正项级数收敛的判别法 正项级数收敛性判别法的比较及其应用

正项级数收敛的判别法正项级数收敛性判别法的
比较及其应用
正项级数收敛性判别法的比较及其应用
摘要：文章主要介绍了正项级数收敛的几种主要的求解方法，通过这九种方法相互进行比较，运用典型的正项级数的例题，从而增加解决正项级数的证明方法。

关键词：正项级数；收敛；典型；方法；比较
Abstract: This paper mainly introduces the positive series convergence of several main methods of solving these nine methods, through comparing each other, using typical positive series, thereby increasing positive series methods of proof.
Key words: positive series ; convergence; typical ; methods; compare
一、引言
数学分析作为数学专业的重要基础课程。

级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。

而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。

正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。

二、预备知识
1、正项级数收敛的充要条件
部分和数列{S n }有界，即存在某正数M ，对∀n ∈N ，有S n 2、几种不同的判别法(1)比较判别法
设∑u n 和∑v n 是两个正项级数，如果存在某正数N ，对一切n>N都有u n ≤v n
n =1
n =1
∞
∞
那么
(i )若级数∑v n 收敛，则级数∑u n 也收敛；(ii )若级数∑u n 发散，则级数∑v n 也发散；
n =1
n =1
n =1∞
n =1∞
∞∞
比较判别法的极限形式：
∞
∞
设∑u n 和∑v n 是两个正项级数。

若lim
n =1
n =1
u n
=l ，则
n →+∞v n
(i )当
时，∑u n 与∑v n 同时收敛或同时发散；
n =1
n =1
∞∞
(ii )当l =0且级数∑v n 收敛时，∑u n 也收敛；
n =1
n =1
(iii )当l →∞且∑v n 发散时，∑u n 也发散。

n =1
n =1
∞
(2) 比值判别法
∞
设∑u n 为正项级数，∃N 0∈N ，有
n =1
∞
u n +1
(i )若对一切n >N 0，成立不等式≤q u n i =1∞u n +1
(ii )若对一切n >N 0，成立不等式≥1，则级数∑u n 发散。

u n i =1
(3) 根式判别法
∞
设∑u n 是正项级数，且存在某正整数N 0及正常数M
n =1
(i )若对一切n >N 0，成立不等式u n (ii )若对一切n >N 0，成立不等式
根式判别法的极限形式：
∞n =1
设∑u n 是正项级数，且lim u n =l ，则
n →+∞
∞
∞∞
≤M i =1∞
∞
u n ≥1，则级数∑u n 发散。

i =1
(i )当l 1时，级数∑u n 发散；
(iii )当l =1时，级数的敛散性进一步判断。

n =1n =1∞
∞
(4) 柯西积分判别法
对于正项级数∑u n ，设{u n }单调减少的数列，作一个连续的单调减少的正值函数
n =1∞
f (x )(f (x )>0)，使得当x 等于自然数n 时，其函数恰为u n 。

那么级数∑u n 积分，
n =1
∞
A n =⎰f (x )d (x )，同时收敛或同时发散。

1
∞
(5) 拉贝判别法
设∑u n 是正项级数，且存在自然数N 0及常数r ，
n =1
∞
⎛u n +1⎫
(i )若对一切n 1，则级数∑u n 发散；
i =1n ⎭⎝
∞
∞
⎛u n +1⎫
(ii )若对一切n >N 0，成立不等式n 1-u ⎪⎪i =1n ⎭⎝
拉贝判别法的极限形式：
⎛u n +1⎫
⎪设∑u n 是正项级数，且极限lim n 1-⎪=r 存在，则n →+∞ u n =1n ⎭⎝
∞
(i )当r 1时，级数∑u n 发散。

n =1
∞
n =1
∞
(iii )当r ≡1时，拉贝判别法无法判断。

(6) 阿贝尔判别法如果：
(i ) 级数∑b n 收敛；
n =1
∞
(ii )数列{a n }单调有界，a n
如果：
≤K
(n =1, 2, 3, ⋅⋅⋅)，则级数∑a n b n 收敛。

n =1
∞
(7) 狄立克莱判别法——变量级数判别法
(i )级数∑b n 的部分和B n 有界，B n
n =1
∞
≤M
(n =1, 2, 3, ⋅⋅⋅)
(ii )数列{a n }单调趋近于零，则级数∑a n b n 收敛。

n =1
∞
注：阿贝尔判别法与狄立克莱判别法是任意级数判别法，但也适用正项级数。

(8) 对数判别法
设a >0，n ≥n 0，∑u n 为正项级数，若
n =1∞
1
∞
(i )≥1+a ，n >0，∑u n 收敛ln n n =1
ln
1
∞
(ii )ln
(9) 高斯判别法
⎛a n +1⎫a ⎛1⎫⎪设∑u n 为正项级数，若u 1-=1++σ ⎪，
⎪a n ⎭ln n ⎝ln n ⎭n =1⎝
∞
则在β>1时，级数∑u n 收敛;
n =1∞
∞
βn =1
三、判别方法的比较
1、当级数可化为含参数的一般式、通项为等差或等比值或通项为含有二项以上根
式的四则运算且通项极限无法求出时，可以选用正项级数的比较判别法判断。

如：
111
（1）1+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅
23n 1
取02
111111
S n +p -S n =++⋅⋅⋅+>+⋅⋅⋅+=>ε0
n +1n +22n 2n 2n 2
所以级数发散
∞
（2）
∑
n =1
n +2-2n +2+n
S n =
3-2
2+1+
)4-2++
)-2
4++... +
)n +2-2n +1+n
)
=1-2+n +2-n +1
1
=1-2+
n +2+n +1
S=lim S n =1-2
n →∞
P 级数只能用正项级数的比较判别法进行判断最为简便。

1
2、当级数表达式形如u n ，u n 为任意函数的因子可以进行适当的放缩，并与几何级
u n +1u n +1
lim =1lim n n →+∞u n →+∞u n n 、n →+∞数、P 级数、调和级数进行比较不易算出或、等此类无
lim
法判断级数收敛性或进行有关级数的证明问题时，应选用比较判别法。

例：
1⎛1⎫[2]
（1）∑级数收敛()≤a >1 ⎪n
⎝a ⎭n =11+a
∞
1111
（2）∑级数收敛=≤=ln n ln n ln ln n 2ln n 2
e e n n =1ln n 比较判别法使用适用于大部分无法通过其它途径判别其敛散性的正项级数。

3、当级数含有n 的阶乘，n 次幂，形如a ! 或a n 或分子、分母含多个因子连乘除时，选用比值判别法。

当通项含a n 的函数可以选用比值判别法的极限形式进行判断，例：
∞
n
1⋅3⋅⋅⋅(2n -1)（1）∑
n ! n =1
u 2n +1lim n +1=lim =2级数发散n →+∞u n →∞n +1n
∞
π
（2）∑n n +1
2n =1
利用a →0时，有等价无穷小关系arctan a ~a ，∞
[3]
若记a n =n ⋅arctan
a
则lim n +1=lim n →+∞a n →∞
n
π
2n +1
，
(n +1)⋅πn +2
(n +1)⋅π
=lim
n →∞
n ⋅n +1
2
∞
π
所以级数∑n n +1收敛
2n =1
n +2
n ⋅2n +1
=
1
当
4、当级数含有n 次幂，形如a n 或(u n )n 或通项u n = 1
即分母含有含ln x 的函数，p
n ln n
分子为1，或级数含有多个聚点时，可选用根式判别法。

例如：
⎛n ⎫
（1）∑ ⎪
n =1⎝2n +1⎭
n 1
lim n =lim =级数收敛n →∞n →∞2n +12
一般来说，当选用根式判别法无法判断时，我们也可以选用比值判别法来判断，但有时候我们用根式判别法而不使用比值判别法，因为根式判别法得到的收敛条件比比值判别法更
优。

例如：
（2）1+b +bc +⋅⋅⋅+b n c n +⋅⋅⋅[4] (0lim 2n b n -1c n -1=
n →∞
∞
n
lim 2b n c n =
n →∞
bc>1，级数发散bcbc=1，原式=1+b +1+b +⋅⋅⋅级数发散用比值判别法
u n +1lim =c n →∞u n
____
c >1 级数收敛b >1 级数发散
lim
u n +1
=b
n →∞u
n
由例题可知，两种判别法都可以用来判断上题，但根式判别法与比值判别法相比得出的收敛范围更小，约束条件更为详细。

因此，上题选用根式判别法比比值判别法更好。

在使用判别法时，我们可以选用根式判别法找到最佳收敛条件。

同时也存在只能使用根式判别法，使用比值判别法无法判断的
情况。

例如：
（3）∑2
-n -(-1)[5]
111 级数收敛=(-1)n n →∞n →∞222
不可使用比值判别法
n
u n +1-1+2(-1)
无法判断敛散性lim =lim 2
n →∞u n →∞
n
因此，当我们观察级数的一般项的极限趋近于0时，我们可以选用比值判别法或根式判别法。

lim n =lim
5、当级数表达式形如
11
，u n 为含有ln n 的表达式或可以找到原函数，或级数u n u n u n
为[1, +∞)上非负单调递减函数，u n 含有ln n 等的因子可以找到原函数，可以选用柯西积分判别法。

例：
11
()u x =，其中∑x ln x ln ln x n ln n ln ln n n =3
因为⎰u (x )dx 发散，所以级数发散
3∞
∞
6、当通项是由两个部分乘积而成，其中一部分为单调递减且极限趋于0的数列，另一部分为部分和有界的数列；或可化为(-1)，如：(-1)
n
n (n -1)
2
=(-1)；也可以行如
n
∑sin (u )，u
n
∞
n
为任意函数，则可以选用狄立克莱判别法。

阿贝尔判别法也可以看成是
狄立克莱判别法的特殊形式。

例：
∞
3n +1⎛1⎫
设∑b n 收敛，则级数∑b n 1+⎪，∑b n ln 等都是极限。

2n ⎝n ⎭n =1n =1n =1
∞
n
7、当通项可通过泰勒展开式等方法找到其等价式，则可以通过判断其等价式的敛散性来判断原正项级数的敛散性，这需要对泰勒展开式能够较为熟练的使用，以及对各种等价式能够熟练的运用。

例：
sin (2πen ! )
∑n a (a >0) 11
Qe =1++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅（泰勒展开式）
1! n !
⎡1⎫⎤⎛11
sin (2πen ! )=sin ⎢2πn ! 1+++⋅⋅⋅+⎪⎥
n ! ⎭⎦⎝1! 2! ⎣（1）
⎡1⎫2π2π⎛⎛1++ο 2 =sin ⎢2πn ! 1+⋅⋅⋅+⎪+
n ! ⎭n +1n +1n +2⎝n ⎝⎣
⎡2π2π⎛1⎫⎤2π
(n →∞) ++ο 2⎪⎥~ =sin ⎢
n +1n +1n +2n n ⎝⎭⎦⎣
sin (2πen ! )2π
~1+a a
2π
因为∑1+a 收敛
n
所以原级数收敛
⎫⎤⎪⎥⎭⎦
8、当（1）
u n
的值可化为泰勒开式，则选用高斯判别法。

如：u n +1
∑2
n =1
∞
-λln x [6]
λ>log 2e ，级数收敛λ≤log 2e ，级数发散
1⎛x ln n ⎫
（2）∑p 1- ⎪
n ⎭n ⎝
x ln n Q lim =0，当n 充分大时，u n >0 n →∞n
1
当x =0，级数为∑p 如果p >1，则级数收敛；如果p ≤1，则级数发散
⎛x ln n ⎫
当x ≠0，ln (u n n p +x )=x ln n +n ln 1-⎪
n ⎭⎝
u x ln n 2n +ln (1-u n )
u =≠0, n >1 =nu n +n ln n (1-u n )=nu 其中n 2
n u n 当x →∞时，x →0, nu n →0, 由洛必达法则lim
n →∞
[7]
u n +ln (1-u n )
2
u n
u
lim ln (u n n p +x )=0, lim n =1级数收敛n →∞n →∞1
n p +x
ln g (x )
9、当通项u n =n ln x 或u n =ln f (x )可以选用对数判别法。

例：
=lim
ν+ln (1-ν)=lim
n →∞n →∞ν2
1
1=lim 1=-
n →∞22νν-12
u n =ln
1
[8]
ln x
ln ln n
1
u n
=ln [ln (ln n )]对a >0, ∃n 0, 当n ≥n 0时，ln n
ln [ln (ln n )]≥1+a 级数收敛
四、应用举例
例1 u n =
1! +2! +⋅⋅⋅+n !
2n !
分析：本题无法使用根式判别法与比值判别法，因此选择比较判别法进行判断解0n ⋅n ! n 1
=n ! n +1⋅⋅⋅2n n +1⋅⋅⋅2n 2n -1⋅⋅⋅2n
且级数∑
1
收敛
n =12n -12n ∞
所以级数收敛例2
a n
∑1+a 1+a ⋅⋅⋅1+a n =112n
∞
分析：本题无法使用根式判别法、比值判别法，或比较判别法以及其他的判别法进
行判断，因此选用充要条件进行判断。

11
解u n = -
1+a 11+a 2⋅⋅⋅1+a n -11+a 11+a 2⋅⋅⋅1+a n ∞
a n 1
S n =∑=1-1+a 11+a 2⋅⋅⋅1+a n 1+a 11+a 2⋅⋅⋅1+a n n =1S n 单调递增且有界所以级数收敛
⎛1⎫⎛1⋅3⎫⎛1⋅3⋅5⎫[9]
例3 ⎪+ ⎪+ ⎪+⋅⋅⋅
⎝2⎭⎝2⋅4⎭⎝2⋅4⋅6⎭
(2n -1)! ! 含有阶层，但不能使用根式判别式或比值判别式进分析：本题中通项u n =
2n ! !
行判断，因此选用拉贝判别法。

p p p
u ⎛2n +2⎫解n = ⎪
u n +1⎝2n +1⎭
1⎛2n +2⎫⎛1⎫1++ο ⎪-1 ⎪-1
⎛u n ⎫p 2n +1⎝2n +1⎭⎝n ⎭⎪Q lim n =lim =lim = ⎪n →∞n →∞ u n →∞112⎝n +1⎭
n n
p
所以当>1，即p >2，级数收敛
2
n
2+(-1)例4 ∑ n
2
n
分析：本题中分子含有(-1)，无法用比值判别法或其他方法判别，这种类型也是根式判别法的典型类型，取上极限进行判断，因此，选用根式判别法。

p
p
2+-11
解lim n =lim =n →∞n →∞22
___
n
例5
⎡1⎛1⎫⎤
-ln 1+⎪⎥ ∑⎢n
⎝n ⎭⎦n =1⎣
∞
分析：通过观察，本题可以使用充要条件进行判断，但等价判断法进行判断更为便
捷。

1⎛1⎫1⎛1⎫
解ln 1+⎪=-2+o 2⎪(n →∞)
⎝n ⎭n 2n ⎝n ⎭
所以又∑
∞
11⎛1⎫⎛1⎫
-ln 1+⎪~2+o 2⎪(n →∞) n ⎝n ⎭2n ⎝n ⎭1
收敛2n 2
⎡1⎛1⎫⎤-ln 1+⎪⎥收敛∑⎢n
⎝n ⎭⎦n =1⎣
五、总结与展望
判断正项级数的一般顺序是先检验通项的极限是否为0，若为0则发散，若不为0
则判断级数的部分和是否有界，有界则收敛，否则发散。

若级数的一般项可以进行适当的放缩则使用比较判别法，或可以找到其等价式用等价判别法。

当通项具有一定的特点时，则根据其特点选择适用的方法，如比值判别法、根式判别法或拉贝判别法。

当上述方法都无法使用时，根据条件选择积分判别法、柯西判别法、库默判别法或高斯判别法。

库默尔判别法可以推出比值判别法、拉贝尔判别法与伯尔特昂判别法。

当无法使用根式判别法时，通常可以选用比值判别法，当比值判别法也无法使用时，使用比较判别法，若比较判别法还是无法判别时再使用充要条件进行断。

由此，我们可以得到正项级数的判别法是层层递进使用的，每当一种判别法无法判断时，就出现一种新的判别法来进行判断，因此正项级数的判别法有无穷多种。

正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节正项级数收敛性判别法的比较及其应用约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。

本文归纳总结正项级数收敛性判断的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型
的正项级数，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断。

正项级数收敛判别法也可用于判定负项级数及变号级数的绝对收敛性，也可以推广到傅立叶级数的敛散性判别，在复变函数中也可以用于判定级数在复平面上的敛散性和收敛半径。

由于时间仓促，本文尚有许多不足之处，欢迎大家提出意见和建议，同时希望通过本文能加深学习者对正项级数的了解。

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