统计学：9非参数统计

解：H0:不同牌子饮用者人数服 从均匀分布（没有差别）
H1:不同牌子饮用者人数不服从 均匀分布（有差别）
最喜欢的牌子
A B C D E 合计
频数
210 312 170 85 223 1000
2021年1月11日星期一
【例3】某公司电话总机在 每天下午开始工作的2 分钟之内接到电话呼叫 次数，记录了100天的 数据，用卡方检验电话 呼叫次数是否服从服从 泊松分布？0.05显著性 水平。
81
1.35
35
8
64
1.83
5
3
9
1.80
500
__
__
5.98
根据显著性水平 ，有 2 (3) 7.82，由于
2 5.98 2 (3) 7.82 表明0.05的显著水平下，不能拒绝原假设，即观测的比率与 2021年期1月望11日的星比期一率一致。
【例2】啤酒协会想确定5种啤酒 哪一种最受消费者喜欢，随机 抽取1000名饮用者做实验，各 种啤酒爱好者的频数分布： 要求判断，消费者对这几种啤 酒的爱好有没有差别？以0.05 的显著性水平进行检验。
同等受欢迎？显著性水平 3
0.05.
4
正负号汇总：正号35个，负 5
号15个，0号10个
6
解：
7
H0 : p 0.5; H1 : p 0.5
8
…
2021年1月11日星期一
60
甲的得 乙的得 差别的
分
分
符
号
3
2
+
4
1
+
2
4
-
3
3
0
1
2
-
3
3
0
1
2
-
5
3
+
…
…
…
2. 威尔科克森带符号的等级检验
威尔科克森带符号的等级检验不但考虑了正负号， 还采用了其差别大小的信息 。
2021年1月11日星期一
曼—惠特尼U检验的步骤为：
（1）从两个总体 A 和 B 中随机抽取容量为 n1 和 n2 的两个独立随 机样本，将 (n1 n2) 个观察值按小大顺序排等级，指定 1 为最小观 察值，依此类推。如果存在相同的观察值，则用它们位序的平均
3
72
92
20
9
9 T-=10.5
4 5
65 93
67 86
2 -7
2 6.5
2
n=9 查表得T0.05=5 T->T0.60.55不拒绝H0
6
85
85
0
7
59
58
-1
1
1
8
73
79
6
5
5
9
64
69
5
4
4
10
71
82
11
8
8
2021年1月11日星期一
34.5 10.5
• 特别注意：如果n较大（n≧25)，T近似正态分布
均值 xT n(n 1) 4
标准差sT
n(n 1)(2n 1) 24
将T值进行标准化处理，z T xT 再进行检验 ST
2021年1月11日星期一
【例】某教师随机抽取30名学生某门课程期中和期末考试成绩，以显著性水 平0.05双侧检验这两次考试有没有显著差异？（有三名学生期中期末成 绩相同
2021年1月11日星期一
品尝者
1 2 3 4 5 6 7 8 … 60
甲的得 乙的得
分
分
3
2
4
1
2
4
3
3
1
2
3
3
1
2
5
3
…
…
第三节成对比较检验
1. 符号检验
用差异的正负号而忽略具体量的差异来进行判断的一种检 验方法，也称正负号检验
适用于对无法用数字计量的情况进行比较。如果从样本得 到的正号同负号的数目相差较大，则有理由拒绝原假设。 符号检验的优点在于： （1）两个样本可以是相关的，也可以是独立的； （2）对于分布的形状、方差等等都不做限定； 202（1年31月）11只日星考期一虑差数的正负方向而不计具体数值。
6
解：
7
H0 : p 0.5; H1 : p 0.5
8
…
2021年1月11日星期一
60
甲的得 乙的得 差别的
分
分
符
号
3
2
+
4
1
+
2
4
-
3
3
0
1
2
-
3
3
0
1
2
-
5
3
+
…
…
…
【例3】某协会决定对两种不 同型号的饮料打分，随机
抽取60名消费者，蒙住眼 品尝者 睛进行品尝打分，规定分
数从1到5,1代表味道最好， 5代表味道最差，打分结 1 果如表，问两种饮料是否 2
H0 : p1 80%, p2 12%, p3 7%, p4 1% H1 : pi pi0
2021年1月11日星期一
类型 A B C D 合计
f0
380 69 43 8 500
npi ( fe )
400
f0 fe
-20
( f0 fe)2 400
( f0 fe)2 fe
1.00
60
9
2. 非参数统计的特点
（1）非参数统计方法既能适用于定性数据也适用于 定量。
（2）非参数统计方法是一种经济而有效的方法。容 易理解，计算简便。但样本容量大时，计算繁琐。
（3）非参数统计方法不需要总体服从正态分布的假 定，也不需要检验总体的参数，因此，结论也更具有 普遍性。
2021年1月11日星期一
24
7 8
59
58
-1
1
73
79
6
5
5z
T
x1T ST
…
…
…
…
…
….
30
71
82
11
8
8
2021年1月11日星期一
T+和 T-和
第四节 曼—惠特尼U检验 1. 曼—惠特尼U检验的基本原理
作用： •用于检验两个独立样本是否来自相同均值的总体 •用于检验两个总体的相对次数分布是否相同 这种方法的特点是用顺序数据，而不是用正负号，因此它 比符号检验对数据的运用更为充分。
2021年1月11日星期一
2 检验在非参数统计中有广泛的用途，因为： （1）有很多非参数的假设检验问题都可以转化为检验 观察次数与其期望次数之间的紧密程度问题，这里的检 验统计量并不依赖于总体的分布形式，而是作为检验总 体分布是否为某种特定的概率分布的一种方法； （2）用这种方法搜集的资料，可以是定性资料，也可 是定量资料。
第二节 2 检验
1. 2 检验的概念
2 检验是利用随机样本对总体分布与某种特定分布拟 合程度的检验，也就是检验观察值与理论值之间的紧 密程度。
当样本容量充分大时，样本分为 K 类，每类实际出现
的次数用 f0表示，其理论次数为 fe ，则2 检验的统计量
为:
2
K ( f0
i 1
fe )2
fe ,且服从分布（2 K
威尔科克森带符号等级检验的步骤为：
（1）计算带有正负号的差数； （2）将差数取绝对值，按大小顺序排列并编上等级， 即确定顺序号。对于相邻的等值，取其位序的平均数为 等级。
2021年1月11日星期一
（3）给每个等级恢复差数原来的正负号，分别将正负号 的等级相加，用T 和T 表示，并取较小的T 值为检验统计 量。 （4）确定带正号或负号差数值的总个数 n 。 （5）设定显著性水平 。 （6）从威尔科克森带符号等级检验T 值表查出 T 的临界 值，当观察值T 临界值T 时，就拒绝 H0 ；T T 时，不拒绝 H0 。
2
r i 1
c j 1
(oij
Eij Eij
)2
,
Eij
n j ni n
2 的自由度为：(r 1)(c 1)
2021年1月11日星期一
第三节成对比较检验
【例1】某协会决定对两 种不同型号的饮料打 分，随机抽取60名消 费者，蒙住眼睛进行 品尝打分，规定分数 从1到5,1代表味道最 好，5代表味道最差， 打分结果如表，问两 种饮料是否同等受欢 迎？显著性水0.05。
拟合优度检验的步骤为：
（1）确定原假设与备择假设，原假设 H0 表示总体服从 设定的分布；备择假设 H1 表示总体不服从设定的分布。 同时，确定显著性水平 。 （2）从要研究的总体中，随机抽取观察值样本。
（3）按照“原假设为真”这一假定，计算出一组期望 频数或者理论频数。通常这就是假定某概率分布适合 于所研究的总体。 （4）对观察频数与理论频数进行比较，如果它们的差 异很大，以致在确定的显著水平下不能把它归之于随 2021年机1月波11日动星，期一就拒绝原假设。
（2）如果某组理论频数小于 5，可将相邻的若干组进行合并， 直至理论频数大于 5 为止，此时查 2(K r 1) 分布表要以合并后 的实有组数作为 K 值。
2021年1月11日星期一
3. 独立性检验
2 检验也常用于判断两组或多组资料是否彼此关联的 问题。若各组资料彼此不关联，就称为独立，所以这 类问题也称为独立性检验。独立性检验的特点在于其 理论频数不是预先设定的，而需要从样本资料中获得。 的公式 2 可写为：
误差秒数Xi 频 数
Z0
38
10~20
51
20~30
62
30~40
74
40~50
83
50~60
91
60~70
81
70~80
72
80~90
61
90~100
52
2021年1月11日10星0期~1一10
35
应用 2 统计量进行检验时应注意： （1）总频数 n 应较大，至少大于 50；
-1）
式中k-1为自由度。
2021年1月11日星期一
统计量
2 k fi npi 2 ~ 2 (k 1 r)
i1 npi
在原假设为真的条件下，这个统计量近似地服从具有 k1r个自由度的卡方分布。
r：是需要用样本来估计的总体的未知参数的数目，若没 有未知参数需要估计，则r为零。
结论：若 2 2 k 1 r，拒绝原假设，否则不 拒绝
2021年1月11日星期一
【例】某教师随机抽取10名学生某门课程期中和期末考试成绩，用威尔科 克森带符号等级检验以显著性水平0.05双侧检验这两次考试有没有显著 差异？。
解：H0:两次考试无显著差异；H1两次考试有显著差异
学生
期中
期末
成绩差d d绝对值 T+
T-
等级
1
75
72
-3
3
3
2
87
94
7
6.5 6.5
电话呼 对应 理论 理论 卡 叫次数 天数 概率 频数 方
值
0
5
1
7
2
30
3
40
4
5
5
5
6及以 6 上
总计 100
2021年1月11日星期一
【例4】一家钟表厂把检验钟表的精确度作为质量控制的一部 分。700只手表校准后走24小时进行检验，记录走快或走慢 的秒数，得到下面分组数据。问这些数据是否足以说明观察 值来自正态总体，以0.05的显著性水平进行检验？
卡方检验主要用于拟合优度检验和独立性检验。
2021年1月11日星期一
2. 拟合优度检验
拟合优度检验是利用样本信息对总体分布作出推断， 检验总体是否服从理论分布。 其方法是把样本分成 K个互斥的类，然后根据要检验 的理论分布算出每一类的理论频数，与实际的观察频 数进行比较。
2021年1月11日星期一
第9章非参数统计
•第一节非参数统计的概念和特点 •第二节卡方检验 •第三节成对比较检验 •第四节曼-惠特尼U检验 •第五节游程检验 •第六节等级相关检验 •第七节多个样本的检验
2021年1月11日星期一
第一节非参数统计的概念和特点
1. 非参数统计的概念
非参数统计:对总体分布的具体形式不必做任何限制性假定和 不以总体参数具体数值估计为目的的推断统计。
2021年1月11日星期一
【例2】某协会决定对两种不 同型号的饮料打分，随机
抽取60名消费者，蒙住眼 品尝者 睛进行品尝打分，规定分
数从1到5,1代表味道最好， 5代表味道最差，打分结 1 果如表，问两种饮料是否 2
同等受欢迎？显著性水平 3
0.05.
4
正负号汇总：正号13个，负 5
号7个，0号40个
符号检验的缺点在于： 忽略数值差别，失去了可资利用的信息。
符号检验的步骤为：
（1）确定配对样本，分别计算差异正与负的数目，无差异记为
0，将它从样本中剔除，并相应减少样本容量 n ，把正负号数目
的和看作为样本总个数。 （2）建立假设： H0 : p 0.5, H1 : p 0.5 （3）观察样本容量，如果 n 25 ，作为二项分布处理，如果n 25 ， 则作为正态近似处理。 （4）设定显著性水平 ，查表确定临界值，进行比较和判断。
解：H0:两次考试无显著差异；H1两次考试有显著差异
学生
期中
期末
成绩差d d绝对值 T+
T-
等级
1
75
72
-3
3
3
2
87
94
7
6.5 n=26.75,用正态分布近似
3
72
92
20
9
9
4
65
67
2
2
均2 值 xT n(n 1)
4
5 6
93
86
-7
85
85
0
6.5
标准差 sT
6.5n(n 1)(2n 1)
“非参数(nonparametric)”意味着其方法不涉及描述总体分 布的有关参数；它被称为和分布无关(distribution—free)，是 因为其推断方法和总体分布无关；不应理解为与所有分布(例 如有关秩的分布)无关.
主要用于对某种判断或假设进行检验，所以亦称为非参数检 验。 2021年1月11日星期一
【例1】某金融系统贷款的偿还类型有四种，各种的预 期还率为80%、12%、7%和1%。在一段时间的观察记录中， A型按时偿还的有380笔、B型偿还有69笔、C型有43笔、D 笔有8笔。问在5%显著性水平上，这些结果与预期的是否一 致。α＝0.05。 解：这个问题属于要检验每一类型的出现概率与理论期望 概率是否相等，即检验