高等数学基础作业答案2改

高等数学基础作业答案 2 改
（一）单项选择题
⒈B ⒉D ⒊A ⒋D ⒌C
（二）填空题
⒈
⒉
2 ln x 5
⒊
1
⒋
x
2
⒍ x
x 2 x (2 ln x 2)
1
（三）计算题
⒈求以下函数的导数 y ：
⑴ y ( x x 3)e x
解： 由导数四则运算法例
y 1
⒌
3
y
(( x x
3)e x ) ( x
2
3) e
x
(x
3
3
(( x 2 )
(3) )e x (x 2 3) e x
1 3
1
3
x 2
e x ( x 2
3)e x ( 3
x 2
2
2 ⑵ y cot x
x 2 ln x
解： 由导数四则运算法例
3
2
3)(e x )
3
x 2 3)e x
y
(cot
x x
2
ln )
(cot )
( x 2
ln x )
x
x
1
(x 2 ) ln x
x 2 (ln x)
sin 2 x
1 2xln x x 2
1
1
2x ln x
sin 2 x
x
sin 2 x
⑶
y x 2 ln x
解： 由导数四则运算法例
y
x 2
( x 2 ) ln x x 2 (ln x)
()
ln 2
x
ln x
2x ln x
x 2 1
2x ln x x
x
2x
ln 2 x
ln 2 x
⑷
cos x
y
解： 由导数四则运算法例
y
cos x 2 x
(cos x 2 x ) x 3
(cos x 2 x )( x 3 )
(
3)
x 6
x
x
((cos x)
(2x ) )x 3
3x 2 (cos x 2 x )
x 6
( sin x
2x ln 2) x 3
3x 2 (cos x 2 x )
x 6
x sin x x2x ln 2
3 cos x 3 2 x
x 4
⑸
ln x x 2
y
sin x
解： 由导数四则运算法例
y
( ln x x 2
) (ln x x 2 ) sin x (ln x x 2 )(sin x)
sin x
sin 2 x
((ln x)
( x 2 ) ) sin x (ln x
x 2 ) cos x
sin 2 x
(
1
2 x) sin x (ln x x 2 ) cos x
x
sin 2
x
sin x 2x 2 sin x
x cos x ln x x 3 cos x
x sin 2 x
⑹ y x 4
sin x ln x
解： 由导数四则运算法例
y ( x 4 sin x ln )
( x 4 )
(sin x ln x )
x
4x 3 ((sin x) ln x sin x(ln x) )
4x 3
(cos ln x sin x 1 ) 4x 3
cosln x sin x
sin x x 2
x x
⑺
y
3x
解： 由导数四则运算法例
y (
⑻ y
e x tan x
sin x x 2
(sin x
x 2 ) 3x (sin x x 2 )(3x )
3x
)
(3x ) 2
((sin x) (x 2 ) )3x
(sin x x 2 )3 x ln 3
(3x ) 2
(cosx
2x)3x 3x sin x ln 3 x 2 3x ln 3
(3x ) 2
cos x 2x sin x ln 3 x 2 ln 3
3x
ln x
解： 由导数四则运算法例
y
(e x tan x ln x)
( e x tan x) (ln x)
( e x ) tan x
e x (tan x)
1
x e x
e x tan x e x
1 1 e x tan x
1
cos 2 x
x
cos 2 x
x
⒉求以下函数的导数 y ：
⑴ y e x
解：
设 u
x ，则有
y e u ， u
x
由复合函数求导法例
y y u u x (e u ) u ( x ) x
u 1 e x e
x
2 x
2 ⑵ y ln cos x
解：
设 u cos x ，
则有
y ln u
， u
cos x
由复合函数求导法例
y
y u u x
(ln u)u (cos x) x
1
sin x) sin x
( cos x
u
⑶ y
x
x x
解： y
1 1
1
x x x
(x(x x 2 ) 2 ) 2
1 y
7
x 8 8
⑷ y
sin 2
x
解：
设 u sin x ，则有
y u 2 ，
u
sin x
tan x
3 1 1 3 1 7 1 7
( x( x 2 ) 2 ) 2 ( x x 4 ) 2 (x 4 ) 2 x 8
由复合函数求导法例
y
y u u x (u 2 ) u (sin x) x
2u cosx 2sin x cosx sin 2x
⑸ y sin x 2
解：
设 u x 2
，则有
y sin u ，u x2由复合函数求导法例
y y u
x (sin u)
u
( x2 )
x
u
cosu2x 2x cos x 2
⑹y cose x
解：设u e x，则有
y cosu ，u e x
由复合函数求导法例
y y u u x (cos u) u ( e x ) x
sin u e x e x sin e x
⑺ y sin n x cosnx
解：由导数四则运算法例
y(sin n xcosnx )(sin n x) cosnx sin n x(cos nx)设u sin x ，v nx，则有
sin n x u n，cosnx cosv
由复合函数求导法例
y (sin n xcosnx ) (sin n x) cosnx sin n x(cos nx)
(u n ) u (sin x) x cosnx sin n x(cos v) v (nx) x
nu n 1 cos x cosnx sin n x(sin v) n
nsin n 1 xcos x cosnx n sin n x sin nx
⑻ y5sin x
解：设 u sin x ，则有
y 5u，u sin x
由复合函数求导法例
y y u u x(5u ) u (sin x) x
5u ln 5 cos x 5sin x ln 5 cos x
⑼y e cos x
解：设u cos x，则有
y e u， u cos x
由复合函数求导法例
y
y u u x (e u ) u (cos x) x
e u sin x
e cos x sin x
⒊在以下方程中， y
y( x) 是由方程确立的函数，
求 y ：
⑴ y cos x
e
2 y
解法 1： 等式两头对 x 求导
左
( y cos x) y cos x
y(cos x)
y cos x
y sin x 右
由此得
( e 2 y ) x (e 2 y ) y y
2e 2 y y
y cos x y sin x
2e 2 y y
整理得
y sin x
y
2e 2 y
cos x
解法 2： 等式两头求微分
左 d( y cosx)
cos xdy yd(cos x)
cos xdy
ysin xdx
右 d(e 2 y ) e 2 y d(2 y) 2e 2 y dy
由此得
2 y
y
x y y sin x x
2e cos d
d d
整理得
y sin x dx
dy
2e 2 y
cos x
得
y sin x y
cosx 2e
2 y
⑵ y cos y ln x
解法 1： 等式两头对 x 求导
左
右
y
(cos y ln x) (cos y)x ln x
cos y(ln x)
(cos y) y
y ln x cos y
1
ln xsin y y
cos y
x
x
由此得
y ln x sin y
y
cos y
整理得
y
x
cos y
x x ln x sin y
解法 2：等式两头求微分
左右dy
d(cos y ln x)ln xd(cos y) cos yd(ln x) sin y ln xdy cos y dx
x
由此得
dysin y ln xdy cos y dx
x
整理得
dy cos y dx
x x ln x sin y
得
y
cos y
x x ln x sin y
⑶ 2xsin y x 2
y
解法 1：等式两头对x求导
左 ( 2xsin y)( 2x) sin y 2x(sin y)
x
2sin y2x(sin y) y y2sin y 2x cos y y
右( x 2)(x 2 ) y x 2 y2xy x2 y y y2y 2
由此得
2sin y2x cos y y 2xy x 2 y
y2
整理得
y 2xy 2 y2 sin y 2xy 2 cos y x2
解法 2：等式两头求微分
左
d(2x sin y) sin yd(2x)
2 xd(sin y)
2sin ydx
2x cos ydy
右
由此得
x 2 ydx 2 x 2dy 2xydx x 2 dy
d(
)
2
y 2
y
y
2xydx x 2dy
2sin ydx 2xcos ydy
2
y
整理得
dy
2xy 2 y 2 sin y
2xy 2 cos y x 2 dx
得
y
2xy 2 y 2 sin y 2xy 2 cos y x 2
⑷ y x ln y
解法 1： 等式两头对 x 求导
左
右
y
( x ln y) (x) (ln y) x
1 (ln y) y y
1 1 y
y
由此得
y
1 1
y y
整理得
y
y
y 1
解法 2： 等式两头求微分
左
右
由此得
dy
d( x ln y)
dx d(ln y)
dx
1
dy
y
1
dy dx dy
整理得
dy
y dx
y
1
得
y
y y 1
⑸ ln x e y
y 2
解法 1： 等式两头对 x 求导
左
右
由此得
(ln x e y )
(ln x) (e y ) x
1
(e y
) y y
1
e y y
x
x
( y 2 ) x ( y 2 ) y y
2 y y
1 e y y
2 y y x
整理得
1
y
2 xy
xe y
解法 2： 等式两头求微分
左 d(ln x
e y ) d(ln x) d( e y )
1
dx e y dy
x
右 d( y ) e 2 y d( 2 y ) 2e 2 y dy
由此得
1
dx e y dy
2ydy
x
整理得
1
y dx
dy
xe
2xy
得
1
y
xe y
2 xy
⑹ y 2
1 e x sin y
解法 1： 等式两头对 x 求导
左右( y 21) x( y 21) y y 2 y y
( e x sin y)(e x ) sin y e x (sin y) x
e x sin y e x (sin y) y y e x sin y e x cos y y
由此得
2 y y e x sin y e x cos y y
整理得
e x sin y
y
2 y e x cos y
解法 2：等式两头求微分
左 d( y21)d( y2 ) d(1)
2 ydy
右 d(e x sin y)sin yd(e x ) e x d(sin y)
e x sin ydx e x cos ydy
由此得
2 ydy e x sin ydx e x cos ydy
整理得
dy e x sin y dx
2 y e x cos y
得
y
e x sin y
2 y e x cos y
⑺ e y e x y 3
解法 1：等式两头对x求导
左右( e y ) x(e y ) y y e y y ( e x y3 ) (e x )( y 3 ) x e
x
(
y 3
) y
y
e
x
y 2 y
3
由此得
e y y e x 3 y2 y 整理得
y
e x e y3y 2
解法 2：等式两头求微分左d(e y )e y dy
右 d(e x y 3 ) d(e x ) d( y3 )
e x x
3
y 2
d
y
d 由此得
e y
y x x
3
y2y d e d d
整理得
dy
e x
2 dx
e y 3 y
得
e x
y
e y2
3y
⑻ y 5 x2y
解法 1：等式两头对x求导
左右y
(5 x 2 y )(5x )(2 y ) x
5 x ln 5 (2 y ) y y 5x ln 5 2y ln 2 y
由此得
y5x ln 5 2 y ln 2 y
整理得
5x ln 5
y
1 2 y ln 2
解法 2：等式两头求微分左 dy
右 d(5x 2 y )d(5 x ) d(2y )
5 x ln5d x 2 y ln2d y
由此得
dy 5x ln5dx 2 y ln2d y
整理得
dy
5 x ln5
2y dx
1ln2
得
y
5x ln 5 1 2 y ln 2
⒋求以下函数的微分 d y ：
⑴ y cot x cosx
解： d y d(cot x cos x)d(cot x) d(cos x)
1
dx sin xdx 1
sin x)dx
sin 2
(
x sin 2x
⑵ y ln x
sin x
d( ln x
)sin xd(ln x)ln xd(sin x)
解： d y sin x sin2x
sin x
dx ln x cosxdx sin x x ln x cosx
x
sin2x x sin2
dx x
⑶ y sin 2 x
解： d y d(sin 2 x)2sin xd(sin x)
2sin x cos xdx
sin 2xdx
⑷y tan e x
解：
d y d(tan
e x )cos2e x
1d(e x )
x
e
⒌求以下函数的二阶导数：
⑴ y x
解： y111x 2
2x2
3
1 x
y2
4
⑵ y3x
解： y3x ln 3
y 3 x ln 23
⑶ y ln x
解：y1
x
1
y
x 2
⑷y x sin x
解：由导数四则运算法例
y( x sin x)( x) sin x x(sin x)
sin x x cosx
y(sin x x cos x)(sin x)( x cos x)
cos x ( x) cos x x(cos x)
2cosx x sin x
（四）证明题
设 f (x) 是可导的奇函数，试证 f ( x) 是偶函数．证：由于 f ( x) 是可导的奇函数，因此对随意 x 有
f ( x) f (x)
上式两头对x 求导
左
右由此得( f ( x)) x( f ( x)) x( x) f ( x) ( f (x)) f ( x)
f ( x) f ( x)
即
f ( x) f ( x)
由定义可知 f ( x) 是偶函数．。