数字信号处理习题1

(3)T[x(n)]
n n0

x(k)
k nn0
(5)T[x(n)] ex(n)
(2)T[x(n)]
n

x(k)
k n0
(4)T[x(n)] x(n n ) 0
(6)T[x(n)] ax(n) b
解 : (1)线性 因果 稳定
(2)线性
非因果（n n0时）
(2)把输入和单位脉冲响应的Z变换相乘,计算乘积的Z反 变换,求输出y(n).
解（1）直接卷积
N 1
y(n) x(n) h(n) x(m)h(n m) h(n m)
m
m0

N 1
anm
m0
mnN

1
n
anm 1 a a2
中样，. f1 1kHz 。 用 fs 5kHz 的冲激函数序列 T (t) 进行取
(1)画出f(t)及采样信号 fs (t) 在频率区间(-10kHz, 10kHz) 的频谱图。
(2)若由 fs (t) 恢复原信号，理想低通滤波器的截止频率 fc 应如何选择。
解：F( jf )
F ( jf )
画出滤波器的输出信号的频普，并求出输出信号 y(t).
1.11解：f (t) 5 2cos 2f1t cos 4f1t
F( j)
f1 1kHz
5
1
1
2
1
1 2
-2 -1 0 1 2
f(kHz)
[注]幅值 大小只表示各频率成分的相对大小。
1.13今对三个正弦信号 xa1(t) cos 2t, xa2(t) cos 6t, xa3(t) cos10t
进行理想采样，采样频率为s 8.试求三个采样输出序列，
比样较点这位三置个并结解果释，频画谱出混淆x现a1(象t),。xa2 (t), xa3(t) 的波形及采
解：
s 8

T 2
s
xa1(n) xa (nT ) (t nT )
n
xa2 (n) xa2 (t xa3(n) cos
[分析]知识点：时域采样，频域周期延拓。
a( jf )
1
0.5
0.5
0.25
0 1 2 3 f(kHz)
a( jf )
0.5
1
0.5 0.25
1 0.5 0.5
0.25
0
1
2
3
45
6 7 8 9 10
f(kHz)
1.9有限频带信号f(t)的最高频率为100Hz，若对下列信 号进行时域采样，求最小采样频率.
习题
1.1序列x(n)示意如图T1-1,请用各延迟单位脉冲序列的
幅度加权和表示
3
2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 X(n)
-1
-2
解：x(n) 2 (n 3) (n) 3 (n 1) 2 (n 3)
1.4已知人的脑电波的频率范围是0~45Hz，对其进行 数字处理的最大采样周期是多少？
非线性系统 (4)若差分方程不变：y(n) y(n 1)a x(n), y(0) 0
则此时：y1(n) T[x1(n) (n)] 0 y2 (n) T[x2 (n) (n 1)] an1u(n 1) y3(n) T[ (n) (n 1)] an1u(n 1)
)

H
Hale Waihona Puke (Z)(Z)
1

1 aZ
1

1 Z N 1 Z 1

1

1 aZ
1

1
Z 1 aZ
1


Z ( N 1) 1 aZ 1
Z反变换得：
y(n)

Z
1[ 1

1 aZ
1
]

Z
1[ 1
Z 1 aZ
1
]


Z 1[1Za( NZ1)1 ]
解：信号时域总记录时间：Tp 2 60 120(s)
信号频域频率范围：f=0~100Hz
由采样定理： fs 2 f 所以最少采样点数：
T 1 fs
N

Tp T
Tp

fs
120 200

24000点
1.8设一连续时间信号频普包括直流,1kHz,2kHz, 和3kHz 等频率分量，它们的幅度分别为0.5:1:0.5:0.25,相位频谱 为零。设对该连续信号进行采样的采样率为10kHz,画出 经过采样后的离散信号频谱。包括从直流到30kHz的所 有频率分量。
anu(n) an1u(n 1) an(N 1)u[n (N 1)]
y(n) mNn01anm

m0
a
nm
m n N 1 n N 1
1.35求以下序列x(n)的频谱X (e jw ) :
(1) (n)
(2) (n n 0)
xa2 (t)最高频率 c2 6
xa3(t)最高频率 c3 10
1.14一个理想采样系统，如图T1-2所示，采样频率为
s 8 采样后经理想低通 H( j) 还原。
1/ 4 4
H ( j)
0
4
今有两输入 x (t) cos 2t, x (t) cos 5t, 问输出
m0
nN 1 N 1

anm

an
m0

N 1(1 1 a
an 1 an1 1 a
aN )
（2）通过Z变换计算： Z a
H (Z )


anZ n
n0
1
1 aZ 1
(z)
N 1 n
Z
n0

1 1
Z N Z 1
Y
(Z
) t1n
5
4
n
2

cos
cos
2
6n
4 n
1 4 xa1(t)
cos
xa1(n)
t1n
34n
2

cos 2n
4
cos n
2

cos n
2 xa1 (n)
xa1(n) xa2 (n) xa3(n)
频域 : xa1(t)最高频率 c1 2
,式中 进行
取样。（请注意 fs f1)
(1)画出f(t)及采样信号 fs (t) 在频率区(-2kHz,2kHz)
的频普图。
(2)若将采样信号 fs (t) 输入到截止频率 fc 500Hz,
幅度为T的理想低通滤波器，即其频率响应为
H
(
j)

H
(
j2f
)

T 0
f 500Hz f 500Hz
(3)e uan (n)
(4)e(a jw0 )nu(n)
(5)ean cos w nu(n) (6)ean sin w nu(n)
0
0
(7)R (n) N

解：(1)(e jw ) (n)e jwn 1
n


(2)(e jw ) (n n0 )e jwn (m)e jw(mn0 ) e jwn0
(1) f(3t) (2) f (t)2 (3)f(t)*f(2t） (4) f (t) f (t)2
解：f(t) 的最高频率为100Hz.
(1) f (3t) fc 300Hz fs 2 fc 600Hz
(2) f 2 (t) fc 200Hz fs 2 fc 400Hz
T[x(n n0 )] 2x(n n0 ) 3 y(n n0 ) 2x(n n0 ) 3 T[x(n n0 )] 时不变系统。
1.19判断下列各系统是否为: ( 1) 稳定系统；(2)因果系 统；(3)线性系统。并说明理由。
(1)T[x(n)] g(n)x(n);这里g(n)有界
解：脑电波的频率范围0~45Hz , 所以 fc 45Hz 由采样定理： fs 2 fc 90Hz 所以最大采样周期：T 1 1 0.01111s fs 90
1.5一频谱从直流到100Hz的连续时间信号延续2分钟，为 了进行计算机处理，需将此信号转换为离散形式，试求 最小的理想采样点数。
可得：y1(n) anu(n)
(2) x2 (n) (n 1), y2 (0) 1 y2 (n) ay2 (n 1) (n 1 可得：y2 (n) (1 a)an1u(n 1) (n)
比较(1), (2)并结合时变性定义得：y2 (n) y1(n 1)系统时变 (3) x3(n) x1(n) x2 (n) (n) (n 1), y(0) 1
(3) f (t) f (2t) 时域卷积，频域相乘
fc1 100Hz fc2 200Hz 取最小值 fc fc1 100Hz fs 2 fc 200Hz (4) f (t) f 2 (t) 取频带范围大的，则
fc 200Hz
fs 400Hz
1.10有限频带信号 f (t) 5 2cos(2f1t) cos(4f1t) ,式
(3) y(n) x(n) 2
(4) y(n)


x(m)
m
解: (1)线性: T[ax1(n) bx2 (n)] 2[ax1(n) bx2 (n)] 3 2ax1(n) 2bx2 (n) 3 ay1(n) by2 (n)
非线性
时不变性：T[x(n)] y(n)
5 幅值相对大小
51
5
2
1
1
2
1
1 2
1
1
2
1
1
11
22
1
1 2
-2 -1 0 1 2
f
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
f
(2)若由 fs (t)恢复原信号，理想低通滤波器的截止频
率：
fc

fx 2
25kHz
1.11有限频带信号 f
f1 1kHz .用 fs
(t) 5 2cos(2f1t) cos(4f1t) 800Hz 的冲激函数序列 T (t)
y3(n) ay3(n 1) (n) (n 1)
可得：y3(n) (1 a)an1u(n 1) (n) 由情况3：y3(n) T[ (n) (n 1)] T[ (n)] T[ (n 1)]
y3 (n) y1(n) y2 (n)

非稳定 x(n) M l im x(k)
(3)线性非因果稳定n k
nn0
nn0
x(k) x(k) 2n0M
k nn0
k nn0
1.21讨论一个输入为x(n)和输出为y(n)的系统，系统的 输入输出关系由下列两个性质确定：
(1) y(n) ay(n 1) x(n)
试问：(1)判断(2该) y系(0统) 是1否为时不变的：
(2)判断该系统是否为线性的：
(3)假设差粉方程保持不变，但规定y(0)植为零， ( 1)和(2)的答案是否改变?
解：判断线性时不变性可通过设输入信号：x1(n) (n),
x2 (n) (n 1), 和x3(n) (n) (n 1) 来检验； (1)x1(n) (n), y1(0) 1 y1(n) ay1(n 1) (n)
y2 (n) y1(n 1) 时变系统
y3(n) y1(n) y2 (n) 线性系统
1.34研究一个线性时不变系统，其脉冲响应h(n)和输入
x(n)分别为：
an n 0 h(n)
0 n0
x(n)

1 0
0 n N 1 其他
（1)直接计算x(n)和h(n)的离散卷积，求输出y(n).
n
m


(3)(e jw ) eanu(n)e jwn eane jwn
n
n
1 e j(a jw)1
e j(a jw)2

a0
级数收敛 1

1 ea
jw


a1
a2
信号 y (t), y (t) 有没有失真？为什么失真？
a1
a2
xa (t)
xˆa (t) H ( j) ya (t)
T
解： 输出信号ya1(t)无失真 因为采样频率s 4c 输出信号ya2 (t)有失真 因为采样频率s 2c
1.18判断下列系统的线性和时不变性。
(1) y(n) 2x(n) 3 (2) y(n) x(n) • sin(2n / 7 / 6)