概率论与数理统计第13章复习资料

（2）
称（2）为X的分布列（或分布律、概率分布、概率函数）
记作：X ~ p(xi )
2、分布列性质：
（1） pi 0
（2） p i 1 i 1
（3）
注：公式（3）对确定X的概率分布中的未知参数很 有用。
（二）二维离散型 r,v
1、联合分布列概念： 设（X,Y)可能的取值为：
X:x1x2 xi
用第一种工艺，在合格零件中，一极品率为0.9；而用 第二种工艺，合格品中的一极品率只有0.8。试问哪一 种工艺得到一级品的概率最大？
例15：有两个盒子，第一盒装有2个红球，1个黑球，第二 盒装有2个红球，2个黑球，今从这两个盒子中各任取一 球放在一起，再从中任取一球，问：
（1）A=“此球是红球”的概率 （2）B=“若发现此球是红球，则该球是从第一盒中取得”
的概率。
例16：有甲、乙、丙三人向一飞机射击，三人击中的概率分 别为0.4、0.5、0.7。若飞机被一人击中而坠毁的概率 为0.2；若两人击中，飞机坠毁的概率为0.6；若三人 击中，飞机必坠毁。求A=“飞机必坠毁”的概率。
例17：电灯泡使用寿命在1000h以上的概率为0.2，求3个灯 泡在使用1000h后最多只有一个灯泡坏的概率（0．104）
F(x)P(Xx) x （1）
是X的分布函数。
n维：设 (X1, ,Xn)为 n维 r,v ，对
称 nxi元函R数, i1, ,n,
F ( x 1 , , x n ) P ( X 1 x 1 , , X n x n ) （1）’ 是(X1, ,Xn)的分布函数。
注：r,v 取值的规律称 r,v 的分布，分布函数是描 述 r,v 的概分布的主要方法之一。
例6：五个乒乓球，其中三个旧球，二个新球，每次取一个， 共取两次，以有放回和无放回两种方式求下列事件的概率：
（1）A=“两次都取到新球”； （2）B=“第一次取到新球，第二次取到旧球”； （3）C=“至少有一次取到新球”。
例7：一盒中装有4只坏晶体管和6只好晶体管，在其中取二 次，每次取一只作不放回抽样， 求下列事件的概率：
例13：设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知 在所取的两件产品中至少有一件是不合格品，求另一
件也是不合格品的概率。（1/5） 例14：制造一种零件可采用两种工艺，第一种工艺有三道
工序，每道工序的废品率分别为0.1，0.2，0.3；第二 种工艺有二道工序，每道工序的废品率都是0.3 。如 果
事件B，有： P B P A P B A P A P B A
3、贝叶斯公式（逆概率公式）
如果B1,…,Bn为一完备事件组， P(Bi) ＞0 ，i=1, 2，…,n 则对任一不为零的事件A，有：
PBi A nPP BiBiPP AA BiBi i1
（四）独立试验序列概型
1、事件的独立性： 若P(AB)=P(A)P(B)（或P(A︱B)=P(A)），则称事件A 与B独立。 2、独立试验序列概型；设E1、E2是互不影响的两个试 验，而A1、A2分别是E1和E2的一个事件，则A1与A2两是相互 独立的。称E1、E2是两个独立试验序列。（可推广） 3、n重贝努里概型 （1）贝努里试验： 如果一个试验满足：
2、概率密度函数性质：
（1） f (x)0 ;
（2） f (x)dx1
（3）当 x是 f (x) 的连续点时，
（1）A=“发现第一只好的，第二只也是好的”； （2）B=“两只都是好的”； （3）C=“两只都是坏的”； （4）D=“发现第二只是好的”。 例8：设每人生于一年中任意一个月都是等可能的，求下列
事件的概率： （1）A=“12个人的生日在12 个不同月份”（ 0.000054） （2）B=“6个人的生日恰在两个月中”； （ 0.00137） （3）C=“4个人中至少有2个人的生日在同一个月”。
概率论与数理统计第13章复习资料
第一章随机事件与概率
一、随机事件 （一）基本概念 1、随机现象： 在一定条件下结果不确定的现象。 2、随机试验：满足三个条件的试验。（ P2） 3、样本空间、样本点（P3） 4、随机事件 （1）基本事件（即样本点ω ） （2）复合事件：含两个以上p3 样本点的随机事件 （二）事件的关系及运算 1、五种基本关系 （1）包含 （2）相等 （3）互斥（不相容） 即满足：AB=Φ （可推广） （4）对立，满足： ① AB=Φ ② A∪B=Ω 对立事件必为互斥事件，反之不然。
①只有两个可能结果，A=”成功“，B=”失败“ ②P(A)=p,P(B)=q p=q=1 (0＜p＜1), 则称此试验为一个贝努里试验
（2）n重贝努里试验（贝努里概型） 将一个贝努里试验独立地、重复做n次的试验模型，称
贝努里概型，亦称n重贝努里试验。在n重贝努里试验中， 令： BK=“事件A在n次试验 中发生K次”,则:
例4：一盒装有10只晶体管，其中有4只次品，6只正品，随 机地抽取 1只测试，直到4只次品晶体管都找到。求最后 一只次品晶体管在下列情况发现的概率：
（1）A=“在第 5 次测试发现”。（2/105） （2）B=“在第10次测试发现”。（2/5） 例5：将编号1，2，3的三本书任意地排列在书架上，求事件 A=“至少有一本书自左到右的排列顺序号与它的编号相同” 的概率。
（二）分布函数的性质：
一维：1、有界性：0F(X)1 2、单调性； 3、右连续性； 4、LiF m (x)F() 0
x
LiF m (x)F() 0
x
二维：1、0F(x,y)1
2、单调性（对 x, y 分别单调 ）
3、右连续性（对 x, y 分别由连续）
4、F (,y ) F (X , ) 0
3、边际概率分布：
（3）’
pi P(Xxi) pij
， i1,2
j1
pj P(Yyj) pij,
j1,2,（4）
i1
注：p i 和 p j 可通过列表形式的联合分布律通过对横
行概率值和列行概率值相加得到。 4、条件分布列：
P XY(xi yj)P(Xi x1i,Y 2 yj)；jp p ijj1,2, P YX(yj xi)P(Yi y1j,X 2 x；i)jp p ii1 j ,2,（5）
例18:设某公司有7个顾问，每个顾问提供正确意见的百分比 为0.6，现为某事可行与否个别征求顾问意见，并按多 数人的意见作出决策，求A=“作出正确决策”的概率。
例19：设袋中有a只黑球、b只白球，采用放回抽样方式 摸球，每次摸1球，求下列事件的概率： A=“第k次才摸到黑球”； B=“直到第n次才摸到k只黑球”。
Y:y1 y2 yj
若有 P ( X x i,Y y j) p ( x i,y j) p i,j
i,j1,2,
（2）’
则称（2）’是（X,Y)的联合分布列。
注：概率 P(Xxi,Yyj)表示P (X (xi) (Yyj))
2、联合分布列性质：
（1）pij 0
（2）
pij 1
i1 j 1
（ 0.4270）
例9：把9个球放进4个口袋，设每个球落在任一口袋内的机 会都相等，试求下列事件的概率：
（1）A=“无球进入第一个口袋”； （ 0.075） （2）B=“恰有一个球进入第一个口袋”； （ 0.225） （3）C =“至少有两个球进入第一个口袋”。 例10：在编号为1，2，…，n的n张赠券中，采用不放
F( ,)1
5、对任意 x1xx2, y1xy2
F ( x 2 , y 2 ) F ( x 1 , y 2 ) F ( x 2 , y 1 ) F ( x 1 , y 1 ) 0
三、离散型 r,v 及其概率函数： （一）一维离散型 r,v ：
1、分布列：
（1）分布列概念：
设X可能取值 x1,x2, ,xi, 若有P (Xxi)p(xi)pi i1, ,n,
（5）独立，若P（AB）=P（A）P（B）则称A与B独立。 独立与不相容是两个不同的概念，不能混淆。
独立的性质：第23页定理1、定理2、3 2、三种运算关系：并，交，差 要求：（1）对一个具体试验要弄清试验方式，什么是一次
试验？试验的要求是什么？一次试验结果指什么？
会写出试验的样本空间；
（2）会表示事件； （3）会正确运用事件的关系并进行运算。 例1：随机投掷两颗骰子 ，观察骰子 的点数。 （1）写出试验的样本空间；（2）写出事件A=“点数 之和为奇数”
1、判断试验为古典试验，即满足： （1）试验结果为有限个； （2）每个可能结果的发生是等可能的
2、分析样本空间的构成 3、考察所说事件A的构成
4、由公式 P( A) m 进行计算 n
（二）几何概型 所求概率为： P（A）=[A所包含的区域度量] / [样本空间的度量]
（三）条件概率及其全概率公式
P (B K )C n KpK qn K P n(K ) K=0,1, …,n
上式称二项分布，记为B（n,p）
（五）普阿松概型 1、普阿松公式：
பைடு நூலகம்
P(Xk)ke,k0,1,2, ,
k!
它表示观察对象随时间进程在单位时间内出现次数 的概率。
上面公式称普阿松分布，记为P（ ）
2、与二项分布B（n,p）的关系： 在n重贝努里试验中，当n较大（ n≥30），而P较小 时，有下面计算公式：
二、事件的概率
（一）概率的定义（3种定义） 1、统计的定义
7、乘法公式
P(A1A2…An) =P(A1)P(A2︱A1)P(A3︱A1A2) …P(An︱A1A2 …An-1) 特别：若A1, …,An独立， 则P(A1…An)=P(A1)P(A2) …P(An) 三、概率的计算
（一）古典概型
一般计算步骤：
回方式抽签。试求A=“在第k次（1≤ k ≤n）抽签时抽 到1号签”的概率。 例11：加工某一零件需经两道工序，设第一道、第二道工序 的次品率分别为0.02和0.05，如果两道工序互不影 响，求A=“加工出合格品”的概率 例12：某地区一工商银行的贷款范围内有甲、乙两家同类企 业，设一年内甲申请贷款的概率为0.15，乙申请贷款的 概率为0.2，在甲不向银行申请贷款的条件下，乙向银行 申请贷款的概率为0.23，求在乙不向银行申请贷款的条 件下，甲向银行申请贷款的概率。（0．181875）
四、连续型 r,v 以及概率分布 （一）一维连续型 r,v 以及概率密度函数 1、一维连续型 r,v 及密度函数概念： 说X是一个 r,v ，若存在一个非负可积函数 f (x)
使对任意的 x ，成立
Fx xfxd,x xR
（6）
则称X是连续型 r,v ，f (x) 称X的概率密度函数，记作
X ~ f(x)
k n pn k(1pn)n kkk !e ,k0,1,2, ,
其中λ = n P 例2：在例1的试验中，求：
（1）A=“点数和为奇数的概率”； （2）B=“点数不同的概率” 例3：某产品40件，其中有次品3件。现从其中任取3件， 求下列事件的概率： （1）A=“3件中恰有2件次品”；（111/9880） （2）B=“ 3件中至少有1件次品”（633/2964）
2、 r,v的特征：
（1）随机性：
r,v 的取值由随机试验的结果决定，在试验结果确定
之前，我们不知道它（它们）取何值，但预先可知道所有的
取值。
（2）规律性：
由于 r,v 的取值依赖于随机试验结果，而随机试验
结果的出现是有概率规律的，因而 r,v 的取值也有一定概
率规律。
二、 r,v 的分布函数：
1、分布函数的概念： 一维：设X是一个随机变量，对任意的实数R,称函数
1、条件概率：若P(B) ＞0，则
P(AB) P(AB) P(B)
2、全概率公式
如果B1,…,Bn为一完备事件组，即满足： （1） B1,…,Bn两两不相容i=1, …,n；
（2） n B i Ω 则对任意事件A，有：
i 1
n
P(A) P(Bi)P(ABi) i1
(其中P(Bi) ＞0)
特别，事件A与A的对立事件A 构成完备事件组。对任意
第二~三章 r,v 及其概率分布
一、r,v 的概念
1、定义
对于样本空间 上的每一可能结果 ，如果都唯一 对应着一个实数值X( )，则称X( )为一维 r,v ；如 果对每一个 ，都同时对应着 n个实数值X 1(w ) ,,X n(w ),
则称(X1, ,Xn)为 n维随机向量，简称 r,v 。