北师大版初三数学下册《圆周角和圆心角的关系》课件

习题讲解
4.船在航行过程中，船长通过测定
角数来确定是否遇到暗礁，如图，A、 B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B
两点的一个圆形区域内，优弧AB上 任一点C都是有触礁危险的 临界点，∠ACB就是“危险角”，当船位于安 全区域时，∠α与“危险角”有怎样的大小关系？
解：当船位于安全区域时，即船位于暗礁区域 外（即⊙O外） ，与两个灯塔的夹角∠α小于 “危险角” 。
C
3.如图,OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ AOB=2∠ BOC， ∠ ACB与∠ BAC的大小有什么关系？为什么？
解：∠ACB=2∠BAC. 理由是:
∵∠AOB=2∠ACB
∠BOC=2∠BAC
A
∠AOB=2∠BOC ∴∠ACB=2∠BAC
O C
B
【规律方法】解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对 的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理.
解：在⊙O中，∠BOC=50°
B
BAC 1 BOC 1 500 250
C
2
2
●O A
随堂练习
2.如图，哪个角与∠BAC相等，你还能找到那些 相等的角？
解：∠BAC=∠BDC
∠ADB=∠ACB
A
D
∠CAD=∠CBD ∠ABD=∠ACD
C B
习题讲解
1.如图，OA、OB、OC都是⊙O的直径，∠AOB=2
老师提示:能否也转化为1的情况?
过点C作直径CD.由1可得:
A B
1
1
ACD AOD, BCD BOD
2
2
C
●O
ACD BCD 1 AOD BOD
2
即ACB 1 AOB 2
方法小结
化 归
D
分类讨论、转化
化 归
D
问题回顾：当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置
对球门AC分别形成三个张角
∠BCD=100°，求∠BOD与∠BAD的大小
解：∵∠BCD=100°
A
∴优弧所对的圆心角
O
∠BOD=2∠BCD=200°
∴劣弧所对的圆心角
B
D
∠BOD=36O°-200°=160°
C
BAD 1 BOD 80o 2
习题讲解
3.为什么电影院的作为排列呈弧形，说一说这设 计的合理性。
答：有些电影院的坐位排列呈圆弧形， 这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角 相等。
本题考查了圆周角定理，平行线的判定，垂径定理，弧 长的计算
解：（1）∵∠PBC=∠D，∠PBC=∠C， ∴∠C=∠D， ∴CB∥PD；
（2015•大庆）如图，四边形ABCD内接于⊙O， AD∥BC，P为BD上一点，∠APB=∠BAD． （1）证明：AB=CD； （2）证明：DP•BD=AD•BC； （2）证明：BD2=AB2+AD•BC．
北师大版九年级数学(下) 第三章 圆
圆周角和圆心角的关系
1、理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征。 2、理解并掌握圆周角的定理及推论，并能运用其 进行简单的计算和证明。 3．经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，在学 习过程中体会以特殊情况为基础，通过转化来解 决一般性问题的方法，以及分类讨论的数学思想 方法。
考相似三角形的判定与性质； 点圆周角定理．
证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠BDC，
∴
=
∴AB=BC；
1、如图,⊙O的直径AB=8cm,∠CBD=30°,求弦DC的长.
C
D
30
A
O
B
2、AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD=AB， 如果∠ADB=23°，求∠BOC的度数。
D B
O A
种情况？
2
A
A
A
B
B
B
●O C
●O C
●O C
1.首先考虑一种特殊情况：
当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的一边(BC)上时,圆周角 ∠ACB与圆心角∠AOB的大小关系.
∵∠AOB是△ACO的外角， ∴∠AOB=∠C+∠A. ∵OA=OC， ∴∠A=∠C. ∴∠AOB=2∠C.
即ACB 1 AOB 2
∠ABC,∠ADC,∠AEC.这三个角大小有什么关系?
连接AO、CO,
Q ABC 1 AOC, ADC 1 AOC, AEC 1 AOC,
2
2
2
ABC ADC AEC A
E
●O
C
A
B
C
D
E 定理：同B弧或等D 弧所对的圆周角相等.
随堂练习
1.如图，在⊙O中，∠BOC=50°，求∠BAC的大小
课堂小结
一 、这节课主要学习了两个知识点： 1、圆周角定义。 2、圆周角定理及其定理应用。
二、方法上主要学习了圆周角定理的证明，渗 透了类比，“特殊到一般”的思想方法和分类 讨论的思想方法。
三、圆周角及圆周角定理的应用极其广泛，也 是中考的一个重要考点，望同学们灵活运用。
E
O●
C
B
D
探索2: 类比圆心角探知圆周角
在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等.
在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关 系？
为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆 周角和圆心角之间有什么关系.
A B
●
O
C
圆周角和圆心角的关系
做一做：如图,∠AOB=80°，（1）请你画出几
个 A⌒B所对的圆周角，这几个圆周角的大小有 什么关系？
A B
A B
A B
●O
●O
●O
C
C C
教师提示:思考圆周角和圆心角有几种不同的位 置关系？
圆周角和圆心角的关系
做一做：如图,∠AOB=80°（2）这些圆周角与 圆心角∠AOB的大小有什么关系?
A B
A B
A B
●O C
●O C
●O Cபைடு நூலகம்
议一议:改变圆心角∠A0B的度数，上述结论还成
立吗？
提示:注意圆心与圆周角的位置关系.
∠BOC，∠ACB与∠BAC的大小有什么关系，为什
么？ 解：∠BAC= 2 ∠ACB，理由:
Q 1 1 AOB 2
2 1 BOC 2
又∵∠AOB=2 ∠BOC
C
O
1
2
A
B
1 1 AOB 1 2BOC BOC 22
2
2
即∠BAC= 2∠ACB
习题讲解
2.如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，且
圆周角： ∠BAC, ∠ABC, ∠ACB
做一做
1.判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
图１ 不是
图２ 不是 图３
是
不是
图４
不是
图５
问题提出：当球员在B,D,E处射门时,他所处的 位置对球门AC分别形成三个张角 ∠ABC,∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么 关系?
A
A
E B
C D
知识回顾
1.圆心角的定义? 顶点在圆心的角叫圆心角
2.圆心角的度数和它所对的弧的度数有何关系? 如图：∠AOB = 弧AB的度数
3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条 弧 、 两条 弦 中有一组量相等，那么它们所对应的 其余各组量都分别相等。
探究新知
探索1: 角顶点发生变化时,我们得到几种情况?
圆周角定理
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数 的一 半.
即ACB 1 AOB 2
A B
A B
A B
●O
●O
●O
C
C
C
下面对定理进行演绎证明
圆周角定理
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数
已的知一：半如.图，∠ACB是A⌒B 所对的圆周角，
∠AOB是A⌒B 所对的圆心角， 先证明哪一
ACB 1 求AO证B：
A
A
O.
A.
.
.
O
O
O
B
CB
CB
CB
C
顶点在圆心 点A在圆内 点A在圆上 点A在圆外
圆心角
圆周角
思考：三个图中的∠BAC的顶点A各在圆的什么位 置？
圆周角定义:
顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个 交点的角叫做圆周角.
A
. O
B
C
练习、指出图中的圆心角和圆周角
圆心角：
∠AOB、 ∠AOC、 ∠BOC
A B
●O
C
2.当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的内部时,圆周角∠ACB与 圆心角∠AOB的大小关系会怎样?
老师提示:能否转化为1的情况? 过点C作直径CD.由1可得:
AD B
1
1
●O
ACD AOD, BCD BOD
2
2
ACD BCD 1 AOD BOD
C
2
即ACB 1 AOB 2
3.当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的外部时,圆周角∠ACB与 圆心角∠AOB的大小关系会怎样?
（8分）（2014•大庆）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上 ，PB与CD交于点F，∠PBC=∠C． （1）求证：CB∥PD； （2）若∠PBC=22.5°，⊙O的半径R=2，求劣弧AC的长度．
本题考查了圆周角定理，平行线的判定，垂径定理，弧 长的计算
（8分）（2014•大庆）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上 ，PB与CD交于点F，∠PBC=∠C． （1）求证：CB∥PD； （2）若∠PBC=22.5°，⊙O的半径R=2，求劣弧AC的长度．