运筹学：整数规划习题与答案
第8章_整数规划(带答案)
1 2 3 4 5 6
1 2 3 0 10 16 10 0 24 16 24 0 28 32 12 27 17 27 20 10 21
4 28 32 12 0 15 25
5 27 17 27 15 0 14
6 20 10 21 25 14 0
18
二、背包问题（补充）
背包可装入 8 单位重量， 10 单位体积物品。若 背包中每件物品至多只能装一个，怎样才能使背包 装的物品价值最高。 物品 名称 重量 体积 价值
4
§1 整数规划的图解法
例1. 某公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物， 这两种货物每件的体积、重量、可获利润以及 托运所受限制如表所示。
货物
甲 乙 托运限制
每件体积 (立方米) 195 273 1365
每件重量 (百千克) 4 40 140
每件利润 （百元） 2 3
甲种货物至多托运 4 件，问两种货物各托运多 少件，可使获得的利润最大。
例6．有四个工人，要分别指派他们完成四项 不同的工作，每人做各项工作所消耗的时间 如下表所示，问应如何指派工作，才能使总 的消耗时间为最少。
工作 工人 甲 乙 丙 丁 A 15 19 26 19 B 18 23 17 21 C 21 22 16 23 D 24 18 19 17
1 2 3 4 5 6
1 2 3 0 10 16 10 0 24 16 24 0 28 32 12 27 17 27 20 10 21
4 28 32 12 0 15 25
5 27 17 27 15 0 14
6 20 10 21 25 14 0
第2个地区建一个（地区1、2、6都解决了）
第4个地区建一个（地区3、4、5都解决了）
运筹学 0-1整数规划
两个值， 解：对于0－1 规划问题，由于每个变量只取 ，1两个值，一般会用穷举法来解， 对于 － 规划问题，由于每个变量只取0， 两个值 一般会用穷举法来解， 即将所有的0， 组合找出，使目标函数达到极值要求就可求得最优解。 即将所有的 ，1 组合找出，使目标函数达到极值要求就可求得最优解。但此法太繁 工作量相当大。而隐枚举法就是在此基础上，通过加入一定的条件， 琐，工作量相当大。而隐枚举法就是在此基础上，通过加入一定的条件，就能较快 的求得最优解。 的求得最优解。
每周工时(小时 月 每周工时 小时/月) 小时
B1 0.3 0.7 250
B2 0.2 0.1 100
B3 B31 0.3 0.5 150 B32 0.2 0.4 120
利润 （元/件） 件 25 40
– 解：设A1、A2产品的生产数量分别为 1、x2件，在不 产品的生产数量分别为x 考虑B 相互排斥的情况下， 考虑 31和B32相互排斥的情况下，问题的数学模型为
约束条件 x1 . x2. x3 ( 0. ( 0. ( 0. ( 0. ( 1. ( 1. ( 1. ( 1. 0. 0 ) 0. 1. 1. 0. 0. 1. 1. 1) 0) 1) 0) 1) 0) 1) Z值 0 5 －2 3 3 8 1 6 0 2 1 1 Z≥8 (1) 0 －1 (2) 0 1 (3) 0 0 0 1 (4) 过滤条件 Z≥0 Z≥5
m a x z = 2 5 x1 + 4 0 x 2
运筹学答案_第_8_章__整数规划
b.该目标函数的数学模型为： minz=100y1+300y2 +200y3 +7x1+2x2 +5x3 s.t. x1+x2 +x3 =2000， 0.5x1+1.8x2 +1.0x3 ≤ 2500， x1 ≤ 800， x2 ≤ 1200， x3 ≤ 1400， x ≤ yM，
1 1
x2 ≤ y2M， x3 ≤ y3M ， x1，x2，x3 ≥ 0，且为整数，y1，y2，y3 为 0-1 变量。 目标函数最优解为 : x1*=0,x2*=625,x3*=1375,y1=0,y 2 =1,y3=1,z*=8625
minz=100y1+300y2 +200y3 +7x1+2x 2 +5x3 s.t. x1+x2 +x3 =2000， 0.5x1+1.8x2 +1.0x3 ≤ 2000， x1 ≤ 800， x2 ≤ 1200， x3 ≤ 1400， x1 ≤ y1M， x2 ≤ y2M， x3 ≤ y3M ， x1，x2，x 3 ≥ 0，且为整数，y1，y2，y3 为 0-1 变量。 目标函数最优解为 : x1*=370,x2*=231,x3*=1399,y1=1,y 2 =1,y3=1,z*=10647
max z=7x1+9x2 +3x3 -x1 +3x2 +x3 ≤ 7, 7x1+x2 +x3 ≤ 38, x1,x2,x3 ≥ 0,且 x1 为整数，x3 为 0-1 变量。
目标函数最优解为 : x1*=5,x2*=3,x3*=0,z*=62 。 2．解：设 xi 为装到船上的第 i 种货物的件数，i=1,2,3,4,5。则该船装载的货 物取得最大价值目标函数的数学模型可写为： max z=5x1+10x2 +15x3 +18x4 +25x5 s.t. 20x1+5x2 +10x3 +12x4 +25x5 ≤ 400000, x1+2x2 +3x3 +4x4+5x5 ≤ 50000, x1+4x4 ≤ 10000 0.1x1+0.2x2 +0.4x3 +0.1x4 +0.2x5 ≤ 750, xi ≥ 0,且为整数，i=1 2 3 4 5。 目标函数最优解为 : x1*=0,x2*=0,x3*=0,x4*=2500,x5*=2500,z*=107500. 3．解：设 xi 为第 i 项工程，i=1,2,3,4,5,且 xi 为 0-1 变量，并规定，
第二章 整数规划+答案
故最优解为：X
0010
1 0
0 1
0 0
0 0
，最优值为 14。
0001
6103 0211 1030 5300
5、在今后三年内有五项工程考虑施工，每项工程的期望收入和年度费用（千元）如表所示。假定 每一项已批准的工程要在三年内完成，目标是要选出使总收入达到最大的那些工程。
工程
第1年
费用（千元） 第2年
2 3 14 s. t. 4 2 18
, 0 且为整数
B：X=（3.25,2.5）z=14.75
x2<=3
x2>=4
B1：X=（3,2.67）z=14.33
B2：X=（4,1）z=14
x2<=2
x2>=3
B11：X=（3,2）z=13
B12：X=（2.5,3）z=13.5
所以，最优解为：X=（4,1），最优值为 14。
人
A
B
C
D
E
甲
25
29
31
42
37
乙
39
38
26
20
33
丙
34
27
28
40
32
丁
24
42
36
23
45
解：（1）由于任务数多于人数，所以需要一名假想的人，设为戊。因为工作 E 必须完成，故设戊完
成 E 的时间为 M，其余的假象为 0，建立如下的效率矩阵。
任务
人
A
B
C
D
E
甲
25
29
31
42
37
乙
39
38
解：变换目标函数 max Z=16‐（2 3 5 6 ）
运筹学整数规划例题
练习4.9 连续投资问题某公司现有资金10万元,拟在今后五年内考虑用于下列项目的投资:项目A:从第一年到第四年每年年初需要投资,并于次年收回本利115%,但要求第一年投资最低金额为4万元,第二.三.四年不限.项目B:第三年初需要投资,到第五年末能收回本利128%,但规定最低投资金额为3万元,最高金额为5万元.项目C:第二年初需要投资,到第五年末能收回本利140%,但规定其投资金额或为2万元,或为4万元,或为6万元,或为8万元.项目D:五年内每年年初都可购买公债,于当年末归还,并获利6%,此项目投资金额不限. 试问该公司应图和确定这些项目的每年投资金额,使到第五年末拥有最大的资金收益.(1) x 为项目各年月初投入向量。
(2) ij x 为 i 种项目j 年的月初的投入。
(3) 向量c 中的元素ijc 为i 年末j 种项目收回本例的百分比。
(4) 矩阵A 中元素ija 为约束条件中每个变量ijx 的系数。
(5) Z 为第5年末能拥有的资金本利最大总额。
因此目标函数为4325max 1.15 1.28 1.40 1.06A B C D Z x x x x =+++束条件应是每年年初的投资额应等于该投资者年初所拥有的资金.第1年年初该投资者拥有10万元资金,故有11100000A D x x +=.第2年年初该投资者手中拥有资金只有()116%D x +,故有22211.06A C D D x x x x ++=.第3年年初该投资者拥有资金为从D 项目收回的本金: 21.06D x ,及从项目A 中第1年投资收回的本金: 11.15A x ,故有333121.15 1.06A B D A D x x x x x ++=+同理第4年、第5年有约束为44231.15 1.06A D A D x x x x +=+,5341.15 1.06DA Dx x x =+max =1.15*x4a+1.28*x3b+1.4*x2c+1.06*x5d; x1a+x1d=100000;-1.06*x1d+x2a+x2c+x2d=0;-1.15*x1a-1.06*x2d+x3a+x3b+x3d=0; -1.15*x2a-1.06*x3d+x4a+x4d=0; -1.15*x3a-1.06*x4d+x5d=0; x2c=40000 ; x2c=60000; x2c=80000; x2c=20000; x3b>=30000; x3b<=50000;x1a>=0;x2a>=0;x3a>=0;x4a>=0;x5a>=0; x1b>=0;x2b>=0;x3b>=0;x4b>=0;x5b>=0; x1c>=0;x2c>=0;x3c>=0;x4c>=0;x5c>=0; x1d>=0;x2d>=0;x3d>=0;x4d>=0;x5d>=0;Variable Value Reduced Cost X4A 22900.00 0.000000 X3B 50000.00 0.000000 X2C 40000.00 0.000000 X5D 0.000000 0.000000 X1A 62264.15 0.000000 X1D 37735.85 0.000000 X2A 0.000000 0.000000 X2D 0.000000 0.3036000E-01 X3A 0.000000 0.000000 X3D 21603.77 0.000000 X4D 0.000000 0.2640000E-01 X5A 0.000000 0.000000 X1B 0.000000 0.000000 X2B 0.000000 0.000000 X4B 0.000000 0.000000 X5B 0.000000 0.000000 X1C 0.000000 0.000000 X3C 0.000000 0.000000 X4C 0.000000 0.000000 X5C 0.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price 1 80000.00 1.0000002 0.000000 1.4018503 0.000000 1.3225004 0.000000 1.2190005 0.000000 1.1500006 0.000000 1.0600007 0.000000 -0.8388608E+188 -20000.00 -0.1280000E+109 -40000.00 -0.1280000E+1010 -20000.00 0.1280000E+1011 20000.00 0.00000012 0.000000 0.6100000E-0113 62264.15 0.00000014 0.000000 0.00000015 0.000000 0.00000016 22900.00 0.00000017 0.000000 0.00000018 0.000000 0.00000019 0.000000 0.00000020 50000.00 0.00000021 0.000000 0.00000022 0.000000 0.00000023 0.000000 0.00000024 40000.00 0.00000025 0.000000 0.00000026 0.000000 0.00000027 0.000000 0.00000028 37735.85 0.00000029 0.000000 0.00000030 21603.77 0.00000031 0.000000 0.00000032 0.000000 0.0000004.10某城市的消防总站将全市划分为11个防火区，现有4个消防站，图4-11给出的是该城市各防火区域和防火站的示意图，其中1,2,3,4，表示消防站1，2，…11表示防火区域，根据历史资料证实，各消防站可在事先规定允许的时间内对所负责的区域内的火灾予以扑灭，图中没有虚线连接的就表示不负责，现在总部提出：能否减少消防站的数目，仍能保证负责各地区的防火任务？如果可以的话，应该关闭哪个？练习4.10某城市的消防站总部将全市划分为11个防火区，现有四的。
16993-运筹学-习题答案选03_整数规划
运筹学教程（胡运权主编，清华第4版）部分习题答案（第五章）5.1设长度为a j的毛坯截取x j根，则min z = L - ∑j=1,2,...,n a j x js.t. ∑j=1,2,...,n a j x j≤ Lx j ≥ 0, integer, j = 1, 2, …, n即max z’ = ∑j=1,2,...,n a j x js.t. ∑j=1,2,...,n a j x j≤ Lx j ≥ 0, integer, j = 1, 2, …, n5.2设x j = 1, 当第j队员上场；x j = 0, 当第j队员不上场，则max z = 1.92x1 + 1.90x2 + 1.88x3 + 1.86x4 + 1.85x5 + 1.83x6 + 1.80x7 + 1.78x8s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8= 5x1 + x2 = 1x6 + x7 + x8 ≥ 1x6 ≤ 2 – (x1 + x4)x2 + x8 ≤ 1x j ={0 or 1}, j = 1, 2, …, 85.3max z = ∑i=1,2,...,m c i x is.t. ∑i=1,2,...,m a i x i≤ a∑i=1,2,...,m b i x i≤ bx i = 0 or 1, i = 1, 2, …, m5.4(1) x* = (3, 1); z* = 7(2) x* = (0, 9); z* = 95.5(1) 无可行解(2) x* = (1, 0, 0); z* = 25.6设x j = 1, 当消防站j不关闭；x j = 0, 当消防站j关闭min w = x1 + x2 + x3 + x4s.t. x1 + x2≥ 1 （区域1有消防站负责）x1 + x2≥ 1 （区域2有消防站负责）x1 ≥ 1 （区域3有消防站负责）x1 + x3≥ 1 （区域4有消防站负责）x3≥ 1 （区域5有消防站负责）x1 + x3 + x4≥ 1 （区域6有消防站负责）x1 + x4≥ 1 （区域7有消防站负责）x1 + x2 + x4≥ 1 （区域8有消防站负责）x2 + x4≥ 1 （区域9有消防站负责）x4≥ 1 （区域10有消防站负责）x3 + x4≥ 1 （区域11有消防站负责）x1, x2, x3, x4 = 0 或1最优解：x* = (1, 0, 1, 1); z* = 35.7设y i = 0，当条件i被选；y i = 1，当条件i不选∑j=1,2,…n a ij x j ≥ b i - My i, ( i = 1, 2, …, p)∑i=1,2,...,p y i = p - q5.11(1) 令x = 0x0 +1x1 + 4x2 + 6x3; x j = 0 or 1; x0 + x1 + x2 +x3 = 1(2) 令x = 0x0 +1x1 + 4x2 + 6x3; x j = 0 or 1; x0 + x1 + x2 +x3 = 1。
运筹学 第五章 整数规划
M是足够大的整数，y 是0-1变量
14
f(x)-5 0
f(x) 0
(1)
(2)
-f(x)+5 M（1-y)
f(x) My
(3)
(4)
当y=1时,(1)(3)无差别,(4)式显然成立;
当y=0时,(2)(4)无差别,(3)式显然成立。
以上方法可以处理绝对值形式的约束
f(x) a (a>0)
31
5.1 分枝定界法 （Branch and Bound Method)
原问题的松驰问题： 任何整数规划（IP），凡放弃某些约束 条件（如整数要求）后，所得到的问题 （P） 都称为（IP）的松驰问题。 最通常的松驰问题是放弃变量的整数性 要求后，（P）为线性规划问题。
32
去掉整数约束,用单纯形法 IP LP
23
解法概述
当人们开始接触整数规划问题时，常会有 如下两种初始想法： 因为可行方案数目有限，因此经过穷举 法一一比较后，总能求出最好方案，例如， 背包问题充其量有2n种方式，实际上这种 方法是不可行。
设想计算机每秒能比较1000000个方式，那 么比较完260种方式，大约需要360世纪。
24
先放弃变量的整数性要求，解一个 线性规划问题，然后用“四舍五入” 法取整数解，这种方法，只有在变量 的取值很大时，才有成功的可能性， 而当变量的取值较小时，特别是0-1规 划时，往往不能成功。
Yes xI* = xl*
xl*
判别是否整数解
No 去掉非整数域 多个LP ……
33
分枝定界法步骤
一般求解对应的松驰问题，可能会出现 下面几种情况：
若所得的最优解的各分量恰好是整数， 则这个解也是原整数规划的最优解，计 算结束。
最新最全整数规划习题(完整版)
第五章整数规划习题5.1考虑以下数学模型min z = fi(Xi) + f2 (x2)且满意约束条件(1) 或 ,或X2 河0：(2) 以下各不等式至少有一个成立：2x〔+ x2 *5+ X2 >15x〔+2x2 215(3) Xi -X2 =0或 5 或10(4) 为No , X2 2 0其中20 + 5xi,如>0fi(xO= 10 ，如=°12 + 6x2,如>0f2(X2)= .0 ，如=0将此问题归结为混合整数规划的模型；minz = 1°y〔* 5xi 十12y2 -6x2（0）xi V yi ,M; x2 y2• M（1）% >10- y3 <MX2 己10 —（1 — y3）• M（2）X1 +xA5- y4M2Xi +X2 2 15- y5MX1 + 2x2 2 15 - yeM第 +y5 + y6 < 2（3）x1 _X2 =0y7 -5y8+5y9 -10y w+ 11yn工y8 + y9 + Yw + y” = 1（4）xi >0，x2 - 0; yi = 0或5.2试将下述非线性的0-1规划问题转换成线性的0-1规划问题_ 2 + 3max z - % x2 x3 - x3一 2xi + 3x2 + X3 <3Xj = 0或 1,= 1,2,3)，当=Xs = 1X 22 3又X 〔，Xi 分别与X 、X3等价，因此题中模型可转换为max z = % + y - X3—2xi + 3x2 X3 — 3 y WX2"X3X2 * X3 V y F一Xi ，X2，X3，y 均为 一1 变5.3某科学试验卫星拟从以下仪器装置中选如干件装上；有关数据资料见表5-1表5-1要求：(1)装入卫星的仪器装置总体积不超过 V,总质量不超过 W (2) A 与A 中最多安装一件；(3)氏与4中至少安装一件；(4) As 同玲或者都安上，或者都 担心；总的目的是装上取的仪器装置使该科学卫星发挥最大的试验价值； 试建立 这个问题的数学模型； 解： 6max z = Z CjXj j ='6三 VjXj -V jT解：令y = 故有 x 2x3 =y,I 6£ Wj Xj - w jTXi + x3 -1 X2十X4 Z 1X5 = X61 ，安装Aj仪器X・=< J 0，否就5.4 某钻井队要从以下10个可供选择的井位中确定5个钻井探油，使总的钻探 费用最小；如10个井位的代号为Si , S2, S10,相应的钻探费用为C1 , C2, ,C 10, 并且井位选择上要满意以下限制条件：(1) 或选择S1和S7,或选择钻探S8；(2) 选择了 S3或S4就不能选择S5,或反过来也一样；(3) 在S5,S6,S7,S8,中最多只能选两个；试建立这个问题的整数规划模型； 解： 10min z = £ CjXj j=3'10E Xj = 5 jmX1 + X8 = 1 X3 + Xs < 1 X7 〜彘=1 X4 + X5 三 1 X5 + X6 + X7 + X8 M 2，选择钻探第Sj 井‘0 ,否就5.5用割平面法求解以下整数规划问题(a) maxz = 7x 〔 一 9x 2 —q 3x2 — 6 7Xi +x 2 V 35 x 1s x 2, - 0且为整(b) minz =数4对 5x2% +2X2 V Xi -4x2 - 5 3xi + X2 -2 XlJ x 2 20且为整、 I ' £4xi — 4X 2 J 5 -Xi 〜6X2 — 5一 Xi + X2 + X3 -5*,X2，X3,20 且为整 (d) max z = "Xi +4x2(c)max z 一 4xi 6x 2 + 2x3-x〔+2x2 £14 5x1+ 2X2 <16 2xi - X2 三 4KM*。
割平面法-运筹学整数规划
0
1 /2
1
0
-2
1
1 /3
-2 /3
0
-1 /6
5 /6
0
-1 /3
-4 /3
.
20
2. 对x2引入切平面方程 2/3-1/3x3-1/3x40, 整理得
x3+x42
加入原约束中, 增加剩余变量x5, 用对偶单纯形法求解得最优解为
x1=x2=x3=2, 最优值为Z=14. (画出切平面)
cj
4
3
s .t
2 x1 x1 , x 2
x2 0
6
x1 , x 2取整数
.
19
解: 1 求解相应的线性规划得
cj
4
CB
XB
b
x1
0
x3
20
4
0
x4
6
2
检验数
0
4
0
x3
8
0
4
x4
3
1
检验数
-12
0
3
x2
8 /3
0
4
x1
5 /3
1
检验数
-4 4 /3
0
3
0
0
x2
x3
x4
5
1
0
1
0
1
3
0
0
3
1
-2
1 /2
第二节 分枝定界法(Branch and Bound method)
引言：穷举法对小规模的问题可以。大规模问题则不行。
一、基本思想和算法依据
基本思想是：先求出相应的线性规划最优解，若此解不符合整数条 件，那么其目标函数的值就是整数规划问题最优值的上界，而任意满足 整数条件的可行解的目标函数值将是其下界（定界），然后将相应的线 性规划问题进行分枝，分别求解后续的分枝问题。如果后续分枝问题的 最优值小于上述下界, 则剪掉此枝; 如果后续某一分枝问题的最优解满足 整数条件，且其最优值大于上述下界，则用其取代上述下界，继续考虑 其它分枝，直到最终求得最优的整数解。
运筹学习题解答(chap4 整数规划与分配问题)
第四章 整数规划与分配问题一、建立下列问题的数学模型1、P143, 4.1 利用0－1变量对下列各题分别表示成一般线性约束条件 (a) 221≤+x x 或53221≥+x x ； (b) x 取值0,3,5,7中的一个； (c) 变量x 或等于0，或50≥； (d) 若21≤x ，则12≥x ，否则42≤x ； (e) 以下四个约束条件中至少满足两个：6225433121≥+≥≤≤+x x x x x x ，，，。
解：(a) 设⎩⎨⎧=否则。
，个条件起作用；第1i ,0y i （i=1,2）,M 为任意大正数。
则有 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≥++≤+1y y My -5x 3x 2My 2x x 21221121(b) 设⎩⎨⎧=≠=ix i x y i ,1,0，7,5,3,0=i ，则原条件可表示为⎩⎨⎧=++++++=1753075307530y y y y y y y y x(c) 设⎩⎨⎧≥==50,10,0x x y ，则原条件可表示为⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥≤0)1(50x M y x yM x(d)⎩⎨⎧=否则。
，组条件起作用；第1i ,0y i （i=1,2）,M 为任意大正数。
则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++≤->-≥+≤.1,4,2,1,22122211211y y My x My x My x My x (e)设⎩⎨⎧=个条件不成立第个条件成立第i ,1i ,0y i ，4,3,2,1i =，则原条件可表示为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤+++-≥+-≥+≤+≤+2y y y y My 6x x My 2x M y 2x M y 5x x 43214433321121 2、P143, 4.2 某钻井队要从以下10个可供选择的井位确定5个钻井探油，目的是使得总的钻探费用最小。
若10个井位代号为101S ,...,S ，相应的钻探费用为101C ,...,C ，并且井位的选择要满足下列条件：（1）或选择1S 和7S ，或选择8S ；（2）选择了3S 或4S 就不能选择5S ，反过来也一样； （3）在10962S ,S ,S ,S 中最多只能选两个。
运筹学——整数规划
5
4
x(0)=(4.81,1.82) Z0=356
3
B 2
1
7x1+20x2=70
C
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x1
x1<=[x1(0)]
12
x1>=[x1(0)]+1
2021/7/26
解：第一步：先不考虑整数约束条件，求解相应的线性 规划问题，得最优解和最优值如下：
x1=4.81, x2=1.82, Z=356 解不满足整数条件。最优值Z=356作为整数规划目标函 数值的上界；用观察法可知x1=0，x2=0是可行解，对应 目标值Z=0作为整数规划目标值的下界，即0 Z* 356
1
2
x6 x7 1
xi 0或1
获利最大的设点方案，第 一个约束条件表示投资总 额限制，之后的三个约束 条件分别表示在东、西和 南区的设点数限制，决策 变量取值0或1。
5
2021/7/26
例3 解决某市消防站的布点问题。该市共有6个区，每 个区都可以建消防站。政府希望设置的消防站最少，但 必须满足在城市任何地区发生火警时，消防车要在15分 钟内赶到现场。据实地测定，各区之间消防车行驶的时 间见下表：
行解, 停止; b) 若有满足整数条件的最优解, 则已得到整数规划问 题的最优解, 停止; c) 若有最优解, 但不满足整数条件, 记此最优值 为原整数规划问题Z*的上界, 然后, 用观察法求出下界. (2)分支、定界直到得到最优解为止
分支：取目标函数值最大的一个支LPs，在LPs的解中任选一不 符合整数条件的变量xj，其值为bj，构造两个约束条件xj≤[bj]和 xj≥[bj]+1。将两个约束条件分别加入问题LPs，得两个后继规划问 题LPs1和LPs2。不考虑整数条件求解这两个后继问题，以每个后 继问题为一分支标明求解结果。
运筹学-4-整数规划
运 筹 帷 幄 之 中
第四章
整数规划
Integer Programming
决 胜 千 里 之 外
第四章 整数规划
本章主要内容：
整数问题规划及其数学模型
整数规划问题的求解
0-1型整数规划问题
指派问题
第四章 整数规划
在很多场合，我们建立最优化模型时，实际问题要求决 策变量只能取整数值而非连续取值。此时，这类最优化 模型就称为整数规划（离散最优化）模型。 整数规划的求解往往比线性规划求解困难得多，而且， 一般来说不能简单地将相应的线性规划的解取整来获得。
例（背包问题）一个旅行者，为了准备旅行的必备物品， 要在背包里装一些有用的东西，但他最多只能携带b公 斤的东西，而每件物品都只能整件携带，于是他给每件 物品规定了一个“价值”，以表示其有用程度。如果共 有m件物品，第i件件物品的重量为bi，价值为ci，问题就 变成：在携带的物品总重量不超过b公斤的条件下，携 带哪些物品可使总价值最大?
第四章 整数规划
设xij 表示工厂 Ai 运往商店 B j的运量 解：
则总运费为
cij xij
i 1
j 1
m
n
数学模型：
min Z cij xij fi yi
i 1 j 1 i 1 m n m
1 设yi 0
在第i个地点建厂 不在第 i个地点建厂
m
则总建厂费为 f i yi
若Lk的最优值 Z k CX *i0 , 剪枝 若Lk的最优值 Z k CX *i0 ：
(1)最优解X *k 是整数解
将下界改为 CX *k , , 关闭Lk
(2)最优解 X *k 不是整数解
继续对Lk 分枝
运筹学4(整数规划)
x2 ① ② 10
由于Z 3 Z1，选择LP3进行分枝，增加约束 x1 4及x1 5，到线性规划 4及LP5： LP
max Z 4 x1 3x2
A
LP4:X=(4,6),Z4=34 1.2 x1 0.8 x2 10
6
LP1 LP3
2 x1 2.5 x2 25 LP 4 : x1 4，x2 6，x1 4 x1 , x2 0 即x1 4, 可行域是一条线段 max Z 4 x1 3x2
max Z 4 x1 3x2 1.2 x1 0.8 x2 10 2 x1 2.5 x2 25 x1 , x2 0
线性规划的可行域如图5—1中的阴影部分所示。
图5－1
用图解法求得点B为松弛问题最优解：X＝(3.57，7.14)，Z＝35.7。
由于x1，x2必须取整数值，整数规划问题的可行解集只是图中可行域内的那 些整数点。 用凑整法来解时需要比较四种组合，但（4，7）、（4，8）（3，8）都不是可行 解，（3，7）虽属可行解，但代入目标函数得Z=33, 并非最优。
工作 人员 甲 乙 丙 丁
A 85 95 82 86
B 92 87 83 90
C 73 78 79 80
D 90 95 90 88
【解】此工作分配问题可以采用枚举法求解，即将所有分配方案 求出，总分最大的方案就是最优解。本例的方案有 4！＝4×3×2×1＝24种，当人数和工作数较多时，方案数是人数 的阶乘，计算量非常大。用0－1规划模型求解此类分配问题显得非 常简单。 工作 A B D C
运筹学
Operations Research
Hale Waihona Puke Chapter 5 整数规划
管理运筹学 第五章 整数规划
j 1
整数规划的类型
纯整数规划：变量全部是整数 混合整数规划：变量部分整数，部分非整数 0-1型整数规划：变量= 0或1
x2
3 2
2x1+3x2 =14.66
1
x1
2x1+3x2 =14
1
2
3 2x1+3x2 =6
4
整数规划对应松弛问题最优解为：
x1=2.44, x2=3.26,目标函数值为14.66。
如果A2和A3两地必 须有且只有一个建 厂，怎么办？
1、整数规划数学模型的一般形式
n
max(min) z c jx j n a ijx j ( , )b i (i 1,2, , m ) j 1 st. x j 0( j 1,2, , n ) xj部分或全部取整数
负数所在列加上一个常数，继续循环。
直到系数矩阵中没有负数，而且整个消耗系数矩阵的所有元素总和已经变小；此 时调整结束，重新回到step2。
步骤1：行减、列减
15 19 C 26 19
21 24 23 22 18 17 16 19 21 23 17 17
例5.6 有三种资源被用于生产三种产品，资源量、产品单件可变费用 及售价、资源单耗量及组织三种产品生产的固定费用见下表。要求制 定一个生产计划，使总收益最大。
5.3.2 0-1ILP的隐枚举法
解 为提高搜索效率，减少运算量，先按照目标函数中各变量系数的大小顺 序重新排列各变量。 对于求极大值问题，按照从小到大排为x3,x2,x1。（注意： 对于求极小值问题，应从大到小排序）
运筹学-第4章--整数规划习题
第四章 整数规划４.1 某工厂生产甲、乙两种设备,已知生产这两种设备需要消耗材料A 、材料B,有关数据如下,问这两种设备各生产多少使工厂利润最大？(只建模不求解）解:设生产甲、乙这两种设备的数量分别为x １、x 2,由于是设备台数,则其变量都要求为整数,建立模型如下:2123max x x z +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+为整数21212121,0,5.45.01432x x x x x x x x４．2 2197max x x z +=⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+-且为整数0,35763.212121x x x x x x t s 割平面法求解。
(下表为最优表）线性规划的最优解为：63max ,0,2/7,2/94321=====z x x x x由最终表中得:27221227432=++x x x ﻩ④ 将系数和常数项分解成整数和非负真分式之和，上式化为；2132********+=++x x x移项后得:①②③④①②③即：21221227212212274343-≤--→≥+x x x x 只要把增加的约束条件加到B 问题的最优单纯形表中。
表4-4由ｘ1行得:7327171541=-+x x x 将系数和常数项分解成整数和非负真分数之和:74476715541+=+-+x x x x得到新的约束条件： 74767154-≤--x x747671654-=+--x x x 在的最优单纯形表中加上此约束，用对偶单纯形法求解：则最优解为3,421==x x ，最优目标函数值为z *=55。
4．3 m ａx z =４ｘ1+３x 2+2x ３⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥+≥++≤+-10,,13344352.32132321321或x x x x x x x x x x x t s 隐枚举法解：(１）先用试探的方法找出一个初始可行解,如x 1=ｘ２＝０,x 3＝1。
满足约束条件，选其作为初始可行解，目标函数z 0=2。
运筹学：目标规划、整数规划习题与答案
一、判断题1、正偏差变量大于等于零，负偏差变量小于等于零。
（）正确答案：×2、系统约束中最多含有一个正或负的偏差变量。
（）正确答案：×3、目标约束一定是等式约束。
（）正确答案：√4、一对正负偏差变量至少一个大于零。
（）正确答案：×5、一对正负偏差变量至少一个等于零。
（）正确答案：√6、要求不超过目标值的目标函数是minZ= d+。
（）正确答案：√7、超出目标的差值称为正偏差。
（）正确答案：√8、未到达目标的差值称为负偏差。
（）正确答案：√二、填空题1. 用分枝定界法求极大化的整数规划问题时，任何一个可行解的目标函数值是该问题目标函数值的（）。
正确答案：下界2.在分枝定界法中，若选Xr=4／3进行分支，则构造的约束条件应为（）。
正确答案：X1<=1，X1>=23. 已知整数规划问题P0，其相应的松驰问题记为P0’，若问题P0’无可行解，则问题P0（）。
正确答案：无可行解4.在0 - 1整数规划中变量的取值可能是（）。
正确答案：0或15. 对于一个有n项任务需要有n个人去完成的分配问题，其解中取值为1的变量数为（）个。
正确答案：n三、选择题1. 整数规划问题中，变量的取值可能是（）。
A.整数B.0或1C.大于零的非整数D.以上三种都可能正确答案：D2.在下列整数规划问题中，分枝定界法和割平面法都可以采用的是（）。
A.纯整数规划B.混合整数规划C.0—1规划D.线性规划正确答案：A3.下列方法中用于求解分配问题的是（）。
A.单纯形表B.分枝定界法C.表上作业法D.匈牙利法正确答案：D。
运筹学整数规划例题
练习 4.9 连续投资问题某公司现有资金10万元, 拟在今后五年考虑用于下列项目的投资: 项目A:从第一年到第四年每年年初需要投资, 并于次年收回本利115%,但要求第一年投资最低金额为4 万元, 第二. 三. 四年不限.项目B:第三年初需要投资, 到第五年末能收回本利128%,但规定最低投资金额为3万元,最高金额为 5 万元.项目C:第二年初需要投资, 到第五年末能收回本利140%,但规定其投资金额或为2万元,或为 4 万元, 或为 6 万元, 或为8 万元.项目D:五年每年年初都可购买公债,于当年末归还, 并获利6%,此项目投资金额不限. 试问该公司应图和确定这些项目的每年投资金额, 使到第五年末拥有最大的资金收益.(1)x 为项目各年月初投入向量。
(2)x ij 为i 种项目j 年的月初的投入(3)向量c中的元素cij为i 年末j种项目收回本例的百分比(4)矩阵A中元素aij为约束条件中每个变量xij的系数。
(5)Z为第5年末能拥有的资金本利最大总额。
因此目标函数为max Z 1.15 x4 A 1.28 x3B 1.40x2C 1.06 x5 D束条件应是每年年初的投资额应等于该投资者年初所拥有的资金第 1 年年初该投资者拥有10 万元资金, 故有x1A x1D 100000 .第 2 年年初该投资者手中拥有资金只有 1 6% x1D , 故有x2A x2C x2D 1.06 x1D .第3 年年初该投资者拥有资金为从D 项目收回的本金: 1.06x2D , 及从项目 A 中第1 年投资收回的本金: 1.15x1A , 故有max=1.15*x4a+1.28*x3b+1.4*x2c+1.06*x5d; x1a+x1d=100000;-1.06*x1d+x2a+x2c+x2d=0;-1.15*x1a-1.06*x2d+x3a+x3b+x3d=0; -1.15*x2a-1.06*x3d+x4a+x4d=0; -1.15*x3a-1.06*x4d+x5d=0; x2c=40000 ; x2c=60000; x2c=80000; x2c=20000; x3b>=30000; x3b<=50000;x1a>=0;x2a>=0;x3a>=0;x4a>=0;x5a>=0; x1b>=0;x2b>=0;x3b>=0;x4b>=0;x5b>=0; x1c>=0;x2c>=0;x3c>=0;x4c>=0;x5c>=0; x1d>=0;x2d>=0;x3d>=0;x4d>=0;x5d>=0;x 3A x 3B x 3D 1.15 x 1A 1.06 x 2 D同理第 4年、第 5 年有约束为 x 4A x 4D 1.15 x 2 A 1.06 x 3 D ,x5D1.15 x 3 A 1.06x 4DVariable Value Reduced Cost X4A 22900.00 0.000000X3B 50000.00 0.000000X2C 40000.00 0.000000X5D 0.000000 0.000000X1A 62264.15 0.000000X1D 37735.85 0.000000X2A 0.000000 0.000000X2D 0.000000 0.3036000E-01 X3A 0.000000 0.000000X3D 21603.77 0.000000X4D 0.000000 0.2640000E-01 X5A 0.000000 0.000000X1B 0.000000 0.000000X2B 0.000000 0.000000X4B 0.000000 0.000000X5B 0.000000 0.000000X1C 0.000000 0.000000X3C 0.000000 0.000000X4C 0.000000 0.000000X5C 0.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 80000.00 1.0000002 0.000000 1.4018503 0.000000 1.3225004 0.000000 1.2190005 0.000000 1.1500006 0.000000 1.0600007 0.000000 -0.8388608E+188 -20000.00 -0.1280000E+109 -40000.00 -0.1280000E+1010 -20000.00 0.1280000E+1011 20000.00 0.00000012 0.000000 0.6100000E-0113 62264.15 0.00000014 0.000000 0.00000015 0.000000 0.00000016 22900.00 0.00000017 0.000000 0.00000018 0.000000 0.00000019 0.000000 0.00000020 50000.00 0.00000021 0.000000 0.00000022 0.000000 0.00000023 0.000000 0.00000024 40000.00 0.00000025 0.000000 0.00000026 0.000000 0.00000027 0.000000 0.00000028 37735.85 0.00000029 0.000000 0.00000030 21603.77 0.00000031 0.000000 0.00000032 0.000000 0.0000004.10 某城市的消防总站将全市划分为11个防火区，现有4个消防站，图4-11 给出的是该城市各防火区域和防火站的示意图，其中1,2,3,4 ，表示消防站1，2，⋯11 表示防火区域，根据历史资料证实，各消防站可在事先规定允许的时间对所负责的区域的火灾予以扑灭，图中没有虚线连接的就表示不负责，现在总部提出：能否减少消防站的数目，仍能保证负责各地区的防火任务？如果可以的话，应该关闭哪个？练习 4.10某城市的消防站总部将全市划分为11 个防火区，现有四的。
整数规划
若某钻井队要从以下10个可供选择的井位中确定5个钻井探油。
使总的钻探费用为最小。
若10个井位的代号为S 1,S 2．…，S 10相应的钻探费用为C 1 ,C 2 ,… C 10，并且井位选择要满足下列限制条件： (1)在s 1，s 2，S 4中至多只能选择两个；（2）在S 5，s 6中至少选择一个；（3）在s 3，s 6，S 7，S 8中至少选择两个。
试建立这个问题的整数规划模型解：设x j （j=1,…,10）为钻井队在第i 个井位探油 minZ=j j j x c ∑=101背包问题：一个登山队员，他需要携带的物品有：食品、氧气、冰镐、绳索、帐篷、照相器材、通信器材等。
每种物品的重量合重要性系数如表所示。
设登山队员可携带的最大重量为25kg,试选择该队员所应携带的物品。
序号 1 2 3 4 5 6 7物品 食品 氧气 冰镐 绳索 帐篷 照相器材 通信设备 重量/Kg 5 5 2 6 12 2 4 重要性系数 201518148410解：引入0—1变量x i , x i =1表示应携带物品i ，,x i =0表示不应携带物品I⎩⎨⎧==≤++++++++++++=7,...,2,1,10254212625510481418152076543217654321i x x x x x x x x x x x x x x x naxz i 或集合覆盖和布点问题某市消防队布点问题。
该市共有6个区，每个区都可以建消防站，市政府希望设置的消防站最少，但必须满足在城市任何地区发生火警时，消防车要在15min 内赶到现场。
据实地测定，各区之间消防车行驶的时间见表，请制定一个布点最少的计划。
解：引入0—1变量x i , x i =1表示在该区设消防站，,x i =0表示不设⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥++≥++≥++≥+≥++≥++++++=01111111min 6526545434362121654321或i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z解得： X*=(0,1,0,1,0,0)’ Z*=2某公司现有5个项目被列入投资计划，各项目的投资额和期望的投资收益如下表所示：该公司只有600万元资金可用于投资，由于技术上的原因，投资受到以下条件的约束：（1）在项目1、2和3中必须有一项被选中，（2）项目3和项目4只能选中一项，（3）项目5被选中的前提是项目1必须被选中。
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一、单选题
1、下列说法正确的是（）。
A.分枝定界法在处理整数规划问题时，借用线性规划单纯形法的基本思想，在求相应的线性模型解的同时，逐步加入对各变量的整数要求限制，从而把原整数规划问题通过分枝迭代求出最优解
B.用割平面法求解整数规划问题，构造的割平面有可能切去一些不属于最优解的整数解
C.用分枝定界法求解一个极大化的整数规划时，当得到多于一个可行解时，通常可任取其中一个作为下界，再进行比较剪枝
D.整数规划问题最优值优于其相应的线性规划问题的最优值
正确答案：A
2、整数规划的最优解中，决策变量满足（）。
A.决策变量不是整数
B.没有要求
C.决策变量至少有一个是整数
D.决策变量必须都是整数
正确答案：D
3、下列（）可以求解指派问题。
A.梯度法
B.牛顿法
C.单纯形法
D.匈牙利法
4、整数规划中，通过增加线性约束条件将原规划可行域进行切割，切割后的可行域的整数解正好是原规划的最优解的方法是（）。
A.隐枚举法
B.0-1规划法
C.分支定界法
D.割平面法
正确答案：D
5、标准指派问题（m人，m件事）的规划模型中，有（）个决策变量。
A.都不对
B. m*m
C. m
D.2m
正确答案：B
二、判断题
1、匈牙利法可以直接求解极大化的指派问题。
（）
正确答案：×
2、整数规划的可行解集合是离散型集合。
（）
正确答案：√
3、用分支定界法求一个极大化的整数规划时，任何一个可行解的目标函数值是该问题的目标函数值的下界。
（）
4、用分支定界法求一个极大化的整数规划时，当得到多于一个可行解时，通常可以任取一个作为下界值，在进行比较和剪枝。
（）正确答案：×
5、用割平面求纯整数规划时，要求包括松弛变量在内的全部变量都取整数。
（）
正确答案：√。