四川省成都市彭州中学高二数学下学期2月月考试卷 理(含解析)

2015-2016学年四川省成都市彭州中学高二（下）2月月考数学试卷
（理科）
一、选择题（本大题共12个小题，每题5分，共60分）
1．若直线经过A（0，1），B（3，4）两点，则直线AB的倾斜角为（）
A．30° B．45° C．60° D．120°
2．已知直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，则a的值为（）
A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3
3．已知直线3x+2y﹣3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是（）
A．4 B．C．D．
4．下列判断，正确的是（）
A．平行于同一平面的两直线平行
B．垂直于同一直线的两直线平行
C．垂直于同一平面的两平面平行
D．垂直于同一平面的两直线平行
5．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与A1D所在直线所成的角等于（）
A．30° B．45° C．60° D．90°
6．圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0和圆x2+y2﹣8x﹣10y+25=0的位置关系是（）
A．相交 B．外切 C．内切 D．相离
7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）
A．B．C．D．1
8．直线x+﹣2=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于（）
A．2 B．2 C．D．1
9．若α，β，γ表示平面，m，n表示直线，则下列命题中，正确的是（）
A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n D．若α∥β，m⊂α，则m∥β
10．已知点M（a，b）在圆O：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是（）A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
11．如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱B1B长为3，底面是边长为2的菱形，
∠A1AB=120°，∠A1AD=60°，点E在棱B1B上，则AE+C1E的最小值为（）
A． B．5 C．D．7
12．三棱锥P﹣ABC中，△ABC是底面，PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，且这四个顶点都在半径为2的球面上，PA=2PB，则这个三棱锥的三个侧棱长的和的最大值为（）
A．16 B．C．D．32
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程为．
14．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长
为．
15．某几何体的三视图如图所示，它的体积为．
16．正三棱锥P﹣ABC中，CM=2PM，CN=2NB，对于以下结论：
①二面角B﹣PA﹣C大小的取值范围是（，π）；
②若MN⊥AM，则PC与平面PAB所成角的大小为；
③过点M与异面直线PA和BC都成的直线有3条；
④若二面角B﹣PA﹣C大小为，则过点N与平面PAC和平面PAB都成的直线有3条．正确的序号是．
三、解答题（本题共6小题，共74分）
17．如图，在四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱VA⊥底面ABCD，点E为VA的中点．
（Ⅰ）求证：VC∥平面BED；
（Ⅱ）求证：平面VAC⊥平面BED．
18．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AB中点，F为正方形BCC1B1的中心．
（1）求直线EF与平面ABCD所成角的正切值；
（2）求异面直线A1C与EF所成角的余弦值．
19．已知圆C过点（1，2）和（2，1），且圆心在直线x+y﹣4=0上．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若一束光线l自点A（﹣3，3）发出，射到x轴上，被x轴反射到圆C上，若反射点为M（a，0），求实数a的取值范围．
20．某校为了解高一期末数学考试的情况，从高一的所有学生数学试卷中随机抽取n份试卷进行成绩分析，得到数学成绩频率分布直方图（如图所示），其中成绩在[50，60）的学生人数为6．
（Ⅰ）求直方图中x的值；
（Ⅱ）试估计所抽取的数学成绩的平均数；
（Ⅲ）试根据样本估计“该校高一学生期末数学考试成绩≥70”的概率．
21．已知直线l过点P（0，2），斜率为k，圆Q：x2+y2﹣12x+32=0．
（1）若直线l和圆相切，求直线l的方程；
（2）若直线l和圆交于A、B两个不同的点，问是否存在常数k，使得+与共线？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
22．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，在A1在底面ABC的投影是线段BC 的中点O．
（1）求点C到平面A1ABB1的距离；
（2）求二面角A﹣BC1﹣B1的余弦值；
（3）若M，N分别为直线AA1，B1C上动点，求MN的最小值．
2015-2016学年四川省成都市彭州中学高二（下）2月月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每题5分，共60分）
1．若直线经过A（0，1），B（3，4）两点，则直线AB的倾斜角为（）
A．30° B．45° C．60° D．120°
【考点】直线的倾斜角．
【专题】计算题；直线与圆．
【分析】由直线经过A（0，1），B（3，4）两点，能求出直线AB的斜率，从而能求出直线AB的倾斜角．
【解答】解：∵直线经过A（0，1），B（3，4）两点，
∴直线AB的斜率k==1，
∴直线AB的倾斜角α=45°．
故选B．
【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
2．已知直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，则a的值为（）
A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】直线与圆．
【分析】由直线的平行关系可得=≠，解之可得．
【解答】解：∵直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，
∴=≠，解得a=﹣6
故选：A
【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．
3．已知直线3x+2y﹣3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是（）
A．4 B．C．D．
【考点】两条平行直线间的距离．
【专题】直线与圆．
【分析】根据两条直线平行，一次项的系数对应成比例，求得m的值，再根据两条平行线间的距离公式求得它们之间的距离．
【解答】解：直线3x+2y﹣3=0即 6x+4y﹣6=0，根据它和6x+my+1=0互相平行，可得，故m=4．
可得它们间的距离为 d==，
故选：D．
【点评】本题主要考查两条直线平行的性质，两条平行线间的距离公式的应用，属于中档题．
4．下列判断，正确的是（）
A．平行于同一平面的两直线平行
B．垂直于同一直线的两直线平行
C．垂直于同一平面的两平面平行
D．垂直于同一平面的两直线平行
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【专题】规律型；空间位置关系与距离．
【分析】对四个命题分别进行判断，即可得出结论．
【解答】解：平行于同一平面的两直线平行，相交、异面，故A不正确；
垂直于同一直线的两直线平行平行，相交、异面，故B不正确；
垂直于同一平面的两平面平行平行，相交，故C不正确；
垂直于同一平面的两直线平行，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，比较基础．
5．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与A1D所在直线所成的角等于（）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【考点】异面直线及其所成的角．
【专题】空间角．
【分析】首先通过做平行线把异面直线知识转化为平面知识，进一步解三角形求出结果．【解答】解：设正方体的边长为1连结：A1C1、C1D，
在△A1DC1中，
利用边长求得：△A1DC1为等边三角形
AC与A1D所在直线所成的角60°
故选：C
【点评】本题考查的知识要点：异面直线的夹角，及相关的运算问题．
6．圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0和圆x2+y2﹣8x﹣10y+25=0的位置关系是（）
A．相交 B．外切 C．内切 D．相离
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【专题】直线与圆．
【分析】求出圆的标准方程，根据圆和圆的位置关系即可得到结论．
【解答】解：圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，圆心坐标为C（1，1），半径r=1，圆x2+y2﹣8x﹣10y+25=0的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣5）2=16，圆心坐标为M（4，5），半径R=4，
则CM===R+r，
故圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0和圆x2+y2﹣8x﹣10y+25=0的位置关系外切．
故选：B
【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系的判断，求出圆心和半径是解决本题的关键．7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）
A．B．C．D．1
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】空间位置关系与距离；立体几何．
【分析】由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，
AB=BC=1．据此即可得到体积．
【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．
∴．
因此V===．
故选B．
【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．
8．直线x+﹣2=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于（）
A．2 B．2 C．D．1
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】计算题．
【分析】由直线与圆相交的性质可知，，要求AB，只要先求圆心（0，0）到直线x+﹣2=0的距离d，即可求解
【解答】解：∵圆心（0，0）到直线x+﹣2=0的距离d=
由直线与圆相交的性质可知，
即
∴
故选B
【点评】本题主要考查了直线与圆相交的性质，解题的关键是公式的应用．
9．若α，β，γ表示平面，m，n表示直线，则下列命题中，正确的是（）
A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n D．若α∥β，m⊂α，则m∥β
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【专题】计算题；作图题；空间位置关系与距离．
【分析】由线面、面面平行的判定定理及线面、面面平行的性质，对四个选项判断，注意在正方体中找反例即可．
【解答】解：选项A错误，
选项B错误，反例：正方体中三个平面共点时；
选项C错误，
如图中的AC与B1D1，
由面面平行的性质可知，选项D正确；
故选D．
【点评】本题考查了线面、面面平行的判定定理及线面、面面平行的性质，属于中档题．
10．已知点M（a，b）在圆O：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是（）A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】直线与圆．
【分析】由M在圆外，得到|OM|大于半径，列出不等式，再利用点到直线的距离公式表示出圆心O到直线ax+by=1的距离d，根据列出的不等式判断d与r的大小即可确定出直线与圆的位置关系．
【解答】解：∵M（a，b）在圆x2+y2=1外，
∴a2+b2＞1，
∴圆O（0，0）到直线ax+by=1的距离d=＜1=r，
则直线与圆的位置关系是相交．
故选B
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，以及点与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及两点间的距离公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
11．如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱B1B长为3，底面是边长为2的菱形，
∠A1AB=120°，∠A1AD=60°，点E在棱B1B上，则AE+C1E的最小值为（）
A． B．5 C．D．7
【考点】棱柱的结构特征；点、线、面间的距离计算．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】将面C1CB1B，B1BAA1打开，连接AC，则AC1为AE+C1E的最小值，由此利用题设条件能求出结果．
【解答】解：将面C1CB1B，B1BAA1打开，
连接AC1，则AC1为AE+C1E的最小值，
平行六面体中，侧棱B1B长为3，底面是边长为2的菱形，∠A1AB=120°，∠A1AD=60°，点E在棱B1B上，
∴∠C1BC=120°，∠ACB=30°，则∠ACC1=90°，
在三角形ABC中由余弦定理得AC=2，
∴C1A2=C1C2+AC2=32+12=21，
∴C1A=，
故AE+C1E的最小值为．
故选：A．
【点评】本题考查线段和最小值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．
12．三棱锥P﹣ABC中，△ABC是底面，PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，且这四个顶点都在半径为2的球面上，PA=2PB，则这个三棱锥的三个侧棱长的和的最大值为（）
A．16 B．C．D．32
【考点】棱台的结构特征；球内接多面体．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】由已知，三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，且PA，PB，PC两两垂直，球直径等于以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线，得到5PB2+PC2=16，再结合三角换元法，由三角函数的性质得到这个三棱锥的三个侧棱长的和的最大值．
【解答】解：∵PA，PB，PC两两垂直，
又∵三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，
∴以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线即为球的一条直径．
∴16=PA2+PB2+PC2，又PA=2PB，∴5PB2+PC2=16，
设PB=，PC=4sinα，
则这个三棱锥的三个侧棱长的和PA+PB+PC=3PB+PC=cosα+4sinα=sin（α+∅）≤．
则这个三棱锥的三个侧棱长的和的最大值为，
故选B．
【点评】本题考查的知识点是棱锥的侧面积，棱柱的外接球，其中根据已知条件，得到棱锥的外接球直径等于以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线，是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程为x+y﹣5=0，或3x﹣2y=0 ．【考点】直线的截距式方程．
【专题】计算题．
【分析】分直线的截距不为0和为0两种情况，用待定系数法求直线方程即可．
【解答】解：若直线的截距不为0，可设为，把P（2，3）代入，得，，a=5，直线方程为x+y﹣5=0
若直线的截距为0，可设为y=kx，把P（2，3）代入，得3=2k，k=，直线方程为3x﹣2y=0 ∴所求直线方程为x+y﹣5=0，或3x﹣2y=0
故答案为x+y﹣5=0，或3x﹣2y=0
【点评】本题考查了直线方程的求法，属于直线方程中的基础题，应当掌握．
14．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为．
【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．
【专题】空间位置关系与距离；立体几何．
【分析】设出正方体棱长，利用正方体的体对角线就是外接球的直径，通过球的体积求出正方体的棱长．
【解答】解：因为正方体的体对角线就是外接球的直径，
设正方体的棱长为a，所以正方体的体对角线长为： a，正方体的外接球的半径为：，球的体积为：，
解得a=．
故答案为：．
【点评】本题考查正方体与外接球的关系，注意到正方体的体对角线就是球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力．
15．某几何体的三视图如图所示，它的体积为57π．
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题．
【分析】由三视图可知：原几何体是由上下两部分组成，其中下面是一个底面半径为3，高为5的圆柱；上面是一个与圆柱的上底面重合、母线长为5的圆锥．据此可计算出答案．【解答】解：由三视图可知：原几何体是由上下两部分组成：下面是一个底面半径为3，高为5的圆柱；上面是一个与圆柱的上底面重合、母线长为5的圆锥．
圆锥的高h==4．
∴V==57π．
故答案为57π．
【点评】由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键．
16．正三棱锥P﹣ABC中，CM=2PM，CN=2NB，对于以下结论：
①二面角B﹣PA﹣C大小的取值范围是（，π）；
②若MN⊥AM，则PC与平面PAB所成角的大小为；
③过点M与异面直线PA和BC都成的直线有3条；
④若二面角B﹣PA﹣C大小为，则过点N与平面PAC和平面PAB都成的直线有3条．正确的序号是①②④．
【考点】与二面角有关的立体几何综合题．
【专题】空间角．
【分析】①利用二面角的大小区判断．②利用线面角的定义去判断．③利用异面直线的概念去判断．④利用二面角的大小进行判断．
【解答】解：①设底面正三角形的边长为1，过B作BD⊥PA，连结CD，则∠BDC是二面角B ﹣PA﹣C大小，因为底面三角形ABC是正三角形，所以∠CAB=，所以当点P无限靠近点O 时，即高无限小时，∠BDC接近，所以二面角B﹣PA﹣C大小的取值范围是（，π），所以①正确．
②因为CM=2PM，CN=2NB，所以MN∥PB．若MN⊥AM，则PB⊥AM，因为P﹣ABC是正三棱锥，所以P在底面的射影是底面的中心，所以PB⊥AC，因为AM∩AC=A，所以PB⊥面PAC，因为P﹣ABC是正三棱锥，所以必有PC⊥面PAB，所以PC与平面PAB所成角的大小为，所以②正确．
③因为因为P﹣ABC是正三棱锥，所以P在底面的射影是底面的中心，所以PA⊥BC．所以过点M与异面直线PA和BC都成的直线有两条，所以③错误．
④若二面角B﹣PA﹣C大小为，则∠BDC=，此时∠EDC=，（其中E是BC的中点），
，所以此时直线BC与平面PAC和平面PAB都成，又因为平面PAC和平面PAB 的法向量的夹角为，此时适当调整过N的直线，可以得到两条直线使得过点N与平面PAC 和平面PAB都成，所以满足过点N与平面PAC和平面PAB都成的直线有3条．所以④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题综合考查了正三棱锥的性质以及利用正三棱锥研究线面角和二面角的大小，综合性强，难度大．
三、解答题（本题共6小题，共74分）
17．如图，在四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱VA⊥底面ABCD，点E为VA的中点．
（Ⅰ）求证：VC∥平面BED；
（Ⅱ）求证：平面VAC⊥平面BED．
【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．
【专题】综合题；空间位置关系与距离．
【分析】（Ⅰ）连结OE，证明：OE∥VC，利用线面平行的判定定理证明VC∥平面BED；（Ⅱ）证明BD⊥平面VAC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面VAC⊥平面BED．【解答】证明：（Ⅰ）连结OE．
∵底面ABCD是正方形，∴O为AC的中点．
又E为VA的中点，∴OE∥VC．…
又VC⊄平面BED，OE⊂平面BED，
∴VC∥平面BED．…
（Ⅱ）∵VA⊥平面ABCD，∴VA⊥BD．…
又AC⊥BD，AC∩VA=A，
∴BD⊥平面VAC．…
∵BD⊂平面BED，
∴平面VAC⊥平面BED．…
【点评】本题考查线面平行的判定定理、考查平面与平面垂直的判定定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
18．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AB中点，F为正方形BCC1B1的中心．
（1）求直线EF与平面ABCD所成角的正切值；
（2）求异面直线A1C与EF所成角的余弦值．
【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．
【专题】空间角．
【分析】解法一：（1）取BC中点H，连结FH，EH，证明∠FEH为直线EF与平面ABCD所成角，即可得出结论；
（2）取A1C中点O，连接OF，OA，则∠AOA1为异面直线A1C与EF所成角，由余弦定理，可得结论；
解法二：设正方体棱长为2，以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，即可求出结论．
【解答】解法一：（1）取BC中点H，连结FH，EH，设正方体棱长为2．
∵F为BCC1B1中心，E为AB中点．
∴FH⊥平面ABCD，FH=1，EH=．
∴∠FEH为直线EF与平面ABCD所成角，且FH⊥EH．
∴tan∠FEH===．…
（2）取A1C中点O，连接OF，OA，则OF∥AE，且OF=AE．
∴四边形AEFO为平行四边形．∴AO∥EF．
∴∠AOA1为异面直线A1C与EF所成角．
∵A1A=2，AO=A1O=．
∴△AOA1中，由余弦定理得cos∠A1OA=．…
解法二：设正方体棱长为2，以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系．则B（0，0，0），B1（0，0，2），E（0，1，0），F（1，0，1），C（2，0，0），A1（0，2，2）．
（1）=（1，﹣1，1），=（0，0，2），且为平面ABCD的法向量．
∴cos＜，＞=．
设直线EF与平面ABCD所成角大小为θ．
∴sinθ=，从而tanθ=．…
（2）∵=（2，﹣2，﹣2），∴cos＜，＞=．
∴异面直线A1C与EF所成角的余弦值为．…
【点评】本题考查空间角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
19．已知圆C过点（1，2）和（2，1），且圆心在直线x+y﹣4=0上．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若一束光线l自点A（﹣3，3）发出，射到x轴上，被x轴反射到圆C上，若反射点为M（a，0），求实数a的取值范围．
【考点】圆的标准方程；圆的切线方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．
【分析】（Ⅰ）求出圆心坐标与半径，即可求圆C的方程；
（Ⅱ）由题意，可知反射线必过定点A′（点是点A关于x轴对称的点），利用几何知识知当反射线与已知圆相切时恰好为范围的临界状态．
【解答】解：（Ⅰ）设圆心坐标为（x，4﹣x），则（x﹣1）2+（2﹣x）2=（x﹣2）2+（3﹣x）2，
∴x=2，
∴C（2，2），
∴圆C的方程C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=1；
（Ⅱ）A关于x轴的对称点A′（﹣3，﹣3），设过A′的直线为y+3=k（x+3），
当该直线与⊙C相切时，有=1，∴k=或k=
∴过A′，⊙C的两条切线为y+3=（x+3），y+3=（x+3），
令y=0，得x1=﹣，x2=1
∴反射点M在x轴上的范围是[﹣，1]．
【点评】重点考查了点关于线对称点的求法，还考查了解决问题是抓住临界状态这一特殊位置求解的思想．
20．某校为了解高一期末数学考试的情况，从高一的所有学生数学试卷中随机抽取n份试卷进行成绩分析，得到数学成绩频率分布直方图（如图所示），其中成绩在[50，60）的学生人数为6．
（Ⅰ）求直方图中x的值；
（Ⅱ）试估计所抽取的数学成绩的平均数；
（Ⅲ）试根据样本估计“该校高一学生期末数学考试成绩≥70”的概率．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．
【专题】概率与统计．
【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图的高之和为组距分之一，即可得到结论；
（Ⅱ）根据频率分布直方图中的数据，求出数据的平均数即可；
（Ⅲ）右面三个举行的面积即为所求．
【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图的各高之和为组距分之一，
所以（0.012+0.016+0.018+0.024+x）×10=1，
解得x=0.03；
（Ⅱ）根据频率分布直方图中的数据，
得该次数学考试的平均分为
=55×0.012×10+65×0.018×10
+75×0.03×10+85×0.024×10
+95×0.016×10=76.4；
（Ⅲ）根据题意可得：P=1﹣（0.012+0.018）×10=0.7
故“该校高一学生期末数学考试成绩≥70”的概率为0.7．
【点评】本题考查利用频率分布直方图求众数以及古典概型的概率问题．
21．已知直线l过点P（0，2），斜率为k，圆Q：x2+y2﹣12x+32=0．
（1）若直线l和圆相切，求直线l的方程；
（2）若直线l和圆交于A、B两个不同的点，问是否存在常数k，使得+与共线？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【考点】向量在几何中的应用；直线与圆的位置关系．
【专题】综合题；平面向量及应用．
【分析】（1）确定圆的圆心与半径，设出直线方程，利用直线l和圆相切，建立方程，即可求得结论；
（2）将直线l的方程和圆的方程联立，利用韦达定理，及+与共线，结合根的判别式，可得结论．
【解答】解：（1）将圆的方程化简，得：（x﹣6）2+y2=4，圆心Q（6，0），半径r=2．设直线l的方程为：y=kx+2，故圆心到直线l的距离d==．
因为直线l和圆相切，故d=r，即=2，解得k=0或k=﹣．
所以，直线l的方程为y=2或3x+4y﹣8=0．
（2）将直线l的方程和圆的方程联立，消y得：（1+k2）x2+4（k﹣3）x+36=0，
因为直线l和圆相交，故△=[4（k﹣3）]2﹣4×36×（1+k2）＞0，解得﹣＜k＜0．
设A（x1，y1）、B（x2，y2），则有：x1+x2=；x1x2=
而y1+y2=kx1+2+kx2+2=k（x1+x2）+4， +=（x1+x2，y1+y2），=（6，﹣2）．
因为+与共线，所以﹣2×（x1+x2）=6×（y1+y2）．
即（1+3k）（x1+x2）+12=0，代入得（1+3k）[﹣]+12=0，解得k=﹣．
又因为﹣＜k＜0，所以没有符合条件的常数k．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生的计算能力，属于中档题．
22．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，在A1在底面ABC的投影是线段BC 的中点O．
（1）求点C到平面A1ABB1的距离；
（2）求二面角A﹣BC1﹣B1的余弦值；
（3）若M，N分别为直线AA1，B1C上动点，求MN的最小值．
【考点】用空间向量求平面间的夹角；点、线、面间的距离计算．
【专题】空间位置关系与距离；空间角．
【分析】（1）利用点到平面的距离公式求距离．
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的大小．
（3）利用向量法求线段的长度．
【解答】解：（1）连接AO，因为A1O⊥平面ABC，所以A1O⊥BC，因为AB=AC，OB=OC，
得AO⊥BC，，在△AOA1中，A1O=2，
在△BOA1中，，则．又S△CAB=2．
设点C到平面A1ABB1的距离为h，
则由得， =．从而．…
（2）如图所示，分别以OA，OB，OA1所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），C（0，﹣2，0），A1（0.0，2），B（0，2，0），B1（﹣1，2，2），C1（﹣1，﹣2，2）．
设平面BCC1B1的法向量，
又，．
由，得，
令z=1，得x=2，y=0，即．
设平面ABC1的法向量，又，
．
由，得，令b=1，得a=2，c=3，即．
所以，…
由图形观察可知，二面角A﹣BC1﹣B1为钝角，
所以二面角A﹣BC1﹣B1的余弦值是．…
（3）方法1．在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E，因为AA1∥BB1，得OE⊥BB1．
因为A1O⊥平面ABC，所以A1O⊥BC，因为AB=AC，OB=OC，
得AO⊥BC，所以BC⊥平面AA1O，所以BC⊥OE，
所以OE⊥平面BB1C1C．从而OE⊥B1C
在△AOA1中，为异面直线AA1，B1C的距离，即为MN的最小值．…
方法2．设向量，且
∵，．
∴．
令z1=1，得x1=2，y1=0，即．
∵．
所以异面直线AA1，B1C的距离，即为MN的最小值．…
【点评】本题主要考查利用向量法求二面角的大小和线段长度问题，要求熟练掌握相关的定理和公式．。