2016年北京大学博雅计划数学试题
自主招生数学必刷真题200道
2017自主招生必刷真题200道数学篇前言自2003年22所高校首批启动自主选拔录取改革试点以来，截至2017年，试点高校达到90所（其中77所高校面向全国招生，13所高校在本省内招生），通过教育部“阳光高考”平台累计公示自主选拔录取资格考生以逾25万人，实际录取超过14万人。
目前，自主招生已经成为一个稳定的招生渠道，受到越来越多优秀考生的青睐，对于促进科学选拔人才起到了积极作用。
爱尖子作为学科竞赛和自主招生培训的专业品牌，在国际数学奥赛金牌和物理奥赛金牌选手的领衔下，长期致力于竞赛和自主招生培训的研发工作。
2016年，爱尖子学员在竞赛上取得了惊人的成绩，北京地区53名学员获得高中数学联赛一等奖（共62人），数学IMO国家队6名成员均曾参与爱尖子培训，1人进入物理IPhO国家队，1人进入APhO国家队。
2015年，爱尖子成立自主招生研究中心，经过对近年来清华北大自主招生及博雅领军计划真题的分析与整理，甄选数学和物理学科核心考点下的经典真题，按照专题分类后，编写了这份《2017自主招生必刷真题200道》。
帮助今年备战以清华北大等国内顶级高校为目标的同学节省备考时间，精准高效的突破笔试。
为保证同学们在使用本题集时获得更好的体验，爱尖子特为本题集搭配详细解析，希望同学们经过200题的“洗刷”后，能在自主招生笔试上取得长足的进步。
目录（一）代数式变形 (4)（二）复数、平面向量 (9)（三）函数与方程 (12)（四）三角函数 (21)（五）概率 (25)（六）平面几何与立体几何 (26)（七）解析几何 (36)（八）数列 (41)（九）数论 (45)（十）排列、组合与二项式定理 (48)（一） 代数式变形001（2016年清华大学领军计划）2221,,,1a b c a b c R a b c ⎧++=∈⎨++=⎩那么 A.max 23a =B.max ()0abc =C.min13a =- D.max 4()27abc =- 002（2016年清华大学领军计划）,,x y z 均为非负实数，满足2221327()(1)()224x y z +++++=，则x y z ++的最大值为_________________最小值为__________________.003（2016年清华大学领军计划）实数22322()4xy x y +=，则22x y +的最大值为_____________.004（2015年北京大学博雅计划）已知226450x y x y -+++=，则22x y +的最小值是________．005（2016年清华大学领军计划）已知,,x y z 满足x y z ≥≥，且22211x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，则（ ） A ．max()0xyz = B.min 4()27xyz =-C.min 13Z =- 006（2016年清华大学领军计划）22120()(1sin )n n x x dx ππ--+=⎰___________.007（2016年北京大学自主招生）已知11112016,2016x y z x y z ++=++=，则(2016)(2016)(2016)x y z ---=______ 008（2016年北京大学博雅计划）已知ABC ∆的三边长分别为,,a b c ，有以下4个命题:① ②以222,,a b c 为边长的三角形一定存在； ③以,,222a b b c a c+++为边长的三角形一定存在； ④以||1,||1,||1a b b c c a -+-+-+为边长的三角形一定存在； 其中正确命题的个数为（ ）.A.2B.3C.3D.前三个答案都不对009（2016年北京大学博雅计划）三个不同的实数,,x y z 满足323232333x x y y z z -=-=-，则x y z ++等于（ ）. A.-1 B.0 C.1 D.前三个答案都不对010（2016年北京大学博雅计划）已知1a b c ++= ）. A.[10,11) B.[11,12) C.[12,13) D.前三个答案都不对011(2015年北京大学自主招生)设实数x ，y 满足221x y +≤，则222x xy y +-的最大值为(A)3(C)2012(2015年北京大学自主招生)设集合(){},,lg A x xy xy =与集合{}0,,B x y =相等，则x y +的值是 (A)2(B)2-(C)1(D)以上均不对013(2015年北京大学自主招生)已知1x >，1y >，且()()112x y --=，则2x y +具有 (A)最大值4(B)最小值4(C)最大值7(D)最小值7014（2015年北京大学自主招生）设关于x 的不等式()2414k x k +≤+的解集为A ，则对任意的实数k ，一定成立的是 (A)2,0A A ∈∈(B)2,0A A ∉∉(C)2,0A A ∈∉(D)2,0A A ∉∈015（2015年北京大学自主招生）设,,a b c 为两两不等的有理数，()()()222N a b b c c a ---=-+-+- (A)整数(B)有理数(C)无理数(D)前述三种关系均有可能016（2015年北京大学自主招生）已知实数,,a b c 满足0a b c ++>，0ab bc ac ++>，0abc >，则对,,a b c 来说，下面成立的是 (A)全是正数(B)至多有两个正数(C)至多有一个正数(D)全是负数017(2015年北京大学博雅计划)已知a 、b 、c 、d [2,4]∈，则22222()()()ab cd a d b c +++的最大值与最小值之和是_________．018(2015年北京大学博雅计划)已知22x px q ++≤，[1,5]x ∀∈________．019(2015年北京大学博雅计划)设2222b c a x bc +-=，2222c a b y ca+-=，2222a b c z ab +-=，且1x yz ，则201520152015x y z ++的值是________．020（2014年北大全国优秀中学生体验营）设a 、b 、c 满足3330a b c a b c ++=++=，n 为任意自然数。
北大博雅计划笔试真题
北大博雅计划笔试真题篇一：16年北京大学博雅计划数学试题XX年北京大学博雅计划数学试题选择题共20小题，在每小题的选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错扣1分，不选得0分.1.直线y??x?2与曲线y??ex?a相切，则a的值为：；A.?3B.?2C.?1D.前三个答案都不对2.已知三角形ABC的三边长分别为a,b,c，则下面4个结论中正确的个数为：；（1（2）以a2,b2,c2为边长的三角形一定存在；（3）以a?bb?cc?a,,为边长的三角形一定存在；（4）以|a?b|?1,|b?c|?1,|c?a|?1为边长的三222角形一定存在；D.前三个答案都不对3.设AB,CD是?O的两条垂直直径，弦DF交AB于点E，DE?24,EF?18，则OE等于：；ABCD.前三个答案都不对q?1,若x为有理数，p与q互素1?p4.函数f?x???p，则满足x??0,1?且f?x??的x的个数有：； 7?0,若x为无理数?前三个答案都不对5.若方程x?3x?1?0的根也是方程x?ax?bx?c?0的根，则a?b?2c的值为：； 242A.?13B.?9C.?5D.前三个答案都不对6.已知k?1，则等比数列a?log2k,a?log4k,a?log8k的公比为：；111A. B. C. D.前三个答案都不对 234?2?10??的值为：； 111111111A.? B.? C.?D.前三个答案都不对 163264XX?z?z1228.设a,b,c为实数a,c?0，方程ax?bx?c?0的两个虚数根为z1,z2，且满足为实数，则??1?z2k?0?z2?k 等于：；.0 C D.前三个答案都不对9.将12个不同物体分成3堆，每堆4个，则不同的分法种类为：；D.前三个答案都不对10.设A是以BC为直径的圆上的一点，D,E是线段BC 上的点，F是CB延长线上的点，已知BF?4,BD?2,BE?5,?BAD??ACD，?BAF??CAE，则BC的长为：；D.前三个答案都不对11.两个圆内切于K，大圆的弦AB与小圆切于L，已知AK:BK?2:5,AL?10，则BL的长为：；D.前三个答案都不对?x?是一个定义在实数R上的函数，满足2f?x??fx?1?1,?x?R，则f； ??? 前三个答案都不对 2313.从一个正9边形的9个顶点中选3个使得它们是一个等腰三角形的三个顶点的方法数有：；D.前三个答案都不对14.已知正整数a,b,c,d满足ab?cd，则a?b?c?d有可能等于：；D.前三个答案都不对15.三个不同的实数x,y,z满足x3?3x2?y3?3y2?z3?3z2，则x?y?z等于：；A.?1 D.前三个答案都不对16.已知a?b?c?1的最大值与最小值的乘积属于区间：；A.[10,11)B.[11,12)C.[12,13)D.前三个答案都不对17.在圆内接四边形ABCD中，BD?6,?ABD??CBD?30?，则四边形ABCD的面积等于：；ABCD.前三个答案都不对!?2!?…+XX!除以100所得余数为：；D.前三个答案都不对19.方程组x?y2?z3，x2?y3?z4，x3?y4?z5的实数解组数为：；D.前三个答案都不对x3?x3x3?x)??3x的所有实根的平方和等于： 20.方程(33D.前三个答案都不对篇二：XX北京大学“博雅人才培养计划”面试题目及对策XX北京大学“博雅人才培养计划”面试题目1.北京申办冬奥会有哪些机遇和挑战2.如何治理雾霾，有何建议3.中国传统文化将如何走出去4.微信在人际交往中的作用5.欧洲历史上的分与合6.如何看待中国申请冬奥会面试分为两个阶段，第二阶段为一对一考察理科生需在45分钟内，尝试解答一道物理题和一道数学题，然后分别接受一名物理考官和一名数学考官的一对一考察。
北京大学自主招生数学2016
2016北大自主招生数学试卷A1、函数的单调递增区间为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）前三个答案都不对 【解析】B函数的定义域为，设，其单调递增区间为，单调递减区间为，且单调递减，因此的单调递增区间为.2、对于任意给定的所在平面上的点满足，，的面积相等，则这样的点的个数是（ ）（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）前三个答案都不对 【解析】D为△的重心，或者四点构成平行四边形.3、圆内接四边形中，，则它的外接圆直径为（ ） （A ）170 （B ）180 （C ）（D ）前三个答案都不对 【解析】A注意到，即，故由余弦定理可得解得，故外界圆直径为，.4. 正方体的8个顶点中任取3个构成三角形，则三角形是等腰三角形的概率为（ ） （A ）（B ） （C ） （D ）前三个答案都不对 【解析】B 由题意易知只有对角面上的三角形不是等腰三角形故 ()()20.5log 2f x x x =-++11,2æö-ç÷èø122æöç÷èø，12æö+¥ç÷èø，()f x ()1,2-()()2212g x x x x =-++-<<11,2æö-ç÷èø122æöç÷èø，()()0.5log f x g x =()()20.5log 2f x x x =-++122æöç÷èø，ABC D P PAB D PBC D PAC D P P ABC ,,,A B C P ABCD 136,80,150,102AB BC CD DA ====222215013610280-=-222215080136102+=+222222cos 2cos BD BC DC BC DC C BA DA BA DA AA C pì=+-×=+-×í+=î2A C p==BD 170BD =1247383864417P ´=-=C5、已知，为整系数多项式且，则 的各项系数之和为（ ）（A ）8 （B ）4 （C ）2 （D ）前三个答案都不对 【解析】A易知为二次多项式，设，代入得，对照系数可得，解得则各项系数之和为8.6、设，则的取值范围为（）（A ） （B ） （C ） （D ）前三个答案都不对 【解析】B，即即，.7、实系数方程的根都不是实数，其中两个根的和为，另两根的积为，则等于（ ）（A ）11 （B ）13 （C ）15（D ）前三个答案都不对 【解析】C()234f x x x =-+()g x ()()432318506948f g x x x x x =++++()g x ()g x ()2g x Ax Bx C =++()()()()22234f g x Ax Bx CAxBx C =++-+++2223361836506693448A AB B AC A BC B C C ì=ï=ïï+-=íï-=ïï-+=î134A B C =ìï=íï=î()g x ()0,2x p Î2=x 02p æöç÷èø，2p p æöç÷èø，32p p æöç÷èø，2=cos sin 2cos sin x xx x-=cos 0x >sin 0x <4320x ax bx cx d ++++=2i +56i +b故由韦达定理可得，8、54张扑克牌，将第1张扔掉，第2张放到最后，第3张扔掉，第4张放到最后，依次下去，最后手上只剩下一张牌，则这张牌在原来的牌中从上面数的第几张（ ） （A ）30 （B ）32 （C ）44 （D ）前三个答案都不对 【解析】C第一轮依次剩下的倍数，，，…，，第二轮依次剩下的倍数，，，…，，（最后一张扔掉54，开始第三轮）第三轮依次剩下模8余4的数，，，，，，，，（第四轮以扔掉4开始） 第四轮剩下的数，12，28，44， 第五轮剩下的数，12，44 最后剩下44.9、的个位数字为（ ）（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）前三个答案都不对 【解析】C易知数字为一个奇数，可以被5整除.10、设为有限集合，为的子集，且对每个，都有，则一定有中某个元素在至少多少个中出现（ ）（A ）403 （B ）404 （C ）2016 （D ）前三个答案都不对 【解析】B由抽屉原理，可知选B11、四个半径为1的球两两相切，则它们的外切正四面体的棱长为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）前三个答案都不对 【解析】B()4a z w z w =-+++=-()()b zz zw zw zw zw ww z w z w zw zw =+++++=++++15=()()c zzw zzw zww zww zw z w zw z w =+++=+++8=61d zwzw =-=-22454448524122028364452()()()()23201621212121+++×××+S 122016,,,A A A ×××S i 15i A S ³S iA (21+(21(22+由棱长为的正四面体的内切球半径为, 设由四个球心所构成的正四面体为,其棱长为，内切球半径设大四面体的内切球半径为，则，则大四面体的棱长12、空间中点集定义如下：，，则由中的点组成的图形的体积等于（ ） （A ）（B ） （C ） （D ）前三个答案都不对 【解析】C 对于每一个，易得，，.故一定，我们考虑极限情况故为三维分别为的长方体，.13、满足等式的正整数的个数为（ ）（A ）0 （B ）1001 （C ）2002 （D）前三个答案都不对 【解析】D答案为4002，由,即, 即 于是,即,故要求,即,14、已知对任意，方程在上至少有一个根，则 等于（ ）（A ）1 （B ）2（C ）3 （D ）前三个答案都不对 【解析】B取，此时，故至少一个属于，a1234O O O O 2r ¢r 116r r ¢=+=+126a ö+=+÷÷ø(){}3,,|381nnnn A x y z xy z =Î++£R 1n n A A ¥==!A 14121n A 1x £1y £1z £+1n n A A Í1n n A A ¥==!(){}3lim ,,|1,81,1n A x y z x y z ==Σ££R A 12,2,41V =2002n éé=ëën 2002200120021´=<20022001200220011´<<´+20022001é=´ë200220012002n é´´=ë2001n é=ë200120011n n £<+2001n 4002n £[]122016,,0,4x x x ×××Î201612016i i x x a =-=å[]0,4a 1220162x x x ====!2x a -=2,2a a +-[]0,4若，综合只能，若，综合只能，排除C 取，此时，此时只能.综合可知选B.15、已知关于的方程有两个不同的非零整数根，则有可能等于（ ） （A ）一个素数 （B ）2的非负整数次幂 （C ）3的非负整数次幂 （D ）前三个答案都不对 【解析】D 方程为，设整数根为，由韦达定理的知识可得. 且，，此时，排除A 由平方数模3余0或者1，可得C 错误.由平方数模4余0或者1，且，知余至少一个模4余1或者2.则要是2的幂只能，与矛盾.16. 用表示距离，则的值为（ ） （A ）1015056 （B ）1017072 （C ）1019090 （D ）前三个答案都不对 【解析】B先考虑的解的个数，由，知当满足，会使得，其个数为，这个片段的和刚好为，则刚好需要个这个片段， 所以17、已知对于实数，存在实数，满足，，则这样的实数 的个数为（ ）（A ）1 （B ）3 （C ）无穷个 （D ）前三个答案都不对 【分析】[]20,4a +Î[]0,2a Î[]20,4a -Î[]0,2a Î1210080x x x ====!1009101020164x x x ====!42x x a +-=2a =x 21x ax b ++=22a b +210x ax b +-+=,m n ,a b ÎZ ()a m n =-+1b mn -+=()()22222222111a b m n m n m n +=+++=++m n ¹21m +21n +1m n ==m n ¹n a 121112016na a a ++×××+=n n a k =221124k k k æö+=++ç÷èøn ()()22111k k n k k -+-+££+n a k =2k 2100824620171017072x =++++=L a ,b c 3333a b c abc --=()22a b c =+a 3333a b c abc ++-()()333a b c ab a b c =++-++()()()223a b c a b a b c c ab éù=+++-++-ëû()()222a b c a b c ab bc ca =++++---【解析】B 由因式分解常见公式， 可得 故要么，此时，解得或；要么，此时，此时解得或18、三角形的三个顶点分别对应复数，已知，则三角形的面积与其最长边长的平方的比等于（ ） （A ）（B ） （C ） （D ）前三个答案都不对 【解析】A由，得到，且由余弦定理可得，故最长边为19.将这100个数分成3组满足第一组中各数之和是102的倍数，第二组中各数之和是203的倍数，第三组中各数之和是304的倍数，则满足上述要求的分组方法数为（ ） （A ）1 （B ）3 （C ）6 （D ）前三个答案都不对 【解析】D 设三组之和分别为，，，,则，易得，结合是正整数，； 同样的得到,,又，得到，显然不可能.20、已知，，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 不确定 D. 三个均不正确 【解析】A()()3332223a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---()()33322203a b c abc a b c a b c ab ac bc =---=--++++-a b c =+()22a b c =+0a =2a =2220a b c ab ac bc ++++-=()()()222102a b a c b c éù++++-=ëûb c a ==-0a =4a =-ABC 123,,z z z 213112z z i z z -=+-ABC 1516112213112z z i z z -=+-c =cos A =sin A =2a b =c =21sin 2ABC S bc A b D ==1,2,,100×××102x 203y 304z *,,x y z ÎN 1022033045050x y z ++=5050102203505010222031304304x y z ---´-´=£z 15z £22y £42x £()101235050x y z x y z +++++=101|x y z ++2016x y z ++=11112016x y z ++=()()()201620162016x y z ---由已知可得，，即,2016x y z ++=12016xy yz zx xyz ++=()2016xyz xy yz zx =++()()()201620162016x y z ---()()23201620162016xyz xy yz zx x y z =-+++++-0=。
2016年北京大学博雅计划试题
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1 1 2 1 3 1 2 3 4 1 5 , , , , , , , , , , . 2 3 3 4 4 5 5 5 5 6 6 a = −c − 10, b = 3c − 3, ) C. − 1 64
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)
D. 前三个答案都不对
)
D. 前三个答案都不对
根据题意，有
(x2 − 3x − 1)(x2 + 3x − c) = x4 + ax2 + bx + c,
2016 年北京大学博雅计划试题
兰琦 2017 年 1 月 4 日
选择题共 20 小题；在每小题的四个选项中，只有一项符合题⺫要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得
1. 直线 y = −x + 2 与曲线 y = −ex+a 相切，则 a 的值为 ( A. −3 解析 A． B. −2
C. −1
tp :
ht
解得 f (0) = f (1) = f (−1) =
13. 从一个正 9 边形的 9 个顶点中选 3 个使得它们是一个等腰三角形的三个顶点的方法数是 ( A. 30 解析 A． B. 36 C. 42
// la nq i
D B ∠DKM = ∠BAK = ∠KLM, 2f (0) + f (−1) = 1, 2f (1) + f (0) = 1, 2f (−1) + f (0) = 1, 3×9+ 1×9 = 30. 3
10. 设 A 是以 BC 为直径的圆上的一点， D, E 是线段 BC 上的点， F 是 CB 延长线上的点，已知 BF = 4 ， BD = 2 ， BE = 5 ， ∠BAD = ∠ACD ， ∠BAF = ∠CAE ，则 BC 的长为 ( B. 12 A．如图． A C. 13 )
北大博雅数学2016答案
2016年北京大学博雅计划测试数学 答案1.【解答】A由于()x a x a e e ++'-=-，于是切点横坐标为x =-a ，进而有-(-a )+2=a a e -+-解得a =-3. 【评析】非常基础的问题，注意计算速度和准确度。
2.【解答】B不妨假设0a b c a b c <≤≤+>，。
(1) 0≥； (2) 错误，a =2，b =3，c =4即为反例； (3) 正确，因为有0222a b c a b ca ++-+-=>； (4) 正确，因为有()()()()()1110ab bc c a a b b c c a -++-+--+>-+---=。
【评析】一道灵活结合了不等式和几何三角形的问题，考察学生的代数基本功，总体难度也不算大。
3.【解答】C如图，连接CF ，由于DOE ∆与DFC ∆相似，因此DO DC DE DF ⋅=⋅，从而22421DO =⋅，因此OE ===【评析】非常简单的几何计算。
4.【解答】D满足(0,1)x ∈，且1()7f x >的x 的个数为11，分别为1121312341523344555566，，，，，，，，，，。
【评析】这个函数是非常有名的黎曼函数的一部分，但是对于学生的要求很低，只需要准确理解题意即可，问题本身并不困难。
5.【解答】A根据题意，有()()2242313=x x x x c x ax bx c --+-+++，于是a =-c -10，b =3c -3，从而有a +b -2c =-13。
【评析】简单的待定系数法，注意计算不要出错。
6.【解答】B令2log k x =，则a +x ，a +12x ，a +13x 成等比数列，从而可得x =-4a ，进而可得公比为13。
【评析】涉及等比数列的运算，较为基础。
7.【解答】D 依据题意，有2102458367910coscoscoscos cos cos cos cos cos cos cos cos cos 11111111111111111111111111πππππππππππππ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭224816cos cos cos cos cos 1111111111πππππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭而24816116coscoscos cos cos 2sin cos ...cos 11111111111111112sin 11πππππππππ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1221613212sin cos ...cos ...sin 11111111324sin 32sin 1111ππππππ⎛⎫==== ⎪⎝⎭ 故原式值为11024-【评析】熟悉余弦二倍角连乘的点鞭炮公式的话，此题不算难题，但是要注意计算不能出错。
北大博雅自主招生数学真题
辅导2与⾼考题的对比2017年北京⼤学⾃主招⽣数学试题1.保持了近年北⼤⾃招试题的风格．(a)20道单选题，选对得5分，选错扣1分，不选得0分．(b)时间紧张．三个⼩时内要完成语数外三科试题的解答，很少有学⽣能做完．(c)D选项⼀律是“前三个答案都不对”，很有迷惑性，有时候甚⾄⽐较棘⼿．例如第5题，答案数字不怎么整，考场上时间紧张的情况下，是否相信⾃⼰的判断选D，对考⽣来说是个考验；再⽐如第9题，答案明显是个负整数，但由于D选项的存在，在只有A选项为负整数的情况下仍然需要进⾏估算．(d)风格灵巧，强调多想少算．⽐如第1题，看出来配⽅的技巧就可以秒掉，如果硬算的话，考场上可能就悲剧了．(e)不追求知识点的全⾯覆盖．数论、函数、平⾯⼏何、三⾓等⼀向是北⼤各种⾃招相关的考试中的⾼频考点，在2017年的⾃主招⽣考试中也依然是考察重点．⽽概率、统计、导数、⽴体⼏何等考点⼀向被北⼤冷落，这场考试也不例外．(f)经典试题有⼀定的重现率．⽐如第6题就是平⾯⼏何中的经典问题，第9题中⽤到的对数运算公式在⾃招考试中也是屡见不鲜．2.相对于近年北⼤的各场⾃招相关的考试来说，这份试卷的难度不⾼，在平均线以下．3.有较好的区分度，可以达到北⼤⾃主选拔的⽬的．1.有些试题即使放到⾼考中也不是难题，⽐如第19题、第20题．这类题基本每份⾃招试卷中都有，但⼀般来讲数量较少．2.有些试题的考点同时也是⾼考的重要考点，但是综合性较强，考⽣要想短时间内顺利解决的话，得有很好的基本功．⽐如第18题，如果做成四次函数求最值就⿇烦了，代数变形之后换元，处理成⼆次函数才是正道．再⽐如第14题，每⼀步可能都不难，⽤到的知识也都是⾼考要求的，但是步骤⼀多，考⽣可能就会卡壳．3.还有⼀多半的试题，或者考点不是⾼考重点要求的，⽐如数论，恐怕是⾃主招⽣中考察最多的知识点，但⾼考却很少涉及；或者考点也许在⾼考范围内，但考法较为灵活，⽐如第12题，需要将多个变量之间的本质关系想清楚才能顺利解决．光光⼦辅导1.⼀定要有针对性的训练．⽐如⾼考很少考到数论相关的问题，即使考到，最多也就⽤到奇偶性、简单的整除之类常识性的知识，但是⾃主招⽣对于数论的要求却较⾼．事实上，数论相关的问题很容易体现出“多想少算”的特点，⾮常符合⾃招的选拔需求．再⽐如说平⾯⼏何，⾼中⽣很可能还⽐不上初中⽣，毕竟⾼考中的平⾯⼏何问题都⾮常简单．如果平时没有针对性的训练，考场上遇到不熟悉的考点很容易抓瞎；遇到那种考点在⾼考范围内，但风格不太⼀样的试题，也很难顺利解决．2.往年的⾃招真题，还有全国联赛的⼀试题、预赛题，都是很好的准备材料．平时多练习多思考多总结，考场上遇到原题或者改编题的可能性相当⼤，那就赚到了．3.试题难度总体上会保持稳定．今年北⼤⾃主招⽣数学试题相对容易，只是正常波动，明年很可能⽐今年稍难．对此⼤家要有⼼理准备．4.选择题的“考场技巧”平时要多练，毕竟北⼤这两年的⾃招、博雅全是选择题．必要的时候可以猜．事实上，⼀道题即使完全不会，也不能空着．有同学可能会问，选错不是倒扣1分吗？可是我们算算期望，⼀道题随机选择的得分期望是0.5分呀！如果能排除两个错误选项呢？期望只会更⾼．1.已知实数a,b 满⾜(a 2+4)(b 2+1)=5(2ab −1)，则b Åa +1aã的值为（）A.1.5B.2.5C.3.5D.前三个答案都不对解析C ．2.函数f (x )= x 2−2 −12|x |+|x −1|，x ∈[−1,2]上的最⼤值与最⼩值的差所在的区间是（）A.(2,3)B.(3,4)C.(4,5)D.前三个答案都不对解析B ．3.不等式组y ⩾2|x |−1,y ⩽−3|x |+5所表⽰的平⾯区域的⾯积为（）A.6B.335C.365D.前三个答案都不对解析C ．4.(1+cos π5)Å1+cos 3π5ã的值为（）A.1+1√5 B.1+14C.1+1√3D.前三个答案都不对解析B ．光⼦辅导5.在圆周上逆时针摆放了4个点A,B,C,D ，已知BA =1，BC =2，BD =3，∠ABD =∠DBC ，则该圆的直径为（）A.2√5B.2√6C.2√7D.前三个答案都不对解析D ．6.已知三⾓形三条中线长度分别为9,12,15，则该三⾓形⾯积为（）A.64B.72C.90D.前三个答案都不对解析B ．7.已知x 为实数，使得2,x,x 2互不相同，且其中有⼀个数恰为另⼀个数的2倍，则这样的实数x 的个数为（）A.3B.4C.5D.前三个答案都不对解析B ．8.设整数a,m,n 满⾜√a 2−4√5=√m −√n ，则这样的整数组(a,m,n )的个数为（）A.0B.1C.2D.前三个答案都不对解析C ．9.设S =1log 12π+1log 13π+1log 15π+1log 17π,则不超过S 且与S 最接近的整数为（）A.−5B.4C.5D.前三个答案都不对解析A ．10.已知复数z 满⾜z +2z 是实数，则|z +i |的最⼩值等于（）A.√33 B.√22C.1 D.前三个答案都不对解析D ．11.已知正⽅形ABCD 的边长为1，P 1,P 2,P 3,P 4是正⽅形内部的4个点使得△ABP 1，△BCP 2，△CDP 3和△DAP 4都是正三⾓形，则四边形P 1P 2P 3P 4的⾯积等于（）A.2−√3 B.√6−√24C.1+√38D.前三个答案都不对解析A ．光⼦辅导12.已知某个三⾓形的两条⾼的长度分别为10和20，则它的第三条⾼的长度的取值区间为（）A.Å103,5ãB.Å5,203ãC.Å203,20ãD.前三个答案都不对解析C ．13.正⽅形ABCD 与点P 在同⼀平⾯内，已知该正⽅形的边长为1，且|P A |2+|P B |2=|P C |2，则|P D |的最⼤值为（）A.2+√2B.2√2C.1+√2 D.前三个答案都不对解析A ．14.⽅程log 4(2x +3x )=log 3(4x −2x )的实根个数为（）A.0B.1C.2D.前三个答案都不对解析B ．15.使得x +2x 和x 2+2x2都是整数的正实数x 的个数为（）A.1 B.2C.⽆穷多D.前三个答案都不对解析A ．16.满⾜f (f (x ))=f 4(x )的实系数多项式f (x )的个数为（）A.2 B.4C.⽆穷多D.前三个答案都不对解析D ．17.使得p 3+7p 2为平⽅数的不⼤于100的素数p 的个数为（）A.0B.1C.2D.前三个答案都不对解析C ．18.函数f (x )=x (x +1)(x +2)(x +3)的最⼩值为（）A.−1B.−1.5C.−2D.前三个答案都不对解析A ．19.动圆与两圆x 2+y 2=1和x 2+y 2−6x +7=0都外切，则动圆的圆⼼轨迹是（）A.双曲线B.双曲线的⼀⽀C.抛物线D.前三个答案都不对解析B ．光⼦辅导20.在△ABC 中，sin A =45，cos B =413，则该三⾓形是（）A.锐⾓三⾓形 B.钝⾓三⾓形C.⽆法确定D.前三个答案都不对解析A ．。
2016年北京大学自主招生数学试题
一、选择题．在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．已知，则x的取值范围是（）
2．的个位数字是（）
A．1 B．3 C．5 D．前三个答案都不对
3．点P位于△ABC所在的平面内，使得△PAB,△PBC,△PCA的面积相等，则满足题意的点P有（）
A．1个B．3个C．5个D．前三个答案都不对
4．记f(n)为最接近的整数，其中n∈N∗．若，则正整数m的值为（）
A．1015056 B．1017072 C．1019090 D．前三个答案都不对
5．实数x,y,z满足x+y+z=2016，，则
（）
A．0 B．1 C．−1 D．前三个答案都不对
6．方程组的非负整数解有（）
A．1组B．4组C．5组D．前三个答案都不对
7．4个半径为1的球两两外切，则这4个球的外切正四面体的棱长为（）
D．前三个答案都不对
8．将1,2,⋯,100分成三组，使得第一组数的和为102的倍数，第二组数的和为203的倍数，第三组和为304的倍数．则不同的分法共有（）
A．1种B．2种C．3种D．前三个答案都不对
二、填空题．
9．已知，g(x)为整系数多项式，
则g(x)的各项系数之和为_______．
10．54张扑克牌排成一列．先去掉第一张，将第二张放到最后；再去掉第三张，将第四张放到最后……以此类推，则最后剩下的那张牌是原先的第_______张．
11．用高斯函数[x]表示不超过实数x的最大整数，则方程
的正整数解有_______个．
12．空间中的一点P(x,y,z)满足∃n∈N∗，使得成立，则所有满足要求的点P所形成的空间几何体的体积为_______．。
北京大学2016年博雅博士后项目已在站候选人公示名单
徐乐
化学与分子工程学院
25
覃晓丽
化学与分子工程学院
26
吴娟霞
化学与分子工程学院
27
金仁喜
化学与分子工程学院
28
成波
化学与分子工程学院
29
王倩
化学与分子工程学院
30
党文辉
化学与分子工程学院
31
罗忠新
环境科学与工程学院
32
籍瑶
环境科学与工程学院
33
蒋卓人
计算机科学技术研究所
34
Kohei Hayashi
48
申立平
生命科学学院
49
赵威任
数学科学学院
50
谢迅
数学科学学院
51
于浩斌
数学科学学院
52
徐强
数学科学学院
53
夏禹超
数学科学学院
54
张龙
物理学院
55
武振伟
物理学院
56
高飞
物理学院
57
丁然
物理学院
58
郅燕燕
物理学院
59
陈启博
物理学院
60
余大启
物理学院
61
虞应
物理学院
62
邵瑞文
物理学院
63
何东军
心理与认知科学学院
北京大学2016年博雅博士后项目已在站候选人公示名单
理工科组
按候选人所属学院系、所、中心）拼音排序
序号
姓名
学院系、所、中心）
1
沈伟明
北京国际数学研究中心
2
金春银
北京国际数学研究中心
3
关力凡
北京国际数学研究中心
2016年北京大学博雅计划自主招生数学试题及解答
的值为
万方数据
（ ）
Ａ．
－
１ １６
Ｂ．
－
１ ３２
Ｃ．
－
１ ６４
Ｄ．前三个答案都不对
８．设 ａ，ｂ，ｃ 为实数，ａ，ｃ ≠ ０，方程 ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝
∑ ０
的两个虚数根为
ｘ１ ，ｘ２
满足 ｘ２１ ｘ２
２０１５
为实数，则
ｋ＝０
æ ｘ１
ç
è ｘ２
ö
÷
ø
ｋ
等于
（ ）
Ａ．１ Ｂ．０ Ｃ． ３ ｉ Ｄ．前三个答案都不对
ＢＣ 的长为
（ ）
Ａ．１１ Ｂ．１２ Ｃ．１３ Ｄ．前三个答案都不对
１１．两个圆内切于 Ｋ， 大圆的弦 ＡＢ 与小圆切于
Ｌ，已知 ＡＫ ∶ ＢＫ ＝ ２ ∶ ５，ＡＬ ＝ １０，则 ＢＬ 的长为
（ ）
Ａ．２４ Ｂ．２５ Ｃ．２６ Ｄ．前三个答案都不对
１２．ｆ（ ｘ） 是 定 义 在 实 数 集 Ｒ 上 的 函 数， 满 足
理和勾股定理，可得
{２４·１８ ＝ ＡＥ·ＥＢ ＝ （ ｒ ＋ ＯＥ） （ ｒ － ＯＥ） ＝ ｒ２ － ＯＥ２ ， ２４２ ＝ ｒ２ ＋ ＯＥ２ ，
把它们相加后，可求得 ＯＥ ＝ ６ ２ ．
图 １ 图 ２
解法 ２ Ｃ．如图 ２ 所示，连结 ＣＦ，可得 △ＤＯＥ ∽ △ＤＦＣ，
所 以 ＤＯ ＤＦ
＝
ＤＥ， ＤＣ
ＤＯ ２４ ＋ １８
＝
２２Ｄ４Ｏ，ＤＯ２
＝
１２ · ４２，ＯＥ
＝
ＤＥ２ － ＯＤ２ ＝ ２４２ － １２·４２ ＝ ６ ２ ．
４．Ｄ．由 ｘ ∈ （０，１） 知，在 ｆ（ ｘ） 的解析式中可不妨设 ｐ，ｑ ∈ Ｎ∗ ，ｐ ＞ ｑ，（ ｐ，ｑ） ＝ １．
2016年北京大学博雅计划试题数学
(3)
以
������
+ 2
������ ,
������
+ 2
������
,
������
+ 2
������
为边长的三角形一定存在；
(4) 以 |������ − ������| + 1, |������ − ������| + 1, |������ − ������| + 1 为边长的三角形一定存在．
= 0 的两个虚数根 ������1, ������2 满足
������21 ������2
为实数，则
2015
∑
������=0
(
������1 ������2
)������
等于
(A) 1
(B) 0
(C) √3i
(D) 前三个答案都不对
9. 将 12 个不同物体分成 3 堆，每堆 4 个，则不同的分法种类为
(A) 101
(B) 301
(C) 401
(D) 前三个答案都不对
15. 三个不同的实数 ������, ������, ������ 满足 ������3 − 3������2 = ������3 − 3������2 = ������3 − 3������2，则 ������ + ������ + ������ 等于
(A) −13
(B) −9
(C) −5
(D) 前三个答案都不对
6. 已知 ������ > 0 且 ������ ≠ 1，则等比数列 ������ + log2������, ������ + log4������, ������ + log8������ 的公比是
2016自主招生考题北京大学2016博雅计划笔试真题汇总
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2016自主招生考题北京大学2016博雅计划笔试真题汇总
6月11日下午，北大进行了为期6个小时的博雅计划笔试考试。
文理科全部考5门，试题全部为客观题。
博雅计划笔试考试形式
笔试时间：6月11日下午1点到7点
笔试科目：
文科——语文、数学、英语、历史、政治
理科——语文、数学、英语、物理、化学
笔试形式：上半场语文数学英语三科，中间休息20分钟下半场两科，每科1小时。
据其介绍，语数外考了三个半小时，休息半个小时后，再考两个小时专业课，理科考生考物理化学，文科考生考历史政治。
试卷结构：全部客观题
科目分数：每科100分，共计500分
博雅计划笔试题目
文科语文的作文为命题作文“网络中的我”，字数500字。
一位北京的理科考生认为，作文题目与高考不太一样，用比较少的字数说明自己的观点，有些难度，但他表示物理题目最难，很多都不会。
另一位考生也称，物理题超过了高考大纲考试形式，难度很大。
考察方向
北大招办相关负责人介绍，在“博雅计划”的测试中，北大的考核主要通过笔试和面试两种方式，笔试侧重考查学生的基础学业能力和学习潜质，面试侧重于考查学生的个人志趣、逻辑思考与批判性思维、领导力、人文情怀等。
北大博雅数学2016
2016年北京大学博雅计划测试数学学科注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考点名称填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考 试用条形码。
2.客观题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号。
主观题用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡相应位置上，答在试卷上的无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题共20小题，在每小题的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，选对得5分，多选、少选或选错扣1分，不选不得分。
1. 直线2y x =-+与曲线x a y e +=-相切，则a 的值为（ ）A. -3B. -2C. -1D.前三个答案都不对2. 已知三角形ABC 的三边长分别是,,a b c ，有以下四个命题：（1（2）以222,,a b c 为边长的三角形一定存在；（3）以,,222a b b c c a +++为边长的三角形一定存在； （4）以||1,||1,||1a b b c c a -+-+-+为边长的三角形一定存在；其中正确命题的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D.前三个答案都不对3. 设,AB CD 是圆O 的两条垂直直径，弦DF 交AB 于点E ，24DE =,18EF =,则OE 等于（ ）A. B. C. D. 前三个答案都不对4. 函数()1,,,,,()0q x p q p q N p p f x x Q *⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩==1，，则满足(0,1)x ∈且1()7f x >的x 的个数为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 前三个答案都不对5. 若方程2310x x --=的根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为（ ）A. 13-B. 9-C. 5-D. 前三个答案都不对6. 已知1k ≠，则等比数列248log ,log ,log a k a k a k +++的公比为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 前三个答案都不对7. 210cos cos cos111111πππ的值为（ ） A. 116- B. 132- C.164- D.前三个答案都不对8.设,,a b c 为实数，,0a c ≠，方程20ax bx c ++=的两个虚数根12,x x 满足212x x 为实数，则2015102()k k x x =∑等于（） A. 1 B. 0 D. 前三个答案都不对9.将12个不同物体分成3堆，每堆4个，则不同的分法种数为（ ）A.34650B.5940C.495D.前三个答案都不对10.设A 是以BC 为直径的圆上的一点，,D E 是线段BC 上的点，F 是CB 延长线上的点，已知4,2,5BF BD BE ===,BAD ACD ∠=∠,BAF CAE ∠=∠,则BC 的长为（ ）A.11B.12C.13D.前三个答案都不对11.两个圆内切于K ，大圆的弦AB 与小圆切于L ，已知:2:5AK BK =,10AL =,则BL 的长为（ ）A.24B.25C.26D. 前三个答案都不对12.()f x 是定义在R 上的函数，且对任意实数x 均有22()(1)1f x f x +-=，则(f 等于（ ）A.0B.12 C.13 D.前三个答案都不对13.从一个正9边形的9个顶点中选3个，使得它们是一个等腰三角形的三个顶点的方法数是（ ）A.30B.36C.42D.前三个答案都不对14.已知正整数,,,a b c d 满足ab cd =，则a b c d +++有可能等于（ ）A.101B.301C.401D.前三个答案都不对15.三个不同实数,,x y z 满足323232333x x y y z z -=-=-，则x y z ++等于（ ）A.1-B.0C.1D.前三个答案都不对16.已知1a b c ++=（ ）A.[10,11)B. [11,12)C.[12,13)D. 前三个答案都不对17.在圆内接四边形ABCD 中，6BD =，30ABD CBD ∠==︒,则四边形ABCD 的面积等于（ ）A.B.C. D.前三个答案都不对 18.1!2!2016!+++除以100所得的余数为（ ） A.3 B.13 C.27 D.前三个答案都不对19.方程组23234345x y z x y z x y z⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩的实数解组数为（ ）A.5B.6C.7D.前三个答案都不对20.方程333()333x x x x x +++=的所有实根的平方和等于（ ）A.0B. 2C.4D.前三个答案都不对。
北京大学2016年博雅博士后项目已在站候选人公示名单
17
赵庆淼
历史学系
18
陈莹雪
历史学系
19
路 宽
马克思主义学院
20
云春凤
人口研究所
21
马学军
社会学系
22
安文研
社会学系
23
刘英军
外国语学院
24
刘合翔
信息管理系
25
拓 璐
艺术学院
26
邸含玮
艺术学院
27
何益鑫
哲学系
28
薛丹妮
哲学系
29
陈永盛
哲学系
30
费海汀
政府管理学院
31
赵 滕
政府管理学院
32
法学院
2
路 西
光华管理学院
3
王耀君
光华管理学院
4
陈 骐
光华管理学院
5
徐庆超
国际关系学院
6
骆小平
国际关系学院
7
宋 泽
国家发展研究院
8
侯杜比
国家发展研究院
9
杨子荣
国家发展研究院
10
高 耀
教育学院
11
许 明
经济学院
12
李 波
经济学院
13
完颜端云
经济学院
14
杨 博
考古文博学院
15
裴书研
考古文博学院
16
郁永彬
62
邵瑞文
物理学院
63
何东军
心理与认知科学学院
64
吴琼
心理与认知科学学院
65
黄芊芊
信息科学技术学院
66
陈远祥
信息科学技术学院
2016年北京大学博雅计划数学试题
2016年北京⼤学博雅计划数学试题2016年北京⼤学博雅计划数学试题选择题共20⼩题；在每⼩题的四个选项中，只有⼀项符合题⽬要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分.1.直线2y x =-+与曲线x a y e +=-相切，则a 的值为（）A -3B -2C -1D 前三个答案都不对2.已知三⾓形ABC 的三边长分别为,,a b c ，有以下4个命题：222,,a b c 为边长的三⾓形⼀定存在；⑶以,,222a b b c c a +++为边长的三⾓形⼀定存在；⑷以1,1,1a b b c c a -+-+-+为边长的三⾓形⼀定存在，其中正确命题的个数为（）A 2B 3C 4D 前三个答案都不对3.设,AB CD 是圆O 的两条互相垂直的直径，弦DF 交AB 于点E ，24,18DE EF ==，则OE 等于（）AD 前三个答案都不对4.函数*1,,(,)1,,,()0,,q x p q p q N p p f x x Q ?==∈?=，则满⾜(0,1)x ∈且1()7f x >的x 的个数为（） A 12 B 13 C 14 D 前三个答案都不对5.若⽅程2310x x --=的根也是⽅程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为（）A -13B -9C -5D 前三个答案都不对6.已知1k ≠，则等⽐数列248log ,log ,log a k a k a k +++的公⽐是（） A12 B 13 C 14D 前三个答案都不对 7. 计算210cos cos cos 111111πππ的值为（） A 116- B 132- C 164- D 前三个答案都不对 8.设,,a b c 为实数，,0a c ≠，⽅程20ax bx c ++=的两个虚根12,x x 满⾜212x x 为实数，则2015102()k k x x =∑等于（）D 前三个答案都不对9.将12个不同的物体分成3堆，每堆4个，则不同的分法种类为（）A 34650B 5940C 495D 前三个答案都不对10. 设A 是以BC 为直径的圆上的⼀点，,D E 是线段BC 上的点，F 是CB 延长线上的点，已知4,2,5,,BF BD BE BAD ACD BAF CAE ===∠=∠∠=∠，则BC 的长为（）A 11B 12C 13D 前三个答案都不对11. 两个圆内切于点K ,⼤圆的弦AB 与⼩圆切于点L ，已知:2:5AK BK =，10AL =，则BL 的长为（）A 24B 25C 26D 前三个答案都不对12.()f x 是定义在R 上的函数，且对任意实数x 均有22()(1)1f x f x +-=，则(f 等于（） A 0 B 12 C 13D 前三个答案都不对 13.从⼀个正9边形的9个顶点中选3个使得它们是⼀个等腰三⾓形的三个顶点的⽅法数是（）A 30B 36C 42D 前三个答案都不对14. 已知正整数,,,a b c d 满⾜ab cd =，则a b c d +++有可能等于（）A 101B 301C 401D 前三个答案都不对15. 三个不同的实数,,x y z 满⾜323232333x x y y z z -=-=-，则x y z ++等于（）A -1B 0C 1D 前三个答案都不对16.已知1a b c ++=的最⼤值与最⼩值的乘积属于区间（）A [10,11)B [11,12)C [12,13)D 前三个答案都不对17.在圆内接四边形ABCD 中，06,30BD ABD CBD =∠=∠=，则四边形ABCD 的⾯积等于（）A前三个答案都不对18.1!2!3!2016!++++ 除以100所得的余数为（）A 3B 13C 27D 前三个答案都不对19.⽅程组23234345,,x y z x y z x y z ?+=?+=??+=?的实数解的组数为（）A 5B 6C 7D 前三个答案都不对20.⽅程333()333x x x x x +++=的所有实根的平⽅和等于（） A 0 B 2 C 4 D 前三个答案都不对2016年北京⼤学博雅计划数学试题答案ABCDA BDBDA BCABD CBBCC略解：1.由于/()x a x a e e ++-=-，于是切点横坐标为x a =-，从⽽有()2a a a e -+--+=-，解得3a =-.2.不妨假设0,a b c a b c <≤≤+>0≥>；⑵错误，2,3,4a b c ===即为反例；⑶正确，因为有0222a b c a b c a ++++-=>；⑷正确，因为有(1)(1)(1)()()0a b b c c a a b b c c a -++-+--+>-+---=3.如图，连接CF ，由于DOE ?与DFC ?相似，因此DO DC DE DF ?=?，从⽽22421DO =?，因此OE ==4.满⾜(0,1)x ∈且1()7f x >的x 的个数为11，分别为11213123415,,,,,,,,,,23344555566。
2016年北京大学自主招生数学试题回忆版
2016年北京大学自主招生数学试题回忆版一、选择题．在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知sinx1−cos2x−−−−−−−−√−cosx1−sin2x−−−−−−−−√=2(0<x<2π)sinx1−cos2x −cosx1−sin2x=2(0<x<2π)，则xx的取值范围是（）A．(0,π2)(0,π2)B．(π2,π)(π2,π)C．(π,3π2)(π,3π2)D．前三个答案都不对2．(2+1)(22+1)(23+1)⋯(22016+1)(2+1)(22+1)(23+1)⋯(22016+1)的个位数字是（）A．11B．33C．55D．前三个答案都不对3．点PP位于△ABC△ABC所在的平面内，使得△PAB,△PBC,△PCA△PAB,△PBC,△PCA的面积相等，则满足题意的点PP有（）A．11个B．33个C．55个D．前三个答案都不对4．记f(n)f(n)为最接近n√n的整数，其中n∈N∗n∈N∗．若1f(1)+1f(2)+⋯+1f(m)=20161f(1)+1f(2)+⋯+1f(m)=2016，则正整数mm的值为（）A．10150561015056B．10170721017072C．10190901019090D．前三个答案都不对5．实数x,y,zx,y,z满足x+y+z=2016x+y+z=2016，1x+1y+1z=120161x+1y+1z=12016，则(x −2016)(y−2016)(z−2016)=(x−2016)(y−2016)(z−2016)=（）A．00B．11C．−1−1D．前三个答案都不对6．方程组{a3−b3−c3=3abc,a2=2(b+c){a3−b3−c3=3abc,a2=2(b+c)的非负整数解有（）A．11组B．44组C．55组D．前三个答案都不对7．44个半径为11的球两两外切，则这44个球的外切正四面体的棱长为（）A．2+22√2+22B．2+23√2+23C．2+26√2+26D．前三个答案都不对8．将1,2,⋯,1001,2,⋯,100分成三组，使得第一组数的和为102102的倍数，第二组数的和为203203的倍数，第三组和为304304的倍数．则不同的分法共有（）A．11种B．22种C．33种D．前三个答案都不对二、填空题．9．已知f(x)=3x2−x+4f(x)=3x2−x+4，g(x)g(x)为整系数多项式，f(g(x))=3x4+18x3+50x2+69x+a,f(g(x))=3x4+18x3+50x2+69x+a,则g(x)g(x)的各项系数之和为_______．10．5454张扑克牌排成一列．先去掉第一张，将第二张放到最后；再去掉第三张，将第四张放到最后……以此类推，则最后剩下的那张牌是原先的第_______张．11．用高斯函数[x][x]表示不超过实数xx的最大整数，则方程n[200220012+1−−−−−−−−√]=2002[n20012+1−−−−−−−−√]n[200220012+1]=2002[n20012+1]的正整数解有_______个．12．空间中的一点P(x,y,z)P(x,y,z)满足∃n∈N∗∃n∈N∗，使得|3x|n+|8y|n+|z|n⩽1|3x|n+|8y|n+|z|n⩽1成立，则所有满足要求的点PP所形成的空间几何体的体积为_______．参考答案与解析1．B．根据题意，有sinx>0sinx>0，cosx<0cosx<0，于是xx是第二象限的角．2．C．因为22+1=522+1=5，且对于任意正整数kk，都有2k+12k+1为奇数，所以(2+1)(22+1)(23+1)⋯(22016+1)≡5(mod10).(2+1)(22+1)(23+1)⋯(22016+1)≡5(mod10).所以f(1)=f(2)=1,f(3)=f(4)=f(5)=f(6)=2,⋯,f(1)=f(2)=1,f(3)=f(4)=f(5)=f(6)=2,⋯,进而有2016=1f(1)+1f(2)+⋯+1f(m)=2⋅1+4⋅12+6⋅13+⋯+2016⋅11008,2016=1f(1)+1f(2)+⋯+1f(m)=2⋅1+4⋅12+6⋅13+⋯+2016⋅11008,故m=2+4+6+⋯+2016=1017072m=2+4+6+⋯+2016=1017072．5．A．由于(x−m)(y−m)(z−m)=xyz−m(xy+yz+zx)+m2(x+y+z)−m3,=mxyz[1m−(1x+1y+1z)]+m2[(x+y+z)−m],(x−m)(y−m)(z−m)=xyz−m(xy+yz+zx)+m2(x+y+z)−m3,=mxyz[1m−(1x+1y+1z)]+m2[(x+y+z)−m],于是所求代数式的值为006．B．根据题意，有a3−b3−c3−3abc=a3−(b+c)3+3bc(b+c−a)=a3−18a6+3bc(12a2−a),=a(1−12a)[a2(1+12a+14a2)−3bc]=0,a3−b3−c3−3abc=a3−(b+c)3+3bc(b+c−a)=a3−18a6+3bc(12a2−a),=a(1−12a)[a2(1+12a+14a2)−3bc]=0,当a=0a=0时，(b,c)=(0,0)(b,c)=(0,0)；当a=2a=2时，(b,c)=(0,2),(1,1),(2,0)(b,c)=(0,2),(1,1),(2,0)．当a≠0,2a≠0,2时，有a2(1+12a+14a2)−3bc>14a4−3bc=(b+c)2−3bc⩾0,a2(1+12a+14a2)−3bc>14a4−3bc=(b+c)2−3bc⩾0,于是题中方程组的非负整数解共有44组．7．C．棱长为aa的正四面体的内切球半径为6√12a612a．设44个半径为11的球的球心分别为O1,O2,O3,O4O1,O2,O3,O4，则正四面体O1O2O3O4O1O2O3O4的棱长为22，故其内切球半径为6√666．设这44个球的外切正四面体为ABCDABCD，则正四面体ABCDABCD的内切球半径为1+6√61+66，故正四面体ABCDABCD的棱长为2+26√2+26．8．D．假设这样的分法存在，设三组数的和分别为102x,203y,304z102x,203y,304z，x,y,z∈N∗x,y,z∈N∗，则102x+203y+304z=5050,102x+203y+304z=5050,即101(x+2y+3z)+(x+y+z)=101⋅50,101(x+2y+3z)+(x+y+z)=101⋅50,于是101∣x+y+z,101∣x+y+z,因此x+y+z⩾101x+y+z⩾101．而此时102x+203y+304z>102(x+y+z)>5050,102x+203y+304z>102(x+y+z)>5050,矛盾．故不存在满足题意的分法．9．88．易知g(x)g(x)为二次多项式，设g(x)=px2+qx+rg(x)=px2+qx+r，则f(g(x))=3g2(x)−g(x)+4=3p2x4+6pqx3+(3q2+6pr−p)x2+(6qr−q)x+3r2−r+4,f(g(x))=3g2(x)−g(x)+4=3p2x4+6pqx3+(3q2+6pr−p)x2+(6qr−q)x+3r2−r+4,对比系数，依次解得p=1p=1，q=3q=3，r=4r=4，a=48a=48．故g(x)g(x)的各项系数之和为88．10．4444．每一轮剩下的牌依次是2,4,6,⋯,52,54,4,8,12,⋯,48,52,4,12,20,⋯,44,52,12,28,44,12,44,44.2,4,6,⋯,52,54,4,8,12,⋯,48,52,4,12,20,⋯,44,52,12,28,44,12,44,44.11．40024002．因为2002⋅2001<200220012+1−−−−−−−−√<2002⋅2001+1,2002⋅2001<200220012+1<2002⋅2001+1,所以[200220012+1−−−−−−−−√]=2002⋅2001[200220012+1]=2002⋅2001．于是原方程等价于[n20012+1−−−−−−−−√]=2001n,[n20012+1]=2001n,即2001n⩽n20012+1−−−−−−−−√<2001n+1,2001n⩽n20012+1<2001n+1,解得n<20012+1−−−−−−−−√+2001n<20012+1+2001，所以原方程的正整数解有40024002组．12．1313．考虑第一卦限，只需要3x,8y,z∈(0,1)3x,8y,z∈(0,1)即可．因此所有满足要求的点PP所形成的空间几何体为一个长方体，体积为13⋅18⋅1⋅8=13.。