电容电感重要基础

1 2 ∫0 uidt = ∫0 Cudu = 2 Cu C 是储能元件
t u
1.11.2 储能元件和换路定则
引起电路工作状态变化的各种因素。 换路 引起电路工作状态变化的各种因素。如 ： 电路接通、断开或结构和参数发生变化等。 电路接通、断开或结构和参数发生变化等。 电路中含有储能元件(电感或电容) 电路中含有储能元件(电感或电容)，在换路瞬 间储能元件的能量不能跃变， 间储能元件的能量不能跃变，即 1 2 W L = LiC 电感元件的储能 不能跃变 2 1 2 电容元件的储能 WC = CuC 不能跃变 2 否则将使功率达到无穷大 为换路瞬间， 设 t = 0 为换路瞬间，而以 t = 0– 表示换路前的 终了瞬间， 表示换路后的初始瞬间。 终了瞬间，t = 0+ 表示换路后的初始瞬间。 换路定则用公式表示为： 换路定则用公式表示为： iL(0+)= iL(0–) uC(0+)= uC(0–)
1 + – S R1 C + –
uC (0 + ) = uC (0 − ) = 2 V U1
uC (∞ ) = 4 V
t=0 2
+
U2 –
uC
R2
2 τ = ( R1 // R2 )C = × 3 = 2 ms 3
uC = uC (∞ ) + [uC (0 + ) − uC (∞ )]e
−
t
τ
uC = 4 − 2e-500 t V
uC = U − Ue
−
t
τ
= U (1 − e
−
t
τ
)
这种初始储能为零，由外加电源的响应， 这种初始储能为零，由外加电源的响应，常称为 RC 电路的零状态响应。 电路的零状态响应。
1.11.3 RC电路的暂态分析 电路的暂态分析
− t
1
S 2
i
+ t=0 uC = U + (U 0 − U )e + R uR – U + 若在 t = 0 时将开关 S 由 1 – C uC 的位置，如右图。 合到 2 的位置，如右图。这时 – 电路中外加激励为零， 电路中外加激励为零，电路的响应是由电容的初始储能
一阶电路暂态分析的三要素法 一阶电路暂态分析的三要素法
只含有一个储能元件或可等效为一个储能元件的线 性电路，称为一阶电路 一阶电路， 性电路，称为一阶电路，其微分方程都是一阶常系数线 性微分方程。 性微分方程。 电路响应的表达式： 一阶 RC 电路响应的表达式：
uC ( t ) = uC (∞ ) + [uC (0+ ) − uC (∞ )]e t 归纳为: 归纳为 − f ( t ) = f ( ∞ ) + [ f (0+ ) − f (∞ )]e τ
τ
引起的， 电路的零输入响应。 引起的，故常称为 RC 电路的零输入响应。 向稳态值零衰减， 电容两端的电压 uC 由初始值 U0 向稳态值零衰减， 这是电容的放电过程， 这是电容的放电过程，其随时间变化表达式为
uC = U 0e τ 电路中 uR 和电流 i 可根据电阻和电容元件两端的电 压、电流关系确定。 电流关系确定。
1.11.1 电阻元件、电感元件和电容元件 电阻元件、
1. 电阻元件
i + u _
参考方向相同， 图中 u 和 i 参考方向相同，根据欧 姆定律得出 u = Ri R u 电阻元件的参数 R= i 电阻对电流有阻碍作用
并积分之， 将 u = Ri 两边同乘以 i ，并积分之，则得
∫
t
0
uidt = ∫ Ri 2dt
1.11.3 RC电路的暂态分析 电路的暂态分析
duC U = Ri + uC = RC + uC dt
1 S t=0 2
i
+
R C
′ uC = uC (∞ ) = U
′′ uC = Ae pt
特征方程 其根为 通解
1 1 p=− =− RC τ
+ U –
– +
uR uC
–
RCp + 1 = 0
τ = RC 单位是秒，所以称 单位是秒，
随时间变化曲线
u U 0.632U
−
t
τ
)
u
uC = U 0e
−
t
τ
随时间变化曲线
uC
U0
0.368U0 uC
O
τ
t
O
τ
t
时间常数越大，过渡过程进行的越慢。理论上， 时间常数越大，过渡过程进行的越慢。理论上，电路 稳态。 经过无穷大的时间才能进入 稳态。由于当 t = 3 τ 时，uC 已衰减到 0.05 U0，所以工程上通常在 t > 3τ 以后认为暂 态过程已经结束。 愈小，曲线增长或衰减就愈快。 态过程已经结束。 τ 愈小，曲线增长或衰减就愈快。
电压电流关系
i
+
u
根据 KVL 可写出
–
u + eL = 0
–
eL +
L
di 或 u = −e L = L dt 在直流稳态时，电感相当于短路。 在直流稳态时，电感相当于短路。
瞬时功率
di p = ui = Li dt
P > 0, L 把电能转换为磁场能，吸收功率。 把电能转换为磁场能，吸收功率。 P < 0, L 把磁场能转换为电能，放出功率。 把磁场能转换为电能，放出功率。 t i 1 储存的磁场能 ∫ uidt = ∫ Lidi = Li 2 0 0 2 L 是储能元件
uC = U + (U 0 − U )e
− t
τ
1 S + U –
i R C + uR –
这种由外加激励和初始 储能共同作用引起的响应， 储能共同作用引起的响应， 电路的全响应。 常称为 RC 电路的全响应。
t=0 2
– + uC
若换路前电容元件没有储能， 若换路前电容元件没有储能，即 uC(0+) = 0 ，则上 式变为
uC (∞ ) = 4 V
1
S R1 C
t=0 2 U2
+
+
–
–
uC
R2
uC (V)
τ = 2 ms
uC = 4 − 2 e
− 500 t
uC(t) 变化 曲线 V
4 2 t (s) O
1.11.4 RL电路的暂态分析 电路的暂态分析
1 S
i
在 t = 0 时将开关 S 合到 + uR t=0 2 R 1 的位置。 根据 KVL， t ≥ 0 时 + 的位置。 ， – U + 电路的微分方程为 – L uL di – U = Ri + L dt R − t U 上式的通解为 i = i ′ + i ′′ = + Ae L R U 。于是得 在 t = 0+ 时，初始值 i (0+) = 0，则 A = − ， R t t − U U −τ U L τ ) i = − e = (1 − e τ= 式中 R R R R τ 也具有时间的量纲，是 RL 电路的时间常数。 也具有时间的量纲， 电路的时间常数。 这种电感无初始储能，电路响应仅由外加电源引起， 这种电感无初始储能，电路响应仅由外加电源引起， 电路的零状态响应。 称为 RL 电路的零状态响应。
0
t
上式表明电阻将全部电能消耗掉，转换成热能。 上式表明电阻将全部电能消耗掉，转换成热能。 R 是耗能元件
2. 电感元件
i + u Φ – N + u – i
电感
韦伯( 韦伯(Wb) )
L=
– eL + L
NΦ
i
安(A) )
Φห้องสมุดไป่ตู้
亨利( ) 亨利(H)
L 称为电感或自感。线圈的匝数越多，其电感越 称为电感或自感。线圈的匝数越多， 线圈单位电流中产生的磁通越大，电感也越大。 大；线圈单位电流中产生的磁通越大，电感也越大。 假定参考方向的前提下， 在图示 u、i 、e 假定参考方向的前提下，当通过线 、 磁通或 发生变化 变化时 圈的磁通 圈的磁通或 i 发生变化时，线圈中产生感应电动势为 eL = N dΦ = dt L di dt
稳态值 初始值
−
t
τ
时间常数
在一阶电路中，只要求出待求量的稳态值、 在一阶电路中，只要求出待求量的稳态值、初始值 稳态值 这三个要素，就可以写出暂态过程的解。 和时间常数 τ 这三个要素，就可以写出暂态过程的解。
[例 2] 在下图中，已知 U1 = 3 V， U2 = 6 V，R1 = ] 在下图中， ， ， 1 kΩ，R2 = 2 kΩ，C = 3 µF ，t < 0 时电路已处于稳态。 Ω Ω 时电路已处于稳态。 用三要素法求 t ≥ 0 时的 uC(t)，并画出变化曲线。 ， [解] 先确定 uC(0+) 1 S uC(∞) 和时间常数 τ ∞ t < 0 时电路已处于 稳态， 稳态，意味着电容相 当于开路。 当于开路。
−
t
uC = U (1 − e
u U 0.632U
−
t
τ
)
u uC U0 0.368U0
uC = U 0e
−
t
τ
随时间变化曲线
随时间变化曲线
uC
O
τ
t
O
τ
t
时间常数 τ = RC 当 t = τ 时， uC = 63.2%U
时间常数 τ = RC 当 t = τ 时， uC = 36.8%U0
uC = U (1 − e
( t ≥ 0)