八年级下册第一章《直角三角形》培优习题
《直角三角形的应用与动点问题》培优资料
《直角三角形的应用与动点问题》培优资料一、例题例1、小明在轮船上，看见前面岛上有个灯塔，仰角为15°，当轮船向岛的方向行驶5米时，此时小明看灯塔的仰角为30°，求灯塔离海平面的高度。
例2．在一棵树10m 高的B 处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m 处的池塘A 处；另 外一只爬到树顶D 处后直接跃到A 外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等， 试问这棵树有多高？例3．一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是_____________。
例4．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺， 求竹竿高与门高。
A BA B C D 15° 30°A A ′B B ′ O 例5、一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平 方向滑动了几米？例6．如图，在气象站台A 的正西方向240km 的B 处有一台风中心，该台风中心以每小时20km 的速度沿北偏东o 60的BD 方向移动，在距离台风中心130km 内的地方都要受到其影响。
⑴台风中心在移动过程中，与气象台A 的最短距离是多少？⑵台风中心在移动过程中，气象台将受台风的影响，求台风影响气象台的实践会持续多长？例7、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10cm ，AC ：BC=4：3，点P 从点A 出发沿AB 方向向点B 运动，速度为1cm/s ，同时点Q 从点B 出发沿B→C→A 方向向点A 运动，速度为2cm/s ，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．（1）求AC 、BC 的长；（2）当x=5秒时，在直线PQ 上是否存在一点M ，使△BCM 得周长最小？若存在，求出最小周长；若不存在，请说明理由．（3）设点P 的运动时间为t （秒），以点B 、P 、Q 为顶点的三角形是Rt △,求t 的值.例8、如图在Rt ABC ∆中,90B ∠=︒,30C ∠=︒, 12AB =厘米,点P 从点A 出发沿线路AB —BC 作匀速运动，点Q 从AC 的中点D 同时出发沿线路DC —CB 作匀速运动逐步靠近点P, 设P,Q 两点运动的速度分别为1厘米/秒、a 厘米/秒（1a >），它们在t 秒后于BC 边上的某一点E 相遇.⑴求出AC 与BC 的长度.⑵若以D,E,C 为顶点的三角形是Rt △,试分别求出a 与t 的值.C B AD P QB C A 30° 5 20 15 10 C A B二、练习1.如图一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距 （ ）A 、25海里B 、30海里C 、35海里D 、40海里2、某人欲从A 点横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C 偏离欲到达点B 240米，结果他在水中实际游了510米，则该河的宽度为 米。
新湘教版八年级下册第一章直角三角形测试
第一章 直角三角形单元测试题（时限：100分钟 总分：100分）班级 姓名 总分一、 选择题(本题共8小题，每小题4分，共32分)1.下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是 ( )A. 4，5，6B.1，1， C. 6，8，11 D. 5，12，232.一个正方形的面积为216cm ，则它的对角线长为 ( )A. 4 cmB.6cm3如图，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，且PD ＝PE ，则△APD 与△APE 全等的理由是（ ）A ．SAS B.AASC. SSSD.HL4. 三角形内到三边的距离相等的点是（ ）A. 三条中线的交点B. 三条高的交点C. 三条角平分线的交点D. 以上均不对第3题5. 如果梯子的底端离建筑物5 米，13 米长的梯子可以达到该建筑物的高度是( )A . 12 米 B. 13 米 C. 14 米D. 15 米6. 等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为( )A.43B.3C. 23D.37. 如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1＋∠2等于( )第7题A．315° B．270°C．180° D．135°8. 在△ABC中，∠C＝90°，角平分线AD交BC于点D，若BC＝32，BD∶CD＝9∶7，则D点到AB边的距离为（）A . 18 B. 16 C. 14 D. 12二、填空题(本题共8小题，每小题4分，共32分)9. 已知△ABC的三边长分别为1，3，2，则△ABC是D三角形.CAB10. 等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边的长为 . 11. 如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD 的周长 是 .12. 在直角三角形中，两锐角之比为2:1，则两锐角的度数分别为 ．13. 如图，以Rt △ABC 的三边向外作正方形，其面积分别为1S ，2S ，3S 且14S =，28S =，则3S = ；以Rt ∆ABC 的三边向外作等边三角形，其面积分别为 1S ，2S ，3S ， 则1S ，2S ，3S 三者之间的关系为 .14. 如图，△ABC 中，∠C =90°，点D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，且AE=EB ，DE=DC ，则∠B 的度数为 ．15. 如图，△ABC 中，∠C =90°，AC=BC ，AD 平分∠BAC ，BD =3.5，BC =6，则△ABC 的周长是 ．16. 如图，在△ABC 中，∠A =90，BD 是角平分线，若AD =m ，BC =n ，则△BDC 的面积为 ．A第11题三、解答题(本题共5小题，共36分) 17.（本小题满分7分）如图，90C ∠=︒，AC =3，BC =4，AD =12，BD =13，试判断△ABD 的形状，并说明理由.18. （本小题满分7分）如图，在直角△ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC 且交AC 于D ，若AP 平分∠BAC 交BD 于点P ，求∠APB 的度数.ABCDE第16题19. （本小题满分7分）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，且AC=BC. 过点C作一条射线CE ⊥AE于点E，再过点B作BD⊥CE于点D. 试证明AE=BD+DE.20.（本小题满分7分）如图，一个梯子AB长10 米，顶端A靠在墙上的AC上，这时梯子下端B与墙角c距离为6 米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为1 米，求梯子顶端A下落了多少米？（精确到0.01 )121.（本小题满分8分）D B小明将一幅三角板如图所示摆放在一起，若已知AC ，求CD的长.参考答案第一章 直角三角形一、选择题：1.B ；2.B ；3. D ；4.C ；5.A ；6.B ；7.B ；8 C. 二、填空题：9. 直角； 10. 16； 11. 12. 30︒，60︒； 13. 12；S1+S 2=S 3 14. 30︒ ； 15. 20.5或12+16. mn DE BC S ABC 2121=⨯⨯=∆.三、解答题：17. △ABD 为直角三角形. 理由如下：90C ∠=︒，AC =3，BC =4，5AB ∴=.22251213+=,222AB AD BD ∴+=. 90BAD ∴∠=︒.18. 135APB ∠=︒.19. 利用“AAS ”判定△ACE ≌△CBD ，,AE CD CE BD ∴==.AE CD CE DE BD DE ∴==+=+.20. 梯子顶端A 下落了0.86米. 21. 2．。
八年级下册第一章《直角三角形》培优习题
八年级下册第一章《直角三角形》培优习题一、知识要点填空：1、直角三角形的性质：（1）直角三角形的两个锐角_________（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________;（3）直角三角形30°角所对的直角边是______的一半；（4）直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°.2、直角三角形的判定方法：（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；（2）有两个角______的三角形是直角三角形；（3）如果一条边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、等腰直角三角形是特殊的直角三角形，它的两个底角都是_____,且两条直角边相等。
等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质，是很常见的特殊三角形。
二、练习题1、如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则则∠1+∠2等于__________.2、设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示它们之间关系的是（）A. B.C. D.3、如图，Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，BE平分∠ABC，交AD于E，EF∥AC，下列结论一定成立的是（）A.AB=BF B．AE=ED C．AD=DC D．∠ABE=∠DFE4、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能的是（）A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．75、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（） A．3 B．2 C．3 D．16、已知等腰△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，且AD=21BC ，则△ABC 底角的度数为___________________.7、四边形ABCD 由一个∠ACB=30°的Rt △ABC 与等腰Rt △ACD 拼成，E 为斜边AC 的中点，则∠BDE=__________．8、已知：在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D ，∠ABC 的平分线BE 交AD 于点F ，试说明AE=AF.9、在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，∠ABC 的平分线BD 交AC 于D ，CE ⊥BD 的延长线于点E ．求证：CE ＝21BD10、一根长2a 的木棍（AB ），斜靠在与地面（OM ）垂直的墙（ON ）上，设木棍的中点为P ．若木棍A 端沿墙下滑，且B 端沿地面向右滑行．木棍滑动的过程中，点P 到点0的距离不变化，在木棍滑动的过程中，△AOB 的面积最大为______________.11、如图在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 、CE 分别是斜边AB 边上的高与中线，CF 是∠ACB 的平分线，则∠1与∠2的大小关系是（ ）A ．∠1>∠2 B. ∠1=∠2 C. ∠1<∠2 D.不能确定12、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=2BC ，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得△PAB 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有（ ）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个13、如图，在直角三角形ABC 中，CM 是斜边AB 上的中线，MN ⊥AB ，∠ACB 的平分线CN 交MN 于N ，求证：CM=MN ．14、如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB 中，作内接正方形A 1B 1D 1C 1；在等腰直角三角形OA 1B 1中作内接正方形A 2B 2D 2C 2；在等腰直角三角形OA 2B 2中作内接正方形A3B3D3C3；…；依次做下去，则第n个正方形A nB n D nC n的边长是_______________.15、下面的方格图案中的正方形顶点叫做格点，图1中以格点为顶点的等腰直角三角形共有4个，图2中以格点为顶点的等腰直角三角形共有________个，图3中以格点为顶点的等腰直角三角形共有_________个，图4中以格点为顶点的等腰直角三角形共有_________个．16、如图，在△ABC中，∠B=90°，∠BAC=78°，过C作CF∥AB,连接AF于BC相交于G，若GF=2AC，则∠BAG=17、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②DE长度的最小值为4；③四边形CDFE的面积保持不变；④△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A．①②③B．①③ C．①③④D．②③④18、如图，已知OA=a，P是射线ON上一动点（即P可以在射线ON上运动），∠AON=60°，填空：（1）当OP=_________时，△AOP为等边三角形；（2）当OP=__________时，△AOP为直角三角形；（3）当OP满足___________时，△AOP为钝角三角形．GF CB A。
2020最新湘教版初二(八年级)下册第一章《直角三角形》专项训练
直角三角形单元测试A一、选择题（30分）1、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，斜边AB的长为2cm，则AC的长为（）A. 4 cm；B. 2cm；C. 1 cm；D. 12 cm；2、下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（）A. 3，4，4；B. 3，4，5；C. 3，4，6；D. 3，4，7；3. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠B=30∘，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD=3，则BC的长为( )A. 6B. 6√3C. 9D. 3√34. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是( )A. 6B. 7C. 8D. 95. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A．4，5，6B．2，3，4C．1，1，D．1，2，26. 下列说法中正确的是（）A．已知a，b，c是三角形的三边长，则a2+b2=c2B．在直角三角形中，两边长和的平方等于第三边长的平方C．在Rt△ABC中，若△C=90°，则三角形对应的三边满足a2+b2=c2D．在Rt△ABC中，若△A=90°，则三角形对应的三边满足a2+b2=c27. 如图，在△ABC中，AD是△ABC中△BAC的平分线，且BD＞DC，则下列说法中正确的是( )A.点D到AB边的距离大于点D到AC边的距离B.点D到AB边的距离等于点D到AC边的距离C.点D到AB边的距离小于点D到AC边的距离D.点D到AB边的距离与点D到AC边的距离大小关系不确定8. 在△ABC中，∠C＝90°，角平分线AD交BC于点D，若BC＝32，BD∶CD＝9∶7，则D点到AB边的距离为（）A . 18 B. 16 C. 14 D. 129.等腰三角形的一腰长为3a，底角为15°，则另一腰上的高为( )A.aB.32a C.2a D.3a10.如图，已知点P到AE,AD,BC的距离相等，下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上.其中正确的是( )A.①②③④B.①②③C.④D.②③二、填空题（32分）11.若直角三角形的一个锐角为50°，则另一个锐角的度数是__________.12.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，BC=3 cm，AB=__________cm.13.已知,在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，且AD=3，AC=6.则AB=__________.14.如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点，EF=4，BC=6，则△EFM的周长是__________.15、如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值是。
湘教版八年级数学下册《第一章 直角三角形》测试卷-带参考答案
湘教版八年级数学下册《第一章直角三角形》测试卷-带参考答案一、选择题(每题3分，共30分)1.下列各组数中，以它们为边长能构成直角三角形的是()A.1，3，4B.2，3，4C.1，1，√3D.5，12，132.如图，已知AB∥CD，点E在直线AB上，点F，G在直线CD上，EG⊥EF于点E，∠AEF＝40°，则∠EGF的度数是()(第2题)A.40°B.45°C.50°D.60°3.如图，在4×3的正方形网格中，标记格点A，B，C，D，且每个小正方形的边长都是1，下列选项中的线段长度为√13的是()(第3题)A.线段ABB.线段BCC.线段CDD.线段AD4.(母题：教材P16习题T2)在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C所对的边.下列条件中，不能得出△ABC是直角三角形的是()A.b2＝a2－c2B.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5C.∠C＝∠A－∠BD.a∶b∶c＝1∶√3∶√25.如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分AC，交AB于点D，E是垂足，连接CD.若BD＝1，则AC的长是()(第5题)A.2√3B.2C.4√3D.46.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，∠BCD＞∠CBD，BC＝24，P，Q分别是BD，BC上的动点，当CP＋PQ取得最小值时，BQ的长是()(第6题)A.8B.10C.12D.167.若△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)2＋｜a2＋b2－c2｜＝0，则△ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.无法确定8.如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝√3，则△AOB 与△BOC的面积之和为()(第8题)A.√34B.√32C.3√34D.√39.如图，边长为6的正方形ABCD中，M为对角线BD上的一点，连接AM并延长交CD于点P.若PM＝PC，则AM的长为()(第9题)A.3(√3－1)B.3(3√3－2)C.6(√3－1)D.6(3√3－2)10.“春节”是我国最重要的传统节日，在春节期间有很多习俗，贴对联、剪窗花、挂彩灯、吃饺子、守岁、放鞭炮等，为了增添节日的气氛，某同学家买了一串长52 cm的彩灯，按如图方式(从A绕到B)缠绕在圆柱体的柱子上，且柱子的底面周长为10 cm，则柱子高()(第10题)A.2√651 cmB.√69 cmC.12 cmD.48 cm二、填空题(每题3分，共24分)11.如图，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC，∠ACB的平分线，若∠BPC＝130°，则∠A＝.(第11题)12.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，若AB＝5，BC＝6，则AD的长度为.(第12题)13.如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB于点M，OC＝5，OM＝4，则点C到射线OA的距离为.(第13题)14.已知直角三角形的两边长分别为3和4，则此三角形的周长为.15.如图所示的象棋棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为.(第15题)16.七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为4 dm的正方形纸板制作了一副七巧板(如图)，由5个等腰直角三角形、1个正方形和1个平行四边形组成，则图中阴影部分的面积为dm2.(第16题)17.如图，边长为2的等边三角形ABC的两个顶点A，B分别在两条射线OM，ON 上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是.(第17题)18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的三边为边向外作正方形ACDE，正方形CBGF，正方形AHIB，P是HI上一点，记正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，若S1＝16，S2＝25，则四边形ACBP的面积等于.(第18题)三、解答题(19～22题每题10分，23题12分，24题14分，共66分)19.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，CD＝3.(1)求DE的长；(2)若AC＝6，BC＝8，求△ADB的面积.20.(母题：教材P16习题T2)如图，在边长为1的小正方形组成的网格图中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列问题：(1)求△ABC的周长；(2)试判断△ABC的形状.21.海绵城市是新一代城市雨洪管理概念，下雨时吸水、蓄水、渗水、净水，需要时将蓄存的水释放并加以利用.某市是全国首批16个海绵城市建设试点城市之一，其中位于梦溪路与滨水路交界处的海绵主题公园，既是周边汇水区雨洪管理的一个有机模块，也是立体化展示海绵技术的科普公园，园区内有一块下沉式绿地(四边形ABCD，如图)，经测量，AB∥CD，AB＝BC＝20米，∠B＝60°，∠D＝45°，求该绿地的周长(结果保留根号).22.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB 于点E.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠BDE的度数.23.如图，学习了勾股定理后，数学兴趣小组的小红和小明对离教室不远的一个直角三角形空地斜边上的高进行了探究：两人在直角边AB上距离直角顶点B为9米远的点D处同时开始测量，点C为终点，小明沿D→B→C的路径测得所经过的路程为18米，小红沿D→A→C的路径测得所经过的路程为18米，这时小明说：“我能求出这个直角三角形空地斜边上的高了.”小红说：“我也知道怎么求出这个直角三角形空地斜边上的高了.”你能求出这个直角三角形空地斜边上的高吗？若能，请你求出来；若不能，请说明理由.24.如图，∠A＝90°，AB＝AC，BD⊥AB，BC＝AB＋BD.(1)写出AB与BD的数量关系；(2)延长BC到点E，使CE＝BC，延长DC到点F，使CF＝DC，连接EF，求证：EF⊥AB；(3)在(2)的条件下，作∠ACE的平分线，交AF于点H，求证：AH＝FH.答案一、1.D 2.C3.B 【点拨】由题意得AB＝√12＋22＝√5，BC＝√22＋32＝√13，CD＝√12＋12＝√2，AD＝√12＋32＝√10，故选B.4.B 【点拨】根据三角形内角和等于180°判断B，C；根据勾股定理的逆定理判断A，D，即可得出答案.5.A6.C 【点拨】作点Q关于BD的对称点H，易知点H在直线AB上，连接PH，则PQ＝PH，BH＝BQ，∴CP＋PQ＝CP＋PH，∴当C，H，P三点在同一直线BC 上，且CH⊥AB时，CP＋PQ＝CH为最短.易得此时∠BCH＝30°，∴BH＝12×24＝12，∴BQ＝12.故选C.＝127.C8.C9.C 【点拨】∵四边形ABCD是边长为6的正方形∴AD＝CD＝6，∠ADC＝90°，∠ADM＝∠CDM＝45°.又∵DM＝DM∴△ADM≌△CDM(SAS)∴∠DAM＝∠DCM.∵PM＝PC，∴∠CMP＝∠DCM∴∠APD＝∠CMP＋∠DCM＝2∠DCM＝2∠DAM.又∵∠APD＋∠DAM＝180°－∠ADC＝90°∴∠DAM＝30°.设PD＝x，则AP＝2PD＝2x，PM＝PC＝CD－PD＝6－x∴AD＝√AP2－PD2＝√3x＝6，解得x＝2√3∴PM＝6－x＝6－2√3，AP＝2x＝4√3∴AM＝AP－PM＝4√3－(6－2√3)＝6(√3－1).10.D二、11.80°【点拨】∵∠BPC＝130°∴∠CBP＋∠BCP＝180°－∠BPC＝50°.∵BP，CP分别是∠ABC，∠ACB的平分线∴∠ABC＝2∠CBP，∠ACB＝2∠BCP∴∠ABC＋∠ACB＝2(∠CBP＋∠BCP)＝100°∴∠A＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝80°.12.4 【点拨】∵AB＝AC，AD是BC边上的中线∴AD⊥BC，BD＝CD，∴∠ADB＝90°.∵BC＝6，∴BD＝CD＝3.在Rt△ABD中，根据勾股定理得AD＝√AB2－BD2＝√52－32＝4.13.314.12或7＋√715.√2【点拨】如图，第一步到①，第二步到②.故走两步后的落点与出发点间的最短距离为√12＋12＝√2.16.2 【点拨】如图所示AD＝2√2 dm依题意，得OD＝√22OD＝√2 dm.OE＝12∴阴影部分的面积为OE2＝(√2)2＝2(dm2).17.1＋√3【点拨】取AB中点D，连接OD，DC∴OC≤OD＋DC，当O，D，C三点共线时，OC有最大值，最大值是OD＋CD.∵△ABC为边长为2的等边三角形，点D为AB中点∴AB＝BC＝2，BD＝1，CD⊥AB∴CD＝√BC2－BD2＝√3.∵△AOB 为直角三角形，点D 为斜边AB 的中点 ∴OD ＝12AB ＝1，∴OD ＋CD ＝1＋√3 即OC 的最大值为1＋√3.18.18.5 【点拨】∵正方形ACDE 和正方形AHIB 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝16，S 2＝25∴AC ＝4，AB ＝5.易得正方形CBGF 的面积＝CB 2＝AB 2－AC 2＝25－16＝9，∴BC ＝3.∴四边形ACBP 的面积＝S △ABC ＋S △ABP ＝12×3×4＋12×5×5＝18.5.三、19.【解】(1)∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB 于点E ，∴DE ＝CD .∵CD ＝3，∴DE ＝CD ＝3.(2)∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8 ∴AB ＝√62＋82＝10. ∵由(1)知，DE ＝CD ＝3∴S △ABD ＝12AB ·DE ＝12×10×3＝15.20.【解】(1)∵AB ＝√22＋12＝√5，AC ＝√22＋42＝2√5，BC ＝√32＋42＝5，∴AB ＋AC ＋BC ＝√5＋2√5＋5＝3√5＋5，即△ABC 的周长为3√5＋5. (2)∵AB 2＋AC 2＝(√5)2＋(2√5)2＝25，BC 2＝52＝25，∴AB 2＋AC 2＝BC 2. ∴△ABC 是直角三角形.21.【解】连接AC ，过点A 作AE ⊥CD ，垂足为点E ，如图.∵AB ＝BC ＝20米，∠B ＝60° ∴△ABC 是等边三角形. ∴AC ＝AB ＝20米，∠BAC ＝60°. ∵AB ∥CD∴∠ACE ＝∠BAC ＝60°.又∵∠AEC ＝90°，∴∠CAE ＝30°.∴CE ＝12AC ＝10米.∴AE ＝√AC 2－CE 2＝10√3米.∵∠AED ＝90°，∠D ＝45°，∴∠EAD ＝45°. ∴DE ＝AE ＝10√3米.由勾股定理得AD ＝√AE 2＋DE 2＝10√6米. ∴该绿地的周长＝AB ＋BC ＋CD ＋DA ＝20＋20＋10＋10√3＋10√6 ＝50＋10√3＋10√6(米).22.(1)【证明】∵∠ABC 的平分线交AC 于点D ∴∠ABD ＝∠CBD .∵DE ∥BC ，∴∠EDB ＝∠CBD . ∴∠EBD ＝∠EDB .∴BE ＝DE .(2)【解】∵∠A ＝80°，∠C ＝40°，∴∠ABC ＝60°. ∵∠ABC 的平分线交AC 于点D ∴∠ABD ＝∠CBD ＝12∠ABC ＝30°. 由(1)知∠BDE ＝∠EBD ，∴∠BDE ＝30°. 23.【解】能.设BC ＝a 米，AC ＝b 米，AD ＝x 米，斜边AC 上的高为h 米，则9＋a ＝x ＋b ＝18，∴a ＝9，b ＝18－x .在Rt △ABC 中，由勾股定理得(9＋x )2＋a 2＝b 2 ∴(9＋x )2＋92＝(18－x )2，解得x ＝3，即AD ＝3米. ∴AB ＝AD ＋DB ＝3＋9＝12(米)，AC ＝15米. ∴12×9×12＝12×15h ，解得h ＝365.答：这个直角三角形空地斜边上的高为365米. 24.(1)【解】∵∠A ＝90°，AB ＝AC ，∴BC ＝√2AB . ∵BC ＝AB ＋BD ，∴√2AB ＝AB ＋BD 即(√2－1)AB ＝BD .第 11 页 共 11 (2)【证明】如图①，∵CE ＝BC ，∠2＝∠1，CF ＝DC ，∴△CEF ≌△CBD①∴∠E ＝∠DBC ，∴EF ∥BD ，∵BD ⊥AB ，∴EF ⊥AB .(3)【证明】如图②，延长BA ，EF 交于点M ，延长CH 交ME 于点G .②∵EF ⊥AB ，AC ⊥AB∴ME ∥AC ，∴∠CGE ＝∠ACG .∵CH 是∠ACE 的平分线∴∠ACG ＝∠ECG ，∴∠CGE ＝∠ECG∴EG ＝EC ＝BC ＝AB ＋BD .∵△CBD ≌△CEF∴EF ＝BD ，∴EG ＝AB ＋BD ＝AC ＋EF即FG ＋EF ＝AC ＋EF ，∴AC ＝FG .在△AHC 和△FHG 中{∠ACH ＝∠FGH∠AHC ＝∠FHG AC ＝FG∴△AHC ≌△FHG (AAS)∴AH ＝HF.。
2020-2021学年八年级数学北师大版下册第一章：三角形的证明 培优达标卷
2020-2021学年八年级数学北师大版下册第一章三角形的证明培优达标卷一、单选题1．下列各组数，能够作为直角三角形的三边长的是（ ）A ．4，6，8B ．3，4，5C ．5，12，14D ．23，22，252．如图，在ABC 中，30C ∠=︒，点D 是AC 的中点，DE AC ⊥交BC 于E ；点O 在DE 上，OA OB =，2OD =，4OE =，则BE 的长为（ ）A ．12B ．10C ．8D ．63．如图，90B C ∠=∠=︒，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠，且120ADC =∠︒，20cm BC =，则AM 的长度为（ ）A ．20cmB ．10cmC ．5cmD ．15cm4．如图，△ABC 的三边长分别是6,9,12,其三条角平分线将其分为三个三角形，则::ABO BCO CAO S S S ∆∆∆等于（ ）A ．1:1:1B ．1:2:3C ．2:3:4D ．3:4:55．在等边三角形ABC 中，D E ，分别是BC AC ，的中点，点P 是线段AD 上的一个动点， 当PC PE +的长最小时，P 点的位置在（ ）A ．A 点处B ．AD 的中点处C ．ABC ∆的重心处D ．D 点处6．如图，在△ABC 中，∠B=30°，BC 的垂直平分线交AB 于点E ，垂足为D ，CE 平分∠ACB,若BE=2，则AE 的长为（ ）A ．3B ．1C ．2D ．27．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于点M ，交AC 于点N ．若BM+CN=7，则MN 的长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．98．已知三条不同的射线OA 、OB 、OC 有下列条件：①∠AOC=∠BOC ②∠AOB=2∠AOC ③∠AOC+∠COB=∠AOB ④∠BOC=12∠AOB ，其中能确定OC 平分∠AOB 的有（ ） A ．4个 B ．3个C ．2个D ．1个 9．已知：如图，点D ，E 分别在△ABC 的边AC 和BC 上，AE 与BD 相交于点F ，给出下面四个条件：①∠1=∠2；②AD=BE ；③AF=BF ；④DF=EF ，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC 是等腰三角形的是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④αCE 平分ACB ∠交AB 于点E ，连接DE ，则DEC ∠的度数为（ ）A ．α3B ．α2C ．α302︒-D ．45α︒-11．如图，在△ABC 中，AC ＝AB ，∠BAC ＝90°，BD 平分∠ABC ，与AC 相交于点F ，CD ⊥BD ，垂足为D ，交BA 的延长线于点E ，AH ⊥BC 交BD 于点M ，交BC 于点H ，下列选项不正确的是（ ）A ．∠E ＝67.5°B ．∠AMF ＝∠AFMC ．BF ＝2CD D ．BD ＝AB +AF12．如图，已知∠MON=30°，点123......A A A 、、在射线ON 上，点123......B B B 、、在射线OM 上，111OA A B =，12B A OM ⊥，222OA A B =，23B A OM ⊥，以此类推，若11OA =，则66A B 的长为（ ）A ．6B ．152C ．32D ．72964二、填空题 13．一个等腰三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，则它的周长为______cm ．14．如图在钝角△ABC 中，已知∠BAC=135°，边AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点D 、E ，连接AD 、AE ，则∠DAE=_____15．如图，在△ABC 中，直线l 垂直平分BC ，射线m 平分∠ABC ，且l 与m 相交于点P ，若∠A ＝60°，∠ACP ＝24°，则∠ABP ＝_____°．16．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，P 是BC 上一点，且∠BAP ＝90°，CP ＝4cm ．则BP 的长＝________．17．如图，射线OC 是AOB ∠的平分线，Р是射线C 上一点，PD OA ⊥于点,6D DP =，若E 是射线OB 上一点，4,OE =则OPE 的面积是_______________________．18．如图，△ABC 中，∠C =90°，AB =6，AD 平分∠BAC ，CD =2，DE ⊥AB 于E ，则ABD S 等于_____________．19．如图，在ABC ∆中，BD 、BE 分别是高和角平分线，点F 在CA 的延长线上，FH ⊥BE 交BD 于G ，交BC 于H ，下列结论：①∠DBE=∠F ；②2∠BEF=∠BAF+∠C ；③()12F BAC B ∠=∠-∠；④∠BGH=∠ABE+∠C ．其中正确的是_________ ．20．如图，在第1个△A 1BC 中，∠B ＝30°，A 1B ＝CB ；在边A 1B 上任取一点D ，延长CA 1到A 2，使A 1A 2＝A 1D ，得到第2个△A 1A 2D ；在边A 2D 上任取一点E ，延长A 1A 2到A 3，使A 2A 3＝A 2E ，得到第3个△A 2A 3E ，…按此做法继续下去，则第4个三角形中以A 4为顶点的底角度数是_____．第n 个三角形中以A n 为顶点的底角度数是_____．三、解答题21．已知ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且18a =，32b =，50c =．（1）判断ABC 的形状，并说明理由；（2）如果一个正方形的面积与ABC 的面积相等时，求这个正方形的边长．22．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，12AC =，13AB =，点D 是Rt ABC ∆外一点，连接DC ，DB ，且4CD =，3BD =．（1）求证：90D ∠=︒（2）求：四边形ABDC 的面积．23．如图所示，已知AB AC =，AD 是中线，BE CF =．（1）求证：BDE CDF ≌；（2）当60B ∠=︒时，过AB 的中点G ，作//GH BD ，求证：4GH AB 1=． 24．已知：如图，在ABC 中，AB AC >，45B ∠=，点D 是BC 边上一点，且AD AC =，过点C 作CF AD ⊥于点E ，与AB 交于点F（1） 若CAD α∠=，求：①BAC ∠的大小；②BCF ∠的大小；（用含α的式子表示）（2）求证：AC FC =25．如图，在ABC ∆中，D 是BC 边上一点，且,//,AD AB AE BC BAD CAE =∠=∠，连接,DE 交AC 于点F ．（1）若65B ∠=︒，求C ∠的度数．（2）若AE AC =，则AD 平分BDE ∠是否成立？判断并说明理由．26．如图，AE 、BD 是ABM 的高，AE ，BD 交于点C ，且AE BE =．（1）求证；AME BCE ≌△△；（2）当BD 平分ABM ∠时，求证：2BC AD =；（3）求MDE ∠的度数．27．在平面直角坐标系中，点A 坐标(5,0)-，点B 坐标(0,5)，点 C 为x 轴正半轴上一动点，过点A 作AD BC ⊥交y 轴于点E ．（1）如图①，若点C 的坐标为(3,0)，求点E 的坐标；（2）如图②，若点C 在x 轴正半轴上运动，且5OC <，其它条件不变，连接DO ，求证：DO 平分ADC ∠；（3）若点C 在x 轴正半轴上运动，当OC CD AD +=时，则OBC ∠的度数为________．28．（1）如图①，D 是等边ABC 的边AB 上一动点（点D 与点B 不重合），连接CD ，以CD 为边，在BC 上方作等边DCE ，连接AE ，你能发现AE 与BD 之间的数量关系吗？并证明你发现的结论；（2）如图②，当动点D 运动至等边ABC 边BA 的延长线时，其他作法与（1）相同，猜想AE 与BD 在（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；（3）如图③，当动点D 在等边ABC 边BA 上运动时（点D 与B 不重合），连接DC ，以DC 为边在BC 上方和下方分别作等边DCE 和等边DCE '，连接AE ，BE '，探究AE ，BE '与AB 有何数量关系？并证明你的探究的结论．参考答案1．DA. 4，6，8，468<<，∴2224+6=16+36=5264=8<，∴A 选项不能够作为直角三角形的三边长； B. 3，4，5，345<<，∴2223+4=3+4=75=5>，∴B 选项不能够作为直角三角形的三边长；C. 5，12，14， 51214<<，∴2225+12=25+144=169196=14<，∴C 选项不能够作为直角三角形的三边长；D. 23，22，25，222325<<，∴()()()22222+23=8+12=20=25， ∴D 选项不能够作为直角三角形的三边长，2．C连接OC ，过点O 作OF BC ⊥于F ，如图，∵2OD =，4OE =，∴6DE OD OE =+=，在Rt △CDE 中，30C ∠=︒，∴212CE DE ==，9060CED C ∠=︒-∠=︒， ∵D 为AC 的中点，DE AC ⊥，∴OA OC =，∵OA OB =，∴OB OC =，∵OF BC ⊥， ∴12CF BF BC ==， 在Rt △OEF 中，∵60OEF ∠=︒，∴9030EOF OEF ∠=︒-∠=︒，∴122EF OE ==， ∴10CF CE EF =-=， ∴8BE BC CE =-=；3．A解：作MN ⊥AD 于N ，如图，∵∠B ＝∠C ＝90°，∠ADC ＝120°，∴∠DAB ＝60°，∵DM 平分∠ADC ，MC ⊥CD ，MN ⊥AD ，∴MC ＝MN ，∵M 点为BC 的中点，∴MC ＝MB=12BC=12×20=10cm ， ∴MN ＝MB ，∴AM平分∠DAB，∴∠MAB＝12∠DAB＝12×60°＝30°，∴AM=2MB=20cm，4．C过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，∵O是三角形三条角平分线的交点，∴OD=OE=OF，∵AB=6，BC=9，AC=12，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=2：3：4，故选C.【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和三角形面积的求法，难度不大，作辅助线很关键．5．C解：连接BP，∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴AD是BC的垂直平分线，∴PB=PC，当PC PE的长最小时，即PB+PE最小则此时点B、P、E在同一直线上时，又∵BE为中线，∴点P为△ABC的三条中线的交点，也就是△ABC的重心，6．B∵BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，∴∠B＝∠ECD，BE＝CE，∠BDE＝∠CDE＝90o,又∵∠B=30°，BE=2,∴∠ECD=30°,CE=2,DE=12BE=1,又∵CE平分∠ACB，∴∠ECD＝∠ACE＝30°，∴∠ACB＝60°，又∵在△ABC中，∠B=30°，∴∠BAC＝90°，在Rt△ACE，CE＝2，∠ACE＝30°，∴AE＝12CE＝1；7．B【详解】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，∵MN∥BC，∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，∴BM=ME，EN=CN，∴MN=ME+EN，即MN=BM+CN，∵BM+CN=7，∴MN=7，8．D【解析】如图，根据角平分线的意义，可由∠AOC=∠BOC，知OC是∠AOB的平分线；如图，此时，∠AOB=2∠BOC ，∠BOC=12∠AOB ，但OC 不是∠AOB 的平分线； 由于∠AOC+∠COB=∠AOB ，但是∠AOC 与∠COB 不一定相等，所以OC 不一定是∠AOB 的平分线. 所以只有①能说明OC 是∠AOB 的角平分线.9．C选取①②:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中1=2{12AFD BFEAD BEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取①④:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中 1=2{12AFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取③④:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中={12AF BFAFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴= 10．B解：过点E 作EM AC ⊥于M ，EN AD ⊥于N ，EH BC ⊥于H ，如图， DAC α∠=，αDAB 902∠=︒-，αEAM 902∠∴=︒-， AE ∴平分MAD ∠，EM EN ∴=，CE 平分ACB ∠，EM EH ∴=，EN EH ∴=，DE ∴平分ADB ∠，11ADB 2∠∠∴=， 由三角形外角可得：1DEC 2∠∠∠=+，12ACB 2∠∠=，11DEC ACB 2∠∠∠∴=+， 而ADB DAC ACB ∠∠∠=+， 11DEC DAC α22∠∠∴==， 故选：B ．11．D【详解】解：∵AC ＝AB ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABF ＝∠CBF ＝22.5°，∵BD ⊥CD ，∴∠E ＝67.5°，故选项A 正确，∵AH ⊥BC ，∴∠AHB ＝∠BAC ＝90°，∴∠ABF+∠AFB ＝90°，∠CBF+∠BMH ＝90°，∴∠AFB ＝∠BMH ，∴∠AFM ＝∠BMH ＝∠AMF ，故选项B 正确，∵CD ⊥BD ，∴∠BDE ＝∠BAC ＝90°，∴∠E+∠EBD ＝90°，∠E+∠ACE ＝90°，∴∠EBD ＝∠ACE ，在△ABF 和△ACE 中，BAC CAE AB ACABF ACE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABF ≌△ACE （ASA ），∴AE ＝AF ，BF ＝CE ，∴AB+AF ＝AB+AE ＝BE ，∵Rt △BED 中，BE ＞BD ，∴AB+AF ＞BD ，故选项D 错误，在△EBD 和△CBD 中，EBD CBD BD BDBDC BDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△EBD ≌△CBD （ASA ），∴BF ＝CE ＝2CD ，故选项C 正确，12．C【详解】∵=30MON ∠︒，111OA A B =，12B A OM ⊥∴1=30∠︒，∴===60︒∠3∠4∠12，∵11OA =，∴111A B =，∴21121A B A A ==，∴22OA =，∵222OA A B =，∴22122A B B A =∵23B A OM ⊥，∴122334////B A B A B A∴1===30︒∠∠6∠7，==90︒∠5∠8∴3323324A B B A OA ===，∴331244A B B A ==，441288A B B A ==，55121616A B B A ==，以此类推：66123232A B B A ==．故选：C ．13．17【详解】解：当7为腰时，周长=7+7+3=17cm ；当3为腰时，因为3+3＜7，所以不能构成三角形；故三角形的周长是17cm ．故答案为：17．解：连接DA、EA，如图，∵∠BAC=135°，∴∠B+∠C=180°-135°=45°，∵DF是AB的垂直平分线，EG是AC的垂直平分线，∴DA=DB，EA=EC，∴∠B=∠DAB，∠C=∠EAC，∴∠DAB +∠EAC =∠B+∠C=45°，∴∠DAE=∠BAC –(∠DAB +∠EAC)=135°-45°=90°．15．32解：∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP，∵直线l是线段BC的垂直平分线，∴BP＝CP，∴∠CBP＝∠BCP，∴∠ABP＝∠CBP＝∠BCP，∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∠A＝60°，∠ACP＝24°，∴3∠ABP+24°+60°＝180°，解得：∠ABP＝32°，16．8cm解：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵∠BAC=120°，∠BAP=90°，∴∠PAC=30°，∴∠C=∠PAC，∴PA=PC=4cm，∵∠BAP=90°，∠B=30°，∴BP=2AP=8cm．故答案为：8cm17．12【详解】解：作PH⊥OB于点H，∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，PH⊥OB，∴PH=DP=6，∴△OPE的面积=12×OE×PH=12×4×6=12，故答案为：12．18．6解：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，CD=2，∴CD=DE=2，∵AB=6，∴16262ABDS=⨯⨯=．故答案为：6．19．①②③④①∵BD⊥FD，∴∠FGD+∠F=90°，∵FH⊥BE，∴∠BGH+∠DBE=90°，∵∠FGD=∠BGH，∴∠DBE=∠F，故①正确；②∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BEF=∠CBE+∠C，∴2∠BEF=∠ABC+2∠C，∠BAF=∠ABC+∠C ，∴2∠BEF=∠BAF+∠C ，故②正确；③∠ABD=90°-∠BAC ，∠DBE=∠ABE-∠ABD=∠ABE-90°+∠BAC=∠CBD-∠DBE-90°+∠BAC ， ∵∠CBD=90°-∠C ，∴∠DBE=∠BAC-∠C-∠DBE ，由①得，∠DBE=∠F ，∴∠F=∠BAC-∠C-∠DBE ，∴∠F=12（∠BAC ﹣∠C ），故③正确； ④∵∠AEB=∠EBC+∠C ，∵∠ABE=∠CBE ，∴∠AEB=∠ABE+∠C ，∵BD ⊥FC ，FH ⊥BE ，∴∠FGD=∠FEB ，∴∠BGH=∠ABE+∠C ，故④正确．20．758 11()752n -⨯︒ 【详解】在1CBA 中，30B ∠=︒，1A B CB =， ∴1118030752BAC BCA ︒-︒∠=∠==︒， 又∵121A A A D =,1BA C ∠是12A A D 的外角． ∴21211117522DA A A DA BAC ∠=∠=∠=⨯︒． 同理可得：2323221111175()752222EA A A EA DA A ∠=∠=∠=⨯⨯︒=⨯︒， 34343321175()75228FA A A FA EA A ︒∠=∠=∠=⨯︒=， 综上可知规律：第n 个三角形中以n A 为顶点的底角度数是11()752n -⨯︒ 故答案为758，11()752n -⨯︒． 21．解：（1）在ABC <<222250a b +=+=，2250c ==，222a b c ∴+=，ABC ∴是直角三角形；（2）设这个正方形的边长为x ，∵一个正方形的面积与ABC 的面积相等，∴212x =，解得：x =±0x ，x ∴=答：这个正方形的边长为x =22．解：（1）在Rt △ABC 中，∠BCA=90°，AC=12，AB=13， ∴BC 2=AB 2-AC 2=132-122=25，∴BC=5，∵CD=4，BD=3，∴CD 2+BD 2=42+32=25，∵BC=5，即BC 2=25，∴CD 2+BD 2=BC 2，∴△DBC 是直角三角形，∴∠D=90°．（2）∵△DBC 是直角三角形，且∠D=90°， ∴1134622S ∆=⨯=⨯⨯=DBC BD DC ， ∵在Rt △ABC 中，∠BCA=90°，AC=12，BC=5， ∴115123022S ∆=⨯=⨯⨯=ABC BC AC ， ∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △DBC =30+6=36．23．．证明（1）如图：∵AB=AC ，AD 是中线，∴∠B=∠C ，BD=CD ，在△BDE 与△CDF 中，BE CF B C BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE ≌△CDF ；（2）∵GH ∥BD ，∠B=60°，∴∠AGH=60°，∵AB=AC ，AD 是中线，∴AD ⊥BC ，∴∠BAD=30°∠AHG=90°，∴GH=12AG ， ∵AG=12AB ， ∴GH=14AB ． 24．（1）解：①AD AC =，CAD α∠=， 11(180)9022BCA ，②过点A 作AG BC ⊥于点G ，如图所示：90DAG ADG ∴∠+∠=︒，1122CAG DAG CAD ，CF AD ⊥于点E ，90DCE ADG ， 1122DCE DAG CAD ，即12BCF ； （2）证明：45B ∠=︒，AG BC ⊥，45BAG =∴∠︒，45BAC CAG ，45AFC DCE ，DCE DAG ，CAG DAG ∠=∠，BAC AFC ，AC FC ．25．解：（1）∵∠B=65°，AB=AD ，∴∠ADB=∠B=65°，∵∠B+∠BAD+∠BAD=180°，∴∠BAD=50°，∵∠CAE=∠BAD ，∴∠CAE=50°，∵AE ∥BC ，∴∠C=∠CAE=50°；（2）AD 平分∠BDE ，理由是：∵∠BAD=∠CAE ，∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD ，即∠BAC=∠DAE ，在△BAC 和△DAE 中，ABADBAC DAE AC AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAC ≌△DAE （SAS ）∴∠B=∠ADE ，∵∠B=∠ADB ，∴∠ADE=∠ADB ，即AD 平分∠BDE ．26．（1）证明：∵AE 、BD 是ABM 的高，∴90ADB AEB AEM ∠=∠=∠=︒，∵ACD ECB ∠=∠，180MAE ADC ACD ∠+∠+∠=︒，180CBE ECB CEB ∠+∠+∠=︒，∴MAE CBE ∠=∠，在AME △和BCE 中，MAE CBE AE BE AEM BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()AME B ASA CE ≌．（2）∵BD 平分ABM ∠，BD 是高，∴ABD MBD ∠=∠，90ADB MDB ∠=∠=︒，∵在ABD △和MBD 中，ADB MDB BD BD ABD MBD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ABD MBD ASA ≌△△， ∴12AD DM AM ==， ∵AME BCE ≌△△，∴AM BC =，∴2BC AD =．（3）∵45MDE ∠=︒，过点E 作EF ED ⊥交BC 于点F ，∵DEF AEB ∠=∠，∴DEA BEF ∠=∠；∵MAE CBE ∠=∠，且AE BE =，∴AED BEF △≌△；∴ED EF =，∴45EDF EFD ∠=∠=︒；∵90BDM ∠=︒，∴45MDE ∠=︒．27．证明：（1）AD BC ⊥，AO BO ⊥，90AOE BDE BOC ∠∠∠∴===︒．又AEO BED ∠=∠，OAE OBC ∴∠=∠．(5,0)A -，(0,5)B ，5OA OB ∴==．在AOE △和BOC 中OAE OBC OA OBAOE BOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， (ASA)AOE BOC ∴≌，OE OC ∴=． C 点坐标(3,0)，3OE OC ∴==，(0,3)E ∴．（2）过O 作OM AD ⊥于M ，ON BC ⊥于N ，AOE BOC ≌，AOE BOC S S ∴=，AE BC =，1122AE OM BC ON ∴⨯⨯=⨯⨯， OM ON ∴=，OM AD ⊥，ON BC ⊥，DO ∴平分ADC ∠．（3）如所示，在DA 上截取DP=DC ，连接OP ，∵∠PDO=∠CDO ，OD=OD ，∴△OPD ≌△OCD ，∴OC=OP ，∠OPD=∠OCD ，∵OC CD AD +=，∴OC=AD-CD∴AD-DP=OP ，即AP=OP ，∴∠PAO=∠POA ，∴∠OPD=∠PAO+∠POA=2∠PAO=∠OCB ，又∵∠PAO+∠OCD=90°，∴3∠PAO=90°，∴∠PAO=30°，∵OAP OBC ∠=∠∴∠OBC=∠PAO =30°．28．（1）AE=BD ．证明：∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形， ∴ BC=AC ，∠BCA=60︒，DC=CE ，∠DCE=60︒，∴ ∠BCA −∠DCA=∠DCE −∠DCA ，即 ∠BCD=∠ACE ， 在△BCD 和△ACE 中，BC AC BCD ACE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △BCD ≌△ACE ，∴ AE=BD ；（2）AE=BD 仍然成立．证明：∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形， ∴CB=CA ，CD=CE ，∠BCA=∠DCE=60︒， ∴ ∠BCA+∠DCA=∠DCE+∠DCA ， ∴∠BCD=∠ACE ，∴△BCD ≌△ACE （SAS ），∴ AE=BD ；（3） AE+BE ′=AB ．证明：由（1）知：△BCD ≌△ACE ， 则 BD=AE ，在△BCE ′和△ACD 中，BC AC BCE ACD E C DC =⎧⎪'∠=∠⎨⎪'=⎩，∴△BCE ′≌△ACD （SAS ），则 BE ′=AD ，又∵BD=AE ，∴ AE+BE ′=BD+AD=AB ，即 AE+BE ′＝AB ．。
初中数学 八年级竞赛培优训练 直角三角形 含解析
直角三角形【思维入门】1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是() A．120°B．90°C．60°D．30°2．如图1－5－1，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连结DE，则△CDE的周长为()A．20 B．12 C．14 D．13图1－5－13．如图1－5－2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB的中点，AB＝10 cm，则CD的长为______cm.图1－5－24．将一副三角板拼成如图1－5－3所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F.(1)求证：CF∥AB；(2)求∠DFC的度数．图1－5－35．如图1－5－4，在△ABC 中，AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，D 为AB 延长线上一点，点E 在BC 边上，且BE ＝BD ，连结AE ，DE ，DC . (1)求证：△ABE ≌△CBD ；(2)若∠CAE ＝30°，求∠BDC 的度数．【思维拓展】6．如图1－5－5，在Rt △ABC 中，D ，E 为斜边AB 上的两个点，且BD ＝BC ，AE ＝AC ，则∠DCE 的大小为____°.图1－5－57．如图1－5－6，△ABC 中，AB ＝AC ，DE 垂直平分AB ，BE ⊥AC ，AF ⊥BC ，则∠EFC ＝______．图1－5－68．如图1－5－7，∠ABC ＝90°，D ，E 分别在BC ，AC 上，AD ⊥DE ，且AD ＝DE ，点F 是AE 的中点，FD 与AB 延长线相交于点M . (1)求证：∠FMC ＝∠FCM ； (2)AD 与MC 垂直吗？并说明理由．图1－5－79．如图1－5－8，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点图1－5－8D．CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连结CF，且∠ACF＝∠CBG.求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE.【思维升华】10．如图1－5－9，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过点B，C，若∠A＝40°，则∠ABX＋∠ACX＝()图1－5－9A．25°B．30°C．45°D．50°11．如图1－5－10，直线l平行于射线AM，要在直线l与射线AM上各找一点B和C，使得以A，B，C为顶点的三角形是等腰直角三角形，这样的三角形最多能画____个．图1－5－1012．如图1－5－11，点P在△ABC的BC边上，且PC＝2PB，若∠ABC＝45°，∠APC ＝60°，则∠ACB的度数是____．图1－5－1113．如图1－5－12，在△ABC中，AC＝BC，且∠ACB＝90°，点D是AC上一点，AE⊥BD，交BD的延长线于点E，且AE＝12BD，则∠ABD＝____．图1－5－1214．如图1－5－13，在△ABC中，∠ACB＝90°，M是∠CAB的平分线AL的中点，延长CM交AB于K，BK＝BC，则∠CAB＝____，∠ACK∠KCB＝____．图1－5－1315．如图1－5－14，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD＝∠BCE＝90°，点M为DE的中点．过点E与AD平行的直线交射线AM于点N.(1)当A，B，C三点在同一直线上时(如图1－5－14①)，求证：M为AN的中点；(2)将图1－5－14①中△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时(如图1－5－14②)，求证：△CAN为等腰直角三角形；(3)将图1－5－14①中△BCE绕点B旋转到图③的位置时，(2)中的结论是否仍然成立？若成立，试证明之；若不成立，请说明理由．图1－5－14第5讲直角三角形【思维入门】1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是(D) A．120°B．90°C．60°D．30°2．如图1－5－1，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连结DE，则△CDE的周长为(C) A．20 B．12 C．14 D．13图1－5－1【解析】∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，∴AD⊥BC，CD＝BD＝12BC＝4，∵点E为AC的中点，∴DE＝CE＝12AC＝5，∴△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝4＋5＋5＝14.3．如图1－5－2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB的中点，AB＝10 cm，则CD的长为__5____cm.图1－5－24．将一副三角板拼成如图1－5－3所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F.(1)求证：CF∥AB；(2)求∠DFC的度数．图1－5－3解：(1)证明：∵∠DCE＝90°，CF平分∠DCE，∴∠DCF ＝45°，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠BAC ＝45°，∴∠BAC ＝∠DCF ，∴CF ∥AB ； (2)∵∠D ＝30°，∴∠DFC ＝180°－30°－45°＝105°.5．如图1－5－4，在△ABC 中，AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，D 为AB 延长线上一点，点E 在BC 边上，且BE ＝BD ，连结AE ，DE ，DC . (1)求证：△ABE ≌△CBD ；(2)若∠CAE ＝30°，求∠BDC 的度数． 解：(1)证明：∵∠ABC ＝90°，∴∠DBE ＝180°－∠ABC ＝180°－90°＝90°， ∴∠ABE ＝∠CBD .在△ABE 和△CBD 中，∵⎩⎨⎧AB ＝CB ，∠ABE ＝∠CBD ，EB ＝DB ，∴△ABE ≌△CBD ；(2)∵AB ＝CB ，∠ABC ＝90°， ∴△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠ECA ＝45°.∵∠CAE ＝30°，∠BEA ＝∠ECA ＋∠EAC ， ∴∠BEA ＝45°＋30°＝75°. 由①知∠BDC ＝∠BEA . ∴∠BDC ＝75°.【思维拓展】6．如图1－5－5，在Rt △ABC 中，D ，E 为斜边AB 上的两个点，且BD ＝BC ，AE ＝AC ，则∠DCE 的大小为__45__°.图1－5－5【解析】设∠DCE＝x，∠ACD＝y，则∠ACE＝x＋y，∠BCE＝90°－∠ACE＝90°－x－y.∵AE＝AC，∴∠ACE＝∠AEC＝x＋y，∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝∠BCE＋∠DCE＝90°－x－y＋x＝90°－y.在△DCE中，∵∠DCE＋∠CDE＋∠DEC＝180°，∴x＋(90°－y)＋(x＋y)＝180°，解得x＝45°，∴∠DCE＝45°.7．如图1－5－6，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC ＝__45°____．图1－5－68．如图1－5－7，∠ABC＝90°，D，E分别在BC，AC上，AD⊥DE，且AD＝DE，点F是AE的中点，FD与AB延长线相交于点M.(1)求证：∠FMC＝∠FCM；(2)AD与MC垂直吗？并说明理由．图1－5－7解：(1)证明：∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE的中点，∴DF⊥AE，DF＝AF＝EF.又∵∠ABC＝90°，∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余，∴∠DCF＝∠AMF.又∵∠DFC＝∠AFM＝90°，∴△DFC≌△AFM.∴CF＝MF.∴∠FMC＝∠FCM；(2)AD⊥MC.由(1)知∠MFC＝90°，FD＝FE，FM＝FC，∴∠FDE＝∠FMC＝45°，∴DE∥CM，∴AD⊥MC.9．如图1－5－8，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点图1－5－8D．CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连结CF，且∠ACF＝∠CBG.求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE.证明：(1)∵∠ACB＝90°，CG平分∠ACB，AC＝BC.∴∠BCG＝∠CAB＝45°，又∵∠ACF＝∠CBG，AC＝BC，∴△ACF≌△CBG(ASA)，∴AF＝CG；(2)如答图，延长CG交AB于点H.∵AC＝BC，CG平分∠ACB，∴CH⊥AB，H为AB的中点，又∵AD⊥AB，∴CH∥AD，∴G为BD的中点，∠D＝∠EGC，∵E为AC的中点，∴AE＝EC，又∵∠AED＝∠CEG，∴△AED≌△CEG，∴DE＝EG，∴DG＝2DE，∴BG＝DG＝2DE，由(1)得CF＝BG，∴CF＝2DE.第9题答图【思维升华】10．如图1－5－9，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过点B，C，若∠A＝40°，则∠ABX＋∠ACX＝(D)图1－5－9A．25°B．30°C．45°D．50°11．如图1－5－10，直线l平行于射线AM，要在直线l与射线AM上各找一点B和C，使得以A，B，C为顶点的三角形是等腰直角三角形，这样的三角形最多能画__3__个．图1－5－10【解析】如答图．①AC为直角边时，符合的等腰直角三角形有2个，一个是以∠BAC为直角，一个是以∠ACB为直角；②AC为斜边时，符合的等腰直角三角形有1个．∴这样的三角形最多能画3个，12．如图1－5－11，点P在△ABC的BC边上，且PC＝2PB，若∠ABC＝45°，∠APC＝60°，则∠ACB的度数是__75°__．图1－5－11【解析】过C作AP的垂线CD，垂足为点D，连结BD.∵△PCD中，∠APC＝60°，∴∠DCP＝30°，PC＝2PD，∵PC＝2PB，∴BP＝PD，∴△BPD是等腰三角形，∠BDP＝∠DBP＝30°，∵∠ABP＝45°，∴∠ABD＝15°，∵∠BAP＝∠APC－∠ABC＝60°－45°＝15°，∴∠ABD＝∠BAD＝15°，∴BD＝AD，∵∠DBP＝∠DCP＝30°，∴BD＝DC，∴△BDC是等腰三角形，∵BD＝AD，∴AD＝DC，∵∠CDA＝90°，∴∠ACD＝45°，∴∠ACB＝∠DCP＋∠ACD＝75°.13．如图1－5－12，在△ABC中，AC＝BC，且∠ACB＝90°，点D是AC上一点，AE⊥BD，交BD的延长线于点E，且AE＝12BD，则∠ABD＝__22.5°__．第11题答图图1－5－12 第13题答图【解析】 延长AE ，BC 交于点F .∵AE ⊥BE ， ∴∠BEF ＝90°，又∵∠ACF ＝∠ACB ＝90°， ∴∠DBC ＋∠AFC ＝∠F AC ＋∠AFC ＝90°， ∴∠DBC ＝∠F AC ， 在△ACF 和△BCD 中，⎩⎨⎧∠ACF ＝∠BCD ＝90°，AC ＝BC ，∠F AC ＝∠DBC ，∴△ACF ≌△BCD (ASA )， ∴AF ＝BD . 又∵AE ＝12BD ，∴AE ＝EF ，即点E 是AF 的中点． ∴AB ＝BF ，∴BD 是∠ABC 的角平分线． ∴∠ABD ＝22.5°.14．如图1－5－13，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，M 是∠CAB 的平分线AL 的中点，延长CM 交AB 于K ，BK ＝BC ，则∠CAB ＝__45°__，∠ACK ∠KCB＝__13__．图1－5－13【解析】 设∠CAB ＝2α.∵AM ＝ML ，且∠ACB ＝90°，∴CM ＝MA ， ∴∠ACM ＝∠MAC ＝α.∴∠CKB ＝∠CAK ＋∠ACM ＝3α， ∠KCB ＝90°－∠ACM ＝90°－α. ∵BK ＝BC ， ∴∠CKB ＝∠KCB .∴3α＝90°－α，即α＝22.5°. ∴∠CAB ＝45°，∠ACK ∠KCB ＝22.5°67.5°＝13.15．如图1－5－14，已知△BAD 和△BCE 均为等腰直角三角形，∠BAD ＝∠BCE ＝90°，点M 为DE 的中点．过点E 与AD 平行的直线交射线AM 于点N .(1)当A ，B ，C 三点在同一直线上时(如图1－5－14①)，求证：M 为AN 的中点； (2)将图1－5－14①中△BCE 绕点B 旋转，当A ，B ，E 三点在同一直线上时(如图1－5－14②)，求证：△CAN 为等腰直角三角形；(3)将图1－5－14①中△BCE 绕点B 旋转到图③的位置时，(2)中的结论是否仍然成立？若成立，试证明之；若不成立，请说明理由．图1－5－14证明：(1)∵点M 为DE 的中点，∴DM ＝ME . ∵AD ∥EN ，∴∠ADM ＝∠NEM ，又∵∠DMA＝∠EMN，∴△DMA≌△EMN，∴AM＝MN，即M为AN的中点；(2)由(1)中△DMA≌△EMN可知DA＝EN，又∵DA＝AB，∴AB＝NE，∵∠ABC＝∠NEC＝135°，BC＝CE，∴△ABC≌△NEC，∴AC＝CN，∠ACB＝∠NCE，∵∠BCE＝∠BCN＋∠NCE＝90°，∴∠BCN＋∠ACB＝90°，∴∠ACN＝90°，∴△CAN为等腰直角三角形．(3)由(2)可知AB＝NE，BC＝CE.又∵∠ABC＝360°－45°－45°－∠DBE＝270°－∠DBE＝270°－(180°－∠BDE－∠BED)＝90°＋∠BDE＋∠BED＝90°＋∠ADM－45°＋∠BED＝45°＋∠MEN＋∠BED ＝∠CEN，∴△ABC≌△NEC，再同(2)可证△CAN为等腰直角三角形，∴(2)中的结论仍然成立.。
湘教版八年级数学下册第1章《直角三角形》单元试卷(含答案) (2)
初中数学湘教版八年级下册：第1章直角三角形一、选择题（共10小题；共50分）1. 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB=S△PCD，则满足此条件的点P ( )A. 有且只有1个B. 有且只有2个C. 组成∠E的角平分线D. 组成∠E的角平分线所在的直线（E点除外）2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CA=CB，AB=2，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则CD的长为 ( )A. 14B. 12C. 1D. 23. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠B=30∘，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD=3，则BC的长为 ( )A. 6B. 6√3C. 9D. 3√34. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是 ( )A. 6B. 7C. 8D. 95. 下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是( )A. 3，4，5B. 6，8，10C. √3，2，√5D. 5，12，136. 如图，已知点A(−1,0)和点B(1,2)，在坐标轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足这样条件的点P共有 ( )A. 2个B. 4个C. 6个D. 7个7. 如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连接BE交CD于点O，连接AO，下列结论不正确的是 ( )A. △AOB≌△BOCB. △BOC≌△EODC. △AOD≌△EODD. △AOD≌△BOC8. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3,√3)，点C的坐标为(12,0)，点P为斜边OB上的一动点，则PA+PC的最小值为 ( )A. √132B. √312C. 3+√192D. 2√79. 如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE=a，则下列说法正确的个数有 ( )① DCʹ平分∠BDE；② BC长为(√2+2)a；③ △BCʹD是等腰三角形；④ △CED的周长等于BC的长．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10. 如图所示，已知△ABC与△CDE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC，FG，则下列结论：① AE=BD；② AG=BF；③ FG∥BE；④ ∠BOC=∠EOC．其中正确的结论个数为 ( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（共10小题；共50分）11. 如图，BD是∠ABC的平分线，P为BD上的一点，PE⊥BA于点E，PE=4cm，则点P到边BC的距离为cm．12. 如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，CD是AB边上的高，则图中与∠A相等的角是．13. 在△ABC中，AB=AC=8，AD是底边上的高，E为AC中点，则DE=．14. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，D为AB的中点，DE⊥AC于点E．∠A=30∘，AB=8，则DE的长度是．15. 如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米．16. 一个三角形的三边之比为5:12:13，且周长为60cm，则它的面积是．17. 如图，Rt△AOB≌Rt△CDA，且A(−1,0)，B(0,2)，则点C的坐标是．18. 已知在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=30∘．将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处．延长线段AD，交原△ABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE的长等于．19. 如图，在△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠BAC，AB=5，CD=2，则△ABD的面积是．20. 如图，P是等边△ACB中的一个点，PA=2，PB=2√3，PC=4，则△ACB的边长是．三、解答题（共5小题；共65分）21. 已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB与M，DN⊥AC交AC的延长线于N，你认为BM与CN之间有什么关系?试证明你的发现．22. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．求证：CD⊥AB．23. 如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点．（1）若EF=4，BC=10，求△EFM的周长；（2）若∠ABC=50∘，∠ACB=70∘，求∠MEF的度数．24. 如图，有两条公路OM，ON相交成30∘角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若一直重型运输卡车P沿道路ON 方向行驶的速度为18千米/时．（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．25. 已知某开发区有一块四边形空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90∘，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，求一共需要投入多少元．答案第一部分1. D2. C3. C4. C5. C6. C7. A8. B9. C 10. D第二部分11. 412. ∠BCD13. 414. 215. 816. 120cm217. (−3,1)18. 4√3−419. 520. 2√7第三部分21. 结论：BM=CN．连接BD，CD．∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM=DN，∵DE垂直平分BC，∴BD=CD，在Rt△BMD与Rt△CND中{BD=CDDM=DN ∴Rt△BDM≌Rt△CDN(HL)，∴BM=CN．22. ∵∠ACB=90∘，∴∠A+∠B=90∘．∵∠ACD=∠B，∴∠A+∠ACD=90∘．∴∠ADC=90∘．∴CD⊥AB．23. （1）∵CF⊥AB，BE⊥AC，M为BC的中点，∴EM=FM=12BC．∵EF=4，BC=10，∴△EFM的周长=EF+EM+FM=EF+BC=4+10=14．（2）∵EM=BM=FM=CM=12BC，∴∠ABC=∠BFM=50∘，∠ACB=∠CEM=70∘．∴∠BMF=180∘−50∘×2=80∘，∠CME=180∘−70∘×2=40∘．∴∠EMF=180∘−80∘−40∘=60∘．∴∠MEF=12(180∘−∠EMF)=12×(180∘−60∘)=60∘．24. （1）过点A作AD⊥ON于点D，∵∠NOM=30∘，AO=80m，∴AD=40m，即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离为40米．（2）如图：在Rt△ABD中，AB=50，AD=40，由勾股定理得BD=√AB2−AD2=√502−402=30m，故BC=2×30=60米，即重型运输卡车在经过BC时对学校产生影响．∵重型运输卡车的速度为18千米/小时，即1800060=300米/分钟，∴重型运输卡车经过BD时需要60÷300=0.2（分钟）．答：卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为0.2分钟．25. 连接BD，在△ABD中∵∠A=90∘，AB=3m，DA=4m，∴利用勾股定理解得BD=5m．在△CBD中，∵BD=5m，BC=12m，CD=13m，∴根据勾股定理的逆定理得∠DBC=90∘．∴S△ABD=12AB⋅AD=12×4×3=6．∴三角形DBC的面积=12DB⋅BC=12×5×12=30．∴四边形ABCD的面积是36．∵每平方米草皮需要200元，∴总投入=36×200=7200元．。
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八年级下册第一章《直角三角形》培优习题
一、知识要点填空：
1、直角三角形的性质：
（1）直角三角形的两个锐角_________
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________;
（3）直角三角形30°角所对的直角边是______的一半；
（4）直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°.
2、直角三角形的判定方法：
（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；
（2）有两个角______的三角形是直角三角形；
（3）如果一条边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、等腰直角三角形是特殊的直角三角形，它的两个底角都是_____,且两条直角边相等。
等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质，是很常见的特殊三角形。
二、练习题
1、如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，
则则∠1+∠2等于__________.
2、设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示
等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示它们之间关系的是（）
A. B.
C. D.
3、如图，Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，BE平分∠ABC，交AD于E，
EF∥AC，下列结论一定成立的是（）
A.AB=BF B．AE=ED C．AD=DC D．∠ABE=∠DFE
4、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，
则AP的长不可能的是（）
A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7
5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线
于F，
若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（） A．3 B．2 C．3 D．1
6、已知等腰△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，且AD=2
1BC ，则△ABC 底角的度数为___________________.
7、四边形ABCD 由一个∠ACB=30°的Rt △ABC 与等腰Rt △ACD 拼成，E 为斜边AC 的中点，则∠BDE=__________．
8、已知：在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D ，∠ABC 的平分线BE 交AD 于点F ，试说明AE=AF.
9、在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，∠ABC 的平分线BD 交AC 于D ，CE ⊥BD 的
延长线于点E ．求证：CE ＝2
1BD
10、一根长2a 的木棍（AB ），斜靠在与地面（OM ）垂直的墙（ON ）上，设木棍的中点为P ．若木棍A 端沿墙下滑，且B 端沿地面向右滑行．木棍滑动的过程中，点P 到点0的距离不变化，在木棍滑动的过程中，△AOB 的面积最大为
______________.
11、如图在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 、CE 分别是斜边AB 边上的高与中线，
CF 是∠ACB 的平分线，则∠1与∠2的大小关系是（ ）
A ．∠1>∠2 B. ∠1=∠2 C. ∠1<∠2 D.不能确定
12、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=2BC ，在直线
BC 或AC 上取一点P ，使得△PAB 为等腰三角形，则符合条件
的点P 共有（ ）
A ．4个
B ．5个
C ．6个
D ．7个
13、如图，在直角三角形ABC 中，CM 是斜边AB 上的中线，
MN ⊥AB ，∠ACB 的平分线CN 交MN 于N ，求证：CM=MN ．
14、如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB 中，作内接正方形A 1B 1D 1C 1；
在等腰直角三角形OA 1B 1中作内接正方形A 2B 2D 2C 2；在等腰直角三角形OA 2B 2中作内
接正方形A3B3D3C3；…；依次做下去，则第n个正方形
A n
B n D n
C n的边长是_______________.
15、下面的方格图案中的正方形顶点叫做格点，图1中
以格点为顶点的等腰直角三角形共有4个，图2中以格
点为顶点的等腰直角三角形共有________个，图3中以
格点为顶点的等腰直角三角形共有_________个，图4
中以格点为顶点的等腰直角三角形共有_________个．
16、如图，在△ABC中，∠B=90°，∠BAC=78°，过C作CF∥AB,连接AF
于BC相交于G，若GF=2AC，则∠BAG=
17、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中
点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运
动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②DE长度的最小值为4；
③四边形CDFE的面积保持不变；④△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是
（）
A．①②③B．①③ C．①③④D．②③④
18、如图，已知OA=a，P是射线ON上一动点（即P可以在射线ON上运
动），∠AON=60°，填空：
（1）当OP=_________时，△AOP为等边三角形；
（2）当OP=__________时，△AOP为直角三角形；
（3）当OP满足___________时，△AOP为钝角三角形．
G
F C
B A。