2020-2021学年高二物理竞赛恒定电流-闭合电路欧姆定律课件
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dS
dl
图中dU<0计
对于非均匀导体，可在导体中 取一微小的圆柱形导体元。则此导 体元的电阻，可由上式相应列成：
R dl
dS
再由电流密度的定义式，可列得通过导体元的电流为：
dI jdS
再由以上欧姆定律的表达式，通过导体元的电流与电位差
的关系可相应列成： dI U (U dU ) dU
任意a,b两点间的电势差可表示为：
U ab (i ) ( Ii Ri )
i
i
上式为一段含源电路的欧姆定律
八、 基尔霍夫定理(简介)
对于稳恒电流其满足（7-6）式所示的稳恒条件：
S j dS 0
上式说明在稳恒情况下，在单位时间内，通过闭合曲面一侧
流入的电量必等于从另一侧流出的电量。
如图1为一变截面的导线，在变截面处取一个闭合曲面S，
Q I 2Rt
电功率： P I 2R
电功率密度p：
P
I2R
J 2S2
l S
2E 2S 2
l S
E 2 Sl
E 2V
p P /V E2 (焦耳定律微分形式)
五 电源和电动势
1、电动势的物理概念 1)、电源
如图1，电容器充电后接入一个灯泡，
那么这个灯泡亮了一下就暗了下来。
+
要使灯泡继续亮下去，就要想办法将 流向B极的正电荷通过电内部电路，再将
在稳恒情况下，流入和流出电路节点的电流数为n时，所有 这些电流的代数和应满足：
n
Ii 0
i 1
(8-10）
式中的的正负号选取规则：流入节点的电流取正号，流出节
点的电流取负号。
上式称为节点电流方程或基尔霍夫第一定理表达式。
由闭合电路的欧姆定律：
R
I 可列得： IR Ir IR Ir 0
为这个电源的电动势，用 表示，即：
A非 q
dq +
E
A
B
+ dq
+q -q (图1)
E
+
A dq B + 电+源- (图2)
电动势 的单位：伏特（ 1V 1J ）
1C
在具体应用中常规定：电源内电路中，电势增加的方向为电动势
的指向。
设作用在单位正电荷上的非静电力为 正电荷上的非静电力为：
EK，则作用在电量为q的
Rr
I
L ε,r
由图可见，上式对应的回路中是只有一个 电阻、一个电源（包含一个内电阻）和一种电
流的情况。
对于复杂情况的电路，一个回路可能会遇到有几个电源和 几种不同的电流的情况，所以要把上式推广到更一般的形式。
即：
(i ) (Ii Ri ) 0
i
i
（8-11）
式中的正负号选取规则如下：先任选一个环路的绕行计算方
dq
它搬运到A极板上。而这一过程依靠电容
两极间的静电场力显然是不行的。必须依
靠某种与静电力本质不同的力（称为非静
电力），才能克服静电力把正电荷从低电
位的B处推向高电位的A处。
定义：能够提供非静电力的装置称为电源. +
2、电源电动势 定义：将单位正电荷从电源负极经过电
源内部移至正极时非静电力所作的功称
1, r1 R3
I R3
求电路中电流分布：I R1 , I R2 , I R3 , I R4
解：选取如图所示的计算回路L1
L1
和L2 。先计算第一回路L1，由基
R1
I R1 A R2
氏第二定理式（5—55）可列得：
1 I R3 r1 I R3 R3 I R2 R2 I R1 R1 0
L2
I R4
Ia I1 I2 0
Ib I3 I2 0
I1 I3 Ic 0
例题1
已知空气的电导率 3104 1 m1、E 100N C、1 R 6106 m，
求大气流向地球表面的总电流强度。
j
解：由（8-9）式可列得：
j
j E 0.03 A / m2
dS 又由（8-4）式，可列得流入闭合曲面
I q t
当导体内的电流随时间变化时，某一时刻的电流强度用瞬时 电流强度来表达，此时I的定义式可写成：
I lim q dq t0 t dt
（8-1）
电流强度的单位为：安培（A）
几种典型的电流分布
粗细均匀的 金属导体
粗细不均匀 的金属导线
半球形接地电 极附近的电流
定义：电流密度 j 为一矢量，该矢量在导体中各点的方向代表
设流入的电流为I1，流出的电流为I2，则由上知，必有: I1 = I2
I1
S I2
图1
I3
I1
图2 S
I2
如图2为有支流的情况，在节点处取一个包围该节点的闭合曲 面，也同理得到流入的电流与流出的电流相等。
即:
I1 I2 I3
或： I1 I2 I3 0
上述结果可推广到节点的电流数为n的情形：
I U1 U2 R
式中的R为比例系数，其与导线的材料及几何形状有关，称为 导体的电阻，单位为欧姆（Ω）。
实验表明，对于一定材料制成的横截面均匀的导体，它的
电阻R与长度 l 成正比，与横截面积S成反比，写成等式为：
R l
S
式中的比例系数 由导体的材料所决定，称为材料的电阻
率（单位为： m ）
U j U+dU
（8-9）
即得：电流密度与电场强度成正比。由于此式是由欧姆定律式 导出的，它表达了欧姆定律的微观意义，故称之为欧姆定律的 微分形式
欧
姆 像
欧姆（1787-1854）：
德国物理学家。
家境贫困，中断
大学学业后当了
中学老师。后被
慕尼黑大学任命
为教授。
四、焦耳定律 电流通过导体时放出的热量Q与电流I 的平方，导体的电阻R以及通电时间 成正比--------焦耳定律
I R2
将 I R2 I R3 代入上式可得：
1 I R2 r1 I R2 R3 I R2 R2 I R1 R1 0 (1)
对于第二个回路，可列得：
2 , r2 R4
I R1 R1 I R4 R4 I R4 r2 2 0
（2）
选节点A处，由基氏第一定理式（8-10）可列得：
I R2 I R1 I R4 0
R
R
或：
将上两式代入上式得: j 1 ( dU )
dl
jdS dU dUdS
dl / dS dl
j 1 ( dU )
dl
再将场强与电势的关系式E dU 代入上式可得： j 1 E dl
如在上式中令
1
称为电导率，并考虑到 j 的方向与E 的
方向一致，则上式可写成矢量形式：
j E
的电 流强度：
I j dS jdS cos j dS j 4R2
S
S
S
由前式代入上式可得大气流向地球表面的总电流
强度的大小为：
I
例题2 已知： 1 3.0V ,2 1.0V , r1 0.5, r2 1.0
R1 10.0, R2 5.0, R3 4.5, R4 19.0
化的电流。
dq
在稳恒情况下，任何封闭曲面内的电量不随时间变化，即
0
代入上式得：
dt
S j dS 0
（8-6）
上式称为电流的稳恒条件。
微分形式写为： j 0
两个特点：
(1) 恒定电流场中通过任意闭合曲面的电流必定等于零
(2) j线是既无起点又无终点的连续闭合曲线
三、欧姆定律
欧姆定律：当导体的温度一定时，导体中的电流强度与导线 两端的电势差成正比，亦即：
I sdI S j dS
(8-4)
电流线概念
为形象描写电流分布，引入“电流线”的概念
规定：
1）电流线上某点的切向
P
与该点 J 的方向一致；
J
电流线
2）电流线的密度等于 J，
即：
dN dS J
dN dI
dN dS
二、电流的连续性方程和稳恒电流条件
s
通过任意一个封闭曲面S的电流 可表 示为：
j
I S j dS
根据电荷守恒定律，通过封闭面流出的电量应等于封闭面内
电荷的减少，即：
S
j
dS
dq dt
上式称为电流的连续性方程。(积分形式)
（8-5）
微分形式可推出：
S
j
dS
jd
t
d
j
t
电流连续性方程(微分形式) 电流密度与电荷密度的关系
稳恒电流（或称直流电）：导体内各处的电流密度 都不随时间变
利用Va Vb IR,Vb Vc Ir,Vc Va V V
闭合回路的欧姆定律：
IR Ir 0 I （R+r）
（2）两个电源的情况
2 1
顺时针方向运用安培
I
1 ●b
r1
a● r2
●c R
环路定理
●
●d
2 e
闭合回路的欧姆I定（律：r12+r2+1R）
（3）多个电源串接的情况
I (i ) / (Ri )
Ia a I2
R2
1, r1
R1 I1 Ic
c
L
2 , r2
I3 R3 3, r3
如图为有多个电源和多个种 电流的回路。选顺时针方向 为绕行计算方向L。则由
（8-11）式可列得：
Ib b
1 I1r1 I1R1 I3R3 3 I3r3 2 I2r2 I2R2 0
又如，用（8-10）式对于节点a、b、c可分别列得：
第八章 恒定电流和稳恒磁场
8.1 恒定电流
一、电流强度和电流密度的物理概念 二、电流的连续性方程和稳恒电流条件 三、欧姆定律 四、焦耳定律 五、电源和电动势 六、 闭合回路的欧姆定律
七、 含源电路的欧姆定律 八、 基尔霍夫定理
一、电流强度和电流密度的物理概念 电流强度的定义：单位时间内通过导体任一横截面的电量，称为 通过这一截面的电流强度。用式子表示为：
() (电(源) E内K) dl
在有些情况下，非静电力不仅存在于内电路中，也存在于外
电路中，这时整个回路的电动势为：
l EK dl
其中积分遍及整个回路.
六、 闭合回路的欧姆定律 (P190)
I
R
（1）单个电源的情况 a●
●b
顺时针方向运用安培
r ●
环路定理
c
由 E d l 0,可得(Va Vb ) (Vb Vc ) (Vc Va ) 0
（3）
将（1）、（2）、（3）联立便可解出： I R1 , I R2 , I R3 , I R4
FK qEK
在电源内部，正电荷q从负极迁移到正极板时，非静电力所作 的功，由功的定义式可列出： () ()
A非 () FK dl () qEK dl (电源内) (电源内)
将上式两边除以q得:
A非 q
() () EK dl
(电源内)
与电动势的定义式比较得：
上式为用非静电力表示的电动势。
向，当电阻中的电流方向与绕行方向相同时，对应的IR项前取负 号，反之取正号；当电动势的指向与绕行方向相同时，相应的ε项 前取正号，反之取负号。
若计算的结果计出的I<0，则表示实际电流方向与假定的电 流方向相反；若计出的I>0，表示实际电流方向与假定的电流方 向相同。
上式称为环路电压方程或基尔霍夫第二定理表达式
该点电流的方向，其数值等于通过该点单位垂直截面的电流强
度。用式子表示为：
j dI dS
（8-2）
如已知导体中某点的电流密度时，通过该点的电流强度可由
下式求得：
dI jdS
当所分析的截面dS不是垂直截面，即其法向 n 与电流密度 j
பைடு நூலகம்
有一夹d角Sθ′θ时dS，能nθ通j 过面j 元I可dS通d的通I过电过对流导jd上强S体式c度中o积要s任分用意求下截得j式面：d进SS的行电计（流算8强-：3）度
i
i
上式Ri项包括电源的内阻，式中的正负号需要根据具体 情况来定
七、 含源电路的欧姆定律
各支路的电流已知
R1 1
I3 2
3
● a
● c
● d
r1
I1
● e
I2
● f
●● r2 g h
r3
● b
a,b两点间的电势差：
顺序方向
Uab I1R1 1 I1r1 2 I2r2 3 I2r3
(1 2 3) (I1R1 I1r1 I2r2 I2r3)
dl
图中dU<0计
对于非均匀导体，可在导体中 取一微小的圆柱形导体元。则此导 体元的电阻，可由上式相应列成：
R dl
dS
再由电流密度的定义式，可列得通过导体元的电流为：
dI jdS
再由以上欧姆定律的表达式，通过导体元的电流与电位差
的关系可相应列成： dI U (U dU ) dU
任意a,b两点间的电势差可表示为：
U ab (i ) ( Ii Ri )
i
i
上式为一段含源电路的欧姆定律
八、 基尔霍夫定理(简介)
对于稳恒电流其满足（7-6）式所示的稳恒条件：
S j dS 0
上式说明在稳恒情况下，在单位时间内，通过闭合曲面一侧
流入的电量必等于从另一侧流出的电量。
如图1为一变截面的导线，在变截面处取一个闭合曲面S，
Q I 2Rt
电功率： P I 2R
电功率密度p：
P
I2R
J 2S2
l S
2E 2S 2
l S
E 2 Sl
E 2V
p P /V E2 (焦耳定律微分形式)
五 电源和电动势
1、电动势的物理概念 1)、电源
如图1，电容器充电后接入一个灯泡，
那么这个灯泡亮了一下就暗了下来。
+
要使灯泡继续亮下去，就要想办法将 流向B极的正电荷通过电内部电路，再将
在稳恒情况下，流入和流出电路节点的电流数为n时，所有 这些电流的代数和应满足：
n
Ii 0
i 1
(8-10）
式中的的正负号选取规则：流入节点的电流取正号，流出节
点的电流取负号。
上式称为节点电流方程或基尔霍夫第一定理表达式。
由闭合电路的欧姆定律：
R
I 可列得： IR Ir IR Ir 0
为这个电源的电动势，用 表示，即：
A非 q
dq +
E
A
B
+ dq
+q -q (图1)
E
+
A dq B + 电+源- (图2)
电动势 的单位：伏特（ 1V 1J ）
1C
在具体应用中常规定：电源内电路中，电势增加的方向为电动势
的指向。
设作用在单位正电荷上的非静电力为 正电荷上的非静电力为：
EK，则作用在电量为q的
Rr
I
L ε,r
由图可见，上式对应的回路中是只有一个 电阻、一个电源（包含一个内电阻）和一种电
流的情况。
对于复杂情况的电路，一个回路可能会遇到有几个电源和 几种不同的电流的情况，所以要把上式推广到更一般的形式。
即：
(i ) (Ii Ri ) 0
i
i
（8-11）
式中的正负号选取规则如下：先任选一个环路的绕行计算方
dq
它搬运到A极板上。而这一过程依靠电容
两极间的静电场力显然是不行的。必须依
靠某种与静电力本质不同的力（称为非静
电力），才能克服静电力把正电荷从低电
位的B处推向高电位的A处。
定义：能够提供非静电力的装置称为电源. +
2、电源电动势 定义：将单位正电荷从电源负极经过电
源内部移至正极时非静电力所作的功称
1, r1 R3
I R3
求电路中电流分布：I R1 , I R2 , I R3 , I R4
解：选取如图所示的计算回路L1
L1
和L2 。先计算第一回路L1，由基
R1
I R1 A R2
氏第二定理式（5—55）可列得：
1 I R3 r1 I R3 R3 I R2 R2 I R1 R1 0
L2
I R4
Ia I1 I2 0
Ib I3 I2 0
I1 I3 Ic 0
例题1
已知空气的电导率 3104 1 m1、E 100N C、1 R 6106 m，
求大气流向地球表面的总电流强度。
j
解：由（8-9）式可列得：
j
j E 0.03 A / m2
dS 又由（8-4）式，可列得流入闭合曲面
I q t
当导体内的电流随时间变化时，某一时刻的电流强度用瞬时 电流强度来表达，此时I的定义式可写成：
I lim q dq t0 t dt
（8-1）
电流强度的单位为：安培（A）
几种典型的电流分布
粗细均匀的 金属导体
粗细不均匀 的金属导线
半球形接地电 极附近的电流
定义：电流密度 j 为一矢量，该矢量在导体中各点的方向代表
设流入的电流为I1，流出的电流为I2，则由上知，必有: I1 = I2
I1
S I2
图1
I3
I1
图2 S
I2
如图2为有支流的情况，在节点处取一个包围该节点的闭合曲 面，也同理得到流入的电流与流出的电流相等。
即:
I1 I2 I3
或： I1 I2 I3 0
上述结果可推广到节点的电流数为n的情形：
I U1 U2 R
式中的R为比例系数，其与导线的材料及几何形状有关，称为 导体的电阻，单位为欧姆（Ω）。
实验表明，对于一定材料制成的横截面均匀的导体，它的
电阻R与长度 l 成正比，与横截面积S成反比，写成等式为：
R l
S
式中的比例系数 由导体的材料所决定，称为材料的电阻
率（单位为： m ）
U j U+dU
（8-9）
即得：电流密度与电场强度成正比。由于此式是由欧姆定律式 导出的，它表达了欧姆定律的微观意义，故称之为欧姆定律的 微分形式
欧
姆 像
欧姆（1787-1854）：
德国物理学家。
家境贫困，中断
大学学业后当了
中学老师。后被
慕尼黑大学任命
为教授。
四、焦耳定律 电流通过导体时放出的热量Q与电流I 的平方，导体的电阻R以及通电时间 成正比--------焦耳定律
I R2
将 I R2 I R3 代入上式可得：
1 I R2 r1 I R2 R3 I R2 R2 I R1 R1 0 (1)
对于第二个回路，可列得：
2 , r2 R4
I R1 R1 I R4 R4 I R4 r2 2 0
（2）
选节点A处，由基氏第一定理式（8-10）可列得：
I R2 I R1 I R4 0
R
R
或：
将上两式代入上式得: j 1 ( dU )
dl
jdS dU dUdS
dl / dS dl
j 1 ( dU )
dl
再将场强与电势的关系式E dU 代入上式可得： j 1 E dl
如在上式中令
1
称为电导率，并考虑到 j 的方向与E 的
方向一致，则上式可写成矢量形式：
j E
的电 流强度：
I j dS jdS cos j dS j 4R2
S
S
S
由前式代入上式可得大气流向地球表面的总电流
强度的大小为：
I
例题2 已知： 1 3.0V ,2 1.0V , r1 0.5, r2 1.0
R1 10.0, R2 5.0, R3 4.5, R4 19.0
化的电流。
dq
在稳恒情况下，任何封闭曲面内的电量不随时间变化，即
0
代入上式得：
dt
S j dS 0
（8-6）
上式称为电流的稳恒条件。
微分形式写为： j 0
两个特点：
(1) 恒定电流场中通过任意闭合曲面的电流必定等于零
(2) j线是既无起点又无终点的连续闭合曲线
三、欧姆定律
欧姆定律：当导体的温度一定时，导体中的电流强度与导线 两端的电势差成正比，亦即：
I sdI S j dS
(8-4)
电流线概念
为形象描写电流分布，引入“电流线”的概念
规定：
1）电流线上某点的切向
P
与该点 J 的方向一致；
J
电流线
2）电流线的密度等于 J，
即：
dN dS J
dN dI
dN dS
二、电流的连续性方程和稳恒电流条件
s
通过任意一个封闭曲面S的电流 可表 示为：
j
I S j dS
根据电荷守恒定律，通过封闭面流出的电量应等于封闭面内
电荷的减少，即：
S
j
dS
dq dt
上式称为电流的连续性方程。(积分形式)
（8-5）
微分形式可推出：
S
j
dS
jd
t
d
j
t
电流连续性方程(微分形式) 电流密度与电荷密度的关系
稳恒电流（或称直流电）：导体内各处的电流密度 都不随时间变
利用Va Vb IR,Vb Vc Ir,Vc Va V V
闭合回路的欧姆定律：
IR Ir 0 I （R+r）
（2）两个电源的情况
2 1
顺时针方向运用安培
I
1 ●b
r1
a● r2
●c R
环路定理
●
●d
2 e
闭合回路的欧姆I定（律：r12+r2+1R）
（3）多个电源串接的情况
I (i ) / (Ri )
Ia a I2
R2
1, r1
R1 I1 Ic
c
L
2 , r2
I3 R3 3, r3
如图为有多个电源和多个种 电流的回路。选顺时针方向 为绕行计算方向L。则由
（8-11）式可列得：
Ib b
1 I1r1 I1R1 I3R3 3 I3r3 2 I2r2 I2R2 0
又如，用（8-10）式对于节点a、b、c可分别列得：
第八章 恒定电流和稳恒磁场
8.1 恒定电流
一、电流强度和电流密度的物理概念 二、电流的连续性方程和稳恒电流条件 三、欧姆定律 四、焦耳定律 五、电源和电动势 六、 闭合回路的欧姆定律
七、 含源电路的欧姆定律 八、 基尔霍夫定理
一、电流强度和电流密度的物理概念 电流强度的定义：单位时间内通过导体任一横截面的电量，称为 通过这一截面的电流强度。用式子表示为：
() (电(源) E内K) dl
在有些情况下，非静电力不仅存在于内电路中，也存在于外
电路中，这时整个回路的电动势为：
l EK dl
其中积分遍及整个回路.
六、 闭合回路的欧姆定律 (P190)
I
R
（1）单个电源的情况 a●
●b
顺时针方向运用安培
r ●
环路定理
c
由 E d l 0,可得(Va Vb ) (Vb Vc ) (Vc Va ) 0
（3）
将（1）、（2）、（3）联立便可解出： I R1 , I R2 , I R3 , I R4
FK qEK
在电源内部，正电荷q从负极迁移到正极板时，非静电力所作 的功，由功的定义式可列出： () ()
A非 () FK dl () qEK dl (电源内) (电源内)
将上式两边除以q得:
A非 q
() () EK dl
(电源内)
与电动势的定义式比较得：
上式为用非静电力表示的电动势。
向，当电阻中的电流方向与绕行方向相同时，对应的IR项前取负 号，反之取正号；当电动势的指向与绕行方向相同时，相应的ε项 前取正号，反之取负号。
若计算的结果计出的I<0，则表示实际电流方向与假定的电 流方向相反；若计出的I>0，表示实际电流方向与假定的电流方 向相同。
上式称为环路电压方程或基尔霍夫第二定理表达式
该点电流的方向，其数值等于通过该点单位垂直截面的电流强
度。用式子表示为：
j dI dS
（8-2）
如已知导体中某点的电流密度时，通过该点的电流强度可由
下式求得：
dI jdS
当所分析的截面dS不是垂直截面，即其法向 n 与电流密度 j
பைடு நூலகம்
有一夹d角Sθ′θ时dS，能nθ通j 过面j 元I可dS通d的通I过电过对流导jd上强S体式c度中o积要s任分用意求下截得j式面：d进SS的行电计（流算8强-：3）度
i
i
上式Ri项包括电源的内阻，式中的正负号需要根据具体 情况来定
七、 含源电路的欧姆定律
各支路的电流已知
R1 1
I3 2
3
● a
● c
● d
r1
I1
● e
I2
● f
●● r2 g h
r3
● b
a,b两点间的电势差：
顺序方向
Uab I1R1 1 I1r1 2 I2r2 3 I2r3
(1 2 3) (I1R1 I1r1 I2r2 I2r3)