第8章 线性系统的状态空间分析PPT课件

x1k xx2k
xnk
u1k uu2k
unk
y1k yy2k
ynk
c11 c12 c1n
Cc21
c22
c2n
cn1 cn2 cqn
d11 d12 d1p
Dd21
d22
d2p
dq1 dq2 dqp
对于线性定常系统A、B 、G、H 、C、D为常系数矩阵， G、 H形式同A、B。
D D
DD
u
B
x
0
1J
u m1
y x2 0
1
x1 x2
若 y ,则 x1 i,x2 , x 3 且 x3 x2
二阶
结论： 同一系统 动态方程 的维数、 变量、系 数矩阵都
x1 x2
R L
Cm
x3
J
0
Ce L 0 1
不唯一。
y x3 0
00001xxx132xxx11200L1x2
输出方程：
y(t)g [x(t)u ,(t)t] ,
动态方程：
x(t) f[x(t),u(t),t] y(t)g[x(t),u(t),t]
x(tk1)f[x(tk),u(tk),tk]
y(tk)g[x(tk),u(tk),tk]
线性系统动态方程的一般形式
x(t)A(t)x(t)B(t)u(t) y(t)C(t)x(t)D(t)u(t)
结论：对同一系统，状态变量的选择不具有唯一性，动态方 程也不是惟一的。一般选择储能器件上的量做为状态变量。
例8-4 试列写图示系统的动态方程。
m x(x V )kxF 初速度≠0
y 1 x 1 x y 2 x x 2 y 3 x
x x12xx2 m 1[(x2V)kx1F]
F (t )
k
例8-3 试列写图示RLC电路方程，选择几组状态变量建立相 应的动态方程，并就所选状态变量间的关系进行讨论。
Ri L
解： 有明确物理意义的常用变量 主要有：电流、电阻器电压、电容 ur
C
uc
器的电压与电荷、电感器的电压与
磁通。 根据回路电压定律
RiLdi
dt
C 1idt
ur
y
uc
1 C
idt
（1）设
x2
x3 T
1
u
x3 s1 x 2
s1 x1
8
s 1
15
-7
x3
x2
x1
y
-14
-8
一般地
0 1 0
0
0
1
x1x2 x2x3
Ac
0
00
0
a 0a G (s)U Y((s s))b snn sn ab n n 1 s 1s n n 1 1 a b 1s 1s a b 0 0
m
F (t)
a(t)和t，其中t是隐变量， a(t)与F(t)、
v(t)线性相关。
dv(t) 1 F(t)
图8-1 小车行走系统
dt m
dx(t)
如果已知外力F(t) 、x(t)
v(t)
和v(t)，则可以计算出任
dt
v(t)v(t0)m 1 tt0F()d
意t≥t0时刻系统未来的状
态x(t)和v(t)。
GG12pp((ss))U U12((ss))
Gqp(s)Up(s)
xx12 3 0 0A12xx1210B0 1u u12
y1
y2
2
0C
0 2
x1 x2
D=0
试求系统的传递函数矩阵。
解：
已知
01 A 0 2
10 B 01
20 C 02
D 0
X(s)(sIA)1BU(s)
Y(s)[C(sIA)1BD ]U(s)G (s)U(s)
系统的传递函数矩阵（简称传递矩阵）定义为
G (s)C (sIA )1BDYY12((ss))
G11(s) G21(s)
G12(s) G22(s)
例8-2 已知系统动态方程为
Yq(s) Gq1(s) Gq2(s)
bu du
为非最小实现。
2. 能控标准型
设 Gss3s27s28s114s 58U YssY XssU Xss
s28s15s37s2114s8
U Xsss37s2114s8
则
x7x14x8xu x8x15xy
Xss37s214s8Us
£-1零初值 Y s s 2 8 s 1X 5 s
独立的，即 态变量。
x
1
和
x
3
或
x
2
和
x
3
，可以任用其中一组作为状
线性定 x(t)Ax(t)Bu(t) 8.1.2 动态方程与传递函数的关系 常系统 y(t)Cx(t)Du(t)
设初始条件为零，对线性定常系统的动态方程进行拉氏变
换，可以得到 x t x 1 t , x 2 t , x n t s s X s 1 s , s x 2 s , x s n s
x1
x
x2
xn
u1
u
u2
un
y1
y
y2
yn
a11 a12
a1n
b11 b12
b1 p
A
a
21
a22
a
2
n
B
b2
1
b22
b2
p
a
n1
an2
a
nn
b
n1
bn 2
bnp
x(k1)G(k)x(k)H(k)u(k)
y(k)C(k)x(k)D(k)u(k)
1 II
x
C
ss
A
y
u(k)
H
x(k1) 1II x(k) C
y(k)
Zz
G
图中，I为（n×n）单位矩阵， s是拉普拉斯算子， z为单 位延时算子。
例8-1 试确定图8-4(a)，(b)所示电路的独立状态变量。图中 u , i
分别是输入电压和输入电流，u
为电容器电压或电感器电流。
c
为输出电压， xi ,i
e Ce
xx120m k 1m xx12+m 10 m 0V F
y1 y2
1 0
y3
k
m
0
0
1
x1 x2
0 1
m
m
0
0
F
V
m
设
x1 i,x2 yx2
则
di RiCe1u
dt L L L d Cm i m1
dt J J
xx12CRm L J
0CLe xx120L1
小车系统中，x(状t)态 向量x1(为t),x2(t), xn(t)T
xt,vtT
x(t) v(t)
m
F (t)
希尔伯特空间是有限维欧几里得空间向无穷维的推广（H∞），也 是巴拿赫空间(Banach space)的特例。欧几里得空间、序列空间、 勒贝斯格空间、Sobolev空间都是希尔伯特空间的特例。
第88章章线性系统的状态空间分析与设计线性系统的状态空间分析与设计针对单输入单输出系统的经典控制理论只能揭示io之间的外部特性属于两维平面描述对于系统内部的结构特性特别是能量变化难以分析所以是不完全描述
第8章 线性系统的状态空间分析与设计
针对单输入单输出系统的经典控制理论只能揭示I/O之 间的外部特性（属于两维平面描述），对于系统内部的结 构特性（特别是能量变化）难以分析，所以是不完全描述。
0
1 J
0
u m1
x3T
↓ 三阶
8.1.3.3 由系统传递函数建立动态方程 (P.304)
1.实现问题
——从SISOS推出的结论适合MIMOS
提出：
❖ 传递函数→动态方程不唯一。
❖ 凡能复现同一传递函数的动态方程称为可实现模型，其 物理实现也是系统的真实构造。
结论：
❖ 可以证明系统可实现的条件是：传递函数必须是真 的或者严格真的，即系统分母阶数不小于分子阶数(n≥m)。
状成态的空n维间空：间由。n个状状态态向变量量X(xtii()t为),(某i=1一,2时,…刻,n状)为态坐空标间轴中所的张一 个点， X(t)随时间推移在状态空间中的运动轨迹，称为 状态轨迹。状态空间可以是希尔伯特空间的子空间或特例。
状态方程：描述系统状态向量与输入向量之间关系的一阶
微分方程或差分方程。 x(t)fx(t),u(t),t
x1
i, x2
1 C
idt，则状态方程为
x1R Lx1L 1x2L 1ur
x1 x2
R L
1
C
1
AL
0
x1
x
2
1
0Lb
u
r
y
[0
c 1]
x1
x
2
真正的内
部变量是i
x2
1 C
x1
y x2
x y
Ax cx
bur
x （物（3理 2）xxx x y1意）21 2设 义设 xC1， 2xR L 1 xx1 但11xR L 1也C 1 iL,C1 L 1可xL 20 xi1 以2C d t推 C1 L1出x xR u1 2i ri一d, tx组 20 L 1 动 u 态C 1rx x1 2 方 i 程dt y。 1 R ，L 0 其 中C L 1 01 C 1 x x 无 1 2 x x 1 明2 确 的0 L 1 ur
8.1线性系统的状态空间描述
状态空间描述是现代控制理论的基础。
状态空间描述不仅适合于线性系统，也适应于时变系统、
非线性系统和随机控制对系统的一种完全描述。
x(t)
8.1.1 基本概念
v(t)
1. 分析图8-1，能够描述小车行走状态
的的变量有；F ( t ) 、x ( t ) 、v ( t ) ，以及
x7x14x8xu
设x及各阶导数均为储能元件输出，则令
x8x15xy
x1x,x2x ,x3x x1 x2 x2 x3 x3 8x1 14x2 7x3 u
y 15x1 8x2 x3
X
0 0
1 0
0 0 1 X 0u
8 14 7 1
y 15 8 1X
X x1
在I/O描述的基础上，引入系统内部必要的能量变化， 从而较直观地反映出系统输出受输入和内部能量变化的影 响。一个或多个输出（同时）是多个变量的函数，这样的 数学模型称为多变量系统模型或者多输入多输出系统 （MIMO）。
MIMO变量所张成的空间称为状态空间； MIMO数学 模型称为线性系统的状态空间描述。
❖ 否则，自动态方程返还的传递函数可能不再是原有 的结构，因为原系统存在能量自激。
G (s)U Y((s s))b snn sn ab n n 1 s 1s n n 1 1 a b 1s 1s a b 0 0
返回
G (s) b nsn n a 1 n s n 1 s 1 n 1 1 s a 1 s 0 a 0 b nD N ( (s s) )
最小实现：
SISO, s当nm时，
Gs的阶数 n动态方程
x 的n维数 y
Ax bu cx du
nm G (s)U Y ( (s s) )b m ss nm a b n m 1 s 1 n s m 1 1 a 1 b s1 s a 0 b 0
若n=m，则
x y
Ax cx
1t
t
x (t) x (t0 ) (t t0 )v (t0 ) m t0d ()t0F (t)d t
。
2. 基本术语解释
因果关系是能量传递链，可显可隐 但不会间断 ——“离散”。
状态：时域内运动信息的集合，包括过去的（是现在的 “因”）、现在的（是过去的 “果”；将来的“因”） 和将来的（“果”）。
0
1
a2
0
0
1
0
0
bc
0
c
an1
1
1z(nG 1)首( sx一)y un b n a 0 ax 00s x1 zn 1 1 n a a 1 a 1 1n sx 1x n z2 1 2 s1 n 1 b c a an nn 1 1 1 s a 1 xzx 1 0 ns (n n 1u 0 )a 0 ub cn c aD N [0x((1s s do ))c a1xb12n ann1x1n]
1,2,3
反映内部能量变化
x2
C3 C2 C3
x1
x2
Ri
C2
L1 x1
x2x3CC22CC32C3 xx21
ur
C1
x1 C3
x3 uc i
(a)
R
x3
x2
(bL)2
Cuc
❖ 图8-4(a)只有一个变量是独立的，状态变量只能任选其 中一个。实际上，三个串并联的电容可以等效为一个电容。
❖ 图8-4(b) x1 x2，因此两者相关，电路只有两个变量是
m
V
R iL
u(t)
J
m1
M
负载
m
单输入单输出变为单输入
例8-5 试列写电枢控制直 流电动机的状态空间表 达式。
电枢回路微分方程
三输出，即增加了对速度 和加速度的测量点。
x x12xx2 m 1[(x2V)kx1F]
L di Ri e u dt
机械旋转部分的微分 方程
J
d
dt
Cmi
m1
电磁感应公式
1 1
故
(sI
A)1
s 0
1
1
s2
s 0
s(s2) 1
s2
G (s)C (sIA )1BD
1 1
2 2
G (s)C(sIA)1B1 0 2
1 0 20 s
s(s1 2)0 2 1
s2
0 2 10 s
s(s2) 2
s2
8.1.3 线性定常系统动态方程的建立
8.1.3.1 根据系统物理模型建立动态方程
状态变量：独立、完全确定系统状态的一组数目最小的 变量称为状态变量。
❖ 独立——线性无关； ❖ 完输全入确函定数—，—则给系定统t在时t刻≥t0的的变任量意组时和刻系的统状在态t就≥t0可时完间全内确的定。 ❖ 数目最小 ——如果状态变量数目大于该值，则必有不独
立的变量；小于该值，又不足以描述系统的状态。 状态向量：由状态变量组成的矢量。