现代控制理论习题集

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现代控制理论习题集序为了帮助同学们更好地学习《现代控制理论》这门大学自动化专业的主干基础课程，在王整风老师的指导下，我们共同编写了这本基于刘豹版本教材的习题集，希望能让大家拥有做题不仅仅注重题目答案，更关注解题过程的意识。

本书第一章由张胜编写，第二章由何新礼编写，第三章由刘洋编写，第四章由邢雅琪编写，第五章由孙峰编写，由宋永康和王彦明统稿，在此向王老师和以上同学表示感谢。

由于时间仓促，本习题集难免有不当之处，个别题目的解法并不唯一，解题过程难免有错误、疏漏的地方，恳请大家批评指正。

编者2013年6月目录第一章控制系统的状态空间表达式 (1)第二章控制系统状态空间表达式的解 (13)第三章线性控制系统的能控性和观性 (21)第四章稳定性与李亚普诺夫方法 (33)第五章线性定常系统综合 (38)第一章控制系统的状态空间表达式张胜1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。

解：直接对系统方块结构图转化得系统的模拟结构图如下：可得系统的状态方程：故系统的状态空间表达式为：1-2 有电路如图1-28所示。

以电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容上的R上的电压作为输出量的输出方程。

电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2解：易得系统为3维单输入单输出系统：假定流过c U 上的电流向下，对图中的两个回路由KVL 得：解得213.11x Cx C x -=转化成矩阵形式为：1-4 两输入21,u u ，两输出21,y y 的系统。

其结构模拟图如图1.30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。

解：令11y u -前向通道上积分号后的状态变量分别为12,x x ；22y u -前向通道上积分号后的状态变量分别为4,3x x 。

由于系统为四维，两输入，两输出系统，故系统阵A 为4×4阶，输入阵B 为4×2阶，输出阵C 为2×4阶。

由图得，系统的状态空间表达式如下：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡43212101000001x x x x y y由可求得系统传递函数阵。

《现代控制理论》课后习题全部答案(最完整打印版)

第一章习题答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。

11K s K K p +sK s K p 1+s J 11sK n 22s J K b -++-+-)(s θ)(s U 图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：)(s U )(s θ---+++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图1K pK K 1pK K 1+++pK n K ⎰⎰⎰11J ⎰2J K b ⎰⎰-1x 2x 3x 4x 5x 6x系统的状态方程如下：u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n p b1611166131534615141313322211+--=+-==++--===∙∙∙∙∙∙阿令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙∙∙∙∙654321165432111111112654321000001000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp npb1-2有电路如图1-28所示。

以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。

R1L1R2L2CU---------Uc---------i1i2图1-28 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：∙∙∙+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=∙∙∙写成矢量矩阵形式为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000*********x x x R y u L x x x CCL L R L L R x x x 。

《现代控制理论》课后习题全部答案(最完整打印版)

第一章习题答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。

以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。

现代控制理论习题集

2.6对线性定常系统，已知
求系统矩阵A。
2.7已知线性时变系统的系统矩阵如下，计算状态转移矩阵。
1）；2）
2.8给定系统和其伴随方程，其状态转移矩阵分别用和表示，证明：。
2.9求解下列系统的状态响应。
2.10已知如下离散时间系统，，是从单位斜坡函数t采样得到的，求系统的状态响应。
6.5设系统状态方程及初始条件为：
中断状态受如下约束
试求最优控制是下列性能指标
取极小值，且求出最优轨线。
6.6设一阶离散系统方程为
边界条件为：。试求最优控制序列，使下列性能指标
取极小值，并求出状态序列。
6.7设系统状态方程及边界条件为:
; ,
试求最优控制是指标取极值，并求出最优轨线及最优性能指标。
试求该系统状态空间表达式的对角线标准形。
1.3考虑由下式定义的系统：
式中
试将该系统的状态空间表达式变换为能控标准形。
1.4考虑由下式定义的系统：
式中
试求其传递函数Y(s)/U(s)。
1.5考虑下列矩阵：
试求矩阵A的特征值λ1,λ2,λ3和λ4。再求变换矩阵P，使得
第二章
2.1用三种方法计算下列矩阵A的矩阵指数函数。
5.7考虑习题4.8定义的系统。假设输出y是可以准确量测的。试设计一个最小阶观测器，该观测器矩阵所期望的特征值为，即最小阶观测器所期望的特征方程为。
5.8给定线性定常系统
式中
假设该系统的结构与图4.5所示的相同。试设计一个全维状态观测器，该观测器的期望特征值为。
5.9给定线性定常系统
该观测器增益矩阵的一组期望的特征值为。试设计一个全维观测器。
2.11已知如下离散时间系统，试求，使系统能在第二个采样时刻转移到原点。

现代控制理论习题

现代控制理论习题《现代控制理论》练习题判断题1. 由⼀个状态空间模型可以确定惟⼀⼀个传递函数。

3. 对⼀个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也⼀定是输出能控的。

4. 对系统Ax x= ，其Lyapunov 意义下的渐近稳定性和矩阵A 的特征值都具有负实部是⼀致的。

5. 对⼀个系统，只能选取⼀组状态变量；6. 由状态转移矩阵可以决定系统状态⽅程的系统矩阵，进⽽决定系统的动态特性；7. 状态反馈不改变系统的能控性。

8. 若传递函数B A sI C s G 1)()(--=存在零极相消，则对应状态空间模型描述的系统是不能控的；9. 若线性系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则它是⼤范围渐近稳定的；10. 相⽐于经典控制理论，现代控制理论的⼀个显著优点是可以⽤时域法直接进⾏系统的分析和设计。

11. 传递函数的状态空间实现不唯⼀的⼀个主要原因是状态变量选取不唯⼀。

12. 状态变量是⽤于完全描述系统动态⾏为的⼀组变量，因此都是具有物理意义。

13. 等价的状态空间模型具有相同的传递函数。

14. 互为对偶的状态空间模型具有相同的能控性。

15. ⼀个系统的平衡状态可能有多个，因此系统的李雅普诺夫稳定性与系统受扰前所处的平衡位置⽆关。

16. 若⼀线性定常系统的平衡状态是渐近稳定的，则从系统的任意⼀个状态出发的状态轨迹随着时间的推移都将收敛到该平衡状态。

17. 反馈控制可改变系统的稳定性、动态性能，但不改变系统的能控性和能观性。

18. 如果⼀个系统的李雅普诺夫函数确实不存在，那么我们就可以断定该系统是不稳定的。

填空题l ．系统状态完全能控是指。

2．系统状态的能观性是指。

3．系统的对偶原理：。

4．对于⼀个不能控和不能观的系统，按系统结构标准分解为、、、、的四个⼦系统。

5．对于单输⼊单输出系统，系统能控、能观的充要条是是。

7．系统平衡状态的渐近稳定性的定义为：。

10．受控系统∑),,(C B A ，采⽤状态反馈能镇定的充分必要条件是。

现代控制理论基础(习题)

现代控制理论基础（习题）1-4. 两输入1u 、2u ，两输出1y 、2y 的系统，其模拟结构图如下所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。

解：状态方程111220312135133442423x a x a x a x b u x x x a x a x a x b u xx x =---+⎧⎪=⎨=---+⎪=+⎩输出方程为{1224y xy x ==整理有1261125342001000000001100001000001a a a b u x x u a a a b y x ⎧---⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎪⎝⎭⎪ ⎪⎨⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩求传函：1121126153420010000()()00010000001001000000010001100b G s sI A b s a a a b s a s a a b s --⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪=-⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭125342616122234534213415622346242260100det()det 001100(1)(1)det 0(1)det 1101()()()()s a a a s sI A a s a a s a a s a a s a a s a s a a s s a s s a a a a a s s a s a a s a s a a sa s a +++⎛⎫ ⎪- ⎪-= ⎪+ ⎪--⎝⎭+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-⋅-⋅++-⋅⋅+ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭=+-++++++-=+432222346241313441564221313562414232446()()()()a s a a a a s a a s a a s a s a a s a a s s a a s a a a a a a s a a a a s a a a a -+++++++-=+++-+++++-121223141243()b a b a G s b a b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭322134a s a s a s =++ 4153(1)a a s a=-+ 236a a s =- 243126a s a s a a =++- 213141622511321222621()det()(1)b s a b s a b a b s G s sI A a b s b a b s a b s a b a b ⎛⎫++-= ⎪--+++-⎝⎭1-5. 系统的动态特性由下列微分方程描述（1）5732y y y y u u +++=+（2）57332y y y y u u u +++=++列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。

《现代控制理论》第三版_.习题答案

或者
1 0 0 3 1 0 5 2 1 52 7 1 5 2 70 125 3 5 7 5 0 0 1 1 B 2 ； 2 5 5
1 0 a1 0 0 1 0 1 0 0 1 a2 3 7 5
0 B 0 1
C (b0 a0bn ) (bn1 an1bn ) 2 1 0
3 1 a 或者 2 2 1 a1 0 a0
e At I At 1 22 1 33 A t A t 2! 3! t2 t4 t6 t3 t5 1 4 16 64 , 4 16 t 2! 4! 6! 3! 5! 3 5 2 4 6 t t t t t t 4 16 64 , 1 4 16 64 3! 5! 2! 4! 6!
0 0 1 B M 1 0 0 0 0 1 M2
1 0 B 1 M1 B1 M2
1 B1 M1 B1 B2 M2
0
0 0 1 0 C 0 0 0 1
1－5. 根据微分方程，写状态方程，画模拟结构图。
1 a2 a2 2 a1 3 2 a a a 1 2 2 a0
1 a2 a1
1 a2
12 b1 b0
b3 b 2 b1 1 b0
凯莱哈密顿法： 1,2 2 j
0 (t ) 1 1 e1t 1 2(e 2 jt e 2 jt ) (t ) 1 2t 4 2 jt 2 jt e j ( e e ) 2 1

《现代控制理论》课后习题全部答案最完整打印版.pdf

第一章习题答案
1-1试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。

解：系统的模拟结构图如下：
系统的状态方程如下：
阿
令，则
所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为
状态变量的状态方程，和以电阻上的电压作为输出量的输出方程。

解：由图，令，输出量
有电路原理可知：既得
写成矢量矩阵形式为：
1-3参考例子1-3（P19）.
1-4两输入，，两输出，的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空
间表达式和传递函数阵。

解：系统的状态空间表达式如下所示：
1-5系统的动态特性由下列微分方程描述
列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。

解：令，则有
相应的模拟结构图如下：
1-6（2）已知系统传递函数,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图
解：
1-7给定下列状态空间表达式
（1）画出其模拟结构图
（2）求系统的传递函数
解：
（2）
1-8求下列矩阵的特征矢量
（3）
解：A的特征方程
解之得：
当时，
解得：令得
（或令，得）
当时，
解得：令得（或令，得）
当时，
解得：令得
1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）
（2）
解：A的特征方程
当时，
解之得令得
当时，
解之得令得
当时，
解之得令得。

《现代控制理论》课后习题全部答案(最完整打印版)

第一章习题答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。

以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。

现代控制理论习题集及解答（后两部分）

2
16（北航2002）已知两个系统S1和S2的状态方程及输出方程分别为：
S1 :
X1
=
⎡0 ⎢⎣−3
1⎤ −4⎥⎦
X1
+
⎡0⎤ ⎢⎣1⎥⎦
u1
y1 = [1
−1] X 1
S2 : x2 = −2x2 + u2 y2 = x2 若两个系统按串联方式连接： u1 S1 y1, u2 S2 y2
（1）求串联系统S的状态方程及输出方程;
+
⎡0⎤ ⎢⎣1⎥⎦
u1
,
y1 = [1
−1] X1
显然状态完全能控（思考为什么？）
∵
⎡C ⎤ ⎢⎣CA⎥⎦
=
⎡2 ⎢⎣−3
1⎤ −2⎥⎦
满秩，故状态完全能观测。
系统S2 ： x2 = −2x2 + u2 , y2 = x2
状态完全能控且状态完全能观测。
⎡0 1 −4⎤
系统S ： ∵ ⎡⎣B
AB
A2B⎤⎦ = ⎢⎢1
⎢⎣ 1 0 −1⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦
y = [1 1 0]x
⎡c⎤
⎡1 1 0⎤
解：
rank
⎢ ⎢
cA
⎥ ⎥
=
rank
⎢⎢−1
−3
−1⎥⎥ = 3 = n
⎢⎣cA2 ⎥⎦
⎢⎣ 0 5 0 ⎥⎦
⎡2 0 0⎤ (2)x = ⎢⎢0 2 0⎥⎥ x,
⎢⎣0 3 1⎥⎦
y = [1 1 1]x
⎡c⎤
⎡1 1 1⎤
可绘出状态变量图:
y1 = [1
−1] X 1
由图可得，
⎡ 0 1 0 ⎤ ⎡0⎤
Z = ⎢⎢−3 −4

现代控制理论经典习题

第一周绪论1、我国人民哪些发明属于在经典控制理论萌芽阶段的发明？（AB）A指南车B水运仪象台C指南针D印刷术2、经典控制理论也可以称为（BD）A现代控制理论B自动控制理论C近代控制理论D古典控制理论3、以下哪些内容属于现代控制理论基础的内容？（AB）A李雅普诺夫稳定性理论B极小值原理C频率响应法D根轨迹法4、传递函数模型假设模型初值不为零。

（X）5、传递函数描述的是单输入单输出的外部描述模型。

（X）6、线性系统理论属于现代控制理论的知识体系中数学模型部分。

（，）7、最优控制理论属于现代控制理论的知识体系中估计方法部分。

（X）8、控制科学的意义下，现代控制理论主要研究（数学建模）和（控制理论方法）的科学问题。

9、现代控制理论在整个控制理论发展中起到了（承上启下）的作用。

10、除了稳定性外，现代控制理论基础还考虑系统（能控性）和（能观测性）两个内部特性。

一、现代控制理论作为一门科学技术，已经得到了广泛的运用。

你还知道现代控制理论具体应用到哪些具体实际的例子么？第二周状态空间描述下的动态方程1、关于输出方程，下列哪些说法是正确的？（BD）A输出方程中状态变量必须是一阶的B输出方程中不含输入的任何阶倒数C输出方程中输入变量可以是任意阶的D输出方程中不含状态变量的任何阶倒数2、关于系统的动态方程，下列哪些说法是正确的？（AB）A系统的状态方程的状态变量的个数是惟一的B系统输出方程的输入输出变量是惟一的C系统输出方程的输入输出变量是不惟一的D系统的状态方程的状态变量是惟一的3、对于一个有多个动态方程表示的系统，下列说法正确的是？（AC）A这些动态方程一定是等价的B这些动态方程经过线性变化后，不能转化为一个动态方程C这些动态方程经过线性变化后，可以转化为一个动态方程D这些动态方程不一定是等价的4、选取的状态向量是线性相关的（X）5、状态向量的选取是不唯一的（/）6、状态向量的个数是不唯一的（X）7、输出方程的选取是不唯一的（/）8、（系统的输出量与状态变量、输入变量关系的数学表达式）称为输出方程。

现代控制理论》课后习题答案(完整版)

现代控制理论》课后习题答案(完整版)试求图1-27所示系统的状态空间表达式和输出方程表达式。

解：系统的模拟结构图如下：image.png]()根据模拟结构图，可以列出系统的状态方程：begin{cases} \dot{x}_1 = -2x_1 + 3x_2 + u \\ \dot{x}_2 = -x_1 + 2x_2 \end{cases}$$其中，$u$为输入量，$x_1$和$x_2$为状态变量。

将状态方程写成矩阵形式：begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -2 & 3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} u$$系统的输出方程为：y = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$$因此，系统的状态空间表达式为：begin{cases} \dot{x} = Ax + Bu \\ y = Cx \end{cases}$$其中。

A = \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}。

B =\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}。

C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}$$输出方程表达式为：y = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$$因此，系统的状态空间表达式和输出方程表达式为：begin{cases} \dot{x} = \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ -1 & 2\end{bmatrix} x + \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} u \\ y = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} x \end{cases}$$对于下面的文章，我们首先删除了明显有问题的段落，然后进行了小幅度的改写和格式修正。

现代控制理论试习题(详细答案

现代控制理论试题B 卷及答案一、1 系统[]210,01021x x u y x ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦能控的状态变量个数是，能观测的状态变量个数是cvcvx 。

2试从高阶微分方程385y y y u ++=求得系统的状态方程和输出方程（4分/个）解 12。

…..233118x x x x y x ==--=010080x ⎡⎢=⎢⎢-⎣分） 00⎣(5分)解 1．答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++-，时系统从第k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。

若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。

…..….…….（3分）2.[][]320300020012 110-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=CA ………..……….（1分） [][]940300020012 3202=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=CA ……..……….（1分） ⎤⎡⎤⎡110C 1分）0140x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ()⎥⎦⎢⎢⎢⎣-=-8181881C U ……..…………..…….…….（1分） 11188P ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦……..………….…..…….…….（1分） ⎦⎤⎢⎣⎡=43412P ……..………….…...…….…….（1分）1314881148P -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦..………….…...…….…….（1分） 101105C A PAP -⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦………….…...…….…….（1分） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==1011 43418181Pb b C ……….…...…….…….（1分）1分）解（3分） 3分）2分）（81分）11121112221222420261p p p p p ⎪-+=⎨⎪-=-⎩………...……....…….…….（1分） 112212743858p p p ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩………...…………....…….…….（1分）1112122275485388p p P p p ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦...…………....…….…….（1分） 111211122275717480 det det 05346488p p P p p ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=>==>⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦………...（1分） P 正定，因此系统在原点处是大范围渐近稳定的.………（1分）八、给定系统的状态空间表达式为1010x --⎡⎢=-⎢⎢⎣2322213332223321(21)3313332(3)(26)64E E E E E E E E E E E λλλλλλλλλλ=+++++++++++++=+++++++++ -- 2分又因为 *32()331f λλλλ=+++ ------- 1分列方程32123264126333E E E E E E +++=++=+= ----- 2分1232,0,3E k E =-==- ----------- 1分观测器为10312ˆˆ0110010113x x u y ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦------- 1分方法 2λ⋅分分分分10ˆ0110x -⎡⎢=-⎢⎢⎣九分） 1200A tAt A t e e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭1A t t e e =…………………………..……….（1分） 11210()12s sI A s ---⎛⎫-= ⎪--⎝⎭101111212s s s s ⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪- ⎪---⎝⎭………..……….（1分）(){}2112220t A t t t t e e L sI A e ee --⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭……….…（1分）()112200000t At tt tt e e L sI A e e e e --⎛⎫ ⎪⎡⎤=-= ⎪⎣⎦ ⎪-⎝⎭……….……….（2分） 222001000001t t tt t t t e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………..……….（2分）一、（（ × （ × （ √ （ √二、（的能控标准型、能观标准型和对角线标准型，并画出能控标准型的状态变量图。

现代控制理论习题集

习题集序为了帮助同学们更好地学习《现代控制理论》这门大学自动化专业的主干基础课程，在王整风老师的指导下，我们共同编写了这本基于刘豹版本教材的习题集，希望能让大家拥有做题不仅仅注重题目答案，更关注解题过程的意识。

由于时间仓促，本习题集难免有不当之处，个别题目的解法并不唯一，解题过程难免有错误、疏漏的地方，恳请大家批评指正。

解：直接对系统方块结构图转化得系统的模拟结构图如下：可得系统的状态方程：故系统的状态空间表达式为：1-2 有电路如图1-28所示。

以电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容上的R上的电压作为输出量的输出方程。

其结构模拟图如图1.30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。

解：令11y u -前向通道上积分号后的状态变量分别为12,x x ；22y u -前向通道上积分号后的状态变量分别为4,3x x 。

由于系统为四维，两输入，两输出系统，故系统阵A 为4×4阶，输入阵B 为4×2阶，输出阵C 为2×4阶。

由图得，系统的状态空间表达式如下：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡43212101000001x x x x y y由可求得系统传递函数阵。

现代控制理论习题集

《现代控制理论》习题第一章控制系统的状态空间模型1.1 考虑以下系统的传递函数：656)()(2+++=s s s s U s Y试求该系统状态空间表达式的能控标准形和可观测标准形。

1.2 考虑下列单输入单输出系统：u y y yy 66116=+++试求该系统状态空间表达式的对角线标准形。

1.3 考虑由下式定义的系统：Cxy Bu Ax x=+=式中]11[,213421=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=C B A ，－－试将该系统的状态空间表达式变换为能控标准形。

1.4 考虑由下式定义的系统：Cxy Bu Ax x=+=式中]011[,10030021101=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=C B A ，－－试求其传递函数Y(s)/U(s)。

1.5 考虑下列矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0001100001000010A试求矩阵A 的特征值λ1,λ2,λ3 和λ4。

再求变换矩阵P ，使得),,,(diag 43211λλλλ=-AP P第二章状态方程的解2.1 用三种方法计算下列矩阵A 的矩阵指数函数At e 。

1） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=5160A； 2） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=6116100010A2.2 计算下列矩阵的矩阵指数函数At e 。

1） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0010A ； 2） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1002－－A ； 3） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0110A ； 4） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1021A5) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=200010011A ； 6） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=210010001A ； 7） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000100010A2.2 给定线性定常系统Ax x=式中⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2310A且初始条件为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11)0(x试求该齐次状态方程的解x (t )。

2.4 已知系统方程如下[]xy u x x 11015610-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=求输入和初值为以下值时的状态响应和输出响应。

《现代控制理论》课后习题全部答案(最完整打印版)

第一章习题答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。

以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。

《现代控制理论》习题册

第一章控制系统的状态空间描述1-1 求图示网络的状态空间表达式，选取C u 和i 为状态变量。

RL +1-2 已知系统微分方程，试将其变换为状态空间表达式。

（1）u y y y y 2642=+++（2）u u y yy 237+=++（3）u u u y y yy 23745++=+++（4）u u u u y y y y 81786116+++=+++1-3试画出如图所示系统的状态变量图，并建立其状态空间表达式。

1-4 已知系统的传递函数，试建立其状态空间表达式，并画出状态变量图。

（1）61161)(232+++++=s s s s s s G （2）6513)(22++++=s s s s s G（3）)3()1(4)(2++=s s s s G （4）13332)(232+++++=s s s s s s G1-5 已知系统233)()(2+++=s s s s U s Y ，试求其能控标准型和对角标准型。

1-6 已知系统传递函数，试用并联法求其状态空间表达式。

（1）61161)(23+++=s s s s G （2）2545)(23+++=s s s s G1-7 试求下列状态方程所定义系统的传递函数。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21212121211001101142510x x y y u u x x x x1-8 试将下列状态方程化为对角标准型。

（1）u(t)x(t)(t)x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=106510（2）u(t)x(t)(t)x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=1751326712203010（3）u(t)x(t)(t)x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=01161161000101-9 试将下列状态方程化为约当标准型。

（1）u(t)x(t)(t)x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=102112（2）u(t)x(t)(t)x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=357213*********（3）u(t)x(t)(t)x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=100452100010第二章线性控制系统状态空间表达式的解2-1 试求下列系统矩阵A 对应的状态转移矩阵。

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由于时间仓促，本习题集难免有不当之处，个别题目的解法并不唯一，解题过程难免有错误、疏漏的地方，恳请大家批评指正。

解：直接对系统方块结构图转化得系统的模拟结构图如下：可得系统的状态方程：故系统的状态空间表达式为：1-2 有电路如图1-28所示。

以电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容上的R上的电压作为输出量的输出方程。

其结构模拟图如图1.30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。

解：令11y u -前向通道上积分号后的状态变量分别为12,x x ；22y u -前向通道上积分号后的状态变量分别为4,3x x 。

由于系统为四维，两输入，两输出系统，故系统阵A 为4×4阶，输入阵B 为4×2阶，输出阵C 为2×4阶。

由图得，系统的状态空间表达式如下：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡43212101000001x x x x y y由可求得系统传递函数阵。

易得，()()BA sI C s W uy 1--=()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=--21134561210000000101000101000001)(b b a a a s a a s a sB A sIC s W uy1-5 系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。

相应的模拟结构图如下：其中y u 前向通道的积分器后的状态变量分别为123,,x x x 。

1-6 已知系统传递函数：（2）试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图。

由系统的并联型实现中特征根具有重根的情况，可得系统的约旦标准型实现如下：相应的系统模拟结构图如下：1-8 求下列矩阵的特征矢量，由i i i P AP λ=，得⎰⎰⎰⎰-3-4-10/3-3-1/3-2-3y2x1x3x4xu＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋，由i i i P AP λ=，得，i i i P AP λ=，得综上，系统的特征矢量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=311341121P1-9 试求下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）：（2）解：易得A 的特征方程：解得，由i i iP AP λ=得解得113121p p p ==，令111=p ，得由于有32=λ的重根，由广义特征矢量1212P P AP +=λ，得解得32222212,1p p p p =+= 令112=p 得当13=λ时，由i i i P AP λ=得得故系统阵A 的特征矢量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101201011P ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==101201011P T 作为转换阵设变换完成后的约旦标准型形式如下：xC y uB x A x ~~~~~~.=+=易得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100030013~A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-1102112101T令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--++-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==-3232132321122110211210~x x x x x x x x x x x T x 综上，可得系统状态空间表达式约旦标准型为：1-10 已知两个子系统的传递函数阵()s W 1和()s W 2分别为：()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=21021111s s s s s W ()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++=01141312s s s s W试求两个系统串联连接和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果。

解：当系统1W 与2W 串联联接时，系统的传递函数阵：()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++++++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++==)2)(1(1)1(1)4)(3)(2(75311210211101141312212S S S S S S S S S S S S S S S S S W W W 当系统1W 与2W 并联联接时，系统的传递函数阵：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++±⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=±=0114131210211121S S S S S S S W W W1-11 已知如下图所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数阵。

解：易得系统的闭环传递函数为()()[]()s W s W s W I W 1121-+=可得()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+=210111*********121s s s s s s s W s W()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++-++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+230112210111100121s s s s s s s s s W s W I()()()[]()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++++=+=-310)2(12121111320)3(12121121s s s s s s s s s s s s s s s s s W s W s W I s W111C B A ，，222C B A ，，y y =11u1yu第二章控制系统状态空间表达式的解何新礼2-1 试证明同维方阵A 和B ，当AB=BA 时，()t B A Bt At e e e +=⋅，而当BAAB ≠时，()t B A Bt Ate e e +≠⋅。

证明：由+++++I =+++++I =K K BtK K Att A K t B B e t A K t A A e !1!21!1!212222可得：()()()++++++++++I =⋅K K K BtAtt B A K t AB B A t B A e e !12!21222所以当AB=BA 时，()()()++++++++I =⋅KK BtAtt B A K t B A t B A e e !1!2122 又因为()()()()++++++++I =+KK tB A t B A K t B A t B A e!1!2122 所以只有当AB=BA 时()t B A Bt At e e e +=⋅2-3矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=452100010A 试用拉氏反变换法求At e 。

解：状态转移矩阵由下式确定：()()[]11---I ==ΦA s L e t At由于⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-4521001s s s A sI 其逆矩阵为()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---+---=--22221252421454211s s s s s s s s s s s A sI即()()()()()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+-+---+--+---+-+----+-+---+--+---+-+----+-+---+--+----=-I -22222222211124131328181224141122121324151222121121111322121221s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s A s因此()()[]11---I ==ΦA s L e t At⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+--+--+-+--+--+-+--=t t t tt t t t t t t t t t t tt t t t t t t t tt At te e e te e e te e e te e e te e e te e e te e e te e e te e e 222222222433882442234522232222-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数At e 。

（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0410A方法一：定义法：由 +++++I =n n At t A n t A At e !1!2122 得:+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=nnAt t n t t e 0410!10410!210410100122⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-++-+-= 2332213843221t t t t t t e At 方法二：拉氏反变换法：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-I s s A s 41()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++⋅-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-I -444422144141222221s ss s s ss s s A s所以经过拉氏反变换得：()[]⎪⎭⎫ ⎝⎛+→+→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=-I =--222211sin cos 2cos sin 22sin 212cos s w w wt w s s wt t t t t A s L e At ；方法三：变换A 为约旦标准型0441-2=-=-=I λλλλA 解得i 2-i 221==λλ，当i 21=λ时，特征矢量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21111p p p由111p Ap λ=，得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡211121112041-0p p i p p 可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=i p 2-11当i 22-=λ时由222p Ap λ=，得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡221222122041-0p p i p p 可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=i p 212则变换阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=i i T 2211，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1212411-i i i T 得：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==--Λi i e e i i TTe e i it tAt41214121002211221⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-+=----it it it it it it it it Ate e ie ie ie ie e e e 22222222212141412121 （2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1411A解:①定义法:++++++I =nn Att A n t A t A At e !1!31!213322 +⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=321328713!3158252114111001t t t e At⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++++++++= 222225144251t t t t t t t t e At ②拉氏反变换法()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-=-I ⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=-I -1411131,14111s s s s A s s s A s()()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-+++-+-++-=-I -12132111-3-s 11413411213211s s s s s s s A s()[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+=-I =------t t t t t t tt At e e e e e e e e A s L e 212141412121333311③变换A 为约旦标准型解：令0=-I A λ则()04-1-01-4-1-1-2==λλλ，即解得1-321==λλ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡==2111113p p p 时，特征矢量当λ由⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=211121*********,p p p p p Ap 得λ可求⎥⎦⎤⎢⎣⎡=211p222221222,1-p Ap p p p λλ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==由时，特征矢量当得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212221211411p p p p可求⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=212p 则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-4121412122111,T T⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-----t t t t t t tt t tAte e e e e e e e e e e 2121-41412121412141210022*******2-5 下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的的A 阵。