电磁学复习计算题(附答案)

《电磁学》计算题（附答案）
1.如图所示，两个点电荷+ q 和一3q ，相距为d.试求:
（1）在它们的连线上电场强度 E = 0的点与电荷为+ q 的点电荷相距多远？
⑵ 若选无穷远处电势为零，两点电荷之间电势
U=0的点与电荷为+ q 的点电荷相距多远?
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-9
2. 一带有电荷q = 3X 10 C 的粒子，位于均匀电场中，电场方向如图 所示.当该粒子沿水平方向向右方运动 5
cm 时，外力作功6X 10-5 J ,
粒子动能的增量为 4.5X 10- J.求：（1）粒子运动过程中电场力作功 多少？（2）该电场的场强多大？ 3. 如图所示，真空中一长为 L 的均匀带电细直杆，总电荷为
试求在直杆延长线上距杆的一端距离为
d 的P 点的电场强度.
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4. 一半径为R 的带电球体，其电荷体密度分布为
r=Ar (r w R) ,
?
=0 (r > R)
A 为一常量.试求球体内外的场强分布.
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5. 若电荷以相同的面密度■:角匀分布在半径分别为 r i = 10 cm 和「2= 20 cm 的两个同心球面上， 设无
穷远处电势为零，已知球心电势为 300 V ，试求两球面的电荷面密度
/ N • m 2 )
6.
真空中一立方体形的高斯面 ，边长a =
0.1 m ,位于图中所示位
置.已知空间的场强分布为：
E x = bx , E y =0 , E z =0.
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常量b = 1000 N/（C • m ）.试求通过该高斯面的电通量.
-6
7. 一电偶极子由电荷 q = 1.0 X 10 C 的两个异号点电荷组成，
两电荷相距1 = 2.0 cm .把这电偶极子
+q
-3q
d
10.图中虚线所示为一立方形的高斯面，
已知空间的场强分布为:
E x = bx , E y = 0, E z = 0.咼斯面边长 a = 0.1 m ,常量 b = 1000 N/（C • m ）.试求该闭合面中包含的净电荷.
（真空介电常数 0
=8.85 X 10-12 C 2 • N -1 • m -2 ）
11.有一电荷面密度为 曲勺"无限大”均匀带电平面.若以该平面
处为电势零点，试求带电平面周围空间的电势分布.
12.如图所示，在电矩为p 的电偶极子的电场中， 将一电荷为q 的点电荷从
点沿半径为R 的圆弧（圆心与电偶极子中心重合， R>>电偶极子正负电荷之 间距离）移到B 点，求此过程中电场力所作的功.
13. 一均匀电场，场强大小为 E = 5 X 104 N/C ,方向竖直朝上，把一电荷为
-8 X 10 C 的点电荷，置于此电场中的
a 点，如图所示•求此点电荷在下列过程中
电场力作的功.
(1) 沿半圆路径I 移到右方同高度的
b 点，ab = 45 cm ；
沿直线路径n 向下移到 c 点, ac = 80 cm ；
d 点，ad = 260 cm （与水平方向成 45。

角）. 沿曲线路径川朝右斜上方向移到
14.两个点电荷分别为
q 1=+ 2X 10-7
C 和q 2=— 2X 10-7 C ,相距0.3 m .求距q 1为0.4
m 、
1
为0.5 m 处P 点的电场强度.
(
=9.00 X 109 Nm 2 /C 2) 0
4二；
15.图中所示，A 、B 为真空中两个平行的“无限大”均匀带电平面,
A 面上电荷
-A-。

面密度6=— 17.7X 10-8 C • m , B 面的电荷面密度 6= 35.4 X 10-8 C • m .试计 算两平面之间和两平面外的电场强度.
（真空介电常量0= 8.85X 10-12 C 2 • N -1 • m -2 ）
16. 一段半径为a 的细圆弧，对圆心的张角为 飞，其上均匀分布有正电荷 如图
所示•试以a , q , 表示出圆心O 处的电场强度.
放在场强大小为 E = 1.0 X 105 N/C 的均匀电场中.试求: （1） 电场作用于电偶极子的最大力矩.
（2） 电偶极子从受最大力矩的位置转到平衡位置过程中，电场力作的功.
-6
- 6
8. 电荷为q i = 8.0X 10 C 和q 2=— 16.0X 10 C 的两个点电荷相距 20 cm ，求离它们都是 20 cm 处
的电场强度.（真空介电常量0= 8.85X 10-12 C 2N -1m -2 ）
9. 边长为b 的立方盒子的六个面， 分别平行于xOy 、yOz 和xOz 平面.盒子的一角在坐标原点处. 在
此区域有一静电场，场强为
E=200i ・300j .试求穿过各面的电通量.
A
A
A
P B
q ,
18. 真空中两条平行的“无限长”均匀带电直线相距为 a ,其电荷线密度分 别为—■和+ '.试求：
(1) 在两直线构成的平面上， 两线间任一点的电场强度(选Ox 轴如图所
示，两线的中点为原点).
(2) 两带电直线上单位长度之间的相互吸引力.
19. 一平行板电容器，极板间距离为10 cm ,其间有一半充以相对介电常量
r = 10
的各向同性均匀电介质，其余部分为空气，如图所示•当两极间电
势差为100 V 时，试分别求空气中和介质中的电位移矢量和电场强度矢量 （真空介电常量 0= 8.85 X 10 12 C 2 • N 1 • m 2）
20. 若将27个具有相同半径并带相同电荷的球状小水滴聚集成一个球状的大水滴,
将为小水滴电势的多少倍？ (设电荷分布在水滴表面上，水滴聚集时总电荷无损失.
)
21.
假想从无限远处陆续移来微量电荷使一半径为
R 的导体球带电.
(1)当球上已带有电荷 q 时，再将一个电荷元dq 从无限远处移到球上的过程中，
外力作多少功?
(2)使球上电荷从零开始增加到
Q 的过程中，外力共作多少功？
22. 一绝缘金属物体，在真空中充电达某一电势值，其电场总能量为
W o .若断开电源，使其上所带
电荷保持不变，并把它浸没在相对介电常量为 r 的无限大的各向同性均匀液态电介质中，问这时
电场总能量有多大?
23. 一空气平板电容器，极板 A 、B 的面积都是S,极板间
距离为d .接上电源后，A 板电势U A =V ,B 板电势U B =0 .现 将一带有电荷q 、面积也是S 而厚度可忽略的导体片 C 平行插在两极板的中间位置，如图所示，试求导体片 C
的电势.
17.电荷线密度为，的“无限长”均匀带电细线，弯成图示形状.
半圆弧AB 的半径为R ,试求圆心 0点的场强.
OO
OO
此大水滴的电势
24. —导体球带电荷Q.球外同心地有两层各向同性均匀电介质球壳，相对介电常量分别为；r1和＞2,
分界面处半径为R,如图所示•求两层介质分界面上的极化电荷面密度.
-8
25.半径分别为1.0 cm与2.0 cm的两个球形导体，各带电荷 1.0X 10 C,两球相距很远.若用细
导线将两球相连接•求(1)每个球所带电荷；(2)每球的电势.(一亠=9 109N m2/C2)
4吋
26. 如图所示，有两根平行放置的长直载流导线.它们的直径为a，反向流
过相同大小的电流I，电流在导线内均匀分布.试在图示的坐标系中求出
1 5
x轴上两导线之间区域【2&，2a］内磁感强度的分布.
27. 如图所示，在xOy平面(即纸面)内有一载流线圈abcda,其中be弧和da 弧皆为
以O为圆心半径R =20 cm的1/4圆弧，ab和cd皆为直线，电流
2
I =20 A，其流向为沿abcda的绕向.设线圈处于B = 8.0 X 10 T,方向与b的方
向相一致的均匀磁场中，试求：
(1) 图中电流元111和L b所受安培力年和F2的方向和大小，设11 =
12 =0.10 mm ;
(2) 线圈上直线段ab和cd所受的安培力F ab和F cd的大小和方向；
(3) 线圈上圆弧段bc弧和da弧所受的安培力F bc和F da的大小和方向.
28. 如图所示，在xOy平面(即纸面)内有一载流线圈abcda，其中bc弧和
da弧皆为以O为圆心半径R =20 cm的1/4圆弧，ab和cd皆为直线，电流I
=20 A，其流向沿abcda的绕向.设该线圈处于磁感强度 B = 8.0
X 10-2T的均匀磁场中，B方向沿x轴正方向.试求：
(1) 图中电流元I l1和1^2所受安培力和・沪2的大小和方向，设
=0.10 mm ;
(2) 线圈上直线段ab和cd所受到的安培力F ab和F cd的大小和方向；
29. AA/和CC Z为两个正交地放置的圆形线圈，其圆心相重合. AA/线圈半径为20.0 cm,共10 (3) 线圈上圆弧段bc弧和da弧所受到的安培力F bc和F da的大小和方向.
匝，通有电流10.0 A ;而CC Z线圈的半径为10.0 cm，共20匝，通有电流 5.0 A .求两线圈公共
中心O点的磁感强度的大小和方向. (％ =4二X 107 N • A-2)
30.真空中有一边长为I的正三角形导体框架.另有相互平行并与三角形的
仅供个人参考
be边平行的长直导线1和2分别在a点和b点与三角形导体框架相连（如图）.已知直导线中的电流为I，三角形框的每一边长为I，求正三角形中心点0处的磁感强度B .
31. 半径为R的无限长圆筒上有一层均匀分布的面电流，这些电流环绕着轴线沿螺旋线流动并与轴
线方向成：•角.设面电流密度（沿筒面垂直电流方向单位长度的电流）为i，求轴线上的磁感强度.
32. 如图所示，半A y
心与圆平面垂直的轴以角速度
方向.
-■转动，求轴线上任一点的B的大小及其
33.横截面为矩形的环形螺线管，圆环内外半径分别为R i和R2，芯子材料的
磁导率为儿导线总匝数为N,绕得很密，若线圈通电流I，求.
（1）芯子中的B值和芯子截面的磁通量.
（2）在r < R i和r > R2处的B值.
34. 一无限长圆柱形铜导体（磁导率山），半径为R,通有均匀分布的电流I.今取一矩
形平面S （长为1 m，宽为2 R）,位置如右图中画斜线部分所示，求通过该矩形平面的磁通量.
35. 质子和电子以相同的速度垂直飞入磁感强度为B的匀强磁场中，试求质子
轨道半径R1与电子轨道半径R2的比值.
36.在真空中，电流由长直导线1沿底边ac方向经a点流入一由电阻均
匀的导线构成的正三角形线框，再由b点沿平行底边ac方向从三角形
框流出，经长直导线2返回电源（如图）•已知直导线的电流强度为I,
三角形框的每一边长为I，求正三角形中心0处的磁感强度B .
37. 在真空中将一根细长导线弯成如图所示的形状（在同一平面内，由实线
表示），AB = EF = R，大圆弧BC的半径为R,小圆弧DE的半径为
1
R，求圆心O处的磁感强度B的大小和方向.
2
38. 有一条载有电流I的导线弯成如图示abcda形状.其中ab、cd是直线
段，其余为圆弧.两段圆弧的长度和半径分别为11、R1和12、R2，且两R
2 R i
I
E
F
D 60
0 R 、
I
仅供个人参考
径为R,线电荷密度为■ （>0）的均匀带电的圆线圈，绕过圆
仅供个人参考
45. 一无限长导线弯成如图形状，弯曲部分是一半径为 R 的半圆，
两直线部分平行且与半圆平面垂直，如在导线上通有电流 I ，方
向如图.（半圆导线所在平面与两直导线所在平面垂直 ）求圆心O
处的磁感强度.
46.
如图，在球面上互相垂直的三个线圈 1、2、3,通有相等的电
流，电流
方向如箭头所示.试求出球心
O 点的磁感强度的方向.（写出在直角坐标
段圆弧共面共心•求圆心 0处的磁感强度 B 的大小.
39.假定地球的磁场是由地球中心的载流小环产生的，已知地极附近磁感强度
地球半径为R =6.37 x 106 m . -0 =4二X 10 7 H/m .试用毕奥一萨伐尔定律求该电流环的磁矩大小. 求等效圆电流的磁矩
P m 与电子轨道运动的动量矩
、‘ -5 B 为 6.27 X 10 T ,
40.在氢原子中，电子沿着某一圆轨道绕核运动. L 大小之比，并指出 P m 和L 方向间的关系.
（电子电荷为e ，电子质量为 m ）
41.两根导线沿半径方向接到一半径
R =9.00 cm 是铝导线，铝线电阻率为 门=2.50X 10-8「・m ,圆弧ACB 是铜导线，铜线电 阻率为；
2 =1.60 X 10-i,m .两种导线截面积相同，圆弧 ACB 的弧长是圆周 长的1/二直导
线在很远处与电源相联，弧 ACB 上的电流-=2.00A,求圆 心O 点处磁感强度 B 的大小.（真空磁导率=4 r ：X 107 T • m/A ） 的导电圆环上.如图.圆弧ADB
42. 一根很长的圆柱形铜导线均匀载有
10 A 电流，在导线内部作一平面 S, S
一个边是导线的中心轴线，另一边是 S 平面与导线表面的交线，如图所示.试
计算通过沿导线长度方向长为
1m 的一段S 平面的磁通量.（真空的磁导率
-7
=4二X 10「m/A ，铜的相对磁导率 4 ~ 1）
43.两个无穷大平行平面上都有均匀分布的面电流，面电流密度分别为
i 2，若i 1和i 2之间夹角为v,如图，求： i i 和
(1) 两面之间的磁感强度的值 B i
两面之外空间的磁感强度的值
B o .
当h =i 2 =i , V - 0时以上结果如何?
44.图示相距为a 通电流为I i 和12的两根无限长平行载流直导线.
（1）写出电流元I 1 dl 1对电流元I 2dl 2的作用力的数学表达式;
（2）推出载流导线单位长度上所受力的公式. 11 dli f|
I 2 U
I1
仅供个人参考
系中的方向余弦角）
47. —根半径为R 的长直导线载有电流I ,作一宽为R 、长为I 的假 想平面S,如图
所示。

若假想平面 S 可在导线直径与轴 00 /所 确定的平面内离开 00 /轴移动至远处.试求当通过
S 面的磁通
量最大时S 平面的位置（设直导线内电流分布是均匀的 ）. 48.
带电
粒子在均匀磁场中由静止开始下落，磁场方向与重力方向 （x
轴
方向）垂直，求粒子下落距离为 y 时的速率v ，并叙述求解方法的理论 依据. 49.
平面闭合回路由半径为 R i 及R 2（R I >R 2）的两个同心半圆
弧和两个直导线
段组成（如图）.已知两个直导线段在两半圆弧中心 0处的磁感强度为零，且
闭合载流回路在 0处产生的总的磁感强度
B 与半径为R 2的半圆弧在0点产
生的磁感强度B 2的关系为B = 2 B 2/3，求R i 与R 2的关系.
50.
在一半径R =1.0 cm 的无限长半圆筒形金属薄片中，沿长度方向有横截面上均匀分布的电流
I =
-7
2
5.0 A 通过.试求圆柱轴线任一点的磁感强度.
（％ =4二X 10 N/A ）
2 一
51. 已知均匀磁场，其磁感强度B = 2.0 Wb •m -,方向沿x 轴正向，如
图所示.试求：
（1） 通过图中abOc 面的磁通量; （2） 通过图中bedO 面的磁通量;
通过图中acde 面的磁通量.
52. 如图所示，一无限长载流平板宽度为 a ,线电流密度（即沿x 方向
单
位长度上的电流）为「求与平板共面且距平板一边为 b 的任意点P
的磁感强度.
53. 通有电流I 的长直导线在一平面内被弯成如图形状，放于垂直进入纸
面的均匀磁场 B 中，求整个导线所受的安培力
（R 为已知）.
I R
54. 三根平行长直导线在同一平面内，1、2和2、3之间距离都是d=3cm ,
其中电流h =丨2 ,丨3 =一（11「2）,方向如图.试求在该平面内B = 0的直线的位置.
55. 均匀带电刚性细杆AB ,线电荷密度为■,绕垂直于直线的轴
AB 延长线上）.求： 56.
在B =
0.1 T 的均匀磁场中，有一个速度大小为 v =104 m/s 的电子沿垂直于 B _
| v
的方向（如图）通过A 点，求电子的轨道半径和旋转频率.
（基本电荷e
= 1.60
~A
X 10 J9 C,电子质量 me = 9.11 x 10 3 kg ）
57. 两长直平行导线，每单位长度的质量为
m =0.01 kg/m ，分别用I =0.04 m 长
的轻绳，悬挂于天花板上，如截面图所示•当导线通以等值反向的电流时， 已知两悬线张开的角度为 2二=10°,求电流I . （tg5 ° = 0.087,5 =4二X 10-7 N •A -2）
58. 一无限长载有电流I 的直导线在一处折成直角，
面内，距一条折线的延长线和另一条导线的距离都为 的磁感强度B .
59. 一面积为S 的单匝平面线圈，以恒定角速度•在磁感强度B = B 0sin 「tk 的均匀外磁场中转动, 转轴与线圈
共面且与 B 垂直（k 为沿z 轴的单位矢量）•设t =0时线圈的正法向与 k 同方向, 求线圈中的感应电动势. 60. 在一无限长载有电流I 的直导线产生的磁场中，有一长度为
距为a .若铁棒以速度v 垂直于导线与铁棒初始位置组成的平面匀速运动，求 t 时刻铁棒两端的
感应电动势1的大小.
61. 在细铁环上绕有 N = 200匝的单层线圈，线圈中通以电流I =2.5 A ，穿过铁环截面的磁通量 「=0.5
mWb ，求磁场的能量 W .
62. 一个密绕的探测线圈面积为 4 cm 2,匝数N =160，电阻R =50」线圈与一个内阻 r =30门的冲
击电流计相连•今把探测线圈放入一均匀磁场中，线圈法线与磁场方向平行•当把线圈法线转到
5
垂直磁场的方向时，电流计指示通过的电荷为 4X 10- C .问磁场的磁感强度为多少？
63.
两同轴长直螺线管，大管套着小管，半径分别为 a
和b ,长为L （L >>a ; a >b ），匝数分别为
N 1和求互感系数M .
(1) 0点的磁感强度B 。

;
⑵ 系统的磁矩 P m ；
⑶
若 a >> b , 求B 0及P m
b 的平行于导线的短铁棒，它们相
P
64. 均匀磁场B被限制在半径R =10 cm的无限长圆柱空间内，方向垂直纸面向里•
取一固定的等腰梯形回路abed，梯形所在平面的法向与圆柱空
间的轴平行，位置如图所示•设磁感强度以dB /dt =1 T/s的匀速率增加,
1 一一
已知 --,Oa =0b =6cm ,求等腰梯形回路中感生电动势的大小
3
和方向.
65. 如图所示，有一中
心挖空的水平金属圆盘，内圆半径为R i,外圆半径为
R2.圆盘绕竖直中心轴0 ' 0〃以角速度••匀速转动.均匀磁场B的方向
为竖直向上.求圆盘的内圆边缘处C点与外圆边缘A点之间的动生电动势的大
小及指向.
66. 将一宽度为I的薄铜片，卷成
一个半径为R的细圆筒，设I >>R,
电流I均匀分布通过此铜片(如图).
(1) 忽略边缘效应，求管内磁感强度B的大小；
(2) 不考虑两个伸展面部份(见图)，求这一螺线管的自感系数.
67. 一螺绕环单位长度上的线圈匝数为n =10匝/cm.环心材料的磁导率」=%.求在电流强度I为多
大时，线圈中磁场的能量密度w =1 J/ m3?(七=4二x 10-7 T • m/A)
68. 一边长为a和b的矩形线圈，以角速度••绕平行某边的对称轴OO /
转动.线圈放在一个随时间变化的均匀磁场 B = B0sin「t中，(B0为
常矢量.)磁场方向垂直于转轴，且时间t =0时，线圈平面垂直于B , 如图所
示.求线圈内的感应电动势匚并证明上的变化频率F是B的
变化频率的二倍.
69. 如图所示，有一根长直导线，载有直流电流I，近旁有一个两条
对边与它平行并与它共面的矩形线圈，以匀速度V沿垂直于导线的
方向离开导线.设t =0时，线圈位于图示位置，求
(1) 在任意时刻t通过矩形线圈的磁通量
(2) 在图示位置时矩形线圈中的电动势匚
70. 一环形螺线管，截面半径为a,环中心线的半径为R, R >> a.在环上用表面绝缘的导线均匀地
密绕了两个线圈，一个N1匝，另一个N2匝，求两个线圈的互感系数M .
71. 设一同轴电缆由半径分别为r i和2的两个同轴薄壁长
直圆筒组成，两长圆筒通有等值反向电流
I，如图所示•两筒间介质的相对磁导率 4 = 1,求同轴电缆
(1) 单位长度的自感系数.
(2) 单位长度内所储存的磁能.
72. 在图示回路中，导线ab可以在相距为0.10 m的两平行光滑导线LL 和MM /上
水平地滑动.整个回路放在磁感强度为0.50 T的均匀磁场中,
磁场方向竖直向上，回路中电流为 4.0 A •如要保持导线作匀速运动，
求须加外力的大小和方向.
73. 两根很长的平行长直导
线，其间距离为d，导线横截面半径为r ( r
<< d )，它
们与电源组成回路如图•若忽略导线内部的磁通，试计算此两导线组成的
回路单位长度的自感系数L.
74. 如图，一无净电荷的金属块，是一扁长方体.三边长分别为a、
b、c且a、b都远大于c.金属块在磁感强度为B的磁场中，以速度v
运动.求
(1)金属块中的电场强度.
(2)金属块上的面电荷密度.
75. 两根平行放置相距2a的无限长直导线在无限
远处相连，形成闭合回
路.在两根长直导线之间有一与其共面的矩形线圈，线圈的边长分别为
I和2b, l边与长直导线平行(如图所示).求：线圈在两导线的中心位
置(即线圈的中心线与两根导线距离均为 a )时，长直导线所形成的
闭合
回路与线圈间的互感系数.
I
r i
L/
八~ v
《电磁学》习题答案
1.
解：设点电荷q 所在处为坐标原点 O , x 轴沿两点电荷的连线. (1)设E = 0的点的坐标为x •，则
1 . 一
x = 一丄 1 ...3 d
2
d- 4x = 0, x = d/4
2.
(1)设外力作功为 A F 电场力作功为A e ,由动能定理:
A F + A e =
-K
A e = •： ；K — A F = — 1.5 X 10-5 J
A e = Fe S 二 -F e S 二 -qES E = A e / -qS =105 N/C
3. 解: 设杆的左端为坐标原点 O , x 轴沿直杆方向.带电直
可得 4 二；0x 2
4z 0(x " — d )
2x 2 2dx"「d 2=0
解出
另有一解 X 2
1 3 -1 d 不符合题意，舍去.
2
⑵设坐标x 处U = 0，则
U q
3
q —
4兀E 0X 4兀%(d — x )
解: -3q
O
仅供个人参考
x
杆的电荷线密度为 =q / L ,在x 处取一电荷元 dq = ■ dx = qdx / L ,它在P 点的场强:
方向沿x 轴，即杆的延长线方向. 4.
解：在球内取半径为r 、厚为dr 的薄球壳，该壳内所包含的电荷为
d q =『dV = Ar 4二r 2 d r
在半径为r 的球面内包含的总电荷为
r
3 4
q = v ：dV 二二Ar dr 二:Ar
(r < R)
以该球面为高斯面，按高斯定理有 E j 4二r 2 =^Ar 4 / ；0 得到
E r = Ar 2 / 4 ；0 , (r < R)
方向沿径向，A>0时向外，A<0时向里.
在球体外作一半径为 r 的同心高斯球面，按高斯定理有
E 2 4 二r 2 二■:AR 4 / ；0
得到
E 2 = AR 4 / 4；0r 2 , (r >R)
方向沿径向，A>0时向外，A<0时向里. 5.
解：球心处总电势应为两个球面电荷分别在球心处产生的电势叠加，即
6.
解：通过x = a 处平面1的电场强度通量
伸i = - E i S i = - b a
通过x = 2a 处平面2的电场强度通量
：'；'2 = E 2 S 2 = 6 a 3
其它平面的电场强度通量都为零. 因而通过该高斯面的总电场强
度通量为
U
/ I
4兀『石* 4兀
rju 、 4兀勺
<r i
D
丿
4算坯 r i D 丿
-r i r 2 故得
—=8.85 10』C/m 2
r i r 2
dE
dq
. 2
4 二；0 L d - x
qdx
? 2
4 二；0L L d - x 总场强为
L
E
代。

(L d — x)
dx 2
q
4 二；0d L d
a
2a x
仅供个人参考
3
3
3
2
：：」= ：」什：：吃=_b a -b a = b a =1 N • m /C 3 分
7.
解：（1）电偶极子在均匀电场中所受力矩为
M = p E
其大小
M = pEsin n= qlEsin v
当v =T2时，所受力矩最大，
-3
M max = qlE = 2X 10 N • m
电偶极子在力矩作用下，从受最大力矩的位置转到平衡位置
-3 =-qlE sin d^ - qlE = 2x 10 N • 为./2
8.
E = . E ； E ； -2E 1E 2cos6^ . 3E 1
=3
q 1
2 = 3.11
x 106 V/m 二；0d 2
4 E 1 E 1
1
—,sin -sin 60 = sin 60
sin ： E 2
:■ = 30°
••• E 的方向与中垂线的夹角 —60°，如图所示. 9.
解：由题意知
E x =200 N/C , E y =300 N/C , E z =0
平行于xOy 平面的两个面的电场强度通量
：：' 二 E S 二 E z S = 0
平行于yOz 平面的两个面的电场强度通量
：九2 二 E S = ： E x S = -200 b 2N • m 2/C
“ + ”，“―”分别对应于右侧和左侧平面的电场强度通量 平行于xOz 平面的两个面的电场强度通量
讥3 二 E S 二-E y S 二-300 b 2 N • m 2/C
解: E 1
q 1
4 二；od
E 2 二
q 2
2
4 二；0 d
2q 1
,• 2E 1二E 2由余弦定理:
（仃0）过程中，电场力所作的功
A 、Md ，
q 1
由正弦定理得:
x
“ + ”，“-”分别对应于上和下平面的电场强度通量 10.
解:设闭合面内包含净电荷为
Q .因场强只有x 分量不为零，故只是二个垂直于
x 轴的平面上电场
强度通量不为零•由高斯定理得：
-E 1S1+ E 2S 2=Q / 0
( Si = S 2 =S )
则
Q = 0S(E 2- E 1)= 0Sb(X 2- X"
2
3
-12 亠
=mba (2a — a) = ：.0ba = 8.85 x 10 C
11.
解:选坐标原点在带电平面所在处，
E=± 二 / (2 0)
(式中“ + ”对x >0区域，“一”对 在x < 0区域
0 0
U = E d x
d x 'x
'x 2 名0
在x >0区域
0 0
U = Ed x
dx 'x
、x 2 名0
12.
解:用电势叠加原理可导出电偶极子在空间任意点的电势
U = p r / 4 二；0r 3
式中r 为从电偶极子中心到场点的矢径.于是知
A 、
B 两点电势分别为
U A 二-p/4二；°R 2 U B = p/(4“°R 2)
(P = p|)
q 从A 移到B 电场力作功(与路径无关)为
A = qU A -U
B = -qp/2二；°R 2
c
——
3
(2) A 2 = f F dS =qEaccos180° =- 1 x 10 J
L a d ----- o
-3
(3) A F dS 二qEadsin 45 = 2.3x 10 J a
14.
解：如图所示，P 点场强为dS =qEabcos90° =0
F
b
I
a
-
A
\
17
1
侨
x 轴垂直于平面•由高斯定理可得场强分布为
x v 0区域.平面外任意点x 处电势:
2
；0
2
17.
E P = E i E 2
建坐标系Oxy ,则E P 在x 、y 轴方向的分量为
E PX = E 1x E 2x =0 E 2 sin :
匚险sin ：
4 - ；。

r 22
E
Py 二 E 1y
E
2y = E 1 _ E 2
COS j
4
二；
o
q 1 rj 4 二；0
-1
导
cos ： 4
1
代入数值得 E PX = 0・432 x 10 N • C , E Py = 0.549 x 10' N 合场强大小 j 2 2 4
-1
E P 二 E Px E Py = 0.699x 10 N • C 方向：E p 与x 轴正向夹角 J arctg E y / E x = 51.8° 15. 解：两带电平面各自产生的场强分别为: E A -A / 2；。

方向如图示 方向如图示
由叠加原理两面间电场强度为 E
A
E A
E A
两面外左侧
两面外右侧 16.
解：取坐标 --B / 2；0 =3 x 104 N/C 方向沿x 轴负方向 E" = E B - E A H % -
=1 x 104 N/C 方向沿x 轴负方向
E = 1 x 104 N/C 方向沿x 轴正方向 xOy 如图，由对称性可知： E x 二d E x =。

d E y cos 尘 cos v 4 二；0a 4 二；0a
2 cos a d r 4 二；0a 爲--
2-! COST d .宁 4 二；0a .0
-q
sin
2 二2 2 二 pa ，0
-q ■' n E
q
2 sin - j 2「： ；°a 2
E y W — E B
*E
E B ^― E
E B
E
----------- A
X
解：以0点作坐标原点，建立坐标如图所示•半无限长直线
E i
E 2
半圆弧线段在 0点产生的场强E 3,
E 3
由场强叠加原理，0点合场强为
18.
解：(1) 一根无限长均匀带电直线在线外离直线距离r 处的场强为:
E= ■ / (2 二 o r)
根据上式及场强叠加原理得两直线间的场强为
二——1 2a 一-,方向沿x 轴的负方向 二；0 a 4x
(2)两直线间单位长度的相互吸引力
r 2
F=「E=x‘ / (2 ,-0a)
19.
D i = £ =8.85 i0°C/m 2 D 2 = 0 ；r
E 2 =8.85 i0"C/m 2
方向均相同，由正极板垂直指向负极板.
U = E i d = E 2d D i = 0E i
解：设空气中和介质中的电位移矢量和电场强度矢量分别为
D i
、
D 2 和
E i 、E 2，贝V
(1)
D 2 = 0 r
E 2
联立解得
V/m
E i
+ -卩
U
-k
A s 在0点产生的场强E 1，
半无限长直线B s 在O 点产生的场强 E 2 ,
E 二 E i E 2 二
2 二；°
1
-+x <2
J
-a/2
E i
a/
2 x
B
20.
解：设小水滴半径为 积相等
r 、电何q ;大水滴半径为 R 、电何为Q = 27 q . 27个小水滴聚成大水滴，其体
27X (4 / 3)二r 3= (4 / 3)二R 3
得
R = 3r 小水滴电势 U 0
= q / (4•:如
大水滴电势
U
Q
27q
9 q
9U 0
4 ： . o R 4 ：二。

3r I 4 ：
21.
解：⑴ 令无限远处电势为零，则带电荷为
q 的导体球，其电势为
将dq 从无限远处搬到球上过程中，外力作的功等于该电荷元在球上所具有的电势能
=dW 二
22.
解：因为所带电荷保持不变，故电场中各点的电位移矢量
D 保持不变,
因为介质均匀，.••电场总能量 W =W 0/ ；r
23.
解：未插导体片时，极板 A 、B 间场强为：
E i =V / d
插入带电荷q 的导体片后，电荷 q 在C 、B 间产生的场强为:
E 2=q / (2 o S)
则C 、B 间合场强为：
E = E i + E 2= (V / d) + q / (2
因而C 板电势为：
U = Ed / 2 = [V + qd / (2 °S)] / 2
24.
w^^DE - D 2
2 2 ；o ；「
W o
i d/2
I r
f i
E 1
I
E 2
■J
d/2 I l i
E 1 L J
E 2 £
⑵ 带电球体的电荷从零增加到
Q 的过程中，外力作功为
dA=Q 4S
Q 2 8 二；0
R
A C
B
仅供个人参考
I 「
解：内球壳的外表面上极化电荷面密度为:
外球壳的内表面上极化电荷面密度为:
两层介质分界面净极化电荷面密度为:
r2 J r1
25.
解：两球相距很远，可视为孤立导体，互不影响•球上电荷均匀分布•设两球半径分别为
q 1和q 2，而q 1 + q 1 = 2q ，则两球电势分别是
q 1 世=q 1 72
r 2 r 1 r 2 r 1 r 2
26.
解：应用安培环路定理和磁场叠加原理可得磁场分布为,
B 0 0
(a _x_5a)
2nx 2 兀(3a —x) 2
2
B 的方向垂直x 轴及图面向里.
27.
解：当磁场B 方向与Ox 轴成45°时如图所示.
F 1 =1 hBsin105‘ =1.55 10* N
方向垂直纸面向外.
= R n = R =^o 々1
E
1
討1 -1 Q
r1
45 °
；-2 = P 2n =-卩2 =-；0 e2E 2
r2 -1
；r2
4 冗 R 2
r2 J
4n R 2
导线连接后的电荷分别为 q 1
U 2
q 2
两球相连后电势相等， U 1
=U 2 ,
则有
由此得到
A2q = 6.67 10-9 C
r
两球电势 q 2
=13.3 10』C U 1 q 1 =U 2
1
— = 6.0 103
V
4兀窃1
2q
「1
(1)
4
£ = I . DBsin 90 =1.60 10 - N
方向为垂直纸面向内.
(2) 因为ab 与cd 均与B 平行，因此F ab = F ed - 0 (3)
如图所示.
J1/2
F bc 二 IRBsin(45
Rd- .2IRB =0.453 N
方向垂直纸面向外，同理 F da =0.453 N ，方向垂直纸面向里.
28.
解：由安培公式d F = I dl B ，当B 的方向沿x 轴正方向时
(1)
F^I l 1Bsin60 =1.39 10鼻 N
方向垂直纸面向外(沿z 轴正方向),
巳=1 LBsin 135" =1.13 10 ° N
方向垂直纸面向里(沿z 轴反方向).
二IRB 二0.32 N ，方向为垂直纸面向里.
同理 F cd = IRB =0.32 N ,方向垂直纸面向外.
⑶ 在bc 圆弧上取一电流元Idl = IRdr ,如图所示.这段电流元在磁场中所受力
dF =1 dlBs in )- IRBs in ^d^
方向垂直纸面向外，所以圆弧 bc 上所受的力
_/2
F bc 二 IRBsin^d =IRB =0.32N
方向垂直纸面向外，同理 F da =0.32 N ，方向垂直纸面向里. 29.
解：AA /线圈在O 点所产生的磁感强度
%N A I A (|
B A 二一 —— =250% (方向垂直AA ，平面) 2r A
CC /线圈在O 点所产生的磁感强度
_ 40N C I C ,, 一
B C 二一 --=500'0 (方向垂直CC ，平面) 2心
O 点的合磁感强度
B=(BA+B C )1/2=7.02:<10 4 T
B 的方向在和AA /、C
C /都垂直的平面内，和 CC ，平面的夹角
F
ab
b
二 dF a
二 I abB sin 45 二 I
R
sin 45
Bsi n45。