高中数学3.1.1直线的倾斜角和斜率教案新人教版必修2
高中数学3.1.1 直线的倾斜角与斜率优秀教案
直线的倾斜角与斜率杨兵一、教材分析1．教材的地位直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是在平面直角坐标系内以坐标法〔解析法〕的方式来研究直线及其几何性质的根底。
本课有着开启全章，承前启后，奠定基调，渗透方法的作用。
2．教学目标知识与技能：理解直线的倾斜角和斜率的定义，掌握过两点的直线的斜率计算公式。
过程与方法：引导学生观察、探索、合作探究、发现，培养学生的探索创新能力和合作意识。
情感、态度与价值观：通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究的目标。
并体验认识事物的一般规律：从特殊到一般的过程。
二、教学重点、难点重点：直线的倾斜角、斜率的概念和公式；难点：对直线倾斜角以及斜率的理解；三、教学过程1．创设情景，形成概念问题1：过一点能确定一条直线吗？问题2：这些直线有怎样的区别？怎样准确的表示它们的区别呢？2.〔1〕直线倾斜角的定义：直线与x 轴相交时，直线向上的方向与x 轴正方向所成的角 叫做这条直线的倾斜角．(2)直线倾斜角的范围：0︒≤α<180︒【设计意图】让学生了解到除了两点能确定一条直线的位置外，一个点和方向也能确定一条直线的位置。
学生了解倾斜角的概念，并发现倾斜角的取值范围3．发现问题，探索新知通过上面的学习，我们知道倾斜角可以刻画直线的倾斜程度，那么我们在还学习过什么量可以表达倾斜程度呢？斜率的定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率(slope)，常用小写字母k表示；α=ktan【设计意图】通过这个问题让学生意识到可以用角的正切值来表示坡度，从而让学生理解：用倾斜角的正切值来表示直线的倾斜程度，也就是斜率。
4.深入探究，加深理解〔1〕发现直线斜率随着倾斜角的变化会怎么样变化。
是不是每条直线都有斜率？倾斜角不同，斜率是否相同？〔2〕由正切函数的图像，引导学生得到倾斜角与斜率的图像。
进一步探究斜率k和倾斜角α的关系请根据斜率k和倾斜角α的关系完成以下填空：〔3〕应用探究在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1的直线，【设计意图】及时稳固斜率k和倾斜角α的关系式，进一步明确确定一条直线的两个几何要素：点和倾斜角。
人教版必修二：3.1直线的倾斜角与斜率教案
3.1 直线的倾斜角与斜率教案教学目标:1.知识与技能：（1）理解直线的倾斜角与斜率的概念（2）掌握倾斜角与斜率的对应关系（3）掌握过直线两点的直线的斜率公式2.过程与方法：（1）培养学生对数学知识的理解能力、应用能力及转化能力；（2）使学生初步了解数形结合、分类讨论的数学思想方法。
3.情感、态度与价值观：（1）通过直角坐标系将几何问题转化为代数问题，培养学生利用代数解决几何问题的能力；（2）通过坐标法的引入，培养学生联系、对应、转化的辩证思维；（3）激发学生学习数学的热情。
重点难点：重点：确定直线位置的几要素，直线的倾斜角和斜率的概念，直线倾斜角与斜率的关系，用代数方法刻画直线斜率的过程以及过两点的直线斜率的计算公式。
难点：探索直线的斜率与它的倾斜角之间的关系，推导过两点的直线斜率的计算公式。
教学方法：探究式学习教学工具：多媒体教学过程：一、情景导学：1.笛卡尔人物简介（了解坐标系的创立历史）2.介绍坐标系的作用，从而引出本节内容。
二、新知：利用两个动画，探究在平面直角坐标系中确定直线的要素思考：通过以上两个动画，我们可以学到什么？在直角坐标系中：1.只知道直线上一点或者知道直线的方向，直线是不确定的。
2.要确定一条直线的位置，只要知道直线上的不同两点或一点和方向问题3：以上动画2又可以如何表示直线方向（或者倾斜程度）？用角：这个角在直线中也叫做直线的倾斜角，那么直线的倾斜角又是怎样定义的？（引出直线的倾斜角）1.直线的倾斜角定义：探究：直线倾斜角的取值范围：动画演示思考下列问题：你认为下列说法对吗？a.所有的直线都有唯一确定的倾斜角与它对应。
b.每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。
问题4:在表示直线的倾斜程度时，除了用倾斜角之外，还有没有其他的表示方法呢？（生活实例）2. 直线斜率的定义：定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。
斜率通常用k 表示，即：k=tana （a 为直线的倾斜角且a ≠90°）注意：倾斜角为90°时，斜率不存在。
高中数学人教A版 必修2第三章3.1.1《直线的倾斜角和斜率》教案
课题 2.1.1倾斜角与斜率授课年级高二课型新授课授课时间主备人授课教师教学目标1.初步了解解析几何的产生及其意义，初步认识坐标法思想2.掌握直线的倾斜角与斜率的概念3.掌握过两点的直线的斜率公式教学重难点重点：直线的倾斜角与斜率的概念，过两点的直线斜率公式难点：用直线的倾斜角和斜率刻画直线的几何特征教学方法自主探究、合作交流教学过程环节设计学生活动引导语：十六、十七世纪，为了描述现实世界中的运动变化现象，如行星的运动、平面抛体的运动等，需要对它们的运动轨迹进行精确的代数刻画，运动变化进入了数学，变量观念成为数学中的重要理念。
在众多数学家工作的基础上，法国数学家笛卡尔、费马集其大成，创立了坐标系，用坐标刻画运动变化。
这是解析几何的创始。
新课导入：我们知道，点是构成直线的基本元素，在平面直角坐标系中，可以用坐标表示点，本节我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素。
引入课题学生阅读材料了解解析几何的创始问题1过一点能确定一条直线吗？这些直线有何不同？ 新课讲解： 一、倾斜角1. 直线的倾斜角当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角练习：下列四图中，表示直线的倾斜角的是( )2. 直线倾斜角的范围当直线 与 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度 ，因此，直线的倾斜角的取值范围为：学生动手画直线学生口答定义并找出其中的关键词学生口答巩固倾斜角的概念学生自助探究y x olαay xoAyxoaBayxoC yx aoD按倾斜角去分类，直线可分几类？问题2请在平面直角坐标系中，作出倾斜角为 45度 的直线，并对比你与其他同学所作的图像，你发现了什么？若增加条件过点(0,0),你能作多少条直线？3.确定平面直角坐标系中一条直线的几何要素： 直线上的一个定点 直线的倾斜角问：日常生活中有没有表示倾斜程度的量？坡度（比）二、直线的斜率直线倾斜角 的正切值，常用小写字母k 表示，即： αtan =k注意：倾斜角为90度的直线的斜率不存在．探究：借助几何画板，分析直线的倾斜角与斜率的关系。
人教版高中数学必修2《 直线与方程 3.1直线的倾斜角与斜率 3.1直线的倾斜角与斜率(通用)》公开课教案_4
直线的倾斜角与斜率教学目标：1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．(重点)2．掌握倾斜角与斜率的对应关系．(难点、易错点)3．掌握过两点的直线的斜率公式．(重点)4. 掌握倾斜角和斜率在解题中的应用，提升思维能力和解决问题的能力(难点)教学方法：讲练结合教学手段：多媒体教学过程：知识回顾：（1）直线的倾斜角：直线与x 轴相交时，直线向上的方向与x 轴正方向所成的角 叫做这条直线的倾斜角规定：当直线与x轴平行或重合时，它的倾斜角为00倾斜角的范围： 0°≤α<180°（2）斜率定义：特殊角的正切值（3）经过两点P 1（x 1,y 1）,P 2(x 2,y 2)的直线的斜率公式倾斜角和直线位置的关系αtan =k ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=⇒<<⇒⇒=>=⇒<<==⇒=0tan 18090)(tan 900tan 90000tan 0a k a k a a a k a k a 不存在不存在)(2121211212x x x x y y x x y y k ≠--=--=直线基础检测1.关于直线的倾斜角和斜率，其中__________说法是正确的.A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；C.平行于x轴的直线的倾斜角是0o或180o；D.两直线的斜率相等，它们的倾斜角相等E.直线斜率的范围是(－∞，＋∞)2．斜率不存在的直线一定是( )A．过原点的直线B．垂直于x轴的直线C．垂直于y轴的直线D．垂直于过原点的直线3．如图中α能表示直线l的倾斜角的________4．若过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y 等于( )5．如图所示，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3之间的大小关系为_____________。
6．已知A(1,1)，B(3,5)，C(a,7)，三点在同一条直线上，求直线的斜率k及a的值．能力提升例 1.已知直线l过原点，l绕原点按顺时针方向转动α角(0°<α<180°)后，恰好与y轴重合，求直线l转动前的倾斜角是多少？大显身手1．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为( ) A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°例2.已知坐标平面内三点A (－1,1)，B (1,1)，C (2， )． (1)求直线AB 、BC 、AC 的斜率和倾斜角；(2)若D 为△ABC 的边AB 上一动点，求直线CD 斜率k 的变化范围．2．已知两点A (－3,4)，B (3,2)，若点P (x,y)在线段AB 上,求 的取值范围开动脑筋已知实数x ，y 满足y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x ≤1)，试求 最大值和最小值。
直线的倾斜角和斜率教案
2.5等比数列的前n项和（第一课时）教案一、内容及其解析“直线的倾斜角与斜率”是人教版数学必修2第三章第一节的内容，是高中解析几何内容的开始。
这节课学习的内容是直线在平面直角坐标系下的倾斜角和斜率。
其核心内容是直线倾斜角的概念和斜率的求法，理解它的关键是在平面直角坐标系中直线向上的方向与X轴正方向所成的角和角的正切值。
之前学生已经学过一次函数的图像和平面中两点可以确定一条直线，这节内容就是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。
通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。
直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。
二、目标及其解析目标定位：1、正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.2、会求出直线的倾斜角和直线的斜率.3、掌握过两点的直线的斜率公式.目标解析：1、正确理解直线的倾斜角是指理解平面直角坐标系中以X轴为基准，直线与X 轴相交时，X轴正方向与直线向上的方向的角；理解斜率概念是指直线的斜率就是直线倾斜角的正切值。
2、会求出直线倾斜角是指已知直线的斜率求出其对应倾斜角，会求直线斜率是指知道直线的倾斜角会求出其对应直线的斜率。
3、掌握过两点的直线的斜率公式就是要熟练应用经过P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点的直线的斜率公式k= 1212x x y y --（21x x ≠）。
三、问题诊断与分析1、对于倾斜角概念：根据倾斜角的定义说清楚“基准”与“直线方向”学生是容易掌握的，对于“是不是所有的直线都有倾斜角”这个问题绝大部分同学都能够理解。
而对于倾斜角的范围有些同学容易在180这里产生误解。
2、对于斜率，学生基本上能从斜坡的坡度中顺利迁移过来，当倾斜角为90及0时可以特殊认识，当倾斜角为钝角时(与斜坡稍有不同)斜率的求法应重点分析，突出转化思想的同时，引导学生认识P83页的脚注，使学生对所有直线的斜率情况有全面的认识。
高中数学3.1.1直线的倾斜角与斜率1教案新必修2
高中数学《3.1.1 直线的倾斜角与斜率（1）》教案新人教A版必修2一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学2》（人教版）第三章直线方程第一节直线的倾斜角与斜率的第一课时。
直线的倾斜角与斜率是高中数学重要内容之一，有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。
一方面, 直线的倾斜角与斜率与一次函数密不可分；另一方面,学习直线的倾斜角与斜率也为进一步学习直线方程等内容做好准备。
二、学生学习情况分析本节课学生很容易在以下两个地方产生错误或困惑：1.由正切函数的单调性得到倾斜角与斜率的变化关系;2. 斜率计算公式的运用.三、教学目标知识与技能1.正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．2.理解直线的倾斜角的唯一性.3.理解直线的斜率的存在性.4.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．情感态度与价值观1.通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．2.通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神四、教学重点，难点重点：直线的倾斜角、斜率的概念和公式.难点：斜率公式的应用。
五、教学过程(一)．复习旧知问题1:正切函数的定义及定义域问题2: 正切函数的图象与单调性(二).问题情境问题3:对于平面直角坐标系内的一条直线,它的位置由哪些条件确定呢?我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?(1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同.问题4:怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?(三).形成定义定义1:直线倾斜角的概念：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角注意:当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.。
高中数学《直线的倾斜角和斜率》教案
高中数学《直线的倾斜角和斜率》教案一、教学目标1. 理解直线的倾斜角的概念，能够求出直线的倾斜角。
2. 掌握直线的斜率与倾斜角的关系，能够计算直线的斜率。
3. 能够运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。
二、教学内容1. 直线的倾斜角的概念2. 直线的斜率与倾斜角的关系3. 直线的倾斜角和斜率的计算4. 直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：直线的倾斜角的概念，直线的斜率与倾斜角的关系，直线的倾斜角和斜率的计算。
2. 教学难点：直线的倾斜角和斜率的计算，直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过探究直线的倾斜角和斜率的概念及关系，提高学生的思维能力。
2. 利用数形结合法，结合图形讲解直线的倾斜角和斜率，增强学生的直观理解。
3. 通过实例分析，让学生学会运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。
五、教学过程1. 导入：通过复习初中阶段学习的直线的倾斜角的概念，引导学生思考直线的倾斜角与斜率的关系。
2. 新课讲解：（1）讲解直线的倾斜角的概念，介绍直线的倾斜角的定义及求法。
（2）讲解直线的斜率与倾斜角的关系，引导学生理解斜率与倾斜角之间的联系。
（3）讲解直线的倾斜角和斜率的计算方法，让学生掌握计算直线的倾斜角和斜率的技巧。
3. 实例分析：运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题，如计算直线的倾斜角和斜率，分析直线在坐标系中的位置等。
4. 课堂练习：布置一些有关直线的倾斜角和斜率的练习题，让学生巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调直线的倾斜角和斜率的概念及计算方法。
6. 作业布置：布置一些有关直线的倾斜角和斜率的练习题，让学生课后巩固所学知识。
六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体直线图形，让学生理解直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。
2. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享各自对直线倾斜角和斜率的理解，互相学习，提高理解。
人教版高中数学必修2《 直线与方程 3.1直线的倾斜角与斜率 3.1直线的倾斜角与斜率(通用)》公开课教案_8
xxx3.1 直线的倾斜角与斜率授课教师：教学目标 ：（1）了解直线方程的概念，正确理解直线倾斜角和斜率概念， （2）理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式． （3）培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力．（4）帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．学习目标：（1）正确理解直线倾斜角和斜率概念以及作用。
（2）理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．教学重点：直线斜率的概念和公式。
教学难点：直线斜率的概念和公式。
教学过程：一、探究——怎么确定平面内的一条直线？两点确定一条直线二、提问：给定一个点可以确定多少条直线？ 回答无数条。
那么这些直线有什么共同点和不同点？ 共同点：经过P 点；不同点：（引导学生）倾斜的程度也就是与x 轴的夹角不相同。
我们知道，如果给定两个点，能确定一条直线；如果只给定一个点，不能确定一条直线，那么还需要再加一个什么条件就可以确定直线？（引导学生）只要确定他的倾斜的程度也就是知道这个直线与x 轴的夹角就可以了。
三、为了更好的描述它的倾斜程度，我们就引入已给新的名词——倾斜角。
定义—— 当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线的倾斜角。
关键词：x 轴，正向，向上方向。
倾斜程度相同，其倾斜角相同。
倾斜程度不同，其倾斜角不同。
练习：下列图中标出的直线的倾斜角对不对？若不对，违背了定义中的哪些条件？升高量前进量B倾斜角的范围： （几何画板演示）夹角的范围：0°≤α＜180°（180°为什么不取？）四、日常生活中，还有没有是表示倾斜程度的量？上学校的路是一条上坡路，感觉有的地方特别陡，有的地方就没有那么陡，那么这种斜坡陡还是不陡的程度我们就成为坡度。
画图表示：前进量升高量坡度（比）=升高的量越大，坡度就越大。
升高的量越小，坡度就越小。
在三角形ABC 中，坡度等于α的对边比邻边，相当于是什么，在三角形的对边比邻边是哪个值？前进量升高量坡度==αtan（1）在数学上，我们给出它的定义——我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率. 用小写字母 k 表示，即：αtan =k 。
人教版高中数学必修2《直线的倾斜角和斜率》教案
人教版高中数学必修2《直线的倾斜角和斜率》教案3.1.1直线的倾斜角和斜率教材：选自人教版普通高中课程标准实验教科书必修2一、教学目标1、知识目标（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素，主动构建理解直线的倾斜角和斜率的概念；（2）初步感悟用代数方法解决几何问题的思想方法，掌握过两点的直线斜率的计算公式；（3）掌握直线的倾斜角与斜率的关系，会求直线的倾斜角和斜率。
2、能力目标（1）引导学生观察发现、类比，猜想和实验探索，培养学生的分析、抽象、归纳能力及创新能力和实践能力；（2）突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养，从而提高学生的发散性思维能力。
3、思想目标通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，进一步提高学生分析、比较、概括、化归的数学能力,使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路，培养学生的数形结合思想和综合运用知识解决问题的能力。
4、美育目标帮助学生进一步了解分类思想、数形结合思想，在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，使学生体会数、形的统一美，激发学生学习数学的兴趣，对学生进行对立统一的辩证唯物主义观点的教育，培养学生勇于探索、勇于创新的精神。
二、教学重点与难点重点：1、感悟并形成倾斜角与斜率两个概念以及它们的相互关系；2、推导并初步掌握过两点的直线斜率公式；3、使学生经历几何问题代数化的过程，初步了解解析几何研究问题的基本思想方法，体会坐标法。
难点：1、倾斜角概念的形成，对斜率概念的理解。
2、用代数方法推导斜率的过程；3、直线的斜率与其倾斜角之间的关系。
三、教学方法与手段教学方法：观察发现、启发引导、探索实验。
教学手段：“启发探究式”教学法；计算机辅助教学与引导法相结合；坚持协同创新原则。
人教版高中数学必修2《直线的倾斜角与斜率》教学设计及教案
人教版高中数学必修2《直线的倾斜角与斜率》教学设计及教案本节课选自高中数学《必修2》（普通高中课程标准实验教科书）第三章第一节第一节课。
一、内容和内容解析内容：解析几何介绍，直线的倾斜角和斜率。
每一章的第一节课非常重要，所讲内容要体现出“大问题”，“显著问题”，要从全章的角度来看问题。
因此教学内容不仅有倾斜角、斜率的概念，还应当包含坐标法、数形结合思想、解析几何发展史等。
直线的倾斜角和斜率都描述了直线的倾斜程度，倾斜角用几何位置关系刻画，斜率从数量关系刻画，二者的联系桥梁是正切函数值，并且可以用直线上两个点的坐标表示。
建立斜率公式的过程，体现了坐标法的基本思想：把几何问题代数化，通过代数运算研究几何图形的性质。
本课涉及两个概念——倾斜角和斜率。
倾斜角是几何概念，它主要起过渡作用，是联系新旧知识的纽带，研究斜率、直线的平行、垂直的解析表示等问题时都要用这个概念；斜率概念，不仅其建立过程很好地体现了解析法，而且它在建立直线方程、通过直线方程研究几何问题时也起核心作用，这是因为在直角坐标系下，确定直线的条件最本质条件是直线上的一个点及其斜率，其他形式都可以化归到这两个条件上来。
教学重点：1、使学生经历几何问题代数化的过程，初步了解解析几何研究问题的基本思想方法，体会坐标法；2、理解斜率的定义，掌握过两点的直线的斜率公式。
二、目标和目标解析1．理解倾斜角的概念，体会在直角坐标系下，以坐标轴为“参照系”，用统一的标准刻画几何元素的思想方法。
2．理解斜率的定义和斜率公式，经历几何问题代数化的过程，了解解析法的基本步骤，感受解析几何的思想方法。
3．通过解析几何发展史的简单介绍，渗透数学文化教育。
三、教学问题诊断分析平面几何中，“两点确定一条直线”是没有“参照系”的，如何使学生在这一知识的基础上，顺利、自然地过渡到直角坐标系下用一个点和倾斜角确定一条直线，是比较困难的。
事实上，已知直线的倾斜角就相当于已知直线的方向，因此已知“两个点可以确定直线的方向，这与‘一个点和直线的方向确定一条直线’是一致的”。
人教课标版高中数学必修2《倾斜角与斜率》教学设计
3.1直线的倾斜角与斜率 3.1.1 倾斜角与斜率一、教学目标 （一）核心素养通过这节课学习，了解直线的概念、认识直线的特征，了解用具体的数来度量直线的几何特征，在数量和图形形状之间建立起对应关系，逐步培养数形结合的数学思想． （二）学习目标 1．通过实例，了解直线的几何特征和确定一条直线的必要条件． 2．认识用数量来度量几何特征的实际例子“倾斜角”，“斜率”． 3．能认识直线的倾斜角，掌握倾斜角与斜率之间的关系，4．能根据倾斜角求斜率，能根据两点坐标求斜率．（三）学习重点 1．用数量度量几何性质的思想和方法． 2．直线的倾斜角与斜率．3．两点连线的斜率公式．（四）学习难点 1．由形到数的数学思维的变化． 2．定义倾斜角，斜率这种新知识的理解．3．由局部的坡度到整个范围的斜率的过程和理解．二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第82页至第86页，填空：当直线与x 轴相交时，我们去x 轴作为基准，把x 轴的正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角． 当直线与x 轴平行或者重合时相交时，我们规定，直线l 的倾斜角．直线l 的倾斜角的范围是)000,180α⎡∈⎣．我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫这条直线的斜率，即：tan kα＝． 当直线的倾斜角α为090时，这条直线的斜率不存在．经过两点111(,)P x y ，222(,)P x y ()12x x ≠的直线的斜率2121y y k x x --＝． 2．预习自测（1）一条光线经过M (3，5)，与x 轴正方向成060，经过x 轴反射，则反射光线所在直线的倾斜角为（ ）A ．060B ．0120C ．0150D ．060-【答案】B ．（2）如图,直线L 1,L 2,L 3,的斜率分别为k 1,k 2,k 3,则k 1,k 2,k 3的大小关系为 (从小到大). A ．k 1<k 2<k 3B ．k 1>k 3>k 2C ．k 1>k 2>k 3D ．k 1<k 3<k 2【答案】C ．（3）过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A ．1 B ．4 C ．1或3 D ．1或4【答案】A (二)课堂设计 1．问题探究探究一 结合实例，认识直线的倾斜角 ●活动① 画图，展示，认识直线的倾斜角请在同一个直角坐标系内画出经过原点，倾斜角分别为30°，90°，150°的三条直线，并且标记出各自的倾斜角．【设计意图】从视觉概念到具体动手展示，体会数学概念的形象化●活动②辨析概念、分析概念的合理性观察与思考一：如图为直角坐标系经过原点，倾斜角为30°的直线，将直线沿原点按逆时针方向旋转180°，360°，k·180°，k·360°，k Z所得的直线与原直线的关系怎么样？旋转后所得的直线与原直线重合观察与思考二：结合角度的定义，该直线的向上的方向与x轴正向所成的角度可以为30°，210°……k·180°+30°，为什么我们定义该直线的倾斜角为30°?这样做有什么好处?结合该问题，谈谈我们定义直线l的倾斜角的范围是0°≤α＜180°的合理性．如果我们认为直线的倾斜角为k·180°+30°，则一条直线的倾斜角就会无穷多个，会造成辨析上的混乱，定义一个概念当然希望概念清晰，简洁．易于辨识和应用．当定义直线l的倾斜角的范围是0°≤α＜180°时，保证了每条直线都有唯一的倾斜角．这样就对直线的方向性特征作出了清晰简洁的描绘．【设计意图】通过概念辨析，加深对倾斜角内涵与外延的理解，突破重点．●活动③举例归纳，提升概念的理解例1．直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是( )A．[0°，90°) B．[90°，180°)C．(90°，180°) D．(0°，180°)【知识点】倾斜角的定义【数学思想】数形结合．【解题过程】直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角范围是(90°，180°)．【思路点拨】通过图形分析．【答案】C．【设计意图】通过具体实例，让学生从图形角度加深对倾斜角的理解．例2．设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°时为α－135°【知识点】倾斜角的定义【数学思想】数形结合．【解题过程】当0°≤α＜135°时，l1的倾斜角是α＋45°．当135°≤α＜180°时，结合图形和倾斜角的概念，即可得到l1的倾斜角为α－135°，故应选D．【思路点拨】通过图形分析．【答案】D．【设计意图】通过具体实例，让学生从图形角度加深对倾斜角内涵与外延的理解，突破重点与难点．探究二探究直线的斜率与倾斜角的关系●活动①结合实例，理解定义的科学性日常生活中，常用坡度(坡度＝升高量前进量)表示倾斜程度，例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度32＞22.问题1：对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度？可以．问题2：由上图中坡度为升高量与水平前进量的比值，那么对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量？可以．问题3：通过坐标比，你会发现它与倾斜角有何关系？与倾斜角的正切值相等．即：k=tan α(α≠90°)，特别的当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在．【设计意图】通过生活常识理解斜率的概念，逐步抽象斜率的概念．●活动②辨析概念，加深理解例3：下列说法中，正确的是( )A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan αB．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αC．若直线的倾斜角为α，则sin α＞0D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tanα【知识点】倾斜角的定义【数学思想】【解题过程】对于A，当α＝90°时，直线的斜率不存在，故不正确；对于B，虽然直线的斜率为tan α，但只有0°≤α＜180°时，α才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C，当直线平行于x 轴时，α＝0°，sin α＝0，故C不正确，故选D．【思路点拨】结合定义．【答案】D．【设计意图】通过一般情况，特殊情况的情景分析，逐步加深对概念的理解●活动③展示举例，深化概念的理解研究过原点的直线的斜率任务（1）：研究0°≤α＜90°的直线的斜率图中直线上的点O（0,0），P（1，m），当横坐标x从0到1增加一个单位时,纵坐标y从0增加到m(m≥0),称k为这直线的斜率tanα=m任务(2)：研究90°＜α＜180°的直线的斜率图中直线上的点O （0,0），P （1，－n ），当横坐标x 从0到1增加一个单位时,纵坐标y 从0减少了n(n ＞0),称－n 为这直线的斜率tan α=－n研究不过原点直线的倾斜角和斜率直线l 与l 1平行(与x 轴不垂直),则直线l 的斜率k=tan α 倾斜角α=90°的直线的斜率不存在任务（3）总结随着倾斜角的变化，斜率的变化情况情景1 α =0°时,斜率k 等于多少?k=tan0°=0情景2 0°＜α＜90°时,斜率k 是正还是负? 倾斜角α变化时,直线的斜率k 如何变化?k =tan α＞0，倾斜角越大,斜率也越大.情景3 90°＜α＜180°时,斜率k 是正还是负? 倾斜角α变化时,直线的斜率k 如何变化?k =tan α＜0，倾斜角越大,斜率也越大.90°＜α＜180°0°≤α＜90°【设计意图】通过学生自己动手，总结，辩论加深对倾斜角，斜率关系的理解 探究三 深化概念的应用、研究斜率与坐标的关系 ●活动① 归纳推理、理解提升两点确定一条直线，可见由两点也就确定了直线的倾斜程度，即倾斜角与斜率．看来，直线上两点与直线的斜率有着密不可分的联系．问题一：在平面直角坐标系中，已知直线上两点111(,)P x y ，222(,)P x y 且12x x ≠，能否用12,P P 的坐标来表示直线斜率k ?设直线12PP 倾斜角为090αα≠（）当直线12PP 方向向上时，过点1P 作x 轴的平行线，过点2P 作y 轴的平行线，两线交于点Q ，则点Q 为21(,)x y（1）当α为锐角时，21P QP ∠=α，21x x <，21y y <，在Q P P Rt 21∆中，12121221tan tan x x y y QP QP P QP --==∠=α（2）当α为钝角时，θα-= 180（设12=QPP θ∠），21x x <，12y y < tan =tan(180)tan αθθ-=-，在Q P P Rt 21∆中，1212121212tan x x y y x x y y QP QP ---=--==θ1212tan x x y y --=∴α（可让学生分组推导）同理，当直线21P P 方向向上时，无论α为锐角或钝角，也有1212tan x x y y --=α，即1212x x y y k --=思考：1、各种一般情形得出的结论一致吗？与12,P P 这两点坐标顺序有关系吗？结论一致，与顺序无关2、当直线垂直于x 轴或y 轴时，上述结论适用吗？ 垂直于x 轴不适用，垂直于y 轴时适用．3、斜率公式使用时应注意什么问题？12x x ≠，【设计意图】通过学生自己动手推导公式，让学生体验公式来源，加深对知识的理解 ●活动② 例题训练，加深理解与掌握例4：求经过下列两点直线的斜率，并判断倾斜角是锐角还是钝角．（1）(3,2)A ,(4,1)B - （2）(3,2)A ,(4,1)B （3）(3,2)A ,(3,1)B - （4）(3,2)A ,(4,2)B -【知识点】倾斜角与斜率的关系 【数学思想】【解题过程】建立斜率与坐标的关系逐个计算斜率的值（1）71=AB k ，锐角； （2）1ABk ，钝角；（3）不存在，直角；（4）0=AB k ，0° 【思路点拨】结合定义． 【答案】（1）71=AB k ，锐角；（2）1AB k ，钝角；（3）不存在，直角；（4）0=AB k ，0°． 【设计意图】通过例题深化公式的运用和记忆 （三）课后作业 基础型 自主突破1．关于直线的倾斜角和斜率，下列说法正确的是（ ） A ．任一直线都有倾斜角，都存在斜率 B ．倾斜角为135°的直线的斜率为1C ．若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k ＝tan αD ．直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞) 【知识点】倾斜角与斜率的概念，关系． 【数学思想】【解题过程】D ，任一直线都有倾斜角，但当倾斜角为90°时，斜率不存在．所以A 、C 错误；倾斜角为135°的直线的斜率为－1，所以B 错误；只有D 正确． 【思路点拨】倾斜角与斜率的概念，关系判断． 【答案】D ．2．过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y ＝（ ） A ．－32B．3 2C．－1D．1【知识点】斜率与坐标的关系．【数学思想】【解题过程】选C，tan 45°＝k AB＝y＋34－2，即y＋34－2＝1，所以y＝－1.【思路点拨】建立斜率与坐标的关系．解未知数．【答案】C．3．如图，设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为（）A．k1＜k2＜k3B．k1＜k3＜k2C．k2＜k1＜k3D．k3＜k2＜k1【知识点】倾斜角与斜率的关系．【数学思想】数形结合【解题过程】A，根据“斜率越大，直线的倾斜程度越大”可知选项A正确．【思路点拨】倾斜角与斜率的关系．【答案】A．4．经过两点A(2,1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是（）A．m＜1B．m＞－1C．－1＜m＜1D．m＞1或m＜－1【知识点】倾斜角与斜率的关系．【数学思想】【解题过程】C ，直线l 的倾斜角为锐角， ∴斜率k ＝m 2－11－2＞0，∴－1＜m ＜1.【思路点拨】建立斜率与坐标的关系倾斜角与斜率的关系，解不等式． 【答案】C ．5．如果直线l 过点(1,2)，且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是（ ） A ．[0,1] B ．[0,2] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 D ．(0,3]【知识点】倾斜角的定义． 【数学思想】数形结合【解题过程】画图，分析图像的极端情况．过点(1,2)的斜率为非负且最大斜率为此点与原点的连线斜率时，图象不过第四象限．【思路点拨】倾斜角定义以及与斜率的关系． 【答案】B ．6．若直线过点 (4,2)，(1，2＋3)，则此直线的倾斜角是（ ） A ．150° B ．45° C ．60° D ．90°【知识点】倾斜角与斜率的关系的定义．斜率与坐标的关系． 【数学思想】【解题过程】设直线的倾斜角为α，直线斜率k ＝－33，∴tan α＝－33. 又∵0°≤α＜180°，∴α＝150°.【思路点拨】倾斜角定义以及与斜率的关系． 【答案】A ． 能力型 师生共研7．已知A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求m的值．【知识点】倾斜角与坐标关系，解方程．【数学思想】方程思想【解题过程】由题意直线AC的斜率存在，即m≠－1.∴k AC＝(－m＋3)－4m＋1，k BC＝(m－1)－42－(－1).∴(－m＋3)－4m＋1＝3·(m－1)－42－(－1).整理得：－m－1＝(m－5)(m＋1)，即(m＋1)(m－4)＝0，∴m＝4或m＝－1(舍去)．∴m＝4.【思路点拨】利用斜率与坐标的关系建立方程．【答案】m＝4．8．已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，实数a的值为________．【知识点】三点共线与斜率的关系，斜率与坐标的关系．【数学思想】数形结合【解题过程】∵A、B、C三点共线，∴k AB＝k BC，即53－a＝9a＋75，∴a＝2或29.【思路点拨】三点共线则斜率相等．【答案】a＝2或2 9．探究型多维突破9．如果直线l1的倾斜角是150°，l2⊥l1，垂足为B.l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为________．【知识点】数学结合，倾斜角的概念．【数学思想】数形结合【解题过程】因为直线l 1的倾斜角为150°，所以∠BCA ＝30°，所以l 3的倾斜角为12×(90°－30°)＝30°.【思路点拨】．画图研究角度间的关系【答案】30°10．已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求y x 的最大值和最小值．【知识点】数学结合，用几何意义解释数学等式． 【数学思想】数形结合【解题过程】如图所示，由于点(x ，y )满足关系式2x ＋y ＝8，且2≤x ≤3，可知点P (x ，y )在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标可分别求得为A (2,4)，B (3,2)．由于y x 的几何意义是直线OP 的斜率，且k OA ＝2，k OB ＝23，所以可求得y x 的最大值为2，最小值为23.【思路点拨】用几何意义解释数学等式．【答案】最大值为2，最小值为23.自助餐1．直线l 1，l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7，则l 2的斜率是（ ）A ．7B ．－77C ．77D ．－7【知识点】斜率的定义．【数学思想】数形结合【解题过程】画出图形，根据对称性分析两直线的倾斜角之间的关系，再判断其斜率之间的关系．如图所示，显然直线l 2的斜率为7.【思路点拨】在图像中寻找两条直线的关系．【答案】A ．2．若ab <0，则过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1b 与Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，0的直线PQ 的倾斜角的取值范围是（） A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0【知识点】倾斜角与斜率的关系，斜率与坐标的关系．【数学思想】【解题过程】k PQ ＝－1b －00－1a＝ab <0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ 的倾斜角的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π．【思路点拨】建立斜率与坐标的等式．【答案】B ．3．已知直线l 的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝15，则直线l 的斜率是________．【知识点】倾斜角与斜率的关系，三角函数．【数学思想】【解题过程】∵α为倾斜角，∴0≤α＜π.∵sinα＋cosα＝15，∴sinα＝45，cosα＝－35.∴tanα＝－4 3.【思路点拨】利用同角度的三角函数之间的关系．【答案】－4 3．4．直线l过二、三、四象限，l的倾斜角为α，斜率为k，则k cosα的取值范围为________．【知识点】倾斜角与斜率的关系，三角函数值的正负．【数学思想】数形结合【解题过程】由题意可得α∈(π2，π)，∴k·cosα＝tanα·cosα＝sinα∈(0,1)．【思路点拨】画图得到倾斜角的范围．【答案】(0,1)．5．已知点M是直线l：3x－y＋3＝0与x轴的交点，将直线l绕点M旋转30°，求所得到的直线l′的斜率．【知识点】倾斜角与斜率的关系．【数学思想】数形结合【解题过程】在3x－y＋3＝0中，令y＝0，得x＝－3，即M(－3，0)．∵直线l的斜率k＝3，∴其倾斜角θ＝60°.若直线l绕点M逆时针方向旋转30°，则直线l′的倾斜角为60°＋30°＝90°，此时斜率不存在，若直线l绕点M顺时针方向旋转30°，则直线l′的倾斜角为60°－30°＝30°，此时斜率为3 3.【思路点拨】画图得到倾斜角情况． 【答案】不存在或者33 ．6．点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x ∈[2,5]时，求y ＋1x ＋1的取值范围． 【知识点】斜率与坐标的关系的关系．【数学思想】数形结合【解题过程】y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)的几何意义是过M (x ，y )，N (－1，－1)两点的直线的斜率． ∵点M 在函数y ＝－2x ＋8的图象上，且x ∈[2,5]，∴设该线段为AB 且A (2,4)，B (5，－2)．∵k NA ＝53，k NB ＝－16， ∴－16≤y ＋1x ＋1≤53. ∴y ＋1x ＋1的取值范围为[－16，53]． 【思路点拨】数形结合赋予数学式几何意义．【答案】[－16，53]．。
新人教版高中数学必修二教案：3.1直线的倾斜角与斜率
3.1直线的倾斜角与斜率【知识要点】1.直线的倾斜角与斜率：a.直线的倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角。
当直线l 与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0︒。
因此直线的倾斜角的取值范围是0180α︒≤<︒。
b. 我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，通常用k 表示，及k=tan α。
（倾斜角是90︒的直线没有斜率）2.直线的两点式斜率：：已知两点11122(,),(,)P x y P x y ，如果12x x ≠，则12P P 的斜率为k=2121y y x x --（12x x ≠），如果12x x =，可知倾斜角为90︒，可知其斜率不存在。
3. 直线的倾斜角与斜率之间的转化4. 三点共线问题的斜率的处理5. 两条直线的平行（学习如何判定）6. 两条直线的垂直（学习如何判定）【知识应用】1.方法： a.清楚倾斜角定义中含有的三个条件：（1）直线l ︒方向向上 （2）x 轴的正方向 （3）小于平角的最小正角 （也可以从运动变化角度来看，直线的倾斜角是有x 轴按逆时针方向转动到直线时所成的角。
倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线相对于x 轴正方向的倾斜程度。
b. 倾斜率是倾斜角的正切 值，但要注意当倾斜角是90︒时，直线的斜率不存在，但并不是该直线不存在，此时，直线垂直于x 轴。
【J 】例1 下列命题：（1）任一条直线都有倾斜角 （2）任一条直线都有斜率 (3)若直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α （4）直线的斜率为tan α，则直线的倾斜角是α（5）直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 （6）直线的倾斜角α[0,90)(90,180)︒︒︒︒∈⋃时，直线斜率分别在这两个区间上单调递增 正确的命题序号是_______________【L 】例2 直线l 的斜率为k=1-2m （m R ∈），求直线l 的倾斜角的取值范围【C 】例3 下列说法正确的是（ ）A 直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan αB 直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为θC 若直线的倾斜角为α，则sin α>0D 任一直线都有倾斜角，但它不一定有斜率2.方法：记忆两点间的斜率公式，找出两点坐标，然后利用斜率公式求解，注意斜率不存在的情况【J 】例1 已知直线l 经过两点A （2,1），B （m ，2）m R ∈，求直线l 的斜率【L 】例2 若02πα<<，求经过两点1P （0，sin α），2P （cos α，0）的直线的倾斜角【C 】例3 已知A （-2,3）B （3,2），过点P （0，-2）的直线l 与线段AB 没有公共点，求直线l 的斜率的取值范围。
高中数学必修二教案：3.1+直线的倾斜角与斜率
格一课堂教学方案章节：3.1.1 1 课时：备课人：二次备课人：精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
人教版高中数学必修2第三章直线的倾斜角与斜率同步教案1
直线的倾斜角与斜率辅导教案学生姓名性别 年级 高二 学科 数学 授课教师 上课时间 年 月 日 第（ ）次课共（ ）次课课时：2课时 教学课题 人教版 必修2第三章第一节直线的倾斜角与斜率同步教案1教学目标 知识目标：理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式。
能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直。
能力目标：具备较强的运算求解能力及应用意识。
情感态度价值观：享受数学学习教学重点与难点 1、直线的倾斜角和斜率的概念 2、两点的直线斜率的计算公式3、直线平行与垂直（一）倾斜角与斜率知识梳理1.倾斜角[破疑点] 理解倾斜角的概念时，要注意三个条件：①x 轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．定义 当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，____轴正向与直线l 向_____方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角． 规定 当直线l 与x 轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为__________. 记法 α 图示 范围 0°≤α<180° 作用 (1) 用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的__________ (2) 确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的__________，二者缺一不可【方法总结】判断两条直线是否平行的步骤特别提醒：若已知直线上点的坐标，判断直线是否平行时，要考虑直线重合的情况．【题型2、判断两条直线的垂直关系】【例2】判断下列各题中的直线l1，l2是否垂直：(1)l1经过点A(－1，－2)，B(1,2)，l2经过点P(－2，－1)，Q(2,1)；(2)l2经过点A(3,4)，B(3,6)，l2经过点P(－5,20)，Q(5,20)；(3)l1经过点A(2，－3)，B(－1,1)，l2经过点C(0，－1)，D(4,2)．【方法总结】两条直线垂直的判定条件：(1)如果两条直线的斜率都存在且它们的积为－1，则两条直线一定垂直；(2)两条直线中，如果一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率为0，那么这两条直线也垂直．特别提醒：若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况．6．如图所示，直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1与l 2垂直，求l 1、l 2的斜率．【课后作业2】1．下列说法正确的有( )①若两直线斜率相等，则两直线平行；②若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；④若两直线斜率都不存在，则两直线平行．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2.直线l 1的斜率为k 1＝－3，直线l 2的斜率为k 2＝－3，则l 1与l 2( )A ．平行B ．垂直C ．重合D ．平行或重合3．已知A (－1,1)，B (3,3)，直线l ∥AB ，则直线l 的斜率为( )A ．2B ．12C ．－2D ．－124．已知直线l 1的斜率为a ，l 2⊥l 1，则l 2的斜率为( )A ．1aB ．－1aC ．aD ．－1a或不存在 5．已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A (0,1)，B (1,0)，C (3,2)，则第四个顶点D 的坐标为________．。
人教版高中数学必修2《 直线与方程 3.1直线的倾斜角与斜率 3.1直线的倾斜角与斜率(通用)》公开课教案_7
3.1.1《直线的倾斜角和斜率》教学设计一、教学内容分析：本节教学是高中解析集合内容的开始。
直线的倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素和代数表示，是平面直角坐标系内解析法的方式来研究直线极其几何性质的基础。
通过本届内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标系内几何要素代数化的过程和意义，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法，进一步培养学生对函数、数形结合、分类讨论思想的应用知识。
本课有着开启全章，奠定基调，渗透方法的作用。
用坐标法解决几何问题是解析几何主要目标，其本质是抽象的代数语言和直观的几何语言之间的数学对话。
二、教材解析：对直线的方程和方程的直线的概念的理解需要一个过程。
在本节的教学中，将一次函数与其图像的对应关系，直接转化成直线方程与直线的对应关系，只需学生对其有一个初步的了解，为今后学习曲线和方程的概念做准备。
直线的倾斜角和斜率都是反映直线相对于X轴正方向的倾斜程度。
倾斜角是直接用几何要素反映这种程度的。
斜率等于倾斜角的正切值，是用函数刻画直线倾斜程度的代数表示，定义本身从数和行两方面沟通了表示直线倾斜程度才内在联系，将直线的倾斜程度和实数之间建立对应关系，使几何问题的研究具有普遍性。
由于在解析几何中，通过两点的直线的斜率公式，把斜率坐标化，在研究直线时比使用倾斜角更方便。
因此，它是研究直线问题的重要工具。
正确理解斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，是学习直线方程，研究直线位置关系等许多问题的关键。
三、教学目标：1.了解直线的方程和方程的直线的概念，理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式。
2.通过斜率概念的构成和斜率公式的探究，经历几何问题代数化的过程，渗透数形结分类谈论思想方法，强化函数的应用意识，训练学生的逆向思维能力。
通过师生的双边活动使学生进一步获得分类讨抽象概括等研究数学的规律和方法，培养学生周密思考，主动学习、合作交流的意识和勇于探索的良好品质。
高中数学必修2：3.1 直线的倾斜角与斜率 教案2
直线的倾斜角和斜率一、教学目标1、 知识目标：掌握直线倾斜角和斜率的定义、范围和斜率的坐标公式，并能应用概念及公式解决相关题目。
2、 能力目标：培养学生运用代数方法解决几何问题，通过学生在学习过程中自我探索斜率坐标公式培养学生发现问题，解决问题的自学能力。
3、 情感目标：从学习中体会到用代数方法解决几何问题的优点，能够从不同角度去分析问题，体会代数与几何结合的数学魅力。
二、教学重、难点1、 教学重点：倾斜角以及斜率的定义。
2、 教学难点：怎样理解求解直线斜率的坐标公式的推导。
三、教学过程1、 设置悬念，给出一道思考题（写在小黑板上）（这是一道需运用本节课所学内容才能最终确定的题目。
题目设置上不会太难，运用数形结合的方式给出题目同时与实际生活相连。
让同学能够对题目答案进行猜测。
）同学们只要学习了本节内容，就能对问题有更好的理解，到时我们再看还会不会出现分歧。
现在，就让我们一起进入新课的学习。
2、 引入新课，从确定一条直线的要素开始前面，我们学习了一点不能唯一确定一条直线，但在一点基础上再加一点就可以了（两点确定一条直线）。
那么现在我想请同学们思考一个问题：除了加多一个点外，在已知一个点的基础上能不能加上另外一个条件使到它能确定一条直线？老师指导：我们在已经学习的坐标平面上来讨论这一点。
（板书，画坐标平面以及一条直线，点出直线上一点。
）学生讨论，老师提问并点评，最后指出所加的条件为直线与x 轴的夹角。
3、 新课讲授，按部就班，逐步深入1） 倾斜角定义我们在数学上称这个角为倾斜角，现在给出准确的定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角A 叫做直线l 的倾斜角。
对定义进行三方面的诠释 ：1、直线的向上方向，2、x 轴的正方向，3、倾斜角是小于180°的正角。
最后在黑板上用尺子依照定义说法比画出倾斜角。
（这是对教学重点的突破）这样，用小黑板将直线倾斜角的可能情况显示出来（共四种情况：平行于x 轴，经过一、三象限，垂直于x 轴，经过二、四象限）注明倾斜角的大小范围是[0°，180°）。
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第三章直线与方程3.1.1直线的倾斜角和斜率
教学目标:
知识与技能
正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．
理解直线的倾斜角的唯一性.
理解直线的斜率的存在性.
斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．
情感态度与价值观
(1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．
(2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．
重点与难点: 直线的倾斜角、斜率的概念和公式.
教学用具：计算机
教学方法：启发、引导、讨论.
教学过程：
直线的倾斜角的概念
我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?
P
c b
a
Y
X
O
(1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?
引入直线的倾斜角的概念:
当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.
问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°
当直线l与x轴垂直时, α= 90°.
因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.
如图, 直线a∥b∥c, 那么它们Y
X
c
b
a
O
的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.
确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点P和一个倾斜角α.
(二)直线的斜率:
一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是
k = tanα
⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
例如, α=45°时, k = tan45°= 1; α=135°时, k = tan135°= tan(180°－45°) = - tan45°= - 1.
学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.
(三) 直线的斜率公式:
给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?
可用计算机作动画演示: 直线P1P2的四种情况, 并引导学生如何作辅助线,
共同完成斜率公式的推导.(略)
斜率公式:
对于上面的斜率公式要注意下面四点：
(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90°, 直线与x轴垂直；
(2)k与P1、P2的顺序无关, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换;
(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;
(4) 当y1=y2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角α=0°，直线与x轴平行或重合.
(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．
(四)例题:
例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(用计算机作直线, 图略)
分析: 已知两点坐标, 而且x1≠x2, 由斜率公式代入即可求得k的值;
而当k = tanα<0时, 倾斜角α是钝角;
而当k = tanα>0时, 倾斜角α是锐角;
而当k = tanα=0时, 倾斜角α是0°.
略解: 直线AB的斜率k1=1/7>0, 所以它的倾斜角α是锐角;
直线BC的斜率k2=-0.5<0, 所以它的倾斜角α是钝角;
直线CA的斜率k3=1>0, 所以它的倾斜角α是锐角.
例2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1, -1, 2, 及-3的直线a, b, c, l.
分析:要画出经过原点的直线a, 只要再找出a上的另外一点M. 而M的坐标可以根据直线a 的斜率确定; 或者k=tanα=1是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x 轴的正半轴为角的一边, 在x 轴的上方作45°的角, 再把所作的这一边反向延长成直线即可.
略解: 设直线a上的另外一点M的坐标为(x,y),根据斜率公式有
1=(y－0)／(x－0)
所以x = y
可令x = 1, 则y = 1, 于是点M的坐标为(1,1).此时过原点和点
M(1,1), 可作直线a.
同理, 可作直线b, c, l.(用计算机作动画演示画直线过程)
(五)练习: P91 1. 2. 3. 4.
(六)小结:
(1)直线的倾斜角和斜率的概念．
(2) 直线的斜率公式
(七)课后作业: P94 习题3.1 1. 3.
(八)板书设计:
§3.1.1……
1．直线倾斜角的概念 3.例1……练习1 练习3
2. 直线的斜率
4.例2……练习2 练习4。