2020版新高考二轮复习理科数学专题强化训练(十四) 解析几何+Word版含解析

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2020高考数学(理科)二轮专题复习课标通用版跟踪检测：解析几何含答案

(2)过点A(1,0)且斜率不为0的直线l与椭圆交于M，N两点，记MN中点为B，坐标原点为O，直线BO交椭圆于P，Q两点，当四边形MPNQ的面积为时，求直线l的方程．
解析(1)设椭圆的焦距为2c，则＝，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝ .因为4× ×b× b＝2 ，所以b＝1，a＝，故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
所以弦长|PQ|＝2 ＝2 .
不妨设点M在直线OB：y＝－ x上方，点N在直线OB：y＝－ x下方，即 x1＋y1>0， x2＋y2<0.
所以点M(x1，y1)到直线PQ的距离为d1＝＝＝，点N(x2，y2)到直线PQ的距离为d2＝＝－ .
所以d1＋d2＝
＝＝2 .
所以面积S＝ |PQ|·(d1＋d2)＝ ·2 ·2 ＝2 ＝ ⇒m＝±2.
(2)设A ，B ，S(xS，yS)．
因为－＝－＝，所以＝2，所以y3－y4＝8，
因为线段AB的中点的纵坐标为8，所以y3＋y4＝16，
联立解得y3＝12，y4＝4，所以A(36,12)，B(4,4)．
设直线SA的斜率为k，则直线SA的方程为y－12＝k(x－36)，
由消去x得－与y轴负半轴的交点，经过F的直线l与椭圆交于点M，N，经过B且与l平行的直线与椭圆交于点A，若|MN|＝ |AB|，求直线l的方程．
解析(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
依题意知，c＝1，e＝＝，所以a＝，b2＝a2－c2＝1，
所以所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
A． B．
C．2D．
D解析抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线l的方程为x＝－1，所以|OF|＝1，又双曲线的渐近线方程为y＝± x，不妨设A ，B ，所以|AB|＝＝4|OF|＝4，所以b＝2a，所以e＝＝＝ .故选D项．

2020届高考数学二轮复习专题五解析几何专题强化练理

第1讲直线与圆A 级基础通关一、选择题1．已知直线l ：x cos α＋y sin α＝1(α∈R)与圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)相交，则r 的取值范围是( )A ．0＜r ≤1B ．0＜r ＜1C ．r ≥1D ．r ＞1解析：圆心到直线的距离为d ＝1cos 2α＋sin 2α＝1，故r ＞1. 答案：D2．已知命题p ：“m ＝－1”，命题q ：“直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直”，则命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要解析：“直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直”的充要条件是1×1＋(－1)·m 2＝0⇔m ＝±1，所以命题p 是命题q 的充分不必要条件．答案：A3．(2019·广东湛江一模)已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝72，若直线x ＋y －m ＝0垂直于圆C 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则m ＝( )A ．2或10B ．4或8C ．4或6D ．2或4解析：圆C ：(x －3)2＋(y －3)3＝72的圆心C 的坐标为(3，3)，半径r ＝62，因为直线x ＋y －m ＝0垂直于圆C 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，所以圆心到直线的距离为22，则有d ＝|6－m |1＋1＝22，解得m ＝2或m ＝10.答案：A4．直线ax －by ＝0与圆x 2＋y 2－ax ＋by ＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离D ．不能确定解析：圆的方程化为标准方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋b 22＝a 2＋b 24.所以圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－b 2，半径r ＝a 2＋b 22.所以圆心到直线ax －by ＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 22＋b 22a 2＋b 2＝a 2＋b 22＝r .所以直线与圆相切．答案：B5．(2019·安徽十校联考)过点P (2，1)作直线l 与圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋a ＝0交于A ，B 两点，若P 为弦AB 中点，则直线l 的方程( )A ．y ＝－x ＋3B ．y ＝2x －3C ．y ＝－2x ＋3D ．y ＝x －1解析：圆C 的标准方程(x －1)2＋(y －2)2＝5－a ，知圆心C (1，2)，因为P (2，1)是弦AB 的中点，则PC ⊥l .所以k CP ＝1－22－1＝－1，所以直线l 的斜率k ＝1.故直线l 的方程为y －1＝x －2，即y ＝x －1. 答案：D6．(2019·广东天河一模)已知圆C 的方程为x 2－2x ＋y 2＝0，直线l ：kx －y ＋2－2k ＝0与圆C 交于A ，B 两点，则当△ABC 面积最大时，直线l 的斜率k 为( )A ．1B ．6C ．1或7D ．2或6解析：由x 2－2x ＋y 2＝0，得(x －1)2＋y 2＝1，则圆的半径r ＝1，圆心C (1，0)，直线l ：kx －y ＋2－2k ＝0与圆C 交于A ，B 两点，当CA 与CB 垂直时，△ABC 面积最大，此时△ABC 为等腰直角三角形，圆心C 到直线AB 的距离d ＝22，则有|2－k |1＋k2＝22，解得k ＝1或k ＝7. 答案：C 二、填空题7．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．解析：由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆．答案：(－2，－4) 58．一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．解析：由题意知，椭圆顶点的坐标为(0，2)，(0，－2)，(－4，0)，(4，0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过顶点(0，2)，(0，－2)，(4，0)．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，（4－m ）2＝r 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32.r 2＝254.所以该圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝2549．设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若∠FAC ＝120°，则圆的方程为_____________________________________________________．解析：由题意知该圆的半径为1，设圆心C (－1，a )(a ＞0)，则A (0，a )．又F (1，0)，所以AC →＝(－1，0)，AF →＝(1，－a )．由题意知AC →与AF →的夹角为120°，得cos 120°＝－11×1＋a 2＝－12，解得a ＝ 3. 所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1. 答案：(x ＋1)2＋(y －3)2＝110．(2019·河北衡水二模)已知直线l 1过点P (3，0)，直线l 1与l 2关于x 轴对称，且l 2过圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的圆心，则圆心C 到直线l 1的距离为________．解析：由题意可知，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，所以C (1，1)，则l 2的斜率k CP ＝1－01－3＝－12，因为l 1与l 2关于x 轴对称，所以直线l 1的斜率k ＝12，所以l 1：y ＝12(x －3)，即x －2y －3＝0，所以圆心C 到直线l 1的距离d ＝|1－2－3|1＋4＝455.答案：455B 级能力提升11．(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5，0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB →·CD →＝0，则点A 的横坐标为________．解析：设A (a ，2a )，则a >0.又B (5，0)，故以AB 为直径的圆的方程为(x －5)(x －a )＋y (y －2a )＝0. 由题意知C (a ＋52，a )．由⎩⎪⎨⎪⎧（x －5）（x －a ）＋y （y －2a ）＝0，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝2a .所以D (1，2)．又AB →·CD →＝0，AB →＝(5－a ，－2a )，CD →＝(1－a ＋52，2－a )，所以(5－a ，－2a )·(1－a ＋52，2－a )＝52a 2－5a －152＝0，解得a ＝3或a ＝－1. 又a >0，所以a ＝3. 答案：312.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2，4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且|BC |＝|OA |，求直线l 的方程．解：圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M (6，7)，半径为5.(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)．因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0＜y 0＜7，圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1. (2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0，则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5. 因为|BC |＝|OA |＝22＋42＝25，又|MC |2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|BC |22，即25＝（m ＋5）25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.第2讲椭圆、双曲线、抛物线A 级基础通关一、选择题1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，则( )A ．a 2＝2b 2B ．3a 2＝4b 2C ．a ＝2bD ．3a ＝4b解析：由e ＝c a ＝12，则a ＝2c .又a 2＝b 2＋c 2，所以3a 2＝4b 2. 答案：B2．(2019·天一联考)设双曲线C ：x 28－y 2m＝1的左右焦点分别为F 1、F 2，过点F 1的直线与双曲线C 交于M ，N 两点，其中M 在左支上，点N 在右支上，若∠F 2MN ＝∠F 2NM ，则|MN |＝( )A ．8B ．4C ．8 2D ．4 2解析：由∠F 2MN ＝∠F 2NM ，知|F 2M |＝|F 2N |，又|MF 2|－|MF 1|＝42，|NF 1|－|NF 2|＝4 2. 两式相加，得|NF 1|－|MF 1|＝82，故|MN |＝|NF 1|－|MF 1|＝8 2. 答案：C3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )A.35B.57C.45D.67解析：如图所示，在△AFB 中，|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，由余弦定理得|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB ||BF | cos ∠ABF ＝100＋64－2×10×8×45＝36，所以|AF |＝6，∠BFA ＝90°，设F ′为椭圆的右焦点，连接BF ′，AF ′. 根据对称性可得四边形AFBF ′是矩形．所以|BF ′|＝6，|FF ′|＝10，所以2a ＝8＋6，2c ＝10，解得a ＝7，c ＝5，所以e ＝c a ＝57.答案：B4．(2019·长郡中学模拟)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若点F 2关于双曲线渐近线的对称点A 满足∠F 1AO ＝∠AOF 1(O 为坐标原点)，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±2xC ．y ＝±2xD ．y ＝±x解析：设F 2A 与渐近线y ＝b ax 交于点M ，且O ，M 分别为F 1F 2、F 2A 的中点，故OM ∥F 1A ，则F 1A ⊥F 2A ，OA ＝OF 1＝c .又∠F 1AO ＝∠AOF 1，所以△F 1OA 为正三角形，所以∠MOF 2＝π3，故双曲线的渐近线为y ＝±3x . 答案：A5．(2019·全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2B. 3C ．2D. 5解析：设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 的坐标为(c ，0)．由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设PQ 与OF 交于点M ，连接OP ，如图所示．则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c2，由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2，得2·⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2，故c a＝2，离心率e ＝ 2. 答案：A 二、填空题6．(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－y 2b2＝1(b ＞0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是________．解析：因为双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)经过点(3，4)，则9－16b2＝1(b ＞0)，解得b ＝2，即双曲线方程为x 2－y 22＝1，因此双曲线的渐近线方程为y ＝±2x . 答案：y ＝±2x7．(2019·珠海调研)已知直线l 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线，半径为3的圆过抛物线顶点O 和焦点F ，且与直线l 相切，则抛物线的方程为________．解析：由已知圆心在OF 的中垂线上，故圆心到准线的距离为34p ，所以34p ＝3，所以p ＝4，故抛物线的方程为y 2＝8x .答案：y 2＝8x8．(2019·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________．解析：设F 1为椭圆的左焦点，分析可知点M 在以F 1为圆心，焦距为半径的圆上，即在圆(x ＋4)2＋y 2＝64上．因为点M 在椭圆x 236＋y 220＝1上，所以联立方程可得⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋4）2＋y 2＝64，x 236＋y 220＝1，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝±15.又因为点M 在第一象限，所以点M 的坐标为(3，15)．答案：(3，15) 三、解答题9．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解：(1)由题意得F (1，0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k2.由题设知4k 2＋4k2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，（x 0＋1）2＝（y 0－x 0＋1）22＋16. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.10．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0)．(1)证明：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋FA →＋FB →＝0. 证明：|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差． (1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1. 两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0. 由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m.①由题设得0<m <32，故k <－12.(2)解：由题意得F (1，0)．设P (x 3，y 3)，则 (x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0，0)．由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0.又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P (1，－32)，|FP →|＝32，于是|FA →|＝（x 1－1）2＋y 21＝（x 1－1）2＋3（1－x 214）＝2－x 12.同理|FB →|＝2－x 22.所以|FA →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3.故2|FP →|＝|FA →|＋|FB →|，即|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列．设该数列的公差为d ，则2|d |＝||FB →|－|FA →||＝12|x 1－x 2|＝12（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 .②将m ＝34代入①得k ＝－1，所以l 的方程为y ＝－x ＋74，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x ＋14＝0.故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝128，代入②解得|d |＝32128.所以该数列的公差为32128或－32128.B 级能力提升11．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1B.x 23＋y 22＝1C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．连接F 1A ，令|F 2B |＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝3m .由椭圆的定义知，4m ＝2a ，得m ＝a2，故|F 2A |＝a ＝|F 1A |，则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点．如图．不妨设A (0，－b )，由F 2(1，0)，AF 2→＝2F 2B →，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，b 2. 由点B 在椭圆上，得94a 2＋b 24b2＝1，得a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2，椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.答案：B12．(2019·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为55.(1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上，若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率．解：(1)设椭圆的半焦距为c ，依题意2b ＝4，得b ＝2. 又e ＝c a ＝55，且a 2＝b 2＋c 2＝4＋c 2，解之得a ＝5，c ＝1. 所以椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.(2)由题意，设P (x P ，y P )(x P ≠0)，M (x M ，0)．设直线PB 的斜率为k (k ≠0)，又B (0，2)，则直线PB 的方程为y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 25＋y 24＝1，整理得(4＋5k 2)x2＋20kx ＝0，可得x P ＝－20k4＋5k2，代入y ＝kx ＋2得y P ＝8－10k24＋5k2，进而直线OP 的斜率为y P x P ＝4－5k 2－10k.在y ＝kx ＋2中，令y ＝0，得x M ＝－2k.由题意得N (0，－1)，所以直线MN 的斜率为－k2.由OP ⊥MN ，得4－5k 2－10k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2＝－1，化简得k 2＝245，从而k ＝±2305.所以，直线PB 的斜率为2305或－2305.第3讲圆锥曲线中的热点问题A 级基础通关一、选择题1．(2017·全国卷Ⅰ改编)椭圆C ：x 23＋y 2m＝1的焦点在x 轴上，点A ，B 是长轴的两端点，若曲线C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则实数m 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[1，3)C ．(0，3)D ．(0，1]解析：依题意，当0＜m ＜3时，焦点在x 轴上，要在曲线C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则a b≥tan 60°，即3m≥3，解得0＜m ≤1.答案：D2．(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( )A ．1－32B ．2－ 3C.3－12D.3－1解析：在△F 1PF 2中，PF 1⊥PF 2，∠PF 2F 1＝60°. 由|F 1F 2|＝2c ，得|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c .由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，即(3＋1)c ＝2a . 故椭圆的离心率e ＝c a＝3－1. 答案：D3．若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF |的最小值为( ) A ．2B.12C.14D.18解析：根据题意，抛物线y ＝2x 2上，设P 到准线的距离为d ，则有|PF |＝d ，抛物线的方程为y ＝2x 2，即x 2＝12y ，其准线方程为y ＝－18，所以当点P 在抛物线的顶点时，d 有最小值18，即|PF |min ＝18. 答案：D4．(2019·天津卷)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C ．2 D. 5解析：由已知易得，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，准线l ：x ＝－1，所以|OF |＝1. 又双曲线的两条渐近线的方程为y ＝±b ax ，不妨设点A ⎝⎛⎭⎪⎫－1，b a ，B ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－b a ，所以|AB |＝2b a ＝4|OF |＝4，所以b a＝2，即b ＝2a ，所以b 2＝4a 2.又因为c 2＝a 2＋b 2，所以c 2＝5a 2，所以e ＝c a＝ 5. 答案：D5．(2019·安徽六安一中模拟)点P 在椭圆C 1：x 24＋y 23＝1上，C 1的右焦点为F 2，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋6x －8y ＋21＝0上，则|PQ |－|PF 2|的最小值为( )A ．42－4B ．4－4 2C ．6－2 5D ．25－6解析：设椭圆的左焦点为F 1(－1，0)．则|PQ |－|PF 2|＝|PQ |－(2a －|PF 1|)＝|PQ |＋|PF 1|－4，故要求|PQ |－|PF 2|的最小值．即求|PQ |＋|PF 1|的最小值．又圆C 2的半径r ＝2，圆心C 2(－3，4)，所以(|PQ |＋|PF 1|)min ＝|C 2F 1|－r ＝22＋（－4）2－2＝25－2.故|PQ |－|PF 2|的最小值为25－6. 答案：D 二、填空题6．(2019·广东六校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点为F 1、F 2，在双曲线上存在点P 满足2|PF 1→＋PF 2→|≤|F 1F 2→|，则此双曲线的离心率e 的取值范围是________．解析：由于O 是F 1F 2的中点，得PO →＝12(PF 1→＋PF 2→)．因为双曲线上的存在点P 满足2|PF 1→＋PF 2→|≤|F 1F 2→|，则4|PO →|≤2c .由于|PO →|≥a ，知4a ≤2c ，所以e ≥2. 答案：[2，＋∞)7．已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作x 轴，y 轴垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________．解析：不妨设A (x 1，y 1)(y 1＞0)，B (x 2，y 2)(y 2＜0)．则|AC |＋|BD |＝x 2＋y 1＝y 224＋y 1.又y 1y 2＝－p 2＝－4，所以|AC |＋|BD |＝y 224－4y 2(y 2＜0)．设g (x )＝x 24－4x ，g ′(x )＝x 3＋82x2，令g ′(x )＜0，得x ＜－2，令g ′(x )＞0，得－2＜x ＜0.所以g (x )在(－∞，－2)上递减，在(－2，0)上递增．所以当x ＝－2，即y 2＝－2时，|AC |＋|BD |取最小值为3. 答案：38．(2019·浙江卷)已知椭圆x 29＋y 25＝1的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，|OF |为半径的圆上，则直线PF 的斜率是________．解析：如图，左焦点F (－2，0)，右焦点F ′(2，0)．线段PF 的中点M 在以O (0，0)为圆心，2为半径的圆上，因此OM ＝2. 在△FF ′P 中，OM 12PF ′，所以PF ′＝4.根据椭圆的定义，得PF ＋PF ′＝6，所以PF ＝2. 又因为FF ′＝4，所以在Rt △MFF ′中，tan ∠PFF ′＝MF ′MF ＝FF ′2－MF 2MF＝15，故直线PF 的斜率是15. 答案：15 三、解答题9．已知曲线C ：y 2＝4x ，曲线M ：(x －1)2＋y 2＝4(x ≥1)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)若OA →·OB →＝－4，求证：直线l 恒过定点；(2)若直线l 与曲线M 相切，求PA →·PB →(点P 坐标为(1，0))的最大值． (1)证明：设l ：x ＝my ＋n ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，y 2＝4x ，得y 2－4my －4n ＝0. 所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4n . 所以x 1＋x 2＝4m 2＋2n ，x 1x 2＝n 2.由OA →·OB →＝－4，得x 1x 2＋y 1y 2＝n 2－4n ＝－4，解得n ＝2. 所以直线l 方程为x ＝my ＋2，所以直线l 恒过定点(2，0)．(2)解：因为直线l 与曲线M ：(x －1)2＋y 2＝4(x ≥1)相切，所以|1－n |1＋m2＝2，且n ≥3，整理得4m 2＝n 2－2n －3(n ≥3)．①又点P 坐标为(1，0)，所以由已知及①，得 PA →·PB →＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2) ＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2 ＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2 ＝n 2－4m 2－2n ＋1－4n ＝n 2－4m 2－6n ＋1＝4－4n . 又y ＝4－4n (n ≥3)是减函数，所以当n ＝3时，y ＝4－4n 取得最大值－8. 故PA →·PB →的最大值为－8.10．(2019·惠州调研)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，短轴长为2 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点A (0，4)的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，F 是椭圆C 的上焦点．问：是否存在直线l ，使得S △MAF ＝S △MNF ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知c a ＝12，b ＝3，且a 2＝b 2＋c 2，解之得a 2＝4，b 2＝3.所以椭圆C 的方程为y 24＋x 23＝1.(2)存在．理由如下：由题意可知l 的斜率一定存在，设l 为y ＝kx ＋4，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋4，y 24＋x 23＝1，⇒(3k 2＋4)x 2＋24kx ＋36＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（24k ）2－144（3k 2＋4）＞0， ①x 1＋x 2＝－24k 3k 2＋4， ②x 1x 2＝363k 2＋4， ③由S MAF ＝S △MNF ，知M 为线段AN 的中点，所以x 2＝2x 1，④ 将④代入②得x 1＝－8k 3k 2＋4；④代入③得x 21＝183k 2＋4. 从而可得k 2＝365，且满足①式，所以k ＝±655.因此存在直线l 为6x －5y ＋45＝0或6x ＋5y －45＝0满足题意．B 级能力提升11．(2019·华南师大检测)已知椭圆D 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，且长轴长是短轴长的2倍．(1)求椭圆D 的标准方程；(2)设P (2，0)，过椭圆D 左焦点F 的直线l 交D 于A 、B 两点，若对满足条件的任意直线，不等式PA →·PB →＝λ(λ∈R)恒成立，求λ的最小值．解：(1)依题意，c ＝1，a ＝2b ，又a 2＝b 2＋c 2，得2b 2＝b 2＋1，所以b 2＝1，a 2＝2.所以椭圆D 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则PA →·PB →＝(x 1－2，y 1)·(x 2－2，y 2)＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2，当直线l 垂直于x 轴时，x 1＝x 2＝－1，y 1＝－y 2且y 21＝12，此时PA →＝(－3，y 1)，PB →＝(－3，y 2)＝(－3，－y 1)，所以PA →·PB →＝(－3)2－y 21＝172.当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l ：y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x 2＋2y 2＝2，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k2，所以PA →·PB →＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝(1＋k 2)x 1x 2＋(k 2－2)(x 1＋x 2)＋4＋k 2＝(1＋k 2)2k 2－21＋2k 2－(k 2－2)·4k 21＋2k 2＋4＋k 2＝17k 2＋22k 2＋1＝172－132（2k 2＋1）＜172. 要使不等式PA →·PB →≤λ(λ∈R)恒成立，只需λ≥(PA →·PB →)max ，故λ的最小值为172.12．设椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为A (－1，0)，B (1，0)，C 为椭圆M 上的点，且∠ACB ＝π3，S △ABC ＝33. (1)求椭圆M 的标准方程；(2)设过椭圆M 右焦点且斜率为k 的动直线与椭圆M 相交于E ，F 两点，探究在x 轴上是否存在定点D ，使得DE →·DF →为定值？若存在，试求出定值和点D 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝CA 2＋CB 2－2CA ·CB ·cos C ＝(CA ＋CB )2－3CA ·CB ＝4.又S △ABC ＝12CA ·CB ·sin C ＝34CA ·CB ＝33，所以CA ·CB ＝43，代入上式得CA ＋CB ＝22，所以椭圆长轴2a ＝22，焦距2c ＝AB ＝2，所以b ＝1. 所以椭圆M 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线方程y ＝k (x －1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k （x －1），消去y 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，Δ＝8k 2＋8＞0，所以x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k2.假设x 轴上存在定点D (x 0，0)使得DE →·DF →为定值．所以DE →·DF →＝(x 1－x 0，y 1)·(x 2－x 0，y 2) ＝x 1x 2－x 0(x 1＋x 2)＋x 20＋y 1y 2＝x 1x 2－x 0(x 1＋x 2)＋x 20＋k 2(x 1－1)(x 2－1) ＝(1＋k 2)x 1x 2－(x 0＋k 2)(x 1＋x 2)＋x 20＋k 2＝（2x 20－4x 0＋1）k 2＋（x 20－2）1＋2k2要使DE →·DF →为定值，则DE →·DF →的值与k 无关，所以2x 20－4x 0＋1＝2(x 20－2)，解得x 0＝54，此时DE →·DF →＝－716为定值，定点为⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0.满分示范课——解析几何解析几何部分知识点多，运算量大，能力要求高，在高考试题中大都是在压轴题的位置出现，是考生“未考先怕”的题型之一，不是怕解题无思路，而是怕解题过程中繁杂的运算．在遵循“设——列——解”程序化运算的基础上，应突出解析几何“设”的重要性，以克服平时重思路方法、轻运算技巧的顽疾，突破如何避繁就简这一瓶颈．【典例】 (满分12分)(2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2，0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB .[规范解答] (1)由已知得F (1，0)，l 的方程为x ＝1. 把x ＝1代入椭圆方程x 22＋y 2＝1，得点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－22. 又M (2，0)，所以AM 的方程为y ＝－22x ＋2或y ＝22x － 2. (2)当l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以∠OMA ＝∠OMB .当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＜2，x 2＜2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ＋k MB ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2.由y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)得k MA ＋k MB ＝2kx 1x 2－3k （x 1＋x 2）＋4k（x 1－2）（x 2－2）.将y ＝k (x －1)代入x 22＋y 2＝1得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0. 所以x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1.则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k2k 2＋1＝0. 从而k MA ＋k MB ＝0，故MA ，MB 的倾斜角互补．所以∠OMA ＝∠OMB . 综上，∠OMA ＝∠OMB .高考状元满分心得1．得步骤分：抓住得分点的步骤，“步步为赢”，求得满分．如第(1)问求出点A 的坐标，第(2)问求k MA ＋k MB ＝0，判定MA ，MB 的倾斜角互补． 2．得关键分：解题过程中不可忽视关键点，有则给分，无则没分．如第(1)问中求出直线AM 的方程，第(2)问讨论直线与坐标轴是否垂直，将直线y ＝k (x －1)与x 22＋y 2＝1联立得(2k2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.3．得计算分：解题过程中计算准确是满分的根本保证．如第(1)问求对点M 坐标与直线AM 的方程；第(2)问中正确运算出x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，求出k MA ＋k MB ＝0，否则将导致失分．[解题程序] 第一步：由椭圆方程，求焦点F 及直线l . 第二步：求点A 的坐标，进而得直线AM 的方程．第三步：讨论直线的斜率为0或不存在时，验证∠OMA ＝∠OMB .第四步：联立方程，用k 表示x 1＋x 2与x 1x 2. 第五步：计算k MA ＋k MB ＝0，进而得∠OMA ＝∠OMB . 第六步：反思总结，规范解题步骤． [跟踪训练]1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴长等于23，椭圆上的点到右焦点F 最远距离为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，过F 的直线与C 交于A 、B 两点(A 、B 不在x 轴上)，若OE →＝OA →＋OB →，且E 在椭圆上，求四边形AOBE 面积．解：(1)由题意，2b ＝23，知b ＝ 3.又a ＋c ＝3，a 2＝b 2＋c 2＝3＋c 2，所以可得a ＝2，且c ＝1.因此椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)F (1，0)．直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程：x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1，得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0. 由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4. 故AB 的中点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫43m 2＋4，－3m 3m 2＋4. 又OA →＋OB →＝2ON →＝OE →，故E 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫83m 2＋4，－6m 3m 2＋4. 因为E 点在椭圆上，所以14×⎝ ⎛⎭⎪⎫83m 2＋42＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 3m 2＋42＝1，化简得9m 4＋12m 2＝0，故m 2＝0，此时直线AB ：x ＝1，S 四边形AOBE ＝2S △AOE ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×32＝3. 2．(2019·长沙模拟一中)设椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，定义椭圆C 的“相关圆”E 的方程为x 2＋y 2＝a 2b 2a 2＋b 2.若抛物线x 2＝4y 的焦点与椭圆C 的一个焦点重合，且椭圆C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形．(1)求椭圆C 的方程和“相关圆”E 的方程；(2)过“相关圆”E 上任意一点P 的直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于A ，B 两点．O 为坐标原点，若OA ⊥OB ，证明原点O 到直线AB 的距离是定值，并求m 的取值范围．解：(1)因为抛物线x 2＝4y 的焦点为(0，1)．依题意椭圆C 的一个焦点为(0，1)，知c ＝1，又椭圆C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，则b ＝c ＝1. 故椭圆C 的方程为y 22＋x 2＝1，“相关圆”E 的方程为x 2＋y 2＝23.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m，y 22＋x 2＝1，得(2＋k 2)x 2＋2kmx ＋m 2－2＝0，Δ＝4k 2m 2－4(2＋k 2)(m 2－2)＝8(k 2－m 2＋2)＞0，即k 2－m 2＋2＞0，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2kmk 2＋2，x 1x 2＝m 2－2k 2＋2，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝k 2（m 2－2）k 2＋2－2k 2m 2k 2＋2＋m 2＝2m 2－2k2k 2＋2.由条件OA ⊥OB 得，OA →·OB →＝0，即3m 2－2k 2－2＝0，所以原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k 2＝m 21＋k 2，由3m 2－2k 2－2＝0得d ＝63为定值．由Δ＞0，即k 2－m 2＋2＞0，所以3m 2－22－m 2＋2＞0，即m 2＋2＞0，恒成立．又k 2＝3m 2－22≥0，即3m 2≥2，所以m 2≥23，即m ≥63或m ≤－63，综上，m ≥63或m ≤－63.。

2020届二轮(理科数学) 解析几何专题卷(全国通用)

1．(2019陕西宝鸡二模)设D 为椭圆x 2＋y 25＝1上任意一点，A(0，－2)，B(0，2)，延长AD 至点P ，使得|PD|＝|BD|，则点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝20B ．x 2＋(y ＋2)2＝20C ．x 2＋(y －2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝51．B 解析：由椭圆方程x 2＋y 25＝1，得a 2＝5，b 2＝1，∴c ＝a 2－b 2＝2，则A (0，－2)，B (0，2)为椭圆两焦点，∴|DA |＋|DB |＝2a ＝2 5.∵|PD |＝|BD |，∴|PA |＝|PD |＋|DA |＝|BD |＋|DA |＝2 5.∴点P 的轨迹是以A 为圆心，以25为半径的圆，其方程为x 2＋(y ＋2)2＝20.故选B.2．(2019江西九江一模)若直线l ：x －y －1＝0与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，则|AB|＝( )A ．4B ．6C ．7D ．82．D 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎨⎧x －y －1＝0，y 2＝4x ，得x 2－6x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝6.又直线l ：x －y －1＝0经过y 2＝4x 的焦点(1，0)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.故选D.3．(2019广东肇庆三模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，O 是坐标原点，过A 且与x 轴垂直的直线交双曲线的渐近线于M ，N 两点．若四边形OMFN 是菱形，则C 的离心率为( )A ．2B . 2C. 3 D .123．A 解析：由四边形OMFN 是菱形，可得c ＝2a ，所以e ＝2.故选A.4.(2019陕西榆林三模)已知抛物线y 2＝2px(p ＞0)交双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线于A ，B 两点(异于坐标原点O)．若双曲线的离心率为5，△AOB 的面积为32，则抛物线的焦点为( )A ．(2，0)B ．(4，0)C ．(6，0)D ．(8，0)4．B 解析：由双曲线的离心率为5，可得ca ＝5，可得b ＝2a ，所以渐近线方程为2x ±y ＝0.由抛物线y 2＝2px 与2x ±y ＝0可得x ＝p 2，y ＝±p .因为△AOB 的面积为32，所以12×p2×2p ＝32，解得p ＝8，所以抛物线的焦点坐标为(4，0)．故选B.5．(2019广东广州仲元中学等七校联合体冲刺)已知椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC 的斜边AC 的两端点为焦点的曲线，且都过B 点，它们的离心率分别为e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝( ) A .32 B ．2 C .52D ．3 5．B 解析：设A (－c ，0)，C (c ，0)，B 为第一象限内的点，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，双曲线的方程为x 2m 2－y 2n2＝1(m ，n ＞0)，|AB |＝s ，|CB |＝t ，可得s ＋t ＝2a ，s －t ＝2m ，解得s ＝a ＋m ，t ＝a －m .在直角三角形ABC 中，可得4c 2＝s 2＋t 2＝2a 2＋2m 2，则a 2c 2＋m 2c 2＝2，即1e 21＋1e 22＝2.故选B.6．(2019湖北黄冈模拟)抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)是抛物线上的两个动点，若x 1＋x 2＋4＝233|AB|，则∠AFB 的最大值为( )A .π3B .3π4C .5π6 D .2π36．D 解析：因为x 1＋x 2＋4＝233|AB |，|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋4，所以|AF |＋|BF |＝233|AB |.在△AFB 中，由余弦定理得cos ∠AFB ＝|AF |2＋|BF |2－|AB |22|AF |·|BF |＝（|AF |＋|BF |）2－2|AF |·|BF |－|AB |22|AF |·|BF |＝43|AB |2－|AB |22|AF |·|BF |－1＝13|AB |22|AF |·|BF |－1.又由|AF |＋|BF |＝233|AB |≥2|AF |·|BF |，得|AF |·|BF |≤13|AB |2.所以cos∠AFB ≥|AF |·|BF |2|AF |·|BF |－1＝－12，∴∠AFB 的最大值为2π3.故选D.7．平面直角坐标系xOy 中，已知MN 是⊙C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2的一条弦，且CM ⊥CN ，P 是MN 的中点．当弦MN 在圆C 上运动时，直线l ：x －3y －5＝0上存在两点A ，B ，使得∠APB ≥π2恒成立，则线段AB 长度的最小值是________．7.210＋2 解析：因为P 为MN 的中点，所以CP ⊥MN .又因为CM ⊥CN ，所以三角形CMN 为等腰直角三角形，所以CP ＝1，即点P 在以C 为圆心，以1为半径的圆上，点P 所在圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝1.要使得∠APB ≥π2恒成立，则点P 所在的圆在以AB 为直径的圆的内部，而AB 在直线l ：x －3y －5＝0上，C 到直线l ：x －3y －5＝0的距离d ＝|1－3×2－5|12＋32＝10.所以以AB 为直径的圆的半径的最小值为r ＝10＋1，所以AB 的最小值为2r ＝210＋2.8．(2019山西运城一模)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1且垂于x 轴的直线与该双曲线的左支交于A ，B 两点，AF 2，BF 2分别交y 轴于P ，Q 两点．若△PQF 2的周长为8，则ab 取得最大值时，该双曲线的离心率是________．8.233 解析：由△PQF 2的周长为8，PQ 为三角形ABF 2的中位线，可得△ABF 2的周长为16, |AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝16.∵|AF 2|＋|BF 2|－|AB |＝4a ，|AB |＝2b 2a，∴4b 2a＝16－4a ，∴b 2＝a (4－a )．令y ＝a 2b 2＝a 3(4－a )，则y ′＝4a 2(3－a )，当0＜a ＜3时，y ′＞0；当a ＞3时，y ′＜0，∴a ＝3时，y ＝a 2b 2取得最大值，此时ab 取得最大值，且b ＝3，∴c ＝9＋3＝23，∴e ＝c a ＝233.9．(2019安徽合肥三模)已知直线l ：x －3y －a ＝0与圆C ：(x －3)2＋(y ＋3)2＝4交于点M ，N ，点P 在圆C 上，且∠MPN ＝π3，则实数a 的值等于( ) A ．2或10 B .4或8C ．6±2 2D ．6±2 39．B 解析：由∠MPN ＝π3可得∠MCN ＝2∠MPN ＝2π3.在△MCN 中，CM ＝CN ＝2，∠CMN ＝∠CNM ＝π6，可得点C (3，－3)到直线MN ，即直线l ：x －3y －a ＝0的距离为2sin π6＝1.所以|3－3×（－3）－a |1＋3＝1，解得a ＝4或8.故选B.10．(2019广西桂林、崇左一模)如图，F 是抛物线C ：y 2＝2px(p ＞0)的焦点，直线l 过点F 且与抛物线及其准线交于A ，B ，C 三点．若|BC|＝3|BF|，|AB|＝9，则抛物线C 的标准方程是( )A ．y 2＝2x B ．y 2＝4x C ．y 2＝8x D ．y 2＝16x10．C 解析：设|BF |＝t (t ≠0)，则|AF |＝9－t ，|BC |＝3t .设准线与x 轴的交点为P ，|FP |＝p ，A ，B 在准线上的射影分别为D ，E .由抛物线的定义可得|BE |＝|BF |＝t ，|AD |＝|AF |＝9－t .在△CPF 中，|BE ||PF | ＝|BC ||CF |，即t p ＝34；在△ACD 中，|BE ||AD |＝|BC ||AC |，即t 9－t ＝3t9＋3t，解得t ＝3，可得p ＝4，则抛物线的方程为y 2＝8x .故选C.11．( 2019四川凉山州二诊)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 分别作两条直线l 1，l 2，直线l 1与抛物线C 交于A ，B 两点，直线l 2与抛物线C 交于D ，E 两点．若l 1与l 2的斜率的平方和为1，则|AB|＋|DE|的最小值为( )A ．16B ．20C ．24D ．3211．C 解析：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F (1，0)，设直线l 1：y ＝k 1(x －1)，直线l 2：y ＝k 2(x －1)．由题意可知，k 21＋k 22＝1.联立⎩⎨⎧y ＝k 1（x －1），y 2＝4x ，整理得k 21x 2－(2k 21＋4)x ＋k 21＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 21＋4k 21＝2＋4k 21.设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 22.由抛物线的性质可得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4＋4k 21，|DE |＝x 3＋x 4＋p ＝4＋4k 22，所以|AB |＋|DE |＝8＋4k 21＋4k 22＝8＋4（k 21＋k 22）k 21k 22＝8＋4k 21k 22≥8＋4（k 21＋k 222）2＝24，当且仅当k 21＝k 22＝12时，上式“＝”成立．所以|AB |＋|DE |的最小值为24.故选C.12．(2019四川华文大教育联盟二模)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，P 是椭圆C 上一点，O 为坐标原点．若∠F 1PF 2＝60°，且|PO|＝223a ，则椭圆C 的离心率是( )A .22B .32C .63 D .2312．C 解析：由题意可得|PF 1|2＝c 2＋(223a )2－2c ×223a cos ∠POF 1①，|PF 2|2＝c 2＋(223a )2－2c ×223a cos ∠POF 2②，4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos60°③.①＋②代入③可得|PF 1|·|PF 2|＝169a 2－2c 2.由|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，整理可得2c 2＋169a 2＋2(169a 2－2c 2)＝4a 2，可得c 2＝23a 2，解得c 2a 2＝23.又由e ＝c a ∈(0，1)，可得e ＝63.故选C.13．(2019安徽马鞍山二模)已知M ，N 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)上关于长轴对称的两点，A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，设k 1，k 2分别为直线MA ，NB 的斜率，则|k 1＋4k 2|的最小值为( )A ．2bB .3baD.4b a D .5b a13.C 解析：设M (x 0，y 0)，y 0＞0，则N (x 0，－y 0)，y 2＝b 2（a 2－x 20）a 2.由A (－a ，0)，B (a ，0)，则k 1＝y 0x 0＋a ，k 2＝－y 0x 0－a ＝y 0a －x 0，∴|k 1＋4k 2|＝|y 0x 0＋a ＋4y 0a －x 0|≥|2y 0x 0＋a ·4y 0－x 0＋a|＝|4y 20a 2－x 20|＝|4×ba|＝4b a ，∴|k 1＋4k 2|的最小值为4b a.故选C.14．(2019陕西宝鸡三模)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，渐近线分别为l 1，l 2，过点F 1且与l 1垂直的直线分别交l 1，l 2于P ，Q 两点．若满足OF 1→＋OQ →＝2OP →，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2x14．C 解析：∵双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，∴F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，双曲线的两条渐近线方程为y ＝－b a x ，y ＝b ax .∵OF 1→＋OQ →＝2OP →，∴点P 是线段F 1Q 的中点，且PF 1⊥OP ，∴∠POF 1＝∠POQ ＝∠QOF 2＝x3.∴k OQ ＝ 3.∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3x .故选C.15．(2019安徽黄山二模)已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，以原点O 为圆心，椭圆C 的短轴长为直径作圆O ，以左顶点A 为圆心，椭圆C 的长轴长为直径作圆A ，则圆O 与圆A 的公共弦长为________．15.152 解析：椭圆C ：x 24＋y 2＝1，以原点O 为圆心，椭圆C 的短轴长为直径作圆O ，则圆心O (0，0)，半径为1，圆O 的方程为x 2＋y 2＝1；以左顶点A 为圆心，椭圆C 的长轴长为直径作圆A ，圆心A (－2，0)，半径为2，圆A 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝4，所以两个圆的公共弦所在的直线方程为x ＝－14，公共弦长为21－（14）2＝152.16．(2019安徽巢湖一模)如图，P 为椭圆x 24＋y 23＝1上一个动点，过点P 作圆C ：(x－1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则当四边形PACB 面积最大时，PA →·PB →的值为________．B 能力提升练16.569 解析：连接PC ，设∠APC ＝θ，由切线性质可得|PA |＝|PB |，四边形PACB的面积S ＝12|PA |×1×2＝|PA |，当四边形PACB 面积最大时，|PA |最大，|PA |＝|PC |2－1，结合椭圆性质可得当点P 在椭圆左顶点时，|PC |最大，此时|PA |＝|PC |2－1＝22，则sin θ＝13，PA →·PB →的值为|PA |2cos 2θ＝8×(1－19×2)＝569.压轴大题突破练(1)1．(2019山东济宁二模)已知拋物线y 2＝8x 的焦点为F ，过点F 的直线与该抛物线交于A ，B 两点，且16≤|AB|≤24，O 为坐标原点．记直线OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，则1k 1＋1k 2的取值范围是( )A ．[－2，－2]∪[2，2]B ．[－2，－1]∪[1，2]C ．[－2，－1]∪[1，2]D ．[－2，2]1．B 解析：由题意可知拋物线y 2＝8x 的焦点F 的坐标为(2，0)．过点F 的直线与该抛物线交于A ，B 两点，则可设直线AB 的方程为x ＝my ＋2，A (y 218，y 1)，B (y 228，y 2)．联立⎩⎨⎧x ＝my ＋2，y 2＝8x ，得y 2－8my －16＝0，则y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝－16，所以1k 1＋1k 2＝y 18＋y 28＝m ，|AB |＝（1＋m 2）（y 1－y 2）2＝（1＋m 2）[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2]＝8(1＋m 2)．又因为16≤|AB |≤24，即16≤8(1＋m 2)≤24，解得－2≤m ≤－1或1≤m ≤2，所以1k 1＋1k 2的取值范围是[－2，－1]∪[1，2]．故选B.2．(2019河北唐山三模)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线的夹角为α，且cos α＝13，则双曲线C 的离心率为( )A .52 B .62 C .72D ．2 2．B 解析：∵a >b >0，∴渐近线y ＝b ax 的斜率小于1，又两条渐近线的夹角为α，cos α＝13，则cos 2α2＝23，sin 2α2＝13，tan 2α2＝12，即c 2－a 2a 2＝12，∴e 2＝32，∴e ＝62.故选B.3．(2019广东湛江二模)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右焦点为F ，经过原点O 的直线与椭圆C 相交于点A ，B.若|AF|＝2，|BF|＝4，椭圆C 的离心率为73，则△AFB 的面积是( )A . 5B ．2 5C ．2 3D .33．C 解析：设椭圆的左焦点为F ′，由椭圆的对称性可知|AF ′|＝|BF |＝4，∴|AF ′|＋|AF |＝2＋4＝6＝2a ，∴a ＝3.又e ＝73，∴c ＝7.由余弦定理可得cos ∠FAF ′＝16＋4－282×4×2＝－12，故sin ∠FAF ′＝32.∴S △AFB ＝S △AFF ′＝12|AF ′||AF |sin ∠FAF ′＝12×4×2×32＝2 3.故选C.4．(2019四川成都双流中学一模)已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，C 为圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝1的圆心，则|MF|＋|MC|的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．54．B 解析：设抛物线x 2＝4y 的准线方程为l ：y ＝－1，C 为圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝1的圆心，所以C 的坐标为(－1，2)．过M 作l 的垂线，垂足为E .根据抛物线的定义可知|MF |＝|ME |，所以|MF |＋|MC |的最小值就转化为|ME |＋|MC |的最小值．由平面几何的知识可知，当C ，M ，E 在一条直线上时，CE ⊥l ，|ME |＋|MC |有最小值，最小值为CE ＝2－(－1)＝3.故选B.5．(2019河南郑州三模)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2－y 29＝1有公共焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝878B ．a 2＝12C ．b 2＝98D ．b 2＝15.C 解析：双曲线C 2：x 2－y 29＝1的焦点坐标为(±10 ，0)，∴a 2－b 2＝10.取C 2的一条渐近线y ＝3x ，设与椭圆相交于点M ，N .联立⎩⎨⎧y ＝3x ，x 2a 2＋y 2b2＝1，解得x2M ＝a 2b 29a 2＋b 2，y 2M ＝9a 2b 29a 2＋b 2，∴|MN |2＝4(x 2M ＋y 2M)＝40a 2b 29a 2＋b 2.∵C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，且C 1恰好将线段AB 三等分，∴40a 2b 29a 2＋b 2＝19×(2a )2，与a 2－b 2＝10联立，解得a 2＝898 ，b 2＝98.故选C.6．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为53且经过点Q(2，253)，其中F 1，F 2为椭圆的左、右焦点．(1)求椭圆的方程；(2)从椭圆的第一象限部分上一点P 向圆x 2＋y 2＝1引切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，△PF 1F 2的面积等于15，求直线AB 的方程．6．解：(1)由题意可得c a ＝53，4a 2＋209b2＝1，a 2＝b 2＋c 2.联立解得a ＝3，b ＝2，c ＝ 5. ∴椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)由题意可知椭圆的焦点分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)． ∵三角形PF 1F 2的面积等于15，点P 在第一象限， ∴12×25×y P ＝15，解得y P ＝ 3. ∴x 2P9＋34＝1，解得x P ＝32.∴P (32，3) . 以OP 为直径的圆的方程为x (x －32)＋y (y －3)＝0，与x 2＋y 2＝1相减可得3x ＋23y －2＝0.∴直线AB 的方程为3x ＋23y －2＝0.7．(2019辽宁省实验中学等五校高三期末)已知抛物线C 的方程y 2＝2px(p>0)，焦点为F ，已知点P 在C 上，且点P 到点F 的距离比它到y 轴的距离大1.(1)试求出抛物线C 的方程． (2)若抛物线C 上存在两动点M ，N(M ，N 在x 轴两侧)，满足OM ⊥ON(O 为坐标原点)，过点F 作直线交C 于A ，B 两点．若AB ∥MN ，线段MN 上是否存在定点E ，使得|EM|·|EN||AB|＝4恒成立？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．7．解：(1)因为点P 到点F 的距离比它到y 轴的距离大1，由题意和抛物线定义得p2＝1，即p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)存在定点E (4，0)满足题意．①当直线MN 的斜率不存在时，设N (n 24，n )，n >0，由题意可得，n 24＝n ⇒n ＝4或n ＝0(舍去)，则N (4，4)，M (4，－4)．由直线AB 过点F 且平行于MN ，可得|AB |＝4.设E (4，m )，则由|EM |·|EN ||AB |＝4，可得（m ＋4）（4－m ）4＝4，解得m ＝0，所以E (4，0)，满足题意．②当直线MN 的斜率存在时，由题意可知k MN ≠0.设M (y 214，y 1)，N (y 224，y 2)(y 2>0>y 1)．由OM ⊥ON ，得y 1y 2＝－16.直线MN 的斜率k＝4y 1＋y 2，所以直线MN 的方程为y －y 1＝4y 1＋y 2(x －y 214)，整理可得y ＝4y 1＋y 2(x －4)．由题意，得直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，与C 的方程联立得ky 2－4y －4k ＝0.设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则y A ＋y B ＝4k，y A y B ＝－4.所以|AB |＝1＋1k2·|y A －y B |＝4(1＋1k2)．若点E 存在，设点E 坐标为(x 0，y 0)，则|EM |·|EN |＝1＋1k2(y 0－y 1)1＋1k 2(y 2－y 0)＝(1＋1k2)·[－y 1y 2－y 20＋(y 1＋y 2)y 0]＝(1＋1k 2)(16－y 20＋4y 0k )．当|EM |·|EN ||AB |＝4时，16－y 20＋4y 0k＝16，解得y 0＝0或y 0＝4k(舍去)，则点E 为(4，0)．经检验，此点在线段MN 上且满足题意．综上所述，定点E 为(4，0)．8．(2019辽宁丹东二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是椭圆C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，|F 1F 2|＝2，△F 1PF 2的面积为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 2的直线l 与C 交于A ，B 两点，设O 为坐标原点，若OE →＝OA →＋OB →，求四边形AOBE 面积的最大值．8．解：(1)由题设|PF 1|2＋|PF 2|2＝4，12|PF 1||PF 2|＝1，∴a ＝|PF 1|＋|PF 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|2＝ 2.又c ＝1，∴b ＝a 2－c 2＝1. ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题设知AB 不平行于x 轴，故设直线AB ：x ＝my ＋1.联立⎩⎨⎧x ＝my ＋1，x 22＋y 2＝1，得(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0，则Δ＝8(m 2＋1)＞0，解得y 1，2＝－m ±2（m 2＋1）m 2＋2.∵OE →＝OA →＋OB →，∴四边形AOBE 为平行四边形．平行四边形AOBE 的面积S ＝2S △AOB ＝|y 1－y 2|＝22（m 2＋1）m 2＋2＝22m 2＋1＋1m 2＋1.∵m 2＋1＋1m 2＋1≥2，当且仅当m ＝0时取等号，∴四边形AOBE 面积的最大值为 2.9．(2019重庆沙坪坝区高三模拟)如图，C ，D 是离心率为12的椭圆的左、右顶点，F 1，F 2是该椭圆的左、右焦点，A ，B 是直线x ＝－4上两个动点，连接AD 和BD ，它们分别与椭圆交于E ，F 两点，且线段EF 恰好过椭圆的左焦点F 1.当EF ⊥CD 时，点E 恰为线段AD 的中点．(1)求椭圆的方程．(2)求证：以AB 为直径的圆始终与直线EF 相切．9．(1)解：∵当EF ⊥CD 时，点E 恰为线段AD 的中点，∴a ＋c ＝4－c .又e ＝c a ＝12，联立解得c ＝1，a ＝2，b ＝3，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：设EF 的方程为x ＝my －1，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，x ＝my －1，化为(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0，∴Δ＝36m 2＋36(3m 2＋4)＞0，∴y 1＋y 2＝6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4.又设A (－4，y A )，由A ，E ，D 三点共线得y A ＝－6y 1x 1－2＝－6y 1my 1－3，同理可得y B ＝－6y 2my 2－3.∴y A ＋y B ＝－6y 1my 1－3＋－6y 2my 2－3＝－62my 1y 2－3（y 1＋y 2）m 2y 1y 2－3m （y 1＋y 2）＋9＝－6×2m ·－93m 2＋4－3·6m3m 2＋4m 2·－93m 2＋4－3m ·6m3m 2＋4＋9＝6m . ∴|y A －y B |＝|－6y 1my 1－3－－6y 2my 2－3|＝18·|y 1－y 2|m 2y 1y 2－3m （y 1＋y 2）＋9＝18·（6m 3m 2＋4）2－4·－93m 2＋4m 2·－93m 2＋4－3m ·6m3m 2＋4＋9＝6m 2＋1.设线段AB 的中点为M ，则M 的坐标为(－4，y A ＋y B2)，即(－4，3m )，∴点M 到直线EF 的距离d ＝|－4－3m 2＋1|1＋m 2＝3m 2＋1＝12|y A －y B|＝12|AB |. 故以AB 为直径的圆始终与直线EF 相切．10．(2019江苏苏州三模)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点D(1，32)，右焦点为F(1，0)，右顶点为A.过点F 的直线交椭圆于B ，C 两点，直线BA 和CA 分别交直线l ：x＝m(m ＞2)于P ，Q 两点．(1)求椭圆的方程；(2)若FP ⊥FQ ，求m 的值．10．解：(1)由题意得1a 2＋94b 2＝1，a 2－b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设B (x 0，y 0)，则直线BC 的方程为y ＝y 0x 0－1 (x －1)，与椭圆E ：x 24＋y23＝1联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 0x 0－1（x －1），x 24＋y23＝1，解得x ＝x 0，y ＝y 0或x ＝8－5x 05－2x 0，y ＝－3y 05－2x 0，所以C (8－5x 05－2x 0，－3y 05－2x 0)，k AB k AC ＝y 0x 0－2·－3y 05－2x 08－5x 05－2x 0－2＝y 0x 0－2·3y 0x 0＋2＝3y 20x 20－4＝9（1－x 204）x 20－4＝－94.显然k AB ＝k AP ，k AC ＝k AQ ，所以k AP k AQ ＝－94.设Q (m ，y 1)，则k FQ ＝y 1m －1＝y 1m －2·m －2m －1＝m －2m －1k AQ，同理k FP ＝m －2m －1k AP，所以k FP ·k FQ ＝(m －2m －1)2k AP k AQ ＝－94(m －2m －1)2＝－1.又m ＞2，所以m －2m －1＝23，所以m ＝4.压轴大题突破练(2)1．(2019山东临沂、枣庄二模)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的右顶点为A ，抛物线C ：y 2＝12ax 的焦点为 F ．若在E 的渐近线上存在点P 使得PA ⊥FP ，则E 的离心率的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(1，233] C ．(2，＋∞) D ．[233，＋∞) 1．B 解析：双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点A (a ，0)，抛物线C ：y 2＝12ax的焦点为F (3a ，0)，双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，可设P (m ，b a m )，则AP →＝(m －a ，b am )，FP →＝(m －3a ，b a m )．由PA ⊥FP ，可得AP →·FP →＝0，即(m －a )(m －3a )＋b 2a2m 2＝0，整理得(1＋b 2a 2)m 2－4ma ＋3a 2＝0.由题意可得Δ＝16a 2－4(1＋b2a2)·3a 2≥0，即a 2≥3b 2＝3(c 2－a 2)，则3c 2≤4a 2，所以e ＝c a ≤233.由e >1，可得1<e ≤233.故选B.2．(2019福建厦门一中二模)已知抛物线x 2＝4y ，斜率为－12的直线交抛物线于A ，B两点．若以线段AB 为直径的圆与抛物线的准线切于点P ，则点P 到直线AB 的距离为( )A .52B . 5C ．2 2D ．2 5 2．B 解析：设直线AB 的方程为y ＝－12x ＋b ，代入抛物线方程x 2＝4y ，得x 2＋2x－4b ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－4b ，y 1＋y 2＝－12x 1＋b －12x 2＋b ＝1＋2b ，所以|AB |＝1＋14·4＋16b ＝5＋20b .因为以线段AB 为直径的圆与抛物线的准线切于点P ，所以y 1＋y 22＋1＝5＋20b 2，即1＋2b 2＋1＝5＋20b2，则 b 2－2b ＋1＝0，解得b ＝1，所以直线AB 的方程为y ＝－12x ＋1，P (－1，－1)，所以点P到直线AB ：x ＋2y －2＝0的距离为|－1－2－2|5＝ 5.故选B.3．(2019山东青岛二中高三模块考试)已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，O 为坐标原点．设M 为抛物线上的动点，则|MO||MF|的最大值为( )A . 3B ．1C .33D .2333．D 解析：设抛物线上点M (m ，n )(m >0)，则n 2＝2pm ，可得|MO |＝m 2＋n 2＝m 2＋2pm .由抛物线的定义得|MF |＝m ＋p2，所以|MO ||MF |＝m 2＋2pmm ＋p 2＝m 2＋2pmm 2＋pm ＋p24＝1＋pm －p 24m 2＋pm ＋p 24.令pm －p 24＝t ，t >－p 24，则m ＝t p ＋p 4，所以|MO ||MF |＝1＋tt 2p 2＋3t 2＋9p 216＝1＋1t p 2＋32＋9p 216t ≤1＋13＝233，当且仅当t p 2＝9p 216t ，即t ＝3p 24时，等号成立．故选D.4．(2019福建福州二模)已知O 为坐标原点，过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左焦点F 作一条直线，与圆x 2＋y 2＝a 2相切于点T ，与双曲线右支交于点P ，M 为线段FP 的中点．若该双曲线的离心率为3，则|MF|－|OM||TF|＝( )A .24B .22C . 2D ．2 4．B 解析：如图所示，设F ′是双曲线的右焦点，连接PF ′.点M ，O 分别为线段PF ，FF ′的中点，由三角形的中位线定理可得|OM |＝12|PF ′|＝12(|PF |－2a )＝12|PF |－a ＝|MF |－a .连接OT ，由PT 是圆的切线，得OT ⊥FT .在Rt △FOT 中，|OF |＝c ，|OT |＝a ，所以|FT |＝|OF |2－|OT |2＝b ，可得|MF |－|OM ||TF |＝a b .双曲线的离心率为3，可得c ＝3a ，即b ＝c 2－a 2＝2a ，可得a b ＝22.故选B.5．(2019安徽黄山三模)已知P 是圆C ：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1上一动点，过点P 作抛物线 x 2＝8y 的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 斜率的最大值为( )A .14B .34C .38D .125．B 解析：根据题意，PA ，PB 的斜率都存在，分别设为k 1，k 2，其切点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．设P (m ，n )，过点P 的抛物线的切线方程为y ＝k (x －m )＋n ，联立⎩⎨⎧y ＝k （x －m ）＋n ，x 2＝8y ，整理可得x 2－8kx ＋8km －8n ＝0，则Δ＝64k 2－32km ＋32n ＝0，即2k 2－km ＋n ＝0，且k 1＋k 2＝m 2，k 1k 2＝n 2.又由x 2＝8y ，得y ＝18x 2，则y ′＝14x ，所以x 1＝4k 1，x 2＝4k 2.又由x 2＝8y ，则y 1＝2k 21，y 2＝2k 22，则k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝2k 22－2k 214k 2－4k 1＝k 2＋k 12＝m 4.因为P 是圆C ：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1上一动点，所以1≤m ≤3，则k AB ＝m 4≤34，即直线AB 的斜率最大值为34.故选B.6．(2019广东珠海二模)椭圆T 的中心在原点，左焦点F 1(－1，0)，长轴长为2 2. (1)求椭圆T 的标准方程；(2)过左焦点F 1的直线交曲线T 于A ，B 两点，过右焦点F 2的直线交曲线T 于C ，D 两点，凸四边形ABCD 为菱形，求直线AB 的方程．6．解：(1)设椭圆T 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，焦距为2c .由题意可知c ＝1，2a ＝22，故b ＝a 2－c 2＝1，所以椭圆T 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由椭圆的对称性可知菱形ABCD 的中心为原点O ，则OA ⊥OB . 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＋y 1y 2＝0.当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为x ＝－1，代入椭圆方程可得x 1＝x 2＝－1，y 1＝22，y 2＝－22，显然x 1x 2＋y 1y 2≠0，不符合题意．所以直线AB 的斜率存在．设AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)，代入椭圆方程得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，所以x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2，x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，则y 1y 2＝k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝k 2(x 1x 2＋x 1＋x 2＋1)＝－k21＋2k 2，所以2k 2－21＋2k 2＋－k 21＋2k 2＝0，解得k ＝± 2.所以直线AB 的方程是y ＝2(x ＋1)或y ＝－ 2 (x ＋1)．7．(2019青海西宁四中、五中、十四中三校联考)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，椭圆过点(1，32)．(1)求椭圆C 的方程．(2)若A ，B 为椭圆的左、右顶点，P(x 0，y 0)(y 0≠0)为椭圆上一动点，设直线AP ，BP 分别交直线l ：x ＝6于点M ，N ，判断以线段MN 为直径的圆是否经过定点．若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，说明理由．7．解：(1)由已知c ＝1，∴a 2＝b 2＋1.①∵椭圆过点(1，32)，∴1a 2＋94b2＝1.②联立①②得a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设P (x 0，y 0)，已知A (－2，0)，B (2，0)．∵y 0≠0，∴x 0≠±2，∴AP ，BP 的斜率都存在， ∴k AP ＝y 0x 0＋2，k BP ＝y 0x 0－2，∴k AP ·k BP ＝y 20x 20－4.③∵x 204＋y 203＝1，∴y 20＝3(1－x 204)．④ 将④代入③得k AP ·k BP ＝3（1－x 204）x 20－4＝－34.设AP 的方程为y ＝k (x ＋2)，∴BP 的方程为y ＝－34k (x －2)，∴M (6，8k )，N (6，－3k)．由对称性可知，若存在定点，则该定点必在x 轴上．设该定点为T (t ，0)，则TM →⊥TN →，∴TM →·TN →＝(6－t ，8k )·(6－t ，－3k)＝(6－t )2＋(－24)＝0，∴(6－t )2＝24，∴t ＝6±26，∴存在定点(6＋26，0)或(6－26，0)，以线段MN 为直径的圆恒过该定点．(2019广西柳州高三一模)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 为椭圆C 上任意一点，A 关于原点O 的对称点为B ，有|AF 1|＋|BF 1|＝4，且∠F 1AF 2的最大值为π3. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若A ′是A 关于x 轴的对称点，设点N(4，0)，连接NA 与椭圆C 相交于点E ，直线A ′E 与x 轴相交于点M ，试求|NF 1|·|MF 2|的值．8.解：(1)由椭圆的对称性可知|BF 1|＝|AF 2|，∴|AF 1|＋|BF 1|＝|AF 1|＋|AF 2|＝4，故2a ＝4，即a ＝2.又当A 为椭圆的短轴顶点时，∠F 1AF 2取得最大值，∴b ＝3c ，又b 2＋c 2＝a 2＝4，∴a ＝2，b ＝3，c ＝1.∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1. (2)设直线AN 的方程为y ＝k (x －4)，代入椭圆方程x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0. 设A (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝32k 23＋4k 2，x 1x 2＝64k 2－123＋4k 2. ∵A ′(x 1，－y 1)，∴直线A ′E 的方程为y ＋y 1y 2＋y 1＝x －x 1x 2－x 1. 令y ＝0，可得x ＝y 1（x 2－x 1）y 2＋y 1＋x 1＝x 1y 2＋x 2y 1y 1＋y 2＝x 1k （x 2－4）＋x 2k （x 1－4）k （x 1－4）＋k （x 2－4）＝2kx 1x 2－4k （x 1＋x 2）k （x 1＋x 2）－8k ＝2·64k 2－123＋4k 2－4·32k 23＋4k 232k 23＋4k 2－8＝1. ∴M (1，0)，∴|MF 2|＝0，∴|MF 1|·|MF 2|＝0.9．(2019河南郑州高三二模)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，A 为椭圆上一动点(异于左、右顶点)，若△AF 1F 2的周长为4＋23，且面积的最大值为 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设A ，B 是椭圆C 上两动点，线段AB 的中点为P ，OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2(O为坐标原点)，且k 1k 2＝－14，求|OP|的取值范围．9．解：(1)由椭圆的定义可得2(a ＋c )＝4＋23，所以a ＋c ＝2＋ 3.① 当A 在上(或下)顶点时，△AF 1F 2的面积取得最大值，即最大值为bc ＝ 3.② 由①②及a 2＝c 2＋b 2联立求得a ＝2，b ＝1，c ＝3，可得椭圆方程为x 24＋y 2＝1， (2)当直线AB 的斜率k 不存在时，直线OA 的方程为y ＝12x 或y ＝－12x ，此时不妨取A (2，22)，B (2，－22)，P (2，0)，则|OP |＝ 2. 当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，消去y 得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， Δ＝64k 2m 2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)＝16(4k 2－m 2＋1)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2. ∵k 1k 2＝－14，∴4y 1y 2＋x 1x 2＝0， ∴4(kx 1＋m )(kx 2＋m )＋x 1x 2＝(1＋4k 2)x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝4m 2－4－32k 2m 21＋4k 2＋4m 2＝0. 整理得2m 2＝4k 2＋1，∴m 2≥12，Δ＝16m 2＞0. 设P (x 0，y 0)，x 0＝x 1＋x 22＝－2k m ，y 0＝kx 0＋m ＝12m， ∴|OP |2＝x 20＋y 20＝4k 2m 2＋14m 2＝2－34m 2∈[12，2)． ∴|OP |的取值范围为[22，2)．综上，|OP |的取值范围为[22，2]．(2019河北衡水桃城区高三一模)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，△ABC 的三个顶点都在抛物线上，且FB →＋FC →＝FA →.(1)求证：B ，C 两点的纵坐标之积为定值．(2)设λ＝AB →·AC → ，求λ的取值范围．10．(1)证明：设A (y 204，y 0)，B (y 214，y 1)，C (y 224，y 2)，F (1，0)， ∴FA →＝(y 204－1，y 0)，FB →＝(y 214－1，y 1)，FC →＝(y 224－1，y 2)． ∵FB →＋FC →＝FA →，∴y 214－1＋y 224－1＝y 204－1，y 1＋y 2＝y 0， ∴y 21＋y 22＝y 20＋4，(y 1＋y 2)2＝y 20，∴y 20＋4＋2y 1y 2＝y 20，∴y 1y 2＝－2，即B ，C 两点的纵坐标之积为定值． (2)解：由FB →＋FC →＝FA →得四边形ABFC 为平行四边形，故λ＝AB →·AC →＝CF →·BF →＝(1－y 214)(1－y 224)＋(－y 1)(－y 2) ＝1－(y 214＋y 224)＋y 21y 2216＋y 1y 2 ＝1－y 20＋44＋416－2 ＝－14y 20－74≤－74，故λ的取值范围是(－∞，－74]．。

2020高考数学(理科)二轮专题复习课标通用版跟踪检测：解析几何含答案 (3)

解析(1)证明：直线恒过定点(1,1)，且这个点在圆内，故直线l与圆C总有两个不同的交点．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(1－x1,1－y1)，＝(x2－1，y2－1)．由＝ P 得x2＝3－2x1，将直线与圆的方程联立得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，(*)
所以x1＋x2＝，可得x1＝，代入(*)式，解得m＝±1，所以直线方程为x－y＝0或x＋y－2＝0.
②若直线l的斜率不存在，因为直线l经过点(－1,1)，所以直线l的方程为x＝－1，此时A(－1， )，B(－1，－ )，而O ·O ＝(－1， )·(－1，－ )＝－2，不满足 · ＝0.综上可知，存在直线l：x－y＋2＝0满足条件．
因为圆心到原点的距离为＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋ )2＝7＋4 ，最小值是(2－ )2＝7－4 .
10．已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0.
(1)求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；
(2)若定点P(1,1)分弦AB所得向量满足A ＝ P ，求此时直线l的方程．
能力提升(建议用时：25分钟)
11．若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为2 ，则直线l的倾斜角的取值范围是________.
解析圆x2＋y2－4x－4y－10＝0化为标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝18，所以圆心坐标为C(2,2)，半径r＝3 .因为在圆上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为2 ，所以圆心到直线的距离小于或等于r－2 ＝，由点到直线的距离公式得 ≤ ，所以(2a＋2b)2≤2(a2＋b2)，整理得 2－4 ＋1≤0，解得2－ ≤－ ≤2＋，因为直线l：ax＋by＝0的斜率k＝－，所以2－ ≤k≤2＋，设直线l的倾斜角为α，则2－ ≤tanα≤2＋，即tan ≤tanα≤tan ，即tan ≤tanα≤tan .由此可得直线l的倾斜角的取值范围是 .

2020高考数学(理科)二轮专题复习课标通用版跟踪检测：解析几何含答案 (2)

2020高考数学（理科）二轮专题复习课标通用版跟踪检测：解析几何含答案 (2)
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一部分专题5第3讲
题型
对应题号
1.圆锥曲线中的定点与定值问题
5,9,10
2.圆锥曲线中的最值与范围问题
1,2,3,4,6,7,8,11
因为点R(x0，y0)在椭圆C上，所以＋＝1，
所以k1k2＝＝＝－ .
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，所以|OP|＝ ·|x1|，
点Q到直线OP的距离d＝＝＝，又因为P，Q在椭圆C上，
所以
所以|x1|＝，|x2|＝，
所以△OPQ的面积S＝ |OP|·d＝ |x1|· ＝ |x1x2|·|k1－k2|＝ · · ＝3 ＝ .
答案3
8．已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________.
解析不妨设A(x1，y1)(y1>0)，B(x2，y2)(y2<0)．则|AC|＋|BD|＝y1＋x2＝y1＋ .又y1y2＝－p2＝－4.
4．(20xx·全国卷Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A．(0,1]∪[9，＋∞)
B．(0， ]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞)
D．(0， ]∪[4，＋∞)
A解析若焦点在x轴上，依题意得0<m<3，且 ≥tan ＝，所以0<m<3且m≤1，则0<m≤1；若焦点在y轴上，依题意得m>3，且 ≥tan ＝，所以m≥9.综上，m的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．故选A项．

2020版高考数学大二轮复习专题解析几何增分强化练理

增分强化练一、选择题1．直线(1－2a )x －2y ＋3＝0与直线3x ＋y ＋2a ＝0垂直，则实数a 的值为( ) A ．－52B.72C.56D.16解析：∵直线(1－2a )x －2y ＋3＝0与直线3x ＋y ＋2a ＝0垂直，∴3(1－2a )－2＝0，∴a ＝16，故选D. 答案：D2．过点(1，－1)且与直线x －2y ＋1＝0平行的直线方程为( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．x －2y －3＝0D ．2x ＋y －1＝0解析：由题意得所求直线的斜率为12，又直线过点(1，－1)，故所求直线的方程为y ＋1＝12(x－1)，即x －2y －3＝0.故选C. 答案：C3．已知直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8平行，则实数m 的值为( ) A ．－7 B ．－1 C ．－1或－7D.133解析：当m ＝－3时，两条直线分别化为：2y ＝7，x ＋y ＝4，此时两条直线不平行；当m ＝－5时，两条直线分别化为：x －2y ＝10，x ＝4，此时两条直线不平行；当m ≠－3，－5时，两条直线分别化为：y ＝－3＋m 4x ＋5－3m 4，y ＝－25＋m x ＋85＋m ，∵两条直线平行，∴－3＋m 4＝－25＋m ，5－3m 4≠85＋m ，解得m ＝－7.综上可得：m ＝－7.故选A. 答案：A4．在直线3x －4y －27＝0上到点P (2,1)距离最近的点的坐标是( ) A ．(5，－3) B ．(9,0) C ．(－3,5)D ．(－5,3)解析：根据题意可知：所求点即为过P 点垂直于已知直线的直线与已知直线的交点，因为已知直线3x －4y －27＝0的斜率为34，所以过P 点垂直于已知直线的斜率为－43，又P (2,1)，则该直线的方程为：y －1＝－43(x －2)即4x ＋3y －11＝0，与已知直线联立得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －11＝0 ①3x －4y －27＝0 ②①×4＋②×3得25x ＝125，解得x ＝5，把x ＝5代入①解得y ＝－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝－3，所以直线3x －4y －27＝0上到点P (2,1)距离最近的点的坐标是(5，－3)．故选A. 答案：A5．圆x 2＋y 2＝8与圆x 2＋y 2＋4x －16＝0的公共弦长为( ) A ．8 B ．4 C ．2D ．1解析：两圆方程作差得x ＝2，当x ＝2时，由x 2＋y 2＝8得y 2＝8－4＝4，即y ＝±2，即两圆的交点坐标为A (2,2)，B (2，－2)，则|AB |＝2－(－2)＝4，故选B. 答案：B6．过点(2,1)的直线中被圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝5截得的弦长最大的直线方程是( )A ．3x －y －5＝0B ．3x ＋y －7＝0C ．x ＋3y －5＝0D ．x －3y ＋5＝0解析：∵过点(2,1)的直线中被圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝5截得的弦长最大的直线方程经过圆心， ∴其直线方程为过点(2,1)和圆心(1，－2)的直线， ∴其方程为：y ＋2x －1＝1＋22－1，整理，得3x －y －5＝0. 故选A. 答案：A7．圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0被直线y ＝3x 截得的线段长为( ) A ．2 B. 3 C ．1D. 2解析：圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0的圆心为(1,0)，半径为1，圆心到直线y ＝3x 的距离为d ＝|3|(3)2＋1＝32，弦长为2·1－⎝⎛⎭⎪⎫322＝1，故选C. 答案：C8．已知直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点，则 “k ＝1”是“∠AOB ＝120°”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由题意得圆心(0,0)到直线l ：y ＝kx ＋1的距离为d ＝11＋k2，若∠AOB ＝120°，则有11＋k2＝2·12，该方程等价于k 2＝1即k ＝±1，若k ＝1时，则∠AOB ＝120°，但∠AOB ＝120°时，k ＝－1或k ＝1，故选A. 答案：A9．(2019·青岛模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＝1和直线l ：y ＝k (x ＋2)，在(－3，3)上随机选取一个数k ，则事件“直线l 与圆C 相交”发生的概率为( ) A.15 B.14 C.13D.12解析：直线l 方程为kx －y ＋2k ＝0，当直线l 与圆C 相切时可得|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33，∴直线l 与圆C 相交时，k ∈⎝⎛⎭⎪⎫－33，33， ∴所求的概率P ＝23323＝13.故选C. 答案：C10．(2019·威海模拟)已知圆(x －2)2＋y 2＝1上的点到直线y ＝3x ＋b 的最短距离为3，则b 的值为( )A ．－2或2B ．2或43＋2C ．－2或43＋2D ．－43－2或2解析：由圆(x －2)2＋y 2＝1，可得圆心坐标为(2,0)，半径r ＝1，设圆心(2,0)到直线y ＝3x ＋b 的距离为d ，则d ＝|23＋b |3＋1，因为圆(x －2)2＋y 2＝1上的点到直线y ＝3x ＋b 的最短距离为3，所以d －r ＝3，即|23＋b |3＋1－1＝3，解得b ＝2或b ＝－43－2，故选D.答案：D11．圆C 1：(x －1)2＋(y －3)2＝9和C 2：x 2＋(y －2)2＝1，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的点，P 是直线y ＝－1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值是( ) A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2D.17解析：圆C 1关于y ＝－1的对称圆的圆心坐标A (1，－5)，半径为3，圆C 2的圆心坐标(0,2)，半径为1，由图象(图略)可知当P ，C 2，A ，三点共线时，|PM |＋|PN |取得最小值，|PM |＋|PN |的最小值为圆A 与圆C 2的圆心距减去两个圆的半径和，即|AC 2|－3－1＝1＋49－4＝52－4.故选A. 答案：A12．设过点P (－2,0)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的两个交点为A ，B ，若8PA →＝5AB →，则|AB |＝( ) A.855 B.463 C.665D.453解析：由题意，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝my －2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0x ＝my －2，得(m 2＋1)y 2－(8m ＋2)y ＋13＝0，则y 1＋y 2＝8m ＋2m 2＋1，y 1y 2＝13m 2＋1，又8PA →＝5AB →，所以8(x 1＋2，y 1)＝5(x 2－x 1，y 2－y 1)，故8y 1＝5(y 2－y 1)，即y 2＝135y 1，代入y 1y 2＝13m 2＋1得：y 21＝5m 2＋1，故y 22＝16925×5m 2＋1，又(y 1＋y 2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8m ＋2m 2＋12，即y 21＋y 22＋2y 1y 2＝19425×5m 2＋1＋26m 2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8m ＋2m 2＋12，整理得：m 2－40m ＋76＝0，解得m ＝2或m ＝38，又|AB |＝1＋m 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝23m 2＋8m －12m 2＋1，当m ＝2时，|AB |＝855；当m ＝38时，|AB |＝855.综上，|AB |＝855.故选A. 答案：A 二、填空题13．若直线(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0与(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则a 为________．解析：∵直线(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0与(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直， ∴(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0， ∴(a －1)(a ＋2－2a －3)＝0， ∴(a －1)(a ＋1)＝0， ∴a ＝1或a ＝－1. 答案：±114．已知圆C 与y 轴相切，圆心在x 轴的正半轴上，并且截直线x －y ＋1＝0所得的弦长为2，则圆C 的标准方程是________．解析：设圆心为(t,0)，且t >0, ∴半径为r ＝|t |＝t ，∵圆C 截直线x －y ＋1＝0所得的弦长为2,∴圆心到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|t －0＋1|2＝t 2－1，∴t 2－2t －3＝0， ∴t ＝3或t ＝－1(舍)，故t ＝3， ∴(x －3)2＋y 2＝9. 答案：(x －3)2＋y 2＝915．已知圆x 2＋y 2＝9被直线mx ＋y －2m －1＝0所截得弦长为32，则实数m 的值为________．解析：因为圆x 2＋y 2＝9的圆心是(0,0)，半径为3，根据弦长为32，所以圆心到直线的距离为d ＝9－⎝⎛⎭⎪⎫3222＝322，所以d ＝|－2m －1|m 2＋1＝322，解得m ＝1或m ＝7.答案：1或716．已知点P (－1,2)及圆(x －3)2＋(y －4)2＝4，一光线从点P 出发，经x 轴上一点Q 反射后与圆相切于点T ，则|PQ |＋|QT |的值为________．解析：点P 关于x 轴的对称点为P ′(－1，－2)，由反射的对称性可知，P ′Q 与圆相切于点T ，|PQ |＋|QT |＝|P ′T |， ∵圆(x －3)2＋(y －4)2＝4的圆心坐标为A (3,4)，半径r ＝2， ∴|AP ′|2＝(－1－3)2＋(－2－4)2＝52， |AT |＝r ＝2，∴|PQ |＋|QT |＝|P ′T |＝|AP ′|2－|AT |2＝4 3. 答案：4 3增分强化练考点一圆锥曲线的定义及标准方程1．(2019·榆林模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大12，则抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝x B ．y 2＝2x C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：由抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大12，根据抛物线的定义可得p 2＝12，∴p ＝1，所以抛物线的标准方程为y 2＝2x .故选B.答案：B2．(2019·株洲模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线l 的倾斜角为π3，且C 的一个焦点到l 的距离为3，则双曲线C 的方程为( ) A.x 212－y 24＝1 B.x 24－y 212＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1解析：由x 2a 2－y 2b 2＝0可得y ＝±b a x ，即渐近线的方程为y ＝±bax ，又一条渐近线l 的倾斜角为π3，所以b a ＝tan π3＝ 3.因为双曲线C 的一个焦点(c,0)到l 的距离为3，所以|bc |a 2＋b 2＝b ＝3，所以a ＝1，所以双曲线的方程为x 2－y 23＝1.故选D. 答案：D3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且椭圆C 的长轴长与焦距之和为6，则椭圆C的标准方程为( ) A.4x 225＋y26＝1 B.x 24＋y 22＝1 C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 23＝1 解析：依题意椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12得c a ＝12，椭圆C 的长轴长与焦距之和为6,2a ＋2c ＝6，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝3，所以椭圆C 的标准方程为：x 24＋y 23＝1，故选D.答案：D4．设F 1，F 2是椭圆E ：x 225＋y 216＝1的左右焦点，P 是椭圆E 上的点，则|PF 1|·|PF 2|的最小值是________．解析：由椭圆方程可知a ＝5，c ＝3，根据椭圆的定义，有|PF 2|＝2a －|PF 1|＝10－|PF 1|，故|PF 1|·|PF 2|＝|PF 1|·(10－|PF 1|)，由于|PF 1|∈[a －c ，a ＋c ]＝[2,8]注意到二次函数y ＝x (10－x )的对称轴为x ＝5，故当x ＝2，x ＝8时，都是函数的最小值，即最小值为2×8＝16. 答案：16考点二圆锥曲线的性质1．已知椭圆C ：16x 2＋4y 2＝1，则下列结论正确的是( ) A ．长轴长为12B ．焦距为34 C ．短轴长为14D ．离心率为32解析：由椭圆方程16x 2＋4y 2＝1化为标准方程可得x 2116＋y 214＝1 ，所以a ＝12，b ＝14，c ＝34，长轴为2a ＝1 ，焦距2c ＝32，短轴2b ＝12，离心率e ＝c a ＝32.故选D. 答案：D2．(2019·九江模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)的右顶点A 和右焦点F 到一条渐近线的距离之比为1∶2，则C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±x B ．y ＝±2x C ．y ＝±2xD ．y ＝±3x解析：由双曲线方程可得渐近线为：y ＝±bax ，A (a,0)，F (c,0)，则点A 到渐近线距离d 1＝|ab |a 2＋b2＝ab c，点F 到渐近线距离d 2＝|bc |a 2＋b2＝bcc＝b ， ∴d 1∶d 2＝ab c∶b ＝a ∶c ＝1∶2，即c ＝2a ，则b a ＝c 2－a 2a ＝a a＝1， ∴双曲线渐近线方程为y ＝±x . 故选A. 答案：A3．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为________．解析：双曲线C ：x 2－y 2＝1(a ＞b ＞0)的渐近线方程y ＝±x ，点(4,0)到C 的渐近线的距离为|±4|2＝2 2. 答案：2 24．(2019·株洲模拟)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左右焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 2的延长线交椭圆C 于点D ，若△F 1BD 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率为________．解析：如图，不妨设点B 是椭圆短轴的上端点，则点D 在第四象限内，设点D (x ，y )．由题意得△F 1BD 为等腰三角形，且|DF 1|＝|DB |.由椭圆的定义得|DF 1|＋|DF 2|＝2a ，|BF 1|＝|BF 2|＝a ，又|DF 1|＝|DB |＝|DF 2|＋|BF 2|＝|DF 2|＋a ， ∴(|DF 2|＋a )＋|DF 2|＝2a ，解得|DF 2|＝a2.作DE ⊥x 轴于E ，则有|DE |＝|DF 2|sin ∠DF 2E ＝|DF 2|sin ∠BF 2O ＝a 2×b a ＝b2，|F 2E |＝|DF 2|cos ∠DF 2E ＝|DF 2|cos ∠BF 2O ＝a 2×c a ＝c 2，∴|OE |＝|OF 2|＋|F 2E |＝c ＋c 2＝3c2，∴点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3c 2，－b 2.又点D 在椭圆上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 22a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22b2＝1，整理得3c 2＝a 2，所以e ＝c a ＝33. 答案：33考点三直线与圆锥曲线的相关问题1．(2019·内江模拟)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1、F 2，上下顶点分别为A 、B ，直线AF 2与该椭圆交于A 、M 两点．若∠F 1AF 2＝120°，则直线BM 的斜率为( )A.14B.34C.32D. 3解析：由题意，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且满足∠F 1AF 2＝120°，如图所示，则在△AF 2O 中，|OA |＝b ，|AF 2|＝a ，且∠OAF 2＝60°，所以a ＝2b ，不妨设b ＝1，则a ＝2，所以c ＝a 2－c 2＝3，则椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，又由A (0,1)，F 2(3，0)，所以kAF 2 ＝－33，所以直线AF 2的方程为y ＝－33x ＋1，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－33x ＋1x 24＋y 2＝1，整理得7x 2－83x ＝0，解得x ＝0或x ＝837，把x ＝837代入直线y ＝－33x ＋1，解得y ＝－17，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫837，－17 ，又由点B (0，－1)，所以BM 的斜率为k BM ＝－17－(－1)837－0＝34，故选B.答案：B2．已知直线l ：y ＝2x ＋b 被抛物线C ：y 2＝2px (p >0)截得的弦长为5，直线l 经过C 的焦点，M 为C 上的一个动点，设点N 的坐标为(3,0)，则MN 的最小值为________．解析：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋by 2＝2px ⇒4x 2＋(4b －2p )x ＋b 2＝0,则52＝(1＋22)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2b －p 22－4×b 42，又直线l 经过C 的焦点，则－b 2＝p 2，∴b ＝－p ，由此解得p ＝2, 抛物线方程为y 2＝4x ，M (x 0，y 0)，∴y 20＝4x 0，则|MN |2＝(x 0－3)2＋y 20＝(x 0－3)2＋4x 0＝(x 0－1)2＋8, 故当x 0＝1时，|MN |min ＝2 2. 答案：2 23．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的动点到其左焦点距离的最大值是最小值的3倍，且点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过点G (0,1)作直线l 与曲线交于A ，B 两点，求△ABO 面积的最大值．解析：(1)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝3(a －c )a 2＝b 2＋c21a 2＋94b2＝1，解得a ＝2，b ＝3，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)易知直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 24＋y23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0，则x 1＋x 2＝－8k 3＋4k 2，x 1x 2＝－83＋4k2，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝46·1＋2k23＋4k2d ＝1k 2＋1，∴S △ABO ＝12×d ×1＋k 2|x 1－x 2|＝26·1＋2k 23＋4k 2，令 1＋2k 2＝t ，∵k 2≥0，∴t ≥1， ∴S △ABO ＝26t 2t 2＋1＝262t ＋1t，易证y ＝2t ＋1t 在[1，＋∞)上单调递增，∴2t ＋1t≥3，∴S △ABO ≤263，∴△ABO 面积的最大值为263.增分强化练考点一直线的方程1．直线mx ＋y －m ＋2＝0恒经过定点( ) A ．(1，－1) B ．(1,2) C ．(1，－2)D ．(1,1)解析：直线mx ＋y －m ＋2＝0，化为：m (x －1)＋y ＋2＝0，可知直线经过定点(1，－2)．故选C. 答案：C2．(2019·南昌模拟)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x 2＋y 2≤1，若将军从点A (2,0)处出发，河岸线所在直线方程为x ＋y ＝3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为( ) A.10－1 B ．22－1 C ．2 2D.10解析：设点A 关于直线x ＋y ＝3的对称点A ′(a ，b )，AA ′的中点为⎝⎛⎭⎪⎫a ＋22，b 2，k AA ′＝b a －2，故⎩⎪⎨⎪⎧ba －2·(－1)＝－1a ＋22＋b 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝1，所以A ′(3,1)．要使从点A 到军营总路程最短，即为点A ′到军营最短的距离，“将军饮马”的最短总路程为32＋12－1＝10－1，故选A. 答案：A3．过点(－2,4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为________．解析：①当在坐标轴上截距为0时，所求直线方程为：y ＝－2x ，即2x ＋y ＝0； ②当在坐标轴上截距不为0时，∵在坐标轴上截距互为相反数， ∴x －y ＝a ，将A (－2,4)代入得，a ＝－6， ∴此时所求的直线方程为x －y ＋6＝0. 答案：2x ＋y ＝0或 x －y ＋6＝04．平行线5x ＋12y －10＝0和mx ＋6y ＋2＝0的距离是________解析：由题意，两直线5x ＋12y －10＝0和mx ＋6y ＋2＝0平行，可得5m ＝126，解得m ＝52，即5x ＋12y ＋4＝0，由两平行直线之间的距离公式，可得d ＝|－10－4|52＋122＝1413. 答案：1413考点二圆的方程1．方程x 2＋y 2＋x ＋y －m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是( ) A ．m >－12B ．m <－12C ．m ≤－12D ．m ≥－12解析：因为方程x 2＋y 2＋x ＋y －m ＝0要表示一个圆，所以2＋4m >0 解得：m >－12，故选A.答案：A2．点M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0上的不同两点，且点M ，N 关于直线x －y ＋1＝0对称，则该圆的半径等于( ) A ．2 2 B. 2 C ．1D ．3解析：圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－k2，－1，因为点M ，N 在圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0上，且点M ，N 关于直线l ：x －y ＋1＝0对称，所以直线l ：x －y ＋1＝0经过圆心，所以－k2＋1＋1＝0，k ＝4. 所以圆的方程为：x 2＋y 2＋4x ＋2y －4＝0，圆的半径为：12 42＋22－4×(－4)＝3. 故选D.答案：D3．已知圆C ：(x －6)2＋(y ＋8)2＝4，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为( ) A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝100 B ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝100 C ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝25 D ．(x ＋3) 2＋(y －4)2＝25解析：由题意可知：O (0,0)，C (6，－8)，则圆心坐标为(3，－4)，圆的直径为62＋(－8)2＝10，据此可得圆的方程为(x －3)2＋(y ＋4)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1022，即(x －3)2＋(y ＋4)2＝25.故选C.答案：C4．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程是( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝2 B ．(x ＋1)2＋y 2＝8 C ．(x －1)2＋y 2＝2 D ．(x －1)2＋y 2＝8解析：直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点坐标为(－1,0)，因为圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r ＝d ＝|－1＋0＋3|12＋12＝2，则圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2，故选A. 答案：A考点三直线与圆的位置关系1．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的公切线条数是( ) A ．4条 B ．3条 C ．2条D ．1条解析：圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0的圆心(1,0)半径为1；圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的圆心(0,2)半径为2，O 1O 2＝12＋22＝5，∵1＜5＜3，∴两个圆相交，所以圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的公切线条数2.故选C.答案：C2．(2019·南宁模拟)已知直线l ：3x －4y －15＝0与圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋5－r 2＝0(r >0)相交于A ，B 两点，若|AB |＝6，则圆C 的标准方程为( ) A ．(x －1)2＋(y －2)2＝25 B ．(x －1)2＋(y －2)2＝36 C ．(x －1)2＋(y －2)2＝16 D ．(x －1)2＋(y －2)2＝49解析：圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋5－r 2＝0可化为(x －1)2＋(y －2)2＝r 2，设圆心(1,2)到直线l 的距离为d ，则d ＝|3－8－15|5＝4，又|AB |＝6，根据r 2＝32＋42＝25，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝25.故选A. 答案：A3．(2019·汕头模拟)已知直线l 与圆x 2＋y 2－4y ＝0相交于A ，B 两点，且线段AB 的中点P 的坐标为(－1,1)，则直线l 的方程为________．解析：因为圆x 2＋y 2－4y ＝0的圆心坐标为C (0,2)，又点P 坐标为(－1,1)，所以直线CP 的斜率为k CP ＝2－10＋1＝1；又因为AB 是圆的一条弦，P 为AB 的中点，所以AB ⊥CP ，故k AB ＝－1，即直线l 的斜率为－1，因此，直线l 的方程为y －1＝－(x ＋1)，即x ＋y ＝0. 答案：x ＋y ＝04．直线2x ＋y －3＝0与圆x 2＋y 2－2x －2y ＝0相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则|OA →＋OB →|＝________.解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M ，联立直线方程与圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －2y ＝0y ＝－2x ＋3，整理可得5x 2－10x ＋3＝0，故x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝(－2x 1＋3)＋(－2x 2＋3)＝－2(x 1＋x 2)＋6＝2，据此可得M (1,1)，|OM →|＝1＋1＝2，结合平面向量的运算法则有|OA →＋OB →| ＝|2OM →| ＝2 2. 答案：2 2增分强化练1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，P ，Q 是椭圆C 上的两个动点，且线段PQ 长度的最大值为4. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若OP ⊥OQ ，求△OPQ 面积的最小值．解析：(1)∵y 2＝4x 的焦点为(1,0)， ∴椭圆C 的右焦点F 为(1,0)，即c ＝1，又|PQ |的最大值为4，因此|PQ |＝2a ＝4， ∴a 2＝4，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)①当P ，Q 为椭圆顶点时，易得△OPQ 的面积为12×2×3＝3，②当P ，Q 不是椭圆顶点时，设直线OP 的方程为y ＝kx (k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx x 24＋y23＝1，得x 2＝123＋4k 2，所以|OP |＝k 2＋1 123＋4k2，由OP ⊥OQ ，得直线OQ 的方程为：y ＝－1kx ，所以|OQ |＝1k2＋1123＋41k 2＝ 1＋k 2123k 2＋4，所以S △OPQ ＝12|OP |·|OQ |＝6(k 2＋1)2(3＋4k 2)(3k 2＋4)＝6(k 2＋1)212k 4＋25k 2＋12＝6 112＋k 2(k 2＋1)2，(k 2＋1)2k2＝k 2＋1k2＋2≥4，当且仅当k 2＝1时等号成立，所以0<k 2(k 2＋1)2≤14，所以127≤S △OPQ <3，综上，△OPQ 面积的最小值为127.2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，点P (263，33)满足PF →1·PF →2＝0. (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 经过椭圆C 的右焦点与椭圆相交于M ，N 两点，设O 为坐标原点，直线OM ，直线l ，直线ON 的斜率分别为k 1，k ，k 2，且k 1，k ，k 2成等比数列，求k 1·k 2的值．解析：(1)依题意F 1(－c,0)， ∴PF →1·PF →2＝－c 2＋3＝0，即c ＝3， ∵e ＝c a ＝32， ∴a ＝2， ∴b 2＝a 2－c 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1y ＝k (x －3)，得(1＋4k 2)x 2－83k 2x ＋4(3k 2－1)＝0，则x 1＋x 2＝83k 21＋4k 2，x 1x 2＝12k 2－41＋4k 2，∵k 1，k ，k 2成等比数列，∴k 1·k 2＝k 2＝y 1y 2x 1x 2＝k 2(x 1－3)(x 2－3)x 1x 2，则3(x 1＋x 2)＝3，即83k21＋4k 2＝3，解得k 2＝14，故k 1k 2＝14.3．已知抛物线C ：y 2＝2px (0<p <1)上的点P (m,1)到其焦点F 的距离为54.(1)求C 的方程；(2)已知直线l 不过点P 且与C 相交于A ，B 两点，且直线PA 与直线PB 的斜率之积为1，证明：l 过定点．解析：(1)由题意，得2pm ＝1，即m ＝12p.由抛物线的定义，得|PF |＝m －(－p 2)＝12p ＋p2.由题意，知12p ＋p 2＝54，解得p ＝12或p ＝2(舍去)．所以C 的方程为y 2＝x . (2)证明：由(1)得P (1,1)．设l ：x ＝ny ＋t ，由于直线l 不过点P (1,1)，所以n ＋t ≠1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，x ＝ny ＋t消去x 并整理得y 2－ny －t ＝0.由题意，判别式Δ＝n 2＋4t >0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝n ，①y 1y 2＝－t ，②则k PA k PB ＝y 1－1x 1－1·y 2－1x 2－1＝y 1－1y 21－1·y 2－1y 22－1＝1y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1. 由题意，得y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝1，即y 1y 2＋(y 1＋y 2)＝0，③将①②代入③得－t ＋n ＝0，即t ＝n .所以l ：x ＝n (y ＋1)．显然l 过定点(0，－1)．4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2，长轴的长为4.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过点F 1的直线l 与椭圆C 交于E ，D 两点，试问：在x 轴上是否存在定点M ，使得直线ME ，MD 的斜率之积为定值？若存在，求出该定值及定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：(1)因为椭圆C 的焦距为2，长轴的长为4，所以2c ＝2,2a ＝4，解得c ＝1，a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设E (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，M (m,0)．易知F 1(－1,0)，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)．联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，则x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.又y 1y 2＝k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝k 2(x 1x 2＋x 1＋x 2＋1)＝k 2(4k 2－124k 2＋3－8k 24k 2＋3＋1)＝－9k24k 2＋3，直线ME ，MD 的斜率k ME ＝y 1x 1－m，k MD ＝y 2x 2－m，则k ME ·k MD ＝y 1x 1－m ·y 2x 2－m ＝y 1y 2(x 1－m )(x 2－m )＝y 1y 2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＝－9k 24k 2＋34k 2－124k 2＋3－m (－8k 24k 2＋3)＋m 2＝－9k24k 2＋34k 2－12＋8mk 2＋4m 2k 2＋3m24k 2＋3 ＝－9k2(4m 2＋8m ＋4)k 2＋3m 2－12. 要使直线ME ，MD 的斜率之积为定值，需3m 2－12＝0，解得m ＝±2.当m ＝2时，k ME ·k MD ＝－9k 2(4m 2＋8m ＋4)k 2＝－9k 236k 2＝－14；当m ＝－2时，k ME ·k MD ＝－9k 2(4m 2＋8m ＋4)k 2＝－9k 24k 2＝－94.当直线l 的斜率不存在时，不妨设E (－1，32)，D (－1，－32)，此时，当m ＝2时，M (2,0)，k ME ·k MD ＝－14；当m ＝－2时，M (－2,0)，k ME ·k MD ＝－94.综上，在x 轴上存在两个定点M ，使得直线ME ，MD 的斜率之积为定值．当定点M 的坐标为(2,0)时，直线ME ，MD 的斜率之积为定值－14；当定点M 的坐标为(－2,0)时，直线ME ，MD 的斜率之积为定值－94.增分强化练一、选择题1．双曲线x 23－y 29＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±13xC ．y ＝±3xD ．y ＝±33x 解析：因为x 23－y 29＝1，所以a ＝3，b ＝3，渐近线方程为y ＝±b ax ，即为y ＝±3x ，故选C. 答案：C2．已知双曲线my 2－x 2＝1(m ∈R)与抛物线x 2＝8y 有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±3x B ．y ＝±3x C ．y ＝±13xD ．y ＝±33x 解析：∵抛物线x 2＝8y 的焦点为(0,2)，∴双曲线的一个焦点为(0,2)，∴1m ＋1＝4，∴m ＝13，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，故选A. 答案：A3．已知双曲线C ：x 2m 2－y 23＝1的离心率为2，则C 的焦点坐标为( )A ．(±2,0)B ．(±2，0)C ．(0，±2)D ．(0，±2)解析：由双曲线C ：x 2m 2－y 23＝1，离心率为2，可得m 2＋3m＝2，∴m 2＝1, 则c ＝m 2＋3＝2，故双曲线C 的焦点坐标是(±2,0)．故选A. 答案：A4．(2019·呼和浩特模拟)已知双曲线C 1：x 24－y 2k ＝1与双曲线C 2：x 2k －y 29＝1有相同的离心率，则双曲线C 1的渐近线方程为( ) A ．y ＝±32x B ．y ＝±62x C ．y ＝±34x D ．y ＝±64x 解析：由双曲线方程可知k >0，双曲线C 1：x 24－y 2k ＝1的离心率为4＋k2，双曲线C 2：x 2k －y 29＝1的离心率为k ＋9k，由题意得4＋k 2＝k ＋9k ，解得k ＝6, 双曲线C 1为x 24－y26＝1，则渐近线方程为y ＝±62x ，故选B. 答案：B5．已知双曲线C 的一个焦点坐标为(3，0)，渐近线方程为y ＝±22x ，则C 的方程是( ) A ．x 2－y 22＝1 B.x 22－y 2＝1 C.y 22－x 2＝1 D ．y 2－x 22＝1解析：因为双曲线C 的一个焦点坐标为(3，0)，所以c ＝3，又因为双曲线C 的渐近线方程为y ＝±22x ，所以有b a ＝22⇒a ＝2b ，c ＝3，而c ＝a 2＋b 2，所以解得a ＝2，b ＝1，因此双曲线方程为x 22－y 2＝1，故选B.答案：B6．(2019·岳阳模拟)过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线，交抛物线于P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，若y 1＋y 2＝6，则|P 1P 2|＝( ) A ．5 B ．6 C ．8D ．10解析：x 2＝4y 的焦点为(0,1)，准线为y ＝－1，因为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，所以P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点到准线的距离分别是y 1＋1，y 2＋1，所以由抛物线的定义知|P 1P 2|＝|P 1F |＋|P 2F |＝y 1＋1＋y 2＋1＝y 1＋y 2＋2＝6＋2＝8，故选C. 答案：C7．(2019·洛阳、许昌质检)若双曲线x 2－y 2b2＝1 (b >0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(1,2] B ．[2，＋∞) C ．(1，3]D ．[3，＋∞)解析：双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一条渐近线方程是bx －y ＝0，由题意圆x 2＋(y －2)2＝1的圆心(0,2)到bx －y ＝0的距离不小于1，即2b 2＋1≥1，则b 2≤3，那么离心率e ∈(1,2]，故选A. 答案：A8．(2019·咸阳模拟)已知椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC 的斜边AC 的两端点为焦点的曲线，且都过B 点，它们的离心率分别为e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝( )A.32 B ．2 C.52D ．4解析：以AC 边所在的直线为x 轴，AC 中垂线所在的直线为y 轴建立直角坐标系(图略)，设椭圆方程为x 2a 21＋y 2b 21＝1，设双曲线方程为x 2a 22－y 2b 22＝1，焦距都为2c不妨设|AB |>|BC |，椭圆和双曲线都过点B ，则|AB |＋|BC |＝2a 1，|AB |－|BC |＝2a 2，所以|AB |＝a 1＋a 2，|BC |＝a 1－a 2，又因为△ABC 为直角三角形，|AC |＝2c ，所以(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2＝(2c )2，即a 21＋a 22＝2c 2，所以a 21c 2＋a 22c 2＝2，即1e 21＋1e 22＝2.故选B. 答案：B9．(2019·乌鲁木齐质检)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，直线l 过焦点F 与抛物线C 分别交于A ，B 两点，且直线l 不与x 轴垂直，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P (10,0)，则△AOB 的面积为( ) A ．4 3 B ．4 6 C ．8 2D ．8 6解析：设直线l ：x ＝ty ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x x ＝ty ＋2可以得到y 2－8ty －16＝0，所以AB 的中点M (4t 2＋2,4t )，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P (10,0)，故t ≠0. 所以AB 的中垂线的方程为y ＝－1t (x －4t 2－2)＋4t ＝－1t ·x ＋8t ＋2t，令y ＝0可得x ＝8t 2＋2，解方程10＝8t 2＋2得t ＝±1. 此时AB ＝ 1＋t 2|y 1－y 2|＝81＋t 2t 2＋1＝16，O 到AB 的距离为d ＝21＋t2＝2，所以S ΔOAB ＝12×16×2＝8 2.故选C. 答案：C10．(2019·滨州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为P ，直线l ：4x －3y ＝0与椭圆C 相交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝6，点P 到直线l 的距离不小于65，则椭圆离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，59 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，53 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，32 解析：如图所示，设F ′为椭圆的左焦点，连接AF ′，BF ′，则四边形AFBF ′是平行四边形，∴6＝|AF |＋|BF |＝|AF ′|＋|AF |＝2a ，∴a ＝3.取P (0，b )，∵点P 到直线l ∶4x ＋3y ＝0的距离不小于65，∴|3b |16＋9≥65，解得b ≥2. ∴c ≤9－4＝5，∴0<c a ≤53. ∴椭圆E 的离心率范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，53. 故选C. 答案：C11．(2019·济宁模拟)已知直线l 过抛物线C ：y 2＝3x 的焦点F ，交C 于A ，B 两点，交C 的准线于点P ，若AF →＝FP →，则|AB |＝( ) A ．3 B ．4 C ．6D ．8解析：如图所示：不妨设A 在第一象限，由抛物线C ：y 2＝3x 可得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，准线DP ：x ＝－34.因为AF →＝FP →，所以F 是AP 的中点，则AD ＝2CF ＝3.所以可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫94，332，则k AF ＝3，所以直线AP 的方程为：y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34y 2＝3x，整理得：x 2－52x ＋916＝0所以x 1＋x 2＝52，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝52＋32＝4.故选B.答案：B12．(2019·晋城模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的右支交于不同两点A ，B ，若AF →＝3FB →，则该双曲线的离心率为( ) A.52 B.62C.233D. 3解析：由题意得直线l 的方程为x ＝b ay ＋c ，不妨取a ＝1，则x ＝by ＋c ，且b 2＝c 2－1.将x ＝by ＋c 代入x 2－y 2b2＝1，(b ＞0)，得(b 4－1)y 2＋2b 3cy ＋b 4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2b 3c b 4－1，y 1y 2＝b4b 4－1.由AF →＝3FB →，得y 1＝－3y 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2y 2＝－2b 3cb 4－1－3y 22＝b 4b 4－1，得3b 2c 2＝1－b 4，解得b 2＝14，所以c＝b 2＋1＝54＝52，故该双曲线的离心率为e ＝c a ＝52，故选A. 答案：A 二、填空题13．(2019·合肥质检)抛物线x 2＝8y 的焦点坐标为________．解析：由抛物线方程x 2＝8y 知，抛物线焦点在y 轴上，由2p ＝8，得p2＝2，所以焦点坐标为(0,2)．答案：(0,2)14．已知过P (1,1)的直线l 与双曲线C ：x 2－y 2＝1只有一个公共点，则直线l 的条数为________．解析：双曲线C ：x 2－y 2＝1的渐近线方程y ＝±x ，其中一条渐近线y ＝x 过点P (1,1)，所以过点P (1,1)的直线x ＝1与双曲线右支相切，只有一个公共点，过P (1,1)与y ＝－x 平行的直线y ＝－x ＋2和双曲线右支相交，只有一个公共点，综上共有2条直线符合要求．答案：215．(2019·泰安模拟)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，动点P 在抛物线C 上，点A (－1,0)，当|PF ||PA |取得最小值时，直线AP 的方程为________．解析：设P 点的坐标为(4t 2,4t )， ∵F (1,0)，A (－1,0)，∴|PF |2＝(4t 2－1)2＋16t 2＝16t 4＋8t 2＋1， |PA |2＝(4t 2＋1)2＋16t 2＝16t 4＋24t 2＋1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF ||PA |2＝16t 4＋8t 2＋116t 4＋24t 2＋1＝1－16t 216t 4＋24t 2＋1＝1－1616t 2＋1t2＋24≥1－16216t 2·1t2＋24＝1－1632＝12，当且仅当16t 2＝1t 2，即t ＝±12时取等号，此时点P 坐标为(1,2)或(1，－2)，此时直线AP 的方程为y ＝±(x ＋1)，即x ＋y ＋1＝0或x －y ＋1＝0. 答案：x ＋y ＋1＝0或x －y ＋1＝016．抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为A ，其准线与x 轴的交点为B ，如果在直线3x ＋4y ＋25＝0上存在点M ，使得∠AMB ＝90°，则实数p 的取值范围是________．解析：由题得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，0， ∵M 在直线3x ＋4y ＋25＝0上，设点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，－3x －254，∴AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，－3x －254， BM →＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋p 2，－3x －254，又∠AMB ＝90°，∴AM →·BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x －2542＝0，即25x 2＋150x ＋625－4p 2＝0， ∴Δ≥0，即1502－4×25×(625－4p 2)≥0，解得p ≥10或p ≤－10，又p >0，∴p 的取值范围是[10，＋∞)．答案：[10，＋∞) 三、解答题17．已知椭圆的焦点F 1(－4,0)，F 2(4,0)，过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，并且|F 1B |＋|F 2B |＝10，椭圆上不同的两点A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)满足条件：|F 2A |，|F 2B |，|F 2C |成等差数列． (1)求椭圆的方程； (2)求弦AC 中点的横坐标．解析：(1)由题意可知2a ＝|F 1B |＋|F 2B |＝10. 所以a ＝5，又c ＝4，所以b ＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为：x 225＋y 29＝1.(2)由点B (4，y B )在椭圆上，得|F 2B |＝|y B |＝95.由|F 2A |，|F 2B |，|F 2C |成等差数列，得 (x 1－4)2＋y 21＋ (x 2－4)2＋y 22＝2×95，①点A (x 1，y 1)在椭圆x 2125＋y 219＝1上，得y 21＝925(25－x 21)，所以 (x 1－4)2＋y 21 ＝x 21－8x 1＋16＋925(25－x 21)＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－45x 12＝15(25－4x 1)，② 同理可得 (x 2－4)2＋y 22＝15(25－4x 2)，③将②③代入①式，得15(25－4x 1)＋15(25－4x 2)＝185，所以x 1＋x 2＝8，设AC 中点坐标为(x 0，y 0)，则横坐标x 0＝x 1＋x 22＝4.18．(2019·合肥质检)已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆C 上，且△PF 1F 2的面积为22. (1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，求F 2A →·F 2B →的取值范围．解析：(1)由椭圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，且△PF 1F 2的面积为22，得1a 2＋12b 2＝1，且12×2c ×22＝22，即c ＝1. 又a 2－b 2＝c 2＝1，解得a 2＝2，b 2＝1. 所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)知F 1(－1,0)，F 2(1,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．若直线l 的斜率不存在，可得点A ，B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－22，则F 2A →·F 2B →＝72.当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝k (x ＋1)，代入椭圆方程得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2(k 2－1)＝0. 则Δ＝16k 4－8(1＋2k 2)(k 2－1)＝8k 2＋8>0恒成立．所以x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2(k 2－1)1＋2k 2.所以F 2A →·F 2B →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝7k 2－11＋2k 2＝72－92(1＋2k 2). 又k 2≥0，则F 2A →·F 2B →＝72－92(2k 2＋1)∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，72. 综上可知，F 2A →·F 2B →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，72.增分强化练(三十一)考点一范围、最值问题(2019·大连模拟)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，其焦点到准线的距离为2，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线C 的切线l 1，l 2，l 1与l 2交于点M . (1)求p 的值；(2)若l 1⊥l 2，求△MAB 面积的最小值．解析：(1)由题意知，抛物线焦点为：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线方程为：y ＝－p2，焦点到准线的距离为2，即p ＝2. (2)抛物线的方程为x 2＝4y ，即y ＝14x 2，所以y ′＝12x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l 1：y －x 214＝x 12(x －x 1)，l 2：y －x 224＝x 22(x －x 2)，由于l 1⊥l 2，所以x 12·x 22＝－1，即x 1x 2＝－4.设直线l 方程为y ＝kx ＋m ，与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 2＝4y ，所以x 2－4kx －4m ＝0，Δ＝16k 2＋16m >0，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ＝－4，所以m ＝1.即l ：y ＝kx ＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 12x －x 214y ＝x 22x －x224，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k y ＝－1，即M (2k ，－1)，M 点到直线l 的距离d ＝|k ·2k ＋1＋1|1＋k 2＝2|k 2＋1|1＋k 2， |AB |＝(1＋k 2)[](x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4(1＋k 2)，所以S ＝12×4(1＋k 2)×2|k 2＋1|1＋k 2＝4(1＋k 2)32≥4，当k ＝0时，△MAB 面积取得最小值4. 考点二定点、定值问题(2019·南昌模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点M 在C 的长轴上运动，过点M 且斜率大于0的直线l 与C 交于P ，Q 两点，与y 轴交于N 点．当M 为C 的右焦点且l 的倾斜角为π6时，N ，P 重合，|PM |＝2. (1)求椭圆C 的方程；(2)当N ，P ，Q ，M 均不重合时，记NP →＝λNQ →，MP →＝μMQ →，若λμ＝1，求证：直线l 的斜率为定值．解析：(1)因为当M 为C 的右焦点且l 的倾斜角为π6时，N ，P 重合，|PM |＝2，所以a ＝|PM |＝2，故b c ＝tan π6＝33，因为a 2＝b 2＋c 2，因此c ＝3，b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设l ：x ＝ty ＋m (m ≠0)，所以M (m,0)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－m t ，所以k l ＝1t .因为斜率大于0，所以t >0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则NP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，y 1＋m t ，NQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2＋m t ，由NP →＝λNQ →得，x 1＝λx 2，①同理可得y 1＝μy 2，②①②两式相乘得，x 1y 1＝λμx 2y 2，又λμ＝1，所以x 1y 1＝x 2y 2，所以(ty 1＋m )y 1＝(ty 2＋m )y 2，即t (y 21－y 22)＝m (y 2－y 1)，即(y 2－y 1)[]m ＋t (y 1＋y 2)＝0，由题意k l >0，知y 1－y 2≠0，所以m ＋t (y 1＋y 2)＝0.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ty ＋m x 24＋y 2＝1，得(t 2＋4)y 2＋2tmy ＋m 2－4＝0，依题意，y 1＋y 2＝－2tmt 2＋4，所以m －2t 2mt 2＋4＝0，又m ≠0，所以t 2＝4，因为t >0，故得t ＝2，所以k l ＝1t ＝12，即直线l 的斜率为12.考点三存在性问题已知抛物线y 2＝4x ，过点P (8，－4)的动直线l 交抛物线于A ，B 两点．(1)当P 恰为AB 的中点时，求直线l 的方程；(2)抛物线上是否存在一个定点Q ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点Q ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：(1)设A ，B 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，当P 恰为AB 的中点时，显然x 1≠x 2，故k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2，又y 1＋y 2＝－8，故k AB ＝－12，则直线l 的方程为y ＝－12x . (2)假设存在定点Q ，设Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，当直线l 斜率存在时，设l ：y ＝k (x －8)－4(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x y ＝k (x －8)－4，整理得ky 2－4y －32k －16＝0，Δ>0，y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－32－16k，由以弦AB 为直径的圆恒过点Q 知QA →·QB →＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－y 204⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－y 204＋(y 1－y 0)(y 2－y 0)＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214－y 204⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224－y 204＋(y 1－y 0)(y 2－y 0)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(y 1＋y 0)(y 2＋y 0)16＋1(y 1－y 0)(y 2－y 0)＝0，故(y 1＋y 0)(y 2＋y 0)＝－16，即y 1y 2＋y 0(y 1＋y 2)＋y 20＋16＝0，整理得(y 20－16)k ＋4(y 0－4)＝0，即当y 0＝4时，恒有QA →·QB →＝0，故存在定点Q (4,4)满足题意；当直线l 斜率不存在时，l ：x ＝8，不妨令A (8,42)，B (8，－42)，Q (4,4)，也满足QA →·QB→＝0，综上所述，存在定点Q (4,4)，使得以弦AB 为直径的圆恒过点Q .。

2020高考理科数学二轮提分专题能力训练椭圆、双曲线、抛物线 Word版含解析

专题能力训练17椭圆、双曲线、抛物线一、能力突破训练1.已知双曲线C:x 2a −y2b=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=√52x,且与椭圆x212+y23=1有公共焦点,则C的方程为()A.x 28−y210=1 B.x24−y25=1C.x 25−y24=1 D.x24−y23=1答案:B解析:由题意得ba =√52,c=3.又a2+b2=c2,所以a2=4,b2=5,故C的方程为x 24−y25=1.2.(2019黑龙江大庆二模,8)已知F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,过点R(2,1)的直线l 与抛物线C相交于A,B两点,R为线段AB的中点.若|FA|+|FB|=5,则直线l的斜率为()A.3B.1C.2D.12答案:B解析:设A(x1,y1),B(x2,y2).因为R(2,1)为线段AB的中点,所以x1+x2=2×2=4.根据抛物线的定义可知|FA|+|FB|=x1+x2+p=2×2+p=5,解得p=1.所以抛物线方程为y2=2x.所以y12=2x1,y22=2x2,两式相减并化简得y2-y1x2-x1=2y1+y2=22×1=1,即直线l的斜率为1,故选B.123.(2018全国Ⅱ,理5)若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的离心率为√3,则其渐近线方程为( ) A.y=±√2x B.y=±√3xC.y=±√22x D.y=±√32x答案:A解析:∵e=c a =√3, ∴c 2a 2=b 2+a 2a 2=(b a )2+1=3.∴ba=√2. ∵双曲线焦点在x 轴上,∴渐近线方程为y=±ba x , ∴渐近线方程为y=±√2x.4.已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ,B 两点.设A ,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2,且d 1+d 2=6,则双曲线的方程为( ) A .x 24−y 212=1 B .x 212−y 24=1C .x 23−y 29=1D .x 29−y 23=1答案:C解析:由双曲线的对称性,不妨取渐近线y=ba x.如图所示,|AD|=d 1,|BC|=d 2,过点F 作EF ⊥CD 于点E.3由题易知EF 为梯形ABCD 的中位线, 所以|EF|=12(d 1+d 2)=3.又因为点F (c ,0)到y=ba x 的距离为√22=b ,所以b=3,b 2=9.因为e=ca =2,c 2=a 2+b 2,所以a 2=3, 所以双曲线的方程为x 23−y 29=1.故选C .5.(2019全国Ⅱ,理8)若抛物线y 2=2px (p>0)的焦点是椭圆x 23p +y 2p=1的一个焦点,则p=( ) A.2 B.3 C.4 D.8答案:D解析:∵y 2=2px 的焦点坐标为p 2,0,椭圆x 23p +y 2p=1的焦点坐标为(±√3p -p ,0),∴3p-p=p 24,解得p=8,故选D .6.如图,圆柱形玻璃杯中的水液面呈椭圆形状,则该椭圆的离心率为 .。

2020届高考数学(理)二轮考点专训卷：(10)解析几何 Word版含答案

考点专训卷（10）解析几何1、已知()(),2,?3,1Aa Bb +,且直线AB 的倾斜角为90o,则,?a b 的值为( )A. 3,1a b ==B. 2,2a b ==C. 2,3a b ==D. 3,a b R =∈且1b ≠2、以(1,1),(5,3),(0,3)A B C 为顶点的三角形的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形3、已知圆 222:2450M x y ax y a+-++-=,圆N 过(1,0),(2222-三点,若圆M 与圆N 相交,则实数a 的取值范围是( )A. (2,)+∞B. (0,2)C. (-D. (-⋃4、已知圆224x y +=,直线:l y x b =+若圆224x y +=上有2个点到直线l 的距离等于1.则以下b 可能的取值是( ) A.1C.2D.5、在平面直角坐标系中，点(,)P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，点(,)Q a b 的坐标满足方程2268240a b a b ++-+=，则y bx a--的取值范围是（）A.[2,2]-B.44,33⎡---+⎢⎣⎦C.13,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D.6633⎡+⎢⎣⎦6、以椭圆2212x y +=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是( )A ．2212x y -=B ．221x y -= C ．221y x -= D ．2212y x -=7、已知点P 是椭圆22154x y +=上的一点12,F F 是椭圆的两个焦点，且1260F PF ∠=o ,则12F PF △的面积为( )A ．B ．43C D ．8(2-8、过点(1,1)P -作直线与椭圆22124x y +=交于,A B 两点，若线段AB 的中点恰好为P 点，则AB 所在直线方程是( )A ．210x y +-=B ．230x y ++=C ．210x y ++=D ．230x y -+=9、已知直线:30l x +=与椭圆22:143x y C +=交于 A B ，两点，过 A B ，分别作l 的垂线与x 轴交于 C D ，两点，则CD =（）A B ．1613 C. 3213D ．301310、若双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线被圆2260x y x +-=截得的弦长为则双曲线的离心率为( )AB C D11、若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅u u u r u u u r的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．812、已知椭圆C 的焦点为12(1,0)(1,0)F F -,，过2F 的直线与C 交于,A B 两点．若222AF F B =，1AB BF =，则C 的方程为( )A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=13、双曲线224640x y -+=上的一点P 到它的一个焦点的距离等于1，那么点P 到另一个焦点的距离为_______14、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>,,A B 是C 的长轴的两个端点，点M 是C 上的一点，满足30,45MAB MBA ︒︒∠=∠=，设椭圆C 的离心率为e ，则=2e ______. 15、椭圆22124x y +=的焦点坐标为．16、已知椭圆221112211:1(0)x y C a b a b -=>>与双曲线222222222:1(0)x y C a b a b -=>>有相同的焦点12,F F ,若点P 是1C 与2C 在第一象限内的交点,且1222F F PF =,设1C 与2C 的离心率分别为12,e e ,则21e e -的取值范围是．17、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ,左顶点为A ,以F 为圆心,FA 为半径的圆交C的右支于,M N两点，且线段AM的垂直平分线经过点N,则C的离心率为_________.18、从12345，，，，这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为6的概率是__________.19、已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>，点M是C长轴上的一个动点，过点M的直线l与C交于,P Q两点，与y轴交于点N，弦PQ的中点为R．当M为C的右焦点且l的倾斜角为5π6时，,N P重合，2PM=．（1）求椭圆C的方程；（2）当,M N均与原点O不重合时，过点N且垂直于OR的直线l与x轴交于点H．求证：OMOH为定值．20、已知点(4,0)P,点Q在曲线2:4C y x=上．(1).若点Q在第一象限内,且4PQ=,求点Q的坐标；(2).求PQ的最小值．答案以及解析1答案及解析：答案：D解析：∵直线AB 的倾斜角为90o , ∴直线AB 垂直于 x 轴,∴312,R a b b =⎧⎨+≠∈⎩∴3,1a b =≠且b R ∈.2答案及解析：答案：B解析：求得5,AB BC CA ===222BC AB CA =+,故△ABC 为直角三角形.3答案及解析：答案：D解析：由题可知,圆M 的标准方程为22()(2)9x a y -++=,因为圆N 过三点,所以圆N 的方程为221xy +=,,若圆M 与圆N 相交,则3131-<<+,解得a -<<0a≠,故选D.4答案及解析：答案：C 解析：5答案及解析：答案：B 解析：6答案及解析：答案：B 解析：7答案及解析：答案：C 解析：8答案及解析：答案：D解析：9答案及解析：答案：C解析：如图：联立22330143x yx y⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，得213183150y-+=，设1122,,()(),A x yB x y,则12183y y+=，121513y y=，218315163441313AB-⨯⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∵直线:330l x+=的倾斜角为30︒，∴163321330133ABCDcos===︒.10答案及解析：答案：C解析：依题意可得渐近线方程为0bx ay±=,而圆的标准方程为()2239x y-+=.由弦长为5,可得圆心()3,0到渐近线的距离为2,故222a b=+,即2245ba=,所以离心率222355c a b e a a +===,故选C.11答案及解析：答案：C解析：设椭圆上任意一点00(,)P x y ，则有2200143x y +=，即220033,4y x =-()220030,3,40y x O =-，0()1,F -，则22000001(1)34OP FP x x y x x ⋅=++=++u u u r u u u r201(2)24x =++. ∵02x ≤，∴当02x =时，OP FP ⋅u u u r u u u r取得最大值为6.12答案及解析：答案：B解析：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B△中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得3n =．2222423,3,312,a n a b a c∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y+=，故选B ．13答案及解析：答案：17解析：∵双曲线224640x y -+=， ∴双曲线的标准方程是2216416y x -=，∴8,a c ==双曲线上一点P 到它的一个焦点的距离等于1，设点P 到另一个焦点的距离为x ，则由双曲线定义知：116x -=，解得17x =,或15x =-(舍). ∴点P 到另一个焦点的距离是17.14答案及解析：答案：1解析：15答案及解析：答案：(0, 解析：16答案及解析：答案：1(,+)2∞解析：17答案及解析：答案：43解析：18答案及解析：答案：15解析：从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，基本事件总数2510n C ==，这2个数的和为6包含的基本事件有：()()1,5,2,4，共2个，则这2个数的和为6的概率是21105p ===20%.19答案及解析：答案：（1）因为当M 为C 的右焦点，且l 的倾斜角为5π6时，,N P 重合，2PM =.所以2a b c=⎧⎪⎨⎪⎩，因此1,b c ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设直线()()()1122:0,,,,l y kx m kP x y Q x y =+≠，将y kx m =+代入2214x y +=得：()222148440k x kmx m +++-=，所以2121222844,4141km m x x x x k k --+==++，所以2241,,44141OR km m R k k k k ⎛⎫-=- ⎪++⎝⎭所以直线l 的方程为4y kx m =+，所以点H 的坐标为,04m k ⎛⎫-⎪⎝⎭，又因为点,0m M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以4OM OH =为定值. 解析：20答案及解析：答案：设()21,04Q y y y ⎛⎫> ⎪⎝⎭．(1).由题意得4PQ =,解得4y =．∴点Q 的坐标为()4,4(2).PQ=28y =时，PQ取到最小值因此，PQ的最小值为解析：。

专题解析几何-2020年高考数学(理)二轮专项复习

专题08 解析几何平面解析几何主要介绍用代数知识研究平面几何的方法．为此，我们要关注：将几何问题代数化，用代数语言描述几何要素及其关系，将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题．在此之中，要不断地体会数形结合、函数与方程及分类讨论等数学思想与方法．要善于应用初中平面几何、高中三角函数和平面向量等知识来解决直线、圆和圆锥曲线的综合问题．§8－1 直角坐标系【知识要点】1．数轴上的基本公式设数轴的原点为O ，A ，B 为数轴上任意两点，OB ＝x 2，OA ＝x 1，称x 2－x 1叫做向量AB 的坐标或数量，即数量AB ＝x 2－x 1；数轴上两点A ，B 的距离公式是d (A ，B )＝|AB ｜＝|x 2－x 1|．2．平面直角坐标系中的基本公式设A ，B 为直角坐标平面上任意两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点之间的距离公式是.)()(||),.(212212y y x x AB B A d -+-==A ，B 两点的中点M (x ，y )的坐标公式是⋅+=+=2,22121y y y x x x 3．空间直角坐标系在空间直角坐标系O －xyz 中，若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，A ，B 两点之间的距离公式是.)()()(||),(212212212z z y y x x AB B A d -+-+-==【复习要求】1．掌握两点间的距离公式，中点坐标公式；会建立平面直角坐标系，用坐标法(也称为解析法)解决简单的几何问题．2．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，并掌握两点间的距离公式．【例题分析】例1 解下列方程或不等式：(1)｜x－3｜＝1；(2)|x－3｜≤4；(3)1＜|x－3｜≤4．略解：(1)设直线坐标系上点A，B的坐标分别为x，3，则｜x－3｜＝1表示点A到点B的距离等于1，如图8－1－1所示，图8－1－1所以，原方程的解为x＝4或x＝2．(2)与(1)类似，如图8－1－2，图8－1－2则｜x－3｜≤4表示直线坐标系上点A到点B的距离小于或等于4，所以，原不等式的解集为{x｜－1≤x≤7}．(3)与(2)类似，解不等式1＜｜x－3｜，得解集{x|x＞4，或x＜2｝，将此与不等式|x－3｜≤4的解集{x|－1≤x≤7｝取交集，得不等式1＜|x－3｜≤4的解集为{x｜－1≤x＜2，或4＜x≤7｝．【评析】解绝对值方程或不等式时，如果未知数x的次数和系数都为1，那么可以利用绝对值的几何意义来解绝对值方程或不等式．｜x－a｜的几何意义：表示数轴(直线坐标系)上点A(x)到点B(a)的距离．例2 已知矩形ABCD及同一平面上一点P，求证：PA2＋PC2＝PB2＋PD2．解：如图8－1－3，以点A为原点，以AB为x轴，向右为正方向，以AD为y轴，向上为正方向，建立平面直角坐标系．图8－1－3设AB ＝a ，AD ＝b ，则 A (0，0)，B (a ，0)，C (a ，b )，D (0，b )，设P (x ，y )，则22222222))()(()(b y a x y x PC PA -+-++=+＝x 2＋y 2＋(x －a )2＋(y －b )2， 22222222))(())((b y x y a x PD PB -+++-=+＝x 2＋y 2＋(x －a )2＋(y －b )2，所以PA 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2．【评析】坐标法是解析几何的一个基本方法,非常重要．坐标法中要注意坐标系的建立，理论上，可以任意建立坐标系，但是坐标系的位置会影响问题解决的复杂程度，适当的坐标系可以使解题过程较为简便．例3 已知空间直角坐标系中有两点A (1，2，－1)，B (2，0，2)．(1)求A ，B 两点的距离；(2)在x 轴上求一点P ，使｜PA |＝｜PB |；(3)设M 为xOy 平面内的一点，若|MA ｜＝｜MB ｜，求M 点的轨迹方程．解：(1)由两点间的距离公式，得.14)21()02()21(||222=--+-+-=AB(2)设P (a ，0，0)为x 轴上任一点，由题意得222)10()20()1(++-+-a，即a 2－2a ＋6＝a 2－4a ＋8，解得a ＝1，所以P (1，0，0)．40)2(2++-=a(3)设M (x ，y ，0)，则有整理可得x －2y －1＝0．所以，M 点的轨迹方程为x －2y －1＝0．【评析】由两点间的距离公式建立等量关系，体现了方程思想的应用．练习8－1一、选择题1．数轴上三点A ，B ，C 的坐标分别为3，－1，－5，则AC ＋CB 等于( )A ．－4B ．4C ．－12D ．12 2．若数轴上有两点A (x )，B (x 2)(其中x ∈R)，则向量的数量的最小值为( )A ．B ．0C ．D ． 3．在空间直角坐标系中，点(1，－2，3)关于yOz 平面的对称点是( )A ．(1，－2，－3)B ．(1，2，3)C ．(－1，－2，3)D ．(－1，2，3)4．已知平面直角坐标内有三点A (－2，5)，B (1，－4)，P (x ，y )，且｜AP |＝｜BP |，则实数x ，y 满足的方程为( )A ．x ＋3y －2＝0B ．x －3y ＋2＝0C ．x ＋3y ＋2＝0D ．x －3y －2＝0二、填空题5．方程｜x ＋2｜＝3的解是______；不等式｜x ＋3｜≥2的解为______．6．点A (2，3)关于点B (－4，1)的对称点为______．7．方程｜x ＋2｜－｜x －3｜＝4的解为______．8．如图8－1－4，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|DA |＝3，|DC ｜＝4，|DD 1|＝2，A 1C 的中点为M ，则点B 1的坐标是______，点M 的坐标是______，M 关于点B 1的对称点为______． ,4)0()2()10()2()1(22222+-+-=++-+-y x y x AB 214141-图8－1－4三、解答题9．求证：平行四边形ABCD满足AB2＋BC2＋CD2＋DA2＝AC2＋BD2．10．求证：以A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形．11．在平面直角坐标系中，设A(1，3)，B(4，5)，点P在x轴上，求|PA|＋｜PB｜的最小值．§8－2 直线的方程【知识要点】1．直线方程的概念如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程．．．．．．．．．．．，这条直线叫做这个方程的直线2．直线的倾斜角和斜率x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．．．．并规定，与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．因此，倾斜角α 的取值范围是0°≤α ＜180°．我们把直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的斜率．．．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直线y ＝kx ＋b 上任意两点，其中x 1≠x 2，则斜率倾斜角为90°的直线的斜率不存在，倾斜角为α 的直线的斜率k ＝tan α (α ≠90°)．3．直线方程的几种形式点斜式：y －y 1＝k (x －x 1)；斜截式：y ＝kx ＋b ；两点式：一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)．4．两条直线相交、平行与重合的条件设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则(1)l 1与l 2相交A 1B 2－A 2B 1≠0或 (2)l 1与l 2平行(3)l 1与l 2重合当直线l 1与l 2的斜率存在时，设斜率分别为k 1，k 2，截距分别为b 1，b 2，则l 1与l 2相交k 1≠k 2；l 1∥l 2k 1＝k 2，b 1≠b 2；l 1与l 2重合k 1＝k 2，b 1＝b 2．5．两条直线垂直的条件⋅--=1212x x yy k );,(2121121121y y x x x x x x y y y y =/=/--=--⇔)0(222121=/=/B A B B A A ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=/=/=≠-≠-=-).0(;00,0222212121211221211221C B A C C B B A A C A C A B C C B B A B A 或或而⇔⎪⎩⎪⎨⎧=/==≠===).0();0(,,222212*********C B A C C B B A A C C B B A A 或λλλλ⇔⇔⇔设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1⊥l 2A 1A 2＋B 1 B 2＝0．当直线l 1与l 2的斜率存在时，设斜率分别为k 1，k 2，则l 1⊥l 2k 1k 2＝－1．6．点到直线的距离点P (x 1，y 1)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d 的计算公式【复习要求】1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式：点斜式、两点式及一般式，体会斜截式与一次函数的关系．2．掌握两条直线平行与垂直的条件，点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系，能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．【例题分析】例1(1)直线的斜率是______，倾斜角为______；(2)设A (2，3)，B (－3，2)，C (－1，－1)，过点C 且斜率为k 的直线l 与线段AB 相交，则斜率k 的取值范围为______．略解：(1)直线可以化简为所以此直线的斜率为，倾斜角 (2)如图8－2－1，设直线AC 的倾斜角为α ，图8－2－1因为此直线的斜率为，所以 ⇔⇔⋅+++=2211||B A C By Ax d 082=-+y x 082=-+y x ，22822+-=x y 22-;22tan arc π-=α341213=++=AC k ;34tan =α设直线BC 的倾斜角为β ，因为此直线的斜率为所以因为直线l 与线段AB 相交，所以直线l 的倾斜角θ 满足α ≤θ ≤β ，由正切函数图象，得tan θ ≥tan α 或tan θ≤tan β，故l 斜率k 的取值范围为．【评析】(1)求直线的斜率常用方法有三种：①已知直线的倾斜角α，当α≠90°时，k ＝tan α； ②已知直线上两点的坐标(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，当x 1≠x 2时，k ＝； ③已知直线的方程Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，k ＝． (2)已知直线的斜率k 求倾斜角α 时，要注意当k >0时，α ＝arctan k ；当k <0时，α ＝π－arctan|k |．例2 根据下列条件求直线方程：(1)过点A (2，3)，且在两坐标轴上截距相等；(2)过点P (－2，1)，且点Q (－1，－2)到直线的距离为1．解：(1)设所求直线方程为y －3＝k (x －2)，或x ＝2(舍)，令y ＝0，得x ＝2－(k ≠0)；令x ＝0，得y ＝3－2k ，由题意，得2－＝3－2k ，解得k ＝或k ＝－1，所以，所求直线方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0；(2)设所求直线方程为y －1＝k (x ＋2)或x ＝－2，当直线为y －1＝k (x ＋2)，即kx —y ＋(2k ＋1)＝0时，由点Q (－1，－2)到直线的距离为1，得＝1，解得， ,231312-=+-+=BC k ⋅-=23tan β]23,[],34[-∞+∞∈Y k 1212x x y y --BA -k3k 3231|122|2++++-k k k 34-=k所以，直线，即4x ＋3y ＋5＝0符合题意；当直线为x ＝－2时，检验知其符合题意．所以，所求直线方程为4x ＋3y ＋5＝0或x ＝－2．【评析】求直线方程，应从条件出发，合理选择直线方程的形式，并注意每种形式的适应条件．特别地，在解题过程中要注意“无斜率”，“零截距”的情况．例3 已知直线l 1：(m －2)x ＋(m ＋2)y ＋1＝0，l 2：(m 2－4)x —my －3＝0，(1)若l 1∥l 2，求实数m 的值；(2)若l 1⊥l 2，求实数m 的值．解法一：(1)因为l 1∥l 2，所以(m －2)(－m )＝(m ＋2)(m 2－4)，解得m ＝2或m ＝－1或m ＝－4，验证知两直线不重合，所以m ＝2或m ＝－1或m ＝－4时，l 1∥l 2；(2)因为l 1⊥l 2，所以(m －2)(m 2－4)＋(－m )(m ＋2)＝0，解得m ＝－2或m ＝1或m ＝4．解法二：当l 1斜率不存在，即m ＝－2时，代入直线方程，知l 1⊥l 2；当l 2斜率不存在，即m ＝0时，代入直线方程，知l 1与l 2既不平行又不垂直；当l 1，l 2斜率存在，即m ≠0，m ≠－2时，可求l 1，l 2，如的斜率分别为k 1＝－，k 2＝，截距b 1＝－，b 2＝，若l 1∥l 2，由k 1＝k 2，b 1≠b 2，解得m ＝2或m ＝－1或m ＝－4，若l 1⊥l 2，由k 1k 2＝－1，解得m ＝1或m ＝4综上，(1)当m ＝2或m ＝－1或m ＝－4时，l 1∥l 2；(2)当m ＝－2或m ＝1或m ＝4时，l 1⊥l 2．【评析】两条直线平行与垂直的充要条件有几个，但各有利弊．简洁的(如解法一)相互之间易混淆，好记的要注意使用条件(如解法二，易丢“无斜率”的情况)，解题过程中要注03534=---y x 22－+m m m m 42-21+m m3-意正确使用．例4 已知直线l 过两直线l 1：3x －y －1＝0与l 2：x ＋y －3＝0的交点，且点A (3，3)和B (5，2)到l 的距离相等，求直线l 的方程．【分析】所求直线l 有两种情况：一是l 与AB 平行；二是点A ，B 在l 的两侧，此时l 过线段AB 的中点．解：解方程组得交点(1，2)，由题意，当①l 与AB 平行；或②l 过A ，B 的中点时．可以使得点A ，B 到l 的距离相等． ①当l ∥AB 时，因为，此时，即x ＋2y －5＝0； ②当l 过AB 的中点时，因为AB 的中点坐标为所以即l ：x －6y ＋11＝0．综上，所求的直线l 的方程为x ＋2y －5＝0或l ：x －6y ＋11＝0．例5 已知直线l 1：y ＝kx ＋2k 与l 2：x ＋y ＝5的交点在第一象限，求实数k 的取值范围．解法一：解方程组，得交点由题意，得，解得解法二：如图8－2－2，由l 1：y ＝k (x ＋2)，知l 1过定点P (－2，0)，⎩⎨⎧=-+=--03013y x y x 215323-=--=AB k )1(212:--=-x y l ),25,4(M ,1412252:--=--x y l ⎩⎨⎧=++=52y x k kx y ),1255,125(+--+-k k k k ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-->+-012550125k k k k ⋅<<250k图8－2－2由l 2：x ＋y ＝5，知l 2坐标轴相交于点A (0，5)，B (5，0)，因为由题意，得【评析】在例4，例5中，要充分利用平面几何知识解决问题，体会数形结合的思想与方法；要会联立两个曲线(直线)的方程，解方程得到曲线的交点，体会方程思想．例6 如图8－2－3，过点P (4，4)的直线l 与直线l 1：y ＝4x 相交于点A (在第一象限)，与x 轴正半轴相交于点B ，求△ABO 面积的最小值．图8－2－3解：设B (a ，0)，则将y ＝4x 代入直线l 的方程，得点A 的坐标为则△ABO 的面积所以当a ＝6时，△ABO 的面积S 取到最小值24．练习8－2一、选择题1．若直线l 的倾斜角的正弦为，则l 的斜率k 是( ) ,0,252005==+-=BP AP k k ⋅<<250k ),4(4044:---=-x a y l ),3)(34,3(>--a a a a a ,121)611(3234212+--=-⨯⨯=a a a a S 53A ．B ．C ．或D ．或 2．点P (a ＋b ，ab )在第二象限内，则bx ＋ay －ab ＝0直线不经过的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．“”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直”的( )A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 4．若直线与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则l 的倾角的取值范围( )A ．B ．C ．D ．二、填空题5．已知两条直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0，若l 1∥l 2，则a ＝_______．6．已知点A (3，0)，B (0，4)，则过点B 且与A 的距离为3的直线方程为_______．7．若点P (3，4)，Q (a ，b )关于直线x －y －1＝0对称，则a ＋2b ＝_______．8．若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )，(ab ≠0)共线，则的值等于_______．三、解答题9．已知点P 在直线2x ＋3y －2＝0上，点A (1，3)，B (－1，－5)．(1)求｜PA ｜的最小值；(2)若|PA |＝|PB |，求点P 坐标．10．若直线l 夹在两条直线l 1：x －3y ＋10＝0与l 2：2x ＋y －8＝0之间的线段恰好被点P (0，1)平分，求直线l 的方程． 43-4343-433434-21=m 3:-=kx y l )3π,6π[)2π,3π()2π,6π(]2π,6π[ba 11+211．已知点P到两个定点M(－1，0)、N(1，0)距离的比为，点N到直线PM的距离为1．求直线PN的方程．§8－3 简单的线性规划问题【知识要点】1．二元一次不等式(组)所表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面区域中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(开半平面)，且不含边界线．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域包括边界线(闭半平面)．(2)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是指各个不等式组所表示的平面区域的公共部分．(3)可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧任取一点，一般地取特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的正(或负)来判断Ax＋By＋C＞0(或Ax＋By＋C＜0)所表示的区域．当C≠0时，常把原点(0，0)作为特殊点．(4)也可以利用如下结论判断区域在直线哪一侧：①y＞kx＋b表示直线上方的半平面区域；y＜kx＋b表示直线下方的半平面区域．②当B＞0时，Ax＋By＋C＞0表示直线上方区域，Ax＋By＋C＜0表示直线下方区域．2．简单线性规划(1)基本概念目标函数：关于x，y的要求最大值或最小值的函数，如z＝x＋y，z＝x2＋y2等．约束条件：目标函数中的变量所满足的不等式组．线性目标函数：目标函数是关于变量的一次函数．线性约束条件：约束条件是关于变量的一次不等式(或等式)．线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题．最优解：使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解．可行解：满足线性约束条件的解(x ，y )叫可行解．可行域：由所有可行解组成的集合叫可行域．(2)用图解法解决线性规划问题的一般步骤：①分析并将已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数，求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解．【复习要求】1．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．2．能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．【例题分析】例1 (1)若点(3，1)在直线3x －2y ＋a ＝0的上方，则实数a 的取值范围是______；(2)若点(3，1)和(－4，6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则实数a 的取值范围是______．解：(1)将直线化为由题意，得，解得a ＜－7． (2)由题意，将两点代入直线方程的左侧所得符号相反，则(3×3－2＋a )[3×(－4)－12＋a ]＜0，即(a ＋7)(a －24)＜0，所以，实数a 的取值范围是(－7，24)．例2 (1)如图8－3－1，写出能表示图中阴影部分的不等式组；,223a x y +=23231a +⨯>图8－3－1(2)如果函数y ＝ax 2＋bx ＋a 的图象与x 轴有两个交点，试在aOb 坐标平面内画出点(a ，b )表示的平面区域．略解：(1) (2)由题意，得b 2－4a 2＞0，即(2a ＋b )(2a －b )＜0，所以或，点(a ，b )表示的平面区域如图8－3－2．图8－3－2【评析】除了掌握二元一次不等式表示平面区域外，还应关注给定平面区域如何用不等式表示这个逆问题．例3 已知x ，y 满足求：(1)z 1＝x ＋y 的最大值；(2)z 2＝x －y 的最大值；(3)z 3＝x 2＋y 2的最小值；，02210⎪⎩⎪⎨⎧≥+-->≤y x y x ⎩⎨⎧<->+0202b a b a ⎩⎨⎧>-<+0202b a ba ⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+.033,042,022y x y x y x(4)的取值范围(x ≠1)．略解：如图8－3－3，作出已知不等式组表示的平面区域．图8－3－3易求得M (2，3)，A (1，0)，B (0，2)．(1)作直线x ＋y ＝0，通过平移，知在M 点，z 1有最大值5；(2)作直线x －y ＝0，通过平移，知在A 点，z 2有最大值1；(3)作圆x 2＋y 2＝r 2，显然当圆与直线2x ＋y －2＝0相切时，r 2有最小值，即z 3有最小值 (4)可看作(1，0)与(x ，y )两点连线的斜率，所以z 4的取值范围是(－∞，－2]∪[3，＋∞)．【评析】对于非线性目标函数在线性约束条件下的最值问题，要充分挖掘其目标函数z 的几何意义．z 的几何意义常见的有：直线的截距、斜率、圆的半径等．例4 某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件则z ＝10x ＋10y 的最大值是( )(A)80 (B)85 (C)90 (D)95略解：由题意，根据已知不等式组及可得到点(x ，y )的可行域．14-=x yz 2)52(;541-x y ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x ⎩⎨⎧≥≥00y x如图8－3－4．图8－3－4作直线x ＋y ＝0，通过平移，知在M 点，z ＝10x ＋10y 有最大值，易得又由题意，知x ，y ∈N ，作适当调整，知可行域内点(5，4)可使z 取最大值，所以，z max ＝10×5＋10×4＝90，选C ．【评析】实际问题中，要关注是否需要整数解．例5 某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克．今预算每日原料总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日产量最大?解：设此工厂每日需甲种原料x 吨，乙种原料y 吨，则可得产品z ＝90x ＋100y (千克)．由题意，得上述不等式组表示的平面区域如图8－3－5所示，阴影部分(含边界)即为可行域．图8－3－5作直线l ：90x ＋100y ＝0，并作平行于直线l的一组直线与可行域相交，其中有一条直),29,211(M ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,2045,1232.0,0，2000400500，600015001000y x y x y x y x y x yx线经过可行域上的M 点，且与直线l 的距离最大，此时目标函数达到最大值．这里M 点是直线2x ＋3y ＝12和5x ＋4y ＝20的交点，容易解得M ，此时z 取到最大值答：当每天提供甲原料吨，乙原料吨时，每日最多可生产440千克产品．例6 设函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4．(1)在平面直角坐标系aOb 中，画出点(a ，b )所表示的区域；(2)试利用(1)所得的区域，求f (－2)的取值范围．解：(1)∵f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，∴即如图8－3－6，在平面直角坐标系aOb 中，作出满足上述不等式组的区域，阴影部分(含边界)即为可行域．图8－3－6(2)目标函数f (－2)＝4a －2b ．在平面直角坐标系aOb 中，作直线l ：4a －2b ＝0，并作平行于直线l 的一组直线与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的B 点，且与直线l 的距离最大，此时目标函数达到最大值．这里B 点是直线a －b ＝2和a ＋b ＝4的交点，容易解得B (3，1)，此时f (－2)取到最大值4×3－2×1＝10．)720,712(71290⨯.440720100=⨯+712720⎩⎨⎧≤+≤≤-≤.42,21b a b a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+≤-≥-.4,2,2,1b a b a b a ba同理，其中有一条直线经过可行域上的C 点，此时目标函数达到最小值．这里C 点是直线a －b ＝1和a ＋b ＝2的交点，容易解得此时f (－2)取到最小值所以5≤f (－2)≤10．【评析】线性规划知识是解决“与二元一次不等式组有关的最值(或范围)问题”的常见方法之一．练习8－3一、选择题1．原点(0，0)和点(1，1)在直线x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是 ( )A ．a ＜0或a ＞2B ．a ＝0或a ＝2C ．0＜a ＜2D ．0≤a ≤22．若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ≤1，则z ＝x －y 的最大值是( )A ．－1B ．1C ．2D ．－23．已知x 和y 是正整数，且满足约束条件则z ＝2x ＋3y 的最小值是( )A ．24B ．14C ．13D ．11.54．根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O 沿正东偏北α 方向行走－段时间后，再向正北方向行走一段时间，但α 的大小以及何时改变方向不定．如图8－3－7．假定机器人行走速度为10米/分钟，设机器人行走2分钟时的可能落点区域为S ，则S 可以用不等式组表示为( )图8－3－7),21,23(C .5212234=⨯-⨯⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+.72,2,10x y x y x )2π0(≤≤αA ．B ．C ．D ．二、填空题 5．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是______．6．若实数x 、y 满足，则的取值范围是______． 7．点P (x ，y )在直线4x ＋3y ＝0上，且满足－14≤x －y ≤7，则点P 到坐标原点距离的取值范围是______．8．若当实数x ，y 满足时，z ＝x ＋3y 的最小值为－6，则实数a 等于______．三、解答题9．如果点P 在平面区域内，点Q (2，2)，求|PQ |的最小值．10．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100％和50％()，可能的最大亏损率分别为30％和10％( ⎩⎨⎧≤≤≤≤200200y x ⎩⎨⎧≥+≤+2040022y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+0040022y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+202020y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+20202x y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤>≤+-2001x x y x x y ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-a x y x y x 005⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+≥+-0102022y x y x y x %100⨯=投资额盈利额盈利率投资额亏损额亏损率=)，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过 1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投多少万元，才能使可能的盈利最大?11．设a ，b ∈R ，且b (a ＋b ＋1)＜0，b (a ＋b －1)＜0．(1)在平面直角坐标系aOb 中，画出点(a ，b )所表示的区域； (2)试利用(1)所得的区域，指出a 的取值范围．§8－4 圆的方程【知识要点】1．圆的方程(1)标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，其中点(a ，b )为圆心，r 为半径． (2)一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，其中圆心为，半径为2．点和圆的位置关系设圆的半径为r ，点到圆的圆心距离为d ，则d ＞r 点在圆外； d ＝r 点在圆上； d ＜r 点在圆内．3．直线与圆的位置关系(1)代数法：联立直线与圆的方程，解方程组，消去字母y ，得关于x 的一元二次方程，则%100⨯)2,2(ED --21.422F E D -+⇔⇔⇔＞0方程组有两解直线和圆相交；＝0方程组有一解直线和圆相切；＜0方程组无解直线和圆相离．(2)几何法(重点)：计算圆心到直线的距离d ，设圆的半径为r ，则d ＜r 直线和圆相交； d ＝r 直线和圆相切； d ＞r 直线和圆相离．4．圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R ，r (R ≥r )，两圆的圆心距为d (d ＞0)，则d ＞R ＋r 两圆相离； d ＝R ＋r 两圆外切； R －r ＜d ＜R ＋r 两圆相交； d ＝R －r 两圆内切； d ＜R －r 两圆内含．【复习要求】1．掌握圆的标准方程与一般方程，能根据条件，求出圆的方程．2．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系，解决一些简单问题．【例题分析】例1根据下列条件，求圆的方程：(1)一条直径的端点是A (3，2)，B (－4，1)；(2)经过两点A (1，－1)和B (－1，1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上； (3)经过两点A (4，2)和B (－1，3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2．【分析】求圆的方程，可以用待定系数法．若已知条件与圆心、半径有关，则设圆的标准方程，如第(2)问．若已知条件与圆心、半径关系不大，则设圆的一般方程，如第(3)问．∆⇔⇔∆⇔⇔∆⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔解：(1)由题意圆心为AB 的中点M ，即，因为所以圆的半径所以，所求圆的方程为 (2)方法一：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，则，解得所以，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4．方法二：由圆的几何性质可知，圆心一定在弦AB 的垂直平分线上．易得AB 的垂直平分线为y ＝x ．由题意，解方程组，得圆心C 为(1，1)，于是，半径r ＝｜AC |＝2，所以，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4． (3)设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，因为圆过点A ，B ，所以 4D ＋2E ＋F ＋20＝0，① －D ＋3E ＋F ＋10＝0，②在圆的方程中，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，设圆在x 轴上的截距为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－D ．在圆的方程中，令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，设圆在y 轴上的截距为y 1，y 2，则y 1＋y 2＝－E ．)212,243(+-)23,21(-M ,50)12()43(||22=-++=AB ⋅==250||21AB r ⋅=-++225)23()21(22y x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+--=--+-=-+222222)1()1()1()1(02r b a r b a b a ⎪⎩⎪⎨⎧===2,11r b a ⎩⎨⎧=-+=02y x xy由题意，得－D ＋(－E )＝2，③解①②③，得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12，所以，所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0．【评析】①以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为一直径端点的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0．②求圆的方程时，要注意挖掘题中圆的几何意义(如第(2)问)；③待定系数法求圆的方程时，要恰当选择的圆的方程(如第(3)问)，这样有时能大大减少运算量．例2 (1)点P (a ，b )在圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上，求过点P 的圆的切线方程； (2)若点P (a ，b )在圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)内，判断直线ax ＋by ＝r 2与圆C 的位置关系．解：(1)方法一：因为切线l 与半径OP 垂直，又可求出直线OP 的斜率，所以可得切线l 的斜率，再由点斜式得到切线方程．但要注意斜率是否存在(详细过程略)．方法二：设Q (x ，y )为所求切线上任一点，则，即(x －a ，y －b )·(a ，b )＝0．整理得ax ＋by ＝a 2＋b 2，又因为P 在圆上，所以a 2＋b 2＝r 2，故所求的切线方程为ax ＋by ＝r 2． (2)由已知，得a 2＋b 2＜r 2，则圆心O (0，0)到直线ax ＋by ＝r 2的距离所以此直线与圆C 相离．【评析】随着点P (a ，b )与圆C ：x 2＋y 2＝r 2的位置关系的变化，直线l ：ax ＋by ＝r 2与圆C 的位置关系也在变化．①当点P 在圆C 上时，直线l 与圆C 相切；②当点P 在圆C 内时，直线l 与圆C 相离；③当点P 在圆外时，直线l 与圆C 相交．例3 已知点A (a ，3)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4． (1)设a ＝3，求过点A 且与圆C 相切的直线方程；(2)设a ＝4，直线l 过点A 且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程；(3)设a ＝2，直线l 1过点A ，求l 1被圆C 截得的线段的最短长度，并求此时l 1的方程．0=⋅.||22222r rr ba r d =>+=3解：(1)如图8－4－1，此时A (3，3)，图8－4－1设切线为y －3＝k (x －3)或x ＝3，验证知x ＝3符合题意；当切线为y －3＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋3＝0时，圆心(1，2)到切线的距离解得所以，切线方程为3x ＋4y －21＝0或x ＝3． (2)如图8－4－2，此时A (4，3)，图8－4－2设直线l 为y －3＝k (x －4)或x ＝4(舍)，设弦PQ 的中点为M ，则｜CP |＝r ＝2，,21|332|2=++--=k k k d ,43-=k ,3||=PM所以，即圆心到直线l 的距离为1，于是，解得k ＝0或，所以，直线l 的方程为或y ＝3． (3)如图8－4－3，此时A (2，3)，设所截得的线段为DE ，圆心到直线l 1的距离为d ，图8－4－3则，即因为直线l 1过点A ，所以圆心到直线l 1的距离为d ≤|CA｜＝故当d ＝时，，此时AC ⊥l 1，因为所以＝－1，故直线l 1方程为y －3＝－(x －2)，即x ＋y －5＝0．【评析】(1)用点斜式设直线方程时，要注意斜率是否存在；(2)涉及直线与圆的位置关系问题时，用与圆有关的几何意义解题较为方便，常见的有：①比较圆心到直线的距离与半径的大小；②如图8－4－2，在由弦心距、半径及弦组成的Rt △CMP 中，有｜CM |2＋｜MP |2＝｜CP ｜2，CM ⊥MP 等；③如图8－4－1，由切线段、半径组成的Rt △AB C ．,1||||||22=-=PM CP CM 11|342|2=++--=k k k d 43x y 43=222|)|21(r d DE =+,42||2d DE -=,2222||min =DE ,11223=--=AC k 1l k例4 已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：mx ＋y ＋m ＝0．求证：不论m 取何值，直线l 与圆C 恒交于两点．【分析】要证明直线l 与圆C 恒交于两点，可以用圆心到直线的距离小于半径，也可以联立直线和圆的方程，消去y 后用判别式大于零去证明，但此题这两种方法计算量都很大．如果能说明直线l 恒过圆内一定点，那么直线l 与圆C 显然有两个交点．解：因为直线l ：mx ＋y ＋m ＝0可化为y ＝－m (x ＋1)，所以直线l 恒过点A (－1，0)，又圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25的圆心为(1，2)，半径为5，且点A 到圆C 的圆心的距离等于所以点A 为圆C 内一点，则直线l 恒过圆内一点A ，所以直线l 与圆C 恒交于两点．例5 四边形ABCD 的顶点A (4，3)，B (0，5)，C (－3，－4)，D O 为坐标原点． (1)此四边形是否有外接圆，若有，求出外接圆的方程，若没有，请说明理由； (2)记△ABC 的外接圆为W ，过W 上的点E (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)作圆W 的切线l ，设l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点P 、Q ，求△OPQ 面积的最小值．【分析】判断四点是否共圆，初中的方法是证明一组对角之和为180°，此题此法不易做．如何用所学知识解决问题是此题的关键，如果想到三点共圆，那么可以求出过三点的圆的方程，然后再判断第四点是否在圆上，问题就迎刃而解．解：(1)设△ABC 的外接圆为W ，圆心M (a ，b )，半径为r (r ＞0)．则W 为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2．由题意，得，解得，所以W ：x 2＋y 2＝25．将点D 的坐标代入W 的方程，适合．所以点D 在△ABC 的外接圆W 上，故四边形ABCD 有外接圆，且外接圆的方程为x 2＋y 2＝25． (2)设切线l 的斜率为k ，直线ME (即OE )的斜率为k 1，,522)2()11(22<=-+--).1,62(⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--+--=-+-=-+-222222222)4()3()5()0()3()4(r b a r b a r b a ⎪⎩⎪⎨⎧===500r b a∵圆的切线l 垂直于过切点的半径，∴∴切线，整理得而，∵点E (x 0，y 0)在圆W 上，即，∴切线l ：x 0x ＋y 0y ＝25．在l 的方程中，令x ＝0，得，同理 ∴△OPQ 的面积 ∵，(其中x 0＞0，y 0＞0)∴当且仅当时，等号成立．即当时，△OPQ 的面积有最小值25．练习8－4一、选择题1．以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝3 B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝3C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝92．圆x 2＋y 2－4x ＋4y ＋6＝0截直线x －y －5＝0所得的弦长等于( ) A ．B ．C ．1D ．5,11k k -=Θ,,00001y xk x y k -=∴=)(:0000x x y xy y l --=-202000y x y y x x +=+252020=+y x )25,0(,2500y Q y y ∴=).0,25(0x P ,26252525210000y x y x S OPQ ==⋅⋅∆002020225y x y x ≥=+.2525625262500=≥=∆y x S OPQ 22500==y x )225225(，E 62253．若直线与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则( ) A ．a 2＋b 2≤1B ．a 2＋b 2≥1C ．D ．4．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于点(1，2)对称的圆的方程为( ) A ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝5 B ．(x －4)2＋(y －4)2＝5C ．(x ＋4)2＋(y ＋4)2＝5 D ．(x ＋4)2＋(y ＋2)2＝5 二、填空题5．由点P (－1，4)向圆x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0所引的切线长是______． 6．若半径为1的圆分别与y 轴的正半轴和射线相切，则这个圆的方程为______．7．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为的点共有______个．8．若不等式x 2＋2x ＋a ≥－y 2－2y 对任意的实数x 、y 都成立，则实数a 的取值范围是______．三、解答题9．已知直线l ：x －y ＋2＝0与圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点． (1)当a ＝－2时，求弦AB 的垂直平分线方程； (2)当l 被圆C 截得弦长为时，求a 的值．10．已知圆满足以下三个条件：①截y 轴所得的弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离为．求该圆的方程．1=+bya x 11122≤+ba 11122≥+ba )0(33≥=x x y 2325511．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：mx ＋y ＋m ＝0．求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度，以及此时l 的方程．§8－5 曲线与方程【知识要点】1．轨迹方程一般地，一条曲线可以看成动点运动的轨迹，曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程．2．曲线与方程在平面直角坐标系中，如果曲线C 与方程F (x ，y )＝0之间有如下关系： (1)曲线C 上点的坐标都是方程F (x ，y )＝0的解； (2)以方程F (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上．那么，曲线C 叫做方程F (x ，y )＝0的曲线，方程F (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程． 3．曲线的交点已知两条曲线C 1和C 2的方程分别是F (x ，y )＝0，G (x ，y )＝0，那么求两条曲线C 1和C 2的交点坐标，只要求方程组的实数解就可以得到．【复习要求】1．了解曲线与方程的对应关系，体会数形结合的思想、方程思想． 2．会求简单的轨迹方程；能根据方程研究曲线的简单性质．【例题分析】例1 已知点A (－1，0)，B (2，0)，动点P 到点A 的距离与它到点B 的距离之比为2，⎩⎨⎧==0),(0),(y x G y x F。

2020-2021学年高考总复习数学(理)二轮复习精选《解析几何》试题及答案解析

最新高三数学二轮复习精选专题练（理科，有解析）解析几何1、在△ABC 中，若A ＝60°，a则sin sin sin a b cA B C+-+-等于（）A ．2 B.12【答案】A 【解析】因为sin sin sin a b c A B C +-+-＝sin aA＝2.2、直线10x y ++=的倾斜角与其在y 轴上的截距分别是（）.A 1,135ο.B 1,45-ο.C 1,45ο.D 1,135-ο【答案】D【解析】因为k=-1,所以直线的倾斜角为135o ；当x=0时，y=-1,所以其在y 轴上的截距分别是-1.3、与直线+32=0x y -关于x 轴对称的直线方程为（） A ．32=0x y --B ．32=0x y -+ C ．+32=0x y +D ．3+2=0x y - 【答案】A【解析】直线023=-+y x 与x 轴的交点为()0,2，与y 轴的交点为⎪⎭⎫ ⎝⎛32,0，⎪⎭⎫ ⎝⎛32,0关于x 对称点为⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,0，所求直线过点()0,2，⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,0，因此斜率3120032=---=k ，因此所求直线()2310-=-x y 023=--y x .4、过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>左焦点F 斜率为ab的直线分别与C 的两渐近线交于点P 与Q ，若FP PQ =u u u r u u u r，则C 的渐近线的斜率为（）A ．3±B ．2±C ．1±D ．5± 【答案】A【解析】如图:双曲线左焦点(),0F c -,直线的方程为:()ay x c b=+,两条渐近线方程为:by x a=±解方程组得222222,P Q a c a c x x a b a b -==+-+又FP PQ =u u u r u u u r 所以P 是FQ 中点,所以2222224222222222222222b 3a b 33Q F p a c a c a b a b b x x x c a b a b a b a b a a---+=⇒-=⇒=⇒=⇒=⇒=±-++-++.5、已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【答案】B6、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a ＝λ，b 3λ(λ>0)，A ＝45°，则满足此条件的三角形个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数个【答案】A7、已知圆222()()x a y b r -+-=的圆心为抛物线24y x =的焦点,且与直线3420x y ++=相切,则该圆的方程为（）A.2264(1)25x y -+=B.2264(1)25x y +-=C.22(1)1x y -+=D. 22(1)1x y +-=【答案】C8、直线x +a 2y +6=0和直线(a －2)x +3ay +2a =0没有公共点，则a 的值是 A.a =3 B.a =0 C.a =－1 D.a =0或－1 【答案】D9、在平面区域{}(,)||1,||1x y x y ≤≤上恒有22ax by -≤，则动点(,)P a b 所形成平面区域的面积为（）A. 4B.8C. 16D. 32 【答案】A【解析】平面区域{}(,)||1,||1x y x y ≤≤的四个边界点（—1，—1），（—1，1），（1，—1），（1，1）满足22ax by -≤，即有22,22,22,22a b a b a b a b +≤-≤--≤-+≤由此计算动点(,)P a b 所形成平面区域的面积为4。

2020版新高考复习理科数学教学案：解析几何含答案

教课资料范本2020版新高考复习理科数学教教案：分析几何含答案编辑： __________________时间： __________________4讲分析几何■真题调研——————————————x2 y2【例 1】[20xx ·天津卷 ]设椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的左焦点为 F.上极点为 B.已知椭圆的短轴长为 4.离心率为55.(1)求椭圆的方程；(2)设点 P在椭圆上 .且异于椭圆的上、下极点 .点M为直线 PB与x 轴的交点 .点N在y轴的负半轴上．若 |ON|＝|OF|(O为原点 ).且OP⊥ MN.求直线 PB的斜率．c5解： (1)设椭圆的半焦距为 c.依题意 .2b＝4.a＝5 .又 a2＝b2＋c2.可得 a＝ 5.b＝2.c＝1.x2 y2所以 .椭圆的方程为5＋4＝1.(2)由题意 .设 P(x P.y P)(x P≠0).M(x M, 0)．设直线 PB 的斜率为k(k≠0).又 B(0,2).则直线 PB 的方程为 y＝kx＋2.与椭圆方程联立得y＝kx＋2，20kx2 y2整理得 (4＋5k2)x2＋20kx＝0.可得 x P＝－4＋5k2.代5＋4＝1，8－10k2yP 4－5k2入 y＝kx＋2 得 y P＝4＋5k2 .从而直线 OP 的斜率xP＝－10k .在 y＝kx＋22.由题意得 N(0.－1).所以直线 MN 的斜率中.令 y＝0.得 x M＝－kk4－5k2 －k224为－2.由 OP⊥ MN.得－10k·2＝－ 1.化简得 k＝5 .从而 k＝230±5 .230230.所以 .直线 PB 的斜率为或－553Ⅰ]已知抛物线 C ：y 2＝3x 的焦点为 F.斜率为 2 的直线 l 与 C 的交点为 A.B.与x 轴的交点为 P.(1)若|AF|＋|BF|＝4.求l 的方程；→＝ →(2)若AP 3PB.求|AB|.3解：设直线 l ：y ＝2x ＋t.A(x 1.y 1).B(x 2.y 2)．33(1)由题设得 F 4，0 .故|AF|＋|BF|＝ x 1＋x 2＋2.由题设可得 x 1＋x 25 ＝2.3由 y ＝2x ＋t ，可得 9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0.则 x 1＋x 2＝－y2＝3x12 t －112 t －15 79 .从而－9＝2.得 t ＝－ 8. 3 7所以 l 的方程为 y ＝2x －8.由 → →＝－ 3y 2(2) ＝3PB 可得 y 1.AP3由 y ＝2x ＋t ，可得 y 2－2y ＋2t ＝0.y2＝3x所以 y 1＋y 2＝2.从而－ 3y 2＋y 2＝2.故 y 2＝－ 1.y 1＝3.1代入 C 的方程得 x 1＝3.x 2＝3.4 13故 |AB|＝ 3 .Ⅱ ]已知点 A(－2,0).B(2,0).动点 M(x.y)知足直线 AM 与BM 的斜率之积为1－2.记M 的轨迹为曲线 C.(1)求C 的方程 .并说明 C 是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交 C 于P.Q 两点 .点P 在第一象限 .PE ⊥ x 轴.垂足为 E.连结 QE 并延伸交 C 于点 G.(ⅰ)证明：△ PQG 是直角三角形；(ⅱ)求△ PQG 面积的最大值．解： (1)由题设得 yy ＝－ 1 化简得x2 y2· 2.4 ＋2 ＝1(|x|≠2).所以x ＋2 x －2C 为中心在座标原点 .焦点在 x 轴上的椭圆 .不含左右极点．(2)( ⅰ)设直线 PQ 的斜率为 k.则其方程为 y ＝kx(k ＞0)．y ＝kx ，由 x2 y22.得 x ＝±4＋2＝11＋2k2记 u ＝2.则 P().Q(－u.－uk).E(u,0)．1＋2k2k k于是直线 QG 的斜率为 2.方程为 y ＝2(x －u)．k由y ＝2 x － u ，得(2＋k2 2－2uk 2 ＋ 2 2－8＝0. ①x2y2)x x k u4＋2 ＝1设 G(x G .y G ).则－ u 和 x G 是方程①的解 .u 3k 2＋2 uk3故 x G ＝ 2＋k 2 .由此得 y G ＝2＋k2.uk32＋k2－uk 1从而直线 PG 的斜率为u 3k 2＋2 ＝－ k .2＋k 2－u所以 PQ⊥PG.即△ PQG 是直角三角形．(ⅱ)由(ⅰ)得 |PQ|＝2u2uk k2＋11＋k2.|PG|＝2＋k2.18k 1＋k22＝所以△ PQG 的面积 S＝2|PQ||PG|＝＋2＋12k 2 k18 k＋k.11＋2 k＋k 21设 t＝k＋k.则由 k＞0 得 t≥2.当且仅当 k＝1 时取等号．8t因为 S＝1＋2t在[2.＋∞)上单一递减 .所以当 t＝2.即 k＝ 1 时.S取16得最大值 .最大值为9 .16所以 .△PQG 面积的最大值为9 .x21【例 4】[20xx ·全国卷Ⅲ ]已知曲线 C：y＝2 .D为直线 y＝－2上的动点 .过D作C的两条切线 .切点分别为 A.B.(1)证明：直线 AB过定点；5(2)若以 E 0，2为圆心的圆与直线 AB相切 .且切点为线段 AB的中点 .求四边形 ADBE 的面积．1解： (1)设 D t ，－2 .A(x1.y1).则 x21＝2y1.由 y′＝x.所以切线 DA 的斜率为 x1.1y1＋2故x1－t＝x1.5/14设 B(x 2.y 2).同理可得 2tx 2－2y 2＋1＝0.故直线 AB 的方程为 2tx －2y ＋1＝0.1所以直线 AB 过定点 0，2 .1(2)由(1)得直线 AB 的方程为 y ＝tx ＋2.1y ＝tx ＋2，由可得 x 2－2tx －1＝0.x2y ＝ 2于是 x 1＋x 2＝2t.x 1x 2＝－ 1.y 1＋ y 2＝t(x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1.＝＋－x ＝＋ t2 × x 1 ＋x 2－4x ＝2(t 2＋1)． |AB| 1 t2 |x 1 2 | 1 2 1x 2设 d 1.d 2 分别为点 D.E 到直线 AB 的距离 .则 d 1＝ t2 ＋1.d 2＝2t2 ＋1.1所以 .四边形 ADBE 的面积 S ＝2|AB|(d 1＋d 2)＝(t 2＋3) t 2 ＋1.1设 M 为线段 AB 的中点 .则 M t ，t2 ＋2 .因为→⊥→→＝ 2－→与向量平行所以＋2－＝EM AB.而EM (t.t 2).AB(1.t) . t (t 2)t0.解得 t ＝0 或 t ＝ ±1.当 t ＝0 时 .S ＝3；当 t ＝±1 时.S ＝4 2.所以 .四边形 ADBE 的面积为 3 或 4 2.■模拟操练 ——————————————x2 y21．[20xx ·南昌二模 ]已知椭圆 C ：a2＋b2＝1(a>b>0).点 M 在C 的长轴上运动 .过点 M 且斜率大于 0的直线 l 与C 交π于P.Q两点 .与y轴交于 N点．当 M为C的右焦点且 l的倾斜角为时.N.P重合 .|PM|＝2.(1)求椭圆 C的方程；→→ →(2)当均不重合时 .记NP＝λNQ.MP→＝μMQ.若λμ＝1.求证：直线 l的斜率为定值．6π解： (1)因为当 M 为 C 的右焦点且 l 的倾斜角为6时.N.P 重合.|PM|＝2.b3所以＝＝所以椭圆的方程为x2所以 a＝2. ＝3 .3.b C＋y2c c 1.4＝1.m1.(2)设 l：x＝ty＋m(t>0.m≠0).则 M(m,0).N 0，－.k l＝t t 设 P(x1122则→＝ x1，y1＋m→＝ x2，y2＋m.y ).Q(x .y ).NP t .NQ t .→→由 NP＝λNQ得.x ＝λx①12.同理可得 y1＝μy2②.两式相乘得 .x11＝λμx22又λμ＝所以 1 1＝x22y y . 1.x y y .所以 (ty1＋ m)y1＝(ty2＋m)y2即－＝2－y1).即(y2－y1. t(y21 y2)m(y)[m ＋t(y1＋y2)] ＝0.由 k l>0.知 y1－y2≠0.所以 m＋t(y1＋y2)＝0.x＝ty ＋m，由x2得(t2＋4)y2＋2tmy＋m2－4＝0.所以y1＋y2 4＋y2＝1，2tm＝－t2 ＋4.2t2m所以 m－t2＋4＝0.又 m≠0.所以 t2＝4.解得 t＝2(t＝－ 2 舍去 ).1 11所以 k l＝t＝2.即直线 l 的斜率为2.2．[20xx ·济南模拟]设 M是抛物线 E：x2＝2py(p>0)上的一点 .抛物线 E在点 M处的切线方程为 y＝x－1.(1)求E的方程．(2)已知过点 (0,1)的两条不重合直线 l1.l2的斜率之积为 1.且直线 l1.l 2分别交抛物线E于A.B两点和C.D两点 .能否存在常数λ使得|AB|＋|CD | ＝λ|AB| ·|CD|建立？若存在 .求出λ的值；若不存在 .请说明原因．y＝x－1，解： (1)解法一：由消去y得x2－2px＋2p＝0.x2＝2py由题意得＝4p2－8p＝0.因为 p>0.所以 p＝2.故抛物线 E：x2＝4y.x20x2x 解法二：设 M x0，2p.由 x2＝2py 得 y＝2p.则 y′＝p.x0p＝1，由解得 p＝2.x202p＝x0－1，故抛物线 E：x2＝4y.1(2)假定存在常数λ使得 |AB|＋ |CD|＝λ|AB| ·|CD|建立 .则λ＝|AB|＋1|CD|.由题意知 .l1.l 2的斜率存在且均不为零 .设直线 l 1的方程为 y＝kx＋1(k≠0).则由y＝kx＋1，消去 y x2＝4y，得.x2－4kx－4＝0.设 A(x1.y1).B(x2.y2).则 x1＋x2＝4k.x1·x2＝－ 4.8/14所以 |AB|＝1＋k2x1＋x22－4x1 2＝1＋k216k2＋16＝4(1＋xk2)(也能够由 y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝4k2＋2.获得 |AB|＝y1＋y2＋2＝4(1＋k2))．1因为直线 l1.l 2的斜率之积为 1.所以 |CD|＝4 1＋k2 .11111 ＝所以λ＝|AB|＋|CD|＝4 1＋k2＋1＋4k21＋k214 1＋k2＝4.1所以存在常数λ＝4使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|建立．3．[20xx ·福建质检]在平面直角坐标系 xOy中.圆F： (x－1)2＋y2＝1外的点 P在y轴的右边运动 .且P到圆 F上的点的最小距离等于它到 y轴的距离 .记P 的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)过点 F的直线交 E于A.B两点 .以AB为直径的圆 D与平行于 y 轴的直线相切于点 M.线段 DM 交E于点 N.证明：△ AMB的面积是△AMN的面积的四倍．解：解法一： (1)设 P(x.y).依题意 x＞0.F(1,0)．因为 P 在圆 F 外.所以 P 到圆 F 上的点的最小距离为 |PF|－1.依题意得 |PF|－1＝x.即x－1 2＋y2－1＝x.化简得 E 的方程为 y2＝4x(x＞0)．(2)当直线 AB 的斜率不存在时 .不切合题意 .舍去．当直线 AB 的斜率存在时 .如图 .在平面直角坐标系中 .9/14设 N(x 0.y 0).A(x 1.y 1).B(x 2.y 2).则 Dx1＋x2，y1＋y2.22设直线 AB 的方程为 y ＝k(x －1)(k ≠0).y ＝k x －1 ，得 k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋ k 2＝0.由y 2＝4x因为＝(2k 2＋4)2－4k 4＝16k 2＋16＞0.所以 x 1＋x 2＝ 2k2＋4k2 .4所以 y 1＋y 2＝k(x 1－1)＋k(x 2－1)＝k .＋ 2 2故 Dk2k2 ，k .4k2＋4由抛物线的定义知 |AB|＝ x 1＋x 2＋2＝.k22设 M(x M .y M ).依题意得 y M ＝k .k2＋2所以 |MD|＝k2－x M .|AB|k2＋22又 |MD|＝ 2 .所以 k2 －x M ＝k2＋2.2解得 x M ＝－ 1.所以 M －1，k .因为 N x0， 2在抛物线上 .k11 2所以 x 0＝k2.即 N k2，k .所以 S △AMB ＝ 1－y ＝ k2＋1 － y|.2|MD||y 1 2|k2 |y 1 21S △ AMN ＝2|MN||y 1－y D |＝11k2＋12|MN|×2|y 1－y 2|＝ 4k2 |y 1－y 2|.故 S△AMB＝4S△AMN .解法二： (1)设 P(x.y).依题意 x＞0.因为 P 在圆 F 外.所以 P 到 F 上的点的最小距离为 |PF|－1.依题意得 .点 P 到圆 F(1,0)的距离 |PF|等于 P 到直线 x＝－ 1 的距离．所以 P 在以 F(1,0)为焦点 .x＝－ 1 为准线的抛物线上 .所以 E 的方程为 y2＝4x(x＞0)．(2)如图 .在平面直角坐标系中 .设 A(x1.y1).B(x2.y2)．因为直线 AB 过 F(1,0).依题意可设其方程为x＝ty＋1(t≠0)．x＝ty ＋1，由y2＝4x得 y2－4ty－4＝0.因为＝16t2＋16＞0.所以 y1＋y2＝4t.则有 x1＋x2＝(ty1＋1)＋(ty2＋1)＝4t2＋2.因为 D 是 AB 的中点 .所以 D(2t2＋1,2t)．由抛物线的定义得|AB|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝4t2＋4.设与圆 D 相切于 M.且平行于 y 轴的直线为 l：x＝m.因为 DM 与抛物线订交于N.所以 m＜0.且 DM⊥l.11又 |DM|＝2|AB|.所以 2t2＋1－m＝2(4t2＋4).解得 m＝－ 1.设 N(x0.y0).则 y0＝2t.所以 (2t)2＝4x0.所以 x0＝t2.2t2 ＋1＋－1因为2＝t2.所以 N 为 DM 的中点 .△△所以 S AMD ＝2S AMN.又 D 为 AB 的中点 .S△AMB＝2S△AMD .所以 S△AMB＝ 4S△AMN .解法三： (1)同解法一．(2)如图 .在平面直角坐标系中 .连结 MF.NF.设 A(x1.y1).B(x2.y2)．因为直线 AB 过 F(1,0).依题意可设其方程为x＝ty＋1(t≠0)．x＝ty ＋1，由y2＝4x得 y2－4ty－4＝0.因为＝16t2＋16＞0.所以 y1＋y2＝4t.所以 y M＝y D＝2t.|AB|因为 |MD|＝2.|AB|＝x1＋x2＋2.x1＋x2|MD|＝－x M.2所以x1＋ x2＋2 x1＋x22＝2－x M.解得 x M＝－ 1.所以 M(－1,2t)．所以 k MF·AB＝2t×1＝－ 1.k－1－1t故∠ MFD ＝90°.又 |NM|＝|NF|.所以 |NF|＝|ND|.1从而 |MN|＝ |ND|.所以 S△AMN＝2S△AMD .1又 S △ AMD ＝2S △ AMB .所以 S △ AMB ＝ 4S △AMN .4．[20xx ·郑州质量展望二]在平面直角坐标系 xOy 中.已知圆 C 1： x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与直线 l 0：y＝x ＋2 →2相切 .点 A 为圆 C 1上一动点 .AN ⊥x 轴于点 N.且动点 M 知足OM＋→＝→.设动点 M 的轨迹为曲线 C.AM ON(1)求曲线 C 的方程；(2)设P.Q 是曲线 C 上两动点 .线段 PQ 的中点为 T.直线 OP.OQ 的斜1率分别为 k 1.k 2.且k 1k 2＝－ 4.求|OT|的取值范围．解： (1)设动点 M(x.y).A(x 0.y 0).因为 AN ⊥x 轴于点 N.∴ N(x 0,0)．又圆 C 1：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与直线 l 0：y ＝x ＋2 2.即 x－ y ＋2 2＝0 相切 .|2 2|∴ r ＝＝2.2∴圆 C 1：x 2＋y 2＝4.由 →＋→ ＝→OM AM ON.得(x.y)＋(x －x 0.y －y 0)＝(x 0,0).2x －x0＝x0， x0＝x ， ∴即2y －y0＝0，y0＝2y ，又点 A 为圆 C 1 上一动点 .∴ x 2＋4y 2＝4.x2∴曲线 C 的方程为 4 ＋y 2＝1.1(2)当直线 PQ 的斜率不存在时 .可取直线 OP 的方程为 y ＝2x.不如取点 P 222， 2 .则 Q 2，－ 2 .T( 2.0).∴ |OT|＝ 2.13/14当直线 PQ 的斜率存在时 .设直线 PQ 的方程为 y＝kx＋m.P(x1.y1).Q(x2.y2).y＝kx＋m，由可得 (1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.x2＋4y2＝4，－8km4m2－4∴x1＋x2＝1＋4k2.x1x2＝1＋4k2.1∵k1k2＝－4.∴4y1y2＋x1x2＝0.∴4(kx1＋ m)(kx2＋m)＋x1x2＝(4k2＋1)x1x2＋4km(x1＋ x2)＋4m2＝32k2m24m2－4－1＋4k2＋ 4m2＝0.1化简得 2m2＝1＋4k2.∴m2≥2.＝64k2m2－4(4k2＋1)(4m2－4)＝16(4k2＋1－ m2)＝16m2＞0.x1＋x2－4km－2k设 T(x′0.y′0).则 x′0＝2＝1＋4k2＝m .y′0＝kx′0＋m1＝.2m∴|OT|2＝ x′02＋y′02＝4k2＋1＝2－3∈1，2 .m2 4m24m2 2∴ |OT|∈2.， 22综上 .|OT|的取值范围为2.， 2 2。

2020江苏高考理科数学二轮练习：高考热点追踪解析几何专题强化精练提能含解析

1．(20xx·苏州期末)双曲线x 2－y24＝1的渐近线方程为________．[解析] 令x 2－y24＝0、得y ＝±2x 、即为双曲线x 2－y24＝1的渐近线方程．[答案] y ＝±2x2．(20xx·南京、盐城模拟)椭圆x24＋y2m ＝1的一条准线方程为y ＝m 、则m ＝________．[解析] 焦点在y 轴上、mm －4＝m 、m ＝5． [答案] 53．(20xx·太原调研)直线x －2y ＋2＝0过椭圆x2a2＋y2b2＝1的左焦点F 1和一个顶点B 、则椭圆的方程为________．[解析] 直线x －2y ＋2＝0与x 轴的交点为(－2、0)、即为椭圆的左焦点、故c ＝2．直线x －2y ＋2＝0与y 轴的交点为(0、1)、即为椭圆的顶点、故b ＝1．故a 2＝b 2＋c 2＝5、椭圆方程为x25＋y 2＝1．[答案] x25＋y 2＝14．已知双曲线C ：x2a2－4y 2＝1(a ＞0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于34、抛物线E ：y 2＝2px 的焦点与双曲线C 的右焦点重合、直线l 的方程为x －y ＋4＝0、在抛物线上有一动点M 到y 轴的距离为d 1、到直线l 的距离为d 2、则d 1＋d 2的最小值为________．[解析] x2a2－4y 2＝1的右顶点坐标为(a 、0)、一条渐近线为x －2ay ＝0．由点到直线的距离公式得d ＝|a|1＋4a2＝34、解得a ＝32或a ＝－32(舍去)、故双曲线的方程为4x23－4y 2＝1．因为c ＝34＋14＝1、故双曲线的右焦点为(1、0)、即抛物线的焦点为(1、0)、所以p ＝2、x ＝－1是抛物线的准线、因为点M 到y 轴的距离为d 1、所以到准线的距离为d 1＋1、设抛物线的焦点为F 、则d 1＋1＝|MF |、所以d 1＋d 2＝d 1＋1＋d 2－1＝|MF |＋d 2－1、焦点到直线l 的距离d 3＝|1－0＋4|2＝52＝522、而|MF |＋d 2≥d 3＝522、所以d 1＋d 2＝|MF |＋d 2－1≥522－1．[答案] 522－15．(20xx·南京、盐城高三模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝1、圆M ：(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝1．若圆M 上存在点P 、过点P 作圆O 的两条切线、切点为A 、B 、使得∠APB ＝60°、则实数a 的点(1、0)都适合这个方程、故直线AB 恒过定点C (1、0)．14．(20xx·江苏四星级学校联考)定义：设在平面内给定一点O 和常数k (k ≠0)、对于平面内任意一点A 、确定A ′、使A ′在直线OA 上、若线段长度|OA |与|OA ′|满足|OA |·|OA ′|＝r 2、则称这种变换是以O 为反演中心、以r 2为反演幂的反演变换、简称“反演”、称A ′为A 关于O (r )的反演点．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1、F 2、上顶点为B 、若△BF 1F 2是等边三角形、且椭圆经过点(2、3)．(1)求椭圆的方程；(2)若P 、M 是椭圆上不同的两点、点M 关于x 轴的对称点为N 、直线MP 、NP 分别交x 轴于点E (x 1、0)、F (x 2、0)、试探究E 、F 两点是否互为反演点？如果是、请说明理由、并求出反演幂r 2；如果不是、请说明理由．[解] (1)由题意可知、⎩⎨⎧b a ＝324a2＋9b2＝1、得⎩⎨⎧a ＝4b ＝23、故椭圆的方程为x216＋y212＝1．(2)设P (x 0、y 0)、M (m 、n )、则N (m 、－n )、则直线PM ：y －y 0＝n －y0m －x0(x －x 0)、令y ＝0、得x 1＝my0－nx0y0－n 、同理可得x 2＝my0＋nx0y0＋n 、所以x 1·x 2＝m2y20－n 2x 20y 20－n 2．又x2016＋y2012＝1、m216＋n212＝1、所以x 1x 2＝16（1－n212）y20－16（1－y 2012）n 2y 20－n 2＝16．即|OE |·|OF |＝16、故E 、F 两点互为反演点、且反演幂r 2＝16．。

2020版新高考二轮复习理科数学专题强化训练(十四) 解析几何 Word版含解析

姓名，年级：时间：专题强化训练（十四) 解析几何一、选择题1．［2019·福建五校联考］已知m 是3与12的等比中项，则圆锥曲线错误!＋错误!＝1的离心率是（）A ．2B.错误!C.错误! D ．2或错误!解析：因为m 是3与12的等比中项，所以m 2＝3×12＝36，解得m ＝±6.若m ＝－6，则曲线的方程为错误!－错误!＝1，该曲线是双曲线,其离心率e ＝错误!＝2；若m ＝6，则曲线的方程为x 26＋错误!＝1，该曲线是椭圆，其离心率e ＝错误!＝错误!.综上，所求离心率是2或错误!.故选D 。

答案:D 2．［2019·南昌重点中学］已知双曲线E ：x 2a 2－错误!＝1(a 〉0，b 〉0）的两条渐近线分别为l 1，l 2，若E 的一个焦点F 关于l 1的对称点F ′在l 2上，则双曲线E 的离心率为( ）A.错误!B ．2 C.错误! D.错误!解析：∵双曲线E 的一个焦点F 关于l 1的对称点F ′在l 2上，且双曲线E ：错误!－错误!＝1（a 〉0，b >0)的焦点在x 轴上，∴x 轴和直线l 2关于直线l 1对称,又双曲线E 的两条渐近线l 1，l 2关于x 轴对称，∴错误!＝tan60°＝错误!,∴双曲线E 的离心率e ＝错误!＝2，故选B 。

答案：B3．［2019·广东六校联考]已知直线l的倾斜角为45°,直线l与双曲线C:错误!－错误!＝1(a>0,b>0)的左、右两支分别交于M，N两点,且MF1，NF2都垂直于x轴(其中F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点），则该双曲线的离心率为（)A.错误!B.错误!C.5－1D.错误!解析：根据题意及双曲线的对称性,可知直线l过坐标原点，|MF1|＝|NF2｜。

设点M(－c，y0），则N(c，－y0）,错误!－错误!＝1，即｜y0｜＝错误!.由直线l的倾斜角为45°，且|MF1｜＝｜NF2|＝|y0|，得|y0｜＝c，即错误!＝c，整理得c2－ac－a2＝0，即e2－e－1＝0，解得e＝错误!或e＝错误!（舍去)，故选D。

2020—2021年新高考总复习数学二轮复习专题强化-解析几何.docx

5 解析几何时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2015·郑州市质检)“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a ＋2)x－3y－2＝0垂直”的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 两直线垂直的充要条件为a(a＋2)－3＝0，解得a＝－3或a＝1，故选B．2．(文)已知圆O的方程是x2＋y2－8x－2y＋10＝0，则过点M(3,0)的最短弦所在的直线方程是( )A．x＋y－3＝0 B．x－y－3＝0C．2x－y－6＝0 D．2x＋y－6＝0[答案] A[解析] 圆O的方程是x2＋y2－8x－2y＋10＝0，即(x－4)2＋(y－1)2＝7，圆心O(4,1)，设过点M(3,0)的最短弦所在的直线为l，∵k OM ＝1，∴k l＝－1，∴l的方程为：y＝－1·(x－3)，即x＋y－3＝0.(理)已知动圆C经过点F(0,1)并且与直线y＝－1相切，若直线3x－4y＋20＝0与圆C有公共点，则圆C的面积( )A ．有最大值为πB ．有最小值为πC ．有最大值为4πD ．有最小值为4π[答案] D[解析] 如图所示，由圆C 经过点F(0,1)，并且与直线y ＝－1相切，可得点C 的轨迹为抛物线x 2＝4y ，显然以抛物线x 2＝4y 上任一点为圆心可作出任意大的圆与直线3x －4y ＋20＝0相交，且此圆可无限大，即圆C 的面积不存在最大值，设圆C 与3x －4y ＋20＝0相切于点A ，其圆心为(x 0，y 0)，则由AC ＝PC 可得d ＝3x 0－4y 0＋205＝y 0＋1(点C 在直线3x －4y ＋20＝0的右方)，即3x 0－x 20＋205＝14x 20＋1，解得x 0＝－2或x 0＝103(舍去)，当x 0＝－2时，圆心C 坐标为(－2,1)，此时圆C 的半径为2，即可得圆C 的面积的最小值为4π，故应选D ．3．(文)(2015·江西上饶三模)已知点M(－6,5)在双曲线C ：x2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)上，双曲线C 的焦距为12，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±52xB ．y ＝±255xC ．y ＝±23xD ．y ＝±32x[答案] A[解析]由条件知⎩⎪⎨⎪⎧36a 2－25b2＝1，a 2＋b 2＝c 2，c ＝6，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝25，c ＝6.∴渐近线方程为y ＝±52x.(理)(2015·新课标Ⅱ理，11)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3 D ． 2[答案] D[解析] 考查双曲线的标准方程和简单几何性质．设双曲线方程为x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)，如图所示，|AB|＝|BM|，∠ABM ＝120°，过点M 作MN ⊥x 轴，垂足为N ，在Rt △BMN 中，|BN|＝a ，|MN|＝3a ，故点M 的坐标为M(2a ，3a)，代入双曲线方程得a 2＝b 2＝c 2－a 2，即c 2＝2a 2，所以e ＝2，故选D ．4．抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A 、B 两点，若P(1,1)为线段AB 的中点，则抛物线C 的方程为( )A ．y ＝2x 2B ．y 2＝2x C ．x 2＝2y D ．y 2＝－2x[答案] B[解析] 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，抛物线方程为y 2＝2px ，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1y 22＝2px 2，两式相减可得2p ＝y 1－y 2x 1－x 2×(y 1＋y 2)＝k AB ×2＝2，即可得p ＝1，∴抛物线C 的方程为y 2＝2x ，故应选B ．5．(文)(2015·新课标Ⅰ文，5)已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B是C 的准线与E 的两个交点，则|AB|＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12[答案] B[解析] 抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)．因为E 的右焦点与抛物线焦点重合，所以椭圆中c ＝2，离心率e ＝c a ＝12，所以a＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4，则椭圆方程为x 216＋y 212＝1，因为抛物线的准线方程为x ＝－2，当x ＝－2时，y ＝±3，则|AB|＝2×3＝6.故本题正确答案为B ．(理)过原点O 作直线l 交椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)于点A 、B ，椭圆的右焦点为F 2，离心率为e.若以AB 为直径的圆过点F 2，且sin ∠ABF 2＝e ，则e ＝( )A.12 B ．22C.23 D ．32[答案] B[解析] 记椭圆的左焦点为F 1，依题意得|AB|＝2c ，四边形AF 1BF 2为矩形，sin ∠ABF 2＝|AF 2||AB|＝|AF 2|2c ＝e ，|AF 2|＝2ce ，|AF 1|2＝(2a－|AF 2|)2＝(2a －2ce)2，|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2，(2a －2ce)2＋(2ce)2＝(2c)2，由此解得e ＝22，选B ．6．半径不等的两定圆O 1、O 2没有公共点，且圆心不重合，动圆O 与定圆O 1和定圆O 2都内切，则圆心O 的轨迹是( )A ．双曲线的一支B ．椭圆C ．双曲线的一支或椭圆D ．双曲线或椭圆[答案] C[解析] 设⊙O 1、⊙O 2、⊙O 的半径分别为r 1、r 2、R ，且r 1>r 2>0，当⊙O 1与⊙O 2外离时，由条件知⊙O 1与⊙O 2都内切于⊙O ，∴|OO 1|＝R －r 1，|OO 2|＝R －r 2，∴|OO 2|－|OO 1|＝r 1－r 2,0<r 1－r 2<|O 1O 2|，∴点O 的轨迹是以O 1、O 2为焦点的双曲线靠近O 1点的一支；当⊙O 2内含于⊙O 1时，应有⊙O 内切于⊙O 1，⊙O 2内切于⊙O ，∴|OO 1|＝r 1－R ，|OO 2|＝R －r 2，∴|OO 1|＋|OO 2|＝r 1－r 2，∵O 1与O 2不重合，且r 1>r 2，∴r 1－r 2>|O 1O 2|，∴点O 的轨迹为以O 1、O 2为焦点的椭圆，故选C.7．(文)已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A ．(12，2) B ．(1，＋∞)C ．(1,2)D ．(12，1)[答案] C[解析] 由题意可得，2k －1>2－k>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>2－k ，2－k>0，解得1<k<2，故选C.(理)(2014·广东文，8)若实数k 满足0<k<5，则曲线x 216－y25－k ＝1与曲线x 216－k －y25＝1的( )A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等[答案] D[解析] ∵0<k<5，∴两方程都表示双曲线，由双曲线中c 2＝a 2＋b 2得其焦距相等，选D ．8．(2014·大纲全国理，6)已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y22＝1 B ．x 23＋y 2＝1C.x 212＋y28＝1 D ．x 212＋y24＝1[答案] A[解析] 根据条件可知c a ＝33，且4a ＝43，∴a ＝3，c ＝1，b 2＝2，椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.9．(文)已知P 点是x 2＋y 2＝a 2＋b 2与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)在第一象限内的交点，F1、F2分别是C的左、右焦点，且满足|PF1|＝3|PF2|，则双曲线的离心率e为( )A．2 B．6 2C.102D．52[答案] C[解析] 设|PF2|＝x，则|PF1|＝3x，∴|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝10x2＝4c2，∴c＝102x，由双曲线的定义知，2a＝|PF1|－|PF2|＝2x，∴a＝x，∴e＝ca ＝102，故选C.(理)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点A在双曲线上，且AF2⊥x轴，若|AF1||AF2|＝53，则双曲线的离心率等于( )A．2 B．3C. 2 D． 3[答案] A[解析] 设|AF2|＝3x，则|AF1|＝5x，∴|F1F2|＝4x，∴c＝2x，由双曲线的定义知，2a ＝|AF 1|－|AF 2|＝2x ， ∴a ＝x ，∴e ＝ca＝2.10．(文)过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，直线l 与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若AF →＝FB →，BA →·BC →＝36，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝6x B ．y 2＝3x C ．y 2＝12x D ．y 2＝23x[答案] D[解析] ∵F(p 2，0)，设A(x 0，y 0)，y 0>0，则C(－p2，y 0)，B(p－x 0，－y 0)，由条件知p －x 0＝－p 2，∴x 0＝3p2，∴y 20＝2p ·3p 2＝3p 2，∴y 0＝3p ，∴B(－p 2，－3p)，A(3p 2，3p)，C(－p 2，3p)，∴BA →·BC →＝(2p,23p)·(0,23p)＝12p 2＝36，∴p ＝3，∴抛物线方程为y 2＝23x.(理)过双曲线M ：x 2－y 2b 2＝1的左顶点A 作斜率为2的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且BC →＝2AB →，则双曲线M 的离心率是( )A. 5 B ．10 C.17 D ．37[答案] C[解析] 由条件知A(－1,0)，∴l ：y ＝2(x ＋1)，双曲线渐近线方程为y ＝±bx ，∵BC→＝2AB →，∴B 在A ，C 之间，∴由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x ＋1)，y ＝－bx ，得B(－2b ＋2，2bb ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x ＋1)，y ＝bx ，得C(2b －2，2bb －2)，再由BC→＝2AB →得b ＝4，∴e ＝17. 11．若抛物线y 2＝2px 上恒有关于直线x ＋y －1＝0对称的两点A 、B ，则p 的取值范围是( )A ．(－23，0)B ．(0，32)C ．(0，23)D ．(－∞，0)∪(23，＋∞)[答案] C[解析] 设直线AB ：y ＝x ＋b ，代入y 2＝2px 中消去x 得，y2－2py ＋2pb ＝0，∴y 1＋y 2＝2p ，x 1＋x 2＝y 1＋y 2－2b ＝2p －2b ，由条件知线段AB 的中点(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，即(p －b ，p)在直线x ＋y －1＝0上，∴b ＝2p －1，Δ＝4p 2－8pb ＝4p 2－8p(2p －1)＝－12p 2＋8p>0，∴0<p<23.12．(2015·郑州市质检)已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的两焦点分别是F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于P ，Q 两点，若|PF 2|＝|F 1F 2|，且2|PF 1|＝3|QF 1|，则椭圆的离心率为( )A.35 B ．45C.34 D ．325[答案] A[解析] 由已知得|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ， ∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝2a －2c ，|QF 1|＝23|PF 1|＝43(a －c)，|QF 2|＝2a －|QF 1|＝2a －23(2a －2c)＝23a＋43c |PQ|＝103(a －c)在△PF 1F 2和△PF 2Q 中，由余弦定理得： cos ∠F 2PQ ＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝|PQ|2＋|PF 2|2－|QF 2|22|PQ|·|PF 2|即(2a －2c )2＋(2c )2－(2c )22(2a －2c )·2c＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫103a －103c 2＋(2c )2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23a ＋4c 322(103a －103c )·2c整理得5c 2－8ac ＋3a 2＝0，即5e 2－8e ＋3＝0， ∴e ＝35或e ＝1(舍)．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13．(文)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)与抛物线y 2＝8x 有公共焦点，且双曲线上的点到坐标原点的最短距离为1，则该双曲线的离心率为________．[答案] 2[解析] ∵抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，∴双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)中c ＝2，又a ＝1，∴e ＝ca＝2.(理)过双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足恰好落在曲线x 2b 2＋y2a 2＝1上，则双曲线的离心率为________．[答案]2[解析] 不妨设双曲线的一个焦点为(c,0)，(c>0)，一条渐近线方程为y ＝ba x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y －0＝－ab(x －c )y ＝bax 得垂足的坐标为(a2c，ab c )，把此点坐标代入方程x 2b 2＋y 2a 2＝1，得a 4b 2c 2＋a 2b2a 2c 2＝1，化简，并由c 2＝a 2＋b 2得a ＝b ，∴e ＝ca＝ 2.14．(文)设抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，经过点P(1,4)的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，且点P 恰为AB 的中点，则|AF →|＋|BF →|＝________.[答案] 10[解析] 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由题意知x 1＋x 2＝2，且x 21＝4y 1，x 22＝4y 2，两式相减整理得，y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝12，所以直线AB的方程为x －2y ＋7＝0，将x ＝2y －7代入x 2＝4y 整理得4y 2－32y ＋49＝0，所以y 1＋y 2＝8，又由抛物线定义得|AF →|＋|BF →|＝y 1＋y 2＋2＝10.(理)椭圆Γ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2c ，若直线y ＝3(x ＋c)与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．[答案]3－1[解析] 本题考查了椭圆离心率的求解．如图，由题意易知F 1M ⊥F 2M 且|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，∴2a ＝(3＋1)c ，∴c a ＝23＋1＝3－1.15．(2015·潍坊市模拟)抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O 、F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线方程为________．[答案] y 2＝16x[解析] 由圆的面积为36π，得圆的半径r ＝6，圆心到准线的距离为p 2＋p 4＝6，得p ＝8，所以抛物线方程为y 2＝16x.16．(文)(2015·兰州市诊断)椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，若椭圆C 的离心率等于12，且它的一个顶点恰好是抛物线x 2＝83y 的焦点，则椭圆C 的标准方程为________．[答案] x216＋y212＝1[解析] 由题设知抛物线的焦点为(0,23)，所以椭圆中b＝2 3.因为e＝ca＝12，所以a＝2c，又因为a2－b2＝c2，联立解得c＝2，a＝4，所以椭圆C的标准方程为x216＋y212＝1.(理)(2014·安徽理，14)若F1、F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．[答案] x2＋32y2＝1[解析] 如图，由题意，A点横坐标为c，∴c2＋y2b2＝1，又b2＋c2＝1，∴y2＝b4，∴|AF2|＝b2，又∵|AF 1|＝3|BF 1|，∴B 点坐标为(－53c ，－13b 2)，代入椭圆方程得，⎩⎪⎨⎪⎧(－53c )2＋(－13b 2)2b 2＝1，b 2＝1－c 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧c 2＝13，b 2＝23方程为x 2＋32y 2＝1.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)(2015·唐山市二模)已知抛物线E ：x 2＝4y ，m ，n 是过点A(a ，－1)且倾斜角互补的两条直线，其中m 与E 有唯一公共点B ，n 与E 相交于不同的两点C ，D ．(1)求m 的斜率k 的取值范围；(2)当n 过E 的焦点时，求B 到n 的距离．[解析] (1)m ：y ＋1＝k(x －a)，n ：y ＋1＝－k(x －a)，分别代入x 2＝4y ，得x 2－4kx ＋4ka ＋4＝0 ①， x 2＋4kx －4ka ＋4＝0 ②，由Δ1＝0得k 2－ka －1＝0，由Δ2＞0得k 2＋ka －1＞0，故有2k 2－2＞0，得k 2＞1，即k ＜－1或k ＞1. (2)E 的焦点F(0,1)，k AF ＝－2a ＝－k ，所以ak ＝2.∴k 2＝ka ＋1＝3，B(2k ，k 2)，所以B 到n 的距离d ＝|3k 2－ak ＋1|1＋k2＝|3k 2－1|1＋k2＝4.18．(本题满分12分)(2015·石家庄市一模)在平面直角坐标系xOy 中，一动圆经过点(1,0)且与直线x ＝－1相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E.(1)求曲线E 的方程；(2)已知点A(5,0)，倾斜角为π4的直线l 与线段OA 相交(不经过点O 或点A)且与曲线E 交于M 、N 两点，求△AMN 面积的最大值，及此时直线l 的方程．[解析] (1)由题意可知圆心到点(1,0)的距离等于到直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程：y 2＝4x.(2)解法一：由题意，可设l 的方程为y ＝x －m ，其中0＜m ＜5由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －my 2＝4x，消去y ，得x 2－(2m ＋4)x ＋m 2＝0①当0＜m ＜5时，方程①的判别式Δ＝(2m ＋4)2－4m 2＝16(1＋m)＞0成立．设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)则x 1＋x 2＝4＋2m ，x 1·x 2＝m 2， ∴|MN|＝2|x 1－x 2|＝ 42＋2m 又因为点A 到直线l 的距离为d ＝5－m 2∴S △AMN ＝2(5－m)1＋m ＝2m 3－9m 2＋15m ＋25. 令f(m)＝m 3－9m 2＋15m ＋25，(0<m<5)， f ′(m)＝3m 2－18m ＋15＝3(m －1)(m －5)，(0<m<5) 所以函数f(m)在(0,1)上单调递增，在(1,5)上单调递减．当m ＝1时，f(m)有最大值32，故当直线l 的方程为y ＝x －1时，△AMN 的最大面积为8 2. 解法二：由题意，可设l 与x 轴相交于B(m,0), l 的方程为x ＝ y ＋m ，其中0＜m ＜5由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ＋m y 2＝4x，消去x ，得y 2－4y －4m ＝0 ①∵直线l 与抛物线有两个不同交点M 、N ，∴方程①的判别式Δ＝(－4)2＋16m ＝16(1＋m)＞0必成立，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)则y 1＋y 2＝4，y 1·y 2＝－4m. ∴S △＝12(5－m) |y 1－y 2|＝12(5－m)(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2(5－m)1＋m ＝2m 3－9m 2＋15m ＋25. 令f(m)＝m 3－9m 2＋15m ＋25，(0<m<5)， f ′(m)＝3m 2－18m ＋15＝3(m －1)(m －5)，(0<m<5) 所以函数f(m)在(0,1)上单调递增，在(1,5)上单调递减．当m ＝1时， f(m)有最大值32，故当直线l 的方程为y ＝x －1时，△AMN 的最大面积为8 2. 19．(本题满分12分)(文)设点P 是曲线C ：x 2＝2py(p>0)上的动点，点P 到点(0,1)的距离和它到焦点F 的距离之和的最小值为54. (1)求曲线C 的方程；(2)若点P 的横坐标为1，过P 作斜率为k(k ≠0)的直线交C 于点Q ，交x 轴于点M ，过点Q 且与PQ 垂直的直线与C 交于另一点N ，问是否存在实数k ，使得直线MN 与曲线C 相切？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．[解析] (1)依题意知1＋p 2＝54，解得p ＝12.所以曲线C 的方程为x 2＝y.(2)由题意直线PQ 的方程为：y ＝k(x －1)＋1，则点M(1－1k ，0)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)＋1y ＝x 2，消去y 得x 2－kx ＋k －1＝0，得Q(k－1，(k－1)2)．所以得直线QN的方程为y－(k－1)2＝－1k(x－k＋1)．代入曲线方程y＝x2中，得x2＋1kx－1＋1k－(1－k)2＝0.解得N(1－1k－k，(1－k－1k)2)．所以直线MN的斜率k MN＝(1－k－1k)2 (1－1k－k)－(1－1k)＝－(1－k－1k)2k.过点N的切线的斜率k′＝2(1－k－1k )．由题意有－(1－k－1k)2k＝2(1－k－1k)．解得k＝－1±52.故存在实数k＝－1±52使命题成立．(理)(2015·郑州市质检)设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，F1，F2为左、右焦点，B为短轴端点，且S△BF1F2＝4，离心率为22，O为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恰有两个交点M 、N ，且满足|OM →＋ON →|＝|OM →－ON →|？若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由．[解析] (1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>0，b>0)，由题意得S△BF 1F 2＝12×2c ×b ＝4，e ＝c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，所以解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4.所以椭圆C 的方程为x 28＋y24＝1.(2)假设存在圆心在原点的圆x 2＋y 2＝r 2，使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点M ，N ，因为|OM →＋ON →|＝|OM →－ON →|，所以有OM→·ON →＝0，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，当切线斜率存在时，设该圆的切线方程为y ＝kx ＋m ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 28＋y24＝1得x 2＋2(kx ＋m)2＝8，即(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0，则Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－8)＝8(8k 2－m 2＋4)>0，即8k 2－m 2＋4>0，x 1,2＝－4km ±16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－8)2(1＋2k 2)∴x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－81＋2k2；y 1y 2＝(kx 1＋m)(kx 2＋m)＝k 2x 1x 2＋km(x 1＋x 2)＋m 2＝k 2(2m 2－8)1＋2k 2－4k 2m 21＋2k 2＋m 2＝m 2－8k 21＋2k2，要使OM →·ON →＝0，需x 1x 2＋y 1y 2＝0，即2m 2－81＋2k 2＋m 2－8k 21＋2k 2＝0，所以3m 2－8k 2－8＝0，所以k 2＝3m 2－88≥0，又8k 2－m 2＋4>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2>23m 2≥8，所以m 2≥83，即m ≥263或m ≤－263，因为直线y ＝kx ＋m为圆的一条切线，所以圆的半径为r ＝|m|1＋k 2，r 2＝m 21＋k 2＝m 21＋3m 2－88＝83，r ＝263，所求的圆为x 2＋y 2＝83，此时圆的切线y ＝kx ＋m 都满足m ≥263或m ≤－263，而当切线的斜率不存在时，切线为x ＝±263与椭圆x 28＋y24＝1的两个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫263，±263或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－263，±263满足OM →·ON →＝0，综上，存在圆心在原点的圆x2＋y2＝83满足条件．20．(本题满分12分)(2015·北京文，20)已知椭圆C：x2＋3y2＝3.过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x＝3交于点M.(1)求椭圆C的离心率；(2)若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．[分析] 本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，先将椭圆方程化为标准方程，得到a，b，c的值，再利用e＝ca计算离心率；第二问，由直线AB的特殊位置，设出A，B点坐标和直线AE的方程，由直线AE与x＝3相交于M点，得到M点坐标，利用点B、点M的坐标，求直线BM的斜率；第三问，分直线AB的斜率存在和不存在两种情况进行讨论，第一种情况，直接分析即可得出结论，第二种情况，先设出直线AB和直线AE的方程，将椭圆方程与直线AB的方程联立，消参，得到x1＋x2和x1x2，代入到k BM＝1中，只需计算出等于0即可证明k BM＝k DE，即两直线平行．[解析] (1)椭圆C的标准方程为x23＋y2＝1.所以a＝3，b＝1，c＝ 2.所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝63.(2)因为AB 过点D(1,0)且垂直于x 轴，所以可设A(1，y 1)，B(1，－y 1)．直线AE 的方程为y －1＝(1－y 1)(x －2)．令x ＝3，得M(3,2－y 1)．所以直线BM 的斜率k BM ＝2－y 1＋y 13－1＝1.(3)直线BM 与直线DE 平行．证明如下：当直线AB 的斜率不存在时，由(2)可知k BM ＝1. 又因为直线DE 的斜率k DE ＝1－02－1＝1，所以BM ∥DE.当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝k(x －1)(k ≠1)．设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则直线AE 的方程为y －1＝y 1－1x 1－2(x －2)．令x ＝3，得点M(3，y 1＋x 1－3x 1－2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，y ＝k (x －1)得(1＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－3＝0. 所以x 1＋x 2＝6k 21＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－31＋3k2.直线BM的斜率k BM＝y1＋x1－3 x1－2－y23－x2.因为k BM－1＝k(x1－1)＋x1－3－k(x2－1)(x1－2)－(3－x2)(x1－2)(3－x2)(x1－2)＝(k－1)[－x1x2＋2(x1＋x2)－3](3－x2)(x1－2)＝(k－1)[－3k2＋31＋3k2＋12k21＋3k2－3](3－x2)(x1－2)＝0，所以k BM＝1＝k DE.所以BM∥DE.综上可知，直线BM与直线DE平行．21．(本题满分12分)(文)(2015·南昌市一模)已知圆E：x2＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫y－122＝94经过椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点F1，F2，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点共线，直线l交椭圆C于M，N两点，且MN→＝λOA→(λ≠0)．(1)求椭圆C的方程；(2)当三角形AMN的面积取到最大值时，求直线l的方程．[解析] (1)如图，圆E 经过椭圆C 的左、右焦点F 1，F 2，∵F 1，E ，A 三点共线，∴F 1A 为圆E 的直径，∴AF 2⊥F 1F 2，∴F 2(c,0)在圆上， ∴c2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0－122＝94， ∵c>0，∴c ＝2，|AF 2|2＝|AF 1|2－|F 1F 2|2＝9－8＝1，∴|AF 2|＝1,2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝3＋1＝4，∴a ＝2，∵a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2， ∴椭圆C 的方程x 24＋y22＝1.(2)点A 的坐标(2，1)，∵MN→＝λOA →(λ≠0)，所以直线l 的斜率为22，故设直线l 的方程为y ＝22x ＋m由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22x ＋m ，x 24＋y22＝1，消去y 得，x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)∴x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝m 2－2，Δ＝2m 2－4m 2＋8>0，∴－2<m<2， |MN|＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋12(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝12－3m 2，点A 到直线l 的距离d ＝6|m|3，S △AMN ＝12|MN|· d ＝1212－3m 2×63|m|＝22(4－m 2)m 2≤22×4－m 2＋m 22＝2，当且仅当4－m 2＝m 2，即m ＝±2时，S △AMN 取到最大值2，直线l 的方程为y ＝22x ± 2.(理)(2014·上海八校调研)已知点F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2b 2＝1(b>0)的左、右焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且∠MF 1F 2＝30°.圆O 的方程是x 2＋y 2＝b 2.(1)求双曲线C 的方程；(2)过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P 1、P 2，求PP1→·PP 2→的值； (3)过圆O 上任意一点Q(x 0，y 0)作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 的中点为M ，求证：|AB→|＝2|OM →|. [解析] (1)设F 2、M 的坐标分别为(1＋b 2，0)，(1＋b 2，y 0)，因为点M 在双曲线C 上，所以1＋b 2－y 20b 2＝1，即y 0＝±b 2，所以|MF 2|＝b 2，在Rt △MF 2F 1中，∠MF 1F 2＝30°，|MF 2|＝b 2，所以|MF 1|＝2b 2，由双曲线的定义可知|MF 1|－|MF 2|＝b 2＝2，故双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1.(2)由条件可知两条渐近线方程为l 1：2x －y ＝0，l 2：2x ＋y ＝0.设双曲线C 上的点P(x 0，y 0)，两渐近线的夹角为θ， y ＝2x 的倾斜角为α，则cos θ＝cos(π－2α)＝sin 2α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2－12＋1＝13. 点P 到两条渐近线的距离分别为 |PP 1|＝|2x 0－y 0|3，|PP 2|＝|2x 0＋y 0|3，因为P(x 0，y 0)在双曲线C ：x 2－y 22＝1上，所以2x 20－y 20＝2，所以PP 1→·PP 2→＝|2x 0－y 0|3·|2x 0＋y 0|3cos(π－θ)＝|2x 20－y 20|3·(－13)＝－29.(3)证明：由题意，要证|AB→|＝2|OM →|，即证OA ⊥OB ．设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，切线l 的方程为x 0x ＋y 0y ＝2. ①当y 0≠0时，切线l 的方程代入双曲线C 的方程中，化简得(2y 20－x 20)x 2＋4x 0x －(2y 20＋4)＝0，所以x 1＋x 2＝－4x 02y 20－x 20，x 1x 2＝－2y 20＋42y 20－x 20，又y 1y 2＝2－x 0x 1y 0·2－x 0x 2y 0＝1y 20[4－x 0(x 1＋x 2)＋x 20x 1x 2]＝8－2x 22y 20－x 20，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－2y 20＋42y 20－x 20＋8－2x 22y 20－x 20＝4－2(x 20＋y 20)2y 20－x 2＝0； ②当y 0＝0时，易知上述结论也成立，即OA→·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0. 综上所述，OA ⊥OB ，所以|AB→|＝2|OM →|. 22．(本题满分12分)(文)已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的短轴长为2，且与抛物线y 2＝43x 有共同的一个焦点，椭圆C 的左顶点为A ，右顶点为B ，点P 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AP 、BP 与直线y ＝3分别交于G 、H 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)求线段GH 的长度的最小值；(3)在线段GH 的长度取得最小值时，椭圆C 上是否存在一点T ，使得△TPA 的面积为1，若存在求出点T 的坐标，若不存在，说明理由．[解析] (1)由已知得，抛物线的焦点为(3，0)，则 c ＝3，又b ＝1，由a 2－b 2＝c 2，可得a 2＝4. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)直线AP 的斜率k 显然存在，且k>0，故可设直线AP 的方程为y ＝k(x ＋2)，从而G(3k－2,3)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 2＝1.得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0.设P(x 1，y 1)，则(－2)x 1＝16k 2－41＋4k2，所以x 1＝2－8k 21＋4k 2，从而y 1＝4k 1＋4k 2.即P(2－8k 21＋4k 2，4k1＋4k 2)，又B(2,0)，则直线PB 的斜率为－14k .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14k (x －2)，y ＝3.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12k ＋2，y ＝3.所以H(－12k ＋2,3)．故|GH|＝|3k －2＋12k －2|＝|3k＋12k －4|.又k>0，3k ＋12k ≥23k·12k ＝12. 当且仅当3k ＝12k ，即k ＝12时等号成立．所以当k ＝12时，线段GH 的长度取最小值8.(3)由(2)可知，当GH 的长度取最小值时，k ＝12.则直线AP 的方程为x －2y ＋2＝0，此时P(0,1)，|AP|＝ 5. 若椭圆C 上存在点T ，使得△TPA 的面积等于1，则点T 到直线AP 的距离等于255，所以T 在平行于AP 且与AP 距离等于255的直线l 上．设直线l ：y ＝12x ＋t.则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋t ，x24＋y 2＝1.得x 2＋2tx ＋2t 2－2＝0.Δ＝4t 2－8(t 2－1)≥0.即t 2≤2.由平行线间的距离公式，得|2－2t|5＝255，解得t ＝0或t ＝2(舍去)．可求得T(2，22)或T(－2，－22)．(理)设椭圆C 1：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，下顶点为A ，线段OA 的中点为B(O 为坐标原点)，如图．若抛物线C 2：y ＝x 2－1与y 轴的交点为B ，且经过F 1、F 2点．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设M(0，－45)，N 为抛物线C 2上的一动点，过点N 作抛物线C 2的切线交椭圆C 1于P 、Q 两点，求△MPQ 面积的最大值．[解析] (1)由题意可知B(0，－1)，则A(0，－2)，故b ＝2. 令y ＝0得x 2－1＝0即x ＝±1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)，故c ＝1.所以a 2＝b 2＋c 2＝5，于是椭圆C 1的方程为：x 25＋y24＝1.(2)设N(t，t2－1)，由于y′＝2x知直线PQ的方程为：y－(t2－1)＝2t(x－t)．即y＝2tx－t2－1.代入椭圆方程整理得：4(1＋5t2)x2－20t(t2＋1)x＋5(t2＋1)2－20＝0，Δ＝400t2(t2＋1)2－80(1＋5t2)[(t2＋1)2－4]＝80(－t4＋18t2＋3)，x1＋x2＝5t(t2＋1)1＋5t2，x1x2＝5(t2＋1)2－204(1＋5t2)，故|PQ|＝1＋4t2|x1－x2|＝1＋4t2·(x1＋x2)2－4x1x2＝5·1＋4t2·－t4＋18t2＋31＋5t2.设点M到直线PQ的距离为d，则d＝|45－t2－1|1＋4t2＝|t2＋15|1＋4t2.所以，△MPQ的面积S＝12|PQ|·d＝125·1＋4t2·－t4＋18t2＋31＋5t2·t2＋151＋4t2＝510－t4＋18t2＋3＝510－(t2－9)2＋84≤51084＝1055.当t＝±3时取到“＝”，经检验此时Δ>0，满足题意．综上可知，△MPQ的面积的最大值为105 5.[方法点拨] 1.涉及直线与二次曲线有两个交点时，一般方法是设出直线的方程与曲线方程联立，用根与系数的关系“整体代入设而不求”和用判别式处理，中点弦问题还可用点差法解决．2．涉及圆锥曲线的焦点弦、焦点三角形问题，常结合定义，正余弦定理等知识解决．3．涉及垂直问题可结合向量的数量积解决．反馈练习一、选择题1．(文)“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 若a＝2，则直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1，反之也成立，即“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充要条件，故应选C.(理)若直线2tx＋3y＋2＝0与直线x＋6ty－2＝0平行，则实数t等于( )A.12或－12 B ．12 C ．－12D ．14[答案] B[解析] 由条件知，2t 1＝36t ≠2－2，∴t ＝12.2．(文)若直线l 1：x －ay ＋1＝0与直线l 2：(a ＋4)x ＋(2a －1)y －5＝0互相垂直(a<0)，则直线l 1的倾斜角为( )A ．45°B ．135°C ．60°D ．30°或135°[答案] B[解析] ∵l 1⊥l 2，∴1×(a ＋4)－a(2a －1)＝0， ∴a ＝－1或2，∵a<0，∴a ＝1， ∴l 1的方程为x ＋y ＋1＝0， ∴l 1的倾斜角为135°.(理)若曲线y ＝2x 2的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则切线l 的方程为( )A ．x ＋4y ＋3＝0B ．x ＋4y －9＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．4x －y －2＝0[答案] D[解析] y ′＝4x ，直线x ＋4y －8＝0的斜率k ＝－14，令4x ＝4得x ＝1，∴切点(1,2)，∴切线l ：y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0，故选D ．3．(2015·东北三省四市第二次联考)已知直线y ＝22(x －1)与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，点M(－1，m)，若MA→·MB →＝0，则m ＝( )A. 2 B ．22C.12 D ．0[答案] B[解析] 求出点A ，B 的坐标，利用数量积的坐标运算建立方程求解．联立直线y ＝22(x －1)和抛物线C ：y 2＝4x ，解得A(2,22)，B(12，－2)，所以MA →·MB →＝(3,22－m)·(32，－2－m)＝92＋(22－m)(－2－m)＝0，化简得m 2－2m ＋12＝0，∴m ＝22，故选B ．[点评] 当A 、B 坐标互换时，求得m 的另一个值，但结合选项知只能选B ．4．(2015·广东理，7)已知双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y23＝1 B ．x 29－y216＝1C.x 216－y29＝1 D ．x 23－y24＝1[答案] C[解析] 本题考查双曲线的标准方程及其简单几何性质，属于容易题．因为所求双曲线的右焦点为F 2(5,0)且离心率为e ＝c a ＝54，所以c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，所以所求双曲线方程为x 216－y 29＝1，故选C.5．(文)(2014·天津理，5)已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 25－y220＝1 B ．x 220－y25＝1C.3x 225－3y 2100＝1 D ．3x 2100－3y 225＝1[答案] A[解析] 由于一个焦点在直线y ＝2x ＋10上，则一个焦点为(－5,0)，又由渐近线平行于直线y ＝2x ＋10.则b a ＝2，结合a 2＋b2＝c 2，c ＝5得，∴a 2＝5，b 2＝20，双曲线标准方程为x 25－y 220＝1，选A.(理)(2014·江西文，9)过双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1的右顶点作x轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于A.若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A 、O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y212＝1 B ．x 27－y29＝1C.x 28－y28＝1 D ．x 212－y24＝1[答案] A[解析] 如图设双曲线的右焦点F ，右顶点B ，设渐近线OA 方程为y ＝bax ，由题意知，以F 为圆心，4为半径的圆过点O ，A ， ∴|FA|＝|FO|＝r ＝4.∵AB⊥x轴，A为AB与渐近线y＝bax的交点，∴可求得A点坐标为A(a，b)．∴在Rt△ABO中，|OA|＝OB2＋AB2＝a2＋b2＝c＝|OF|＝4，∴△OAF为等边三角形且边长为4，B为OF的中点，从而解得|OB|＝a＝2，|AB|＝b＝23，∴双曲线的方程为x24－y212＝1，故选A.6．(文)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为3，则p＝( )A．1 B．3 2C．2 D．3 [答案] C[解析] ∵e＝ca＝2，∴b2＝c2－a2＝3a2，∴ba＝3，双曲线的两条渐近线方程为y＝±3x，不妨设A(－p2，3p2)，B(－p2，－3p2)，则AB＝3p，又三角形的高为p2，则S△AOB＝12×p2×3p＝3，∴p2＝4，又p>0，∴p＝2.(理)已知点F 1、F 2分别为双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，若|PF 2|2|PF 1|的最小值为9a ，则双曲线的离心率为( )A ．2B ．5C ．3D ．2或5[答案] B[解析] 由双曲线定义得|PF 2|＝2a ＋|PF 1|，∴|PF 2|2|PF 1|＝(2a ＋|PF 1|)2|PF 1|＝|PF 1|＋4a 2|PF 1|＋4a ，其中|PF 1|≥c －a.当c －a ≤2a 时，y ＝x ＋4a2x 在[c －a ，＋∞)上为减函数，没有最小值，故c －a>2a ，即c>3a ⇒e>3，y ＝x ＋4a2x 在[c －a ，＋∞)上为增函数，故f(x)min ＝f(c －a)＝c －a ＋4a 2c －a ＋4a ＝9a ，化简得10a 2－7ac＋c 2＝0，两边同除以a 2可得e 2－7e ＋10＝0，解得e ＝5或e ＝2(舍去)．7．(2015·邯郸市二模)已知点P 为椭圆x 24＋y23＝1上一点，点F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，点I 为△PF 1F 2的内心，若△PIF 1和△PIF 2的面积和为1，则△IF 1F 2的面积为( )A.14B ．12C ．1D ．2[答案] B[解析] 由椭圆方程知，a ＝2，c ＝1，设内心到三边距离为d ，则由椭圆定义及条件知，S △PIF 1＋S △PIF 2＝12|PF 1|·d ＋12|PF 2|·d＝12(|PF 1|＋|PF 2|)·d ＝2d ＝1，∴d ＝12，∴S △IF 1F 2＝12|F 1F 2|·d ＝cd ＝12. 8．抛物线y ＝x 2(－2≤x ≤2)绕y 轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的棱长是( )A ．1B ．2C ．2 2D ．4[答案] B[解析] 当x ＝2时，y ＝4，设正方体的棱长为a ，由题意知(22a,4－a)在抛物线y ＝x 2上，∴4－a ＝12a 2，∴a ＝2.9．(文)已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F ，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于O ，A 两点，若△AOF 的面积为b 2，则双曲线的离心率等于( )A. 3 B ． 5 C.32 D ．52[答案] D[解析] ∵A 在以OF 为直径的圆上，∴AO ⊥AF ，∴AF ：y ＝－a b (x －c)与y ＝b a x 联立解得x ＝a 2c a 2＋b 2，y ＝abca 2＋b 2，∵△AOF 的面积为b 2，∴12·c ·abc a 2＋b 2＝b 2，∴e ＝52. (理)过双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A 、B 两点，若线段AB 的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为( )A.5＋12B ．102C.17＋14D ．224[答案] A[解析] 依题意得2b 2a ＝2c ，c 2－ac －a 2＝0，即e 2－e －1＝0，(e －12)2＝54，又e>1，因此e －12＝52，e ＝5＋12，故选A.10．(2015·洛阳市期末)若直线l ：ax ＋by ＋1＝0(a ≥0，b ≥0)始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则a 2＋b 2－2a －2b ＋3的最小值为( )A.45 B ．95C ．2D ．94[答案] B[解析] 由题意知直线经过圆心(－2，－1)，∴2a ＋b －1＝0，∴(a －1)2＋(b －1)2的最小值为(1,1)到直线2a ＋b －1＝0的距离的平方，即⎝⎛⎭⎪⎪⎫252＝45，∴a 2＋b 2－2a －2b ＋3的最小值为45＋1＝95.11．(2014·唐山市二模)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)与圆C 2：x 2＋y 2＝b 2，若在椭圆C 1上存在点P ，使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是( )A ．[12，1)B ．[22，32]C ．[22，1)D ．[32，1)[答案] C[解析] 如图，设切点为A 、B ，则OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∵∠APB ＝90°，连接OP ，则∠APO ＝45°，∴AO ＝PA ＝b ，OP ＝2b ，∴a ≥2b ，∴a 2≤2c 2，∴c 2a 2≥12，∴e ≥22，又∵e<1，∴22≤e<1.12．(2015·河南八市质量监测)已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，若A(3，y 0)且AF ＝4，则△OAB 的面积为( )A.233B ． 3 C.433D ．533[答案] C[解析] 由条件及抛物线的定义知，4＝3＋p2，∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝4x ，∴A(3,23)，k AF ＝3，∴l AB ：y ＝3(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4xy ＝3(x －1)可得3(x －1)2－4x ＝0，解得x 1＝3，x 2＝13，所以y 1＝23，y 2＝－233，∴S △AOB ＝12|OF|·|y 1－y 2|＝12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23＋233＝433. 二、填空题13．已知圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝8.若点Q(x ，y)是圆C 上一点，则x ＋y 的取值范围为________．[答案] [－5,3][分析] 设x ＋y ＝t ，则Q 是⊙C 与直线x ＋y ＝t 的公共点，则问题转化为直线与⊙C 有公共点时，求参数t 的取值范围问题．[解析] 设x ＋y ＝t ，∵Q(x ，y)是⊙C 上任意一点，∴直线与圆相交或相切，∴|－1＋0－t|2≤22，∴－5≤t ≤3.14．已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点F 关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB|＝6，则圆C 的方程为________．[答案] x 2＋(y －1)2＝10[分析] 由圆心C 与F 关于直线y ＝x 对称可求得C 点坐标，再由弦长|AB|＝6可求得圆的半径，进而可得圆的方程．[解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点F(1,0)关于直线y ＝x 的对称点C(0,1)是圆心，C 到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|5＝1，又圆截直线4x －3y －2＝0的弦长为6， ∴圆的半径r ＝12＋32＝10. ∴圆方程为x 2＋(y －1)2＝10.15．(文)已知直线2ax ＋by ＝1(其中a 、b 为非零实数)与圆x 2＋y 2＝1相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 为直角三角形，则1a 2＋2b2的最小值为________．[答案] 4[解析] ∵△AOB 为等腰直角三角形，⊙O 的半径为1，∴O 到直线2ax ＋by －1＝0的距离为22，即12a 2＋b 2＝22，∴2a 2＋b 2＝2，∴1a 2＋2b 2＝(1a 2＋2b 2)(2a 2＋b 22)＝2＋2a 2b 2＋b 22a 2≥4，等号在2a 2b 2＝b22a2，即b 2＝2a 2＝1时成立，∴所求最小值为4.(理)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作一条倾斜角为α，长度不超过8的弦，弦所在的直线与圆x2＋y2＝34有公共点，则α的取值范围是________．[答案] [π4，π3]∪[2π3，3π4][解析] F(1,0)，直线AB：y＝tanα(x－1)，由条件知，圆心(0,0)到直线AB的距离d＝|tanα|1＋tan2α≤32，∴－3≤tanα≤ 3.(1)将y＝k(x－1)代入y2＝4x中消去y得，k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，∴x1＋x2＝2k2＋4k2，y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝4k，∴AB的中点坐标为P(k2＋2k2，2k)，∵|AB|≤8，∴P到准线的距离k2＋2k2＋1≤4，∴|k|≥1，∴|tanα|≥1，(2)由(1)(2)得π4≤α≤π3或2π3≤α≤3π4.16．(文)(2014·吉林市质检)已知点F为抛物线y2＝－8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，A在抛物线上，且|AF|＝4，则|PA|＋|PO|的最小值是________．[答案] 213[分析] 设O关于直线x＝2的对称点为O′，则|PA|＋|PO|＝|PA|＋|PO′|，故当P、A、O′三点共线时取到最小值．。

2020版新高考二轮复习理科数学专题强化训练(十九) 解析几何 Word版含解析

姓名，年级：时间：专题强化训练(十九）解析几何1．［2019·长沙一模]已知椭圆C：错误!＋错误!＝1(a＞b ＞0）的离心率为错误!，左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C 上一点，AF1与y轴相交于B,|AB｜＝|F2B|,｜OB|＝错误!（O 为坐标原点）．(1）求椭圆C的方程；（2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2,过A1，A2分别作x轴的垂线l1，l2，椭圆C的一条切线l：y＝kx＋m(k≠0)分别与l1,l2交于点M，N，求证：∠MF1N＝∠MF2N.（1)如图,连接AF2，由题意得｜AB|＝｜F2B|＝|F1B｜，解：所以BO为△F1AF2的中位线,又BO⊥F1F2,所以AF2⊥F1F2,且｜AF2|＝2|BO|＝错误!＝错误!,又e＝错误!＝错误!,a2＝b2＋c2，所以a2＝9，b2＝8，故所求椭圆C的方程为错误!＋错误!＝1.（2）由（1)可得，F1（－1，0)，F2（1，0)，l1的方程为x＝－3,l2的方程为x＝3.由错误!得错误!由错误!得错误!所以M(－3,－3k＋m），N(3,3k＋m),所以错误!＝(－2，－3k＋m），错误!＝（4，3k＋m),所以F1M，→·错误!＝－8＋m2－9k2。

联立错误!得（9k2＋8）x2＋18kmx＋9m2－72＝0。

因为直线l与椭圆C相切，所以Δ＝（18km)2－4(9k2＋8）（9m2－72）＝0，化简得m2＝9k2＋8.所以错误!·错误!＝－8＋m2－9k2＝0，所以错误!⊥错误!，故∠MF1N＝错误!.同理可得错误!⊥错误!，∠MF2N＝错误!。

故∠MF1N＝∠MF2N。

2．［2019·合肥质检二］已知抛物线C1：x2＝2py（p〉0）和圆C2：（x＋1)2＋y2＝2，倾斜角为45°的直线l1过C1的焦点，且l1与C2相切．（1)求p的值；（2）动点M在C1的准线上，动点A在C1上，若C1在A 点处的切线l2交y轴于点B，设错误!＝错误!＋错误!，求证：点N在定直线上,并求该定直线的方程．解：(1)依题意，设直线l1的方程为y＝x＋错误!，因为直线l1与圆C2相切,所以圆心C2(－1，0)到直线l1：y＝x＋错误!的距离d＝错误!＝错误!.即错误!＝错误!，解得p＝6或p＝－2（舍去）．所以p＝6。

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专题强化训练(十四) 解析几何一、选择题1．[2019·福建五校联考]已知m 是3与12的等比中项，则圆锥曲线x 2m ＋y 22＝1的离心率是( )A ．2 B.63 C.24D ．2或63解析：因为m 是3与12的等比中项，所以m 2＝3×12＝36，解得m ＝±6.若m ＝－6，则曲线的方程为y 22－x 26＝1，该曲线是双曲线，其离心率e ＝2＋62＝2；若m ＝6，则曲线的方程为x 26＋y 22＝1，该曲线是椭圆，其离心率e ＝6－26＝63.综上，所求离心率是2或63.故选D.答案：D2．[2019·南昌重点中学]已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1，l 2，若E 的一个焦点F 关于l 1的对称点F ′在l 2上，则双曲线E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C.233D.52解析：∵双曲线E 的一个焦点F 关于l 1的对称点F ′在l 2上，且双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点在x 轴上，∴x 轴和直线l 2关于直线l 1对称，又双曲线E 的两条渐近线l 1，l 2关于x 轴对称，∴ba ＝tan60°＝3，∴双曲线E 的离心率e ＝1＋b 2a 2＝2，故选B.答案：B3．[2019·广东六校联考]已知直线l 的倾斜角为45°，直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右两支分别交于M ，N 两点，且MF 1，NF 2都垂直于x 轴(其中F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点)，则该双曲线的离心率为( )A. 3B. 5C.5－1D.5＋12解析：根据题意及双曲线的对称性，可知直线l 过坐标原点，|MF 1|＝|NF 2|.设点M (－c ，y 0)，则N (c ，－y 0)，c 2a 2－y 20b 2＝1，即|y 0|＝c 2－a 2a .由直线l 的倾斜角为45°，且|MF 1|＝|NF 2|＝|y 0|，得|y 0|＝c ，即c 2－a 2a ＝c ，整理得c 2－ac －a 2＝0，即e 2－e －1＝0，解得e ＝5＋12或e ＝1－52(舍去)，故选D.答案：D4．[2019·湖南四校调研]已知A ，B ，P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上不同的三点，且A ，B 连线经过坐标原点，若直线P A ，PB 的斜率乘积k P A ·k PB ＝3，则该双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D ．3解析：由双曲线的对称性知，点A ，B 关于原点对称，设A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，P (x 2，y 2)，则x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，又k P A ＝y 2－y 1x 2－x 1，k PB ＝y 2＋y 1x 2＋x 1，所以k P A ·k PB ＝y 22－y 21x 21－x 22＝b 2a 2＝3，所以离心率e ＝1＋b 2a 2＝2，故选C.答案：C5．[2019·洛阳统考]经过点(2,1)，且渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1相切的双曲线的标准方程为( )A.x 2113－y 211＝1 B.x 22－y 2＝1 C.y 2113－x 211＝1 D.y 211－x 2113＝1解析：通解：设双曲线的渐近线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，由渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1相切可得圆心(0,2)到渐近线的距离等于半径1，由点到直线的距离公式可得|k ×0－2|k 2＋1＝1，解得k ＝±3.因为双曲线经过点(2,1)，所以双曲线的焦点在x 轴上，可设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，将点(2,1)代入可得4a 2－1b 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2－1b 2＝1b a ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝113b 2＝11，故所求双曲线的方程为x 2113－y 211＝1.故选A.优解：设双曲线的方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，将(2,1)代入方程可得，4m －n ＝1 ①.双曲线的渐近线方程为y ＝±m nx ，圆x 2＋(y －2)2＝1的圆心为(0,2)，半径为1，由渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1相切，可得21＋m n＝1，即m n ＝3 ②，由①②可得m ＝311，n ＝111，所以该双曲线的方程为x 2113－y 211＝1，故选A.答案：A6．[2019·郑州质量预测一]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，实轴长为6，渐近线方程为y ＝±13x ，动点M 在双曲线左支上，点N 为圆E ：x 2＋(y ＋6)2＝1上一点，则|MN |＋|MF 2|的最小值为( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：由题意，知2a ＝6，a ＝3，又由b a ＝13，得b ＝1，所以c ＝a 2＋b 2＝10，则F 1(－10，0)．根据双曲线的定义知|MF 2|＝2a ＋|MF 1|＝|MF 1|＋6，所以|MN |＋|MF 2|＝|MN |＋|MF 1|＋6＝|EN |＋|MN |＋|MF 1|＋5≥|F 1E |＋5＝(10)2＋(－6)2＋5＝9，故选B.答案：B7．[2019·安徽示范高中]已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点M 在双曲线E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝14，则双曲线E 的离心率为( )A.153B.32C.132D ．2解析：由题意知F 1(－c,0)，因为MF 1与x 轴垂直，且M 在双曲线上，所以|MF 1|＝b 2a .在Rt △MF 2F 1中，sin ∠MF 2F 1＝14，所以tan ∠MF 2F 1＝|MF 1||F 1F 2|＝115，即b 2a 2c ＝b 22ac ＝115，又b 2＝c 2－a 2，所以15c 2－15a 2－2ac ＝0，两边同时除以a 2，得15e 2－2e －15＝0，又e >1，所以e ＝153.答案：A8．[2019·唐山摸底]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和双曲线E ：x 2－y 2＝1有相同的焦点F 1，F 2，且离心率之积为1，P 为两曲线的一个交点，则△F 1PF 2的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定解析：由题意可知，c a ×2＝1⇒c ＝22a ，因为c ＝2，所以a＝2，b 2＝a 2－c 2＝2，不妨设P 与F 2在y 轴右侧，则⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝4|PF 1|－|PF 2|＝2，得|PF 1|2＝|F 1F 2|2＋|PF 2|2，所以△F 1PF 2为直角三角形，故选B.答案：B9．[2019·武昌调研]已知M 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支上一点，A ，F 分别为双曲线C 的左顶点和右焦点，线段F A 的垂直平分线过点M ，∠MF A ＝60°，则C 的离心率为( )A ．6B ．4C ．3D ．2解析：如图，设双曲线C 的左焦点为F 1，连接MF 1，由题意知|MF |＝|AF |＝a ＋c ，|MF 1|＝3a ＋c ，在△MF 1F 中，由余弦定理得|MF 1|2＝|F 1F |2＋|MF |2－2|F 1F ||MF |cos60°，所以(3a ＋c )2＝(2c )2＋(a ＋c )2－2×2c (a ＋c )×12，整理得4a 2＋3ac －c 2＝0，因为e ＝ca ，所以e 2－3e －4＝0，因为e ＞1，所以e ＝4，故选B.答案：B10．[2019·合肥调研]已知双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为4，两条渐近线的夹角为60°，则双曲线M 的标准方程是( )A.x 23－y 2＝1或x 24－y 212＝1B.x 23－y 2＝1或x 2－y23＝1 C.x 212－y 24＝1或x 2－y23＝1D.x 212－y 24＝1或x 24－y 212＝1解析：依题意，a 2＋b 2＝4，因为两条渐近线的夹角为60°，所以渐近线的倾斜角为30°与150°或60°与120°，当倾斜角为30°与150°时，可知b a ＝33，所以⎩⎨⎧a ＝3b ＝1；当倾斜角为60°与120°时，b a＝3，所以⎩⎨⎧a ＝1b ＝3，所以双曲线的标准方程为x 23－y 2＝1或x 2－y23＝1.故选B.答案：B11．[2019·惠州调研]已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，A 和B 是以坐标原点O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )A.3＋12B.3－1C.3＋1D ．2解析：由题意知|F 1F 2|＝2c ，∵△ABF 2是等边三角形，∴∠AF 2F 1＝30°，连接AF 1，则|AF 1|＝c ，|AF 2|＝3c ，∴a ＝3c －c 2，∴e ＝ca ＝3＋1.故选C.答案：C12．[2019·南昌重点中学]设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点E (0，t )(0<t <b )．已知动点P 在椭圆上，且点P ，E ，F 2不共线，若△PEF 2的周长的最小值为4b ，则椭圆C 的离心率为( )A.32B.22C.12D.33解析：连接EF 1，PF 1，则|EF 1|＝|EF 2|，所以△PEF 2的周长l ＝|PE |＋|EF 2|＋|PF 2|＝|PE |＋|EF 1|＋|PF 2|，因为|PE |＋|EF 1|≥|PF 1|，所以△PEF 2的周长l ≥|PF 1|＋|PF 2|，因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以l ≥2a ，因为△PEF 2的周长的最小值为4b ，所以2a ＝4b ，即a ＝2b ，所以c 2＝a 2－b 2＝3b 2，所以c ＝3b ，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝32，故选A.答案：A13．[2019·山西八校联考]已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y2b 2＝1(b >0)的左、右焦点，点P 为双曲线右支上的一点，满足(OP →＋OF →2)·F 2P →＝0(O 为坐标原点)，且cos ∠PF 1F 2＝255，则该双曲线的离心率为( )A. 3 B ．2 C ．3D. 5解析：解法一：由(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝0，得|OP |＝|OF 2|，∴在△PF 1F 2中，OP 是边F 1F 2上的中线，且|OP |＝12|F 1F 2|，∴∠F 1PF 2＝90°.由x 2－y 2b 2＝1，得a ＝1，c ＝1＋b 2，在Rt △PF 1F 2中，⎩⎨⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2＝4(1＋b 2)，得⎩⎨⎧|PF 1|＝1＋2b 2＋1，|PF 2|＝1＋2b 2－1.在Rt △PF 1F 2中，cos ∠PF 1F 2＝|PF 1||F 1F 2|＝1＋2b 2＋12c＝ 1＋2b 2＋121＋b 2＝255，整理得9b 4－32b 2－16＝0，∴b 2＝4，离心率e ＝ca ＝1＋b 2＝ 5.故选D.解法二：由(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝0，得|OP |＝|OF 2|，∴在△PF 1F 2中，OP 是边F 1F 2上的中线，且|OP |＝12|F 1F 2|，∴∠F 1PF 2＝90°. 在Rt △PF 1F 2中，由cos ∠PF 1F 2＝255，得|PF 1||F 1F 2|＝|PF 1|2c ＝255，∴|PF 1|＝455c ，|PF 2|＝|F 1F 2|2－|PF 1|2＝255c .由双曲线的定义可知|PF 1|－|PF 2|＝455c －255c ＝255c ＝2a ，∴离心率e ＝ca ＝ 5.故选D.答案：D14．[2019·福建五校联考]已知以圆C ：(x －1)2＋y 2＝4的圆心为焦点的抛物线C 1与圆C 在第一象限交于A 点，B 点是抛物线C 2：x 2＝8y 上任意一点，BM 与直线y ＝－2垂直，垂足为M ，则|BM |－|AB |的最大值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．8解析：易知抛物线C 1的焦点为(1,0)，所以抛物线C 1的方程为y 2＝4x .由⎩⎨⎧y 2＝4x (x －1)2＋y 2＝4及点A 位于第一象限可得点A (1,2)．因为抛物线C 2：x 2＝8y 的焦点F (0,2)，准线方程为y ＝－2，所以由抛物线的定义得|BM |＝|BF |.如图，在平面直角坐标系中画出抛物线C 2及相应的图形，可得|BM |－|AB |＝|BF |－|AB |≤|AF |(当且仅当A ，B ，F 三点共线，且点B 在第一象限时，不等式取等号)．故所求最大值为|AF |＝1，故选A.答案：A15．[2019·湖北重点中学]如图，已知A ，B ，C 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上的三个点，AB 经过坐标原点O ，AC 经过双曲线的右焦点F ，若BF ⊥AC ，且2|AF |＝|CF |，则该双曲线的离心率是( )A.53B.173C.172D.94解析：设双曲线的左焦点为F ′，连接AF ′，BF ′，CF ′，则由|OA |＝|OB |，|OF |＝|OF ′|，BF ⊥AC 知四边形AFBF ′为矩形，设|AF |＝m ，则|AF ′|＝m ＋2a ，|AC |＝|AF |＋2|AF |＝3|AF |＝3m ，|FC |＝2|AF |＝2m ，则|F ′C |＝|FC |＋2a ＝2m ＋2a ，则在Rt △AF ′C 中，|F ′C |2＝|AF ′|2＋|AC |2，即(2m ＋2a )2＝(m ＋2a )2＋(3m )2，解得m ＝23a .在Rt △AF ′F 中，|F ′F |2＝|AF ′|2＋|AF |2，即4c 2＝(m ＋2a )2＋m 2，即4c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＋2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2，整理，得c 2a 2＝179，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝173，故选B.答案：B16．[2019·洛阳统考]如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，点S (0,3)，SA ，SB 与圆C ：x 2＋y 2－my ＝0(m >0)和抛物线x 2＝－2py (p >0)都相切，切点分别为M ，N 和A ，B ，SA ∥ON ，则点A 到抛物线准线的距离为( )A ．4B ．2 3C ．3D ．3 3解析：连接OM ，∵SM ，SN 是圆C 的切线，∴|SM |＝|SN |，|OM |＝|ON |.又SA ∥ON ，∴SM ∥ON ，∴四边形SMON 是菱形，∴∠MSN ＝∠MON .连接MN ，由切线的性质得∠SMN ＝∠MON ，则△SMN 为正三角形，又MN 平行于x 轴，所以直线SA 的斜率k ＝tan60°＝ 3.设A (x 0，y 0)，则y 0－3x 0＝3 ①.又点A 在抛物线上，∴x 20＝－2py 0 ②.由x 2＝－2py ，得y ＝－x 22p ，y ′＝－1p x ，则－1p x 0＝3 ③，由①②③得y 0＝－3，p ＝2，所以点A 到抛物线准线的距离为－y 0＋p2＝4，故选A.答案：A17．[2019·河北九校联考]已知点F (－c,0)(c >0)是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，过F 且平行于双曲线渐近线的直线与圆x 2＋y 2＝c 2交于点F 和另一个点P ，且点P 在抛物线y 2＝4cx 上，则该双曲线的离心率是( )A. 5B.3＋52C.5＋12 D.5－12解析：如图，由x 2＋y 2＝c 2与y 2＝4cx 及题意可取P ((5－2)c,25－2c )，又P 在过F 且与渐近线平行的直线y ＝ba (x ＋c )上，所以25－2c ＝b a [(5－2)c ＋c ]．又a 2＋b 2＝c 2且e ＝c a ，所以e ＝5＋12.故选C.答案：C18．[2019·安徽五校质检二]已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，点M (－a,0)，N (0，b )，点P 为线段MN 上的动点，当PF 1→·PF 2→取得最小值和最大值时，△PF 1F 2的面积分别为S 1，S 2，则S 2S 1＝( )A ．4B ．8C ．2 3D ．4 3解析：因为双曲线的离心率为2，所以c ＝2a ，b ＝3a ，所以N (0，3a )，F 1(－2a,0)，F 2(2a,0)，MN 的方程为y ＝3x ＋3a (－a ≤x ≤0)，设P (x 0，3x 0＋3a )，－a ≤x 0≤0，则PF 1→＝(－2a －x 0，－3x 0－3a )，PF 2→＝(2a －x 0，－3x 0－3a )，所以PF 1→·PF 2→＝(－2a －x 0)(2a －x 0)＋(－3x 0－3a )2＝x 20－4a 2＋3x 20＋6ax 0＋3a 2＝4x 20＋6ax 0－a 2(－a ≤x 0≤0)，当x 0＝－34a 时，PF 1→·PF 2→取得最小值，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34a ，34a ，则S 1＝2a ×34a ＝32a 2；当x 0＝0时，PF 1→·PF 2→取得最大值，此时P (0，3a )，则S 2＝2a ×3a ＝23a 2.所以S 2S 1＝4，故选A.答案：A19．[2019·郑州质量预测二]抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝60°，过弦AB 的中点C 作该抛物线准线的垂线CD ，垂足为D ，则|AB ||CD |的最小值为( )A. 3 B ．1 C.233D ．2解析：如图，过A ，B 两点分别作准线的垂线，AQ ，BP ，垂足分别为Q ，P .设|AF |＝a ，|BF |＝b ，由抛物线的定义，得|AF |＝|AQ |，|BF |＝|BP |，在梯形ABPQ 中，2|CD |＝|AQ |＋|BP |＝a ＋b ，由余弦定理得|AB |2＝a 2＋b 2－2ab cos60°＝a 2＋b 2－ab ，即|AB |2＝(a ＋b )2－3ab .因为ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22，所以|AB |2＝(a ＋b )2－3ab ≥(a ＋b )2－3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22＝(a ＋b )24，即|AB |≥a ＋b 2，所以|AB ||CD |≥a ＋b2a ＋b 2＝1，故选B.答案：B 二、填空题20．[2019·山西第一次联考]在平面直角坐标系xOy 中，P (1,2)是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线l 上的一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，若∠F 1PF 2＝90°，则双曲线的左顶点到直线l 的距离为________．解析：由题意知双曲线的一条渐近线l 的方程为y ＝ba x ，因为点P (1,2)在渐近线l 上，所以ba ＝2，所以直线l 的方程为y ＝2x .在Rt △PF 1F 2中，原点O 为线段F 1F 2的中点，所以|OP |＝12|F 1F 2|＝c ，又|OP |＝12＋22＝5，所以c ＝ 5.又c 2＝a 2＋b 2，ba ＝2，所以a ＝1，b ＝2，则双曲线的左顶点的坐标为(－1,0)，该点到直线l 的距离d ＝|2|12＋(－2)2＝255.答案：25521．[2019·长沙四校一模]过点F (1,0)作直线交抛物线y 2＝4x 于A ，B 两点，交直线x ＝－1于点C ，且AF →＝32BC →，则线段AB 的长为________．解析：解法一：如图，不妨设点A 在x 轴上方，显然点F (1,0)是抛物线y 2＝4x 的焦点，直线x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足分别为A 1，B 1，设准线x ＝－1交x 轴于点F 1，则|FF 1|＝2.设|AF |＝m ，|BF |＝n ，|BC |＝t ，则|AA 1|＝m ，|BB 1|＝n ，于是⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32t ，n 2＝t n ＋t，n m ＝t t ＋m ＋n，得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝83，m ＝4，n ＝43，所以|AB |＝m ＋n ＝163.解法二：由题意知，直线AB 的斜率存在且不为零，设直线AB ：y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．把y ＝k (x －1)代入y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则x 1＋x 2＝2＋4k 2，x 1x 2＝1.由AF →＝32BC →，得x 1－1＝32(x 2＋1)，于是x 1＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋12k 2，x 2＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋8k 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋12k 2⎝⎛⎭⎪⎫－1＋8k 2＝25，化简得9k 4－19k 2－24＝0，(k 2－3)(9k 2＋8)＝0，所以k 2＝3，所以|AB |＝x 1＋1＋x 2＋1＝4＋43＝163.答案：16322．[2019·武昌调研]过点M (m,0)作直线l 1，l 2与抛物线E ：y 2＝4x 相交，其中l 1与E 交于A ，B 两点，l 2与E 交于C ，D 两点，AD 过E 的焦点F .若AD ，BC 的斜率k 1，k 2满足k 1＝2k 2，则实数m 的值为________．解析：如图，设直线l 1的方程为x ＝t 1y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立得⎩⎨⎧ x ＝t 1y ＋m y 2＝4x，消去x 得y 2－4t 1y －4m ＝0，所以y 1＋y 2＝4t 1，y 1y 2＝－4m ，设直线l 2的方程为x ＝t 2y ＋m ，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，联立得⎩⎨⎧x ＝t 2y ＋m y 2＝4x，消去x 得y 2－4t 2y －4m ＝0，所以y 3＋y 4＝4t 2，y 3y 4＝－4m ，因为直线AD 的斜率k 1＝y 1－y 4x 1－x 4，x 4＝14y 24，x 1＝14y 21，所以k 1＝y 1－y 414y 21－14y 24＝4y 1＋y 4，同理k 2＝4y 2＋y 3，所以k 2＝4－4m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 1＋1y 4＝－1m ·y 1y 4y 1＋y 4，因为k 1＝2k 2，所以y 1y 4＝－2m ，因为A ，F ，D 三点共线，所以AF→∥FD →，又F (1,0)，所以AF →＝(1－x 1，－y 1)，FD →＝(x 4－1，y 4)，所以(1－x 1)y 4＝(1－x 4)y 1，所以⎝⎛⎭⎪⎫1－14y 21y 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14y 24y 1，整理得(y 1－y 4)(y 1y 4＋4)＝0，因为y 1≠y 4，所以y 1y 4＝－4，所以－2m ＝－4，即m ＝2.答案：2。