2020-2021九年级数学直角三角形的边角关系的专项培优 易错 难题练习题(含答案)含详细答案

2020-2021九年级数学直角三角形的边角关系的专项培优 易错 难题练习题(含答

案)含详细答案

一、直角三角形的边角关系

1．某地是国家AAAA 级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为 “小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ，想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40o ，从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60o ，5CB m ＝, 2.7CD m ＝．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m ．于是，他们很快就算出了AB 的长．你也算算？（结果精确到0.1m ．参考数据：400.64400.77400.84sin cos tan ︒≈︒≈︒≈，，.2 1.41,3 1.73≈≈）

【答案】AB 的长约为0.6m ．

【解析】

【分析】

作BF CE ⊥于F ，根据正弦的定义求出BF ，利用余弦的定义求出CF ，利用正切的定义求出DE ，结合图形计算即可．

【详解】

解：作BF CE ⊥于F ，

在Rt BFC ∆中， 3.20BF BC sin BCF ⋅∠≈＝，

3.85CF BC cos BCF ⋅∠≈＝，

在Rt ADE ∆E 中，3 1.73tan 3

AB DE ADE ===≈∠， 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+＝﹣＝，＝＝﹣＝

由勾股定理得，22BH AH 0.6(m)AB =+≈，

答：AB 的长约为0.6m ．

【点睛】

考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

2．在等腰△ABC中，∠B=90°，AM是△ABC的角平分线，过点M作MN⊥AC于点N，

∠EMF=135°．将∠EMF绕点M旋转，使∠EMF的两边交直线AB于点E，交直线AC于点F，请解答下列问题：

（1）当∠EMF绕点M旋转到如图①的位置时，求证：BE+CF=BM；

（2）当∠EMF绕点M旋转到如图②，图③的位置时，请分别写出线段BE，CF，BM之间的数量关系，不需要证明；

（3）在（1）和（2）的条件下，tan∠BEM=，AN=+1，则BM=，CF=．

【答案】（1）证明见解析（2）见解析（3）1，1+或1﹣

【解析】

【分析】

(1)由等腰△ABC中，∠B=90°，AM是△ABC的角平分线，过点M作MN⊥AC于点N，可得BM=MN，∠BMN=135°，又∠EMF=135°，可证明的△BME≌△NMF，可得BE=NF，

NC=NM=BM进而得出结论；

（2）①如图②时，同（1）可证△BME≌△NMF，可得BE﹣CF=BM，

②如图③时，同（1）可证△BME≌△NMF，可得CF﹣BE=BM；

(3) 在Rt△ABM和Rt△ANM中，，

可得Rt△ABM≌Rt△ANM，后分别求出AB、 AC、 CN 、BM、 BE的长，结合（1）（2）的结论对图①②③进行讨论可得CF的长.

【详解】

（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠BAC=∠C=45°，

∵AM是∠BAC的平分线，MN⊥AC，

∴BM=MN，

在四边形ABMN中，∠，BMN=360°﹣90°﹣90°﹣45°=135°，∵∠ENF=135°，，

∴∠BME=∠NMF，

∴△BME≌△NMF，

∴BE=NF，

∵MN⊥AC，∠C=45°，

∴∠CMN=∠C=45°，

∴NC=NM=BM，

∵CN=CF+NF，

∴BE+CF=BM；

（2）针对图2，同（1）的方法得，△BME≌△NMF，

∴BE=NF，

∵MN⊥AC，∠C=45°，

∴∠CMN=∠C=45°，

∴NC=NM=BM，

∵NC=NF﹣CF，

∴BE﹣CF=BM；

针对图3，同（1）的方法得，△BME≌△NMF，

∴BE=NF，

∵MN⊥AC，∠C=45°，

∴∠CMN=∠C=45°，

∴NC=NM=BM，

∵NC=CF﹣NF，

∴CF﹣BE=BM；

（3）在Rt△ABM和Rt△ANM中，，

∴Rt△ABM≌Rt△ANM（HL），

∴AB=AN=+1，

在Rt△ABC中，AC=AB=+1，

∴AC=AB=2+，

∴CN=AC﹣AN=2+﹣（+1）=1，

在Rt△CMN中，CM=CN=，

∴BM=BC﹣CM=+1﹣=1，

在Rt△BME中，tan∠BEM===，

∴BE=，

∴①由（1）知，如图1，BE+CF=BM，

∴CF=BM﹣BE=1﹣

②由（2）知，如图2，由tan∠BEM=，

∴此种情况不成立；

③由（2）知，如图3，CF﹣BE=BM，

∴CF=BM+BE=1+，

故答案为1，1+或1﹣．

【点睛】

本题考查三角函数与旋转与三角形全等的综合，难度较大，需综合运用所学知识求解.

3．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．

（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）求证：BC2＝2CD•OE；

（3）若

314

cos,

53

BAD BE

∠==，求OE的长．

【答案】（1）DE为⊙O的切线，理由见解析；（2）证明见解析；（3）OE =35

6

．

【解析】

试题分析：（1）连接OD，BD，由直径所对的圆周角是直角得到∠ADB为直角，可得出△BCD为直角三角形，E为斜边BC的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到CE=DE，从而得∠C=∠CDE，再由OA=OD，得∠A=∠ADO，由Rt△ABC中两锐角互余，从而可得∠ADO与∠CDE互余，可得出∠ODE为直角，即DE垂直于半径OD，可得出DE为⊙O的切线；

（2）由已知可得OE是△ABC的中位线，从而有AC=2OE，再由∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，可得△ABC∽△BDC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得；

（3）在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，根据三角形中位线定理OE的长即可求得．

试题解析：（1）DE为⊙O的切线，理由如下：