接AD,AD就是等腰三角形ABC底边上的高,根据等腰三角形三线合一的特点,可得出∠CAD=∠BAD,根据圆周角定理即可得出∠DEB=∠DBE,便可证得DE=DB.(2)本题中由于BE⊥AC,那么BE就是三角形ABC中AC边上的高,可用面积的不同表示方法得出AC•BE=CB•AD.进而求出BE的长.【解答】解:(1)DE=BD证明:连接AD,则AD⊥BC,在等腰三角形ABC中,AD⊥BC,∴∠CAD=∠BAD(等腰三角形三线合一),∴=,∴DE=BD;(2)∵AB=5,BD=BC=3,∴AD=4,∵AB=AC=5,∴S△ABC=•AC•BE=•CB•AD,∴BE=4.8.【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质,圆周角定理等知识点的运用,用等腰三角形三线合一的特点得出圆周角相等是解题的关键.19.下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改.题目:某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长与宽的比为2:1,在温室内,沿前侧内墙保留3m的空地,其他三侧内墙各保留1m的通道,当温室的长与宽各为多少时,矩形蔬菜种植区域的面积是288m2?解:设矩形蔬菜种植区域的宽为xm,则长为2xm,根据题意,得x•2x=288.解这个方程,得x1=﹣12(不合题意,舍去),x2=12所以温室的长为2×12+3+1=28(m),宽为12+1+1=14(m)答:当温室的长为28m,宽为14m时,矩形蔬菜种植区域的面积是288m2.我的结果也正确!小明发现他解答的结果是正确的,但是老师却在他的解答中画了一条横线,并打了一个?.结果为何正确呢?(1)请指出小明解答中存在的问题,并补充缺少的过程:变化一下会怎样…(2)如图,矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部,AB∥A′B′,AD∥A′D′,且AD:AB=2:1,设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d,要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD,a、b、c、d应满足什么条件?请说明理由.【分析】(1)根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2:1的理由,所以应设矩形蔬菜种植区域的宽为xm,则长为2xm,然后由题意得,矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2:1,再利用小明的解法求解即可;(2)由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD,利用相似多边形的性质,可得,即,然后利用比例的性质,即可求得答案.【解答】解:(1)小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2:1的理由.在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm,则长为2xm.”前补充以下过程:设温室的宽为xm,则长为2xm.则矩形蔬菜种植区域的宽为(x﹣1﹣1)m,长为(2x﹣3﹣1)m.∵,∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2:1;(2)要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD,就要,即,即,即2AB﹣2(b+d)=2AB﹣(a+c),∴a+c=2(b+d),即.【点评】此题考查了相似多边形的性质.此题属于阅读性题目,注意理解题意,读懂题目是解此题的关键.20.二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分如图所示,则a的取值范围是﹣1<a<0.【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号,由抛物线与y轴的交点得出c的值,然后根据图象经过的点的情况进行推理,进而推出所得结论.【解答】解:抛物线开口向下,a<0,图象过点(0,1),c=1,图象过点(1,0),a+b+c=0,∴b=﹣(a+c)=﹣(a+1).由题意知,当x=﹣1时,应有y>0,∴a﹣b+c>0,∴a+(a+1)+1>0,∴a>﹣1,∴实数a的取值范围是﹣1<a<0.【点评】根据开口判断a的符号,根据与x轴,y轴的交点判断c的值以及b用a表示出的代数式.难点是推断出当x=﹣1时,应有y>0.21.今年,我国政府为减轻农民负担,决定在5年内免去农业税.某乡今年人均上缴农业税25元,若两年后人均上缴农业税为16元,假设这两年降低的百分率相同.(1)求降低的百分率;(2)若小红家有4人,明年小红家减少多少农业税?(3)小红所在的乡约有16000农民,问该乡农民明年减少多少农业税?【分析】(1)设降低的百分率为x,则降低一次后的数额是25(1﹣x),再在这个数的基础上降低x,则变成25(1﹣x)(1﹣x)即25(1﹣x)2,据此即可列方程求解;(2)每人减少的税额是25x,则4个人的就是4×25x,代入(1)中求得的x的值,即可求解;(3)每个人减少的税额是25x,乘以总人数16000即可求解.【解答】解:(1)设降低的百分率为x,依题意有,25(1﹣x)2=16,解得,x1=0.2=20%,x2=1.8(舍去);(2)小红全家少上缴税25×20%×4=20(元);(3)全乡少上缴税16000×25×20%=80 000(元).答:降低的增长率是20%,明年小红家减少的农业税是20元,该乡农民明年减少的农业税是80 000元.【点评】本题考查求平均变化率的方法.若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b.22.如图,在矩形ABCD中,AB=m(m是大于0的常数),BC=8,E为线段BC上的动点(不与B、C重合).连接DE,作EF⊥DE,EF与射线BA交于点F,设CE=x,BF=y.(1)求y关于x的函数关系式;(2)若m=8,求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?(3)若y=,要使△DEF为等腰三角形,m的值应为多少?【分析】(1)利用互余关系找角相等,证明△BEF∽△CDE,根据对应边的比相等求函数关系式;(2)把m的值代入函数关系式,再求二次函数的最大值;(3)∵∠DEF=90°,只有当DE=EF时,△DEF为等腰三角形,把条件代入即可.【解答】解:(1)∵EF⊥DE,∴∠BEF=90°﹣∠CED=∠CDE,又∠B=∠C=90°,∴△BEF∽△CDE,∴=,即=,解得y=;(2)由(1)得y=,将m=8代入,得y=﹣x2+x=﹣(x2﹣8x)=﹣(x﹣4)2+2,所以当x=4时,y取得最大值为2;(3)∵∠DEF=90°,∴只有当DE=EF时,△DEF为等腰三角形,∴△BEF≌△CDE,∴BE=CD=m,此时m=8﹣x,解方程=,得x=6,或x=2,当x=2时,m=6,当x=6时,m=2.【点评】本题把相似三角形与求二次函数解析式联系起来,在解题过程中,充分运用相似三角形对应边的比相等,建立函数关系式.23.某市城建部门经过长期市场调查发现,该市年新建商品房面积P(万平方米)与市场新房均价x(千元/平方米)存在函数关系P=25x;年新房销售面积Q(万平方米)与市场新房均价x(千元/平方米)的函数关系为Q=﹣10;(1)如果年新建商品房的面积与年新房销售面积相等,求市场新房均价和年新房销售总额;(2)在(1)的基础上,如果市场新房均价上涨1千元,那么该市年新房销售总额是增加还是减少?变化了多少?结合年新房销售总额和积压面积的变化情况,请你提出一条合理化的建议.(字数不超过50)【分析】(1)根据“新建商品房的面积与年新房销售面积相等”作为相等关系求x的值即可;(2)分别求算出市场新房均价上涨1千元后的新建商品房面积P,年新房销售面积Q再来求算其变化的量和积压的情况.【解答】解:(1)根据题意得:25x=﹣10,解得x1=2,x2=﹣(舍去),则Q=﹣10=50万平方米,所以市场新房均价为2千元.则年新房销售总额为2000×500000=10亿元.(2)因为Q=﹣10=30万平方米,P=25x=75万平方米,所以市场新房均价上涨1千元则该市年新房销售总额减少了100000﹣30×(2000+1000)=10000万元,年新房积压面积增加了45万平方米.建议:对于新房的销售应订一个合理的价格,不能过高,只有考虑成本与人们的购买力才能使利润最大.【点评】主要考查了函数在实际问题中的应用.解题的关键是理解题意能准确的找到函数中对应的变量的值,根据题意求解.24.已知:如图,在平面直角坐标系中,点P(m,m)(m>0),过点P的直线AB 与x轴正半轴交于点A,与直线y=x交于点B.(1)当m=3且∠OAB=90°时,求BP的长度;(2)若点A的坐标是(6,0),且AP=2PB,求经过点P且以点B为顶点的抛物线的函数表达式.。

中考数学28道压轴题含答案解析

中考数学28道压轴题含答案解析

中考数学选填压轴题练习一.根的判别式(共1小题)1.(2023•广州)已知关于x的方程x2﹣(2k﹣2)x+k2﹣1=0有两个实数根,则的化简结果是()A.﹣1B.1C.﹣1﹣2k D.2k﹣3【分析】首先根据关于x的方程x2﹣(2k﹣2)x+k2﹣1=0有两个实数根,得判别式Δ=[﹣(2k﹣2)]2﹣4×1×(k2﹣1)≥0,由此可得k≤1,据此可对进行化简.【解答】解:∵关于x的方程x2﹣(2k﹣2)x+k2﹣1=0有两个实数根,∴判别式Δ=[﹣(2k﹣2)]2﹣4×1×(k2﹣1)≥0,整理得:﹣8k+8≥0,∴k≤1,∴k﹣1≤0,2﹣k>0,∴=﹣(k﹣1)﹣(2﹣k)=﹣1.故选:A.二.函数的图象(共1小题)2.(2023•温州)【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示,①④⑥各路段路程相等,⑤⑦⑧各路段路程相等,②③两路段路程相等.【素材2】设游玩行走速度恒定,经过每个景点都停留20分钟,小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟;小州游路线①②⑧,他离入口的路程s与时间t的关系(部分数据)如图2所示,在2100米处,他到出口还要走10分钟.【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为()A.4200米B.4800米C.5200米D.5400米【分析】设①④⑥各路段路程为x米,⑤⑦⑧各路段路程为y米,②③各路段路程为z米,由题意及图象可知,然后根据“游玩行走速度恒定,经过每个景点都停留20分钟,小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟”可进行求解.【解答】解:由图象可知:小州游玩行走的时间为75+10﹣40=45(分钟),小温游玩行走的时间为205﹣100=105(分钟),设①④⑥各路段路程为x米,⑤⑦⑧各路段路程为y米,②③各路段路程为z米由图象可得:,解得:x+y+z=2700,∴游玩行走的速度为:(2700﹣2100)÷10=60 (米/分),由于游玩行走速度恒定,则小温游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为:3x+3y=105×60=6300,∴x+y=2100,∴路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为:2x+2y+z=x+y+z+x+y=2700+2100=4800(米).故选:B.三.动点问题的函数图象(共1小题)3.(2023•河南)如图1,点P从等边三角形ABC的顶点A出发,沿直线运动到三角形内部一点,再从该点沿直线运动到顶点B.设点P运动的路程为,图2是点P运动时y随x变化的关系图象,则等边三角形ABC的边长为()A.6B.3C.D.【分析】如图,令点P从顶点A出发,沿直线运动到三角形内部一点O,再从点O沿直线运动到顶点B,结合图象可知,当点P在AO上运动时,PB=PC,AO=,易知∠BAO=∠CAO=30°,当点P在OB上运动时,可知点P到达点B时的路程为,可知AO=OB=,过点O作OD⊥AB,解直角三角形可得AD=AO•cos30°,进而得出等边三角形ABC的边长.【解答】解:如图,令点P从顶点A出发,沿直线运动到三角形内部一点O,再从点O沿直线运动到顶点B,\结合图象可知,当点P在AO上运动时,,∴PB=PC,,又∵△ABC为等边三角形,∴∠BAC=60°,AB=AC,∴△APB≌△APC(SSS),∴∠BAO=∠CAO=30°,当点P在OB上运动时,可知点P到达点B时的路程为,∴OB=,即AO=OB=,∴∠BAO=∠ABO=30°,过点O作OD⊥AB,垂足为D,∴AD=BD,则AD=AO•cos30°=3,∴AB=AD+BD=6,即等边三角形ABC的边长为6.故选:A.四.反比例函数系数k的几何意义(共1小题)4.(2023•宁波)如图,点A,B分别在函数y=(a>0)图象的两支上(A在第一象限),连结AB交x 轴于点C.点D,E在函数y=(b<0,x<0)图象上,AE∥x轴,BD∥y轴,连结DE,BE.若AC =2BC,△ABE的面积为9,四边形ABDE的面积为14,则a﹣b的值为12,a的值为9.【分析】依据题意,设A(m,),再由AE∥x轴,BD∥y轴,AC=2BC,可得B(﹣2m,﹣),D (﹣2m,﹣),E(,),再结合△ABE的面积为9,四边形ABDE的面积为14,即可得解.【解答】解:设A(m,),∵AE∥x轴,且点E在函数y=上,∴E(,).∵AC=2BC,且点B在函数y=上,∴B(﹣2m,﹣).∵BD∥y轴,点D在函数y=上,∴D(﹣2m,﹣).∵△ABE的面积为9,∴S△ABE=AE×(+)=(m﹣)(+)=m••==9.∴a﹣b=12.∵△ABE的面积为9,四边形ABDE的面积为14,∴S△BDE=DB•(+2m)=(﹣+)()m=(a﹣b)••()•m=3()=5.∴a=﹣3b.又a﹣b=12.∴a=9.故答案为:12,9.五.反比例函数图象上点的坐标特征(共2小题)5.(2023•德州)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,点B的坐标为(6,3),D是OA的中点,AC,BD交于点E,函数的图象过点B.E.且经过平移后可得到一个反比例函数的图象,则该反比例函数的解析式()A.y=﹣B.C.D.【分析】先根据函数图象经过点B和点E,求出a和b,再由所得函数解析式即可解决问题.【解答】解:由题知,A(6,0),B(6,3),C(0,3),令直线AC的函数表达式为y1=k1x+b1,则,解得,所以.又因为点D为OA的中点,所以D(3,0),同理可得,直线BD的函数解析式为y2=x﹣3,由得,x=4,则y=4﹣3=1,所以点E坐标为(4,1).将B,E两点坐标代入函数解析式得,,解得.所以,则,将此函数图象向左平移3个单位长度,再向下平移4个单位长度,所得图象的函数解析式为:.故选:D.6.如图,O是坐标原点,Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上,AB=2,∠AOB=30°,反比例函数y=(k>0)的图象经过斜边OB的中点C.(1)k=;(2)D为该反比例函数图象上的一点,若DB∥AC,则OB2﹣BD2的值为4.【分析】(1)根据直角三角形的性质,求出A、B两点坐标,作出辅助线,证得△OPC≌△APC(HL),利用勾股定理及待定系数法求函数解析式即可解答.(2)求出AC、BD的解析式,再联立方程组,求得点D的坐标,分两种情况讨论即可求解.【解答】解:(1)在Rt△OAB中,AB=2,∠AOB=30°,∴,∴,∵C是OB的中点,∴OC=BC=AC=2,如图,过点C作CP⊥OA于P,∴△OPC≌△APC(HL),∴,在Rt△OPC中,PC=,∴C(,1).∵反比例函数y=(k>0)的图象经过斜边OB的中点C,∴,解得k=.故答案为:.(2)设直线AC的解析式为y=k1x+b(k≠0),则,解得,∴AC的解析式为y=﹣x+2,∵AC∥BD,∴直线BD的解析式为y=﹣x+4,∵点D既在反比例函数图象上,又在直线BD上,∴联立得,解得,,当D的坐标为(2+3,)时,BD2==9+3=12,∴OB2﹣BD2=16﹣12=4;当D的坐标为(2﹣3,)时,BD2=+=9+3=12,∴OB2﹣BD2=16﹣12=4;综上,OB2﹣BD2=4.故答案为:4.六.反比例函数与一次函数的交点问题(共1小题)7.(2023•湖州)已知在平面直角坐标系中,正比例函数y=k1x(k1>0)的图象与反比例函数(k2>0)的图象的两个交点中,有一个交点的横坐标为1,点A(t,p)和点B(t+2,q)在函数y=k1x的图象上(t≠0且t≠﹣2),点C(t,m)和点D(t+2,n)在函数的图象上.当p﹣m与q﹣n的积为负数时,t的取值范围是()A.或B.或C.﹣3<t<﹣2或﹣1<t<0D.﹣3<t<﹣2或0<t<1【分析】将交点的横坐标1代入两个函数,令二者函数值相等,得k1=k2.令k1=k2=k,代入两个函数表达式,并分别将点A、B的坐标和点C、D的坐标代入对应函数,进而分别求出p﹣m与q﹣n的表达式,代入解不等式(p﹣m)(q﹣n)<0并求出t的取值范围即可.【解答】解:∵y=k1x(k1>0)的图象与反比例函数(k2>0)的图象的两个交点中,有一个交点的横坐标为1,∴k1=k2.令k1=k2=k(k>0),则y=k1x=kx,=.将点A(t,p)和点B(t+2,q)代入y=kx,得;将点C(t,m)和点D(t+2,n)代入y=,得.∴p﹣m=kt﹣=k(t﹣),q﹣n=k(t+2)﹣=k(t+2﹣),∴(p﹣m)(q﹣n)=k2(t﹣)(t+2﹣)<0,∴(t﹣)(t+2﹣)<0.∵(t﹣)(t+2﹣)=•=<0,∴<0,∴t(t﹣1)(t+2)(t+3)<0.①当t<﹣3时,t(t﹣1)(t+2)(t+3)>0,∴t<﹣3不符合要求,应舍去.②当﹣3<t<﹣2时,t(t﹣1)(t+2)(t+3)<0,∴﹣3<t<﹣2符合要求.③当﹣2<t<0时,t(t﹣1)(t+2)(t+3)>0,∴﹣2<t<0不符合要求,应舍去.④当0<t<1时,t(t﹣1)(t+2)(t+3)<0,∴0<t<1符合要求.⑤当t>1时,t(t﹣1)(t+2)(t+3)>0,∴t>1不符合要求,应舍去.综上,t的取值范围是﹣3<t<﹣2或0<t<1.故选:D.七.二次函数图象与系数的关系(共3小题)8.(2023•乐至县)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣2,且过点(1,0).现有以下结论:①abc<0;②5a+c=0;③对于任意实数m,都有2b+bm≤4a﹣am2;④若点A(x1,y1)、B(x2,y2)是图象上任意两点,且|x1+2|<|x2+2|,则y1<y2,其中正确的结论是()A.①②B.②③④C.①②④D.①②③④【分析】根据题意和函数图象,利用二次函数的性质,可以判断各个小题中的结论是否正确,从而可以解答本题.【解答】解:由图象可得,a>0,b>0,c<0,∴abc<0,故①正确,∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣2,且过点(1,0).∴﹣=﹣2,a+b+c=0,∴b=4a,∴a+b+c=a+4a+c=0,故5a+c=0,故②正确,∵当x=﹣2时,y=4a﹣2b+c取得最小值,∴am2+bm+c≥4a﹣2b+c,即2b+bm≥4a﹣am2(m为任意实数),故③错误,∵抛物线开口向上,对称轴为直线x=﹣2,若点A(x1,y1)、B(x2,y2)是图象上任意两点,且|x1+2|<|x2+2|,∴y1<y2,故④正确;故选:C.9.(2023•丹东)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点为A(﹣3,0),与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点,对称轴为直线x=﹣1,其部分图象如图所示,则以下4个结论:①abc>0;②E(x1,y1),F(x2,y2)是抛物线y=ax2+bx(a≠0)上的两个点,若x1<x2,且x1+x2<﹣2,则y1<y2;③在x轴上有一动点P,当PC+PD的值最小时,则点P的坐标为;④若关于x的方程ax2+b(x﹣2)+c =﹣4(a≠0)无实数根,则b的取值范围是b<1.其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个【分析】根据所给函数图象可得出a,b,c的正负,再结合抛物线的对称性和增减性即可解决问题.【解答】解:根据所给函数图象可知,a>0,b>0,c<0,所以abc<0,故①错误.因为抛物线y=ax2+bx的图象可由抛物线y=ax2+bx+c的图象沿y轴向上平移|c|个单位长度得到,所以抛物线y=ax2+bx的增减性与抛物线y=ax2+bx+c的增减性一致.则当x<﹣1时,y随x的增大而减小,又x1<x2,且x1+x2<﹣2,若x2<﹣1,则E,F两点都在对称轴的左侧,此时y1>y2.故②错误.作点C关于x轴的对称点C′,连接C′D与x轴交于点P,连接PC,此时PC+PD的值最小.将A(﹣3,0)代入二次函数解析式得,9a﹣3b+c=0,又,即b=2a,所以9a﹣6a+c=0,则c=﹣3a.又抛物线与y轴的交点坐标为C(0,c),则点C坐标为(0,﹣3a),所以点C′坐标为(0,3a).又当x=﹣1时,y=﹣4a,即D(﹣1,﹣4a).设直线C′D的函数表达式为y=kx+3a,将点D坐标代入得,﹣k+3a=﹣4a,则k=7a,所以直线C′D的函数表达式为y=7ax+3a.将y=0代入得,x=.所以点P的坐标为(,0).故③正确.将方程ax2+b(x﹣2)+c=﹣4整理得,ax2+bx+c=2b﹣4,因为方程没有实数根,所以抛物线y=ax2+bx+c与直线y=2b﹣4没有公共点,所以2b﹣4<﹣4a,则2b﹣4<﹣2b,解得b<1,又b>0,所以0<b<1.故④错误.所以正确的有③.故选:A.10.(2023•河北)已知二次函数y=﹣x2+m2x和y=x2﹣m2(m是常数)的图象与x轴都有两个交点,且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等,则这两个函数图象对称轴之间的距离为()A.2B.m2C.4D.2m2【分析】求出三个交点的坐标,再构建方程求解.【解答】解:令y=0,则﹣x2+m2x=0和x2﹣m2=0,∴x=0或x=m2或x=﹣m或x=m,∵这四个交点中每相邻两点间的距离都相等,若m>0,则m2=2m,∴m=2,若m<0时,则m2=﹣2m,∴m=﹣2.∵抛物线y=x2﹣m2的对称轴为直线x=0,抛物线y=﹣x2+m2x的对称轴为直线x=,∴这两个函数图象对称轴之间的距离==2.故选:A.八.二次函数图象上点的坐标特征(共1小题)11.(2023•广东)如图,抛物线y=ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A,B,C,点B在y轴上,则ac 的值为()A.﹣1B.﹣2C.﹣3D.﹣4【分析】过A作AH⊥x轴于H,根据正方形的性质得到∠AOB=45°,得到AH=OH,利用待定系数法求得a、c的值,即可求得结论.【解答】解:过A作AH⊥x轴于H,∵四边形ABCO是正方形,∴∠AOB=45°,∴∠AOH=45°,∴AH=OH,设A(m,m),则B(0,2m),∴,解得am=﹣1,m=,∴ac的值为﹣2,故选:B.九.二次函数与不等式(组)(共1小题)12.(2023•西宁)直线y1=ax+b和抛物线(a,b是常数,且a≠0)在同一平面直角坐标系中,直线y1=ax+b经过点(﹣4,0).下列结论:①抛物线的对称轴是直线x=﹣2;②抛物线与x轴一定有两个交点;③关于x的方程ax2+bx=ax+b有两个根x1=﹣4,x2=1;④若a >0,当x<﹣4或x>1时,y1>y2.其中正确的结论是()A.①②③④B.①②③C.②③D.①④【分析】根据直线y1=ax+b经过点(﹣4,0).得到b=4a,于是得到=ax2+4ax,求得抛物线的对称轴是直线x=﹣﹣=2;故①正确;根据Δ=16a2>0,得到抛物线与x轴一定有两个交点,故②正确;把b=4a,代入ax2+bx=ax+b得到x2+3x﹣4=0,求得x1=﹣4,x2=1;故③正确;根据a>0,得到抛物线的开口向上,直线y1=ax+b和抛物线交点横坐标为﹣4,1,于是得到结论.【解答】解:∵直线y1=ax+b经过点(﹣4,0).∴﹣4a+b=0,∴b=4a,∴=ax2+4ax,∴抛物线的对称轴是直线x=﹣﹣=2;故①正确;∵=ax2+4ax,∴Δ=16a2>0,∴抛物线与x轴一定有两个交点,故②正确;∵b=4a,∴方程ax2+bx=ax+b为ax2+4ax=ax+4a得,整理得x2+3x﹣4=0,解得x1=﹣4,x2=1;故③正确;∵a>0,抛物线的开口向上,直线y1=ax+b和抛物线交点横坐标为﹣4,1,∴当x<﹣4或x>1时,y1<y2.故④错误,故选:B.一十.三角形中位线定理(共1小题)13.(2023•广州)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,AC=6,点M是边AC上一动点,点D,E分别是AB,MB的中点,当AM=2.4时,DE的长是 1.2.若点N在边BC上,且CN=AM,点F,G分别是MN,AN的中点,当AM>2.4时,四边形DEFG面积S的取值范围是3≤S≤4.【分析】依据题意,根据三角形中位线定理可得DE=AM=1.2;设AM=x,从而DE=x,由DE∥AM,且DE=AM,又FG∥AM,FG=AM,进而DE∥FG,DE=FG,从而四边形DEFG是平行四边形,结合题意可得DE边上的高为(4﹣x),故四边形DEFG面积S=4x﹣x2,进而利用二次函数的性质可得S的取值范围.【解答】解:由题意,点D,E分别是AB,MB的中点,∴DE是三角形ABM的中位线.∴DE=AM=1.2.如图,设AM=x,∴DE=AM=x.由题意得,DE∥AM,且DE=AM,又FG∥AM,FG=AM,∴DE∥FG,DE=FG.∴四边形DEFG是平行四边形.由题意,GF到AC的距离是x,BC==8,∴DE边上的高为(4﹣x).∴四边形DEFG面积S=2x﹣x2,=﹣(x﹣4)2+4.∵2.4<x≤6,∴3≤S≤4.故答案为:1.2;3≤S≤4.一十一.矩形的性质(共2小题)14.(2023•宁波)如图,以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE,连结AE,AD,设△AED,△ABE,△ACD的面积分别为S,S1,S2,若要求出S﹣S1﹣S2的值,只需知道()A.△ABE的面积B.△ACD的面积C.△ABC的面积D.矩形BCDE的面积【分析】作AG⊥ED于点G,交BC于点F,可证明四边形BFGE是矩形,AF⊥BC,可推导出S﹣S1﹣S2=ED•AG﹣BE•EG﹣CD•DG=ED•AG﹣FG•ED=BC•AF=S△ABC,所以只需知道S△ABC,就可求出S﹣S1﹣S2的值,于是得到问题的答案.【解答】解:作AG⊥ED于点G,交BC于点F,∵四边形BCDE是矩形,∴∠FBE=∠BEG=∠FGE=90°,BC∥ED,BC=ED,BE=CD,∴四边形BFGE是矩形,∠AFB=∠FGE=90°,∴FG=BE=CD,AF⊥BC,∴S﹣S1﹣S2=ED•AG﹣BE•EG﹣CD•DG=ED•AG﹣FG•ED=BC•AF=S△ABC,∴只需知道S△ABC,就可求出S﹣S1﹣S2的值,故选:C.15.(2023•河南)矩形ABCD中,M为对角线BD的中点,点N在边AD上,且AN=AB=1.当以点D,M,N为顶点的三角形是直角三角形时,AD的长为2或1+.【分析】以点D,M,N为顶点的三角形是直角三角形时,分两种情况:如图1,当∠MND=90°时,如图2,当∠NMD=90°时,根据矩形的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论.【解答】解:以点D,M,N为顶点的三角形是直角三角形时,分两种情况:①如图1,当∠MND=90°时,则MN⊥AD,∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,∴MN∥AB,∵M为对角线BD的中点,∴AN=DN,∵AN=AB=1,∴AD=2AN=2;如图2,当∠NMD=90°时,则MN⊥BD,∵M为对角线BD的中点,∴BM=DM,∴MN垂直平分BD,∴BN=DN,∵∠A=90°,AB=AN=1,∴BN=AB=,∴AD=AN+DN=1+,综上所述,AD的长为2或1+.故答案为:2或1+.一十二.正方形的性质(共2小题)16.如图,在边长为4的正方形ABCD中,点G是BC上的一点,且BG=3GC,DE⊥AG于点E,BF∥DE,且交AG于点F,则tan∠EDF的值为()A.B.C.D.【分析】由正方形ABCD的边长为4及BG=3CG,可求出BG的长,进而求出AG的长,证△ADE∽△GAB,利用相似三角形对应边成比例可求得AE、DE的长,证△ABF≌△DAE,得AF=DE,根据线段的和差求得EF的长即可.【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,AB=4,∴BC=CD=DA=AB=4,∠BAD=∠ABC=90°,AD∥BC,∴∠DAE=∠AGB,∵BG=3CG,∴BG=3,∴在Rt△ABG中,AB2+BG2=AG2,∴AG=,∵DE⊥AG,∴∠DEA=∠DEF=∠ABC=90°,∴△ADE∽△GAB,∴AD:GA=AE:GB=DE:AB,∴4:5=AE:3=DE:4,∴AE=,DE=,又∵BF∥DE,∴∠AFB=∠DEF=90°,又∵AB=AD,∠DAE=∠ABF(同角的余角相等),∴△ABF≌△DAE,∴AF=DE=,∴EF=AF﹣AE=,∴tan∠EDF=,故选:A.17.(2023•湖州)如图,标号为①,②,③,④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形ABCD,相邻图形之间互不重叠也无缝隙,①和②分别是等腰Rt△ABE和等腰Rt△BCF,③和④分别是Rt△CDG和Rt△DAH,⑤是正方形EFGH,直角顶点E,F,G,H分别在边BF,CG,DH,AE上.(1)若EF=3cm,AE+FC=11cm,则BE的长是4cm.(2)若,则tan∠DAH的值是3.【分析】(1)将AE和FC用BE表示出来,再代入AE+FC=11cm,即可求出BE的长;(2)由已知条件可以证明∠DAH=∠CDG,从而得到tan∠DAH=tan∠CDG,设AH=x,DG=5k,GH =4k,用x和k的式子表示出CG,再利用tan∠DAH=tan∠CDG列方程,解出x,从而求出tan∠DAH 的值.【解答】解:(1)∵Rt△ABE和Rt△BCF都是等腰直角三角形,∴AE=BE,BF=CF,∵AE+FC=11cm,∴BE+BF=11cm,即BE+BE+EF=11cm,即2BE+EF=11cm,∵EF=3cm,∴2BE+3cm=11cm,∴BE=4cm,故答案为:4;(2)设AH=x,∵,∴可设DG=5k,GH=4k,∵四边形EFGH是正方形,∴HE=EF=FG=GH=4k,∵Rt△ABE和Rt△BCF都是等腰直角三角形,∴AE=BE,BF=CF,∠ABE=∠CBF=45°,∴CG=CF+GF=BF+4k=BE+8k=AH+12k=x+12k,∠ABC=∠ABE+∠CBF=45°+45°=90°,∵四边形ABCD对角互补,∴∠ADC=90°,∴∠ADH+∠CDG=90°,∵四边形EFGH是正方形,∴∠AHD=∠CGD=90°,∴∠ADH+∠DAH=90°,∴∠DAH=∠CDG,∴tan∠DAH=tan∠CDG,∴,即,整理得:x2+12kx﹣45k2=0,解得x1=3k,x2=﹣15k(舍去),∴tan∠DAH===3.故答案为:3.一十三.正多边形和圆(共1小题)18.(2023•河北)将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上,其俯视图如图1,正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上.两侧螺母不动,把中间螺母抽出并重新摆放后,其俯视图如图2,其中,中间正六边形的一边与直线l平行,有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点.则图2中:(1)∠α=30度;(2)中间正六边形的中心到直线l的距离为2(结果保留根号).【分析】(1)作图后,结合正多边形的外角的求法即可得到结论;(2)把问题转化为图形问题,首先作出图形,标出相应的字母,把正六边形的中心到直线l的距离转化为求ON=OM+BE,再根据正六边形的性质以及三角函数的定义,分别求出OM,BE即可.【解答】解:(1)作图如图所示,∵多边形是正六边形,∴∠ACB=60°,∵BC∥直线l,∴∠ABC=90°,∴α=30°;故答案为:30°;(2)取中间正六边形的中心为O,作图如图所示,由题意得,AG∥BF,AB∥GF,BF⊥AB,∴四边形ABFG为矩形,∴AB=GF,∵∠BAC=∠FGH,∠ABC=∠GFH=90°,∴△ABC≌△GFH(SAS),∴BC=FH,在Rt△PDE中,DE=1,PE=,由图1知AG=BF=2PE=2,OM=PE=,∵,∴,∴,∵,∴,∴.∴中间正六边形的中心到直线l的距离为2,故答案为:2.一十四.扇形面积的计算(共1小题)19.(2023•温州)图1是4×4方格绘成的七巧板图案,每个小方格的边长为,现将它剪拼成一个“房子”造型(如图2),过左侧的三个端点作圆,并在圆内右侧部分留出矩形CDEF作为题字区域(点A,E,D,B在圆上,点C,F在AB上),形成一幅装饰画,则圆的半径为5.若点A,N,M在同一直线上,AB∥PN,DE=EF,则题字区域的面积为.【分析】根据不共线三点确定一个圆,根据对称性得出圆心的位置,进而垂径定理、勾股定理求得r,连接OE,取ED的中点T,连接OT,在Rt△OET中,根据勾股定理即可求解.【解答】解:如图所示,依题意,GH=2=GQ,∵过左侧的三个端点Q,K,L作圆,QH=HL=4,又NK⊥QL,∴O在KN上,连接OQ,则OQ为半径,∵OH=r﹣KH=r﹣2,在Rt△OHQ中,OH2+QH2=QO2,∴(r﹣2)2+42=r2,解得:r=5;连接OE,取ED的中点T,连接OT,交AB于点S,连接PB,AM,过点O作OU⊥AM于点U.连接OA.由△OUN∽△NPM,可得==,∴OU=.MN=2,∴NU=,∴AU==,∴AN=AU﹣NU=2,∴AN=MN,∵AB∥PN,∴AB⊥OT,∴AS=SB,∴NS∥BM,∴NS∥MP,∴M,P,B共线,又NB=NA,∴∠ABM=90°,∵MN=NB,NP⊥MP,∴MP=PB=2,∴NS=MB=2,∵KH+HN=2+4=6,∴ON=6﹣5=1,∴OS=3,∵,设EF=ST=a,则,在Rt△OET中,OE2=OT2+TE2,即,整理得5a2+12a﹣32=0,即(a+4)(5a﹣8)=0,解得:或a=﹣4,∴题字区域的面积为.故答案为:.一十五.轴对称-最短路线问题(共1小题)20.(2023•安徽)如图,E是线段AB上一点,△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形,点P,F分别是CD,AB的中点.若AB=4,则下列结论错误的是()A.P A+PB的最小值为3B.PE+PF的最小值为2C.△CDE周长的最小值为6D.四边形ABCD面积的最小值为3【分析】延长AD,BC交于M,过P作直线l∥AB,由△ADE和△BCE是等边三角形,可得四边形DECM 是平行四边形,而P为CD中点,知P为EM中点,故P在直线l上运动,作A关于直线l的对称点A',连接A'B,当P运动到A'B与直线l的交点,即A',P,B共线时,P A+PB=P A'+PB最小,即可得P A+PB 最小值A'B==2,判断选项A错误;由PM=PE,即可得当M,P,F共线时,PE+PF 最小,最小值为MF的长度,此时PE+PF的最小值为2,判断选项B正确;过D作DK⊥AB于K,过C作CT⊥AB于T,由△ADE和△BCE是等边三角形,得KT=KE+TE=AB=2,有CD≥2,故△CDE周长的最小值为6,判断选项C正确;设AE=2m,可得S四边形ABCD=(m﹣1)2+3,即知四边形ABCD面积的最小值为3,判断选项D正确.【解答】解:延长AD,BC交于M,过P作直线l∥AB,如图:∵△ADE和△BCE是等边三角形,∴∠DEA=∠MBA=60°,∠CEB=∠MAB=60°,∴DE∥BM,CE∥AM,∴四边形DECM是平行四边形,∵P为CD中点,∴P为EM中点,∵E在线段AB上运动,∴P在直线l上运动,由AB=4知等边三角形ABM的高为2,∴M到直线l的距离,P到直线AB的距离都为,作A关于直线l的对称点A',连接A'B,当P运动到A'B与直线l的交点,即A',P,B共线时,P A+PB =P A'+PB最小,此时P A+PB最小值A'B===2,故选项A错误,符合题意;∵PM=PE,∴PE+PF=PM+PF,∴当M,P,F共线时,PE+PF最小,最小值为MF的长度,∵F为AB的中点,∴MF⊥AB,∴MF为等边三角形ABM的高,∴PE+PF的最小值为2,故选项B正确,不符合题意;过D作DK⊥AB于K,过C作CT⊥AB于T,如图,∵△ADE和△BCE是等边三角形,∴KE=AE,TE=BE,∴KT=KE+TE=AB=2,∴CD≥2,∴DE+CE+CD≥AE+BE+2,即DE+CE+CD≥AB+2,∴DE+CE+CD≥6,∴△CDE周长的最小值为6,故选项C正确,不符合题意;设AE=2m,则BE=4﹣2m,∴AK=KE=m,BT=ET=2﹣m,DK=AK=m,CT=BT=2﹣m,∴S△ADK=m•m=m2,S△BCT=(2﹣m)(2﹣m)=m2﹣2m+2,S梯形DKTC =(m+2﹣m)•2=2,∴S四边形ABCD=m2+m2﹣2m+2+2=m2﹣2m+4=(m﹣1)2+3,∴当m=1时,四边形ABCD面积的最小值为3,故选项D正确,不符合题意;故选:A.一十六.翻折变换(折叠问题)(共2小题)21.(2023•乐至县)如图,在平面直角坐标系xOy中,边长为2的等边△ABC的顶点A、B分别在x轴、y 轴的正半轴上移动,将△ABC沿BC所在直线翻折得到△DBC,则OD的最大值为+1.【分析】过点D作DF⊥AB,交AB延长线于点F,取AB的中点E,连接DE,OE,OD,在Rt△ABO 中利用斜边中线性质求出OE,根据OE+DE≥OD确定当D、O、E三点共线时OD最大,最大值为OD =OE+DE.【解答】解:如图,过点D作DF⊥AB,交AB延长线于点F,取AB的中点E,连接DE,OE,OD,∵等边三角形ABC的边长为2,∴AB=2,∠ABC=60°,由翻折可知:∠DBC=∠ABC=60°,DB=AB=2,∴∠DBF=60°,∵DF⊥AB,∴∠DFB=90°,∴∠BDF=30°,∴BF=BD=1,∴DF=BF=,∵E是AB的中点,∴AE=BE=OE=AB=1,∴EF=BE+BF=2,∴DE===,∴OD≤DE+OE=+1,∴当D、E、O三点共线时OD最大,最大值为+1.故答案为:+1.22.(2023•南京)如图,在菱形纸片ABCD中,点E在边AB上,将纸片沿CE折叠,点B落在B′处,CB′⊥AD,垂足为F.若CF=4cm,FB′=1cm,则BE=cm.【分析】作EH⊥BC于点H,由CF=4cm,FB′=1cm,求得B′C=5cm,由折叠得BC=B′C=5cm,由菱形的性质得BC∥AD,DC=BC=5cm,∠B=∠D,因为CB′⊥AD于点F,所以∠BCB′=∠CFD =90°,则∠BCE=∠B′CE=45°,DF==3cm,所以∠HEC=∠BCE=45°,则CH=EH,由=sin B=sin D=,=cos B=cos D=,得CH=EH=BE,BH=BE,于是得BE+BE =5,则BE=cm.【解答】解:作EH⊥BC于点H,则∠BHE=∠CHE=90°,∵CF=4cm,FB′=1cm,∴B′C=CF+FB′=4+1=5(cm),由折叠得BC=B′C=5cm,∠BCE=∠B′CE,∵四边形ABCD是菱形,∴BC∥AD,DC=BC=5cm,∠B=∠D,∵CB′⊥AD于点F,∴∠BCB′=∠CFD=90°,∴∠BCE=∠B′CE=∠BCB′=×90°=45°,DF===3(cm),∴∠HEC=∠BCE=45°,∴CH=EH,∵=sin B=sin D==,=cos B=cos D==,∴CH=EH=BE,BH=BE,∴BE+BE=5,∴BE=cm,故答案为:.一十七.旋转的性质(共1小题)23.(2023•西宁)如图,在矩形ABCD中,点P在BC边上,连接P A,将P A绕点P顺时针旋转90°得到P A′,连接CA′,若AD=9,AB=5,CA′=2,则BP=2.【分析】过A′点作A′H⊥BC于H点,如图,根据旋转的性质得到P A=P A′,再证明△ABP≌△PHA′得到PB=A′H,PH=AB=5,设PB=x,则A′H=x,CH=4﹣x,然后在Rt△A′CH中利用勾股定理得到x2+(4﹣x)2=(2)2,于是解方程求出x即可.【解答】解:过A′点作A′H⊥BC于H点,如图,∵四边形ABCD为矩形,∴BC=AD=9,∠B=90°,∵将P A绕点P顺时针旋转90°得到P A′,∴P A=P A′,∵∠P AB+∠APB=90°,∠APB+∠A′PH=90°,∴∠P AB=∠A′PH,在△ABP和△PHA′中,,∴△ABP≌△PHA′(AAS),∴PB=A′H,PH=AB=5,设PB=x,则A′H=x,CH=9﹣x﹣5=4﹣x,在Rt△A′CH中,x2+(4﹣x)2=(2)2,解得x1=x2=2,即BP的长为2.故答案为:2.一十八.相似三角形的判定与性质(共2小题)24.(2023•杭州)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A<90°,点D,E,F分别在边AB,BC,CA上,连接DE,EF,FD,已知点B和点F关于直线DE对称.设=k,若AD=DF,则=(结果用含k的代数式表示).【分析】方法一:先根据轴对称的性质和已知条件证明DE∥AC,再证△BDE∽△BAC,推出EC=k•AB,通过证明△ABC∽△ECF,推出CF=k2•AB,即可求出的值.方法二:证明AD=DF=BD,可得BF⊥AC,设AB=AC=1,BC=k,CF=x,则AF=1﹣x,利用勾股定理列方程求出x的值,进而可以解决问题.【解答】解:方法一:∵点B和点F关于直线DE对称,∴DB=DF,∵AD=DF,∴AD=DB,∵AD=DF,∴∠A=∠DF A,∵点B和点F关于直线DE对称,∴∠BDE=∠FDE,∵∠BDE+∠FDE=∠BDF=∠A+∠DF A,∴∠FDE=∠DF A,∴DE∥AC,∴∠C=∠DEB,∠DEF=∠EFC,∵点B和点F关于直线DE对称,∴∠DEB=∠DEF,∴∠C=∠EFC,∵AB=AC,∴∠C=∠B,∵∠ACB=∠EFC,∴△ABC∽△ECF,∴=,∵DE∥AC,∴∠BDE=∠A,∠BED=∠C,∴△BDE∽△BAC,∴==,∴EC=BC,∵=k,∴BC=k•AB,∴EC=k•AB,∴=,∴CF=k2•AB,∴====.方法二:如图,连接BF,∵点B和点F关于直线DE对称,∴DB=DF,∵AD=DF,∴AD=DB=DF,∴BF⊥AC,设AB=AC=1,则BC=k,设CF=x,则AF=1﹣x,由勾股定理得,AB2﹣AF2=BC2﹣CF2,∴12﹣(1﹣x)2=k2﹣x2,∴x=,∴AF=1﹣x=,∴=.故答案为:.25.(2023•广东)边长分别为10,6,4的三个正方形拼接在一起,它们的底边在同一直线上(如图),则图中阴影部分的面积为15.【分析】根据相似三角形的性质,利用相似比求出梯形的上底和下底,用面积公式计算即可.【解答】解:如图,∵BF∥DE,∴△ABF∽△ADE,∴=,∵AB=4,AD=4+6+10=20,DE=10,∴=,∴BF=2,∴GF=6﹣2=4,∵CK∥DE,∴△ACK∽△ADE,∴=,∵AC=4+6=10,AD=20,DE=10,∴=,∴CK=5,∴HK=6﹣5=1,∴阴影梯形的面积=(HK+GF)•GH=(1+4)×6=15.故答案为:15.一十九.相似三角形的应用(共1小题)26.(2023•南京)如图,不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时,另一端B到地面的高度为60cm;当AB 的一端B碰到地面时,另一端A到地面的高度为90cm,则跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是()A.36cm B.40cm C.42cm D.45cm【分析】过点B作BC⊥AH,垂足为C,再证明A字模型相似△AOH∽△ABC,从而可得=,过点A作AD⊥BH,垂足为D,然后证明A字模型相似△ABD∽△OBH,从而可得=,最后进行计算即可解答.【解答】解:如图:过点B作BC⊥AH,垂足为C,∵OH⊥AC,BC⊥AC,∴∠AHO=∠ACB=90°,∵∠BAC=∠OAH,∴△AOH∽△ABC,∴=,∴=,如图:过点A作AD⊥BH,垂足为D,∵OH⊥BD,AD⊥BD,∴∠OHB=∠ADB=90°,∵∠ABD=∠OBH,∴△ABD∽△OBH,∴=,∴=,∴+=+,∴+=,∴+=1,解得:OH=36,∴跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是36cm,故选:A.二十.解直角三角形(共1小题)27.(2023•丹东)如图,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,已知点A(3,0),B(0,4),点C在x 轴负半轴上,连接AB,BC,若tan∠ABC=2,以BC为边作等边三角形BCD,则点C的坐标为(﹣2,0);点D的坐标为(﹣1﹣2,2+)或(﹣1+2,2﹣).【分析】过点C作CE⊥AB于E,先求处AB=5,再设BE=t,由tan∠ABC=2得CE=2t,进而得BC =,由三角形的面积公式得S△ABC=AC•OB=AB•CE,即5×2t=4×(3+OC),则OC=﹣3,然后在Rt△BOC中由勾股定理得,由此解出t1=2,t2=10(不合题意,舍去),此时OC=﹣3=2,故此可得点C的坐标;设点D的坐标为(m,n),由两点间的距离公式得:BC2=20,BD2=(m﹣0)2+(n﹣4)2,CD2=(m+2)2+(n﹣0)2,由△BCD为等边三角形得,整理:,②﹣①整理得m=3﹣2n,将m=3﹣2n代入①整理得n2﹣4n+1=0,解得n=,进而再求出m即可得点D的坐标.【解答】解:过点C作CE⊥AB于E,如图:∵点A(3,0),B(0,4),由两点间的距离公式得:AB==5,设BE=t,∵tan∠ABC=2,在Rt△BCE中,tan∠ABC=,∴=2,∴CE=2t,由勾股定理得:BC==t,∵CE⊥AB,OB⊥AC,AC=OC+OA=3+OC,∴S△ABC=AC•OB=AB•CE,即:5×2t=4×(3+OC),∴OC=﹣3,在Rt△BOC中,由勾股定理得:BC2﹣OB2=OC2,即,整理得:t2﹣12t+20=0,解得:t1=2,t2=10(不合题意,舍去),∴t=2,此时OC=﹣3=2,∴点C的坐标为(﹣2,0),设点D的坐标为(m,n),由两点间的距离公式得:BC2=(﹣2﹣0)2+(0﹣4)2=20,BD2=(m﹣0)2+(n﹣4)2,CD2=(m+2)2+(n﹣0)2,∵△BCD为等边三角形,∵BD=CD=BC,∴,整理得:,②﹣①得:4m+8n=12,∴m=3﹣2n,将m=3﹣2n代入①得:(3﹣2n)2+n2﹣8n=4,整理得:n2﹣4n+1=0,解得:n=,当n=时,m=3﹣2n=,当n=时,m=3﹣2n=,∴点D的坐标为或.故答案为:(﹣2,0);或.二十一.解直角三角形的应用(共1小题)28.(2023•杭州)第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”.如图,在由四个全等的直角三角形(△DAE,△ABF,△BCG,△CDH)和中间一个小正方形EFGH 拼成的大正方形ABCD中,∠ABF>∠BAF,连接BE.设∠BAF=α,∠BEF=β,若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1:n,tanα=tan2β,则n=()A.5B.4C.3D.2【分析】设AE=a,DE=b,则BF=a,AF=b,解直角三角形可得,化简可得(b﹣a)2=ab,a2+b2=3ab,结合勾股定理及正方形的面积公式可求得S正方形EFGH;S正方形ABCD=1:3,进而可求解n的值.【解答】解:设AE=a,DE=b,则BF=a,AF=b,∵tanα=,tanβ=,tanα=tan2β,∴,∴(b﹣a)2=ab,∴a2+b2=3ab,∵a2+b2=AD2=S正方形ABCD,(b﹣a)2=S正方形EFGH,∴S正方形EFGH:S正方形ABCD=ab:3ab=1:3,∵S正方形EFGH:S正方形ABCD=1:n,∴n=3.故选:C.。

中考数学压轴题100题精选及答案(全)

中考数学压轴题100题精选及答案(全)
【024】如图,已知 为直角三角形, , ,点 、 在 轴上,点 坐标为( , )( ),线段 与 轴相交于点 ,以 (1,0)为顶点的抛物线过点 、 .
(1)求点 的坐标(用 表示);
(2)求抛物线的解析式;
(3)设点 为抛物线上点 至点 之间的一动点,连结 并延长交 于点 ,连结 并延长交 于点 ,试证明: 为定值.
【008】如图所示,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AB=BC,E是AB的中点,CE⊥BD。
(1) 求证:BE=AD;
(2)求证:AC是线段ED的垂直平分线;
(3)△DBC是等腰三角形吗?并说明理由。
【009】一次函数 的图象分别与 轴、 轴交于点 ,与反比例函数 的图象相交于点 .过点 分别作 轴, 轴,垂足分别为 ;过点 分别作 轴, 轴,垂足分别为 与 交于点 ,连接 .
(1)求证:梯形 是等腰梯形;
(2)动点 、 分别在线段 和 上运动,且 保持不变.设 求 与 的函数关系式;
(3)在(2)中:①当动点 、 运动到何处时,以点 、 和点 、 、 、 中的两个点为顶点的四边形是平行四边形?并指出符合条件的平行四边形的个数;②当 取最小值时,判断 的形状,并说明理由.
(3)在该二次函数的图象上是否存在点D,使四边形ABCD为直角梯形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由。
【007】如图1,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,四边形ABCO是菱形,点A的坐标为(-3,4),
点C在x轴的正半轴上,直线AC交y轴于点M,AB边交y轴于点H.
(1)求直线AC的解析式;
【020】如图甲,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一动点,连结AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。

中考数学压轴题含答案

中考数学压轴题含答案

中考数学压轴题含答案一、选择题1、下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()A.菱形B.平行四边形C.矩形(答案:C)2、如果一个三角形的三条边的平方相等,那么这个三角形一定是()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形(答案:A)3、下列说法正确的是()A.所有的质数都是奇数B.所有的偶数都是合数C.一个数的因数一定比它的倍数小D.自然数一定是正数(答案:A)二、填空题1、若a-b=2,a+b=7,则a²-b²=(答案:14)2、我们学过的数有整数和分数,整数的运算律在分数运算中(答案:同样适用)。

3、一个长方形的周长是20cm,长和宽的比是3:2,则长方形的面积是(答案:60平方厘米)。

三、解答题1、一个圆柱体底面半径为r,高为h,它的体积是多少?(答案:πr²h)2、有一块三角形的土地,底边长为120米,高为90米,这块土地的面积是多少?(答案:5400平方米)3、对于一个给定的整数n,如果它是3的倍数,那么我们就称它为“三的倍数”,否则我们就称它为“非三的倍数”。

现在有一个整数n,它是“三的倍数”,我们可以得出哪些结论?(答案:n+1、n+2、n+3、...、2n都是“三的倍数”,因为它们都可以被3整除。

)中考数学压轴题100题及答案在中考数学考试中,压轴题往往是最具挑战性和最能检验考生数学能力的题目。

为了帮助同学们更好地理解和掌握中考数学的压轴题,本文将分享100道经典的中考数学压轴题及其答案。

一、选择题1、在一个等边三角形中,边长为6,下列哪个选项的面积最接近这个等边三角形的面积?A. 20B. 25C. 30D. 35答案:B解析:等边三角形的面积可以通过计算得出,边长为6的等边三角形的面积为:436293约为28.2,因此选项B最接近。

2、如果一个多边形的内角和是外角和的2倍,那么这个多边形的边数是多少?A. 4B. 6C. 8D. 10答案:C解析:根据多边形的内角和公式和外角和为360度,可列出方程求解。

数学中考压轴题分类精选70道(含答案)

数学中考压轴题分类精选70道(含答案)

目录第一部分函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题例1 2013年上海市中考第24题例2 2012年苏州市中考第29题例3 2012年黄冈市中考第25题例4 2010年义乌市中考第24题例5 2009年临沂市中考第26题例6 2008年苏州市中考第29题1.2 因动点产生的等腰三角形问题例1 2013年上海市虹口区中考模拟第25题例2 2012年扬州市中考第27题例3 2012年临沂市中考第26题例4 2011年湖州市中考第24题例5 2011年盐城市中考第28题例6 2010年南通市中考第27题例7 2009年江西省中考第25题1.3 因动点产生的直角三角形问题例1 2013年山西省中考第26题例2 2012年广州市中考第24题例3 2012年杭州市中考第22题例4 2011年浙江省中考第23题例5 2010年北京市中考第24题例6 2009年嘉兴市中考第24题例7 2008年河南省中考第23题1.4 因动点产生的平行四边形问题例1 2013年上海市松江区中考模拟第24题例2 2012年福州市中考第21题例3 2012年烟台市中考第26题例4 2011年上海市中考第24题例5 2011年江西省中考第24题例6 2010年山西省中考第26题例7 2009年江西省中考第24题1.5 因动点产生的梯形问题例1 2012年上海市松江中考模拟第24题例2 2012年衢州市中考第24题例4 2011年义乌市中考第24题例5 2010年杭州市中考第24题例7 2009年广州市中考第25题1.6 因动点产生的面积问题例1 2013年苏州市中考第29题例2 2012年菏泽市中考第21题例3 2012年河南省中考第23题例4 2011年南通市中考第28题例5 2010年广州市中考第25题例6 2010年扬州市中考第28题例7 2009年兰州市中考第29题1.7 因动点产生的相切问题例1 2013年上海市杨浦区中考模拟第25题例2 2012年河北省中考第25题例3 2012年无锡市中考第28题1.8 因动点产生的线段和差问题例1 2013年天津市中考第25题例2 2012年滨州市中考第24题例3 2012年山西省中考第26题第二部分图形运动中的函数关系问题2.1 由比例线段产生的函数关系问题例1 2013年宁波市中考第26题例2 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题例3 2012年连云港市中考第26题例4 2010年上海市中考第25题2.2 由面积公式产生的函数关系问题例1 2013年菏泽市中考第21题例2 2012年广东省中考第22题例3 2012年河北省中考第26题例4 2011年淮安市中考第28题例5 2011年山西省中考第26题例6 2011年重庆市中考第26题第三部分图形运动中的计算说理问题3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题例1 2013年南京市中考第26题例2 2013年南昌市中考第25题例1 2013年上海市黄浦区中考模拟第24题例2 2013年江西省中考第24题第一部分 函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题例1 2013年上海市中考第24题如图1,在平面直角坐标系xOy 中,顶点为M 的抛物线y =ax 2+bx 〔a >0〕经过点A 和x 轴正半轴上的点B ,AO =BO =2,∠AOB =120°.〔1〕求这条抛物线的表达式;〔2〕连结OM ,求∠AOM 的大小;〔3〕如果点C 在x 轴上,且△ABC 与△AOM 相似,求点C 的坐标.图1动感体验请打开几何画板文件名“13上海24”,拖动点C 在x 轴上运动,可以体验到,点C 在点B 的右侧,有两种情况,△ABC 与△AOM 相似.请打开超级画板文件名“13上海24”,拖动点C 在x 轴上运动,可以体验到,点C 在点B 的右侧,有两种情况,△ABC 与△AOM 相似.点击按钮的左部和中部,可到达相似的准确位置。

初三数学压轴测试题及答案

初三数学压轴测试题及答案

初三数学压轴测试题及答案一、选择题(每题3分,共15分)1. 下列哪个数是无理数?A. 0.33333(无限循环)B. πC. √2D. 0.52. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为3和4,求斜边长度。

A. 5B. 6C. 7D. 83. 若a,b,c是三角形的三边,且满足a^2 + b^2 = c^2,那么这个三角形是:A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定4. 函数y = 2x + 3的斜率是:A. 2B. 3C. -2D. -35. 下列哪个表达式是二次根式?A. √xB. x√yC. √xyD. √x + y二、填空题(每题2分,共10分)6. 一个数的平方根是它本身的数是______。

7. 将一个圆分成4个扇形,每个扇形的圆心角为______度。

8. 一个长方体的长、宽、高分别为2、3、4,其体积是______。

9. 一个多项式f(x) = ax^2 + bx + c,如果a + b + c = 14,且当x = -1时,f(x) = 18,求a + c的值。

10. 一个等差数列的前三项和为12,第二项是5,求这个等差数列的首项和公差。

三、解答题(每题10分,共30分)11. 某工厂原计划在10天内完成一批产品的生产,由于技术改进,实际每天的生产量比原计划多20%,结果在8天内完成了任务。

求原计划每天的生产量。

12. 已知一个二次函数y = ax^2 + bx + c,其图像与x轴交于点(-1,0)和(5,0),且当x = 2时,y的值达到最大,求a、b、c的值。

13. 某班级有30名学生,其中15名男生和15名女生。

如果随机选择一名学生,求下列概率:a) 选中的学生是男生;b) 选中的学生是女生;c) 选中的学生是女生,给定选中的学生是班级学习委员。

四、综合题(每题15分,共40分)14. 某市为了改善交通状况,决定在一条直线上修建一条地铁线路。

已知地铁线路的两端点A和B之间的距离是20公里,现在需要在这条线路上选择一个点C,使得从A到C和从C到B的总距离最短。

(完整)中考数学压轴题精选附答案

(完整)中考数学压轴题精选附答案

一、解答题1.△ABC中,BC=AC=5,AB=8,CD为AB边上的高,如图1,A在原点处,点B在y 轴正半轴上,点C在第一象限,若A从原点出发,沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动,则点B随之沿y轴下滑,并带动△ABC在平面上滑动.如图2,设运动时间表为t秒,当B到达原点时停止运动.(1)当t=0时,求点C的坐标;(2)当t=4时,求OD的长及∠BAO的大小;(3)求从t=0到t=4这一时段点D运动路线的长;(4)当以点C为圆心,CA为半径的圆与坐标轴相切时,求t的值.2.如图,在△ABC中,AB=AC,⊙是△ABC的外接圆,连接BO并延长交边AC于点D.(1)如图1,求证:∠BAC=2∠ABD;(2)如图2,过点B作BH⊥AC于点H,延长BH交⊙O于点G,连接OC,CG,OC交BG于点F,求证:BF=2HG;(3)如图3,在(2)的条件下,若AD=2,CD=3,求线段BF的长.3.如图1,在菱形ABCD中,∠D=120°,AB=8,点M从A开始,以每秒1个单位的速度向点B运动;点N从C出发,沿C→D→A方向,以每秒2个单位的速度向点A运动,若M、N同时出发,其中一点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设运动的时间为t 秒,过点N作NQ⊥DC,交AC于点Q.(1)当t =2时,求线段NQ 的长;(2)设△AMQ 的面积为S ,直接写出S 与t 的函数关系式及t 的取值范围;(3)在点M 、N 运动过程中,是否存在t 值,使得△AMQ 为等腰三角形?若存在,请求出t 的值;若不存在,请说明理由.4.如图1,矩形ABCD 中,点E 是CD 边上的动点(点E 不与点C 、D 重合),连接AE ,过点A 作AF ⊥AE 交CB 延长线于点F ,连接EF ,点G 为EF 的中点,连接BG . (1)如图2,若四边形ABCD 为正方形,其面积为S ,四边形BCEG 的面积为S 1,当S 1=14S 时,求DE DC 的值.(2)如图1,若AB =20,AD =10,设DE =x ,点G 到直线BC 的距离为y ,求出y 与x 的关系式;当EC BG =2413时,求x 的值.5.如图,抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于C 点,OA =1,OB =OC =3.(1)求抛物线的表达式;(2)如图1,点D 为第一象限抛物线上一动点,连接DC ,DB ,BC ,设点D 的横坐标为m ,△BCD 的面积为S ,求S 的最大值;(3)如图2,点P (0,n )是线段OC 上一点(不与点O 、C 重合),连接PB ,将线段PB 以点P 为中心,旋转90°得到线段PQ ,是否存在n 的值,使点Q 落在抛物线上?若存在,请求出满足条件的n 的值,若不存在,请说明理由.6.问题提出:(1)如图①,在ABC 中,90BAC ∠=︒,AH BC ⊥,垂足为点H ,若4AB =,3AC =,则线段CH 的长度为___________; 问题探究:(2)如图②,在四边形ABCD 中,90BAD C ∠=∠=︒,AB AD =,点F 为CD 边的中点,点E 是BC 边上的一点,连接AE ,AF ,EF .若45EAF ∠=︒,6BC =,2CD =,求线段EF 的长;问题解决:(3)如图③,在四边形ABCD 中,AD BC ∥,AB AD =,60ABC ∠=︒,90C ∠=︒,点M ,N 是BC 边上的两点,连接AM ,AN ,BD ,BD 交AM 于点E ,交AN 于点F .若30MAN ∠=︒,4BE =,6DF =,求AMN 的面积.7.如图,在平面直角坐标系中,抛物线264y ax ax =-+与x 轴的一个交点为()2,0A -,与y 轴的交点为C ,点B 为抛物线对称轴上一动点.(1)抛物线的函数表达式为________,抛物线的对称轴为________.(2)线段BC 绕点B 顺时针旋转90︒得到BP ,当点P 落在抛物线上时,求出点B 坐标. (3)当点B 在x 轴上时,M ,N 是抛物线上的两个动点,M 在N 的右侧,若以B ,C ,M ,N 四点为顶点的四边形是平行四边形,求出此时点M 的横坐标.8.如图,抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于A (﹣2,0)、B (6,0)两点,与y 轴交于点C .直线l 与抛物线交于A 、D 两点,与y 轴交于点E ,点D 的坐标为(4,3).(1)求抛物线的解析式与直线l 的解析式;(2)若点P 是抛物线上的点且在直线l 上方,连接PA 、PD ,求当△PAD 面积最大时点P 的坐标及该面积的最大值;(3)若点Q 是y 轴上的点,且∠ADQ =45°,求点Q 的坐标.9.如果抛物线2111y ax b x c =++与2222y ax b x c =++的顶点关于原点对称,则称它们是关联抛物线.已知2111y ax b x c =++经过点(4,9)且与y 轴交于点C (0,5),对称轴为直线1x =.(1)求抛物线1y 的关联抛物线2y 的解析式;(2)记抛物线2y 与x 轴交点为A 、B (A 在B 左侧),与y 轴交于点E ,顶点坐标为F ,求tan AFB ∠的值;(3)在2y 的对称轴上找一点G ,使1tan 2EBG ∠=,求点G 的坐标.10.如图,在ABCD中,90ABD∠=︒,45cmAD=,8cmBD=.点P从点A出发,沿折线AB BC-向终点C运动,点P在AB边、BC边上的运动速度分别为1cm/s、5cm/s.在点P的运动过程中,过点P作AB所在直线的垂线,交边AD或边CD于点Q,以PQ为一边作矩形PQMN,且2QM PQ=,MN与BD在PQ的同侧.设点P的运动时间为t(秒),矩形PQMN与ABCD重叠部分的面积为()2cmS.(1)求边AB的长.(2)当04t<<时,PQ=,当48t<<时,PQ=.(用含t的代数式表示)(3)当点M落在BD上时,求t的值.(4)当矩形PQMN与ABCD重叠部分图形为四边形时,求S与t的函数关系式.11.已知,如图,抛物线y=14-x2+bx+c与x轴正半轴交于A、B两点,与y轴交于点C,直线y=x﹣2经过A、C两点.(1)直接写出抛物线的解析式;(2)P为抛物线上一点,若点P关于直线AC的对称点Q落在y轴上,求P点坐标;(3)现将抛物线平移,保持顶点在直线y=x﹣114,若平移后的抛物线与直线y=x﹣2交于M、N两点.①求证:MN的长度为定值;②结合(2)的条件,直接写出△QMN的周长的最小值12.如图,已知正方形ABCD,将AD绕点A逆时针方向旋转到AP的位置,分别过点作,垂足分别为点E、F.(1)求证:;(2)联结,如果,求的正切值;(3)联结,如果,求n的值.13.在△ABC中,D为AC上一点,且AC=kAD,E是BC上一点,BD于AE相交于点O,若∠AOB+∠BAC=180°.(1)如图1,若∠BAC=120°,AB=AC.①找出与∠ABD相等的角,并证明;②求的值.(2)如图2,若BE=2CE,求的值.14.如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,B(0,n),点A在x轴的负半轴上,点C(m,0),且+|n﹣2|=0.(1)求∠BCO的度数;(2)点P从A点出发沿射线AO以每秒2个单位长度的速度运动,同时,点Q从B点出发沿射线BO以每秒1个单位长度的速度运动,设△APQ的面积为S,点P运动的时间为t,求用t表示S的代数式(直接写出t的取值范围);(3)在(2)的条件下,当点P在x轴的正半轴上,连接AQ、BP、PQ,∠BQP=2∠ABC=2∠OAQ,且四边形ABPQ的面积为25,求PQ的长.x2+bx+c与x轴交于A、B两点,点A、B分别位于原点左、右15.如图1,抛物线y=24两侧,且AO=2BO=4,过A点的直线y=kx+c交y轴于点C.(1)求k、b、c的值;(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△ACP为直角三角形?若存在,直接写出所有满足条件的点的坐标;若不存在,请说明理由;AM+OM的最小值.(3)如图2,点M为线段AC上一点,连接OM,求1216.如图,ABD△内接于O中,弦BC交AD于点E,连接CD,BG CD⊥交CD的延长线于点G,BG交O于点H,2∠=∠.ABC GBD(1)如图1,求证:DB 平分GDE ∠;(2)如图2,CN AB ⊥于点N ,CN =CG ,求证:AN =HG ;(3)如图3.在(2)的条件下,点F 在AE 上,连接BF 、CF ,且BF CF ⊥,2BCN CBF ∠=∠,BC =5.求AE 的长.17.如图,抛物线21=-++2y x bx c 的图象经过点C (0,2),交x 轴于点A (﹣1,0)和B ,连接BC ,直线y =kx +1与y 轴交于点D ,与BC 上方的抛物线交于点E ,与BC 交于点F .(1)求抛物线的表达式及点B 的坐标; (2)求EFDF的最大值及此时点E 的坐标; (3)在(2)的条件下,若点M 为直线DE 上一点,点N 为平面直角坐标系内一点,是否存在这样的点M 和点N ,使得以点B 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形?若存在,直接写出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.18.已知:如图1,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(4,0),点B 在y 轴的正半轴上,且tan∠OAB 34=,点P 是线段AB 上的一个动点,以点P 为圆心,PA 为半径作⊙P 交x 轴于C 点,记过点A 、B 、C 的抛物线顶点为D 点,设PA =5m .(1)求线段OA 和AB 的长.(2)①求用含字母m 的代数式来表示点C 的坐标.②当点C 在x 轴的正半轴上,且OC :PA =8:15时,求抛物线的解析式.(3)如图2,过点D 作DE ∥x 轴交y 轴于点E ,作直线CD 交y 轴于点F ,当⊙P 与△DEF 其中一边所在的直线相切时,求所有满足条件的m 的值.19.已知O 为ABC ∆的外接圆,AC BC =,点D 是劣弧AB 上一点(不与点A ,B 重合),连接DA ,DB ,DC .(1)如图1,若AB 是直径,将ACD ∆绕点C 逆时针旋转得到BCE ∆.若4CD =,求四边形ADBC 的面积;(2)如图2,若AB AC =,半径为2,设线段DC 的长为x .四边形ADBC 的面积为S . ①求S 与x 的函数关系式;②若点M ,N 分别在线段CA ,CB 上运动(不含端点),经过探究发现,点D 运动到每一个确定的位置.DMN ∆的周长有最小值t ,随着点D 的运动,t 的值会发生变化.求所有t 值中的最大值,并求此时四边形ADBC 的面积S .20.已知如图,在ABCD 中,点E 是AD 边上一点,连接,,,BE CE BE CE BE CE =⊥,点F 是EC 上一动点,连接BF .(1)如图1,当BF AB ⊥时,连接DF ,延长,BE CD 交于点K ,求证:FD DK =; (2)如图2,以BF 为直角边作等腰,90Rt FBG FBG ∠=︒△,连接GE ,若2,5DE CD ==,当点F 在运动过程中,求BEG 周长的最小值.【参考答案】**科目模拟测试一、解答题1.(1)(3,4);(2)OD =4,∠BAO =60°;(3)23π;(4)245或325【解析】 【分析】(1)先由BC AC =,CD 为AB 边上的高,根据等腰三角形三线合一的性质得出D 为AB 的中点,则142AD AB ==,然后在Rt ΔCAD 中运用勾股定理求出3CD =,进而得到点C 的坐标;(2)如图2,当4t =时即4AO =,先由D 为AB 的中点,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出142OD AB ==,则4OA OD AD ===,判定AOD ∆为等边三角形,然后根据等边三角形的性质求出60BAO ∠=︒;(3)从0=t 到4t =这一时段点D 运动路线是弧1DD ,由130D OD ∠=︒,4OD =,根据弧长的计算公式求解;(4)分两种情况:①C 与x 轴相切,根据两角对应相等的两三角形相似证明ΔΔCAD ABO ∽,得出AB AOCA CD=,求出AO 的值;②C 与y 轴相切,同理,可求出AO 的值. 【详解】解:(1)如图1,∵BC=AC,CD⊥AB,∴D为AB的中点,∴AD=12AB=4.在Rt△CAD中,CD3,∴点C的坐标为(3,4);(2)如图2,当t=4时,AO=4,在Rt△ABO中,D为AB的中点,OD=12AB=4,∴OA=OD=AD=4,∴△AOD为等边三角形,∴∠BAO=60°;(3)如图3,从t=0到t=4这一时段点D运动路线是弧DD1,其中,OD=OD1=4,又∵∠D1OD=90°﹣60°=30°,∴13042 1803DDππ⨯⨯==;(4)分两种情况:①设AO=t1时,⊙C与x轴相切,A为切点,如图4.∴CA⊥OA,∴CA∥y轴,∴∠CAD=∠ABO.又∵∠CDA=∠AOB=90°,∴Rt△CAD∽Rt△ABO,∴AB AOCA CD=,即1853t=,解得124 5t=;②设AO=t2时,⊙C与y轴相切,B为切点,如图5.同理可得,232 5t=.综上可知,当以点C为圆心,CA为半径的圆与坐标轴相切时,t的值为245或325.【点睛】本题考查了圆的综合题,涉及到等腰三角形的性质,勾股定理,直角三角形的性质,等边三角形的判定与性质,弧长的计算,直线与圆相切,切线的性质,相似三角形的判定与性质,综合性较强,有一定难度,其中第(4)问进行分类讨论是解题的关键.2.(1)证明见解析;(2)证明见解析,(3)157 BF=【解析】【分析】(1)连接OA并延长AO交BC于E,证明∠BAC=2∠BAE和∠ABD=∠BAE即可得结论,(2)利用直角三角形两锐角互余、圆周角定理进行导角,得出MCG△和△FCG是等腰三角形,得出BM=MC=FG=CG,MH=HG,进而由BF=BM+MH-FH=FG-FH+HG,得出结论;(3)过O点作OP⊥AC,由垂径定理得出12PD=,再由52ABOADOS AB BOS AD OD===和平行线分线段成比例定理求出7724DH DP==,由勾股定理进而可求BH,再利用相似三角形对应边成比例求出HG,即可得BF长.【详解】解:(1)连接OA并延长AO交BC于E,∵AB=AC,∴AB AC=,∵AE过圆心O,∴AE BC=,⊥,BE EC∴∠BAC=2∠BAE,∵OA=OB,∴∠ABD=∠BAE,∴∠BAC=2∠ABD;(2)如解图(2),连接OA并延长AO交BC于E,AE交BF于M,连接MC,设2∠=,则ABD BAE EACα∠=∠=∠=BACα∵AE=EC,AE⊥BC,∴BM=MC,∴∠MBC=∠MCB,∵BG⊥AC,AE⊥BC,∴∠EAC+∠ACE=90°,∠HBC+∠ACE=90°,∴EAC HBC MCBα∠=∠=∠=,∴2∠=∠+∠=,CMG MBC MCBα∵BC BC=,∴2∠=∠=,G BACα∴∠G=∠CMG,∴CG=CM=BM,∵AC⊥BG,∴MH =HG ,∵OA =OC ,∴ACO EAC α∠=∠=∴9090CFG ACO α∠=︒-∠=︒-,∵180FCG CFG G ∠=︒-∠-∠,即180(90)290FCG ααα∠=︒-︒--=︒-,∴FCG CFG ∠=∠,∴FG =CG ,∴BM =MC =FG =CG ,又∵MH =HG ,∴BF =BM +MH -FH =FG -FH +HG ,∴BF =2HG .(3)过O 点作OP ⊥AC ,如解图(3)∵AO 是∠BAC 的角平分线,∴点O 到AB 、AC 的距离相等, ∴ABO ADO SAB BO S AD OD==, ∵AD =2,CD =3,∴AB =AC =5, ∴5=2BO OD ,即:2=7OD BD , ∵OP ⊥AC ,∴52AP PC ==,12PD =, ∵BH AC ⊥, ∴OP //BH ,∴27DP OP OD DH BH BD ===, ∴7724DH DP ==, ∴154AH AD DH =+=,5-4HC DC DH ==, ∵在Rt ABH 中,2222155-=5-()744BH AB AH ==∵BAH G∠=∠,AHB GHC∠=∠,∴AHB GHC△△,∴AH BHHG CH=即:AH HC BH HG=,51544=⨯,∴HG=,由(2)得BF=2HG,∴BF=【点睛】本题是圆的综合题,主要考查了圆周角定理,涉及了相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识点,解题关键是利用同弧或等弧所对圆周角相等、直角三角形的两锐角相等找出图中角之间的关系,从而利用相似或勾股定理解题.3.(1;(2)S=()()220448tt⎧+≤≤⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩<;(3)存在,当t=247s或(32-s或163s时,△AMQ为等腰三角形.【解析】【分析】(1)首先求得CN的长,在直角△CNQ中利用三角函数即可求得NQ的长;(2)当0≤t≤4时,N在CD上,首先求得CQ,则AQ长即可求得,再根据△CAB=30°,AM=t,据此即可求得△AMQ的长;当4<t≤8时,利用相似求得AQ的长,进而求得△AMQ的面积,得到函数解析式;(3)分三种情形讨论求解即可.【详解】解:(1)当t=2时,CN=2×2=4,∵在△ACD中,AD=DC,∴∠DCA=1801202︒-︒=30°,在直角△CNQ中,NQ=CN•tan(2)由题意得,AM=t,当0≤t≤4时,CN=2t,∵∠D=120°,AB=CD=8,∴∠DCA=30°,连接BD ,与AC 相交于点定O ,过点Q 作QG ⊥AB 于点G ,∴OC =CD •cos30︒=43,则AC =83,∴在Rt △CNQ 中,NQ =233t ,CQ =433t , ∴AQ =AC -CQ =83-433t ,QG =12AQ , ∴S =12AM • QG =23233t t -+, 当4<t ≤8时,延长QN ,交AB 于G ,交CD 延长线于H ,如图:ND =2t -8,∠HDN =60°,∴HD =12ND =t -4, ∴CH =t -4+8=t +4,∴CQ =23cos30CH =︒(t +4), ∴AQ =AC -CQ 323t +4),QG =12AQ , S =12•AM • QG 2343=. 综上,S =()()223230434348t t t ⎧+≤≤⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩<; (3)①当0<t ≤4时,只有MA =MQ 符合条件,过点M 作ME ⊥AC 于点E ,则AE =EQ =AM •cos30︒=32t , ∴AQ =3t ,由(2)知AQ 343, 3433, 解得t =247; ②当4<t ≤8时,由(2)知AQ 323t +4), AQ =AM 时,)23834t +=t , 解得t 3AQ =MQ 时,AM 3, t )233834t ⎤+⎥⎦, 解得t =163. 综上所述,当t =247s 或(3s 或163s 时,△AMQ 为等腰三角形. 【点睛】本题考查了菱形的性质以及三角函数,正确进行分请情况进行讨论是关键.4.(1)CE DE 51-;(2)x 的值为22029或2019. 【解析】【分析】(1)如图,连接BE ,根据正方形的性质可得∠BAD =∠D =∠ABC =90°,AD =AB =BC =CD ,利用角的和差关系可得∠DAE =∠BAF ,利用SAS 可证明△DAE ≌△BAF ,可得DE =BF ,根据中点的性质可得S △FGB =S △EGB =12S △FBE ,根据S 1=14S ,S △FCE =S △FBG +S 1即可得答案; (2)如图,过点G 作GH ⊥BC 于H ,根据点G 为EF 中点可得GH 为△FCE 的中位线,可得GH =12EC ,由DE =x 可得EC =20-x ,即可得出y 与x 的关系式,根据EC BG =2413可得BG =1324EC ,利用勾股定理可得BH =5(20)24x -,根据∠DAE =∠BAF ,∠D =∠ABF 可证明△DAE ∽△BAF ,根据相似三角形的性质可得BF =2x ,分点H 在点B 左侧和右侧两种情况,根据FH =CH 列方程求出x 的值即可得答案.【详解】(1)如图,连接BE ,∵四边形ABCD 为正方形,∴∠BAD =∠D =∠ABC =90°,AD =AB =BC =CD ,∴∠DAE +∠BAE =90°,∠ABF =90°,∵AF ⊥AE ,∴∠BAF +∠BAE =90°,∴∠DAE =∠BAF ,在△DAE 和△BAF 中,DAE BAF AD AB D ABF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴△DAE ≌△BAF ,∴DE =BF ,∵点G 为EF 的中点,∴S △FGB =S △EGB =12S △FBE , ∵S 1=14S ,S △FCE =S △FBG +S 1, ∴S △FCE -S △FBG =14S 正方形ABCD , ∴12FC ·CE -12×12BF ·CE =14BC 2, ∵FC =BC +BF ,BC =CD =CE +DE , ∴2(CE +2DE )CE-DE ·CE =(CE +DE )2,整理得:CE 2+DE ·CE -DE 2=0,∵DE ≠0, ∴2()10CE CE DE DE+-=, 解得:CE DE或CE DE∴CE DE.(2)如图,过点G 作GH ⊥BC 于H ,∵∠C=∠ABF=90°,∴GH //CD ,∵点G 为EF 中点,∴GH 为△CFE 的中位线,∴GH =12CE ,∵DE =x ,GH =y ,CD =20,∴EC =CD -DE =20-x ,∴GH =12(CD -DE ),即y =12(20-x ),∴y 与x 的关系式为:y =12-x +10, ∵EC BG =2413, ∴BG =1324EC , 在Rt △GHB 中,BH 22GB GH -22131()()242EC EC -524EC =5(20)24x -, ∵∠DAE +∠BAE =90°,∠BAF +∠BAE =90°,∴∠DAE =∠BAF ,∵∠D =∠ABF =90°,∴△DAE ∽△BAF , ∴2010BF AB DE AD ==, ∴BF =2DE =2x ,当点H 在点B 左侧时,∵FH =CH ,∴BF -BH =BC +BH ,即2x -5(20)24x -=10+5(20)24x - 解得:x =22029,如图,当点H 在点B 右侧时,∵FH =CH ,∴BF +BH =BC -BH ,即2x +5(20)24x -=10-5(20)24x -, 解得:x =2019,综上所述:x 的值为22029或2019. 【点睛】 本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、中位线的性质及勾股定理,熟练掌握相似三角形的判定定理并灵活运用分类讨论的思想是解题关键.5.(1)2y x 2x 3=-++;(2)278;(3)存在,n =1或n 3+33- 【解析】【分析】(1)通过待定系数法求解函数解析式即可;(2)作DF ⊥x 轴于点F ,交BC 于点E ,根据12S DE OB =⋅求得S 关于m 的解析式,根据二次函数的性质求解即可;(3)过点P 作PB 的垂线,交抛物线于点1Q 和2Q ,作1Q M y ⊥轴于点M ,2Q N y ⊥轴于点N ,利用全等三角形的性质求解即可.【详解】解:(1)设函数关系式为2y ax bx c =++由题意,得A (-1,0),B (3,0),C (0,3)∴(1)(3)y a x x =+-把C (0,3)代入得,1a =-∴2y x 2x 3=-++(2)作DF ⊥x 轴于点F ,交BC 于点E设直线BC 关系式为y =kx +b ,代入(3,0),(0,3)得k =-1,b =3,∴y =-x +3∵点D 的横坐标为m ,则DF =223m m -++,EF =-m +3∴DE =23m m -+22133327(3)()22228S DE OB m m m =⋅=-+=--+∵302-<,∴S 的最大值是278(3)过点P 作PB 的垂线,交抛物线于点1Q 和2Q ,作1Q M y ⊥轴于点M ,2Q N y ⊥轴于点N∴1290Q MP Q NP BOP ∠=∠=∠=︒∵1190Q PM PQ M ∠+∠=︒,190Q PM BPO ∠+∠=︒,∴1PQ M BPO ∠=∠又∵1BP PQ =,∴1Q PM PBO △≌△∴1MQ OP n ==,3MP OB ==,∴1()3Q n n +,代入抛物线,得2323n n n +=-++解得11n =,20n =(舍去)同理,2PN Q PBO ≌,∴2Q (-n ,n -3)代入抛物线,得2323n n n =-+--解得1n =2n =舍去)综上,存在n 的值,n =1或n 【点睛】 此题考查了二次函数与几何的综合应用,涉及了待定系数法求解析式,二次函数的性质,全等三角形的判定与性质,解题的关键是熟练掌握二次函数以及全等三角形的判定与性质.6.(1)95;(2)257;(3)【解析】【分析】(1)利用勾股定理求出BC 的长,证明△AHC ∽△BAC ,推出AC CH BC AC =,即353CH =,求解即可;(2)过点A 作AM ⊥AE ,交CD 的延长线于M ,证明△BAE ≌△DAM ,推出BE=DM ,AE=AM ,再证明△EAF ≌△MAF ,得到EF=MF ,设BE=x ,则DM=x ,CE =6-x ,求得EF=MF=x +1,利用勾股定理得到222CE CF EF +=,222(6)1(1)x x =+-+,求出x 即可得到答案;(3)过点A 作AO BD ⊥,设AO x =,根据勾股定理列方程求得x ,分别讨论,求得ABN 为等边三角形,AM 为ABN 的角平分线,可得AMN 的面积为ABN 面积的一半,即可求解.【详解】解:(1)在ABC 中,90BAC ∠=︒,4AB =,3AC =,∴5BC ==,∵AH BC ⊥,∴∠AHC =90BAC ∠=︒,∵∠C=∠C,∴△AHC ∽△BAC ,∴AC CH BC AC =,即353CH =, ∴95CH =, 故答案为:95; (2)过点A 作AM ⊥AE ,交CD 的延长线于M ,∴∠EAM =90BAD ∠=︒,∴∠BAE=∠DAM ,∵90BAD C ∠=∠=︒,∴∠B +∠ADC =180°,∵∠ADM +∠ADC =180°,∴∠B =∠ADM∵AB=AD∴△BAE ≌△DAM∴BE=DM ,AE=AM ,∵45EAF ∠=︒,∴∠MAF =45EAF ∠=︒,又∵AF=AF ,∴△EAF ≌△MAF ,∴EF=MF ,设BE=x ,则DM=x ,CE =6-x ,∵点F 为CD 边的中点,2CD =,∴CF=DF =1,∴EF=MF=x +1,∵222CE CF EF +=,∴222(6)1(1)x x =+-+,解得187x =, ∴EF=x +1=1825177+=;(3)过点A 作AO BD ⊥,如下图:∵AB AD =,AD BC ∥,AO BD ⊥ ∴1302ABD ADB DBC ABC ∠=∠=∠=∠=︒,BO OD =,180BAD ABC ∠+∠=︒ ∴120DAB ∠=︒设AO x =,则2AB x =,cos303OD BO AB x ==⨯︒= ∴2310EF BO BE OD DF x =-+-=-36OF x =-,36BF BO OF x =+=-,又∵30EAF ABF ∠=∠=︒,AFE BFA ∠=∠∴FAE FBA △∽△ ∴AF FE BF FA=, ∴22(2310)(236)1232360AF EF BF x x x x =⨯=--=-+ 由勾股定理得:222222(36)412336FA AO OF x x x x =+=+-=-+ ∴2241233612360x x x x -+=-+,即225360x x -+= 解得23x =3x 当23x =6BO OD ==,点O 与点F 重合,∴AF BD ⊥,6BF DF ==,23AF AO ==∴2243AD AB AF DF ==+=又∵30ADB ∠=︒∴60DAN ∠=︒∴60BAN ∠=︒∴ABN 为等边三角形30MAN ∠=︒∴AM 平分BAN ∠cos306AM AB =⨯︒=11163222AMN ABN S S BN AM ==⨯⨯⨯=△△当3x 36AD =,32OB OD ==,310BD BE DF =<+=,不符合题意,综上,AMN 的面积为63 【点睛】此题考查了四边形的综合应用,涉及了全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理以及一元二次方程的求解,解题的关键是熟练掌握相关基本性质,构造出全等三角形和直角三角形.7.(1)20.25 1.54=-++y x x ,直线3x =;(2)12(3,3),(3,1)B B ;(3)M 的横坐标为32592±或436 【解析】【分析】(1)把()2,0A -代入函数解析式,求出a 的值即可得函数关系式,再进行配方可得函数的对称轴;(2)设(3,)B t ,过B 作BE y ⊥轴垂足为E ,过点P 作PF BE ⊥垂足为F ,证明≌CEB BFP 得3,4PF BE BF CE t ====-,可得(7,3)P t t -+,代入抛物线解析式得方程,求解即可;(3)分两种情况,根据平行四边形的判定与性质求解即可.【详解】解:(1)把()2,0A -代入264y ax ax =-+得,4+124=0a a +解得,a=-0.25∴抛物线的函数表达式为20.25 1.54=-++y x x ,由220.25 1.54=0.25(3) 6.25y x x x =-++-⨯-+∴抛物线的对称轴为直线3x =,故答案为:20.25 1.54=-++y x x ,直线3x =;(2)∵点B 为抛物线对称轴上一动点∴设(3,)B t过B 作BE y ⊥轴垂足为E ,过点P 作PF BE ⊥垂足为F∵90CBP ∠=︒,∴CBE BPF ∠=∠,∵,90=∠=∠=︒BC BP CEB BFP , ∴≌CEB BFP∴3,4PF BE BF CE t ====-∴(3,7)+-P t t ,∵点P 落在抛物线上,∴把(7,3)P t t -+代入20.25 1.54=-++y x x ,整理得2430t t -+=得121,3t t ==所以12(3,3),(3,1)B B(3)①如图,当BC 为边时,∵四边形BCNM 是平行四边形,∴//,=BC MN BC MN∵点B 向左平移3个单位,再向上平移4个单位得到点C ∴设点23,442⎛⎫-++ ⎪⎝⎭m m M m ,则N 坐标为233,842⎛⎫--++ ⎪⎝⎭m m m ∵点N 在抛物线上,∴把233,842⎛⎫--++ ⎪⎝⎭m m N m 代入23442=-++x x y 得223(3)3(3)844242---++=-++m m m m , 解得436=m ②如图,当BC 为对角线时,∵四边形BNCM 是平行四边形,∴,==CQ BQ NQ MQ∵(3,0),(0,4)B C ,∴(1.5,2)Q , ∴设点23,442⎛⎫-++ ⎪⎝⎭m m M m ,则N 坐标为233,42m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭∵点N 在抛物线上, ∴把233,42m m N m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入23442=-++x x y 得()()22333344242m m m m ---=-++,解得m =所以点M 或436. 【点睛】本题是二次函数综合题目,考查了二次函数解析式的求法、平行四边形的性质、平移的性质、解方程等知识;本题综合性强,有一定难度.8.(1)y 14=-x 2+x +3;y 12=x +1;(2)△PAD 的面积的最大值为274,P (1,154);(3)点Q 的坐标为(0,133)或(0,﹣9) 【解析】【分析】(1)由A (﹣2,0)、B (6,0)设抛物线的解析式为y =a (x +2)(x ﹣6),把D (4,3)的代入解析式解方程即可,再利用待定系数法求解一次函数的解析式;(2)如图1中,过点P 作PT y ∥轴交AD 于点T .设P (m ,14- m 2+m +3),则T (m ,12m +1),再利用面积列函数关系式,再利用二次函数的性质求解最值即可;(3)如图2中,将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AT ,则T (﹣5,6),设DT 交y轴于点Q ,则∠ADQ =45°,再求解直线DT 的解析式为y 13=-x 133+,作点T 关于AD 的对称点T ′(1,﹣6),求解直线DT ′的解析式为y =3x ﹣9,设DQ ′交y 轴于点Q ′,则∠ADQ ′=45°,从而可得答案.【详解】解:(1)∵抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于A (﹣2,0)、B (6,0)两点,∴设抛物线的解析式为y =a (x +2)(x ﹣6),∵D (4,3)在抛物线上,∴3=a (4+2)×(4﹣6),解得a 14=-,∴抛物线的解析式为y14=-(x+2)(x﹣6)14=-x2+x+3,∵直线l经过A(﹣2,0)、D(4,3),设直线l的解析式为y=kx+m(k≠0),则2043k mk m-+=⎧⎨+=⎩,解得,121km⎧=⎪⎨⎪=⎩,∴直线l的解析式为y12=x+1;(2)如图1中,过点P作PT y∥轴交AD于点T.设P(m,14-m2+m+3),则T(m,12m+1).∵S△PAD12=•(xD﹣xA)•PT =3PT,∴PT的值最大值时,△PAD的面积最大,∵PT14=-m2+m +312-m﹣114=-m212+m+214=-(m﹣1)294+,∵14-<0,抛物线开口向下,∴m=1时,PT的值最大,最大值为94,此时△PAD的面积的最大值为274,P(1,154).(3)如图2中,将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT,过D作DM x⊥轴于,M过T作TN x轴于,N90,,TNA AMD TAD AD AT90,TAN ATN TAN DAM,ATN DAM,ATN DAM≌6,3,235,TN AM AN DM ON∴T(﹣5,6),设DT 交y 轴于点Q ,则∠ADQ =45°,∵D (4,3),∴直线DT 的解析式为y 13=-x 133+, ∴Q (0,133),作点T 关于AD 的对称点T ', 同理可得T '(1,﹣6),则直线DT ′的解析式为y =3x ﹣9,设DQ ′交y 轴于点Q ′,则∠ADQ ′=45°,∴Q ′(0,﹣9),综上所述,满足条件的点Q 的坐标为(0,133)或(0,﹣9). 【点睛】本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质,一次函数的性质,待定系数法,等腰直角三角形的性质等知识,解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题,学会构造特殊三角形解决问题,属于中考压轴题.二次函数综合题中面积问题的解题通法:(1)直角坐标系中图形面积的求法,以“S 三角形=12×水平底×铅直高”为基础求解.(2)图形面积的数量关系:①找出所求图形的顶点,其中动点的坐标根据函数关系式用含未知数的代数式表示出来;②结合图形作辅助线,并将关键线段的长度用含未知数的代数式表示出来;③利用面积公式用含未知数的代数式表示出图形的面积;④列方程求解.(3)图形面积的最值,解题思路跟(1)中的前三步相同,然后利用函数的增减性求解.9.(1)22142y x x =+-;(2)125;(3)91,4G ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】(1)先计算1y 的解析式,再根据定义确定关联抛物线2y 的解析式;(2)连接AF ,过点B 作BH ⊥AF ,垂足为H ,设对称轴与x 轴的交点为M ,利用三角形的面积,勾股定理,三角函数的定义计算即可;(3)利用勾股定理,一次函数的解析式确定即可.【详解】(1)根据题意,得11115164912c a b c b a⎧⎪=⎪++=⎨⎪⎪-=⎩, 解得111215a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩,∴2211195(1)222y x x x =-+=-+, ∴抛物线的顶点坐标为(1,92), ∴抛物线2y 顶点坐标为(-1,-92), ∴抛物线2y 的解析式为2y =219(1)22x +- 即22142y x x =+-; (2) 22142y x x =+-,令0,y = 2140,2x x ∴+-= 解得:124,2,x x =-=()()4,0,2,0,A B ∴-连接AF ,过点B 作BH ⊥AF ,垂足为H ,设对称轴与x 轴的交点为M , 则M 是线段AB 的中点,且AB =2-(-4)=6,∴AM =BM =3,MF =92, ∴AF=, ∴1122AF BH MF AB •=,962BH =⨯, ∴BH∴AH∴HF AF AH =-=∴1813151312tan 13265BHAFB HF ∠==÷=;(3)如图,∵1tan tan 2EBG BEO ∠=∠=,∴EBG BEO ∠=∠,∴KE KB x ==,OK =4-x ,在直角三角形BOK 中,222BK OK OB =+,∴()22242x x =-+,解得52x =,OK =4-x =32,∴3(0)2K -,,设直线BG 的解析式为y =kx +b ,且过B (2,0),3(0)2K -,,∴2032k b b +=⎧⎪⎨=-⎪⎩, 解得3432k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩, ∴直线BK 的解析式为3342y x =-, 当1x =-时,得94y =-, ∴9(1)4G --,. 【点睛】本题考查了抛物线的解析式,对称轴,顶点坐标,三角函数,一次函数解析式的确定,熟练掌握新定义,灵活计算抛物线的顶点坐标,三角函数的定义,待定系数法是解题的关键.10.(1)4;(2)2,162t t -;(3)0.8或7.2;(4)()()()222800.8814,4781285127.28t t S t t t t t t t ⎧<≤⎪=-+≤<<≤⎨⎪-+≤<⎩【解析】【分析】(1)利用勾股定理直接计算即可;(2)先求解tan 2,sin BD BD A A AB AD =====再用含t 的代数式表示,,,AP PB PC 再利用三角函数建立方程求解两种情况下的PQ 即可;(3)分两种情况讨论:如图,当P 在AB 上,M 落在BD 上,如图,当P 在BC 上,M 落在BD 上,则,M D 重合,再利用矩形的性质结合三角函数可得结论;(4)如图,当M 第一次落在BD 上,即00.8t时,此时重叠部分的面积为四边形, 当14t ≤<时,重叠部分为四边形,如图, 当47t <≤时,此时重叠部分的面积为四边形,如图,当M 第2次落在BD 上时,7.2,t当7.28t 时,此时重叠部分的面积为四边形,再利用图形的性质列面积函数关系式即可.【详解】解:(1) 90ABD ∠=︒,AD =,8cm BD =,4.AB ∴===(2)当04t <<时,P 在AB 上,,AP t=90,4,8,ABD AB BD AD ∠=︒===825tan 2,sin ,545BD BD A A AB AD ∴===== 而四边形PQMN 为矩形, 90,,,QPN QPA PQ MN PN MQ ∴∠=︒=∠==2,PQ AP∴= 2,PQ t ∴=当48t <<时,P 在BC 上,如图,此时()54,PB t =-,ABCD ,,,A C AD BC ∴∠=∠= 45545855,PC BC PB t t =-=-+=-25sin 5855PQ PQ C PC t∴∠===-, 162.PQ t ∴=-故答案为:2,162t t -(3)如图,当P 在AB 上,M 落在BD 上,此时4,,AP PN AP PB QM PB +=+==2,QM PQ24,PB PQ t54,t 解得:0.8,t如图,当P 在BC 上,M 落在BD 上,则,M D 重合,4,CQ DQ CQ MQ162,PQ t 同理可得:18,2CQ PQ t 2324,MQ PQ t32484,t t解得:7.2.t(4)当M 第一次落在BD 上,即00.8t时,此时重叠部分的面积为四边形,如图,此时,2,24,AP t PQ t QM PQ t2248,S t t t当M 落在BC 上时,如图,同理可得:1,2,,4,24,2AP t PQ t MN BN MN t PB t QM PN PQ t AB ======-====44,t 解得:1,t =当14t ≤<时,重叠部分为四边形,如图,同理可得:,2,4,4,AP t PQ t PB t HQ ===-= ()2144?28,2S t t t t =-+=-+ 如图,当N 落在AD 上时,同理可得:162,8,2324,PQ t CQ t MQ PN PQ t 而4,PN CD3244,t 解得:7,t =当47t <≤时,此时重叠部分的面积为四边形,如图,此时44,DQ CQ t()()2144?1628,2S t t t t =-+-=-+ 当M 第2次落在BD 上时,7.2,t当7.28t 时,此时重叠部分的面积为四边形,如图,同理可得:162,22162,PQ t MQ PQ t2221628128512.S t t t综上:()()()222800.8814,4781285127.28t t S t t t t t t t ⎧<≤⎪=-+≤<<≤⎨⎪-+≤<⎩【点睛】本题考查的是平行四边形的性质,矩形的判定与性质,列面积函数关系式,锐角三角函数的应用,清晰的分类讨论是解题的关键.11.(1)213y x x 242=-+-;(2)P 点坐标为(6,2);(3)①2252 【解析】【分析】(1)求出A 、C 点的坐标,再将点代入y =14-x 2+bx +c ,即可得解; (2)先求∠OCA =45º,再由对称性可知PC ⊥y 轴,即可求出点P 的纵坐标,最后利用二次函数的解析式求出结果;(3)①先求出平移后的抛物线,再利用2111()44x m m --+-=x -2,得出2121224,43x x m x x m m +=-⋅=-+,最后利用两点之间的距离公式求解;②作KQ ⊥MN ,连接MK ,MP ,先得出KM =QN 即求KM +MP 的最小值,即KP 的长,最后根据△QMN 的周长的最小值即KQ +KP ,得解.【详解】解:(1)在y =x ﹣2中,令y =0,x =2;令x =0,y =-2;∴A (2,0),C (0,-2),代入y =14-x 2+bx +c 得104242b c c⎧=-⨯++⎪⎨⎪-=⎩,解得322b c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩, ∴抛物线的解析式为:213y x x 242=-+-; (2)如图,∵OA =OC =2, ∴∠OCA =45°,∵点P 关于直线AC 的对称点Q 在y 轴上,∴∠OCA =∠PCA =45°,∴PC ⊥y 轴,∴P 的纵坐标为-2,由2132242x x -=-+-; 解得16x =,20x =(舍去),∴P 点坐标为(6,2);(3)①设顶点为(m ,m ﹣114),平移后抛物线解析式为2111()44y x m m =--+-, 则2111()44x m m --+-=x -2, 22(42)430x m x m m +-+-+=,设1122(,),(,)M x y N x y ,则2121224,43x x m x x m m +=-⋅=-+,∴MN 22222121212121212()()()(22)2()8x x y y x x x x x x x x -+--+--++-22= ∴MN 的长度为定值22②如图,作KQ ⊥MN ,连接MK ,MP ,由题知P (6,2),Q (0,4),KQ =MN 2,则只需求QM +QN 的最小值即可,∵//,,KQ MN KQ MN =∴KM =QN 即求KM +MP 的最小值,即KP 的长,∵Q (0,4),KQ =22, ∴K (-2,2),∴KP =228445+=,∴△QMN 的周长的最小值为4522+.【点睛】本题考查了二次函数的综合应用,算了掌握二次函数的图象及性质,轴对称的性质,正确作出图形是解题的关键.12.(1)证明见解析;(2)23;(3)30【解析】【分析】(1)作CG ⊥CE ,交FD 延长线于G 点,可根据题意得出四边形FECG 为矩形,再结合矩形和正方形的性质推出△BCE ≌△DCG ,从而得到CE =CG ,即四边形FECG 为正方形,即可证得结论;(2)在(1)的基础之上,连接CF ,首先通过旋转的性质和三角形的内角定理推出△CEF 和△DFP 均为等腰直角三角形,进而利用相似三角形的判定与性质推出PF 和EF 之间的关系,从而表示出BE 的长度,即可求出∠BCE 的正切值,再根据余角的关系证明∠ABP=∠BCE,即可得出结论;(3)根据正方形的性质以及前面两个问题的求解过程推断出A、C、D、F四点共圆,即可得到在变化过程中,∠AFC始终为90°,从而在Rt△ACF中运用特殊角的三角函数值求解角度即可得出结论.(1):如图所示,作CG⊥CE,交FD延长线于G点,∵CE⊥BP,DF⊥BP,CG⊥CE,∴∠EFG=∠FEC=∠ECG=∠BEC=90°,∴四边形FECG为矩形,∠G=90°,∵四边形ABCD为正方形,∴∠BCD=90°,BC=DC,∵∠BCD=∠BCE+∠ECD,∠ECG=∠ECD+∠DCG,∴∠BCE+∠ECD=∠ECD+∠DCG,即:∠BCE=∠DCG,在△BCE和△DCG中,∴△BCE≌△DCG(AAS),∴CE=CG,∴四边形FECG为正方形,∴CE=EF;(2)解:如图所示,连接CF,由(1)知,CE=EF,CE⊥EF,则△CEF为等腰直角三角形,由旋转的性质得:∠PAD=n°,AP=AD,∴∠PAB=90°+n°,∠APD=12(180°-∠PAD)=90°-12n°,∵AP=AB,∴∠APB=12(180°-∠PAB)=45°-12n°,∴∠FPD=∠APD-∠APB=45°,∵DF⊥AB,∴∠DFP=90°,∴△DFP也为等腰直角三角形,PF=DF,∴△DFP∽△CEF,∵,∴,设PF= DF=x,则FE=CE=3x,由(1)知四边形CEFG为正方形,∴FG=FE=3x,∴DG=FG-DF=2x,∵△BCE≌△DCG,∴BE=DG=2x,∴在Rt△BEC中,,∵∠ABP+∠EBC=90°,∠EBC+∠BCE=90°,∴∠ABP=∠BCE,∴;(3)解:∵,∴如图所示,连接AF和对角线AC,由(2)可知,∠EFC=45°,∠EFD=90°,∴∠CFD=45°,∵AC为正方形ABCD的对角线,∴∠CAD=45°,AC2,∴∠CAD=∠CFD,∴点A、C、D、F四点共圆,∴∠AFC=∠ADC=90°,∵AF=22AB,∴AF=12AC,则在Rt△AFC中,,∵∠ACF为锐角,∴∠ACF=30°,∠FAC=90°-30°=60°,∵∠CAD=45°,∴∠FAD=60°-45°=15°,∵AP=AD,AF=AF,PF=DF,∴△AFP≌△AFD,∴∠FAD=∠FAP=15°,∴∠PAD=30°,∴n=30.【点睛】本题考查正方形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,以及旋转的性质和解直角三角形等,掌握图形的基本性质和判定方法,具有较强的综合分析能力是解题关键.13.(1)①∠ABD=∠CAE,证明见解析;②(2)【解析】【分析】(1)①由∠BAC=120°,得∠ADO+∠ABD=60°,由∠AOB+∠BAC=180°,得∠AOB=60°,进而命题得证;②作EF⊥BC交AC于F,设AD=a,则AB=AC=ka,CD=(k﹣1)•a,设EF=x,证明△AEF∽△BAD,进一步求得结果;(2)作EF//BD交AC于F,设AD=a,设OD=x,则AC=k•a,CD=(k﹣1)•a,△EFC∽△BDC,△AOD∽△AEF,进一步求得结果.(1)①∠ABD=∠CAE,理由如下:∵∠BAC=120°,∴∠ADO+∠ABD=60°,∵∠AOB+∠BAC=180°,。

中考数学压轴题100题精选及答案全3篇

中考数学压轴题100题精选及答案全3篇

中考数学压轴题100题精选及答案全第一篇:数与代数1.下列各组数中,哪一组数最大?A. \frac{1}{2} ,\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5}B. 0.99,0.999,0.9999,0.99999C. \sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{7}D. 1,10^2,10^3,10^42. 一个整数,十位数与各位数的和为9,再去掉该整数中的各位数,十位数与剩下的数字的和为40,该整数为__________。

A. 45B. 54C. 63D. 723. 已知 a+b=2, ab=-1,求a^2+b^2的值。

A. 3B. 5C. 7D. 94. 解方程 2x-5=3x+1。

A. x=-3.5B. x=-2C. x=2D. x=3.55. 有两个数,各位数字相同,但顺序颠倒,若它们的和为110,这两个数分别是多少?A. 47,74B. 49,94C. 56,65D. 59,956. 若x-3y=-7,x+4y=1,则y的值为__________。

A. -2B. -1C. 0D. 17. 16÷(a-2)=4,则 a 的值为__________。

A. 6B. 8C. 10D. 128. 若a:b=5:3,b:c=7:4,则a∶b∶c=__________。

A. 35:21:12B. 25:15:12C. 25:21:16D. 35:15:169. 若a+3b=5,3a-5b=7,则 a 的值为__________。

A. -2B. -1C. 0D. 110. 已知x+y=3,xy=2,则y的值为__________。

A. 1B. 2C. 3D. 4第二篇:几何图形11. 已知正方形 ABCD 的边长为6,以 BC 为边,画一个正三角形 BCE,连接 AE,AD,请问△ADE 和正方形 ABCD 的面积之比是多少?A. \frac{2}{9}B. \frac{1}{2}C. \frac{4}{9}D.\frac{5}{6}12. 把一张纸平整地放在桌上,在纸的中央画一个圆形,请问可以用多少个直径为5 厘米的圆去覆盖这个圆形(圆覆盖圆)?A. 1B. 2C. 3D. 413. 已知△ABC 是等腰三角形,AB=AC,E是BC中点,DE∥AC,AE=CD=2,求△ABC 的面积。

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历年中考数学压轴题及答案(精选)1.(2011年四川省宜宾市)已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A (-1,0)、B (0,3)两点,其顶点为D.(1) 求该抛物线的解析式;(2) 若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积;(3) △AOB 与△BDE 是否相似?如果相似,请予以证明;如果不相似,请说明理由.2. (11浙江衢州)已知直角梯形纸片OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示,四个顶点的坐标分别为O(0,0),A(10,0),B(8,32),C(0,32),点T 在线段OA 上(不与线段端点重合),将纸片折叠,使点A 落在射线AB 上(记为点A ′),折痕经过点T ,折痕TP 与射线AB 交于点P ,设点T 的横坐标为t ,折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S ;(1)求∠OAB 的度数,并求当点A ′在线段AB 上时,S 关于t 的函数关系式;(2)当纸片重叠部分的图形是四边形时,求t 的取值范围;(3)S 存在最大值吗?若存在,求出这个最大值,并求此时t 的值;若不存在,请说明理由.3. (11浙江温州)如图,在Rt ABC △中,90A ∠=,6AB =,8AC =,D E ,分别是边AB AC ,的中点,点P 从点D 出发沿DE 方向运动,过点P 作PQ BC ⊥于Q ,过点Q 作QR BA ∥交AC 于R ,当点Q 与点C 重合时,点P 停止运动.设BQ x =,QR y =.(1)求点D 到BC 的距离DH 的长;(2)求y 关于x 的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);(3)是否存在点P ,使PQR △为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的x 的值;若不存在,请说明理由.4.(11山东省日照市)在△ABC 中,∠A =90°,AB =4,AC =3,M 是AB 上的动点(不与A ,B 重合),过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N .以MN 为直径作⊙O ,并在⊙O 内作内接矩形AMPN .令AM =x .(1)用含x 的代数式表示△MNP 的面积S ;(2)当x 为何值时,⊙O 与直线BC 相切?(3)在动点M 的运动过程中,记△MNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ,试求y 关于x 的函数表达式,并求x 为何值时,y 的值最大,最大值是多少?5、(2007浙江金华)如图1,已知双曲线y=xk (k>0)与直线y=k ′x 交于A ,B 两点,点A 在第一象限.试解答下列问题:(1)若点A 的坐标为(4,2).则点B 的坐标为 ;若点A 的横坐标为m ,则点B 的坐标可表示为 ;(2)如图2,过原点O 作另一条直线l ,交双曲线y=xk (k>0)于P ,Q 两点,点P 在第一象限.①说明四边形APBQ 一定是平行四边形;②设点A.P 的横坐标分别为m ,n ,四边形APBQ 可能是矩形吗?可能是正方形吗?若可能,直接写出mn 应满足的条件;若不可能,请说明理由.6. (2011浙江金华)如图1,在平面直角坐标系中,己知ΔAOB 是等边三角形,点A 的坐标是(0,4),点B 在第一象限,点P 是x 轴上的一个动点,连结AP ,并把ΔAOP 绕着点A 按逆时针方向旋转.使边AO 与AB 重合.得到ΔABD.(1)求直线AB 的解析式;(2)当点P 运动到点(3,0)时,求此时DP 的长及点D 的坐标;(3)是否存在点P ,使ΔOPD 的面积等于43,若存在,请求出符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.7.(2011浙江义乌)如图1,四边形ABCD是正方形,G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合),以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连结BG,DE.我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系:(1)①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系;②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α,得到如图2、如图3情形.请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断.(2)将原题中正方形改为矩形(如图4—6),且AB=a,BC=b,CE=ka,CG=kb (a≠b,k>0),第(1)题①中得到的结论哪些成立,哪些不成立?若成立,以图5为例简要说明理由.(3)在第(2)题图5中,连结DG、BE,且a=3,b=2,k=12,求22BE DG+的值.8. (2011浙江义乌)如图1所示,直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与x轴负半轴上.过点B、C作直线l.将直线l平移,平移后的直线l与x轴交于点D,与y轴交于点E.(1)将直线l向右平移,设平移距离CD为t(t≥0),直角梯形OABC被直线l扫过的面积(图中阴影部份)为s,s关于t的函数图象如图2所示,OM为线段,MN为抛物线的一部分,NQ为射线,N点横坐标为4.①求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积;②当42<<t 时,求S 关于t 的函数解析式;(2)在第(1)题的条件下,当直线l 向左或向右平移时(包括l 与直线BC 重合),在直线..AB ..上是否存在点P ,使PDE ∆为等腰直角三角形?若存在,请直接写出所有满足条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.9.(2011山东烟台)如图,菱形ABCD 的边长为2,BD=2,E 、F 分别是边AD ,CD 上的两个动点,且满足AE+CF=2.(1)求证:△BDE ≌△BCF ;(2)判断△BEF 的形状,并说明理由;(3)设△BEF 的面积为S ,求S 的取值范围.10.(2011山东烟台)如图,抛物线21:23L y x x =--+交x 轴于A 、B 两点,交y 轴于M 点.抛物线1L 向右平移2个单位后得到抛物线2L ,2L 交x 轴于C 、D 两点.(1)求抛物线2L 对应的函数表达式;(2)抛物线1L 或2L 在x 轴上方的部分是否存在点N ,使以A ,C ,M ,N 为顶点的四边形是平行四边形.若存在,求出点N 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)若点P 是抛物线1L 上的一个动点(P 不与点A 、B 重合),那么点P 关于原点的对称点Q 是否在抛物线2L 上,请说明理由.11.2011淅江宁波)2011年5月1日,目前世界上最长的跨海大桥——杭州湾跨海大桥通车了.通车后,苏南A 地到宁波港的路程比原来缩短了120千米.已知运输车速度不变时,行驶时间将从原来的3时20分缩短到2时.(1)求A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程.(2)若货物运输费用包括运输成本和时间成本,已知某车货物从A 地到宁波港的运输成本是每千米1.8元,时间成本是每时28元,那么该车货物从A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元?(3)A 地准备开辟宁波方向的外运路线,即货物从A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港,再从宁波港运到B 地.若有一批货物(不超过10车)从A 地按外运路线运到B 地的运费需8320元,其中从A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与(2)中相同,从宁波港到B 地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是:一车800元,当货物每增加1车时,每车的海上运费就减少20元,问这批货物有几车?12.(2011淅江宁波)如图1,把一张标准纸一次又一次对开,得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸….已知标准纸...的短边长为a . (1)如图2,把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠:第一步 将矩形的短边AB 与长边AD 对齐折叠,点B 落在AD 上的点B 处,铺平后得折痕AE ;第二步 将长边AD 与折痕AE 对齐折叠,点D 正好与点E 重合,铺平后得折痕AF . 则:AD AB 的值是 ,AD AB ,的长分别是 , . ①标准纸“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸……都是矩形. ②本题中所求边长或面积都用含a 的代数式表示.(2)“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等?若相等,直接写出这个比值;若不相等,请分别计算它们的比值.(3)如图3,由8个大小相等的小正方形构成“L ”型图案,它的四个顶点E F G H ,,,分别在“16开”纸的边AB BC CD DA ,,,上,求DG 的长.(4)已知梯形MNPQ 中,MN PQ ∥,90M =∠,2MN MQ PQ ==,且四个顶点M N P Q ,,,都在“4开”纸的边上,请直接写出2个符合条件且大小不同的直角梯形的面积.13.(2011山东威海)如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB =7,CD =1,AD =BC =5.点M ,N 分别在边AD ,BC 上运动,并保持MN ∥AB ,ME ⊥AB ,NF ⊥AB ,垂足分别为E ,F .(1)求梯形ABCD 的面积;(2)求四边形MEFN 面积的最大值.(3)试判断四边形MEFN 能否为正方形,若能,求出正方形MEFN 的面积;若不能,请说明理由.14.(2011山东威海)如图,点A (m ,m +1),B (m +3,m -1)都在反比例函数xk y =的图象上. (1)求m ,k 的值;(2)如果M为x轴上一点,N为y轴上一点,以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形,试求直线MN的函数表达式.(3)选做题:在平面直角坐标系中,点P的坐标为(5,0),点Q的坐标为(0,3),把线段PQ向右平移4个单位,然后再向上平移2个单位,得到线段P1Q1,则点P1的坐标为,点Q1的坐标为.15.(2011湖南益阳)我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”,如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点,那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图12,点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点,已知点D的坐标为(0,-3),AB为半圆的直径,半圆圆心M的坐标为(1,0),半圆半径为2.(1) 请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式,并写出自变量的取值范围;(2)你能求出经过点C 的“蛋圆”切线的解析式吗?试试看;(3)开动脑筋想一想,相信你能求出经过点D 的“蛋圆”切线的解析式.16.(2011年浙江省绍兴市)将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中,(00)O ,,(60)A ,,(03)C ,.动点Q 从点O 出发以每秒1个单位长的速度沿OC 向终点C 运动,运动23秒时,动点P 从点A 出发以相等的速度沿AO 向终点O 运动.当其中一点到达终点时,另一点也停止运动.设点P 的运动时间为t (秒). (1)用含t 的代数式表示OP OQ ,;(2)当1t 时,如图1,将OPQ △沿PQ 翻折,点O 恰好落在CB 边上的点D 处,求点D 的坐标;(4) 连结AC ,将OPQ △沿PQ 翻折,得到EPQ △,如图2.问:PQ 与AC 能否平行?PE 与AC能否垂直?若能,求出相应的t 值;若不能,说明理由.17.(2011年辽宁省十二市)如图16,在平面直角坐标系中,直线33y x =--与x 轴交于点A ,与y 轴交于点C ,抛物线223(0)3y ax x c a =-+≠经过A B C ,,三点. (1)求过A B C ,,三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标;(2)在抛物线上是否存在点P ,使ABP △为直角三角形,若存在,直接写出P 点坐标;若不存在,请说明理由;(3)试探究在直线AC 上是否存在一点M ,使得MBF △的周长最小,若存在,求出M 点的坐标;若不存在,请说明理由.18.(2011年沈阳市)如图所示,在平面直角坐标系中,矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上,边OC 在y 轴的正半轴上,且1AB =,3OB =,矩形ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD .点A 的对应点为点E ,点B 的对应点为点F ,点C 的对应点为点D ,抛物线2y ax bx c =++过点A E D ,,.(1)判断点E 是否在y 轴上,并说明理由;(2)求抛物线的函数表达式;(3)在x 轴的上方是否存在点P ,点Q ,使以点O B P Q ,,,为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍,且点P 在抛物线上,若存在,请求出点P ,点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.19.(2011年四川省巴中市) 已知:如图14,抛物线2334y x =-+与x 轴交于点A ,点B ,与直线34y x b =-+相交于点B ,点C ,直线34y x b =-+与y 轴交于点E .(1)写出直线BC 的解析式. (2)求ABC △的面积.(3)若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动(不与A B ,重合),同时,点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动.设运动时间为t 秒,请写出MNB △的面积S 与t 的函数关系式,并求出点M 运动多少时间时,MNB △的面积最大,最大面积是多少?20.(2011年成都市)如图,在平面直角坐标系xOy 中,△OAB 的顶点A的坐标为(10,0),顶点B 在第一象限内,且AB =35,sin ∠OAB=55. (1)若点C 是点B 关于x 轴的对称点,求经过O 、C 、A 三点的抛物线的函数表达式; (2)在(1)中,抛物线上是否存在一点P ,使以P 、O 、C 、A 为顶点的四边形为梯形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)若将点O 、点A 分别变换为点Q ( -2k ,0)、点R (5k ,0)(k>1的常数),设过Q 、R 两点,且以QR 的垂直平分线为对称轴的抛物线与y 轴的交点为N ,其顶点为M ,记△QNM 的面积为QMN S ∆,△QNR 的面积QNR S ∆,求QMN S ∆∶QNR S ∆的值.21.(2011年乐山市)在平面直角坐标系中△ABC 的边AB 在x 轴上,且OA>OB,以AB 为直径的圆过点C 若C 的坐标为(0,2),AB=5, A,B 两点的横坐标X A ,X B 是关于X 的方程2(2)10x m x n -++-=的两根:(1) 求m ,n 的值(2) 若∠ACB 的平分线所在的直线l 交x 轴于点D ,试求直线l 对应的一次函数的解析式 (3) 过点D 任作一直线`l 分别交射线CA ,CB (点C 除外)于点M ,N ,则11CM CN+的值是否为定值,若是,求出定值,若不是,请说明理由22.(2011年四川省宜宾市)已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A (-1,0)、B (0,3)两点,其顶点为D. (1)求该抛物线的解析式;(2)若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积;(3)△AOB 与△BDE 是否相似?如果相似,请予以证明;如果不相似,请说明理由.(注:抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a bac a b 44,22)23.(天津市2011年)已知抛物线c bx ax y ++=232,(Ⅰ)若1==b a ,1-=c ,求该抛物线与x 轴公共点的坐标;(Ⅱ)若1==b a ,且当11<<-x 时,抛物线与x 轴有且只有一个公共点,求c 的取值范围;(Ⅲ)若0=++c b a ,且01=x 时,对应的01>y ;12=x 时,对应的02>y ,试判断当10<<x 时,抛物线与x 轴是否有公共点?若有,请证明你的结论;若没有,阐述理由.24.(2011年大庆市)如图①,四边形AEFG 和ABCD 都是正方形,它们的边长分别为a b ,(2b a ≥),且点F 在AD 上(以下问题的结果均可用a b ,的代数式表示). (1)求DBF S △;(2)把正方形AEFG 绕点A 按逆时针方向旋转45°得图②,求图②中的DBF S △; (3)把正方形AEFG 绕点A 旋转一周,在旋转的过程中,DBF S △是否存在最大值、最小值?如果存在,直接写出最大值、最小值;如果不存在,请说明理由.25. (2011年上海市)已知24AB AD ==,,90DAB ∠=,AD BC ∥(如图13).E 是射线BC 上的动点(点E 与点B 不重合),M 是线段DE 的中点.(1)设BE x =,ABM △的面积为y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域;(2)如果以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切,求线段BE 的长; (3)联结BD ,交线段AM 于点N ,如果以A N D ,,为顶点的三角形与BME △相似,求线段BE 的长.26. (2011年陕西省)某县社会主义新农村建设办公室,为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题,想在这三个地方的其中一处建一所供水站.由供水站直接铺设管道到另外两处.如图,甲,乙两村坐落在夹角为30的两条公路的AB 段和CD 段(村子和公路的宽均不计),点M 表示这所中学.点B 在点M 的北偏西30的3km 处,点A 在点M 的正西方向,点D 在点M 的南偏西60的23km 处.为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短,现有如下三种方案:方案一:供水站建在点M 处,请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值;方案二:供水站建在乙村(线段CD某处),甲村要求管道建设到A处,请你在图①中,画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图,并求其最小值;方案三:供水站建在甲村(线段AB某处),请你在图②中,画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图,并求其最小值.综上,你认为把供水站建在何处,所需铺设的管道最短?27.(2011年山东省青岛市)已知:如图①,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=4cm,BC =3cm,点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动,速度为1cm/s;点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,速度为2cm/s;连接PQ.若设运动的时间为t(s)(0<t<2),解答下列问题:(1)当t为何值时,PQ∥BC?cm),求y与t之间的函数关系式;(2)设△AQP的面积为y(2(3)是否存在某一时刻t,使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分?若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由;(4)如图②,连接PC,并把△PQC沿QC翻折,得到四边形PQP′C,那么是否存在某一时刻t,使四边形PQP′C为菱形?若存在,求出此时菱形的边长;若不存在,说明理由.28.(2011年江苏省南通市)已知双曲线kyx=与直线14y x=相交于A、B两点.第一象限上的点M(m,n)(在A点左侧)是双曲线kyx=上的动点.过点B作BD∥y轴于点D.过N(0,-n)作NC∥x轴交双曲线kyx=于点E,交BD于点C.(1)若点D坐标是(-8,0),求A、B两点坐标及k的值.(2)若B是CD的中点,四边形OBCE的面积为4,求直线CM的解析式.(3)设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点,且MA=pMP,MB=qMQ,求p-q的值.29.(2011年江苏省无锡市)一种电讯信号转发装置的发射直径为31km.现要求:在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点,每个点安装一个这种转发装置,使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市.问:(1)能否找到这样的4个安装点,使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求?(2)至少需要选择多少个安装点,才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求?答题要求:请你在解答时,画出必要的示意图,并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由.(下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图,供解题时选用)压轴题答案1.解:( 1)由已知得:310c b c =⎧⎨--+=⎩解得c=3,b =2∴抛物线的线的解析式为223y x x =-++ (2)由顶点坐标公式得顶点坐标为(1,4) 所以对称轴为x=1,A,E 关于x=1对称,所以E(3,0) 设对称轴与x 轴的交点为F所以四边形ABDE 的面积=ABO DFE BOFD S S S ∆∆++梯形=111()222AO BO BO DF OF EF DF ⋅++⋅+⋅ =11113(34)124222⨯⨯++⨯+⨯⨯ =9(3)相似如图,BD=2222112BG DG +=+= BE=22223332BO OE +=+= DE=22222425DF EF +=+=所以2220BD BE +=, 220DE =即: 222BD BE DE +=,所以BDE ∆是直角三角形所以90AOB DBE ∠=∠=︒,且22AO BO BD BE ==, 所以AOB DBE ∆∆.2. (1) ∵A ,B 两点的坐标分别是A(10,0)和B(8,32),∴381032OAB tan =-=∠, ∴︒=∠60OAB当点A ´在线段AB 上时,∵︒=∠60OAB ,TA=TA ´, ∴△A ´TA 是等边三角形,且A T TP '⊥,∴)t 10(2360sin )t 10(TP -=︒-=,)t 10(21AT 21AP P A -===',○2当6t 2<≤时,由图○1,重叠部分的面积EB A TP A S S S '∆'∆-=∵△A ´EB 的高是︒'60sin B A ,∴23)4t 10(21)t 10(83S 22⨯----=34)2t (83)28t 4t (8322+--=++-=当t=2时,S 的值最大是34;○3当2t 0<<,即当点A ´和点P 都在线段AB 的延长线是(如图○2,其中E 是TA ´与CB 的交点,F 是TP 与CB 的交点),∵ETF FTP EFT ∠=∠=∠,四边形ETAB 是等腰形,∴EF=ET=AB=4, ∴3432421OC EF 21S =⨯⨯=⋅=综上所述,S 的最大值是34,此时t 的值是2t 0≤<. 3. 解:(1)Rt A ∠=∠,6AB =,8AC =,10BC ∴=.点D 为AB 中点,132BD AB ∴==. 90DHB A ∠=∠=,B B ∠=∠.BHD BAC ∴△∽△,DH BD AC BC ∴=,3128105BD DH AC BC ∴==⨯=. (2)QR AB ∥,90QRC A ∴∠=∠=.C C ∠=∠,RQC ABC ∴△∽△, RQ QC AB BC ∴=,10610y x -∴=, 即y 关于x 的函数关系式为:365y x =-+.(3)存在,分三种情况:①当PQ PR =时,过点P 作PM QR ⊥于M ,则QM RM =.1290∠+∠=,290C ∠+∠=, 1C ∴∠=∠.84cos 1cos 105C ∴∠===,45QM QP ∴=, 1364251255x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴=,185x ∴=. ②当PQ RQ =时,312655x -+=, 6x ∴=.③当PR QR =时,则R 为PQ 中垂线上的点,于是点R 为EC 的中点,11224CR CE AC ∴===. tan QR BA C CR CA==, 366528x -+∴=,152x ∴=. 综上所述,当x 为185或6或152时,PQR △为等腰三角形. 4.解:(1)∵MN ∥BC ,∴∠AMN =∠B ,∠ANM =∠C .∴ △AMN ∽ △ABC .∴ AM AN AB AC =,即43x AN =. ∴ AN =43x . ……………2分 ∴ S =2133248MNP AMN S S x x x ∆∆==⋅⋅=.(0<x <4) ……………3分 (2)如图2,设直线BC 与⊙O 相切于点D ,连结AO ,OD ,则AO =OD =21MN .在Rt △ABC 中,BC =22AB AC +=5.由(1)知 △AMN ∽ △ABC . ∴ AM MN AB BC =,即45x MN =. ∴ 54MN x =, ∴ 58OD x =. …………………5分 过M 点作MQ ⊥BC 于Q ,则58MQ OD x ==. 在Rt △BMQ 与Rt △BCA 中,∠B 是公共角,∴ △BMQ ∽△BCA .∴ BM QM BC AC=. ∴ 55258324x BM x ⨯==,25424AB BM MA x x =+=+=.∴ x =4996. ∴ 当x =4996时,⊙O 与直线B C 相切.…………………………………7分故以下分两种情况讨论:① 当0<x ≤2时,2Δ83x S y PMN ==. ∴ 当x =2时,2332.82y =⨯=最大 ……………………………………8分② 当2<x <4时,设PM ,PN 分别交BC 于E ,F .∵ 四边形AMPN 是矩形,∴ PN ∥AM ,PN =AM =x .又∵ MN ∥BC ,∴ 四边形MBFN 是平行四边形.∴ FN =BM =4-x .∴ ()424PF x x x =--=-.又△PEF ∽ △ACB .∴ 2PEF ABC S PF AB S ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭. ∴ ()2322PEF S x ∆=-. ……………………………………………… 9分 MNP PEF y S S ∆∆=-=()222339266828x x x x --=-+-.……………………10分 当2<x <4时,29668y x x =-+-298283x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭. ∴ 当83x =时,满足2<x <4,2y =最大. ……………………11分 综上所述,当83x =时,y 值最大,最大值是2. …………………………12分 5. 解:(1)(-4,-2);(-m,-k m ) (2) ①由于双曲线是关于原点成中心对称的,所以OP=OQ,OA=OB,所以四边形APBQ一定是平行四边形②可能是矩形,mn=k 即可不可能是正方形,因为Op 不能与OA 垂直.解:(1)作BE ⊥OA ,∴ΔAOB 是等边三角形∴BE=OB ·sin60o =23,∴B(23,2)∵A(0,4),设AB 的解析式为4y kx =+,所以2342k +=,解得33k =-,的以直线AB 的解析式为 343y x =-+(2)由旋转知,AP=AD, ∠PAD=60o, ∴ΔAPD 是等边三角形,PD=PA=2219AO OP +=6. 解:(1)作BE ⊥OA ,∴ΔAOB 是等边三角形∴BE=OB ·sin60o =23,∴B(23,2)∵A(0,4),设AB 的解析式为4y kx =+,所以2342k +=,解得33k =-, 以直线AB 的解析式为343y x =-+ (2)由旋转知,AP=AD, ∠PAD=60o ,∴ΔAPD 是等边三角形,PD=PA=2219AO OP +=6. 解:(1)作BE ⊥OA ,∴ΔAOB 是等边三角形∴BE=OB ·sin60o =23,∴B(23,2)∵A(0,4),设AB 的解析式为4y kx =+,所以2342k +=,解得33k =-, 以直线AB 的解析式为343y x =-+ (2)由旋转知,AP=AD, ∠PAD=60o ,∴ΔAPD 是等边三角形,PD=PA=2219AO OP +=如图,作B E ⊥AO,DH ⊥OA,GB ⊥DH,显然ΔGBD 中∠GBD=30°∴GD=12BD=32,DH=GH+GD=32+23=532, ∴GB=32BD=32,OH=OE+HE=OE+BG=37222+= ∴D(532,72) (3)设OP=x,则由(2)可得D(323,22x x ++)若ΔOPD 的面积为:133(2)224x x += 解得:23213x -±=所以P(23213-±,0)(1)①,BG DE BG DE =⊥ ………………………………………………………………2分②,BG DE BG DE =⊥仍然成立 ……………………………………………………1分在图(2)中证明如下∵四边形ABCD 、四边形ABCD 都是正方形∴ BC CD =,CG CE =, 090BCD ECG ∠=∠=∴BCG DCE ∠=∠…………………………………………………………………1分 ∴BCG DCE ∆≅∆(SAS )………………………………………………………1分∴BG DE = CBG CDE ∠=∠又∵BHC DHO ∠=∠ 090CBG BHC ∠+∠=∴090CDE DHO ∠+∠= ∴090DOH ∠=∴BG DE ⊥ …………………………………………………………………………1分(2)BG DE ⊥成立,BG DE =不成立 …………………………………………………2分简要说明如下∵四边形ABCD 、四边形CEFG 都是矩形,且AB a =,BC b =,CG kb =,CE ka =(a b ≠,0k >)∴ BC CG b DC CE a==,090BCD ECG ∠=∠= ∴BCG DCE ∠=∠∴BCG DCE ∆∆………………………………………………………………………1分∴CBG CDE ∠=∠又∵BHC DHO ∠=∠ 090CBG BHC ∠+∠=∴090CDE DHO ∠+∠= ∴090DOH ∠=∴BG DE ⊥ ……………………………………………………………………………1分(3)∵BG DE ⊥ ∴22222222BE DG OB OE OG OD BD GE +=+++=+ 又∵3a =,2b =,k =12∴ 222222365231()24BD GE +=+++= ………………………………………………1分 ∴22654BE DG += ………………………………………………………………………1分(1)①2AB = ……………………………………………………………………………2分842OA ==,4OC =,S 梯形OABC =12 ……………………………………………2分 ②当42<<t 时,直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积=直角梯形OABC 面积-直角三角开DOE 面积2112(4)2(4)842S t t t t =--⨯-=-+-…………………………………………4分 (2) 存在 ……………………………………………………………………………………1分123458(12,4),(4,4),(,4),(4,4),(8,4)3P P P P P --- …(每个点对各得1分)……5分 对于第(2)题我们提供如下详细解答(评分无此要求).下面提供参考解法二: ① 以点D 为直角顶点,作1PP x ⊥轴同理在③二图中分别可得P点的生标为P(-4,4)(与①情形二重合舍去)、P(4,4),E点在A点下方不可能.综上可得P点的生标共5个解,分别为P(-12,4)、P(-4,4)、P(-83,4)、P(8,4)、P(4,4).下面提供参考解法二:以直角进行分类进行讨论(分三类): 第一类如上解法⑴中所示图22P DE y x b ∠=+为直角:设直线:,D 此时(-b,o),E(O,2b)的中点坐标为b (-,b)2,直线DE 的中垂线方程:1()22by b x -=-+,令4y =得3(8,4)2bP -.由已知可得2PE DE =即222232(8)(42)42b b b b ⨯-+-=+化简得2332640b b -+=解得 121883b b P P ==∴=3b,将之代入(-8,4)(4,4)、22(4,4)P -;第二类如上解法②中所示图22E DE y x b ∠=+为直角:设直线:,D 此时(-b,o),E(O,2b),直线PE 的方程:122y x b =-+,令4y =得(48,4)P b -.由已知可得PE DE =即2222(48)(42)4b b b b -+-=+化简得22(28)b b =-解之得 ,123443b b P P ==∴=,将之代入(4b-8,4)(8,4)、48(,4)3P - 第三类如上解法③中所示图22D DE y x b ∠=+为直角:设直线:,D 此时(-b,o),E(O,2b),直线PD 的方程:1()2y x b =-+,令4y =得(8,4)P b --.由已知可得PD DE =即2222844b b +=+解得12544b b P P ==-∴=,将之代入(-b-8,4)(-12,4)、 6(4,4)P -(6(4,4)P -与2P 重合舍去).综上可得P 点的生标共5个解,分别为P (-12,4)、P (-4,4)、P (-83,4)、 P (8,4)、P (4,4).事实上,我们可以得到更一般的结论: 如果得出AB a OC b ==、、OA h =、设b ak h-=,则P 点的情形如下11. 解:(1)设A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为x 千米, 由题意得1201023x x+=, ··························································································· 2分 解得180x =.A ∴地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为180千米. ··········································· 4分 (2)1.8180282380⨯+⨯=(元),∴该车货物从A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用为380元. ····················· 6分(3)设这批货物有y 车,由题意得[80020(1)]3808320y y y -⨯-+=,························································· 8分整理得2604160y y -+=,解得18y =,252y =(不合题意,舍去), ··························································· 9分∴这批货物有8车. ······························································································ 10分12. 解:(1)21244a a ,,. ················································································ 3分 (2)相等,比值为2. ·········· 5分(无“相等”不扣分有“相等”,比值错给1分) (3)设DG x =,在矩形ABCD 中,90B C D ∠=∠=∠=,90HGF ∠=,90DHG CGF DGH ∴∠=∠=-∠,HDG GCF ∴△∽△,12DG HG CF GF ∴==, 22CF DG x ∴==. ······························································································· 6分 同理BEF CFG ∠=∠.EF FG =, FBE GCF ∴△≌△,14BF CG a x ∴==-. ··························································································· 7分CF BF BC +=,12244x a x a ∴+-=, ················································································· 8分解得214x a -=. 即214DG a -=. ································································································· 9分 (4)2316a , ········································································································ 10分2271828a -. 12分∴ 6494738)2(7342+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=⋅=x x x EF ME S MEFN矩形. ……………………8分 当x =47时,ME =37<4,∴四边形MEFN 面积的最大值为649.……………9分(3)能. ……………………………………………………………………10分 由(2)可知,设AE =x ,则EF =7-2x ,ME =x 34. 若四边形MEFN 为正方形,则ME =EF . 即=34x 7-2x .解,得 1021=x . ……………………………………………11分∴ EF =21147272105x -=-⨯=<4. ∴ 四边形MEFN 能为正方形,其面积为251965142=⎪⎭⎫⎝⎛=MEFNS 正方形.∴ 6494738)2(7342+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=⋅=x x x EF ME S MEFN矩形. ……………………8分 当x =47时,ME =37<4,∴四边形MEFN 面积的最大值为649.……………9分(3)能. ……………………………………………………………………10分 由(2)可知,设AE =x ,则EF =7-2x ,ME =x 34. 若四边形MEFN 为正方形,则ME =EF . 即=34x 7-2x .解,得 1021=x . ……………………………………………11分 ∴ EF =21147272105x -=-⨯=<4. ∴ 四边形MEFN 能为正方形,其面积为251965142=⎪⎭⎫⎝⎛=MEFNS 正方形. 14.解:(1)由题意可知,()()()131-+=+m m m m . 解,得 m =3. ………………………………3分∴ A (3,4),B (6,2);∴ k =4×3=12. ……………………………4分 (2)存在两种情况,如图:①当M 点在x 轴的正半轴上,N 点在y 轴的正半轴 上时,设M 1点坐标为(x 1,0),N 1点坐标为(0,y 1).∵ 四边形AN 1M 1B 为平行四边形,∴ 线段N 1M 1可看作由线段AB 向左平移3个单位,再向下平移2个单位得到的(也可看作向下平移2个单位,再向左平移3个单位得到的).由(1)知A 点坐标为(3,4),B 点坐标为(6,2),∴ N 1点坐标为(0,4-2),即N 1(0,2); ………………………………5分 M 1点坐标为(6-3,0),即M 1(3,0). ………………………………6分设直线M 1N 1的函数表达式为21+=x k y ,把x =3,y =0代入,解得321-=k .∴ 直线M 1N 1的函数表达式为232+-=x y . ……………………………………8分②当M 点在x 轴的负半轴上,N 点在y 轴的负半轴上时,设M 2点坐标为(x 2,0),N 2点坐标为(0,y 2).∵ AB ∥N 1M 1,AB ∥M 2N 2,AB =N 1M 1,AB =M 2N 2, ∴ N 1M 1∥M 2N 2,N 1M 1=M 2N 2.∴ 线段M 2N 2与线段N 1M 1关于原点O 成中心对称.∴ M 2点坐标为(-3,0),N 2点坐标为(0,-2). ………………………9分设直线M 2N 2的函数表达式为22-=x k y ,把x =-3,y =0代入,解得322-=k ,∴ 直线M 2N 2的函数表达式为232--=x y .所以,直线MN 的函数表达式为232+-=x y 或232--=x y . ………………11分 (3)选做题:(9,2),(4,5). ………………………………………………2分 15. 解:(1)解法1:根据题意可得:A (-1,0),B (3,0);则设抛物线的解析式为)3)(1(-+=x x a y (a ≠0)又点D (0,-3)在抛物线上,∴a (0+1)(0-3)=-3,解之得:a =1∴y =x 2-2x -3 ····························································································· 3分 自变量范围:-1≤x ≤3 ············································································· 4分解法2:设抛物线的解析式为c bx ax y ++=2(a ≠0)根据题意可知,A (-1,0),B (3,0),D (0,-3)三点都在抛物线上∴⎪⎩⎪⎨⎧-==++=+-30390c c b a c b a ,解之得:⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a∴y =x 2-2x -3 ········································································ 3分 自变量范围:-1≤x ≤3······················································· 4分(2)设经过点C “蛋圆”的切线CE 交x 轴于点E ,连结CM , 在Rt △MOC 中,∵OM =1,CM =2,∴∠CMO =60°,OC =3 在Rt △MCE 中,∵OC =2,∠CMO =60°,∴ME =4∴点C 、E 的坐标分别为(0,3),(-3,0) ············································ 6分∴切线CE 的解析式为3x 33y +=····················································· 8分(3)设过点D (0,-3),“蛋圆”切线的解析式为:y =kx -3(k ≠0) ················· 9分由题意可知方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=-=3232x x y kx y 只有一组解 即3232--=-x x kx 有两个相等实根,∴k =-2 ······································· 11分 ∴过点D “蛋圆”切线的解析式y =-2x -3 ·············································· 12分(2)当1t =时,过D 点作1DD OA ⊥,交OA 于1D ,如图1,则53DQ QO ==,43QC =, 1CD ∴=,(13)D ∴,. (3)①PQ 能与AC 平行.若PQ AC ∥,如图2,则OP OA OQ OC=, 即66233t t -=+,149t ∴=,而703t ≤≤,149t ∴=. ②PE 不能与AC 垂直.若PE AC ⊥,延长QE 交OA 于F ,如图3, 则23335t QF OQ QF AC OC +==.253QF t ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭. EF QF QE QF OQ ∴=-=-22533t t ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2(51)(51)3t =-+-. 又Rt Rt EPF OCA △∽△,PE OC EF OA ∴=, 6326(51)3t t -∴=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭, 3.45t ∴≈,而703t ≤≤, t ∴不存在.17. 解:(1)直线33y x =--与x 轴交于点A ,与y 轴交于点C .(10)A ∴-,,(03)C -, ··························································································· 1分点A C ,都在抛物线上,。

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