能带理论
能带理论
能带理论能带理论是研究固体中电子运动规律的一种近似理论。
固体由原子组成，原子又包括原子实和最外层电子，它们均处于不断的运动状态。
为使问题简化，首先假定固体中的原子实固定不动，并按一定规律作周期性排列，然后进一步认为每个电子都是在固定的原子实周期势场及其他电子的平均势场中运动，这就把整个问题简化成单电子问题。
能带理论就属这种单电子近似理论，它首先由F.布洛赫和L.-N.布里渊在解决金属的导电性问题时提出。
具体的计算方法有自由电子近似法、紧束缚近似法、正交化平面波法和原胞法等。
前两种方法以量子力学的微扰理论作为基础，只分别适用于原子实对电子的束缚很弱和很强的两种极端情形；后两种方法则适用于较一般的情形，应用较广。
能级（Enegy Level）：在孤立原子中，原子核外的电子按照一定的壳层排列，每一壳层容纳一定数量的电子。
每个壳层上的电子具有分立的能量值，也就是电子按能级分布。
为简明起见，在表示能量高低的图上，用一条条高低不同的水平线表示电子的能级，此图称为电子能级图。
能带（Enegy Band）：晶体中大量的原子集合在一起，而且原子之间距离很近，以硅为例，每立方厘米的体积内有5×1022个原子，原子之间的最短距离为0.235nm。
致使离原子核较远的壳层发生交叠，壳层交叠使电子不再局限于某个原子上，有可能转移到相邻原子的相似壳层上去，也可能从相邻原子运动到更远的原子壳层上去，这种现象称为电子的共有化。
从而使本来处于同一能量状态的电子产生微小的能量差异，与此相对应的能级扩展为能带。
禁带（Forbidden Band）：允许被电子占据的能带称为允许带，允许带之间的范围是不允许电子占据的，此范围称为禁带。
原子壳层中的内层允许带总是被电子先占满，然后再占据能量更高的外面一层的允许带。
被电子占满的允许带称为满带，每一个能级上都没有电子的能带称为空带。
价带（Valence Band）：原子中最外层的电子称为价电子，与价电子能级相对应的能带称为价带。
05---能带理论
d 2 n n n x sin 2 dx L L
2 2
2
n n 2m L
n=1,2,3….,N/2,….
这里n可以看成是一个量子数，对于一个状态电子可以有自旋为正或为 负的两种排列。 n↑→ε n↑ n可以从1到无穷大，但出现的概率也随着n变大而变小。
整体模型既是：晶体中的价电子，不在固定在某个原子， 而是属于晶体原子所共有，如同被约束在一个很大的势 阱里。正因如此，了解晶体中的电子的状况就要了解势 阱中的电子存在状态。
德布罗意波
德布罗意在光的波粒二相性的启发下提出了颗粒的波粒二相 性，波长为： h 2 p p 波长不同的话，动量就不同，所对应的能量就不同。电子一 直认为是个颗粒，按照德布罗意的理论，也可以视为是一个 波动，具有相应的波长和传播方向。
金属中的电子不是完全的自由电子
金属中的电子状态一直被认为是自由电子状态，然而这 是一种不完全面认识。 1. 如果是完全的自由电子，那么电子的能量应该可以连续变 化，然而金属中的自由电子的能量也是量子化的。 2. 量子化的电子能量分布应该是准连续分布的，然而实际晶 体中的电子在某些能量范围内是不能稳定存在的，也就是说 存在一些对电子来说是禁止的能量范围。 这些都是传统的自由电子理论不能解释的。 高分子、导电陶瓷中的自由电子也有同样的现象和问题。
2. 这里的kx, ky, kz是可正可负的量，同时是2π /L 的整数倍。 电子状态由一组量子数(nx、 ny、nz)来代表，它对应一 组状态角波数（kx、 ky、 kz）。
一个 k 对应电子的一个状态。
3) k空间
如果以 kx、 ky、 kz 为三个直角坐标轴，建立 一个假想的空间。这个空间称为波矢空间、 k 空间，或动量空间*。 在 k 空间中，电子的每个状态可以用 一个状态点来表示，这个点的坐标是
能带理论
能带理论维基百科，自由的百科全书（重定向自能带）晶体硅的能带结构示意图能带结构示意图三种导电性不同的材料比较，金属的价带与传导带之间没有距离，因此电子（红色实心圆圈）可以自由移动。
绝缘体的能隙宽度最大，电子难以从价带跃迁至传导带。
半导体的能隙在两者之间，电子较容易跃迁至传导带中。
能带理论（英语：Electronic band structure）是用量子力学的方法研究固体内部电子运动的理论。
是于20世纪初期，在量子力学确立以后发展起来的一种近似理论。
它曾经定性地阐明了晶体中电子运动的普遍特点，并进而说明了导体与绝缘体、半导体的区别所在，解释了晶体中电子的平均自由程问题。
自20世纪六十年代，电子计算机得到广泛应用以后，使用电子计算机依据第一原理做复杂能带结构计算成为可能（不过仍然非常耗时，一次典型的能带结构自洽计算在普通工作站上往往需要花几个小时甚至一周多的时间才能完成）。
能带理论由定性发展为一门定量的精确科学。
∙∙∙固体材料的能带结构由多条能带组成，能带分为传导带（简称导带）、价电带（简称价带）和禁带等，导带和价带间的空隙称为能隙（即右边第二副图中所示的）。
能带结构可以解释固体中导体、半导体、绝缘体三大类区别的由来。
材料的导电性是由“传导带”中含有的电子数量决定。
当电子从“价带”获得能量而跳跃至“传导带”时，电子就可以在带间任意移动而导电。
一般常见的金属材料，因为其传导带与价带之间的“能隙”非常小，在室温下电子很容易获得能量而跳跃至传导带而导电，而绝缘材料则因为能隙很大（通常大于9电子伏特），电子很难跳跃至传导带，所以无法导电。
一般半导体材料的能隙约为1至3电子伏特，介于导体和绝缘体之间。
因此只要给予适当条件的能量激发，或是改变其能隙之间距，此材料就能导电。
对于理想晶体，其原子服从晶格排列，具有周期性，因而可以认为离子实的势场也具有周期性。
晶体中的电子在一个周期性等效势场中运动，其波动方程为：其中为周期性等效势场，为波函数，为普朗克常数，为质量，为微分算符，为能量[编辑]近自由电子模型能带理论认为，固体内部的电子，不是被束缚在单个原子周围，而是在整个固体内部运动，仅仅受到离子实势场的微扰。
固体物理_第4章_能带理论
ik ( r R n ) u ( r Rn ) e u (r )
u ( r ) ，代入上式有：
(2 )
则：u (r Rn ) u (r )
即布洛赫波是振幅受到具有同晶格周期相同的周期性函数调制的平面 波。
ˆ ( R ) H HT ( R ) 0 ˆ ˆˆ T n n
根据量子力学知识可知：哈密顿量和平移算符有共同的本征态，可选 择哈密顿量的本征态 (r ) 为共同本征态。
采用波恩-卡曼周期性边界条件有： N ˆ ˆ ˆ ˆ (r ) (r N1a1 ) T ( N1a1 ) (r ) T (a1 )T (a1 )T (a1 ) (r ) 1 1 (r )
，而内层电子的变化较小，可以把内层电子和原子实近似看成离子实 这样价电子的等效势场包括离子实的势场，其他价电子的平均势场以 及电子波函数反对称性而带来的交换作用。 能带理论是单电子近似理论，即把每个电子的运动看成是独立的 在一个等效势场中的运动。单电子近似理论最早用于研究多电子原子
，又称为哈特里（Hartree）-福克（o ）自洽场方法。 把多体问题简化为单电子问题需要进行多次简化。1、绝热近似： 原子核或者离子实的质量比电子大的多，离子的运动速度慢，在讨论 电子问题时可以认为离子是固定在瞬时位置上。这样多种粒子的多体 问题就简化为多电子问题；
能带理论取得相当的成功，但也有他的局限性。如过渡金属化 合物的价电子迁移率较小，相应的自由程和晶格常数相当，这时不 能把价电子看成共有化电子，周期场的描述失去意义，能带理论不 再适用。此外，从电子和晶格相互作用的强弱程度来看，在离子晶 体中的电子的运动会引起周围晶格畸变，电子是带着这种畸变一起 前进的，这些情况都不能简单看成周期场中单电子运动。
固体物理学：第四章 能带理论
能量本征值的计算 选取某个具有布洛赫函数形式的完全集合，晶体中
的电子的波函数按此函数集合展开。
将电子的波函数代入薛定谔方程，确定展开式中的 系数应满足的久期方程，求解久期方程得到能量本征 值。
电子波函数的计算
根据能量本征值确定电子波函数展开式中的系数, 得到具体的波函数。
在不同的能带计算模型和方法中,采取的理论框架相 同，只是选取不同的函数集合。
பைடு நூலகம்
(#) (#)中
能带理论是用量子力学研究固体中电子的运动规律，把原 本复杂的多体问题经过一定的近似处理后，转化为一个电子在 周期性势场中的运动，晶体中其它所有电荷的影响均可以用此 单电子的周期性势场来概括。有时也称能带理论为固体的单电 子理论。
单电子近似最早用于研究多电子原子，称为哈特里 ----福克自洽场方法。
E
2P 2S
1S
0
a
离子间距
能带重叠示意图
晶体中的一个电子只能处在某个能带中的 某一 能级上。
排布原则： 1. 服从泡里不相容原理（费米子） 2. 服从能量最小原理
设孤立原子的一个能级 Enl ，它最多能容纳 N(2l +1)个电子。
这一能级分裂成由 N条能级组成的能带后，能 带最多能容纳 2N(2l +1)个电子。
解定态薛定格方程，可以得出两点重要结论：
1.电子的能量是分立的能级; 2.电子的运动有隧道效应。
原子的外层电子(高能级)， 势垒穿透概率 较大， 电子可以在整个晶体中运动, 称为 共有化电子。
原子的内层电子与原子核结合较紧,一般 不是共有化电子。
能带 (energy band)
晶体中的电子能级 有什么特点？
第四章 能带理论
第二章 能带理论
第二章 能带理论 *能带：在完整的晶体中运动的的电子，其能谱值是一些密集的能级组成的带，这种带称能带。
能带与能带之间被能量禁区分开。
其中，0K 时完全空着的最低能带称导带，完全被电子占满的最高能带称价带，二者间的能量禁区称禁带。
*能带理论：又称固体能带理论。
是关于晶体中电子运动状态的一种量子力学理论。
其预言晶体中电子能量总会落在某些限定范围或“能带”中。
晶体的电学、光学和磁学等性质都与电子的运动有关，在研究这些问题时，都要用到能带理论。
能带理论成功地解释了金属、半导体和绝缘体之间的差别，解释了霍耳效应现象。
半导体物理学就是建立在能带理论基础之上的。
随着实验技术的发展，人们通过回旋共振、电光、磁光、光谱等手段已成功地测定了许多晶体的电子能带结构。
特别是近年来由于计算机技术的广泛应用，在理论上已可以对电子的能带结构进行更为精确的计算。
尽管如此，由于能带理论毕竟是经过许多简化后的近似理论，所以其只适于有序晶体，并且即使对于有序晶体，当其结构较为复杂时，能带理论处理起来往往也显得有些困难。
§2-1 晶体的薛定谔方程及其近似解一．薛定谔方程。
晶体由大量原子周期性排列构成，原子由原子核和核外电子组成。
由于内层电子不参与晶体的物理过程，因此可认为晶体是由原子最外层电子和失去电子的离子组成的。
若用i r r r r ,,,321表示电子的位矢、用 j R R R R ,,,321表示失去电子的离子的位矢，则晶体定态薛定谔方程为：ψψE H =（2-1）式中ψ为波函数，E 为能量本征值，H是哈密顿算符，且：V u u u T T H eZ Z e Z e+++++= （2-2） 式中 )2(22i ii i e m T T ∇-==∑∑为全部电子的动能算符，m 为电子质量，2222222ii i iz y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇为第i 个电子的拉普拉斯算符。
)2(22ααααα∇-==∑∑M T T Z为全部离子的动能算符，αM 为离子质量，2α∇为第α个离子的拉普拉斯算符。
第二章能带理论
何力的作用，电子在运动过程中受到晶格中原子周 期势场的作用。
是什么原因决定了固体是导体，绝缘体，或者半导体?
固体的能带结构！
自由电子理论忽略了电子与原子和其它电子 的相互作用，有局限性。
能带理论认为电子要受到一个周期性势场的作用。
导体
104 107 m
108 m
半导体
绝缘体
它们的导电性能不同， 108 m 是因为它们的能带结构不同。
一般填充规律：
孤立原子的内层电子能级一般都是填满的， 在形成固体时，其相应的能带也填满了电子。
孤立原子的最外层电子能级可能填满了电子也可 能未填满电子。若原来填满电子的， 在形成固体时，其相应的能带也填满电子。
经典自由电子理论
正离子所形成的电场是均匀的；自由电子运动的规律遵循经典力学气体分子的运动 定律；自由电子与正离子之间的相互作用仅仅是类似于机械碰撞。
该理论认为，在没有外电场作用时，金属中的自由电子沿着各方向运动的几率相同， 故不产生电流。当施加外电场后，自由电子获得附加速度，于是便沿外电场方向发 生定向迁移，从而形成电流。自由电子在定向迁移过程中，因不断与正离子发生碰 撞，使电子的迁移受阻，因而产生了电阻。
核磁共振方法不仅在核物理研究中起着重要作用，而且在科学技术上也有 着广泛的应用。例如，核磁共振分析可以用来探测物质的微观结构和各种 相互作用；核磁共振人体成像有望成为诊断疾病的有力工具。
自由电子气 真实晶体中的电子
能带理论的基本假设
能带理论的基本出发点: 固体中的电子不是完全被束缚在某个原子周围，
绝缘体的电阻率 ~ 1014 1022 cm
(完整word版)能带理论
能带理论能带理论是目前研究固体中电子运动的一个主要理论基础，它预言固体中电子能量会落在某些限定范围或“带”中，因此，这方面的理论称为能带理论。
对于晶体中的电子，由于电子和周围势场的相互作用，晶体电子并不是自由的，因而其能量与波失间的关系E(k)较为复杂，而这个关系的描述这是能带理论的主要内容。
本章采用一些近似讨论能带的形成，并通过典型的模型介绍能带理论的一些基本结论和概念。
一、三个近似绝热近似：电子质量远小于离子质量，电子运动速度远高于离子运动速度，故相对于电子的运动，可以认为离子不动，考察电子运动时，可以不考虑离子运动的影响，取系统中的离子实部分的哈密顿量为零。
平均场近似：让其余电子对一个电子的相互作用等价为一个不随时间变化的平均场。
周期场近似： 无论电子之间相互作用的形式如何，都可以假定电子所感受到的势场具有平移对称性。
原本哈密顿量是一个非常复杂的多体问题，若不简化求解是相当困难的，但 经过三个近似处理后使复杂的多体问题成为周期场下的单电子问题，从而本章的中心任务就是求解晶体周期势场中单电子的薛定谔方程，即其中二、两个模型（1）近自由电子模型1、模型概述在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电子的运动就几乎是自由的。
因此，我们可以把自由电子看成是它的零级近似，而将周期场的影响看成小的微扰来求解。
（也称为弱周期场近似） (222U m ∇+)()(r U R r U n =+2、怎样得到近自由电子模型近自由电子近似是晶体电子仅受晶体势场很弱的作用，E(K)是连续的能级。
由于周期性势场的微扰 E(K)在布里渊区边界产生分裂、突变形成禁带，连续的能级形成能带，这时晶体电子行为与自由电子相差不大，因而可以用自由电子波函数来描写今天电子行为。
3、近自由电子近似的主要结果1) 存在能带和禁带：在零级近似下，电子被看成自由粒子，能量本征值 E K0 作为 k 的函数具有抛物线形式。
电子结构的能带理论和化学键的形成
电子结构的能带理论和化学键的形成电子结构是描述原子、分子或者固体中电子的分布和定向性的理论框架。
能带理论是电子结构中最重要的理论之一，它通过描述材料中电子能量的分布来解释物质的导电性、光学性等性质。
而化学键的形成则是通过对分子中电子的定向配对来实现的。
本文将探讨电子结构的能带理论以及其与化学键形成的关系。
1. 能带理论能带理论由Bloch和Wigner等人在20世纪30年代提出，它描述了电子在晶格周期性势场中运动的性质。
根据这个理论，晶体中的电子行为可以通过能量-动量关系来描述。
在能带理论中，最重要的概念是能带和禁带。
能带是指具有连续能量范围的电子状态，而禁带则是指能带之间的能量范围，在这个范围内电子是禁止存在的。
导带是能带中能量最高的那一段，而价带则是能带中能量最低的那一段。
根据这个理论，材料的导电性取决于导带中是否存在电子。
2. 能带理论与化学键能带理论不仅可以用来解释固体材料的导电性，还可以用来解释化学键的形成。
在分子中，由于原子核周围电子的电荷分布不均匀，形成了局部的电势能场。
这个电势能场会导致电子在分子中运动时具有一定的定向性。
化学键的形成可以通过能带理论来解释。
在分子中，原子之间会发生电子的相互作用，形成了分子的轨道。
这些分子轨道中的电子会填充到分子的价带中。
当原子之间形成共价键或者离子键时，其价带中的电子将呈现出一定的局部化性质，即分子轨道主要局限在原子附近。
能带理论还可以解释金属中的金属键。
金属中的原子之间形成了一种称为金属键的化学键。
在金属中，大量自由电子可以自由移动，形成了金属的导电性。
金属的导电性可以通过能带理论中导带的存在来解释。
3. 电子结构的其他影响因素除了能带理论和化学键的形成，电子结构还受到其他因素的影响。
其中包括晶格畸变、外加电场以及自旋等。
晶格畸变会改变晶格结构，进而改变材料的导电性。
由于晶格畸变会破坏晶体中的周期性势场，从而影响能带结构。
这种影响可以通过调控晶格结构来实现。
第六章 能带理论
(0) k
2
k
(1) k
(0) k
H kk (0) (0) (0) k E E k k k k
2mU n exp i 2 nx / a 1 ikx e 1 2 2 2 2 L n 0 k k 2 n / a
ik r r k Ae
r Cu r
在晶体中运动电子的波函数介于自由电子与孤立原子之 间，是两者的组合。 如果晶体中电子的运动完全自由， uk r A const.
ik r e C const. 若电子完全被束缚在某个原子周围，
k 2 n k 2m 2m a
2 2 2
2
2 2 k k n k Gn a
2
2
在布里渊区边界上:
n k a
2n n k k a a
k态和k’态为简并态。必须用简并微扰来处理。
(0) k
周期性势场中能带结构特点： （1） 电子能量的允许值由若干不连续区域 （能带）组成，相邻能带之间的区域称为禁带。 能带的分界点出现在 ka =±nπ n=1,2,… 处 。 （2）E是K的偶函数 （3）能量较高的能带较宽，能量较低的能带 较窄。 （4）E(k+Kh) = E(k)；所以，在-π到π之间 可画出所有能带，因此必须指明能带序号n， 写成 En(k)。
2k 2 2k 2 U0 2m 2m
令U 0 0
一级微扰方程： H 0 k(1) H k(0) Ek(0) k(1) Ek(1) k(0) 电子的能量：
电子波函数：
能带理论
能带理论是研究固体中电子运动规律的一种近似理论。
固体由原子组成，原子又包括原子实和最外层电子，它们均处于不断的运动状态。
为使问题简化，首先假定固体中的原子实固定不动，并按一定规律作周期性排列，然后进一步认为每个电子都是在固定的原子实周期势场及其他电子的平均势场中运动，这就把整个问题简化成单电子问题。
能带理论就属这种单电子近似理论，它首先由F.布洛赫和L.-N.布里渊在解决金属的导电性问题时提出.能带和能带隙具体的计算方法有自由电子近似法、紧束缚近似法、正交化平面波法和原胞法等。
前两种方法以量子力学的微扰理论作为基础，只分别适用于原子实对电子的束缚很弱和很强的两种极端情形；后两种方法则适用于较一般的情形，应用较广。
能级（Enegy Level）：在孤立原子中，原子核外的电子按照一定的壳层排列，每一壳层容纳一定数量的电子。
每个壳层上的电子具有分立的能量值，也就是电子按能级分布。
为简明起见，在表示能量高低的图上，用一条条高低不同的水平线表示电子的能级，此图称为电子能级图。
能带（Enegy Band）：晶体中大量的原子集合在一起，而且原子之间距离很近，以硅为例，每立方厘米的体积内有5×1022个原子，原子之间的最短距离为0.235nm。
致使离原子核较远的壳层发生交叠，壳层交叠使电子不再局限于某个原子上，有可能转移到相邻原子的相似壳层上去，也可能从相邻原子运动到更远的原子壳层上去，这种现象称为电子的共有化。
从而使本来处于同一能量状态的电子产生微小的能量差异，与此相对应的能级扩展为能带。
禁带（Forbidden Band）：允许被电子占据的能带称为允许带，允许带之间的范围是不允许电子占据的，此范围称为禁带。
原子壳层中的内层允许带总是被电子先占满，然后再占据能量更高的外面一层的允许带。
被电子占满的允许带称为满带，每一个能级上都没有电子的能带称为空带。
价带（Valence Band）：原子中最外层的电子称为价电子，与价电子能级相对应的能带称为价带。
适合初学者看的能带理论
03
分子能带理论
分子能级与电子排布
分子能级
分子中的原子在相互振动时，会形成 不同的能级，这些能级决定了分子的 稳定性和化学反应能力。
电子排布
分子中的电子按照能量高低在不同轨 道上排布，形成不同的电子构型，对 分子的化学性质产生影响。
分子光谱与电子跃迁
分子光谱
通过分析分子吸收或发射的光谱，可以了解分子内部能级结 构和电子排布。
量子计算与量子通信的能带理论基础
量子计算
量子计算利用量子力学的特性进行信息处理，能带理论在理解量子比特和量子门操作等 方面发挥了重要作用。
量子通信
量子通信利用量子态的传输进行信息传递，能带理论在量子密钥分发和量子隐形传态等 方面提供了理论基础。
能带理论与其他物理理论的交叉研究
凝聚态物理
能带理论与凝聚态物理密切相关，通过研究 不同材料的能带结构和物理性质，可以深入 理解物质的微观结构和宏观性质。
光子禁带
在光子晶体的能带结构中，某些频率的光不能在其中传播，这种现象被称为光子禁带。光子禁带的存在可以用来 控制光的传播和光与物质的相互作用。
光子在介质中的传播与散射
传播
当光子在介质中传播时，会受到介质的折射和反射。折射和反射的性质取决于光子的波长和介质的性 质。
散射
当光子与介质中的原子或分子相互作用时，可能会发生散射。散射会导致光的方向改变和能量的损失 。散射的性质取决于介质的微观结构和光子的波长。
太阳能电池原理与应用
01
02
03
光吸收与能带结构
太阳能电池利用半导体材 料的能带结构，通过光吸 收产生光生载流子，从而 实现光电转换。
光电转换效率
能带理论有助于理解光电 转换效率的限制因素，为 提高太阳能电池效率提供 理论指导。
凝聚态物理：第3章 能带理论
iVm
i, m
n
m
两边左乘：i*x xn ~ i, n
E
i
ak n
ak m
i, n Vm
i, m
m
E i eikxm xn i, n Vm i, m
m
E i eikxmxn i*x xn V xVat x xm i x xm dx
m
4、微扰能量
令： x xm
2
当△→0时：
V
E
V
Tn Tn
Vn Vn
2Tn
2Tn Vn
2Tn
2Tn Vn
1 1
结论： 在布里渊边界，发生“能级的排斥”
二、能带和能隙
1. 能带和能隙 自由电子能量（空盒子模型）受到周期
性势的作用。 k 远离 nπ/a 处的态（λ= na) 受到
的影响较小； 在nπ/a 处的态影响很显著，E(k)断开
根据关系：
Rn Rm
Rn
Rm
选取线性关系：
(r
Rn
Rn
)
K Rn
eik Rn
(r
)
证毕
二、K的值及物理意义
电子波选取周期性边界（同晶格振动）
(r )
(r
N11)
(r N22 ) (r N33)
根据Bloch波： eikRn 1
k Rn k (N11 N22 N33) h2
二、K的值及物理意义
l为整数
可以取：
k
l1 N1
b1
l2 N2
b2
l3 N3
b3
( l1 N1
,
l2 N2
,
l3 ) N3
根据周期性，可以把 li 限制在第一布里渊区：
第5章-能带理论基础
中性杂质：硅晶体中有C，（Ge）等杂质，在晶格 位置上，不改变价电子数，不提供电子，也不提供空穴， 呈电中性，在禁带中不引入能级。
杂质的补偿作用
半导体中，同时存在施主杂质（Donor）和受主 （Acceptor）杂质时，施主和受主之间有相互抵消的作 用。
f
(E)
1
1 exp( E
EF
)
k0T
或写成：
f E
1
E EF
e k0T 1
f(E)---费米分布函数；k0—波耳兹曼常数（k = 1.38 × 10−23 J/K）； T—热力学温度（K）EF---费米能级（具有能量量纲），E：电子的能量（eV)
费米分布函数中，若E-EF>>k0T，则分母中的1可 以忽略，上式化为电子的玻耳兹曼分布函数：
直接带隙半导体：导带最小值（导带底）和满带最大值在 k空间中同一位置。电子要跃迁到导带上产生导电的电 子和空穴（形成半满能带）只需要吸收能量。(GaAs、 InP)
直接带隙半导体的重要性质：
当价带电子往导带跃迁时，电子波矢不变，在能带 图上即是竖直地跃迁，这就意味着电子在跃迁过程中， 动量可保持不变——满足动量守恒定律。相反，如果导 带电子下落到价带（即电子与空穴复合）时，也可以保 持动量不变——直接复合，即电子与空穴只要一相遇就 会发生复合（不需要声子来接受或提供动量）。
级升高而逐渐减少，而比EF大的能级，被 电子占据的概率随能级降低而逐渐增大。
随温度升高，电子吸收能量，从低能级跃 迁到高能级，空穴从高能级跃迁到低能级， 电子占据的能级越高，空穴占据的能级就越 低，体系能量升高。
例如： 当E比EF高5k0T有：
第五章能带理论
对于任意函数
04_01_布洛赫定理 —— 能带理论
TT T T
平移算符和哈密顿量对易
对于任意函数 f (r)
和
微分结果一样
T H HT
由于对易关系，T和H有共同的本征函数。
04_01_布洛赫定理 —— 能带理论
—— T和H存在对易关系，选取H的本征函数，使它同时 成为各平移算符的本征函数
利用势场函数的周期性
x na
k ' |V ( x) | k
1
N 1
e i(k 'k )na
a e i(k 'k )V ( )d
Na n0
0
i) ii)
04_01_布洛赫定理 —— 能带理论
将
和
代入
k ' k n 2 k ' | V (x) | k V (n) 1 a ei(k 'k)V ( )d
第五章 能带理论
自由电子模型虽然能解释金属的导电、导热、 电子比热等现象，但由于忽略了晶体势场，在解释 很多实验现象时，遇到了严重困难。
如无法解释导体、半导体、绝缘体之间的电阻 率的显著差别；非金属晶体的实验现象。
要想正确地解释有关晶体的实验现象，说明晶 体的物理性能，就必须考虑晶体势场对电子运动的 影响。
04_01_布洛赫定理 —— 能带理论
在晶体势场中运动的电子表现出很多新特点 电子波函数为调幅平面波 电子能量的本征值既不象孤立原子中分立的电子能级，
也不象无限空间中自由电子具有的连续能级 而是在一定能量范围内准连续分布的能级——能带 两能带间的范围——禁带 能带理论是研究晶体中的电子状态，说明晶体性质的
2 i l2
固体物理学中的能带理论
固体物理学中的能带理论固体物理学是研究固体物质特性和行为的学科。
其中，能带理论是固体物理学中的重要内容之一。
这个理论的提出和发展，深刻地影响着我们对物质的认识和应用。
在本文中，将介绍能带理论的基本概念、理论构建的主要过程以及对实际应用的影响。
1. 能带理论的基本概念能带理论是描述固体材料中电子结构的理论框架。
它基于量子力学的原理，认为在固体中，电子的运动状态和能量分别由多个能带和能带间的禁带带宽所决定。
能带是指具有类似能量水平的电子能级。
禁带带宽则表示在能带之间禁止电子的能量范围。
2. 理论构建的主要过程能带理论的构建经历了一系列的发展过程。
最早的一些能带理论如卢瑟福模型和Drude模型，是基于经典力学和经典电动力学的假设，对于一些简单情况具有一定的解释能力。
然而，这些模型无法解释复杂固体中的行为，因为它们没有考虑到量子力学效应。
在量子力学的框架下，人们使用薛定谔方程和波函数的理论来描述电子在固体中的行为。
经典的能带理论建立在Bloch定理的基础上，该定理认为固体中的电子具有周期性的晶格势场作用下的波函数形式。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到电子的能量本征值和本征态。
3. 对实际应用的影响能带理论的提出和发展对固体物理学的研究产生了深远的影响。
首先，能带理论提供了解释固体材料电子运动行为的一个理论模型。
它可以解释金属、绝缘体和半导体等不同类型材料的电导特性，以及它们在外界条件下的响应。
其次，能带理论对材料的设计和合成起着重要作用。
通过对能带结构的调控，我们可以设计出具有特定能带特性的新材料。
例如，针对光电子器件应用的材料，我们可以通过调节能带结构来实现不同波长的能带过渡和光电转换。
而且，能带理论也对半导体器件的工作原理给出了关键的解释。
例如，能带理论对于理解和优化半导体二极管、晶体管和太阳能电池等器件的性能至关重要。
它可以揭示不同物理机制对器件行为的影响，为器件的设计和优化提供了指导。
总结起来，能带理论是固体物理学中一项重要的理论构建。
第四章 能带理论
（LCAO）
一、紧束缚近似处理方法
1 ）紧束缚近似方法的思想：电子在一个原子（格 点）附近时，主要受到该原子势场的作用，将其它 原子（格点）势场的作用看作微扰，并利用简并微 扰法，求出电子的原子能级与晶体中能带之间的相 互联系。 V(r－Rm)：Rm格点的原子势场， U(r)为晶体的周期性 势场，是所有原子的 势场之和。
第一部分：波数为k的行进平面波。 第二部分：该平面波受周期场的影响而产生的散射 波。
3. 几种晶格的布里渊区
1) 简单立方格子 —— 倒格子 简单立方格子 简单立方格子第一布里渊区为：原点和6 个 近邻格点的垂直平分面围成的立方体。
2) 体心立方格子 ——倒格子为面心立方格子
体心立方格子第一布里渊区为：原点和12 个近 邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体。
2 2 V r r E r 2m
V (r ) V (r Rn )
2
一、Bloch定理（1928年） 描述电子运动的Schrö dinger方程为
为周期性势场， R n 为任意格矢 V (r ) V (r Rn )
方程的解具有性质： r Rn eik Rn r
2 2 2m V r r E r
k为一矢量 Rn 时，波函数只增加了位 表明当平移晶格矢量 相因子 eik Rn 。 ——布洛赫定理
rRm
0
微扰以后电子的运动状态
微扰以后的状态用N 个简并态（原子轨道波函 数 i r Rm ）的线性组合构成晶体中电子共 有化运动的波函数： r ami r Rm
第三章能带理论
动状态相同。
与讨论晶格振动的情况相似，通常将k取在由各个 倒格矢的垂直平分面所围成的包含原点在内的最小封闭 体积，即简约区或第一布里渊区中。
k
h1 N1
b1
h2 N2
b2
h3 N3
b3
❖ 简约波矢：k限制在简约区中取值；
❖ 广延波矢：k在整个k空间中取值。
每一个量子态k在k空间中所占的体积:
1 N1
b1
1 N2
b2
1 N3
b3
b N
在k空间中，波矢k的分布密度：
k
N b
N
va
8
3
V
8 3
vab 8 3
V Nva
在简约区中，波矢k的取值总数为
k b N 晶体的原胞数
2. Bloch函数的性质
Bloch函数: k r eikruk r
❖ 既有共有化运动也有原子内运动，因 此，电子的能量取值就表现为由能量的允带和禁带 相间组成的能带结构。
周期性边界条件： r r Na
r Na TN r N r r
N
1 ei 2h
h＝整数， ＝1, 2, 3
exp i
2 h
N
引入矢量
k
h1 N1
b1
h2 N2
b2
h3 N3
b3
h Z
eika
a b 2
r Rl r l 1a1 l 2a2 l 3a3
T1l
T1 l 2
T2 l 3
3
r
1l
1 l 2
2
3l
3
r
exp ik l 1a1 l 2a2 l 3a3 r
r + Rl eikRl r
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§5、11 导体、半导体与绝缘体
尽管所有的固体都包含大量有电子,但有些固体具有很好的电子导电性能,而另一些固体则观察不到任何电子的导电性。
对于固体为什么分为导体、绝缘体与半导体呢？这一基础事实曾长期得不到解释,能带论对这一问题给出了一个理论说明,并由此逐步发展成为有关导体、绝缘体与半导体的现代理论。
晶体中电子有能量本征值分裂成一系列能带,每个能带均由N 个准连续能级组成(N 为晶体原胞数),所以,每个能带可容纳2N 个电子。
晶体电子从最低能级开始填充,被电子填满的能带称作满带,被电子部分填充的能带称为不满带,没有电子填充的能带称为空带。
能带论解释固体导电的基本观点就是:满带电子不导电,而不满带中的电子对导电有贡献。
5、 11、 1 满带电子不导电
从前面的知识中,已经知道,晶体中电子能量本征值E (k )就是k 的偶函数,可以证明v (-k )=-v (k ),即v (k )就是k 的奇函数。
一个完全填满的电子能带,电子在能带上的分布,在k 空间具有中心对称性,即一个电子处于k 态,其能量为E(k ),则必有另一个与其能量相同的E (-k )=E (k )电子处于-k 态。
当不存在外电场时,尽管对于每一个电子来证,都带有一定的电流-e v ,但就是k 态与-k 态的电子电流-e v (k )与-e v (-k )正好一对对相互抵消,所以说没有宏观电流。
当存在外电场或外磁场时,电子在能带中分布具有k 空间中心对称性的情况仍不会改变。
以一维能带为例,图1中k 轴上的点子表示简约布里渊区内均匀分布的各量子态的电子。
如上所述,在外电场E 的作用下,所有电子所处的状态都以速度 d e dt =-h
k E …………………………………………………………………………………………(1) 沿k 轴移动。
由于布里渊区边界A 与A '两点实
际上代表同一状态,在电子填满布里渊区所有状
态即满带情况下,从A 点称动出去的电子同时就
从A '点流进来,因而整个能带仍处于均匀分布填
满状态,并不产生电流。
5、 11、 2 不满带的电子导电
图2给出不满带电子填充的情况,没有外电场
时,电子从最低能级开始填充,而且k 态与-k 态总
就是成对地被电子填充的,所以总电流为零。
存在外电场时,整个电子分布将向着电场反方向移动,
由于电子受到声子或晶格不完整性的散射作用,
电子的状态代表点不会无限地称动下去,而就是稍稍偏离原来的分布,如图2 (b)所示。
当电子分布偏离中心对称状况时,各电了所荷载的电流中将只有一部分被抵消,因而总电流不为零。
外加电场增强,电子分布更加偏离中心对称分布,未被抵消的电子电流就愈大,晶体总电流也就愈大。
由于不满带电子可以导电,因而将不满带称作导带。
图1 外场下满带电子的运动 F
5、 11、 3
导体、绝缘体
与半导体的
能带模型
我们可
以通过考察晶体电子填充能带的状况来判断晶
体的导电性
能。
如果晶体
电子恰好填满了最低的一系列能带,能量再高的能带都就是空的,而且最高的满带与最低的空带之间存在一个很宽的禁带(如5g E eV ≥),那么,这种晶体就就是绝缘体。
图3(c )给出了这种晶体电子填充能带的状况。
如果晶体的能带中,除了满带外,还有不满带,那么,这种晶体就就是金属。
半导体晶体电子填充能带的状况与绝缘体的没有本质不同,只就是最高满带与最低空带之间的带隙较窄(为1~3g E eV =),这样,在T=0K 时,晶体就是不导电的,在T ≠0K 时,将有部分电子从满带顶部被激发到空带的底部,使最高的满带及最低的空带都变成部分填充电子的不满带,晶体因而具有一定的导电能力。
图3画出导体、绝缘体与半导体电子填充能带的模型。
碱金属(如锂、钠、钾等)及贵金属(如金、银等)每个原胞只含一个价电子。
当N 个这类原子结合成固体时,N 个电子就占据着能带中N 个最低的量子态。
其余N 个能量较高的量子态则就是空的,即能带就是半满的(每个能带可容纳2N 个电子)。
因此,所有碱金属、贵金属晶体都就是导体。
惰性气体原子的电子壳层就是闭合的,电子数就是偶数,所以总就是将最低能带填满,而较高的能带空着。
这些元素形成的固体就是绝缘体的典型例子。
金刚石、硅与锗的原胞含有两个四价原子,故每个原胞含有八个价电子,正好填满价电子所形成的能带。
所以,这些纯净的晶体在T=0K 时就是绝缘体。
碱土金属(如钙、锶、钡等)的每个原胞含有两个s 电子,正好填满s 带,碱土金属晶体似乎应该就是绝缘体,实际上却就是良导体。
原因在于s 带与上面的能带发生交叠(如图3(b)的情况),2N 个s 电子在未完全填满s 带时,就开始填充上面那个能带,造成两个不满带。
因此,碱土金属晶体就是导体。
五族元素铋、锑、砷等的晶体,每个原胞内含有两个电子,所以原胞内含有偶数个电子。
这些晶体也应该就是绝缘体,但它们却有一定的导电性。
原因在于这些晶体的能带有交叠,只就是交叠部分较少,使能对与导电的电子浓度远远小于正常金属中的电子浓度,电阻率比正常金属大约510倍,因而被称作半金属。
由此可见,若晶体的原胞含有奇数个价电子,这种晶体必就是导体;原胞含有偶数个价电子的晶体,如果 能带交叠,则晶体就是导体或半金属,如果能带没有交叠,禁带窄的晶体就就是半导体,禁带宽的则就是绝缘体。
(a )无外电场
(b)有外电场
图2 不满带电子在k 空间的分布
图3 导体、半导体、绝缘体的能带结构
5、 11、 4 空穴
满带中如缺了少数电子就会产生一定的导电性,这种近满带的情形在半导体的问题中特别重要。
要描述近满带中电子的运动,由于涉及到数目很大的电子集体运动,因而在表述上十分不便。
为此,我们引入空穴的概念,将大量电子的集体运动等价地变为描述少数空穴的概念,从而大大简化了有关近满带的问题。
为了说明空穴的概念并证明用电子与空穴两种描述方法的等价性,我们不妨假设满带中只有某一个状态k 未被电子占据,此时能带就是不满的,因而应有电流产生,以j (k )表示。
为计算j (k ),我们假想在空的k 态中放入一个电子,这个电子的电流等于-e v (k )。
但就是k 态加入这个电子后,能带又成为满带,所以,总的电流应为零,从而有:
()[()]0e +-=j k v k (2)
即
()()e =j k v k (3)
上式表明,当k 态缺少一个电子时,近满带的总电流就如同一个具有正电荷e 的粒子,以空状态k 的电子速度v (k )所产生的。
在电场E 的作用下,空状态的加速度为
*()1()()e d eE dt m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
v k k ……………………………………………………………………(4) 考虑***
x y z m m m ==球形等能面的简单情况,上式变为: *()()
e d eE dt m =-v k k ……………………………………………………………………………(5) 由于满带顶的电子比较容易受热而激发到导带,因此空状态多位于能带顶附近。
在能带顶附近*
e m 为负值,为此我们定义空穴有效质量为:
()()**h e m m =-k k (6)
则有
*()()
h d eE dt m v k k ……………………………………………………………………………………(7) 由上面的讨论我们得到下列结论:当满带顶附近有空状态k 时,整个能带中的电子运动,以及电流在外场作用下的变化,完全如同存在一个带正电荷e ,具有正有效质量*m 、速度v (k )的粒子情况一样,这样一个假想的粒子称为空穴。
空穴概念的引入,使得满带顶附近缺少一些电子的问题与导带底有少数电子的问题十分相似。
然而应该强调指出,我们虽然赋于空穴有效质量、电荷等属性,但它并不就是客观存在的一种实物闻子,而只就是客观物质——电子集体运动的一种等价描述。
正如前面所提到的声子概念一样,它也不就是一个客观物质粒子,而就是晶格中原子集体振动的一种等价描述,我们常把声子、空穴等称为准粒子或元激发。
在固体物理学中处理多粒子体系的集体运动时常常引入各种元激发,以使多体问题简化。