海淀一模数学试卷及答案
2023年北京海淀区高三一模数学试题及答案
海淀区2022—2023学年第二学期期中练习高三数学参考答案一、选择题二、填空题 （11）(,2)(1,)−∞−+∞（12）2（13）2π （答案不唯一，[,]62ϕππ∈） （14）1；(,0][2,)−∞+∞（15）①③三、解答题共6小题，共85分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）解：（Ⅰ）由直三棱柱111−ABC A B C 可知1BC CC ⊥，又因为AC BC ⊥，且1ACCC C =,所以BC ⊥平面11CC A A .由1C D ⊂平面11CC A A ，所以1BC C D ⊥.在矩形11CC A A 中，111,2AD DA CC ===，所以1DC DC ==.可得22211C C C D CD =+，所以1C D CD ⊥.又因为BC CD C =， 所以1C D ⊥平面BCD .（Ⅱ）由题意可知，1,,CA CB CC 两两垂直，如图建立空间直角坐标系C xyz −，则(0,0,0)C ，(1,0,1)D ，(0,1,0)B ，1(0,0,2)C ，(1,1,1)BD =−，1(0,1,2)BC =−,(1,0,1)CD =. 设平面1BC D 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则10,0,BD BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,20.x y z y z −+=⎧⎨−+=⎩令1z =，则2y =，1x =， 得(1,2,1)=n . 设直线CD 与平面1BC D 所成角为θ，则sin |cos ,|θ⋅=<>==CD CD CD n n n ，所以直线CD 与平面1BC D 所成角的正弦值为3.（17）（本小题14分）解：（Ⅰ）由sin 23sin b A a B 及正弦定理，得sin sin 23sin sin B A A B .由倍角公式得2sin sin cos 3sin sin B A A A B .在ABC △中，sin 0,sin 0A B ， 得3cos 2A .因为π(0,)2A ，所以π6A .（Ⅱ）记ABC △的面积为ABC S △.选条件②：由（Ⅰ）知π6A ，又由题知33ABC S △， 可得1sin 2△ABC S bc A 得123bc . 又由条件②，即334b c ，解得33,4b c .由余弦定理，得2222cos 32716233427a b c bc A，所以7.a选条件③：又由条件③，即cos C =(0,π)C ∈，可得sin C =. 所以sin sin()sin cos cossin B A C AC A C =+=+12=+= 由（Ⅰ）知π6A， 又由题知33ABCS △，可得1sin 2△ABC S bc A . 得123bc .由正弦定理得::sin :sin :sin 7:a bc A B C ==.可设7,,a kbc ===.由bc =k =.得a =（18）（本小题14分） 解：（Ⅰ）设该户网购生鲜蔬菜次数超过20次为事件C ，在A 组10户中超过20次的有3户，由样本频率估计总体概率，则3()10P C =.（Ⅱ）由样本频率估计总体概率，一单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为310，二单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为710. X 的取值范围为{}0,1,2.3721(0)(1)(1)1010100P X ==−⨯−=， 373729(1)(1)(1)1010101050P X ==⨯−+−⨯=， 3721(2)1010100P X ==⨯=. 212921()012110050100E X =⨯+⨯+⨯=.（Ⅲ）12()()D D ξξ=.19. （本小题14分）解：（Ⅰ）依题意可得：22,b =⎧⎪⎨=⎪⎩解得 1.a b ⎧⎪⎨=⎪⎩椭圆E 的方程为2215x y +=.（Ⅱ）依题意, 可设直线l 方程为(0)y kx m km =+≠，1122(,),(,)M x y N x y . 联立方程221,5.x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(51)10550k x kmx m +++−=.22222(10)4(51)(55)10020200km k m k m ∆=−⋅+−=−+>，即2251k m >−.1221051km x x k +=−+，21225551m x x k −=+. 在直线l 方程y kx m =+中，令0y =，得m x k=−，得(,0)m P k −.依题意得11'(,)M x y −，得直线'M N 方程为211121()y y y x x y x x −=+++. 令0x =，得122112Q x y x y y x x +=+.所以△OPQ 的面积为1221121122OPQ P Q x y x y m S x y k x x ∆+=⋅=⋅+. 122112211212()()2()x y x y x kx m x kx m kx x m x x +=+++=++222225510102515151m km k k k k k −−=⋅−=+++. 即1102210OPQ m k S k km=⋅=△，解得14k =±，经检验符合题意. 所以k 的值为14±.解：（Ⅰ）当1a =时，()e x f x x =−.则(0)1f =.求导得'()e 1x f x =−，得'(0)0f =.所以曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为1y =. （Ⅱ）求导得'()e 1ax f x a =−.当0a ≤时，'()0f x <恒成立，此时()f x 在R 上单调递减.当0a >时，令'()0f x =，解得ln =a x a −.()f x 与()f x '的变化情况如下：由上表可知，()f x 的减区间为ln (,)a a −∞−，增区间为ln (,)a a−+∞. 综上，当0a ≤时，()f x 的减区间为(,)−∞+∞，无增区间； 当0a >时，()f x 的减区间为ln (,)a a −∞−，增区间为ln (,)a a −+∞. （Ⅲ）将()f x 在区间[1,1]−上的最大值记为max ()f x ，最小值记为min ()f x .由题意，若[1,1]x ∃∈−，使得|()|3f x ≥成立，即max ()3f x ≥或min ()3f x ≤−. 当[1,1]x ∈−时，()e 1ax f x x x =−>−≥−.所以若[1,1]x ∃∈−，使得|()|3f x ≥成立，只需max ()3f x ≥. 由（Ⅱ）可知()f x 在区间[1,1]−上单调或先减后增，故max ()f x 为(1)f −与(1)f 中的较大者， 所以只需当(1)3f −≥或(1)3f ≥即可满足题意.即(1)e 13a f −−=+≥或(1)e 13a f =−≥.解得ln2a ≤−或ln 4a ≥.综上所述，a 的取值范围是(,ln 2][ln 4,)−∞−+∞.解：（Ⅰ）（ⅰ）不满足.令3i j ==，16i j a a =不是数列{}n a 中的项.（ⅱ）满足. 对于任意()i j b b i j ,≥，(21)(21)2(21)1i j b b i j ij i j =−−=−−+−.由于211ij i j −−+≥，故令21k ij i j =−−+即可.（Ⅱ）（1）对于有穷数列{}n a 记其非零项中，绝对值最大的一项为p a ，绝对值最小的一项为q a .故令i j p ==时，存在一项2||||k i j p a a a a ==.又p a 是数列{}n a 非零项中绝对值最大的，所以2||p p a a ≥，即0||1p a <≤. 再令i j q ==时，存在一项2||||k i j q a a a a ==.又q a 是数列{}n a 非零项中绝对值最小的，所以2||q q a a ≤，即||1q a ≥. 又1||||1q p a a ≤≤≤,所以数列所有非零项的绝对值均为1.又数列{}n a 的各项均不相等，所以其至多有0,1,1−共3项.所以3m ≤.（2）构造数列{}:0,1,1n a −.其任意两项乘积均为0,1,1−之一，满足性质①. 其连续三项满足0(1)10−−−=，满足性质②. 又其各项均不相等，所以该数列满足条件，此时3m =.（3）由（1）（2），m 的最大值为3.（Ⅲ）（1）首先证明：当120,1a a ><−时，数列满足2120,0,t t a a −><且2||||,1,2,3,t t a a t +<=.（*）因为对于任意数列的连续三项12,,n n n a a a ++，总有12121()()02n n n n n n a a a a a a ++++−−−−=. 即21n n n a a a ++=−或2112n n n a a a ++=−. 不论是哪种情形，均有 当10n n a a +>>时，21102n n n n a a a a ++≥−>>，即2||||n n a a +>. 当10n n a a +<<时，21102n n n n a a a a ++≤−<<，亦有2||||n n a a +>. 又1201a a >>−>，故性质（*）得证.（2）考虑123,,a a a 三项，有312a a a =−或31212a a a =−. 若312a a a =−, 则1321a a a =+<，此时令1i j ==，有211a a <，由性质（*）知不存在k 使得0k a >，且211k a a a =<.高三数学参考答案 第7页（共7页） 故只有31212a a a =−，此时1321322a a a =+<. 因为534323311155()22242a a a a a a a ≥−≥−−>=, 所以令1i j ==时，21594a a <<. 由性质（*）知，只有211a a =或213a a =. 当213a a =时，12132()4a a a a ==−=，此时令2,1i j ==，214a a =−但423152a a a ≤−=，即421||||a a a >，由性质（*）知不存在k 使得21k a a a =. 所以211a a =，即11a =，从而22a =−.（3）经验证，数列{}n a ：1222,2,nn n n a n −⎧⎪=⎨⎪−⎩是奇数，是偶数满足条件，下面证这是唯一满足条件的数列. 假设s a 是第一个不满足上述通项公式的项，4s ≥.当21,2s t t =+≥时，只能为11212122(2)32t t t t t t a a a −−+−=−=−−=⋅. 令21,3i t j =−=，则2t i j a a =.但21212t t t a a −+<<，由性质（*），不存在k 使得i j k a a a =.当2,2s t t =≥时，只能为11222221112232222t t t t t t t a a a −−−−−=−=−−=−⋅>−. 则2222122122211115119()222224216t t t t t t t t t t a a a a a a a a ++−−≤−≤−−=−=−⋅<−. 令22,3i t j =−=，则2t i j a a =−，但2222t t t a a +>−>，由性质（*），不存在k 使得i j k a a a =. 故不存在不满足上述通项公式的项.综上，数列{}n a 的通项公式为1222,2,nn n n a n −⎧⎪=⎨⎪−⎩是奇数,是偶数.。
2020年北京市海淀区中考数学一模试题(解析版)
2020年北京市海淀区中考数学一模试卷一．选择题1. 2的相反数是（）A. 2B. －2C. 12D. 12-【答案】B【解析】【详解】2的相反数是-2.故选：B.2. 下列几何体中，主视图为矩形的是（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据主视图是从物体正面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的主视图，即可解答．【详解】解：A、圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意；B、长方体的主视图是矩形，符合题意；C、球的主视图是圆形，不合题意；D、该几何体的主视图是梯形，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是能够理解主视图的概念以及对常见的几何体的主视图有一定的空间想象能力．3. 北京故宫有着近六百年的历史，是最受中外游客喜爱的景点之一，其年接待量在2019年首次突破19000000人次大关．将19000000用科学记数法可表示为（ ）A. 0.19×108B. 0.19×107C. 1.9×107D. 19×106【答案】C【解析】【分析】直接利用科学记数法的定义结合科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数，进而得出答案．【详解】解：将19000000用科学记数法表示为：1.9×107．故选：C．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4. 如图是北京大兴国际机场俯视图的示意图.下列说法正确的是（）A. 这个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形B. 这个图形是中心对称图形，但不是轴对称图形C. 这个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形D. 这个图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，根据中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180°后得到的图形与原图形重合，那么这个图形就是中心对称图形，即可判断得出答案．【详解】由图可知，图形关于中间轴折叠能完全重合，\此图形是轴对称图形，但绕中心旋转180°后，图形不能完全重合，\此图形不是中心对称图形．故选：A．【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，解题关键是熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．5. 将抛物线2y x=向下平移3个单位长度所得到的抛物线是（）2A. 22(3)=- D.=- C. 2y x2323y x=+ B. 2y x22(3)y x =+【答案】B【解析】【分析】根据“上加下减”即可求出平移后抛物线解析式．【详解】解：根据“上加下减”即可求出向下平移3个单位长后的抛物线解析式为：2=23y x -．故选：B ．【点睛】本题考查了抛物线平移问题，熟练掌握左加右减，上加下减是解题的关键．6. 如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连结BC ，若OC =12OA ，则∠C 等于（ ）A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°【答案】B【解析】【分析】连接OB ，构造直角△，结合已知条件推知直角△ABO 的直角边OB 等于斜边OA 的一半，则∠A=30°．【详解】如图，连接OB ．∵AB 与⊙O 相切于点B ，∴∠ABO=90°．∵OB=OC ，12OC OA =，∴∠C=∠OBC ，OB=12OA ，∴∠A=30°，∴∠AOB=60°，则∠C+∠OBC=60°，∴∠C=30°．故选：B．【点睛】本题考查了切线的性质，圆的切线垂直于过切点的半径；在直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半．7. 若实数m，n，p，q在数轴上的对应点的位置如图所示，且n与q互为相反数，则绝对值最大的数对应的点是（ ）A. 点MB. 点NC. 点PD. 点Q 【答案】C【解析】【分析】根据数轴可以得到实数m，n，p，q的大小关系，再根据n与q互为相反数，可以得到原点所在的位置，从而可以得到绝对值最大的数对应的点是哪个点．【详解】解：由数轴可得，p＜n＜m＜q，∵n与q互为相反数，∴原点在线段NQ的中点处，∴绝对值最大的数对应的点是点P，故选：C．【点睛】考查实数与数轴、相反数，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想．8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，AB，CD，EF，GH是正方形OPQR边上的线段，点M在其中某条线段上，若射线OM与x轴正半轴的夹角为a，且sin cosa a>，则点M所在的线段可以是( )A. AB和CDB. AB和EFC. CD和GHD. EF和GH【答案】D【解析】【分析】分情况考虑：先考虑点M 分别在边PQ 上的线段AB 和CD 上的情况，根据正弦、余弦函数的定义判断即可；再考虑点M 分别在边QR 上的线段EF 和GH 上的情况，根据正弦、余弦函数的定义判断即可．【详解】如图，当点M 在线段AB 上时，连接OM ．sin PM OM a =Q ，cos OP OMa =，OP PM >，sin cos a a \<，同法可证，点M 在CD 上时，sin cos a a <，如图，当点M 在EF 上时，作MJ OP ^于J ．sin MJ OM a =Q ，cos OJ OMa =，OJ MJ <，sin cos a a \>，同法可证，点M 在GH 上时，sin cos a a >，故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角函数中正弦和余弦的定义，涉及到分类讨论，关键是构造直角三角形，从而可在直角三角形中利用正余弦的定义进行．二．填空题9. 若代数式1x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是_______．【答案】1x ³【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可．【详解】解：范围内有意义，∴x -1≥0，解得x ≥1．故答案为：x ≥1．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．10. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，且tan A =13，则AC =_____．【答案】6【解析】【分析】根据正切的定义列式计算，得到答案．【详解】解：∵ tan A =13，∴13BC AC =，即213AC =，解得，AC =6，故答案为：6．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A 的正切是解题的关键．11. 分解因式：22ab ac -=_________________________．【答案】()()a b c b c +-．【解析】【详解】试题分析：原式=22()a b c -=()()a b c b c +-，故答案为()()a b c b c +-．考点：提公因式法与公式法的综合运用．12. 若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是_____．【答案】9【解析】【详解】解：360÷40=9，即这个多边形的边数是9．故答案为：9．13. 某校初三年级在“停课不停学”期间，积极开展网上答疑活动，在某时间段共开放7个网络教室，其中4个是数学答疑教室，3个是语文答疑教室．为了解初三年级学生的答疑情况，学校教学管理人员随机进入一个网络教室，则该教室是数学答疑教室的概率为_____．【答案】47【解析】【分析】根据概率公式即可求出该教室是数学答疑教室的概率．【详解】根据题意可知：共开放7网络教室，其中4个是数学答疑教室，3个是语文答疑教室，管理人员随机进入一个网络教室，则该教室是数学答疑教室的概率为47．故答案为：47．【点睛】考查了列表法与树状图法求概率，解题关键是会列列表或树状图和掌握概率公式．14. 如图，在▱ABCD 中，延长CD 至点E ，使DE =DC ，连接BE 与AC 于点F ，则BF FE的值是_____．【答案】12【解析】【分析】在▱ABCD 中，AB ∥CD ，AB =CD ，根据DE =DC ，可得AB =CD =DE =12CE ，再由AB ∥CD ，可得△ABF ∽△CEF ，对应边成比例即可求得结论．【详解】解：在▱ABCD 中，AB ∥CD ，AB =CD ，∵DE =DC ，∴AB =CD =DE =12CE ，∵AB ∥CD ，∴△ABF ∽△CEF ，∴12BFAB FE CE ==．故答案为：12．【点睛】考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解题关键是掌握并运用了相似三角形的判定与性质．15. 为了丰富同学们的课余生活，某年级买了3个篮球和2个足球，共花费了474元，其中篮球的单价比足球的单价多8元，求篮球和足球的单价，如果设篮球的单价为x 元，足球的单价为y 元，依题意可列方程组为_____．【答案】324748x y x y +=ìí-=î【解析】【分析】根据“3个篮球的价钱+2个足球的价钱=474和篮球单价﹣足球的单价=8元”可列方程组．【详解】设篮球的单价为x 元，足球的单价为y 元，根据题意可列方程组为324748x y x y +=ìí-=î，故答案为：324748x y x y +=ìí-=î．【点睛】考查了实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，再设未知数，列出方程组．16. 如果四边形有一组对边平行，且另一组对边不平行，那么称这样的四边形为梯形，若梯形中有一个角是直角，则称其为直角梯形．下面四个结论中：①存在无数个直角梯形，其四个顶点分别在同一个正方形的四条边上；②存在无数个直角梯形，其四个顶点在同一条抛物线上；③存在无数个直角梯形，其四个顶点在同一个反比例函数的图象上；④至少存在一个直角梯形，其四个顶点在同一个圆上．所有正确结论的序号是_____．【答案】①②③【解析】【分析】根据直角梯形的性质，画出图形利用图象法一一判断即可．【详解】①如图1中，点P 是正方形ABCD 的边AD 上的任意一点，则四边形ABCP 是直角梯形，这样的直角梯形有无数个，故①正确．②如图2中，四边形ABCO 样的直角梯形有无数个，故②正确．③如图3中，四边形ABCD 是直角梯形，这样的直角梯形有无数个，故③正确．④直角梯形的四个顶点，不可能在同一个圆上，故④错误，故答案为：①②③．【点睛】考查了直角梯形的定义，二次函数的性质，反比例函数的性质，四点共圆等知识，解题关键是理解题意，学会利用图象法解决问题．三．解答题17. 计算：()02122sin 30-+-°+．【答案】【解析】【分析】利用二次根式的性质和特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，再相加减即可．【详解】原式2×12﹣【点睛】考查了实数的运算，解题关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．18. 解不等式组：()3121212x x x x ì-<ïí-+>ïî．【答案】﹣1＜x ＜3【解析】【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．【详解】()3121212x x x x ì-<ïí-+>ïî①②，由①得：x ＜3，由②得：x ＞﹣1，所以不等式组的解集为﹣1＜x ＜3．【点睛】考查了求不等式组的解集，解题关键是熟练掌握求公共部分的方法：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．19. 如图，已知等边三角形ABC ，延长BA 至点D ，延长AC 至点E ，使AD =CE ，连接CD ，BE ．求证：△ACD ≌△CBE ．【答案】见解析【解析】【分析】根据等边三角形的性质求得AC =BC ，∠DAC =∠BCE ，再根据SAS 证明△ACD ≌△CBE ．【详解】证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AC =BC ，∠CAB =∠ACB =60°，∴∠DAC =∠BCE =120°，在△ACD 和△CBE 中AC BC DAC BCEAD CE =ìïÐ=Ðíï=î，∵AD =CE ，∴△ACD ≌△CBE （SAS ）．角形的判定定理．20. 已知关于x 的一元二次方程x 22﹣x +2m 1=0﹣．（1）当m =1﹣时，求此方程的根；（2）若此方程有两个实数根，求m 的取值范围．【答案】（1）x =﹣1或x =3；（2）m ≤1【解析】【分析】（1）将m =1﹣代入方程，再利用因式分解法求解可得；（2）根据方程有两个实数根得出△=b 24﹣ac ≥0，据此列出关于m 的不等式求解可得．【详解】解：（1）将m =1﹣代入方程，得：x 22﹣x 3=0﹣，∵（x +1）（x 3﹣）=0，∴x +1=0或x 3=0﹣，解得x =1﹣或x =3；（2）∵方程有两个实数根，∴△=（﹣2）24×1×﹣（2m 1﹣）≥0，解得m ≤1．【点睛】本题考查了解一元二次方程和根的判别式，熟悉相关性质是解题的关键．21. 如图，在▱ABCD 中，∠ABC =60°，∠BAD 的平分线交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ，连接DF ．（1）求证：△ABF 是等边三角形；（2）若∠CDF =45°，CF =2，求AB 的长度．【答案】（1）见解析；（2）31【解析】【分析】（1）根据在▱ABCD 中，∠ABC =60°，可以得到∠DAB 的度数，然后根据AF 平分∠DAB ，可以得到∠F AB 的度数，然后等边三角形的判定方法即可得到△ABF 是等边三角形；（2）作FG ⊥DC 于点G ，然后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可以得到CG 、FG 的长，然后即可得到DG 的长，从而可以得到DC 的长，然后即可得到AB 的长．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠DAB +∠ABC =180°，∵∠ABC=60°，∴∠DAB=120°，∵AF平分∠DAB，∴∠F AB=60°，∴∠F AB=∠ABF=60°，∴∠F AB=∠ABF=∠AFB=60°，∴△ABF是等边三角形；（2）作FG⊥DC于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=60°，∴DC∥AB，DC=AB，∴∠FCG=∠ABC=60°，∴∠GFC=30°，∵CF=2，∠FGC=90°，，∴CG=1，FG=3∵∠FDG=45°，∠FGD=90°，∴∠FDG=∠DFG=45°，，∴DG=FG∴DC=DG+CG+，1∴AB+，1即AB+．1【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22. 致敬，最美逆行者!病毒虽无情，人间有大爱，2020年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有30个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省抗击疫情，据国家卫健委的统计数据，截至3月1日，这30个省（区、市）累计派出医务人员总数多达38478人，其中派往湖北省除武汉外的其他地区的医务人员总数为7381人．a．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（数据分成6组：100≤x＜500，500≤x＜900，900≤x＜1300，1300≤x＜1700，1700≤x＜2100，2100≤x＜2500）：b．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员人数在900≤x＜1300这一组的是：919，997，1045，1068，1101，1159，1179，1194，1195，1262．根据以上信息回答问题：（1）这次支援湖北省抗疫中，全国30个省（区、市）派往武汉的医务人员总数 A．不到3万人，B．在3万人到3.5万人之间，C．超过3.5万人（2）全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员人数的中位数是 ，其中医务人员人数超过1000人的省共有 个．（3）据新华网报道，在支援湖北省的医务人员大军中，有“90后”也有“00后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．习近平总书记回信勉励北京大学援鄂医疗队全体“90后”党员中指出：“在新冠肺炎疫情防控斗争中，你们青年人同在一线英勇奋战的广大疫情防控人员一道，不畏艰险、冲锋在前、舍生忘死，澎显了青春的蓬勃力量，交出了合格答卷．”小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据：C市派出的1614名医护人员中有404人是“90后”；H市派出的338名医护人员中有103人是“90后”；B市某医院派出的148名医护人员中有83人是“90后”．小华还了解到除全国30个省（区、市）派出38478名医务人员外，军队派出了近四千名医务人员，合计约4.2万人．请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到0.1）．【答案】（1）B；（2）1021人，15；（3）90后”大约有1.2万人【解析】【分析】（1）根据题意列式计算即可得到正确的选项；（2）根据频数（率）分布直方图中的信息和中位数的定义即可得到结论；（3）根据样本估计总体，可得到“90后”大约有1.2万人．【详解】解：（1）这次支援湖北省抗疫中，全国30个省（区、市）派往武汉的医务人员总数为384787381=31097﹣（人），故选B ；（2）全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员人数的中位数是997104522101+=（人）；其中医务人员人数超过1000人的省（区、市）共有15（个）；故答案为：1021人，15；（3）4041038342000118001614338148++´»++（人），答：“90后”大约有1.2万人．【点睛】本题考查了频数（率）分布直方图，样本估计总体，熟悉相关性质是解题的关键．23. 在平面直角坐标系xOy 中，直线x =3与直线y =12x +1交于点A ，函数y =k x（k ＞0，x ＞0）的图象与直线x =3，直线y =12x +1分别交于点B ，C ．（1）求点A 的坐标．（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记函数y =k x（k ＞0，x ＞0）的图象在点B ，C 之间的部分与线段AB ，AC 围成的区域（不含边界）为W ．①当k =1时，结合函数图象，求区域W 内整点的个数；②若区域W 内恰有1个整点，直接写出k 的取值范围．【答案】（1）A（3，52）；（2）①在W区域内有1个整数点；②当区域W内恰有1个整点时，1≤k＜2或16＜k≤20【解析】【分析】（1）根据题意列方程即可得到结论；（2）①当k=1时，求得B、C的坐标，根据图象得到结论；②分两种情况根据图象即可得到结论．【详解】解：（1）直线x=3与直线y=12x+1交于点A，∴3112xy xìïïïí==+ïïïî，解得352xy=ìïí=ïî，∴A（3，52）；（2）①当k=1时，根据题意B（3，13），C（1-+，12+），由图像可得，在W区域内有1个整数点：（2，1）；②若区域W内恰有1个整点，当C点在直线x=3的左边时，如图1，在W区域内有1个整数点：（2，1），∴1≤k＜2；当C点在直线x=3的右边时，如图2，在W区域内有1个整数点：（4，4），∴16＜k≤20；综上，当区域W内恰有1个整点时，1≤k＜2或16＜k≤20【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．24. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D为BC边的中点，以AD为直径作⊙O，分别与AB，AC交于点E，F，过点E作EG⊥BC于G．（1）求证：EG是⊙O的切线；（2）若AF=6，⊙O的半径为5，求BE的长．【答案】（1）见解析；（2）8【解析】【分析】（1）先判断出EF是⊙O的直径，进而判断出OE∥BC，即可得出结论；（2）先根据勾股定理求出AE，再判断出BE=AE，即可得出结论．【详解】（1）证明：如图，连接EF，∵∠BAC=90°，∴EF是⊙O的直径，∴OA=OE，∴∠BAD=∠AEO，∵点D是Rt△ABC的斜边BC的中点，∴AD=BD，∴∠B=∠BAD，∴∠AEO=∠B，∴OE∥BC，∵EG⊥BC，∴OE⊥EG，∵点E在⊙O上，∴EG是⊙O的切线；（2）∵⊙O的半径为5，∴EF=2OE=10，在Rt△AEF中，AF=6，，根据勾股定理得，AE EF AF=-由（1）知OE∥BC，∵OA=OD，∴BE=AE=8．【点睛】此题主要考查了圆的有关性质，切线的判定，直角三角形斜边的中线是斜边的一∥是解本题的关键．半，勾股定理，能判断出EF BC25. 某校举办球赛，分为若干组，其中第一组有A，B，C，D，E五个队．这五个队要进行单循环赛，即每两个队之间要进行一场比赛，每场比赛采用三局两胜制，即三局中胜两局就获胜．每场比赛胜负双方根据比分会获得相应的积分，积分均为正整数．这五个队完成所有比赛后得到如下的积分表．根据上表回答下列问题：（1）第一组一共进行了 场比赛，A队的获胜场数x为 ；（2）当B队的总积分y=6时，上表中m处应填 ，n处应填 ；（3）写出C队总积分p的所有可能值为： ．【答案】（1）10，3；（2）0：2， 2：0；（3）9或10【解析】【分析】（1）按照5个队中每个队都要和另外4个队进行一场比赛，而A与B和B与A属于同一场比赛，列式计算或直接从表中数一下即可得比赛场数；根据表中比赛结果可直接得出A队的获胜场数x的值；（2）每场比赛的结果有四种：0：2，1：2，2：1，2：0，设以上四种得分为a，b，c，d，且a＜b＜c＜d，根据E和A的总分可得关于a，b，c，d的等式，化简即可得出a，b，c，d的值，设m对应的积分为x，根据题意得关于x的方程，解得x的值，则可得答案；（3）C队胜2场，分两种情况：当C、B的结果为2：0时；当C、B的结果为2：1时，分别计算出p的值即可．【详解】解：（1）∵()55110´-=（场），∴第一组一共进行了10场比赛；∵每场比赛采用三局两胜制，A、B的结果为2：1，A、C的结果为2：0，A、E的结果为2：0，∴A队的获胜场数x为3；故答案为：10，3；（2）由题可知：每场比赛的结果有四种：0：2，1：2，2：1，2：0，根据题意可知每种结果都会得到一个正整数积分，设以上四种得分为a，b，c，d，且a＜b ＜c＜d，根据E的总分可得：a+c+b+c=9，∴a=1，b=2，c=3，根据A的总分可得：c+d+b+d=13，∴d=4，设m对应的积分为x，当y=6时，b+x+a+b=6，即2+x+1+2=6，∴x=1，∴m处应填0：2；∴B：C=0：2，∴C：B=2：0，∴n处应填2：0；（3）∵C队胜2场，∴分两种情况：当C、B的结果为2：0时，p=1+4+3+2=10；当C、B的结果为2：1时，p=1+3+3+2=9；∴C队总积分p的所有可能值为9或10．故答案为：9或10．【点睛】本题考查了统计表在比赛积分问题中的应用，读懂表格中的数据，理清题中的数量关系是解题的关键．26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线222y x mx m m =-+-+的顶点为A（1）求抛物线的顶点坐标（用m 表示）；（2）若点A 在第一象限，且2OA =，求抛物线的解析式；（3）已知点(1,2)B m m --，(2,2)C ，若抛物线与线段BC 有公共点，结合函数图象，直接写出m 的取值范围【答案】（1）(,)m m ；（2）22y x x =-+或写为：2(1)1y x =--+；（3）2m £，或3m ³.【解析】【分析】（1）化抛物线为顶点式，即可写出顶点坐标；（2）求出点AO ，列方程求解即可；（3）考虑点C 在抛物线上时m 的值，再结合图形，分情况进行讨论．【详解】（1）∵2222()y x mx m m x m m =-+-+=--+，∴抛物线的顶点A 坐标为(,)m m .（2）点A 在第一象限，∴OA =，∵OA =∴1m =抛物线的表达式为22y x x =-+，或写为：2(1)1y x =--+（3）把22C （，）代入222y x mx m m =-+-+，得22224m m m =-+-+，解得2m =或3，结合图象可得：当2m £时，抛物线与线段BC 有公共点，当23m ＜＜时，抛物线与线段BC 无公共点，当3m ³时，抛物线与线段BC 有公共点；综上，当2m £或3m ³时，抛物线与线段BC 有公共点．【点睛】本题考查了二次函数的综合，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．27. 已知∠MON =α，A 为射线OM 上一定点，OA =5，B 为射线ON 上一动点，连接AB ，满足∠OAB ，∠OBA 均为锐角．点C 在线段OB 上（与点O ，B 不重合），满足AC =AB ，点C 关于直线OM 的对称点为D ，连接AD ，OD ．（1）依题意补全图1；（2）求∠BAD 的度数（用含α的代数式表示）；（3）若tanα=34，点P 在OA 的延长线上，满足AP =OC ，连接BP ，写出一个AB 的值，使得BP ∥OD ，并证明．【答案】（1）补全图见解析；（2）180°2α﹣；（3，理由见解析【解析】【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）首先证明∠D+∠ABO=180°，再利用四边形内角和定理解决问题即可．（3）假设PB∥OD，求出AB的值即可．【详解】解：（1）图形，如图所示．（2）CQ，D关于AO对称，\D@D，AOD AOCÐ=Ð=，D ACO\Ð=Ð，AOD AOC a=Q，AC AB\Ð=Ð，ACB ABCÐ+Ð=°Q，ACO ACB180\Ð+Ð=°，D ABC180\Ð+Ð=°，180DAB DOBÐ=Q，DOB a2DAB a\Ð=°-．1802（3）如图2中，不妨设//^于J．OD PB．作AH BC^于H，BJ OA在Rt AOH D 中，5OA =Q ，3tan 4AOH Ð=，3AH \=，4OH =，设CH BH x ==，则2BC x =，//OD BP Q ，DOA OPB \Ð=Ð，DOA AOB Ð=ÐQ ，AOB OPB \Ð=Ð，4PB OB x \==+，BJ OP ^Q ，549OP OA AP x x =+=+-=-，1(9)2OJ JP x \==-，cos OH OJ AOH OA OB Ð==Q ，\1(9)4254x x-=+，解得1x =，1BH \=，AB \【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了轴对称，等腰三角形的判定和性质，四边形内角和定理，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．28. ,A B 是圆上的两个点，点P 在⊙C 的内部．若APB Ð为直角，则称APB Ð为AB 关于⊙C 的内直角，特别地，当圆心C 在APB Ð边（含顶点）上时，称APB Ð为AB 关于⊙C 的最佳内直角．如图1，AMB Ð是AB 关于⊙C 的内直角，ANB Ð是AB 关于⊙C 的最佳内直角．在平面直角坐标系xOy 中．（1）如图2，⊙O 的半径为5，()0,5,(4,3)A B -是⊙O 上两点．①已知()()()1231,003-21P P P ，，，，，在123,,,APB AP B AP B ÐÐÐ中，是AB 关于⊙O 的内直角的是______；②若在直线2y x b =+上存在一点P ，使得APB Ð是AB 关于⊙O 的内直角，求b 的取值范围．（2）点E 是以(),0T t 圆心，4为半径的圆上一个动点，⊙T 与x 轴交于点D （点D 在点T 的右边）．现有点()()1,0,0,M N n ，对于线段MN 上每一点H ，都存在点T ，使DHE Ð是DE 关于⊙T 的最佳内请直接写出n 的最大值，以及n 取得最大值时t 的取值范围．【答案】（1）①23,AP B AP B ÐÐ，②55b -<£；（2）2，515t -+£<【解析】【分析】（1）判断点123,,P P P 是否在以AB 为直径的圆弧上即可得出答案；（2）求得直线AB 的解析式，当直线2y x b =+与弧AB 相切时为临界情况，证明OAH BAD D D :，可求出此时5b =，则答案可求出；（3）可知线段MN 上任意一点（不包含点M ）都必须在以TD 为直径的圆上，该圆的半径为2，则当点N 在该圆的最高点时，n 有最大值2，再分点H 不与点M 重合，点M 与点H 重合两种情况求出临界位置时的t 值即可得解．【详解】解：（1）如图1，点23,P P 在以AB 为直径的圆上，所以23,AP B AP B ÐÐ是AB 关于O e 的内直角。
2023年北京市海淀区中考数学一模试卷及答案解析
2023年北京市海淀区中考数学一模试卷及答
案解析
（正文部分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 题目内容
答案解析
2. 题目内容
答案解析
3. 题目内容
答案解析
...
二、填空题（每小题4分，共40分）
1. 题目内容
答案解析
2. 题目内容
答案解析
3. 题目内容
...
三、解答题（每小题10分，共50分）
1. 题目内容
解答思路及步骤
2. 题目内容
解答思路及步骤
3. 题目内容
解答思路及步骤
...
四、应用题（共30分）
1. 题目内容
解答思路及步骤
2. 题目内容
解答思路及步骤
3. 题目内容
解答思路及步骤
...
本次数学一模试卷共计150分，包括选择题、填空题、解答题和应
用题四个部分。
试卷难度适中，内容覆盖了中考数学知识的各个方面，旨在考察学生的数学运算能力、问题解决能力以及应用数学知识的能力。
希望同学们能够认真答题，按照题目要求进行解答，展现自己的
数学水平。
答案解析部分所提供的解题思路仅供参考，同学们在解答题目时应
充分发挥自己的思维能力，灵活运用所学的知识进行分析和解决。
通
过认真研究试卷中的各个题目，可以更好地理解数学的知识点，并为
今后的学习提供帮助。
祝愿同学们在中考数学科目上取得优异的成绩！
以上为2023年北京市海淀区中考数学一模试卷及答案解析，请同
学们参考。
2022年北京市海淀区中考数学一模试卷(附答案详解)
2022年北京市海淀区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.如图是一个拱形积木玩具，其主视图是()A. B.C. D.2.2022年北京打造了一届绿色环保的冬奥会．张家口赛区按照“渗、滞、蓄、净、用、排”的原则，在古杨树场馆群修建了250000立方米雨水收集池，用于收集雨水和融雪水，最大限度减少水资源浪费．将250000用科学记数法表示应为()A. 0.25×105B. 2.5×105C.2.5×104 D. 25×1043.如图，∠AOB=160°，∠COB=20°.若OD平分∠AOC，则∠AOD的大小为()A. 20°B. 70°C. 80°D. 140°4.若一个多边形的每个外角都是30°，则这个多边形的边数为()A. 6B. 8C. 10D. 125.不透明的袋子中装有2个红球，3个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是()A. 25B. 35C. 23D. 126.实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是()A. a<−1B. |a|<|b||C. a+b<0D. b−a<07.北京2022年冬奥会的开幕式上，各个国家和地区代表团入场所持的引导牌是中国结和雪花融合的造型，如图1是中国体育代表团的引导牌．观察发现，图2中的图案可以由图3中的图案经过对称、旋转等变换得到．下列关于图2和图3的说法中，不正确的是()A. 图2中的图案是轴对称图形B. 图2中的图案是中心对称图形C. 图2中的图案绕某个固定点旋转60°，可以与自身重合D. 将图3中的图案绕某个固定点连续旋转若干次，每次旋转120°，可以设计出图2中的图案8.某校举办校庆晚会，其主舞台为一圆形舞台，圆心为O.A，B是舞台边缘上两个固定位置，由线段AB及优弧AB⏜围成的区域是表演区．若在A处安装一台某种型号的灯光装置，其照亮区域如图1中阴影所示．若在B处再安装一台同种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，如图2中阴影所示．若将灯光装置改放在如图3所示的点M，N或P处，能使表演区完全照亮的方案可能是()①在M处放置2台该型号的灯光装置②在M，N处各放置1台该型号的灯光装置③在P处放置2台该型号的灯光装置A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.若代数式2有意义，则实数x的取值范围是______．x−310.已知√2<m<√11，且m是整数，请写出一个符合要求的m的值______．11.分解因式：3m2−3n2=______ ．12.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点．若∠APB=60°，则∠AOP的大小为______．13.若关于x的一元二次方程x2−4x+m=0没有实数根，则m的取值范围是______．14.在平面直角坐标系xOy中，直线y=ax与双曲线y=kx交于点A(−1,2)和点B，则点B 的坐标为______．15.如图，在4×4的正方形网格中，A，B，C，D，E是网格线交点，请画出一个△DEF，使得△DEF与△ABC全等．16.甲、乙在如下所示的表格中从左至右依次填数．已知表中第一个数字是1，甲、乙轮流从2，3，4，5，6，7，8，9中选出一个数字填入表中(表中已出现的数字不再重复使用).每次填数时，甲会选择填入后使表中数据方差最大的数字，乙会选择填入后使表中数据方差最小的数字．甲先填，请你在表中空白处填出一种符合要求的填数结果．1______ ______ ______ ______三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）17.计算：√3tan60°−√8+|−√2|−(1−π)0．四、解答题（本大题共11小题，共63.0分）18.解不等式组：{4(x−1)<3x 5x+32>x．19.已知m2−2mn−3=0.求代数式(m−n)2+(m+n)(m−n)−m2的值．20.《元史⋅天文志》中记载了元朝名天文学家郭守敬主持的一次大规模观测，称为“四海测验”、这次观测主要使用了“立杆测影”的方法，在二十七个观测点测量出的各地的“北极出地”与现在人们所说的“北线”完全吻合，利用类似的原理，我们也可以测量出所在地的纬度．如图1所示．①春分时，太阳光直射赤道，此时在M地直立一根杆子MN，在太阳光照射下，杆子MN会在地面上形成影子，通过测量杆子与它的影子的长度，可以计算出太阳光与杆子MN所成的夹角α；②由于同一时刻的太阳光线可以近似看成是平行的．所以根据太阳光与杆子MN所成的夹角α可以推算得到M地的纬度，即∠MOB的大小．(1)图2是①中在M地测算太阳光与杆子MN所成夹角α的示意图．过点M作MN的垂线与直线CD交于点Q，则线段MQ可以看成是杆子MN在地面上形成的影子．使用直尺和圆规，在图2中作出影子MQ(保留作图痕迹)；(2)依据图1完成如下证明．证明：∵AB//CD，∴∠MOB=______=α(______)(填推理的依据)∴M地的纬度为α．21.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，点E，F在射线AD上，且DE=DF．(1)求证：四边形BECF是菱形；(2)若AD=BC=6，AE=BE，求菱形BECF的面积．x的图象22.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=12平移得到，且经过点(−2,0)．(1)求这个一次函数的解析式；(2)当x>m时，对于x的每一个值，函数y=3x−4的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围．23.数学学习小组的同学共同探究体积为330mL圆柱形有盖容器(如图所示)的设计方案．他们想探究容器表面积与底面半径的关系．具体研究过程如下，请补充完整：(1)建立模型：设该容器的表面积为Scm2，底面半径为x cm，高为y cm，则330=πx2y，①S=2πx2+2πxy，②由①式得y=330，代入②式得πx2S=2πx2+660，③x可知，S是x的函数，自变量x的取值范围是x>0．(2)探究函数：根据函数解析式③，按照如表中自变量x的值计算(精确到个位)，得到了S与x的几组对应值：x/cm…1 1.52 2.53 3.54 4.55 5.56…S…666454355303277266266274289310336…/cm2在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；(3)解决问题：根据图表回答，①半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积______(填“大”或“小”)；②若容器的表面积为300cm2，容器底面半径约为______cm(精确到0.1)．24.如图，⊙O是△ABC的外按，B是⊙O的直径，点D为AC⏜的中点，⊙O的切线DE交OC的延长线于点E．(1)求证：DE//AC；(2)连接BD交AC于点P，若AC=8，cosA=4，求DE5和BP的长．25.为增进学生对营养与健康知识的了解，某校开展了两次知识问答活动，从中随机抽取了20名学生两次活动的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析．如图是这20名学生第一次活动和第二次活动成绩情况统计图．(1)①学生甲第一次成绩是85分，则该生第二次成绩是______分，他两次活动的平均成绩是______分；②学生乙第一次成绩低于80分，第二次成绩高于90分，请在图中用“〇”圈出代表乙的点；(2)为了解每位学生两次活动平均成绩的情况，A，B，C三人分别作出了每位学生两次活动平均成绩的频数分布直方图(数据分成6组：70≤x<75，75≤x<80，80≤x<85，85≤x<90，90≤x<95，95≤x≤100)：已知这三人中只有一人正确作出了统计图，则作图正确的是______；(3)假设有400名学生参加此次活动，估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数为______．26.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2−2ax(a≠0)的图象经过点A(−1,3)．(1)求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标；(2)一次函数y=2x+b的图象经过点A，点(m,y1)在一次函数y=2x+b的图象上，点(m+4,y2)在二次函数y=ax2−2ax的图象上．若y1>y2，求m的取值范围．27.在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，D为边BC上一动点，点E在边AC上，CE=CD.点D关于点B的对称点为点F，连接AD，P为AD的中点，连接PE，PF，EF．(1)如图1，当点D与点B重合时，写出线段PE与PF之间的位置关系与数量关系；(2)如图2，当点D与点B，C不重合时，判断(1)中所得的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请举出反例．在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x1,y1)，给出如下定义：当点Q(x2,y2)满足x1+x2=y1+y2时，称点Q是点P的等和点．已知点P(2,0)．(1)在Q1(0,2)，Q2(−2,−1)，Q3(1,3)中，点P的等和点有______；(2)点A在直线y=−x+4上，若点P的等和点也是点A的等和点，求点A的坐标；(3)已知点B(b,0)和线段MN，对于所有满足BC=1的点C，线段MN上总存在线段PC上每个点的等和点．若MN的最小值为5，直接写出b的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：从正面看得到的图形是下面有一半圆的图形．故选：C．从正面观察得到的图形是主视图．本题考查了简单组合体的三视图的知识，从正面看所得到的图形是主视图．2.【答案】B【解析】解：250000=2.5×105．故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值<1时，n是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】B【解析】解：∵∠AOB=160°，∠COB=20°，∴∠AOC=∠AOB−∠BOC=140°，∵OD平分∠AOC，∠AOC=70°，∴∠AOD=12故选：B．由∠AOB=160°，∠COB=20°，得∠AOC=∠AOB−∠BOC=140°，又OD平分∠AOC，∠AOC=70°．即得∠AOD=12本题考查角的和差，解题的关键是掌握角平分线的定义及角的加减．4.【答案】D【解析】解：多边形的外角的个数是360÷30=12，所以多边形的边数是12．故答案为：D．利用任何多边形的外角和是360°除以外角度数即可求出答案．本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容．5.【答案】A【解析】解：∵不透明的袋子中装有2个红球，3个黑球，共5个球，∴从袋子中随机摸出一个球是红球的概率是2，5故选A．用红球的个数除以球的总数即可．考查了概率的基本计算，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．6.【答案】B【解析】解：由数轴知：−1<a<0，1<b<2．∴a<−1，|a|<|b|，a+b>0，b−a>0，∴B符合题意．故选：B．由数轴知：−1<a<0，1<b<2，进而解决此题．本题主要考查数轴上的点表示的实数以及绝对值，熟练掌握数轴上的点表示的实数以及绝对值是解决本题的关键．7.【答案】D【解析】解：图2是中心对称图形，原式轴对称图形，图2绕对称中心性质60°可以与自身重合，故选项A，B，C正确，将图3中的图案绕某个固定点连续旋转若干次，每次旋转60°，可以设计出图2中的图案，故D错误，故选D．根据中心对称图形，轴对称图形的定义一一判断即可．本题考查作图利用旋转设计图案，中心对称图形，轴对称图形的定义等知识，解题的关键是理解题意中心对称图形，轴对称图形的定义，属于中考常考题型．8.【答案】A【解析】解：①在M处放置2台该型号的灯光装置，如图：摄像装置的视角为∠CAB，∠CBA，∵∠CAB=∠CMB，∠AMC=∠CBA，∴在M处放置2台该型号的灯光装置，能使表演区完全照亮；②在M，N处各放置1台该型号的灯光装置，如图：∵∠CMB=∠CAB，∠ANC=∠ABC，∴在M，N处各放置1台该型号的灯光装置，能使表演区完全照亮；③在P处放置2台该型号的灯光装置，如图：∵∠CPB=CAB，∴由图可知，在P处放置2台该型号的灯光装置，不能使表演区完全照亮；故选：A．由摄像装置的视角，画出图形观察可得答案．本题考查圆周角定理，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，借助图形解决问题．9.【答案】x≠3【解析】解：根据题意得x−3≠0，解得x≠3，故答案为：x≠3．根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案．本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键．10.【答案】2或3(写一个即可)【解析】解：∵1<√2<2，3<√11<4，又√2<m<√11，且m是整数，∴m=2或m=3，故答案为：2或3(写一个即可)．按要求写出一个符合条件的m的值即可．本题考查无理数大小的估算，解题的关键是能能正确估算√2、√11的近似值．11.【答案】3(m+n)(m−n)【解析】解：3m2−3n2=3(m2−n2)=3(m+n)(m−n)．故答案为：3(m+n)(m−n)．首先提取公因式3，进而利用平方差公式进行分解即可．此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练运用平方差公式是解题关键．12.【答案】60°【解析】解：∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∴OP平分∠APB，OA⊥PA，∴∠OAP=90°，∵∠APB=60°，∴∠APO=30°，∴∠AOP=90°−∠APO=60°．故答案为：60°．根据切线长定理得到OP平分∠APB，根据切线的性质得到OA⊥PA，则利用角平分线的定义得到∠APO=30°，然后利用互余计算出∠AOP的度数．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理．13.【答案】m>4【解析】【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．根据根的判别式列出不等式即可求出答案．【解答】解：由题意可知：△<0，∴16−4m<0，∴m>4故答案为m>414.【答案】(1,−2)交于点A(−1,2)和点B，【解析】解：∵直线y=ax与双曲线y=kx∵点A、B关于原点对称，∴B(1,−2)，故答案为：(1,−2)．根据双曲线的中心对称性即可求得点B的坐标．本题是正比例函数与反比例函数的交点问题，考查了反比例函数的性质，应用反比例函数的中心对称性是解题的关键．15.【答案】解：如图，△DEF为所作．【解析】利用全等三角形的判定方法画图．本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定．16.【答案】9528【解析】解：根据题意，开始数字是1，∵甲填入后数据方差最大，结合方差的公式可知，填入的数据距离平均数越远越好，∴甲填入的是9，即第2个方格填9，∵乙填入后数据方差最小，结合方差的公式可知，填入的数据越接近平均数越好，∴乙应该填入5，即第3个方格填5，∴甲需要再填入2，即第4个方格填2，此时的四位数为1，9，5，2，∴乙需要再填入8，即第4个方格填8，∴依次填入的数字是9，5，2，8，故答案为：9，5，2，8．根据开始数是1，甲填入后数据方差最大，结合方差的公式可知，填入的数据距离平均数越远越好，可以判断甲填9，乙填入后数据方差最小，结合方差的公式可知，填入的数据越接近平均数越好，可以判断乙填5，依次类推即可．本题主要考查方差的概念及应用，熟练掌握方差公式是解答此题的关键．17.【答案】解：原式=√3×√3−2√2+√2−1=3−2√2+√2−1=2−√2．【解析】代入特殊角的三角函数值，化简算术平方根，绝对值，零指数幂，然后算乘法，再算加减．本题考查实数的混合运算，理解a0=1(a≠0)，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．18.【答案】解：解不等式4(x−1)<3x，得：x<4，>x，得：x>−1，解不等式5x+32则不等式组的解集为−1<x<4．【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19.【答案】解：(m−n)2+(m+n)(m−n)−m2=m2−2mn+n2+m2−n2−m2=m2−2mn，∵m2−2mn−3=0，∴m2−2mn=3，当m2−2mn=3时，原式=3．【解析】先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，求出m2−2mn= 3，最后代入求出答案即可．本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．20.【答案】∠OND两直线平行，内错角相等【解析】(1)解：如图2中，线段MQ即为所求；(2)证明：∵AB//CD，∴∠MOB=∠OND=α(两直线平行，内错角相等)，∴M地的纬度为α．故答案为：∠OND，两直线平行，内错角相等．(1)过点M作MQ⊥MN交ND于点Q，线段MQ可即为所求；(2)利用平行线的性质求解即可．本题考查作图−应用与设计作图，平行投影等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21.【答案】(1)证明：∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，BD=CD，∵DE=DF，∴四边形BECF是菱形；(2)解：设DE=x，则AE=BE=AD−DE=6−x，∵BD=CD=12BC=3，∴BD2+DE2=BE2，∴32+x2=(6−x)2，∴x=94，∴EF=2DE=92，∴菱形BECF的面积=12×BC⋅EF=12×6×92=272．【解析】(1)根据对角线互相平分且垂直即可证明四边形AECF是菱形；(2)设DE=x，则AE=BE=AD−DE=6−x，根据勾股定理列式32+x2=(6−x)2，计算可得x的值，然后利用菱形面积等于对角线乘积的一半即可解决问题．本题考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握菱形的性质．22.【答案】解：(1)∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=12x的图象平移得到，∴k=12，又∵一次函数y=12x+b的图象经过点(−2,0)，∴−1+b=0．∴b=1，∴这个一次函数的表达式为y=12x+1；(2)解{y =12x +1y =3x −4得{x =2y =2， ∴直线y =3x −4与直线y =12x +1的交点为(2,2)，∵当x >m 时，对于x 的每一个值，函数y =3x −4的值大于一次函数y =kx +b 的值， ∴m ≥2．【解析】(1)先根据直线平移时k 的值不变得出k =1，再将点A(1,2)代入y =x +b ，求出b 的值，即可得到一次函数的解析式；(2)根据点(1,2)结合图象即可求得．本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键． 23.【答案】大 2.5【解析】解：(2)函数图象如图所示：(3)①根据图表可知，半径为2.4cm 的圆柱形容器比半径为4.4cm 的圆柱形容器表面积大，故答案为：大．②根据图表可知，x =2时，s =255；x =2.5时，s =303；并且图象是连续的， ∴当s =300cm 2，x ≈2.5cm ，故答案为：2.5．(2)根据图象上点连线即可；(3)根据图表即可求出答案．本题考查了函数图象，根据结合图象和表格信息是解题的关键．24.【答案】(1)证明：连接OD，∵DE与⊙O相切于点D，∴OD⊥DE，∵点D为AC⏜的中点，∴OD⊥AC，∴DE//AC；(2)解：连接OD与AC交于点H，连接AD，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴AB=ACcosA =845=10，∴BC=√AB2−AC2=6，∵点D为AC⏜的中点，∴AH=CH=4，OD//BC，∴OH=12BC=3，∵OD=12AB=5，∴DH=OD−OH=5−3=2，∴AD=√AH2+DH2=√42+22=2√5，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴BD=√AB2−AD2=√102−(2√5)2=4√5，∵OD//BC，∴△OPD∽△CBP，∴DPBP =ODCB，即4√5−BPBP=56，∴BP=2411√5，∵HC//DE，∴△OHC∽△ODE，∴OHOD =CHDE，即35=4DE，∴DE=203．【解析】(1)连接OD，根据切线的性质得OD⊥DE，根据垂径定理的推论得OD⊥AC，便可得AC//DE；(2)连接OD与AC交于点H，连接AD，在△ABC中，解直角三角形得AB，进而由勾股定理求得BC，再由中位线定理求得OH，在△ADH中由勾股定理求得AB，在△ABD中由勾股定理求得BD，最后由△PDO∽△PCB求得BP，由△OHC∽△ODE求得DE．本题是圆的综合题，主要考查了垂径定理的推论，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是运用相似三角形的知识解题．25.【答案】9087.5B180【解析】解：(1)①由统计图可以看出横坐标为85的直线上只有一个点，其纵坐标为90，因此这两次的平均分是(85+90)÷2=87.5，故答案为：90，87.5；②如图所示，符合题目要求的范围在直线x=80的左边，直线y=90以上，在图中圈出的就是所求．(2)由统计图可以看出，第一次成绩70≤x<75的点有6个，75≤x<80的点有2个，80≤x<85的点有2个，85≤x<90的点有2个，90≤x<95的点有5个，95≤x≤100的点有4个，第二次成绩70≤x<75的点有4个，75≤x<80的点有3个，80≤x<85的点有1个，85≤x<90的点有1个，90≤x<95的点有5个，95≤x≤100的点有6个，∴B作图正确．故答案为：B；(3)400名学生参加此次活动，估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数为：=180(人)．400×920故答案为：180．(1)①根据图象直接得到，再求平均即可；②符合题目要求的范围在直线x=80的左边，直线y=90以上，圈出即可；(2)根据统计图数出落在各区间的频数，再与在直方图上表示的数对照即可求解；(3)用总人数乘以抽样中两次活动平均成绩不低于90分的占比即可．本题考查了看图知识，求平均数，频数分布直方图，解题的关键是掌握频数分布直方图知识．26.【答案】解：(1)将点A(−1,3)代入y=ax2−2ax得：a+2a=3，解得：a=1，∴y=x2−2x=(x−1)2−1，∴图象顶点的坐标为(1,−1)；(2)∵一次函数y=2x+b的图象经过点A，∴−2+b=3，∴b=5，∴y=2x+5，∵点(m,y1)在一次函数y=2x+5的图象上，∴y1=2m+5，∵点(m+4,y2)在二次函数y=x2−2x的图象上，∴y2=(m+4)2−2(m+4)=m2+6m+8，∵y1>y2，∴2m+5>m2+6m+8，即m2+4m+3<0，令y=m2+4m+3，当y=0时，m2+4m+3=0，解得：x1=−1，x2=−3，∴抛物线与x轴交点为(−1,0)和(−3,0)，∵抛物线开口项上，∴m2+4m+3<0的解为：−3<m<−1，∴m的取值范围是−3<m<−1．【解析】(1)把点A(−1,3)代入y=ax2−2ax得出关于a的方程，解方程求出a的值，进而求出二次函数的解析式，将二次函数的解析式化为顶点式，即可求出顶点坐标；(2)先求出一次函数的解析式，把点(m,y1)代入一次函数解析式得出y1=2m+5，把点(m+4,y2)代入二次函数解析式得出y2=m2+6m+8，再由y1>y2得出2m+5>m2+6m+8，即m2+4m+3<0，利用二次函数的性质求出不等式的解集，即可得出m的取值范围．本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，掌握待定系数法，利用二次函数的性质求一元二次不等式的解集是解决问题的关键．27.【答案】解：(1)PE⊥PF，PEPF =√33.理由如下：由题意知，D，B，F三点重合，∴CD=BC，PF=PD=PB，∵∠ABC=90°，∠BAC=30°，∴∠ACB=60°，BC=12AC，∵CE=CD，∴CE=CD=BC=12AC，∴点E为线段AC的中点，∵点P是AD的中点，∴PE是△ADC的中位线，∴PE⊥PF，PE=12CD=12BC，∴PF=12AB=√32BC，∴，PEPF =12BC√32BC=√33．(2)PE⊥PF，PEPF =√33的关系仍成立．证明：如图，连接DE，作PM⊥⊥BC于M，PG//x轴，过E作GN⊥BC交BC于N，交PG于G，由题意可知，PM是△ABD的中位线，BD=FB，△CDE是等边三角形，四边形PMNG是矩形，设DC=c，FD=BD=b，∴BC=BD+DC=b+c，AB=√3(b+c)，PM=√32(b+c)，BM=b2，FM=32b，DN=1 2DC=12c，EN=√32c，GE=PM−EN=√32b，PG=MN=12(b+c)，FN=FB+BD+DN=2b+12c，在Rt△PFM中，由勾股定理得PF2=FM2+PM2=(32b)2+[√32(b+c)]2=94b2+34(b+c)2，在Rt△PEG中，由勾股定理得PE2=GE2+PG2=(√32b)2+[12(b+c)]2=34b2+14(b+c)2，在Rt△EFN中，由勾股定理得EF2=EN2+FN2=(√32c)2+[2b+12c)]2=3b2+(b+c)2，∴PE2PF2=34b2+14(b+c)294b2+34(b+c)2=13，∴PEPF =√33，∵PE2+PF2=34b2+14(b+c)2+94b2+34(b+c)2=3b2+(b+c)2=EF2，∴∠EPF=90°．【解析】(1)由题意知D，B，F三点重合，则CD=BC，PF=PD=PB，含30°的直角三角形中BC=12AC，由CE=CD，可知CE=CD=BC=12AC，PE是△ADC的中位线，有PE⊥PF，PE=12CD=12BC，PF=12AB=√32BC，然后求出比值即可；(2)如图2，连接DE，作PM⊥BC于M，PG//x轴，过E作GN⊥BC交BC于N，交PG于G，由题意知，PM是△ABD的中位线，BD=FB，△CDE是等边三角形，四边形PMNG是矩形，设DC=c，FD=BD=b，则BC=BD+DC=b+c，AB=√3(b+c)，PM=√3 2(b+c)，BM=b2，FM=32b，DN=12DC=12c，EN=√32c，GE=PM−EN=√32b，PG=MN=12(b+c)，FN=FB+BD+DN=2b+12c，在Rt△PFM中，由勾股定理得PF2=FM2+PM2，求出用a，b表示的PF2的值，在Rt△PEG中，由勾股定理得PE2= GE2+PG2，求出用a，b表示的PE2的值，在Rt△EFN中，由勾股定理得EF2=EN2+FN2，求出用a.，b表示的EF2的值，求出可得PE2PF2的值，进而可得PEPF的值，根据PE2+PF2与EF2的数量关系判断PE与PF的位置关系即可．本题属于三角形综合题，涉及勾股定理，中位线定理，等边三角形的性质与判定，含30°角的直角三角形等知识．计算比较复杂，作出正确的辅助线是解题关键．28.【答案】Q1，Q3【解析】解：(1)Q1(0,2)，则2+0=0+2，∴Q1(0,2)是点P的等和点；Q2(−2,−1)，则2+(−2)≠0+(−1)，∴Q2(−2,−1)不是点P的等和点；Q3(1,3)，则2+1=0+3，∴Q3(1,3)是点P的等和点；故答案为：Q1，Q3；(2)设点P(2,0)的等和点为(m,n)，∴2+m=n，设A(t,−t+4)，则A点的等和点为(m,n)，∴t+m=−t+4+n，∴t=3，∴A(3,1)；(3)∵B(b,0)，BC=1，∴C点在以B为圆心，半径为1的圆上，∵线段MN上总存在线段PC上每个点的等和点，∴线段MN上的点与线段PC上的点相对应，∵MN的最小值为5，∴PC的最小值为5，当P点在B点的左侧时，b−2−1≥5，∴b≥8；当P点在B点的右侧时，2−b−1≥5，∴b≤−4；综上所述：b≥8或b≤−4．(1)根据定义判断即可；(2)设点P(2,0)的等和点为(m,n)，则2+m=n，设A(t,−t+4)，则A点的等和点为(m,n)，则t+m=−t+4+n，即可求A(3,1)；(3)由题意可知C点在以B为圆心，半径为1的圆上，PC的最小值为5，当P点在B点的左侧时，b−2−1≥5，b≥8；当P点在B点的右侧时，2−b−1≥5，b≤−4．本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数的图象及性质，理解新定义，将所求问题与圆相结合是解题的关键．。
北京市海淀区2024届高三下学期期中练习(一模)数学试题(解析版)
海淀区2023—2024学年第二学期期中练习高三数学本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集{|22}U x x =-≤≤，集合{}12A x x =-≤<，则U A =ð（）A.(2,1)--B.[2,1]--C.(2,1){2}-- D.[2,1){2}-- 【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用补集的定义求解即得.【详解】全集{|22}U x x =-≤≤，集合{}12A x x =-≤<，所以[2,1){2}U A =-- ð.故选：D2.若复数z 满足i 1i z =+，则z 的共轭复数是()A.1i --B.1i +C.1i -+D.1i-【答案】B 【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算求出复数z 即可求解结果．【详解】解：复数z 满足i 1i z =+，所以()21i 1i 1i1i i i i 1z ++-+====--．所以z 的共轭复数是1i +．故选：B ．3.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若122a a =，公差0,0m d S ≠=，则m 的值为（）A.4B.5C.6D.7【答案】B 【解析】【分析】利用等差数列的通项公式求出1a 和d 的关系，代入0m S =计算可得m 的值.【详解】由已知()12122a a a d ==+，得12a d =-，又()()1112022m m m m m S ma d md d --=+=-+=，又0d ≠，所以()1202m m m --+=，解得5m =或0m =（舍去）故选：B.4.已知向量,a b 满足||2,(2,0)a b ==，且||2a b += ，则,a b 〈〉= （）A.π6B.π3C.2π3 D.5π6【答案】C 【解析】【分析】将||2a b +=两边同时平方，将条件带入计算即可.【详解】由已知||2,2a b ==，所以()22224222cos ,44a b a b a b a b +=+⋅+=+⨯⨯⨯〈〉+=r r r r r r r r，得1cos ,2a b 〈〉=- ，又[],0,πa b 〈〉∈ ，所以2π,3a b 〈〉= .故选：C.5.若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的一点到焦点(的距离比到焦点的距离大b ，则该双曲线的方程为（）A.2214x y -= B.2212x y -= C.2212y x -= D.2214y x -=【答案】D 【解析】【分析】根据题意及双曲线的定义可知2a b =，c =，再结合222+=a b c ，求出,a b ，即可求出结果.【详解】由题知c =，根据题意，由双曲线的定义知2a b =，又222+=a b c ，所以255a =，得到221,4a b ==，所以双曲线的方程为2214y x -=，故选：D.6.设,αβ是两个不同的平面，,l m 是两条直线，且,m l αα⊂⊥.则“l β⊥”是“//m β”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】通过面面平行的性质判断充分性，通过列举例子判断必要性.【详解】l β⊥，且l α⊥，所以//αβ，又m α⊂，所以//m β，充分性满足，如图：满足//m β，,m l αα⊂⊥，但l β⊥不成立，故必要性不满足，所以“l β⊥”是“//m β”的充分而不必要条件.故选：A .7.已知()()3,0lg 1,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，函数()f x 的零点个数为m ，过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的条数为n ，则,m n 的值分别为（）A.1,1B.1,2C.2,1D.2,2【答案】B 【解析】【分析】借助分段函数性质计算可得m ，借助导数的几何意义及零点的存在性定理可得n .【详解】令()0f x =，即0x ≤时，30x =，解得0x =，0x >时，()lg 10x +=，无解，故1m =，设过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的切点为()00,x y ，当0x <时，()23f x x '=，则有()320003y x x x x -=-，有()3200023x x x -=-，整理可得301x =-，即01x =-，即当00x <时，有一条切线，当0x >时，()lg e1f x x '=+，则有()()000lg 1e lg 1y x x x x -=-++，有()()000l 2g elg 11x x x -+=-+，整理可得()()()000221lg 10lg e x x x ++-++=，令()()()()()2l 0g 2l 1e 1g g x x x x x =++-++>，则()()2lg 1g x x '=-+，令()0g x '=，可得99x =，故当()0,99x ∈时，()0g x '>，即()g x 在()0,99上单调递增，当()99,x ∈+∞时，()0g x '<，即()g x 在()99,∞+上单调递减，由()()992lg e 99220099lg e 0g =+⨯+-=>，()02020g =-=>，故()g x 在()0,99x ∈上没有零点，又()()9992lg e 999210003999lg e 10000g =+⨯+-⨯=-<，故()g x 在()99,999上必有唯一零点，即当00x >时，亦可有一条切线符合要求，故2n =.故选：B.8.在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边在第三象限.则（）A.sin cos tan ααα-≤B.sin cos tan ααα-≥C.sin cos tan ααα⋅<D.sin cos tan ααα⋅>【答案】C 【解析】【分析】对A 、B ：举出反例即可得；对C 、D ：借助三角函数的商数关系及其值域计算即可得.【详解】由题意可得sin 0α<、cos 0α<，tan 0α>，对A ：当sin 0α-→时，cos 1α→-，则sin cos 1αα-→，tan 0α→，此时sin cos tan ααα->，故A 错误；对B ：当5π4α=时，1sin cos sinc 5π5π5π0tan 44os 4αα-=-=<=，故B 错误；对C 、D ：22sin sin cos cos cos tan cos ααααααα⋅=⋅=⋅，由1cos 0α-<<，故()2cos 0,1α∈，则2cos tan tan ααα⋅<，即sin cos tan ααα⋅<，故C 正确，D 错误.故选：C.9.函数()f x 是定义在(4,4)-上的偶函数，其图象如图所示，(3)0f =.设()f x '是()f x 的导函数，则关于x 的不等式(1)()0f x f x '+⋅≥的解集是（）A.[0,2]B.[3,0][3,4)-C.(5,0][2,4)-D.(4,0][2,3)- 【答案】D 【解析】【分析】借助函数图象与导数的关系计算即可得.【详解】由(3)0f =，且()f x 为偶函数，故(3)0f -=，由导数性质结合图象可得当()4,0x ∈-时，()0f x '<，当()0,4x ∈时，()0f x '>，当0x =时，即()00f '=，则由(1)()0f x f x '+⋅≥，有41444x x -<+<⎧⎨-<<⎩，解得43x -<<，亦可得()()100f x f x ⎧+>>'⎪⎨⎪⎩，或()()100f x f x ⎧+<<'⎪⎨⎪⎩，或()10f x +=，或()0f x '=，由()()100f x f x ⎧+>>'⎪⎨⎪⎩可得41304x x -<+<-⎧⎨<<⎩或31404x x <+<⎧⎨<<⎩，即23x <<，由()()100f x f x ⎧+<<'⎪⎨⎪⎩可得31340x x -<+<⎧⎨-<<⎩，即40x -<<，由()10f x +=，可得13x +=±，即2x =或4x =-（舍去，不在定义域内），由()0f x '=，可得0x =，综上所述，关于x 的不等式(1)()0f x f x '+⋅≥的解集为(4,0][2,3)- .故选：D.10.某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为60︒），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O 开始，沿直线繁殖到11A ，然后分叉向21A 与22A 方向继续繁殖，其中21112260A A A ∠=︒，且1121A A 与1122A A 关于11OA 所在直线对称，112111221112A A A A OA ==….若114cm OA =，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r （*N r ∈，单位：cm ）至少为（）A.6B.7C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】根据黏菌的繁殖规律可得每次繁殖在11OA 方向上前进的距离，结合无穷等比递缩数列的和的计算公式，即可判断答案.【详解】由题意可知，114cm OA =，只要计算出黏菌沿直线一直繁殖下去，在11OA 方向上的距离的范围，即可确定培养皿的半径的范围，依题意可知黏菌的繁殖规律，由此可得每次繁殖在11OA 方向上前进的距离依次为：1114,2,222482⨯⨯⨯ ，则31353842155722244+⨯++⨯=+>+=，黏菌无限繁殖下去，每次繁殖在11OA 方向上前进的距离和即为两个无穷等比递缩数列的和，即1311432164316841+281142282331144++⎛⎫⎛⎫++++++≈+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--，综合可得培养皿的半径r （*N r ∈，单位：cm ）至少为8cm ，故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查了数列的应用问题，背景比较新颖，解答的关键是理解题意，能明确黏菌的繁殖规律，从而求出每次繁殖在11OA 方向上前进的距离的和，结合等比数列求和即可.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知ln 2ab=，则22ln ln a b -=_______.【答案】4【解析】【分析】直接利于对数的运算性质求解.【详解】因为ln2ab=，所以22222ln ln ln ln 2ln 4a a a a b b b b ⎛⎫-==== ⎪⎝⎭.故答案为：4.12.已知22:(1)3C x y -+= ，线段AB 是过点(2,1)的弦，则AB 的最小值为_______.【答案】2【解析】【分析】借助直径与弦AB 垂直时，AB 有最小，计算即可得.【详解】由22(21)123-+=<，故点(2,1)在圆的内部，且该圆圆心为()1,0设圆心到直线AB 的距离为d ，由垂径定理可得2222AB r d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即AB =，故当d 取最大值时，AB 有最小值，又max d ==故2AB =≥=.故答案为：2.13.若443243210(2)x a x a x a x a x a -=++++，则0a =_______；13024a a a a a +=++_______.【答案】①.16②.4041-【解析】【分析】借助赋值法，分别令0x =、1x =、=1x -计算即可得.【详解】令0x =，可得40(02)a -=，即40216a ==，令1x =，可得443210(12)a a a a a -=++++，即()44321011a a a a a ++++=-=，令=1x -，可得443210(12)a a a a a --=-+-+，即()443210381a a a a a -+-+=-=，则()()()4321043210420218182a a a a a a a a a a a a a +++++-+-+=++=+=，即42082412a a a ++==，则()42103114140a a a a a =-++==-+-，故130244041a a a a a +=-++.故答案为：16；4041-.14.已知函数π()sin sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则5π4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_________；函数()f x 的图象的一个对称中心的坐标为_______.【答案】①.1-②.π(,0)4-（答案不唯一）【解析】【分析】根据函数表达式，代入即可求出5π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的函数值，根据条件，先求出使()0f x =的一个取值π4x =-，再证明π(,0)4-是()f x 的一个对称中心即可.【详解】因为π()sin sin 24f x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以55ππππsin()sin(214444f ⎛⎫=+⨯=- ⎪⎝⎭，因为()f x 定义域为R ，当π4x =-时，ππππ()sin sin()04442f ⎛⎫-=-+-= ⎪⎝⎭，下证π(,0)4-是()f x 的一个对称中心，在π()sin sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭上任取点()00,P x y ，其关于π(,0)4-对称的点为00π(,)2P x y '---，又00000000ππππππ()sin sin 2()sin()sin(π2)sin()sin(2)224244f x x x x x x x y ⎛⎫--=--+--=----=-+=- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的图象的一个对称中心的坐标为π(,0)4-，故答案为：1-；π(,0)4-（答案不唯一）15.已知函数()f x =①函数()f x 是奇函数；②R k ∀∈，且0k ≠，关于x 的方程0()f x kx -=恰有两个不相等的实数根；③已知P 是曲线()y f x =上任意一点，1,02A ⎛⎫-⎪⎝⎭，则12AP ≥；④设()11,M x y 为曲线()y f x =上一点，()22,N x y 为曲线()y f x =-上一点.若121x x +=，则1MN ≥.其中所有正确结论的序号是_________.【答案】②③④【解析】【分析】对①：计算定义域即可得；对②：对0k >与0k <分类讨论，结合二次函数求根公式计算即可得；对③：借助两点间的距离公式与导数求取最值计算即可得；对④：结合函数性质与③中所得结论即可得.【详解】对①：令30x x -≥，即有()()110x x x +-≥，即[][]1,01,x ∞∈-⋃+，故函数()f x 不是奇函数，故①错误；对②：0()f x kx kx -=-=kx =，当0x =00-=，故0是该方程的一个根；当0x ≠，0k >kx =，故0x >，结合定义域可得[]1,x ∞∈+，有322x x k x -=，即()2210x x k x --=，令2210x k x --=，440k ∆=+>，有242k x +=或242k x -=（负值舍去），则20122k x ++=>=，故2210x k x --=必有一个大于1的正根，即0()f x kx -=必有一个大于1的正根；当0x ≠，0k <kx =，故0x <，结合定义域有[)1,0∈-x ，有322x x k x -=，即()2210x x k x --=，令2210x k x --=，440k ∆=+>，有242k x =或242k x +=（正值舍去），令244k t +=>，即24k t =-，则22211711744242412222k t x ⎫⎛⎫---⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭===>=-，即212k x =>-，故2210x k x --=在定义域内亦必有一根，综上所述，R k ∀∈，且0k ≠，关于x 的方程0()f x kx -=恰有两个不相等的实数根，故②正确；对③：令(),P x y，则有y =222321124AP x x x ⎛⎫=++=++⎪⎝⎭，令()3214g x x x =++，[][]1,01,x ∞∈-⋃+，()()23232g x x x x x =='++，当()21,1,3x ∞⎛⎫∈--⋃+ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，当2,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，故()g x 在21,3⎛⎫--⎪⎝⎭、()1,∞+上单调递增，在2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，又()1111144g -=-++=，()110044g =+=，故()14g x ≥恒成立，即214AP ≥，故12AP ≥，故③正确；对④：当12x x =时，由[][]1,01,x ∞∈-⋃+，121x x +=，故1212x x ==-，此时，124y y =-==，则12MN =≥，当12x x ≠时，由()y f x =与()y f x =-关于x 轴对称，不妨设12x x <，则有1210x x -≤<≤或121012x x -≤≤<≤≤，当121012x x -≤≤<≤≤时，由2121x x x -≥≥，有121MN x x =≥-≥，故成立；当1210x x -≤<≤时，即有211x x =-，由③知，点M 与点N 在圆2211:24A x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭上或圆外，设点()1,M x m '与点()2,N x n '在圆上且位于x 轴两侧，则1M N ''=,故1MN M N ''≥=；综上所述，1MN ≥恒成立，故④正确.故答案为：②③④.【点睛】关键点点睛：结论④中的关键点在于借助结论③，结合函数的对称性，从而得到当1x 、2x 都小于零时，MN 的情况.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在ABC 中，sin cos 2b C B c =.（1）求B ∠；（2）若4a b c =+=，求ABC 的面积.【答案】（1）π6（2【解析】【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角得到sin 2B B +=，再利用辅助角公式及特殊角的三角函数值，即可求出结果；（2）根据（1）中π6B =及条件，由余弦定理得到22126c b c +-=，再结合4b c +=，即可求出2c =，再利用三角形面积公式，即可求出结果.【小问1详解】因为sin cos 2b C B c =，由正弦定理可得sin sin cos 2sin B C C B C =，又(0,π)C ∈，所以sin 0C ≠，得到sin 2B B +=，即π2sin(23B +=，所以πsin()13B +=，又因为(0,π)B ∈，所以2ππ3B +=，得到π6B =.【小问2详解】由（1）知π6B =，所以2223cos 22a cb B ac +-==，又a =，得到22126c b c +-=①，又4b c +=，得到4b c =-代入①式，得到2c =，所以ABC 的面积为11πsin 2sin 226ABC S ac B ==⨯⨯= .17.如图，在四棱锥P ABCD -中，,AD BC M //为BP 的中点，//AM 平面CDP .（1）求证：2BC AD =；（2）若,1PA AB AB AP AD CD ⊥====，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使四棱锥P ABCD -存在且唯一确定.（i ）求证：PA ⊥平面ABCD ；（ⅱ）设平面CDP ⋂平面BAP l =，求二面角C l B --的余弦值.条件①：BP DP =；条件②：AB PC ⊥；条件③：CBM CPM ∠=∠.注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）证明见解析（2）（i ）证明见解析；（ⅱ）77【解析】【分析】（1）借助线面平行的性质定理与中位线的性质即可得；（2）（i ）借助线面垂直的判定定理即可得；（ⅱ）结合所给条件建立适当的空间直角坐标系后借助空间向量计算即可得.【小问1详解】取PC 的中点N ，连接,MN ND ，因为M 为BP 的中点，所以1,//2MN BC MN BC =，因为//AD BC ，所以//AD MN ，所以,,,M N D A 四点共面，因为//AM 平面CDP ，平面MNDA 平面CDP DN =，AM ⊂平面MNDA ，所以//AM DN ，所以四边形AMND 为平行四边形，所以MN AD =，所以2BC AD =；【小问2详解】（i ）取BC 的中点E ，连接,AE AC ，由（1）知2BC AD =，所以EC AD =，因为//EC AD ，所以四边形AECD 是平行四边形，所以1,EC AD AE CD ===，因为1AB CD ==，所以112AE BC ==，所以90BAC ∠= ，即AB AC ⊥，选条件①：BP DP =，因为1,AB AD PA PA ===，所以PAB 与PAD 全等，所以PAB PAD ∠=∠，因为AB PA ⊥，所以90PAB ∠=o ，所以90PAD ∠= ，即AP AD ⊥，又因为AB AC A ⋂=，AB 、AC ⊂平面ABCD ，所以AP ⊥平面ABCD ；（ⅱ）由（i ）知AP ⊥平面ABCD ，而AC ⊂平面ABCD ，所以AP AC ⊥，因为,1PA AB AP ⊥=，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，则()()10,0,1,0,,,22P C D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()1313,,0,,,12222CD PD AC ⎛⎫⎛⎫=--=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，设平面PDC 的法向量为(),,n x y z = ,则0n CD n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即102213022x y x y z ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩，令x =，则1,y z =-=，于是1,n =-，因为AC 为平面PAB 的法向量,且7cos ,7AC n AC n AC n ⋅===-⋅,所以二面角C l B --的余弦值为77.选条件③：CBM CPM ∠=∠，(i)因为CBM CPM ∠=∠，所以CB CP =，因为1,AB AP CA CA ===，所以ABC 与APC △全等，所以90∠=∠= PAC BAC ，即PA AC ⊥，因为PA AB ⊥，又因为AB AC A ⋂=，AB 、AC ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥平面ABCD ；(ii)同选条件①.不可选条件②，理由如下：由（i ）可得AB AC ⊥，又PA AB ⊥，PA AC A = ，PA 、AC ⊂平面PAC ，所以AB ⊥平面PAC ，又因为PC ⊂平面PAC ，所以AB PC ⊥，即AB PC ⊥是由已知条件可推出的条件，故不可选条件②.18.某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分.现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表：科普测试成绩x科普过程性积分人数90100x ≤≤4108090x ≤<3a 7080x ≤<2b 6070x ≤<123060x ≤<02（1）当35a =时，（i ）从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率；（ⅱ）从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X 为这2名学生的科普过程性积分之和，估计X 的数学期望()E X ；（2）从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为1Y ，上述100名学生科普测试成绩的平均值记为2Y .若根据表中信息能推断12Y Y ≤恒成立，直接写出a 的最小值.【答案】（1）（i ）0.45；（ⅱ）589；（2）7.【解析】【分析】（1）（i ）求出科普过程性积分不少于3分的学生数，再求出频率，并用频率估计概率即得；（ⅱ）求出X 的所有可能值，由（i ）的结论结合独立重复试验的概率问题求出各个取值的概率，再求出期望即得.（2）求出1Y 的最大值，再求出100名学生科普测试成绩的平均值2Y 的最小值，由题设信息列出不等式求解即得.【小问1详解】当35a =时，（i ）由表知，科普过程性积分不少于3分的学生人数为103545+=，则从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的频率为450.45100=，所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率估计为0.45.（ⅱ）依题意，从样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的频率为35735109=+，所以从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的概率估计为79，同理，从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为4分的概率估计为29，X 的所有可能值为6，7，8，7749(6)9981P X ==⨯=，7228(7)29981P X ==⨯⨯=，224(8)9981P X ==⨯=，所以X 的数学期望4928458()6788181819E X =⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】由表知，10232100a b ++++=，则65b a =-，从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为1Y ，则1Y 的最大值为69，100名学生科普测试成绩的平均值记为2Y ，要12Y Y ≤恒成立，当且仅当2min ()69Y ≥，显然2Y 的最小值为各分数段取最小值求得的平均分，因此2min 1683()108070(65)602302]10010a Y a a +=⨯++-+⨯+⨯=，则6836910a+≥，解得7a ≥，所以根据表中信息能推断12Y Y ≤恒成立的a 的最小值是7.19.已知椭圆22:G x my m +=的离心率为12,,2A A 分别是G 的左、右顶点，F 是G 的右焦点.（1）求m 的值及点F 的坐标；（2）设P 是椭圆G 上异于顶点的动点，点Q 在直线2x =上，且PF FQ ⊥，直线PQ 与x 轴交于点M .比较2MP 与12MA MA ⋅的大小.【答案】（1）2m =，()1,0F （2）122MA A MP M <⋅【解析】【分析】（1）借助离心率计算即可得；（2）设()00,P x y ，表示出M 与Q 点坐标后，可得2MP 、12MA MA ⋅，借助作差法计算即可得.【小问1详解】由22:G x my m +=，即22:1x G y m+=，由题意可得1m >，故2=，解得2m =，故22:12x G y +=1=，故()1,0F ；【小问2详解】设()00,P x y ，00,0x y ≠，0x <<，有220012x y +=，由PF FQ ⊥，则有()()001210Q x y y -⋅-+⋅=，即01Q x y y -=，由0PQ k ≠，故有0002Q My y y x x x -=--，即有()()()2000000000200000022211M Q y x y x y x x x x x x y y x y y y ---=-=-=------()200320000022000012222422x x x x x x x x x x x ⎛⎫-- ⎪--+⎝⎭=-=---()()32320000002200000002222242222x x x x x x x x x x x x x ----+=-==---，由22:12x G y +=可得()1A、)2A ，则22222222000000022200002444441322x x MP x y x y x x x x x ⎛⎫=-+=-++=-++-=-+ ⎪⎝⎭，1220002242MA MA x x x ⎛⋅==- ⎝，则222001222004432122x x MP MA MA x x -⋅=-+-+=-，由0x <<，故20102x -<，即212MP MA MA <⋅.20.已知函数12()ea x f x x -=.（1）求()f x 的单调区间；（2）若函数2()()e ,(0,)g x f x a x -=+∈+∞存在最大值，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的增区间为(),2∞-，减区间为(2,)+∞（2）1a ≥-【解析】【分析】（1）对函数求导，得到121(1))e 2(a x f x x -=-'，再求出()0f x '>和()0f x '<对应的x 取值，即可求出结果；（2）令2()()e h x f x a -=+，对()h x 求导，利用导数与函数单调性间的关系，求出()h x 的单调区间，进而得出()h x 在(0,)+∞上取值范围，从而将问题转化成1222ee e a a a ---+≥成立，构造函数12()e e x m x x --=+，再利用()m x 的单调性，即可求出结果.【小问1详解】易知定义域为R ，因为12()ea x f x x -=，所以11122211(1)()e2e e 2a x a x a x x x x f ----=-'=，由()0f x '=，得到2x =，当2x <时，()0f x '>，当2x >时，()0f x '<，所以，函数()f x 的单调递增区间为(),2∞-，单调递减区间为()2,∞+.【小问2详解】令2()()e h x f x a -=+，则()()h x f x ''=，由（1）知，函数()f x 的单调递增区间为(),2∞-，单调递减区间为()2,∞+，所以()h x 在2x =时取得最大值12(2)2e e a h a --=+，所以当2x >时，1222()e e e (0)a x h x x a a h ---=+>=，当02x <<时，()(0)h x h >，即当,()0x ∈+∞时，(]()(0),(2)h x h h ∈，所以函数122()ee a x g x x a --=+在(0,)+∞存在最大值的充要条件是1222e e e a a a ---+≥，即122122e e e e +e 02a a a a a -----++=≥，令12()e e x m x x --=+，则12()e e 0x m x --'=+>恒成立，所以12()e e x m x x --=+是增函数，又因为22(1)e e 0m ---=-=，所以12()e e 0a m a a --=+≥的充要条件是1a ≥-，所以a 的取值范围为[)1,-+∞.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，构造函数122()e e a x h x x a --=+，利用函数单调性得到,()0x ∈+∞时，(]()(0),(2)h x h h ∈，从而将问题转化成1222e e e a a a ---+≥，构造函数12()e e x m x x --=+，再利用()m x 的单调性来解决问题.21.已知：()2*12:,,,2,m Q a a a m m ≥∈N为有穷正整数数列，其最大项的值为m ，且当0,1,,1k m =- 时，均有(1)km i km j a a i j m ++≠≤<≤.设00b =，对于{0,1,,1}t m ∈- ，定义{}1min ,t t n b n n b a t +=>>，其中，min M 表示数集M 中最小的数.（1）若:3,1,2,2,1,3,1,2,3Q ，写出13,b b 的值；（2）若存在Q 满足：12311b b b ++=，求m 的最小值；（3）当2024m =时，证明：对所有2023,20240Q b ≤.【答案】（1）11b =，36b =（2）4（3）证明见解析【解析】【分析】（1）结合定义逐个计算出1b 、2b 、3b 即可得；（2）当3m =时，可得12310b b b ++≤，故4m ≥，找到4m =时符合要求的数列Q 即可得；（3）结合题意，分两段证明，先证10122024b ≤，定义1120251012,2k k C C C ++⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，再证得2024k C b k ≤，即可得证,【小问1详解】由:3,1,2,2,1,3,1,2,3Q ，00b =，则{}1min 0,0n b n n a =>>，故11b =，则{}2min 1,1n b n n a =>>，故23b =，则{}3min 3,2n b n n a =>>，故36b =；【小问2详解】由题意可知，3m ≥，当3m =时，由1n a ≥，{}1min 0,0n b n n a =>>，故11b =，则{}2min 1,1n b n n a =>>，由题意可得123a a a ≠≠，故2a 、3a 总有一个大于1，即22b =或23b =，{}32min ,2n b n n b a =>>，由456a a a ≠≠，故4a 、5a 、6a 总有一个大于2，故36b ≤，故当3m =时，12310b b b ++≤，不符，故4m ≥，当4m =时，取数列:4,1,3,2,1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4Q ，有11b =，23b =，37b =，即12311b b b ++=，符合要求，故m 的最小值为4；【小问3详解】因为{}11min ,,0,1,,2023t n b nn b a t t +=>>= ∣，所以11,0,1,,2023i b b t +>= ，(i)若12024t b +≤，则当1t n b +<时，至少以下情况之一成立：①n a t ≤，这样的n 至少有t 个，②存在,i i t b n ≤=，这样的n 至多有t 个，所以小于1t b +的n 至多有2t 个，所以1121t b t t t +≤++=+，令212024t +≤，解得11012t +≤，所以10122024b ≤，(ii)对*k ∈N ，若12024t t b k b +≤<，且()1202420241t l k b k ++<≤+，因为{}1min ,t l t l n b nn b a t l +++=>>+∣，所以当()12024,t l n k b ++∈时，至少以下情况之一成立：①n a t l ≤+，这样的n 至多有t l +个；②存在,i t i i l <≤+且i b n =，这样的n 至多有l 个，所以120241202421t l b k t l l k t l ++≤++++=+++，令212024t l ++≤，解得20232t l -⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦，即202512t t l +⎡⎤++≤⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，所以当12024t t b k b +≤<时，()2025220241t b k +⎡⎤⎢⎥⎣⎦≤+；综上所述，定义1120251012,2k k C C C ++⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，则2024k C b k ≤，依次可得：2345671518,1771,1898,1961,1993,2009C C C C C C ======，89102017,2021,2023C C C ===，所以202320241020240b ≤⨯=.【点睛】关键点点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解所给出的定义，由给定数列结合新定义探求出数列的相关性质，进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.。
2022年北京市海淀区高考数学一模试卷(附答案详解)
2022年北京市海淀区高考数学一模试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={x|−1≤x≤2}，B={x|x>0}，则A∪B=()A. {x|x≤2}B. {x|x≥−1}C. {x|x>1}D. {x|x>0}2.在复平面内，复数z对应的点为(1,−1)，则z(1+i)=()A. 2B. 2iC. −2iD. −23.双曲线x23−y2=1的离心率为()A. √33B. √63C. 2√33D. √34.在(√x−x)4的展开式中，x2的系数为()A. −1B. 1C. −4D. 45.下列命题中正确的是()A. 平行于同个平面的两条直线平行B. 平行于同一条直线的两个平面平行C. 垂直于同一个平面的两个平面平行D. 垂直于同一条直线的两个平面平行6.已知直线l：ax+by=1是圆x2+y2−2x−2y=0的一条对称轴，则ab的最大值为()A. 14B. 12C. 1D. √27.已知角α的终边绕原点O逆时针旋转23π后与角β的终边重合，且cos(α+β)=1，则α的取值可以为()A. π6B. π3C. 2π3D. 5π68.已知二次函数f(x)的图象如图所示，将其向右平移2个单位长度得到函数g(x)的图象，则不等式g(x)> log2x的解集是()A. (−∞,2)B. (2,+∞)C. (0,2)D. (0,1)9.在△ABC中，A=π4，则“sinB<√22”是“△ABC是钝角三角形”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10.甲医院在某段时间内累计留院观察的某病疑似患者有98人，经检测后分为确诊组和排除组，患者年龄分布如下表：为研究患病与年龄的关系，现采用两种抽样方式．第一种：从98人中随机抽取7人，第二种：从排除组的84人中随机抽取7人．用X，Y分别表示两种抽样方式下80岁及以上的人数与80岁以下的人数之比．给出下列四个结论：①在第一种抽样方式下，抽取的7人中一定有1人在确诊组；②在第二种抽样方式下，抽取的7人都小于20岁的概率是0；③X，Y的取值范围都是(0,16,25 )；④E(X)<E(Y)．其中，正确结论的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知抛物线y2=2px的准线方程为x=−1，则p=______．12.已知{a n}是等比数列，S n为其前n项和．若a2是a1，S2的等差中项，S4=15，则q=______，a1=______．13.若函数f(x)=|2x−a|−1的值域为[−1,+∞)，则实数a的一个取值可以为______．14.已知e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 是单位向量，且e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =0，设向量a⃗=λe1⃗⃗⃗ +μe2⃗⃗⃗ ，当λ=μ=1时，<a⃗，e1⃗⃗⃗ >=______；当λ+μ=2时，|a⃗−e1⃗⃗⃗ |的最小值为______．15.已知函数f(x)=cosπxx2+1，给出下列四个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)有无数个零点；③f(x)的最小值为−1；2④f(x)的最大值为1．其中，所有正确结论的序号为______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.设函数f(x)=2sinxcosx+Acos2x(A∈R).已知存在A使得f(x)同时满足下列三个条件中的两个：条件①：f(0)=0；条件②：f(x)的最大值为√2；是f(x)图象的一条对称轴．条件③：x=π8(1)请写出f(x)满足的两个条件，并说明理由；(2)若f(x)在区间(0,m)上有且只有一个零点，求m的取值范围．17.如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1，中，底面ABCD是正方形，平面A1ADD1⊥平面ABCD，AD=2，AA1=A1D.(1)求证：A1D⊥AB；(2)若直线AB与平面A1DC1所成角的正弦值为√21，求AA1的长度．718.《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要(子时是指23点到次日凌晨1点).相关数据表明，人睡时间越晚，深睡时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体睡眠指数的统计如下表．注：早睡人群为23：00前入睡的人群，晚睡人群为01：00后入睡的人群．(1)根据表中数据，估计早睡人群睡眠指数25%分位数与晚睡人群睡眠指数25%分位数分别在第几组？(2)据统计，睡眠指数得分在区间[76,90)内的人群中，早睡人群约占80%.从睡眠指数得分在区间[76,90)内的人群中随机抽取3人，以X表示这3人中属于早睡人群的人数，求X的分布列与数学期望E(X)；(3)根据表中数据，有人认为，早睡人群的睡眠指数平均值一定落在区间[76,90)内．试判断这种说法是否正确，并说明理由．19.已知函数f(x)=e x(ax2−x+1)．(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的方程；(2)若函数f(x)在x=0处取得极大值，求a的取值范围；(3)若函数f(x)存在最小值，直接写出a的取值范围．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的下顶点A和右顶点B都在直线l1：y=12(x−2)上．(1)求椭圆方程及其离心率；(2)不经过点B的直线l2：y=kx+m交椭圆C于两点P，Q，过点P作x轴的垂线交l1于点D，点P关于点D的对称点为E.若E，B，Q三点共线，求证：直线l2经过定点．21.设m为正整数，若无穷数列{a n}满足|a ik+i|=|a ik+i|(i=1,2,…,m；k=1，2，…)，则称{a n}为P m数列．(1)数列{n}是否为P1数列？说明理由；(2)已知a n={s,n奇数,t,n为偶数,其中s，t为常数．若数列{a n}为P2数列，求s，t；(3)已知P3数列{a n}满足a1<0，a8=2，a6k<a6k+6(k=1,2,…)，求a n．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A={x|−1≤x≤2}，B={x|x>0}，∴A∪B={x|x≥−1}．故选：B．进行并集的运算即可．本题考查了集合的描述法的定义，并集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：∵在复平面内，复数z对应的点为(1,−1)，∴z(1+i)=(1−i)(1+i)=1−i2=2．故选：A．利用复数几何意义和运算法则直接求解．本题考查复数的运算，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】C【解析】解：双曲线x23−y2=1可得a=√3，b=1，则c=√3+1=2，所以e=ca =√3=2√33．故选：C．直接利用椭圆方程，求解离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．4.【答案】B【解析】解：由(√x−x)4的展开式的通项公式为T=C4r(√x)4−r(−x)r=(−1)r C4r x4+r2，r+1=2，令4+r2解得r=0，即x2的系数为(−1)0C40=1，故选：B．先由二项式定理求通项公式，然后求展开式的项系数即可．本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式的项系数，属基础题．5.【答案】D【解析】解：对于A，平行于同个平面的两直线相交、平行或异面，故A错误；对于B，平行于同一条直线的两个平面相交或平行，故B错误；对于C，垂直于同一个平面的两个平面相交或平行，故C错误；对于D，由面面平行的判定定理得：垂直于同一条直线的两个平面平行，故D正确．故选：D．对于A，相交、平行或异面；对于B，相交或平行；对于C，相交或平行；对于D，由面面平行的判定定理得垂直于同一条直线的两个平面平行本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．6.【答案】A【解析】解：圆x2+y2−2x−2y=0的圆心(1,1)，直线l：ax+by=1是圆x2+y2−2x−2y=0的一条对称轴，可得a+b=1，则ab≤(a+b2)2=14，当且仅当a=b=12时，取等号，所以ab的最大值为：14．故选：A．求出圆的圆心坐标，代入直线方程，然后利用基本不等式求解即可．本题考查直线与圆的位置关系的应用，基本不等式的应用，是基础题．7.【答案】C【解析】解：由于角α的终边绕原点O逆时针旋转23π后与角β的终边重合，故α+2π3=β；由于cos(α+β)=1，所以cos(2α+2π3)=1，整理得2α+2π3=2kπ(k∈Z)，故α=−π3+kπ(k∈Z)；当k=1时，α=2π3．故选：C．直接利用三角函数的关系式的变换和三角函数的值的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：设f(x)=ax2+bx+c(a<0)，由图象可得f(0)=1，f(−2)=0，则c=1，4a−2b+1=0，)x+1，所以f(x)=ax2+(2a+12将f(x)的图象向右平移2个单位长度得到函数)(x−2)+1的图g(x)=a(x−2)2+(2a+12象．由g(2)=1，又y=log2x在(0,2)上递增，且log21=0，log22=1，所以由图像可得不等式g(x)>log2x的解集为(0,2)．故选：C．，设f(x)=ax2+bx+c(a<0)，由图象可得f(0)=1，f(−2)=0，求得c=1，b=2a+12再由g(2)=1，结合对数函数的图象可得所求解集．本题考查函数的图象和运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：在△ABC 中，由sinB <√22，则0<B <π4或3π4<B <π，又A =π4， 则0<B <π4， 即C =π−A −B >π2， 即△ABC 是钝角三角形， 由△ABC 是钝角三角形， 当B =2π3时，sinB =√32>√22， 即“△ABC 是钝角三角形”不能推出“sinB <√22”，即“sinB <√22”是“△ABC 是钝角三角形”的充分而不必要条件，故选：A ．先解三角不等式，再结合充分必要条件判断即可．本题考查了三角不等式的解法，重点考查了充分必要条件，属基础题．10.【答案】B【解析】解：对于①：98人中确诊的有14人，若抽取的7人都是84个排除组的，则可能出现7人都不在确诊组，①错误；对于②：排除组中小于20岁的人有7人，抽取7人小于20岁的概率为P =C 77C 847≠0，故②错误；对于③：第一种[0,80)有96人，[80,+∞)有2人， 第二种[0,80)有82人，[80,+∞)有2人，故设抽取80岁以上的人数为M ，则M =0，1，2， 当M =0时，X =Y =0， 当M =1时，X =Y =16， 当M =2时，X =Y =25，故③正确； 对于④：P(X =0)=C 967C 20C 987=585679,P(X =16)=C 966C 21C 987=1397,P(X =25)=C 965C 22C 987=3679，P(Y =0)=C 827C 20C 847=209249,P(Y =16)=C 826C 21C 847=77498,P(Y =25)=C 825C 22C 847=1166，E(X)=0×58584679+16×1397+25×3679≈0.024，E(Y)=0×209249+16×77498+25×1166≈0.028E(X)<E(Y)， E(X)<E(Y)， 故④正确； 故选：B ．根据抽样调查和概率的计算以及样本的期望逐项分析即可得答案． 本题考查离散型随机变量的期望，考查学生的运算能力，属于中档题．11.【答案】2【解析】解：由抛物线y 2=2px ，得直线方程为x =−p2， 由题意，−p2=−1，得p =2． 故答案为：2．由已知结合抛物线的直线方程列式求得p 值． 本题考查抛物线的简单性质，是基础题．12.【答案】2 1 【解析】解：设a n =a 1qn−1，由题意知{2a 2=a 1+S 2S 4=15，即{2a 1q =2a 1+a 1q a 1(1−q 4)1−q=15，解得q =2，a 1=1；易知q ≠1．故答案为：2；1．根据题意列出关于首项、公比的方程组，求解即可． 本题考查等比数列的通项和求和公式，属于基础题．13.【答案】1(答案不唯一，符合a >0即可) 【解析】解：令g(x)=|2x −a|，∵函数f(x)=|2x −a|−1的值域为[−1,+∞)， ∴g(x)=|2x −a|的值域为[0,+∞)， 又∵y =2x 的值域为(0,+∞)， ∴a >0∴a 的一个值可以为1．故答案为：1(答案不唯一，符合a >0即可)．由题意可得g(x)=|2x −a|的值域为[0,+∞)，又y =2x 的值域为(0,+∞)，则a >0，因此答案可以说大于0的任何数．本题考查函数的单调性与值域，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．14.【答案】4 √2 【解析】解：当λ=μ=1时，a ⃗ =e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，|a ⃗ |2=e 1⃗⃗⃗ 2+2e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ 2=2，∴|a⃗ |=2， cos <a ⃗ ,e 1⃗⃗⃗ >=a ⃗ ⋅e 1⃗⃗⃗⃗|a ⃗ |×|e 1⃗⃗⃗⃗ |=(e 1⃗⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗⃗ )⋅e 1⃗⃗⃗⃗ |a ⃗ |×|e 1⃗⃗⃗⃗ |=√2=√22， ∵<a ⃗ ,e 1⃗⃗⃗ >∈[0,π]，∴<a⃗ ,e 1⃗⃗⃗ >=π4； 当λ+μ=2时，a ⃗ −e 1⃗⃗⃗ =(λ−1)e 1⃗⃗⃗ +μe 2⃗⃗⃗ =(λ−1)e 1⃗⃗⃗ +(2−λ)e 2⃗⃗⃗ ，则|a ⃗ −e 1⃗⃗⃗ |=(λ−1)2+(2−λ)2=2(λ−32)2+12，当λ=32时，|a ⃗ −e 1⃗⃗⃗ |的最小值为√22．故答案为：π4；√22．求出|a ⃗ |，根据夹角公式可得<a ⃗ ,e 1⃗⃗⃗ >，将|a ⃗ −e 1⃗⃗⃗ |表示为关于λ的二次函数，求出最小值即可．本题考查向量夹角、向量模的最小值的求法，考查向量运算法则、向量夹角余弦公式、二次函数的性质等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．15.【答案】①②④【解析】解：∵函数f(x)=cosπx x 2+1，∴f(−x)=cos(−πx)(−x)2+1=cosπx x 2+1=f(x)，∴该函数是偶函数，故①正确；令函数f(x)=cosπx x 2+1=0，则cosπx =0，∴πx =kπ+π2(k ∈Z)，∴x =k +12(k ∈Z)，故②正确； ∵f(x)=cosπx x 2+1，∴f′(x)=−π(x 2+1)sinπx−2xcosπx(x 2+1)2，∵f(1)=−12，∴f′(1)=12≠0， ∴函数的最小值不可能为−12，故③错误；|cosπx|≤1，当πx =kπ(k ∈Z)时取等号，∴0<1x 2+1≤1， 当且仅当x =0时取等号，∴|cosπx|x 2+1≤1，当且仅当x =0时取等号，∴f(x)=cosπx x 2+1≤1，故④正确．故答案为：①②④．根据偶函数的定义、零点定义，结合导数的性质逐一判断即可．本题考查命题真假的判断，考生查三角函数的奇偶性、导数性质、函数极值与最值的关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】解：(1)函数f(x)=2sinxcosx+Acos2x=sin2x+Acos2x=√1+A2sin(2x+φ)，其中(tanφ=A,φ∈(−π2,π2 ))，对于条件①：若f(0)=0，则A=0，对于条件②：f(x)的最大值为√2，则√1+A2=√2，得A=±1，①②不能同时成立，当A=0时，f(π8)=√22≠±1即不满足条件③，当A=1时，f(x)=√2sin(2x+π4),f(π8)=√2，即满足条件③，当A=−1时，f(x)=√2sin(2x−π4),f(π8)=0，即不满足条件③，综上可得，存在A=1满足条件②③；(2)由(1)得f(x)=√2sin(2x+π4)，当0<x<m时，π4<2x+π4<2m+π4，由于f(x)在区间(0,m)上有且只有一个零点，则π<2m+π4≤2π，解得3π8<m≤7π8，即m的取值范围是(3π8,7π8]．【解析】(1)首先分析①②可得A=0，1，−1，逐个验证条件③即可得结果；(2)由(1)得函数的解析式，通过x的范围求出2x+π4的范围，结合正弦函数的性质列出关于m的不等式即可得解．本题考查了函数的零点和函数的最值，属于难题．17.【答案】(1)证明：因为四边形ABCD为正方形，则AB⊥AD，因为平面A1ADD1⊥平面ABCD，平面A1ADD1⋂平面ABCD=AD，AB⊂平面ABCD ，∴AB ⊥平面AA 1D 1D ，∵A 1D ⊂平面AA 1D 1D ，所以，AB ⊥A 1D . (2)解：取AD 的中点O ，连接A 1O ，∵AA 1=A 1D ，O 为AD 的中点，则A 1O ⊥AD ，因为平面AA 1D 1D ⊥平面ABCD ，平面AA 1D 1D ∩平面ABCD =AD ，A 1O ⊂平面AA 1D 1D ， 所以，A 1O ⊥平面ABCD ，以点O 为坐标原点，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 、y 、z 的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，设A 1O =a ，其中a >0，则A(0,−1,0)、B(2,−1,0)、A 1(0,0,a)、C 1(1,1,a)、D(0,1,0)， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)，A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−a)， 设平面A 1C 1D 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y =0m⃗⃗⃗ ⋅A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y −az =0，取x =a ，则m⃗⃗⃗ =(a,−a,−1)， 由题意可得|cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=2√2a 2+1=√2a 2+1=√217， ∵a >0，解得a =√3，则|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+a 2=2． 【解析】(1)利用面面垂直的性质可证得AB ⊥平面AA 1D 1D ，再利用线面垂直的性质可证得结论成立；(2)取AD 的中点O ，连接A 1O ，证明出A 1O ⊥平面ABCD ，以点O 为坐标原点，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 、y 、z 的正方向建立空间直角坐标系，设A 1O =a ，其中a >0，利用空间向量法可得出关于a 的方程，求出a 的值，即可求得棱AA 1的长．本题主要考查空间中的垂直关系，线面角的相关计算，空间向量的应用等知识，属于中等题．18.【答案】(1)解：早睡人群睡眠指数25%分位数估计在第3组，晚睡人群睡眠指数25%分位数估计在第2组．(2)解：由题意可知，X ～B(3,45)，随机变量X 的可能取值有0、1、2、3，P(X =0)=(15)3=1125,P(X =1)=C 31⋅(15)2⋅45=12125，P(X=2)=C32⋅15⋅(45)2=48125,P(X=3)=(45)3=64125，X的分布列为：E(X)=3×45=125；(3)解：这种说法不正确，理由如下：当第1组的均值为0，第2组的均值为51，第3组的均值为66，第4组的均值为76，第5组的均值为91，则睡眠指数的均值为0×0.001+51×0.111+66×0.346+76×0.486+91×0.056< 0+51×0.12+66×0.35+76×0.5+91×0.06=72.68<76．【解析】(1)根据百分位数的定义判断可得出结论；(2)分析可知X～B(3,45)，利用二项分布可得出随机变量X的分布列，利用二项分布的期望公式可求得E(X)的值；(3)取第1组的均值为0，第2组的均值为51，第3组的均值为66，第4组的均值为76，第5组的均值为91，结合平均数公式判断可得出结论．本题考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)函数f(x)=e x(ax2−x+1)，f(0)=1．f′(x)=e x(ax2−x+1+2ax−1)=e x(ax2−x+2ax)，∴f′(0)=0，∴曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的方程为y−1=0．(2)f′(x)=xe x(ax−1+2a)，f′(0)=0．①若a=0，则f′(x)=−xe x，x<0时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增；x>0时，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减．∴0是函数f(x)的极大值点．②a≠0时，f′(x)=axe x(x−1−2aa )，令f′(x)=0，解得x1=0，x2=1−2aa，下面对a 分类讨论：a =12时，f′(x)=12x 2e x ≥0，函数f(x)在R 上单调递增，无极值点，舍去．a >12时，x 2<0，列出表格：0为函数f(x)的极小值点，舍去． a <0时，x 2<0， 列出表格：0为函数f(x)的极大值点，满足题意． 0<a <12时，x 2>0，列出表格： 列出表格：0为函数f(x)的极大值点，满足题意． ∴a 的取值范围是(−∞,12).(3)结合(2)：a ≤0，或a ≥12时，f(x)不存在最小值．例如a >12或a <0，0是函数f(x)的极大值点，且f(0)=1.x →−∞时，f(x)→0，无最小值，舍去．0<a <12时，x →−∞时，f(x)→0.x 2是极小值点，x 2>0，满足：ax 22−x 2+2ax 2=0，x 2=1−2a a，需要f(x 2)=f(1−2a a )=e x 2(ax 22−x 2+1)=e x 2(1−2ax 2)=e x 2[1−2(1−2a)]≤0，解得：0<a ≤14．因此函数f(x)存在最小值，a 的取值范围是(0,14].【解析】(1)函数f(x)=e x (ax 2−x +1)，f(0)=1.通过求导可得f′(x)，可得切线斜率f′(0)，利用点斜式可得切线方程．(2)f′(x)=xe x (ax −1+2a)，f′(0)=0.通过对a 分类讨论，利用取得极大值的条件即可得出结论．(3)结合(2)可得：a ≤0，或a ≥12时，f(x)不存在最小值．对0<a <12时，x →−∞时，f(x)→0.x 2是极小值点，.x 2>0.需要f(x 2)=f(1−2a a)≤0，解得a 的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.【答案】(1)解：因为下顶点A 和右顶点B 都在直线l 1：y =12(x −2)上， 故A (0,−1)，B(2,0)，故椭圆方程为：x 24+y 2=1．其离心率为e =√4−12=√32． (2)证明：设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则x 1≠2，x 2≠2． 则D(x 1,12(x 1−2))，故E (x 1,x 1−y 1−2)， 因为E ，B ，Q 三点共线，故y 2x2−2=x 1−y 1−2x 1−2，整理得到：x 1y 2+x 2y 1=2(y 1+y 2)+x 1x 2−2(x 1+x 2)+4， 即(2k −1)x 1x 2+(m −2k +2)(x 1+x 2)−4m −4=0． 由{x 24+y 2=1y =kx +m 可得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−4=0， 故Δ=16(4k 2+1−m 2)>0且x 1+x 2=−8km1+4k 2,x 1x 2=4m 2−41+4k 2，故(2k −1)4m 2−41+4k 2−(m −2k +2)8km1+4k 2−4m −4=0， 整理得到：(m +2k)(m +2k +1)=0，若m =−2k ，则l 2：y =kx −2k ，故l 2过B ，与题设矛盾；若m=−2k−1，则l2：y=kx−2k−1，故l2过定点(2,−1)．【解析】(1)求出顶点坐标后可求椭圆的方程和离心率；(2)设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则可用此两点坐标表示E，根据三点共线可得x1y2+x2y1= 2(y1+y2)+x1x2−2(x1+x2)+4，利用点在直线可得(2k−1)x1x2+(m−2k+2)(x1+x2)−4m−4=0，再联立直线方程和椭圆方程，消元后利用韦达定理可得定点．本题主要考查椭圆方程的求解，椭圆离心率的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用，直线恒过定点问题等知识，属于中等题．21.【答案】解：(1)∵a n=a1×(n−1)+1=(n−1)+1=a1×(n−1)+1(n≥2)，∴|a1×(n−1)+ 1|=|a|×(n−1)+1|，(2)依题意，a2=t，a1=a3=s，因为a n是P2数列，|a2|=|a1×1+1|=|a1+1|=|t+1|=|t|，∴t=−1，|a3|=|a2×1+1=|a2+1|=|t+1|=|s|，∴s=0；(3)∵a n是P3数列，∴|a8|=|a1×7+1|=|a7+1|，|a8|=|a2×3+2|=|a6+2|，∴|a7+1|=|a6+2|=2…(1)，|a9|=|a8×1+1|=|a8+1|=3，|a9|=|a3×2+3|=|a6+3|=3，由(1)(2)得a6=0，a7=1，∴猜想a n是首项为−5，公差为1的等差数列，即a n=n−6，检验：|a1×k+1|=|a k+1|=|k−6+1|=|a k+1|，∴是P数列；|a2×k+2|=|a2k+2|=|2k+2−6|=|2k−6+2|=|a2k+2|，∴是P2数列；|a3k+3|=|3k+3−6|=|3k−6+3|=|a3k+3|，∴是P3数列，并且a6k=6k−6,a6k+6=6k+6−6=6k, (k=1,2,3,⋯)，∴a6k<a6k+6，a1=−5<0符合题意，故a n=n−6．【解析】(1)根据P1数列的性质，即可判断，(2)根据P2数列的性质，求出a1，a2，a3即可；(3)根据P3数列的性质，利用所给的条件，合理演绎即可．本题考查数列的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．第21页，共21页。
2024海淀区九年级一模数学参考答案
海淀区九年级第二学期期中练习数学试卷参考答案第一部分 选择题一、选择题 （共16分，每题2分）第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9．1x ≥ 10．(2)(2)a a a −+11．1x = 12．0 13．8 14．94015．180α︒−16．（1）鲁班锁；（2）1，2，3三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 解：原式212=++− 12=+−3=18. 解：原不等式组为435212.3x x x −<⎧⎪⎨+>−⎪⎩，①②解不等式①，得2x <.解不等式②，得1x >. ∴原不等式组的解集为12x <<. 19. 解： 原式241212a b b b +=−++2411a b +=+.∵240b a−=，∴24b a=.∴原式41 41aa+ =+1 =.20．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD // BC.∴AFO CEO∠=∠，FAO ECO∠=∠.∵O为AC的中点，∴AO CO=.∴△AOF≌△COE.∴AF EC=.∵AF//EC，∴四边形AECF为平行四边形.∵AE AF=，∴四边形AECF为菱形.（2）解：∵O为AC的中点，4AC=，∴122OA AC==.∵四边形AECF为菱形，∴AC EF⊥.∴90AOE∠=︒.∴在Rt△AOE中，由勾股定理得OE=.∵E为BC的中点，∴2AB OE==.21. 解：设每平方米木地板的价格为5x元，则每平方米瓷砖的价格为3x元.由题意可得，123(3615)5100001270x x⨯++⨯=−.解得30x=.∴5150x=，390x=.答：每平方米木地板的价格为150元，每平方米瓷砖的价格为90元.22．解：（1）∵函数(0)y kx b k =+≠的图象经过点(1,2)A 和(0,1)B ，∴21.k b b +=⎧⎨=⎩，解得11.k b =⎧⎨=⎩，∴该函数的解析式为1y x =+. （2）13m ≤≤.23．解：（1）32，25；（2） 60，四； （3） ＞.24.（1）证明：∵BE BE =，∴BAE BDE ∠=∠. ∵45EDB EAD ∠+∠=︒，∴45BAE EAD ∠+∠=︒，即45BAD ∠=︒. ∵AB 为O 的直径， ∴90ADB ∠=︒. ∴AD BG ⊥. ∵AB AG =，∴45BAD GAD ∠=∠=︒. ∴90BAG ∠=︒. ∴AB AG ⊥.∵AB 为O 的直径， ∴AG 与O 相切.（2）解：连接BE ，如图.∵AB AG =，AD BG ⊥，BG =∴12BD BG == 在Rt △ADB 中，90ADB ∠=︒，45BAD ∠=︒，可得AB =∴12OA AB ==. ∵BAE BDE ∠=∠， ∴1tan tan 3BAE BDE ∠=∠=.∵AB 为O 的直径，∴90AEB ∠=︒.在Rt △AEB 中，1tan 3BAE ∠=，可得13BE AE =.由勾股定理得 222BE AE AB +=.∴2221()3AE AE +=.∴6AE =. ∵290BOD BAD ∠=∠=︒. ∴90AOF ∠=︒.在Rt △AOF 中，1tan 3BAE ∠=，OA =OF =.由勾股定理得 103AF =. ∴108633EF AE AF =−=−=. 25.解：（1）60n ，525n ⨯−；（2） a ，7； （3）1535t <≤.26.解：（1）由题意可知，点(40)，在抛物线2(0)y ax bx a =+>上，∴1640a b +=. ∴4b a =−. ∴4222b aa a−==−−. ∴抛物线的对称轴为直线2x =.（2）① 法一：令0y =，则20(0)ax bx a +=>. 解得0x =或b x a=−. ∴抛物线2(0)y ax bx a =+>与x 轴交于点(00)，，(0)b a−，. ∵0a >，∴抛物线开口向上. (ⅰ)当0b <时，0ba−>.∴当0bx a <<−时，0y <；当0x <或b x a>−时，0y >. ∵当04m <<时，总有0n <. ∴4ba−≥.∵0a >， ∴40a b +≤. (ⅱ)当0b >时，0ba−<. ∴当0bx a −<<时，0y <；当b x a<−或0x >时，0y >. ∴当04m <<时，0n >，不符合题意. 综上，40a b +≤. 法二：∴由题意可知，2am bm n +=.若0n <，则2()0am bm m am b +=+<. ∵0m >， ∴0am b +<. ∵0a >， ∴b m a<−. ∴当0bm a<<−时，0n <. ∵当04m <<时，总有0n <. ∴4ba−≥.∵0a >， ∴40a b +≤. ② 存在.设抛物线的对称轴为x t =，则2b t a=−. ∵，∴当x t ≥时，y 随x 的增大而增大；当x t ≤时，y 随x 的增大而减小. ∵12k <<，∴336k <<，3k k <. (ⅰ)当1t ≤时，∵3t k k ≤<. ∴12y y <，符合题意. (ⅱ)当12t <≤时，当2t k ≤<时， ∵3t k k <<. ∴12y y <. 当1k t <<时，设点1()P k y ，关于抛物线对称轴x t =的对称点为点01'(,)P x y ， 则0x t >，0t k x t −=−. ∴02x t k =−. ∵1k t <<，12t <≤， ∴23t k −<. ∴03t x <<. ∵336k <<. ∴03t x k <<. ∴12y y <.∴当12t <≤时，符合题意. (ⅲ)当23t <≤时，令12k t =，332k t =，则12y y =，不符合题意.(ⅳ)当36t <<时，令3k t =，则3k k t <≤. ∴12y y >，不符合题意. (ⅴ)当6t ≥时，∵3k k t <<，∴12y y >，不符合题意. ∴ 当2t ≤，即22ba−≤时，符合题意. ∵0a >， ∴40a b +≥. 由①可得40a b +≤. ∴40a b +=.27.（1）线段AE 与BD的数量关系：AE .证明：连接BE ，如图1.∵点D ，E 关于直线BC 对称， ∴直线BC 是线段DE 的垂直平分线. ∴BD BE =.∴30DBC EBC ∠=∠=. ∴60DBE ∠=.∴△DBE 是等边三角形.∴BD BE DE ==，60BDE BED ∠=∠=. ∵△ABC 中，90ACB ∠=，30ABC ∠=， ∴2AB AC =.依题意，得AD AC =，点D 在AB 上. ∴2AB AD =. ∴.BD AD = ∴.DE AD =∴30.DAE DEA ∠=∠= ∴90.BEA ∠= ∴在Rt △ABE 中，tan tan 60 3.AEABE BE=∠== ∴AE. ∴.AE =（2）依题意补全图2，如图.B图1方法一：解：延长AC 至F ，使CF AC =，连接BF ，BE ，EF ，CD ，CE ，如图2. ∵90ACB ∠=， ∴.AB BF = ∵60BAC ∠=，∴△ABF 是等边三角形. ∴AB AF BF ==,60BFC ∠=. ∵点D ，E 关于直线BC 对称， ∴直线BC 是线段DE 的垂直平分线. ∴BD BE =，CD CE =. ∴DCB ECB ∠=∠. ∵90ACB DCF ∠=∠=， ∴DCA ECF ∠=∠. ∵AC FC =， ∴△DAC ≌△EFC . ∴CAD CFE ∠=∠. ∵AE BD =, ∴BE AE =.∵EF EF =,BF AF =， ∴△BEF ≌△AEF .∴30BFE AFE ∠=∠=. ∴30CAD AFE ∠=∠=. ∴30.α= 方法二：解：如图3，取AB 中点F ，连接DF ，BE ，CD ，CE ，设DBC β∠=.F∵点D ，E 关于直线BC 对称， ∴直线BC 是线段DE 的垂直平分线. ∴BD BE =，CD CE =. ∴DBC EBC β∠=∠=.∴30EBA β∠=︒+，30DBA β∠=︒−. ∵AE BD =, ∴AE BE =.∴30EAB EBA β∠=∠=︒+. ∵90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒， ∴60BAC ∠=︒. ∴30EAC β∠=︒−. ∴EAC DBA ∠=∠. 由（1）可得2.AB AC = ∵F 为AB 中点， ∴22.AB AF BF == ∴.AC AF BF ==∵AC BF =，EAC DBA ∠=∠,AE BD =, ∴△ACE ≌△BFD . ∴CE FD =. ∴CD FD =.∵AD AD =，AF AC =, ∴△ADF ≌△ADC . ∴30FAD CAD ∠=∠=︒. ∴30α=︒.28.（1）①如图，线段B'C'即为所求.②4t ≤−或2t ≥.图3FD≤≤+. （2）d a。
2023年北京市海淀区高考数学一模试卷+答案解析(附后)
2023年北京市海淀区高考数学一模试卷1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 若，其中i是虚数单位，则( )A. B. 1 C. D. 33. 在等差数列中，，，则( )A. 9B. 11C. 13D. 154. 已知抛物线的焦点为F，点P在该抛物线上，且P的横坐标为4，则( )A. 2B. 3C. 4D. 55. 若，则( )A. B. 1 C. 15 D. 166. 已知直线与圆O：交于A，B两点，且为等边三角形，则m的值为( )A. B. C. D.7. 在中，，，的平分线交BC于点若则( )A. B. C. 2 D. 38. 已知二次函数，对任意的，有，则的图象可能是( )A. B.C. D.9.已知等比数列的公比为q，且，记……，则“且”是“为递增数列”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 刘老师沿着某公园的环形跑道周长大于按逆时针方向跑步，他从起点出发，并用软件记录了运动轨迹，他每跑1km，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数.已知刘老师共跑了11km，恰好回到起点，前5km的记录数据如图所示，则刘老师总共跑的圈数为( )A. 7B. 8C. 9D. 1011. 不等式的解集是______.12. 已知双曲线的渐近线方程为，则它的离心率为______ .13. 已知函数若在区间上单调递减，则的一个取值可以为______ .14. 设函数①当时，______ ；②若恰有2个零点，则a的取值范围是______ .15. 在中，，，D是边AC的中点，E是边AB上的动点不与A，B重合，过点E作AC的平行线交BC于点F，将沿EF折起，点B 折起后的位置记为点P，得到四棱锥，如图所示，给出下列四个结论：①平面PEF；②不可能为等腰三角形；③存在点E，P，使得；④当四棱锥的体积最大时，其中所有正确结论的序号是______ .16. 如图，直三棱柱中，，，，D是的中点.证明：平面BCD；求直线CD与平面所成角的正弦值.17. 在中，求；若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求a的值.条件①：；条件②：；条件③：注：如果选择的条件不符合要求，第问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.18. 网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择.某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为4组和8组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如图：假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响.从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的概率；从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为X，估计X的数学期望；从A组和B组中分别随机抽取2户家庭，记为A组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，为B组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，比较方差与的大小结论不要求证明19.已知椭圆的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，，四边形的周长为求椭圆E的方程；设斜率为k的直线l与x轴交于点P，与椭圆E交于不同的两点M，N，点M关于y轴的对称点为，直线与y轴交于点Q，若的面积为2，求k的值.20. 已知函数，当时，求曲线在点处的切线方程；求的单调区间；若存在，，使得，求a的取值范围.21. 已知数列给出两个性质：①对于中任意两项，在中都存在一项，使得；②对于中任意连续三项，，，均有分别判断一下两个数列是否满足性质①，并说明理由；有穷数列：；无穷数列：…若有穷数列满足性质①和性质②，且各项互不相等，求项数m的最大值；若数列满足性质①和性质②，且，，，求的通项公式.答案和解析1.【答案】A【解析】解：集合，，则故选：根据交集定义，找出两个集合的公共元素即可．本题考查集合的运算，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：，则，，故选：根据复数相等，可得a，b的取值．本题考查复数的相等，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：在等差数列中，，，，解得，，则故选：利用等差数列通项公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出结果．本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】D【解析】解：抛物线方程为，，又点P在该抛物线上，且P的横坐标为4，故选：根据抛物线的几何性质，即可求解．本题考查抛物线的几何性质，属基础题．5.【答案】C【解析】解：设，则故选：设，再根据赋值法，即可求解．本题考查赋值法的应用，属基础题．6.【答案】D【解析】解：由题意，圆心到直线的距离为，，，故选：确定圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式，建立方程，即可求出实数m的值．本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属基础题．7.【答案】B【解析】解：设，因为，，所以，又AD是的平分线，所以，，，又，所以，，所以故选：根据角平分线定理可得，利用三角形法则先将表示出来，再利用向量相等可求出，本题考查向量的表示，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：二次函数，对任意的，有，令得，，即，故CD都不可能，对于B，二次函数的对称轴方程为，由图象可知，设的图象与x轴的两个交点为，，且，则，所以，所以，当时，，两者相矛盾，故B不可能．故选：由题意可得，所以CD都不可能，对于B，由图象可知，与时，相矛盾，所以B不可能．本题主要考查了二次函数的图象和性质，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：①当，时，则，，充分性不成立，②若为递增数列，则，则，，当，时，则，则可能成立，当，时，则，则可能成立，当，时，则，则可能成立，当，时，则，则恒成立，且是为递增数列的必要不充分条件．故选：利用举实例判断充分性，利用等比数列的通项公式、充要条件的定义判定必要性．本题考查了等比数列的通项公式、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：设公园的环形道的周长为t，刘老师总共跑的圈数为x，，则由题意，所以，所以，因为，所以，又，所以，即刘老师总共跑的圈数为故选：利用环形道的周长与里程数的关系建立不等关系求出周长的范围，再结合跑回原点的长度建立方程，即可求解．本题考查不等关系，考查不等关系在实际中的应用，属于中档题．11.【答案】或【解析】解：不等式即为或，解得或则解集为或故答案为：或不等式即为或，由一次不等式的解法，即可得到解集．本题考查分式不等式的解法，可以运用符号法则或化为整式不等式，注意等价变形，属于基础题．12.【答案】2【解析】解：由题意，双曲线的渐近线方程为，故答案为：2利用双曲线的渐近线方程为，可得，结合离心率公式，即可求得结论．本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．13.【答案】答案不唯一【解析】解：令，，可得，，的单调减区间为，，又在区间上单调递减，，，，，，，又，，可取故答案为：答案不唯一先求出在R上的单调减区间，再根据题意建立不等式组，即可求解．本题考查三角函数的单调性，不等式思想，属中档题．14.【答案】【解析】解：①当时，，；②令，得或，又，当，即时，，此时恰有2个零点，，；当时，易知恰有2个零点，1，；当，即时，要使恰有2个零点，则，，综合可得a的取值范围是故答案为：①1；②①代值计算，即可求解；②分类讨论，根据二次函数的性质，对数函数的性质，不等式思想，即可求解．本题考查函数值的求解，二次函数的性质，对数函数的性质，分类讨论，不等式思想，属中档题．15.【答案】①③【解析】解：①因为，平面PEF，平面PEF，所以平面PEF，故①正确；②因为是等腰直角三角形，所以也是等腰直角三角形，则，因为，，所以，且，当时，≌，所以，此时是等腰三角形，故②错误；③因为，且，，且平面PCF，平面PCF，所以平面PCF，平面ABC，所以平面平面PCF，且平面平面，如图，过点P作，连结DM，则平面ABC，平面ABC，所以，若，，平面PDM，平面PDM，所以平面PDM，平面PDM，所以，如图，，延长MD，交AB于点N，则和都是等腰直角三角形，则，点N到直线AC的距离等于，这样在翻折过程中，若能构成四棱锥，则，设，则，则，则存在点E，P，使得，故③正确：④当底面ACFE的面积一定时，平面平面PEF时，即平面ABC时，四棱锥的体积最大，设，，，，，得舍或，当，，函数单调递增，当，，函数单调递减，所以当时，函数取得最大值，此时，故④错误；故答案为：①③根据线面平行的判断定理，判断①；证明≌，即可判断②；利用垂直关系转化，结合反证法，即可判断③；表示四棱锥的体积后，利用导数计算最值，即可判断④．本题考查空间中线面的位置关系，利用导数求最值，属于难题．16.【答案】证明：在直三棱柱中，平面ABC，且，点C为坐标原点，CA、CB、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，点、、、，、、，所以，，，则，，因为，CB、平面BCD，因此，平面解：设平面的法向量为，，则，取，可得，所以，，，因此，CD与平面所成角的正弦值为【解析】以点C为坐标原点，CA、CB、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明平面BCD；利用空间向量法可求得直线CD与平面所成角的正弦值．本题考查空间向量的应用，属于中档题．17.【答案】解：因为，由正弦定理得，，又，所以，得到，又，所以，又，所以，得到，所以；选条件①：；由知，，根据正弦定理知，，即，所以角C有锐角或钝角两种情况，存在，但不唯一，故不选此条件．选条件②：；因为，所以，又，得到，代入，得到，解得，所以，由余弦定理得，，所以选条件③：；因为，所以，由，得到，又，由知，所以，又由正弦定理得，得到，代入，得到，解得，所以，由余弦定理得，，所以【解析】利用正弦定理：边转化角，再利用正弦的二倍角公式，即可求出结果；条件①，可得角C是锐角或钝角，不满足题设中的条件，故不选①；条件②，利用条件建立，边b与c的方程组，求出b与c，再利用余弦定理，即可求出结果；条件③，利用正弦定理，先把角转化成边，再结合条件建立，边b与c的方程组，求出b与c，利用余弦定理，即可求出结果．本题考查正余弦定理，属于中档题．18.【答案】解：设C事件为“该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20“，又在A组10户中超过20次的有3户，由样本估计总体可得所求概率为；由得：从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，则该户网购生鲜蔬菜次数超过20次的概率为，同理：从二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，则该户网购生鲜蔬菜次数超过20次的概率为，，1，2，又，，，；根据题意可得，的取值可能为0，1，2，且得，服从超几何分布，又，，，，，，，，，，【解析】根据古典概型的概率公式，即可求解；根据题意可知，1，2，再分别求出对应的概率，从而可求解；根据方差公式计算，即可求解．本题考查根据样本估计总体，古典概型的概率公式，离散型随机变量的期望的求解，超几何分布列的期望与方差的求解，属中档题．19.【答案】解：依题意可得，解得，椭圆E的方程为；依题意，可设直线l的方程为，，，联立方程，可得，，即，，，在直线l的方程中，令，得，得，依题意得，得直线的方程为，令，得，，，，解得的值为【解析】依题意可得，求解即可；可设直线l的方程为，联立方程组可得，，求得的方程，进而可得，计算可得结论．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，属中档题．20.【答案】解：当时，，则，，所以曲线在点处的切线的斜率为，所以曲线在点处的切线的方程为，当时，恒成立，则在R上单调递减，当时，令得，所以在上，单调递减，在上，单调递增，综上所述，当时，在R上单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增．在区间上的最大值为，最小值为，所以存在，使得成立，即或，当，，所以存在，使得成立，只需，由可知在区间上单调或先单调递减后递增，所以为与中的较大者，所以只需或，即可满足题意，即或，解得或，综上所述，a的取值范围为【解析】当时，，计算，由导数的几何意义可得曲线在点处的切线的斜率为，进而可得答案．求导得，分两种情况：当时，当时，分析的符号，的单调性．在区间上的最大值为，最小值为，存在，使得成立，即或，由于当，，只需，由可知在区间上单调或先单调递减后递增，为与中的较大者，只需或，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．21.【答案】解：有穷数列：不满足性质①．令，则不是数列中的项，有穷数列不满足性质①；无穷数列：…满足性质①．对于任意的，，有，，令即可，无穷数列满足性质①．对于有穷数列，记其非零项中绝对值最大的一项为，绝对值最小的一项为，故令时，存在一项，即，再令时，存在一项，即，又，数列所有非零项的绝对值均为1，又数列的各项均不相等，其最多有0，，1，共3项，，构造数列：0，，1，其任意两项乘积均为0，，1之一，满足性质①，其连续三项满足，满足性质②，又其各项均不相等，该数列满足条件，此时，综上，项数m的最大值为首先证明：当，时，数列满足，，且，，2，3，，对于任意数列的连续三项，，，总有，即或，不论是哪种情形，均有：当时，，即，当时，，即，，性质得证．考虑，，三项，有或，若，则，此时令，有，由性质知不存在k，使得，且，只有，此时，，令时，，由性质知，只有或，当时，，此时令，，，但，即，由性质知不存在k，使得，，即，从而，经验证，数列：满足条件，下面证这是唯一满足条件的数列，假设是第一个不满足上述通项公式的项，则，当，时，只能为，令，，则，但，由性质，不存在k，使得，当，时，只能为，则，令，，则，但，由性质，不存在k，使得，不存在不满足上述通项公式的项，综上，数列的通项公式为【解析】利用性质①直接判断．对于有穷数列，记其非零项中绝对值最大的一项为，绝对值最小的一项为，令时，得，令时，得，由此能求出项数m的最大值．首先证明当，时，数列满足，，由此能求出数列的通项公式．本题考查数列的性质、新定义、分类讨论思想等基础知识，考查运算求解能力，是难题．。
2021-2022学年度北京市海淀区中考数学一模试卷及答案解析
北京市海淀区中考数学一模试卷一、选择题1．在实数|﹣3|，﹣2，0，π中，最小的数是（）A．|﹣3| B．﹣2 C．0 D．π2．下列各式的变形中，正确的是（）A．（﹣x﹣y）（﹣x+y）＝x2﹣y2B．﹣x＝C．x2﹣4x+3＝（x﹣2）2+1 D．x÷（x2+x）＝+13．某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其它费用，如果超市要想至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高（）A．40% B．33.4% C．33.3% D．30%4．如图，等边△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（s），y＝PC2，则y关于x的函数的图象大致为（）A．B．C．D．5．下列命题正确的个数是（）①若代数式有意义，则x的取值范围为x≤1且x≠0．②我市生态旅游初步形成规模，2012年全年生态旅游收入为302 600 000元，保留三个有效数字用科学记数法表示为3.03×108元．③若反比例函数（m为常数），当x＞0时，y随x增大而增大，则一次函数y＝﹣2x+m的图象一定不经过第一象限．④若函数的图象关于y轴对称，则函数称为偶函数，下列三个函数：y＝3，y＝2x+1，y＝x2中偶函数的个数为2个．A．1 B．2 C．3 D．46．下列图形中，阴影部分面积最大的是（）A．B．C．D．7．如图是一个由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（）A．B．C．D．8．为了解中学生获取资讯的主要渠道，设置“A．报纸．B．电视．C．网络，D．身边的人．E．其他”五个选项（五项中必选且只能选一项）的调查问卷．先随机抽取50名中学生进行该问卷调查．根据调查的结果绘制条形图如图．该调查的方式是（），图中的a的值是（）A．全面调查，26 B．全面调查，24C．抽样调查，26 D．抽样调查，249．正方形ABCD的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正方形ABCD内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为（）A．B．C．D．10．定义新运算：a⊕b＝例如：4⊕5＝，4⊕（﹣5）＝．则函数y＝2⊕x（x≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题11．计算（﹣π）0﹣（﹣1）2018的值是．12．若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于a、b的二元一次方程组的解是．13．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义＝ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式．若，则x＝．14．如图，一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分）之间的部分关系．那么，从关闭进水管起分钟该容器内的水恰好放完．15．如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为米（结果保留根号）．16．一块直角三角形板ABC，∠ACB＝90°，BC＝12cm，AC＝8cm，测得BC边的中心投影B1C1长为24cm，则A1B1长为cm．三、解答题17．先化简，再求值（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣2）2，其中x＝﹣18．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？19．如图，矩形ABCD的两边AD、AB的长分别为3、8，E是DC的中点，反比例函数y＝的图象经过点E，与AB交于点F．（1）若点B坐标为（﹣6，0），求m的值及图象经过A、E两点的一次函数的表达式；（2）若AF﹣AE＝2，求反比例函数的表达式．20．某商场为缓解我市“停车难”问题，拟建造地下停车库，如图是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中，AB⊥BD，∠BAD＝18°，C在BD上，BC＝0.5m．根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入．小明认为CD的长就是所限制的高度，而小亮认为应该以CE的长作为限制的高度．小明和小亮谁说的对？请你判断并计算出正确的结果．（参考数据：sin18°＝0.31，cos18°＝0.95，tan18°＝0.325）（结果精确到0.1m）21．某校七年级共有500名学生，在“世界读书日”前夕，开展了“阅读助我成长”的读书活动．为了解该年级学生在此次活动中课外阅读情况，童威随机抽取m名学生，调查他们课外阅读书籍的数量，将收集的数据整理成如下统计表和扇形图．学生读书数量统计表阅读量/本学生人数1 152 a3 b4 5（1）直接写出m、a、b的值；（2）估计该年级全体学生在这次活动中课外阅读书籍的总量大约是多少本？22．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝13，BD＝24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE．点F是对角线BD上一动点（点F不与点B重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM，连接FM．（1）求AO的长；（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：AC＝AM；（3）连接EM，若△AEM的面积为40，请直接写出△AFM的周长．23．在平面直角坐标系中xOy中，正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…，按如图的方式放置．点A1，A2，A…、A n和点C1，C2，C3…、∁n分别落在直线y＝x+1和x轴上．抛物线L1过点A1、B1，且顶点在直线y 3＝x+1上，抛物线L2过点A2、B2，且顶点在直线y＝x+1上，…，按此规律，抛物线L n过点A n、B n，且顶点也在直线y＝x+1上，其中抛物线L1交正方形A1B1C1O的边A1B1于点D1，抛物线L2交正方形A2B2C2C1的边A2B2于点D2…，抛物线L n交正方形A n B n∁n C n﹣1的边A n B n于点D n（其中n≥2且n为正整数）．（1）直接写出下列点的坐标：B1，B2，B3；（2）写出抛物线L2，、L3的解析式，并写出其中一个解析式的求解过程，再猜想抛物线L n的顶点坐标；（3）①设A1D1＝k•D1B1，A2D2＝k2•D2B2，试判断k1与k2的数量关系并说明理由；②点D1、D2、…，D n是否在一条直线上？若是，直接写出这条直线与直线y＝x+1的交点坐标；若不是，请说明理由．北京市海淀区首都师大附中中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．在实数|﹣3|，﹣2，0，π中，最小的数是（）A．|﹣3| B．﹣2 C．0 D．π【分析】直接利用利用绝对值的性质化简，进而比较大小得出答案．【解答】解：在实数|﹣3|，﹣2，0，π中，|﹣3|＝3，则﹣2＜0＜|﹣3|＜π，故最小的数是：﹣2．故选：B．【点评】此题主要考查了实数大小比较以及绝对值，正确掌握实数比较大小的方法是解题关键．2．下列各式的变形中，正确的是（）A．（﹣x﹣y）（﹣x+y）＝x2﹣y2B．﹣x＝C．x2﹣4x+3＝（x﹣2）2+1 D．x÷（x2+x）＝+1【分析】根据平方差公式和分式的加减以及整式的除法计算即可．【解答】解：A、（﹣x﹣y）（﹣x+y）＝x2﹣y2，正确；B、，错误；C、x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，错误；D、x÷（x2+x）＝，错误；故选：A．【点评】此题考查平方差公式和分式的加减以及整式的除法，关键是根据法则计算．3．某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其它费用，如果超市要想至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高（）A．40% B．33.4% C．33.3% D．30%【分析】缺少质量和进价，应设购进这种水果a千克，进价为y元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高x，则售价为（1+x）y元/千克，根据题意得：购进这批水果用去ay元，但在售出时，只剩下（1﹣10%）a千克，售货款为（1﹣10%）a×（1+x）y元，根据公式×100%＝利润率可列出不等式，解不等式即可．【解答】解：设购进这种水果a千克，进价为y元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高x，则售价为（1+x）y元/千克，由题意得：×100%≥20%，解得：x≥≈33.4%，经检验，x≥是原不等式的解．∵超市要想至少获得20%的利润，∴这种水果的售价在进价的基础上应至少提高33.4%．故选：B．【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，关键是弄清题意，设出必要的未知数，表示出售价，售货款，进货款，利润．注意在解出结果后，要考虑实际问题，利用收尾法，不能用四舍五入．4．如图，等边△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（s），y＝PC2，则y关于x的函数的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】需要分类讨论：①当0≤x≤3，即点P在线段AB上时，根据余弦定理知cos A＝，所以将相关线段的长度代入该等式，即可求得y与x的函数关系式，然后根据函数关系式确定该函数的图象．②当3＜x≤6，即点P在线段BC上时，y与x的函数关系式是y＝（6﹣x）2＝（x﹣6）2（3＜x≤6），根据该函数关系式可以确定该函数的图象．【解答】解：∵正△ABC的边长为3cm，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AC＝3cm．①当0≤x≤3时，即点P在线段AB上时，AP＝xcm（0≤x≤3）；根据余弦定理知cos A＝，即＝，解得，y＝x2﹣3x+9（0≤x≤3）；该函数图象是开口向上的抛物线；解法二：过C作CD⊥AB，则AD＝1.5cm，CD＝cm，点P在AB上时，AP＝xcm，PD＝|1.5﹣x|cm，∴y＝PC2＝（）2+（1.5﹣x）2＝x2﹣3x+9（0≤x≤3）该函数图象是开口向上的抛物线；②当3＜x≤6时，即点P在线段BC上时，PC＝（6﹣x）cm（3＜x≤6）；则y＝（6﹣x）2＝（x﹣6）2（3＜x≤6），∴该函数的图象是在3＜x≤6上的抛物线；故选：C．【点评】本题考查了动点问题的函数图象．解答该题时，需要对点P的位置进行分类讨论，以防错选．5．下列命题正确的个数是（）①若代数式有意义，则x的取值范围为x≤1且x≠0．②我市生态旅游初步形成规模，2012年全年生态旅游收入为302 600 000元，保留三个有效数字用科学记数法表示为3.03×108元．③若反比例函数（m为常数），当x＞0时，y随x增大而增大，则一次函数y＝﹣2x+m的图象一定不经过第一象限．④若函数的图象关于y轴对称，则函数称为偶函数，下列三个函数：y＝3，y＝2x+1，y＝x2中偶函数的个数为2个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据有关的定理和定义作出判断即可得到答案．【解答】解：①若代数式有意义，则x的取值范围为x＜1且x≠0，原命题错误；②我市生态旅游初步形成规模，2012年全年生态旅游收入为302 600 000元，保留三个有效数字用科学记数法表示为3.03×108元正确．③根据反比例函数（m为常数）的增减性得出m＜0，故一次函数y＝﹣2x+m的图象一定不经过第一象限．，此选项正确；④若函数的图象关于y轴对称，则函数称为偶函数，三个函数中有y＝3，y＝x2是偶函数，原命题正确，故选：C．【点评】本题考查了命题与定理的知识，在判断一个命题正误的时候可以举出反例．6．下列图形中，阴影部分面积最大的是（）A．B．C．D．【分析】分别根据反比例函数系数k的几何意义以及三角形面积求法以及梯形面积求法得出即可．【解答】解：A、根据反比例函数系数k的几何意义，阴影部分面积和为：xy＝3，B、根据反比例函数系数k的几何意义，阴影部分面积和为：3，C、根据反比例函数系数k的几何意义，以及梯形面积求法可得出：阴影部分面积为：3+×（1+3）×2﹣﹣＝4，D、根据M，N点的坐标以及三角形面积求法得出，阴影部分面积为：×1×6＝3，阴影部分面积最大的是4．故选：C．【点评】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义以及三角形面积求法等知识，将图形正确分割得出阴影部分面积是解题关键．7．如图是一个由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：从上面看第一列是两个小正方形，第二列是一个小正方形，第三列是一个小正方形，故选：B．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．8．为了解中学生获取资讯的主要渠道，设置“A．报纸．B．电视．C．网络，D．身边的人．E．其他”五个选项（五项中必选且只能选一项）的调查问卷．先随机抽取50名中学生进行该问卷调查．根据调查的结果绘制条形图如图．该调查的方式是（），图中的a的值是（）A．全面调查，26 B．全面调查，24C．抽样调查，26 D．抽样调查，24【分析】根据题意得到此调查为抽样调查，由样本容量求出a的值即可．【解答】解：根据题意得：该调查的方式是抽样调查，a＝50﹣（6+10+6+4）＝24，故选：D．【点评】此题考查了条形统计图，以及全面调查与抽样调查，弄清题意是解本题的关键．9．正方形ABCD的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正方形ABCD内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【分析】求得阴影部分的面积后除以正方形的面积即可求得概率．【解答】解：如图，连接PA、PB、OP；则S半圆O＝＝，S△ABP＝×2×1＝1，由题意得：图中阴影部分的面积＝4（S半圆O﹣S△ABP）＝4（﹣1）＝2π﹣4，∴米粒落在阴影部分的概率为＝，故选：A．【点评】本题考查了几何概率的知识，解题的关键是求得阴影部分的面积，难度不大．10．定义新运算：a⊕b＝例如：4⊕5＝，4⊕（﹣5）＝．则函数y＝2⊕x（x≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据题意可得y＝2⊕x＝，再根据反比例函数的性质可得函数图象所在象限和形状，进而得到答案．【解答】解：由题意得：y＝2⊕x＝，当x＞0时，反比例函数y＝在第一象限，当x＜0时，反比例函数y＝﹣在第二象限，又因为反比例函数图象是双曲线，因此D选项符合．故选：D．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的图象是双曲线．二、填空题11．计算（﹣π）0﹣（﹣1）2018的值是0 ．【分析】根据零指数幂的意义以及实数的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝1﹣1＝0，故答案为：0【点评】本题考查实数的运算，解题的关键熟练运用实数的运算法则，本题属于基础题型．12．若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于a、b的二元一次方程组的解是．【分析】利用关于x、y的二元一次方程组的解是可得m、n的数值，代入关于a、b的方程组即可求解，利用整体的思想整理找到两个方程组的联系求解的方法更好．【解答】解：方法一：∵关于x、y的二元一次方程组的解是，∴将解代入方程组可得m＝﹣1，n＝2∴关于a、b的二元一次方程组可整理为：解得：方法二：关于x、y的二元一次方程组的解是，由关于a、b的二元一次方程组可知解得：故答案为：【点评】本题考查二元一次方程组的求解，重点是整体考虑的数学思想的理解运用在此题体现明显．13．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义＝ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式．若，则x＝ 2 ．【分析】根据题中的新定义将所求的方程化为普通方程，整理后即可求出方程的解，即为x的值．【解答】解：根据题意化简＝8，得：（x+1）2﹣（1﹣x）2＝8，整理得：x2+2x+1﹣（1﹣2x+x2）﹣8＝0，即4x＝8，解得：x＝2．故答案为：2【点评】此题考查了整式的混合运算，属于新定义的题型，涉及的知识有：完全平方公式，去括号、合并同类项法则，根据题意将所求的方程化为普通方程是解本题的关键．14．如图，一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分）之间的部分关系．那么，从关闭进水管起8 分钟该容器内的水恰好放完．【分析】先根据函数图象求出进水管的进水量和出水管的出水量，由工程问题的数量关系就可以求出结论．【解答】解：由函数图象得：进水管每分钟的进水量为：20÷4＝5升设出水管每分钟的出水量为a升，由函数图象，得20+8（5﹣a）＝30，解得：a＝，故关闭进水管后出水管放完水的时间为：30÷＝8分钟．故答案为：8．【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题和用一元一次方程求出水管的出水量的运用，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．15．如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为1200（﹣1）米（结果保留根号）．【分析】在Rt△ACH和Rt△HCB中，利用锐角三角函数，用CH表示出AH、BH的长，然后计算出AB的长．【解答】解：由于CD∥HB，∴∠CAH＝∠ACD＝45°，∠B＝∠BCD＝30°在Rt△ACH中，∵∴∠CAH＝45°∴AH＝CH＝1200米，在Rt△HCB，∵tan∠B＝∴HB＝＝＝＝1200（米）．∴AB＝HB﹣HA＝1200﹣1200＝1200（﹣1）米故答案为：1200（﹣1）【点评】本题考查了锐角三角函数的仰角、俯角问题．题目难度不大，解决本题的关键是用含CH的式子表示出AH和BH．16．一块直角三角形板ABC，∠ACB＝90°，BC＝12cm，AC＝8cm，测得BC边的中心投影B1C1长为24cm，则A1B1长为cm．【分析】由题意易得△ABC∽△A1B1C1，根据相似比求A1B1即可．【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC＝12cm，AC＝8cm，∴AB＝4，∵△ABC∽△A1B1C1，∴A1B1：AB＝B1C1：BC＝2：1，即A1B1＝8cm．【点评】本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组三角形相似，利用其相似比作为相等关系求出所需要的线段．三、解答题17．先化简，再求值（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣2）2，其中x＝﹣【分析】利用平方差公式、单项式乘多项式及完全平方公式去括号，再合并同类项化简后，再将x的值代入计算可得．【解答】解：原式＝4x2﹣9﹣4x2+4x+x2﹣4x+4＝x2﹣5，当x＝﹣时，原式＝（﹣）2﹣5＝3﹣5＝﹣2．【点评】本题主要考查整式的混合运算﹣化简求值，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则．18．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【分析】（1）设每千克核桃降价x元，利用销售量×每件利润＝2240元列出方程求解即可；（2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折．【解答】（1）解：设每千克核桃应降价x元．…1分根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+×20）＝2240．…4分化简，得x2﹣10x+24＝0 解得x1＝4，x2＝6．…6分答：每千克核桃应降价4元或6元．…7分（2）解：由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元．此时，售价为：60﹣6＝54（元），设按原售价的m折出售，则有：60×＝54，解得m＝9答：该店应按原售价的九折出售．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．19．如图，矩形ABCD的两边AD、AB的长分别为3、8，E是DC的中点，反比例函数y＝的图象经过点E，与AB交于点F．（1）若点B坐标为（﹣6，0），求m的值及图象经过A、E两点的一次函数的表达式；（2）若AF﹣AE＝2，求反比例函数的表达式．【分析】（1）根据矩形的性质，可得A，E点坐标，根据待定系数法，可得答案；（2）根据勾股定理，可得AE的长，根据线段的和差，可得FB，可得F点坐标，根据待定系数法，可得m的值，可得答案．【解答】解：（1）点B坐标为（﹣6，0），AD＝3，AB＝8，E为CD的中点，∴点A（﹣6，8），E（﹣3，4），函数图象经过E点，∴m＝﹣3×4＝﹣12，设AE的解析式为y＝kx+b，，解得，∴一次函数的解析式为y＝﹣x；（2）AD＝3，DE＝4，∴AE＝＝5，∵AF﹣AE＝2，∴AF＝7，BF＝1，设E点坐标为（a，4），则F点坐标为（a﹣3，1），∵E，F两点在函数y＝图象上，∴4a＝a﹣3，解得a＝﹣1，∴E（﹣1，4），∴m＝﹣1×4＝﹣4，∴y＝﹣．【点评】本题考查了反比例函数，解（1）的关键是利用待定系数法，又利用了矩形的性质；解（2）的关键利用E，F两点在函数y＝图象上得出关于a的方程．20．某商场为缓解我市“停车难”问题，拟建造地下停车库，如图是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中，AB⊥BD，∠BAD＝18°，C在BD上，BC＝0.5m．根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入．小明认为CD的长就是所限制的高度，而小亮认为应该以CE的长作为限制的高度．小明和小亮谁说的对？请你判断并计算出正确的结果．（参考数据：sin18°＝0.31，cos18°＝0.95，tan18°＝0.325）（结果精确到0.1m）【分析】先根据CE⊥AE，判断出CE为高，再根据解直角三角形的知识解答．【解答】解：在△ABD中，∠ABD＝90°，∠BAD＝18°，BA＝10m，∵tan∠BAD＝，∴BD＝10×tan18°，∴CD＝BD﹣BC＝10×tan18°﹣0.5＝2.75（m）．在△ABD中，∠CDE＝90°﹣∠BAD＝72°，∵CE⊥ED，∴sin∠CDE＝，∴CE＝sin∠CDE×CD＝sin72°×2.75＝cos18°×2.75＝0.95×2.75＝2.6125≈2.6（m），∵2.6m＜2.75m，且CE⊥AE，∴小亮说的对．答：小亮说的对，CE为2.6m．【点评】此题考查了三角函数的基本概念，主要是正弦、正切概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．21．某校七年级共有500名学生，在“世界读书日”前夕，开展了“阅读助我成长”的读书活动．为了解该年级学生在此次活动中课外阅读情况，童威随机抽取m名学生，调查他们课外阅读书籍的数量，将收集的数据整理成如下统计表和扇形图．学生读书数量统计表阅读量/本学生人数1 152 a3 b4 5（1）直接写出m、a、b的值；（2）估计该年级全体学生在这次活动中课外阅读书籍的总量大约是多少本？【分析】（1）根据题意和统计图中的数据可以求得m、a、b的值；（2）根据统计图中的数据可以求得该年级全体学生在这次活动中课外阅读书籍的总量大约是多少本．【解答】解：（1）由题意可得，m＝15÷30%＝50，b＝50×40%＝20，a＝50﹣15﹣20﹣5＝10，即m的值是50，a的值是10，b的值是20；（2）（1×15+2×10+3×20+4×5）×＝1150（本），答：该年级全体学生在这次活动中课外阅读书籍的总量大约是1150本．【点评】本题考查扇形统计图、用样本估计总体、统计表，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．22．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝13，BD＝24，在菱形ABCD的外部以AB 为边作等边三角形ABE．点F是对角线BD上一动点（点F不与点B重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM，连接FM．（1）求AO的长；（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：AC＝AM；（3）连接EM，若△AEM的面积为40，请直接写出△AFM的周长．【分析】（1）在RT△OAB中，利用勾股定理OA＝求解，（2）由四边形ABCD是菱形，求出△AFM为等边三角形，∠M＝∠AFM＝60°，再求出∠MAC＝90°，在Rt △ACM中tan∠M＝，求出AC．（3）求出△AEM≌△ABF，利用△AEM的面积为40求出BF，在利用勾股定理AF＝＝＝，得出△AFM的周长为3．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD＝BD，∵BD＝24，∴OB＝12，在Rt△OAB中，∵AB＝13，∴OA＝＝＝5．（2）如图2，∵四边形ABCD是菱形，∴BD垂直平分AC，∴FA＝FC，∠FAC＝∠FCA，由已知AF＝AM，∠MAF＝60°，∴△AFM为等边三角形，∴∠M＝∠AFM＝60°，∵点M，F，C三点在同一条直线上，∴∠FAC+∠FCA＝∠AFM＝60°，∴∠FAC＝∠FCA＝30°，∴∠MAC＝∠MAF+∠FAC＝60°+30°＝90°，在Rt△ACM中∵tan∠M＝，∴tan60°＝，∴AC＝AM．（3）如图，连接EM，∵△ABE是等边三角形，∴AE＝AB，∠EAB＝60°，由（2）知△AFM为等边三角形，∴AM＝AF，∠MAF＝60°，∴∠EAM＝∠BAF，在△AEM和△ABF中，，∴△AEM≌△ABF（SAS），∵△AEM的面积为40，△ABF的高为AO ∴BF•AO＝40，BF＝16，∴FO＝BF﹣BO＝16﹣12＝4AF＝＝＝，∴△AFM的周长为3．【点评】本题主要考查四边形的综合题，解题的关键是灵活运用等边三角形的性质及菱形的性质．23．在平面直角坐标系中xOy中，正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…，按如图的方式放置．点A1，A2，A…、A n和点C1，C2，C3…、∁n分别落在直线y＝x+1和x轴上．抛物线L1过点A1、B1，且顶点在直线y 3＝x+1上，抛物线L2过点A2、B2，且顶点在直线y＝x+1上，…，按此规律，抛物线L n过点A n、B n，且顶点也在直线y＝x+1上，其中抛物线L1交正方形A1B1C1O的边A1B1于点D1，抛物线L2交正方形A2B2C2C1的边A2B2于点D2…，抛物线L n交正方形A n B n∁n C n﹣1的边A n B n于点D n（其中n≥2且n为正整数）．（1）直接写出下列点的坐标：B1（1，1），B2（3，2），B3（7，4）；（2）写出抛物线L2，、L3的解析式，并写出其中一个解析式的求解过程，再猜想抛物线L n的顶点坐标（3×2n﹣2﹣1，3×2n﹣2）；（3）①设A1D1＝k•D1B1，A2D2＝k2•D2B2，试判断k1与k2的数量关系并说明理由；②点D1、D2、…，D n是否在一条直线上？若是，直接写出这条直线与直线y＝x+1的交点坐标；若不是，请说明理由．【分析】（1）先求出直线y＝x+1与y轴的交点坐标即可得出A1的坐标，故可得出OA1的长，根据四边形A1B1C1O是正方形即可得出B1的坐标，再把B1的横坐标代入直线y＝x+1即可得出A1的坐标，同理可得出B2，B3的坐标；（2）根据四边形A1B1C1O是正方形得出C1的坐标，再由点A2在直线y＝x+1上可知A2（1，2），B2的坐标为（3，2），由抛物线L2的对称轴为直线x＝2可知抛物线L2的顶点为（2，3），再用待定系数法求出直线L2的解析式；根据B3的坐标为（7，3），同上可求得点A3的坐标为（3，4），抛物线L3的对称轴为直线x＝5，同理可得出直线L2的解析式；（3）①同（2）可求得L2的解析式为y＝（x﹣2）2+3，当y＝1时，求出x的值，由A1D1＝﹣D1B1，可得出k1的值，同理可得出k2的值，由此可得出结论；②由①中的结论可知点D1、D2、…，D n是否在一条直线上，再用待定系数法求出直线D1D2的解析式，求出与直线y＝x+1的交点坐标即可．【解答】解：（1）∵令x＝0，则y＝1，∴A1（0，1），∴OA1＝1．∵四边形A1B1C1O是正方形，∴A1B1＝1，∴B1（1，1）．∵当x＝1时，y＝1+1＝2，∴B2（3，2）；同理可得，B3（7，4）．故答案为：（1，1），（3，2），（7，4）；（2）抛物线L2、L3的解析式分别为：y＝﹣（x﹣2）2+3；，y＝﹣（x﹣5）2+6；抛物线L2的解析式的求解过程：对于直线y＝x+1，设x＝0，可得y＝1，A1（0，1），∵四边形A1B1C1O是正方形，∴C1（1，0），又∵点A2在直线y＝x+1上，∴点A2（1，2），又∵B2的坐标为（3，2），∴抛物线L2的对称轴为直线x＝2，∴抛物线L2的顶点为（2，3），设抛物线L2的解析式为：y＝a（x﹣2）2+3，∵L2过点B2（3，2），∴当x＝3时，y＝2，∴2＝a（3﹣2）2+3，解得：a＝﹣1，∴抛物线L2的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+3；抛物线L3的解析式的求解过程：又∵B3的坐标为（7，3），同上可求得点A3的坐标为（3，4），∴抛物线L3的对称轴为直线x＝5，∴抛物线L3的顶点为（5，6），设抛物线L3的解析式为：y＝a（x﹣5）2+6，∵L3过点B3（7，4），∴当x＝7时，y＝﹣4，∴4＝a×（7﹣5）2+6，解得：a＝﹣，∴抛物线L3的解析式为：y＝﹣（x﹣5）2+6；猜想抛物线L n的顶点坐标为（3×2n﹣2﹣1，3×2n﹣2）；（猜想过程：方法1：可由抛物线L1、L2、L3…的解析式：∵y＝﹣2（x﹣）2+，y＝﹣（x﹣2）2+3，y＝﹣（x﹣5）2+6…，归纳总结；方法2：可由正方形A n B n∁n C n﹣1顶点A n、B n的坐标规律A n（2n﹣1﹣1，2n﹣1）与B n（2n，2n﹣1），再利用对称性可得抛物线L n的对称轴为直线x＝，即x＝＝3×2n﹣2﹣1，又顶点在直线y ＝x+1上，所以可得抛物线L n的顶点坐标为（3×2n﹣2﹣1，3×2n﹣2）．故答案为：（3×2n﹣2﹣1，3×2n﹣2）；（3）①、k1与k1的数量关系为：k1＝k2，理由如下：同（2）可求得L2的解析式为y＝（x﹣2）2+3，当y＝1时，1＝﹣（x﹣2）2+3解得：x1＝2﹣，x2＝2+，∴x＝2﹣，∴A1D1＝2﹣＝（﹣1），∴D1B1＝1﹣（2﹣）＝﹣1，∴A1D1＝﹣D1B1，即k1＝；同理可求得A2D2＝4﹣2＝2（﹣1），D 2B2＝2﹣（4﹣2）＝2﹣2＝2（﹣1），A 2D2＝﹣D2B2，即k2＝，∴k1＝k2；②∵由①知，k1＝k2，∴点D1、D2、…，D n在一条直线上；∵抛物线L2的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+3，∴当y＝1时，x＝2﹣，∴D1（2﹣，1）；。
2022年北京市海淀区初三数学中考模拟(一模)试题及答案解析
2022年北京市海淀区初三数学中考模拟试题（一模）1. 如图是一个拱形积木玩具，其主视图是( )A. B.C. D.2. 2022年北京打造了一届绿色环保的冬奥会．张家口赛区按照“渗、滞、蓄、净、用、排”的原则，在古杨树场馆群修建了250000立方米雨水收集池，用于收集雨水和融雪水，最大限度减少水资源浪费．将250000用科学记数法表示应为A. 0.25×105B. 2.5×105C. 2.5×104D. 25×104 3. 如图，∠AOB=160∘，∠COB=20∘，OD平分∠AOC，则∠AOD的大小为A. 20∘B. 70∘C. 80∘D. 140∘ 4. 若一个多边形的每个外角都是30°，则这个多边形的边数为( )A. 6B. 8C. 10D. 125. 不透明的袋子中装有2个红球，3个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是( )A. 25B. 35C. 23D. 126. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是A. a<−1B. |a|<|b|C. a+b<0D. b−a<07. 北京2022年冬奥会的开幕式上，各个国家和地区代表团入场所持的引导牌是中国结和雪花融合的造型，如图1是中国体育代表团的引导牌．观察发现，图2中的图案可以由图3中的图案经过对称、旋转等变换得到．下列关于图2和图3的说法中，不正确的是( )A. 图2中的图案是轴对称图形B. 图2中的图案是中心对称图形C. 图2中的图案绕某个固定点旋转60°，可以与自身重合D. 将图3中的图案绕某个固定点连续旋转若干次，每次旋转120°，可以设计出图2中的图案8. 某校举办校庆晚会，其主舞台为一圆形舞台，圆心为O．A，B是舞台边缘上两个固定位置，由线段AB及优弧AB⌢围成的区域是表演区．若在A处安装一台某种型号的灯光装置，其照亮区域如图1中阴影所示．此时若在B处安装一台同种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，如图2中阴影所示．若将灯光装置改放在如图3所示的点M，N或P处，能使表演区完全照亮的方案可能是①在M处放置2台该型号灯光装置②在M，N处各放置1台该型号灯光装置③在P处放置2台该型号灯光装置A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③9. 若代数式2有意义，则实数x的取值范围是．x−310. 已知√2<m<√11，且m是整数，请写出一个符合要求的m的值．11. 分解因式：3m2−3n2=_________．12. 如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点．若∠APB=60°，则∠AOP的大小为_________．13. 已知关于x的一元二次方程x2−3x+m=0没有实数根，则m的取值范围是_________．14. 在平面直角坐标系xOy中，直线y=ax与双曲线y=k交于点A(−1,2)和点B，则点B的坐x标为．15. 如图，在4×4的正方形网格中，A，B，C，D，E是网格线交点，请画出一个△DEF，且F是网格线交点，使得△DEF与△ABC全等．16. 甲、乙在下图所示的表格中从左至右依次填数．如图，已知表中第一个数字是1.甲，乙轮流从2，3，…，9中选出一个数字(表中已出现的数字不再重复使用)，每次填数时，甲会选择填入后使表中现有数据方差最大的数字，乙会选择填入后使表中现有数据方差最小的数字．甲先填，请你在表中空白处填出一种符合要求的填数结果．117. 计算：√3tan60∘−√8+|−√2|−(1−π)0.18. 解不等式组：{4(x−1)<3x, 5x+32>x.19. 已知m2−2mn−3=0，求代数式(m−n)2+(m+n)(m−n)−m2的值．20. 《元史·天文志》中记载了元朝著名天文学家郭守敬主持的一次大规模观测，称为“四海测验”.这次观测主要使用了“立杆测影”的方法，在二十七个观测点测量出的各地的“北极出地”与现在人们所说的“北纬”完全吻合．利用类似的原理，我们也可以测量出所在地的纬度．如图1所示．①春分时，太阳光直射赤道．此时在M地直立一根杆子MN，在太阳光照射下，杆子MN会在地面上形成影子．通过测量杆子的长度与它的影子的长度，可以计算出太阳光与杆子MN所成的夹角α；②由于同一时刻的太阳光线可以近似看成是平行的，所以根据太阳光与杆子MN所成的夹角α可以测算得到M地的纬度，即∠MOB的大小．(1)图2是①中在M地测算太阳光与杆子MN所成夹角α的示意图．过点M作MN的垂线与直线CD交于点Q，则线段MQ可以看成是杆子MN在地面上形成的影子．使用直尺和圆规，在图2中作出影子MQ(保留作图痕迹)；(2)依据图1完成如下证明．证明：∵AB//CD，∴∠MOB=________=α()(填推理的依据)．∴M地的纬度为α．21. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，点E，F在射线AD上，且DE=DF．(1)求证：四边形BECF是菱形；(2)若AD=BC=6，AE=BE，求菱形BECF的面积．22. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=1x的图象平移2得到，且经过点(−2,0)．(1)求一次函数的解析式；(2)当x>m时，对于x的每一个值，函数y=3x−4的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围．23. 数学学习小组的同学共同探究体积为330mL圆柱形有盖容器(如图所示)的设计方案．他们想探究容器表面积与底面半径的关系．具体研究过程如下，请补充完整：(1)建立模型：设该容器的表面积为Scm2，底面半径为x cm，高为y cm，则330=πx2y，①S=2πx2+2πxy，②，代入②式得由①式得y=330πx2S=2πx2+660，③x可知，S是x的函数，自变量x的取值范围是x>0．(2)探究函数：根据函数解析式③，按照如表中自变量x的值计算(精确到个位)，得到了S与x的几组对应值：x/cm…1 1.52 2.53 3.54 4.55 5.56…S…666454355303277266266274289310336…/cm2在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；(3)解决问题：根据图表回答，①半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积______(填“大”或“小”)；②若容器的表面积为300cm2，容器底面半径约为______cm(精确到0.1)．24. 如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D为AC⌢的中点，⊙O的切线DE交OC的延长线于点E．(1)求证：DE//AC；(2)连接BD交AC于P，若AC=8，cosA=4，求DE和BP的长．525. 为增进学生对营养与健康知识的了解，某校开展了两次知识问答活动，从中随机抽取了20名学生两次活动的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析．下图是这20名学生第一次活动和第二次活动成绩情况统计图．(1)①学生甲第一次成绩是85分，则该生第二次成绩是_______分，他两次活动的平均成绩是_______分；②学生乙第一次成绩低于80分，第二次成绩高于90分，请在图中用“〇”圈出代表乙的点；(2)为了解每位学生两次活动平均成绩的情况，A，B，C三人分别作出了每位学生两次活动平均成绩的频数分布直方图(数据分成6组：70≤x<75，75≤x<80，80≤x<85，85≤x<90，90≤x<95，95≤x≤100)：已知这三人中只有一人正确作出了统计图，则作图正确的是_______；A.B.C.(3)假设有400名学生参加此次活动，估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数为___．26. 在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2−2ax(a≠0)的图象经过点A(−1,3)．(1)求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标；(2)一次函数y=2x+b的图象也经过点A，点(m,y1)在一次函数y=2x+b的图象上，点(m+4,y2)在二次函数y=ax2−2ax的图象上．若y1>y2，求m的取值范围．27. 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，D为边BC上一动点，点E在边AC上，CE=CD.点D关于点B的对称点为点F，连接AD，P为AD的中点，连接PE，PF，EF．(1)如图1，当点D与点B重合时，写出线段PE与PF之间的位置关系与数量关系；(2)如图2，当点D与点B，C不重合时，判断请问(1)中所得的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请举出反例．28. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x1,y1)，给出如下定义：当点Q(x2,y2)满足x1+x2= y1+y2时，称点Q是点P的等和点．已知点P(2,0)．(1)在Q1(0,2)，Q2(−2,−1)，Q3(1,3)中，点P的等和点有______；(2)点A在直线y=−x+4上，若点P的等和点也是点A的等和点，求点A的坐标；(3)已知点B(b,0)和线段MN，对于所有满足BC=1的点C，线段MN上总存在线段PC上每个点的等和点．若MN的最小值为5，直接写出b的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图；注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．找到从前面看所得到的图形即可．【解答】解：从前面观察物体可以发现，其主视图是2.【答案】B【解析】【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值⩾10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数，据此解答即可．【解答】解：250000用科学记数法表示应为2.5×105．3.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查的是角的计算，角平分线的定义的有关知识，先求出∠AOC，然后利用角平分线的定义进行求解即可．【解答】解：∵∠AOB=160∘，∠COB=20∘，∴∠AOC=∠AOB−∠COB=160°−20°=140°，∵OD平分∠AOC，∴∠AOD=12∠AOC=12×140°=70°．4.【答案】D【解析】解：多边形的外角的个数是360÷30=12，所以多边形的边数是12．故选D．利用任何多边形的外角和是360°即可求出答案．本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容．5.【答案】A【解析】【分析】此题考查了概率公式的应用．用红球的数量除以球的总数量即可求得摸到红球的概率．【解答】解：∵不透明的袋子里装有2个红球、3个黑球，∴从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是：22+3=25．故选A．6.【答案】B【解析】解：由数轴可知：−1<a<0<b，|b|>|a|，∴a>−1，a+b>0，b−a>0，|a|<|b|，∴A，C，D都错误，B正确，故选B．先根据数轴上各点的位置判断出a，b的符号及|a|与|b|的大小，再进行计算即可判定选择项．此题主要考查了实数的大小的比较．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查旋转对称图形，生活中的旋转现象等知识，解题的关键是理解题意，掌握正六边形的性质，属于中考常考题型．“图案”可以看成正六边形，根据正六边形的中心角为60°，即可解决问题．【解答】解：“图案”可以看成正六边形，∵正六边形的中心角为60°，∴这个图案至少旋转60°能与原图案重合．此图案既是中心对称图形，又是轴对称图形，则图3中的图案绕某个固定点连续旋转若干次，每次旋转120°，可以设计出图2中的图案的说法是错误的故选D．8.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了圆周角定理，解答本题的关键是掌握利用圆周角定理证明角相等的思路与方法；根据“同弧所对的圆周角相等”进行解答，即可求解．【解答】解： ①在M处放置2台该型号的灯光装置，如图：根据圆周角定理可得∠AMC=∠ABC，∠BMC=∠BAC，∴在M处放置2台该型号的灯光装置，能使表演区完全照亮； ②在M，N处各放置1台该型号的灯光装置，如图：根据圆周角定理可得∠ANC=∠ABC，∠BMC=∠BAC，∴在M，N处各放置1台该型号的灯光装置，能使表演区完全照亮； ③在P处放置2台该型号的灯光装置，如图：根据圆周角定理可得∠APB=∠ACB，∠BPC=∠BAC，∴在P处放置2台该型号的灯光装置，不能使表演区完全照亮;综上所述，能使表演区完全照亮的方案可能是 ① ②．故选A．9.【答案】x≠3【解析】解：根据题意得x−3≠0，解得x≠3，故答案为：x≠3．根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案．本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键．10.【答案】2或3(写一个即可)【解析】解：∵1<√2<2，3<√11<4，又√2<m<√11，且m是整数，∴m=2或m=3，故答案为：2或3(写一个即可)．按要求写出一个符合条件的m的值即可．本题考查无理数大小的估算，解题的关键是能能正确估算√2、√11的近似值．11.【答案】3(m+n)(m−n)【解析】解：原式=3(m2−n2)=3(m+n)(m−n)．故答案为：3(m+n)(m−n)原式提取3，再利用平方差公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12.【答案】60°【解析】【分析】本题考查了切线长定理和切线的性质，是基础知识比较简单．由切线长定理，可得OP平分∠APB，再由切线的性质得∠PAO=90°，再根据直角三角形的性质即可得出∠ABO的度数．【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，∠APB=60°，∴OP平分∠APB，∴∠PBA=60°，∵∠APO=30°，∴∠AOP=90°−30°=60°．故答案为60°．13.【答案】m>94【解析】【分析】此题考查了一元二次方程的根的判别式，根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程没有实数根．根据方程没有实数根，得到根的判别式小于0列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m 的范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2−3x+m=0没有实数根，∴△=b2−4ac=9−4m<0，．解得：m>94故答案为：m>9．414.【答案】(1,−2)交于点A(−1,2)和点B，【解析】解：∵直线y=ax与双曲线y=kx∴点A、B关于原点对称，∴B(1,−2)，故答案为：(1,−2)．根据反比例函数图象的中心对称性即可求得点B的坐标．本题是正比例函数与反比例函数的交点问题，考查了反比例函数的性质，应用反比例函数的中心对称性是解题的关键．15.【答案】解：如图，△EFD即为所求．【解析】此题考查格点作图和全等三角形的判定，根据AB和AC是小正方形的一条边和对角线，ED 对应AC，EF对应AB，找到点F，连接DF、EF即可求解.(答案不唯一)16.【答案】9；5；2；4或9；5；8；6(答案不唯一)【解析】【分析】本题主要考查了方差，解答本题的关键是理解方差的意义；根据方差的意义依次从剩余的数中选取数字填写即可．【解答】填表如下(答案不唯一)：19524或19586故答案为9；5；2；4或9；5；8；6(答案不唯一)．17.【答案】解：原式=√3×√3−2√2+√2−1，=2−√2．【解析】此题考查了实数的运算，掌握好运算法则是解题的关键．根据特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂计算即可．18.【答案】解：{4(x−1)<3x①5x+32>x②,解不等式①，得x<4.解不等式②，得x>−1.∴原不等式组的解集为−1<x<4．【解析】本题考查了一元一次不等式组的解法，关键先求出每一个不等式的解集.先求出每一个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集．19.【答案】解：(m−n)2+(m+n)(m−n)−m2=m2−2mn+n2+m2−n2−m2=m2−2mn.∵m2−2mn−3=0，∴m2−2mn=3.∴原式=3.【解析】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，主要考查学生的化简能力，运用整体代入法是解此题的关键，难度适中．根据完全平方公式，平方差公式计算，再代入求值，即可．20.【答案】解：(1)如图所示，线段MQ即为所求．(2)∠OND，两直线平行，内错角相等．【解析】【分析】本题主要考查平行投影的知识和平行线的性质的运用，尺规作图．(1)过M作MN的垂线，交CD于点Q，则MQ即为所求;(2)根据平行线的性质即可解答．解：(1)见答案;(2)∵AB//CD ，∴∠MOB =∠OND =α(两直线平行，内错角相等)∴M 地的纬度为α．21.【答案】(1)证明：∵ D 是BC 的中点，∴ BD =CD ．∵ DE =DF ，∴四边形BECF 是平行四边形．∵ AB =AC ，D 是BC 中点，∴ AD ⊥BC ．∴平行四边形BECF 是菱形．(2)解：∵ BC =6，D 为BC 中点，∴ BD =12BC =3． 设DE =x ，∵ AD =6，∴ AE =AD −DE =6−x ．∴ BE =AE =6−x ．∵ AD ⊥BC ，∴ ∠BDE =90°．∴在Rt △BDE 中，BD 2+DE 2=BE 2．∴ 32+x 2=(6−x )2．解得：x =94，即DF =DE =94． ∴ EF =DF +DE =92． ∴ S 菱形BECF =12BC ⋅EF =272．【解析】本题考查的是菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，等有关知识．(1)先证明四边形BECF 是平行四边形，再根据等腰三角形的性质可得AD ⊥BC.结合菱形的判定得(2)设DE =x ，利用勾股定理可求解x 值，结可求解EF 的长，再利用菱形的面积公式进而解答即可22.【答案】(1)解：∵ y =kx +b(k ≠0)的图象由y =12x 平移得到，∴ k =12. ∵函数图象过(−2,0)，∴ −2k +b =0，即−1+b =0．∴ b =1.∴这个一次函数的解析式为y =12x +1. (2)∵当x >m 时，对于x 的每一个值，函数y =3x −4的值大于一次函数y =kx +b 的值， ∴m ≥2.【解析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．(1)先根据直线平移时k 的值不变得出k =12，再将点(−2,0)代入y =12x +b ，求出b 的值，即可得到一次函数的解析式；(2)根据题意即可求得．23.【答案】解：(2)函数图象如图所示：(3)大；2.5或5.3．【解析】解：(2)(3)①根据图表可知，半径为2.4cm 的圆柱形容器比半径为4.4cm 的圆柱形容器表面积大，故答案为：大．②根据图表可知，当S=300cm2，x≈2.5cm或x≈5.3cm，故答案为：2.5或5.3．【分析】(2)根据图象上点连线即可；(3)根据图表即可求出答案．本题考查了函数的图象，根据结合图象和表格信息是解题的关键．24.【答案】(1)证明：连接OD，与AC交于H，如图．∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE．∴∠ODE=90°．∵D为AC⌢的中点，∴AD⌢=CD⌢．∴∠AOD=∠COD．∵AO=CO，∴OH⊥AC．∴∠OHC=90°=∠ODE．∴DE//AC.(2)解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∵AC=8，cosA=4，5∴在Rt△ABC中，AB=AC=10．cosA∴OA=OB=OD=5．∵OH⊥AC，∴AH=CH=12AC=4．∴OH=√AO2−AH2=3．∵DE//AC，∴△OCH∽△OED．∴CH DE =OHOD=35．∴DE=203.∵∠BCH=∠DHC=90°，∠AFD=∠CFB，∴△BCF∽△DHF．∴BC DH =CFHF．∵BC=√AB2−AC2=6，DH=OD−OH=2，∴CF=3HF．∵CF+HF=CH=4，∴CF=3．∴BF=√BC2+CF2=3√5.【解析】本题主要考查的是勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行线的判定，切线的性质，三角形的外接圆，圆周角定理等有关知识．(1)连接OD，与AC交于H，利用切线的性质得到OD⊥DE，进而求出∠AOD=∠COD，根据AO=CO 得到OH⊥AC，进而得到∠OHC=90°=∠ODE，进而证出此题；(2)先利用解直角三角形求出AB，进而求出AH=CH=12AC=4，然后利用勾股定理和相似三角形的判定和性质进行求解即可．25.【答案】解：(1)①90，87.5②如图：(2)B；(3)180【解析】【分析】本题考查的是条形统计图，平均数，用样本估计总体有关知识．(1)①根据图象直接解答即可②根据题意作出图形；(2)根据直方图进行解答即可；(3)利用400乘以两次活动平均成绩不低于90分的学生人数的比例即可．【解答】解：(1)①学生甲第一次成绩是85分，则该生第二次成绩是90分，=87.5分他两次活动的平均成绩是85+902②见答案；(2)根据题意可得作图正确的是B=180人(3)400×5+420答：两次活动平均成绩不低于90分的学生人数为180人26.【答案】解：(1)∵二次函数y=ax2−2ax的图象过点A(−1,3)，∴a+2a=3，解得：a=1．∴二次函数的解析式为y=x2−2x.∵y=x2−2x=(x−1)2−1，∴顶点坐标为(1,−1).(2)解：如图：∵一次函数y=2x+b的图象也经过点A(−1,3)，∴−2+b=3，解得：b=5．∴一次函数的解析式为y=2x+5．如图，将函数y=2x+5的图象向右平移4个单位长度，得到函数y=2x−3的图象．∴点(3,3)在函数y=2x−3的图象上．∵点(3,3)也在函数y=x2−2x的图象上，∴函数y=2x−3图象与y=x2−2x图象的交点为(1,−1)和(3,3)．∵点(m,y1)在函数y=2x+5的图象上，∴点(m+4,y1)在函数y=2x−3的图象上．∵点(m+4,y2)在函数y=x2−2x的图象上，∴要使y1>y2，只需1<m+4<3．∴−3<m<−1.【解析】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征有关知识．(1)将点A(−1,3)代入二次函数中求出a，然后再配成顶点式，即可解答；(2)先求出一次函数的解析式，然后再根据函数的图象解答即可．27.【答案】解：(1)PE⊥PF，PF=√3PE;∵P为AD的中点∴AP=PB=PF∵∠ABC=90°，∠BAC=30°∴∠C=60°∵CE=CD∴△BCE是等边三角形∴∠CBE=60°∴∠ABE=30°∴∠A=∠ABE∴AE=BE∴PE⊥AB∴AE=2PE∴AP=√3PE∴PF=√3PE;(2)仍然成立．连接DE，延长EP到点G，使得EP=PG，连接FG，GD，∵∠ABC=90°，∠BAC=30°，∴∠C=90°−∠BAC=60°．∵CD=CE，∴△CDE为等边三角形．∴∠CED=60°，DE=CE．∵P为AD中点，∴AP=DP．∵EP=PG，∠APE=∠DPG，∴△APE≌△DPG．∴∠EAP=∠PDG，AE=DG．∴AE//DG．∴∠EDG=∠DEC=60°．∴∠EDG=∠C．设CD=CE=a，BD=b，∴BC=BD+CD=a+b．∵∠ABC=90°，∠BAC=30°，∴AC=2BC=2a+2b．∴AE=AC−CE=a+2b．∵D，F关于AB对称，∴BF=BD=b．∴CF=BC+BF=a+2b=AE．∴DG=CF．∴△EDG≌△ECF．∴EG=EF，∠CEF=∠DEG．∴∠FEG=∠CED=60°．∴△EFG为等边三角形．∵P为EG中点，∴PF⊥EG．∴在Rt△PEF中，PF=PE⋅tan∠PEF=√3PE．【解析】本题考查轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，30°直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形的性质．(1)先证AP=PF，再证△BCE是等边三角形，再证△ABE是等腰三角形，即可解答;(2)连接DE，延长EP到点G，使得EP=PG，连接FG，GD，先证△APE≌△DPG，得出∠EAP=∠PDG，AE=DG，设CD=CE=a，BD=b，BC=BD+CD=a+b，根据对称的性质得出BF=BD=b，再证△EDG≌△ECF，得出△EFG为等边三角形，即可解答．28.【答案】解：(1)Q1(0,2)，则2+0=0+2，∴Q1(0,2)是点P的等和点；Q2(−2,−1)，则2+(−2)≠0+(−1)，∴Q2(−2,−1)不是点P的等和点；Q3(1,3)，则2+1=0+3，∴Q3(1,3)是点P的等和点；故答案为：Q1，Q3；(2)设点P(2,0)的等和点为(m,n)，∴2+m=n，设A(t,−t+4)，则A点的等和点为(m,n)，∴t+m=−t+4+n，∴t=3，∴A(3,1)；(3)b=2−4√2或b=2+4√2【解析】本题考查新定义问题，理解新定义，将所求问题与圆相结合是解题的关键．(1)根据定义判断即可；(2)设点P(2,0)的等和点为(m,n)，则2+m=n，设A(t,−t+4)，则A点的等和点为(m,n)，则t+ m=−t+4+n，即可求A(3,1)；。
北京市海淀区2022届高三一模数学试题(含答案解析)
北京市海淀区2022届高三一模数学试题(含答案解析)北京市海淀区2022届高三一模数学试题学校:___________ 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________一、单选题1.已知集合 $A=\{x-1\leq x\leq 2\}$，$B=\{x|x>0\}$，则$A\cup B=$（）A。
$\{x|x\leq 2\}$B。
$\{x|x\geq -1\}$C。
$\{x|x>-1\}$D。
$\{x|x>0\}$2.在复平面内，复数 $z$ 对应的点为 $(1,-1)$，则$z(1+i)=$（）A。
$2$B。
$2i$C。
$-2i$D。
$-2$3.双曲线 $-y^2=1$ 的离心率为（）A。
$\sqrt{3}$B。
$\sqrt{6}$C。
$\frac{\sqrt{23}}{3}$D。
$3$4.在 $(x-x_0)^4$ 的展开式中，$x^2$ 的系数为（）A。
$-1$B。
$1$C。
$-4$D。
$4$5.下列说法中正确的是A。
平行于同一直线的两个平面平行B。
垂直于同一直线的两个平面平行C。
平行于同一平面的两条直线平行D。
垂直于同一平面的两个平面平行6.已知直线 $l:ax+by=1$ 是圆 $x^2+y^2-2x-2y=0$ 的一条对称轴，则 $ab$ 的最大值为（）A。
$\frac{1}{4}$B。
$\frac{1}{2}$C。
$1$D。
$2$7.已知角 $\alpha$ 的终边绕原点 $O$ 逆时针旋转 $\pi$ 后与角 $\beta$ 的终边重合，且 $\cos(\alpha+\beta)=1$，则$\alpha$ 的取值可以为（）A。
$\frac{\pi}{6}$B。
$\frac{\pi}{3}$C。
$\frac{2\pi}{3}$D。
$\frac{5\pi}{6}$8.已知二次函数 $f(x)$ 的图象如图所示，将其向右平移$2$ 个单位长度得到函数 $g(x)$ 的图象，则不等式$g(x)>\log_2x$ 的解集是（）A。
2020年北京市海淀区高考数学一模试卷(附答案详解)
2020年北京市海淀区高考数学一模试卷1.在复平面内，复数i(2−i)对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合A={x|0<x<3}，A∩B={1}，则集合B可以是()A. {1,2}B. {1,3}C. {0,1,2}D. {1,2,3}3.已知双曲线x2−y2b2=1(b>0)的离心率为√5，则b的值为()A. 1B. 2C. 3D. 44.已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是()A. b−a<c+aB. c2<abC. cb >caD. |b|c<|a|c5.在(1x−2x)6的展开式中，常数项为()A. −120B. 120C. −160D. 1606.如图，半径为1的圆M与直线l相切于点A，圆M沿着直线l滚动．当圆M滚动到圆M′时，圆M′与直线l相切于点B，点A运动到点A′，线段AB的长度为3π2，则点M′到直线BA′的距离为()A. 1B. √32C. √22D. 127.已知函数f(x)=|x−m|与函数g(x)的图象关于y轴对称．若g(x)在区间(1,2)内单调递减，则m的取值范围为()A. [−1,+∞)B. (−∞,−1]C. [−2,+∞)D. (−∞,−2]8.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为()A. √5B. 2√2C. 2√3D. √139.若数列{a n}满足a1=2，则“∀p，r∈N∗，a p+r=a p a r”是“{a n}为等比数列”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10.形如22n+1(n是非负整数)的数称为费马数，记为F n.数学家费马根据F0，F1，F2，F3，F4都是质数提出了猜想：费马数都是质数．多年之后，数学家欧拉计算出F5不是质数，那么F5的位数是()(参考数据：lg2≈0.3010)A. 9B. 10C. 11D. 1211.已知点P(1,2)在抛物线C：y2=2px上，则抛物线C的准线方程为______．12.在等差数列{a n}中，a1=3，a2+a5=16，则数列{a n}的前4项的和为______．13.已知非零向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=|a⃗−b⃗ |，则(a⃗−12b⃗ )⋅b⃗ =______．14.在△ABC中，AB=4√3，∠B=π4，点D在边BC上，∠ADC=2π3，CD=2，则AD=；△ACD的面积为．15.如图，在等边三角形ABC中，AB=6.动点P从点A出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A点，记P运动的路程为x，点P 到此三角形中心O距离的平方为f(x)，给出下列三个结论：①函数f(x)的最大值为12；②函数f(x)的图象的对称轴方程为x=9；③关于x的方程f(x)=kx+3最多有5个实数根．其中，所有正确结论的序号是______．16.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，AB=BB1=2BC=2，BC1=√3，点E为A1C1的中点．(Ⅰ)求证：C1B⊥平面ABC；(Ⅱ)求二面角A−BC−E的大小．17.已知函数f(x)=2cos2ω1x+sinω2x.(Ⅰ)求f(0)的值；(Ⅱ)从①ω1=1，ω2=2；②ω1=1，ω2=1这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f(x)在[−π2,π6]上的最小值，并直接写出函数f(x)的一个周期．18.科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障．如图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图：其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值(单位：十亿元)．(Ⅰ)从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；(Ⅱ)从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的分布列和数学期望；(Ⅲ)根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由．19.已知函数f(x)=e x+ax．(Ⅰ)当a=−1时，①求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；②求函数f(x)的最小值；(Ⅱ)求证：当a∈(−2,0)时，曲线y=f(x)与y=1−lnx有且只有一个交点．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，A1(−a,0)，A2(a,0)，B(0,b)，△A1BA2的面积为2．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线A1B与直线A2M交于点P，直线A1M与直线A2B交于点Q.求证：△BPQ为等腰三角形．21.已知数列{a n}是由正整数组成的无穷数列．若存在常数k∈N∗，使得a2n−1+a2n=ka n对任意的n∈N∗成立，则称数列{a n}具有性质Ψ(k)．(Ⅰ)分别判断下列数列{a n}是否具有性质Ψ(2)；(直接写出结论)①a n=1；②a n=2n．(Ⅱ)若数列{a n}满足a n+1≥a n(n=1,2,3,…)，求证：“数列{a n}具有性质Ψ(2)”是“数列{a n}为常数列”的充分必要条件；(Ⅲ)已知数列{a n}中a1=1，且a n+1>a n(n=1,2,3,…).若数列{a n}具有性质Ψ(4)，求数列{a n}的通项公式．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．首先进行复数的乘法运算，得到复数的代数形式的标准形式，根据复数的实部和虚部写出对应的点的坐标，看出所在的象限．【解答】解：∵复数z=i(2−i)=−i2+2i=1+2i，∴复数对应的点的坐标是(1,2)，这个点在第一象限，故选A．2.【答案】B【解析】解：∵A={x|0<x<3}，A∩B={1}，∴集合B可以是{1,3}．故选：B．根据A={x|0<x<3}，A∩B={1}，即可得出集合B可能的情况．本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】B=1(b>0)的离心率为√5，【解析】解：双曲线x2−y2b2可得√b2+1=√5，解得b=2，1故选：B．利用双曲线的离心率公式，列出方程，求解b即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．4.【答案】D【解析】解：(法1)根据数轴可得c<b<a<0且|c|>|b|>|a|，对于A：因为c<b，a<0，所以c+a<c，b−a>b，则c+a<c<b−a，即c+a< b−a，故A错误；对于B：因为c<b<a<0，|c|>|b|>|a|，所以c2>b2>a2，且b2>ab，所以c2> b2>ab，则c2>ab，故B错误；对于C：因为b<a<0，所以1b >1a，则cb<ca，故C错误；对于D：因为|b|>|a|，且c<0，所以|b|c<|a|c，故D正确，(法2)不妨令c=−5，b=−4，a=−1，则c+a=−6<b−a=−3，故A错误；c2=25>ab=4，故B错误；cb =54<ca=5，故C错误；故选：D．法1：根据数轴得到c<b<a<0且|c|>|b|>|a|，结合不等式基本性质逐一进行判断即可；法2：用特值法带入验证即可．本题考查不等式的相关应用，考查合情推理，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：由题意得：T k+1=(−2)k C6k x2k−6，令2k−6=0得k=3，故常数项为T4=(−2)3C63=−160．故选：C．先求出通项，然后令x的指数为零即可．本题考查二项式展开式通项的应用和学生的运算能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：根据条件可知圆周长=2π，因为BA =32π=34×2π，故可得A’位置如图：∠A′M′B =90°，则△A′M′B 是等腰直角三角形， 则M′到A′M 的距离d =√22r =√22，故选：C ．根据条件可得圆旋转了34个圆，作图可得到△A′M′B 是等腰直角三角形，进而可求得M′到A′M 的距离．本题考查点到直线的距离，考查圆旋转的长度求法，数中档题．7.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f(x)=|x −m|与函数g(x)的图象关于y 轴对称．若g(x)在区间(1,2)内单调递减， 则f(x)在区间(−2,−1)上递增，而f(x)=|x −m|={x −m,x ≥m −x +m,x <m ，在区间(m,+∞)上为增函数，则有m ≤−2，即m 的取值范围为(−∞,−2]； 故选：D ．根据题意，分析可得f(x)在区间(−2,−1)上递增，将f(x)写成分段函数的形式，分析可得f(x)在区间(m,+∞)上为增函数，据此可得m 的取值范围．本题考查函数的单调性，涉及函数之间的对称性、不等式的解法，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：根据几何体的三视图可得直观图为：该几何体为四棱锥体， 如图所示：所以最长的棱长AB =√22+22+22=2√3． 故选：C ．首先把三视图转换为直观图，进一步求出最大棱长．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的棱长的求法和应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9.【答案】A【解析】解：“∀p，r∈N∗，a p+r=a p a r”，取p=n，r=1，则a n+1=2a n，∴{a n}为等比数列，充分性成立．若{a n}为等比数列，则a p+r=2×q p+r−1，a p a r=22⋅q p+r−2，只有q=2时才能成立，必要性不成立．∴数列{a n}满足a1=2，则“∀p，r∈N∗，a p+r=a p a r”是“{a n}为等比数列”的充分不必要条件．故选：A．利用等比数列的定义、通项公式即可判断出结论．本题考查了等差数列的通项公式，充分必要条件的判断，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查指对数运算，考查学生阅读理解能力．根据所给定义表示出F5≈109.632×109，进而即可判断出其位数．【解答】解：根据题意，F5=225+1=232+1≈232=10lg232=1032lg2≈1032×0.3010= 109.632=100.632×109，因为1<100.632<10，所以F5的位数是10．故选：B．11.【答案】x=−1【解析】解：把点P(1,2)代入抛物线方程有，4=2p，∴p=2，=−1．∴抛物线的准线方程为x=−p2故答案为：x=−1．把点P的坐标代入抛物线的方程可求得p，而准线方程为x=−p2，从而得解．本题考查抛物线的方程、准线方程等，考查学生的运算能力，属于基础题．12.【答案】24【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=3，a2+a5=16，∴2×3+5d=16，解得d=2．则数列{a n}的前4项的和=4×3+4×32×2=24．故答案为：24．利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.【答案】0【解析】解：因为非零向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=|a⃗−b⃗ |，∴a⃗2=a⃗2−2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2⇒a⃗⋅b⃗ =12b⃗ 2；则(a⃗−12b⃗ )⋅b⃗ =a⃗⋅b⃗ −12b⃗ 2=0．故答案为：0．把所给条件平方整理得到a⃗⋅b⃗ =12b⃗ 2；代入数量积即可求解结论．本题考查向量的数量积以及模长的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．14.【答案】4√22√6【解析】【分析】本题主要考查正弦定理以及三角形的面积，属于基础题目．先根据正弦定理求得AD，进而求得三角形的面积．【解答】 解：如图：因为在△ABC 中，AB =4√3，∠B =π4，点D 在边BC 上，∠ADC =2π3，CD =2，所以：ADsin∠ABD =ABsin∠ADB ⇒AD =4√3×sinπ4sin π3=4√2；S △ACD =12⋅AD ⋅CD ⋅sin∠ADC =12×4√2×2×sin 2π3=2√6；故答案为：4√2，2√6．15.【答案】①②【解析】解：由题可得函数f(x)={3+(x −3)2,0≤x <63+(x −9)2,6≤x <123+(x −15)2,12≤x ≤18，作出图象如图：则当点P 与△ABC 顶点重合时，即x =0，6，12，18时，f(x)取得最大值12，故①正确； 又f(x)=f(18−x)，所以函数f(x)的对称轴为x =9，故②正确；由图象可得，函数f(x)图象与y =kx +3的交点个数最多为6个，故方程最多有6个实根，故③错误． 故答案为：①②．写出函数解析式并作出图象，数形结合进行逐一分析．本题考查命题的真假性判断，涉及函数的应用、图象与性质，数形结合思想，逻辑推理能力，属于难题．16.【答案】(Ⅰ)证明：因为AB ⊥平面BB 1C 1C ，C 1B ⊂平面BB 1C 1C 所以AB ⊥C 1B .在△BCC 1中，BC =1，BC 1=√3，CC 1=2，所以BC 2+BC 12=CC 12． 所以CB ⊥C 1B .因为AB ∩BC =B ，AB ，BC ⊂平面ABC ， 所以C 1B ⊥平面ABC ．(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，AB ⊥C 1B ，BC ⊥C 1B ，AB ⊥BC ， 如图，以B 为原点建立空间直角坐标系B −xyz ．则B(0,0,0)，E(−12,√3,1)，C(1,0,0)．BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,√3,1)． 设平面BCE 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)， 则{n⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即{x =0,−12x +√3y +z =0. 令y =√3则x =0，z =−3， 所以n ⃗ =(0,√3,−3)．又因为平面ABC 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(0,1,0)， 所以cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=12． 由题知二面角A −BC −E 为锐角，所以其大小为π3．【解析】(Ⅰ)证明AB ⊥C 1B .CB ⊥C 1B .利用直线与平面垂直的判断定理证明C 1B ⊥平面ABC ．(Ⅱ)以B 为原点建立空间直角坐标系B −xyz.求出平面BCE 的法向量，平面ABC 的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的大大小即可，本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力，是中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)由函数f(x)=2cos 2ω1x +sinω2x ，则f(0)=2cos 20+sin0=2；(Ⅱ)选择条件①，则f(x)的一个周期为π；由f(x)=2cos 2x +sin2x=(cos2x +1)+sin2x =√2(√22sin2x +√22cos2x)+1 =√2sin(2x +π4)+1；因为x ∈[−π2,π6]，所以2x +π4∈[−3π4,7π12]；所以−1≤sin(2x +π4)≤1， 所以1−√2≤f(x)≤1+√2； 当2x +π4=−π2，即x =−3π8时，f(x)在[−π2,π6]取得最小值为1−√2． 选择条件②，则f(x)的一个周期为2π； 由f(x)=2cos 2x +sinx=2(1−sin 2x)+sinx=−2(sinx −14)2+178；因为x ∈[−π2,π6]，所以sinx ∈[−1,12]；所以当sinx =−1，即x =−π2时，f(x)在[−π2,π6]取得最小值为−1．【解析】(Ⅰ)由函数f(x)的解析式求出f(0)的值； (Ⅱ)选择条件①时f(x)的一个周期为π，利用三角恒等变换化简f(x)，再求f(x)在[−π2,π6]的最小值． 选择条件②时f(x)的一个周期为2π，化简f(x)，利用三角函数的性质求出f(x)在[−π2,π6]的最小值．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化与运算能力，是基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)设事件A 为“从2010年至2019年中随机选取一年，研发投入占当年总营收的百分比超过10%”，从2010年至2019年一共10年，其中研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年， 所以P(A)=910．(Ⅱ)由图表信息，从2010年至2019年10年中有5年研发投入超过500亿元，所以X 的所有可能取值为0，1，2．且P(X =0)=C 52C 102=29；P(X =1)=C 51C 51C 102=59；P(X =2)=C 52C 102=29．所以X 的分布列为：故X 的期望E(X)=0×29+1×59+2×29=1．(Ⅲ)从两个方面可以看出，该公式是比较重视研发的：一、从2010年至2019年，每年的研发投入是逐年增加的(2018年除外)，并且增加的幅度总体上逐渐加大；二、研发投入占营收的比例总体上也是逐渐增加的，虽然2015年往后有些波动，但是总体占比还是较高的．【解析】(Ⅰ)按照古典概型概率计算公式计算即可；(Ⅱ)显然这是一个超几何分布，按照超几何分布的概率计算方法，分别算出随机变量X 取0，1，2时的概率，然后画出分布列，即可求期望；(Ⅲ)结合折线图从“每年的研发投入”“研发投入占营收比”的变化来分析即可． 本题考查离散型随机变量的分布列、期望的求法，注意对题意的理解需到位、准确．同时考查学生的数学建模的素养，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)①当a =−1时，f(x)=e x −x ，则 f′(x)=e x −1．所以f′(0)=0． 又f(0)=1，所以曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y =1； ②令f′(x)=0，得x =0，此时f′(x)，f(x)随x 的变化如下：可知f(x)min =f(0)=1，函数f(x)的最小值为1． (Ⅱ)证明：由题意可知，x ∈(0,+∞)，令g(x)=e x +ax +lnx −1，则g′(x)=e x +1x +a ， 由(Ⅰ)中可知e x −x ≥1，故 e x ≥1+x ，因为a ∈(−2,0)，则g′(x)=e x +1x+a ≥(x +1)+1x+a ≥2√x ⋅1x+a +1=3+a >0，所以函数g(x)在区间(0,+∞)上单调递增， 因为g(1e)=e 1e +ae−2<e 12−2<0，又因为g(e)=e e +ae >e 2−2e >0， 所以g(x)有唯一的一个零点．即函数y =f(x)与y =1−lnx 有且只有一个交点．【解析】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的最值，函数的零点等问题，考查运算求解能力及推理论证能力，属于中档题．(Ⅰ)①将a =−1代入，求导，求出切线斜率及切点，利用点斜式方程即得解； ②求出函数函数f(x)的单调性情况，进而得出最值；(Ⅱ)即证函数g(x)=e x +ax +lnx −1仅有一个零点，利用导数可知函数g(x)在区间(0,+∞)上单调递增，结合零点存在性定理即得证．20.【答案】解：(Ⅰ)由题{ca=√32,ab =2,a 2=b 2+c 2.解得{a =2,b =1.所以椭圆方程为x 24+y 2=1．( II)解法1证明：设直线A 2M 方程为y =k(x −2)(k ≠0且k ≠±12)，直线A 1B 方程为y =12x +1 由{y =k(x −2),y =12x +1.解得点P(4k+22k−1,4k 2k−1)． 由{y =k(x −2),x 24+y 2=1.得(4k +1)x 2−16k 2x +16k 2−4=0， 则2x M =16k 2−44k 2+1．所以x M =8k 2−24k 2+1，y M =−4k4k 2+1．即M(8k 2−24k 2+1,−4k4k 2+1)．k A 1M =−4k 4k 2+18k 2−24k 2+1+2=−14k ．于是直线A 1M 的方程为y =−14k (x +2)，直线A 2B 的方程为y =−12x +1．由{y =−14k (x +2)y =−12x +1解得点Q(4k+22k−1,−22k−1)． 于是x P =x Q ，所以PQ ⊥x 轴． 设PQ 中点为N ，则N 点的纵坐标为4k 2k−1+−22k−12=1．故PQ 中点在定直线y =1上．从上边可以看出点B 在PQ 的垂直平分线上，所以|BP|=|BQ|， 所以△BPQ 为等腰三角形． 解法2证明：设M(x 0,y 0)(x 0≠±2,y 0≠±1)则x 02+4y 02=4． 直线A 2M 方程为y =yx 0−2(x −2)，直线A 1B 方程为y =12x +1．由{y =y0x 0−2(x −2),y =12x +1.解得点P(2x 0+4y 0−42y 0−x 0+2,4y 02y0−x 0+2)．直线A 1M 方程为y =yx 0+2(x +2)，直线A 2B 方程为y =−12x +1．由{y =yx 0+2(x +2),y =−12x +1.解得点Q(2x 0−4y 0+42y 0+x 0+2,4y 02y0+x 0+2)．x P −x Q =2x 0+4y 0−42y 0−x 0+2−2x 0−4y 0+42y 0+x 0+2=2(x 0+2y 0−2)(2y 0+x 0+2)−2(x 0−2y 0+2)(2y 0−x 0+2)(2y 0−x 0+2)(2y 0+x 0+2)=2[(x 0+2y 0)2−4)−(4−(x 0−2y 0)2](2y 0−x 0+2)(2y 0+x 0+2)=0．于是x P =x Q ，所以PQ ⊥x 轴．y P +y Q =4y 02y0−x 0+2+4y 02y 0+x 0+2=4y 0(4y 0+4)(2y 0−x 0+2)(2y 0+x 0+2)=4y 0(4y 0+4)(2y 0+2)2−x 02=2．故PQ 中点在定直线y =1上．从上边可以看出点B 在PQ 的垂直平分线上，所以|BP|=|BQ|， 所以△BPQ 为等腰三角形．【解析】(Ⅰ)由题{ca=√32,ab =2,a 2=b 2+c 2.，求出a ，b ，即可得到椭圆方程．(II)解法1，设直线A 2M 方程为y =k(x −2)(k ≠0且k ≠±12)，直线A 1B 方程为y =12x +1，通过联立直线与椭圆方程组，求出M 坐标，Q 坐标，推出|BP|=|BQ|，即可证明△BPQ 为等腰三角形．(x−2)，解法2，设M(x0,y0)(x0≠±2,y0≠±1)则x02+4y02=4.直线A2M方程为y=y0x0−2x+1.通过联立直线与椭圆方程组，求出P，Q坐标，转化推出|BP|=直线A1B方程为y=12|BQ|，得到△BPQ为等腰三角形．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．21.【答案】解：(Ⅰ)①数列{a n}具有“性质Ψ(2)”；②数列{a n}不具有“性质Ψ(2)”．(Ⅱ)证明：先证“充分性”：当数列{a n}具有“性质Ψ(2)”时，有a2n−1+a2n=2a n，又因为a n+1≥a n，所以0≤a2n−a n=a n−a2n−1≤0，进而有a n=a2n结合a n+1≥a n有a n=a n+1=⋯=a2n，即“数列{a n}为常数列”；再证“必要性”：若“数列{a n}为常数列”，则有a2n−1+a2n=2a1=2a n，即“数列{a n}具有“性质Ψ(2)”．(Ⅲ)首先证明：a n+1−a n≥2．因为{a n}具有“性质Ψ(4)”，所以a2n−1+a2n=4a n．当n=1时，有a2=3a1=3．又因为a2n−1,a2n,a n∈N∗，且a2n>a2n−1，所以有a2n≥2a n+1，a2n−1≤2a n−1，进而有2a n+1≤a2n≤a2n+1−1≤2a n+1−2，所以2(a n+1−a n)≥3，结合a n+1,a n∈N∗可得：a n+1−a n≥2．然后利用反证法证明：a n+1−a n≤2．假设数列{a n}中存在相邻的两项之差大于3，即存在k∈N∗满足：a2k+1−a2k≥3或a2k+2−a2k+1≥3，进而有4(a k+1−a k)=(a2k+2+a2k+1)−(a2k+a2k−1)=(a2k+2−a2k)+(a2k+1−a2k−1)=[(a2k+2−a2k+1)+(a2k+1−a2k)]+[(a2k+1−a2k)+(a2k−a2k−1)]≥12．又因为a k+1−a k∈N∗，所以a k+1−a k≥3依此类推可得：a2−a1≥3，矛盾，所以有a n+1−a n≤2．综上有：a n+1−a n=2，结合a1=1可得a n=2n−1，经验证，该通项公式满足a2n−1+a2n=4a n，所以：a n=2n−1．【解析】(Ⅰ)①②利用已知条件及其定义解验证判断出结论．(Ⅱ)先证“充分性”：当数列{a n}具有“性质Ψ(2)”时，有a2n−1+a2n=2a n，根据a n+1≥a n，可得0≤a2n−a n=a n−a2n−1≤0，进而有a n=a2n，结合a n+1≥a n即可证明结论．再证“必要性”：若“数列{a n}为常数列”，容易验证a2n−1+a2n=2a1= 2a n，即可证明．(Ⅲ)首先证明：a n+1−a n≥2.根据{a n}具有“性质Ψ(4)”，可得a2n−1+a2n=4a n.当n=1时，有a2=3a1=3.由a2n−1,a2n,a n∈N∗，且a2n>a2n−1，可得a2n≥2a n+1，a2n−1≤2a n−1，进而有2a n+1≤a2n≤a2n+1−1≤2a n+1−2，可得2(a n+1−a n)≥3，可得：a n+1−a n≥2．然后利用反证法证明：a n+1−a n≤2.假设数列{a n}中存在相邻的两项之差大于3，即存在k∈N∗满足：a2k+1−a2k≥3或a2k+2−a2k+1≥3，进而有4(a k+1−a k)=(a2k+2+ a2k+1)−(a2k+a2k−1)=[(a2k+2−a2k+1)+(a2k+1−a2k)]+[(a2k+1−a2k)+(a2k−a2k−1)]≥12.又因为a k+1−a k∈N∗，可得a k+1−a k≥3，依此类推可得：a2−a1≥3，矛盾．综上有：a n+1−a n=2，结合a1=1可得a n=2n−1，本题考查了新定义、等差数列的通项公式、数列递推关系、反证法、转化方法、方程以不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
北京市海淀区北京师大附中2025届高考数学一模试卷含解析
北京市海淀区北京师大附中2025届高考数学一模试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>≤，4πx =-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在区间(,)43ππ上单调，则ω的最大值是（ ）A ．12B ．11C ．10D ．92．直线0(0)ax by ab +=>与圆221x y +=的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切3．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到A 、B 、C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有（ ） A ．6种B ．12种C ．24种D ．36种4．已知12,F F 分别为双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以12F F 为直径的圆经过点P ，若12PF F ∆2，则双曲线的离心率为（ ）A B ．2C D ．35．已知复数z 满足i •z ＝2+i ，则z 的共轭复数是（） A ．﹣1﹣2iB ．﹣1+2iC ．1﹣2iD ．1+2i6．已知定义在R 上函数()f x 的图象关于原点对称，且()()120f x f x ++-=，若()11f =，则()1(2)(3)(2020)f f f f ++++=（ ）A ．0B ．1C ．673D ．6747．已知圆224210x y x y +-++=关于双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线对称，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．5B ．5C ．52D ．548．函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的部分图像如图所示，若5AB =，点A 的坐标为(1,2)-，若将函数()f x 向右平移(0)m m >个单位后函数图像关于y 轴对称，则m 的最小值为（ ）A ．12B ．1C ．3π D ．2π 9．已知函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则1(())f f e =（ ）A ．32B ．1C ．-1D ．010．复数1z 在复平面内对应的点为()22,3,2,z i =-+则12z z =（ ） A ．1855i -+ B ．1855i -- C ．815i -+D ．815i --11．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(2)cos cos a b C c B -=，则内角C =（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 12．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()3f x x x=+-．若0x ≤，则()0f x ≤的解集是（ ） A ．[2,1]--B ．(,2][1,0]-∞-⋃-C ．(,2][1,0)-∞-⋃-D ．(,2)(1,0]-∞-⋃-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年北京市海淀区中考一模数学试卷(含答案解析)
2023年北京市海淀区中考一模数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．．．．【答案】A【分析】在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；再结合常见几何体的主视图特征判断即可【详解】解：．主视图为矩形，符合题意；．主视图为三角形，不符合题意；．主视图为有一公共边的两个三角形，不符合题意；．主视图为圆，不符合题意；．．C．．【分析】根据两点之间线段最短即可得出答案．甲、乙位于直线MN的两侧，A ．m n<B ．0m n +>C ．【答案】B 【分析】根据数轴上点的位置可知21n -<<-<【详解】解：由题意得，2134n m -<<-<<<，A ．63︒B ．36︒【答案】C【分析】如解析图所示，Rt △ABD 中，9090BAD ACD =︒=︒∠，∠，27CAD ∠=︒，由此利用直角三角形两锐角互余即可求出答案．【详解】解：如图所示，在Rt △ABD 中，9090BAD ACD =︒=︒∠，∠，27CAD ∠=︒，∴90CAD ADC ABD ADB +=︒=+∠∠∠∠，∴27ABD CAD ==︒∠∠，∴被测物体表面的倾斜角α为27︒，故选C ．【点睛】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，正确理解题意是解题的关键．8．图1是变量y 与变量x 的函数关系的图象，图2是变量z 与变量y 的函数关系的图象，则z 与x 的函数关系的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】设两个直线关系式，再表示出z ，x 之间的关系式，即可得出图象．【详解】根据图像可知y 与x 是一次函数，z 和y 是正比例函数，设关系式为y kx b =+，1z k y =，所以1111()z k y k kx b k kx k b ==+=+，可知z 与x 是一次函数，所以图像C 符合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查了函数图像的判断，表示出各函数关系式是解题的关键．二、填空题【答案】5【分析】由菱形的性质可得出结合勾股定理即可求出BC =【详解】解：∵四边形ABCD ∴142OB OD BD ===，OC ∴2225BC OB OC =+=．【答案】31︒（答案不唯一）当点M 在点E 处时，延长EF 交∵120AFE FAB ∠∠==︒，AFE ∠∴60AFH FAH ∠∠==︒，∴AH HF =，∴AHF 是正三角形，∴60H ∠=︒，AB烧制一个大尺寸陶艺品的位置可替换为烧制两个中尺寸或六个小尺寸陶艺品，小陶艺品的位置不能替换为烧制较大陶艺品．某批次需要生产10个大尺寸陶艺品，（1）烧制这批陶艺品，（2）若A款电热窑每次烧制成本为这批陶艺品成本最低为【答案】2【分析】（1）根据需要生产品，B款电热窑每次烧制故答案为：135．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键．方法一证明：如图，延长BC 到点得CD BC =，连接AD ．【答案】证明见解析【分析】方法一：如图，延长BC 到点CD BC =，连接AD ，先证明ACB 得到AB AD =，进而证明ABD △是等边三角形，得到AB BD =，由此即可证明方法二：如图，在线段AB 上取一点，使得BD BC =，连接CD ，先求出进而证明BCD △是等边三角形，得到CD BD =，60BCD ∠=︒，进一步证明(1)求证：四边形ABEF 为矩形；(2)若634AB BC CE ===，，，求ED 【答案】(1)见解析(2)10【分析】（1）由题意易证四边形ABEF 边形是矩形即可判定；（2）由题意易证BEC EDF ∽，即得出后由勾股定理即可求解．【详解】（1）证明：∵BE AD ∥，即∴四边形ABEF 为平行四边形．∵90A ∠=︒，∴四边形ABEF 为矩形；（2）解：∵BE AD ∥，∴BEC D ∠=∠．∵四边形ABEF 为矩形，∴90C EFD ∠=∠=︒，6EF AB ==，∴BEC EDF ∽，∴CE BC DF EF=，即436DF =，【点睛】本题考查矩形的判定和性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握上述知识是解题关键．22．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+的图象过点()()1,3,2,2．(1)求这个一次函数的解析式；(2)当2x >时，对于x 的每一个值，一次函数y mx =的值大于一次函数y kx b =+的值，直接写出m 的取值范围．【答案】(1)一次函数的解析式+4y x =-；(2)1m ≥【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）根据题意列出关于m 的不等式即可求解．【详解】（1）解：∵一次函数y kx b =+的图象过点()()1,3,2,2，∴把()()1,3,2,2代入得：+32+2k b k b =⎧⎨=⎩，解得：14k b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式+4y x =-；（2）解：由（1）得：一次函数的解析式+4y x =-，当2x =时，2y =，当2x >时，对于x 的每一个值，一次函数y mx =的值大于一次函数y kx b =+的值，把2x =代入y mx =得：2y m =，∴22m ≥，解得：1m ≥．【点睛】本题考查了一次函数的应用，灵活掌握所学知识是解题关键．23．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，D 为 BC的中点，DE AC ⊥交AC 的延长线于点E ．(1)求证：直线DE 为O (2)延长,AB ED 交于点F 【答案】(1)证明见解析(2)23【分析】（1）连接BC ，连接根据垂径定理可得CFD ∠（2）设O 的半径为r ，则1r =，则2AB =，再证明【详解】（1）证明：连接∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵点D 是 BC的中点，∴OD BC ⊥，又∵DE AC ⊥，∴四边形CEDF 是矩形，∴90ODE ∠=︒，【点睛】本题考查了切线的性质判定，垂径定理，矩形的性质与判定，解直角三角形，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．24．某小组对当地2022年3月至述和分析得到了部分信息．a．西红柿与黄瓜市场价格的折线图：b．西红柿与黄瓜价格的众数和中位数：(1)建立如图所示的平面直角坐标系．通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x （单位：m 测量，得到以下数据：水平距离/mx 00.41 1.42 2.4竖直高度/m y 00.480.90.980.80.48根据上述数据，回答下列问题：①野兔本次跳跃的最远水平距离为_________m ，最大竖直高度为②求满足条件的抛物线的解析式；(2)已知野兔在高速奔跑时，某次跳跃的最远水平距离为在野兔起跳点前方2m 处有高为0.8m 的篱笆，则野兔此次跳跃能”）跃过篱笆．【答案】(1)①2.8，0.98；②()20.5 1.40.98y x =--+(2)能(1)求AGF ∠的度数；(2)在线段AG 上截取MG BG =，连接,DM AGF ∠的角平分线交DM 于点N ．①依题意补全图形；②用等式表示线段MN 与ND 的数量关系，并证明．【答案】(1)90︒(2)①见解析②MN ND =，证明见解析【分析】（1）根据正方形的性质，得90AB BC ABE BCF ∠∠ ＝，＝＝，利用SAS 证明ABE BCF ≌得出角相等，再将角进行等量代换便可得结论．（2）①根据题意画出图形即可，②作AH AG ⊥交GN 的延长线于点H ，构造全等三角形，得出BG MG DH DHN MGN ==∠=∠，，再证MGN DHN ≅ ，问题即可解决．【详解】（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴90AB BC ABE BCF =∠=∠=︒，，在ABE 和BCF 中，,AB BC ABE BCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE BCF SAS ≌（），∴BAE CBF∠=∠∴90AGF BAE ABG CBF ABG ABE ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒．（2）①根据题意画图如下②MN ND =,理由如下作AH AG ⊥交GN 的延长线于点∵GN 平分AGF ∠,AGF ∠=∴1452AGH AGF ∠=∠=︒∴AGH 为等腰直角三角形∴,AG AH AGH AHG =∠=∠∵四边形ABCD 为正方形（2）解：①设直线CD 的解析式为由题意得，点()02C ，，点D ∴202k b b +=⎧⎨=⎩，∴12k b =-⎧⎨=⎩，∴直线CD 的解析式为y =-设点M 的坐标为(2m m -+，∴点M 的关联直线为y mx =∴点M 的关联直线经过定点②同理可得直线CD 的解析式为设点M 的坐标为2n n d ⎛- ⎝，∴点M 的关联直线为y =∴点M 的关联直线经过定点如图所示，过点T 作TN ⊥∴222EF NF TF TN ==-∴要想EF 最小，则要使TN ∵EF 的最小值为4，即NF ∴22TN TF NF =-=最大由（2）①可知，当点N 与点∴()(222112d ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭∴244115d d +++=，∴23440d d --=，∴()()3220d d +-=，解得2d =或23d =-．正确推出点M的关联直线经过定点是解题的关键．。
2020年北京市海淀区高三一模数学试卷+答案
2020年北京市海淀区高三一模数学试卷2020.5 本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分,满分150分,考试时长120分钟。
考生务必将答案写在答题纸上,在试卷上作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题纸一并交回。
第I 卷（选择题 共40分）一、选择题：共10小题,每小题4分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1. 在复平面内,复数i(2i)-对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 2. 已知集合{|03},{1}A x x A B =<<=,则集合B 可以是 （A ）{1,2}（B ）{1,3}（C ）{0,1,2}（D ）{1,2,3}3. 已知双曲线2221(0)y x b b-=>的离心率是5,则b 的值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44. 已知实数,,a b c 在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是 （A ）b a c a -<+ （B ）2c ab < （C ）c c b a>（D ）||||b c a c <5. 在61(2)x x-的展开式中,常数项为（A ）120- （B ）120 （C ）160-（D ）1606. 如图,半径为1的圆M 与直线l 相切于点A ,圆M 沿着直线l 滚动.当圆M 滚到圆M '时,圆M '与直线l 相切于点B ,点A 运动到点A ',线段AB 的长度为3π2,则点M '到直线BA '的距离为 （A ）1 （B ）32（C ）22（D ）127. 已知函数()||f x x m =-与函数()g x 的图象关于y 轴对称.若()g x 在区间(1,2)内单调递减,则m 的取值范围为 （A ）[1,)-+∞（B ）(,1]-∞-（C ）[2,)-+∞（D ）(,2]-∞-8. 某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥中最长棱的棱长为 （A ）5 （B ）22 （C ）23 （D ）139. 若数列{}n a 满足12a =,则“*,,p r p r p r a a a +∀∈=N ”是“{}n a 为等比数列”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件10. 形如221n+（n 是非负整数）的数称为费马数,记为n F .数学家费马根据01234,,,,F F F F F 都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后,数学家欧拉计算出5F 不是质数,那么5F 的位数是（参考数据:lg 20.3010≈） （A ）9（B ）10（C ）11（D ）12第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题：共5小题,每小题5分,共25分。
2022年北京海淀区高三一模数学试题和答案
【详解】平行于同一直线的两个平面可以平行、相交，故不正确，垂直于同一直线的两个平面平行正确，平行于同
一平面的两条直线平行错误，因为也可以相交也可以是异面直线，垂直于同一平面的两个平面平行错误，因为也可
以相交，故选 B.
6. 已知直线 l : ax + by = 1是圆 x2 + y2 − 2x − 2 y = 0 的一条对称轴，则 ab 的最大值为（ ）
= − 3
+ k , k Z
，
当 k = 1 时， = 2 ， 3
故选：C.
8. 已知二次函数 f ( x) 的图象如图所示，将其向右平移 2 个单位长度得到函数 g ( x) 的图象，则不等式
g ( x) log2 x 的解集是（ ）
A. (−, 2)
B. (2, +)
C. (0, 2)
D. (0,1)
20.
已知椭圆 C :
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
b
0)
的下顶点 A
和右顶点 B 都在直线 l1 :
y
=
1 (x − 2) 上. 2
（1）求椭圆方程及其离心率；
（2）不经过点 B 的直线 l2 : y = kx + m 交椭圆 C 于两点 P, Q ，过点 P 作 x 轴的垂线交 l1 于点 D ，点 P 关于点 D 的
1
5. 下列说法中正确的是
C. −4
D. 4
A. 平行于同一直线的两个平面平行
B. 垂直于同一直线的两个平面平行
C. 平行于同一平面的两条直线平行
D. 垂直于同一平面的两个平面平行
6. 已知直线 l : ax + by = 1是圆 x2 + y2 − 2x − 2 y = 0 的一条对称轴，则 ab 的最大值为（ ）
2022年北京市海淀区2022届高三一模数学试题卷(含答案)
海淀区2021-2022学年第二学期期中练习高三数学2022．03第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．01．已知集合A={x-1≤x≤2}，B={x x>0}，则A U B=（）A．{x x≤2}B．{x x≥-1}C．{x x>-1}D．{x x>0}02．在复平面内，复数z对应的点为(1,-1)，则z(1+i)=（）A．2B．2i C．-2i D．-2x203．双曲线-y2=1的离心率为（）3A．33B．63C．233D．304．在(x-x)4的展开式中，x2的系数为（）A．-1B．105．下列命题中正确的是（）A．平行于同一个平面的两条直线平行C．垂直于同一个平面的两个平面平行C．-4D．4B．平行于同一条直线的两个平面平行D．垂直于同一条直线的两个平面平行06．已知直线l:ax+by=1是圆x2+y2-2x-2y=0的一条对称轴，则ab的最大值为（）A．14B．12C．1D．2207．已知角α的终边绕原点O逆时针旋转π后与角β的终边重合，且cos(α+β)=1，则α的取值可以为3（）ππ2π5πB．C．D．633608．已知二次函数f(x)的图象如图所示，将其向右平移2个单位长度得到函数g(x)的图像，则不等式A．g(x)>log2x的解集是（）A．(-∞,2)B．(2,+∞)C．(0,2)D．(0,1)2π，则“sin B<”是“∆ABC是钝角三角形”的（）24A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件09．在∆ABC中，A=C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．甲医院在某段时间内累计留院观察的某病疑似患者有98人．经检测后分为确诊组和排除组，患者年龄分布如下表：为研究患病与年龄的关系，现采用两种抽样方式．第一种：从98人中随机抽取7人．第二种：从排除组的84人中随机抽取7人．用X ,Y 分别表示两种抽样方式下80岁及以上的人数与80岁以下的人数之比．给出下列四个结论：①在第一种抽样方式下，抽取的7人中一定有1人在确诊组；②在第二种抽样方式下，抽取的7人都小于20岁的概率是0；⎧12⎫③X ,Y 的取值范围都是⎨0,,⎬；⎩65⎭④E (X )<E (Y )C ．3第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知抛物线y 2=2px 的准线方程为x =-1，则p =____．12．已知{a n}是等比数列，S n为其前n 项和，若a 2是a 1,S 2的等差中项，S 4=15，则q =____，a 1=____．13．若函数f (x )=2x -a -1的值域为[-1,+∞)，则实数a 的一个取值可以为____．14．已知e 1,e 2是单位向量，且e 1∙e 2=0，设向量a =λe 1+μe 2，当λ=μ=1时，a ,e 1=____；当λ+μ=2时，a -e 1的最小值为____．15．已知函数f (x )=cos xx，给出下列四个结论：x 2+1其中，正确结论的个数为（）A ．1B ．2D ．41①f (x )是偶函数；②f (x )有无数个零点；③f (x )的最小值为-；④f (x )的最大值为1．2其中，所有正确结论的序号为____．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16．（14分）设函数f (x )=2sin x cos x +A cos2x (A ∈R )．已知存在A 使得f (x )同时满足下列三个条件中的两个：条件①：f (0)=0；条件②：f (x )的最大值为2；π是f (x )图象的一条对称轴．8（Ⅰ）请写出f (x )满足的两个条件，并说明理由；（Ⅱ）若f (x )在区间(0,m )上有且只有一个零点，求m 的取值范围．条件③：x =17．（14分）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，平面A1ADD1⊥平面A B C D，AD=2，AA1=A1D．（Ⅰ）求证：A1D⊥AB；（Ⅱ）若直线AB与平面A1DC1所成角的正弦值为AA1的长度．21，求718．（14分）《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）．相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体睡眠指数的统计如下表：（Ⅰ）根据表中数据，估计早睡人群睡眠指数25%分位数与晚睡人群睡眠指数25%分位数分别在第几组？（Ⅱ）据统计，睡眠指数得分在区间[76,90)内的人群中，早睡人群约占80%．从睡眠指数得分在区间[76,90)内的人群中随着抽取3人，以X表示这3人中属于早睡人群的人数，求X的分布列与数学期望E(X)；（Ⅲ）根据表中数据，有人认为，早睡人群的睡眠指数平均值一定茖在区间[76,90)．试判断这种说法是否正确，并说明理由．19．（14分）已知函数f(x)=e x(ax2-x+1)．（Ⅰ）求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的方坚；（Ⅱ）若函数f(x)在x=0处取得极大值，求a的取值范围；（Ⅲ）若函数f(x)存在最小值，直接写出a的取值范围．x2y2120．（15分）已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的下顶点A和右顶点B都在直线l1:y=(x-2)上．a b2（Ⅰ）求椭圆方程及其离心率；（Ⅱ）不经过点B的直线l2:y=kx+m交椭圆C于两点P,Q，过点P作x轴的垂线交l1于点D，点P关于点D的对称点为E．若E,B,Q三点共絨，求证：直线l2经过定点．21．（14分）设m为正整数，若无穷数列{an}满足aik+i=aik+i(i=1,2,L,m;k=1,2,L)，则称{an}为Pm数列．（Ⅰ）数列{n}是否为P1数列？说明理由；⎧s ,n 为奇数,（Ⅱ）已知a n =⎨其中s ,t 为常数．若数列{a n }为P 2数列，求s ,t ；t ,n 为偶数,⎩（Ⅲ）已知P 3数列{a n }满足a 1<0，a 8=2，a 6k <a6k +6(k =1,2,L )，求a n．海淀区2021~2022学年第二学期期中练习高三数学参考答案2022.03一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
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海淀区九年级第二学期期中练习数学2016.5学校班级___________姓名成绩一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1.“中华人民共和国全国人民代表大会”和“中国人民政治协商会议”于2016年3月3日 在北京胜利召开．截止到2016年3月14日，在百度上搜索关键词“两会”，显示的搜索结果约为96 500 000条．将96 500 000用科学记数法表示应为 A ．96.5×107 B ．9.65×107 C ．9.65×108 D ．0.965×109 2.如图是某个几何体的三视图，该几何体是A ．长方体B ．正方体C ．圆柱D ．三棱柱3.一个不透明的口袋中装有3个红球和12个黄球，这些球除了颜色 外，无其他差别，从中随机摸出一个球，恰好是红球的概率为 A ．B ．C ．D ．4.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是A ．B ．C ．D ． 5．如图，在ABCD 中，AB=3，BC =5，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，则DE 的长为A ．5B ．4C ．3D ．26．如图，等腰直角三角板的顶点A ，C 分别在直线，b 上．若∥b ，，则的度数为 A ． B ．C ．D ．7．初三（8）班体委用划记法统计本班40名同学投掷实心球的成绩，结果如下表所示：则这40名同学投掷实心球的成绩的众数和中位数分别是 A ．9，8 B ．9，8.5 C ．8，8D ．8，8.514341545a a 1=35∠︒2∠35︒15︒10︒5︒D8．京津冀都市圈是指以北京、天津两座直辖市以及河北省的保定、廊坊、唐山、邯郸、邢台、秦皇岛、沧州、衡水、承德、张家口和石家庄为中心的区域.若“数对”19043︒（，）表示图中承德的位置，“数对”160238︒（，）表示图中保定的位置，则与图中张家口的位置对应的“数对”为A．176145︒（，）B．17635︒（，）C．100145︒（，）D．10035︒（，）9．油电混动汽车是一种节油、环保的新技术汽车．它将行驶过程中部分原本被浪费的能量回收储存于内置的蓄电池中.汽车在低速行驶时，使用蓄电池带动电动机驱动汽车，节约燃油.某品牌油电混动汽车与普通汽车的相关成本数据估算如下：某人计划购入一辆上述品牌的汽车.他估算了未来10年的用车成本，在只考虑车价和燃油成本的情况下，发现选择油电混动汽车的成本不高于选择普通汽车的成本.则他在估算时，预计平均每年行驶的公里数至少．．为A．5 000 B．10 000 C．15 000 D．20 00010．小明在暗室做小孔成像实验.如图1，固定光源（线段MN）发出的光经过小孔（动点K）成像（线段M'N'）于足够长的固定挡板（直线l）上，其中MN// l.已知点K匀速运动，其运动路径由AB，BC，CD，DA，AC，BD组成．记它的运动时间为x，M'N'的长度为y，若y关于x的函数图象大致如图2所示，则点K的运动路径可能为A．A→B→C→D→A B．B→C→D→A→BC．B→C→A→D→B D．D→A→B→C→D图1 图2二、填空题（本题共18分，每小题3分）11. 分解因式：a2b－2ab+b＝________________．12. 如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点C．若AB=8，OC=3，则⊙O的半径长为________．13.埃及《纸草书》中记载：“一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33．”设这个数是x，可列方程为．14．在下列函数①；②；③；④中，与众不同的一 个是_____（填序号），你的理由是________．15.北京市2010~2015年高考报名人数统计如图所示．根据统计图中提供的信息，预估2016年北京市高考报名人数约为________万人，你的预估理由是____________． 16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：1718．解不等式组并写出它的所有整数解．．．. 19．已知，求代数式的值．20．如图，在△ABC 中，，AD BC ⊥于点D ，DE 为AC 边上的中线．求证：．21．目前，步行已成为人们最喜爱的健身方法之一，通过手机可以计算行走的步数与相应的能量消耗.对比手机数据发现小琼步行12 000步与小博步行9 000步消耗的能量相同.若每消耗1千卡能量小琼行走的步数比小博多10步，求小博每消耗1千卡能量需要行走多 少步.22．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点B 作AC的平行线交DC 的延长线于点E . （1）求证：BD=BE ；（2）若BE =10，CE =6，连接OE ，求tan ∠OED 的值. 23．在平面直角坐标系xOy 中，直线与双曲线ky x=（0k ≠）的一个交点为.21y x =+22y x x =+3y x=3y x =-14,2x x ⎪⎨-<-⎪⎩250x x +-=2(1)(3)(2)(2)x x x x x ---++-90BAC ∠=︒BAD EDC ∠=∠y x =-)P m（1）求k 的值；（2）将直线向上平移b (b>0)个单位长度后，与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ，与双曲线ky x=（0k ≠）的一个交点记为Q .若，求b 的值.24．如图，AB ，AD 是⊙O 的弦，AO 平分.过点B作⊙O 的切线交AO 的延长线于点C ，连接CD ，BO . 延长BO 交⊙O 于点E ，交AD 于点F ，连接AE ，DE . （1）求证：是⊙O 的切线； （2）若，求的长.y x =-2BQ AB =BAD ∠CD 3AE DE ==AF25．阅读下列材料：2015年中国内地电影市场票房总收入400亿元，动画电影成为了新崛起的热点， 票房占比为11.25%．2014年，中国内地动画电影市场6部破亿，只有一部《熊出没》为国产动画电影， 票房成绩为2.4亿元.而2015年中国内地动画电影市场共8部破亿，国产动画电影占3 部，分别是《大圣归来》，《熊出没2》和《十万个冷笑话》．其中，《大圣归来》以9.55 亿元票房夺冠，《熊出没2》比2014年第一部的票房又增长了20%，《十万个冷笑话》 以1.2亿元票房成绩勉强破亿．另外5部来自海外动画电影，其中美国两部全球热映的 动画电影《超能陆战队》和《小黄人大眼萌》在中国内地只拿下5.26亿元和4.36亿元 票房，而同样来自美国的《精灵旅社2》收获1.2亿元票房，日本的《哆啦A 梦之伴我 同行》和法国的《小王子》分别获得5.3亿和1.58亿元票房收入． 2015年中国内地动画电影市场中，国产动画电影共上映41部，其中票房在1000万元~5000万元、5000万元~1亿元的国产动画电影分别有12部和5部，票房金字塔结构分化更加明显，标志着中国国产动画电影市场的日趋成熟．根据以上材料解答下列问题：（1）2015年中国内地动画电影票房收入为亿元； （2）右图为2015年国产．．动画电影票房金字塔，则B =； （3）选择统计表或．统计图将2015年中国内地动画电影市场票房收入前5名的票房成绩表示出来．26．有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小东对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小东的探究过程，请补充完成：（1）函数的自变量x 的取值范围是全体实数； （2）下表是y 与x 的几组对应值．(1)(2)(3)y x x x =---(1)(2)(3)y x x x =---(1)(2)(3)y x x x =---①m =；②若M （7-，720-），N （，720）为该函数图象上的 两点，则；（3）在平面直角坐标系中， A （），B （）为该函数图象上的两点，且A 为范围内的最低点， A 点的位置如图所示． ①标出点B 的位置；②画出函数（）的图象．27．在平面直角坐标系中，抛物线（0m ≠）的顶点为A ，与x 轴交于B ，C 两点（点B 在点C 左侧），与y 轴交于点D ． （1）求点A 的坐标； （2）若BC =4，①求抛物线的解析式；②将抛物线在C ，D 之间的部分记为图象G （包含 C ，D 两点）．若过点A 的直线 与图象G 有两个交点，结合函数的图象，求k 的取值范围．28．在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =，点D 在射线BC 上（与B 、C 两点不重合），以AD 为边作正方形ADEF ，使点E 与点B 在直线AD 的异侧，射线BA 与射线CF 相交于点G ． （1）若点D 在线段BC 上，如图1.①依题意补全图1；②判断BC 与CG 的数量关系与位置关系，并加以证明；（2）若点D 在线段BC 的延长线上，且G 为CF 中点，连接GE ，AB，则GE 的长为_______，并简述求GE 长的思路．图1备用图29．在平面直角坐标系中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C不重合的点，点P 关于⊙C 的限距点的定义如下：若为 直线PC 与⊙C 的一个交点，满足，则称n n =xOy ,A A x y ,B A x y -23x ≤≤(1)(2)(3)y x x x =---04x ≤≤xOy 224y mx mx m =-+-+(0)y kx b k =≠90︒xOy P '2r PP r '≤≤P '为点P 关于⊙C 的限距点，右图为点P 及其关于⊙C 的限 距点的示意图．（1）当⊙O 的半径为1时．①分别判断点M ，N ，T 关 于⊙O 的限距点是否存在？若存在，求其坐标；②点D 的坐标为（2,0），DE ，DF 分别切⊙O 于点E ，点F ，点P 在△DEF 的 边上.若点P 关于⊙O 的限距点存在，求点的横坐标的取值范围；（2）保持（1）中D ，E ，F 三点不变，点P 在△DEF 的边上沿E →F →D →E 的方向运动，⊙C 的圆心C 的坐标为（1,0），半径为r .请从下面两个问题中任选一个作答. 温馨提示：答对问题1得2分，答对问题2得1分，两题均答不重复计分.海淀区九年级第二学期期中练习数学试卷参考答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）三、解答题（本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17．解：原式1641=-++ ……………………4分4=………………………5分P '(3,4)5(,0)2P 'P '解不等式①，得 10≤x ．………………………2分解不等式②，得7>x ． ………………………3分∴ 原不等式组的解集为107≤<x ．………………………4分∴ 原不等式组的所有整数解为8，9，10．………………………5分 19． 解：原式4312222-++-+-=x x x x x ………………………3分 32-+=x x ．………………………4分∵ 250x x +-=， ∴ 52=+x x ．∴ 原式=532-=． .………………………5分 20．证明：∵ 90BAC ∠=︒，∴ 90BAD DAC ∠+∠=︒． ∵ AD BC ⊥， ∴ 90ADC ∠=︒．∴ 90DAC C ∠+∠=︒．∴ BAD C ∠=∠． ………………………2分 ∵ DE 为AC 边上的中线， ∴ DE EC =．∴ EDC C ∠=∠． .………………………4分 ∴ BAD EDC ∠=∠． ………………………5分21.解：设小博每消耗1千卡能量需要行走x 步．………………………1分由题意，得xx 90001012000=+ . ………………………3分 解得 30=x . ………………………4分 经检验，30=x 是原方程的解，且符合题意.答：小博每消耗1千卡能量需要步行30步. ………………………5分 22．(1) 证明：∵ 四边形ABCD 为矩形，∴ AC BD =，AB ∥DC . ∵ AC ∥BE ，∴ 四边形ABEC 为平行四边形. ………………………2分 ∴ AC BE =.∴ BD BE =. ………………………3分 (2) 解：过点O 作OF ⊥CD 于点F .∵ 四边形ABCD 为矩形， ∴ 90BCD ∠=︒. ∵ 10BE BD ==， ∴ 6CD CE ==. 同理，可得132CF DF CD ===. ∴9EF =. ………………………4分 在Rt △BCE 中，由勾股定理可得8BC =. ∵ OB=OD ，∴ OF 为△BCD 的中位线.F EDA C∴ 142OF BC ==. ∴在Rt △OEF 中，4tan 9OF OED EF ∠==. ………………………5分23. 解：（1）∵)P m 在直线y x =-上,∴m = ………………………1分∵P 在双曲线ky x=上，∴(6k ==-． ………………………2分图1 图2(2) ∵y x =-向上平移b (0b >)个单位长度后，与x 轴，y 轴分别交于A ，B ，∴(,0),(0,)A b B b ． ………………………3分 作QH ⊥x 轴于H ，可得△HAQ ∽△OAB ． 如图1，当点Q 在AB 的延长线上时， ∵2BQ AB =，∴3===AB AQOA HA OB HQ ． ∵OA OB b ==，∴3HQ b =，2HO b =. ∴Q 的坐标为(2,3)b b -． 由点Q 在双曲线6y x=-上， 可得1b =． ………………………4分 如图2，当点Q 在AB 的反向延长线上时， 同理可得，Q 的坐标为(2,)b b -．由点Q 在双曲线6y x=-上，可得b =综上所述，1b =或b = ………………………5分24.(1) 证明：如图，连接OD ． ………………………1分∵BC 为⊙O 的切线， ∴90CBO ∠=︒．∵AO 平分BAD ∠， ∴12∠=∠．∵OA OB OD ==， ∴1=4=2=5∠∠∠∠． ∴BOC DOC ∠=∠． ∴△BOC ≌△DOC ． ∴90CBO CDO ∠=∠=︒．∴CD 为⊙O 的切线． ……………2分 (2) ∵AE DE =, ∴AE DE =.∴34∠=∠. ………………………3分 ∵124∠=∠=∠， ∴123∠=∠=∠. ∵BE 为⊙O 的直径, ∴90BAE ∠=︒.∴123430∠=∠=∠=∠=︒.………………………4分 ∴90AFE ∠=︒ ． 在Rt △AFE 中，∵3AE =，︒=∠303，∴AF = ………………………5分25. (1) 45；………………………2分 (2) 21；………………………3分 (3) 2.4(120%) 2.88⨯+=．5名的票房成绩统计表………………………5分或2015年中国内地动画电影市场票房收入前5名的票房成绩统计图………………………5分26. (2) ①60m =-；………………………1分②11n =；………………………2分(3)正确标出点B 的位置，画出函数图象. …………………5分27. 解：（1）224y mx mx m =-+-2(1)4m x =--．∴ 点A 的坐标为(1,4)-． ………………………2分（2）①由（1）得，抛物线的对称轴为x =1．∵ 抛物线与x 轴交于B ，C 两点（点B 在点C 左侧），BC =4，∴ 点B 的坐标为 (1,0)-，点C 的坐标为 (3,0)．………………………3分∴ 240m m m ++-=．∴ 1m =．∴ 抛物线的解析式为223y x x =--．……4分② 由①可得点D 的坐标为 (0,3)-．当直线过点A ，D 时，解得1k =-．………5分当直线过点A ，C 时，解得2k =． ………6分结合函数的图象可知，k 的取值范围为10k -≤<或02k <≤． …………7分28. 解:(1) ①补全图形，如图1所示． ………………………1分图1②BC 和CG 的数量关系：BC CG =，位置关系：BC CG ⊥．…………………2分证明: 如图1．∵︒=∠=90,BAC AC AB ，∴︒=∠=∠45ACB B ，︒=∠+∠9021．∵射线BA 、CF 的延长线相交于点G ，∴︒=∠=∠90BAC CAG ．∵四边形ADEF 为正方形，∴︒=∠+∠=∠9032DAF ，AF AD =．∴31∠=∠．∴△ABD ≌△ACF ．…………………3分∴︒=∠=∠45ACF B ．∴45B G ∠=∠=︒，90BCG ∠=︒．∴BC CG =，BC CG ⊥．…………………4分(2) GE =5分思路如下：a . 由G 为CF 中点画出图形，如图2所示．b . 与②同理，可得BD=CF ，BC CG =，BC CG ⊥；c . 由2=AB ，G 为CF 中点，可得2====CD FG CG BC ；d . 过点A 作AM BD ⊥于M ，过点E 作EN FG ⊥于N ，可证△AMD ≌△FNE ，可得1AM FN ==，NE 为FG 的垂直平分线，FE EG =；e . 在Rt △AMD 中，1AM =，3MD =，可得AD =GE FE AD === ……7分29．解：（1）①点M ，点T 关于⊙O 的限距点不存在；点N 关于⊙O 的限距点存在，坐标为（1，0）．………………………2分②∵点D 的坐标为(2，0)，⊙O 半径为1，DE ，DF 分别切⊙O 于点E ，点F ，∴切点坐标为1(2，1(2，.……………3分如图所示，不妨设点E 的坐标为1(2，点F 的坐标为1(2，，EO ，FO 的延长线分别交⊙O 于点'E ，'F ，则1'(22E --，，1'(22F -，． 设点P 关于⊙O 的限距点的横坐标为x ．Ⅰ.当点P 在线段EF 上时，直线PO 与''E F 的交点'P 满足2'1≤≤PP ，故点P 关于⊙O 的限距点存在，其横坐标x 满足112x -≤≤-.………5分 Ⅱ.当点P 在线段DE ，DF （不包括端点）上时，直线PO 与⊙O 的交点'P 满足1'0<<PP 或2'3PP <<，故点P 关于⊙O 的限距点不存在．Ⅲ.当点P 与点D 重合时，直线PO 与⊙O 的交点'(1,0)P 满足1'=PP ，故点P 关于⊙O 的限距点存在，其横坐标x =1．综上所述，点P 关于⊙O 的限距点的横坐标x 的范围为112x -≤≤-或x =1． ……………………6分（2）问题1： ． ………………8分 问题2：0 < r < 16． ………………7分。