江苏省盐城市大丰市新丰中学高二数学下学期期中试卷理(含解析)

2015-2016学年江苏省盐城市大丰市新丰中学高二（下）期中数学试卷（理科）一．填空题（本大题共14小题；每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卷上）1．命题“∃x∈R，2x＞0”的否定是“”．2．将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，…，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的办法分成50个部分．如果第一部分编号为0001，0002，…，0020，从中随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为．3．观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在图中程序执行后输出的结果是．5．设=a+bi（i为虚数单位，a，b∈R），则ab的值为．6．已知实数x，y满足，则2x﹣y﹣3的最大值是．7．如图，为了估计阴影部分的面积，向边长为6的正方形内随机投掷800个点，恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积为．8．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为．类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为．9．7名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有种．10．函数的单调递减区间为．11．已知p：﹣4＜x﹣a＜4，q：（x﹣2）（3﹣x）＞0，若¬p是¬q的充分条件，则实数a的取值范围是．12．某医院有内科医生5名，外科医生6名，现要派4名医生参加赈灾医疗队，如果要求内科医生和外科医生中都有人参加，则有种选法（用数字作答）．13．的最小值是．14．如图，已知椭圆C的方程为：（a＞b＞0），B是它的下顶点，F是其右焦点，BF的延长线与椭圆及其右准线分别交于P、Q两点，若点P恰好是BQ的中点，则此椭圆的离心率是．二．解答题（本大题共6小题，满分90分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．已知函数f（x）=x2+ax+b﹣a（a，b∈R）．（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），求实数a，b的值；（2）设a=2，若不等式f（x）＞b2﹣3b对任意实数x都成立，求实数b的取值范围；（3）设b=3，解关于x的不等式组．16．在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（n=1，2，3，…），（1）计算a1，a2，a3，a4；（2）猜想a n的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．17．某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔1小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据的茎叶图如图．（1）根据样品数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对较稳定；（2）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取的两件样品的重量之差不超过2克的概率．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知∠BAC=90°，AB=AC=1，AA1=3，点E，F分别在棱BB1，CC1上，且C1F=C1C，BE=λBB1，0＜λ＜1．（1）当λ=时，求异面直线AE与A1F所成角的大小；（2）当直线AA1与平面AEF所成角的正弦值为时，求λ的值．19．已知函数的图象过点（﹣1，2），且在点（﹣1，f（﹣1））处的切线与直线x﹣5y+1=0垂直．（Ⅰ）求实数b，c的值；（Ⅱ）求f（x）在[﹣1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值．20．已知椭圆E： =1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点P是右准线上任意一点，过F2作直线PF2的垂线F2Q交椭圆于Q点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；（3）证明：直线PQ与椭圆E只有一个公共点．2015-2016学年江苏省盐城市大丰市新丰中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题共14小题；每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卷上）1．命题“∃x∈R，2x＞0”的否定是“∀x∈R，2x≤0”．【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：命题为特称命题，则命题的否定为∀x∈R，2x≤0，故答案为：∀x∈R，2x≤02．将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，…，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的办法分成50个部分．如果第一部分编号为0001，0002，…，0020，从中随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为0795 ．【考点】系统抽样方法．【分析】因为系统抽样是先将总体按样本容量分成k=段，再间隔k取一个，所以只需找到k的值，就可计算第40个号码为多少．【解答】解：∵系统抽样是先将总体按样本容量分成k=段，再间隔k取一个．又∵现在总体的个体数为1000，样本容量为50，∴k=20∴若第一个号码为0015，则第40个号码为0015+20×39=0795故答案为07953．观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在图中程序执行后输出的结果是7 ．【考点】伪代码；程序框图．【分析】For﹣from循环是知道了循环的次数的循环，本题执行6次循环，根据语句I←2I+1，然后判断是否超出20，如果超出20就减20，共执行循环体6次，最后输出I的值．【解答】解：根据题意可知循环体执行6次，I=1，执行第一次后I=3，不满足I＞20，执行第二次后I=7，不满足I＞20，执行第三次后I=15，不满足I＞20，执行第四次后I=31，满足I＞20，I=11，执行第五次后I=23，满足I＞20，I=3，执行第六次后I=7，不满足I＞20，输出I=7．故答案为：7．5．设=a+bi（i为虚数单位，a，b∈R），则ab的值为0 ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，由复数相等求得a，b的值，则答案可求．【解答】解：由，得a=0，b=1．∴ab=0．故答案为：0．6．已知实数x，y满足，则2x﹣y﹣3的最大值是 5 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设z=2x﹣y﹣3得y=2x﹣z﹣3，平移直线y=2x﹣z﹣3，由图象可知当直线y=2x﹣z﹣3经过点A（4，0）时，直线y=2x﹣z﹣3的截距最小，此时z最大．代入目标函数z=2x﹣y﹣3=2×4﹣3=5．故答案为：5；7．如图，为了估计阴影部分的面积，向边长为6的正方形内随机投掷800个点，恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积为9 ．【考点】几何概型．【分析】阴影面积与正方形面积之比等于阴影中的点的个数与正方形内所有点的个数之比．【解答】解：设阴影面积为S，则由题意知，解得S=9．故答案为：9．8．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为．类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为．【考点】类比推理．【分析】首先平面正方形的知识可知一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为，结合空间正方体的结构特征，即可类比推理出两个两个正方体重叠部分的体积．【解答】解：∵同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为，类比到空间有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为，故答案为．9．7名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有1440 种．【考点】计数原理的应用．【分析】把甲乙两个人当作一个元素，然后进行全排列即可．【解答】解：把甲乙两个人当作一个元素，此时共有6个元素，进行全排列有A，然后甲乙两人进行排列，此时有A，则共有A A=1440，故答案为：144010．函数的单调递减区间为（0，1] ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据题意，先求函数的定义域，进而求得其导数，即y′=x﹣=，令其导数小于等于0，可得≤0，结合函数的定义域，解可得答案．【解答】解：对于函数，易得其定义域为{x|x＞0}，y′=x﹣=，令≤0，又由x＞0，则≤0⇔x2﹣1≤0，且x＞0；解可得0＜x≤1，即函数的单调递减区间为（0，1]，故答案为（0，1]11．已知p：﹣4＜x﹣a＜4，q：（x﹣2）（3﹣x）＞0，若¬p是¬q的充分条件，则实数a的取值范围是[﹣1，6] ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定．【分析】由¬p是¬q的充分条件，根据逆否命题与原命题的真假关系，我们可以得到q⇒p 为真，即p为q的必要不充分条件，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，两个不等式解集的关系，然后根据集合包含关系的运算，可给同实数a的取值范围．【解答】解：p：﹣4＜x﹣a＜4⇔a﹣4＜x＜a+4，q：（x﹣2）（3﹣x）＞0⇔2＜x＜3，又¬p是¬q的充分条件，即¬p⇒¬q，等价于q⇒p，所以解得﹣1≤a≤6．故答案为：[﹣1，6]12．某医院有内科医生5名，外科医生6名，现要派4名医生参加赈灾医疗队，如果要求内科医生和外科医生中都有人参加，则有310 种选法（用数字作答）．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】所有的选法共有C114种，从中减去只有内科医生和外科医生的选法，运算求得结果．【解答】解：由题意，所有的选法共有C114种，从中减去只有内科医生和外科医生的选法．故满足条件的选法共有C114﹣C54﹣C64=310（种）．故答案为：310．13．的最小值是．【考点】基本不等式．【分析】先将化为形式，但是不能直接用基本不等式求最值，因为等号取不到，可采用导数判单调性求最值．【解答】解：，，则t≥2，则y′=≥0，所以在[2，+∝）上是增函数，所以在[2，+∝）上的最小值是2+=故答案为：14．如图，已知椭圆C的方程为：（a＞b＞0），B是它的下顶点，F是其右焦点，BF的延长线与椭圆及其右准线分别交于P、Q两点，若点P恰好是BQ的中点，则此椭圆的离心率是．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【分析】根据B，F点坐标可知直线BP的方程，进而根据P恰好是BQ的中点求得P点横坐标，代入直线方程后求得P点纵坐标代入椭圆方程即可求得a和c的关系，进而求得椭圆的离心率．【解答】解：依题意可知直线BP的方程为y=x﹣b，∵P恰好是BQ的中点，∴x p=，∴y p=b（﹣1）代入椭圆方程得+（﹣1）2=1，解得=，∴椭圆的离心率为=，故答案为．二．解答题（本大题共6小题，满分90分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．已知函数f（x）=x2+ax+b﹣a（a，b∈R）．（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），求实数a，b的值；（2）设a=2，若不等式f（x）＞b2﹣3b对任意实数x都成立，求实数b的取值范围；（3）设b=3，解关于x的不等式组．【考点】二次函数的性质；函数恒成立问题．【分析】（1）把问题转化为一元二次方程的问题，利用方程的根建立二次一次方程组，求得a和b的值．（2）把不等式整理成x2+2x﹣2＞b2﹣4b确定等号左边的最小值，进而确定等号右边的范围求得b的范围．（3）对判别式△大于0和小于0进行分类讨论，通过解不等式求得解集．【解答】解：（1）因为不等式f（x）=x2+ax+b﹣a＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），所以由题意得﹣1，3为函数x2+ax+b﹣a=0的两个根，所以，解得a=﹣2，b=﹣5．（2）当a=2时，x2+2x+b﹣2＞b2﹣3b恒成立，即x2+2x﹣2＞b2﹣4b恒成立．因为x2+2x﹣2=（x+1）2﹣3≥﹣3，所以b2﹣4b＜﹣3，解之得1＜b＜3，所以实数b的取值范围为1＜b＜3．（3）当b=3时，f（x）=x2+ax+3﹣a，f（x）的图象的对称轴为．（ⅰ）当△＜0，即﹣6＜a＜2时，由，得x＞1，（ⅱ）当△=0，即a=2或﹣6时①当a=2时，由，得，所以x＞1，②当a=﹣6时，由，得，所以1＜x＜3或x＞3，（ⅲ）当△＞0，即a＜﹣6或a＞2时，方程f（x）=0的两个根为，，①当a＜﹣6时，由知1＜x1＜x2，所以的解为1＜x＜x1或x＞x2，②当a＞2时，由知x1＜x2＜1，所以的解为x＞1，综上所述，当a≤﹣6时，不等式组的解集为，当a＞﹣6时，不等式组的解集为（1，+∞）．16．在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（n=1，2，3，…），（1）计算a1，a2，a3，a4；（2）猜想a n的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．【考点】数学归纳法；数列递推式．【分析】（1）利用数列递推式，代入计算可得结论；（2）利用（1）的结论，猜想a n的表达式，再用数学归纳法证明．【解答】解：（1）∵a1=1，a n+1=，∴a2==，a3==，a4==．…3分（2）由（1）可以猜想a n=．…4分用数学归纳法证明：ⅰ）当n=1时，a1==1，所以当n=1时猜想成立．…5分ⅱ）假设当n=k（k∈N*）时猜想成立，即a k=，当n=k+1时，a k+1===所以当n=k+1时猜想也成立．由ⅰ）和ⅱ）可知，猜想对任意的n∈N*都成立．所以a n=．…8分17．某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔1小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据的茎叶图如图．（1）根据样品数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对较稳定；（2）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取的两件样品的重量之差不超过2克的概率．【考点】极差、方差与标准差；茎叶图；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）根据茎叶图所给的两组数据，分别做出这两组数据的平均数，再作出这两组数据的方差，得到甲车间的产品的重量相对较稳定．（2）由题意知本题是一个古典概型的概率，试验发生包含的事件数，可以通过列举得到共有15种结果，而满足条件的事件数也通过列举得到，两个做比值得到概率．【解答】解：（1），=21，=，∵=，S甲2＜S乙2，∴甲车间的产品的重量相对较稳定．（2）从乙车间6件样品中随机抽取两件，共有15种不同的取法：，，，，，，，，，，，，，，．设A表示随机事件“所抽取的两件样品的重量之差不超过2克”，则A的基本事件有4种：，，，．故所求概率为．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知∠BAC=90°，AB=AC=1，AA1=3，点E，F分别在棱BB1，CC1上，且C1F=C1C，BE=λBB1，0＜λ＜1．（1）当λ=时，求异面直线AE与A1F所成角的大小；（2）当直线AA1与平面AEF所成角的正弦值为时，求λ的值．【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．【分析】建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz．（1）推出相关点的坐标，求出向量和对应的向量，利用向量的数量积求出夹角即可．（2）求出平面AEF的法向量，，利用向量的数量积求解直线AA1与平面AEF所成角的正弦值为，得到．【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz．（1）因为AB=AC=1，AA1=3，，所以各点的坐标为A（0，0，0），E（1，0，1），A1（0，0，3），F（0，1，2）．，．…因为，，所以．所以向量和所成的角为120°，所以异面直线AE与A1F所成角为60°．…（2）因为E（1，0，3λ），F（0，1，2），所以．设平面AEF的法向量为n=（x，y，z），则，且．即x+3λz=0，且y+2z=0．令z=1，则x=﹣3λ，y=﹣2．所以=（﹣3λ，﹣2，1）是平面AEF的一个法向量．…又，则，又因为直线AA1与平面AEF所成角的正弦值为，所以，解得，．…19．已知函数的图象过点（﹣1，2），且在点（﹣1，f（﹣1））处的切线与直线x﹣5y+1=0垂直．（Ⅰ）求实数b，c的值；（Ⅱ）求f（x）在[﹣1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程；两条直线垂直的判定．【分析】（I）求出x＜1时的导函数，令f（﹣1）=2，f′（x）=﹣5，解方程组，求出b，c 的值．（II）分段求函数的最大值，利用导数先求出﹣1≤x＜1时的最大值；再通过对a的讨论，判断出1≤x≤e时函数的单调性，求出最大值，再从两段中的最大值选出最大值．【解答】解：（Ⅰ）当x＜1时，f′（x）=﹣3x2+2x+b，由题意得：即，解得：b=c=0．（Ⅱ）因为当﹣1≤x＜1时，f′（x）=﹣x（3x﹣2），解f′（x）＞0得解f′（x）＜0得∴f（x）在（﹣1，0）和（，1）上单减，在（0，）上单增，从而f（x）在x=处取得极大值f（）=又∵f（﹣1）=2，f（1）=0，∴f（x）在[﹣1，1）上的最大值为2．当1≤x≤e时，f（x）=alnx，当a≤0时，f（x）≤0；当a＞0时，f（x）在[1，e]单调递增；∴f（x）在[1，e]上的最大值为a．∴a≥2时，f（x）在[﹣1，e]上的最大值为a；当a＜2时，f（x）在[﹣1，e]上的最大值为2．20．已知椭圆E： =1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点P是右准线上任意一点，过F2作直线PF2的垂线F2Q交椭圆于Q点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；（3）证明：直线PQ与椭圆E只有一个公共点．【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意可得，解出即可；（2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为，设P（3，y0），Q（x1，y1），由PF2⊥F2Q，可得，利用斜率计算公式可得k PQ•k OQ及代入化简得直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值．（3）由（2）知，直线PQ的方程为，即，与椭圆的方程联立，消去一个未知数得到关于x的一元二次方程，只要证明△=0即可．【解答】解：：（1）由题意可得，解得，c=1，所以椭圆E：．（2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为，设P（3，y0），Q（x1，y1），因为PF2⊥F2Q，所以，所以﹣y1y0=2（x1﹣1）又因为且代入化简得．即直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值．（3）由（2）知，，，∴．∴直线PQ的方程为，即，联立得，∵，．∴化简得：，又△=0，解得x=x1，所以直线PQ与椭圆C相切，只有一个交点．。