2-5习题

X −2 Z = −1 3 求 Z 的分布函数和概率密度 (1)设 解: (1)设 Z 的分布函数为 FZ ( z ) ，概率 密度为 f Z ( z ) X − 2 4 FZ ( z) = P ( Z ≤ z) = P ≤ z + 1 3
第二章习题
1、 设 F ( x) , F2 ( x) 为随机变量 X1 , X2 的 1 分布函数. 分布函数. 为使 F( x) = aF ( x) − bF2 ( x) 为一 1 分布函数， 分布函数，在下列给定的各组数值中应取 A. a=3/5, b= -2/5; B. a=2/3, b= 2/3 . ; C. a= - 1/2, b= 3/2; D. a=1/2, b= -3/2 ; 解: 答案为 A 提示: 提示:由 F ( +∞) = aF ( +∞) − bF2 ( +∞) = 1 1 得 a −b =1
4、设随机变量 X ~ U ( -2 , 2 ) ，Y 表示作 次试验中事件( 独立重复 m 次试验中事件 X > 0 ) 发生的 次数， 次数，则 Y ~ 解:
＿＿ .
1 Y ~ B m , 2
1 1 提示: 提示: P ( X > 0) = ∫ dx = 0 4 2
2
5、设随机变量 X ~ N 0 , σ
σ 为何值时，g(σ ) 达到最大 为何值时，
3 1 ′ (续 5 ( 续) g ′= Φ (σ ) −Φ σ σ 3 3 ′ 1 1 ′ = ϕ −ϕ σ σ σ σ 3 1 ′ 1 1 ′ 令 3ϕ −ϕ = 0 σ σ σ σ 3 1 3ϕ −ϕ = 0 得 σ σ
a + b = 1 ‥‥‥‥‥‥‥‥(1)
1 5 a= , b= 6 6
(续 7 ( 续)
0, 1 故 , 6 F ( x) = 1 , 2 1,
−1
1 6
x < −1 −1 ≤ x < 1 1≤ x < 2 x≥2
(2) X 的分布列为
X P
1
1 3
2
1 2
8、设随机变量 X 具有概率密度 0< x <1 ax, b f ( x) = x ≥1 , 2 1+ x 其它 0, 1 7 又 P X > = 2 8 求: (1) 常数 a , b ; (2) X 的分布函数 ; π (3) P arc tgX > 3
)
(续 11 (续) 故
0, y<2 F ( y) = ln y −1 , 2 ≤ y < e2 + 1 Y 2 1, y ≥ e +1
∫ f ( x) dx = 1 得 b ∫ a x dx + ∫ 1 + x
−∞ 1
+∞∞0 Nhomakorabea1
2
dx = 1
(续 8 ( 续) x f ( t ) dt 求分布函数 (2)利用 (2)利用 F ( x) = −∞ 当 x < 0 时, F ( x ) = 0 x 1 2 当 0 ≤ x < 1 时, F ( x ) = ∫ t dt = x 0 2 当 x ≥ 1 时, 1 x 2 1 2 F ( x ) = ∫ t dt + ∫ dt = arc tgx 2 0 1 π 1+ t π 0, x<0 故 1 2 F ( x) = x , 0 ≤ x < 1 2 2 π arc tgx , x ≥ 1
(续 11 (续)
FY ( y ) = 0
y<2
2 ≤ y < e2 + 1 时， 当
FY ( y ) = P − y − 1 ≤ X ≤
y −1
(
y −1
)
1 dx = ln y − 1 =∫ 1 x 2 当 y ≥ e + 1 时，
FY ( y ) = P − y − 1 ≤ X ≤
(
y −1 = 1
2
所以 P ( X ≥ 1) = 1 − P ( X = 0 )

3
27
3、如果在时间 t（分钟）内, 某纺织工人看管 （分钟） 的织布机断纱次数服从参数与 t 成正比的泊松 分布. 分布. 已知在一分钟内不出现断纱的概率为 0.2，求在 2 分钟内至少出现一次断纱的概率 ， 表示某纺织工人看管的织布机断纱 解: 设 X 表示某纺织工人看管的织布机断纱 次数, 次数, 则 X ~ P ( kt ) −k 由已知， 由已知，当 t = 1 时，P ( X = 0 ) = e = 0.2 k = ln5 解得 分钟内至少出现一次断纱的概率即 分钟内至少出现一次断纱 故，2分钟内至少出现一次断纱的概率即 当 t = 2 时 P ( X ≥ 1) = 1 − P ( X = 0 ) 24 −2ln 5 = 1− e = 25
1 且 P ( X = 2 ) = . 试确定常数 a , b ; 并求 2 X 的分布列
(续 7 ( 续) 解: (1) 利用 F ( +∞) = 1 及
P ( X = xk ) = F ( xk ) − F ( xk − 0) 得
2 P ( X = 2) = ( a + b) − − a 3 2 1 = 2a + b − = ‥‥(2) 3 2 解得
(续 6 ( 续) 由已知得 P ( A B1 ) = 0.1, P ( A B2 ) = 0.001, P ( A B3 ) = 0.2
(续 6 ( 续) 故，由全概率公式得
P ( A) = ∑ P ( Bi ) P ( A Bi )
3 i =1
= 0.1 × 0.2119 + 0.001 × 0.5762 + 0.2 × 0.2119
解:(1)设 A = { 电子元件损坏 } (1)设 B1 = { 电压不超过 电压不超过 不超过200伏 } 伏 B2 = { 电压为 电压为200~240伏 } 伏 B3 = { 电压超过 电压超过 超过240伏 } 伏
且 P ( B1 ) = P ( X ≤ 200) 200 − 220 = Φ = 1 − Φ ( 0.8 ) = 0.2119 25 P ( B2 ) = P ( 200 < X < 240) 240 − 220 200 − 220 = Φ − Φ 25 25 = 2Φ ( 0.8 ) − 1 = 0.5762 P ( B3 ) = P ( X ≥ 240) 240 − 220 = 1− Φ = 1 − Φ ( 0.8 ) = 0.2119 25
∫
(续 8 ( 续)
π π (3) P arc tgX > = P X > tg 3 3
=P X> 3
= 1− F
(
)
( 3)
2 π = 1− ⋅ π 3 1 = 3
9、设连续随机变量 X 的分布函数 0, x≤0 x F ( x) = A− cos , 0 < x < π 2 1, x ≥π (1) 确定 A ; (2) 求 X 的密度函数 f ( x ) ; (3) 计算 P cos X > 1 2 2 x 解: (1) 由 lim A− cos = 0 得 x→0+ 2 A= 1
= 0.0641
(2) 由贝叶斯公式得 P ( B2 ) P ( A B2 ) P ( B2 A) = P ( A)
0.001 × 0.5762 = 0.0641
= 0.0090
7、设离散型随机变量 X 的分布函数为
x < −1 0, a, −1 ≤ x < 1 F( x) = 2 3 − a, 1 ≤ x < 2 x≥2 a + b,
(
)
(续 10 (续) (2)由 (2)由 f ( x) = F′ ( x) 得
3 1 1 − 4 ϕ ( z + 1) 4 , ( z + 1) z ≥ −1 fZ ( z ) = 2 0, z < −1
3 − ( z+1) 1 ( z + 1) − 4 e 2 , z ≥ −1 = 2 2π 0, z < −1
1 2
11、 11、设随机变量 X 具有概率密度
1 , 1< x < e f ( x) = x 0 , 其它 求 Y = X 2 + 1 的概率密度
解:(1) F ( y) = P (Y ≤ y) Y
2
= P ( X 2 ≤ y − 1)
= P ( X + 1 ≤ y)
y<2
FY ( y ) = 0
(续 9 ( 续) (2) 由 f ( x) = F′ ( x) 得 x 1 sin , 0 < x < π f ( x) = 2 2 0 , 其它
X 1 2 (3) P cos > = P 0 < X < π 2 2 3 1 2 = F π − F ( 0) = 2 3 2 π1 1 X 1 x 3 另解 P cos > = ∫ sin dx = 2 2 2 0 2 2
(
2
)，当 σ = __ 时
X 落入区间 ( 1 , 3 ) 的概率最大
1 X 3 解: P ( 1 < X < 3) = P < < σ σ σ 3 1 = Φ −Φ σ σ
记 即求