北师大版八年级下册《三角形的证明》培优提高
2021年北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元综合培优提升训练( 含答案)
2021年北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元综合培优提升训练（ 含答案）一、单选题1．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点．若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，若△CDM 周长的最小值为8，则△ABC 的面积为（ ）A ．12B ．16C ．24D ．32 2．如图，在△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别为R 、S ，若AQ =PQ ，PR =PS ，则下列四个结论：①PA 平分∠BAC ；②AS =AR ；③QP ∥AR ；④△BRP ≌△CSP ，其中结论正确的的序号为（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④ 3．如图所示，把多块大小不同的30角三角板，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB 的一条直角边与x 轴重合且点A 的坐标为()2,0，30ABO ∠=︒，第二块三角板的斜边1BB 与第一块三角板的斜边AB 垂直且交x 轴于点1B ，第三块三角板的斜边12B B 与第二块三角板的斜边1BB 垂直且交y 轴于点2B ，第四块三角板斜边23B B 与第三块三角板的斜边12B B 垂直且交x 轴于点3B ，按此规律继续下去，则点2018B 的坐标为（ ）A ．()20182(3),0-⨯B ．()20180,2(3)-⨯B ．C ．()20192(3),0⨯D ．()20190,2(3)-⨯4．如图，直线l ：y =，过点A （0，1）作y 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1；过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2；…按此作法继续下去，则点A 2015的坐标为( )A ．（0，42015）B ．（0，42014）C ．（0，32015）D ．（0，32014） 5．已知，如图，ABC ，点,P Q 分别是BAC ∠的角平分线AD ，边AB 上的两个动点，45C ︒∠=，6BC =，则PB PQ +的最小值是（ ）A ．3B ．23C ．4D ．32 6．如图，在Rt ABC ∆中，90, 5 ,3ACB AB cm AC cm ︒∠=== ，动点P 从点B 出发，沿射线BC 以1 /cm s 的速度移动，设运动的时间为t 秒，当∆ABP 为等腰三角形时，t 的值不可能为（ ）A ．5B ．8C ．254D ．2587．如图, 在△DAE 中, ∠DAE ＝40°, B 、C 两点在直线DE 上，且∠BAE ＝∠BEA ，∠CAD ＝∠CDA ，则∠BAC 的大小是（ ）A．100°B．90°C．80°D．120°8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一条角平分线．若AC＝6，AB＝10，则点D到AB边的距离为（）A．2 B．2.5 C．3 D．49．如图，△ABC的两条高线BD，CE相交于点F，已知∠ABC=60°，AB=10，CF=EF，则△ABC 的面积为（）A．203B．253C．303D．40310．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），点B（5，0），有一动点P在直线AB上，△APO是等腰三角形，则满足条件的点P共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题11．已知：如图，∠ABC＝40°，点P是射线BC上一动点，把△ABP沿AP折叠，B点的对应点为点D，当直线AD垂直于BC时，∠ABD＝_____°．12．如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，以下结论：①∠BAC=70°；②∠DOC=90°；③∠BDC=35°；④∠DAC=55°，其中正确的是__________．（填写序号）13．如图，在矩形ABCD 中，AD ＞AB ，将矩形ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为MN ，连接CN ．若△CDN 的面积与△CMN 的面积比为1：3，则22MN BM的值为______________．14．已知：四边形ABCD 中，AB =AD =CD ，∠BAD =90°，三角形ABC 的面积为1，则线段AC 的长度是___________.15．在Rt △ABC 纸片中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，P 是AB 边上一点，连接CP ．沿CP 把Rt △ABC 纸片裁开，要使△ACP 是等腰三角形，那么AP 的长度是________ 16．如图，△ABC 是等边三角形，点P 是AB 的中点，点M 在CB 的延长线上，点N 在AC 上，且满足∠MPN=120º．已知△ABC 的周长为12，设m=2AC-CM-CN ，若关于x 的方程53mx m x n -=-的解是正数，则n 的取值范围是__________17．已知在△ABC 中,两边AB 、AC 的中垂线，分别交BC 于E 、G ．若BC ＝12，EG ＝2，则△AEG 的周长是________．18．如图，BD 是ABC 的角平分线，AE BD ⊥，垂足为F ，且交线段BC 于点E ，连结DE ，若50C ∠=︒，设 ABC x CDE y ∠=︒∠=︒,，则y 关于x 的函数表达式为_____________．19．已知等边三角形ABC 的边长为6，有从点A 出发每秒1个单位且垂直于AC 的直线m 交三角形的边于P 和Q 两点且由A 向C 平移，点G 从点C 出发每秒4个单位沿C →B →P →Q →C 路线运动，如果直线m 和点G 同时出发，则点G 回到点C 的时间为_________．20．如图，过边长为1的等边ABC ∆的边AB 上一点P ，作PE AC ⊥于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA CQ =时，连接PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为______.三、解答题21．如图，在已知ABC △中，AB AC =，点D 在BC 上，过D 点的直线分别交AB 于点E ，交AC 的延长线于点F ，且BE CF =．求证：DE DF =．22．如图所示，点O 是线段AC 的中点，OB AC ⊥，9OA =.（1）如图1，若30ABO ∠=︒，求证ABC ∆是等边三角形；（2）如图1，在（1）的条件下，若点D 在射线AC 上，点D 在点C 右侧，且BDQ ∆是等边三角形，QC 的延长线交直线OB 于点P ，求PC 的长度；（3）如图2，在（1）的条件下，若点M 在线段BC 上，OMN ∆是等边三角形，且点M 沿着线段BC 从点B 运动到点C ，点N 随之运动，求点N 的运动路径的长度. 23．(1)问题发现:如图1, ABC 和ADE 均为等边三角形，点B D E 、、在同一直线上，连接.CE①求证: BD CE =; ②求BEC ∠的度数.(2)拓展探究:如图2, AB C 和ADE 均为等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒,点B D E 、、在同一直线上AF ，为ADE 中DE 边上的高，连接.CE①求BEC ∠的度数:②判断线段AF BE CE 、、之间的数量关系(直接写出结果即可).()3解决问题:如图3，AB 和ADE 均为等腰三角形，BAC DAE n ∠=∠=,点B D E 、、在同一直线上，连接CE .求AEC ∠的度数(用含n 的代数式表示，直接写出结果即可).24．已知：点A 在射线CE 上，C D ∠=∠．（1）如图1，若//,AC BD 求证：//AD BC ．（2）如图2，若,BD BC BD ⊥与CE 交于点,G 请探究DAE ∠与C ∠的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D 作//DF BC 交射线CE 于点,F 当8,DFE DAE ∠=∠BAC BAD ∠=∠时，直接写出BAD ∠的度数为25．如图，ABC ∆中，90,5,4ACB AB BC ︒∠===，若点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线A C B A －－－运动（回到点A 停止运动），设运动时间为t 秒． （1）当点P 在BC 上时，且满足PA PB =时，求出此时t 的值；（2）当点P 在AB 上时，求出t 为何值时，ACP ∆为以AC 为腰的等腰三角形．26．如图1，在平面直角坐标系中，已知A （a ，b ），且a 、b 满足22+1b a a =-+-， （1）求A 点的坐标及线段OA 的长度； （2）点P 为x 轴正半轴上一点，且△AOP 是等腰三角形，求P 点的坐标；（3）如图2，若B （1，0），C （0，－3），试确定∠ACO+∠BCO 的值是否发生变化，若不变，求其值；若变化，请求出变化范围.27．如图，∠AOB=115°，∠EOF =155°，OA 平分∠EOC ，OB 平分∠DOF ，（1）求∠AOE+∠FOB 度数；（2）求∠COD 度数。
2020-2021学年八年级数学北师大版下册第1章三角形的证明章末综合培优提升训练(附答案)
2021年度北师大版八年级数学下册第1章三角形的证明章末综合培优提升训练（附答案）1．已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（）A．13B．17C．13或17D．13或102．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝3，则BD的长度为（）A．B．2C．D．33．如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积是（）A．3B．4C．5D．64．若一条长为31cm的细线能围成一边长等于7cm的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为（）A．7cm B．9cm C．7cm或12cm D．12cm5．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，DE垂直平分AB，交AB于点E．若AC＝m，BC＝n，则△BDE的周长为（）A．m+n B．2m+2n C．m+2n D．2m+n6．下列命题正确的是（）A．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合B．在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角平分线上C．有一个角是60°的三角形是等边三角形D．有两边及一边的对角对应相等的两个三角形全等7．在等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（）A．25°B．25°或40°C．25°或35°D．40°8．如图，在△ABC中，∠ABC＝100°，AB＝AE，BC＝CD，则∠DBE的度数为（）A．35°B．40°C．42°D．50°9．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，AB＝AD＝DC，∠BAD＝∠C，则∠BAC的度数为（）A．20◦B．40◦C．60◦D．80◦10．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是高，AE⊥AB交BC于E，则DE与BC之间的数量关系是（）A．BC＝3DE B．BC＝6DE C．BC＝2DE D．BC＝5DE11．已知O为原点，A（2，2）为坐标平面内一点，B是y轴上一点，且△AOB为等腰三角形，那么符合条件的点B的个数为（）A．5B．4C．3D．212．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠B＝50°，则∠AOC＝．13．如图：在Rt△ABC，∠C＝90°，点D是AC边上的一点，DE垂直平分AB，垂足为E，若AC＝4，BC＝3，则线段DE的长度为．14．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，△ABC的面积为60，AB＝16，BC＝14，则DE的长等于．15．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝12，BC＝18，CD＝8，则四边形ABCD的面积是．16．已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，动点P在线段BC上从B点向C点运动，连接AP，则AP的最小值为等于．17．如图，已知△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．CE为△ACD的角平分线，若CD＝12，BC＝13，且△BCE的面积为48，则点E到AC的距离为．18．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为点D，BE＝8，∠B＝15°，则EC的长为．19．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为．20．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，高AD和BE相交于点H，∠CAD＝30°，若AC＝4，则点H到BC的距离是．21．如图，在△ABC中，AB＝AC．AD是BC边上的中线，点E在边AB上，且BD＝BE．若∠BAC＝100°，则∠ADE的大小为度．22．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N．（1）求△AEN的周长．（2）求∠EAN的度数．（3）判断△AEN的形状．23．如图△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，D为垂足，交AC于E，连接BE．（1）若∠A＝42°，求∠EBC的度数；（2）若AB＝12，△BEC的周长是20，求△ABC的周长．24．已知△ABC中，D为边BC上一点，AB＝AD＝CD．（1）试说明∠ABC＝2∠C；（2）过点B作AD的平行线交CA的延长线于点E，若AD平分∠BAC，求证：AE＝AB．25．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．（1）求证：△OCD是等边三角形；（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．26．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与P A相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，BC＝8，P A＝2，求线段DE的长．27．（1）如图1，△ABC中，作∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC 分别交AB、AC于E、F．①求证：OE＝BE；②若△ABC的周长是25，BC＝9，试求出△AEF的周长；（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACB外角∠ACD的平分线相交于点P，连接AP，试探求∠BAC与∠P AC的数量关系式．参考答案1．解：①当腰是3，底边是7时，不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是3，腰长是7时，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17．故选：B．2．解：设CD＝x，∵在△ACB中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝30°，∴∠B＝∠BAD，∴AD＝BD，∵在△ACD中，∠C＝90°，∠CAD＝30°，∴AD＝2CD＝2x，即BD＝AD＝2x，∵BC＝3＝BD+CD＝2x+x，解得：x＝1，即BD＝2x＝2，故选：B．3．解：作DE⊥OB于E，如图，∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DE⊥OB，∴DE＝DP＝4，∴S△ODQ＝×3×4＝6．故选：D．4．解：若腰长为7cm，设底边长为xcm，则7+7+x＝31，解得x＝17，此时三边长7cm、7cm、17cm，∵7+7＜17∴此三角形不成立；若底边长为7cm，设腰长为xcm，由题意得7+x+x＝31，解得x＝12，此时三边长7cm、12cm、12cm．答：该等腰三角形的腰长为12cm．故选：D．5．解：∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∴∠B＝∠DAE，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴CD＝DE，∠CAD＝∠BAD，∴∠B＝∠CAD＝∠BAD，∵∠B+∠CAD+∠BAD＝180°﹣∠C＝90°，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝2m，∴BE＝AE＝m，∵BE＝m，BC＝n，∴△BDE的周长为BE+DE+DB＝BE+CD+BD＝BC+BE＝m+n，故选：A．6．解：A、等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的中线、高线互相重合，原命题是假命题；B、在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角平分线上，是真命题；C、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，原命题是假命题；D、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，原命题是假命题；故选：B．7．解：当50°为底角时，∵∠B＝∠ACB＝50°，∴∠BCD＝90°﹣50°＝40°；当50°为顶角时，∵∠A＝50°，∴∠B＝∠ACB＝65°，∴∠BCD＝90°﹣65°＝25°．故选：B．8．解：∵AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB；∴∠A+∠ABE+∠AEB＝180°＝∠A+2∠AEB；同理：∠C+2∠CDB＝180°．∴（∠A+∠C）+2（∠AEB+∠CDB）＝360°；即：80°+2（∠AEB+∠CDB）＝360°，∠AEB+∠CDB＝140°．∴∠DBE＝180°﹣（∠ADB+∠CEB）＝40°．故选：B．9．解：∵AD＝DC，∴∠DAC＝∠C，∴∠ADB＝∠DAC+∠C．∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB，∵∠BAD＝∠C，设∠C＝2x°可得：2x+2x+x+4x＝180°，解得：x＝20°，∴∠BAC＝x+2x＝60°，故选：C．10．解：∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是高，∴AB＝2AD，BD＝AD，∵AE⊥AB交BC于E，∴2DE＝AE，AD＝DE，∴BC＝2AD＝6DE，故选：B．11．解：如图，满足条件的点B有四种情形，故选：B．12．解：如图，连接OB，∵OD垂直平分AB，∴OA＝OB，∴∠ABO＝∠A，∴∠AOB＝180°﹣2∠ABO，∵OE垂直平分BC，∴OC＝OB，∴∠CBO＝∠C，∴∠COB＝180°﹣2∠CBO，∵∠AOB+∠BOC+∠AOC＝360°，∴∠AOC＝360°﹣（180°﹣2∠CBO+180°﹣2∠ABO）＝2（∠CBO+∠ABO）＝2∠ABC ＝2×50°＝100°，故答案为：100°．13．解：在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB＝＝＝5，连接BD，∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE＝AB＝，∠DEB＝90°，AD＝BD，设AD＝BD＝x，则CD＝4﹣x，在Rt△DCB中，由勾股定理得：CD2+BC2＝BD2，即（4﹣x）2+32＝x2，解得：x＝，即BD＝，在Rt△DEB中，由勾股定理得：DE＝＝＝，故答案为：．14．解：作DF⊥BC于F，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF＝DE，∴S△ABC＝S△ABD+S△DBC＝×AB×DE+×BC×DF＝＝60，∴DF＝DE＝4．故答案为：4．15．解：过点D作DE⊥BA的延长线于点E，如图所示．∵BD平分∠ABC，∴DE＝DC＝8，∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD，＝AB•DE+BC•CD，＝×12×8+×18×8，＝120．故答案为：120．16．解：如图，P在BC上运动时，由垂线段最短知，P在AP⊥BC时，AP最短，作AM⊥BC，∵AB＝BC，∴BM＝MC＝BC＝3，在Rt△ABM中，BM2+AM2＝AB2，即32+AM2＝52，∴AM＝4，即AP最最小值为4．故答案为：4．17．解：如图，过点E作EF⊥AC于F，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，由勾股定理得：BD＝＝＝5，∵S△BEC＝BE•CD，且CD＝12，且△BCE的面积为48，∴48＝，∴BE＝8，∴DE＝8﹣5＝3，∵CE为△ACD的角平分线，DE⊥CD，EF⊥AC，∴EF＝DE＝3，即点E到AC的距离为3．故答案为：3．18．解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，∴∠BAC＝90°﹣15°＝75°，∵DE垂直平分AB，BE＝8，∴BE＝AE＝8，∴∠EAB＝∠B＝15°，∴∠EAC＝75°﹣15°＝60°，∵∠C＝90°，∴∠AEC＝30°，∴AC＝AE＝×8＝4，∴EC＝AC＝4，故答案为：．19．解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，∴∠ACB＝60°，∵MN∥BC，∴∠AMN＝∠B＝30°，∵∠A＝90°，AN＝1，∴MN＝2AN＝2，∵MN平分∠AMC，∠AMN＝30°，∴∠AMC＝∠NMC＝60°，∵CM平分∠ACB，∠ACB＝60°，∴∠ACM＝ACB＝30°，∴∠ACM＝∠NMC，∴MN＝CN＝2，∴AC＝AN+CN＝1+2＝3，∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，∴BC＝2AC＝2×3＝6，故答案为：6．20．解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠HBD+∠BHD＝90°，∵∠CAD＝30°，AC＝4，∴CD＝AC＝2，∵BE⊥AC，∴∠HBD+∠C＝90°，∴∠BHD＝∠C，∵∠ABD＝45°，∴∠BAD＝45°，∴BD＝AD，在△BDH和△ADC中，，∴△BDH≌△ADC（AAS），∴HD＝CD＝2，故点H到BC的距离是2．故答案为2．21．解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝40°，∵BD＝BE，∴∠BDE＝∠BED＝（180°﹣∠B）＝70°，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠ADE＝∠ADB﹣∠BDE＝90°﹣70°＝20°，故答案为：20．22．解：（1）∵AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，∴AE＝BE，AN＝CN，∵BC＝12，∴△AEN周长l＝AE+EN+AN＝BE+EN+NC＝BC＝12；（2）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵AE＝BE，AN＝CN，∴∠BAE＝∠CAN＝30°，∴∠EAN＝∠BAC﹣∠BAE﹣∠CAN＝60°；（3）∵∠AEN＝∠B+∠BAE＝60°，∠ANE＝∠C+∠CAN＝60°，∴△AEN为等边三角形．23．解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵DE⊥AB AD＝DB，∴AE＝EB，∴∠A＝∠EBA，∵∠A＝42°，∴∠EBA＝42°，∠C＝∠ABC＝69°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝27°；（2）由（1）得BE＝AE AB＝AC，∴AC＝AE+EC＝BE+EC，∵△BEC的周长＝BE+EC+BC＝20，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝AB+BE+EC+BC＝12+20＝32．24．证明：（1）∵AB＝AD，∴∠ABC＝∠ADB，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠C，∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝2∠C，∴∠ABC＝2∠C；（2）∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠CAD，∵BE∥AD，∴∠DAB＝∠ABE，∠E＝∠CAD，∴∠ABE＝∠E，∴AE＝AB．25．解：（1）∵△BOC≌△ADC，∴OC＝DC，∵∠OCD＝60°，∴△OCD是等边三角形．（2）△AOD是直角三角形．理由如下：∵△OCD是等边三角形，∴∠ODC＝60°，∵△BOC≌△ADC，α＝150°，∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，∴△AOD是直角三角形．（3）∵△OCD是等边三角形，∴∠COD＝∠ODC＝60°．∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，∴α＝125°．②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，∴α＝140°．③当∠ADO＝∠OAD时，α﹣60°＝50°，∴α＝110°．综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．26．解：（1）DE⊥DP，理由如下：∵PD＝P A，∴∠A＝∠PDA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB＝ED，∴∠B＝∠EDB，∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠PDA+∠EDB＝90°，∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°，∴DE⊥DP；（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，∵∠C＝∠PDE＝90°，∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2，∴42+（8﹣x）2＝22+x2，解得：x＝4.75，则DE＝4.75．27．解：（1）①∵BO平分∠ABC，∴∠EBO＝∠OBC，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∴∠EOB＝∠EBO，∴OE＝BE；②△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AE+AF+EB+FC＝AB+AC＝25﹣9＝16；（2）解：延长BA，做PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD，PM＝PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，∴∠F AP＝∠P AC，∴∠F AC＝2∠P AC，∵∠F AC+∠BAC＝180°，∴2∠P AC+∠BAC＝180°．。
三角形的证明2020-2021年八年级数学下学期培优巩固提升卷(北师大版)(原卷版)
2021八年级数学下册同步课堂培优--三角形的基础证明【能力知识点】1 等腰三角形(1)等腰三角形的有关概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
(2)等腰三角形的性质等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等。
（简写成“等边对等角”）等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
（三线合一）(3)等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
（简写成“等角对等边”）等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形2 等边三角形(1)等边三角形的有关概念在等腰三角形中，有一种特殊的等腰三角形——三条边都相等的三角形，我们把这样的三角形叫做等边三角形。
(2)等边三角形的性质60。
①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于②等边三角形三边都相等.③还满足等腰三角形的所有性质(3)等边三角形的判定等边三角形的判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形；等边三角形的判定2：三边都相等的三角形是等边三角形60的等腰三角形是等边三角形；等边三角形的判定3：有一个角是(4)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。
3 等腰直角三角形(1)在等腰三角形中，还有一种特殊的等腰三角形————等腰直角三角形等腰直角三角形是一种特殊的三角形，它的两直角边相等直角边与斜边的夹角是锐角45度，(2)斜边上中线，角平分线，垂线三线合一(3)三边的比值为1：1:24.直角三角形直角三角形的性质与判定：(1)直角三角形两锐角互余；(2)有一个角等于 90°的三角形是直角三角形；(3)含30°角的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么30°角所对的直角边等于斜边的一半(4)勾股定理①勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2②勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足若c2=a2+b2，那么这个三角形是直角三角形。
(完整)北师大版初二年级下册《三角形的证明》(培优)带答案
三角形的证明单元检测卷A1．（4分）（2013•钦州）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°2．（4分）下列命题的逆命题是真命题的是（）A．如果a＞0，b＞0，则a+b＞0 B．直角都相等C．两直线平行，同位角相等D．若a=6，则|a|=|b|3．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小边BC=4 cm，最长边AB的长是A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm4．（4分）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（）A．∠A=∠C B．A D=CB C．B E=DF D．A D∥BC5．（4分）如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=5，则CE的长为（）A．10 B．8C．5D．2.56.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A=∠ABE．若AC=5，BC=3，则BD的长为（）A．2.5 B．1.5 C．2D．17．（4分）如图，AB=AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE、CF相交于点D，则①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．以上结论正确的是（）A．①B．②C．①②D．①②③8．（4分）如图所示，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=3，CE=4，则AD等于（）A．10 B．12 C．24 D．489．如图所示，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC．∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，则BC的长度是（）A． 6 B．8 C．9 D．1010．（4分）（2013•遂宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．12．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（）13．（4分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC 边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形，③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A．①②③B．①④⑤C．①③④D．③④⑤二、填空题（每小题4分，共24分）14．（4分）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中___．15．（4分）若（a﹣1）2+|b﹣2|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为_．16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE=20°，则∠C=_________．17．（4分）如图，在△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，DE过点I，且DE∥BC．BD=8cm，CE=5cm，则DE等于_________．18．如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m．19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=1，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是．A．1B．2C．3D．4A．2B．3C．4D．5三、解答题（每小题7分，共14分）20．（7分）如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE．求证：∠A=∠B．21．（7分）如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．四、解答题（每小题10分，共40分）22．（10分）在四边形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，∠DCA=30°，CA平分∠DCB，AD=4cm，求AB的长度？23．（10分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．24．（10分）如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．（1）求证：CF=DG；（2）求出∠FHG的度数．25．（10分）已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，DH垂直平分BC交AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F．（1）求证：BF=AC；（2）求证：．五、解答题（每小题12分.共24分）26．（12分）如图，在△ABC中，D是BC是中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG 于点G，DE⊥DF交AB于点E，连接EG、EF．（1）求证：BG=CF；（2）求证：EG=EF；（3）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．27．（12分）△ABC中，AB=AC，点D为射线BC上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE．（1）如图1，若∠BAC=∠DAE=60°，则△BEF是_________三角形；（2）若∠BAC=∠DAE≠60°①如图2，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状并证明；②当点D在线段BC的延长线上移动，△BEF是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形．北师大版八下《第1章三角形的证明》2014年单元检测卷A（一）参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共48分）1．（4分）（2013•钦州）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°考点：等腰三角形的性质．专题：分类讨论．分析：分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解．解答：解：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°，综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．故选B．点评：本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论求解．2．（4分）下列命题的逆命题是真命题的是（）A．如果a＞0，b＞0，则a+b＞0 B．直角都相等C．两直线平行，同位角相等D．若a=6，则|a|=|b|考点：命题与定理．分析：先写出每个命题的逆命题，再进行判断即可．解答：解；A．如果a＞0，b＞0，则a+b＞0：如果a+b＞0，则a＞0，b＞0，是假命题；B．直角都相等的逆命题是相等的角是直角，是假命题；C．两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题；D．若a=6，则|a|=|b|的逆命题是若|a|=|b|，则a=6，是假命题．故选：C．点评：此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．3．（4分）△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小边BC=4 cm，最长边AB的长是（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm考点：含30度角的直角三角形．分析：三个内角的比以及三角形的内角和定理，得出各个角的度数．以及直角三角形中角30°所对的直角边是斜边的一半．解答：解：根据三个内角的比以及三角形的内角和定理，得直角三角形中的最小内角是30°，根据30°所对的直角边是斜边的一半，得最长边是最小边的2倍，即8，故选D．点评：此题主要是运用了直角三角形中角30°所对的直角边是斜边的一半．4．（4分）（2013•安顺）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（）A．∠A=∠C B．A D=CB C．B E=DF D．A D∥BC考点：全等三角形的判定．分析：求出AF=CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可．解答解：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，∴AF=CE，A、∵在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；B、根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项正确；C、∵在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项错误；D、∵AD∥BC，∴∠A=∠C，∵在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；故选B．点评：本题考查了平行线性质，全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．5．（4分）（2012•河池）如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=5，则CE的长为（）A．10 B．8C．5D．2.5考点：线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．分析：根据线段垂直平分线性质得出BE=CE，根据含30度角的直角三角形性质求出BE的长，即可求出CE长．解答：解：∵DE是线段BC的垂直平分线，∴BE=CE，∠BDE=90°（线段垂直平分线的性质），∵∠B=30°，∴BE=2DE=2×5=10（直角三角形的性质），∴CE=BE=10．故选A．点评：本题考查了含30度角的直角三角形性质和线段垂直平分线性质的应用，关键是得到BE=CE和求出BE长，题目比较典型，难度适中．6．（4分）（2013•邯郸一模）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A=∠ABE．若AC=5，BC=3，则BD的长为（）考点：等腰三角形的判定与性质．分析：由已知条件判定△BEC的等腰三角形，且BC=CE；由等角对等边判定AE=BE，则易求BD=BE=AE=（AC﹣BC）．解答：解：如图，∵CD平分∠ACB，BE⊥CD，∴BC=CE．又∵∠A=∠ABE ，∴AE=BE．∴BD=BE=AE=（AC﹣BC）．∵AC=5，BC=3，∴BD=（5﹣3）=1．故选D．点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质．注意等腰三角形“三合一”性质的运用．7．（4分）如图，AB=AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE、CF相交于点D，则①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．以上结论正确的是（）A．①B．②C．①②D．①②③考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．专题：常规题型．分析：从已知条件进行分析，首先可得△ABE≌△ACF得到角相等和边相等，运用这些结论，进而得到更多的结论，最好运用排除法对各个选项进行验证从而确定最终答案．解答：解：∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∴∠AEB=∠AFC=90°，∵AB=AC，∠A=∠A，∴△ABE≌△ACF（①正确）∴AE=AF，∴BF=CE，∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠BDF=∠CDE，∴△BDF≌△CDE（②正确），∴DF=DE，连接AD，∵AE=AF，DE=DF，AD=AD，∴△AED≌△AFD，∴∠FAD=∠EAD，即点D在∠BAC的平分线上（③正确），故选D．点评：此题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定方法等知识点，要求学生要灵活运用，做题时要由易到难，不重不漏．8．（4分）如图所示，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=3，CE=4，则AD等于（）A．10 B．12 C．24 D．48分析：本题主要考查勾股定理运用，解答时要灵活运用直角三角形的性质．解答：解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∠BAE=∠DEC=60°，∴∠AEB=∠CDE=30°∵30°所对的直角边是斜边的一半，∴AE=6，DE=8又∵∠AED=90°，根据勾股定理，∴AD=10．故选A．点评：解决此类题目的关键是熟练掌握运用直角三角形两个锐角互余，30°所对的直角边是斜边的一半，勾股定理的性质．9．（4分）如图所示，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC．∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，则BC的长度是（）A．6B．8C．9D．10考点：等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出BE=6，DE=2，进而得出△BEM为等边三角形，△EFD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案．解答：解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN，∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEM为等边三角形，∴△EFD为等边三角形，∵BE=6，DE=2，∴DM=4，∵△BEM为等边三角形，∴∠EMB=60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM=90°，∴∠NDM=30°，∴NM=2，∴BN=4，∴BC=2BN=8，故选B．点评：此题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出MN的长是解决问题的关键．10．（4分）（2013•遂宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．A．1B．2C．3D．4考点：角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图—基本作图．专题：压轴题．分析：①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线；②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上；④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．解答：解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．故①正确；②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=∠CAB=30°，∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正确；③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD，∴点D在AB的中垂线上．故③正确；④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°，∴CD=AD，∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC =AC•CD=AC•AD．∴S△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD，∴S△DAC：S△ABC=AC•AD：AC•AD=1：3．故④正确．综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．故选D．点评：本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图﹣基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质．12．（4分）（2013•龙岩）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（）A．2B．3C．4D．5考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质．专题：压轴题．分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB的垂直平分线与直线y=x的交点为点C，再求出AB的长，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为点C，求出点B到直线y=x 的距离可知以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线没有交点．解答：解：如图，AB的垂直平分线与直线y=x相交于点C1，∵A（0，2），B（0，6），∴AB=6﹣2=4，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为C2，C3，∵OB=6，∴点B到直线y=x的距离为6×=3，∵3＞4，∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x没有交点，所以，点C的个数是1+2=3．故选B．点评：本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．13．（4分）（2009•重庆）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D ，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形，③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A．①②③B．①④⑤C．①③④D．③④⑤考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：压轴题；动点型．分析：解此题的关键在于判断△DEF是否为等腰直角三角形，作常规辅助线连接CF，由SAS定理可证△CFE和△ADF全等，从而可证∠DFE=90°，DF=EF．所以△DEF是等腰直角三角形．可证①正确，②错误，再由割补法可知④是正确的；判断③，⑤比较麻烦，因为△DEF是等腰直角三角形DE=DF，当DF与BC垂直，即DF最小时，DE 取最小值4，故③错误，△CDE最大的面积等于四边形CDEF的面积减去△DEF的最小面积，由③可知⑤是正确的．故只有①④⑤正确．解答：解：连接CF；∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB；∵AD=CE，∴△ADF≌△CEF；∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；∵∠AFD+∠CFD=90°，∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，∴△EDF是等腰直角三角形．因此①正确．当D、E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形．因此②错误．∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF=S△ADF∴S四边形CEFD=S△AFC，因此④正确．由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小；即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF=BC=4．∴DE=DF=4；因此③错误．当△CDE面积最大时，由④知，此时△DEF的面积最小．此时S△CDE=S四边形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=16﹣8=8；因此⑤正确．故选B．点评：本题考查知识点较多，综合性强，能力要求全面，难度较大．但作为选择题可采用排除法等特有方法，使此题难度稍稍降低一些．二、填空题（每小题4分，共24分）14．（4分）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中每一个内角都大于60°．考点：反证法．分析：熟记反证法的步骤，直接填空即可．解答：解：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即三角形的每一个内角都大于60°．故答案为：每一个内角都大于60°．点评：此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否考点：等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形三边关系．专题：分类讨论．分析：先根据非负数的性质列式求出a、b再分情况讨论求解即可．解答：解：根据题意得，a﹣1=0，b﹣2=0，解得a=1，b=2，①若a=1是腰长，则底边为2，三角形的三边分别为1、1、2，∵1+1=2，∴不能组成三角形，②若a=2是腰长，则底边为1，三角形的三边分别为2、2、1，能组成三角形，周长=2+2+1=5．故答案为：5．点评：本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，以及三角形的三边关系，难点在于要讨论求解．16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE=20°，则∠C=35°．考点：线段垂直平分线的性质．分析：由DE是AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=CE，又由在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAE=20°，即可求得∠C的度数．解答：解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AE=CE，∴∠C=∠CAE，∵在Rt△ABE中，∠ABC=90°，∠BAE=20°，∴∠AEC=70°，∴∠C+∠CAE=70°，∴∠C=35°．故答案为：35°．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．17．（4分）如图，在△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，DE过点I，且DE∥BC．BD=8cm，CE=5cm，则DE等于3cm．考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．分析：由BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，DE过点I，且DE∥BC，易得△BDI与△ECI是等腰三角形，继而求得答案．解答：解：∵BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，∴∠ABI=∠CBI，∠ECI=∠ICF，∵DE∥BC，∴∠DIB=∠CBI，∠EIC=∠ICF，∴∠ABI=∠DIB，∠ECI=∠EIC，∴DI=BD=8cm，EI=CE=5cm，∴DE=DI﹣EI=3（cm）．故答案为：3cm．点评：此题考查了等腰三角形的性质与判定以及平行线的性质．注意由角平分线与平行线，易得等腰三角形．18．（4分）（2013•东营）如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 1.3m（容器厚度忽略不计）．考点：平面展开-最短路径问题．专题：压轴题．分析：将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．解答：解：如图：∵高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，∴A′D=0.5m，BD=1.2m，∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B===1.3（m）．故答案为：1.3．点评：本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．19．（4分）（2013•资阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=1，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是1+．考点：轴对称-最短路线问题；含30度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：连接CE，交AD于M，根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时，PE+BP的值最小，即可此时△BPE 的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE，先求出BC和BE长，代入求出即可．解答：解：连接CE，交AD于M，∵沿AD折叠C和E重合，∴∠ACD=∠AED=90°，AC=AE，∠CAD=∠EAD，∴AD垂直平分CE，即C和E关于AD对称，CD=DE=1，∴当P和D重合时，PE+BP的值最小，即此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE，∵∠DEA=90°，∴∠DEB=90°，∵∠B=60°，DE=1，∴BE=，BD=，即BC=1+，∴△PEB的周长的最小值是BC+BE=1++=1+，故答案为：1+．点评：本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P点的位置，题目比较好，难度适中．三、解答题（每小题7分，共14分）20．（7分）（2013•常州）如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE．求证：∠A=∠B．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题；压轴题．分析：根据中点定义求出AC=BC，然后利用“SSS”证明△ACD和△BCE全等，再根据全等三角形对应角相等证明即可．解答：证明：∵C是AB的中点，∴AC=BC，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SSS），∴∠A=∠B．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，比较简单，主要利用了三边对应相等，两三角形全等，以及全等三角形对应角相等的性质．21．（7分）（2013•兰州）如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论）考点：作图—应用与设计作图．分析：根据点P到∠AOB两边距离相等，到点C、D的距离也相等，点P既在∠AOB的角平分线上，又在CD垂直平分线上，即∠AOB的角平分线和CD垂直平分线的交点处即为点P．解答：解：如图所示：作CD的垂直平分线，∠AOB的角平分线的交点P即为所求．点评：此题主要考查了线段的垂直平分线和角平分线的作法．这些基本作图要熟练掌握，注意保留作图痕迹．四、解答题（每小题10分，共40分）22．（10分）（2013•攀枝花模拟）在四边形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，∠DCA=30°，CA平分∠DCB，AD=4cm，求AB的长度？考点：勾股定理；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．专题：压轴题．分析：过B作BE⊥AC，由AD=4m和∠D=90°，∠DCA=30°，可以求出AC的长，根据平行线的性质和角平分线以及等腰三角形的性质即可求出AD的长．解答：解：∵∠D=90°，∠DCA=30°，AD=4cm，∴AC=2AD=8cm，∵CA平分∠DCB，AB∥CD，∴∠CAB=∠ACB=30°，∴AB=BC，过B作BE⊥AC，∴AE=AC=4cm，∴cos∠EAB==，∴cm．点评：本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的性质，解题的关键是作高线构造直角三角形，利用锐角三角函数求出AB的长．23．（10分）（2013•温州）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；含30度角的直角三角形．分析：（1）根据角平分线性质求出CD=DE，根据HL定理求出另三角形全等即可；（2）求出∠DEB=90°，DE=1，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．解答：（1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°，∵在Rt△ACD和Rt△AED中∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）；（2）解：∵DC=DE=1，DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∵∠B=30°，∴BD=2DE=2．点评：本题考查了全等三角形的判定，角平分线性质，含30度角的直角三角形性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．24．（10分）（2013•大庆）如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．（1）求证：CF=DG；（2）求出∠FHG的度数．考点：全等三角形的判定与性质．分析：（1）在△CBF和△DBG中，利用SAS即可证得两个三角形全等，利用全等三角形的对应边相等即可证得；（2）根据全等三角形的对应角相等，即可证得∠DHF=∠CBF=60°，从而求解．解答：（1）证明：∵在△CBF和△DBG中，，∴△CBF≌△DBG（SAS），∴CF=DG；（2）解：∵△CBF≌△DBG，∴∠BCF=∠BDG，又∵∠CFB=∠DFH，∴∠DHF=∠CBF=60°，∴∠FHG=180°﹣∠DHF=180°﹣60°=120°．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键．25．（10分）已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，DH垂直平分BC交AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F．（1）求证：BF=AC；（2）求证：．考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．专题：证明题．分析：（1）由ASA证△BDF≌△CDA，进而可得出第（1）问的结论；（2）在△ABC中由垂直平分线可得AB=BC，即点E是AC的中点，再结合第一问的结论即可求解．解答：证明：（1）∵DH垂直平分BC，且∠ABC=45°，∴BD=DC，且∠BDC=90°，∵∠A+∠ABF=90°，∠A+∠ACD=90°，∴∠ABF=∠ACD，∴△BDF≌△CDA，∴BF=AC．（2）由（1）得BF=AC，∵BE平分∠ABC，且BE⊥AC，∴在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（ASA），∴CE=AE=AC=BF．点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及线段垂直平分线的性质等问题，应熟练掌握．五、解答题（每小题12分.共24分）26．（12分）如图，在△ABC中，D是BC是中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥DF交AB于点E，连接EG、EF．（1）求证：BG=CF；（2）求证：EG=EF；（3）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．分析：（1）求出∠C=∠GBD，BD=DC，根据ASA证出△CFD≌△BGD即可．（2）根据全等得出GD=DF，根据线段垂直平分线性质得出即可．（3）根据全等得出BG=CF，根据三角形三边关系定理求出即可．解答：（1）证明：∵BG∥AC，∴∠C=∠GBD，∵D是BC是中点，∴BD=DC，在△CFD和△BGD中∴△CFD≌△BGD，∴BG=CF．（2）证明：∵△CFD≌△BGD，∴DG=DF，∵DE⊥GF，∴EG=EF．（3）BE+CF＞EF，证明：∵△CFD≌△BGD，∴CF=BG，在△BGE中，BG+BE＞EG，∵EF=EG，∴BG+CF＞EF．点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，线段垂直平分线性质，三角形三边关系定理的应用，主要考查学生的推理能力．27．（12分）△ABC中，AB=AC，点D为射线BC上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE．（1）如图1，若∠BAC=∠DAE=60°，则△BEF是等边三角形；（2）若∠BAC=∠DAE≠60°①如图2，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状并证明；②当点D在线段BC的延长线上移动，△BEF是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形．考点：等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定．分析：（1）根据题意推出△AED和△ABC为等边三角形，然后通过求证△EAB≌△DAC，结合平行线的性质，即可推出△EFB为等边三角形，（2）①根据（1）的推理依据，即可推出△EFB为等腰三角形，②根据题意画出图形，然后根据平行线的性质，通过求证△EAB≌△DAC，推出等量关系，即可推出△EFB为等腰三角形．解答：解：（1）∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴△AED和△ABC为等边三角形，∴∠C=∠ABC=60°，∠EAB=∠DAC，∴△EAB≌△DAC，∴∠EBA=∠C=60°，∵EF∥BC，∴∠EFB=∠ABC=60°，∵在△EFB中，∠EFB=∠EBA=60°，∴△EFB为等边三角形，（2）①△BEF为等腰三角形，∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∴△AED和△ABC为等腰三角形，∴∠C=∠ABC，∠EAB=∠DAC，∴△EAB≌△DAC，∴∠EBA=∠C，∵EF∥BC，∴∠EFB=∠ABC，∵在△EFB中，∠EFB=∠EBA，∴△EFB为等腰三角形，②AB=AC，点D为射线BC上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE．∵△BEF为等腰三角形，∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∴△AED和△ABC为等腰三角形，∴∠ACB=∠ABC，∠EAB=∠DAC，∴△EAB≌△DAC，∴∠EBA=∠ACD，∴∠EBF=∠ACB，∵EF∥BC，∴∠AFE=∠ABC，∵∠ABC=∠ACB，∴∠AFE=∠ACB，∵在△EFB中，∠EBF=∠AFE，∴△EFB为等腰三角形．点评：本题主要考查等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，关键在于根据题意画出图形，通过求证三角形全等，推出等量关系，即可推出结论．。
北师大八年级下三角形的证明练习题培优训练
北师大八年级下三角形的证明练习题培优训练Revised by Chen Zhen in 2021第一章 培优训练1．在△ABC 中，∠BAC=130°，若PM 、QN 分别垂直平分AB 和AC ，那么∠PAQ= 度． 2．在等腰三角形ABC 中，AB=AC=5，BC=6，D 是BC 上一点，作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，则DE+DF= ．3．如图，一张直角三角形的纸片，象图中那样折叠，使A 与B 重合，∠B=30°，AC=3，则折痕DE 等于 ．4．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 的延长线交DE 于F ，∠B=∠D=25°，∠ACB=∠E=105° ∠DAC=10°则∠DFB= ．(3题图)(4题图) 5.如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=1200，D 、F 分别为AB 、AC 的中点，DE AB FG AC ⊥⊥，，E 、G 在BC 上，BC=15cm ，求EG 的长度 6、如图，∠AOB 是一钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管EF 、FG 、GH ……添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管 根。
7．两个三角形如果具有下列条件：①三边对应相等；②两边和其中一边上的中线对应相等；③两边和第三边上的高对应相等；④三个角对应相等；⑤两边和一个角对应相等；其中一定全等的有( )个A ．2B ．3C ．4D ．5 (1题图) (2题图)(5题图)E D(B)B C A8．在数学活动课上，小明提出一个问题：“如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠C=90°，M是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，∠CMD=35°，则∠MAB 是多少度”大家经过了一翻热烈的讨论交流之后，小雨第一个得出了正确结论，你知道他说的是( )A ．20°B ．35°C ．55°D ．70°9．从边长为1的等边三角形内一点分别向三边作垂线，三条垂线段长的和为( )A．23 B ．32 C ．2 D ．22 10．如图，在等边三角形ABC 的三边上有三点D 、E 、F ，且△DEF 也是等边三角形，其中BD=3，CF=1，则△ABC 的高等于( )A ．3B ． 23C ．10D ．411．在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，且AE ＝21（AB ＋AD ），求∠ABC ＋∠ADC 的度数． （11题图） 12. 如图1、图2，△AOB ，△COD 均是等腰直角三角形，∠AOB ＝∠COD ＝90o ，（1）在图1中，AC 与BD 相等吗请说明理由（4分）（2）若△COD 绕点O 顺时针旋转一定角度后，到达力2的位置，请问AC 与BD 还相等吗为什么（8分）13.在⊿ABC 中，点O 是AC 边上一动点，过点O 作直线M N ∥BC ，与∠ACB 的角平分线交于点E ，与∠ACB 的外角平分线交于点F ，求证：OE=OF A B CE DA B C DE FA BCD M (10题图)求证：①G 是CE 的中点．②∠B=2∠BCE ．（15题图）16.如图，美伊战争中，特种兵在C 处发现E ，F 处各有一股伊军，电传A ，B 两处的美军，此时，△ABC 为等边三角形，F ，E 点恰好在BA ，BC 的延长线上，由于伊军分布情况，A 股美军抵F 后分化一部分向CE 中点D 行军，经测量，AF=BE,试判断FD 能为F 到CE 的最近距离吗并说明理由。
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明 能力提升( 解析版)
第一章三角形的证明卷I（选择题）一、选择题（本题共计6小题，每题3分，共计18分）1.如图，已知AB // CD，OM是∠BOF的平分线，∠2=70∘，则∠1的度数为( )A.140∘B.130∘C.125∘D.100∘2.等腰三角形的一个角是80∘，则它顶角的度数是（）A.80∘或20∘B.80∘C.80∘或50∘D.20∘3.用反证法证明“△ABC中，如果AB≠AC，那么∠B≠∠C”时，第一步是( )A.假设AB=ACB.假设∠B=∠CC.假设AB≠ACD.假设AB≠AC4.如图，在△ABC中，∠C=90∘，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=√5，则BC的长为( )A.√3−1B.√3+1C.√5−1D.√5+15.图中，最外面是第1个等边三角形，边长为1，记周长为l1，然后以中心为顶点构造第2个等边三角形，使其底边与第1个等边三角形底边重合，记其周长为l2；若继续构造下去，则第n个等边三角形的周长l n为（）A.(13)n−1B.(13)n−2C.3⋅(12)n−2D.3⋅(12)n−1 6.如图，将等腰直角三角形ABC 绕点A 逆时针旋转15∘后得到△AB 1C 1，若AC ＝2，则图中阴影部分的面积为（）A.2√33B.√36C.√3D.3√3卷II （非选择题）二、填空题（本题共计6小题，每题3分，共计18分）7.直角三角形中两个锐角的差为20∘，则两个锐角的度数分别是________．8.如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，AB =8cm ，AC =6cm ，S △ABD =12，则 S △ACD =________．9.如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC ，BC 的中垂线交BC 于点E ，交BD 于点F ，连接CF ．若∠A ＝60∘，∠ACF ＝48∘，则∠ABC 的度数为＝________．10.如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36∘，将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C 处．若AE=√3，则BC的长是________．11.如图，某汽车从A处出发准备开往正北方向M处，但是由于AM之间道路正在整修，所以需先到B处，再到M处，若B在A的北偏东25∘方向上，汽车到B处发现，此时正好BM=BA，则汽车要想到达M处，此时应沿北偏西________的方向行驶．12.如图，在直角坐标系中，ABCD的四个顶点的坐标分别为A(0, 8)，B(−6, 8)，C(−6, 0)，D(0, 0)，现有动点P在线段CB上运动，当△ADP为等腰三角形时，P点坐标为________．三、解答题（本题共计11小题，共计84分）13.（6分）如图，在△ABC中，AC=BC，CD为AB边上的中线，DE⊥CB于E，∠B=55∘，求∠CDE的度数．14.（6分）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AB+BC=13，AB边的垂直平分线MN交AC于点D，求△BCD的周长．15.（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝30∘，∠DAB＝45∘．求证：△ADC是等腰三角形．BC．16.（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE=12求证：AB平分∠EAD．17.(6分)如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）如图①，点P为AB上任意一点，请你用无刻度的直尺在AC上找出一点P′，使AP＝AP′．（2）如图②，点P为BD上任意一点，请你用无刻度的直尺在CD上找出一点P′，使BP＝CP′．18.(8分)如图，已知∠BAC＝120∘，AB＝AC，AC的垂直平分线交BC于D，（1）求∠ADB的度数；（2）若AD＝2，求BC的长．19.（8分）如图，D为等边△ABC边BC上一点，DE⊥AB于E，若BD:CD＝2:1，DE＝2√3，求AE．20.(8分)如图：△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，DE⊥AB．（1）求证：∠BAC＝2∠EDB；（2）若AC＝6，DE＝2，求△ABC的面积．21.(9分)如图，点D是△ABC的边BC延长线上一点，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD．求证：（1）∠BAC=2∠BEC；（2）∠CAE+∠BEC=90∘．22.（9分）我们可引入如下概念．定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．举例：如图1，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心．AB，求∠APB的度应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，已知PA=PB且PD=12数．探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长．23.（12分）感知：如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180∘，∠B=90∘，易知：DB=DC．探究：如图②，在四边形ABDC中，AD平分∠BAC，∠B=45∘，∠C=135∘，试说明：DB与DC的数量关系，并说明原因．应用：如图③，在四边形ABDC中，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180∘，∠ABD<90∘，DB与DC的上述关系还成立吗？并说明原因．参考答案与试题解析第一章三角形的证明一、选择题（本题共计6小题，每题3分，共计18分）1.【答案】A【解答】解：∵AB // CD，∠2=70∘，∴∠BOM=∠2=70∘，∵OM是∠BOF的平分线，∴∠BOF=2∠BOM=140∘，∵AB // CD，∴∠1=∠BOF=140∘．故选A．2.【答案】A【解答】(180∘−80∘)=50∘；解：分两种情况讨论：①当80∘的角为顶角时，底角为12②当80∘角为底角时，另一底角也为80∘，顶角为20∘；综上所述：等腰三角形的一个角是80∘，则它顶角的度数是80∘或20∘；故选：A．3.【答案】B【解答】解：用反证法证明“△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C“第一步应是假设∠B=∠C，故选B.4.【答案】D【解答】解：∵∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠B=∠DAB，∴DB=DA=√5，在Rt△ADC中，DC=√AD2−AC2=√(√5)2−22=1；∴BC=√5+1．故选D．5.【答案】B【解答】由已知得：第1个等边三角形的周长为：1+1+1＝3=(13)1−2，第2个等边三角形的周长为：13+13+13=1=(13)2−2，第3个等边三角形的周长为：19+19+19=13=(13)3−2，…，所以第n个等边三角形的周长l n为：(13)n−2．6.【答案】A【解答】∵等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15∘后得到△AB′C′，∵∠CAC′＝15∘，∴∠C′AB＝∠CAB−∠CAC′＝45∘−15∘＝30∘，AC′＝AC＝2，∴阴影部分的面积=12×2×tan30∘×2=2√33，二、填空题（本题共计6小题，每题3分，共计18分）7.【答案】55∘、35∘【解答】解：设一个锐角为x，则另一个锐角为x−20∘，则x+x−20∘=90∘，解得，x=55∘，x−20∘=35∘故答案为：55∘、35∘．8.【答案】9cm2【解答】解：过D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，∵AD是角平分线，∴DE=DF，∵S△ABD=12AB⋅DE，∴12=12×8DE，解得DE=3(cm)，∴DF=3cm，∴S△ACD=12AC⋅DF=12×6×3=9(cm2)，故答案为：9cm2．9.【答案】48∘【解答】∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD，∵∠A＝60∘，∴∠ABC+∠ACB＝120∘，∵∠ACF＝48∘，∵BC的中垂线交BC于点E，∴BF＝CF，∴∠FCB＝∠FBC，∴∠ABC＝2∠FCE，∵∠ACF＝48∘，∴3∠FCE ＝120∘−48∘＝72∘，∴∠FCE ＝24∘，∴∠ABC ＝48∘，10.【答案】√3【解答】∵AB =AC ，∠A =36∘，∴∠B =∠ACB =180∘−36∘2=72∘，∵将△ABC 中的∠A 沿DE 向下翻折，使点A 落在点C 处，∴AE =CE ，∠A =∠ECA =36∘，∴∠BCE =∠BCD −∠ECD =72∘−36∘=36∘，∴∠BEC =180∘−∠B −∠BCE =180∘−72∘−36∘=72∘， ∴∠BEC =∠B,∴BC =CE.∵AE =√3，∴BC =CE =AE =√3.故答案为：√3.11.【答案】25∘【解答】解：∵MB =BA ，∴∠M =∠A =25∘，∴∠1=∠M =25∘，故答案为：25∘．12.【答案】(−6, 4)，(−6, 2√7)，(−6, 8−2√7)【解答】解：如图，当AP=PD时，点P在AD的垂直平分线上，∴P(−6, 4)，当AP=AD=8时，BP=√AP2−AB2=2√7，当DP=AD=8时，PC=2√7，∴P(−6, 2√7)，(−6, 8−2√7)，∴P点坐标为(−6, 4)，(−6, 2√7)，(−6, 8−2√7)．故答案为：(−6, 4)，(−6, 2√7)，(−6, 8−2√7)．三、解答题（本题共计11小题，共计84分）13.【答案】解：∵AC=BC，CD为AB边上的中线，∴CD⊥AB，∴∠CDB=90∘，∴∠CDE+∠BDE=90∘，∵DE⊥CB，∴∠B+∠BDE=90∘，∴∠CDE=∠B=55∘．【解答】解：∵AC=BC，CD为AB边上的中线，∴CD⊥AB，∴∠CDB=90∘，∴∠CDE+∠BDE=90∘，∵DE⊥CB，∴∠B+∠BDE=90∘，∴∠CDE=∠B=55∘．14.【答案】解：∵MN是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴△BCD的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC，∵AB=AC，AB+BC=13，∴△BCD的周长为13．【解答】解：∵MN是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴△BCD的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC，∵AB=AC，AB+BC=13，∴△BCD的周长为13．15.【答案】证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30∘，∵∠C+∠BAC+∠B＝180∘，∴∠BAC＝180∘−30∘−30∘＝120∘，∵∠DAB＝45∘，∴∠DAC＝∠BAC−∠DAB＝120∘−45∘＝75∘；∵∠DAB＝45∘，∠B＝30∘∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝75∘，∴∠DAC＝∠ADC，∴DC＝AC，∴△ADC是等腰三角形．【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30∘，∵∠C+∠BAC+∠B＝180∘，∴∠BAC＝180∘−30∘−30∘＝120∘，∵∠DAB＝45∘，∴∠DAC＝∠BAC−∠DAB＝120∘−45∘＝75∘；∵∠DAB＝45∘，∠B＝30∘∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝75∘，∴∠DAC＝∠ADC，∴DC＝AC，∴△ADC是等腰三角形．16.【答案】证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，BC，AD⊥BC，∴BD=12BC，∵BE=12∴BD＝BE，∵AE⊥BE，∴AB平分∠EAD．【解答】证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，BC，AD⊥BC，∴BD=12BC，∵BE=12∴BD＝BE，∵AE⊥BE，∴AB平分∠EAD．17.【答案】如图①，点P′为所求作的图形，理由：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠ABC＝∠ACB，BD＝CD，∴AD是BC的垂直平分线，连接CP，交AD于H，连接BH并延长交AC于P′，∴BH＝CH，∴∠HBC＝∠HCB，∴∠ABP′＝∠ACP，∵AB＝AC，∠BAP′＝∠CAP，∴△ABP′≅△ACP，∴AP′＝AP，如图②，点P′为所求作的图形，理由：同（1）的方法即可得出，BP＝CP′．【解答】如图①，点P′为所求作的图形，理由：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠ABC＝∠ACB，BD＝CD，∴AD是BC的垂直平分线，连接CP，交AD于H，连接BH并延长交AC于P′，∴BH＝CH，∴∠HBC＝∠HCB，∴∠ABP′＝∠ACP，∵AB＝AC，∠BAP′＝∠CAP，∴△ABP′≅△ACP，∴AP′＝AP，如图②，点P′为所求作的图形，理由：同（1）的方法即可得出，BP＝CP′．18.【答案】∵∠BAC＝120∘，AB＝AC，(180∘−∠BAC)＝30∘，∴∠B＝∠C=12∵AC的垂直平分线DE，∴AD＝DC，∴∠DAC＝∠C＝30∘，∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝60∘．∵∠B＝30∘，∠ADB＝60∘，∴∠BAD＝90∘，∵AD＝2，∴BD＝2AD＝4，∵DC＝AD＝2，∴BC＝BD+DC＝2+4＝6．【解答】∵∠BAC＝120∘，AB＝AC，(180∘−∠BAC)＝30∘，∴∠B＝∠C=12∵AC的垂直平分线DE，∴AD＝DC，∴∠DAC＝∠C＝30∘，∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝60∘．∵∠B＝30∘，∠ADB＝60∘，∴∠BAD＝90∘，∵AD＝2，∴BD＝2AD＝4，∵DC＝AD＝2，∴BC＝BD+DC＝2+4＝6．19.【答案】∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠B＝60∘，∵DE⊥AB于E，∴∠DEB＝90∘，∴∠BDE＝30∘，∴BD＝2BE，在Rt△BDE中，设BE＝x，则BD＝2x，∵DE＝2√3，由勾股定理得：(2x)2−x2＝(2√3)2，解得：x＝2，所以BE＝2，BD＝4，∵BD:CD＝2:1，∴CD＝2，∴BC＝BD+CD＝6，∵AB＝BC，∴AB＝6，∵AE＝AB−BE∴AE＝6−2＝4．【解答】∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠B＝60∘，∵DE⊥AB于E，∴∠DEB＝90∘，∴∠BDE＝30∘，∴BD＝2BE，在Rt△BDE中，设BE＝x，则BD＝2x，∵DE＝2√3，由勾股定理得：(2x)2−x2＝(2√3)2，解得：x＝2，所以BE＝2，BD＝4，∵BD:CD＝2:1，∴CD＝2，∴BC＝BD+CD＝6，∵AB＝BC，∴AB＝6，∵AE＝AB−BE∴AE＝6−2＝4．20.【答案】∵AB＝AC，D为BC边的中点∠BAC ∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=12∴∠B+∠BAD＝90∘∵DE⊥AB∴∠B+∠EDB＝90∘∠BAC∴∠EDB=∠BAD=12即∠BAC＝2∠EDB∵AB＝AC＝6，DE＝2=6∴S△ABD=6×2×12∵D为BC边的中点∴S△ADC＝S△ADB＝6∴S△ABC＝12【解答】∵AB＝AC，D为BC边的中点∠BAC ∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=12∴∠B+∠BAD＝90∘∵DE⊥AB∴∠B+∠EDB＝90∘∠BAC∴∠EDB=∠BAD=12即∠BAC＝2∠EDB∵AB＝AC＝6，DE＝2∴S△ABD=6×2×12=6∵D为BC边的中点∴S△ADC＝S△ADB＝6∴S△ABC＝1221.【答案】解：（1）∵∠ACD=∠BAC+∠ABC，CE平分∠ACD∴∠ECD=12∠ACD=12(∠BAC+∠ABC)，∵BE平分∠ABC，∴∠EBC=12∠ABC，∴∠ECD=∠BEC+∠EBC=∠BEC+12∠ABC，∴∠BEC+12∠ABC=12(∠BAC+∠ABC)∴∠BEC=12∠BAC，即∠BAC=2∠BEC；（2）过点E作EM⊥BD于M，EN⊥BA的延长线于N，EG⊥AC于G，∵CE平分∠ACD，EM⊥BD，EG⊥AC，∴EG=EM∵BE平分∠ABC，EM⊥BD，EN⊥BA∴EN=EM∴EG=EN∴AE平分∠CAN∴∠CAE=12∠CAN=12(180∘−∠BAC)，∴∠CAE+∠BEC=12(180∘−∠BAC)+12∠BAC=90∘．【解答】解：（1）∵∠ACD=∠BAC+∠ABC，CE平分∠ACD∴∠ECD=12∠ACD=12(∠BAC+∠ABC)，∵BE平分∠ABC，∴∠EBC=12∠ABC，∴∠ECD=∠BEC+∠EBC=∠BEC+12∠ABC，∴∠BEC+12∠ABC=12(∠BAC+∠ABC)∴∠BEC=12∠BAC，即∠BAC=2∠BEC；（2）过点E作EM⊥BD于M，EN⊥BA的延长线于N，EG⊥AC于G，∵CE平分∠ACD，EM⊥BD，EG⊥AC，∴EG=EM∵BE平分∠ABC，EM⊥BD，EN⊥BA∴EN=EM∴EG=EN∴AE平分∠CAN∴∠CAE=12∠CAN=12(180∘−∠BAC)，∴∠CAE+∠BEC=12(180∘−∠BAC)+12∠BAC=90∘．22.【答案】解：应用：因为PA =PB ，由PD =12AB ，得PD =BD ，∴∠APD =45∘，故∠APB =90∘；探究：∵BC =5，AB =3，∴AC =√BC 2−AB 2=√52−32=4，①若PB =PC ，设PA =x ，则x 2+32=(4−x)2， ∴x =78，即PA =78，②若PA =PC ，则PA =2，③若PA =PB ，由图知，在Rt △PAB 中，不可能成立．故PA =2或78．【解答】解：应用：因为PA =PB ，由PD =12AB ，得PD =BD ，∴∠APD =45∘，故∠APB =90∘；探究：∵BC =5，AB =3，∴AC =√BC 2−AB 2=√52−32=4，①若PB =PC ，设PA =x ，则x 2+32=(4−x)2， ∴x =78，即PA =78，②若PA =PC ，则PA =2，③若PA =PB ，由图知，在Rt △PAB 中，不可能成立．故PA =2或78．23.【答案】解：探究：DC =DB ，理由如下：在图②中，作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∵DA 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴DE =DF ．∵∠DCA =135∘，∴∠DCF =180∘−∠DCA =45∘=∠B ．在△DCF 和△DBE 中，{∠F =∠DEB =90∘∠DCF =∠BDF =DE，∴△DCF ≅△DBE(AAS)，∴DC =DB ．应用：结论仍成立，理由如下：在图③中，作DM ⊥AB 于M ，DN ⊥AC 于N ， ∵DA 平分∠BAC ，DM ⊥AB ，DN ⊥AC ， ∴DM =DN ．∵∠B +∠ACD =180∘，∠ACD +∠NCD =180∘， ∴∠B =∠NCD ．在△NCD 和△MBD 中，{∠N =∠BMD∠NCD =∠B DN =DM，∴△NCD ≅△MBD ，∴DC =DB ．【解答】解：探究：DC =DB ，理由如下：在图②中，作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∵DA 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴DE =DF ．∵∠DCA =135∘，∴∠DCF =180∘−∠DCA =45∘=∠B ．在△DCF 和△DBE 中，{∠F =∠DEB =90∘∠DCF =∠BDF =DE，∴△DCF ≅△DBE(AAS)，∴DC =DB ．应用：结论仍成立，理由如下：在图③中，作DM ⊥AB 于M ，DN ⊥AC 于N ， ∵DA 平分∠BAC ，DM ⊥AB ，DN ⊥AC ， ∴DM =DN ．∵∠B +∠ACD =180∘，∠ACD +∠NCD =180∘， ∴∠B =∠NCD ．在△NCD 和△MBD 中，{∠N =∠BMD∠NCD =∠B DN =DM，∴△NCD ≅△MBD ， ∴DC =DB ．。
最新北师大版初二年级下册《三角形的证明》(培优)带答案
三角形的证明单元检测卷A1．（4分）（2013•钦州）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°2．（4分）下列命题的逆命题是真命题的是（）A．如果a＞0，b＞0，则a+b＞0 B．直角都相等C．两直线平行，同位角相等D．若a=6，则|a|=|b|3．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小边BC=4 cm，最长边AB的长是A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm4．（4分）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（）A．∠A=∠C B．A D=CB C．B E=DF D．A D∥BC5．（4分）如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=5，则CE的长为（）A．10 B．8C．5D．2.56.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A=∠ABE．若AC=5，BC=3，则BD的长为（）A．2.5 B．1.5 C．2D．17．（4分）如图，AB=AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE、CF相交于点D，则①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．以上结论正确的是（）A．①B．②C．①②D．①②③8．（4分）如图所示，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=3，CE=4，则AD等于（）A．10 B．12 C．24 D．489．如图所示，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC．∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，则BC的长度是（）A． 6 B．8 C．9 D．1010．（4分）（2013•遂宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．12．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（）13．（4分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC 边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形，③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A．①②③B．①④⑤C．①③④D．③④⑤二、填空题（每小题4分，共24分）14．（4分）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中___．15．（4分）若（a﹣1）2+|b﹣2|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为_．16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE=20°，则∠C=_________．17．（4分）如图，在△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，DE过点I，且DE∥BC．BD=8cm，CE=5cm，则DE等于_________．18．如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m．19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=1，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是．A．1B．2C．3D．4A．2B．3C．4D．5三、解答题（每小题7分，共14分）20．（7分）如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE．求证：∠A=∠B．21．（7分）如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．四、解答题（每小题10分，共40分）22．（10分）在四边形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，∠DCA=30°，CA平分∠DCB，AD=4cm，求AB的长度？23．（10分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．24．（10分）如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．（1）求证：CF=DG；（2）求出∠FHG的度数．25．（10分）已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，DH垂直平分BC交AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F．（1）求证：BF=AC；（2）求证：．五、解答题（每小题12分.共24分）26．（12分）如图，在△ABC中，D是BC是中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG 于点G，DE⊥DF交AB于点E，连接EG、EF．（1）求证：BG=CF；（2）求证：EG=EF；（3）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．27．（12分）△ABC中，AB=AC，点D为射线BC上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE．（1）如图1，若∠BAC=∠DAE=60°，则△BEF是_________三角形；（2）若∠BAC=∠DAE≠60°①如图2，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状并证明；②当点D在线段BC的延长线上移动，△BEF是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形．北师大版八下《第1章三角形的证明》2014年单元检测卷A（一）参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共48分）1．（4分）（2013•钦州）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°考点：等腰三角形的性质．专题：分类讨论．分析：分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解．解答：解：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°，综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．故选B．点评：本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论求解．2．（4分）下列命题的逆命题是真命题的是（）A．如果a＞0，b＞0，则a+b＞0 B．直角都相等C．两直线平行，同位角相等D．若a=6，则|a|=|b|考点：命题与定理．分析：先写出每个命题的逆命题，再进行判断即可．解答：解；A．如果a＞0，b＞0，则a+b＞0：如果a+b＞0，则a＞0，b＞0，是假命题；B．直角都相等的逆命题是相等的角是直角，是假命题；C．两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题；D．若a=6，则|a|=|b|的逆命题是若|a|=|b|，则a=6，是假命题．故选：C．点评：此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．3．（4分）△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小边BC=4 cm，最长边AB的长是（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm考点：含30度角的直角三角形．分析：三个内角的比以及三角形的内角和定理，得出各个角的度数．以及直角三角形中角30°所对的直角边是斜边的一半．解答：解：根据三个内角的比以及三角形的内角和定理，得直角三角形中的最小内角是30°，根据30°所对的直角边是斜边的一半，得最长边是最小边的2倍，即8，故选D．点评：此题主要是运用了直角三角形中角30°所对的直角边是斜边的一半．4．（4分）（2013•安顺）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（）A．∠A=∠C B．A D=CB C．B E=DF D．A D∥BC考点：全等三角形的判定．分析：求出AF=CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可．解答解：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，∴AF=CE，A、∵在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；B、根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项正确；C、∵在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项错误；D、∵AD∥BC，∴∠A=∠C，∵在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；故选B．点评：本题考查了平行线性质，全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．5．（4分）（2012•河池）如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D ．若ED=5，则CE的长为（）A．10 B．8C．5D．2.5考点：线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．分析：根据线段垂直平分线性质得出BE=CE，根据含30度角的直角三角形性质求出BE的长，即可求出CE长．解答：解：∵DE是线段BC的垂直平分线，∴BE=CE，∠BDE=90°（线段垂直平分线的性质），∵∠B=30°，∴BE=2DE=2×5=10（直角三角形的性质），∴CE=BE=10．故选A．点评：本题考查了含30度角的直角三角形性质和线段垂直平分线性质的应用，关键是得到BE=CE和求出BE长，题目比较典型，难度适中．6．（4分）（2013•邯郸一模）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A=∠ABE．若AC=5，BC=3，则BD的长为（）考点：等腰三角形的判定与性质．分析：由已知条件判定△BEC的等腰三角形，且BC=CE；由等角对等边判定AE=BE，则易求BD=BE=AE=（AC﹣BC）．解答：解：如图，∵CD平分∠ACB，BE⊥CD，∴BC=CE．又∵∠A=∠ABE，∴AE=BE．∴BD=BE=AE=（AC﹣BC）．∵AC=5，BC=3，∴BD=（5﹣3）=1．故选D．点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质．注意等腰三角形“三合一”性质的运用．7．（4分）如图，AB=AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE、CF相交于点D，则①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．以上结论正确的是（）A．①B．②C．①②D．①②③考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．专题：常规题型．分析：从已知条件进行分析，首先可得△ABE≌△ACF得到角相等和边相等，运用这些结论，进而得到更多的结论，最好运用排除法对各个选项进行验证从而确定最终答案．解答：解：∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∴∠AEB=∠AFC=90°，∵AB=AC，∠A=∠A，∴△ABE≌△ACF（①正确）∴AE=AF，∴BF=CE，∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠BDF=∠CDE，∴△BDF≌△CDE（②正确），∴DF=DE，连接AD，∵AE=AF，DE=DF，AD=AD，∴△AED≌△AFD，∴∠FAD=∠EAD，即点D在∠BAC的平分线上（③正确），故选D．点评：此题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定方法等知识点，要求学生要灵活运用，做题时要由易到难，不重不漏．8．（4分）如图所示，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=3，CE=4，则AD等于（）A．10 B．12 C．24 D．48分析：本题主要考查勾股定理运用，解答时要灵活运用直角三角形的性质．解答：解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∠BAE=∠DEC=60°，∴∠AEB=∠CDE=30°∵30°所对的直角边是斜边的一半，∴AE=6，DE=8又∵∠AED=90°，根据勾股定理，∴AD=10．故选A．点评：解决此类题目的关键是熟练掌握运用直角三角形两个锐角互余，30°所对的直角边是斜边的一半，勾股定理的性质．9．（4分）如图所示，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC．∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，则BC的长度是（）A．6B．8C．9D．10考点：等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出BE=6，DE=2，进而得出△BEM为等边三角形，△EFD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案．解答：解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN ，∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEM为等边三角形，∴△EFD为等边三角形，∵BE=6，DE=2，∴DM=4，∵△BEM为等边三角形，∴∠EMB=60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM=90°，∴∠NDM=30°，∴NM=2，∴BN=4，∴BC=2BN=8，故选B．点评：此题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出MN的长是解决问题的关键．10．（4分）（2013•遂宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．A．1B．2C．3D．4考点：角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图—基本作图．专题：压轴题．分析：①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线；②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上；④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．解答：解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．故①正确；②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=∠CAB=30°，∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正确；③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD，∴点D在AB的中垂线上．故③正确；④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°，∴CD=AD，∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC•CD=AC•AD．∴S△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD，∴S△DAC：S△ABC=AC•AD：AC•AD=1：3．故④正确．综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．故选D．点评：本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图﹣基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质．12．（4分）（2013•龙岩）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（）A．2B．3C．4D．5考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质．专题：压轴题．分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB的垂直平分线与直线y=x的交点为点C，再求出AB的长，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为点C，求出点B到直线y=x 的距离可知以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线没有交点．解答：解：如图，AB的垂直平分线与直线y=x相交于点C1，∵A（0，2），B（0，6），∴AB=6﹣2=4，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为C2，C3，∵OB=6，∴点B到直线y=x的距离为6×=3，∵3＞4，∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x没有交点，所以，点C的个数是1+2=3．故选B．点评：本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．13．（4分）（2009•重庆）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F 是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形，③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A．①②③B．①④⑤C．①③④D．③④⑤考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：压轴题；动点型．分析：解此题的关键在于判断△DEF是否为等腰直角三角形，作常规辅助线连接CF，由SAS定理可证△CFE和△ADF全等，从而可证∠DFE=90°，DF=EF．所以△DEF是等腰直角三角形．可证①正确，②错误，再由割补法可知④是正确的；判断③，⑤比较麻烦，因为△DEF是等腰直角三角形DE=DF，当DF与BC垂直，即DF最小时，DE 取最小值4，故③错误，△CDE最大的面积等于四边形CDEF的面积减去△DEF的最小面积，由③可知⑤是正确的．故只有①④⑤正确．解答：解：连接CF；∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB；∵AD=CE，∴△ADF≌△CEF；∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；∵∠AFD+∠CFD=90°，∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，∴△EDF是等腰直角三角形．因此①正确．当D、E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形．因此②错误．∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF=S△ADF∴S四边形CEFD=S△AFC，因此④正确．由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小；即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF=BC=4．∴DE=DF=4；因此③错误．当△CDE面积最大时，由④知，此时△DEF的面积最小．此时S△CDE=S四边形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=16﹣8=8；因此⑤正确．故选B．点评：本题考查知识点较多，综合性强，能力要求全面，难度较大．但作为选择题可采用排除法等特有方法，使此题难度稍稍降低一些．二、填空题（每小题4分，共24分）14．（4分）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中每一个内角都大于60°．考点：反证法．分析：熟记反证法的步骤，直接填空即可．解答：解：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即三角形的每一个内角都大于60°．故答案为：每一个内角都大于60°．点评：此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否考点：等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形三边关系．专题：分类讨论．分析：先根据非负数的性质列式求出a、b再分情况讨论求解即可．解答：解：根据题意得，a﹣1=0，b﹣2=0，解得a=1，b=2，①若a=1是腰长，则底边为2，三角形的三边分别为1、1、2，∵1+1=2，∴不能组成三角形，②若a=2是腰长，则底边为1，三角形的三边分别为2、2、1，能组成三角形，周长=2+2+1=5．故答案为：5．点评：本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，以及三角形的三边关系，难点在于要讨论求解．16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE=20°，则∠C=35°．考点：线段垂直平分线的性质．分析：由DE是AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=CE，又由在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAE=20°，即可求得∠C的度数．解答：解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AE=CE，∴∠C=∠CAE，∵在Rt△ABE中，∠ABC=90°，∠BAE=20°，∴∠AEC=70°，∴∠C+∠CAE=70°，∴∠C=35°．故答案为：35°．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．17．（4分）如图，在△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，DE过点I，且DE∥BC．BD=8cm，CE=5cm，则DE等于3cm．考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．分析：由BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，DE过点I，且DE∥BC，易得△BDI与△ECI是等腰三角形，继而求得答案．解答：解：∵BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，∴∠ABI=∠CBI，∠ECI=∠ICF，∵DE∥BC，∴∠DIB=∠CBI，∠EIC=∠ICF，∴∠ABI=∠DIB，∠ECI=∠EIC，∴DI=BD=8cm，EI=CE=5cm，∴DE=DI﹣EI=3（cm）．故答案为：3cm．点评：此题考查了等腰三角形的性质与判定以及平行线的性质．注意由角平分线与平行线，易得等腰三角形．18．（4分）（2013•东营）如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 1.3m（容器厚度忽略不计）．考点：平面展开-最短路径问题．专题：压轴题．分析：将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．解答：解：如图：∵高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，∴A′D=0.5m，BD=1.2m，∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B===1.3（m）．故答案为：1.3．点评：本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．19．（4分）（2013•资阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=1，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是1+．考点：轴对称-最短路线问题；含30度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：连接CE，交AD于M，根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时，PE+BP的值最小，即可此时△BPE 的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE，先求出BC和BE长，代入求出即可．解答：解：连接CE，交AD于M，∵沿AD折叠C和E重合，∴∠ACD=∠AED=90°，AC=AE，∠CAD=∠EAD，∴AD垂直平分CE，即C和E关于AD对称，CD=DE=1，∴当P和D重合时，PE+BP的值最小，即此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE，∵∠DEA=90°，∴∠DEB=90°，∵∠B=60°，DE=1，∴BE=，BD=，即BC=1+，∴△PEB的周长的最小值是BC+BE=1++=1+，故答案为：1+．点评：本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P点的位置，题目比较好，难度适中．三、解答题（每小题7分，共14分）20．（7分）（2013•常州）如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE．求证：∠A=∠B．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题；压轴题．分析：根据中点定义求出AC=BC，然后利用“SSS”证明△ACD和△BCE全等，再根据全等三角形对应角相等证明即可．解答：证明：∵C是AB的中点，∴AC=BC，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SSS），∴∠A=∠B．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，比较简单，主要利用了三边对应相等，两三角形全等，以及全等三角形对应角相等的性质．21．（7分）（2013•兰州）如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论）考点：作图—应用与设计作图．分析：根据点P到∠AOB两边距离相等，到点C、D的距离也相等，点P既在∠AOB的角平分线上，又在CD垂直平分线上，即∠AOB的角平分线和CD垂直平分线的交点处即为点P．解答：解：如图所示：作CD的垂直平分线，∠AOB的角平分线的交点P即为所求．点评：此题主要考查了线段的垂直平分线和角平分线的作法．这些基本作图要熟练掌握，注意保留作图痕迹．四、解答题（每小题10分，共40分）22．（10分）（2013•攀枝花模拟）在四边形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，∠DCA=30°，CA平分∠DCB，AD=4cm，求AB的长度？考点：勾股定理；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．专题：压轴题．分析：过B作BE⊥AC，由AD=4m和∠D=90°，∠DCA=30°，可以求出AC的长，根据平行线的性质和角平分线以及等腰三角形的性质即可求出AD的长．解答：解：∵∠D=90°，∠DCA=30°，AD=4cm，∴AC=2AD=8cm，∵CA平分∠DCB，AB∥CD，∴∠CAB=∠ACB=30°，∴AB=BC，过B作BE⊥AC，∴AE=AC=4cm，∴cos∠EAB==，∴cm．点评：本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的性质，解题的关键是作高线构造直角三角形，利用锐角三角函数求出AB的长．23．（10分）（2013•温州）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；含30度角的直角三角形．分析：（1）根据角平分线性质求出CD=DE，根据HL定理求出另三角形全等即可；（2）求出∠DEB=90°，DE=1，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．解答：（1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°，∵在Rt△ACD和Rt△AED中∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）；（2）解：∵DC=DE=1，DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∵∠B=30°，∴BD=2DE=2．点评：本题考查了全等三角形的判定，角平分线性质，含30度角的直角三角形性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．24．（10分）（2013•大庆）如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．（1）求证：CF=DG；（2）求出∠FHG的度数．考点：全等三角形的判定与性质．分析：（1）在△CBF和△DBG中，利用SAS即可证得两个三角形全等，利用全等三角形的对应边相等即可证得；（2）根据全等三角形的对应角相等，即可证得∠DHF=∠CBF=60°，从而求解．解答：（1）证明：∵在△CBF和△DBG中，，∴△CBF≌△DBG（SAS），∴CF=DG；（2）解：∵△CBF≌△DBG，∴∠BCF=∠BDG，又∵∠CFB=∠DFH，∴∠DHF=∠CBF=60°，∴∠FHG=180°﹣∠DHF=180°﹣60°=120°．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键．25．（10分）已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，DH垂直平分BC交AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F．（1）求证：BF=AC；（2）求证：．考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．专题：证明题．分析：（1）由ASA证△BDF≌△CDA，进而可得出第（1）问的结论；（2）在△ABC中由垂直平分线可得AB=BC，即点E是AC的中点，再结合第一问的结论即可求解．解答：证明：（1）∵DH垂直平分BC，且∠ABC=45°，∴BD=DC，且∠BDC=90°，∵∠A+∠ABF=90°，∠A+∠ACD=90°，∴∠ABF=∠ACD，∴△BDF≌△CDA，∴BF=AC．（2）由（1）得BF=AC，∵BE平分∠ABC，且BE⊥AC，∴在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（ASA），∴CE=AE=AC=BF．点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及线段垂直平分线的性质等问题，应熟练掌握．五、解答题（每小题12分.共24分）26．（12分）如图，在△ABC中，D是BC是中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥DF交AB于点E，连接EG、EF．（1）求证：BG=CF；（2）求证：EG=EF；（3）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．分析：（1）求出∠C=∠GBD，BD=DC，根据ASA证出△CFD≌△BGD即可．（2）根据全等得出GD=DF，根据线段垂直平分线性质得出即可．（3）根据全等得出BG=CF，根据三角形三边关系定理求出即可．解答：（1）证明：∵BG∥AC，∴∠C=∠GBD，∵D是BC是中点，∴BD=DC，在△CFD和△BGD中∴△CFD≌△BGD，∴BG=CF．（2）证明：∵△CFD≌△BGD，∴DG=DF，∵DE⊥GF，∴EG=EF．（3）BE+CF＞EF，证明：∵△CFD≌△BGD，∴CF=BG，在△BGE中，BG+BE＞EG，∵EF=EG，∴BG+CF＞EF．点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，线段垂直平分线性质，三角形三边关系定理的应用，主要考查学生的推理能力．27．（12分）△ABC中，AB=AC，点D为射线BC上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE．（1）如图1，若∠BAC=∠DAE=60°，则△BEF是等边三角形；（2）若∠BAC=∠DAE≠60°①如图2，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状并证明；②当点D在线段BC的延长线上移动，△BEF是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形．考点：等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定．分析：（1）根据题意推出△AED和△ABC为等边三角形，然后通过求证△EAB≌△DAC，结合平行线的性质，即可推出△EFB为等边三角形，（2）①根据（1）的推理依据，即可推出△EFB为等腰三角形，②根据题意画出图形，然后根据平行线的性质，通过求证△EAB≌△DAC，推出等量关系，即可推出△EFB为等腰三角形．解答：解：（1）∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴△AED和△ABC为等边三角形，∴∠C=∠ABC=60°，∠EAB=∠DAC，∴△EAB≌△DAC，∴∠EBA=∠C=60°，∵EF∥BC，∴∠EFB=∠ABC=60°，∵在△EFB中，∠EFB=∠EBA=60°，∴△EFB为等边三角形，（2）①△BEF为等腰三角形，∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∴△AED和△ABC为等腰三角形，∴∠C=∠ABC，∠EAB=∠DAC，∴△EAB≌△DAC，∴∠EBA=∠C，∵EF∥BC，∴∠EFB=∠ABC，∵在△EFB中，∠EFB=∠EBA，∴△EFB为等腰三角形，②AB=AC，点D为射线BC上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE．∵△BEF为等腰三角形，∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∴△AED和△ABC为等腰三角形，∴∠ACB=∠ABC，∠EAB=∠DAC，∴△EAB≌△DAC，∴∠EBA=∠ACD，∴∠EBF=∠ACB，∵EF∥BC，∴∠AFE=∠ABC，∵∠ABC=∠ACB，∴∠AFE=∠ACB，∵在△EFB中，∠EBF=∠AFE，∴△EFB为等腰三角形．点评：本题主要考查等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，关键在于根据题意画出图形，通过求证三角形全等，推出等量关系，即可推出结论．第一章绪论生理学研究内容大致可分整体水平、器官和系统水平、细胞和分子水平三个不同水平。
北师大版初二年级下册《三角形的证明》(培优)带答案
三角形的证明单元检测卷 A. . . . 4.（4分）如图，已知 AE=CF , / AFD= / CEB ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ ADF ◎△ CBE 的 是（ ）A . / A= / CB . AD=CBC . BE=DF |D . AD // BC5. （4分）如图，在△ ABC 中，/ B=30 ° BC 的垂直平分线交 AB 于E ,垂足为D .若ED=5，则CE 的长为（）A . 10B . 8C . 5D . 2.56•如图，D ABC一点，CD 平分/ ACB , BE 丄CD ，垂足为 D ，交AC 于点E , / A= / ABE .若AC=5 , BC=3，贝U BD 的长 为（ ）12. （4分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A （0, 2）, B （0, 6）,动点C 在直线y=x 上.若以A 、B 、C 三点为顶点的三角形是等 腰三角形，则点C 的个数是13. （4分）如图，在 等腰Rt △ ABC 中，/ C=90 ° AC=8 , F 是AB 边上的中点， 点D , E 分别在 AC , BC 边上运动，且保持 AD=CE .连接DE , DF , EF .在此运动变化的过程中，下列结论： ①△ DFE 是等腰直角三角形； ②四边形CDFE 不可能为正方形，③DE 长度的最小值为 4; ④四边形CDFE 的面积保持不变； ⑤△ CDE 面积的最大值为 &其中正确的结论是（）A . 1B . 2C . 3D . 7. （4分）如图， AB=AC , BE 丄 AC 于点E , CF 丄AB 于点F , BE 、CF 相交于点D , 的平分线上.以上结论正确的是（）A . 2.5B . 1.5 D .则①△ ABE ◎△ ACF ;②厶 BDF ◎△ CDE ;③点D 在/ BAC& （4分）如图所示, 于（ ）AB 丄 BC , DC 丄BC , A .① A . 10E 是 BC 上一点，/ BAE= / DEC=60 ° AB=3 B .② B . 12,CE=4，贝U AD 等C .①② C . 24D .①②③ D . 489.如图所示，在△ ABC 中，AB=AC的长度是（ ）,D 、E 是厶 ABC 两点，AD 平分/ BAC . / EBC= / E=60 ° 若 BE=6 , DE=2，贝U BC10.（4 分）（2013?） 以A 为圆心，任N ，再分别以M 、 下列说法中正确的个数是（①AD 是/ BAC 的平分线;N 为圆心, 如图，在△ ABC 中，/ C=90 ° / B=30 ° 意长为半径画弧分别交 AB 、AC 于点M 和 大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P ,连结AP 并延长交BC 于点D ，则）②/ ADC=60 °③点D 在AB 的中垂线上； ④S A DAC : S ^ABC =1 : 3.C . 10 4A .①②③B .①④⑤C.①③④ D .③④⑤二、填空题（每小题4分，共24分）14. （4分）用反证法证明命题三角形中必有一个角小于或等于___________________ 60°时，首先应假设这个三角形中.215._________________________________________________________________________ （4分）若（a- 1）+|b -2|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为______________________________________________________ .16. （4分）如图，在Rt△ ABC中，/ ABC=90 °, DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E,/ BAE=20。
北师大版八年级下册《三角形的证明》培优提高(可编辑修改word版)
三角形的证明单元检测卷1．（4 分）（2013•钦州）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°2．（4 分）下列命题的逆命题是真命题的是（）A．如果a＞0，b＞0，则a+b＞0 B．直角都相等C．两直线平行，同位角相等D．若a=6，则|a|=|b| 3．△ABC 中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小边BC=4 cm，最长边AB 的长是A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm4．（4 分）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF➴△CBE 的是（）A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC 5．（4 分）如图，在△ABC 中，∠B=30°，BC 的垂直平分线交AB 于E，垂足为D．若ED=5，则CE 的长为（）A．10 B．8 C．5 D．2.56.如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC 于点E，∠A=∠ABE．若AC=5，BC=3，则BD 的长为（）A．2.5 B．1.5 C．2 D．17（．4 分）如图，AB=AC，BE⊥AC 于点E，CF⊥AB 于点F，BE、CF 相交于点D，则①△ABE➴△ACF；②△BDF➴△CDE；③点D 在∠BAC 的平分线上．以上结论正确的是（）A．①B．②C．①②D．①②③8（．4 分）如图所示，AB⊥BC，DC⊥BC，E 是BC 上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=3，CE=4，则AD 等于（）A．10 B．12 C．24 D．48 9．如图所示，在△ABC 中，AB=AC，D、E 是△ABC 内两点，AD 平分∠BAC．∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，则BC 的长度是（）A． 6 B．8 C．9 D．1010．（4 分）（2013•遂宁）如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC 于点M和N，再分别以M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP 并延长交BC 于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD 是∠BAC 的平分线；②∠ADC=60°；③点D 在AB 的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．A．1 B．2 C．3 D．412．（4 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A（0，2），B（0，6），动点C 在直线y=x 上．若以A、B、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C 的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．513．（4 分）如图，在等腰Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8，F 是AB 边上的中点，点D，E 分别在AC，BC 边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE 是等腰直角三角形；②四边形CDFE 不可能为正方形，③DE 长度的最小值为4；④四边形CDFE 的面积保持不变；⑤△CDE 面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A．①②③B．①④⑤C．①③④D．③④⑤二、填空题（每小题4 分，共24 分）214．（4 分）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中．15．（4 分）若（a﹣1）2+|b﹣2|=0，则以a、b 为边长的等腰三角形的周长为 _ ．16．（4 分）如图，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，DE 是AC 的垂直平分线，交AC于点D，交BC 于点E，∠BAE=20°，则∠C= ．17．（4 分）如图，在△ABC 中，BI、CI 分别平分∠ABC、∠ACF，DE 过点I，且DE∥BC．BD=8cm，CE=5cm，则DE 等于．18.如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m．19.如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，点D 是BC 边上的点，CD=1，将△ABC 沿直线AD 翻折，使点C 落在AB 边上的点E 处，若点P 是直线AD 上的动点，则△PEB 的周长的最小值是．三、解答题（每小题7 分，共14 分）20．（7 分）如图，C 是AB 的中点，AD=BE，CD=CE．求证：∠A=∠B．21．（7 分）如图，两条公路OA 和OB相交于O 点，在∠AOB 的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB 的距离相等，且到两工厂C、D 的距离相等，用尺规作出货站P 的位置．四、解答题（每小题10 分，共40 分）22．（10 分）在四边形ABCD 中，AB∥CD，∠D=90°，∠DCA=30°，CA 平分∠DCB，AD=4cm，求AB 的长度？23．（10 分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，交CB 于点D，过点D 作DE⊥AB 于点E．（1）求证：△ACD➴△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD 的长．24．（10 分）如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B 顺时针旋转60°，使得点C 旋转到AB 边上的一点D，点A 旋转到点E 的位置．F，G 分别是BD，BE 上的点，BF=BG，延长CF 与DG 交于点H．（1）求证：CF=DG；（2）求出∠FHG 的度数．25．（10 分）已知：如图，△ABC 中，∠ABC=45°，DH垂直平分BC 交AB 于点D，BE 平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD 相交于点F．（1）求证：BF=AC；（2）求证：．五、解答题（每小题12 分.共24 分）26．（12 分）如图，在△ABC 中，D 是BC 是中点，过点D的直线GF 交AC 于点F交，AC 的平行线BG 于点G，DE⊥DF交AB 于点E，连接EG、EF．（1）求证：BG=CF；（2）求证：EG=EF；（3）请你判断BE+CF 与EF 的大小关系，并证明你的结论．27．（12 分）△ABC 中，AB=AC，点D 为射线BC 上一个动点（不与B、C 重合），以AD 为一边向AD 的左侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，过点E 作BC的平行线，交直线AB 于点F，连接BE．（1）如图1，若∠BAC=∠DAE=60°，则△BEF 是三角形；（2）若∠BAC=∠DAE≠60°①如图2，当点D 在线段BC 上移动，判断△BEF 的形状并证明；②当点D 在线段BC 的延长线上移动，△BEF 是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形．故选：C．北师大版八年级下册《第1 章三角点评：此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结形的证明》2014 年单元检测卷A 命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的（一）参考答案与试题解析一、选择题（每小题4 分，共48 分）1．（4 分）（2013•钦州）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）3．（4 分）△ABC 中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小边BC=4 cm，最长边AB 的长是（）A．5cm B．6cm C．7cm D考点：含30 度角的直角三角形．分析：三个内角的比以及三角形的内角和定理，得出各个角的度数．以及直角三角形中的一半．A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．解20答°：解：根据三个内角的比以及三角形的内角和定理，得直角三角形中的最小内角是考点：等腰三角形的性质．专题：分类讨论．分析：分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解．解答：解：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°，综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．故选B．点评：本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论求解．2．（4 分）下列命题的逆命题是真命题的是（）A．如果a＞0，b＞0，则a+b＞0 B．直角都相等C．两直线平行，同位角相等D．若a=6，则|a|=|b|考点：命题与定理．分析：先写出每个命题的逆命题，再进行判断即可．边是斜边的一半，得最长边是最小边的 2 倍，即8，故选D．点评：此题主要是运用了直角三角形中角30°所对的直角边是斜边的一半．4．（4 分）（2013•安顺）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF➴△CBE 的是（）A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D考点：全等三角形的判定．分析：求出AF=CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可．解答：解：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，解答：解；A．如果a＞0，b＞0，则a+b＞0：如果a+b＞0，则a＞0，b＞0，是假命题；B．直角都相等的逆命题是相等的角是直角，是假命题；C．两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题；D．若a=6，则|a|=|b|的逆命题是若|a|=|b|，则a=6，是假命题．∴AF=CE，A、∵在△ADF 和△CBE 中又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一5∴△ADF➴△CBE（ASA），正确，故本选项错误；∴CE=BE=10．故选A．点评：本题考查了含30 度角的直角三角形性质和线段垂直平分线性质的应用，关键是题目比较典型，难度适中．B、根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB 不能推出△ADF➴△CBE，错误，故本选项正确；C、∵在△ADF 和△CBE 中∴△ADF➴△CBE（SAS），正确，故本选项错误；D、∵AD∥BC，∴∠A=∠C，∵在△ADF 和△CBE 中∴△ADF➴△CBE（ASA），正确，故本选项错误；故选B．6．（4 分）（2013•邯郸一模）如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC 于点E，∠A=∠ABE．若AC=5，BC=3，则BD 的长为（）A．2.5 B．1.5 C．2 D考点：等腰三角形的判定与性质．分析：由已知条件判定△BEC 的等腰三角形，且BC=CE；由等角对等边判定AE=BE，点评：本题考查了平行线性质，全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，（AC﹣BC）．．5．（4 分）（2012•河池）如图，在△ABC 中，∠B=30°，BC 的垂直平分线交AB 于E，垂足为D．若ED=5，则CE 的长为（）ASA，AAS，SSS解答：解：如图，∵CD 平分∠ACB，BE⊥CD，∴BC=CE．又∵∠A=∠ABE，∴AE=BE．∴BD=BE=AE=（AC﹣BC）．∵AC=5，BC=3，A．10 B．8 C．5 D．2.5考点：线段垂直平分线的性质；含30 度角的直角三角形．∴BD= （5﹣3）=1．故选D．分析：根据线段垂直平分线性质得出BE=CE，根据含30 度角的直角三角形性质求出BE 点的评长：，即本可题求考出查C了E等长腰．三角形的判定与性质．注意等腰三角形“三合一”性质的运用．解答：解：∵DE 是线段BC 的垂直平分线，∴BE=CE，∠BDE=90°（线段垂直平分线的性质），∵∠B=30°，∴BE=2DE=2×5=10（直角三角形的性质），7．（4 分）如图，AB=AC，BE⊥AC 于点E，CF⊥AB 于点F，BE、CF 相交于点D，则①△ABE➴△ACF；②△BDF➴△CDE；③点D 在∠BAC 的平分线上．以上结论正确的是（）6①②③论，进而得到更多的结论，A ．①B ．②C ．①②D ． 8（．4 分）如图所示，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，E 是 BC 上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=3，CE=4，则 AD 等于（）考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质． 专题： 常规题型．分析： 从已知条件进行分析，首先可得△ABE ➴△ACF 得到角相等和边相等，运用这些结最好运用排除法对各个选项进行验证从而确定最终答案．解答： 解：∵BE ⊥AC 于 E ，CF ⊥AB 于 F∴∠AEB=∠AFC=90°， ∵AB=AC ，∠A=∠A ， ∴△ABE ➴△ACF （①正确）∴AE=AF ， ∴BF=CE ，∵BE ⊥AC 于 E ，CF ⊥AB 于 F ，∠BDF=∠CDE ， ∴△BDF ➴△CDE （②正确） ∴DF=DE ， 连接 AD ，A ．10B ．12C ．24 D考点： 勾股定理；含 30 度角的直角三角形．分析： 本题主要考查勾股定理运用，解答时要灵活运用直角三角形的性质． 解答： 解：∵AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，∠BAE=∠DEC=60°∴∠AEB=∠CDE=30°∵30°所对的直角边是斜边的一半 ∴AE=6，DE=8 又∵∠AED=90° 根据勾股定理∴AD=10． 故选 A ．点评： 解决此类题目的关键是熟练掌握运用直角三角形两个锐角互余，30°所对的直角边的性质．∵AE=AF ，DE=DF ，AD=AD ， ∴△AED ➴△AFD ， ∴∠FAD=∠EAD ，即点 D 在∠BAC 的平分线上（③正确） 故选 D ．9．（4 分）如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 是△ABC 内两点，AD 平分 ∠BAC ．∠EBC=∠E=60°，若 BE=6，DE=2，则 BC 的长度是（ ） 点评： 此题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定方法等知识点，要求学生要灵活运用，做题时要由易到难，不重不漏．7A．6 B．8 C．9 D．点10评：此题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出MN 的长是解决考点：等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．10．（4 分）（2013•遂宁）如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，以A 为圆心，任分析：作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出BE=6，DE=2，进而得出△BEM 为等边三角形，△EFD 为等边三意长为半径画弧分别交AB、AC 于点M 和N，再分别以M、N 为圆心，大于MN 角形，从而得出BN 的长，进而求出答案．解答：解：延长ED 交BC 于M，延长AD 交BC 于N，作DF∥BC，∵AB=AC，AD 平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN，∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEM 为等边三角形，∴△EFD 为等边三角形，∵BE=6，DE=2，∴DM=4，∵△BEM 为等边三角形，∴∠EMB=60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM=90°，∴∠NDM=30°，∴NM=2，∴BN=4，∴BC=2BN=8，的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP 并延长交BC 于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD 是∠BAC 的平分线；②∠ADC=60°；③点D 在AB 的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．A.1B．2 C．3 D考点：角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图—基本作图．专题：压轴题．分析：①根据作图的过程可以判定AD 是∠BAC 的角平分线；②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC故选B．③利用等角对等边可以证得△ADB 的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性中垂线上；④利用30 度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三解答：解：①根据作图的过程可知，AD 是∠BAC 的平分线．故①正确；8 ②如图，∵在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．又∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠1=∠2= ∠CAB=30°，∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正确；③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD，∴点D 在AB 的中垂线上．故③正确；④∵如图，在直角△ACD 中，∠2=30°，∴CD= AD，∴BC=CD+BD= AD+AD= AD，S△DAC= AC•CD= AC•AD．判定与性质．12．（4 分）（2013•龙岩）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A（0，2），B（0，6），动点C 在直线y=x 上．若以A、B、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（）A.2B．3 C．4 D考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质．专题：压轴题．分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB 的垂直平分线与直求出AB 的长，以点A 为圆心，以AB 的长为半径画弧，与直线y=x 的交点为点∴S△ABC= AC•BC= AC•AD= AC•AD，∴S△DAC：S△ABC= AC•AD：AC•AD=1：3．故④正确．综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4 个．故选D．的距离可知以点B 为圆心，以AB 的长为半径画弧，与直线没有交点．解答：解：如图，AB 的垂直平分线与直线y=x 相交于点C1，∵A（0，2），B（0，6），∴AB=6﹣2=4，以点A 为圆心，以AB 的长为半径画弧，与直线y=x 的交点为C2，C3，∵OB=6，∴点B 到直线y=x 的距离为6×=3 ，∵3 ＞4，∴以点B 为圆心，以AB 的长为半径画弧，与直线y=x 没有交点，所以，点C 的个数是1+2=3．故选B．点评：本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图﹣基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的9判断③，⑤比较麻烦，因为△DEF 是等腰直角三角形 DE= DF ，当 DF 与 BC 取最小值 4，故③错误，△CDE 最大的面积等于四边形CDEF 的面积减去△DEF 是正确的．故只有①④⑤正确．解答： 解：连接 CF ；∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB ； ∵AD=CE ， ∴△ADF ➴△CEF ；∴EF=DF ，∠CFE=∠AFD ； ∵∠AFD+∠CFD=90°，∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，点评： 本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，作出图形，利用数形结合的思想求解更形∴△象E 直D F 观是．等腰直角三角形．因此①正确．13．（4 分）（2009•重庆）如图，在等腰 Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，F 是 AB 边上的中点，点 D ，E 分别在 AC ，BC 边上运动，且保持 AD=CE ．连接 DE ，DF ， EF ．在此运动变化的过程中，下列结论： ①△DFE 是等腰直角三角形；②四边形 CDFE 不可能为正方形， ③DE 长度的最小值为 4；④四边形 CDFE 的面积保持不变； ⑤△CDE 面积的最大值为 8． 其中正确的结论是（ ）当 D 、E 分别为 AC 、BC 中点时，四边形 CDFE 是正方形． 因此②错误． ∵△ADF ➴△CEF ，∴S △CEF =S △ADF ∴S 四边形 CEFD =S △AFC ， 因此④正确．由于△DEF 是等腰直角三角形，因此当 DE 最小时，DF 也最小； 即当 DF ⊥AC 时，DE 最小，此时 DF=BC=4．∴DE= DF=4 ； 因此③错误．当△CDE 面积最大时，由④知，此时△DEF 的面积最小． 此时 S △CDE =S 四边形 CEFD ﹣S △DEF =S △AFC ﹣S △DEF =16﹣8=8；因此⑤正确．A ．①②③B ．①④⑤C ．①③④D ．③④⑤故选 B ．考点： 正方形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 专题： 压轴题；动点型．分析： 解此题的关键在于判断△DEF 是否为等腰直角三角形，作常规辅助线连接CF ，由SAS 定理可证△CFE 和△ADF全等，从而可证∠DFE=90°，DF=EF ．所以△DEF 是等腰直角三角形．可证①正确，②错误，再由割补法可知④是正确的；10点评： 本题考查知识点较多，综合性强，能力要求全面，难度较大．但作为选择题可采用1排6．除（法4 分等）特如有图方，法在，使Rt △ABC 中，∠ABC=90°，DE 是 AC 的垂直平分线，交 AC此题难度稍稍降低一些．二、填空题（每小题 4 分，共 24 分） 14．（4 分）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于 60°”时，首先应假设这个三角形中 每一个内角都大于 60° ．考点： 反证法．分析： 熟记反证法的步骤，直接填空即可．于点 D ，交 BC 于点 E ，∠BAE=20°，则∠C= 35° ．考点： 线段垂直平分线的性质． 解答： 解：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即三角形的每一个内角都分大析于：60由°．DE 是 AC 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得 AE=CE ，又由在故答案为：每一个内角都大于 60°． ∠BAE=20°，即可求得∠C 的度数．点评： 此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出解发答推：出矛解盾：；∵D （E 3是）假AC 设的垂直平分线，不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只∴A 有E 一=C 种E ， 那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．15．（4 分）（2013•雅安）若（a ﹣1）2+|b ﹣2|=0，则以 a 、b 为边长的等腰三角形的周长为 5 ． ∴∠C=∠CAE ，∵在 Rt △ABE 中，∠ABC=90°，∠BAE=20°， ∴∠AEC=70°，∴∠C+∠CAE=70°，∴∠C=35°．故答案为：35°．考点： 等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形三边点关评系：． 此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，专题： 分类讨论．分析： 先根据非负数的性质列式求出 a 、b 再分情况讨论求解即可． 解答： 解：根据题意得，a ﹣1=0，b ﹣2=0，解得 a=1，b=2，①若 a=1 是腰长，则底边为 2，三角形的三边分别为 1、1、2， ∵1+1=2，∴不能组成三角形，②若 a=2 是腰长，则底边为 1，三角形的三边分别为 2、2、1， 能组成三角形，周长=2+2+1=5．故答案为：5．17．（4 分）如图，在△ABC 中，BI 、CI 分别平分∠ABC 、∠ACF ，DE 过点 I ，且 DE ∥BC ．BD=8cm ，CE=5cm ，则 DE 等于 3cm ．考点： 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．分析： 由 BI 、CI 分别平分∠ABC 、∠ACF ，DE 过点 I ，且 DE ∥BC ，易得△BDI 与△ECI 案． 点评： 本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，以及三角形的三边关系，难点在于解要答讨：论求解解：．∵BI 、CI 分别平分∠ABC 、∠ACF ，∴∠ABI=∠CBI ，∠ECI=∠ICF ，11得等腰三角形．长度即为所 ∵DE ∥BC ，∴∠DIB=∠CBI ，∠EIC=∠ICF ， ∴∠ABI=∠DIB ，∠ECI=∠EIC ， ∴DI=BD=8cm ，EI=CE=5cm ， ∴DE=DI ﹣EI=3（cm ）．故答案为：3cm ．点评： 此题考查了等腰三角形的性质与判定以及平行线的性质．注意由角平分线与平行线，易 ==1.3（m ）．故答案为：1.3．18．（4 分）（2013•东营）如图，圆柱形容器中，高为 1.2m ，底面周长为 1m ，在容器内壁离容器底部 0.3m 的点 B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿 0.3m 与蚊子相对的点 A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 1.3 m （容器厚度忽略不计）．点评：本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．19．（4 分）（2013•资阳）如图，在 Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，点 D 是 BC 边上的点，CD=1，将△ABC 沿直线 AD 翻折，使点 C 落在 AB 边上的点 E 处，若点 P 是直线 AD 上的动点，则△PEB 的周长的最小值是 1+．考点： 平面展开-最短路径问题． 专题： 压轴题．分析： 将容器侧面展开，建立 A 关于 EF 的对称点 A ′，根据两点之间线段最短可知 A ′B 的求．解答： 解：如图：∵高为 1.2m ，底面周长为 1m ，在容器内壁离容器底部 0.3m 的点 B 处有一蚊子， 此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿 0.3m 与蚊子相对的点 A 处，∴A ′D=0.5m ，BD=1.2m ，∴将容器侧面展开，作 A 关于 EF 的对称点 A ′， 连接 A ′B ，则 A ′B 即为最短距离， 考点： 轴对称-最短路线问题；含 30 度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）．专题： 压轴题．分析： 连接 CE ，交 AD 于 M ，根据折叠和等腰三角形性质得出当 P 和 D 重合时，PE+BPA ′B=的周长最小，最小值是 BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE ，先求出 BC 和 BE 长，12解答：解：连接 CE ，交 AD 于 M ，∵沿 AD 折叠 C 和 E 重合，考点： 全等三角形的判定与性质． 专题： 证明题；压轴题． ∴∠ACD=∠AED=90°，AC=AE ，∠CAD=∠EAD ， 分析： 根据中点定义求出 AC=BC ，然后利用“SSS ”证明△ACD 和△BCE 全等，再根据全∴AD 垂直平分 CE ，即 C 和 E 关于 AD 对称，CD=DE=1， 即可． ∴当 P 和 D 重合时，PE+BP 的值最小，即此时△BPE 的周长最小，最小值是 BE+PE+P 解B=答B ：E +C 证D 明+D ：E ∵=C B C 是+B A E B ，的中点， ∵∠DEA=90°， ∴∠DEB=90°， ∵∠B=60°，DE=1， ∴BE=，BD=，即 BC=1+，∴AC=BC ，在△ACD 和△BCE 中， ，∴△ACD ➴△BCE （SSS ）， ∴∠A=∠B ．点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，比较简单，主要利用了三边对应相等，两∴△PEB 的周长的最小值是 BC+BE=1++=1+，角形对应角相等的性质．点评： 故答案为：1+．21．（7 分）（2013•兰州）如图，两条公路 OA 和 OB 相交于 O 点，在∠AOB 的内部有工厂 C 和 D ，现要修建一个货站 P ，使货站 P 到两条公路 OA 、OB 的距离相等，本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，含 30 度角的直角三角形性质的且到两工厂 C 、D 的距离相等，用尺规作出货站 P 的位置．（要求：不写作法，保应用，关键是求出 P 点的位置，题目比较好，难度适中．三、解答题（每小题 7 分，共 14 分） 20．（7 分）（2013•常州）如图，C 是 AB 的中点，AD=BE ，CD=CE ．求证：∠A=∠B ．留作图痕迹，写出结论）考点： 作图—应用与设计作图．分析： 根据点 P 到∠AOB 两边距离相等，到点 C 、D 的距离也相等，点 P 既在∠AOB13保留作图痕迹． 直平分线上，即∠AOB 的角平分线和 CD 垂直平分线的交点处即为点 P ．解答： 解：如图所示：作 CD 的垂直平分线，∠AOB 的角平分线的交点 P 即为所求．∴cos ∠EAB= =，∴cm ．点评： 此题主要考查了线段的垂直平分线和角平分线的作法．这些基本作图要熟练掌握，注意 点评： 本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的性质，解题的关键四、解答题（每小题 10 分，共 40 分）22．（10 分）（2013•攀枝花模拟）在四边形 ABCD 中，AB ∥CD ，∠D=90°， ∠DCA=30°，CA 平分∠DCB ，AD=4cm ， 求 AB 的长度？利用锐角三角函数求出 AB 的长．23．（10 分）（2013•温州）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，交 CB 于点 D ，过点 D 作 DE ⊥AB 于点 E ． （1）求证：△ACD ➴△AED ；（2）若∠B=30°，CD=1，求 BD 的长．考点： 勾股定理；等腰三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形． 专题： 压轴题．分析： 过 B 作 BE ⊥AC ，由 AD=4m 和∠D=90°，∠DCA=30°，可以求出 AC 的长，根据平行考线点的：性全质等和三角角平形分的线判以定与性质；角平分线的性质；含 30 度角的直角三角形．及等腰三角形的性质即可求出 AD 的长． 解答： 解：∵∠D=90°，∠DCA=30°，AD=4cm ，∴AC=2AD=8cm ，∵CA 平分∠DCB ，AB ∥CD ， ∴∠CAB=∠ACB=30°， ∴AB=BC ， 过 B 作 BE ⊥AC ， ∴AE= AC=4cm ，分析： （1）根据角平分线性质求出 CD=DE ，根据 HL 定理求出另三角形全等即可； （2）求出∠DEB=90°，DE=1，根据含 30 度角的直角三角形性质求出即可． 解答： （1）证明：∵AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB ，∠C=90°，∴CD=ED ，∠DEA=∠C=90°， ∵在 Rt △ACD 和 Rt △AED 中∴Rt △ACD ➴Rt △AED （HL ）；14（2）解：∵DC=DE=1，DE ⊥AB ， ∴∠DEB=90°，∵∠B=30°，∴BD=2DE=2．∴∠DHF=∠CBF=60°， ∴∠FHG=180°﹣∠DHF=180°﹣60°=120°．点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键． 点评： 本题考查了全等三角形的判定，角平分线性质，含 30 度角的直角三角形性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．24．（10 分）（2013•大庆）如图，把一个直角三角形 ACB （∠ACB=90°）绕着顶点 B 顺时针旋转 60°，使得点 C 旋转到 AB 边上的一点 D ，点 A 旋转到点 E 的位置．F ，G 分别是 BD ，BE 上的点，BF=BG ，延长 CF 与 DG 交于点 H ．（1） 求证：CF=DG ； （2） 求出∠FHG 的度数．25．（10 分）已知：如图，△ABC 中，∠ABC=45°，DH 垂直平分 BC 交 AB 于点 D ，BE平分∠ABC ，且 BE ⊥AC 于 E ，与 CD 相交于点 F ． （1） 求证：BF=AC ； （2） 求证：．考点： 全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质． 专题： 证明题．分析： （1）由 ASA 证△BDF ➴△CDA ，进而可得出第（1）问的结论；考点： 全等三角形的判定与性质． （2）在△ABC 中由垂直平分线可得 AB=BC ，即点 E 是 AC 的中点，再结合第一分析： （1）在△CBF 和△DBG 中，利用 SAS 即可证得两个三角形全等，利用全等三角形解的答对：应边证相明等：即（可1）证∵得D ；H 垂直平分 BC ，且∠ABC=45°，（2）根据全等三角形的对应角相等，即可证得∠DHF=∠CBF=60°，从而求解． 解答： （1）证明：∵在△CBF 和△DBG 中，，∴△CBF ➴△DBG （SAS ）， ∴CF=DG ；（2）解：∵△CBF ➴△DBG ， ∴∠BCF=∠BDG ，又∵∠CFB=∠DFH ，∴BD=DC ，且∠BDC=90°，∵∠A+∠ABF=90°，∠A+∠ACD=90°，∴∠ABF=∠ACD ， ∴△BDF ➴△CDA ，∴BF=AC ． （2）由（1）得 BF=AC ，∵BE 平分∠ABC ，且 BE ⊥AC ，∴在△ABE和△CBE中， ，15∴△ABE➴△CBE（ASA），∴CE=AE= AC= BF．（2）证明：∵△CFD➴△BGD，∴DG=DF，点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及线段垂直平分线的性质等问题，应熟练掌握．∵DE⊥GF，∴EG=EF．五、解答题（每小题12 分.共24 分）26．（12 分）如图，在△ABC 中，D 是BC 是中点，过点D 的直线GF 交AC 于点F，交AC 的平行线BG 于点G，DE⊥DF 交AB 于点E，连接EG、EF．（1）求证：BG=CF；（2）求证：EG=EF；（3）请你判断BE+CF 与EF 的大小关系，并证明你的结论．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．分析：（1）求出∠C=∠GBD，BD=DC，根据ASA 证出△CFD➴△BGD 即可．（2）根据全等得出GD=DF，根据线段垂直平分线性质得出即可．（3）根据全等得出BG=CF，根据三角形三边关系定理求出即可．解答：（1）证明：∵BG∥AC，∴∠C=∠GBD，∵D 是BC 是中点，∴BD=DC，在△CFD 和△BGD 中∴△CFD➴△BGD，∴BG=CF．（3）BE+CF＞EF，证明：∵△CFD➴△BGD，∴CF=BG，在△BGE 中，BG+BE＞EG，∵EF=EG，∴BG+CF＞EF．点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，线段垂直平分线性质，主要考查学生的推理能力．27．（12 分）△ABC 中，AB=AC，点D 为射线BC 上一个动点（不与B、C 重合），以AD 为一边向AD 的左侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，过点E 作BC的平行线，交直线AB 于点F，连接BE．（1）如图1，若∠BAC=∠DAE=60°，则△BEF 是等边三角形；（2）若∠BAC=∠DAE≠60°①如图2，当点D 在线段BC 上移动，判断△BEF 的形状并证明；②当点D 在线段BC 的延长线上移动，△BEF 是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形．考点：等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定．分析：（1）根据题意推出△AED 和△ABC 为等边三角形，然后通过求证△EAB➴△DAC16AF根E=据∠题A C意B画，可推出△EFB 为等边三角形，（2）①根据（1）的推理依据，即可推出△EFB 为等腰三角形，∴∠②出图形，然后根据平行线的性质，通过求证△EAB➴△DAC，推出等量关系，即可推出△EFB∵在为△等E腰FB三中角，形∠．EBF=∠AFE，∴△EFB 为等腰三角形．解答：解：（1）∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴△AED 和△ABC 为等边三角形，Array∴∠C=∠ABC=60°，∠EAB=∠DAC，∴△EAB➴△DAC，∴∠EBA=∠C=60°，∵EF∥BC，∴∠EFB=∠ABC=60°，∵在△EFB 中，∠EFB=∠EBA=60°，∴△EFB 为等边三角形，（2）①△BEF 为等腰三角形，∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∴△AED 和△ABC 为等腰三角形，∴∠C=∠ABC，∠EAB=∠DAC，∴△EAB➴△DAC，点评：本题主要考查等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形∴∠EBA=∠C，根据题意画出图形，通过求证三角形全等，推出等量关系，即可推出结论．∵EF∥BC，∴∠EFB=∠ABC，∵在△EFB 中，∠EFB=∠EBA，∴△EFB 为等腰三角形，②AB=AC，点D 为射线BC 上一个动点（不与B、C 重合），以AD 为一边向AD 的左侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，过点E 作BC 的平行线，交直线AB 于点F，连接BE．∵△BEF 为等腰三角形，∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∴△AED 和△ABC 为等腰三角形，∴∠ACB=∠ABC，∠EAB=∠DAC，∴△EAB➴△DAC，∴∠EBA=∠ACD，∴∠EBF=∠ACB，∵EF∥BC，∴∠AFE=∠ABC，∵∠ABC=∠ACB，。
北师大版八年级数学下册《三角形的证明》专题练习(提升篇)八年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)
专题1.13 《三角形的证明》专题练习（提升篇）一、单选题1．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，AB 的中点为D ．以C 为原点，射线CB 为x 轴的正方向，射线CA 为y 轴的正方向建立平面直角坐标系．P 是BC 上的一个动点，连接AP 、DP ，则AP DP +最小时，点P 的坐标为（ ）A ．2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．10⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．1,010⎛⎫ ⎪⎝⎭2．如图，C 是线段AB 上的一点，ACD △和BCE 都是等边三角形，AE 交CD 于M ，BD 交CE 于N ，交AE 于O ，则①DB AE =；②AMC DNC ∠=∠；③60AOB ∠=︒；④DN AM =；⑤CMN △是等边三角形．其中，正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 3．如图，OP 平分AOB ∠，PC OA ⊥于点C ，PD OB ⊥于点D ，延长CP ，DP 交OB ， OA 于点E ，F ，下列结论错误的是（ ）A ．PC PD =B ．OC OD =C ．CPO DPO ∠=∠D ．PC PE =4．如图，ABC 中，AC AD BD ==，80CAD ︒∠=，则B 等于（ ）A ．25︒B ．30︒C ．35︒D ．40︒5．如图，已知等腰三角形ABC 中，AB AC =，15DBC ∠=︒，分别以A 、B 两点为圆心，以大于12AB 的长为半径画圆弧，两弧分别交于点E 、F ，直线EF 与AC 相交于点D ，则A ∠的度数是（ ）A ．50°B ．60°C ．75°D ．45°6．如图所示，已知AB ∥CD ，BAC ∠与ACD ∠的平分线交于点O ，OE AC ⊥于点E ，且3OE cm =，则点O 到AB ，CD 的距离之和是（ ）A ．3cmB ．6cmC ．9cmD ．12cm7．如图，已知AD 为ABC 的高线，AD BC =，以AB 为底边作等腰Rt ABE △，连接ED ，EC 延长CE 交AD 于F 点，下列结论：①DAE CBE ∠=∠；②CE DE ⊥；③BD AF =；④AED 为等腰三角形；⑤BDE ACE S S =△△，其中正确的有（ ）A ．①③⑤B ．①②④C ．①③④D ．①②③⑤ 8．如图，AEC BED △△≌，点D 在AC 边上，AE 和BD 相交于点O ，若30AED ∠=︒，120∠=︒BEC ，则ADB ∠的度数为（ ）A ．45°B ．40°C ．35°D ．30°9．如图，在ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，交AC 边于E ，交BC 边于D ，连接AD ，若3AE =，ABD △的周长为13，则ABC 的周长（ ）A ．16B ．19C ．20D ．2410．如图，在ABC 中，18cm AC =，20cm BC =，点M 从点A 出发以每秒2cm 的速度向点C 运动，点N 从点C 出发以每秒1.6cm 的速度向点B 运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，当CMN △是以MN 为底的等腰三角形时，则这时等腰三角形的腰长是（ ）A ．5cmB ．6cmC ．7cmD ．8cm11．若a b c 、、是ABC 的边，且222()()()0,a b a c b c -+-+-=则ABC 是( )． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形 12．如图，在等边△ABC 中，AB=2．N 为AB 上一点，且AN=1，∠BAC 的平分线交BC 于点D ．M 是AD 上的动点，连结BM 、MN ．则BM+MN 的最小值是( )A ．3B ．2C ．1D ．313．如图所示，已知点()1,0N ，一次函数4y x =-+的图象与两坐标轴分别交于A ，B 两点，M ，P 分别是线段OB ，AB 上的动点，则PM MN +的最小值是（ ）A ．4B ．5C ．2D ．14．如图，在ABC 中，点D 是BC 边上一点，已知DAC α∠=，αDAB 902∠=︒-，CE 平分ACB ∠交AB 于点E ，连接DE ，则DEC ∠的度数为（ ）A ．α3 B ．α2 C ．α302︒- D ．45α︒-二、填空题15．如图，C 为∠AOB 的边OA 上一点，过点C 作CD ∥OB 交∠AOB 的平分线OE 于点F ，作CH ⊥OB 交BO 的延长线于点H ，若∠EFD ＝α，现有以下结论：①∠COF ＝α；②∠AOH ＝180°﹣2α；③CH ⊥CD ；④∠OCH ＝2α﹣90°．其中正确的是__（填序号）．16．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，BE⊥AD于E，AB=6，AC=14，∠ABC=3∠C，则BE=____．17．如图，已知O 为△ABC 三边垂直平分线的交点，且∠A＝50°，则∠BOC 的度数为_____度．18．已知：如图，ABC中，∠ACB=90°，，ABD是等边三角形，则CD的长度为______．19．如图，△ABC是等边三角形，边长为2，AD是BC边上的高．E是AC边中点，点P 是AD上的一个动点，则PC＋PE的最小值是_______，此时∠CPE的度数是_______．。
八下第一章《三角形的证明》培优提高
八下第一章《三角形的证明》培优提高三角形是初中数学学科的重要内容之一、通过学习三角形的性质和证明方法，可以培养学生的逻辑思维能力和创造性思维能力，并提高分析问题和解决问题的能力。
本文将以第一章《三角形的证明》为基础，结合典型例题和解题思路，进行培优提高的讲解。
在初中数学中，三角形是我们最常见的形状之一，它由三条线段组成，分别称为三边。
三角形的三个内角之和为180度。
在本章中，我们将重点学习三角形的性质以及用于证明的方法。
一、中线的性质我们首先来介绍一个重要的三角形性质，中线的性质。
在任意三角形中，连接一个顶点与对边中点的线段，这条线段称为中线。
中线有以下两个重要性质：1、三角形中线长度相等三角形的三条中线的长度相等，即AM=BM=CM，其中M是对边中点。
2、三角形中线互相平分三角形的三条中线互相平分，即AM=BM=CM。
掌握了中线的性质后，我们来看一道例题。
【例题】如图，三角形ABC的顶点A到对边BC的中点M和中线AD有重叠的部分，求证：∠B=∠C。
【解题思路】因为M是BC的中点，所以连接AM。
又因为M是AD的中点，所以AM是中线。
由中线的性质可知，AM=CM，并且∠MAC=∠MCA。
结合这两个条件，我们得到AM=CM，∠MAC=∠MCA，于是得证，∠B=∠C。
二、角平分线的性质了解了中线的性质后，我们接着介绍角平分线的性质。
在任意三角形中，连接一个顶点与对边夹角的平分线，这条线段称为角平分线。
角平分线有以下两个重要性质：1、角平分线分割对边成比例角平分线把对边分割成相等或成比例的线段，即$\frac{{BD}}{{DC}}=\frac{{AB}}{{AC}}$。
2、角平分线与对边垂直角平分线与对边垂直，即∠BAD=∠CAD。
掌握了角平分线的性质后，我们来看一道例题。
【例题】如图，三角形ABC中，角A的平分线交BC于点D，分别连AD，求证：∠BAD=∠CAD。
【解题思路】连接AD，AD是角A的平分线，所以AD与BC垂直，由角平分线的性质可知∠BAD=∠CAD，于是得证，证毕。
北师大版初二年级下册《三角形的证明》(培优)带答案
三角形的证明单元检测卷A≌△CBE 的是（ ）5．（4分）如图，在△ABC 中，∠B=30°，BC 的垂直平分线交AB 于E ，垂足为D ．若ED=5，则CE 的长为（ ） 6.如图，D 为△ABC一点，CD 平分∠ACB ，BE ⊥CD ，垂足为D ，交AC 于点E ，∠A=∠ABE ．若AC=5，BC=3，则BD 的长为（ ）7．（4分）如图，AB=AC ，BE ⊥AC 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，BE 、CF 相交于点D ，则①△ABE ≌△ACF ；②△BDF ≌△CDE ；③点D 在∠BAC 的平分线上．以上结论正确的是（ ）8．（4分）如图所示，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，E 是BC 上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=3，CE=4，则AD 等于（ ） 9．如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 是△ABC 两点，AD 平分∠BAC ．∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，则BC 的长度是（ ）10．（4分）（2013•）如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（ ）①AD 是∠BAC 的平分线；②∠ADC=60°；③点D 在AB 的中垂线上；④S △DAC ：S △ABC =1：3．12．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A （0，2），B （0，6），动点C 在直线y=x 上．若以A 、B 、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C 的个数是（ ）13．（4分）如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，F 是AB 边上的中点，点D ，E 分别在AC ，BC 边上运动，且保持AD=CE ．连接DE ，DF ，EF ．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形，③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；二、填空题（每小题4分，共24分）14．（4分）用反证法证明命题“三角形中必有一个角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中___．15．（4分）若（a﹣1）2+|b﹣2|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为_．16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE=20°，则∠C=_________．17．（4分）如图，在△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，DE过点I，且DE∥BC．BD=8cm，CE=5cm，则DE等于_________．18．如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m．19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=1，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是．三、解答题（每小题7分，共14分）20．（7分）如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE．求证：∠A=∠B．21．（7分）如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．四、解答题（每小题10分，共40分）22．（10分）在四边形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，∠DCA=30°，CA平分∠DCB，AD=4cm，求AB的长度？23．（10分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．24．（10分）如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．（1）求证：CF=DG；（2）求出∠FHG的度数．25．（10分）已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，DH垂直平分BC交AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F．（1）求证：BF=AC；（2）求证：．五、解答题（每小题12分.共24分）26．（12分）如图，在△ABC中，D是BC是中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG 于点G，DE⊥DF交AB于点E，连接EG、EF．（1）求证：BG=CF；（2）求证：EG=EF；（3）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．27．（12分）△ABC中，AB=AC，点D为射线BC上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE．（1）如图1，若∠BAC=∠DAE=60°，则△BEF是_________三角形；（2）若∠BAC=∠DAE≠60°①如图2，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状并证明；②当点D在线段BC的延长线上移动，△BEF是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形．北师大版八下《第1章三角形的证明》2014年单元检测卷A（一）参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共48分）4．（4分）（2013•）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE 的是（）5．（4分）（2012•）如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=5，则CE的长为（）6．（4分）（2013•一模）如图，D为△ABC一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A=∠ABE．若AC=5，BC=3，则BD的长为（）7．（4分）如图，AB=AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE、CF相交于点D，则①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．以上结论正确的是（）8．（4分）如图所示，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=3，CE=4，则AD等于（）9．（4分）如图所示，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC两点，AD平分∠BAC．∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，则BC的长度是（）10．（4分）（2013•）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D 在AB 的中垂线上；④S △DAC ：S △ABC =1：3． 考点： 角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图—基本作图．专题： 压轴题．分析： ①根据作图的过程可以判定AD 是∠BAC 的角平分线；②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC 的度数；③利用等角对等边可以证得△ADB 的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D 在AB 的中垂线上；④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．解答： 解：①根据作图的过程可知，AD 是∠BAC 的平分线．故①正确；②如图，∵在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．又∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠1=∠2=∠CAB=30°，∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正确； ③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD ，∴点D 在AB 的中垂线上．故③正确；④∵如图，在直角△ACD 中，∠2=30°，∴CD=AD ，∴BC=CD+BD=AD+AD=AD ，S △DAC =AC •CD=AC •AD ．∴S △ABC =AC •BC=AC •AD=AC •AD ，∴S △DAC ：S △ABC =AC •AD ：AC •AD=1：3．故④正确．综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．故选D ．点评： 本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图﹣基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质．12．（4分）（2013•）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A （0，2），B （0，6），动点C 在直线y=x 上．若以A 、B 、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C 的个数是（ ）考点： 等腰三角形的判定；坐标与图形性质．专题： 压轴题．分析： 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB 的垂直平分线与直线y=x 的交点为点C ，再求出AB 的长，以点A 为圆心，以AB 的长为半径画弧，与直线y=x 的交点为点C ，求出点B 到直线y=x 的距离可知以点B 为圆心，以AB 的长为半径画弧，与直线没有交点．解答： 解：如图，AB 的垂直平分线与直线y=x 相交于点C 1，∵A （0，2），B （0，6），∴AB=6﹣2=4，以点A 为圆心，以AB 的长为半径画弧，与直线y=x 的交点为C 2，C 3，∵OB=6，∴点B 到直线y=x 的距离为6×=3，∵3＞4，∴以点B 为圆心，以AB 的长为半径画弧，与直线y=x 没有交点，所以，点C 的个数是1+2=3．故选B ．点评： 本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 513．（4分）（2009•）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形，③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8．二、填空题（每小题4分，共24分）14．（4分）用反证法证明命题“三角形中必有一个角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中每一个为边长的等腰三角形的周长为5．16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE=20°，则∠C=35°．17．（4分）如图，在△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，DE过点I，且DE∥BC．BD=8cm，CE=5cm，则DE等于3cm．18．（4分）（2013•东营）如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 1.3m（容器厚度忽略不计）．19．（4分）（2013•资阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=1，将△ABC 沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是1+．三、解答题（每小题7分，共14分）20．（7分）（2013•）如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE．21．（7分）（2013•）如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论）四、解答题（每小题10分，共40分）22．（10分）（2013•模拟）在四边形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，∠DCA=30°，CA平分∠DCB，AD=4cm，求AB的长度？23．（10分）（2013•）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB 于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．24．（10分）（2013•）如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C 旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．（1）求证：CF=DG；（2）求出∠FHG的度数．25．（10分）已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，DH垂直平分BC交AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F．五、解答题（每小题12分.共24分）26．（12分）如图，在△ABC中，D是BC是中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG 于点G，DE⊥DF交AB于点E，连接EG、EF．（1）求证：BG=CF；（2）求证：EG=EF；（3）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．在△BGE中，BG+BE＞EG，∵EF=EG，∴BG+CF＞EF．点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，线段垂直平分线性质，三角形三边关系定理的应用，主要考查学生的推理能力．27．（12分）△ABC中，AB=AC，点D为射线BC上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE．（1）如图1，若∠BAC=∠DAE=60°，则△BEF是等边三角形；（2）若∠BAC=∠DAE≠60°①如图2，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状并证明；②当点D在线段BC的延长线上移动，△BEF是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形．考点：等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定．分析：（1）根据题意推出△AED和△ABC为等边三角形，然后通过求证△EAB≌△DAC，结合平行线的性质，即可推出△EFB为等边三角形，（2）①根据（1）的推理依据，即可推出△EFB为等腰三角形，②根据题意画出图形，然后根据平行线的性质，通过求证△EAB≌△DAC，推出等量关系，即可推出△EFB为等腰三角形．解答：解：（1）∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴△AED和△ABC为等边三角形，∴∠C=∠ABC=60°，∠EAB=∠DAC，∴△EAB≌△DAC，∴∠EBA=∠C=60°，∵EF∥BC，∴∠EFB=∠ABC=60°，∵在△EFB中，∠EFB=∠EBA=60°，∴△EFB为等边三角形，（2）①△BEF为等腰三角形，∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∴△AED和△ABC为等腰三角形，∴∠C=∠ABC，∠EAB=∠DAC，∴△EAB≌△DAC，∴∠EBA=∠C，∵EF∥BC，∴∠EFB=∠ABC，∵在△EFB中，∠EFB=∠EBA，∴△EFB为等腰三角形，②AB=AC，点D为射线BC上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE．∵△BEF为等腰三角形，∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∴△AED和△ABC为等腰三角形，∴∠ACB=∠ABC，∠EAB=∠DAC，∴△EAB≌△DAC，∴∠EBA=∠ACD，∴∠EBF=∠ACB，∵EF∥BC，∴∠AFE=∠ABC，∵∠ABC=∠ACB，∴∠AFE=∠ACB，∵在△EFB中，∠EBF=∠AFE，∴△EFB为等腰三角形．点评：本题主要考查等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，关键在于根据题意画出图形，通过求证三角形全等，推出等量关系，即可推出结论．。
北师大版八年级下册《三角形的证明》培优(2)(2021年整理)
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三角形的证明单元检测卷（提高）1等腰三角形的一个角是80°,则它顶角的度数是（)A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°2．下列命题的逆命题是真命题的是( ）A．如果a＞0，b＞0，则a+b＞0B．直角都相等C．两直线平行,同位角相等D．若a=6，则｜a|=|b| 3．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2:3，最小边BC=4 cm,最长边AB的长是A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm4．如图,已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（）A．∠A=∠C B．A D=CB C．B E=DF D．A D∥BC5．如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=5，则CE的长为（)A．10B．8C．5D．2.56。
如图，D为△AB C内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD,垂足为D,交AC于点E，∠A=∠ABE．若AC=5，BC=3，则BD的长为（）A．2。
5B．1。
5C．2D．17．如图，AB=AC，BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F，BE、CF相交于点D,则①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．以上结论正确的是( )A．①B．②C．①②D．①②③8．如图所示，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=3,CE=4,则AD等于( ）A．10B．12C．24D．489．如图所示,在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC．∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，则BC的长度是（)A．6B．8C．9D．1010．（如图,在△ABC中，∠C=90°,∠B=30°，以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N 为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（)①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．A．1B．2C．3D．412．如图，在平面直角坐标系xOy中,A(0，2)，B（0,6)，动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形,则点C的个数是（）A．2B．3C．4D．513．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中,下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形，③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A．①②③B．①④⑤C．①③④D．③④⑤二、填空题14．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中___．15．若（a﹣1）2+|b﹣2|=0,则以a、b为边长的等腰三角形的周长为_ ．16．如图，在Rt△A BC中，∠ABC=90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE=20°,则∠C=_________ ．17．如图，在△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，DE过点I，且DE∥BC．BD=8cm,CE=5cm，则DE等于_________ ．18．如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m,在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0。
(完整word版)北师大版八年级下册《三角形的证明》培优提高
A10ED)cD 4) 5A CAB. 8C . 3C . 4D . 48C . 2C . 24D . 5C . 5A . 2B . 3A . 2.5D . 1B . 1.5B . 12 B . 2A . 1A . 10A . 10 BD . 2.58 C6 B9 D三角形的证明单元检测卷1 . （4分）（2013?钦州）等腰三角形的一个角是 80°则它顶角的度数是（ ）A . 80°B . 80°或 20°C . 80。
或 50°D . 20°5. （4分）如图，在 △ ABC 中，/ B=30 ° BC 的垂直平分 线交AB 于E ,垂足为D .若ED=5，贝U CE 的长为（ BD .①②③C .①③④D .③④⑤F 是AB 边上的中点， DE , DF , EF .在此运 ① ② ） B .①④⑤ 13 . （4 分）如图，在等腰 Rt △ ABC 中，/ C=90 ° AC=8 , 点D , E 分别在AC , BC 边上运动，且保持 AD=CE .连接 动变化的过程中，下列结论：△ DFE 是等腰直角三角形；四边形CDFE 不可能为正方形，DE 长度的最小值为4;四边形CDFE 的面积保持不变； △ C DE 面积的最大值为 & 其中正确的结论是（ A .①②③2. （4分）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）A .如果a > 0, b >0,贝U a+b > 0B .直角都相等4. （4分）如图，已知 AE=CF ，/ AFD= / CEB ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定 △ ADF CBE 的是（）A . / A= / CB . AD=CBC . BE=DF 6•如图，D ABC 内一点，CD 平分 / ACB ，BE 丄 CD ， 垂足为 D ，交 AC 于点 E ，Z A= / ABE .若 AC=5，BC=3， 7. （4分）如图，AB=AC ，BE 丄AC 于点E ，CF 丄AB 于 点F ，BE 、CF 相交于点 D ，则① △ ABE ◎△ ACF ;② △ BDF ◎ △ CDE ;③ 点D 在Z BAC 的平分线上. 以上 结论正确的是（ ）Z BAE= Z DEC=60 ° AB=3，CE=4，贝U AD 等于()10 .（4 分） （2013?遂宁）如图，在厶 ABC 中，Z C=90 ° Z B=30 ° 以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交 AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个 数是（） ①AD 是Z BAC 的平分线； ②Z ADC=60 ° ③点D 在AB 的左 中垂线上； ④ S ^ DAC : S A ABC =1 : 3 .12 . （4分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A （ 0，2），B （0，6），动点C 在直线y=x 上.若以A 、B 、C 三点为顶点 ’’ 、填空题（每小题 4分，共24分）D . AD // BC则BD 的长为（ A .①& （4分）如图所示, AB 丄BC ，DC 丄BC ，E 是BC 上一点,B .②C .①②9.如图所示，在△ ABC中，AB=AC , D、E是厶ABC内两点，AD平分/ BAC . / EBC= / E=60 ° 若BE=6 , DE=2，贝U BC 的长度是（）314. （4分）用反证法证明命题 三角形中必有一个内角小于或等于60°时，首先应假设这个三角形中 ______ .着顶点B 顺时针旋转60°使得点C 旋转到AB 边上的一点D ，点A 旋转到点E 15. ___________________________________________________________________ （4分）若（a - 1） 2+|b - 2|=0，则以a 、b 为边长的等腰三角形的周长为 ____________ . 16. （4分）如图，在 Rt A ABC 中，/ ABC=90 °, DE 是AC 的垂直平分线，交 AC 于点 D ，交 BC 于点 E , / BAE=20 ° 则/ C= . - --- 17. （4分）如图，在 △ ABC 中，BI 、CI 分别平分/ ABC 、/ ACF , DE 过点I ，且 的位置.F , G 分别是BD , BE 上的点，BF=BG ，延长CF 与DG 交于点H . DE // BC . BD=8cm , CE=5cm ，贝U DE 等于 ____________ 18 •如图，圆柱形容器中，高为1.2m ，底面周长为1m ，在容器内壁离容器底部 0.3m （1）求证：CF=DG ; （2）求出/ FHG 的度数.25. （10 分）已知：如图， △ ABC 中，/ ABC=45 ° DH 垂直平分 BC 交AB 于点D , BE 平分/ ABC ,且BE 丄AC 于E ,与CD 相交于点F . （1） 求证：BF=AC ; （2）求证：_〒二二厂.的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁， 离容器上沿0.3m 与蚊子相对的点 A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 _m . 19.如图，在 Rt △ ABC 中，/ C=90° / B=60 °点D 是BC 边上的 点，CD=1，将△ ABC 沿直线AD 翻折，使点C 落在AB 边上的点E 处，若点P 是直线AD 上的动点，贝U △ PEB 的周长的最小值是 三、解答题（每小题 7分，共14分） 20 . （ 7分）如图，C 是AB 的中点，AD=BE , CD=CE .求证：/ A= / B . 21 . （7分）如图，两条公路 OA 和 OB 相交于O 点，在/ AOB 的内部有 工厂C 和D ，现要修建一个货站 使货站P 到两条公路 OA 、OB 的距离相等，且到两工厂 D 的距离相等，用尺规作出货站 P 的位置.四、解答题 小题10分，共40分） 22. （10 分）在四边形 ABCD 中，AB // CD , / D=90 ° / DCA=30 ° CA 平分 / DCB , AD=4cm ，求 AB 的长度？ 23. （ 10 分）如图，在厶ABC 中，/ C=90 °, AD 平分/ CAB , 交CB 于点D ，过点D 作DE 丄AB 于点E .(1) 求证：△ ACD △ AED ; (2) 若/ B=30 ° CD=1，求 BD 的长.P ,C 、 (每 五、解答题（每小题 12分.共24分）26 . （12分）如图，在△ ABC 中，D 是BC 是中点，过点D 的直线GF 交AC 于点F ,交AC 的平行线BG 于点G , DE 丄DF 交AB 于点E ,连接EG 、EF . （1）求证：BG=CF ; （2）求证：EG=EF ;（3）请你判断BE+CF 与EF 的大小关系，并证明你的结论. 27. （12分）△ ABC 中，AB=AC ，点D 为射线 BC 上一个动点（不与 B 、C 重合），以AD 为一边向AD 的左侧作△ ADE ，使AD=AE , / DAE= / BAC ,过点E 作BC 的平行线，交直线 AB 于点F ,连接BE .（1） 如图1,若/ BAC= / DAE=60 °则△ BEF 是 _________________ 三角形； （2）若/ BAC= / DAE 书0°① 如图2,当点D 在线段BC 上移动，判断△ BEF 的形状并证明；② 当点D 在线段BC 的延长线上移动， △ BEF 是什么三角形？请直接写出结论并 画出相应的图形.4命题叫真命题，错误的命题叫做假命题•判断命题的真假关键是要熟悉课本中的北师大版八年级下册《第1章三角 形的证明》2014年单元检测卷A （—）3 • （4 分）△ ABC 中，/ A : / B : / C=1 : 2: 3,最小边 BC=4 cm ，最长边 AB的长是（ ）A • 5cmB • 6cmC . 7 cmD .考点：等腰三角形的性质. 专题：分类讨论. 分析： 分80 °角是顶角与底角两种情况讨论求解. 解答：解：①80。
北师大版八年级下册《三角形的证明》培优提高
三角形的证明单元检测卷 1．（4分）（2013•钦州）等腰三角形的一个角是80°，添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE 的D ．AD∥BC 平分线交AB 于E ，垂足为D ．若ED=5，则CE 的长为D ． 2.5 6.如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D ，交AC 于点E ，∠A=∠ABE．若AC=5，BC=3，D ． 1 点F ，BE 、CF 相交于点D ，则①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D 在∠BAC 的平分线上．以上D ． ①②③ D ． 48 两点，AD 平分∠BAC．∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，∠B=30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（ ）①AD 是∠BAC 的平分线；②∠ADC=60°；③点D 在2），B （0，6），动点C 在直线y=x 上．若以A 、B 、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C 的个数是（ ） AC=8，F 是AB 边上的中点，点D ，E 分别在AC ，BC，DF ，EF ．在此运③④⑤ 14．（4分）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中 ___．15．（4分）若（a ﹣1）2+|b ﹣2|=0，则以a 、b 为边长的等腰三角形的周长为 _ ．16．（4分）如图，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，DE是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ，∠BAE=20°，则∠C= _________ ．17．（4分）如图，在△ABC 中，BI 、CI 分别平分∠ABC、∠ACF，DE 过点I ，且DE∥BC．BD=8cm ，CE=5cm ，则DE 等于 _________ ．18．如图，圆柱形容器中，高为1.2m ，底面周长为1m ，在容器内壁离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m 与蚊子相对的点A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m ．19．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，点D 是BC 边上的点，CD=1，将△ABC 沿直线AD 翻折，使点C 落在AB边上的点E处，若点P是直线AD 上的动点，则△PEB 的周长的最小值是 ．三、解答题（每小题7分，共14分）20．（7分）如图，C 是AB 的中点，AD=BE ，CD=CE ．求证：∠A=∠B．21．（7分）如图，两条公路OA 和OB 相交于O 点，在∠AOB的内部有工厂C 和D ，现要修建一个货站P ，使货站P 到两条公路OA 、OB 的距离相等，且到两工厂C 、D的距离相等，用尺规作出货站P 的位置．四、解答题（每小题10分，共40分）22．（10分）在四边形ABCD 中，AB∥CD，∠D=90°，∠DCA=30°，CA 平分∠DCB，AD=4cm ，求AB 的长度？23．（10分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，交CB 于点D ，过点D 作DE⊥AB 于点E ．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD 的长．24．（10分）如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B 顺时针旋转60°，使得点C 旋转到AB 边上的一点D ，点A 旋转到点E 的位置．F ，G 分别是BD ，BE 上的点，BF=BG ，延长CF 与DG 交于点H ．（1）求证：CF=DG ；（2）求出∠FHG 的度数．25．（10分）已知：如图，△ABC 中，∠ABC=45°，DH 垂直平分BC 交AB 于点D ，BE 平分∠ABC，且BE⊥AC于E ，与CD 相交于点F ．（1）求证：BF=AC ； ）求证：． 五、解答题（每小题12分.共24分） 26．（12分）如图，在△ABC 中，D 是BC 是中点，过点D 的直线GF 交AC 于点F ，交AC 的平行线BG 于点G ，DE⊥DF 交AB 于点E ，连接EG 、EF ． （1）求证：BG=CF ；（2）求证：EG=EF ； （3）请你判断BE+CF 与EF 的大小关系，并证明你的结论． 27．（12分）△ABC 中，AB=AC ，点D 为射线BC 上一个动点（不与B 、C 重合），以AD 为一边向AD 的左侧作△ADE，使AD=AE ，∠DAE=∠BAC，过点E 作BC 的平行线，交直线AB 于点F ，连接BE ． （1）如图1，若∠BAC=∠DAE=60°，则△BEF 是 _________ 三角形； （2）若∠BAC=∠DAE≠60° ①如图2，当点D 在线段BC 上移动，判断△BEF 的形状并证明； ②当点D 在线段BC 的延长线上移动，△BEF 是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形． 北师大版八年级下册《第1章 三角形的证明》2014年单元检测卷A （一） 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题4分，共48分） 1．（4分）（2013•钦州）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ）∴BD=BE=AE=（30°所对的直角边是斜边的一半．∴BD=（解决此类题目的关键是熟练掌握运用直角三角形两个锐角互余，30°所对的直角边是斜边的一半，勾股定大于∴∠1=∠2=∴CD=AD ∴BC=CD+BD=AD+AD=AD AC•CD=AC•AD．AC•BC=AC•AD=AC•AD：=3＞∠C=90°，AC=8，F 是AB 边上的中点，点D ，E 分别在AC ，BC 边上运动，且保持AD=CE ．连接DE ，DF ，EF ．在此运动变化的过程中，下列结论： ①△DFE 是等腰直角三角形； ②四边形CDFE 不可能为正方形， ③DE 长度的最小值为4； ④四边形CDFE 的面积保持不变； ⑤△CDE 面积的最大值为8． DE=，故③错误，△CDE DF=BC=4∴DE=DF=415．（4分）（2013•雅安）若（a ﹣1）+|b ﹣2|=0，则为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m 的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，1+∴BE=BC=1+BC+BE=1++=1+1+20．（7分）（2013•常州）如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE．中，相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写，度角的直角三角形．AC=4cm=，）求证：中，，∴CE=AE=AC=BF平行线，交直线AB于点F，连接BE．（1）如图1，若∠BAC=∠DAE=60°，则△BEF是等边三角形；（2）若∠BAC=∠DAE≠60°①如图2，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状并证明；②当点D在线段BC的延长线上移动，△BE F是什么参与本试卷答题和审题的老师有：yangwy；zcx；gbl210；dbz1018；星期八；zjx111；sd2011；py168；kuaile；HLing；yeyue；lhz6918；caicl；lantin；MMCH；Linaliu；zhjh；ZHAOJJ（排名不分先后）菁优网2014年2月19日。
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三角形的证明单元检测卷1．(4分)（２0１3•钦州)等腰三角形的一个角是8０°,则它顶角的度数是( ）Ａ．80°B．80°或20°C．80°或5０°Ｄ. 20°2.（４分）下列命题的逆命题是真命题的是（）A．如果a＞0，ｂ＞0,则a+b>０B．直角都相等C．两直线平行,同位角相等D．若a=6，则|a|=｜b| ３.△AＢＣ中,∠A:∠B:∠C＝1:２：３,最小边BC=4cm,最长边AB的长是A．5cm B. ６cm Ｃ. 7cm D. 8cｍ4.(4分）如图，已知AE=CF,∠AFＤ=∠CＥB,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△AＤF≌△ＣBE的是（)Ａ. ∠A=∠ＣB．A D＝CＢC．ＢE=DF D．ＡD∥BC ５．(4分）如图，在△ＡBＣ中,∠B=30°,BC的垂直平分线交ＡＢ于E,垂足为Ｄ．若EＤ=５，则CE的长为（）A. 1０B. ８Ｃ．5D．2．5６.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，ＢE⊥ＣD,垂足为Ｄ，交AC于点Ｅ,∠A=∠ABE．若AC=５,BC＝3,则BD的长为( ）A．２.5 B．1．5 C．2 D. 17.(４分)如图，AＢ=AC,BE⊥AC于点Ｅ,ＣF⊥AB于点F,BＥ、CF相交于点D，则①△ABE≌△ＡCF；②△BDF≌△CDE;③点Ｄ在∠BAC的平分线上.以上结论正确的是()A. ①B. ②C．①② D. ①②③8．（４分)如图所示,AＢ⊥BC，ＤＣ⊥ＢC,E是BC上一点，∠BAE=∠ＤEＣ=６０°，AB=3，ＣＥ＝4,则AD等于（）A．10 B. 12 C. 24 Ｄ．489．如图所示，在△AＢC中,ＡB=AＣ,D、Ｅ是△ＡBC内两点,ＡD平分∠BAC．∠EBC=∠E＝60°，若BE=６,DE＝2,则ＢＣ的长度是（) A．６Ｂ. 8 C．9 D．１010.(４分)(2013•遂宁)如图，在△ABＣ中，∠C=９０°，∠B=3０°，以A为圆心,任意长为半径画弧分别交ＡB、ＡC于点M和N，再分别以M 、Ｎ为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P,连结AＰ并延长交BC于点Ｄ,则下列说法中正确的个数是（)①AD是∠BＡC的平分线;②∠ADC=6０°；③点D在AＢ的中垂线上；④S△DAＣ:S△ABC＝1:3.A. 1 Ｂ．2C．3 D. 41２.（4分）如图,在平面直角坐标系xOy中,Ａ(0，２),B（0，６）,动点Ｃ在直线y=x上.若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点Ｃ的个数是(）Ａ. 2 B．３ C. 4 D. 51３.(4分)如图，在等腰Rｔ△ABＣ中，∠Ｃ=90°，ＡC=8,F是AB边上的中点,点Ｄ，E分别在ＡC,BC边上运动,且保持AD=CE．连接ＤE,DF，EF.在此运动变化的过程中,下列结论:①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFＥ不可能为正方形,③DE长度的最小值为4;④四边形CDFE的面积保持不变;⑤△ＣＤE面积的最大值为８．其中正确的结论是（)A. ①②③B. ①④⑤Ｃ. ①③④Ｄ. ③④⑤二、填空题(每小题4分，共２4分)14．(4分)用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于6０°”时，首先应假设这个三角形中＿__．15．（４分)若（a ﹣1)２＋|b﹣2|=０,则以a、ｂ为边长的等腰三角形的周长为_ . 16.(4分）如图,在Ｒｔ△ABC中,∠ABC=9０°,DE是AC的垂直平分线,交AC于点D,交BC于点E,∠BＡE＝20°，则∠C=___＿____＿．17.(4分）如图,在△ＡBC中,BI、CＩ分别平分∠ABC、∠ACF，DE过点Ｉ，且DE∥BC.ＢD=８ｃm，ＣE＝５cm,则DＥ等于__＿___＿__ .18．如图,圆柱形容器中，高为1.２m,底面周长为１m，在容器内壁离容器底部0.3ｍ的点Ｂ处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.３m与蚊子相对的点A处,则壁虎捕捉蚊子的最短距离为ｍ.1９.如图，在Rt△ABＣ中,∠C＝90°，∠B=60°,点D是BC边上的点,ＣD=1，将△ABＣ沿直线ＡD翻折，使点C落在AB边上的点Ｅ处，若点Ｐ是直线AＤ上的动点,则△PＥＢ的周长的最小值是.三、解答题(每小题7分，共1４分)20．(7分)如图，Ｃ是AB的中点,AD＝BE,CD＝CE．求证：∠A＝∠B.2１.(7分)如图,两条公路OA和ＯB相交于O点,在∠AOB的内部有工厂C和D,现要修建一个货站P,使货站P到两条公路OＡ、ＯB的距离相等，且到两工厂C、Ｄ的距离相等，用尺规作出货站Ｐ的位置.四、解答题(每小题１０分,共40分）22．（10分)在四边形ABCD中,AB∥CＤ,∠D=90°，∠DＣＡ=3０°,CA平分∠DＣB，ＡD＝4cm，求ＡB的长度?２３.(1０分）如图，在△ＡＢC中,∠C＝90°,ＡD平分∠CA Ｂ,交CＢ于点D，过点D作ＤE⊥ＡB于点E．（1)求证：△AＣD≌△AＥＤ；(2）若∠Ｂ=30°，CＤ=1,求BD的长.24.（10分）如图，把一个直角三角形ACB(∠ＡＣＢ＝9０°）绕着顶点B顺时针旋转6０°,使得点C旋转到ＡB边上的一点Ｄ,点Ａ旋转到点Ｅ的位置．F，Ｇ分别是BD，BＥ上的点，BF=BＧ,延长CF与DＧ交于点Ｈ.(1)求证:CＦ＝DG；（2)求出∠FHG的度数.25．（10分）已知：如图,△AＢC中，∠ABC=45°,DH垂直平分ＢＣ交AB于点D,BE平分∠ABＣ，且BE⊥AＣ于E,与CD相交于点F．（1)求证：BF=AC;(2)求证：．五、解答题（每小题１2分.共2４分)26.(12分)如图,在△AＢＣ中,Ｄ是BC是中点，过点D的直线GＦ交AC于点F,交AＣ的平行线BG于点G,DE⊥DF交AＢ于点Ｅ,连接EG、EＦ.(１)求证:BG=CF;(２）求证:EG=EF;(3)请你判断ＢE+CF与EF的大小关系,并证明你的结论．2７．（1２分）△ＡBC中，AB=AC,点D为射线BＣ上一个动点(不与B、C重合）,以AD为一边向AD的左侧作△ＡＤＥ，使ＡD＝AＥ，∠DAE=∠ＢAC,过点E作ＢＣ的平行线，交直线AB于点F，连接BE．（1)如图1,若∠BAＣ=∠DAＥ＝６0°,则△BEＦ是_＿_______ 三角形;(２)若∠ＢＡＣ＝∠DAＥ≠6０°①如图2,当点Ｄ在线段BC上移动，判断△BEF的形状并证明;②当点D在线段BC的延长线上移动,△BEF是什么三角形?请直接写出结论并画出相应的图形．北师大版八年级下册《第1章三角形的证明》２0１４年单元检测卷Ａ(一)参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分,共48分)1．(４分)(２０1３•钦州)等腰三角形的一个角是80°,则它顶角的度数是( )A．80°B．8０°或２0° C. 8０°或50°D．2０°考点: 等腰三角形的性质.专题：分类讨论．分析：分8０°角是顶角与底角两种情况讨论求解.解答:解:①80°角是顶角时，三角形的顶角为８０°,②８0°角是底角时,顶角为１80°﹣8０°×２=20°,综上所述,该等腰三角形顶角的度数为80°或２0°．故选B．点评:本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论求解．2．(4分）下列命题的逆命题是真命题的是（)A．如果a>0，b>0,则a＋b＞0 B. 直角都相等Ｃ. 两直线平行,同位角相等D．若a=6,则|ａ|＝|ｂ|考点: 命题与定理.分析：先写出每个命题的逆命题，再进行判断即可.解答：解；Ａ．如果a>0，b＞0,则a＋b＞0：如果ａ＋b＞０，则a>0，b>0，是假命题;B．直角都相等的逆命题是相等的角是直角，是假命题；Ｃ．两直线平行,同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行,是真命题；D．若ａ=6,则｜a|＝｜ｂ｜的逆命题是若|a｜=|b|，则a=6，是假命题. 故选:Ｃ．点评:此题考查了命题与定理,两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命叫真命题,错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定3．（4分)△AＢＣ中，∠A:∠B：∠C=1：2：3,最小边BC=4 ｃｍ,最长边AB的长是()A．5cm B．6cm Ｃ．7cm D.考点：含3０度角的直角三角形．分析:三个内角的比以及三角形的内角和定理，得出各个角的度数.以及直角三角形中角的一半．解答：解：根据三个内角的比以及三角形的内角和定理，得直角三角形中的最小内角是边是斜边的一半，得最长边是最小边的2倍，即8,故选D．点评:此题主要是运用了直角三角形中角30°所对的直角边是斜边的一半．4．（4分)（201３•安顺）如图，已知AE=CF,∠AＦD＝∠ＣEＢ,那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是()Ａ．∠A＝∠C Ｂ. AD=CB C．ＢE=DF D.考点: 全等三角形的判定．分析:求出AF=CＥ,再根据全等三角形的判定定理判断即可．解答:解：∵AＥ=CF,∴ＡＥ＋EF=CF＋ＥF，∴AＦ=CE，A、∵在△ADF和△ＣBＥ中∴△ＡDF ≌△C ＢE （A ＳA ），正确，故本选项错误； Ｂ、根据AD=CB,AF=ＣＥ，∠A ＦD=∠C ＥＢ不能推出△ＡD Ｆ≌△CBE,错误,故本选项正确； C 、∵在△A ＤF 和△CB Ｅ中 ∴△A ＤF ≌△C ＢE （SAS ），正确，故本选项错误；D 、∵ＡD ∥ＢＣ, ∴∠Ａ=∠Ｃ,∵在△ADF 和△CBE 中∴△ADF ≌△CB Ｅ（ASA)，正确,故本选项错误； 故选B.点评： 本题考查了平行线性质，全等三角形的判定的应用,注意：全等三角形的判定定理有SAS ，A ＳA,AAS,SSS.5.(4分）（2０１2•河池)如图,在△ＡBC 中，∠Ｂ=30°，BC 的垂直平分线交ＡB 于Ｅ，垂足为D ．若ＥＤ=5，则C Ｅ的长为（ )A ． 10 Ｂ． 8 C. ５ D ． 2.5考点: 线段垂直平分线的性质;含３0度角的直角三角形.分析： 根据线段垂直平分线性质得出B Ｅ=C Ｅ，根据含30度角的直角三角形性质求出BE 的长,即可求出CE 长. 解答： 解:∵DE 是线段BC 的垂直平分线, ∴B Ｅ=ＣＥ,∠ＢDE ＝9０°(线段垂直平分线的性质）， ∵∠B ＝30°，∴BE=2DE ＝２×5=１0(直角三角形的性质）,∴CE ＝BE=1０．故选A ．点评： 本题考查了含30度角的直角三角形性质和线段垂直平分线性质的应用，关键是得题目比较典型，难度适中．6.（4分）(２01３•邯郸一模)如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB,ＢE ⊥CＤ,垂足为D ，交AC 于点E,∠A=∠ＡBE.若A Ｃ=5，B Ｃ=3，则ＢD 的长为( ) A ． 2．5 B ． １.5C. 2 D ．考点: 等腰三角形的判定与性质． 分析：由已知条件判定△BE Ｃ的等腰三角形，且ＢC=CE;由等角对等边判定ＡE=ＢＥ,则=(AC ﹣BC ）.解答： 解:如图，∵CD 平分∠ACB,BE ⊥ＣD ， ∴BC=ＣE ．又∵∠A=∠ABE, ∴AE=BE ．∴BD=ＢE ＝ＡE=（AC ﹣B Ｃ).∵AC=5，ＢＣ=3,∴BD ＝(５﹣3)＝1.故选Ｄ． 点评： 本题考查了等腰三角形的判定与性质．注意等腰三角形“三合一”性质的运用.7．（４分)如图，ＡB=A Ｃ，BE ⊥AC 于点E,CF ⊥AB 于点F,BE 、C Ｆ相交于点D ，则①△ＡBE ≌△ＡＣF;②△B ＤF ≌△ＣＤE ；③点D 在∠BAC 的平分线上.以上结论正确的是( )A ． ① Ｂ． ② C. ①② D ． ①②③考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质． 专题： 常规题型．分析: 从已知条件进行分析,首先可得△ＡＢE ≌△ＡＣＦ得到角相等和边相等,运用这些结论，进而得到更多的结论,最好运用排除法对各个选项进行验证从而确定最终答案.解答: 解：∵ＢE ⊥AC 于E,CF ⊥A Ｂ于Ｆ ∴∠AEB=∠AFC=9０°, ∵AB ＝AC ，∠Ａ=∠Ａ， ∴△ＡB Ｅ≌△AC Ｆ(①正确) ∴AE=A Ｆ, ∴ＢF ＝CE, ∵BE ⊥A Ｃ于E ，CF ⊥AB 于Ｆ，∠BDF=∠ＣDE, ∴△B ＤF ≌△ＣDE(②正确） ∴DF=DE, 连接ＡＤ，∵A Ｅ＝AF,DE=D Ｆ，AD=ＡD, ∴△ＡED ≌△ＡFD, ∴∠ＦA Ｄ=∠EAD ， 即点D 在∠BAC 的平分线上（③正确)故选D.点评： 此题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定方法等知识点，要求学生要灵活不重不漏．8．(４分）如图所示，ＡB ⊥BC ，DC ⊥ＢC,E 是B Ｃ上一点,∠BAE=∠DEC=60°,ＡB ＝３,CE ＝4，则ＡＤ等于( ）A. 1０B. 12 C ． 24 Ｄ 考点: 勾股定理；含３0度角的直角三角形. 分析: 本题主要考查勾股定理运用，解答时要灵活运用直角三角形的性质． 解答: 解：∵AB ⊥BC ，ＤC ⊥BC,∠B ＡE=∠D ＥC=6０° ∴∠AEB ＝∠CD Ｅ=30° ∵30°所对的直角边是斜边的一半 ∴AE=６,D Ｅ=8 又∵∠AE Ｄ=90°根据勾股定理 ∴AD=1０. 故选A ．点评: 解决此类题目的关键是熟练掌握运用直角三角形两个锐角互余，30°所对的直角边性质. 9．(4分)如图所示，在△A ＢC 中,AB=A Ｃ，D 、E 是△ABC 内两点，AD 平分∠BAC ．∠E ＢＣ=∠E=6０°,若ＢE=６,DE=2,则BC 的长度是( ）Ａ. 6 B ． ８ C. 9 D. 10 考点: 等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质． 分析： 作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出ＢE=６，DE=2，进而得出△ＢEM 为等边三角形,△EFD 为等边三角形，从而得出ＢＮ的长，进而求出答案.解答: 解:延长ＥD 交BC 于M ，延长AD 交B Ｃ于N,作ＤＦ∥BC ， ∵ＡB=A Ｃ,ＡＤ平分∠BAC ， ∴AN ⊥B Ｃ,B Ｎ=CN, ∵∠EBC ＝∠Ｅ=60°， ∴△BEM 为等边三角形, ∴△EF Ｄ为等边三角形, ∵B Ｅ=６，ＤE=2， ∴DM ＝4,∵△BE Ｍ为等边三角形, ∴∠EM Ｂ=6０°, ∵AN ⊥B Ｃ, ∴∠DNM=９0°， ∴∠NDM=３0°， ∴ＮＭ=2， ∴BN=4， ∴BC=2BN=８， 故选B ．点评: 此题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出ＭN 的长是解决 1０．（4分）（２0１3•遂宁)如图,在△ABC 中,∠C ＝9０°，∠B=30°,以A 为圆心,任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于MＮ的长为半径画弧,两弧交于点P ，连结AP 并延长交ＢC 于点Ｄ,则下列说法中正确的个数是( ) ①A Ｄ是∠BAC 的平分线;②∠AD Ｃ＝60°;③点D 在AB 的中垂线上；④S △D ＡＣ：S △ＡBC =１:３． A ． １ B. 2 C ． 3 D. 考点： 角平分线的性质；线段垂直平分线的性质;作图—基本作图. 专题： 压轴题. 分析: ①根据作图的过程可以判定AD 是∠ＢAC 的角平分线; ②利用角平分线的定义可以推知∠C ＡD ＝３0°,则由直角三角形的性质来求∠A Ｄ③利用等角对等边可以证得△A ＤB 的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性的中垂线上;④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角解答： 解：①根据作图的过程可知，AD 是∠ＢAC 的平分线.故①正确;②如图，∵在△ABC 中,∠C=90°，∠B=3０°， ∴∠ＣＡB=60°．又∵A Ｄ是∠BAC 的平分线， ∴∠１=∠2=∠CA Ｂ＝3０°， ∴∠3=９0°﹣∠2=６0°，即∠ADC=60°. 故②正确;③∵∠1=∠B=３0°， ∴A Ｄ=BD,∴点D 在AB 的中垂线上. 故③正确;④∵如图,在直角△ACD 中,∠2=30°, ∴CD=ＡD,∴ＢC=C Ｄ+ＢD=AD+AD ＝A Ｄ,S △ＤA Ｃ＝AC •CD=ＡC •ＡD ． ∴Ｓ△A ＢC =AC •ＢＣ=AC •AD=AC •A Ｄ, ∴Ｓ△ＤＡC ：S △A ＢC =AC •ＡD:A Ｃ•A Ｄ=1:3. 故④正确．综上所述,正确的结论是：①②③④，共有４个． 故选Ｄ.点评： 本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图﹣基本作图.解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质.12．(4分)(２013•龙岩）如图,在平面直角坐标系xO ｙ中，A （0，2）,B （０,6)，动点Ｃ在直线ｙ=ｘ上.若以A 、B 、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点Ｃ的个数是（ ）Ａ． ２ B. ３ C. 4 D ．考点： 等腰三角形的判定;坐标与图形性质. 专题: 压轴题.分析: 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得ＡB 的垂直平分线与直求出ＡB 的长，以点A 为圆心,以A Ｂ的长为半径画弧,与直线y=x 的交点为点C ，距离可知以点Ｂ为圆心，以AB 的长为半径画弧,与直线没有交点.解答： 解:如图，ＡＢ的垂直平分线与直线y=x 相交于点Ｃ1，∵A （０,2),B （0,6)， ∴A Ｂ=6﹣2＝4,以点A 为圆心，以AB 的长为半径画弧，与直线y=x 的交点为C 2,C 3， ∵ＯB=6，∴点B 到直线y=x 的距离为6×=3，∵3＞4，∴以点B 为圆心，以AB 的长为半径画弧，与直线ｙ=x 没有交点, 所以,点Ｃ的个数是1+2＝３. 故选B.点评： 本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质,作出图形,利用数形结合的思想求解更形象直观. 13.(4分)（２0０9•重庆）如图,在等腰R ｔ△A ＢC 中,∠Ｃ＝9０°，ＡC ＝８，F 是AB 边上的中点，点D,E 分别在AC ，BC 边上运动，且保持AD=ＣＥ．连接DE,D Ｆ,EF ．在此运动变化的过程中，下列结论: ①△DFE 是等腰直角三角形； ②四边形C ＤFE 不可能为正方形， ③DE 长度的最小值为4; ④四边形CDF Ｅ的面积保持不变； ⑤△CDE 面积的最大值为8.其中正确的结论是( )A ． ①②③ Ｂ． ①④⑤ C ．①③④ D. ③④⑤考点： 正方形的判定；全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形. 专题： 压轴题；动点型．分析： 解此题的关键在于判断△ＤE Ｆ是否为等腰直角三角形,作常规辅助线连接C Ｆ,由ＳAS 定理可证△CFE 和△ADF 全等，从而可证∠ＤFE ＝９0°,D Ｆ=E Ｆ．所以△DE Ｆ是等腰直角三角形.可证①正确,②错误，再由割补法可知④是正确的；判断③,⑤比较麻烦,因为△ＤE Ｆ是等腰直角三角形DE=D Ｆ,当ＤF 与ＢC 垂小值4，故③错误,△ＣDE 最大的面积等于四边形CD ＥF 的面积减去△DEF 的正确的．故只有①④⑤正确．解答： 解:连接C Ｆ;∵△ＡB Ｃ是等腰直角三角形,∴∠FCB=∠A=4５°，CF=A Ｆ=F Ｂ; ∵AD ＝CE,∴△ＡD Ｆ≌△CEF;∴ＥF=DF,∠CFE=∠AFD ；∵∠A ＦＤ＋∠CFD=９0°，∴∠CF Ｅ+∠C ＦＤ＝∠E ＦD=９0°, ∴△E ＤF 是等腰直角三角形． 因此①正确. 当D 、E 分别为A Ｃ、BC 中点时,四边形ＣＤF Ｅ是正方形． 因此②错误． ∵△ADF ≌△CEF ， ∴S △CE Ｆ＝S △AD Ｆ∴S 四边形CEFD =S △AFC ， 因此④正确. 由于△DEF 是等腰直角三角形，因此当DE 最小时,ＤF 也最小; 即当ＤＦ⊥AC 时,DE 最小，此时ＤF=BC ＝4.∴DE=D Ｆ＝4; 因此③错误.当△CD Ｅ面积最大时,由④知，此时△D ＥF 的面积最小．此时Ｓ△CDE =Ｓ四边形CE ＦD ﹣S △DEF ＝S △A ＦＣ﹣S △DEF ＝１6﹣8=８; 因此⑤正确． 故选Ｂ．点评： 本题考查知识点较多,综合性强,能力要求全面，难度较大．但作为选择题可采用排除法等特有方法,使此题难度稍稍降低一些．二、填空题(每小题4分，共24分)14.(４分）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时,首先应假设这个三角形中 每一个内角都大于６0° . 考点: 反证法． 分析: 熟记反证法的步骤，直接填空即可． 解答： 解:根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即三角形的每一个内角都大于60°． 故答案为：每一个内角都大于60°． 点评： 此题主要考查了反证法，反证法的步骤是:(1)假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾;（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 1５.(4分)(２013•雅安）若（a ﹣1)2+|b ﹣2|=0,则以ａ、ｂ为边长的等腰三角形的周长为 5 . 考点: 等腰三角形的性质;非负数的性质:绝对值；非负数的性质:偶次方；三角形三边关系. 专题： 分类讨论. 分析： 先根据非负数的性质列式求出a 、ｂ再分情况讨论求解即可． 解答: 解：根据题意得,a ﹣1＝0，b ﹣2＝０, 解得ａ=1，b=2,①若a=1是腰长，则底边为2,三角形的三边分别为1、1、2， ∵1+１＝2,∴不能组成三角形，②若a=2是腰长,则底边为１，三角形的三边分别为2、２、1， 能组成三角形, 周长=2+２+1=5. 故答案为:5．点评: 本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质,以及三角形的三边关系，难点在于１６.(4分)如图,在Rt △ABC 中,∠ABC=９0°，DE 是ＡC 的垂直平分线,交ＡC 于点D ，交BC 于点E ，∠BA Ｅ=2０°,则∠C= 35° ．考点: 线段垂直平分线的性质． 分析： 由ＤE 是ＡC 的垂直平分线,根据线段垂直平分线的性质,可得ＡE ＝CE,又由在Ｒt △∠BAE=2０°，即可求得∠C 的度数．解答： 解:∵ＤE 是AC 的垂直平分线，∴ＡE ＝CE ，∴∠C ＝∠C ＡE ， ∵在Ｒt △ABE 中，∠AB Ｃ＝90°，∠ＢAE=２0°，∴∠AEC=70°，∴∠C+∠CAE=７0°， ∴∠C=35°． 故答案为：35°. 点评： 此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌 17.（4分)如图,在△ABC 中,B Ｉ、ＣI 分别平分∠ABC 、∠AC Ｆ,D Ｅ过点I,且ＤE ∥BC.BD=8cm ，ＣＥ＝5ｃm ，则DE 等于 3ｃm ．考点: 等腰三角形的判定与性质;平行线的性质． 分析: 由BI 、CI 分别平分∠A ＢC 、∠ＡCF ，D Ｅ过点Ｉ，且D Ｅ∥ＢC,易得△BDI 与△EC Ｉ是等腰三角形,继而求得答案.解答： 解：∵B Ｉ、CI 分别平分∠ABC 、∠ACF ，∴∠ＡBI=∠ＣＢI,∠ECI=∠I ＣF ，∵ＤE ∥BC,∴∠D ＩB=∠CBI ，∠EI Ｃ=∠ICF ， ∴∠ＡBI ＝∠ＤＩB,∠ECI=∠EI Ｃ， ∴D Ｉ＝B Ｄ=８c ｍ，E Ｉ=C Ｅ=５cm, ∴DE=D Ｉ﹣EI=3（ｃm). 故答案为:3ｃm ．点评: 此题考查了等腰三角形的性质与判定以及平行线的性质．注意由角平分线与平行线,易得等腰三角形.18.（4分）（2013•东营）如图，圆柱形容器中,高为1.2m,底面周长为1ｍ，在容器内壁离容器底部0.３m 的点Ｂ处有一蚊子,此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿０.３m 与蚊子相对的点A 处,则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 1.3 ｍ（容器厚度忽略不计）．考点: 平面展开-最短路径问题． 专题： 压轴题.分析: 将容器侧面展开,建立Ａ关于E Ｆ的对称点A ′,根据两点之间线段最短可知A ′Ｂ的长度即为所求. 解答: 解：如图: ∵高为1．2ｍ,底面周长为1m,在容器内壁离容器底部０.３m 的点B 处有一蚊子， 此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m 与蚊子相对的点A 处, ∴A ′D=０.５m,BD=1.2ｍ， ∴将容器侧面展开，作A 关于EF 的对称点Ａ′， 连接A ′B,则A ′Ｂ即为最短距离，Ａ′B==＝1.3（ｍ)． 故答案为:１．3． 点评： 本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力.19．（4分）（２０13•资阳)如图，在Rt △ＡB Ｃ中,∠C=90°，∠B=60°，点D 是BC 边上的点，CD ＝1,将△ABC 沿直线ＡＤ翻折,使点Ｃ落在ＡＢ边上的点E 处,若点P 是直线A Ｄ上的动点,则△PEB 的周长的最小值是 １+ ．考点: 轴对称-最短路线问题;含30度角的直角三角形;翻折变换(折叠问题)．专题: 压轴题.分析： 连接C Ｅ，交AD 于M,根据折叠和等腰三角形性质得出当P 和D 重合时,PE+BP 的值最小，即可此时△B ＰE 的周长最小，最小值是BE ＋PE+PB=BE+CD+ＤE=ＢC+BE,先求出ＢC 和ＢＥ长，代入求出即可．解答：解:连接CE,交AD 于M ， ∵沿AD 折叠C 和E 重合,∴∠A ＣD=∠A ＥＤ=90°，ＡC ＝A Ｅ,∠C ＡD=∠EA Ｄ, ∴AD 垂直平分CE,即C 和E 关于AD 对称,CD=DE=1,∴当P 和D 重合时,PE+BP 的值最小，即此时△BPE 的周长最小，最小值是BE ＋P Ｅ+P Ｂ=BE+CD+D Ｅ＝BC+B Ｅ， ∵∠ＤEA=90°, ∴∠DEB ＝90°， ∵∠B ＝６0°，DE=１, ∴B Ｅ＝，BD ＝，即BC ＝1+，∴△PEB 的周长的最小值是ＢC ＋BE=１++＝1+，故答案为:1＋．点评: 本题考查了折叠性质，等腰三角形性质,轴对称﹣最短路线问题,勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用,关键是求出P 点的位置，题目比较好,难度适中.三、解答题(每小题7分,共14分)20.（７分)(2０13•常州)如图，C 是ＡＢ的中点,ＡD=B Ｅ,C Ｄ=ＣE. 求证：∠A=∠ B.考点： 全等三角形的判定与性质. 专题： 证明题；压轴题．分析: 根据中点定义求出ＡC=ＢC ，然后利用“SSS ”证明△ACD 和△B ＣE 全等，再根据明即可．解答: 证明：∵Ｃ是AB 的中点,∴AC ＝ＢC ，在△ACD 和△BCE 中,， ∴△ACD ≌△B ＣE （S ＳＳ）, ∴∠A ＝∠Ｂ． 点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，比较简单,主要利用了三边对应相等,两三角应角相等的性质.２１.（7分)(２013•兰州）如图，两条公路O Ａ和OB 相交于O 点,在∠AOB 的内部有工厂C 和D ，现要修建一个货站P ，使货站Ｐ到两条公路ＯＡ、OB 的距离相等，且到两工厂C 、D 的距离相等，用尺规作出货站P 的位置．(要求:不写作法,保留作图痕迹,写出结论)考点: 作图—应用与设计作图.分析： 根据点P 到∠AOB 两边距离相等,到点C 、D 的距离也相等,点P 既在∠AOB 的角平分线上,又在ＣD 垂直平分线上，即∠ＡOB 的角平分线和CD 垂直平分线的交点处即为点P ．解答: 解：如图所示：作CD 的垂直平分线,∠ＡOB 的角平分线的交点Ｐ即为所求．点评: 此题主要考查了线段的垂直平分线和角平分线的作法.这些基本作图要熟练掌握,注意保留作图痕迹．四、解答题(每小题10分,共４０分) 2２.(１0分)(2０13•攀枝花模拟）在四边形A ＢCD 中，ＡB ∥ＣD ，∠D=90°，∠D ＣA ＝3０°，CA 平分∠ＤＣB,AD=４ｃm, 求A Ｂ的长度？考点： 勾股定理；等腰三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形． 专题： 压轴题. 分析: 过B 作ＢE ⊥A Ｃ，由ＡD=4m 和∠D=９0°，∠DCA=3０°，可以求出ＡC 的长，根据平行线的性质和角平分线以及等腰三角形的性质即可求出AD 的长． 解答: 解：∵∠D=90°,∠DC Ａ＝30°，ＡＤ＝4cm, ∴AC=２A Ｄ＝8c ｍ, ∵CA 平分∠D ＣB ，AB ∥ＣD, ∴∠C ＡB=∠A ＣB ＝３0°, ∴ＡB=BC ， 过B 作B Ｅ⊥ＡC,∴AE=AC=4c ｍ,∴c ｏｓ∠E ＡB==,∴c ｍ.点评: 本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的性质,解题的关键是利用锐角三角函数求出AB 的长. 23．（１0分)（２0１3•温州)如图,在△ＡB Ｃ中,∠C ＝9０°,AD 平分∠ＣAB,交C Ｂ于点D ，过点D 作ＤＥ⊥AB 于点Ｅ. (1)求证:△AC Ｄ≌△AED ；(2)若∠B=3０°，CD=1，求BD 的长．考点: 全等三角形的判定与性质;角平分线的性质;含3０度角的直角三角形.分析: （1）根据角平分线性质求出CD=D Ｅ，根据H Ｌ定理求出另三角形全等即可;(２）求出∠D ＥＢ＝９0°,D Ｅ=１，根据含30度角的直角三角形性质求出即可. 解答： (1)证明:∵ＡD 平分∠CAB ，D Ｅ⊥ＡＢ，∠C ＝９0°， ∴ＣD=ED,∠DEA=∠C=９0°, ∵在Rt △AC Ｄ和R ｔ△AED 中∴Rt △ＡＣＤ≌Ｒt △AED(HL)； (2)解：∵ＤC ＝D Ｅ=１，D Ｅ⊥A Ｂ， ∴∠DEB ＝90°, ∵∠B ＝30°， ∴ＢD ＝2D Ｅ=2. 点评: 本题考查了全等三角形的判定，角平分线性质，含３０度角的直角三角形性质的应用,注意:角平分线上的点到角两边的距离相等. 24.(１0分)(201３•大庆)如图，把一个直角三角形ＡCB(∠AC Ｂ=90°）绕着顶点B 顺时针旋转6０°，使得点C 旋转到ＡＢ边上的一点Ｄ,点A 旋转到点E 的位置．F,G分别是BD,B Ｅ上的点,BF=BG ，延长C Ｆ与DG 交于点Ｈ． （１)求证:CF=DG ； (2）求出∠FHG 的度数.考点： 全等三角形的判定与性质. 分析： （1）在△CBF 和△DBG 中,利用ＳAS 即可证得两个三角形全等，利用全等三角形的对应边相等即可证得; （2）根据全等三角形的对应角相等,即可证得∠DH Ｆ＝∠ＣＢF=６0°，从而求解． 解答: （1)证明:∵在△CBF 和△DBG 中, , ∴△CB Ｆ≌△DBG （SAS)， ∴C Ｆ=DG;(2）解：∵△CBF ≌△DB Ｇ， ∴∠ＢCF=∠ＢDG , 又∵∠CF Ｂ=∠D ＦＨ， ∴∠DH Ｆ=∠C ＢF=6０°, ∴∠F ＨＧ＝1８0°﹣∠ＤH Ｆ＝1８0°﹣60°=120°． 点评: 本题考查了全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键.25.（10分）已知：如图,△ABC 中,∠ＡB Ｃ=45°,ＤＨ垂直平分BC 交ＡB 于点D ，B Ｅ平分∠ＡＢC ，且ＢE ⊥ＡC 于E ，与CD 相交于点F ． （1）求证:BF=A Ｃ; （2)求证:.考点: 全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．专题： 证明题.分析: (１）由ＡS Ａ证△ＢDF ≌△ＣDA,进而可得出第（1)问的结论； (２）在△AB Ｃ中由垂直平分线可得ＡB=BC ，即点E 是AC 的中点，再结合第一解答： 证明：（１）∵ＤＨ垂直平分BC ，且∠ABC ＝４5°，∴B Ｄ＝ＤＣ,且∠BDC=90°，∵∠A+∠A ＢＦ=90°,∠Ａ+∠AC Ｄ＝90°,∴∠ABF=∠ACD,∴△BDF ≌△ＣDA,∴BF ＝AC ．(2）由(1）得BF=AC ，∵ＢE 平分∠ABC,且BE ⊥AC ， ∴在△AB Ｅ和△CB Ｅ中,，∴△ABE ≌△C ＢＥ（AS Ａ), ∴CE=AE ＝AC=B Ｆ.点评： 本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及线段垂直平分线的性质等问题,应熟练掌握．五、解答题（每小题12分．共24分） ２6.（12分）如图，在△ABC 中，Ｄ是ＢＣ是中点,过点D 的直线ＧF 交A Ｃ于点Ｆ,交A Ｃ的平行线B Ｇ于点G ，ＤE ⊥ＤF 交ＡＢ于点E,连接ＥＧ、ＥF. (1)求证：BG=CF ； (２）求证：EG=EF ；（3)请你判断B Ｅ＋CF 与EF 的大小关系,并证明你的结论. 考点: 全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定与性质． 分析： （1）求出∠Ｃ=∠GBD,BD=D Ｃ，根据AS Ａ证出△ＣＦＤ≌△B ＧD 即可. （2）根据全等得出ＧＤ=DF ，根据线段垂直平分线性质得出即可． (3)根据全等得出B Ｇ=ＣＦ,根据三角形三边关系定理求出即可. 解答： (１)证明：∵BG ∥ＡC ，∴∠C ＝∠GB Ｄ， ∵D 是BC 是中点， ∴B Ｄ＝D Ｃ,在△CF Ｄ和△BGD 中∴△CFD ≌△BGD,∴B Ｇ=C Ｆ.（２)证明:∵△CF Ｄ≌△BGD,∴DG=D Ｆ,∵DE ⊥GF, ∴E Ｇ=EF. (3)ＢＥ+CF ＞EF ， 证明：∵△CF Ｄ≌△B ＧD,∴CF=BG , 在△BG Ｅ中,B Ｇ+BE ＞E Ｇ,∵ＥF=EG ， ∴BG+ＣF>E Ｆ.点评: 本题考查了全等三角形的性质和判定,平行线的性质,线段垂直平分线性质，三角形要考查学生的推理能力.２７.(1２分)△ABC 中，AB=AC ，点D 为射线BC 上一个动点(不与B 、C 重合),以ＡD 为一边向AD 的左侧作△ＡDE ，使AD=AE,∠DA Ｅ=∠BAC ，过点Ｅ作BC的平行线，交直线AB 于点F ，连接ＢＥ.（1）如图1，若∠ＢAC=∠ＤＡE=６0°，则△ＢEF 是 等边 三角形; (2)若∠B ＡC=∠ＤＡＥ≠６0° ①如图2,当点D 在线段B Ｃ上移动,判断△B ＥF 的形状并证明；②当点D 在线段BC 的延长线上移动，△B ＥF 是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形.考点： 等腰三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定． 分析: （1)根据题意推出△ＡE Ｄ和△AB Ｃ为等边三角形，然后通过求证△EAB ≌△D ＡＣ，结合平行线的性质，即可推出△EFB 为等边三角形,（2）①根据(１）的推理依据,即可推出△E ＦB 为等腰三角形，②根据题意画出图形，然后根据平行线的性质，通过求证△EAB ≌△DA Ｃ,推出等量关系，即可推出△EFB 为等腰三角形. 解答： 解：(1）∵AB ＝AC ，AD=AE,∠B ＡＣ=∠ＤAE ＝６0°， ∴△ＡED 和△AB Ｃ为等边三角形， ∴∠C ＝∠ABC=60°，∠ＥAB=∠DAC, ∴△ＥAB ≌△DAC ， ∴∠ＥＢA=∠C=６０°, ∵ＥF ∥ＢC,∴∠EFB ＝∠ＡB Ｃ=60°，∵在△E ＦB 中，∠ＥFB=∠E ＢA=６0°， ∴△EFB 为等边三角形,（2)①△BE Ｆ为等腰三角形,∵AB=AC,AD=ＡE ，∠BA Ｃ=∠D ＡＥ, ∴△AED 和△A ＢC 为等腰三角形， ∴∠C=∠ABC ，∠EAB=∠DAC,∴△EA Ｂ≌△DAC ，∴∠EBA=∠C, ∵ＥＦ∥ＢC ， ∴∠ＥＦＢ=∠ABC ， ∵在△EFB 中，∠EFB=∠E ＢA, ∴△E ＦB 为等腰三角形,②AB=AC,点D 为射线ＢC 上一个动点(不与Ｂ、C 重合)，以AD 为一边向A Ｄ的Ｅ,∠ＤＡE=∠BA Ｃ，过点E 作B Ｃ的平行线,交直线AB 于点Ｆ，连接ＢE. ∵△ＢＥF 为等腰三角形,∵AB=ＡC ，ＡD=AE,∠B ＡC=∠D ＡE ， ∴△A ＥD 和△ABC 为等腰三角形, ∴∠ACB=∠ABC ，∠EAB=∠ＤAC, ∴△E ＡB ≌△D ＡC ， ∴∠EBA ＝∠A ＣD, ∴∠EBF ＝∠AC Ｂ， ∵E Ｆ∥BC,∴∠AFE=∠ＡＢＣ， ∵∠ABC=∠ＡCB, ∴∠A ＦE ＝∠ACB ，∵在△E ＦB 中,∠EBF=∠AFE,∴△E ＦB 为等腰三角形． 点评: 本题主要考查等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形根据题意画出图形，通过求证三角形全等，推出等量关系，即可推出结论. ﻬ参与本试卷答题和审题的老师有:ｙaｎgwy;zcx;gbl21０；dbｚ1018;星期八；ｚjx1１１;sd20１1;py1６８;ｋｕaile;HLing;yeyue;ｌhz６9１8；caｉcl；ｌantｉn;ＭMＣＨ;Linaｌiu；zhｊh;ZHAOＪJ(排名不分先后)菁优网2０14年2月１9日。