2022年高考数学(理)一轮复习教师用书：第十二章 坐标系与参数方程 Word版含答案

第1课时 坐标系
1．平面直角坐标系
设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧
x ′＝λ·
x (λ＞0)，y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下，点
P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
2．极坐标系
(1)极坐标与极坐标系的概念
在平面内取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点O 称为极点，射线Ox 称为极轴．平面内任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从射线Ox 到射线OM 的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角．
(2)极坐标与直角坐标的互化
设M 为平面内的一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：
⎩⎨⎧
x ＝ρcos θ
y ＝ρsin θ，或⎩
⎪⎨⎪⎧
ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y
x (x ≠0).
这就是极坐标与直角坐标的互化公式．
3．常见曲线的极坐标方程
曲线
图形
极坐标方程 圆心在极点，半径为r 的圆
ρ＝r (0≤θ＜2π)
圆心为(r,0)，半径为r 的圆
ρ＝2r cos_θ
⎝ ⎛⎭⎪⎫－π
2≤θ＜π2 圆心为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
r ，π2，半径为r 的圆
ρ＝2r sin_θ (0≤θ＜π) 过极点，倾斜角为α的直线
θ＝α(ρ∈R ) 或θ＝π＋α(ρ∈R )
过点(a,0)，与极轴垂直的直线
ρcos θ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π
2＜θ＜π2 过点⎝ ⎛
⎭⎪⎫a ，π2，与极轴平行的直
线
ρsin_θ＝a (0＜θ＜π)
考点一 极坐标与直角坐标的互化
[例1] (1)把点M 的极坐标⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－5，π6化成直角坐标；
(2)把点M 的直角坐标(－3，－1)化成极坐标． 解：(1)∵x ＝－5cos π6＝－52 3，y ＝－5sin π6＝－5
2，
∴点M 的直角坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－5
2 3，－52.
(2)ρ＝
(－3)2
＋(－1)2
＝
3＋1＝2，tan θ＝
－1
－3＝3
3. ∵点M 在第三象限，ρ＞0，∴最小正角θ＝7π
6. 因此，点M 的极坐标是⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2，7π6
[方法引航] (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，肯定要留意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一.
(2)在曲线的方程进行互化时，肯定要留意变量的范围.要留意转化的等价性.
1．点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为( ) A.⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，π3 B.⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，43π C.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2，－π3 D.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2，－43π 解析：选C.由于点P (1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP 与x 轴所成的角为－π
3. 2．若点P 的极坐标为⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，π3，则P 到x 轴的距离为________．
解析：y ＝ρsin θ＝2×sin π
3＝ 3. 3
考点二 直角坐标方程与极坐标方程的互化及应用
[例2] 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．
(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设M ，N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．
解：(1)∵ρcos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ－π3＝1，∴ρcos θ·cos π3＋ρsin θ·sin π3＝1.∴12x ＋32y ＝1.
即曲线C 的直角坐标方程为x ＋3y －2＝0.
令y ＝0，则x ＝2；令x ＝0，则y ＝23
3. ∴M (2,0)，N ⎝
⎛⎭⎪⎫
0，
233. ∴M 的极坐标为(2,0)，N 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
233，π2.
(2)∵M ，N 连线的中点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
1，33，
∴P 的极角为θ＝π
6.
∴直线OP 的极坐标方程为θ＝π
6(ρ∈R )．
[例3] 在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ＋π4＝1，圆C 的圆心的极坐标是
C ⎝ ⎛
⎭⎪⎫1，π4，圆的半径为1. (1)求圆C 的极坐标方程； (2)求直线l 被圆C 所截得的弦长．
解：(1)设O 为极点，OD 为圆C 的直径，A (ρ，θ)为圆C 上的一个动点，则∠AOD ＝π4－θ或∠AOD ＝θ－π4，
OA ＝OD cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ或OA ＝OD cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－π4，
所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－π4.
(2)由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ＋π4＝1，得22ρ(sin θ＋cos θ)＝1，
∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0，
又圆心C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
22，22满足直线l 的方程，
∴直线l 过圆C 的圆心，
故直线被圆所截得的弦长为直径2.
[方法引航] 直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要把握好互化公式，争辩极坐标系下图形的性质，可转化为我们生疏的直角坐标系的情境.
在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；
(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π
4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积． 解：(1)由于x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.
(2)将θ＝π
4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为1
2.
[高考真题体验]
1．(2022·高考全国甲卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
(2)直线l 的参数方程是⎩⎨⎧
x ＝t cos α
y ＝t sin α，(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜
率．
解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2
＋12ρcos θ＋11＝0.
(2)在(1)建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．
设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.
于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.
|AB |＝|ρ1－ρ2|＝
(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝
144cos 2α－44.
由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±15
3. 所以l 的斜率为153或－15
3.
2．(2021·高考课标全国卷Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝4＋5cos t ，
y ＝5＋5sin t ，(t 为参数)，以坐标原点
为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝4＋5cos t
y ＝5＋5sin t ，消去参数t ，化为一般方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x
－10y ＋16＝0.
将⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝ρcos θ
y ＝ρsin θ
，代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的一般方程为x 2＋y 2－2y ＝0.
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，
x 2＋y 2－2y ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0，y ＝2.
所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，π2.
3．(2021·高考陕西卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝3＋12t ，y ＝32t
(t 为参数)．以
原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ. (1)写出⊙C 的直角坐标方程；
(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 解：(1)由ρ＝23sin θ，得ρ2
＝23ρsin θ，
从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫
3＋12t ，32t ，又C (0，3)，
则|PC |＝
⎝ ⎛
⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫32t －32＝ t 2＋12，
故当t ＝0时，|PC |取得最小值， 此时，P 点的直角坐标为(3,0)．
课时规范训练
1．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程为ρ＝2，ρ2
－22ρcos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ－π4＝2.
(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝2知ρ2
＝4，所以x 2
＋y 2
＝4，
由于ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ－π4＝2，
所以ρ2－22ρ⎝ ⎛
⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2，
所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减， 得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1.
化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，
即ρsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ＋π4＝22.
2．将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)求曲线C 的方程；
(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．
解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x 1，y ＝2y 1.
由x 21＋y 21
＝1得x 2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y 22＝1， 故曲线C 的方程为x 2
＋y 2
4＝1.
(2)由⎩⎨
⎧
x 2
＋y 2
4＝1，
2x ＋y －2＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0，y ＝2.
不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，1，所求直线斜率为k ＝12，
于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －12，
化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 故所求直线的极坐标方程为ρ＝
3
4sin θ－2cos θ
.
3．在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．若△AOB 是等边三角形，求实数a 的值．
解：由ρ＝4sin θ，得x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4， 由直线ρsin θ＝a ，得直线的直角坐标方程为y ＝a .
设圆的圆心为O ′，y ＝a 与x 2＋(y －2)2＝4的两交点A ，B 与O 构成等边三角形，如图所示．
由对称性知∠O ′OB ＝30°，OD ＝a . 在Rt △DOB 中，易求DB ＝33a ， ∴B 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
33a ，a .
又∵B 在x 2＋y 2－4y ＝0上， ∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫
33a 2＋a 2－4a ＝0， 解得a ＝3(a ＝0舍)．
4．从极点O 作直线与另始终线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使OM ·OP ＝12. (1)求点P 的轨迹方程；
(2)设R 为l 上的任意一点，求|RP |的最小值．
解：(1)设动点P 的极坐标为(ρ，θ)，M 的极坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12. ∵ρ0cos θ＝4，
∴ρ＝3cos θ，即为所求的轨迹方程． (2)将ρ＝3cos θ化为直角坐标方程， 得x 2＋y 2＝3x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫322，
知P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫
32，0为圆心，半径为32的圆．
直线l 的直角坐标方程是x ＝4. 结合图形(图略)易得|RP |的最小值为1.
第2课时 参数方程
1．参数方程和一般方程的互化
(1)曲线的参数方程和一般方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到一般方程．
(2)假如知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入一般方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎨⎧
x ＝f (t )
y ＝g (t )，就是曲线的参数方程．
2．常见曲线的参数方程和一般方程
点的轨迹 一般方程 参数方程
直线
y －y 0＝tan α(x －x 0)
⎩⎨⎧ x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α，(t 为参数) 圆
x 2＋y 2＝r 2 ⎩⎨⎧ x ＝r cos θ，y ＝r sin θ
(θ为参数) 椭圆
x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0) ⎩⎨⎧
x ＝a cos φ，y ＝b sin φ
(φ为参数) 双曲线 x 2a －y 2
b 2＝1，(a ＞0，b ＞0)
⎩⎨⎧
x ＝a sec φy ＝b tan φ
，(φ为参数) 抛物线 y 2＝2px (p ＞0)
⎩⎨⎧
x ＝2pt 2，y ＝2pt
(t 为参数)
考点一 参数方程与一般方程的互化及应用
命题点
1.求参数方程
2.消参数化为一般方程
[例1] (1)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．
解：(1)圆的半径为1
2，
记圆心为C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，0，连接CP ，
则∠PCx ＝2θ，故x P ＝12＋1
2cos 2θ＝cos 2θ， y P ＝1
2sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．
所以圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝cos 2θ，
y ＝sin θcos θ
(θ为参数)．
(2)求直线⎩⎨⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎨⎧
x ＝3cos α
y ＝3sin α，(α为参数)的交点个数．
解：将⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2＋t ，
y ＝－1－t 消去参数t 得直线x ＋y －1＝0；
将⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3cos α，
y ＝3sin α，消去参数α得圆x 2＋y 2＝9. 又圆心(0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝22＜3. 因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．
[方法引航] 1.由一般方程求参数方程，要依据参数的意义建立关系．
2．由参数方程得到一般方程的思路是消参，消去参数的方法要视状况而定，一般有三种状况：
(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数，或直接利用加减消元法消参； (2)利用三角恒等式消去参数，一般是将参数方程中的两个方程分别变形，使得一个方程一边只含有sin θ，另一个方程一边只含有cos θ，两个方程分别平方后两式左右相加消去参数； (3)依据参数方程本身的结构特征，选用一些机敏的方法从整体上消去参数.,将参数方程化为一般方程时，要留意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必需依据参数的取值范围，确定函数
f (t )和
g (t )的值域，即x 和y 的取值范围.
1．若将本例(1)改为：圆上的任一点P 与圆心的连线的旋转角为参数θ，求圆的参数方程．
解：圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，0，r ＝12.
设P (x ，y )，则x ＝12＋1
2cos θ， y ＝1
2sin θ(0≤θ≤2π) ∴圆的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝12＋12cos θ，y ＝12sin θ.
2．若将本例(2)的曲线变为⎩⎨⎧
x ＝3cos α
y ＝4sin α，其余不变，求交点个数．
解：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3cos α
y ＝4sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧
x
3＝cos α，
y 4＝sin α.
∴x 29＋y 2
16＝1.
而直线x ＋y －1＝0，过点(1,0)，点在椭圆x 29＋y 2
16＝1内，故直线与曲线有两个交点． 考点二 极坐标方程与参数方程的综合应用
命题点
1.直线与圆的方程应用
2.直线与椭圆的方程应用
[例2] (1)(2022·高考全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝a cos t ，
y ＝1＋a sin t ，(t
为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ. ①说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；
②直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .
解：①消去参数t 得到C 1的一般方程为x 2
＋(y －1)2
＝a 2
.所以C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．
将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的一般方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0. ②曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组
⎩⎪⎨⎪⎧
ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，
ρ＝4cos θ.
若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1. 当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 所以a ＝1.
(2)(2022·高考全国丙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参
数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ＋π4＝2 2.
①写出C 1的一般方程和C 2的直角坐标方程；
②设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． 解：①C 1的一般方程为x 23＋y 2
＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.
②由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．由于C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P
到C 2的距离d (α)的最小值， d (α)＝
|3cos α＋sin α－4|
2
＝2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫α＋π3－2.
当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
32，12.
[方法引航] 对于曲线方程为极坐标方程或参数方程时，一般都化为平面直角坐标系中的一般方程f (x ，y )＝0再应用.假如直接应用，要明确极坐标(ρ，θ)及参数的意义.
1．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝3－2
2t ，
y ＝5＋2
2t
(t 为参数)．在极坐标系(与直角
坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.
(1)求圆C 的直角坐标方程；
(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(3，5)，求|P A |＋|PB |. 解：(1)由ρ＝25sin θ，得ρ2＝25ρsin θ. ∴x 2＋y 2＝25y ，即x 2＋(y －5)2＝5.
(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程．
得⎝
⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.
由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝ 4.
又直线l 过点P (3，5)，
故由上式及t 的几何意义得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.
2．(2021·甘肃三校联考)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，
在极坐标系 (与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝6sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；
(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(1,2)，求|P A |＋|PB |的最小值． 解：(1)由ρ＝6sin θ得ρ2＝6ρsin θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝6y ，即x 2＋(y －3)2＝9. 所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －3)2＝9.
(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得t 2＋2(cos α－sin α)t －7＝0. 由已知得Δ＝(2cos α－2sin α)2
＋4×7＞0，所以可设t 1，t 2是上述方程的两根，
则⎩⎪⎨⎪⎧
t 1＋t 2＝－2(cos α－sin α)，
t 1·t 2＝－7.由题意得直线l 过点(1,2)，结合t 的几何意义得 |P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1－t 2| ＝(t 1＋t 2)2
－4t 1t 2＝
4(cos α－sin α)2
＋28 ＝
32－4sin 2α≥
32－4＝27.
所以|P A |＋|PB |的最小值为27.
[高考真题体验]
1．(2021·高考课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧
x ＝t cos α，
y ＝t sin α，
(t 为参数，t ≠0)，
其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.
(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；
(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．
解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.
联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0，
y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3
2，y ＝32.
所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，32.
(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)． 所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α－π3.
当α＝5π
6时，|AB |取得最大值，最大值为4.
2．(2022·高考课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2.
(1)求C 的参数方程；
(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，依据(1)中你得到的参数方程，确定D 点的坐标．
解：(1)C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)． 可得C 的参数方程为
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋cos t ，
y ＝sin t
(t 为参数，0≤t ≤π)． (2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．由于C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同．
tan t ＝3，t ＝π
3.
故D 的直角坐标为⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，32.
3．(2022·高考课标全国卷Ⅰ)已知曲线C ：x 24＋y 2
9＝1，直线l ：⎩⎨⎧
x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．
(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的一般方程；
(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值． 解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．
直线l 的一般方程为2x ＋y －6＝0.
(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝5
5|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝4
3. 当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为
225
5
. 当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为25
5.
4．(2021·高考课标全国卷Ⅱ)已知动点P ，Q 都在曲线C ：⎩⎨⎧
x ＝2cos t ，
y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数
分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程；
(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并推断M 的轨迹是否过坐标原点．
解：(1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)． 故M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝cos α＋cos 2αy ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0＜α＜2π)．
(2)M 点到坐标原点的距离d ＝
x 2＋y 2＝
2＋2cos α(0＜α＜2π)．
当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．
课时规范训练
1．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧
x ＝t cos α，
y ＝t sin α，
(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π.在以O 为极点，
x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ. (1)求C 2与C 3交点的直角坐标；
(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．
解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.
联立⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0，
y ＝0或⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝3
2，y ＝32.
所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，32.
(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．
所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α－π3.
当α＝5π
6时， |AB |取得最大值，最大值为4.
2．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－π4＝2 2.
(1)求C 1与C 2交点的极坐标；
(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3
＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．
解：(1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.
解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＝0，y 1＝4，
⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＝2，
y 2＝2.
所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝ ⎛
⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4.
注：极坐标系下点的表示不唯一．
(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)． 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0， 由参数方程可得y ＝b 2x －ab
2＋1. 所以⎩⎪⎨⎪⎧
b 2＝1，－ab
2＋1＝2，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－1，
b ＝2.
3．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．
(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；
(2)圆C 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝1＋cos α，
y ＝sin α
(α为参数)，试推断直线l 与圆C 的位置关系．
解：(1)由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－π4＝a 上，可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin
θ＝2，
从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.
(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1， 由于圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝2
2＜1，
所以直线l 与圆C 相交．
4．在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：⎩⎨⎧
x ＝2＋t cos α，
y ＝3＋t sin α(t 为参数)与曲线C ：
⎩⎨⎧
x ＝2cos θ，y ＝sin θ
(θ为参数)相交于不同的两点A ，B . (1)若α＝π
3，求线段AB 的中点M 的坐标；
(2)若|P A |·|PB |＝|OP |2，其中P (2，3)，求直线l 的斜率． 解：(1)将曲线C 的参数方程化为一般方程为x 24＋y 2
＝1. 当α＝π
3时，设点M 对应的参数为t 0.
直线l 的方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2＋1
2t ，
y ＝
3＋3
2t
(t 为参数)，
代入曲线C 的一般方程x 24＋y 2
＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0， 设直线l 上的点A ，B 对应参数分别为t 1，t 2. 则t 0＝t 1＋t 22＝－2813，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－313.
(2)将⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α代入曲线C 的一般方程x 24＋y 2
＝1，
得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(83sin α＋4cos α)t ＋12＝0， 由于|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝12
cos 2α＋4sin 2
α
， |OP |2＝7， 所以
12cos 2α＋4sin 2α
＝7，得tan 2
α＝516. 由于Δ＝32cos α(23sin α－cos α)＞0，
故tan α＝54.所以直线l 的斜率为54.。